Issuu on Google+

1

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


2

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ’’ Η ηρεμία του μέσου ρίπτη νομισμάτων εξαρτάται από τον νόμο η μάλλον την τάση, η καλυτέρα την πιθανότητα , η εντέλει την μαθηματικως υπολογίσιμη τυχαιότητα ,που διασφαλίζει ότι ούτε ο ίδιος θα εκνευριστεί χάνοντας διαρκώς ούτε τον αντίπαλο του θα εξοργίσει κερδίζοντας .’’ Tom Stoppard, “Rosencranz and Guilderenstern are dead” ● Πείραμα τύχης Ονομάζεται η διαδικασία εκείνη την οποία όσες φορές και αν την επαναλάβουμε κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμά της. Σε κάθε επανάληψη ενός πειράματος τύχης είναι δυνατόν να εμφανίζονται διαφορετικά αποτελέσματα, αν και το πείραμα εκτελείται κάτω από τις ίδιες συνθήκες . ● Πειράματα τύχης είναι: Η ρίψη ενός νομίσματος, η ρίψη ενός ζαριού, η τυχαία επιλογή μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης της οποίας καταγράφεται η διάρκειά της , το πλήθος των αγοριών μιας οικογένειας με 3 παιδιά ,το πλήθος των τερμάτων σε ένα ποδοσφαιρικό αγώνα κ.λπ. ● Δειγματικός χώρος Δειγματικός χώρος ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος. Ο δειγματικός χώρος συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν ω1, ω2, ... , ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο Ω = {ω1, ω2, ... , ωκ} Παράδειγμα ● Ρίχνουμε ένα ζάρι και καταγράφεται η ένδειξη της άνω έδρας του η οποία μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Οπότε ο δειγματικός χώρος είναι Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ● Η γέννηση ενός παιδιού είναι πείραμα τύχης με δυο δυνατά αποτελέσματα : Αγόρι (Α),κορίτσι (Κ). Οπότε ο δειγματικος χώρος είναι Ω = {Α, Κ, }.

•Επιλογή μιας σφαίρας από ένα δοχείο με άσπρες και μαύρες σφαίρες, με Ω={Α,Μ} ● Το αποτέλεσμα ενός ποδοσφαιρικού αγώνα .Ο δείγματος χώρος είναι : Ω = {ΝΙΚΗ, ΗΤΤΑ, ΙΣΟΠΑΛΙΑ}.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


3

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

● Ενδεχόμενο Ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης. Για παράδειγμα στη ρίψη ενός ζαριού τα σύνολα Α = {1, 3}, Β = {6}, Γ = {2, 4, 6} είναι ενδεχόμενα και μάλιστα το σύνολο Α είναι το ενδεχόμενο κατά την ρίψη να φέρουμε 1 ή 3, Β το ενδεχόμενο να φέρουμε 6 και Γ το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αποτέλεσμα. Τα ενδεχόμενα σε ένα πείραμα τύχης είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου του πειράματος. Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται το ενδεχόμενο όταν έχει ένα μόνο στοιχείο π.χ. Β = {6}. Σύνθετο ενδεχόμενο ονομάζεται το ενδεχόμενο όταν έχει περισσότερα από ένα στοιχεία π.χ. Α = {1, 3}. Ένα ενδεχόμενο λέμε ότι πραγματοποιείται ή συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο του ενδεχομένου. Γι’ αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος είναι ένα ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται πάντα, αφού κάθε αποτέλεσμα του πειράματος τύχης είναι στοιχείο του Ω. Το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο Ø είναι ένα ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Το Ø λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο. Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α συμβολίζεται με Ν(Α). Επομένως αν Α = {1, 2, 3} τότε Ν(Α) = 3. Το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου Ω συμβολίζεται με Ν(Ω). Επομένως αν Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} τότε Ν(Ω) = 6. Ακόμη Ν(Ø) = 0. ● Πράξεις με ενδεχόμενα Αν Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α,Β ⊆ Ω δύο ενδεχόμενα τότε : Το ενδεχόμενο A ∩ B που διαβάζεται "Α τομή Β" ή "Α και Β" πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


4

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Το ενδεχόμενο A ∪ B που διαβάζεται "Α ένωση Β" ή "Α ή Β" A

πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα

B

από τα Α, Β.

A ∪B Ω Το ενδεχόμενο Α΄ που διαβάζεται "όχι Α" ή "συμπληρωματικό του Α" πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το

A’

Α. Το Α΄ λέγεται και "αντίθετο του Α".

Το ενδεχόμενο Α – Β που διαβάζεται "διαφορά του Β από το Α" πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Ισχύει ότι : Α – Β = A ∩ B′ .

Το ενδεχόμενο Β – Α που διαβάζεται "διαφορά του Α από το Β" πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Β αλλά όχι το Α. Ισχύει ότι : Β – Α = B ∩ A′ .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


5

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Το ενδεχόμενο ( A ∪ B )΄ = A′ ∩ B′ που διαβάζεται "όχι Α ένωση Β" ή "συμπληρωματικό του Α ένωση Β" πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β ή δεν πραγματοποιείται το Α και δεν πραγματοποιείται το Β.

Το ενδεχόμενο (Α – Β) ∪ (Β – Α) που διαβάζεται "διαφορά του Β από το Α" ή "διαφορά το Α από το Β" πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. Ισχύει ότι : (Α – Β) ∪ (Β – Α) = ( A ∩ B′ ) ∪ ( B ∩ A′ ) .

Το ενδεχόμενο ( A ∩ B )′ = A′ ∪ B′ που διαβάζεται "όχι Α τομή Β" ή "συμπληρωματικό του Α τομή Β" πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα εκ των Α και Β ή πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β ή κανένα από τα δύο.

Το ενδεχόμενο Α ∪ Β΄ που διαβάζεται "Α ένωση Β΄" ή "Α ή Β΄" και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


6

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Έστω Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και ω είναι ένα αποτέλεσμα του πειράματος τύχης. Τότε έχουμε τις επόμενες διατυπώσεις στη κοινή γλώσσα και στη γλώσσα των συνόλων : κοινή γλώσσα

γλώσσα συνόλων

το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται

ω∈ A

το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται

ω ∈ A ′ ή ω∉ A

ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματο-

ω∈ A

ποιείται

∪B

ω∈ A

∩B ω∈ (A ∪ B)′

πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β

ω∈ ( A

πραγματοποιείται μόνο το Α

ω∈ A

η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την

− B) ή

∩ B′

A⊆B

πραγματοποίηση του Β ● Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ♦ Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα

A

B

♦ όταν Α ∩ Β=Ø. ♦ Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει : Α∪Α = Α

Α∩Α = Α

Α∪Ω = Ω

Ω΄= Ø

Α∪Ø = Α

Α∩Ø = Ø

Α ∪ Α΄= Ω

Ø΄= Ω

Α∪Β = Β∪Α

Α∩Β = Β∩Α

(Α ∪ Β)΄= Α΄ ∩ Β΄

(Α΄)΄= Α

Α∩Ω = Α

Α ∩ Α΄= Ø

(Α ∩ Β)΄= Α΄ ∪ Β΄

Το ήξερες ότι……. Όταν ο διάσημος Γάλλος μαθηματικός Laplace (1749-1827) ένας από τους θεμελιωτές της Θεωρίας Πιθανοτήτων μελέτησε τους καταλόγους γεννήσεων της δεκαετίας1746 -1756 των πόλεων Λονδίνου ,Βερολίνου , Πετρούπολης διαπίστωσε ότι το ποσοστό των αγοριών είναι ίσο με 0.516 και για τις τρεις αυτές πόλεις , ενώ το αντίστοιχο των κοριτσιών 0.484). Το ίδιο αυτό ποσοστό βρέθηκε να αναλογεί στις γεννήσεις αγοριών στο σύνολο του Γαλλικού κράτους για την ιδία περίοδο , ενώ για την πόλη του Παρισιού βρέθηκε μικρότερο για τα αγόρια (0.511) και μεγαλύτερο για τα κορίτσια (0.489). Προσπαθώντας να εξηγήσει αυτήν την μικρή απόκλιση , ανακάλυψε ότι στο Παρίσι λειτουργούσε άσυλο εγκαταλελειμμένων παιδιών μοναδικό σε όλη την Γαλλία. Ήταν μάλιστα συχνό φαινόμενο οι Γάλλοι της επαρχίας να εγκαταλείπουν πολύ πιο συχνά τα νεογέννητα κορίτσια και σπανιότερα τα αγόρια. Διορθώνοντας το στοιχειό αυτό βρήκε και για την πόλη του Παρισιού , την ιδία σχετική συχνότητα 0.516 και 0.484.Επειδη η απόκλιση είναι πολύ μικρή θα θεωρούμε ότι το ποσοστό των γεννήσεων αγοριών , κοριτσιών είναι το ίδιο 0.5. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


7

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

● ΈΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές τότε ο λόγος κ ν

ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με fΑ.

Αν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος είναι το πεπερασμένο σύνολο Ω = {ω1, ω2, ..., ωλ} και σε ν εκτελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά ενδεχόμενα {ω1}, {ω2}, ..., {ωλ} πραγματοποιούνται κ1, κ2, ..., κλ φορές αντίστοιχα, τότε για τις σχετικές συχνότητες f 1 =

κ κ1 κ , f 2 = 2 , …, f λ = λ των ν ν ν

απλών ενδεχομένων θα έχουμε : α) 0 ≤ f i ≤ 1

με i = 1, 2, 3, ..., λ

β) f 1 + f 2 + ... + f λ =

αφού 0 ≤ κ i ≤ ν

κ κ1 κ 2 ν + + ... + λ = = 1 ν ν ν ν

Κλασσικός ορισμός πιθανότητας Σε ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό

P( A ) =

π λήθ ο ς ευνο ϊκώ ν π εριπ τώ σεω ν Ν( Α ) . = π λή θ ο ς δ υνα τώ ν π ερ ιπ τώ σεω ν Ν( Ω )

ΠΡΟΣΟΧΗ Ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας χρησιμοποιείται μόνο στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα του Ω είναι ισοπίθανα.

Από τον ορισμό αυτό προκύπτουν άμεσα τα παρακάτω :

P( Ω ) =

N( Ω ) =1 N( Ω )

και

P( ∅ ) =

0 =0 N( Ω )

Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει : 0 ≤ P( A ) ≤ 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


8

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

●ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Υπάρχουν όμως πολλά πειράματα τύχης των οποίων ο δειγματικός χώρος δεν αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας. Έστω Ω = {ω1, ω2, ... , ων} ο δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο {ωi} αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό που τον συμβολίζουμε με Ρ(ωi), έτσι ώστε να ισχύουν : ♦ 0 ≤ P(ωi ) ≤ 1 ♦ Ρ(ω1)+Ρ(ω2)+Ρ(ω3)+...+Ρ(ων)=1 Ο αριθμός Ρ(ωi) ονομάζεται πιθανότητα του απλού ενδεχομένου {ωi} με i = 1, 2, 3, …, v. Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου Α={α1, α2, ..., ακ} ≠ Ø ορίζουμε το άθροισμα : Ρ(α1) + Ρ(α2) + ... + Ρ(ακ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό Ρ(Ø) = 0. Ισχύει ακόμα Ρ(Ω) = Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + ... + Ρ(ων). Αν ισχύει P( ωi ) =

1 με i = 1, 2, 3, 4, ..., ν τότε έχουμε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας του v

ενδεχομένου. ΠΡΟΣΟΧΗ Όταν έχουμε δειγματικό χώρο Ω = {ω1, ω2, ... , ων} και χρησιμοποιείται η φράση "παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω" εννοείται ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα P( ωi ) =

1 με i = 1, 2, 3, 4, ..., ν. v

ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ♦ Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α, Β ισχύει P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) .

A

B

Απόδειξη Έστω Ν(Α)=μ και Ν(Β)=ν τότε το A ∪ B έχει μ+ν στοιχεία γιατί διαφορετικά τα Α και Β δεν θα ήταν ασυμβίβαστα.

Επομένως έχουμε N ( A ∪ B ) = µ + ν = N ( A ) + N ( B ) .

P( A ∪ B ) =

N( A ∪ B ) N( A ) + N( B ) N( A ) N( B ) = = + = P( A ) + P( B ) . N( Ω ) N( Ω ) N( Ω ) N( Ω )

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος, και ισχύει για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Επομένως

αν

τα

Α,

Β,

Γ

είναι

ανά

δύο

ασυμβίβαστα

έχουμε

P( A ∪ B ∪ Γ ) = P( A ) + P( B ) + P( Γ ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/

:


9

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

♦ Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ ισχύει :

P( A′ ) = 1 − P( A )

P( A ) = 1 − P( A′ )

ή

P( A ) + P( A′ ) = 1

ή

Απόδειξη Έχουμε A ∩ A′ = ∅ δηλαδή τα Α και Α’ είναι ασυμβίβαστα, οπότε

από

τον

απλό

P( A ∪ A′ ) = P( A ) + P( A′ )

προσθετικό ή

νόμο

έχουμε

P( Ω ) = P( A ) + P( A′ )

A’

:

Α

ή

1 = P( A ) + P( A′ ) . Άρα P( A′ ) = 1 − P( A ) .

♦ Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω έχουμε :

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) . Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος. Απόδειξη A

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε :

B

N ( A ∪ B ) = N ( A ) + N ( B ) − N ( A ∩ B ) γιατί στο άθροισμα Ν(Α)+Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων του A ∩ B υπολογίζεται δύο φορές. Διαιρούμε κατά μέλη την παραπάνω ισότητα με Ν(Ω) και έχουμε :

N ( A ∪ B ) Ν( Α ) + Ν( Β ) − Ν( Α ∩ Β ) Ν( Α ) Ν( Β ) Ν( Α ∩ Β ) = = + − . N( Ω ) N( Ω ) N( Ω ) N( Ω ) N( Ω ) Άρα : P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) ♦ Αν A ⊆ B τότε P( A ) ≤ P( B ) . Β Απόδειξη Έχουμε A ⊆ B οπότε

N( A ) ≤ N( B ) ⇔

N( A ) N( B ) ≤ ⇔ P( A ) ≤ P( B ) N( Ω ) N( Ω )

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

Α Ω

http://mathhmagic.blogspot.gr/


10

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

♦ Για

δύο

ενδεχόμενα

Α

και

β

ενός

δειγματικού

χώρου

Ω

ισχύει

P( A − B ) = P( A ) − P( A ∩ B ) . Απόδειξη Τα ενδεχόμενα A − B και A ∩ B είναι ασυμβίβαστα και ( A − B ) ∪ ( A ∩ B ) = A . Άρα

P( A ) = P [( A − B ) ∪ ( A ∩ B )] P( A ) = P( A − B ) + P( A ∩ B )

Οπότε P( A ) − P( A ∩ B ) = P( A − B )

♦ Ανάλογα αποδεικνύεται ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει P( B − A ) = P( B ) − P( A ∩ B ) ♦ Για

δύο

ενδεχόμενα

Α,

Β

ενός

δειγματικού

χώρου

Ω

ισχύει

:

P( A ∪ B′ ) = 1 − P( B ) + P( A ∩ B ) Απόδειξη

P( A ∪ B′ ) = P( A ) + P( B ') − P( A ∩ B′ ) = P( A ) + 1 − P( B ) − P( A − B ) = P( A ) + 1 − P( B ) − ( P( A ) − P( A ∩ B )) = P( A ) + 1 − P( B ) − P( A ) + P( A ∩ B ) = 1 − P( B ) + P( A ∩ B ) Αξιοσημείωτες προτάσεις Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. A

♦ Τα ενδεχόμενα A − B , A ∩ B ασυμβίβαστα. Τότε : ( A − B ) ∪ ( A ∩ B ) = A, ( A − B ) ∩ ( A ∩ B ) = ∅ .

A −B

Άρα : P( A ) = P [( A − B ) ∪ ( A ∩ B )] = P( A − B ) + P( A ∩ B ) ♦ Τα ενδεχόμενα A ∩ B , B − A ασυμβίβαστα. Τότε : ( B − A ) ∪ ( A ∩ B ) = B , ( B − A ) ∩ ( A ∩ B ) = ∅ .

