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• Bachillerato Técnico #30 • Victor Manuel Fregoso Ver • Fernando Guzmán Nava


¿ Que son los productos notables? Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente También es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos cuya aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales; son fórmulas matemáticas que permiten simplificar la resolución de algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa. Los productos notables están relacionados con las fórmulas de factorización estudiadas en los primeros cursos de álgebra, ya que cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, el producto de binomios conjugados corresponde a la regla de factorización de diferencia de cuadrados.


También Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son : Binomio de Suma al Cuadrado: El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Binomio Diferencia al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término. ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino común por la suma de los términos no comunes, mas el producto de los términos no comunes .( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término.( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)


Binomio Diferencia al Cubo El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término.( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 Suma de dos Cubos: Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la suma de dos números), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b 2) Diferencia de Cubos Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos números), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)


¿Qué es un binomio y escribe 3 ejemplos? En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es un polinomio formado por la suma de dos monomios. Un binomio es una exprecion algebraica que estrictamente hablando se refiere a un polinomio formado por la suma de dos monomios, auque se usa de forma mas facil para indicar cualquier exprexion que consta de una suma o resta de dos terminos. FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO Sea un binomio de la forma (a +b). Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias: (a + b) = a + b


De lo anterior, se aprecia que: a) El desarrollo de n (a + b) tiene n +1 términos b) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta n en el último. d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n . e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n . f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término. g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9


¿Qué es un trinomio y escribe 3 ejemplos? En álgebra, un trinomio es la suma indicada de tres monomios, es decir, un polinomio con tres términos que no puede simplificarse más. Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Todo trinomio de la forma: es un trinomio cuadrado perfecto ya que Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones: El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable. Dos de los términos son cuadrados perfectos. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás. El primer y tercer término deben de tener el mismo signo Un trinomio cuadrático general de la forma es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad es siempre igual a . También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: , donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.


(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x = x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1 Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c Reglas para factorizar un trinomio de esta forma: Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino . El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio. 9x² - 81x + 50 = (3x - 25) (3x - 2) 3. 18x² - 17x -187 = (6x + 17) (3x - 11)


Un trinomio es un polinomio de la forma (ax + by + c), elevado al cubo quiere decir que se multiplica por sí mismo tres veces. Elevémoslo primero al cuadrado. La multiplicación de dos polinomios puede hacerse del mismo modo que una multiplicación de dos números, siempre que cuidemos de no mezclar términos: ax + by + c * ax + by + c a^2x^2 + abxy + acx abxy + b^2y^2 + bcy acx + bcy + c^2 a^2x^2 + 2abxy + 2acx + b^2y^2 + 2bcy + c^2 Reordenando: a^2x^2 + b^2y^2 + c^2 + 2abxy + 2acx + 2bcy Multiplicando nuevamente por el trinomio: a^2x^2 + b^2y^2 + c^2 + 2abxy + 2acx + 2bcy * ax + by + c a^3x^3 + ab^2xy^2 + ac^2x + 2a^2bx^2y + 2a^2cx^2 + 2abcxy 2ab^2xy^2 a^2bx^2y + 2abcxy + b^3y^3 + bc^2y + 2b^2cy^2 2ac^2x + a^2cx^2 + 2abcxy + 2bc^2y + b^2cy^2 + c^3 a^3x^3 + 3ab^2xy^2 + 3ac^2x + 3a^2bx^2y + 3a^2cx^2 + 6abcxy + b^3y^3 + 3bc^2y + 3b^2cy^2 + c^3 Reordenando:(ax + by + c)^3 = (a^3)(x^3) + (b^3)(y^3) + (c^3) + 3(a^2)b(x^2)y + 3a(b^2)x(y^2) + 3(a^2)c(x^2) + 3(b^2)c(y^2) + 3a(c^2)x + 3b(c^2)y + 6abcxy


EJEMPLOS DE ECUACIONES 5𝑋3 𝑌2 + 3𝑋3 5𝑋3 𝑌2 − 3𝑋3

3𝑋 + 5 3𝑋 − 7

𝑋 2 − 4𝑋 − 45

6𝑋 2𝑌3 + 5𝑋 4𝑌3 − 8𝑋 3𝑌6 + 16𝑋 5𝑌10 + 18𝑋 4𝑌8 − 4𝑋 2𝑌2 4𝑋 2 − 2𝑋𝑌 + 25𝑋 2 2

2

3

9𝑋 4 − 36𝑋 2𝑌3 + 36𝑌6 3

4𝑋 2 + 15𝑋 + 9 2

2𝑋 − 6𝑋 + 3𝑋 − 7𝑋 + 3 4𝑋 − 6𝑋 + 3𝑋 − 7

4𝑋2 𝑌2 𝑍 3

5𝑋2 𝑌4 𝑧 3 5


Trabajo de matemática