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0:

^ 匸 ! ^ ! ^

5

隨機變數 5.1單一隨機變數的定義與型態 5.2隨機變數的分布和它的表現方式 5.3期望値 5.4變異數 5.5

二元隨機變數

5.6變數變換 精選練習


隨機變數

5.1單一隨機變數的定義與型態 ―,隨機變數(「^(^卬^「^&勻 將樣本空間中的每一個樣本點映至實數上之函數對映關係。此種函數稱 之隨機變數:

以上的定義,是給你了解用的,不是爲你預備考試用的。如果你不考眞正 的統計系所,上面的理解就夠了 。如果你要考数學要求強的研究所,這樣的 定義還不夠。 爲什麼?別忘了機率論是從機率空間(^, ?\ ?)開始的。0代表某實驗一 切可能的結果,?提供機率計算的基本素材。若0爲有限集合,像一般初級 的機率題目所描述的,則取作0的所有可能的子集就好。但當0是一個無 限集合時(例如0:【0,1】〉,此時「!:^所有【0, 1】的子集」就太多了 。多到 什麼程度我們不說,數學上的理由是它可以多到我們很難找到一個2 ,使得 ?(八)對所有的八^0,1】都能夠明白定義。易言之,有些八^【0,1】可以非常 奇怪,奇怪到我們很難造出一個?使得?("有定義,且?0還要滿足有關機 率的一些基本運算性質。 爲了避免這樣的困境,数學家的方法是不要取?^二【0,1】所有的子集〖「所 有」是太多了)。他們返而求其次,取7 :【0,11中某些有用的子集。 此時「有用」是指八^? 時?^0有明白的定義,並且1^(0還滿足其他的 1

基本運則生質。 那麼隨機變数還要什麼條件呢?我們引進隨機變數(或者機率),主要的 目的之一是能夠計算,至少理論上要有計算的可能。一個骰起碼的典型的計 算是求1^X2 3 】 或 者 ^ X 〉 5】。這是什麼意思呢?


-非目8不可研究所^^"罾,冑

嚴格地說,集合1X^3】可看成 ^ ^ 31 ^ (^) ^ 0 : 乂^) ^ 3^

它仍是。的子槳,因此^乂23】似乎可以計算。但:?0不見得對所有的 八 ^ 0 都 能 定 義 , 所 以 我 們 要 假 說 ^ 5 3^?才行,因爲只有?(一個(?-域) 中 的 ^ 才 對 巧 " 有 定 義 。 爲 了 「必然有定義」,一個隨機變數必須滿足 1 X ^ x 1 ^ ? ^對任何X ^ II都成立。你若是投考數學或統計硏究所,對於隨 機變數的定義就要知道得更詳細一些。如果你仍然不明白,就應該背一下下 面的定義。 定義:給定一個機率空間(辽?,?),則隨機變數X是一個0到8的函數, 它滿足

如果你要報考一些數理要求較高的研究所,上面的定義裡所包括的邏輯 是要用心想一下的。 例1.1擲二枚硬幣,則樣本空間爲^—^巧,^丁),"!!),"! 》,其中 1

II表正面,I 表反面;設隨機變數X表二枚硬幣出現反面之個數。 1

解:我們可將0中的點和X的値的關係如表5.1所示。 表5.1擲二銅板的樣本空間 冊 X

0

XX 1

1

2

一 般 的 0 , 至 少 在 定 義 7 , ?)的時候,都扮演著「隨機^驗」中「所 有可能的結果」的角色,但我們前面已經說過了

,我們其實只要0爲一個非

空集合,7爲一個域,?爲7到【0,1】的函數且滿足一些機率計算的條件 5-4 統計學評譎


隨機變數

就好。至於1 〔驗是否^物理上我們了解的〔諸如擲骰子)那樑的隨機行爲,其 ;

實是不相干的。因此0 6 0並不一定要有^際的「1 【驗結果」的意義。 :

例1.2高速公路某路段架設一架照相機專門拍設違規走路肩之車輛,則 每日該路段被拍到之車輛數。其樣本空間0

1,2,-1 ^ 設 隨 機 變 數 V 表

:《0,

被拍到之車輛数。 解:我們可將0中的點和7的値的關係列如表5.2所示。 表5.2簡化的樣本空間 03

0

1

2

0

1

2

此處,眞正的物理^驗是臀局相機的拍攝過程。我們並不用它,反而是 更簡單的《0, 1, 2, 3, - 1 。因爲眞正的0太難描述了 ,因此我們就選一個簡 單的《0, 1,2,3,…)來替代。 例1.3違規走路肩而被拍到的車輛其間隔時間爲丁,則樣本空間爲 ^ ( 。 ' ― 。

這也是一個用簡化的〈0, 一來代替赏際的,有物理意義的樣本空間。

二.隨機變數之型態 最常用的型態有兩種: 1.離散型隨機變數((^(;化化1-311(10111 ^!^^^) 2^連續型隨機變數(③!^!!"。!^ 1*811(10111∼!^^ ) 6

1

5-5 1


非81不可研究所統計學評論

在實務上,隨機變數代表我們實際觀察到的數値。因爲統計學是處理數 字資料的科學,我們不可避免地要對一大堆隨機變數。 在實際工作所碰到的測度有兩種:(!)靠「數一數」而得到的。例如多少 人選甲,多少人受傷,它的可能値爲0,1,2,∼。這屬於「離散型」。靠儀器 測量而得的。如多少公斤、多少公尺、多少安培…。這些隨機變數的値,可 能是任意實數。這屬於連續型。嚴謹的定義隨機變數的離散或連續,要用到

1^6^^9^^(011111111211:1^6 (!!^^!!)!!^!! ^111(^1011)1^來再說。

三.隨機變數的函數値仍是隨機變數 例1*4擲二枚硬幣,X表示二枚硬幣出現反面之個數,令

則7亦是隨機變數。 解:我們將X和V的可能値,針對各0 0列如表5.3 。 6

表5.3 X和丫的可能値 0

1111

X

0

V

1

711

XI

1

1

2

1

1

1+

1

72

例1.5擲兩顆不同底色骰子,設X表出現點數之隨機變數,V表出現點 數之最大點數,試寫出X與V兩隨機變數。 解 : 樣 本 空 間 是 0 ,它包括了 36個點,一個典型的點是〈1,》的型式, 1 21,〗^ 6 。我們將這些點列舉如下:

5-6


(!,!)

(^)

(^)

(^)'

仏》

(^)

(^)

(^)

(^) 朋) ( ^ ) ( ^ ) (^)

(^)

(^)

(^)

(^)

即) ( ^ ) ^ (^)

(^) (^) (劫) 〈4,6〉 ^ 糊

(^)

機率函數爲 訓 ^ I:中的元素數 ^ ― 0中的元素數 ;

(工)對1311(10111 ^3^131)16 X而言,它針對於0的各點所取的値分別是: 2

3 4

5

6

7,

3

4 5

6

7

8

4 5 6 、5 6 7 6 7 8

7

8

9

8 9

9 10, 10 11

7 8 9 10 11 12 上面的符號,是指「相對應的位置一一對應」的意思。例如0 中 卩 ^ ) 經 過 X 之 後 , 對 應 到 4 ,而它則是表中的(^^位置上的數。 我們可得X的分布如表5.4。 表5.4 X的分布 X 36?^

X】

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

〈2〉關於1*311(10111

X ,它相當於0各點的値如下:

5-7


― 非 ^ 不 可 研 究 所

統計學評論

1

2 3 4 5 6

2

2 3 4 5 6

3

3 3 4 5 6

4

4 4 4 5 6

5

5 5 5 5 6

6

6 6 6 6 6

因此V的機率分布如表5.5所示。 表5.5 丫的分布

3 6 ? [ ? 二 乂]

1

2

3

4

5

6

1

3

5

7

9

11

5.2隨機變數的分布和它的表現方式 在上一節的例題裡,所論的隨機變數X的可能値爲2,3,一,12 ,故我們 只要知道的値 ? 【 乂 ^ , 乂 二 2 , 3广,12

就可以計算所有的有關這一個隨機變數的機率計算。設 《 ② - ? ^ 乂 ] , ^ , 3,…,!2 這樣的^.),叫做這一個隨機變數X的機率密度函數^ 13^111矽 0

11111^011,簡稱作!^!),或叫做機率質量函數0^01^1)111^『338 ^!!!&化!!,簡 稱作1311^ 。 對任何一個離散的隨機變数X ,則它的04(便是 ^ 0 ^ ? ^ 3 0 ^ 0 , 1,2


隨機變數

此處,符號纟並不重要。重要的是:假如隨機變數X是離散型,【(^被看做 是一個機率値,所以

如果連續型時,《00是一個函數,而 『(乂) ^

0,

&X 二 1

換句話說,如果我們有一組3。,引,^,…,它滿足…20, 2^

^ 1 ,則

這一組(^, 1^01就可以看成爲某一個離散型的隨機變數的!)"。同樣地,若 有一個?00^0且&②^二丄,則我們也可將這樣的《00看成爲某一個連續 型 的 。 例:2*1試證下列函數爲機率函數 0

(!)【00 :、 X ― 6

~ 2: 2

②『00 ^

, 乂 二 0 , 1 , 2,∼

解:(幻利用二項定理: 11

1-0 《弋入3 二 0.4, !) ^ 0.6, 11-10貝|1'(寻 〔2〉利用 厶 1\ 1=0 的公式代入7=2即得

I 5-9 爿


非18不可研究所^^"^^自

# 0 #

例2.2 ^011? ^ ^ - ^ ^

1,2,3

8, ^ ) ^ ^ — ^ ^ 0 ^ 1,2 叉+ 1 7 0111^

03)3 0111^

^0 0 ^

(^)^ &11(1 0

(&)^\\ 0『七116111 &1*6 110七^!^^^^!!!^ ^111101;1011 ^ 解:因爲它們都滿足『00 2 0 ,故只要査證它們各項和恰巧是1便好,答案 是(&〉。 對於離散型隨機變數而言,它的(或!^瓜!)相當於一組(^),滿足 ^ ^ 0,

: 1這兩個條件。對多半的應用情形而言,相對應的隨機變數X

的可能値是1 = 0, 1 , 2 , … , 而 我 們 設 ^ ? ^ " ] 。 6化爲任一組^數,而考慮一個隨機變數X滿足

當然我們也可能令^ ?【X:&」:&,! 二

0,1,2,一

。但這樣的形式的隨機II數用處不多,一般也不

會考。 但對於連續型的隨機變數而言,利用(!^)就不夠了 ,事1 1上我得先考慮 ;

?(^) ^

^ X】這樣的函數。對任何一個隨機變數X而言,因爲【X 5 X】6 7 ,

因 此 , 對 所 有 的 X 6 II都是可以明白定義的。我們也可以看得的出来 ? ② 个 , 這 是 因 爲 、 〈 乂 ,则當[乂^乂,]滿足時,【X 2 X"必然也滿足。因 此,[乂^^!]^[乂^^],兩邊取?,便得到?(^)^ ,這樣的? 0叫 2

1

做X的累積分布函数(^^1II1^113(:1V6出31:1^1^1011 ^ ! ! ^ ! ! , 簡 稱 0 ( 1 0 。 不論X是那一種隨機變嗷(離散或連^〉,上面的討論說明了它的。(^必

;5-10

統計學評譎


然可以定義。但500並不一定是X的連纊函數,它當然也不見得是X的可微 分函数。則我們就可以計算,或至少定義

這樣的【0也叫做X的機率密度函數(^的。一般^『^(^)不一定連續,更不 一定可微分。因此,我們不見得可以定義它的!)^

。但當我們可以定義

《00時,這樣的X的分布,正確的名字應該叫「絕對連續(^犯&^ (^!^!!!^^)」,一般的初級教本,並不會這樣講它。因此,所謂的連績隨機 變 數 就 指 「 可 由 對 它 的 ( ^ ^ ?XX〉做微分而得到『00的隨機變數」。因爲 【②:?②,因此

這是「微分基本定理」的應用。因此, ^ X ^ !)] ^

^4 ―

:广『(拳一 | ^ 拳 8

因此,密度函數的用處之一,就是(由積分)計算機率,上式中,若取 & ^ ―①,!) 00 ,則得

^

^ ?[-00 ^ X ^

^1

這就是說一個密度函數((^ ,要滿足兩個條件:

^ 0,厂?(聰^ 1

| 5-11 統計孥評論


非^不司研究所統^"學評論

當然,任何一個滿足上面兩條件的5(0都可看成是一個密度函數。 此 處 的 「 自 『 激 公 可 得 ! ) & 」 的 閡 ^

^ 並 不 需 要 對 毒 一 個 X 都 成 立 。 它 允

許]?XX〉在少數我個點不能淼兮,例如:

( ② ^

II 0 5 x ^ 1 1

^ 0 0^1161^15 6 ^當於一個在【0, 1】中的均句兮布,其剁應的?XX〉 ^

? ② 二

0

二乂

X 〈

0

0 5x^1

此 畤 ^ 在 乂 ^ 0 與 乂 ^ 1 逭 兩 個 點 ' 其 贲 是 不 能 ^ 兮 的 ' 但 是 不 影 饗 「 ? 的 ! ^ 急 ? ② 」 的 性 赏 。

例2.3請說明以下的函數是否可以作爲密度函数;如果可以,請找出適 當的(:値。 ① 『 ( 幻 ; 〃 6【0,2】

111

^

)

^

" — X 〕 乂6【0,!]

