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Los cuerpos geomĂŠtricos

Hecho por: David Moreno PĂŠrez


Índice Introducción

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Hecho por: David Moreno Pérez


Introducción El trabajo va a tratar de los cuerpos geométricos en el espacio. Va a contener la clasificación de los cuerpos geométricos dependiendo del tipo que sean.

Clasificación de los cuerpos geométricos. Se clasifican en poliedros y cuerpos de revolución. Los poliedros pueden ser regulares o no regulares. Los regulares son: Los prismas que dependiendo de que las bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos... el prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… Las pirámides que dependiendo de que las bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos... el prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… También se puede crear poliedros regulares a través de polígonos regulares idénticos es el caso de: Los tetraedros, los octaedros, los icosaedros, los cubos y los dodecaedros. Los cuerpos de revolución son: Los cilindros. Los conos. Las esferas.

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Definiciones Volumen: Espacio ocupado por un cuerpo. Área lateral: Es tamaño de la parte que une las dos bases. Área total: Es el tamaño total de la figura. Desarrollo plano: Es cuando cortamos un cuerpo geométrico y lo ponemos en el plano. Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos Prismas: Cuerpo geométrico cuyas bases son dos polígonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos Ortoedro: Prisma cuyas bases son dos rectángulos. Cubo: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales. Cilindro: Es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Cono: Es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno. Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.

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Paralelepípedo Un paralelepípedo poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8 vértices. En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que se considera como base •

Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rectángulos, y por tanto todas sus caras son perpendiculares entre sí, es un ortoedro. Es un caso particular del paralelepípedo recto.

Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rombos es un romboedro.

Un paralelepípedo en el que todas sus bases son cuadradas es un hexaedro regular o cubo.

Desarrollo plano

Paralelepípedo

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Su área se halla usando esta fórmula: Área lateral

Área total

Problema: Halla el área de un paralelepípedo de 5cm y 10 cm de base y 15cm de altura. Resolución: ALateral: 30x15=450 cm2 ATotal: 450+ (2x (10x15))=450+ (300)= 750cm2

Ortoedro Un ortoedro o cuboides es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Los ortoedros son prismas rectangulares rectos, y también son llamados paralelepípedos rectangulares. Vulgarmente se los denomina cajas de zapatos, cajas o simplemente se les suele llamar cubo. Las caras opuestas de un ortoedro son iguales entre sí. El cubo es un caso especial de ortoedro, en el que todos sus lados son cuadrados.

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Desarrollo plano.

Ortoedro Su área se halla con esta fórmula:

Problema: Halla el área de un ortoedro de base 12cm y 6cm y 4cm de altura Resolucion: A= 2(12x6+12x4+4x6)=2(72+48+24)=2(144)=288cm2

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Prismas Un prisma, en geometrĂ­a, es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos. En el caso en que las caras laterales sean rectangulares, se llama prisma rectangular.

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El prisma rectangular o cuboide, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal, respectivamente.

Desarrollo plano de un prisma hexagonal.

Prisma hexagonal Su ĂĄrea se halla usando esta fĂłrmula:

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Área lateral

Área total

Problema: Halla el área de un prisma hexagonal de lado 5cm y de 2.5 de apotema y de 9cm de altura. Resolución: ALateral: 30x9= 270cm2 ATotal=270+ 2x(30x2.5/2)= 270+2x(37.5)=270+75=345cm2

Pirámides Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice. El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan. Tipos de pirámides •

Pirámde oblicua. Los vértices están marcados en naranja y las aristas en rojo. La linea amarilla es una diagonal de la base.

Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.

Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.

Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.

Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.

Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

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Desarrollo plano

Pirámide.

Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Calcula el área lateral y total de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

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Resolución:

Cilindro En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro. Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos

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situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro. Un cilindro puede ser: •

Cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases.

Cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases.

Cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360° grados.

Desarrollo plano

Su área se halla usando esta fórmula:

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Problema: Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

Resolución:

Cono En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina Base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice. Se denominan: •

Cono recto, si el vértice equidista de la base circular.

Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base

Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.

La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base. La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.

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Desarrollo plano

Cono

Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?

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Resolución:

Tronco de cono El tronco de cono, es un volumen de revolución generado por un trapecio rectángulo al tomar como eje de giro el lado perpendicular a las bases. Un tronco de cono recto, de bases paralelas, es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje.

