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P REFACE

Preface


第一章

二元一次聯立方程式


1-1

二元一次方程式

1-1

觀念摘要 1. 代數之二元一次式 2. 二元一次式的化簡 3. 二元一次式的值 4. 二元一次方程式 5. 二元一次方程式的解

2


1-1 二元一次方程式

1. 代數之二元一次式 若⼀一個式⼦子中,含有兩個未知數(⼆二元),且未知數的 次⽅方都是⼀一次,這樣的式⼦子就稱為⼆二元⼀一次式。 例 x + y、2x − 3y + 4、5 − 6a + 7b + 8a − 9b

 

動態數學 1.1 二元一次式

3


1-1 二元一次方程式

2. 二元一次式的化簡 同類項合併【★⽂文字併⽂文字,數字併數字】 (1) 橫式計算:進⾏行⼆二元⼀一次式的運算,將 相同的⽂文字符號合併化簡,將數字部份

 

合併化簡。 例 (4x − 5y + 6) − (x − 2 y + 3) = 4x − 5y + 6 − x + 2 y − 3 = (4x − x) + (−5y + 2 y) + (6 − 3)

= 3x + (−3y) + 3 = 3x − 3y + 3 (2) 直式計算:進⾏行⼆二元⼀一次式的直式運算,需將相同的⽂文字符號對⿑齊再化簡。 4x − 5y + 6 例 −) x − 2y + 3 3x − 3y + 3

4


1-1 二元一次方程式

 

3. 二元一次式的值 ⼆二元⼀一次式中的未知數,⽤用指定的數字代⼊入,經由運算後所得之數值,稱為此⼆二元⼀一 次式的值。 例 (1) 當 x = 5,y = 4 時,

3x − 2 y + 1 = 3× 5 − 2 × 4 + 1 = 15 − 8 + 1 =8

例 (2) 當 x = 3,y = − 2 時,

3x − 2 y + 1 = 3× 3− 2 × (−2) + 1

= 9 − (−4) + 1 = 9 + 4 +1 = 14

5


1-1 二元一次方程式

 

4. 二元一次方程式 ⼀一個等式中,含有兩個未知數(⼆二元),且未知數的最⾼高次⽅方都是⼀一次,這樣的等式 就稱為⼆二元⼀一次⽅方程式。 例 2x − 3y = 4、5a = 6b + 7

Question 1 of 2

下列哪⼀一個式⼦子是⼆二元⼀一次⽅方程 式?

A.

2x × 3x + 4

B.

2x − 3y = 4

C.

2x − 3y + 4

D.

x 2 − 3y + 4

Check Answer

6


1-1 二元一次方程式

5. 二元一次方程式的解

 

將任⼀一組未知數(如:x、y)所代表的數代⼊入⼆二元⼀一次⽅方程式中,能使⽅方程式的等號 成⽴立,則這⼀一組 x、y 值就是此⼆二元⼀一次⽅方程式的解。 例 判斷 x = 4,y = 6 是否為 3x − 2y = 0 的解? 解 將 x = 4,y = 6 代⼊入 左式 = 3x − 2y = 3 × 4 − 2 × 6 = 12 − 12 = 0 = 右式 ∴ x = 4,y = 6,是 3x − 2y = 0 的解 解的記法: 若 x = 4,y = 6 是 3x − 2y = 0 的解, x=4 則可⽤用數對 (4,6) 或 表⽰示此⽅方 {y = 6 程式的⼀一組解。 ★⼆二元⼀一次⽅方程式有無限多組解。

7


1-2

解二元一次聯立方程式

1-2

觀念摘要 1. 二元一次聯立方程式 2. 二元一次聯立方程式的解 3. 解二元一次聯立方程式─
 代入消去法 4. 解二元一次聯立方程式─
 加減消去法 5. 二元一次聯立方程式─解的類型

8


1-2 解二元一次聯立方程式

1. 二元一次聯立方程式 兩個並列在⼀一起的⼆二元⼀一次⽅方程式稱為⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式或⼆二元⼀一次⽅方程組。 2x − 3y = 4 例 稱為⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式 {5x + 6y = 7

9


1-2 解二元一次聯立方程式

2. 二元一次聯立方程式的解

將 x、y 的值代⼊入聯⽴立⽅方程式中,若能同時滿⾜足這兩個⼆二元⼀一次⽅方程式,則此 x、y 的 值就是⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式的解。

3x + 2y = 4 例 判斷 x = 2,y = − 1 是否為⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式 的解? {4x − y = 9 解 將 x = 2,y = − 1 代⼊入

3x + 2y = 3 × 2 + 2 × ( − 1) = 6 + ( − 2) = 4

等號成⽴立

x = 2,y = − 1 是 3x + 2y = 4 的解。

將 x = 2,y = − 1 代⼊入

4x − y = 4 × 2 − ( − 1) = 8 + 1 = 9

等號成⽴立

x = 2,y = − 1 是 4x − y = 9 的解。 3x + 2y = 4 x=2 是⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式 的⼀一組解 ∴ {y = − 1 {4x − y = 9 10


1-2 解二元一次聯立方程式

3. 解二元一次聯立方程式─代入消去法 解⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式的過程中,利⽤用「取代」的⽅方法先消去⼀一個未知數,這種解聯 ⽴立⽅方程式的⽅方法就稱為代⼊入消去法。 x = 3y⋯⋯⋯① 例 解⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式 {2x − y = 5⋯⋯② 解 將①式 x = 3y 代⼊入②式

2 × (3y) − y = 5

6y − y = 5

5y = 5

y=1

將 y = 1 代⼊入①式

x =3×1=3

∴此聯⽴立⽅方程式的解為 x = 3, y = 1

11


1-2 解二元一次聯立方程式

4. 解二元一次聯立方程式─加減消去法 解⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式的過程中,將兩個式⼦子以「相加」或「相減」消去聯⽴立⽅方程式 的其中⼀一個未知數,這種解聯⽴立⽅方程式的⽅方法就稱為加減消去法。 3x + 2y = 4⋯⋯⋯① 例 利⽤用加減消去法解⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式 {5x − 2y = 12⋯⋯⋯② 解 將①式+②式

