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機率空間 4.1機率空間之要件 4.2機率的基本運算 4.3樣本空間上之二個分割 4.4貝氏定理 精選練習


4.1機率空間之要件 機率論有悠久的歷史,但自1933年,俄人压 11110&發展一套完整的 0

公理法則之後,關於機率論的討論大概就已經定型了 。意思是說,至少對考 試而言,你只要懂得1^011110&0^的這一套架構就夠了 ,至於別家別派的說法, 都可以不理。 何 謂 「 別 ^ 別 派 的 説 法 」 ? 別 搪 心 , 你 在 研 究 所 " 俞 』 是 不 會 學 到 「 別 ^ 別 派 的 说 法 」 的 。

例1.1擲兩顆不同底色骰子,求出現點數之和爲7之機率? 解:這一題只是高中機率,答案是1/6 。 它是因爲擲骰子兩次,計有36個可能的結果會發生,我們將這一個集 合用0來表示。0叫做樣本空間。0在這裡代表著「所有可能發生的結果」 的集合,而我們所要的事件3只是0的一個子集合。 ^^^",(丄^,卩^,卩,匇^力)"^, 仏丄)^》)^;)^,"^々)"^), 仏》^》);^"^^^^^), (氽》,^^),^,^),^,^^々),^^, ^ ) , ^ ) , ^ ) ' ^ ) , ^ ) , ^ ) ' (^!)^^^)^^^)^^^)^^^)^^^)) ^(^,(^剥,^),^),^)) 而 卩& : 集 合 8 中 的 元 素 數 : 丄 二 ^ 集合0中的元素數—5

I

4-3 |


-非讚不司研究所"

集合2在這裡表示「前後兩擲之和爲7」。因爲有「擲銅板」這個動作, 因 此 8 ^質上是一件「事情」。只有事情,才有可能發生,或者不發生。因 此才談得到它是否發生的「機率」。我們既在這全部的36個可能結果之中, 2會產生的情形佔了 6 個 , 答 案 當 然 是 ^ : 1 。 36 6 上面的作法裡,眞正的假設有:卩)骰子不偏不歪。(^)兩次擲骰子互不 干擾。在這兩個條件之下,這36個可能發生的結果,其機會通通一樣〈1^ , 丄)。若這是灌了鉛的骰子,這一題的答案就不會是^ 。 36 6 古典的機率論,大部分是用排列組合的辦法,先數一數「一共有多少可 能的情形」,再進一步數一數所要求的「事件」,相當於多少情形,這一類的 「數一數」,當然就是以「排列組合」的技術來做。因此,古典的機率論,或 者高中、大學的考試裡,就需要用排列組合。這後面的基本假設是:所有可 能的結果,都有相同的發生機率。 若是將例1.1中的36個點,一一給予 "値,例如:―13 ?

3 2

。假

設這些!)"値滿足 (!) ?1^0 6 6

卜1 1=1

則 ?(冗)二 口"十? 十1)3,4 ^ 1)4.3十^5,2十?6,1 ^ 2|5

^ ' ) 4

1

也是一個落於0與1中間的數。對於公正的骰子,我們假設仏,;:1/6 ,對 於1=1,…,6 , ;二 | 1,一,6 ,都成立,此時?化):1/6 ,答案如前。但假設是 灌了鉛的骰子(使得4點的機率略大),我們就可能有另一組!^^値,那麼我們 就得用卩^)式來計算?化)了。

統計學評譎


機率空間

上例的5:並非唯一的「事件」,例如:「擲假子兩次之差爲2 ,則 ^^化,①^洵^^^,^…,訇^,力,^力^,^ 此時,若0中之各點的機率相同,則?(2) = 8/36 = 2/9 ;若沒有等機率的 條件,則我們便可以利用式(口)的方法計算出 準 ^

!;口" ('抽

設有不同的事件:^;^^^,...,它們有些可用簡單的句子就定義清楚 了 ,有些可能需要麻煩的一0些的句子才能說明。這些不是重點,重點是 2 2 2 ^ ,這些「^件」,通通可看成是0的子集,而它們的機率是 1 5

2 1

3 1

0脱 通通可以定義的。 設7爲所有0的子集所成的集合〖也包括空集合4和0自己),則3中的 元素,就是0的子集,也就可以看作爲一個「根攄擲骰子二次這個随機17驗 所產生的某些事件」,而每一個事件都有一個理論上可以算出的機率値。 事件可經由邏輯運算而產生別的事件,因此,

等等都是事件' 。因此,都可以計算它們的機率,只要有滿足,(力的一組 ∼値就好。 11

以上,我們大略說明了機率空間中的一些用直觀就可以看出來的要素, 它包括:

這些都是集合運算的符號,這就是為甚麼要先溫習一下集合論的道理。

111

I

4-5 1 統計^3論


―非!!!不可研究所統計學評論

1. 一個隨機實驗,其所有的可能結果可用一個集合0表示出來。 2, 一個?^0的某些子集的集合;而且0和0也在:?中。 3^ ― 個 對 於 8 6?,而計算?(③的方法。 這些都是直觀就可以了解的,但還是不太夠。眞正的一個機率空間包括 了以下的條件: 定義:一個機率空間包括了三個事物,(。,^?),其中 1. 0是樣本空間 1

是某些0的子集所形成的一個0域。

3 ^ 對 於 , ;?(^都有一個固定的,落於【0^中間的値,而且?0須 滿足下面的運算規則。 (!) ? ( … : 1 , ( ^ = 0 ^ 若 5 ^ 3 2 , 2 3 —6 丁 , 且 時 , 门 2 』 ^ ① 則