解:因爲((^) 2 0都滿足,而。的値可以調配,它們都可作爲!^【。關於求^ 的計算如下: 因爲

故得0 = 1/2

… 習 慣 上 , 這 樣 的 寫 法 也 同 時 表 示 了 「 ^ 0(^!^!"^^^^」這樣的句子。

「?00 =

0 辻 《 【 0 , 2 】 」 。 有 睥 , 我 們 會 省 去 了


②自 』0

解之得 0

1X4〉 二 ~ 6(2,2^ 一 ^)^) 一 1

6

⑧由 』0

在積分中做這樣的變數變換,可得 1X3〉 』0

0

2

」0

0

2

可 解 出 ^ 2 = 2 ,故0 = 7 ^

例2.4

!)!!^或!)(^之功用。

( 丄 ) 設 有 乂 ∼ ^ ^ - ^ - ! 乂一7^36〃^2,3,4,一,12

,試求?【X《3〗,

?【2〈乂《5】及眾數]VI。 ? ②若X

~ 【 ② : 乂 " -乂〃36,

〈0 〈

X

〈 6〉,試求?【1 〈 X《3】,?【X : 4〗及眾數

IV!。 ? 解:針對一組樣本3^,^,…,、,前面我們已討論了(樣本的)平均値、中位數、 眾數、…。這是指「已有觀測値」之後而言。理論上的!)^《^)可視 爲母體。因此,我們也可以定義它的(母體的)平均數、中位數、眾數、 標準差…等等。考試的時候要看上下文,才知道你應該計算那一種:只 給樣本&,^,...^。,這一組數字的時候,你該計算「樣本統計量」,只 給!)"((幻的公式的時候,你應該算相應的「母體値」。

^

^

^

+

+

^

+

^

^

5-13


非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ ^ 冑

因爲

? ^ ^? ] ^ — ^ ? ^ ^ ! ] , ^ ! 36

故]VI。 : 1

^

X ^ 31 ^丄?(乂力^ ^ — ^ ^ - ^ ) ^ ^

^

上面積分的細節,我們就省去了 。 至 於 ^ X : 4】的値,它是不用算就知 道是零。這是連續型分布的特點:若X是一個連續的隨機變數,則 ^ [ ^ ^ XI ^ 0

XX 6 I I

總是成立。最後,因爲『00的極大點在X 5 3 ,故!VI。 二 3 。

一.累積分配函數 前面已經說過,不論是那一桠隨機變數X ,我們都可以定義它的 ?(^):

它有以下的性質 1. ?("^) ^ 0 1. ?(^) ^ 1

3^若乂^ 〈乂;;則!^^)^? ^。 要特別注意的是,在700的定義裡,我們用了 X 或者等於」,是重要的關鏈。因爲X也可能是離散型的,? 所得之結論可能略有不同。

5-14

统8卿81

迫(裡面 ^ 「小於 ,


隨機變數

例 2 , 5 設 X 之 可 能 ^ 爲 0 , 1, 2 且 ?【X : 0】:0.25, ?【X : 1】:0.5, ?〈X

0.25

求?XI〉的値爲何? 解:直接套用定義,我們有: ? ( 丄 ) : ? 【 X ^ ! ] ^ ?【X

但 1 X 0 . 9 9 9 〉 二 1*1X3

^0

^ 0.75

〗 十 - ! ]

0.999】:?【乂^ 01 = 0.25

。 違 是 @ 4

「 ^ 1 」 就 是 不 闾 。 雖 然 0 . 9 9 9 是 如 此 地 靠 近 1 實 上 , 即 使 我 們 放 上 1 0 0 個 9

「^ 0 . 9 9 9 」 和

' 但 ? ① ^ ^ ^ ^ 巧 丄 ) 。 事

也不能使兩者^蔷。

1

這表示說^X〉,在;;-:^這一點是不述續的,仔細算一下,我們有 ^ 0

= 0

辻 乂 〈 0

^0.25

1? 0 ^ 〈 1

^0.75

1^ \^\^2

二1

1 ( 2 ^

而這樣的,畫出圖來就像一層樓梯一樣。這樣的函數叫做階梯函數〈8化口 〖11 !!^。!!)。 凡 是 搫 散 的 隨 檄 燮 數 的 0 ^ ^ 4

81613 ^11101:1011

;反乏(:"為"印1^111(^1011

的 隨 機 燮 數 》 ^ ^ 是 離 散 型 的 。

例2.6

1/61; 1;116 1^151:1:11)111:1011 ?111101,100 0 ^ 3 1*311(10111 乂3!"131316 X 1)6 ^ 6 1 1

1^0 = 0

1? 乂 ― 1

^ ~

1?

- 1^

X

^0

5 1

VI

0

1 -

一 I

1|

6

2 5-15


-非讚不可研究所

統 計 學 評 論

^~ 1^ 1 . 5 ^ x ^ 2 . 5 6 二1 让2.5^ (^) ! ( !:&^ 1116 ^ 1 3 ^1131111011 ^111101;1011^ ( ^ ) &11(1 ^ 6

1^01)31)1111:7 ^11110^1011 (^"乂

3 1 ^ ^1*3^化

解:(^乂之0(1『圖,可見圖5.1。 講 究 的 作 圓 不 應 玆 忘 記 各 台 階 右 逄 的 小 图 。 ( ! ] 急 這 明 白 表 示 你 不 但 ^ 得 逭 一 點 不 速 镶 』 而 且 惰 得 遠 樣 的 不 速 續 是 ^ 由 定 ? ^ ) 中 的 [ 乂 ^ ^ ^ 定 義 而 来 。

?②

0

-1

0

1

2

3

圖5.1 丁^(^『。(乂 ⑨X之口"爲《(乂)^]^)-巧乂―卢 ,我們將它列入表5.6 1

表5.6

I

2 1

X

- 1

0

1.5

2.5

其他

6^00

1

2

2

1

0

乂 - 是 指 比 X 略 小 的 急 思

| 5-16 統計學評譎


例2.7

?!!!^ 1:116 01111111151*1^6 (!^!^)^。!! ^1111011011 ?(乂)

6 ) 1 621011 0 ^ 4116

16110^1115 (!!^丄!)^。!^: ② 制 ^ 丄 / ^ 二 - 丄 , 0 , 1

( ㊀ ) ^ ^ 二 ^ / 历 ^ - 丄 , 2 , 3, 4,5 解:這是所謂的「返化」的分布,基本上相當於「常數0」,因爲所有的 機率,都集中在^:-^)這一點。

一 |II

I I

0 1-32-3

^ ( ^ ) ^ 0 1【乂〈0 ^1 1^ 乂20

1^ 一 1 ^ 〈 0

I I

1^ 0 ^ ���

1 1^ 乂〈一0 15

迁12x^2

15 15 15 ^1

辻3 2x^4

1《5^

嫩 逭 ^ 類 趙 目 , 主 要 要 注 棄 、 的 : !

「 小 於 著 於 」 及 「 純 小 於 」 不 要 槁 混

5-17


非!II不可研究所統計學評論

二.(離散型)隨機變數X之中位數:(!!^&^) 中位數的意思是:恰巧將所有的機率左右各分爲一半的那一個點。這是 是連續型的時候,定義不是問題,見圖5.2(3〉。 但對於離散的情形,見圖5.2(1^ 。此時中位數就定義不清楚了 ,因此我 們不那麼容易地將全部機率左右恰巧各分一半。

0.3 0.25

(^) X爲連續型

化)X爲離散型 圏5.2

在這涸圖裡:^!) ^ .15.

^

06(1门1110门0^闬6011311 ^ .15.

^ ^30^

^ .15

爲一組離散分布的。我們在圖5.2上,找不到一翻合好能將全部機率分成 ―半的點。 常用的定義是:自左至右將可能的『00値一個一個相加,到恰好超過1/2 以上爲止。以圆5.3言之。

?(!) : 0.15,《1〉十《2〉 : 0.4, ?(!)十《2〉十?: 0.55

I 5-18 |


制森 0.55 0.4 0.3

X 》:

0.2 0.1

": 2

圜5.3

3

4

5

令X

0130!'6(6 ^6!311 13 113「016「 I。 ^6^106

故 知 在 時 就 已 超 過 一 半 。 中 位 數 因 此 爲 3 。此法亦可自右向左而做,以 本例言之 ^ 0^ 15,

十【〈4】^

0.45,

十 十 《 3 〉

^ 0.6

而在退地加到X : 3的時候,也恰好超過一半,故中位數爲3 。 因此,不論我們自左至右,或是自右至左都得到同樣的答案。 它的數學定義是: 111^《X : ? ( 乂 ) ^ 一 )

1116(11&II 0 ^

2 符號雖然複雜,意思卻和前面解說的例子一樣。 例2.8若X的爲【②^^715

因爲1X2〉 ^ 3/15,

6/15,

9

X 二 1, 2, 3, 4, 5 ,則

10/15 2 1 / 2 。所以1116(115111=4 ,在

3^ = 4時恰巧超過一半。 5-19


-非^不可研究所

統計孥評論

對於連續型的累積分配函數而言,設X爲一連續隨機變數其爲《X〉 其中位數1^4是能恰好讓下面公式滿足的點:

例 2 . 9 設 是 0

乂〈0

0.5 1

^ 乂 〈

X

21.5

1.5

則1x1【爲 0

^ 卜

(乂)在X:

X

^0

0.5 1

1 5 X 〈1.5

0

乂 ^ 5

0 , 1 , 1 . 5 ^ 點 鄱 不 能 激 兮 , 怛 仍 可 用 ^ 兮 束 求 得 它 的 9 & 。 我 們

2 要 一 ^ 一 段 地 激 兮 就 好 。

對 於 連 ^ 型 的 隨 機 燮 數 的 兮 布

1

如 果 要 像 岑 例 一 樣 的 一 殿 一 殿 計 ^

不 十 兮 講 求 「 小 於 苓 於 」 及 「 ^ 粹 小 於 」 的 盖 別 , 遑 是 ^ 為 ? 【 X 一 個 速 ^ 的 隨 機 燮 數 而 言 ' 偬 是 成 立 的 铋 敌 。 固 此 ' 巧 义 5

X 】 ^

毒 3 老 試 ' 你 橫 要 注 I 各 有 關 區 間 不 可 重 要 。 例 如 : 假 設 你 將 荅 ^ 寫 成

0 『00

荅 ^ 也 是 封 的 , 但 若 你 寫 成

5-20 ; 統計^^翁

X 50

0.5 二

1

1 ^ X ^ 1.5

0

XX 1.5

, 可 " ^ 對 於

〈 X 】 。 但


0

乂 ; 0

0.5

1^x^1.5 乂 ^ 5

0 嚴 格 一 點 的 改 舂 入 就 會 扣 你 的 兮 數 ' 在 乂 ^ 1 的 畤 候 ' 【 ( 乂 ) 是 應 兹 苓 於 1 / 2 呢 ? 邋 是 1 ? 你 自 己 就 座 生 3 矛 盾 !

例:2,10求相當於下列各〖00之700 :

⑧ ^ 0 ^ 3 , 0 〈 乂 〈 1

1

+ X〉

01: 2 〈 乂 〈 4 6

3

10,1^ 131

( ^ ) X

,0

乂〈0

X

3 、3 3

-1〉,

4 ^

^ 這 樣 的 寫 法 裡 , 表 示 我 們 省 略 了

分。

? ^ 〉 ^ 0 1^ 3 0 0 和 ? 0 0 = 1 11

X〉:!這兩部


非 頃 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ ^ 罾

例 2 . 1 1 若 X 之 爲 ^)^^ -1)(1^x^3) 2

試求:^它的!)"

解:①^^二^",:^^^。,這僅由直接微分便可算出。 ② ?^2 ^ X ^ 3^ ^ 聊 一 ?〔2〕 : 5/8 ③ 由 條 件 : ^ 0 = 0 . 5 得 ^ - 1 丌 8 ^ 0 石 , 解 之 得 5 ^ ± 7 ^ ,負値當然不 2

合",故中位數是I 。 例2-12乙6七X

1)6 3 1:311^0111 乂31^&1)16 ^ 1 1 1 1 ^18^11311^1011 ^1111011011

一0,86一乂 、0 ?10^; ^ 6

X 20 X 〈0

^1*31)11 0 『 ^ ( ^ ) & 11(1『111(1 115 13^?.

解:^見圚5.4。

5.4 ^ 1711X60 06^

141

因為饩X〉只在【1,3】中為正,故它不可能取負值。

I 5-22 | ^酵錄


〈 2 〉 它 的 在 X ^ 0這一點離散,在X〉 0之後連續。

^ 10.2 1 0.86^

《X〉 二 乂

^ 0

X〉 0

遑是跤難的一题』固為X的兮布既不完全速镇,也不完全離舦。解趙的、 手處是@到定義。在X ^ 0的時候,我們有 : 0〗:?【X《0】―〈 0〗〈1 - 0,86 〉 ― 0 二 0.2 -0

處理完3遑一點'其^就容易3 。 嚴格一點地説,逭是一個出鍺3的趙8』154

^或1)11^都是針對某一個

測度(!^&犯∼)而言的,本趙中有兩個不同的測度存在^ ^此密度是一個不明台 的概念:對那一個測度的密度?但是'在老試裡'上面的答表應玆其對。

三. 存 活 函 數 ( ^ ! ^ ^ ! ,"!^^!!) 設X的0(1^爲?,則其存活函數爲8^ ^ ?〈乂 ^ X〉 ^ 1 - ^ ( ^ ) 。

四. 風險函數山323「01 ^^^^!!)

呂②

^

「存活」反「風險」二函數?其贲只唷在番命01&)兮布裡才唷實嗡惫義。 這呰是可靠度研究或者臨森實驗中的概念。設X皋示甚物或某人的壽命,則 ?1X201 = 0固為番命不可能為負的。此時「存治」才有童、義』而虱險則為「已 存治刭X』下一個瞬間會出問趙」的機率。

5-23


- 非 油 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ ^ ^

5 . 3 期 望 値 ― , 期 望 値 ( 狄 ^ & ^

乂^!化)之定義

設 隨 機 變 數 X , 其 ^ 爲 《 0 0 ,且 ?