(3x + 2y) + (5x − 2y) = 4 + 12

3x + 2y + 5x − 2y = 16

8x = 16

x=2

將 x = 2 代⼊入①式

3 × 2 + 2y = 4

6 + 2y = 4

2y = 4 − 6 = − 2

y =−1

∴此聯⽴立⽅方程式的解為 x = 2, y = − 1

12


1-2 解二元一次聯立方程式

5. 二元一次聯立方程式─解的類型 ⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式

a1x + b1y = c1 {a2 x + b2 y = c2

係數⽐比 a1 b1 ≠ a2 b2 a1 b1 = = a2 b2 a1 b1 = ≠ a2 b2

解的狀況 ⼀一組解 c1 c2 c1 c2

無限多組解 無解

範例

3x − 2y = 4 {5x − 4y = 6

3x − 2y = 4 {6x − 4y = 8 3x − 2y = 4 {6x − 4y = 5

表格1 ⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式解的狀況與係數⽐比之關係表
 ※請以橫向閱讀

13


1-3

二元一次方程式應用問題

1-3

觀念摘要 1. 解二元一次聯立方程式之應用問題 2. 二元一次聯立方程式應用問題之合 理性

14


1-3 二元一次方程式應用問題

1. 解二元一次聯立方程式之應用問題 以⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式解應⽤用問題的步驟:

(1) 設未知數:依題意選定兩個適當的未知數,習慣以 x 與 y 表⽰示。 (2) 列⽅方程式:依題意列出⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式。 (3) 解⽅方程式:利⽤用代⼊入消去法或加減消去法求得未知數的值。 (4) 驗算:檢驗所求的未知數之值是否符合題意。 (5) 寫答:寫出問題所要求的答案,並注意單位。

例 有5元和10元的硬幣共20個,總⾦金額為140元,請問兩種硬幣各有幾個? 解 設5元硬幣有 x 個、10元硬幣有 y 個

x + y = 20 依題意列式: {5x + 10y = 140

x + y = 20⋯⋯⋯① {x + 2y = 28⋯⋯⋯② y=8

②-①

將 y = 8 代⼊入①式得 x + 8 = 20

x = 12

答:5元硬幣有12個、10元硬幣有8個 15


1-3 二元一次方程式應用問題

2. 二元一次聯立方程式應用問題之合理性 解⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式的應⽤用問題時,除了驗算計算過程外,也要檢驗所求得未知數 的值是否符合題意與是否合乎常理。

例 有兩個整數,⼤大數是⼩小數的3倍,兩數差為5,請問兩數各是多少? 解 設⼤大數為 x、⼩小數為 y

x = 3y⋯⋯⋯① 依題意列式: {x − y = 5⋯⋯⋯②

將①式代⼊入②式得

3y − y = 5

2y = 5

5 y= 2

5 將 y = 代⼊入①式得 2

5 15 x =3× = 2 2

15 5 ∵x= ,y = 與題意兩數為整數不符 2 2

∴無解

答:無解

16


第二章

直角坐標與二元一次方程式的圖形


2-1

直角坐標平面

2-1

觀念摘要 1. 直角坐標平面 2. 坐標平面上的點 3. 象限

18


2-1 直角坐標平面

 

1. 直角坐標平面 在平⾯面上由兩條互相垂直且原點重合的數線所構成的平⾯面,稱為直⾓角坐標平⾯面。 (1) x 軸:⽔水平的數線稱為 x 軸或橫軸,以向右⽅方向為正向。 (2) y 軸:垂直的數線稱為 y 軸或縱軸,以向上⽅方向為正向。

(3) 原點:x 軸與 y 軸的交點,稱為此直⾓角坐標平⾯面的原點,通常以英⽂文字⺟母 O 來表 ⽰示,可記為 O(0,0)。 直角坐標平面—x 軸、y 軸與原點

y

y軸

1 原點

O

1 x軸

x

19


2-1 直角坐標平面

2. 坐標平面上的點

 

若數對 (m,n) 表⽰示坐標平⾯面上 P 點的位置,我們就稱 P 點的坐標為 (m,n),並記為 P(m,n)。其中: (1)第⼀一個數 m 稱為 P 點的 x 坐標(橫坐標),
 第⼆二個數 n 稱為 P 點的 y 坐標(縱坐標)。 (2) P 點到 x 軸的距離為 | n | ,
 P 點到 y 軸的距離為 | m | 。 (3) x 軸上的點坐標形式為 (a,0),
 y 軸上的點坐標形式為 (0,b),
 原點的坐標為 (0,0)。

20


2-1 直角坐標平面

3. 象限 x 軸與 y 軸將直⾓角坐標平⾯面分成四個區域,
 我們把四個區域都稱為象限。


 

如圖,依逆時針⽅方向分為: 第⼀一象限:x 坐標為正,y 坐標為正。 第⼆二象限:x 坐標為負,y 坐標為正。 第三象限:x 坐標為負,y 坐標為負。 第四象限:x 坐標為正,y 坐標為負。 ★x 軸與 y 軸上的點不屬於任何象限。

21


2-1 直角坐標平面

例題 2.1 直角坐標平面

請在下⾯面直⾓角坐標平⾯面上,拖放下列各點坐標的位置。

y 5 4 B(0,3) R(4,3) 3 2 1 xA(4,0) 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 1 C(-4,0) 2 D(0,-3) 3 4 S(-4,-3) 5 R(4,3)

A(4,0)

B(0,3)

S(-4,-3)

C(-4,0)

D(0,-3)

 

Check Answer

22


2-2

二元一次方程式的圖形

2-2

觀念摘要 1. 二元一次方程式的解與圖形 2. 二元一次方程式的圖形畫法 3. 直線方程式的類型 4. 利用GeoGebra說明直線方程式的類 型與性質 5. 已知直線上兩點求直線方程式 6. 已知平行 x 軸的直線上一點求直線 方程式 7. 已知平行 y 軸的直線上一點求直線 方程式 8. 二元一次聯立方程式的幾何意義

23


2-2 二元一次方程式的圖形

1. 二元一次方程式的解與圖形

 

⼀一個含有 x、y 兩個未知數的⼆二元⼀一次⽅方程式,若有⼀一組 x、y 的值代⼊入⽅方程式中,能 使等號成⽴立,則這組 x、y 即為⼆二元⼀一次⽅方程式的解。 ★常⽤用數對 (x, y) 的形式來表⽰示⼆二元⼀一次⽅方程式的解。 ★⼀一個⼆二元⼀一次⽅方程式有無限多組解。

將⼆二元⼀一次⽅方程式所有的解,畫在直⾓角坐標平⾯面上,所形成的圖形就稱為此⼆二元⼀一次 ⽅方程式的圖形。 ★每個⼆二元⼀一次⽅方程式的圖形都是⼀一條直線。 例 y = 2x + 1 的解: x

⋯ -3

-2

-1

0

1

2

y

⋯ -5

-3

-1

1

3

5

將這些解畫在坐標平⾯面上可發現其圖形
 為⼀一條直線。

24


2-2 二元一次方程式的圖形

 