B

A ∩B

B−A

Άρα : P( B ) = P [( B − A ) ∪ ( A ∩ B )] = P( B − A ) + P( A ∩ B ) ♦ Τα ενδεχόμενα ( A − B ), ( B − A ) ασυμβίβαστα. Τότε : ( A − B ) ∩ ( B − A ) = ∅ . Άρα : P [( A − B ) ∪ ( B − A )] = P( A − B ) + P( B − A ) = P( A ) − P( A ∩ B ) + P( B ) − P( A ∩ B ) = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


11

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

= P( A ) + P( B ) − 2 P( A ∩ B ) ♦ Τα ενδεχόμενα ( A − B ), ( A − B )′ ασυμβίβαστα. Τότε : ( A − B ) ∩ ( A − B )′ = ∅ . Άρα :

P [( A − B )′] = 1 − P( A − B ) = = 1 − ( P( A ) − P( A ∩ B )) = = 1 − P( A ) + P( A ∩ B ) ♦ Τα ενδεχόμενα ( A ∪ B ), (A∪ B)′ ασυμβίβαστα. Τότε : ( A ∪ B ) ∩ [( A ∪ B )′] = ∅ . Άρα : P [( A ∪ B )′] = 1 − P( A ∪ B ) ♦ Τα ενδεχόμενα A ∩ B , ( A ∩ B )′ ασυμβίβαστα. Τότε : ( A ∩ B ) ∩ [( A ∩ B )′] = ∅ . Άρα : P [( A ∩ B )′] = 1 − P( A ∩ B ) Β

♦ Αν A ⊆ B τότε :

A ∪ B = B , A ∩ B = A, B − A = B ∩ A′, A − B = A ∩ B′ = ∅ Α

Άρα : P( A ∪ B ) = P( B ) και P( A ∩ B ) = P( A ) ♦ Έχουμε:

A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B , A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B , A − B ⊆ A, B − A ⊆ B , A − B ⊆ A ∪ B , B − A ⊆ A∪ B Οπότε :

P( A ∩ B ) ≤ P( A ) ≤ P( A ∪ B )

A

P( A ∩ B ) ≤ P( B ) ≤ P( A ∪ B )

A −B

P( A − B ) ≤ P( A )

B

A ∩B

P( B − A ) ≤ P( B ) Ω

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/

B−A


12

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

♦ Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Τότε : P [( A − B ) ∪ ( B − A )] = P( A ) + P( B ) − 2 P( A ∩ B ) ή P [( A ∩ B′ ) ∪ ( B ∩ A′ )] = P( A ) + P( B ) − 2 P( A ∩ B )

Απόδειξη Έχουμε τα ενδεχόμενα A − B και B − A τα οποία είναι ασυμβίβαστα. Οπότε :

P [( A − B ) ∪ ( B − A )] = P( A − B ) + P( B − A ) = P( A ) − P( A ∩ B ) + P( B ) − P( A ∩ B ) = P( A ) + P( B ) − 2 P( A ∩ B )

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


13

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

● ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΛΥΜΕΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Διακρίνουμε τις παρακάτω μορφές ασκήσεων 1η μορφή Εύρεση δειγματικού χώρου και ενδεχομένων ενός πειράματος τύχης.

Τον δειγματικό χώρο Ω ενός πειράματος τύχης μπορούμε να τον βρούμε ως εξής : α) Με καταγραφή των στοιχειών του : Ρίψη ενός ζαριού , τα δυνατά αποτελέσματα είμαι έξι: 1,2,3,4,5,6 . Συνεπώς , ο δείγματος χώρος είναι Ω = {1, 2,3, 4,5, 6 } . β)Με δενδροδιαγραμμα Για παράδειγμα έστω το πείραμα τύχης .Κάποιος που θέλει να ένα ακριβής στην δουλειά του περιμένει ταξί και μετράει ποσά ταξί περνούν γεμάτα και δεν σταματούν , μέχρι να σταματήσει το πρώτο ταξί. Ενδιαφερόμαστε να σταματήσει η το πρώτο η το δεύτερο η το τρίτο ταξί η στα 3 πρώτα να μην σταματήσει κανένα .Θεωρούμε τα ενδεχόμενα : Τα: το ταξί που έρχεται σταματήσει . Π: το ταξί που έρχεται δεν θα σταματήσει Τα διαδοχικά βήματα του πειράματος αυτού , φαίνονται στο παρακάτω δεδνδροδιαγραμμα. Άρα ο δείγματος χώρος είναι : Ω = {Τ, ΠΡ, ΠΠΤ, ΠΠΠ , } Με πίνακα διπλής εισόδου Ρίχνουμε δύο “αμερόληπτα” ζάρια. Θέλουμε να υπολογίσουμε τον δειγματικο χώρο του πειράματος • Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος, χρησιμοποιούμε έναν πίνακα “διπλής εισόδου”, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. 2ο 1ο 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


14

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Από τον πίνακα αυτόν έχουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω έχει 36 ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα, δηλαδή N (Ω ) = 36 . Παραδείγματα 1) Από τις οικογένειες με τρία παιδιά επιλέγουμε στην τύχη μία και εξετάζουμε τα παιδιά της ως προς το φύλλο και την σειρά γέννησης αυτών. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος β) Να βρεθούν τα παρακάτω ενδεχόμενα : Α : το δεύτερο παιδί της οικογένειας είναι αγόρι Β : τουλάχιστον δύο παιδιά είναι αγόρια Γ : το πολύ ένα είναι αγόρι Δ : το τρίτο παιδί της οικογένειας είναι κορίτσι Ε : τα δύο πρώτα παιδιά της οικογένειας είναι του ίδιου φύλου και το τρίτο παιδί είναι αντίθετου φύλου Ζ : τα παιδιά να είναι του ίδιου φύλου γ) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : A′, A ∩ ∆ , A ∩ E, ∆ ∩ E, B ∩ Γ , A ∩ B, A − ∆ , A ∪ B

Λύση α) 1ο παιδί

2ο παιδί

3ο παιδί Α

Α Κ Κ Α Κ Κ ♦ Α Α Κ Α Α Κ Κ Ω = {ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ} ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


15

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

β)

Α : {ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΑΑΑ, ΑΑΚ} Β : {ΚΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ} Γ : {ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΚΚ} Δ : {ΚΑΚ, ΚΚΚ, ΑΑΚ, ΑΚΚ} Ε : {ΚΚΑ, ΑΑΚ} Ζ : {ΚΚΚ, ΑΑΑ}

A′ = {ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ},

γ)

A ∩ ∆ = {ΚΑΚ, ΑΑΚ}

A ∩ E = {ΑΑΚ},

∆ ∩ E = {ΑΑΚ}

B ∩ Γ = {} ή B ∩ Γ = ∅ ,

A ∪ B = {ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ}

A − ∆ = {ΚΚΑ, ΑΑΑ}

A ∩ B = {ΚΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΚ}

2) Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές και καταγράφουμε τις ενδείξεις της πάνω έδρας του. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος β) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : Α : η ένδειξη της πρώτης φοράς να είναι μικρότερη από την ένδειξη της δεύτερης φοράς Β : το άθροισμα των ενδείξεων να είναι 5 Γ : οι δύο ενδείξεις να είναι ίδιες Δ : η διαφορά των ενδείξεων να είναι μεγαλύτερη από 3 γ) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : A ∩ B , B ∪ Γ , A − B Λύση α) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι : Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} β)

Α = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)} Β = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)} Γ = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} Δ = {(5,1), (6,1), (6,2)}

γ)

A ∩ B = {(1,4), (2,3)} B ∪ Γ = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


16

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

A − B = {(1,2), (1,3), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)} 3) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} και τα ενδεχόμενα Α = {2, 3, 4, 5} και Β = {4, 5, 6, 7} α) Να ορίσετε τα ενδεχόμενα A ∪ B , A ∩ B , A′, B′, A − B , B − A β) Να δικαιολογήσετε γιατί :

A = ( A − B ) ∪ ( A ∩ B ) = ( A ∩ B′ ) ∪ ( A ∩ B ) και B = ( B − A ) ∪ ( A ∩ B ) = ( B ∩ A′ ) ∪ ( A ∩ B ) γ) Να υπολογίσετε τα N ( A ), N ( B ), N ( A ∩ B ), N ( A ∪ B ) και να δικαιολογήσετε γιατί

N( A ) + N( B ) = N( A ∪ B ) + N( A ∩ B ) Λύση α) Το ενδεχόμενο A ∪ B περιέχει τα στοιχεία και των δύο ενδεχομένων Α και Β, όπου το κάθε στοιχείο το γράφουμε μία φορά, δηλαδή : A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} Το ενδεχόμενο A ∩ B περιέχει τα κοινά στοιχεία των ενδεχομένων Α και Β, δηλαδή : A ∩ B = {4, 5} Το ενδεχόμενο Α’ περιέχει τα στοιχεία του Ω που δεν περιέχονται στο ενδεχόμενο Α, δηλαδή : Α’ = {1, 6, 7, 8, 9} Το ενδεχόμενο Β’ περιέχει τα στοιχεία του Ω που δεν περιέχονται στο ενδεχόμενο Β, δηλαδή : Β’ = {1, 2, 3, 8, 9} Το ενδεχόμενο A − B = A ∩ B′ περιέχει τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο Β, δηλαδή :

A − B = {2, 3} Τέλος το ενδεχόμενο B − A = B ∩ A′ περιέχει τα στοιχεία του Β που δεν ανήκουν στο Α, δηλαδή :

B − A = {6, 7} β) Είναι :

( A − B ) ∪ ( A ∩ B ) = ( A ∩ B′ ) ∪ ( A ∩ B ) = = {2,3 } ∪ ({4,5 } = {2,3,4,5 } = A και

( B − A ) ∪ ( A ∩ B ) = ( B ∩ A′ ) ∪ ( A ∩ B ) = = {6 ,7 } ∪ {4,5 } = {4,5,6 ,7 } = B γ) Είναι : Ν(Α) = 4, Ν(Β) = 4, N ( A ∩ B ) = 2, N ( A ∪ B ) = 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


17

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Επομένως :

Ν(Α) + Ν(Β) = 4 + 4 = 8

N( A ∪ B ) + N( A ∩ B ) = 6 + 2 = 8 Άρα Ν(Α) + Ν(Β) = N ( A ∪ B ) + N ( A ∩ B ) ** Η ισότητα Ν(Α) + Ν(Β) = N ( A ∪ B ) + N ( A ∩ B ) είναι γε��ική, δηλαδή ισχύει για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος τύχης. Από αυτήν προκύπτουν επίσης οι ισότητες :

N( A ∩ B ) = N( A ) + N( B ) − N( A ∪ B )

και

N( A ∪ B ) = N( A ) + N( B ) − N( A ∩ B )

2η μορφή Εύρεση πιθανοτήτων ισοπίθανων ενδεχομένων 1) Από μία τράπουλα με 52 χαρτιά επιλέγουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : α) το χαρτί να είναι επτά. β) το χαρτί να είναι επτά ή κούπα. γ) το χαρτί να μην είναι επτά. Λύση Πείραμα τύχης : Επιλογή ενός φύλλου από τα 52 φύλλα της τράπουλας. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος έχει ως στοιχεία όλα τα χαρτιά της τράπουλας. Οπότε Ω : όλα τα χαρτιά της τράπουλας, δηλαδή Ν(Ω) = 52. α) Έστω Α το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι επτά. Η τράπουλα έχει 4 εφτάρια οπότε Ν(Α)=4. Άρα P( A ) =

N( A ) 4 1 = = N ( Ω ) 52 13

β) Έστω Β το ενδεχόμενο το χαρτί της τράπουλας να είναι κούπα τότε Ν(Β)=13.

A ∩ B το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι και επτά και κούπα τότε N ( A ∩ B ) = 1 . A ∪ B το ενδεχόμενο το χαρτί να είναι επτά ή κούπα οπότε : P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B )

N( A ) N( B ) N( A ∩ B ) + − N( Ω ) N( Ω ) N( Ω ) 4 13 1 16 4 = + − = = 52 52 52 52 13

=

γ) Α’ το ενδεχόμενο το χαρτί να μην είναι επτά, τότε P( A′ ) = 1 − P( A ) = 1 −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

1 12 = 13 13

http://mathhmagic.blogspot.gr/


18

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

2) Ρίχνουμε ένα ζάρι. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : α)

Α : η ένδειξη του ζαριού να είναι περιττός Β : η ένδειξη του ζαριού να είναι άρτιος και μεγαλύτερος του 3 Γ : η ένδειξη του ζαριού να είναι άρτιος ή μικρότερος του 3

β) Να βρεθούν οι : P( A ∩ B ), P(A∩ Γ), P( A′ )

Λύση Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Α = {1, 3, 5}

Β = {4, 6}

Γ = {1, 2, 4, 6}

A∩ B = ∅

A ∩ Γ = {1}

A′ = {2,4,6 }

N( A ) 3 1 = = N( Ω ) 6 2 N( B ) 2 1 P( B ) = = = N( Ω ) 6 3 N( Γ ) 4 2 P( Γ ) = = = N( Ω ) 6 3 P( A ) =

P( A ∩ B ) = P( ∅ ) = 0 , P( A ∩ Γ ) = P( A′ ) =

1 6

N ( A′ ) 3 1 1 1 = = ή P( A′ ) = 1 − P( A ) = 1 − = N( Ω ) 6 2 2 2

3) Σ’ ένα αγώνα η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α είναι 25%, η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Β είναι 15% και η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Γ είναι 30%. Να βρείτε την πιθανότητα : α) να κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Β, β) να μην κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Γ. Λύση Έστω Α, Β και Γ τα ενδεχόμενα να κερδίσει ο παίκτης Α, ο παίκτης Β και ο παίκτης Γ αντίστοιχα, τα οποία είναι ασυμβίβαστα. α) Το ενδεχόμενο "να κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Β" είναι το A ∪ B . Άρα η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Β είναι :

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) =

25 15 40 + = ή P( A ∪ B ) = 40% 100 100 100

β) Το ενδεχόμενο "να μην κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Γ" είναι το ( A ∪ Γ )′ . Άρα η πιθανότητα να μην κερδίσει ο παίκτης Α ή ο παίκτης Γ είναι :

P( A ∪ Γ )′ = 1 − P( A ∪ Γ ) = 1 − [ P( A ) + P( Γ )] = 30  45  25 = 1− + ή P [( A ∪ Γ )′] = 45% =  100 100  100 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


19

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

4) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν

17 7 2 , P( B ) = και P( A ∪ B ) = . 30 15 3 P( B′ ), P( A ∩ B ), P( A − B ), P [( A − B ) ∪ ( B − A )], P( A ∪ B′ ) βρείτε τις πιθανότητες

P( A ) = Να

, P( A ∪ B )′, P( A − B )′ . Λύση

7 15 7 8 = − = 15 15 15 15 ♦ P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) ⇔ P( A ∩ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∪ B ) ⇔

♦ P( B′ ) = 1 − P( B ) = 1 −

17 7 2 17 14 20 11 + − ⇔ P( A ∩ B ) = + − ⇔ P( A ∩ B ) = 30 15 3 30 30 30 30 17 11 6 1 ♦ P( A − B ) = P( A ) − P( A ∩ B ) = − = = 30 30 30 5 ♦ P [( A − B ) ∪ ( B − A )] = P( A ) + P( B ) − 2 P( A ∩ B ) = P( A ∩ B ) =

17 7 11 17 14 22 31 22 9 3 + − 2⋅ = + − = − = = 30 15 30 30 30 30 30 30 30 10 ♦ P( A ∪ B′ ) = P( A ) + P( B′ ) − P( A ∩ B′ ) = P( A ) + P( B′ ) − P( A − B ) = 17 8 1 17 16 6 27 9 + − = + − = = 30 15 5 30 30 30 30 10 1 5 1 4 ♦ P( A − B )′ = 1 − P( A − B ) = 1 − = − = 5 5 5 5 2 3 2 1 ♦ P( A ∪ B )′ = 1 − P( A ∪ B ) = 1 − = − = 3 3 3 3 =

5) Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύουν P( A ∩ B ) =

1 1 3 , P( A ) = , P( B ) = να βρείτε : 5 4 4

α) την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β, β) την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β, γ) την πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο το Α, δ) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β, ε) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β, στ) την πιθανότητα P( A − B )′ .