以上②中所提的^域及②中的級數計算是比一般的直觀要有深一層的意義。 古典的機率論裡,例如:口袋裡的球;擲骰子25次…。這一類的隨機贳驗, 0往往是一個有限的集合,因此,用不到極限概念。近代的機率論裡,因爲 明白地規定了關於極限運算的條件,其難度和深度都較古典的機率論要多。 雖然,應付一般入學考,例如:管理學院、商學院的研究所,用不著了解到 這樣深刻。 0域的條件是 1 . 若 5 6 孖 , 則 。


至於什麼是0^

,則更加難一點。這當然是0^在—①的極限,

但一串集合的極限又是甚麼? 你若是曾經想過這一個問題,那就是表示你眞的不差了 。我們一直在說 「隨機實驗」,但在機率空間的架構下,0是否眞的像「擲骰子」那樣隨機, 其實是不相干的

121

。 「隨機」乃是我們心中認定的性質,並不是機率論裡100

^要求的一部份。0只是一個集合;?只是一個口域;?0只是一個定義在 ?上的函數,滿足一些性質。我們眞正要求的是這些性質的滿足。至於赏驗 若是隨機,當然不壞;否則,也不會怎樣。這一段有些難,反正也不會考, 因此你不馏也不妨。 150 1-2 81;&!!^^!-^ ^60^ 0? 0 & 1 8 1)6111^ 1136(1 ^0 ^13^ 3 &III X

630^

1

1116. 11161:6 318

13 031^ (^.^^^^^^,!10,330^,^116611,311(1

^!^),

111310115 ^01^1 0^ 52 (:&!^. 11113 001111)16^6 ^60^ 15 11101-011《111乂 011X6(1, 311(1 3

^011

1-6061^6 1^16『!!^; ! ^ 0 0&^8 &0111七116 ^60^ ^11110111; 1*61513061116II 1.

(!) \\^131: 13 1116 131,01)31)1111^ 1;1131; 130111 031*013 31*6 1166118? (^) 12/2652 03)16/2652 156/2652 ((!) 169/2652 ( ^ ) ! ^ ! ^ 0『^6 (^)

15 1116 ^1-01)3131111:7 18 3 5 01 6 ? (3)24/2652 ^212^2

^ 6 51-81; 031^ 13 10 &11(1 4116 660011(1 (^!^

1

^^!^

4)32/2704

(^)^^

0? ^ 6

0 1^ ^61*6 331111311115 1*61)1306111611^ ^1131; ^0111(1 1)6 1118 3113^6V 111 (^^^!^!!②? (&) 12/2704 (!)) 16/2704 0^)156/2704 0)169/2652 ② 瞧 6 。《比6

關於這一點,你知道便好,考試時別傻傻的寫出來。

121

I

4-7 | ,:]―

、二 4:1'―^ 二 1


非 报 不 可 研 究 所 ^

解:(:^計有(^ 種可能情形之個體數有限;且各樣本點的機率可視爲一 2

致)而二張牌都抽「皇后」之事件,計有^種可能。故機率爲 ―'二 2652 221 〔2〉因爲要考慮順序,故計有52x51 = 2652種可能。而「第一張牌爲10 且 第 二 張 牌 爲 5 或 6 之 事 件 」 計 有 4 x 8 = 32種可能情形,故答案是 32

2652 因爲「抽過再置回」故計有52x52 = 2652種可能情形。而同理「第 — 張 得 9 , 第 二 張 得 9 」 計 有 4 x 4 = 16種情形,故所要的機率爲 16

1

2704 ― 169 這些都是靠數一數就作出來的古典問題。

4.2機率的基本運算 ―^互斥事件(㊀乂。^^

67811!5 ,或者0115^01111: 6^611*5^

設2, ?爲樣本空間之任二事件,若!;07 :巾,直觀的意義是2 、 7 不 可 能同時發生,則稱2, ?爲互斥事件。

二.拆開成互斥事件之技巧 對樣本空間中之任二事件丑7,可由8事件透過?事件拆開兩互斥事件: 5: 二 15门0 = 5门(?。]^) 二 (^:门?)11(8门?勺 這個分割的主要目的是將8分成兩個互斥的事件。

統計骤譎


###機率空間

1-6.. (!:门?)门〔2门^^二々 因此 ? ( ^ - ? 化 门 ^ + ?化门?^ 如果上式的右側可以計算,則?就算的出來了 。

三樣本空間上之分割(^他^) 若^,^^,...,]^爲樣本空間0之一組事件,且滿足: 1. ^,&,…,^;乂相互互斥01111*113117 6X^118^6;即滿足&门& 0 V 1刈的組合)

則稱^^,,...,5^爲0上之一組分割。例如&和?^就是一組分割。

四.機率基本性質 以下的性質,都可由機率空間的定義裡的關於?0的計算法則而證得, 但重要的不是去背這些恆等式,而是去了解它背後的意義。 1. ?(^) 二 1 ; ?(^) ^ 0

意思是必然會發生的事,機率等於1 ;不可能發生的事機率等於0 。 2, ? ( ^

+ 準 ) " 。

任一事件,或者發生,或者不發生,但二者必有其一。 3, ?(!;) ^ ? ( ! : 0 ^ ? ( ^ ) 0 ^ ) 。 0

?门:^ ^々3寺,爲什麼2门?與2门^^也互斥?