2. 二元一次方程式的圖形畫法 因為不同的兩點可決定⼀一條直線,所以常按下列步驟畫出⼆二元⼀一次⽅方程式的圖形: 步驟⼀一:求出⽅方程式的兩組解。通常找 x 坐標為 0 和 y 坐標為 0 的兩組解。 步驟⼆二:在直⾓角坐標平⾯面上,描出這兩組解的對應點。 步驟三:過此兩點作⼀一直線,此直線就是⽅方程式的圖形。 例 在直⾓角坐標平⾯面上畫出⽅方程式 2x − 3y = 6 的圖形。 解 (1)找出 2x − 3y = 6 的兩組解,如:

x

3

0

y

0

-2

(2)在直⾓角坐標平⾯面上描出點 
 (3,0) 和 (0, − 2)。

(3)畫出通過點 (3,0) 和 (0, − 2) 的
 直線,則此直線就是⽅方程式
 2x − 3y = 6 的圖形。

25


2-2 二元一次方程式的圖形

3. 直線方程式的類型 •斜直線 圖形類型

⽅方程式

係數條件

  圖形範例 y

a > 0,b > 0

1 O 1

x

y

斜直線 (左下右上)

y = ax + b (a ≠ 0)

a > 0,b = 0

1 O 1

x

y

a > 0,b < 0

1 O 1

x

26


2-2 二元一次方程式的圖形

•斜直線 圖形類型

⽅方程式

係數條件

  圖形範例 y

a < 0,b > 0

1 O 1

x

y

斜直線 (左上右下)

y = ax + b (a ≠ 0)

a < 0,b = 0

1 1 O

x

y

a < 0,b < 0

1 O 1

x

27


2-2 二元一次方程式的圖形

•平⾏行 x 軸的直線 圖形類型

⽅方程式

係數條件

  圖形範例 y

b>0

1 O 1

x

y

平⾏行 x 軸

y=b

b=0

1 O 1

x

y

b<0

1 O 1

x

28


2-2 二元一次方程式的圖形

•平⾏行 y 軸的直線 ※請以橫向閱讀表格 圖形類型 


⽅方程式

係數條件

  圖形範例 y

k>0

1 O 1

x

y

平⾏行 y 軸

x=k

k=0

1 O 1

x

y

k<0

1 O 1

x

29


2-2 二元一次方程式的圖形

4. 利用GeoGebra說明直線方程式的類型與性質 •斜直線

 

30


2-2 二元一次方程式的圖形

動態數學 2.1 利用 GeoGebra 學習直線方程式— y = ax+b 的性質

 

請移動滑桿以改變a,b的值並觀察圖形與直線⽅方程式之間的變化關係。 31


2-2 二元一次方程式的圖形

•平⾏行 x 軸或平⾏行 y 軸的直線

 

32


2-2 二元一次方程式的圖形

動態數學 2.2 利用 GeoGebra 學習直線方程式— y = b 與 x = k 的性質

※請以橫向操作動態數學

 

請移動滑桿以改變b,k的值並觀察圖形與直線⽅方程式之間的變化關係。 33


2-2 二元一次方程式的圖形

 

5. 已知直線上兩點求直線方程式 已知⼀一直線⽅方程式的圖形通過 (p, q)、(r, s) 兩點,求此直線⽅方程式。 步驟⼀一:設直線⽅方程式為 y = ax + b。 步驟⼆二:將 (p, q)、(r, s) 代⼊入 y = ax + b,得

q = ap + b ,解聯⽴立⽅方程式求出 a、b。 {s = ar + b

步驟三:將求得 a、b 的值代回 y = ax + b,即得通過 (p, q)、(r, s) 兩點的直線⽅方程 式。 例 已知⼀一直線⽅方程式的圖形通過 (3,1)、(2, − 1) 兩點,求此直線⽅方程式。 解 設直線⽅方程式為 y = ax + b 將 (3,1)、(2, − 1) 代⼊入 y = ax + b 1 = 3a + b {−1 = 2a + b

解聯⽴立⽅方程式

a = 2,b = − 5

∴所求直線⽅方程式為 y = 2x − 5

34


2-2 二元一次方程式的圖形

6. 已知平行 x 軸的直線上一點求直線方程式 已知⼀一平⾏行 x 軸的直線⽅方程式圖形通過 (m, n),求此直線⽅方程式。 步驟⼀一:設直線⽅方程式為 y = b。 步驟⼆二:將 (m, n) 代⼊入 y = b,求出 b。

 

步驟三:將求得 b 的值代回 y = b,即得通過點 (m, n) 且平⾏行 x 軸的直線⽅方程式。 例 已知⼀一平⾏行 x 軸的直線⽅方程式圖形通過 (3,2),求此直線⽅方程式。 解 設直線⽅方程式為 y = b 將 (3,2) 代⼊入 y = b b=2 ∴所求直線⽅方程式為 y = 2

35


2-2 二元一次方程式的圖形

7. 已知平行 y 軸的直線上一點求直線方程式 已知⼀一平⾏行 y 軸的直線⽅方程式圖形通過 (t, u),求此直線⽅方程式。 步驟⼀一:設直線⽅方程式為 x = k。 步驟⼆二:將 (t, u)代⼊入 x = k,求出 k。

 

步驟三:將求得 k 的值代回 x = k,即得通過點 (t, u)且平⾏行 y 軸的直線⽅方程式。 例 已知⼀一平⾏行 y 軸的直線⽅方程式圖形通過 (4,5),求此直線⽅方程式。 解 設直線⽅方程式為 x = k 將 (4,5)代⼊入 x = k k=4 ∴所求直線⽅方程式為 x = 4

36


2-2 二元一次方程式的圖形

 

8. 二元一次聯立方程式的幾何意義 •兩直線相交於⼀一點:

在坐標平⾯面上,若兩條直線相交於⼀一點,則此點坐標即為⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式的解。 反之,⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式恰有⼀一組解,這組解所代表的點就是這兩個⼆二元⼀一次⽅方程 式在直⾓角坐標平⾯面上,兩直線的交點坐標。

x+y =2 例 在直⾓角坐標平⾯面上畫出⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式 的圖形,並標⽰示它們的 {x − 2y = − 1 交點坐標。 解 畫出⽅方程式 x + y = 2 的圖形。

x

2

0

y

0

2

畫出⽅方程式 x − 2y = − 1 的圖形。 x

-1

0

y

0

1/2

兩直線相交於 (1,1),所以 x = 1,y = 1
 x+y =2 即為此聯⽴立⽅方程式 的解。 {x − 2y = − 1

y x + y =2 (0, 2)

