Issuu on Google+

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ГЛАВНАЯ

АСТРОНОМИЧЕСКАЯ

ОБСЕРВАТОРИЯ

сгрометрия сгрофизика РЕСПУБЛИКАНСКИЙ МЕЖВЕДОМСТВЕННЫЙ СБОРНИК

Методы

2

астрометрических исследований

КИЕВ — 196 9 ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА»

1


РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПИРСОНА VII ТИПА В ОШИБКАХ НАБЛЮДЕНИИ НАД КОЛЕБАНИЯМИ ШИРОТ И. В. Джунь

Астрономические и, в частности, широтные наблюдения выполняются в условиях, которые не остаются постоянными, а значительно изменяются в зависимости от сезона, погоды и других причин. Если обрабатывать результаты наблюдений, выпол. ценных при разных условиях, к то трудно ожидать, что их совокупность будет подчиняться нормальному закону, поскольку этот закон требует постоянства дисперсии. Пусть, например, в зависимости от условий все наблюдения можно разделить на две группы, значительно различающиеся между собой по точности. Если в каждой группе ошибки х распределены по нормальному закону, то для общей совокупности результатов, очевидно, получим следующую оценку плотности вероятности: дг1 «1 -+• п..

О, у лп

+ т

-00

-ли

и

„и

.ви

ии

Рис. 1. Распределение плотности вероятности (точками обозначено ход суммарного закона плотности f(x))

где п 1 и п2 — числа наблюдений; и а:, — дисперсии ошибок для первой и второй групп соответственно. На рис. I показан пример плотности распределения со следующими значениями параметров: ——— = Р\ — 0.9,

л, + п.,

п2

= 0 . 1 , а, = 0 . 1 , о, = 0.5. 101


По-видимому, довольно часто приходится встречаться с такими распределениями, которые можно получить наложением ле двух, а многих нормальных распределений, т.е.

/

«

-

v

Уr

!

*

я, "

«

^

.

<»>

где р, — дробное число, выражающее степень участия i-ro нормального распределения в образовании суммарной функции f(x). fix)

Рис. 2. Кривые VII типа Пирсона и нормальная кривая (жирная линия).

Любая функция типа (1) обладает свойствами, характерными для кривых VII типа Пирсона: она похожа на плотность нормального распределения в том отношении; что имеет один максимум, симметрична относительно оси ординат и стремится к нулю при х -*оо. Но при одной и той же дисперсии кривые Пирсона VII типа лежат выше нормальной кривой при больших значениях х, и ниже — при х, близких к о. При заданном среднем значении х одному и тому же значению а соответствует только одна нормальная кривая и бесконечное множество кривых VII типа (рис. 2). Следовательно, среднее квадратическое является достаточной характеристикой точности только тогда, когда ошибки иски


следуемого ряда распределены нормально. Обычно действительный закон распределения неизвестен, и нормальный закон, как правило, принимается без проверки того, подчиняются ли этому закону ошибки наблюдений в каждом конкретном случае. При проверке обнаруживалось, что большие ошибки в опыте встречаются чаще, чем должно быть согласно нормальному закону [2—4]. Нюкомб [5] отмечает, что ряды наблюдений, обычно рассматриваемые как однородные, в действительности такими не являются. Типичный пример этого — наблюдения на Куксоновском зенит-телескопе в Гринвиче. Хюльме и Симе [2] показали, что распределение ошибок в двух сериях этих наблюдений лучше представляется формулой (1). чем нормальным законом. Использовав эту формулу, они смогли уменьшить влияние резко выделяющихся наблюдений на кривую колебаний широты. Джеффриз также занимался изучением распределения этих серий ошибок [6]. Он обнаружил значительные уклонения от нормального закона (m = 2.7 и 2.2 для первой и второй серий соответственно) и нашел, что гистограммы ошибок ближе всего к кривым распределения Пирсона VII типа (см. рис. 2, кривая для т — 2 ) . Джеффриз пишет, что такое большое уклонение от нормального закона ошибок, вероятно, обусловлено изменениями условий наблюдений. Было бы интересно проверить выводы работ [2, 6] на других широтных наблюдениях. Статья Панченко и Смирнова [9] является единственной из появившихся после работ [2, 6], в которой затрагивается этот вопрос. Астрономам часто приходится сравнивать средние значения различных величин, когда они рассматривают вопрос о различии определении, выполненных несколькими наблюдателями или с помощью разных инструментов и методов. При этом существенно установить, являются ли обнаруженные различия значимыми. Для строгого решения этой задачи нужно предварительно найти закон распределения ошибок изучаемых наблюдений. Для анализа мы взяли данные параллельных наблюдений широты в Полтаве на расположенных близко друг от друга зенит-телескопах Цейсса и Бамберга. Эти наблюдения ведутся по общей четырехгрупповой программе, описанной в работах [7, 8]. Мы воспользовались результатами за время 1949.9— 1954.5 гг. Обозначим какое-либо t'-e значение широты инструмента Цейсса через ф/, а полученное в этот же момент и по 4