I

4-9 1


-非^不可研究所

1

統計學評論

?(^) ^ ?(?) ^ ? I I ?) ^ ? 0 ?)。 這 是 可 用 畫 圆 就 可 以 看 出 的 , 若 是 設 、 ? 、 ? 如圖1 , 若 8 和 ? 分 別 代 表 兩 個 圖 上 的 圓 形 , 則 看 ? ② ^ ? 一 ? ^ ?的^? 十? , 2

;1

2

3

难门巧二? , !^^卜?! 士? 十? 。故 2

2

3

?(⑤十?(?) ^ ( ! ^ 十 十 ^ 十 ! ^ ) ^ 1^十2口 十 2

2

?(^:0^ + ^ ( 2 ^ ^ ^ ( ? , 十 ^ 十 ? ^ + !^ 所以,?(^) ^ ?(?) 二 ? 0

?3

十2口 十口 2

3

十2(2门。

我們也可以試著用圖了解前面所說的?(^二?化门"铲)。設 ^,&,口 如 圖 4 . 1 ,則?(^^口, + I ) ?( 2 | 1 ?) = I ) 3

2^

2 1

?( 2 0 ? ) - I ) ,

故二者相等。 5 一 若 ,

!']? ^)^? ^)。

意思是說,較容易發生的事件,機率較大。 例2.1設八、8爲任意兩事件,請證明 ?(八门^》]^?(八?①。) 其中八。、8。分別代表八、8的餘'|【件(^0111I:161I16I11^176V6I11;)

八门I; 圖4.1簡單機率計算示意I

4-10 ^計學評譎

^

1


機率空闔

【證明】 ?(八门8〉 二 ?(^)十?(^) ~ ?(八11 ^ [!-?(八。〉】十【1 一 ? ( ^

0

一? I I 8 〉

0

二【1 ― ?(八。〉―?(^ 〉】十【1 ― ?(八0 8)1 ^!-?^ )"?^ ) 0

0

本題不難,但這樣淺的題目中要注意到「甚麼是已知可用的條件」,「甚 麼是不可用的條件」。對這樣的題目,你應該自機率空間的定義性質出發,1.6,, 除了定義中所給的性質之外,其他的一律假設不知道,這樣才是完整的證明。

例2*2

丁116

4116 6X^)61:11116114 0艺1)0881113 31 00111 1:111*66

讓?16 81)30618 0 : 《 ! ^ ^ ! ^ , ! ! ! ^ ; ! ! ! ! ! , ! ! ! ^ / ! ^ ! , ! ^ ! ! , ! ! ^ . ^ 職 6 7

6&011 0^ 1)116 0X1*0011168

13

1

6(^118111^ 11^617 311(1

7

46&116

1

八1)6 4116 6^111;

^ 6 013*38111 1;116 1163(1 011 63011 0^ 1116 &1*81; 2 ^ ^ ^ ^ ) , 8111(1 161 6 1)6 4116 6乂6!11; ^13^七116 1;&11 000111*8 011 1116

1;088, 0 1)6 1116 6^6111; 1118^

01)451111 6X210*17

2 181118 000111: 111 ^ 6 3 1;08868夂?11101 ? ( 八 门 & 1 1 ( 1 2 ( 8 门 0 ^ ^ 解:用窮舉的方法列舉,我們有 八 冊 ! ! )

。:口丑,!^,!!!! ) 1

0

^^^,...,!^)(有八個點)

故^门^―!!!^),因此?(厶门8卜178,8门0卜111,71,而 ?(丑门(:)二 2/8 = 1/4 。

例2.3如果你和你的同學有30人,請問至少有兩人是同月同日生的機率 ?(註:設一年有365天,列出公式即可,不必算出數學値。〉

4-11


非!8不可研究所統計學評論

解:設&爲至少有兩人是同月同日生之事件,則 巧八卜1 —巧八 364 365

365 365 二1 一

365x364

336 365 336

365 30

^ 0.7063 這 是 唷 名 的 「 生 日 問 1 4 」 ' 最 後 的 數 值 是 我 們 用 電 腦 慠 的 。 主 要 是 告 訴 你 「 機 率 有 七 成 以 上 」 , 比 我 們 想 像 得 要 高 得 多 。

例:2.4對樣本空間0中任II個事件^,、,…,、而言,則

1=1

〈這叫做8 1 、不等式〉 00

6

【證明】可利用數學歸納法果證之,從略 例2.5對樣本空間0中任II個事件、,厶 ,…,八^而言,總是有下面的關 2

係: 1-1 〈這叫做8011&!"1*0111不等式)

【I登明】可利用數學歸納法或者上一例的結果證之,從略。

I 4-12 |


機率空間

4.3樣本空間上之二個分割 一.同時考慮上^之二個分割

【41

設有趴!,八^…,^)和(^,^,…,^)兩個0的分割。可考慮下表: 表4.1兩個分割的聯合機率

6 夂

?(^,门8 〉

?(^,

?(八2^!〉

巧八 门8 〉 ^ ^

队 门

?(^, ^,)

2

八「

2

^

,

2

準2〉

)

2

^ ^

? 门 ! ?(轧门氏)

?(八》 ?(八^

^

(一)聯合機率町。^^∼)是指 ?(^.; 0 8 ^ , 1:1,2: ,1,;」:1,2,一: 它滿足 1. ?(^; 0 8 ^ ) ^ 0 , 1^1,2,一,!";:1二1,2,∼,0 2,

^

^

^

3

^

=1

如有八,0八2 。…匕八^ 二0 ,且八^ 0八,(丄^:!),則叫八,,^"…,^、為一倔 0的分割。這可以看咸為「針對於某贫驗所有可能情形的彙總」。例如若X為擲銅 板四吹的結果,則八,二【\^1】,1=0,1,2,3,4這五個事件便搆成了一個分割。 :4-13 |