1 (0, ) 1 (1, 1) 2 (2, 0) O 1 ( −1, 0)

x

x − 2 y = −1

37


2-2 二元一次方程式的圖形

 

•兩直線重合:

在坐標平⾯面上,若兩條直線重合,則這兩個⼆二元⼀一次⽅方程式聯⽴立後的解有無限多組。 反之,若⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式有無限多組解,則兩直線重合。 x+y =2 例 在直⾓角坐標平⾯面上畫出⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式 的圖形。 {2x + 2y = 4 解 畫出⽅方程式 x + y = 2 的圖形。

x

2

0

y

0

2

畫出⽅方程式 2x + 2y = 4 的圖形。 x

2

0

y

0

2

兩直線重合,所以此聯⽴立⽅方程式
 x+y =2 有無限多組解。 {2x + 2y = 4

y x + y =2 (0, 2) 1 O

1

(2, 0)

x

2x + 2 y = 4

38


2-2 二元一次方程式的圖形

 

•兩直線平⾏行:

在坐標平⾯面上,若兩條直線平⾏行,則這兩個⼆二元⼀一次⽅方程式聯⽴立後無解。反之,若⼆二 元⼀一次聯⽴立⽅方程式無解,則兩直線沒有交點(平⾏行)。 x+y =2 例 在直⾓角坐標平⾯面上畫出⼆二元⼀一次聯⽴立⽅方程式 的圖形。 {2x + 2y = 6 解 畫出⽅方程式 x + y = 2 的圖形。

x

2

0

y

0

2

畫出⽅方程式 2x + 2y = 6 的圖形。 x

3

0

y

0

3

兩直線平⾏行,所以此聯⽴立⽅方程式
 x+y =2 無解。 {2x + 2y = 6

y x + y =2

(0, 3) (0, 2) 1

2x + 2 y = 6

(3, 0) 1 x O (2, 0)

39


2-2 二元一次方程式的圖形

 

40


第三章

比與比例式

達⽂文⻄西的素描《維特魯威⼈人》(1233年-1490年間作品,現藏於威尼斯的學院美術館(Galleria dell' Accademia)) 圖⽚片來源:維基百科網站(wikipedia.org)


3-1

比例式

3-1

觀念摘要 1. 比與比值 2. 同類量與不同類量之比與比值 3. 比的相等與比的運算性質 4. 最簡整數比 5. 比、比值與倍數 6. 比例式 7. 比例式的性質─恆等關係 8. 比例式的性質─倍數關係

42


3-1 比例式

1. 比與比值 ⽐比:

 

兩個數 a 與 b 的⽐比,記為 a : b,讀作 a ⽐比 b, 其中 a 稱為⽐比的前項,b 稱為⽐比的後項。 ⽐比值:

a a : b 的⽐比值為 a ÷ b = (b ≠ 0)。 b 3 例 將 1.5: 2 化為⽐比值,並化為最簡分數。 4 3 3 3 11 3 4 6 = × = 解 1.5: 2 = 1.5 ÷ 2 = ÷ 4 4 2 4 2 11 11

43


3-1 比例式

2. 同類量與不同類量之比與比值 同類量:

 

欲求兩個同類量的⽐比或⽐比值,應先將它們化為
 同單位量後再求⽐比或⽐比值,且同類量的⽐比與⽐比
 值是沒有單位的,代表兩個同類量之間的倍數
 關係。 3公⽄斤 3 例 3公⽄斤:5公⽄斤= = =3:5 3公⽄斤 5 1公尺:2公⾥里=

1公尺 1 = =1:2000 2000公尺 2000

不同類量: 兩個不同類量是不能直接⽐比較⼤大⼩小的,也不能相⽐比,但可利⽤用⽐比或⽐比值的形式來表⽰示 兩個不同類量之間的⽐比例關係。 例 ⼀一輛汽⾞車3⼩小時⾛走330公⾥里,請問1⼩小時⾛走幾公⾥里? 330公⾥里 110公⾥里 =110公⾥里:1⼩小時 = 3⼩小時 1⼩小時 ∴1⼩小時⾛走了110公⾥里 =110公⾥里:1⼩小時

解 ∵330公⾥里:3⼩小時=

∴1⼩小時⾛走了110公⾥里 44


3-1 比例式

3. 比的相等與比的運算性質 兩個⽐比相等:

a c 當 a : b (b ≠ 0) 與 c : d (d ≠ 0) 兩個⽐比相等時,其⽐比值 與 也會相等,記為 b d

 

a : b = c : d。

1 3 1 例 ∵1 : 2 的⽐比值為 ,3 : 6 的⽐比值為 = 2 6 2 ∴1 : 2 = 3 : 6 ⽐比的運算性質: 若 b ≠ 0,m ≠ 0 ,則: (1) a: b = (a × m): (b × m) (2) a: b = (a ÷ m): (b ÷ m) 例 2: 4 = (2 × 2): (4 × 2) = 4: 8

2: 4 = (2 ÷ 2): (4 ÷ 2) = 1: 2

45


3-1 比例式

4. 最簡整數比 當 a、b (b ≠ 0) 都是整數,且這兩數的最 a ⼤大公因數是1時,⽐比值 為最簡分數,我 b

 

們稱 a : b 為最簡整數⽐比。 1 −7 例 1: 2 = ,( − 7): 11 = 2 11

1 −7 ∵ 和 都是最簡分數 2 11

∴1 : 2 和 (−7) : 11 為最簡整數⽐比 3 1 −4 1 = 例 3: 6 = = ,( − 4): ( − 8) = 6 2 −8 2

3 −4 ∵ 和 不是最簡分數 6 −8

∴3 : 6 和 (−4) : (−8) 不是最簡整數⽐比

46


3-1 比例式

5. 比、比值與倍數 已知甲、⼄乙為兩個任意數,且甲數≠ 0,⼄乙數≠ 0,則: a (1) 若甲數:⼄乙數=a:b,則甲數是⼄乙數的 倍。 b

 

例 若甲數:⼄乙數=2:3,則甲數是⼄乙數的幾倍? 解 甲數:⼄乙數=2:3

2 甲數 = 3 ⼄乙數

2 甲數=⼄乙數 × 3 2 ∴ 甲數是⼄乙數的 倍 3 a (2) 若甲數是⼄乙數的 倍,則甲數:⼄乙數=a:b。 b 例 若甲數是⼄乙數的5倍,則甲數:⼄乙數=? 解 甲數=⼄乙數 × 5