Λύση α) P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) =

1 3 1 4 1 1 5 1 4 + − = − = 1− = − = 4 4 5 4 5 5 5 5 5

4 1 − 5 5 1 1 5 4 1 − = γ) P( A − B ) = P( A ) − P( A ∩ B ) = − = 4 5 20 20 20 β) P( A ∪ B )′ = 1 − P( A ∪ B ) = 1 −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


20

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

δ)

P [( A − B ) ∪ ( B − A )] = P( A − B ) + P( B − A ) = P( A ) − P( A ∩ B ) + P( B ) − P( A ∩ B ) =

1 3 1 4 2 2 5 2 3 + − 2⋅ = − = 1− = − = 4 4 5 4 5 5 5 5 5 ε) P( A ∪ B′ ) = P( A ) + P( B′ ) − P( A ∩ B′ ) = P( A ) + 1 − P( B ) − P( A − B ) = = P( A ) + P( B ) − 2 P( A ∩ B ) =

1 3 1 2 1 1 1 10 1 9 +1− − = − = − = − = 4 4 20 4 20 2 20 20 20 20 1 19 στ) P( A − B )′ = 1 − P( A − B ) = 1 − = 20 20 =

6)

Έστω

P( A ) =

Α

και

Β

ενδεχόμενα

ενός

δειγματικού

χώρου

Ω,

με

1 3 1 , P( B ) = και P(A∩ B)= . Να βρεθούν : 2 8 4

α) οι πιθανότητες των ενδεχομένων να πραγματοποιηθεί : i) το Α ή το Β, ii) το Α και όχι το Β, iii) κανένα από τα Α και Β. β) το πλήθος Ν(Ω), αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι ο Ω αποτελείται από ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα και ισχύει Ν(Α-Β) = 2. γ) παράδειγμα για το ερώτημα (β). Λύση α) i) P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) = ii) P( A − B ) = P( A ) − P( A ∩ B ) =

1 3 1 5 + − = . 2 8 4 8

1 1 1 − = 2 4 4

iii) P( A′ ∩ B′ ) = P(( A ∪ B )′) = 1 − P( A ∪ B ) = 1 − β) N ( A − B ) = 2 ⇔

5 3 = 8 8

N( A − B ) 2 2 1 2 = ⇔ P( A − B ) = ⇔ = ⇔ N( Ω ) = 8 N( Ω ) N( Ω ) N( Ω ) 4 N( Ω )

γ) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Α = {1, 2, 3, 4} και Β = {3, 4, 5}.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


21

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

7) Αν για τα ενδεχόμενα Α και β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν :

P( A ) =

3 P( B ) 4

P( A′ ) =

και

3 P( B′ ) 2

α) να βρεθούν οι Ρ(Α) και Ρ(Β), β) να αποδειχθεί ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. Λύση

3 3 3        P( A ) =  P( A ) = 4 P( B )   P( A ) = 4 P( B )   P( A ) = 4 P( B )   α)  ⇔ ⇔ ⇔  P( A′ ) = 3 P( B′ ) 1 − P( A ) = 3 ( 1 − P( B )) 1 − 3 P( B ) = 3 − 3 P( B )  P( B ) = 2 2  2   2   4   β) Έστω ότι Α και Β είναι ασυμβίβαστα, τότε : P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) =

1 2 2 3

1 2 3+4 7 + = = >1. 2 3 6 6

Άτοπο. Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. 8) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 100} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να βρεθεί η πιθανότητα, ώστε εκλέγοντας τυχαία έναν αριθμό από το Ω αυτός να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του 5. Λύση Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω, με Α = {x∈ Ω με x άρτιο} και Β = {y ∈ Ω με y πολλαπλάσιο του 5}. Επομένως ζητάμε την πιθανότητα του A ∪ B . Ισχύει :

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) = =

N( A ) N( B ) N( A ∩ B ) + − = N( Ω ) N( Ω ) N( Ω )

50 20 10 60 + − = = 60% 100 100 100 100

αφού : Ν(Α) = Ν({2, 4, 6, 8, ..., 100}) = 50

Ν(Β) = Ν({5, 10, 15, 20, ..., 100}) = 20

και

Ν ( A ∩ B ) = Ν({10, 20, 30, 40, ..., 100}) = 10

Όταν στην εκφώνηση μιας άσκησης έχουμε δειγματικό χώρο Ω = {ω1, ω2, ... , ων} και χρησιμοποιείται η φράση "παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω" εννοείται ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα P(ωi ) =

1 με i = 1, 2, 3, v

4, ..., ν.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


22

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

3η μορφή Εύρεση πιθανοτήτων μη ισοπίθανων ενδεχομένων. 1) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4}.

1 1 1 , P( ω3 ) = και P( ω4 ) = , να βρείτε την Ρ(ω2). 2 4 8 2 β) Αν P( ω3 ) = P( ω4 ) = και P( ω1 ) = 3 P( ω2 ) , να βρείτε τις Ρ(ω1) και Ρ(ω2). 5 3 1 1 γ) Αν Α = {ω2 , ω3} με P( A ) = , Β = {ω2 , ω4} με P( B ) = και P( ω2 ) = , να βρείτε την Ρ(ω1). 5 3 4

α) Αν P( ω1 ) =

Λύση α) Επειδή Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4}, έχουμε : Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + Ρ(ω3) + Ρ(ω4) = 1 ⇔

1 1 1 1 1 1 1 + P( ω2 ) + + = 1 ⇔ P( ω2 ) = 1 −  + +  = 2 4 8 2 4 8 8

β) Έχουμε : Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + Ρ(ω3) + Ρ(ω4) = 1

2 2 4 1 1 + = 1 ⇔ 4 P( ω2 ) + = 1 ⇔ 4 P( ω2 ) = ⇔ P( ω2 ) = 5 5 5 5 20 1 3 = Επομένως P( ω1 ) = 3 ⋅ P( ω2 ) = 3 ⋅ 20 20 3 3 1 3 7 γ) Είναι : P( A ) = ⇔ P( ω2 ) + P( ω3 ) = ⇔ + P( ω3 ) = ⇔ P( ω3 ) = και 5 5 4 5 20 1 1 1 1 1 P( B ) = ⇔ P( ω2 ) + P( ω4 ) = ⇔ + P( ω4 ) = ⇔ P( ω4 ) = 3 3 4 3 12 ⇔ 3 P( ω2 ) + P( ω2 ) +

1  19 1 7 + + =  4 20 12  60

Άρα : P( ω1 ) = 1 − [ P( ω2 ) + P( ω3 ) + P( ω4 )] = 1 −  4η μορφή

Εξέταση δύο ενδεχομένων αν είναι ασυμβίβαστα – Ανισωτικές σχέσεις πιθανοτήτων Αν θέλουμε να δείξουμε ότι δύο ενδεχόμενα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. α) Αρκεί να δειχθεί ότι A ∩ B ≠ ∅ ή N ( A ∩ B ) ≠ 0 ή N ( A ) + N ( B ) > N ( Ω ) ή P( A ∩ B ) ≠ 0 β) Αν γνωρίζουμε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) τότε δεχόμαστε ότι τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα και με την βοήθεια της ισότητας P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) καταλήγουμε ότι

P( A ∪ B ) > 1 που είναι άτοπο. ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Ισχύουν οι ανισωτικές σχέσεις : ♦ 0 ≤ P( A ) ≤ 1 ♦ αν A ⊆ B τότε P( A ) ≤ P( B ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


23

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B οπότε P( A ∩ B ) ≤ P( A ) ≤ P( A ∪ B )

A − B ⊆ A τότε P( A − B ) ≤ P( A )

Τις ανισωτικές σχέσεις στις πιθανότητες τις αποδεικνύουμε : α) με ισοδυναμία χρησιμοποιώντας βασικές ανισότητες στις πιθανότητες και στους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων. Περιπτώσεις 1) µ ≤ P( A ∩ B ) ≤ v ⇔ P( A ∩ B ) ≤ v (1) και P( A ∩ B ) ≥ µ (2) η (1) αποδεικνύεται από την σχέση A ∩ B ⊆ A ή A ∩ B ⊆ B η (2) αποδεικνύεται με αντικατάσταση της P( A ∩ B ) µε P( A ) + P( B ) − P( A ∪ B ) 2) µ ≤ P( A ∪ B ) ≤ v ⇔ P( A ∪ B ) ≤ v (1) και P( A ∪ B ) ≥ µ (2) η (1) αποδεικνύεται από την σχέση A ⊆ A ∪ B ή B ⊆ A ∪ B ή A ∩ B ⊆ A ∪ B η (2) αποδεικνύεται με αντικατάσταση της P( A ∪ B ) µε P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) 3) µ ≤ P( A ) ≤ v ⇔ P( A ) ≤ v και P(A) ≥ µ η μία από αυτές αποδεικνύεται από τις σχέσεις συνόλων και η άλλη με αντικατάσταση της Ρ(Α) με

P( A ∪ B ) − P( B ) + P( A ∩ B ) ή P( A − B ) + P( A ∩ B ) 4) µ ≤ P( A − B ) ≤ v ⇔ P( A − B ) ≤ v (1) και P(A − B ) ≥ µ (2) η (1) αποδεικνύεται από την σχέση A − B ⊆ A και A − B ⊆ B η (2) αποδεικνύεται με αντικατάσταση της Ρ(Α – Β) με P( A ) − P( A ∩ B )

5) χρησιμοποιώντας τη μονοτονία ή τα ακρότατα συνάρτησης Αν θέλουμε να δείξουμε : 1) f ( P( A )) ≤ f ( P( B )) και η f είναι γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα) αρκεί να δειχθεί ότι

P( A ) ≤ P( B ) ( P( A ) ≥ P( B )) . 2) P( A ) ≥ µ ή P( A ) ≤ µ και είναι Ρ(Α) = f(x) βρίσκουμε το ελάχιστο ή το μέγιστο της f στο διάστημα που προκύπτει από τους αναγκαίους περιορισμούς για το x αφού 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


24

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Παραδείγματα 1) Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν Ρ(Α) = 0,8 και Ρ(Β) = 0,5. α) να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, β) να δειχθεί ότι 0,3 ≤ P( A ∩ B ) ≤ 0,5 γ) να δειχθεί ότι P( A′ ∪ B′ ) ≥ 0,5

Λύση α) Έστω ότι τα Α κα�� Β είναι ασυμβίβαστα τότε :

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) ⇔ P( A ∪ B ) = 0,8 + 0,5 = 1,3 άτοπο γιατί 0 ≤ P( A ∪ B ) ≤ 1 Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Ισχύει A ∩ B ⊆ B άρα P( A ∩ B ) ≤ P( B ) ⇔ P( A ∩ B ) ≤ 0,5 .

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) ⇔ P( A ∪ B ) = 0,8 + 0,5 − P( A ∩ B ) ⇔ P( A ∪ B ) = 1 − P( A ∩ B ) Ισχύει P( A ∪ B ) ≤ 1 ⇔ 1,3 − P( A ∩ B ) ≤ 1 ⇔ − P( A ∩ B ) ≤ 1 − 1,3 ⇔

− P( A ∩ B ) ≤ −0,3 ⇔ P( A ∩ B ) ≥ 0,3 Άρα 0,3 ≤ P( A ∩ B ) ≤ 0,5 γ) P( A′ ∪ B′ ) = P [( A ∩ B )′] = 1 − P( A ∩ B ) ≥ 1 − 0,5 = 0,5 Άρα P( A′ ∪ B′ ) ≥ 0,5 2) Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με P( A ) =

1 3 και P( A ∪ B ) = . Να δεί3 4

ξετε ότι :

5 3 ≤ P( B ) ≤ 12 4 Λύση

3 4 Ισχύει : P( A ∩ B ) ≥ 0 ⇔ P( A ) + P( B ) − P( A ∪ B ) ≥ 0 ⇔ B ⊆ A ∪ B άρα P( B ) ≤ P( A ∪ B ) ⇔ P( B ) ≤

1 3 3 1 9 4 5 + P( B ) − ≥ 0 ⇔ P( B ) ≥ − ⇔ P( B ) ≥ − ⇔ P( B ) ≥ . 3 4 4 3 12 12 12

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

Άρα

5 3 ≤ P( B ) ≤ 12 4

http://mathhmagic.blogspot.gr/


25

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

3) Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P( A ) =

P( B ) =

2 και 3

1 2 11 . Να αποδείξετε ότι : ≤ P( A ∪ B ) ≤ . 4 3 12

Λύση

2 11 2 11 ≤ P( A ∪ B ) ≤ ⇔ P( A ∪ B ) ≥ και P( A ∪ B ) ≤ 3 12 3 12 Είναι :

2 ⇔ P( A ∪ B ) ≥ P( A ) , που ισχύει αφού A ⊆ A ∪ B . 3 11 11 P( A ∪ B ) ≤ ⇔ P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) ≤ ⇔ 12 12 2 1 11 + − P( A ∩ B ) ≤ ⇔ P( A ∩ B ) ≥ 0 , που ισχύει. 3 4 12 P( A ∪ B ) ≥

5η μορφή Συνδυαστικές Ασκήσεις 1) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Επιλέγουμε στην τύχη ένα απλό ενδεχόμενο λ ∈ Ω . Να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση 3x2 + 6x + λ = 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες. Λύση Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες όταν :

∆ < 0 ⇔ 36 − 4 ⋅ 3 ⋅ λ < 0 ⇔ 36 − 12λ < 0 ⇔ −12λ < −36 ⇔ 12λ > 36 ⇔ λ >

36 ⇔ λ > 3. 12

Άρα λ ∈ {5,6 ,7 } Έστω το ενδεχόμενο Α = {5, 6, 7} τότε Ν(Α)=3 και Ν(Ω)=6. Οπότε η πιθανότητα της εξίσωσης 3x2 + 6x + λ = 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή όταν λ>3 είναι P( A ) =

N( A ) 3 1 = = . N( Ω ) 6 2

2) Έστω Α και β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει :

P( A ) + P( B ) ≠ 2 P( A ∩ B ) . Δίνεται ακόμα η συνάρτηση :

f ( x ) = ( x − P( A ∪ B )) − ( x − P( A ∩ B )) , x ∈ R 3

3

α) Να αποδείξετε ότι P( A ∩ B ) ≠ P( A ∪ B ) . β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο x =

P( A ) + P( B ) . 2

γ) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, να αποδείξετε ότι f ( P( A )) = f ( P( B ))

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


26

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Λύση α) Δίνεται ότι P( A ) + P( B ) ≠ 2 P( A ∩ B ) , οπότε έχουμε διαδοχικά :

P( A ) + P( B ) ≠ P( A ∩ B ) + P( A ∩ B )

P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) ≠ P( A ∩ B )

ή

P( A ∪ B ) ≠ P( A ∩ B ) β) Για κάθε x ∈ R έχουμε : 3 3 ′ f ′( x ) = ( x − P( A ∪ B ) − ( x − P( A ∩ B ))  =  

(( x − P( A ∪ B )) )′ − (( x − P( A ∩ B )) )′ = 3

3

2 2 = 3 ( x − P( A ∪ B )) ( x − P( A ∪ B ))′ − 3 ( x − P( A ∩ B )) ( x − P( A ∩ B ))′ =

2 2 2 2 = 3 ( x − P( A ∪ B )) − 3 ( x − P( A ∩ B )) = 3 ( x − P( A ∪ B )) − ( x − P( A ∩ B ))  =  

= 3 ( x − P( A ∪ B )) + ( x − P( A ∩ B ))  ( x − P( A ∪ B )) − ( x − P( A ∩ B ))  =

= 3 [ 2 x − P( A ∪ B ) − P( A ∩ B )] ⋅ [ P( A ∩ B ) − P( A ∪ B )] Επειδή ισχύει A ∩ B ⊆ A ∪ B , θα είναι : P( A ∩ B ) ≤ P( A ∪ B ) ⇔ P( A ∩ B ) − P( A ∪ B ) ≤ 0 (1) και από α) έχω P( A ∩ B ) − P( A ∪ B ) < 0 Βρίσκουμε για ποιες τιμές του x μηδενίζεται η f’(x) Οπότε :

f ′( x ) = 0 ⇔ 3 ( 2 x − P( A ∪ B ) − P( A ∩ B )) ⋅ ( P( A ∩ B ) − P( A ∪ B )) = 0 ⇔ 3 ( 2 x − P( A ∪ B ) − P( A ∩ B )) = 0 ⇔ 2 x − P( A ∪ B ) − P( A ∩ B ) = 0 ⇔

P( A ∪ B ) + P( A ∩ B ) ⇔ 2 P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) + P( A ∩ B ) x= ⇔ 2 P( A ) + P( B ) x= 2

2 x = P( A ∪ B ) + P( A ∩ B ) ⇔ x =

Βρίσκουμε το πρόσημο της f’(x) οπότε :

f ′( x ) > 0 ⇔ 3 ( 2 x − P( A ∪ B ) − P( A ∩ B )) ⋅ ( P( A ∩ B ) − P( A ∪ B )) > 0 ⇔ 3 ( 2 x − P( A ∪ B ) − P( A ∩ B )) < 0 ⇔ (γιατί P( A ∩ B ) − P( A ∪ B ) < 0 ) ⇔ 2 x − P( A ∪ B ) − P( A ∩ B ) < 0 ⇔ 2 x < P( A ∪ B ) + P( A ∩ B ) ⇔

P( A ∪ B ) + P( A ∩ B ) P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) + P( A ∩ B ) ⇔ x< 2 2 P( A ) + P( B ) ⇔x< 2 P( A ) + P( B ) Άρα f’(x)<0 για x > 2 x<

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων για την f’.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/

ή


27

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

P( A ) + P( B ) 2

−∞

x

+∞

f’(x)

+

0

f(x)

αύξουσα

μέγιστο

φθίνουσα

Άρα η f στο x =

P( A ) + P( B ) παρουσιάζει μέγιστο. 2

γ) Αφού τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, θα ισχύουν :

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) και P( A ∩ B ) = 0 Άρα : f ( P( A )) = ( P( A ) − P( A ∪ B )) − ( P( A ) − P( A ∩ B )) = 3

3

= ( P( A ) − P( A ) − P( B )) − ( P( A ) − 0 ) = ( − P( B )) − ( P( A )) = − P( B )3 − P( A )3 3

3

3

3

(1)

και f ( P( B )) = ( P( B ) − P( A ∪ B )) − ( P( B ) − P( A ∩ B )) = 3

3

= ( P( B ) − P( A ) − P( B )) − ( P( B ) − 0 ) = ( − P( A )) − ( P( B )) = − P( B )3 − P( A )3 3

3

3

3

(2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι f ( P( A )) = f ( P( B )) .