— 非 讚 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ , 冑

(二)邊際機率^3「91门31町北北出^) 分割人的邊際機率爲|?(八;1,2, 1. 1 X ^ ) ^ 0 , 1 ^工么…"'

分割8的邊際機率爲|?(&),』:1,2,, ^它滿足 1. ? 0 8 ^ 0 ,】二1,2广^ 1

!^,)^

( 三 ) 條 件 機 率 ( ③ ^ ! 化 ^ ! |3「063131!11乂) 定義:設八 8】爲任兩事件,且?(八^〉0 ,則在給定事件、會發生的 |:

條件下,事件&會發生的條件機率爲 ?^^,)^?^^^,)/?^,) 定義:設八^,^爲任兩事件,且1X^)^0 ,則在給定事件&會發生的 條件下,事件^^會發生的條件機率爲 ?時』卜?(夂门^)/?^) 我們用「聯合機率」的免度來説條件機率是略難:! 一 點 ' 一 般 的 條 件 機 率 ^是定義

?(八I 而已。我們當然要假設?田);^0

二 。用「聯合機率」的角度束看,我們2是

1

取(^,八 ^和(^^^這兩個0的少割來做而6 。

例3.1

\1 ?(^)二0.30,?(厶|

6^?1110? (^.^

I 4-14 | 統計學評譎

⑨0.12 ^0.20

?②|八)二0,50, ^11&1 ^ 0 6 8 ?(八)

(&)0.24

謹]101匕6 ( ^ ^ : ! ^


解:(山 因爲?(八^):?(八门巧/?③)^ 0.4,故?(八门8:1 = 0.4 ?(^)^ 0.4x0.5 ^0.2又因?②!厶):?(八门3八?(八):0上,故又有?(八门8〉 ^ 0.5?(八)。聯立解之得?(八)^ 例3.2

0.4x0.3/0.5=0.24

001181(161 311 乂 4^0 6^61118八311(1 1

1

1)61:61*1111116∼^!^!;!!^!七116

&110^ 111^ 31:31:61116111;5 31:6 1x^6 0『&136, & 11^ 1111131:1:211;6 ①?(八I巧+巧八1 8 ^ = 1 (^)?(八| 3 ) 4 - ^ ( ^ 1 8 ) ^ 1 解:卩)不成立,反例如下:不妨設有 ?(八)^ 0.3, ?

: 0.2, ?(^) 二 0.3

則 可 算 出 ^ 八 I ^ ) ^ ? ^ ! 3^ = 1.2^1 。計算因十分簡單,我們就 不做了 。 ^是對的,證明如下 ?(^. | 巧 + ! ^ 十 巧 二!^^门8〉 1 ?(^ ^^) 0

, ? ⑨ " ―?(^) ~

做這題的時候如果你特別的提到?②)〉0的條件時,就會漂亮些。 如果你能進一歩說明?(^二^)時這個問題怎麼講才好,當然是更好了 , 但這就有一點要求太高了 。

! 4-15 -' 統計學評譎


^一非!8不可研究所^

二.胄!!^生^门0)6(36门!^^!"!。^) 樣本空間中有任二事件丑,,若?化门10 : ^2)2(10則稱8,爲互相獨 立事件。 娄注意的是^三個事件之間的獨立性,复義就不2是 ?〈2门?门0 ^ ?(!])?^?)?^) 後面還要講到。 例 3 . 3 設 有 ? ( 八 ) ^ 0.5,?(八1)8〉 ^ 0.6 ②?②)^ 0.2

(!)) ?(^) ^丄 6

辻八13 111(161)611(16111; 0? 6

^ ?(八| 8〉 ^ 0.4

(!) 0111 乂 513161116111; (^) 18 0011*601 ^ (^) 0111^ 8131:61116111; (^) 18 00^60!;^ 0 301;11 8^1;61116111 (&) & 11(1 (^)) 31:6 001"!"601 (^) 1^0116 0^ 1:116 3*31611161118 13 (;。!^。!;. 1

解:(&) ? I I ? I I ?(^)

^ ?(^) ^ ?(^) ~ ? ^ 1

^ 0.6 ,因八,8獨立,故

^ ?(^)?^^) ^ 0.5 X ?(^),代入前式得

二 0.6 ― ? ( ^ ) 十 门 8 〉 二 0.6 - 0 . 5 十 0 . 5 ? ^

解 之 得 ? ( ^ ^ 0.2 (^)因?(八| ^ ^ ( ^ , 故 ? ^ 门 印 / ? ② 卜 ^ ^ , ? ^ 门 ^ ^ ^ ^ ? 出 ) , 但 ? ( 八 1 ^ : ?(^)十?(^) ― ?门丑):0.5十?(^) ― 0 . 4 ? ^ 二 0.6 聯立解?②),得?(^) 二 1/6 ,故⑨亦眞。 例3.4

8111)15036 ?(^) ^ 0.5^ ? 1 ^

111(1613611(16111; 0^3^

I 4-16 | 統計學評譎

^ 0.6^ ?(^) ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1 ^ 1 8


# # @ 機 率 空 間

解:因八3獨立,故有 ?(八)十?(^) - ? 0 0 ^ ?(八)^ ?(^) 一 ?(八疋②)^ ?(八II 由此可求 0.5十?②)一 0 . 5 ? ^ ^ 0.69(8X1 - 0.5〉 ^ 0, 1 求得?〈8〉 ^ 0.2 例3*5請解釋兩個機率都不爲0的事可不可能既互斥又獨立? 解:設?(厶)〉0,7(8)^0 , 111^(^x^(6)^0 ,因此,若要兩事件獨立則 有 ? ^ 门 ^ - ? " ) ? " ) ^ 。 ; 而 要 二 事 件 互 斥 , 又 需 有 ?(八门^^-!^^-^),得到矛盾,故二機率不爲0之事件不可能既互斥 且獨立。