5 甲數 = 1 ⼄乙數

甲數:⼄乙數=5:1 ∴ 甲數:⼄乙數=5:1 47


3-1 比例式

(3) 若丙數=甲數+⼄乙數,
 且甲數:⼄乙數=a:b,
 a 則甲數是丙數的 倍,
 a+b

 

b ⼄乙數是丙數的 倍。 a+b 例 若班上男⽣生⼈人數和⼥女⽣生⼈人數⽐比為 2 : 3,
 求男⽣生、⼥女⽣生分別是全班⼈人數的幾倍? 解 班上男⽣生⼈人數和⼥女⽣生⼈人數⽐比為 2 : 3,
 2 2 = 倍,
 則男⽣生⼈人數是全班⼈人數的 2+3 5 3 3 = 倍。 ⼥女⽣生⼈人數是全班⼈人數的 2+3 5

48


3-1 比例式

6. 比例式

 

a c 若 a : b (b ≠ 0) 與 c : d (d ≠ 0) 的⽐比值相等,即 = ,則 a : b 和 c : d 相等,寫為 b d

a : b = c : d,這種等式通常稱為⽐比例式。其中 b 和 c 稱為這個⽐比例式的內項,a 和 d 稱為這個⽐比例式的外項。 ★⽐比例式內項乘積等於外項乘積: a: b = c: d ⇒ ad = bc(b ≠ 0, d ≠ 0) 說明

a c 若 a: b = c: d(b ≠ 0, d ≠ 0),則 = ,
 b d 等號兩邊同乘以 bd, a c 得 × bd = × bd,故 ad = bc。 b d 例 求⽐比例式 3 : 4 = 5 : x 中 x 的值。 解 由 3 : 4 = 5 : x,

得 3x = 5 × 4,即 3x = 20 20 ∴x = 3 49


3-1 比例式

7. 比例式的性質─恆等關係 設 a、b、c、d 為任意四個不為零的數,若 為任意四個不為零的 ad = bc 成⽴立,則: 數,若 ad = bc 成⽴立,則: (1) a : b = c : d

 

(2) a : c = b : d

說明

說明

1 若 ad = bc,等號兩邊同乘以 , bd

1 若 ad = bc,等號兩邊同乘以 , cd

1 1 a c = bc × ,故 = , 得 ad × bd bd b d

1 1 a b = bc × ,故 = , 得 ad × cd cd c d

∴a:b=c:d

∴a:c=b:d

50


3-1 比例式

例 設 x、y 均不為 0

(1) 3x = 2y,求 x : y

(2) 2x : 5y = 3 : 7,求 x : y

(3) x : 4 = y : 6,求 x : y

 

解 (1) 3x = 2y ⇒ x: y = 2: 3

(2) 2x: 5y = 3: 7 ⇒ 14x = 15y ⇒ x: y = 15: 14

(3) x : 4 = y: 6 ⇒ x: y = 4: 6 = 2: 3

51


3-1 比例式

8. 比例式的性質─倍數關係 設 a、b、c、d 為任意四個不為零的數,且 a : b = c : d,則:

 

存在⼀一個數 k (k ≠ 0),使得 a = ck, b = dk。 說明 a b 若 a : b = c : d,由⽐比例式的恆等關係得 a : c = b : d,即 = , c d a b 設 = = k(k ≠ 0) ⇒ d c

a c b d

=k

a = ck ⇒ = k {b = dk

例 設 x : y = 2 : 3,求

(1) 4x : 5y

(2) (x + y) : y

(3) x 2 : y 2

解 x : y = 2 : 3,設 x = 2k,y = 3k (k ≠ 0)

(1) 4x: 5y = 4(2k): 5(3k) = 8k: 15k = 8: 15

(2) (x + y): y = (2k + 3k): 3k = 5k: 3k = 5: 3

(3) x 2 : y 2 = (2k)2 : (3k)2 = 4k 2 : 9k 2 = 4: 9 52


3-2

連比例

3-2

觀念摘要 1. 連比與連比例式 2. 連比的求法 3. 連比的運算性質 4. 連比例式的性質─恆等關係 5. 連比例式的性質─倍數關係

53


3-2 連比例

1. 連比與連比例式 連⽐比:

 

將 3 個以上不為 0 的數連續相⽐比,例如 a : b : c,這樣的⽐比就稱為連⽐比。
 其中 a、b、c 稱為這個連⽐比的項。
 當 a、b、c 三數的最⼤大公因數等於 1 時,此時稱 a : b : c 為最簡整數⽐比。 連⽐比例式: 若兩個連⽐比 x : y : z 與 a : b : c 相等,則 x : y : z = a : b : c,這樣的等式就稱為連 ⽐比例式。 ★當 x : y : z = a : b : c 時,可得知 x : y = a : b,y : z = b : c,z : x = c : a。 例 當 x : y : z = 2 : 3 : 5 時,可得知 x : y = 2 : 3,y : z = 3 : 5,z : x = 5 : 2。

54


3-2 連比例

2. 連比的求法 若已知 x : y = a : b,y : z = b : c,z : x = c : a 三式之中的任兩個等式,可得知

 

x : y : z = a : b : c。 例 若 x : y = 2 : 3,y : z = 3 : 4,求 x : y : z。 解 x : y : z 2 : 3 3 : 4 2 : 3 : 4

⇒x:y:z=2:3:4

例 若 x : y = 2 : 3,y : z = 4 : (−5),求 x : y : z。 解

x 2 (2×4) 8

: : : :

y 3 4 (3×4) (4×3) 12

:

z

:

(−5)

: :

(−5×3) (−15)

⇒ x: y: z = 8: 12: ( − 15) ★要寫成連⽐比 x : y : z,必須找出共同項的最⼩小公倍數,即可求出連⽐比。 55


3-2 連比例

 

3. 連比的運算性質 若 a、b、c、m 都不為 0,則: (1) a: b: c = (a × m): (b × m): (c × m) (2) a: b: c = (a ÷ m): (b ÷ m): (c ÷ m)

下列的連⽐比何者與 3 : 4 : 6 不相等? 4 :2 A. 1 : 3 B.

1.5 : 2 : 3

C.

6 : 8 : 12

D.