^|\|

00

01:

|卜| ^ ( ^ ) ^ ^

00

則X之期望値爲

5^^2^『00 \ 在 ^ ^ 『 ^ ) 中 , 所 ^ 的 X

論遇;1^-00到00

4

若X爲離散型 &X

若X爲連續型

「 所 有 可 能 的 X 值 」 』 在 ^ ? ^ )

。 但 我 們 在 贵 ^ 計 箕 畤 ' 當 ^ 只 對 『 ( ^ ) 〉 。 的 部 兮 慠 求 和 或 老

積 今 就 好 。

例3.1試求下列隨機變數之期望値: ( 工 ) X ∼ 二 (丄^柳) ^ 3

: 0, 1, 2,

解:直接代入公式可得 〔、 2

X』

乂二0

、 ^

、1

其中、是上式中的那個無窮級数: X:。 V 。

| 5-24 統計學誶諾

中 , 積 兮 理

3


令 9 = 2 / 3 ,我們有 ^ ^ ^ ^ ^

二 》 ^ ) - 化 "

1

X&1

^^1

1

解界得^二口化―口)

1

2

丄一

3^1

^6 ^ ^ ^ 1 ^

=1。

〈2〉利用5^的定義: ^

^ 厂 ^ 力 &

^ 0.25厂乂6 。 -

』0

2

5

^

^ 0.25^

』0

^4^

41^(2)^4

二.隨機變數的函數之期望値 若隨機變数X之!)"爲【(^),且

^^乂))^^^^^^) \ ^

若X爲離散型 若X爲連續型


非讀不可研究所^^十^評,#1^0

例3.2若隨機變數X之1^『如下: ^ 0.2

(⑨二-

^

"

0.2,

乂二2

0.6,

32x^4

試求2X^2X2? ^3 2 乂 2 二 1 X 0.2 + 22 X 0 . 2 十 纟 X ^ 0.6^; 二 8.4 2

2

應 付 逭 額 混 合 型 的 問 題 』 主 要 的 嫩 法 是 將 求 和 及 求 積 兮 兮 開 来 慠 。

三.期望値之性質 若有隨機變數X ,令 山爲任意常數,則取 乂十!)) 3

3

^

3

5:乂十6

[ 證 明 】 不 妨 假 設 X 是 離 散 型 的 並 且 9 ^ 爲 ( ( ^ 。 不 妨 設 " ^ : ^ + !) 則由定義 十!)) ^

十卿)^

^ ( 乂 ) 十 『 ( 乂 ) 二 & ^ ( ^ ) ^

對於連續型的證明,將X;改爲|可同理得證

四.動差(^。^^门&: ^第1:階原動差1;1'-111

I 5-26 | 統計學評譎

!^!^泣)

^


# ^ 隨 機 變 數

2一第I階中心動差(!-^ ^

。6111X01咖!!^!^)

- ^ , I : 1,2,3,4,…(卩二卿)

3一第!"階階乘動差(匸^ 职 X

^0*01:131

!^^^^!!!;)

- " ( 乂 - 2〕…〈X -1:十1)1, 1: : 1,2,3,4, ^ ~ ~

在 這 裡 】 名 词 ^ 面 各 版 丰 緙 法 或 唷 不 同 , 但 這 ^ 都 不 是 重 點 。 重 點 是 並 不 是 任 何 一 倡 随 穢 燮 數 X

, 它 的 動 盖 都 可 " 計 真 的 。 唷 ^ 可 " 澄 明 是 ① , 這 時 我 們

説 它 不 存 在 。

" 上 的 三 種 動 差 , ^ 於 1

= 0 的 時 候 , 一 律 「 規 定 」 它 們 的 值 為 1

。唷的書

中^^"-0,1,2,…都定義的。

五.動差母函數(!!^!!!㊀门I 9㊀06「31109 ^1101:1011; 17190 定義:設隨機變數X之爲?,則其瓜^爲 ―工 吖00 6

,離散型

―)印9于的唯一性〔"―口^&^) 意思是,它可明確表達該分配。這裡「表達」的意思是:若知道 IV!^0 ,則理論上應可以求出相對應的【00來。所謂「理論上可以」, 意指有不少時候,我們技術不夠,解不出來。但若是解出來,則一定只 有一個答案。若兩^人自同樣的111^算出不同的來,那麼至少一人 是算錯的。

I 5-27 |


非 1 8 不 可 研 究 所 ^ & 罾 , ,

設有一 4且随檄燮數丁。而我們可"真出来它們的111^

(^)。我們

又知道]^〈0, 1^的111^^ ^

1

如果我們能澄明 ∼(!;) 4

^ ②

則我們著於就滢明3

逭裡,我們^的也是111^的雖一性。這是绶明「中夹極限定理」的最簡覃 的方法。 ( 二 ) 利 用 " ^ 求 動 差 间

甶]^1x00對1:微分!:-次代入1 = 0 ,可求得X之所有各階原動差: 《 ( ( ^ : ^ ) , ! ^ 。 , 1, 2,∼

例3.3若随機變數X之9"爲

試求:(脚②利用1^(10求200及^:化 )。 2

解:(!) ^

)

^

^

1

)

^

^

^

1

^

7^1 聯 )

(! 一 ^ 6 :

〈 1 - 一 )

^

1

^7^1 (̶(^ 〉 一 2

"

(!;腿&!!)

136

( 卜 一 )

聯 )

135

這就是111^的原意

5-28 統計學評譎

由此可以產生所有的X的動差。


@@@隨機變數

?6 〈 1 0、2 - ^ ^2

60(1 ― 〉 十 2 ( 1 ― 9 6 。 ^ ^ 0 VI 0

^2? ^

0

1 + 2(3

2

!〕.

1〕

例 ,4設一隨機變数X之111^爲 3

1 ^ ( 1 0 + 0 . 2 6 試

2

1

+0.36 +0.26 51

71

解:我們從加#的定義出發: ^ . ^ ) : ^ 6 ^ ^ ^ 0.3一十0.2621十0.36

51

4^ 0.26^

比較^的係數&^乂…),得到表5.7。 表5.7 X

化)

由171^求?^

1

2

5

7

0.3

0.2

0.3

0.2

反過來看,若是有《^)的値如表5.7 , 則 它 合 好 是 一 個 ( 和 爲 1 〉 且剛好讓我們得到 ^ ^ " ^ ( ( ; )

根據∼^具有唯一性,我們知道X之應爲如表5.7所示。換句話說 我們雖是湊出了答案,但是因爲答案已知是唯一的,故這就是答案。

I 5-29 | ^ ^ 蹈


非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ , ,

# 0 0

六 . ∼ ^ 的 性 質 1. ! ^ ② ? ! ^ ② 1 1^3x00 ^ ! ^ 乂 ( 肚 ) 七、

3, ^ 4

^

^

^ ( 。 ^

以上之性質均可直接用爪^的定義得來,我們就不證明了

5-4 一.變異數(^「!^③)之定義 設隨機變數X ,且^I ^攻乂),則X之變異數爲 乂 ^ 0 単 - 》

2

因此 ^(^-^) ^),若X爲離散型 2

(乂-力'^)^,若X爲連續型

| 5-30 | 統計學評論


#0@隨機變數 二.變異數之性質 2^

^0

3, ^ 4

(

^ + ^ & ∼ 卓 )

^ ( ^ )^0

證明因爲十分簡單,略法。

例4.1

^11 11181;2111^ 10^61:7 ^10^ 〈彩券)008*5 ^2, 0\14 0^ 51 10*31 0【

10000 11(^618 1)1*111*6(1 &1: 1;1118 10忧617, 1000 11015:6*8 00111:81111 81 ?1^26 0【^5 6&011, 100 110^61:8 11^6 & ^128 0^ ^10 68^11, 5 11(^61:8 11^6 21 ^1*12:6 0^ ^1000 63011, 2111(1 1 ^10^61; 1138 3 ^1*126 0亡^4000, 1(6七X 1)6 1^6 1^311(10111 ^3031)16 411211; (!^^^^ 1\16 1161 &11101111^ 8 1)181乂61: 08111 ^111 ^ ^13^1X1^ ^13 10^61^^ (!)

1;116 ^。13811)11^ 11181x11)1^1011 0《乂,

②061;611111116 1116 1116&II 311(1 81&!^&!:^! ^6^18141011 0【乂. 解:卩)我們將答案列在5.8中。 〈2〉利用表5.8 ,直接套用公式 得: 161

二 (^)X0.8894十3乂0,1十8^0刀1十998乂0.005 十3998x0.0001

161

像這種沒有一般規則可循的!)^,直接套公式硬算是唯一的方法。 5-31


-非81不可研究所^

表5.8彩券的所得分布 X 制

- 2

3

8

998

3998

0.8894

0.1

0.01

0.0005

0.0001

^ (-2)2 X 0 . 8 8 9 4 十 3 X 0^ 1 十 8 X 0 . 0 1 十 9 9 8 2

2

2

X 0.0005 + 39982x0.0001 ^ 2101.5 ^ ( ^ ) ^^

2

) " ^

0 =^ 0

0^611 ^

例4.2

|

2

) ^ 2101.25

^ 45.839

^ 1 ^ 0 ^ ~ 1 7 2 1 0 ^ X ^ !, 0 ^ 9 ^ 72 ^ 0811011121*6 2

1)116 ^16811 311(1 ^1:1811106 0^ X, 解

\

\

』0

1+0 X-丄 2

』0

2』0

』0

1| 2

X

0

』0

2

12

2』0

』0

6 2

I

2 2 6| 1

12

2 2 0| 1

1| 3

2

此趙固^説X乏為^^),敌嚴格地就是出得不完笙的I&目。但是老 試畤你可要知所進退。 鍺間條件6 6【0, V^用在哪裡呢?

5-32


柴 比 雪 夫 不 等 式 ( ( : ^ ^ 曲 6 ^ !^^汕矽) 設X爲一隨機變數,其平均數爲^1 ,變異數爲?。則對任何正數&而 言,存在下列機率關係: ^ 1 ^ 尜

?[^―

【證明】:令八二—^-^ ^ ?),則 2

^

-

2

X

-

^

)

2

乂6厶

^

)

-

乂0八

乂"

但因故知(^-)!) 》^—,因此 2

2

^ 1^V ^ ; ^ ) ^ ^ ^ ? [ ! X - ^ 2

2

!^]

乂"

消去兩邊的(! ,得 2

因此,離散型的不等式得證;連續型之證明相同,僅將「2」改爲「I」即 可。 這個入名是俄國入。各汆乏鏵名唷甚多之不同,即使其鏵亦無定論。"上 之滢明看来簡單,但是在二十世记之初期想出來並非容易。 主要的想法是將求和(或積兮)公式兮惑X 6 ^ 及 X 6 ^。兩個部兮,^再丢掉 其中的一部今。逭個不蔷式其實跟密度函數存不存在鄱沒唷關悌。當然我們得儼 設口2 〈00 ^但即使―:00 ^它仍然對。(!)為0 = 0 0 皋 ^ ^ 一 ^ | ^ 1 ^ 】 ^ 遑 件 「 事 情」是不可能成立的((!)此檄率為0〉 ^ 所 "

5-33 ^ ; 盟


非 讚 不 可 研 究 所 " ^

仍然是對的。當^在使用上》0 ^ 00的^形是沒唷贲^價值的。 2

三 特 質 一個機率分布最重要的特徵數是平均數與標準差,人們亦常用此二特徵 量來說明機率分布的集中趨勢與離散的程度。柴比雪夫不等式指出,若已知 隨機變數之平均數與標準差,而其正確之分配雖未知,仍能粗略估計其分配 中距離平均數對稱之間或之外的機率。 例4.3

(!)考慮一隨機變數X ,已知XX ^ 5,

^ 29 ,試求?〈0 〈 X 〈

10〉機率之下限? ② 一 隨 機 變 數 V ,已知?(丫 ^ 20〉 ^ 0.5, ?(丫 ^ 10〕 ^ 0.2, 2 ^ = 15 , 求 V 變 異數之下限? 解:這類的題目是考你懂不懂柴比雪夫不等式用的,怎麼看出來?主要的關 鍵是所給的機率部分,都是對平均値而言是對稱的!此話怎講?以本題 的 ^ 而 言 , 我 們 要 求 的 是 ? 【 0 ^ X ^ 1 0 〗 。 但 別 忘 了 丑 0 ^ ^ 5 ,所 以,它其實是相當於 ?[―5〈乂一4〈5〗^?【|\一4〈5】

因爲只有這樣的形式才能套柴比雪夫不等式。至於湊上^等等就是小花 樣了 。你當然應該會做。 關於(^),因爲300 = 4 ^ 15而又知道?【V》20】和?【7^10】,因此 ?! [ 丫 ―卩| 〈 5 】 ^ ?[-5 〈丫 ― 15 〈 5 】 ^ ?[!0 〈 V ^ ? ^ ^ 2 0 ^ - ^ ^ ^ 1 0 1 = 0.3 如栗區間不對稱,問题就離了 。我們的解法如下:

5-34 統計學評論

20】


#0#隨機變數 ?【0 〈 X 〈 101 ^ ?1^~5| 〈 5 】 ^ ?【IX-5| 〈巧化)X2】2 2 1 / 2 5 這回答了的部分。關於〈2〉,請注意到 〈5,!)

