§ 10. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри
Пояснення й обґрунтування
О
Т
Поняття перпендикуляра і похилої в просторі вводять аналогічно до відповідних понять на площині (табл. 10). Означення. Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини. Похилою до площини називається пряма, що перетинає площину і не перпендикулярна до неї. Похилою називають також відрізок, який сполучає точку, що не належить площині, з точкою площини, якщо цей відрізок не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої. Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї точки, називається проекцією* похилої (див. відповідні рисунки в табл. 10). Властивості перпендикуляра і похилої в просторі аналогічні відповідним властивостям на площині. Теорема 10.1. Якщо з однієї точки, узятої поза площиною, проведено до цієї площини перпендикуляр і декілька похилих, то: 1) перпендикуляр коротший від будь-якої похилої, проведеної з тієї самої точки до тієї ж площини; 2) рівні похилі мають рівні проекції, і навпаки, похилі, які мають рівні проекції, є рівними; 3) більша (за довжиною) похила має більшу проекцію, і навпаки, з двох похилих більша та, у якої проекція більша. Із доведенням теореми можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника..
Т
Теорема 10.2 (про три перпендикуляри). Якщо пряма на площині перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої. Доведення. Нехай пряма c площини α (див. рисунки в табл. 10) перпендикулярна до проекції OB похилої AB (або до самої похилої AB). Оскільки AO ⊥ α, то AO ⊥ c . Тоді пряма c буде перпендикулярною до двох прямих, що перетинаються, — OB і AO (чи AB і AO). За ознакою перпендикулярності прямої і площини, пряма c перпендикулярна до площини AOB, а отже, вона буде перпендикулярною і до похилої AB (чи до її проекції OB). *
Точніше цей відрізок називається ортогональною, або прямокутною, проекцією похи лої (коли всі проектуючі прямі перпендикулярні до площини проекцій). Далі, говорячи про проекції, ми будемо мати на увазі ортогональні проекції.
251