Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Γενικές Ασκήσεις
y y y y y y OA OB 0 δηλαδή , yA , y B 0 yA y B 0 yA y B A 2B 1 0 , άρα 4p 4p 2p 2p 2 yA yB 4p 2p ό , άρα 1 yA yB 4p2 (2). Η (10 από την (2) γίνεται x M 2 2p 4p (2p,0) . 2 A
71.
2 B
2 A
2 B 2
Δίνονται τα διανύσματα (2, 4) και 0 , για τα οποία ισχύει ότι 6 και 2 3 4 14 .
α) Να δειχθεί ότι και να βρεθεί το . β) Να βρεθεί το διάνυσμα της προβολής του διανύσματος v 2 3 πάνω στο διάνυσμα και το διάνυσμα της προβολής του διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα . γ) Να βρεθεί το διάνυσμα .
Ε 69 (2008)
72. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο του επιπέδου του τριγώνου, για το οποίο ισχύει ότι 1 και 0 .
α) Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα και . β) Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
Ε 69 (2008)
4 , 6 , Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ και η γωνία μεταξύ των
73. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με
. 3 α) Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος . β) Να βρεθεί το μέτρο της προβολής του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα . Ε 69 (2008) Δίνονται τα διανύσματα (2,1) και (1, 1) . Να βρεθεί διάνυσμα συνεπίπεδο των
διανυσμάτων και ίση με
74.
διανυσμάτων και για το οποίο ισχύουν τα ακόλουθα: i) , ii) σχηματίζει αμβλεία γωνία με το διάνυσμα και iii) .
75.
76.
77.
Ε 69 (2008)
Δίνονται η ευθεία : 5x 3y 2 0 και ο κύκλος C : x 2 y2 x 2 0 , που τέμνονται στα σημεία Μ και Ν. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό λ η x 2 y2 x 2 (5x 3y 2) 0 (1), παριστάνει κύκλο, ο οποίος περνάει από τα σημεία Μ και Ν. Για ποια τιμή του λ, ο κύκλος αυτός περνάει και από την αρχή των αξόνων; β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων της ερώτησης (α) ανήκουν σε ευθεία 1 , της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Ε 82 (2011) 2 1 Δίνονται τα σημεία A 2, και , 1 , 1 . 1 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία Α, Β για τις διάφορες τιμές του λ ανήκουν στην οικογένεια των ευθειών ( ) : x ( 1)y 2 0 . β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες ( ) διέρχονται από σταθερό σημείο. γ) Να βρείτε την ευθεία (ε) της οικογένειας ( ) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ να είναι ίσο με 1. δ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται στον κύκλο x 2 (y 3)2 13 . ε) Να βρείτε σημείο Λ του άξονα x΄x ώστε το συμμετρικό του Κ ως προς την ευθεία (ε) να βρίσκεται στον άξονα y΄y. Ε 60 (2006) Δίνονται τα σημεία (1,5) , (5, 2) και (3, 3) . 2
2
2
α) Αν (x, y) είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου, να αποδείξετε ότι: i) 70 . 2
2
2
ii) Αν ισχύει 85 , τότε το σημείο Μ κινείται σε κύκλο (C), του οποίου να 66