三.獨立之性質 5:與?互相獨立的另一個寫法是?(司^-?化),或是^巧⑤-?^)。 這 兩 者 都 可 導 出 ^ 2 门 ^ : ?(^:).?^)。我們用乘積的公式,來定義5:和7 的獨立性是因爲:1.它比較對稱,^不需要假設^③^^或者^^^。。事 實上,若?(^;) : 0 或 是 ? ^ 1 ) ^ 0有一個成立,則?(冗II ? ) ^ ?(!:) , ?(?)總是 成立(因爲左邊二0 ,右邊也二0〉。因此,任何一個機率,0的事件,和任何 其它的事件獨立。你也應該來證一下,「任何機率爲1、的事件和任何其他事 件都獨立」,更要緊的是:若I:和7獨立,則2和^也獨立;^和^也獨 立;^和7也獨立。這些都可以自行證明,但你最好想一下它們的意思。 【定理】^爲樣本空間任二事件,8。 ,^表8^事件之餘事件。則以下 的四條件等價: (!)^,? 二事件獨立

4-17


: ^ ^ — ^ ^ ―

—非〖8不可研究所統計學評論

② ^ , 二事件獨立 ⑧ 8 , ^ 二事件獨立 ^,?

0

二事件獨立

【證明】設卩)成立,則有?化门?) :^?化).?^),直接計算可得 ? ( ^ 门 二 ? ( ? ) —?化门。

^(!-?^))?^)

故&及7獨立。其他之情形均可類似證得。 若2和? 互斥,則除非?化)二 0或者?(? ) ^ 0 , 則 2 、 ?不會獨 。 1

1

[證明】因爲若設2,?獨立,則有 。^?^:门?卜聊?^) 故知! ^),?^)之中,至少有一個必爲0 。 5

【定義】三個事件^!,夂,八 ,若滿足①∼④: 3

?^^门八 卜?(八小?(八 〉 2

2

② ?(八丄门八 〉^?(八丄?(八 〕 3

^ ) ? ^

3

^ ^ ) ^ ? ^ ) ' ? ^ )

則稱八,,^,,八 三事件兩兩獨立(!^让…丄^ 3

!!!!^!^!^^!!七);若滿

足1.-3.的條件,且

則稱八。八 ,八 三寧件相互獨立(冚化^^ 2

4-18 ; 統計學評論

3

111(1613611^600


^^現實生活中不易找出有惫思的兩兩獨立1但有三個之間不獨立的好例 子】所以在绂到∼個事件獨至的畤候^通通是指這0個事件彼此至^獨立。

但這樣的例子數學上是造的出泶的。例如

圖4.2兩兩獨立並非全部獨立

上圖的四個小三角形,假設面積均爲1/4 。今在大三角形中任取一點 設有以下三事件: 八二此點落在~或~之中 8二此點落在夂或夂之中 0二此點落在匀或轧之中 則可證得

? ② 门 ① : ? ② ) ?

故八3,0三事件爲「兩兩獨立」。但 巧 八 门 8 门 0 = 1 , ?(^)? ^^)? ^) ^ ~ 4 8 故兩者不等。

4-19


非81不可研究所統計學評論

逭 個 反 例 是 唷 名 的 ' 雖 然 它 完 全 沒 唷 講 出 「 獨 立 性 」 的 精 神 ' 反 而 有 點 錄 導 。 獨 立 性 的 最 终 目 的 』 是 反 應 到 兩 個 随 檄 燮 數 乂 , 了 的 獨 立 性 。 我 們 不 妨 假 設 X

3

1 , 2 , - 7 個 值 ' 而

卩 & 令 夂 , 1 = 1,2广., 丫唷1,2,…八個值

逭 樣 看 來 ' X

一 個 兮 割 ' 丫 也 產 生 1

一個兮割。逭個兮割^唷兩個111&1-5111&1

8

存 在 , 就 像 表 裡 的 「 和 」 遑 兩 欄 所 顯 示 的 。 逭 樣 的 表 ^ 當 中 當 然 唷 ? ^ ^ 门 & ] 遑 樣 的 數 字 可 " 適 當 的 填 進 去 。 可 是 它 們 不 見 得 非 要 滿 足

不 可 。 但 是 如 果 滿 足 , 我 們 就 説 X 和 V 逭 兩 個 随 穢 燮 數 是 獨 立 的 。

公 式 的 基 本 觀 念 是 「 乘 法 」 ; 如 果 我 們 知 遺 3 兩 個 1 1 1 & ^ 1 1 1 8 1 1 8 " 用 乘 法 来 建 構 一 汆 】 0 1 1 1 1 ; ^18^1)11*1011

^ 我 們 可

。 所 謂 兩 個 随 橾 燮 數 獨 立 , 其 實 背 後 都 唷

兩 個 不 柏 干 擾 的 随 機 實 鲮 。 一 個 製 造 X 》 ^ 一 個 製 造 V

, 兩 者 不 剁 千 耰 。

例 3 . 6 若 ? ( ^ ) 〉 0, ?(^) 〉 0 且 ? ( 厶 门 二 ?(^) , ?(^),試證對任意事件

0,都有 ?^0 |

^?^6)^(0 I 八 门 ^ + ?①。)?" I ^(!^ ) 0

【證明】 ?(八门^。门^ ?(八门玢

?(厶门


機率空間

:巧八门〇门8〉十巧八门0门8^ ?(八) ;八门0 ?^) ^ ? ^ I八) 二左邊

四.條件機率的乘法原理

?(^, 0 八 0八》(八0?(八 1八》?(厶 1 2

2

3

门八 〉 2

^?^,)?^^!八】)?(戾 1 ^ 门 夂 ) 2

若 唷 I I 個 事 件 當 ^ 也 唷 額 似 的 寫 法 ^ 例 如 I I ^5畤可寫作 ?(^,门八 〇八 门八.,门八 〉 ^?〈夂)?(八 !八,)?(八 |、门厶2)1^0^ | 厶 , ! ^ ^ ) 2