9 : 12 : 15

Check Answer

56


3-2 連比例

4. 連比例式的性質─恆等關係 若 a、b、c 都不為 0,且 x : y : z = a : b : c,則: y x z (1) = = a b c

 

(2) x : a = y : b = z : c 說明 ∵x:y:z=a:b:c y x ∴ x: y = a: b ⇒ = 
 a b y z 且 y: z = b: c ⇒ = b c y x z ∴ = = ,即 a b c x:a=y:b=z:c

57


3-2 連比例

例 求下列各式 a、b 的值 (1) 3 : 4: 5 = a: 6: b 解 ∵ 3: 4: 5 = a: 6: b 3 4 5 ∴ = = a 6 b

1 1 1 1 (2) : a: = b: : 2 3 4 5

 

1 1 1 1 解 ∵ : a: = b: : 2 3 4 5

3 4 9 由 = ⇒a= a 6 2

1 1 1 1 ∴ : b = a: = : 2 4 3 5

15 4 5 由 = ⇒b= 6 b 2

1 1 1 3 由 :b = : ⇒ b = 2 3 5 10

5 1 1 1 由 a: = : ⇒ a = 4 3 5 12

58


3-2 連比例

5. 連比例式的性質─倍數關係 若 a、b、c 都不為 0,且 x : y : z = a : b : c,則:

 

x = ak,y = bk,z = ck,其中 k ≠ 0 。 說明

y x z 若 x : y : z = a : b : c,由⽐比例式的恆等關係得 = = , a b c y z x 設 = = =k⇒ a b c

x a y b z c

=k =k⇒ =k

x = ak y = bk z = ck

59


3-2 連比例

例 設 x: y: z = 2: 3: 5 ,求

(1) 6x : 7y : 8z

(2) (x + y) : (y + z) : (z + x)

 

(3) x 2 : y 2 : z 2 解 ∵ x: y: z = 2: 3: 5

∴ 設x = 2k,y = 3k,z = 5k (k ≠ 0) (1) 6x : 7 y :8z = 6(2k) : 7(3k) :8(5k)

= 12k : 21k : 40k = 12 : 21: 40 (2) (x + y) : ( y + z) : (z + x) = (2k + 3k) : (3k + 5k) : (5k + 2k)

= 5k :8k : 7k = 5 :8 : 7 2 2 2 (3) x : y : z

= (2k)2 : (3k)2 : (5k)2 = 4k 2 : 9k 2 : 25k 2 = 4 : 9 : 25 60


3-3

正比與反比

3-3

觀念摘要 1. 關係式、變數與常數 2. 正比的意義 3. 反比的意義 4. 正比與反比關係之判斷

61


3-3 正比與反比

 

1. 關係式、變數與常數 若數量的變化情形互相有關連,⽽而描述這種關係的算式就稱為關係式。在關係式中, 會依情況變動的數稱為變數,固定不變的數則稱為常數。 例 將⼀一⾯面積為 12 平⽅方公分的圓 塗上顏⾊色,其中塗⾊色部份的 ⾯面積為 x 平⽅方公分,未塗⾊色 部份的⾯面積為 y 平⽅方公分, 可得⼀一關係式為 x + y = 12; 其中 x、y 是會依情況變動的 數稱為變數,12 是固定的 數,稱為常數。

62


3-3 正比與反比

2. 正比的意義

 

若兩個變數 x、y,當 x 值改變時,y 值也隨著改變,⽽而且保持 y 值是 x 值的某⼀一固定 倍數(以 k 倍表⽰示,k ≠ 0),此時我們稱 x 與 y 成正⽐比。 y x、y 的關係式可寫成 y = kx(或 = k )。 x

例 設⼀一⻑⾧長⽅方形的寬固定為 2 單位,則⻑⾧長⽅方形的⾯面積會隨著⻑⾧長的變化⽽而改變,如下表 所⽰示: ⻑⾧長

3

5

10

100

⾯面積

6

10

20

200

若以 x 代表⻑⾧長⽅方形的⻑⾧長,
 y 代表⻑⾧長⽅方形的⾯面積,
 則可寫出 x 與 y 的關係式:y = 2x,
 此時可說 x 與 y 成正⽐比。

63


3-3 正比與反比

3. 反比的意義

 

若兩個變數 x、y,當 x 值改變時,y 值也隨著改變,⽽而且保持 x 值和 y 值的乘積是某 ⼀一固定的值(以 k 表⽰示定值,k ≠ 0),此時我們稱 x 與 y 成反⽐比。 x、y 的關係式可寫成 xy = k。

例 設⼀一⻑⾧長⽅方形的⾯面積固定為 24 平⽅方單位,則⻑⾧長⽅方形的⻑⾧長會隨著⻑⾧長⽅方形的寬的變化⽽而 改變,如下表所⽰示: ⻑⾧長

24

12

8

6

1

2

3

4

若以 x 代表⻑⾧長⽅方形的⻑⾧長,
 y 代表⻑⾧長⽅方形的寬,
 則可寫出 x 與 y 的關係式:xy = 24,
 此時可說 x 與 y 成反⽐比。

64


3-3 正比與反比

4. 正比與反比關係之判斷

 

65


3-3 正比與反比

 

速率的描述為⼀一個物體在⼀一段時間內所移動的距離,以關係式表⽰示為: 速率=

距離 時間

(1) 當速率固定時,距離與時間成正⽐比。 說明

y 若以 k 代表速率,y 代表距離,x 代表時間,則可寫出關係式:k = ⇒ y = kx,
 x 此時可說 y 與 x 成正⽐比,即距離與時間成正⽐比。 (2) 當距離固定時,速率與時間成反⽐比。 說明 k 若以 k 代表距離,y 代表速率,x 代表時間,則可寫出關係式:y = ⇒ xy = k,
 x 此時可說 y 與 x 成反⽐比,即速率與時間成反⽐比。 (3) 當時間固定時,距離與速率成正⽐比。 說明

y 若以 k 代表時間,y 代表距離,x 代表速率,則可寫出關係式:x = ⇒ y = kx,
 k 此時可說 y 與 x 成正⽐比,即距離與速率成正⽐比。 66


第四章

線型函數及其圖形


4-1

變數與函數

4-1

觀念摘要 1. 函數的定義 2. 函數的表示法 3. 函數的判別 4. 函數與函數值

68


4-1 變數與函數

1. 函數的定義

 

若兩個變數 x、y 之間存在「每個輸⼊入 x 值對應唯⼀一輸出 y 值」的關係,就稱 y 是 x 的 函數。因為輸出 y 值隨著輸⼊入 x 值變動⽽而改變,所以輸⼊入 x 值稱為⾃自變數,⽽而輸出 y 值稱為應變數。

69


4-1 變數與函數

2. 函數的表示法

 

若 y 是 x 的函數,通常會表⽰示為 y = f(x) ,其中 f(x) 讀做「 f of x 」,有時也常⽤用其它 英⽂文字⺟母來表⽰示函數,例如:g(x)、h(x)、⋯。