?[!0 〈丫 〈 20】:1 一 ?〈? 2 20〉 一 ? ^ 10〉 ^ 0.3 ^

?[^" 15^51 = 131 ^ - 1 5 卜 上 1一

21 ̶

25

比較〈5, 1 ) ^ ( 5 . 2 ) ^ 1 - 0 4 / 2 5 ^ 0 . 3 。 故 可 解 出 2 1 7 . 5 。這回答了〈2〉 的部分。 例4.4大數法則。設有叉^, 乂 ,一工。~ 11(1且乂壯∼)〈00 ,則對於任何 2

6 〉 0 ,在11 ̶ 00時,都有: ?【I 、 - 隅 ) " | 】 一 0 【證明】在柴比雪夫不等式裡,將X換成X。,這時0就該換上X。的標準 差,那是^&!^)/!! 。

^ 二 ! ^ 丄 。 ^ 8

= ^ 7 ^ 0 ^ ) 7 ^ ,貝0在

11 ̶ 00時,我們有

1^ : 8 ^ ^ 0 ^

4

00

因此

這便是一般最普通的大數法則 " 1

171

我們說「普通」,是因為這是最簡單的證明。上面的結果,甚至還用不到 2 | 乂,|〈00這樣的條件。 5-35


非 I X 不 可 研 究 所 ^ ^ " , , ,

四.標準化隨機變數 設X爲一隨機變數,其平均數爲^I , 變 異 數 爲 一 令 2 二 0 - 力 / 0 ,則 2 2 二 0, ^'(?.) : 1 ,稱2爲一標準化隨機變數。 「標準化」黹面已講過。此處再説'因急它重要。^儍上我們用2表示一 個「已徑標準化之後的章態兮布」'所"才噶所謂的^檢定。惫指先化急標準章 態乏後再慠的假設檢复。

5 . 5 二元隨機變數 一.二元隨機變數之機率函數 (一)聯合機率質量〈密度)函數 設有兩離散的隨機變數X, ^ , 設 ^ 二 ^ 與 ^ - 力 同 時 發 生 之 機 率 用 『(^,力表示,稱『^,力爲乂與7之聯合機率函數。《X,力滿足下列條件: ^ ^ ^ 0

I,、

^^(乂'力二1

先假設乂和丫均^雛散型。逭是最簡單的二元(聯合化^' 15急在離殽的條 件之下我們可"明台的説出^乂^乂, 丫 ^ 乂] :^^^,力'至於X, V為連馕畤,問 笾别比鲛複雜。若我們用上式的觀念,0為X, V為速绩時,我們有 ?【乂二^^0,

^ 71 ^ 0 。

此'若用上式来定義'我們弒會得到

^ 乂 , 力 ^ 0 的 传 ^ 。遑是連^兮佈妻面臨的問14。若X,丫都是速^型的,設 ^,^)^?^^^^^^],遠是X, V^ 可能可以對X及^ 4、別嫩偏^兮。

1統計學評請 5-36 |

^01111:

^。則這個函數(雙自燮數X,力


這樣的^,^)才叫嫩X反V的聯合密度函數0011x4 ^ 0 。 如果不铯嫩偏擻兮,又怎樣呢?遑樣的間敏就太難3

;老碩士焱多半不會

問。事贵上你^要知遭一個?(^,力^0 ,它又滿足 广厂^,30(1x^ = 1 3 — 4-00 00

弒锊3

。鲛初蔷的疣計學裡』錄起二元(或更多元)的速镇兮布都是"聯合機率密

度(^!^^!)閉始的。並且多半也是"它為範園的。

二.邊際機率函數(^^「^门^ 131-0(331)11117 11100110门) (―》離散型 1.

X

2, 7"之111211:5111211

~(力二!^^,力

(二)連續型 1. X之111900^111^\

5-37


非 現 不 可 研 究 所 " ^

2, V之III31-^11131 ^(!!":

符號2^,!^或者1, ^是指對所有可能的X (或力求和(或做積分) 而言的。此時未提到的變數在計算中是被當作常數。例如 |《X,力:| ^ , ^ ) ^ 而言的。上式中我們假設了有兩個隨數變數X及V 。它們的聯合密度是 ^,^),而-00〈乂〈03 。如果只有-3 3 x ^ 8 ,則上式就可改成 I【(乂, 乂)

|

8 3

^ 力 ^

若是X及V的可能値未加說明,我們一律設-①^^^①,—00^7^0^連 續情形);對於離散情形則一律設乂,丫的可能値均爲整數。

三 . 條 件 機 率 函 數 ( ( ^ ^ ^ ( ^ 』 ^ ^ 0 ^ ) 3 5 1 1 1 ^ (^(^。!!) 離散的情形爲: 1 . 給 定 7 = 7, X的條件機率 ^

"

^

^

"

] : ^ ?[丫 二乂]

^

丫 " 卩【乂 ^ X】

]

^ IV (^)

1.給定的條件機率 ^

連續的情形爲:

1統計學評篛 5-38 |

^

^ 『^)


隨機變數

1.給定^-^乂的條件機率 (乂) 2,給定乂-^,丫的條件機率 物

^ 【^)

四.獨11(11101613611016["!(:^) 獨立的概念在統計學和機率論裡一直是非常要緊的。我們一步一步地自 「兩個^件的獨立」翻「兩個隨機變數的^立」。庄這裡我們再把它整個架 構重整一次。 1 . 夂 3 二事件獨立表示

它同時也表示 (八'八卩,《8, 8。》 這兩組事件獨立一意思是說從第一組裡任選一事件,自第二組中任選一 個^件,则它們都是獨立的(計有2x2 = 4種可能情形),這一點我們在 以前就證明過。 因爲空集合^及全集合0 ,永遠都和任何事件都獨立的,因此,若八,3 獨立,則 ^ ^(^

^ , ^ ) , ^ ―小,8,8、。〉

這兩個事件獨立。意思是說,&中任取一個事件。再自&中任取一個事 件,則它們都獨立(計有4x4 = 16個情形)。 3^注意到&及是「事件八所產生成的 -域」,7 乃是「事件8所產生的 0

2

5-39


^"非81不可研究所^

(?-域」,因此,「獨立」的概念,其實是兩個(!-域之間的概念。 4若&及&爲任意兩個口-域,而(^,^,?)和(^,&,?〉是兩個只有0域不同的機率空間。如何任取人 &,86&都有 6

?[厶门8卜?[厶]乂?^] 則我們說,巧和&這兩個(!-域獨立。(在這裡雖然我們第一次提出機率 空間,但它的概念在^-^)中都中都隱藏在內的。並不能眞的省略。我 們 其 實 更 應 該 說 有 一 個 「 更 大 」 的 機 率 空 間 ( ^ ^ ! ^ ,〈所謂更大是指 巧匚^^^:^)因爲這樣才有

故八门8 6?才會對7能定義?[八0^的意義。 ^ 設 有 X 及 V 兩 個 定 義 在 ( 仏 ^ ! ^ ) 上 的 隨 機 變 數 。 而 【 乂 〈&]這一類的集 合,可以經過集合的運算等等產出一個(!-域叫做巧,同時 【7〈^這一類的集合[!)^ 11】,可以經過集合的運算等等產出一個(^-域 叫 做 & ,而 ^

2

都會成立。現在我們才有上面巧^)的架構,因此可以定義:若巧和&兩 個(!-域獨立,則相應的兩個隨機變數X及V才叫做獨立。 以上的定義是用較嚴密的邏輯建構而成,我們希望你們至少在讀完碩士 之後便眞的懂得(目前講給你們聽是難了一點)。它不需要假設X, V 是 離 散 還 是連續,有沒有密度函數,可不可以計算111^。因爲這些條件根本不是獨立 性的要件。 讓我們回到考試。若X, V 二隨機變數有一個聯合分布?^,力,則上面 這樣複雜的一套邏輯架構可以化簡成下面的簡單條件: X, V兩變數相互獨立和下列講條件等價:

5-40


1. ^ , 力 - ^ ) ^ )

3 , 【 " 力 " ^ ) 「等價」的意思是說1, 2, 3任一條件滿足,則X, V獨立,反之亦然。此處 1.的條件是「分解因子」的形式,最爲好記。我們可以從1.看出

對所有的夂都成立。「可以分解因子」這個條件,是獨立性表現在公 式裡最容易看出來的地方。同時,它也是獨立性背後所隱藏的眞正的數學意 義。 例 5 . 1 假 設 兩 離 散 隨 機 變 數 X 與 V 的 聯 合 機 率 函 數 爲 ^ & 力 ^ 1^(2^十力 ,其中X: 0,1, 2而:7 = 0, 1,2, 3 。 (!)請求解此聯合機率函數中的&値。 ② 請 求 解 ? ^ 2 1 , 丫22】以及?0 = 2,了^1】。 請分別推求X與V的邊際機率函數。 解:^我們將《(^,力的値列如表5.9 。


非^不可研究所統^學評論

表5.9」。1。1 — 。 ^ , 丫 XI〗

0

1

2

3

0

0

1^

2化

3^

6&

1

2&

3止

4&

51

14化

2

4&

51^

61;

7化

22&

61^

91^

121^

151;

42化

上表中計12個格子,它們的和爲421^ = 1 , 故 " 1 / 4 2 。 〈2〉相當於【X ^ 1. V ^ 21的部分,我們在表5.9中用粗體字表示。計六個 點。故 2

?^^1

3

21 ^ ^ ^ ^ , ^ ) ^ 1^(2 + 3 ^ 4 ^ 4 + 5 ^6^

^1户1

4一

:24 ; 7

而【X 二 2, V : 1】的機率値可以從表5.9中直接證取:

42 (力乂之邊際機率,也可自表5.9的最後一列看出:

X、

42

42

^

42

X之邊際機率,也可自表5.9的最後一行看出:

5-42


例5.2 8111)^036 11131 X & 11(1 V 31^6 00111111110118 1*311(10111 ^31*13^16 1116

301111: 9!"0631)1111^ ! (㊀ ! ! ; ^ ! 乂 ?111101;1011

^ ^(^ ^

【0【

0 ^ X 2 1 ,

训 ② 單 ) (释!:⑧ 1 1 1 6 0131:^11131 ^611311;7 0? X (^)

0 0 1 1 ^ 1 0 0 3 1 ^ 6 X 1 5 1 ^ 0【X ^ 6 1 1 V ^ 1/2 ^

解:本題都是由定義出發直接計算便好。列舉如下: (工)由1^ I 」0」0

^

1

〈2〉單)^

2

^ 2 ^ ^ 3 1 ; 解 之 後 化 。

^ ^ 」0

「 「X , 1 ^ 十 俞 ^ 」0」0

) ^

^ 1^「 」0」0

「【V # 十 乂 顺 X - " 」0」0

V

2

十 柳 乂 ^

[∼?十?乂"乂化 」0」0

1

18 7

[ ^

1^

9^

〃"(义)^攻乂 2 )―取义) 2 ^ 丄 — ^ 二 18 81 162

(^(^^

+ ^^香^

+ 丄 ) 。 ^ 1 3

』0

6

^

乂二

^

)

,

【〔X 1 / 力 " , 丄 " ~ 一

2

)

^ 十 」

0

'

、! + 一 6

5

)

1 二 ^ 十 土

2

5-43 統 ! 顺 謁


非III不可研究所^

例 5 . 3 設 X , V 二隨機變數其聯合機率密度函數爲 《X,力^ &XV, 〈0 〈乂 〈

X

1〉

試求 0)7之邊際機率密度函鹦 ^ 給 定 V : , X之條件機率密度函數 7

③ ^ 1 / 4 ^ X ^ 1 / 2 1 7 = 3/8】 0 1 / 4 〈X 〈1/211/4 〈V 〈1/2】 柳,?獨立嗎, 解:這一題要注意的是便件0 4 7^x^1,這會影響到積分的界限

1 ~ [ ! ' ^ ^ ( : 化 & 『 ^ - ( ^ ^芏 解之得1^ = 8 (!)

」0 2

」0」0

「8乂3^^4^1,

^(^)^ [ ' ^ ^ ^ ^

8

^ "(力

" " ! 4^(1 " ^ ) !-^"

)

2

|一

3| 8

丄〈X〈上 4 2

(

^ \《X

1^^3/8^ 2\

。5

0-25 !-^/^)

, 2

?^25 〈 X 《 5 1 ,25《V《5】二 9 256 : 3 ~84~~ 28 256 上式中,分子分母的爲1?雷計算如下:

(。〈^〈:!)

12 55


隨機變數

, .

2

5

^飞〈0.5〗^

1 . 》 ( 曲 ^ 讧

4

"

1

-

^

^

^

?【25〈乂《5,國25〈7《5卜广 广 一^[^ ] 5

0

」0.25

」0.25」丫

』0.25

^

2

;^》.

2 56

比鷇巧)與的計其,可知铪定乏事件為覃點時(如丫^?邝),^须用條 件計其;而給岌事件為一區閜^則烦利用定義^除^不可直接利用 條件^《。 巧)因爲X之邊際機率爲

V之邊際機率爲 ^ ( ^ ^ ^ - ^

2

) ,

(。〈^〈工)

二者之積不可能等於(^,力故爲相依。 判斷獨立方法: 若隨機變數X, V 之 聯 合 機 率 値 域 若 不 是 呈 「 矩 形 」 則 X 與 V 必 相 依 。 若隨機變數X, X之聯合機率値域若爲矩形値域(如【0 ^ ^ ^ ! ^ ^ ^ ^ ! ] ) ; ^ 至【0 ^ X

1, 3 ^ ^ 〈 刈 且 二

1^00 X

(即聯合機率可以分解成X之函

數!!(兀)與V之函數的乘積),則X與V必獨立。 例如若有 ^,乂卜6一∼

(乂,"。)

則 X 與 V 獨 立 。 像 例 5 . 3 中 , X , V 間 有 0 〈 7 〈 X 〈 1的條件,則其窗不必計 算,也知道乂,7不會獨立。

I

5-45, 統言1孥評譎


-非!8不可研究所統計學評論

0 ^ 0 ^

五.期望値與條件期望値 設有V

,如果X,

V是兩個隨機變數,那麼^當然也是。我

們若是要算倾,一般有兩個方法。第一是先設法去算^的!^『、^), 然後算一下

另一個方法是直接從"X,力入手,我們算

這兩個方法算出來的値是一樣的,但後者往往要容易些。因爲算^^^),在 函數8較爲複雜時,可能是十分麻煩的。 我們可將XV看成XV ,【(乂)): XV ,便有下面的結果: ^ ( ^ ) ^ ^

^ ) 離 散 型

^ !^!^^-^,^^連續型 從這個角度柬看,若是我們先有了?(^,力,而要我們求XV :^乂)的期 望値,我們就會有 ^ ( ^ ) ) ^

~『(乂'乂) ^

^

^

)

^

^

^

)

]

這相當於說,我們可以先將X的^(^算出來,然後針對這 樣的0(1『求期望値便好。只要8這個函數裡不含V ,這樣做就是對的。

1

5-46


同理,對任何6而言,只要它不含X在內, V

也是成立的。更深一層來看,

也應該是對的。 這些結果對於連續型的情形,也十分類似,我們就省去不講了 。 一些性質

3,若乂和乂獨立,則^^(乂)!^?)):^"^))』01(7》,但其逆不眞。 4 取 叉 | V ^ 0必爲一常數;^乂 | V ^ 力 必 爲 7 之 函 數 ; 取 乂 | 必爲 V隨機變數之函數,亦是一隨機變數。同理,2(7 | X : 0必爲一常數; ^(^ | X ^ 必爲X之函數;51(7 | X〉必爲X隨機變數之函數,亦是一 隨機變數。 上面這些性質,都有較深一層的概念,例如1.就不那麼容易做對,爲什 麼? 不妨設3 : ^ 二 I

0

: 我們來做―下 0

做這個問題,如果要考的話,它主要難處在如何明白講出何謂^(^+^)來。 回 顧 一 下 取 叉 ) 的 意 思 : 先 設 X 的 爲 ^ 0 ,則^乂) ^ | 琳 ) ^ 或 者 ^ ② 當 然 ^ V〉也不難,你只要找V的便好,但什麼是乂十V的?