3

5

2

3

IX八 1八^门八 门八。门夂,) 5

2

而這因1,2,3,…,!1的次序是可以顚倒的。因此?(、门弋门…门厶。其^有 11!種不同的寫法。 在做問題的時候,有的次序可使得問題較容易解決。至於如何找一個好 的(意思是說解題較容易的)次序,就得靠你平日做習題的功夫了 。


—非81不可研究所

統計轉論

4 . 4 貝 氏 定 理 設事件^32,^3。爲樣本空間0上之一組分割(?肚!^化!!),根據前面 所說的條件機率乘法公式,則任一事件八之機率爲。 ?(厶):^;?^)?(八180

5

一^貝氏【 】定理(^乂然,丁^。「抓) 設事件^山^..,8。爲樣本空間0上之一組分割,則給定事件八,則事 件&之條件機率爲:

?哗卜

逭 雖 然 是 高 中 就 已 敖 遏 , 但 的 確 是 幸 砉 趙 。 我 們 在 锞 習 裡 列 3

— 點 。 對 老

試 而 言 , 固 為 逭 顛 趙 不 營 怎 麼 燮 化 都 招 式 剁 同 , 所 " 應 算 是 送 兮 趙 。

在貝式定理中,分割^的機率?②》稱爲先驗分配^1*101: ?稱爲後驗分配(!^&^!:

&

&1)111^ 。這些名詞,你若考取了 ,將來

都會唸到。

岡 注 意 到 別 寫 成 8 3 7 6 , 8 ,這是錯的,1^0111&8 8 & 是 這 人 的 名 字 。


# # # 機 率 空 間

例4.1國內旅客搭乘飛機時需經一電子儀器檢査如有金屬物品在身上 儀器會發出聲音的機會是977。,但有時即使身上無金屬物品,儀器也有可能 發出聲音,其機會是57。,若已知一般乘客身上帶有金屬物品的機會是307。, 若某旅客經過儀器檢査時發出聲音,請問他身上有金屬物品的機會是多少? 解:設八^ 「有金屬物」,:6^ 「儀器會發生」則 ?(厶门8〗 ?(厶化): ?(^)

|

^)? ^)

?|厶)?(厶)十?| ^

0.3x0.97

0

) ?^

0

)

二 0.8926

0.3x0.97 + 07x0.05

例4.2

(複選題)八II 11111 0011^811118 111 ^ 1 1 1 * 6

311(1 I I 1)1&0辻!)&118. ^ 1)0.11 15

^1:3^11 3 1 1*811(10111 &11(1 148 00101: 1101;6丄丁 116 1)^11 13 411611 ^11;11 9 1)3118 0〖1;116 831116 001。1^

(工)?(^^^^(! !)&1118 ^ ! ^ ) 二

^6^1&&10112

3 860011(1 1)201 18 ^ 3 ^ 1 1 31;

111

111 + 11 (^)

?—。!^ 1)311 13

1 ) 1 3 0 1 0 = 1 ^ 8 1 ; 1)311 13

〈3〉 ?^116 &1*811)311 18 1 ) 1 3 0 ^ | 1)116 860011(1 1)311 18 ^ ^ ! ^ ) 二

~

~

! ! ! + !! + !)

?0;116 &181; 1)^11 18 ^ 1 1 1 * 6 |七116 860011(1 1)8111 18 1 ) 1 3 0 1 0 ^

解 : ^ 1 ) ^ ( 8 6 0 0 1 1 ( 1 13&11 18 ―!!! 111 + 11

! ! ! + !! + !)

^ 脚

! ! ! + 口 + ! ! 111 + 11 + 13

111 + 11

III III ^ II ^

III 十卿十11111 2

(!!!十!!)^十11十^))

III 111 + 11

4-23


^一非讀不可研究所統計學評論

口 ) ? 〈 8 6 隱 3 1)31118 1)1^10 ^ 1 - " ―

^

111 + 11

111 + 11

!^丘!^七1)311 13 1)130^ 二 ~ ~ ~ ^ ? (36^011(1 1)311 15 !)!^^^) 111 + 11

(^)? ^116丘1*81; 13311 18 1)1301?; | 3 6 0 0 1 1 ( 1 6&11 18 ^ ^ ! ^ ) II

111 +

0 1 + 11 1^1

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^

111 + 11

+ 口

^

111 + 11 + 1?

11111

^

III

2

^ 0 1 0 + 11111

111十II十0

111 + 11

III十0牛11

〈4)1*0:116『1!"3七1)311 18 ^11116 | 1116 860011(1 13311 18 1 ) 1 & 0 ^ III

II

! ! ! + !! + !)

0 1 + 11 111

II X

0 1 + 11

~ ~\

111 + 11 + 13

111 111 + 11 + 13

故答案爲(辻^,

4-24

II十0

II X

01+11

111十11十口

11111 11111 ^ I I

2

^ 110


機率空間

^精選練習.^

1 . 八 1 3 0 乂 0卩111116 1)81861)811 ^ 1 0 ^ 6 8 0011*211118 ^ 0 86乂611 ! ^ ^ ^ - !

