227
§ 34. Застосування похідної до дослідження функцій
Графік функції y = x 3 - 3x зображено на рис. 34.1.4. При побудові графіка врахо вано, що f ( -1) = 2 і f (1) = -2 . Із графіка видно, що функція f ( x ) = x 3 - 3x зростає не тільки на інтервалах ( - ¥; - 1) та (1; + ¥ ) , а й на проміжках ( - ¥; - 1] та [1; + ¥ ) і спа дає не тільки на інтервалі ( -1; 1) , а й на відрізку [ -1; 1] . Виявляється, що завжди, коли функція f ( x ) неперервна в будь-якому з кінців проміжку зростання (спадання), то його можна приєднати до цього проміжку (як точки –1 і 1 у попередньому прикладі). Приймемо це твердження без дове дення.
y 2
-2
1
2
x
-2 Рис. 34.1.4 ¡¡ Точки максимуму і мінімуму функції ще називають точками екстремуму, а зна чення функції в цих точках називають екстремумами функції. Наведемо означення точок максимуму і мінімуму.
2
Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції На рис. 34.1.4 зображено графік функ ції y = x 3 - 3x . Розглянемо окіл точки x = -1 , тобто довільний інтервал, що мі стить точку –1 (наприклад, d окіл цієї точки). Як видно з рисунка, існує такий окіл точки x = -1 , що найбільшого значен ня для точок із цього околу функція f ( x ) = x 3 - 3x набуває в точці x = -1 . На приклад, на інтервалі ( -2; 0 ) найбільшого значення, яке дорівнює 2, функція набу ває в точці x = -1 . Точку x = -1 називають точкою максимуму цієї функції і познача ють xmax , а значення функції в цій точці f ( -1) = 2 називають максимумом функції. Аналогічно точку x = 1 називають точ кою мінімуму функції f ( x ) = x 3 - 3x , оскільки значення функції в цій точці менше за її значення в будьякій точці де якого околу точки 1, наприклад околу ( 0,5; 1,5) . Позначають точку мінімуму xmin , а значення функції в цій точці f (1) = -2 називають мінімумом функції. Максимум — від латин. maximum — найбільше. Мінімум — від латин. minimum — найменше. Екстремум — від латин. extremum — крайній.
-1 0
y = x2 - 3x
Означення.
Точка x0 з області визначення функції f ( x ) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться d -окіл ( x0 - d; x0 + d ) точки x0 , такий, що для всіх х ≠ х0 із цього околу виконується нерівність f ( x ) < f ( x0 ) . Означення. Точка x0 з області визначен-
ня функції f ( x ) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться d -окіл ( x0 - d; x0 + d ) точки x0 такий, що для всіх х ≠ х0 із цього околу виконується нерівність f ( x ) > f ( x0 ) . За означенням у точці максимуму x0 значення функції f ( x ) є найбільшим се ред значень функції з деякого околу цієї точки. Через це графік функції f ( x ) в око лі x0 найчастіше має вигляд гладенького «горба» (рис. 34.1.5, а), але може мати ви гляд загостреного «піка» (рис. 34.1.5, б) або навіть ізольованої точки (зрозуміло, y ymax
y ymax
y ymax
δ δ а
0
x0
x
б
0
x0
Рис. 34.1.5 ¡¡
x
в
0
x0
x