I 5-47


非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ ^ 罾

你當然可以令2 = ^ + 7 , 先 求 2 的 ( 也 許 算 出 ! ! ^ ) ) , 而 你 來 做 ^

^(^)&2

,再看它算出之後是否等於冗^ + ^丫)。但這個題目中根

本沒有告訴你X, V的聯合機率密度是什麼。 因此你當然也算不出!!^)來,那就更談不到求^2〉的積分値了 ,所以 這條路是不通的。 這裡面有一個「層次」的問題:乂 + 丫是乂及^兩個隨機變所組成的函 數 , 和 一 般 的 ^ X , 丫)是一類的,我們只是用^&力二^ + 乂而已。而我們對 力的期望値定義則是用「雙重積分」的。1^, ^ ^ ^ ^ ^

| !^,^

^ , ^ ^

或 跑(又,?)]:^咖,力【(乂,力

如果要考你的這一題,基本上就是耍看你懂不懂一定要用雙重積分(或雙求和) 来計算!因此 軍 + ^

" " 力 化 , 力 崎

V\

X

^丄乂^

力^

( 乂 ) ^ 十 ( ^ ) ^

^ 取 ^ ) ^ ^(^) 這裡包括的有:(:^)自』011^

13(1^計算III&1^1131;

^雙重積分計算時的X,

互換。如果你要不被扣分,就一點也馬虎不得。這樣的題目看來不難,但其中 陷阱甚多,全考你的「基本動作」,你大學微積分若唸得稍差,就會被扣得很慘。

5-48 | 統計學評論


在以上的計算中,我們只用到了 ^ ( ^ ^

\

\

這樣的性質,並不曾用到《X,力的「因子分解」,因此根本不需要假設X及 丫是獨立的。這是非常要緊的部分,不可忘記。 這 禋 靣 的 基 本 要 ^ 是 ^ X , 丫^-乂 + 丫 :!可以兮解成兩個剁加的部兮。闾 理 ' 若 ^ X , 丫 ) ^ & ( 乂 丌 ^ ( 丫 ) !則我們也會唷 ^ ( 乂 ) 十 & (丫)) : ^ ( 乂 ) ) 十 ^

2

( ? ) )

並且,這也不營X, V 是 獨 立 還 是 不 獨 立 。 但 是 若 & ( ^ ) ^ ^ 這 種 「 不 能 兮 閉 成 兩部公」的函數,我們就沒唷簡覃的佶果,遑畤,一岌要從301111;

^從慠雙重

積兮六手。

至於2,這只是1.的推廣,利用歸納法便好。對於3,,當然要用到因子分 解。你應該可以看出來「先用雙重積分,要因子分解,做成兩個積分」這一 系列的做法。關於《則比較難。我們且用最簡單的說明來給你概念。先看 ^乂)這必然爲一個常數。自公式看,它是 ^(^) ^ | ^ ^ ^ ) ^ 其中雖看到X ,但「X被積分積掉了」因此,積完分之後,便得到一個常數。 再看2〈又IV

,我們得先求饤X | 了 " ) " ^ ) / ^ ) , 再 做 單 | V^ 卜 ] " 乂 ^ | V ^ 杜

其中。爲常数,只有X是變数,但又是被積分積掉了 。因此答案是一個常數。 但這個常數是和6的値有關的。很有可能得到^乂 | V ^ 3^ ^

| V ^ 2^的

結果,因此,若我們把0想成「任一可能的實數」時,則^乂 | V ^ ^ ) 可 想 成「0的函数」記作

I 5-49 」卜:.:


非 ^ 不 可 研 究 所 ^

若是將(:丟掉,則上式就成爲

我 們 只 能 大 體 這 樣 想 : ^ 7 = 3 ,則上式就是^3〕,若7 = 2 ,則上式就是 。但因爲我們不曾明白去規定7的値,因此便可將V看成一個存在但尙 未去眞正執行的隨機窗驗中的隨機變數。從這個角度來看&(^)是隨機變數V 的函數。當然也是隨機變數。 以上的說明雖還是有些不足。但應該足夠考碩士班的理解需求了 。 例5.4設〈X,

爲二元離敗隨機變數,其聯合分佈如表5.10所示。

X

^ \ 0 1

表5.10

—個】01『

1

2

3

1

1

1

4 1 8

6 1

6 1

6

8

(丄)分別計算X與V之邊際分配(!!^!^!!" ② 計算X的期望値冗0 , V 的 期 望 値 ^ ^ ) 和 ^ ) ^ ) ③ ^ ( ^ ^ ^ 4 ^ ^ 5^

( 勾 求 ^ I X〉

巧)求2(7 | X ^ 0^^ 2 ^ |又^乂)及2(71 X〉 ( ^ ) 顺 ? IX〉〗:? 解 : ^ X之邊際機率分布是6(1;

| 5-50 統計9評^

: 5 712〉 , V 之 過 際 機 率 如 表 5 . 1 1 。


丫的

表5.11

" 力

1

2

3

3/8

1/3

7/24

〈2〉因爲可看得出來X ~ 6(1; !)), 2乂 二 0

5/12 。而5:丫只好代公式硬做

1 1 7 9^ 5:丫 二 1 ^ 上 十 2 乂 土 十 3 乂 丄 二 ^

8 〈3〉^(^):

3

24

12

10/12也是套公式硬做出來的。 167 郎 乂 十 4 丫 一 5〉 二 3 2 乂 十 4 2 丫 ― 5 二 12

但就比較容易了。 030要求的是條件機率分布,直接代入計算可得,在乂^0時: " 丄 " 〉

X 二0〉 7

7 7

而 在 X : 1時: X ^!)

1 丄 丄 ,^:1, 2, 3〉 10 10!10

13

1

巧)因此

X :。)

X :1〉 7 13

合併得

X

二乂)

―,

^ II X ^

^ 0

7 2 , 1 ^ =1

做到這裡,其實已等於做完。但這樣的答案對某些學校恐尙不是標準 答案。有些人心中總是覺得應該得到一個單一的公式,但這也不難。 因爲X只取0及1兩値,故任何《00都是一直線。因此你只要在 ^,力平面上取經過〈0,

和卩,巧這兩點的直便好,它是

77 ^ 13十"這可以用「兩點式」導出,我們就不做給你看了 0 因 此


—非通不可研究所統計學評論

取丫 | ^ ) ^ — ^ ~ ^ ^ ^ 0 1 7 7 ;

是比較「看起來像標準答案」的答案。 巧)這是下面一例中的特例。但我們先就已求得的公式來算一下: 二 〈13十(^!!^))!! ^ 23/12 ^ 2^ 例5.5試證8(53(7 I X》二 2丫;華〈X I ?)) : ^ 證 明 】 設 X , V之聯合機率爲(^,力,且X, V 之 遴 際 機 率 分 別 爲 & 0 0 , 『V ( 力 。 V | 叉 " 之 條 件 機 率 爲 ^ I X 〉 。 令 偶 : 坝 ? | X〕,則 顾 ? | X》^ ^(乂))

^ 艺 ^ ) ^ )

二 ^ ; 朗 乂 : ^ ② 1

1

2:

^

IX〉

'乂) (交換X, 7的積分次序)

二!]3^(30 = 200

以上爲離散的悄形。連^的情形改用積分符號即可,證明方法一樣 交 換 X 及 V ,即得本题另一半的證明。

I 5-52


隨機變數

六.條件變異數 定義:設〔X,

有一個聯合分布,在已知乂-:;的條件下,((^ I

便也是一

個分布(針對變數V而言,先把X看成已知而固定)。既是分布便可求平均値 或者變異數而所得到的便是「已知X : X時,V的條件平均値和條件變異數」。 下面的公式,只是說明這件事。 ^"(了

I乂

^ 乂 ) ^ ^ ^

^? I 乂 ^ ^ )

二2【7 | 乂 ^ " —

2

! 乂二幻

|

2

X ^ ^])

2

當然X, V 角 色 可 以 互 換 , 而 得 到 乂 ^ ^ | V :力的類似定義。 (一)條件變異數的一些性質 乂31'①^ ^1,(2(丫 |

X

^

X

這個性質非常重要,其實它是後面將要講到的^0乂八的基礎,而數學 上,則相當於畢氏定理,而用統計的話說出來而已。我們已知道

2(3(7 | X》^

^

^."

證明可完全利用這一條結果。要注意到上面的式子是對所有的隨機變數 X及V都成立的。設^乂) ^ ^ 丫 I 乂),貝II 乂 3 1 - 附 | X〉】^ ^(^))

^ ^ ③ 卜 陶 乂 ) ) ]

2

^

因此 ^(丫):^ )-^) 2

2

:耶(丫 ! 乂 ) 卜 附 ) 2

2

^

上面我們用到〈5^不同的是用V 代替V而已,V既是隨機變数,則V 2

2

也是。所以我們可以在^."中用V 代替丫。但 2

2(^1 X〉: 乂3"(丫 1 ^ ) ^ ^ ^ | X 》 ^

(^.!)

2

這個式子之所以對,其實全然是「變異數」的性質一凡是變異數(包括 條件變異数)都有這樣的性質,因此巧.?)成立。將^.^代入^6〉,得 | 5-53 | ^ 了 驟 誇


非讀不可研究所統^"學評論

~

| 50:1十顺V | X 〉 " - ( ^ )

^ ( 丫 ) :^ ^ ( ?

2

取 ^ 乂 ) ^ ^ 丫 | X〕,則 ^

[

^

^

-

^

^

^

)

但用^.",我們又有

因此中右側最後兩項之差,恰巧等於

我們完全不用看到一個直角三角形,也證明了一個畢氏定理。 (二)若X和丫獨立,則 1. ^(乂 | X、 ^ 1. ^^(^

51(7 | X〉 ^ :5了

| V〉 ^ 乂一乂), 〃"(丫 | X〉 ^

丫)

七.共變數(。(^「^门③) 設 有 兩 隨 機 變 數 X 與 V ,設5^ ^ 、 , 5 ^ : ^

,則其共變數爲

丫 卜 聯 卞 ) ^ - ^ ) ] 共變數的性質 。(^(乂, ^ + ^ ) ^

丫) , &爲常數。

(^(乂, & ^ (^(乂, 丫)

(^^(乂,

^ ^ ( ^ , X〉(交換律)

^ 二0 | 5-54 統I卞學I?諾

^


隨機麵

上面的性質除最後一條之外均可直接自「期望値」的性質證得,證明並 不困難。至於最後一條則要靠有名的3(^^31:2不等式求得。 八 . 共 變 數 矩 陣 ( ⑦ 醫 ! 露 6 福 ⑧ 共變數是在兩個隨機變數之間的定義的,若有II個隨機變數 乂^乂^…,乂^不一定要&力,則我們可定義任何兩個X, 8之間的共變數: ( ^ ( 乂 ' , ^ ) , 1 = 1,

2,…,!1^ =

1, 2 , … , I I

而將這II 數存入一個!1 X !1的矩陣這通常叫做共變數矩陣因此在1 二』時 2

。(^(乂;, 乂 ) ) ^ 。(^(乂;, 乂卩^^乂^卩—取乂卩^乂;) 叫 )

2

^"(乂,)

所以該矩陣對角線提供各變項之變異数,非對角線提供共變數一般常見於統 計報表中

181

例 5 . 6 下 列 X , 丫, 2三個變項之共變數矩陣: X X

V 2

、 一

1

V

2

0

-2、

0

1

3

2

3

9^

卩 ) 乂 3 1 ^ - 7 + 22〉

(力何者獨立?何者不獨立? 解:①直接展開,得

1

8

1

有 些 書 記 作 化 , ^ ^ ^ ^ ^

,而、^乂3!"(乂,)。此時^^((^)。.。就是這II個隨

機 變 數 的 共 變 數 矩 陣 。

5-55


^一非〖8不可研究所統^"學評論

二 ^"(乂) ^ ^(^)十^^(^)

― 200^

十^(^^(乂, 22〉

- 2 ( ^ ( 7 , 22〉 二 1 十 1 十 4 乂 9 - 2 乂 0 十 4 乂 〈一2〉 一 4 X 3

^18 ②因爲。(^(乂,

^ 0, 0 ( ^ ( 7 , 2 ) ^ 0 , 故 知 X 和 2 不 獨 立 且 V 和 2 不

獨立;至於X, V 之 間 , 雖 然 0 0 ^ ^ 丫) : 0 ,但不能確定獨立。 若X, V獨立,則。(^(乂, 丫〉 : 0 ,但反過來並不一定會成立。

九.相關係數 定義:相關係數(。。!^^化!!