5λ x  2 , µε x ≠ 2 λ (x − 1) − 3) Δίδεται η συνάρτηση g(x) =  2 −6, µε x=2 Αν Ω = { λ ∈ Ω | η g συνεχής στο x0 = 2} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και Α = { λ ∈ Ω | η g παραγωγίσιμη στο x0 = 2 με g’(2) = –1} να βρεθεί η Ρ(Α). Λύση

 x →2 

Η g συνεχής στο x0 = 2 αν και μόνο αν lim g ( x ) = g ( 2 ) ⇔ lim  λ 2 ( x − 1 ) − x →2

λ2( 2 − 1 ) −

5λ x   = −6 ⇔ 2 

5⋅λ ⋅2 = −6 ⇔ λ 2 − 5λ + 6 = 0 . Την λύνω κατά τα γνωστά και έχω λ=2 ή λ=3. 2

Οπότε Ω = {2, 3} Ισχύει g’(2)= –1, οπότε g ′( 2 ) = lim h →0

= lim

5λ ( 2 + h ) 5λ( 2 + h ) λ2( h + 1 ) − +6 +6 2 2 = lim = h →0 h h

λ2( 2 + h − 1 ) −

h →0

= lim

5 2

λ 2 h + λ 2 − 5λ − λ h + 6

h →0

= lim h →0

g( 2 + h ) − g( 2 ) = h

h

= lim

5 2

λ 2 h − λ h + λ 2 − 5λ + 6

h →0

h

=

5λ   5λ hλ2 − h  5λ 2  2 = lim  = λ2 − h →0 h h 2

λ 2h −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


28

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Άρα g’(2)= –1 ⇔ λ 2 −

5λ 5λ = −1 ⇔ λ 2 − + 1 = 0 ⇔ 2 λ 2 − 5λ + 2 = 0 2 2

∆ = ( −5 )2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25 − 16 = 9 8 =2 −( −5 ) ± 9 5 ± 3 4 = = = 2 1 2⋅2 4 → = 4 2 →

λ1,2

Άρα Α = {2} οπότε Ρ(Α)=Ρ(2) και P( A ) =

N( A ) 1 = . N( Ω ) 2

4) Έστω Ω = {0, 1, 2} ένας δειγματικός χώρος με P( 0 ) = 2 P( 2 ) =

1 . 3

α) Να βρεθεί η Ρ(1). β) Έστω f ( x ) = e x −

λ 2

x 2 + 118 με x ∈ R και λ ∈ Ω . Έστω το ενδεχόμενο Ε = { λ ∈ Ω | f’’(0)=0}.

Να βρεθεί η Ρ(Ε).

1 1 1 1 Λύσηα) P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) = 1 ⇔ + P( 1 ) + 3 = 1 ⇔ + P( 1 ) + = 1 ⇔ 3 2 3 6 1 1 6 2 1 3 1 P( 1 ) = 1 − − ⇔ P( 1 ) = − − ⇔ P( 1 ) = ⇔ P( 1 ) = 3 6 6 6 6 6 2  

β) f ′( x ) =  e x −

λ ′ x 2 + 118  = e x − ⋅ 2 x = e x − λ x 2 2 

λ

f ′′( x ) = ( f ′( x ))′ = ( e x − λ x )′ = e x − λ f ′′( 0 ) = 0 ⇔ e0 − λ = 0 ⇔ 1 − λ = 0 ⇔ −λ = −1 ⇔ λ = 1 Άρα Ε = {1}, οπότε P( E ) = P( 1 ) =

1 2

Είναι πολύ εύκολο με την βοήθεια του διαδικτύου να παρακολουθήσετε την εξέλιξη απλών πειραμάτων τύχης με πολύ μεγάλο πλήθος επαναλήψεων . Στον παρακάτω ιστότοπους Μπορείτε να βρείτε διαδραστικές εφαρμογές προσομοίωσης απλών πειραμάτων τύχης όπως η ρίψη ενός νομίσματος ή ενός ζαριού: http://bcs.whfreeman.com/ips4e/cat_010/applets/Probability.html http://www.stat.ucla.edu/~dinov/courses_students.dir/Applets.dir/DiceApplet.html

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


29

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

● Μια ιστορία εκδρομών και ….δειγματοχώρων!!! Μια μέρα που ο καθηγητής Ξερολιδης είχε τα κέφια του, έθεσε στην τάξη το εξής πρόβλημα πιθανοτήτων δίνοντας την υπόσχεση ότι αν κάποιος μαθητής το έλυνε την επόμενη θα τους πήγαινε περίπατο. Ξεκίνησε λοιπόν να αφηγείται το πρόβλημα : «Σε ένα σάκο υπάρχουν τρεις κάρτες απόλυτα όμοιες που διαφέρουν μονό ως προς το χρώμα , η μια από αυτές (Α) έχει λευκές και τις δυο όψεις της , η δεύτερη μια όψη λευκή και μια μαύρη (Β) και η τρίτη (Γ) δυο όψεις μαύρες .Εξάγεται τυχαία μια από αυτές και τοποθετείται στο τραπέζι ώστε να φαίνεται μονό η μια όψη της .Διαπιστώνεται ότι η όψη που φαίνεται είναι η λευκή .Ποια η πιθανότητα να είναι λευκή και η άλλη όψη;» Η τάξη έμεινε σιωπηλή και όλα έδειχναν να έχουν χαθεί ώσπου ο Τοτος το αστέρι της τάξης σηκώνει το χέρι . «Ναι παιδί μου Τοτο .» Τον ενθαρρύνει Ο Καθηγητής Ξερολιδης. Ο Τοτος τότε απαντάει: «Κύριε Ξερολιδη η λογική λέει ότι δεν είναι δυνατόν η κάρτα που τραβήχτηκε να είναι η Γ άρα έχουμε 50% πιθανότητα να είναι η Α και 50% πιθανότητα να είναι η Β οπότε η πιθανότητα να είναι λευκή η άλλη όψη της κάρτας είναι ½». «Λάθος κάνεις Τοτο». Είπε ο καθηγητής Ξερολιδης και συνέχισε : «Το πρόβλημα αυτό δίνει και ένα κλασσικό παράδειγμα για το πόσο έξω μπορούμε να πέσουμε χωρίς να έχουμε ξεκαθαρίσει σωστά το δειγματικο χώρο και τις πιθανότητες των δυνατών αποτελεσμάτων . Η όλη διαδικασία της επιλογής που κάναμε , δεν επιλεγεί απλά και μονό μια κάρτα από τις τρεις ,αλλά επιλεγεί μια όψη κάρτας (από τις έξη που υπάρχουν ) που είναι ορατή στο τραπέζι .Παρατηρούμε ότι αφού βλέπουμε μια λευκή πλευρά στο τραπέζι αυτή θα είναι είτε μια από τις δυο λευκές όψεις Α1 ,Α2 της κάρτας Α , είτε η λευκή πλευρά Β1 της κάρτας Β .Ο αντίστοιχος δείγματος χώρος Ω περιέχει τρία ισοπιθανα αποτελέσματα : Ω={Α1,Α2,Β1} Το ενδεχόμενο Α={ είναι και η άλλη όψη λευκή } αντιστοιχεί στο υποσύνολο Α={Α1,Α2} του δειγματικου χώρου . Είναι λοιπόν P(A)==2/3» Την επόμενη μέρα έγινε κανονικά μάθημα!!!!!!

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


30

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Ένα κουτί περιέχει 10 κάρτες κόκκινες (Κ) και 10 κάρτες μαύρες (Μ). Βγάζουμε από το κουτί τις κάρτες τη μία μετά την άλλη. Σταματάμε όταν βγάλουμε 2 κάρτες του ίδιου χρώματος συνεχόμενα ή όταν βγάλουμε 3 κάρτες του ίδιου χρώματος. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Λύση Κ Κ Κ

Κ Κ Μ Μ Μ Μ

Μ

Μ Κ Κ Μ Μ Κ Κ Μ

Άρα Ω={ΚΚ, ΚΜΚΚ, ΚΜΜ, ΚΜΚΜΚ, ΚΜΚΜΜ, ΜΜ, ΜΚΚ, ΜΚΜΜ, ΜΚΜΚΚ, ΜΚΜΚΜ}

2.Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές και καταγράφουμε τις ενδείξεις κεφαλή (Κ), γράμματα (Γ). α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να γράψετε τα ενδεχόμενα Α: να φέρουμε ακριβώς δύο φορές κεφαλή, Β: να φέρουμε τουλάχιστο μία φορά γράμματα. Λύση Κ Κ Γ Κ Κ Γ Γ ♦ Κ Κ Γ Γ Κ Γ Γ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


31

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Άρα Ω={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ} Α={ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} Β={ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ} 3)Έχουμε 2 κουτιά α και β. Το α περιέχει άσπρες (Α) σφαίρες, κόκκινες (Κ) και μαύρες (Μ) σφαίρες. Το β περιέχει άσπρες και μαύρες σφαίρες. Διαλέγουμε τυχαία μία σφαίρα. Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. Λύση

Α Κ α Μ

Άρα Ω={αΑ, αΚ, αΜ, βΑ, βΜ} Α β Μ

4)Τρία άτομα Α, Β, Γ τοποθετούνται τυχαία σε τρία συνεχόμενα καθίσματα. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα Κ: ο Α είναι δίπλα στον Β Λύση

Γ

Β

Β

Γ

Α

Γ

Γ

Α

Α

Β

Β

Α

Α

Β

Γ

Άρα

Ω={ΑΓΒ, ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΓΒΑ} Κ={ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΓΑΒ, ΓΒΑ} Λ={ΑΒΓ, ΓΒΑ}

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


32

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

5)Ένα μηχάνημα εξετάζεται ανάλογα με τρία χαρακτηριστικά του τα οποία είναι : ο τρόπος λειτουργ��ας (Λ), η τιμή αγοράς (Α) και το κόστος συντήρησης (Σ). Το μηχάνημα από πλευράς λειτουργίας χαρακτηρίζεται εύκολο (Ε), μέτριο (Μ), δύσκολο (Δ). Από πλευράς τιμής αγοράς φθηνό (Φ) ή ακριβό (Β) και από πλευράς κόστους συντήρησης υψηλού κόστους (Υ) ή χαμηλού κόστους (Χ). Παίρνουμε στην τύχη ένα μηχάνημα και σημειώνουμε τα χαρακτηριστικά του με τη σειρά του τρόπου λειτουργίας, την τιμή αγοράς και το κόστος συντήρησης. Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. Υ

Λύση Φ Χ Υ Ε

Β Χ Υ Φ Χ

Μ Υ Β Χ Υ ∆

Φ Χ Υ Β Χ

Άρα Ω={ΕΦΥ, ΕΦΧ, ΕΒΥ, ΕΒΧ, ΜΦΥ, ΜΒΥ, ΜΦΧ, ΜΒΧ, ΔΦΥ, ΔΦΧ, ΔΒΥ, ΔΒΧ}

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


33

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

6)Έστω Ω={ω1, ω2, ω3} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α = {ω1, ω2}, Β = {ω2, ω3}. Αν Ρ(Α)=

2 3 και Ρ(Β)= τότε να βρείτε τις πιθανότητες 5 4

Ρ(ω1), Ρ(ω2), Ρ(ω3). Λύση Έχουμε Ρ(ω1)+Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = Ρ(Ω) = 1 Ρ(Α)=

2 5

Ρ(ω1)+Ρ(ω2) = Ρ(Α)

Άρα Ρ(ω1)+Ρ(ω2) =

2 5

Άρα Ρ(ω2)+Ρ(ω3) =

3 4

3 4

Ρ(Β)=

Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = Ρ(Β) οπότε

Ρ(ω1)+Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = 1

2 5 3 Ρ(ω2)+Ρ(ω3) = 4

Ρ(ω1)+Ρ(ω2) =

2 5 2 3 = − = 5 5 5 5 3 4 3 1 Ρ(ω1) = 1 – (Ρ(ω2)+Ρ(ω3)) = 1 – = − = 4 4 4 4 1 3 20 5 12 3 Ρ(ω2) = 1 – (Ρ(ω1)+Ρ(ω3)) = 1 – − = − − = 4 5 20 20 20 20

Άρα Ρ(ω3) = 1 – (Ρ(ω1)+Ρ(ω2)) = 1 –

7)Διαθέτουμε ένα ζάρι του οποίου οι πλευρές έχουν τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Έστω Ρ1, Ρ2, Ρ3, Ρ4, Ρ5, Ρ6, αντιστοίχως οι πιθανότητες εμφάνισης των αριθμών κατά την ρίψη του ζαριού. Αυτό το ζάρι είναι σημαδεμένο με τέτοιο τρόπο ώστε: α) όλες οι πλευρές δεν έχουν την ίδια πιθανότητα να φανούν β) οι αριθμοί Ρ1, Ρ2, …, Ρ6 σχηματίζουν με αυτή τη σειρά αριθμητική πρόοδο γ) οι αριθμοί Ρ3, Ρ5, Ρ6 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου Ι. Προσδιορίστε τα Ρ1, Ρ2, …, Ρ6 ΙΙ. Υπολογίστε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α: η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός Β: η ένδειξη του ζαριού είναι πολλαπλάσιο του 3 Λύση

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


34

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6} με P(ωi) = Pi, με i=1, 2, 3, 4, 5, 6 Επειδή οι αριθμοί Ρ1, Ρ2, …, Ρ6 αποτελούν Α.Π. και είναι διαδοχικοί της όροι έχουμε : Ρ2=Ρ1+ω, Ρ3=Ρ1+2ω, Ρ4=Ρ1+3ω, Ρ5=Ρ1+4ω, Ρ6=Ρ1+5ω Ακόμα Ρ1+Ρ2+Ρ3+Ρ4+Ρ5+Ρ6=1 ⇔ Ρ1+Ρ1+ω+Ρ1+2ω+Ρ1+3ω+Ρ1+4ω+Ρ1+5ω=1

⇔ 6Ρ1+15ω=1 (1) Οι αριθμοί Ρ3, Ρ5, Ρ6 είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. άρα (Ρ5)2=Ρ3.Ρ6 ⇔

( P1 + 4ω )2 = ( P1 + 2ω ) ⋅ ( P1 + 5ω ) ⇔ P12 + 8 P1ω + 16 ω 2 = P12 + 7 P1ω + 10ω 2 ⇔ 6 ω 2 + P1ω = 0 ⇔ ω( 6 ω + P1 ) = 0 ⇔ ω = 0 ή P1 = −6 ω • •

1 άτοπο λόγω της συνθήκης (α) 6 Αν Ρ1= –6ω τότε από την (1) προκύπτει ότι 6(–6ω)+15ω=1 ⇔ –36ω+15ω=1 ⇔

