223
§ 6. Паралельність двох площин
Т
Теорема 6.2 (властивість паралельних площин). Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.
Доведення. Нехай площина γ перетинає паралельні площини α і β по прямих a і b відповідно (рис. 6.3). Доведемо, що прямі a і b паралельні. Дійсно, вони лежать в одній площині — площині γ . Крім того, вони лежать у площинах α і β, які не перетинаються, отже, і прямі a і b не перетинаються. Значить, вони паралельні.
Рис. 6.3
g a a b
b
Розглядаючи означення і ознаку паралельності площин та властивість паралельних площин, ми припускали існування таких площин. Доведемо це.
Т
Теорема 6.3. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну. І з доведенням теореми можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.
Розглянемо ще одну властивість паралельних площин, пов’язану з паралельними прямими.
Т
Теорема 6.4. Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, рівні.
Доведення. Нехай α і β — паралельні площини,
AB і CD — паралельні прямі, що їх перетинають, A, C, B, D — точки перетину цих прямих із площинами α і β відповідно (рис. 6.4). Доведемо, що відрізки AB і CD рівні. Проведемо через дані паралельні прямі площину, яка перетне площини α і β по паралельних прямих AC і BD. Тоді чотирикутник ACDB — паралелограм, оскільки в нього протилежні сторони паралельні. У паралелограма протилежні сторони рівні, отже, AB = CD .
Рис. 6.4
A
C
a b B
D
Поясніть, як можна застосувати зміст теореми 6.4. в будівництві, побуті.