006^1016^(;)

設有兩隨機變數乂與7,則稱 (^(乂, 丫)

爲乂與丫之相關係數^。 相關係數性質 1 . 當 X , V 獨 立 時 , 則 ^ 0 ,但其逆不眞。 2, | ∼ 卜 1 【證明】 1.第一部分是因爲。(^(乂, 丫〉:0 ,關於第二部分的不等式,可由

1 9 1

我 們 當 然 需 要 假 設 〈 ① , 冗 丫 2 《 ① , 否 則 口 是 定 義 不 出 來 的


⑤@⑩隨機變數

^

V 、 ^ 十 一

0《V

二1十1十20^

1 工

二 2+ 2。巧解出^?》̶

∼^∼' 由

0 ;\

^

1 ∼

1

一工

二 2 - 2 ∼ 解 出 、 1

^式

^

合併得到…卜1 。 1

^ , , ^0

爲常數)

3 - 闪 。 . " 、 々

例5.7

!^力X! 311(1 乂 1 1 ^ 6 1116 ^01111; 131*01)3^111^ ^ 6 1 1 5 1 ^ ^1111011011 2

^6801-1136^ 111 丁3616 5 . 1 2 , 1^111(1 ^ 6 001^613^1011 006^1016111: 0^^! & 11(1 乂 一 2

表5.12 X 」 仏、

—個)0^|^【

(。山

1/12

2/12

(!,!)

(!^)

0

3/12

4/12

1/12

1/12

解:我們重新將^, 乂 的』01^ ^做出表^ 2

13 。並同時計算兩個11131^11&18

表5.13重組後的】01巾^7 0

1

2

1*0^ 811111

0

1/12

2/12

1/12

4/12

1

0

3/12

4/12

7/12

2

0

0

1/12

1/12

0011111111 311111

1/12

5/12

6/12

1

10x3 + 1 x 7 + 2 x 1 1 1

12

12

5-57 ^計學評篛


非 报 不 可 研 究 所 " ^

^

^ 丄 【 0 x 1 + 1x5十2x6】二 ^ 12 12

9 2

二丄【0x3 + 1 x 7 + 4 x 1 】 』 12 12

^ 1

2X5 二上【0x1 + 1 x 5 + 4 x 6 】 ^ 12 12 2

^1

144 144

2

1

^ ^ , ) 1

2

15

^ — [ ! X 2 x 3 + 1 x 2 x 4 ^ 2 x 2 ^ !] 12

12

97

最後,我們有 27 山

^

;

~ /^^^^

)

1 ^ ^ 0.4922 51 ^ 59 V 144^144

I

故X:與之相關係數爲0.4922 。 以上是傳統的做法。但是若先給了你像表5.14那樣的「一字排開」的 資訊,你其實根本用不著先將它整理成一個二維的!)"表(衷5.14〉。你可 以直接在表5.14上做計算。

| 5-58 | 統計孥評譎


表5.14從一字排開的101"口(^算5^的方法 (。,0〉 (。,!)

〈0, 2〉 (!, !)

1/12

2/12

1/12

3/12

4/12

1/12

0

0

0

1

1

2

0

0

0

3/12

4/12

2/12

(!, 2〉 〈2, 2〉

表5.14是我們將表5.12多加上幾列之後的結果。在第三列,我們加上 乂^的値〈只要從第一列抄下來,丟掉^ 便是,這當然有重覆,但別管它,重 2

覆的就重覆抄)。 第四列則爲^^^^,^)的値。這有六個値,將它們加起來就得到 。 這 樣 計 算 的 道 理 , 是 將 ^ 想 成 " 乂 ^ X》:乂^這個二元函數,然後 直接套入取^乂^ \ 》的公式。因此 2

^1 ^2

\\

X?

X,

乂 2

5-59


^一非^不可研究所

統計學評論

5.6變數變換 若已知隨機變数X之!)^爲((幻,則?二^乂)亦爲一隨機變數,因此丫 也應有一個!)",利用X之^【及函數^0

,找出了之^(力,稱之(一

(固變數到另一個變數的)變'數變換(忱311""!!!"化!!)。

這一節純爲技術面的問題,我們分幾個層次来說。 若 X 爲 離 散 , 則 V 二 ^乂)的分布可用列表代入便好。你將所有可能的X 値及其機率《以^列出,再回時計算相對應的V値。合併相同的,値〈機率則 相加)這就對了 。 若X爲連續,則方法雖有不同,道理其實只有一個:利用「反解」。例 如求丫:乂 之!)^時可用 2

? 【 丫 ^ ^ ^ ? ^

? [ - ^ 〈 X 〈 二 ^ 乂 ( ^ ) ― ^ ( " ^ )

2

而先得到X的(;化,對7微分,則得

上面所得的3

=

1/(27^

,是根攄微分之中的「^^11 1^16」而得到的。

它之所以會被產出來,基本原因是^不是線性方程式。 如果用所謂的0^—1)^11 , 則 ] ^ / ( ^ ^ ^ ) 正 好 是 3 ^ 0 1 ) 1 3 1 1 ,它們的道理

全都是一樣的!

| 5-60 |


隨機變數

我傾向希望你(:"反解的方法去做

11(51

。因爲你比較不會錯,而且這樣做

觀念上十分明白。 【X

2

^ 乂 ] 和 [ - ^ 乂 ^ ]

是同一件事的不同說法而已,因此有相同的機率,至於其它的部分只是機械 性的操作而已,問題就少了 。 比較難的問題是高維的問題。例如若其連合?)"爲5(4力而要求 I I 二 3乂十4了

的』0^1 9&。這基本上都是反解法,但二度空間的反解就比較難了 。這時就 全看你微積分的功力了 。 理綸上你得學3^01)1&11 ^ 法 ( 它 可 " 看 成 : !

111 1-1116的推廣和應用)。

但我們覺得一個鲅難的包括^0^13^11的^目很難被老。並且,真的學會它,得 靠你二维"上^積公的功力。所"我們倾向於不智力敖遠個法子。但例6.7可"

铪你一^感覺。

一.計算方法 並沒有一般的、一定可行的方法。只要"力這《固函數夠複雜,反解也就 一定也難。下面的招式,卻是常用的。我們用例子來說明。 1.

^21001)1811方法

"『方法 3^化^法 1 1 0 1

至 少 對 一 維 到 一 维 的 問 題 而 言 , 這 比 較 容 易 。

I

5-61~1 統計學評譎


4一菲^不可研究所統計學評論

例6,1

( 離 散 型 ) 若 X 的 ^ 是 《 X 〉 : 0.2, X ^ - 2 , - 1 , 0, 1, 2 〈離散均分配),

令了 ^ 乂 + 1 ,試求丫之口^ ^ ( ^ ) 。 2

解:直接代入列表,我們得表5.15。 表5.15列表法求內7 X

7 ^ + 1

- 2

-1

0

1

2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

5

2

1

2

5

看表5.15的最後一列,可知V的可能値爲1, 2, 5 。合併一下,得 ^

(丄)^

0.2, ^ ② ^ 0.4, ^ (^) ^ 0.4

這就是答案。 例6.2已知隨機變數X, 丫 之 聯 合 化 口 & , 力 爲 ^ 一 + ? ) ; " ^ , ; ?

"-1,0。試回答下列問題: 〈1)1^之値? ② 若 V ^ 3义十5?,則\^之機率分配爲何? ③ 若 2 : ― 乂 , V〉,則2之期望値爲何? 解 : ① ! ^ ! - ^ ^ - ! ^ 2 十 ? ) : 31故需取1^ = 1/31 。 ② 我 們 利 用 表 5 . 1 6 。所以,^之機率分配,即如該表第一列和第三列 所示。因^沒有相同的値,故不能再進一步合併,而這就是XV和口&。

5-62 | 統計學評論


表5.16求^和2的分布

( ^ )

2/31

1/31

5/31

4/31

(!,"!)

(!^)

(^,"!)

仏0〉

10/31 1〉

9/31 〔3, 0

XV 二 3 乂 十 5 ^

2

3

1

6

4

9

2 ^ !!!丄!^,力

1

0

-1

0

一1

0

^3)2之機率分配,即如該表第一列和第四列所示。再就2 ^ 0 ^ 1 2 ^ - 1 這兩項做進一步合併,得到 17 14 31 31 而這就是2的9^。或者:-2∼!?&!^丌^!),見第六章。 17

14

31

31

故 1^7 ^ IV ^ 14 2 2 : — I X ― 十 0 乂 一 ^

31

17

3 1 31

這兩例的方法,可算爲「窮舉法」。在問題不大的時候窮舉法無往不 利,但X, V的可能値若極多則你就需要找出規則以求有效率的窮舉。

3 1 1 卯 0 8 6 X 311(1 V 31*6 10^61)611^6111;『311(10111 乂 3 1 ^ 3 1 3 1 6 3 \^11;11【116

例6.5

?0110\^1115 1)1-01)31)111^ ^11II0^10118: ?〈X : X 〉 : X 7 6, X : 1, 2, 3 311(1 ?

^

^

^

^

^

+

, 7 二 ― 1 , 2, 3 ^

^ ) / ^ 118111^

^1811*11311110113 0 ^

1116 11101116111 861161: 311110

^11110^1011

七0 ^111(1 1116

(乂―?).

解:X之①-爲 " " ^ 丄 ^

1

+26

2 1

4-36

3 1

^

5-63


- 非 〗 9 不 可 研 究 所 ^ ! ^ 5 1 ^ ^ ^

V之111^爲

10

令^^乂-丫

,則\^之111^爲

二丄【6 十26 1

2 1

6

^56^

十236

十3浐】X丄^十46-

+6

0

2 1

10

十56~

3 1

1

+

2 1

60 由於瓜^具有唯一性,故^ :

乂-V之,可由比較係數而來,我們

列在表5.16裡。 你做完之後,有沒有甚麼直觀的想法? 例6.4

X之口 (^爲『 ( ) = 1 ' ( 0 ^ x ^ 1 ) , 令 ? 二 乂 2 ,試求?之!) x

X

解: 表5.17 ^

^ X ~ ^

60^

(∼)

^-乂-丫的機率分布

- 2

1

0

1

2

3

4

14

23

12

1

2

3

5

(工)&00131311法,由於0 〈 X 〈 1, V ^ X 爲 1 - 1 函 數 , 可 解 出 , X 二十. 2

所以 7

^

化 ^

^―

最後,丫之!)&爲:

| 5-64 ^ 酵 ^

^

1

^

八、 0〉

(乂〉


隨機變數

2^ (^)"?法 ^

(乂) ^ ?

^

\ ^ ^

^

上式對^微分得 犯丫 (力

( ( ^ ^ )

^

2^

不論何法答案都一樣。但「反解」讓你知道你在做甚麼事,同時, V ^X , X6 11明白地表示出X不可爲負,故反解時只取正根,這 2

也是非常易愤的。 例6.5設?∼^^),:!),令\^^2 ,試求^之機率分布? 解:我們先用3^01)131!法。由於2 6 II, ^ ^ 這 個 轉 換 , 並 不 是 一 個 1 - 1 2

2

2

函數,不能直接使用3^^1311法,必須分段處理,使其在各段中爲1-1

因 此 將 2 的 可 能 範 圆 分 成 二 段 : ① - 0 0 ^ 2 5 0, 〈 2 ) 0 ^ 2 ^ 0 0 。分別討 論如下: (工)對於-00^2^0而言,我們從∼:2 可反解出 2

因此

3 ^ ^ ^ ― 1 / ( 2 ^ ) ^ 0 ,而我們有

八、'〗(^) ^

^(^)

I 』 I

27^

1 6

^

X

∼ ^ )

② 對 於 0 ^ 2 ^ 0 0 而 言 , 我 們 從 可 反 解 出 2 = 7^

因此

1 / ( 2 ^ ) ^ 0 ,而我們有

1 5-65 ! 3 灣 ^


非^不可研究所

厂 I

I

-丄(^)2

1

抓 6 ^ 丌

X

2^ 〉

0〕

2^

由於^及(^)之^値域皆一樣,故V之93(可合併爲 (^)

^ 、

(^)十【化(^) ^

6

2

〉 0〉

42

此题你若是(^?的反解方法,則做法上明白得多了 。見本節前面的一例 丫二乂 的說明 2

例 6 . 6 若 X ∼ ^ ② : 1 , X 6 【 0 , !]; V ~

(力:1,76【0, 1】且乂和了獨立,

令!;^乂 + 丫 ,求II之1)0^?