Αν ω=0 τότε Ρ1=Ρ2=Ρ3=Ρ4=Ρ5=Ρ6=

–21ω=1 ⇔ ω = −

1 21

6  1   ⇔ P1 = 21  21 

Άρα P1 = −6  −

Επομένως έχουμε : P2 = P1 + ω =

P3 = P1 + 2ω =

6  1  4 + 2−  = 21  21  21

P4 = P1 + 3ω =

6  1  3 + 3 −  = 21  21  21

P5 = P1 + 4ω =

6  1  2 + 4−  = 21  21  21

P6 = P1 + 5ω =

6  1  1 + 5−  = 21  21  21

6  1  5 +−  = 21  21  21

5 3 1 9 + + = 21 21 21 21 4 1 5 Β={ω3, ω6} άρα Ρ(Β)= Ρ3+Ρ6 = + = 21 21 21

Α={ω2, ω4, ω6} άρα Ρ(Α)=Ρ2+Ρ4+Ρ6 =

8)Αν

Α,

P( A ∪ B ) =

Β

είναι

ενδεχόμενα

του

ίδιου

δειγματικού

χώρου

Ω

και

ισχύουν

4 1 2 , P( B′ ) = και P(A∩ B)= τότε να βρείτε τις Ρ(Β), Ρ(Α), P( A ∩ B '), P( A' ∩ B ) . 5 3 5

Λύση

P( B ) = 1 − P( B′ ) = 1 −

1 2 = 3 3

P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) ⇔ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

4 2 2 4 2 2 = P( A ) + − ⇔ P( A ) = − + ⇔ 5 3 5 5 3 5

http://mathhmagic.blogspot.gr/


35

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

6 2 18 − 10 8 − ⇔ P( A ) = ⇔ P( A ) = 5 3 15 15 8 2 8 6 2 P( A ∩ B′ ) = P( A − B ) = P( A ) − P( A ∩ B ) = − = − = 15 5 15 15 15 2 2 10 6 4 P( A′ ∩ B ) = P( B − A ) = P( B ) − P( A ∩ B ) = − = − = 3 5 15 15 15 P( A ) =

9)Αν Α, Β, Γ είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι : α) P( A ∪ B ) ≤ P( A ) + P( B ) β) P( A ∪ B ∪ Γ ) ≤ P( A ) + P( B ) + P( Γ ) Λύση α) Έχουμε : P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) και ακόμη P( A ∩ B ) ≥ 0 Οπότε P( A ) + P( B ) − P( A ∪ B ) = P( A ∩ B ) και P( A ∩ B ) ≥ 0 ⇔

P( A ) + P( B ) − P( A ∪ B ) ≥ 0 ⇔ − P( A ∪ B ) ≥ − P( A ) − P( B ) ⇔ P( A ∪ B ) ≤ P( A ) + P( B ) β) P( A ∪ B ∪ Γ ) = P [( A ∪ B ) ∪ Γ ] ≤ P( A ∪ B ) + P( Γ ) ≤ P( A ) + P( B ) + P( Γ ) με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) 10)Αν Α, Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, να δειχθεί ότι αν A ⊆ B τότε : Ρ(Β-Α) = Ρ(Β) – Ρ(Α) Λύση Έχουμε ότι ( B − A ) ∪ A = B , τα ενδεχόμενα Β – Α, Α είναι ξένα μεταξύ τους (ασυμβίβαστα) άρα:

P [( B − A ) ∪ A ] = P( B − A ) + P( A ) P( B ) = P( B − A ) + P( A ) P( B ) − P( A ) = P( B − A ) 11)Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν Ρ(Α)=

P( A ∪ B ) =

1 2 , Ρ(Β)= , 2 5

4 , να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : 5

α) Γ: να μην πραγματοποιηθεί το Α β) Δ: να πραγματοποιηθούν και το Α και το β γ) Ε: να πραγματοποιηθεί μόνο το Β δ) Ζ: να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και β ε) Η: να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


36

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Λύση

1 1 = 2 2 β) P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) ⇔ P( A ∩ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∪ B )

α) Ρ(Γ) = P( A′ ) = 1 − P( A ) = 1 −

1 2 4 1 2 5 4 1 + − = − = − = 2 5 5 2 5 10 10 10 2 1 4 1 3 γ) Ρ(Ε) = P( B − A ) = P( B ) − P( A ∩ B ) = − = − = 5 10 10 10 10 4 1 δ) Ρ(Ζ) = P [( A ∪ B )′] = 1 − P( A ∪ B ) = 1 − = 5 5 ε) Ρ(Η) = P [( A − B ) ∪ ( B − A )] = P( A ) + P( B ) − 2 P( A ∩ B ) = Ρ(Δ) = P( A ∩ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∪ B ) =

=

1 2 1 1 2 1 1 1 5+2 7 + − 2⋅ = + − = + = = 2 5 10 2 5 5 2 5 10 10

12. Έστω ο δειγματικος χώρος Ω , που αποτελείται από 15.000 στοιχεία , τα οποία είναι ισοπιθανα .Θεωρούμε και τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ του Ω , με 0 < P ( A) < 1 . P ( A) 1 Α. Να αποδείξετε ότι 4 ⋅ + ≥5. P( A ') P( A) Β. Αν στην σχέση του ερωτήματος (Α) ισχύει η ισότητα , τότε: α) να βρείτε το Ν(Α) , δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του Α . β) αν κάποιο ενδεχόμενο Β του Ω έχει 10.001 στοιχεία , να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. Λυση Α. Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε: P( A) 1 4⋅ + ≥5 P( A ') P( A) P( A) 1 4⋅ + ≥5 1 − P( A) P( A)

4( P( A)) 2 + 1 − P( A) ≥ 5 P( A)(1 − P( A)) 4( P( A)) 2 + 1 − P( A) ≥ 5 P( A) − 5( P( A)) 2 9( P( A)) 2 − 6 P( A) + 1 ≥ 0 (3P( A) − 1) 2 ≥ 0 που ισχύει. Β α) Από το ερώτημα (Α) έχουμε 3P( A) − 1 = 0 , δηλαδή N ( A) 1 N (Ω) 15.000 1 P( A) = ⇔ = ⇔ N ( A) = = = 5000 3 N (Ω ) 3 3 3 β)Αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα , τοτε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


37

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Ν ( Α) Ν (Β) 5000 10001 15001 + = + = >1 Ν (Ω) Ν (Ω) 15000 15000 15000 άτοπο αφού P ( A ∪ Β) ≤ 1 αρα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα . P( A ∪ Β) = P( A) + P(Β) =

13.Για ένα ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου Ω είναι γνωστό ότι η πιθανότητα να εμφανιστεί το Α είναι κατά 0.5 μεγαλύτερη της πιθανότητας να μην εμφανιστεί. Να υπολογιστεί η πιθανότητα εμφάνισης του Α. ΛΥΣΗ Ρ(Α΄)=Ρ(Α)+0.5 ⇔ 1 – Ρ(Α) = Ρ(Α) + 0.5 ⇔ Ρ(Α)=0.25 14)Το ποσοστό των υποψήφιων για εισαγωγή στα ΑΕΙ που παίρνουν βαθμολογία κάτω από τη βάση στο μάθημα της έκθεσης και των μαθηματικών είναι 20% και 30% αντίστοιχα, ενώ 10% των υποψηφίων παίρνει βαθμολογία κάτω από τη βάση και στα δύο μαθήματα. Να βρείτε το ποσοστό των υποψηφίων που παίρνει βαθμολογία κάτω από τη βάση α. μόνο στην έκθεση β. μόνο στα μαθηματικά γ. σε ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα δ. σε ένα ακριβώς από τα δύο μαθήματα. ΛΥΣΗ θέτουμε : Α: η βαθμολογία του υποψηφίου στο μάθημα της έκθεσης είναι κάτω από τη βάση Β: η βαθμολογία του υποψήφιου στο μάθημα των μαθηματικών είναι κάτω από τη βάση Ρ(Α)= 0.20

Ρ(Β)=0.30

Ρ(Α ∩ Β)=0.10

α. Ρ(Α ∩ Β΄)=Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)= 0.10 = 10% β. Ρ(Α΄ ∩ Β)=Ρ(Α) - Ρ(Α ∩ Β)= 0.20 = 20% γ. Ρ(Α ∪ Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α ∩ Β)= 0.40 = 40% δ. Ρ((Α ∩ Β΄) ∪ (Α΄ ∩ Β))= Ρ(Α ∩ Β΄)+ Ρ(Α΄ ∩ Β)= 0.30 = 30%

15.Σε έναν αγώνα δρόμου λαμβάνουν μέρος ν αθλητές α1 ,α2 ,α3 ,.....αν . Η πιθανότητα να τερματίσει πρώτος ο αθλητής ακ είναι Ρ ( ακ ) = x+

κ-1 με ν∈ ∈Ν* και x∈ ∈R με 0≤ ≤x< <1. 7ν

α) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει ο x, αν γνωρίζουμε ότι μόνο ένας αθλητής θα τερματίσει πρώτος. β) Για την μικρότερη τιμή του x που βρήκατε, να υπολογίσετε το πλήθος των αθλητών και την πιθανότητα του καθενός να τερματίσει πρώτος.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


38

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Λύση α) Είναι Ρ ( ακ ) = x+

κ-1 , οπότε: 7ν

Ρ ( α1 ) + Ρ ( α2 ) + Ρ ( α3 ) + ⋅⋅⋅ + Ρ ( αν ) = 1 ⇒ (x+

1-1 2-1 3-1 ν-1 )+ (x+ )+ (x+ )+ ⋅⋅⋅ + (x+ )= 1 ⇒ 7ν 7ν 7ν 7ν

⇒ νx+

1 2 ν-1 1 + + ⋅⋅⋅ + = 1 ⇒ νx+ 1+ 2+ ⋅⋅⋅ + ( ν-1)  = 1 ⇒ (αριθμητική πρόοδος) 7ν 7ν 7ν 7ν

⇒ νx+

1 ν-1 ν-1 ⋅ ( 1+ ν-1)= 1 ⇒ νx+ = 1 ⇒ 14νx+ ν-1= 14 ⇒ 7ν 2 14

⇒ ( 14x+ 1) ν= 15 ⇒ ν=

15 1 µε x ≠ (1) 14x+ 1 14

Επειδή ν∈Ν* τότε και

15 ∈ Ν* . 14x+ 1

Έτσι πρέπει ο αριθμός 14x+1 να είναι θετικός διαιρέτης του 15, δηλαδή να παίρνει τις τιμές 1 ή 3 ή 5 ή 15. Έτσι έχουμε: 14x+1 = 1 ⇒ 14 x = 0 ⇒ x = 0 , 14x+1 = 3 ⇒ 14x= 2 ⇒ x= 14x+1 = 5 ⇒ 14x= 4 ⇒ x= Έτσι x=0 ή x=

1 7

2 , 14x+1 = 15 ⇒ 14x= 14 ⇒ x= 1 απορρίπτεται. 7

1 2 ή x= . 7 7

β) Για x=0 ή (1) γίνεται: ν=

15 ⇒ ν= 15 . Άρα το πλήθος των αθλητών είναι 15. 14 ⋅ 0+ 1

Με ν=15 έχουμε:

Ρ ( α1 ) =

1-1 2-1 1 15-1 14 ⇒ Ρ ( α1 ) = 0 , Ρ ( α2 ) = ⇒ Ρ ( α2 ) = ,......., Ρ ( α15 ) = ⇒ Ρ ( α15 ) = 105 105 105 105 105

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


39

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

16)Σε µια τάξη της Β΄ Λυκείου υπάρχουν 20 αγόρια και 9 κορίτσια. Από τα αγό1 1 ρια το και από τα κορίτσια το είναι άριστοι στα Μαθηµατικά. Καλούµε τυχαία ένα 4 3 άτοµο για µια εξέταση. Ποια η πιθανότητα: α) Να µην είναι άριστο στα Μαθηµατικά. β) Να είναι κορίτσι. γ) Να είναι κορίτσι ή να µην είναι άριστο στα Μαθηµατικά. Λύση Κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα΅: Αγόρια

Κορίτσια

ΣΥΝΟΛΟ

Άριστοι

5

3

8

Μη άριστοι

15

6

21

ΣΥΝΟΛΟ

20

9

29

Α : Να µην είναι άριστο στα Μαθηµατικά. Β : Να είναι κορίτσι. Γ : Να είναι κορίτσι άριστο στα Μαθηµατικά. Δ: Να είναι κορίτσι ή να µην είναι άριστο στα Μαθηµατικά. α) Ρ (Α) =

21 . 29

β) Ρ (Β) =

9 . 29

γ) Ρ (Γ) =

3 . 29

δ) Ρ (Δ) = Ρ (Β) + Ρ (Α) - Ρ (Α ∩ Β) =

9 21 6 24 + = . 29 29 29 29

17)Μια µέρα µε πολύ άσχηµες καιρικές συνθήκες η πιθανότητα να λειτουργήσουν τα υπεραστικά λεωφορεία είναι 30%, η πιθανότητα να µη λειτουργήσουν τα τραίνα είναι 40% και η πιθανότητα να λειτουργήσει ένα τουλάχιστον συγκοινωνιακό µέσο από τα προηγούµενα είναι 90%. Ποια η πιθανότητα να λειτουργήσουν συγχρόνως και τα δύο; Λυση Εστω τα ενδεχοµενα: Α : λειτουργούν τα λεωφορεία. Β΄: δεν λειτουργούν τα τραίνα. Ρ (Α) = 0,3, Ρ (Β΄) = 0,4, άρα Ρ (Β) = 0,6. Ρ (Α ∪ Β) = P (Α) + Ρ (Β) - Ρ (Α ∩ Β) άρα 0,9 = 0,3 + 0,6 - Ρ (Α ∩ Β) άρα Ρ (Α ∩ Β) = 0.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


40

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

18)Έστω Α , Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Τότε ισχύει: α ) Αν Ρ (A) = Ρ (B), τότε A = B. β) Αν Ρ (A) ≠ Ρ (B), τότε A ≠ B. γ) Αν A = B, τότε Ρ (A) = Ρ (B) δ) Αν A ≠ B, τότε Ρ (A) ≠ Ρ (B). ε) Αν Ρ (A) + Ρ (B) = 1 , τότε B = A. Εξετάστε ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος. Λύση α) Λάθος, διότι αν π.χ. Ω = {1, 2, 3, 4} και Α = {1, 2}, Β = {3, 4} τότε Ρ (Α) = Ρ (Β) αλλά Α ≠ Β. β) Σωστή (άρνηση της πρότασης (α)). γ) Σωστή, αφού αν Α = Β τότε Ν (Α) = Ν (Β), συνεπώς Ρ (Α) =

N (A) N (Β) = = Ρ (Β). N (Ω) N (Ω)

δ) Λάθος (βλέπε πρόταση (α)). ε) Λάθος, διότι αν π.χ. Ω = {1, 2, 3, 4} και Α = {1, 2}, Β = {1, 4}, τότε Ρ (Α) =

1 1 , Ρ (Β) = . Άρα Ρ (Α) + Ρ (Β) = 1, όμως Β ≠ Α΄ = {3, 4}. 2 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


41

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές η λάθος . 1.Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. Σ Λ 2.Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 ≤ Ρ (Α) ≤ 1. Σ Λ 3. Για το αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ισχύει Ρ (∅) = 0. Σ Λ 4. Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Σ Λ 5. Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου του πειράματος. Σ Λ 6. Ένα αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγεται απλό ενδεχόμενο ή γεγονός. Σ Λ 7. Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι βέβαιο ενδεχόμενο. Σ Λ 8. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ονομάζουμε ενδεχόμενο του πειράματος κάθε υποσύνολο του Ω. Σ Λ 9. Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι και αυτός ένα ενδεχόμενο . Σ Λ 10. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις για ένα ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι στοιχεία του δειγματικού του χώρου. Σ Λ 11. Με Ν (Α) συμβολίζουμε όλα τα δυνατά υποσύνολα ενός ενδεχομένου Α. Σ Λ 12. Το συμπλήρωμα Α΄ οποιουδήποτε ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης είναι επίσης ενδεχόμενο αυτού του πειράματος. Σ Λ 13. Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο Α ∪ Β. B A

Σ

Λ

14. Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο Α ∪ Β.

A

B

Σ

Λ

Σ

Λ

15. Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο Β - Α .

A

B

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


42

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

16. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τότε ισχύει η ισότητα Α - Β = Α ∩ Β΄. Σ Λ 17. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω τότε ισχύει η ισότητα Β ∪Α = (Β-Α) ∪ (Α-Β). Σ Λ 18. Στο διπλανό σχήμα τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. B A

19. Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α ∩ Β = Α.