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Desarrollo plano de un tronco de cono.

Tronco de cono Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

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Resoluci贸n:

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Tronco de pirámide El tronco de pirámide es un poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales. Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de dichos troncos.

Desarrollo plano

Tronco de pirámide

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Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de la pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

Resolución: La apotema coincide con la altura del trapecio lateral:

La altura del tronco de pirámide se calcula con el teorema de Pitágoras:

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Esfera En geometría, una superficie esférica es un lugar geométrico o el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama esfera. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro.

Desarrollo plano

Su área se halla usando esta fórmula:

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Problema: Calcular el área de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

Resolución:

Casquete esférico Un casquete esférico, en geometría, es la parte de una esfera cortada por un plano. Si dicho plano pasa por el centro de la esfera, lógicamente, la altura del casquete es igual al radio de la esfera, y el casquete esférico será un hemisferio (semiesfera).

Su área se halla usando esta fórmula:

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Problema: Calcula el área del siguiente casquete esférico.

Resolución:

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Tetraedro Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. En todo tetraedro, sea o no regular, se verifica que: •

Los segmentos que unen los puntos medios de los tres pares de aristas opuestas son concurrentes en un punto, que los divide por su mitad.

Los segmentos que unen cada vértice con los puntos de intersección de las medianas de su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los divide separando tres cuartas partes del lado del vértice respectivo (Teorema de Commandino).

Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.

Las rectas perpendiculares a las caras por su circuncentro son concurrentes en un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.

Los planos bisectores de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto equidistante de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro.

Las alturas de un tetraedro sólo son concurrentes si las aristas opuestas son perpendiculares.

Desarrollo plano de un tetraedro.

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Tetraedro.

Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Calcula el área de un tetraedro de 5 cm de arista

Resolución:

Cubo (hexaedro) Un hexaedro es un poliedro de seis caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras han de ser polígonos de cinco lados o menos. Si las seis caras del hexaedro son cuadrados congruentes, el hexaedro se denomina regular (cuerpo frecuentemente conocido como cubo), siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Desarrollo plano

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Cubo

Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Calcular el área lateral y el área total de un cubo de 5 cm de arista.

Resolución:

Octaedro Un octaedro es un poliedro de ocho caras.. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo una figura de los llamados sólidos platónicos.

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Desarrollo plano de un octaedro.

Octaedro. Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Calcula el área un octaedro de 5 cm de arista.

Resolución:

Dodecaedro Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

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Desarrollo plano de un dodecaedro

Dodecaedro Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Calcula el área de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

Resolución:

Icosaedro Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.

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Desarrollo plano de un icosaedro

Icosaedro. Su área se halla usando esta fórmula:

Problema: Calcula el área de un icosaedro de 5 cm de arista

Resolución:

Teorema de Cavaliere El Principio de Cavalieri (denominado en honor a su descubridor Bonaventura Cavalieri en el siglo XVII) es una ley geométrica que enuncia la diferencia de volumen en dos cuerpos. El enunciado podría ser: Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces igual volumen.

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Hoy en día en la moderna teoría de geometría analítica el principio de Cavalieri es tomado como un caso especial del Principio de Fubini. Cavalieri no hizo un uso extensivo del principio, empleándolo sólo en su Método de las indivisibles que expone en el año 1635 con la publicación de su obra Geometría indivisibilibus y también aparece en 1647 en su Ejercitaciones Geométrica. Antes del principio siglo XVII sólo se podría calcular el volumen de algunos cuerpos especiales ya tratados geométricamente por los resultados obtenidos por el griego Arquímedes y Kepler. La idea del cálculo de volúmenes mediante la comparación de secciones dio paso al desarrollo de los primeros pasos del cálculo infinitesimal así como de las integrales.

Teorema de Euler. En teoría de números el teorema de Euler, también conocido como teorema de Euler-Fermat, es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y como tal afirma una proposición sobre la divisibilidad de los números enteros. El teorema establece que:

Si a y n son enteros primos relativos, entonces n divide al entero aφ(n)- 1 Leonhard Euler (1736) Sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la siguiente forma: Si a y n son enteros primos relativos, entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n). Leonhard Euler (1736)

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