1 2 1 1 1

^ ^^ 。 ^ 6

(工)1【^0《1。乂68

2^6

6

8

0

1)6

&11(16(1?

(&)0.389

03)0.583

1^16 1)1013&1)1111^

(&)0.389

1:1161:6

&0111 4116

^1*110111;

1)0*11 ^ 1 0 ^ 6 3 3 6 1 6 0 ^ 6 4 ^ 1 1 1

^0.667

XVII&1; 13七116 5)101)211)1111^ 0116 16^1-112111(16(1

(^)

'

1:81110101111^ 8 6 1 6 0 * 6 ( 1

161)1&06111611^ ^0.118

16^-112111(16(1 ^ 1 0 ^ 6 8 2111(1

(^)!!。!^ 0 1 6

&1)0^

1)6 ^ ^ ^ - ! ! & ! ! ^ ^ 8 1 ( ^ 6 8111(1

86160^6(1?

0^)0.583

1^ ^ 6 \\^61:6 8&1111)11115

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^池16^1&061X1^11^

0^\^6 3^0^&.

^ & 4 ^ 0 1 1 1 ( 1 1 ) 6 ^ 6 21118^61:

1 0 0111681:1011 (丄)? (&)0.389

(&)0.661

06)0.583

1^ 4111:66 510^68

211:6 8 6 1 6 0 * 6 ( 1

\^1^110114

( ^ ) ^ ^

0 ^ 1;116 &

1*6^)13061116111;, \^1131; 18 4116

15101)811)111^ ^ & 4 &11 1;11166 ^ 1 1 1 1 ) 6 16^-11311(16(1?

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(^(^^㊀((!川七㊀?

( ^ ) ^ ^

2 , 1 ^ ^ ( ^ = 0 . 3 0 &11(1 ? 0 8 戶 0 ^ 4 0 , 111611 ? 0 1

(&)&X&0^ 0 , 1 2

03)^x^1^

^0)0.70 0【1688

0^*116 3 ^ 6 ^

0.70

((!)。.?。 0 1 11101:6

( ^ ) ! ! 。 ! ^ 0 ^ 4116 3 1 ) 0 ^ 6 3,

1^ ?②戶。』。,?(厶| (&川.10

(!))^

12

^0)0.20

811(1 ? | 厶 ) 二 0 , 5 0 , 01)0.24

11011)6

&068 ?(^)

6(111^1?

^ ^ ^ ^ ( !

4如果王貞治有一天心血來潮自己在II個球上簽名並隨機擲向1:個觀眾 (!! ^

!')請問每個觀眾至少撿到一個球的機率?

5 , 8111)1)086 1;1131; 3011160116 111 1^116 0^1161: 1:00111 3X181;七0886(1 1 ^ 0 001115 1111:0 ^116 &!!". 1【乂011 & 1 6 1)01(1 ^13.1 3.1 16&81; 0116 0 ^ 1116 001118 18111(16(1 116&^18,

4-25


非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ " ^ , ,

1;11611

&1 18七116 口!^匕&1?1111;乂 1;1131: 1301;11 1311(16(1 116&^8?

①)1/3

(&) 1/4

6, 811??086 ? ( ^ ) ^ ^ ,

1.

1/2

(^)^

(&) 1

?(八口丑):。^, ?06戶―让八18

^ 1 1 111:11 0011^31118 ^ 1 ^ 6

1)3113 11111X11361:6(1

1七0

5 0《

111(161)611(16111;

^111011七116 &1731: 1111*66

31:6 1)1^0^ 311(1 ^ 6 1331 1^0 31:6《(^(!^!!. ^ 33111 口 16 0 ^ 8126 2 13 (!^&^/!!. 乙6七3^ ^61101;6 ^116 6乂6116七1131 1:116 &1^51 1)311 (^!'31^11 18 1)130^ & 11(1 6 (!^ 1101:6 1;116 6乂6111; ^3.1 1^

3 (^) ?(^^) ^ 卩 ② 。 ) ^ ― , 5

860011(1 1)311 110 I I I 3 1 1 6 1 -

2

18 ^ ^ ^ .

1?

1116 8&111 口 16 0 ^ 3 1 2 6 2 13 (^!'&^11

3 (!)) ?(!?] (!^.,) ~ ~

18 1&1^61

1

\^ 11611

^1111 1*61)1 &06III6111; ^ 3 1 1

5

11131; ^ 1 1 6 1 1 (!!'^^!!!^ 1^1^10111 1*61313061116

(丄)01117

3^316111611^ ( & ) 13 00^1:601^

(^) 0 1 1 1 乂 81;^(;6I^6I11;(匕)18 0 0 1 ^ 6 0 1 (^) 60^11 8131:6111611七(^) 311(1 (^) 31*6 001?61:1 (^)

1^0116 0『^116 8七3^61116 I I 1;8 18 001*1*601; ^

8,是非題:I?