Σ

Λ

Σ

Λ

20. Τα ενδεχόμενα Α = {1, 4, 7}, Β = {4, 7, 11} είναι ξένα μεταξύ τους.

Σ

Λ

21. Αν το ενδεχόμενο Β = {2, 4, 6}, τότε Ν (Β) = 3.

Σ

Λ

Σ

Λ

22. Αν Α είναι το ενδεχόμενο να τραβήξουμε μια ντάμα από μια τράπουλα, τότε Ν (Α) = 2.

23. Οι εκφράσεις: «πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α ή το Β» και «πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β» είναι ισοδύναμες.

Σ

Λ

24. Το κενό σύνολο δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης.

Σ

Λ

25. Το κενό σύνολο είναι βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης.

Σ

Λ

26. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν τουλάχιστον δύο αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγονται σύνθετα

Σ

Λ

27. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν ένα μόνο αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγονται απλά ενδεχόμενα.

Σ

Λ

Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φοκ λέγεται σχετική συχνότητα του ενδεχομένου. ν 28. Για τη σχετική συχνότητα fA ενός ενδεχομένου Α ισχύει fA > 1.

ρές, τότε ο λόγος fA =

Σ

Λ

Σ

Λ

30.Aν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει ότι A − B = A ∩ B′ (Εξετάσεις 2009)

Σ

Λ

31. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ο τύπος Ρ(Α ∪Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)–Ρ(Α ∩Β) ισχύει μόνον ότ αν τα απλά ενδεχόμ ενα του τικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα. (Εξετάσεις 2009)

Σ

δειγμα-

Λ

32.Α ν τ ο ε ν δ ε χ ό μ ε ν ο Α ΄ , σ υ μ π λ η ρ ω μ α τ ι κ ό τ ο υ ε ν δ ε χ ο μ έ ν ο υ Α , π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ί τ α ι , τ ό τ ε δ ε ν π ρ α γ μ α τ ο π ο ι ε ί τ α ι τ ο Α . (Εξετάσεις 2006) Σ Λ 33.Το ενδεχόμενο Α∪Β πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα

ενδεχόμενα Α και Β. (Επαναληπτικές Εξετάσεις 2006)

Σ

Λ

34. Αν Α⊆Β τότε P(A) > P(B) . (Εξετάσεις 2005)

Σ

35.Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ισχύει Ρ(Α)=Ρ(Β), τότε είναι πάντοτε Ν(Α)=Ν(Β). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/

Λ


43

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

(Επαναληπτικές Εξετάσεις 2005)

Σ

Λ

36.Δυο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστε ,όταν A ∩ B ≠ ∅

Σ

(Επαναληπτικές Εξετάσεις 2013)

Λ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ 1.Συμπληρώστε τον πίνακα βάζοντας στη στήλη Β τον χαρακτηρισμό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Όπου βάλατε Λ (λάθος) συμπληρώστε στη στήλη Γ

τη σωστή σχέση διορθώνοντας το δεξιό

μέλος της αντίστοιχης ισότητας. Α

Β

Γ

Α∪Α=A Α∪∅=Α Α∩Α=∅

Λ

Α∩Α=Α

Α∩∅=Α Α΄ ∩ Α = Ω Α΄ ∪ Α = ∅ Ω΄ = Ω (Α΄)΄ = Ω Α∩Β=Β∩Α Α∩Β=Β∪Α ∅΄ = Ω

Αν Α ⊆ Β τότε Α∪Β=Β Α΄ ∪ Α = Ω Α΄ ∩ Α = ∅ (Α΄)΄ = Α Αν Α ⊆ Β τότε Α∩Β=Α

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


44

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

2.Η στήλη Α του πίνακα γράφονται ισχυρισμοί για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος. Στη στήλη Β γράφονται ισοδύναμοι ισχυρισμοί διατυπωμένοι στη γλώσσα των συνόλων (w ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού).Αντιστοιχίστε κατάλληλα κάθε στοιχείo της στήλης Α με ένα μόνο της στήλης Β. Στήλη Α

Στήλη Β i) w ∈ A

1) Το Α δεν πραγματοποιείται.

ii) w ∈ (A ∪ B΄)

2) Ένα τουλάχιστον από τα Α

iii) w ∈ ( A΄ - Α)

και Β πραγματοποιείται.

iv) w ∈ (A ∩ Β) v) w ∈ (A ∪ Β)

3) Πραγματοποιούνται συγχρόνως και το Α και το Β.

vi) w ∈ A΄ vii) w ∈ (A ∪ B)΄

4) Το Α πραγματοποιείται.

viii) w ∈ (Α ∩ Β΄) ∪ (Α΄ ∩ Β) ix) w ∈ Β

5) Κανένα από τα Α και Β δεν πραγματοποιείται.

x) w ∈ (Α ∩ Β΄) xi) w ∈ (Β ∩ Α΄)

6) Πραγματοποιείται μόνο το Α

xii) w ∈ (B ∩ A)΄

ή

xiii) w ∈ (A ∩ B)΄ μόνο το Β.

xiv) w ∈ (A΄∪ Β)

7) Το Β πραγματοποιείται 8) Πραγματοποιείται μόνο το Α. 9) Πραγματοποιείται μόνο το Β.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


45

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΆΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.

Ένα κουτί περιέχει 10 μπάλες κόκκινες (Κ) και 10 μπάλες μαύρες (Μ). Βγάζουμε από το κουτί μπάλες τη μία μετά την άλλη. Σταματάμε όταν βγάλουμε 2 μπάλες του ίδιου χρώματος συνεχόμενα ή όταν βγάλουμε 3 μπάλες του ίδιου χρώματος. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος.

2.

Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές και καταγράφουμε τις ενδείξεις κεφαλή (Κ), γράμματα (Γ). α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να γράψετε τα ενδεχόμενα Α: να φέρουμε ακριβώς δύο φορές κεφαλή, Β: να φέρουμε τουλάχιστο μία φορά γράμματα.

3.

Ρίχνουμε ένα ζάρι που δεν είναι αμερόληπτο , και έστω Α1, Α2, Α3, Α4, Α5, Α6 τα ενδεχόμενα η ένδειξη να είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6 αντίστοιχα. Αν P( A1 ) =

1 1 1 , P( A2 ) = P( A3 ) = P( A4 ) = P( A5 ) = και P( A6 ) = , ποια η πιθανότητα 12 6 4

του ενδεχομένου Α: η ένδειξη να είναι άρτιος αριθμός 4.

Έστω Ω={ω1, ω2, ω3} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α = {ω1, ω2}, Β = {ω2, ω3}. Αν Ρ(Α)=

2 3 και Ρ(Β)= τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω1), Ρ(ω2), 5 4

Ρ(ω3). 5.

Έχω P( A ) =

1 2 4 , P( B ) = και P( A ∪ B ) = . Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : 2 5 5

α) να πραγματοποιηθεί το Α β) να πραγματοποιηθεί το Α και το Β γ) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β δ) να πραγματοποιηθεί μόνο το Β ε) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β στ) δεν πραγματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β 6.

Έχουμε Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να υπολογιστούν οι παρακάτω πιθανότητες : Α={4, 5, 6}, Β={1, 2, 3, 4}, Γ={5, 6, 9}, Α’, Β’, Γ’ και

A ∩ B , A ∪ B , A − B , B − Γ , B ∩ Γ ,( A ∪ B ) ∩ Γ′,( A ∩ B ) ∪ Γ′ 7.

Η Γ’ Λυκείου έχει 120 μαθητές. Εάν η P( Θρ ) =

1 1 α , P( Θτ ) = και P(Tεχν)= , να 3 α+ 5 α +1

βρεθεί το πλήθος των μαθητών κάθε κατεύθυνσης. 8.

Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύει :

P( A′ ) 1 = και P( A ∩ B ) = 0,6 P( A ) 4 α) Να δείξετε ότι : 0,6 ≤ P( B ) ≤ 0,8 β) Αν P( A ∪ B ) = 0,9 , να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το Α ή μόνο το Β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


46

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

9.

Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω σ’ ένα πείραμα τύχης και ισχύουν: α) η Ρ(Α) είναι λύση της εξίσωσης 5x2 + 9x – 2 = 0 β) P( A ∪ B ) = 2 P( A ) =

3 P( B ) 2

να υπολογιστούν οι Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Α-Β) 10. Σε μια τάξη με 30 μαθητές, οι 15 μαθητές έχουν ποδήλατο, οι 10 έχουν μηχανή και οι 4 έχουν και τα δύο. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) να μην έχει ποδήλατο ούτε μηχανή β) να έχει ποδήλατο αλλά όχι μηχανή 11. Δίνονται οι συναρτήσεις

f ( x ) = 4( x − 1 )( x 2 − 5 x + 6 ) και g ( x ) = x 2 + ( κ 2 − 5κ )x + 13, x ∈ R ,κ ∈ R α) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6} με ω1=x1, ω2=x2, ω3=x3, ω4=4x1, ω5=4x2, ω6=4x3, όπου x1, x2, x3 οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0. Οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων ικανοποιούν τις σχέσεις : Ρ(ω6)=Ρ(ω5)=Ρ(ω4)=3Ρ(ω3)=3Ρ(ω2)=3Ρ(ω1) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω. β) Αν Β={ κ ∈ Ω /η g(x) παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο x0=3} να βρείτε την Ρ(Β). 12. Τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α’, Β’ των Α, Β ενός δ.χ. Ω ικανοποιούν τις σχέσεις Ρ(Α’)=0,8 και Ρ(Β’)=0,1. α) Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα β) Να δείξετε ότι 0,7 ≤ P( A′ ∩ B ) ≤ 0,8 13. Στη βιτρίνα ενός βιβλιοπωλείου βρίσκονται βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής. Τα βιβλία των Μαθηματικών είναι 5 περισσότερα από της Φυσικής. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα βιβλία και θεωρούμε Ρ(Μ), Ρ(Φ) τις πιθανότητες εκλογής βιβλίων Μαθηματικών και Φυσικής αντίστοιχα. α) Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό βιβλίων Φυσικής που πρέπει να υπάρχουν στην βιτρίνα, ώστε P( Φ ) ≥

3 P( M ) 4

β) Πόσα βιβλία υπάρχουν στην βιτρίνα αν P( Φ ) =

7 P( M ) 8

14. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και x, y ενδεχόμενα του τέτοια ώστε

x ≤ y . Έστω Ρ(x), Ρ(y) είναι οι πιθανότητες των x, y αντιστοίχως. Αν οι πραγματικοί αριθμοί P(X), P(y) είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f(x)=4x3 – 5x2 + 2x + 2000, x ∈ R να υπολογίσετε : α) τις πιθανότητες Ρ(x), P(y) β) τις πιθανότητες P( x ∩ y ), P( x ∪ y ), P( y − x )

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


47

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

15. Έστω ότι ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα με Ν(Ω)=κ2, κ ∈ N * και Ν(Ω)<30. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω με :

N ( A′ ) = κ 2 − 2κ − 6 , N ( B′ ) = κ 2 − κ − 5 και A ∩ B απλό ενδεχόμενο να βρεθούν : α) οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) συναρτήσει του κ β) το πλήθος των στοιχείων του Ω 16. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β του δ.χ Ω για τα οποία ισχύει :

P( A ∪ B′ ) = 0,8 , P( A′ ∪ B ) = 0,7 και P( A ) + P( B ) = 1,1 . Να βρείτε τις πιθανότητες των Ρ(Α), Ρ(Β) και P( A ∩ B ) . 17. Σ’ ένα συνεργείο αυτοκινήτων το 10% των βλαβών είναι μηχανικές, το 6% ηλεκτρικές και το 2% των αυτοκινήτων αντιμετωπίζουν και τις δύο βλάβες. Επιλέγουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο και έστω Α το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο να έχει μηχανική βλάβη και Β το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο να έχει ηλεκτρική βλάβη. α) Τι εκφράζει το ενδεχόμενο A ∪ B και ποια η πιθανότητα του; β) Τι εκφράζει το ενδεχόμενο ( A − B ) ∪ ( B − A ) και ποια η πιθανότητα του; γ) Πώς συμβολίζεται το ενδεχόμενο "το αυτοκίνητο δεν έχει βλάβη" και ποια η πιθανότητα του; 18. Έστω Α, Β τα ενδεχόμενα ενός δ.χ Ω με P( A′ ) ≤ 0,25 και P(B′) ≤ 0,55 . α) Να εξετάσετε αν είναι ασυμβίβαστα. β) Να δειχθεί ότι : 0,45 ≤ P( A ∪ B ) . γ) Να δειχθεί ότι : P( A ∩ B ) ≤ 0,2 . 19. Εκτελούμε ένα πείραμα τύχης και έστω α, β, γ, δ, ε τα πιθανά αποτελέσματα των οποίων οι πιθανότητες είναι Ρ(α)=0,13 , Ρ(β)=0,05 , Ρ(γ)=ρ , Ρ(δ)=0,55 , Ρ(ε)=0,1. Να βρεθούν : α) το ρ β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Κ={α, γ}, Λ={β, δ} και Μ={α, β, ε} γ) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Μ-Κ, Μ-Λ 20. Μια τάξη έχει 30 παιδιά. Τα 2/3 των αγοριών και τα 2/3 των κοριτσιών έχουν καστανά μάτια. Εκλέγουμε στη τύχη ένα άτομο. Αν η πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει καστανά μάτια είναι 13/15, να βρείτε πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια της τάξης. 21. Έστω ότι η πιθανότητα Ρ(Β) είναι ίση με τη μέγιστη τιμή της f(x) =lnx – x + 1,6 , όταν

A ⊆ B και Ρ(Α)=Ρ(Α-Β). Να υπολογίσετε τις Ρ(Α) και Ρ(Β). 22. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δ.χ. Ω. Η πιθανότητα να μη συμβεί ούτε το Α ούτε το Β είναι 0,1 , η πιθανότητα πραγματοποίησης και των 2 είναι 0,5 και η πιθανότητα πραγματοποίησης του Β είναι ίση με τα ¾ της πιθανότητας πραγματοποίησης του Α. Να υπολογίσετε τις Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α-Β) και Ρ(Β-Α).