因X, V 獨 立 , ^ ^ ^ (^) ^ ^ (^) ^ 1. (^) ^ [^, !] X ^0^ !]。故上式 等於是要求集合(^,力I ,在單位平方【0,1^【0,1】之中的面積 (是圖5.18巾之斜線部分〉。

5 ^ 統計學評譎


圖5.5(3〉是0^11^1的情形,斜線面積是一 72 ;圖5.5(1^是 的情形,而斜線面積是 2

—丄" - 1 ^1 ^ 11 ^ 2^ 2

一丄邙―11)2 2 1人1此

1【11〈0 ―II

1 ? I I 5 11 3

-

2 - 1 + 211--11 2

2

1

1『1^11^2 1 『 0 20

上式對II微分得I;的?)^爲 11

15 0 ^ 1 1 ^ 1

(口(!!)— 2 - 1 1 ^ !!" 1 ^ 1 1 ^ 2 0

01^61^136

例 6 . 7 如 果 乂 ^ 和 乂 的 聯 合 機 率 密 度 函 數 0 0 1 1 1 1 : ^01^1)1111^ ^611811:7 2

(厲―設定爲以下的形式: 《

X

^

(乂! ^^)

4x^2 ^ 0

&【0, 1 卜 【 0 , 11

011161^186

請 決 定 ^ ^ 乂 , / 、 , ^ ^ ^乂^ 的聯合密度函數。 2

解:我們要利用3^01)1311 11161:1103 。先自 ^1

反解^^及^^得

^ 2

、 乂 2


—非〖8不可研究所統計學評論

計算(!^。!^?!!!,得

5X2

2 ^

2^

~^~2

1

2

2^

9^2

而 ^ , ?之;[。!^ 口(^養 2

乂1

(^^^^ ^ 1 , 0 ^ ^ ^ ^ ^ 2 ^ 2 〈乂 1〉 乂1

有了 V,, 了 的』 1^

之後,?)^當可由積去多餘的變數而

0

2

得: 若 0 ^

〈1 ^

2^

町2 1 1 " 々 。 《 一, ^

若1 〈 ^

〈①,貝0 ^

)

:

^ 、 』

以上是"^的11^1^131

0

^

VI

3^1

。同時7 的1113^1^1 2

亦可求出:

2乂: ^ 1

5-68 1

統計學調

二一4乂 1〇《乂2 2

〔0 〈乂 2

^ ! )


@@@隨機變數

本 ^ 较 難 。 主 要 的 難 是 其 ( 乂 ^ 八 ^ ) 年 面 上 的 【 0 , 1】乂【0,

個正^形,轉換

到(^,:^)年面上畤 應玆是甚麿豳形?功力略遲,就慠不出来。我們將 它堇在图5.6裡。

|

5-69

统計學評論


― 非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ " 罾 , ,

^精選練習,^

1 . ? 0 1 & 00111:111110113 1*311(10111 V31-131)16 X, ^ 6 ^)!:。!)&61111:乂 ^6113117 ^1101:1011 《 X 〉 1*6 ^ 6 8 6 1 1 1 3 (^) 1116 1161^111; 0^ 1116 ^11110^1011 &1; X ⑨ 1 1 1 6 5)1-013&1)111^7 & 七 3 ^ 6 1 1 ^ 1 1 1 6 0 ? X 1^16 3 1 6 3 1 1 1 1 ( 1 6 1 : 0 1 1 ^ 6

&I; X

((^) 110116 0 ^ 仏 6 ^1)0^6 3 0 8 1 ^ 6 1 : 18 ( ^ ' ! ^ 匸 1. \^111011 0 ^ 1116 & 1 1 0 ^ 1 1 1 ^ 15 1101; 3 1:311(10111 ^31:1&1)16?

(&)

X I I 6 11111111)61: 0 ^ 0 6 111 3 11&11(1 0 『 1 3 0 ^ ( 1 3

(!]'&^11 & 0 1 3 1 & ^60^; 0 亡 5 2

0&!"^. (!)) 1 ^ 6 II&11168 0 ^ 5 5360^16

0111 & 0 1 3 3 8 0 ^ 3 0 81;1;^6111;3 1

丁 116 1;11116 11: 1 3 ^ 6 8 3 061^3111 乂01口1116 0〖3 1311(101111^ 01103611 11^111(1 1 0

(^) 丁 116

3111011111 0『11101167

3 01160^111^ 300011111

3 1 ^ 1 6 611(1 0? 3

1-^11(1011117 01105611 300011111111^ 0 6 1 厶 0 ( 1 (^)

0『^116111 316『311(10111 ^&!^&!)^.

3^ I I I X&1)16 5.18, ^111(1 1;116 111188111^ ^^11168 111 1116

&110^1115

^1311-11)1111011 ^ 1 1 1 1 3 1X16311 0『24.87^ (^)

乂,, 二 131,1)3 乂

4

63, 口

3

( ! ) ^

^ ^36

二131'口 二

63,

3

13 ^ ^829 3

(^) 1^0116 0^ 1116 &1)0^6 ^ 4八1^110\^11 131-0)3&15111^ ^ 6 1 1 3 1 ^ ?110011011 18 ^ ^ 6 1 1 & 8 : 制 ^ 口 一 乂 )

5-70 統計學評譎

X& !]

二.36

1^0^)313:1111:7


表5.18

^11^1 1711551119 ^311165

^

-1

6

30

乂4

.313

.15

?3

.19

X

\^1161~6 0 18 & 001181&111 311(1 X 13 & 1-^0(10111 ^ ^ ! ^ . (&) 0

?111^ 1^6 &110\^111^:

( ^ ) 1^X5)601:6^ ^ 1 ^ 1 6 ^1

( ! : ) ^ ! ^ ! ^

0

((!) ^ 6 ^ 1 3 1 1 71

2

①?^0,2〗

1\10

購 。 ^

⑨ ? ^ - 2 ^ X ^ + 20】 5,

13111:11 ^116110111611011 0【1116 1 0 3 1 - 0 6 ( 1 ^ 0 0 1 6 1 1 〔0^61: 1;116 3 ^ 6 0 ^ 45〉【0尸 1

3 3^601^10 ^181;!'101; 18 ^ 6 1 1 111

8「1化|3^161101716^011 0【17131'!'16^ \^00160

表5.19

01111(1!"611 1111 !^^^!'

0

?!'01)3.11111^

0.16

八!^^^' 0 ^ 6111^

1

2

0.17 0.24

3

4

0.16 0.10

5

6

0.00 0.17

1116 & 1 1 0 ^ 1 1 1 2 :

(^) ^116 3 ^ 6 1 * 3 ^ 6 1116(11311

5.19.

01111011-611 1111111 !^^!"【01: 6 3 0 1 1 ^ 0 1 1 1 3 1 1 ? ( ^ ^ ^ 1116311

^,

^ 3 1 1 ^ 1110(16 1\^0 1 0 6 X ^ 1 3 1 1 1 乂 0 1 1 『 3 1 1 8 ^ 6 力

(!?) 0 0 6 ^ 1 0 1 6 1 1 1 ; 0尸^31*131:1011? 1116

111031; 00111111011

0111111^611

11110^1361: & ! ' 63011.

^11)11^?

^1-01)31311117 0? ^1&【311111 乂 ^1111 ^1 1635^; 2 01111(1!"611?

6^有隨機變數X,其爲 制 ^

^

乂 〉 0〉

卩", (^)試導出其動差母函數011011161^ ^61161^1:111^ ?!!^^!!)。

(^)用(句的結果,求出其X的變與数。

I 5-71

|


非^不可研究所統計學評諭

1.

01: 3 1 1 7 00111;111110118 1-311110111 ^ 1 * 1 & 6 1 6 ②丄^

1*311(10111

^31^31)16,

1116 91:0133131111^

10^.63 011 6 X 3 0 1 1 7 3 3 ^ 6 0 1 6 0 乂

03)0.5

1^16

18

1 ) 6 ^ 6 6 1 1 0 1:0 1

8^ 1116 0110111131;1^6 (!!31113111^011 ^1111011011 0 ?

^6)0

1^11(10111 ^31:131)16 X 13

^ 6 1 1 ? ( 乂 ) 33

0

X 〈

^2/3

0

1 ^ 〈 2

-11/12

2 3x^3

二1

X ;乂

9^ I I I 3 5 1 1 1 ^ 7 0? 1116 ^11111115 0 ? 1^611^61 了, 11131^61:111^ 1七3631^1161: 6 8 ^ 1 ) 1 1 8 1 1 1116 10110\^111^ ^ 1 * 0 1 ) 3 1 ) 1 1 1 ^ ^181:1*11)1111011

0《乂 111 1^1)16 5 . 2 0 , 1116 1;1111111^ 0『

^611^6!'^, 011 1;116 1)3813 0? 1 - 6 1 3 ^ 6 ^6(3116110163 111 6116 1*606111; 1 ) 3 8 1

表5.20

711111119 0『06^617 1

?!'01)^1)111^

2

0.6

3 0.2

4

0.1 0.1

(^) 0 3 1 0 1 1 1 ^ 6 卿 ; ( ^ ) 0 3 1 - 6 ^ 1 1 1 1 ^ 111161"!)!"61;丑00 111 1)61*1118 0〖81;&11811031 1116311111^

1

(^) 0 3 1 - 6 I I 1 1 ^ 1111:61-1)1-61 ^(乂) 1 0 161'!115 0? III3113^6!'1^1 1116&11111 10. I I I 3 1 3 1 ^ 6 1 ^ 6 ^ 1^11^1311(1 12011606, 1?161:6 31:6 2 0 0 1 & 8 8 6 8 0 ^ 11111^0^1^01;01:^ 31:31;161103

\^11:11 3181141)111^011 0 ^ 0 1 3 3 8 3 1 2 6 3 1 1 0 ^ 1 1 1 0 !^^!^ 5 . 2 1 . 1

表5.21

01511'!131)110[! 0于01355 5 ( 2 6

8126 11613^6 1^1-6131161107

5-72 | 琉計^評譎

10

20

90

^50

,30

^20


7 1 1 6 8111(^6111; 116\\^口3口61: 1-6^)01:1:6^ ^13.1 1116 3 乂 6 『 3 ^ 6 8^^1:151;103 3111116111; ^06(1

3

01335

8 1 2 6 " 。 ^ ! 50"- ^131:1116(1, 1116 0 6 3 1 1 3 8 ^ 6 ( 1

^16

1

20

^1*0!'68801:8 1 0 031011131:6 1^61『3^61*3^6 0 1 3 8 8 &12&, 311(1 1:1167 1 * 6 ? ^ ! " ^ ^ , "!!!!^!' 3 0 " - ^ 1 1 0 18 1,6111115七卜6 8^601603117 (&)

5

11'!1七11? 0 『 3 1 * 6

1;1161:6 ^ 0 1【111;115?

03101113^6:

&1; 0 1 3 3 3 3 1 2 6 ^ 0 6 8 ^ 1 6 3 乂 6 1 ' & ^ ^1:0^68801: 1 1 ^ 6 ?

⑨ 0 1 3 5 5

\^661^17

11.7116

8 1 2 6 ^ 0 6 5 1116 3 乂 6 1 ^ 6 3111^6111 1 1 ̶ 6 ?

10003

^ 6 1 1 1 3 1 1 ^ 1*01 01*01)3116 ^ 3 8

0^

^化!^)

&0111 &

0&!^1(^11131^ ^ 3 0 1 1 1 ^ 丄 3 3 I V X ^ 1 1 1 1

( ^ ) 001111)111:6 1116 0 ^ 0 ^ (^)) 0131;3111 311 6 ^ ^ ^ 6 8 8 1 0 1 1 ^01

001111)111:6翠)&11^

100^1-1:11 1361^6111116,

18

1116

乂3!" ( ^ )

( ( ! ) I ? 1.5 ^ 0 1 1 3 3 1 1 ( 1 ^3110118 18 111 81;00^; 3 1 ^ 6 1)6^111111115〇『^6 ^ 6 6 ^ 3 1 1 ^ 110 116\^ 3111)^17 13 ^116 I I I

1116 \ ^ 6 6 ^ , 110\^ 11111011 0『^\\6 1.5

1110118311^ ^3110113 18 6X^)601:6(1 1 0 1)6 1 6 ^ 3 ^ 1116 611(1 0 ^ 1116 \ ^ 8 6 ^ ?

∼ 4

1-311^0111

& 1 ) 1 6 的 ^ 寫 》 相 信 大 多 數 砉 生 可 " 猜 到1 但 ( ! ) ) 中 要 求 ^

的蚪又是甚麼卻沒唷説。一般你當然會猜^!-^乂)但那為甚麼在(力中還娄 你計其800呢?邐到11樣的老14』你是需要智^的。 12. X 1011 1)0(1^6 乂㊀!!^^^.

01131-563

81.00

&!" ^ 3 3 8 6 1 1 3 6 ! ' 0 3 X 8

8115)^056 \\12^ ^111*1115 33乂七1:116

311(1 ^2.50 6 ) 1 。1^61

11011!"3, 6 0 ^ 0

0【^11

15388611^61: 0&1:3^ 1 ^ 2 5 ^61110168 01*088 ^ 1 6 1 3 0 ( 1 ^ 6 ^ 1 1 0 1 1 ^ 3 ^&^111116

961-10(1,∼11&七13

1^16 1:651111:111^ 6 X ^ 6 0 1 : 6 ( 1

1011

^61110168 31*6 口 ! ^ ! ^ !

1*6^611116?

13.根攄統計某地區每天每10萬部汽車平均車禍死亡件數是50件,而重傷 件數是150件,輕傷件數是500件,若保險公司死亡每件賠100萬,重

1


非^不可研究所統^"學評論

傷賠50萬,輕傷賠5萬,試問投保者每年至少要交多少保險費,保險公 司才能達到平衡? 七11116 176(51111:6(1 10

14.

001111:16\

^00(1-1)^0^3^111^

&IV 311 3111011131:10 1 0 3 ^ 1 1 1 ^ 0^61"&11011 0 ^ 3

!11111111;6^ 8^11(1163 1 1 ^ 6 3 1 1 0 ^ 1 1 11131:

III&0111116

111 3

^1:00688

13 X

1)170(11101:1011

X 18 3 1101111&1 3131;!" 11)111:10II

1116&II 120 1X1111.11*68 311(1 31&11(1&1*1^ 1^6^131:1011 4 111111111;68 1^ 1:116 ^ 1 - 0 0 6 8 8 1

18 ^ 0 \ ^ 1 1 & ! " 0101:6 111&II 125 111111 !!^^, &11 6(11^1^1116111: 011181 1)6 。163116(1, ^1111七?16 1 0 3 3 0 ^ &11 。1:0(^11(^3 111 |31:0068孓丁116 1 0 ^ 1 0 0 8 ^ 0〖1)1-0(1110^ 1 0 3 8 311(1 016311111^ 3 3 3 0 0 1 & ^ 1 ^ 1 1 ^116 1 0 1 1 ^ ^0^11-1:11116 18 (^) ? 1 6 3 8 6

0『11118

^6^61*1111116^101)31)111^

810000.

0(^111:1:61106, &11(1 ^ 6

6 X ^ ) 6 0 1 : 6 ^ 003^ (^) 811^1)086七116 1 1 1 & I I 6 1 X 1 6 1 1 1 ; 0311 1-6(11106 4116 1X16&II七1106 0 ^ 1:116 3 6 ^ 1 0 6 七丄!116 ^151;^113\11;1011

1:0 1 1 5 11111111^68 ^

96!"50111161 , ^ 1 6 & 5 6 8 ^ 6 0 1 ^ 7 &4(1

&^111^

11131; 1七18 \^0^ 111^11116 10

0011^11:1011 0 1 : 6 ^ 333111116

1 0 1116 11131111:61131106

11101:6 I I I & 1 1 1 ^ 6 I I & 1106

( : ! ^ 1116

&6^1161107

0?