6乂6111;八13 111^613611116111;

111^613611(16111; 0【6乂6111; 0 , 6 ^ 6 1 1 1 ;

0? 6^6111 8,

311(1 6^6111;

3

18

18 111(1613611^611!; 0 ^ 6^6111:〇,

9^有四個事件八,:6,0,0

?(八)二 0.4, ?(八II0〉 : 0.6, ?(^) : 0.2, ?(八| ? :

: 0.3

0.1, ? 门 0 ^ 0.04, ? 门 1 0 二 0.03

請問 (^) ?(!))^ 〈1)0.19 〈2)0.21 〔3)0.23 ^4)0.25

(^)以上皆非。

(^))事件4與0是否獨立,請解釋。 10.設有人8兩個箱子,八箱子有3個黑球,5個白球,2個紅球;8箱裝有 2個黑球,3個白球,2個紅球。茲隨機自某一箱抽出2個球(放回抽樣), 已知此二球中皆爲白球;請問此二球抽出八箱的機率爲何?

| 4-26 統計學評論


1 1 . ^ 001111)81117 0 ^ 1 1 8 ^

0 口1&1^8 411&1; 111 &1111&0*1116 8111111&I 11;61118, ? 8 1 0 * 0 1 ^ 1

1 1)1*0(111068 1000 0 【 仏 6 11)61118 0【\^111011 2 0 0 211:6 4 6 & 0 1 ^ 6 , ?301;01:7 2

4000

1)1:0(111068

016&0^6^

0 ^ ^ 1 1 1 0 1 1 31& &6^0^&.

10*811 口 1 ^ 1 1 ( ^ 1 0 1 1 0〖七116

1^11(10111 &0111七116

(&) 1/10

400

1七61118,

( ( ! ) ^ (^)!!。!^

^0)2/3

001111)8117

31:

2111(1 6)1111^ 1 0 1)6

^ 0 腿 6 &0111 & 1 0 * 0 1 ^ 2 ?

18 ^1& 1)1*01)81)111*7 ^2/25

^ 1 1 1 * 6 1 1 1 18 01108611

0 ^ 1;116

51118^61:8 01&

0011&0^

12.

III 0 1 * 7 工 , ^ 86160*1115

19 1^110^11 6*0111 ^ 3 8 ^ 6X^)61^61106

311

81(11111:

0^6^

50

018

11^3.1

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616. ^ 池 0 & 1 1 0 6 1 :

18

0.02,

1 【 ^ 6

1)1:01)511)111^ 0 ^ & ^ ^ 。 ! " 11100^1:60117 01181^1108111^ 81 5)618011 ^1111 1101; 113^1115 1116 (!!肪&86

18 0 . 1 5 , &11(1 ^ 6 口。!)&1)1111:7

( ! ! 叫 ! ^ 丄 ! ^ &卩61:8011 ^1*110111; 00X1061 &8 1 1 0 1 1 ) 1 1 6 ^11^

518

0【00X160^

^1186&86 13 0 . 9 0 ,

81 1)6180111& ( ! ! 1 1 0 8 6 ( 1 3 8 118^1115

18 4116 15101)31)1111^

13. 1111:66 ( ! ! ^ ^ ! ! ! ; 111301111168 3 1 6 1136(1 40 1)170(11106 6)100018^,6 1)7膽III&,8

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01111)8 111 6 乂 6 1 ^ 0001516.

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17686111; 0 ^ 6 1 : 6 1 1 1 ; ^!!^^&8

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111七116

861186 1 ^ 1 : 1^1167 1 1 ^ 6 1688七118111 8 ^ 。!!^, 2 ^ 0 艺 4 1 1 0 8 6 ^170(11106(1 III&。111116 ^ 0 . 2 & 1 6 ( ! ^ & 0 ^ 6 1^ 0116 0 0 0 ^ 6

6.6^60^&. (!^&0^6

9

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18 。1108611 0.1 1*311(10111

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^

1^0.3 016

8111(1 01)861^6(1 1^ 1)6

18 4116 1)1^01)811)111*7 ^ & ^ 18 ^ 2 1 8 ^1*001106(1 1 ) 7 111210111116

1^0.2? 1 4 . 丁116

311: 5)01111*1011 111 81 0 1 ^ 13 031186(1

&11*011101)116 6x113118*8^ I I I 1^116 116X1; 5 00111:1:011111& !^^&^工乂.

1^1686

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80111X68

1119.1

01811111^ 1 ) 7 111(111311131

1;116 0^1811106 0 ^ 81100688^11117

0艺?011111;1011

15 01117

8111(1

8116 7 5 ^ &11(1

0116 。 〖 4 1 1 6

4\^0

6 0 ^

80111X68 13

4-27


— 非 ^ 不 可 研 究 所 ^ ^ + 罾 , ,

& 1 X 6 ^ & 6 1 6 1 6 ^ 1 ^ 0 1 1 1 ( 1 1)6 80^/0^ (^) ^ 1 3 1 : 18 1116 1)1:01)3131111^ 0 ^ 8 1 1 0 0 6 3 3 ^ 1 1 7 00111;!"011111〇&11: ^0111111011 111

1;116 116X1; 763^? (!)) 1 【 & ) : 七 1 1 6 116X1 5 76313, 1116 90111^1011 0 0 1 1 ^ 0 1 ^1丄18, ^ 1 1 3 七 1 8 1116

5)1*010 &131111;^ 1:1131; 11; 18 ^116 10 1;116 11111-6 0【3111;0 III 01)116 ^ 15.某鋼筋續接器生產線平均有20。^的鋼筋續接器是壞的。本生產線設有品 管員檢査鋼筋續接器之品質,而其有107。之機會分錯;亦即?(分成好的 I 壞 的 ) 分 成 壞 的 I 好 的 ) ^ 0 . 1 ,請回答下列如題: 鋼筋續接器被檢驗爲好的機率有多少? (^)鋼筋續接器被檢驗爲好的,其實際爲好的機率爲何? 18 0011(1110^6(1七0 461;61:1111)16 ^ 1 1 6 ^ 1 1 6 1 0 『 1 1 0 1 8011160116 18

16. \^11611 3

1

111&01:6(1 ^ 1 ^ 1 1 &卩31^1)2111 &!" \^【118, 311 1 1 1 0 0 ^ 6 0 1 ; 1681: 1681111; 0 3 1 1 000111 111 1

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