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


48

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

23. Έστω ο δ.χ. Ω={ω1, ω2, ω3, ω4} και τα ενδεχόμενα Α={ω1, ω2} και β={ω2, ω3, ω4}. Αν Ρ(Α)=Ρ(ω3), Ρ(Β)=10.Ρ(ω1) και Ρ(Β-Α)=8/11 , να υπολογίσετε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του δ.χ. Ω. 24. Σε έρευνα μεταξύ των οικογενειών μιας πόλης διαπιστώθηκε ότι το 15% δεν έχει ιδιόκτητη κατοικία, το 10% δεν έχει αυτοκίνητο και το 5% δεν έχει ούτε ιδιόκτητη κατοικία ούτε αυτοκίνητο. Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια. Να βρείτε την πιθανότητα : α) να έχει ιδιόκτητη κατοικία και αυτοκίνητο β) να έχει ιδιόκτητη κατοικία αλλά όχι αυτοκίνητο 25. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αex – αx + 3x – 3ex και ο δ.χ. ενός πειράματος τύχης Ω = { α ∈ Z , 0 ≤ α ≤ 10,α ≠ 3 }. Εκλέγουμε τυχαία ένα από τα ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα του Ω και α-

ντικαθιστούμε με αυτό το α στον τύπο της f. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α: η f παρουσιάζει μέγιστο Β: η f έχει ελάχιστη τιμή 6 ή 7 26. Από μια κάλπη που περιέχει 1000 λαχνούς αριθμημένους από το 1 ως το 1000 εκλέγεται ένας τυχαία. Να βρείτε την πιθανότητα η ένδειξη του λαχνού να είναι πολλαπλάσιο του 2 ή του 5. 27. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =

x3 α 2 + x + αχ + 1 . Ρίχνουμε ένα ζάρι και με τον αριθμό που 3 2

εμφανίζεται αντικαθιστούμε τον πραγματικό αριθμό α. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: η f να είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x ∈ R . 28. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την σύνθεση του υπαλληλικού προσωπικού σε μια δημόσια υπηρεσία από άποψη φύλου και μόρφωσης. Άνδρες

Γυναίκες

Απόφοιτοι Λυκείου

20

10

Πτυχιούχοι ΑΕΙ

20

50

α) Η μέση ηλικία ολόκληρου του προσωπικού είναι 42 χρόνια, των ανδρών είναι 48 χρόνια, των αποφοίτων Λυκείου είναι 37 χρόνια και των γυναικών πτυχιούχων 40 χρόνια. Να υπολογιστούν οι μέσες ηλικίες : i) όλων των γυναικών ii) των ανδρών αποφοίτων Λυκείου β) Αν επιλεγεί τυχαία ένας υπάλληλος να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Κ: ο υπάλληλος είναι γυναίκα ii) Λ: ο υπάλληλος είναι απόφοιτος Λυκείου iii) Μ: ο υπάλληλος είναι άνδρας ή πτυχιούχος ΑΕΙ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


49

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

29. Μια οικογένεια έχει δύο παιδιά, το Νίκο και τον Κώστα, υποψήφιους φοιτητές. Η πιθανότητα να πετύχει ο Νίκος είναι 0,8 , η πιθανότητα να πετύχει ο Κώστας είναι 0,6 ενώ η πιθανότητα να αποτύχει τουλάχιστον το ένα από τα 2 παιδιά είναι 0,4. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να πετύχει τουλάχιστον ένα από τα δύο παιδιά. 30. Αν Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω με P( A ) =

1 , x ≠ 1 , τότε να δείξετε ότι x>1 x

και να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f ( x ) = [ P( A′ )] 2 xP( A ) . 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω με P( A ) ≤ 0,35 και P( B ) ≤ 0,52 . Να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα δεν είναι ασυμβίβαστα και ότι P( A ∩ B ) ≥ 0,13 . 32. α) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + (1 – x)2 , x ∈ [ 0,1] . Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f. β) Να δείξετε ότι : P( A ) + P( A′ ) ≥

1 2

33. Έστω Ω ο δ.χ. ενός πειράματος τύχης και Α, Β δύο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει :

P( A ∩ B ) = P( A ) ⋅ P( B ) α) Να δείξετε ότι : i) P( B − A ) = P( A′ ) ⋅ P( B ) ii) P( A′ ∩ B′ ) = P( A′ ) ⋅ P( B′ ) β) Αν Ρ(Α)=κ και Ρ(Β)=λ να βρεθεί η πιθανότητα P( A′ ∩ B′ ) ως συνάρτηση των κ, λ. 34. Θεωρούμε το δ.χ. Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} με αντίστοιχες πιθανότητες 0,2 , 0,3 , Ρ , 0,1 , 0,2 , 0,1 και τη συνάρτηση f(x) = x2 + αx + 4, α ∈ Ω . Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α. lim x →2

f ( x )− f ( 2 ) ≤7 x−2

Β. Η f παίρνει τιμές μικρότερες του -1/2 35. Ρίχνουμε δύο ζάρια και θεωρούμε (α, β) το αποτέλεσμα που προκύπτει. Επίσης θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x2 + αx + β. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο x0=1. β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α1: η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Μ(0,3). γ) Βρείτε τα ακρότατα της f. δ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α2: η ελάχιστη τιμή της f είναι 3 ή 4. ε) Να υπολογίσετε την P( A1 ∩ A2 ) . 36. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δ.χ. Ω για τα οποία ισχύουν :

P( A − B ) =

1 1 1 , P( A ∩ B ) = και P( B′ − A ) = 4 20 2

α) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α) β) Να δείξετε ότι Ρ(Β)=1/4

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


50

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. 37. Σ’ έναν πανελλήνιο διαγωνισμό δόθηκαν στους εξεταζόμενους δύο είδη διαγωνισμάτων αριθμημένα με τους αριθμούς 1 και 2. Το διαγώνισμα με τον αριθμό 1 περιέχει δύο είδη θεμάτων τύπου Α και Β, ενώ το διαγώνισμα με τον αριθμό 2 περιέχει τρία είδη θεμάτων τύπου Α, Β, Γ. Κάθε τύπος αποτελείται από υποερωτήματα α, β, γ. α) Να βρεθεί με δενδροδιάγραμμα ο δειγματικός χώρος. β) Επιλέγουμε τυχαία ένα διαγώνισμα εξεταζομένου. Να βρεθούν οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων : Κ: ο εξεταζόμενος έχε επιλέξει διαγώνισμα τύπου 1 και έχει απαντήσει στα υποερωτήματα α, γ Λ: ο εξεταζόμενος έχει επιλέξει διαγώνισμα τύπου Α και έχει απαντήσει μόνο στα υποερωτήματα β, γ 38. Θεωρούμε ένα αμερόληπτο ζάρι και έστω Ω ο δειγματικός χώρος. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχόμενων : Α: { α ∈ Ω / η μέση τιμή του δείγματος α3, 5 – 2α2, 7 – 2α2, –12, -7α είναι ίση με –2} Β: { β ∈ Ω / η διάμεσος του δείγματος 4, β, 0, 6, 3, 4 είναι ίση με 6} Γ: { γ ∈ Ω / η επικρατούσα τιμή του δείγματος 1, 6, –γ2+5γ, 9, 5, 1, γ – 2, γ+4 είναι ίση με 6} Δ: { δ ∈ Ω / η εξίσωση x2+4x+δ δεν έχει πραγματικές ρίζες} Ε: { ε ∈ Ω / η συνάρτηση g(x)=x2 + (ε2 – 5)x + 10 έχει τοπικό ακρότατο στο x0=2}

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


51

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΓΙΑ ΠΛΗΡΗ ΟΔΗΓΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟ ΣΥΝΔΕΣΜΟ: http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/04/blog-post_10.html ●The Monty Hall problem - Ένα απρόσμενο παράδοξο πιθανοτήτων Ο Monty Hall είναι Καναδός σόουμαν, που παρουσίαζε το περίφημο τηλεπαιχνίδι Let’s make a deal στο ABC από το 1963 μέχρι το 1977 και σε μερικές ακόμα μεμονωμένες σαιζόν μέχρι και το 1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι από τα ιστορικότερα που έχουν περάσει από την τηλεόραση, και χαρακτηριστικό είναι ότι αρκετά στοιχεία του έχουν εμπνεύσει και επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια μέχρι και σήμερα. Το όνομα του Monty Hall, όμως, είναι πλέον γνωστό κυρίως στους μελετητές της επιστήμης των πιθανοτήτων, αφού αντιστοιχεί σε ένα από τα μεγαλύτερα παραδοξα της επιστήμης αυτής Όλα ξεκίνησαν όταν το 1975 ο Steve Selvin έστειλε ένα γράμμα στο περιοδικό American Statistician, δημοσιεύοντας ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο αργότερα ονόμασε Monty Hall problem.Το Monty Hall problem έχει ως εξής. Πίσω από τρεις κουρτίνες τοποθετούνται ένα ωραίο σπορ αυτοκίνητο και δύο κατσίκες. Ο παρουσιαστής γνωρίζει ποια κουρτίνα κρύβει το αυτοκίνητο. Ο παίκτης καλείται να επιλέξει μια κουρτίνα, π.χ.την Α. Στη συνέχεια ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις άλλες κουρτίνες που κρύβει πίσω της μία κατσίκα. Ας πούμε ότι ανοίγει τη Β. Δίνεται τώρα στον παίκτη η δυνατότητα είτε να επιμείνει στην αρχική επιλογή του(κουρτίνα Α) είτε να αλλάξει και να ανοίξει την κουρτίνα Γ. Τι έχει συμφέρον να κάνει ο παίκτης; Η πρώτη απάντηση που έρχεται στο μυαλό των περισσοτέρων είναι ότι αφού έχει ήδη ανοίξει μία κουρτίνα που έκρυβε κατσίκα και έχουν απομείνει μία κουρτίνα με κατσίκα και μία με το αυτοκίνητο, οι πιθανότητες είναι πια 50-50 και καμιά από ις δυνατές επιλογές του παίκτη δεν είναι ευνοϊκότερη από την άλλη. Ωστόσο, αυτή η άποψη είναι λανθασμένη! Για να κατανοήσουμε το γιατ�� πρέπει να απογυμνώσουμε το πρόβλημα από κάθε παρελκυστικό παράγοντα εντυπωσιασμού και να ο αντιμετωπίσουμε με καθαρή μαθηματική λογική. Αγνοώντας τον ψυχολογικό παράγοντα –χαμόγελα, χειροκροτήματα, γκριμάτσες του παρουσιαστή κ.λπ. – ο παίκτης οφείλει να καθορίσει τη στρατηγική του από το σπίτι του, πριν καν μπει στο στούντιο: Υπάρχουν δύο δυνατές στρατηγικές: 1η Ο παίκτης επιλέγει μία κουρτίνα π.χ. την Α) και εμμένει σε αυτήν μέχρι το τέλος, ό,τι και αν του πει ο παρουσιαστής. Αφού υπάρχουν τρεις κουρτίνες και ένα αυτοκίνητο, η πιθανότητα νίκης με αυτή τη στρατηγική είναι 1/3. 2η Ο παίκτης επιλέγει αρχικά μία κουρτίνα (π.χ. την Α) και μόλις ο παρουσιαστής ανοίξει μία άλλη κουρτίνα (π.χ. τη Β) και αποκαλύψει μία κατσίκα, αλλάζει και επιλέγει την κουρτίνα Γ που έχει απομείνει. Με αυτή τη στρατηγική, ο παίκτης για να κερδίσει τελικά οφείλει να επιλέξει αρχικά μία κουρτίνα με κατσίκα. Ο παρουσιαστής θα ανοίξει τότε την άλλη κουρτίνα με την κατσίκα και αλλάζοντας ο παίκτης θα πάρει τελικά το αυτοκίνητο. Ετσι η πιθανότητα νίκης του με αυτή τη δεύτερη στρατηγική είναι 2/3. Ακόμα και μαθηματικοί τεραστίου διαμετρήματος λέγεται, δε βρίσκουν τη σωστή απάντηση. Οι στατι στικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην παραπάνω ερώτηση.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


52

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΓΛΩΣΣΑ ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΙΑΣ 1) ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ

ΓΛΩΣΣΑ ΣΥΝΟΛΟΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ

2)

ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΟΥ Ω

ω∈Ω

0≤Ρ(ω)≤1

ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΤΟΥ Ω (Α⊆Ω)

ω∈Α

0≤Ρ(Α)≤1

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΟΥ Α

ω∈Α΄

ΕΝΩΣΗ ΤΩΝ Α , Β

ω∈Α∪Β

Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)

ΤΟΜΗ ΤΩΝ Α , Β

ω∈Α∩Β

Ρ(Α∩Β)==Ρ(Α)+Ρ(Β)-

ΔΥΝΑΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΟΥ ΤΥ-

Ω

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

Ρ(Ω)=1

ΧΑΙΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ 3)

ΤΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ Α ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ

4)ΤΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ Α ΔΕΝ ΠΡΑΓΜΑΤΟ-

(ή ω∉Α)

Ρ(Α΄)=1-Ρ(Α)

ΠΟΙΕΙΤΑΙ 4)

ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΕΝΑ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΑΠΟ ΤΑ Α , Β

( ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ Α ή Β ) 5)

ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΚΑΙ ΤΟ Α ΚΑΙ ΤΟ Β

6)

ΔΕΝ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΚΑΝΕΝΑ

Ρ(Α∪Β) ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΗΣ ΕΝΩΣΗΣ

ω∈(Α∪Β)΄=Α΄∩Β΄

ΑΠΟ ΤΑ Α , Β

7)

ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΤΟ Α

=1-Ρ(Α∪Β) Α ΤΟΜΗ Β΄

ω∈Α∩Β΄

(ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΟ Β)

8)

ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΕΝΑ

Ρ(Α΄∩Β΄)=Ρ[(Α∪Β)΄]=

Ρ(Α∩Β΄)=Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β)

[Α=(Α∩Β΄)∪(Α∩Β)] ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΟΜΗΣ

ω∈(Α∩Β΄)∪(Α΄∪Β)

ΑΠΟ ΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Α , Β

Ρ[(Α∩Β΄)∪Ρ(Α΄∩Β)]= =Ρ(Α∩Β΄)+Ρ(Α΄∩Β)= =Ρ(Α∪Β)-Ρ(Α∩Β)

9)

Η ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ Α ΣΥ-

Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΣΘΑΙ

Α⊆Β

Ρ(Α)<Ρ(Β)

ΞΕΝΑ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΣΥΝΟΛΑ Α

Α∩Β=∅

Ρ(Α∩Β)=0 ΚΑΙ

ΝΕΠΑΓΕΤΑΙ ΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ Β 10) ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Α , Β

Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)

11) ΑΔΥΝΑΤΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ

ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ

12) ΒΕΒΑΙΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ

ΟΛΟΚΛΗΡΟΣ ΟΧΩΡΟΣ

Ω

Ρ(∅)=0

( ΣΥΝΟΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ) 13) ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΠΟΛΥ

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΤΟΜΗΣ

ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ Α , Β ( ΔΗΛ. ΔΕΝ

Ρ[(Α∩Β)΄]=1Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α΄∪Β΄)=

ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ

=Ρ(Α΄)+Ρ(Β΄)-Ρ(Α΄∩Β΄) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


53

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1). Έστω Α ≠ ∅ ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω και Α' το αντίθετο του Α. x Θεωρούμε τη συνάρτηση: f ( χ ) = x ⋅ P ( A) P ( A ') όπου P ( A) = 2 και χ πραγματικός αριθμός. α) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Σε ποιο σημείο του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει μέγιστο; Ποιες είναι τότε οι τιμές των πιθανοτήτων Ρ(Α) και Ρ(Α'); 2)Α .Αν Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω και ισχύουν P ( A) ρίζα της 3 εξίσωσης 5 x 2 + 9 x − 2 = 0 και Ρ(Α ∩ Β)=2 Ρ(Α)= Ρ(Β), να υπολογίσετε τις Ρ(Α), Ρ(Β), 2 Ρ(Α ∪ Β). B.Αν Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω και ισχύουν 4 1 P ( B ') = , P ( A ∩ B ) = και 16 P( A) 2 ≤ 15 P( A) − 9 P( A ') , να βρείτε τις πιθανότητες των ενδε5 6 χομένων i)B , ii)A iii) A ∪ B 3)Έστω δειγματικός χώρος Ω= {1,2, 3, 4, ..., 2004} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και Α , Β είναι δυο ενδεχόμενα ασυμβίβαστα του δειγματικου χώρου Ω για τα οποία ισχύει 9( P ( B ) 2 ) − 7 P ( B ) + 2 = P ( A) 1 2 α. Να δείξετε ότι P ( B ) = , P ( A) = 3 3 β. Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α και Β γ. Τι συμπεραίνετε για τα ενδεχόμενα Α και Β 4). Δίνεται η συνάρτηση: f (χ) = 1 + ln(x2 +1), x ∈ R . α) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισμού της. β) Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α, Β δύο ενδεχόμενα του για τα οποία ισχύει η σχέση: f(P(A)) = P(B). Nα αποδείξετε ότι το Β είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Α είναι αδύνατο ενδεχόμενο. 5). Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε: Ρ(Α) + Ρ(Β) =1 και Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α)Ρ(Β)[1 - Ρ(Α ∩ Β)]. α) Nα εκφράσετε την πιθανότητα Ρ(Α ∩ Β) ως συνάρτηση των πιθανοτήτων Ρ(Α), Ρ(Β). β) i) Αν Ρ(Α) = χ, να εκφράσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Γ = (Α - Β) ∪ (Β - Α) ως συνάρτηση του χ. ii) Nα βρείτε την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας Ρ(Γ). Ποιες είναι τότε οι τιμές των πιθανοτήτων Ρ(Α) και Ρ(Β);

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


54

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

6). Έστω ο δειγματικός χώρος Ω= {1, 3, 5, ..., 2ν-1} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και ν θετικός ακέραιος. Υποθέτουμε ότι οι αριθμοί 1, 3, 5,..., 2ν-1 είναι τιμές μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή X = 10. Α. Nα βρείτε: α) όλα τα στοιχεία του Ω. β) τη διάμεσο και το εύρος των τιμών της Χ. γ) τη διακύμανση s2 και να δείξετε ότι: s2 = 3 X + 3 Β. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α ={α ∈ Ω / α πολ/σιο του 3} ( x 2 − 9)( x 2 − 10 x + 9) Β ={β ∈ Ω/β ρίζα της εξίσωσης =0} x−3 Nα βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α ∪ Β, A ∩ Β και Α- Β. 7)Έστω Ω= {χ1, χ2,χ3,χ4} ο δειγματικος χώρος ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπιθανα ενδεχόμενα και η συνάρτηση : g ( χ ) = λχ + ln(λχ ), χ > 0, λ ∈ Ω Θεωρούμε το ενδεχόμενο : Α=’’ Η ευθεία y = (λ 2 − 17λ + 73) χ + 2005, λ ∈ Ω είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο με τετμημένη χ=1’’. Να βρείτε την πιθανότητα P (A). 8) Δίνονται τα Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω. Αν Α ⊆ Β x 2 P ( A ∩ B ) − 4 P ( A) P(A)=0.2 και P ( B ) = lim , να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομέx→2 x−2 νων P ( B ') και P ( A ∩ B ) . 9)Δίνεται ο δειγματικος χώρος Ω = {1, 2,......,100