70


4-1 變數與函數

3. 函數的判別 在 x、y 的對應關係中, 若是「1個 x 對應1個 y」或「多個 x 對應1個 y」,此時 y 是 x 的函數。

 

若是「1個或多個 x 對應多個 y」或「1個或多個 x 沒有相對應的 y」,此時 y 不是 x 的 函數。

71


4-1 變數與函數

4. 函數與函數值

 

當 y 是 x 的函數,寫為 y = f(x),將 x = a 代⼊入函數 y = f(x) 中,得到相對應的 y 值稱 為函數值,此時 f(a) 即表⽰示 f(x) 在 x = a 的函數值。 例 設函數 y = f(x) = 2x + 1,則:

f(x) 在 x = 2 的函數值為 f(2) = 2 × 2 + 1 = 5

f(x) 在 x = − 3 的函數值為 f( − 3) = 2 × ( − 3) + 1 = − 5

f(x) 在 x = a 的函數值為 f(a) = 2 × a + 1 = 2a + 1

72


4-2

函數圖形

4-2

觀念摘要 1. 函數圖形 2. 一次函數的圖形 3. 常數函數的圖形 4. 線型函數 5. 利用GeoGebra說明線型函數的性質

73


4-2 函數圖形

 

1. 函數圖形

在坐標平⾯面上,以⾃自變數 x 為橫坐標,其對應的函數值 f(x) 為縱坐標,所繪成的圖形 就稱為函數圖形。 例 在坐標平⾯面上畫出 f(x) = 2x + 1 的圖形。 x

⋯ -3

-2

-1

0

1

2

f(x) ⋯ -5

-3

-1

1

3

5

在坐標平⾯面上描出上列各數對所對應的點,
 並將各點⽤用直線連接起來,就可以得到函數
 f(x) = 2x + 1 的圖形。

74


4-2 函數圖形

2. 一次函數的圖形 ⼀一次函數:

 

凡函數式為 f(x) = ax + b(a ≠ 0) ,稱為⼀一次函數,其中 ax 是 x 的⼀一次項,b 稱為常數 項。 ⼀一次函���的圖形: ⼀一次函數 f(x) = ax + b(a ≠ 0) 可視為⼆二元⼀一次⽅方程式 y = ax + b,故⼀一次函數的圖形 為⼀一直線。 例 畫出⼀一次函數 f(x) = 3x − 2 的圖形。 解 令 y = f(x) = 3x − 2 x

0

1

y

-2

1

其圖形如圖。

※請以橫向觀看圖形

75


4-2 函數圖形

3. 常數函數的圖形 常數函數: 凡函數式為 f(x) = b ,稱為常數函數,其中 b 為常數。

 

常數函數的圖形: 常數函數 f(x) = b 可視為⽅方程式 y = b,故常數函數的圖形為 x 軸或平⾏行 x 軸的直線。 例 畫出常數函數 f(x) = 2 的圖形。 解 令 y = f(x) = 2 x

0

2

y

2

2

其圖形如圖。

※請以橫向觀看圖形

76


4-2 函數圖形

 

4. 線型函數 ⼀一次函數與常數函數的圖形都是⼀一條直線,所以我們稱函數 f(x) = ax + b 為線型函 數。

77


4-2 函數圖形

5. 利用GeoGebra說明線型函數的性質 ※請以橫向操作動態數學

 

78


4-2 函數圖形

動態數學 4.1 利用 GeoGebra 學習線型函數— f(x) = ax+b 的性質

 

請移動滑桿以改變a,b,x的值並觀察圖形與線型函數之間的變化關係。 79


第五章

一元一次不等式

在《死亡之書》中,阿努⽐比斯正在為夫奈菲爾的⼼心臟秤重。 圖⽚片來源:維基百科網站(wikipedia.org)


5-1

一元一次不等式

5-1

觀念摘要 1. 三一律與遞移律 2. 一元一次不等式 3. 不等式的表示法 4. 不等式的合併 5. 一元一次不等式的解

81


5-1 一元一次不等式

1. 三一律與遞移律 三⼀一律: 對於任意兩數 a、b,則下列三種⼤大⼩小關係之中,只有⼀一種會成⽴立。 (1) a < b

(2) a = b

(3) a > b

 

遞移律: 設有 a、b、c 三數, (1)若 a > b 且 b > c,則 a > c。 (2)若 a < b 且 b < c,則 a < c。

82


5-1 一元一次不等式

2. 一元一次不等式 不等式: 含有不等符號<、≤、≠、>、≥的數學式⼦子稱為不等式。 ⼀一元⼀一次不等式:

 

若⼀一個不等式中,只有⼀一個未知數,且未知數的最⾼高次數是 1,則此不等式稱為⼀一元 ⼀一次不等式。 例 x < 2、y − 1 ≤ 0、x ≠ 4、2x + 3 > 4、3y − 4 ≥ 5

83


5-1 一元一次不等式

3. 不等式的表示法 ※請以橫向觀看影⽚片說明

 

84


5-1 一元一次不等式

4. 不等式的合併 設有 a、b、x 三數, (1) 當 a < x 且 x < b 時,可簡記為 a < x < b 或 b > x > a。 (2) 當 a ≤ x 且 x ≤ b 時,可簡記為 a ≤ x ≤ b 或 b ≥ x ≥ a。

 

(3) 當 a < x 且 x ≤ b 時,可簡記為 a < x ≤ b 或 b ≥ x > a。 (4) 當 a ≤ x 且 x < b 時,可簡記為 a ≤ x < b 或 b > x ≥ a。

85


5-1 一元一次不等式

 

5. 一元一次不等式的解 將未知數的值代⼊入不等式中,能使不等式成⽴立,則此未知數就是這個不等式的解。 例 已知 2x + 3 不⼤大於 5,試判斷 x = 1 與 x = 4,是否為不等式的解。 解 由 2x + 3 不⼤大於 5 ⇒ 2x + 3 ≤ 5

將 x = 1 代⼊入 2x + 3 ⇒ 2 × 1 + 3 = 5

∵5=5

∴ x = 1 是 2x + 3 ≤ 5 的解

將 x = 4 代⼊入 2x + 3 ⇒ 2 × 4 + 3 = 11

∵ 11 > 5

∴ x = 4 不是 2x + 3 ≤ 5 的解

86


5-2

解一元一次不等式

5-2

觀念摘要 1. 解一元一次不等式與等量公理 2. 不等式的移項法則 3. 圖示一元一次不等式的解 4. 解一元一次不等式之應用問題

87


5-2 解一元一次不等式

 

