Issuu on Google+

В этом уроке мы повторим определение производной и таблицу производных. В начале урока мы определим понятие приращения функции и приращения аргумента и их отношения, дадим геометрическую интерпретацию этого отношения. Далее мы дадим определение производной через отношение приращений и рассмотрим геометрический смысл производной. Повторим таблицу основных производных и вспомним правила дифференцирования и производную сложной функции. В конце урока мы решим несколько примеров на нахождение производной сложной функции. Алгебра 11 класс

Производная, таблица производных Тарасов Валентин Алексеевич учитель школы «Логос ЛВ», ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ, г. Москва Тема: Повторение курса алгебры 10 класса Урок: Производная. Таблица производных

1. Определение производной, ее физический и геометрический смысл Рассмотрим функцию и ее график (Рис.1). Для наглядности будем использовать физическую интерпретацию производной.

Рис. 1. Аргументом пусть будет время . Зависимой переменной пусть будет – расстояние до дома. График функции показывает путь до дома в каждый момент времени. - момент времени. В этот момент времени мы находимся на расстоянии Через некоторое время приращение аргумента –

мы будем находиться на расстоянии , и приращение функции

от дома. от дома. Мы имеем

.

Получим треугольник, у которого катеты равны приращению аргумента, приращению функции, а гипотенуза АВ – секущая, где

- тангенс угла наклона этой секущей.


Нас интересует отношение приращения функции к приращению аргумента.

Во-первых, мы получим среднюю скорость. Таков физический смысл. А геометрический смысл состоит в том, что мы получим тангенс угла наклона секущей. За конечное время

может произойти множество событий и всех их надо уловить, отразить.

Для этого устремим к 0. То есть мы будем рассматривать ближайшие точки к точке . Но если приращение аргумента стремится к 0, то приращение функции так же стремится к 0. Тогда секущая АВ будет стремиться занять положение касательной к графику в точке А. Рассмотрим, что произойдет с отношением:

Более строгое определение

Такой предел называется производной функции и обозначается

.

Каков физический и геометрический смысл производной? - это мгновенная скорость в момент Геометрический смысл:

.Таков физический смысл производной.

- тангенс угла наклона касательной в точке

.

Мы вспомнили определение производной, ее физический и геометрический смысл. Следующей нашей целью будет вспомнить технику дифференцирования, то есть технику нахождения производных.

2. Таблица производных 1.

(производная от постоянной величины является нулем)

Например:

, поскольку тангенс величина постоянная и от

2. Следующая функция линейная:

не зависит.


То есть производной от линейной функции является ее угловой коэффициент. Например:

3. 4. 5. 6. 7. 8.

3. Правила нахождения производных 1. То есть производная суммы равна сумме производных . 2. То есть константу можно выносить за знак производной. . 3. Производная произведения:

4. Производная частного:


4. Производные сложных функций

Тогда: 1. а. б. 2. а. б. 3. а. б. 4. 5. а. б.


6. а. б. Мы повторили определение производной и таблицу производной. Следующий урок посвятим исследованию функций с помощью производных.

Список рекомендованной литературы 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина 2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа .М.:Дрофа. 3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.:Просвещение.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы 1. Mathprofi.ru (Источник). 2. Math24.ru (Источник). 3. Википедия (Источник).

Рекомендованное домашнее задание 1. Найдите производные функций: 2. Найдите значения производной

в точках

. 3. Найдите производную функции

.

4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 750-752, 760, 761.


ПРОИЗВОДНАЯ