} με ισοπιθανα

στοιχειώδη ενδεχόμε-

να . Αν Α,Β δυο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω για τα οποία ισχύει 16[ P (Β)]2 − 25 P ( B ) − P ( A) + 10 = 0 να βρείτε : i) τις πιθανότητες P(Α),P(B) ii)το πλήθος των στοιχειών των Α και Β . Τι συμπέρασμα βγαίνει για τα Α και Β. 10) Στον διπλανό πίνακα δίνονται οι συχνότητες των τιμών μιας μεταβλητής Χ. Αν η τυπική απόκλιση των τιμών είναι s=3,8, να βρείΤιμές x i Συχνότητα v i τε: i) τη μέση τιμή x , ii) την πιθανότητα μια τυχαία τιμή της μεταβλητής να βρίσκεται στο διάστημα ( x-s, x+s )

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

20 21 24 26 30 Σύνολο

4 2 5 3 6 20

http://mathhmagic.blogspot.gr/


55

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

11).Στον πίνακα φαίνεται το πλήθος των επισκέψεων 40 μαθητών σε διάφορα μουσεία της χώρας κατά τη διάρκεια των δύο τελευταίων ετών. Επισκέψεις [ , ) Συχνότητα [0,2) 8 [2,4) κ [4,6) 10 [6,8) 6 [8,10) λ Αν η μέση τιμή των επισκέψεων είναι 4: i) να υπολογίσετε τα κ και λ, ii) να βρείτε την πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγόμενος μαθητής από αυτούς να πήγε τα τελευταία δύο χρόνια σε μουσείο: α. το πολύ 5 φορές, β. 6 ή 7 φορές, γ. καμία φορά, δ. τουλάχιστον 7 φορές, iii) να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που τα τελευταία δύο χρόνια πήγαν σε μουσείο το πολύ 3 φορές, iv) να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 12).Η ποσότητα πετρελαίου που καίει ένας καυστήρας σε 24 ώρες είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μ=200 λίτρα και τυπική απόκλιση s=20 λίτρα. Αν υπάρχουν ακόμη 260 λίτρα στην αποθήκη, ποια η πιθανότητα να διαρκέσουν για 24 ώρες; 13).Μηχανή κατασκευάζει βίδες των οποίων το μήκος σε χιλιοστά ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μήκος 40 και τυπική απόκλιση 1. Αν το μήκος μιας βίδας είναι εκτός του διαστήματος [39, 41], η βίδα θεωρείται ελαττωματική. Να υπολογίσετε: i) το ποσοστό των ελαττωματικών βιδών που παράγει η μηχανή, ii) την πιθανότητα, αν πάρουμε μια βίδα τυχαία από την γραμμή παραγωγής, αυτή να έχει μήκος μεγαλύτερο από 51 χιλιοστά, iii) τον συντελεστή μεταβολής CV και να εξετάσετε αν έχουμε ομοιογενή κατανομή. 14). Έστω Ω = {0,1, 2, 3} ο δειγματικός χώρος. Επιλέγουμε τυχαία ένα λ ∈ Ω . Να βρείτε την πιθανότητα η ανίσωση x 2 − 2 x + λ > 0 να αληθεύει για κάθε x ∈ R . 15) Α. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = ηµ x − 2 x , x ∈ R . Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Β. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. α. Αν Α ⊆ Β να αποδείξετε ότι 2Ρ ( Α ) + ηµ Ρ ( Β ) ≤ 2Ρ ( Β ) + ηµ Ρ ( Α ) . β. Αν Ρ ( Α ) =

π 4

να αποδείξετε ότι 2 f ( Ρ ( Α ∩ Β ) ) ≥ 2 − π .

γ. Να αποδείξετε ότι f ( Ρ ( Α − Β ) ) ≤ 0 . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


56

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

16).Στη Γ’ τάξη ενός Λυκείου το 40% των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαιρο το 30% με το μπάσκετ και το 20% με το ποδόσφαιρο και το μπάσκετ. Επιλέγοντας τυχαία ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα: i). Να μην ασχολείται με το μπάσκετ. ii). Να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ. iii). Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο. iv). Να ασχολείται με ένα το πολύ από τα παραπάνω δύο αθλήματα. 17). Σε μια επιχείρηση το 60% των εργαζόμενων δε ξέρει Αγγλικά, το 80% δε ξέρει Γαλλικά και το 70% δε ξέρει ούτε Αγγλικά ούτε Γαλλικά. Αν επιλέξουμε ένα άτομο να βρείτε την πιθανότητα να ξέρει Αγγλικά και Γαλλικά. 18). Στο Γ2 υπάρχουν 8 αγόρια και 12 κορίτσια. Από τα αγόρια το το

1 και από τα κορίτσια 4

1 έχουν μαύρα μάτια. Εκλέγουμε τυχαία ένα άτομο του Γ2 . Να βρείτε την πιθανότη3

τα: i). Να είναι κορίτσι. ii). Να έχει μαύρα μάτια. iii). Να είναι αγόρι και να μην έχει μαύρα μάτια. iv). Να είναι κορίτσι ή να μην έχει μαύρα μάτια. 1 x

19). Α. Έστω η συνάρτηση f ( x ) = +

1 , x ∈ ( 0,1) . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f. x−1

Β. Αν Α ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο δεν είναι αδύνατο αλλά ούτε και βέβαιο, να δείξετε ότι:

1 1 + ≥ 4. Ρ ( Α ) Ρ ( Α′)

20). Το 40% των μαθητών ενός σχολείου ασχολούνται με το ποδό��φαιρο και το 80% με το μπάσκετ . Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της πιθανότητας, ο μαθητής να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ. 21) Α. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = e x − x , x ∈ R . Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία. Β. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. i. Αν Α ⊆ Β , να αποδείξετε ότι Ρ ( Β ) + e Ρ ( Α ) ≤ Ρ ( Α ) + e Ρ( Β) . 1 2 i. 1 + 2 f ( Ρ ( Α − Β ) ) ≤ 2 e

ii. Αν Ρ ( Α ) = , να αποδείξετε ότι: ii. f ( Ρ ( Α ∪ Β ) ) ≤ e − 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


57

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Το ήξερες ότι… Μη μεταβατικά ζάρια (Nontransitive dice)

Δίνονται τρία ζάρια με έδρες: Ζάρι Α : 3, 3, 3, 3, 3, 6 Ζάρι Β : 2, 2, 2, 5, 5, 5 Ζάρι Γ : 1, 4, 4, 4, 4, 4 Το σετ των τριών ζαριών παρουσιάζει την εξής περίεργη ιδιότητα. Μακροπρόθεσμα, σε μια σειρά πολλών ρίψεων ανά ζεύγη, το ζάρι Α φέρνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα από το ζάρι Β , το ζάρι Β φέρνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα από το ζάρι Γ και το ζάρι Γ φέρνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα από το ζάρι Α. Αν κατασκευάσουμε πίνακα διπλής εισόδου για την ρίψη των ζαριών Α και Β τότε: Πίνακας διπλής εισόδου α :ένδειξη ζαριού Α μεγαλύτερη από την ένδειξη του ζαριού Β β :ένδειξη ζαριού Β μεγαλύτερη από την ένδειξη του ζαριού Α

Άρα P(A >B)=21/36, P(Β >Α)=15/36 έτσι P(A >B)>P(Β >Α) Ανάλογα προκύπτει: Για την ρίψη των ζαριών Β και Γ : P(B >Γ)=21/36 ,P(Γ >Β)=15/36 ετσι P(B >Γ)>P(Γ >Β) Για την ρίψη των ζαριών Γ και Α : P(Γ >A)=25/36 ,P(Α>Γ)=11/36 έτσι P(Γ >Α)>P(Α >Γ) Σε ένα παιχνίδι δυο παικτών με επιλογή ενός ζαριού από τον καθένα δεν έχει σημασία ποιο ζάρι θα επιλέξει ο πρώτος παίκτης, ο δεύτερος μπορεί να επιλέξει κάποιο από τα άλλα δυο που θα του δίνει πλεονέκτημα. Ένα τέτοιο σετ από ζάρια καλείται μη μεταβατικό (Nontransitive dice). Καθώς δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα στις πιθανότητες για τα αποτελέσματα των ρίψεων.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


58

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

( ΜΑΪΟΣ 2008) Το 50% των κατοί κων μιας πόλης διαβ άζουν την εφημερίδα α, ενώ τ ο 30% τ ων κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν τ ην εφημερίδα β. α. Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοι κος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μη διαβάζει την εφημερίδα α ή να διαβάζει την εφημ ερί δα β; β. Ορίζουμε τ ο εν δεχόμενο Β: «ένας κάτοι κος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφημερίδα β». 1 7 Να αποδεί ξετε ότι ≤ P( B) ≤ . 5 10 γ.

3

Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f(x)=x −

1 2 x + 2

P(B) x

όπου x πραγματικός αριθμός και Β τ ο ενδεχόμενο που ορί στηκε στο προηγούμενο ερώτημα. Να αποδεί ξετε ότι η συνάρτηση f(x) δεν έχει ακρότατα.

(ΙΟΥΛΙΟΣ 2008) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα εν ός δει γματικού χώρου Ω και p ένας πραγματικός αριθμός με 0 < p < 1. Δίνεται ότι οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Α ∪ Β) και Ρ(Α ∩ Β) είναι ανά δύο διαφορετι κές μεταξύ τους και αποτελούν σ τοιχεία του συνόλου {p – 1, p, p +1, p 2 , p 3 }.

∪ Β) = p και Ρ(Α ∩ Β) = p

α.

Να δεί ξετε ότι Ρ(Α) = p 2 , Ρ(Α

β.

Να αποδεί ξετε ότι Ρ(Β) = p 3 – p 2 + p.

γ.

Να αποδεί ξετε ότι Ρ(Β – Α) > Ρ(Α – Β).

3

.

(ΜΑΙΟΣ 2007) Έστω ο δειγματικός χώρος

Ω = {−1, 0,1, 2, 3, 4, 5}

για τον οποίο ισχύει

Ρ(–

1)=Ρ(0)=Ρ(1)=Ρ(2)=2Ρ(3)=2Ρ(4)=2Ρ(5). Ορίζουμε τα ενδεχόμενα του Ω:

{

}

2 Α = {1 , 3 , x 2 -x -3} , Β= 2, x+1, 2x +x-2, -2x+1

όπου x ένας πραγματικός αριθμός. α. Να βρεθούν οι πι θανότητες των απλ ών ενδεχομέν ων του δηλαδή οι Ρ(–1), Ρ(0), Ρ(1), Ρ(2) , Ρ(3), Ρ( 4), Ρ(5). β.

Να βρεθ εί η μοναδι κή τιμή του x για την οποία ισχύει

γ.

Για x=–1 να δειχθεί ότι:

P(A)=

5 11

, P(B)=

Ω ,

A∩Β ={–1,3}.

3 7 , P(A ∩ B)= 11 11

και στη συνέχεια να υπολ ογιστούν οι πι θανότητες Ρ(Α–Β) και Ρ(Α ∪ Β΄). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


59

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

( ΙΟΥΝΙΟΣ 2007) Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {1, 2, 3, 4, 5}. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β του Ω τα οποία ορίζονται ως εξής: Α = { x ∈Ω / 0 ≤ ℓ n ( x − 1 ) < ℓ n 3 } , B = { x ∈Ω / ( x 2 − 5 x ) ( x − 1 ) = − 6 ( x − 1 ) } . α . Ν α β ρ ε θ ο ύ ν ο ι π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ρ ( Α − Β ) κ α ι Ρ ( Β ∪Α ΄ ) . β. Αν Ρ(Α) = γ. Αν Ρ(Α) =

1 , ν α υ π ο λ ο γ ι σ τ ε ί η π ι θ α ν ό τ η τ α Ρ ( Α ΄ ∪Β ΄ ) . 4 1 1 και Ρ(Β−Α) = , να βρεθεί η μικρότερη και 8 4

η

μεγαλύτερη τιμή της πιθανότητας Ρ(X), όπου Χ είναι ενδεχόμενο του Ω τ έ τ ο ι ο ώ σ τ ε Α ∪Χ = Β .

(ΜΑΪΟΣ 2006) 2

Σε ένα χορευτικό όμιλο συμμετέχουν x αγόρια και (x+4) κορίτσια. α. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι. β. Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με

1 και ο όμιλος περιλαμ19

βάνει λιγότερα από 100 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. γ. Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιμή της πιθανότητας αυτής;

(ΙΟΥΛΙΟΣ 2006) Μία Τράπεζα χορηγεί διαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της. Αν επιλεγεί τυχαία κάποιος πελάτης η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό ή μόνο καταναλωτικό δάνειο είναι 0,7 ενώ η πιθανότητα να μην έχει πάρει κανένα από τα δύο προηγούμενα δάνεια είναι 0,1. α.

Να βρείτε την πιθανότητα ένας πελάτης να έχει πάρει και τα δύο δάνεια. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα «έχει πάρει στεγαστικό» και «έχει πάρει καταναλωτικό» είναι ασυμβίβαστα. β.

Αν επιπλέον η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό είναι 0,6 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i. «έχει πάρει καταναλωτικό». ii. «έχει πάρει μόνο καταναλωτικό».

( ΜΑΙΟΣ 2005) Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν: (i) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

7 8

http://mathhmagic.blogspot.gr/

.


60

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

(ii) Οι πιθανότητες P(B) , P(A∩B) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο Χ =

 1 5 k , ,   2 4

, όπου : κ

= lim x →5

3 x − 15 . x − 6x + 5 2

α.

Να βρεθεί το k.

β.

Να βρεθούν τα P(B), P(A∩B) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

γ.

Να βρεθούν οι πιθανότητες: (1) Να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α. (2) Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α.

(ΙΟΥΛΙΟΣ 2005)

(ΜΑΪΟΣ 2004) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 2 x 3 −

5 2 x + x + 10 2

Οι πιθανότητες P(A) και P(B) δύο ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ίσες με τις τιμές του x, στις οποίες η f έχει αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο και τοπικό μέγιστο. Α.

Να δείξετε ότι Ρ(Α) =

1 2

Ρ(Β) =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

1 3 http://mathhmagic.blogspot.gr/


61

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Β.

Για τις παραπάνω τιμές των P(A), P(B) καθώς και για P(A∪B) = i. ii. iii. iv.

2 , να βρείτε τις πιθανότητες: 3

P(A∩B) P(A-B) P[(A∩B)΄] P[(A-B) ∪ (Β-Α)] .

(ΙΟΥΛΙΟΣ 2004) Έστω Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός μη αμερόληπτου ζαριού και η συνάρτηση f : IR → IR με τύπο f(x) =

1 3 x − kx 2 + 4x + 2 όπου k ∈ Ω. 3

Αν P(1) = P(3) = P(5) = 2P(2) = 4P(4) = 2P(6), τότε να βρείτε: α. Τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6). β. Τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β, όπου Α: «Η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός» Β: «Η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός αριθμός». γ. Την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ, όπου Γ: «Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR » .

(ΜΑΪΟΣ 2003) Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α. γυναίκα ή φιλόλογος β. γυναίκα και όχι φιλόλογος γ. άνδρας και φιλόλογος δ. άνδρας ή φιλόλογος.

(ΜΑΪΟΣ 2002) Έ σ τ ω Α , Β δ ύ ο ε ν δε χ ό μ ε ν α ε ν ό ς δ ει γ μ ατ ι κ ο ύ χ ώ ρ ο υ Ω μ ε Ρ(Α) + Ρ(Β) ≠ 2Ρ(Α ∩ Β). Δίνεται ακόμα η συνάρτηση: f(x) = (x - P(A∪B))3 - (x - P(A∩B))3 , x ∈ R. α. Να δείξετε ότι P(A∩B) ≠ P(A∪B). β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο P( A )+ P( B) x= 2 γ. Εάν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, να δείξετε ότι f(P(A)) = f(P(B)).

( ΜΑΪΟΣ 2013)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


62

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

(IOYNIOΣ 2013)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

http://mathhmagic.blogspot.gr/


Πιθανότητες αντίγραφο