1 3 ^ 6 ^ 0 \ ^ 1 1 8 1:611131118 1111011311^6^^ 15. 1(61; X 1?6 3 1-311(10111 ^31*131316

4;116 01&1111

1 0 ^6801 1156 1

86V61^1(:^ VI七11

1)1*0^&1)111*7 ^ 6 1 1 8 1 1 7 ^ 1 1 0 ^ 1 0 1 1 (^(!!)

(^) 0063 X X 6X11;? (!)) 1,61; 0 ^ 0 1)6 ?!^!^, 311(1 161; 113 11*1111(231:6 X 31; 0 1)7 ^01:111^ X。 ^ X

15 | X 1^0

^ 0

011161^186

?111(1 011**116 1X^0^ X 、 2 ^ 311(1 ^

0

)

2

.

16.某營造商競標公共工程頗有心得,他以爲若某一工程成本爲0爲,則最 低標可視爲一隨機變數X爲11111【 ,111 ^13^11)131:1011 ,其機率分配函數爲 01

;5-74 琉計學評識


0

2

0

如果他想使預期利潤極大化,在最低標得標的情況下,他應該如何競標? (!^!!!::通常對0加成,應加成多少?〉 17.〈是非題〉1? X 311(5 V 準^1;]^

31*6

1\^0 1-311(10111 ^ 3 0 3 ^ 1 6 3 811011

X

2

丫,

^611

^ 1;] ?0『31^

18.假設X與V均爲連續之隨機變數,其聯合機率分配函數爲 《X,力二1^十力辽05x^1,0^^2 二0

0^1161^186

…請問1^二 ? (!^乂與丫是否相互獨立? (^) X之邊際密度二 ? ( ^ 當 V 二 1/2時,X之條件密度爲何? ^112^^ ?

(^) ^(^/^

19. 丁 116 & 111011111 0〖1^61^066116 (煤油\ 111 1110113311(18 0 『 ( 公 升 〉 , 1 1 1 3 1;31115: 31; 1116 1)6^111111115 0^3117 ^7 18 3 !"311(10111 301011111 V &001 \^ 111011 3 ^ 3 1 ; & ^ . 8111313036 1:1131; 1;311^ 13 1101;

1*311(10111 301011111: X 18 801(1

^6311^ 1)116(1 ^111*111^ 1\\6 ^ 50 1.1131: X 13 1633 111311 07 6(511^1 10 V, 311(1 3851^1116

^31; 1116

^01111; ^611311;^

二0

?1111011011 0『111656 ^31-131)168

13 ^ 1 ^ 6 1 1

6^

6156\^1161:6

(^) ?111(1 11131*^11131 461151【乂 ?111101;1011『(乂) 0『X 30(1 11131^11131 ^611511;^ ^111101;1011 ^ ( ^ ) 0『丫. (匕)001111)111:6 11131^11131 6 X ^ ) 6 0 ^ 1 0 1 1

(^) ?111^

0011(111:101131

^611811;7

(:。!!^!^;!。!!^! ^ 6 1 1 8 1 1 7 ^1111011011 ((!)

?111(1

(

/

"

^

^

^ 3 0 3 1 1 0 6 0 ^ 乂.

?1111011011

《X |

^ ( ^ I X 〉 0? 丫 | X ^

了 二 3 ^

0 ? X | 乂 311(1


非通不可研究所統^學評論

( ^ ) 1^111(1 1116 001^16131;1011 006^1016111; ②^1*6

X &11(1 V 111(161)611(16111;?

20^如果乂和?的聯合機率密度函數001111 口'01)3131111^ ^611811:7 ^!^化!!)爲 以下的形式: ^ 力 ^

0X^7

辻 X

^ 0

^ 7 ^ 1

2

0^61-^186

15 0? 21.

00111:111110113 1 ^ 1 1 ^ 0 0 1 ^31-131)16 X 11&3 ^(!? ^ 6 1 1 ^ 《 ( 乂 ) 二 1^(1 ― 乂^乂― 1 ^ 0 ^ X ^ 1 3.11(1 26^0 0 ^ 6 1 ^ 1 8 6 ( ^ ) ? 111^ 1116 001131:3111;匕

(^) ?111(1《X | X 〉 0.5〉

,

?111(1 ^ ( ^ | X ^ 0.5^

((!) ?111(1又&^乂 | X 〉 0.5〉

2 2 ^ (!) 811^1)086 ^ 13 & 1-311^0111 ^^1*1&1)16 ^ 1 1 1 1 4116 ^0110\^111^

((力-仁乂2,

1 ^ 7 ^ 2 ; 0 011161^136 (&)^111(1 1116

0『1^6 001181:3111;匚

( ^ ? ! ^ 乂化00 301111; 口 1^【0^】311(1 丫 13 3 5 &110\^8;

(^)811^5)036

2

^ ! ^ ^ ) ^ ^ ! ^

0

2

二 0 ^2:6

311(1 ^

2

^

^ 1,0^72 〈 ①

01;1161:^186

111(1613611(16111;?

2 3 ^ 表 5 . 2 2 是 兩 離 散 變 数 X 和 V 在 値 - 1 , 0, 1 的 聯 合 機 率 分 配 " X , 力 。

表5.22聯合機率分配 ?1X

| 5-76 吁。膨誇

- 1

0

1

- 1

1/18

1/9

1/6

0

1/9

0

1/6

1

1/6

1/9

1/9


隨機變數

由 此 知 1 , 0〉 ^ ? ^ ―1, 丫 二 0〉 ^ 1/9, ^ 一 1,1〕 ^ ?(乂 二 ―1, V 二 !) 二 1/6試求下列數値 以)離散變數X的期望値取乂)與變異數。 ②兩離散變數X和V的共變異數値((^^&!^^^^乂,

24^ 丁 116』01111: 1)1-01331311117 ^611511;7 ^11011011 0【X 311(1 V 13 ^ 6 1 1 1^7

: 蒂 〔 X 十 咢 ) 〈 0 〈 X 〈 1, 0 〈乂 〈 2〉 2

(^) ?'!]!^ 1;116 11131-^11131 口工'。!)&1)1111^ ^ 6 1 1 3 1 ^ ?111101:1011 0『X, ? 1 ; 1 1 6 0011^1*1011^1 ^1*013&1)111^ ^ 6 1 1 3 1 ^ ^11110110II 0 ^ ( ( ! ) 001111)111:6 2 【 V

X ^ X^

|X ^ X】^

25^ 〔是非題,需說明理由,否則不予計分)若兩隨機變数相互獨立,則不相關 26^已知隨機變數X, 7之聯合機率分配如表5.23 。 表5.23

X I 之 聯 ^ 3機率分配

0

1

2

―0 X

0.05

0.10

0.03

1

0.21

0.11

0.19

0

0.08

0.15

0.08

試求: (!) 。(^(乂, 丫)之値? (^)取? | 乂 ^ ) 之 値 ? V ( ? | 乂^2〉之値?

1^68^60^1^6【11611 1116 81:311(1&1^(1 ^6^1&11011 0 〖 X ~ V 18 (&^7

(^)

41

^0)5

^25

(&^^!!& 0『4116 3 1 x ^ 6

3118\^6^5 18

001'!:6(^1; ^

I

5-77 統計學評謅


―非讚不可研究所"

28^ (是非題) (!) 811^13066

31*6 116^3^1^617 001:1:6131;6^^ 111611

X、 311(1 又 ^ 化 牛 丫

2

: 1 〉 乂 化 - 丫 》

( ^ ) ?01: 311 乂 1\^0 !'311(10111 ^ 3 0 ^ 1 6 8 V ! 311(1 丫 2 ,

29^ (是非題) (丄)V&!"(-乂—^⑤. ②

&

11(1 乂 31:6 I I I 11^11^1 6\01\181^6 111611 2

1

乂 3 ^ 十 X ? 〉 ^ 乂 & ! ^

(^) X &11(1 V 11^6 &

^61^601

〉 十 ^ ^ . )

811011 3 3 V 二 X

^6\^101\8^

2

80

1;116

00『『6131:1011 006^1016111; 1 ) 6 ^ 6 6 1 1 X 3 1 1 ^ V 13 1.

3(1假設兩隨機變數八與3之變異數分別爲81與25

,請問八十6之標準差

爲何? 0)106 31.1?

X, V

^ 0

2

^14 &11(1 2

10.29

(的以上皆非

31*6 1 ) 0 8 1 ^ 6

^^1116(1

&11(1

^

^ 5^ 0 ^ 二 (?).

二 3 , 1136 4116 0 1 1 6 ^ 7 5 ^ 6 ^ 1116(1113111 乂 七 0 & 11(1 4116卩1^)133^1111:7

1:116 3^61*5^6 0【X, V 311^ 2 18 1653 ^311 12. ( & ) I ? X, V 31111 2 & 1-6 111(^6^611(16111; ⑨ 1 《 乂 , V 311(1 2 311 113乂6 001*1*61

32^設有一個兩元隨機變數〔X, 〖(乂,力二 8 x 7

1011 0 0 6 ^ 1 0 1 6 1 1 ^ 5 0 ? 0 义

,其聯合機率密度函數爲: ^0 ^ ^ ^ X ^ 1^

試求 〉乂的均數與變異数 (!^丫的均數與變異數 ⑨ X , V的相關係数 33,(複選題)乙61八311^ 6 ⑨?(八| 8 ) ^ 0

I 5-78

統計學評譎

1

1)6 111111;113117 6X011131^6 6^6X11:8

(!))^^:^)^^)

口"。!:&61111:168


#

( ^ ^ ( ^ , ^ )

〈0

( ^ ^ ( ^ , ^ )

^

,

^- 1

34,設X與V各代表兩組資料且均爲隨機變數,巳知^^^乂):", 〃31-00 = 36 ,且(^^(乂, 丫)^-18

,求下列各値:

(^) 乂&!:^乂 ^ 8〉

化)00^(3^十2, 2 7 - 5〉

((;)|\》,^01:1*6131:1011 0 0 6 ^ 0 0 1 6 ( ( ! ) 口 3 ^ 2 |2 ^

5

( ③ ^ 13110II

0 0 6 ^ 1 0 1 6 !!)! 35

,若X與V爲隨機變數,其聯合間斷機率分配如表5.24

。請回答下列問題

並列出計算過程 (&)推導證明X與\是否相互獨立? ①)求(^^(乂, V〉之値。

表5.24聯合間斷機率分配 XI〗

0

1

2

0

0」0

0.25

0.10

1

0.10

0.30

0.05

(^)求卩之値 (②設2 ^ X 十 V (^)設2 ^ X 十 V

,請計算並列表寫出2的機率分配。 ,請算出乂化^之値。

36^ ^ 6 0 0 0 1 1 1 ^ 3 1 1 ^ 8 8 ^ 0 0 ^ 口 1 ^ 6

V, 00111(1 1)6 0 0 ^ 1 \^11:11 6(^11&1 91*0)331)1111 乂.

11131(16 ^3(16!"5 300011111; ^01: 06 ^01:4;1011 0 ^ ^0^\

^&. 0^1161: 1 一

5)0!"61011 0『1:1*3(161*8 31-6 1111111 &1-1116(1 ( ^ ( ^ ! ^ . ^55111111115 01117 1:1-3(163 6 3 0 1 1 111116. \^11611 4116

0 1 1 6 乜 ' ^ "

13 3 1 1 111^01-1116(1 ^ ( ! ^ , 1115 0『116!"

11-31^111^ 3 1 ) 1 * 3 1 : 6 ^ 13 1)117 ^ 6 ^^!^, X 二 1 , ^ 1 1 6 1 1 116 0 ^ 3116 1^110^3 ^ 6 ^10& 18

13 V 二 1 , 8611化6 8101:1^

V ^ 0 ^ II11111 ^ 1 1 1 6 ( 1

3^00^

X ^ - 1 , \^ 11611 116 01: 8116 1^110^3 1116 131*106

^&^61:8 ^ 1 1 1 ! ) ^ ,

0 ^ 1 1 3 1 ? 1*01)3^111^~ ^58111111115

X 二 1 , 0『8611, X 二 一 1 1116 V

0 1 1

1^6 I11^1^1^:6(; 口『106

& 識 指


非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ ^ ㈱

11131:1^6!", 110\^ ^ 0 1 1

1^601(16

(^) ^116 3 3 ^ 1 1 1 ^ ^!^,

2 ^ |X

1〉 , 311(1

106. ^ ( 乂 | X ^ " ! ) .

(^)【116 1)1(^1115

1^1*31^ 3 1^60181011 ^ 6 6 1 0 5 0 ^ 6 化 6 8 6

81X011叾1乂 3 1 1 ^ 6 3 1 ;

乂011

116811011 ^ . )

37^ 811卯086 4116 15^1 0? 3 1*311(10111 ^1^31316 V 1& &乂) 二 ^ ^ 0 〈 乂 〈2

二 1【11 = 111 丫, &11(1 1116 1^『0『II 3 8 , 1^6^ X,, 乂, ^ 2

(&)

111(1 0 ^

(^) (^) ^ 1 - 6

3

0161101;6 3『311(10111 531111516

1116 301111 ^^

2

^ 【 0『 ^

:、

& &11^

^ 00 ^

1116 1X131-^11131 ^ ^ 0 ^ ! 3 1 1 ^ 311^ ^

2

111^61)611(1611^���

20111 &16 : 0115^ 0 ^ 131-11166^ ^!:!! 15, 2002

5-80 铳計學評II

(;!"化11110II ? ( ^ ) . "^-叉!+乂^ ^ 6 1 * 6


Random variable of statgradexam 05