1. 解一元一次不等式與等量公理 解⼀一元⼀一次不等式: 將⼀一元⼀一次不等式整理為 x > a、x ≥ a 或 x < a、x ≤ a 等形式(其中 a 為常 數),即可找出不等式所有的解,此過 程就稱為解⼀一元⼀一次不等式。 不等式的等量公理: (1)等量加法公理─

(2)等量減法公理─

①a>b⇒a+c>b+c x−2>3 例 ⇒x−2+2>3+2 ⇒x>5

②a<b⇒a+c<b+c x−2<3 例 ⇒x−2+2<3+2 ⇒x<5

①a>b⇒a−c>b−c x+4>5 例 ⇒x+4−4>5−4 ⇒x>1 ②a<b⇒a−c<b−c x+4<5 例 ⇒x+4−4<5−4 ⇒x<1

88


5-2 解一元一次不等式

(3)等量乘法公理─ 已知 a、b、c 三數: 設c>0

設c<0

①a>b⇒a×c>b×c x÷7>8 例 ⇒x÷7×7>8×7 ⇒ x > 56

②a<b⇒a×c<b×c x÷7<8 例 ⇒x÷7×7<8×7 ⇒ x < 56

 

①a>b⇒a×c<b×c x ÷ ( − 7) > 8 例 ⇒ x ÷ ( − 7) × ( − 7) < 8 × ( − 7) ⇒ x < − 56 ②a<b⇒a×c>b×c x ÷ ( − 7) < 8 例 ⇒ x ÷ ( − 7) × ( − 7) > 8 × ( − 7) ⇒ x > − 56

89


5-2 解一元一次不等式

(4)等量除法公理─ 已知 a、b、c 三數: 設c>0

設c<0

①a>b⇒a÷c>b÷c x×3>6 例 ⇒x×3÷3>6÷3 ⇒x>2

②a<b⇒a÷c<b÷c x×3<6 例 ⇒x×3÷3<6÷3 ⇒x<2

 

①a>b⇒a÷c<b÷c x × ( − 3) > 6 例 ⇒ x × ( − 3) ÷ ( − 3) < 6 ÷ ( − 3) ⇒x<−2 ②a<b⇒a÷c>b÷c x × ( − 3) < 6 例 ⇒ x × ( − 3) ÷ ( − 3) > 6 ÷ ( − 3) ⇒x >−2

★當 a ≥ b 或 a ≤ b 時,不等式的等量加法、減法、乘法、除法公理依然成⽴立。 ★當 a ≥ b 或 a ≤ b 時,不等式的等量加 法、減法、乘法、除法公理依然成 ⽴立。

90


5-2 解一元一次不等式

 

2. 不等式的移項法則 在不等式中,將⼀一個數從不等號的⼀一邊移到不等號的另⼀一邊,應遵循下列規則,此規 則稱為移項法則。 (1) + ↔ − x+4>5 例 ⇒ x > 5 − 4 ⇒x>1

−x < 3 − 2x ⇒ − x + 2x < 3 ⇒x<3

(2) − ↔ + x−2>3 例 ⇒ x > 3 + 2 ⇒x>5

3x < 5 + 2x ⇒ 3x − 2x < 5 ⇒x<5

91


5-2 解一元一次不等式

(3) × ↔ ÷ x×3>6 ⇒ x > 6 ÷ 3 ⇒x>2

x × ( − 3) > 6 ⇒ x < 6 ÷ ( − 3) ⇒x<−2

⇒8×

3 4

<x

⇒6<x 8 < x ÷ ( − 34 )

⇒ 8 × ( − 34 ) > x ⇒−6>x

(4) ÷ ↔ × x÷7>8 ⇒ x > 8 × 7 ⇒ x > 56

x ÷ ( − 7) > 8 ⇒ x < 8 × ( − 7) ⇒ x < − 56

 

3 4

8<x÷

4<x× ⇒4÷

2 3

2 3

<x

⇒6<x 2

4 < x × ( − 3) 2

⇒ 4 ÷ ( − 3) > x ⇒−6>x

★在移項的過程中,遇到乘以或除以負數,必須改變不等號的⽅方向。 92


5-2 解一元一次不等式

3. 圖示一元一次不等式的解 ※請以橫向觀看影⽚片說明

 

93


5-2 解一元一次不等式

例 解 3x + 7 > 8x − 3 ,並在數線上圖⽰示其解。 ※請以橫向觀看影⽚片說明

 

94


5-2 解一元一次不等式

1 例 圖⽰示為 x 的範圍,求 − (3x − 1) 的範圍。 2 ※請以橫向觀看圖⽰示與影⽚片說明

 

95


5-2 解一元一次不等式

4. 解一元一次不等式之應用問題 以⼀一元⼀一次不等式解應⽤用問題的步驟: (1) 設未知數:依題意選定⼀一個適當的未知數。 (2) 列不等式:依題意列出不等式。

 

(3) 解不等式:利⽤用等量公理或移項法則求得未知數的範圍。 (4) 驗算:檢驗所求的未知數之值是否符合題意。 (5) 寫答:寫出問題所要求的答案,並注意單位。 例 賴⼩小特帶 100 元買郵票,已知郵票⼀一張 12 元,試問賴⼩小特最多能買幾張郵 票? 解 設最多買 x 張郵票

依題意列式: 12x ≤ 100 ⇒ 12x ÷ 12 ≤ 100 ÷ 12 ⇒x≤ ⇒x≤

25 3 1 83

1 由 x ≤ 8 與 x 為整數,得知 x = 8 3

答:最多買 8 張郵票 96


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葛倫 葛倫⺫⽬目前是徠富數位學習科技有限公司 的創辦⼈人兼執⾏行⻑⾧長。
 葛倫同時創⽴立Live數位國中數學網站 (Liveism.com),
 並經營Live在Youtube的教育頻道 (Youtube.com/Liveism)
 以及Live數位國中數學_名師葛倫Facebook 粉絲專⾴頁(Facebook.com/Liveism)。
 葛倫⽼老師致⼒力於數位教學,希望透過資訊科技的 ⼒力量,培養孩⼦子具備迎向未來的關鍵能⼒力!

Galen

xcviii


著作權聲明

Live 國中數學 i觀念 2

Live Middle School Math iConcept 2 by Galen

編著者

葛倫

出版者

徠富數位學習科技有限公司

No.120, Sanguan Rd., South Dist.,

台灣台南市南區三官路120號

Tainan City 702, Taiwan (R. O. C.)

Apr. 2013

1st Edition

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⾸首發版

2013年4月

Published by Live e-Learning Technology Inc.

Copyright © 2013 Live e-Learning Technology Inc.

ISBN: 9789868837119

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