Л,

Л

я.

я,

2 и I <•> о ч

п

"VII

п

п

4 5 5

ы

=12

- о ! 75 - а . 65 —0.55 —0.45 - 0 . 3 5

0.25

—0.15

—0.05 + 0 . 0 5 --0.15 --0.25 --0.35

1

0.2

0 2

0.3 0.6

1 2

1.0

0.2

3.7 7.0 14 27 48 76

2.9 7.4 17

6 9 15 18 53 72

95 102

- - 0 . 4 5 120 + 0 . 5 5 90 - - 0 . 6 5 68 - 0 . 7 5 37 - - 0 . 8 5 20 --0.95 И --1.05 9 --1.15 1 - -1.25 --1.35 --1.45 --1.55

N

1.9

109 93

65 38 21 11

6 2.8

0.9

32 54 77 93 98 88 67 45 25 12

5 1.8

15 12 36 63 101 143 116 107 49 29 13

8 5

0 1

"VII

1.2

2.3 4.6 9 18 36 67 105

133

126

92 55 29 14 7 3.6 1.9 1.0

n

п

"VII

0.4 1.5 4.6 12 26 48 76 101 115 110 89 62 36 18 7 2.7 0.8 0.1

2

N

2 2 3 14 30 58 99

123 117 79 65 43 12

6 5

6 4

и

п

"УМ

1.0

0.1

0.1 0.8 1.6

3.7 7.6 15

0.8 2.7 7.6 18 36

1 1 1

1.9

30 56 90 118 120 95 61 34 17

п

60

86

9

4 2.1 1.1

104 107 94 69 43 23 10 4

1.3 0.4

2 2 13

35 62

3.5 7

16 32

5

59 97 135 154 140 105 65 36 18 9 4.0

0 0

2.2 1.2

102 110 161 136 95 55 42 22 13

3 630

713

\

0^426

0! 376

0*416

0465

а

0!264

0^250

0^249

0^250

670

0.5

2.0

6 16 35 64 НЮ 131 146 137

108 72 40 19 8 2.5 0.7 0.1

891

тем же парам на инструменте Бамберга — через ср,". В разностях широт ф;-Ф;=д<

о'=1.2

/V)

отсутствуют полярные волны, ошибки склонений и собственных движений звезд, т. е. Д ( образуют последовательность случайных величин, полностью обусловленную ошибками наблюдений. 104


Таблица

с, 77 "VII

1 1 1 2 11 25 53 101 149 179 191 129 76 40 19 8 5 1 1

0.4 0.9 1.7 4.3 10.4 24 52 97 154 186 178 133 80 40 18 8 3.1 1.2 0.6

7

с, п

ы

0.1 0.8 3.2' 10.1 26 58 102 148 175 170 134 87 46 20 7 2.1 0.4 0.1

"VII

п

2 13 26 57 138 194 238 211 161 103 45 23 11 4 3 1

0

4.7 12 29 63 120 189 234 224

168

99 49 22 9 3.4 1.3 0.6

п

ы

3.2 11 31 68 125 185 221 215 169 108 56 23 8 2.0 0.3

я

п

п

0.8 2.7 8

1 1 2

42 75 113 143 154 139 106 69 38 17 7 2.2 0.6

15 52 116 148 156 164 146 93 41 24 11 5 3

ы

3 4 6 17 43 64 117 1.55 159 134 118 57 35 13

10 3 1 3

1.7 3.8 8.5 18

38

69 111 119 163 144 104 63 34 16 8 3.0 1.5 0.9

20

0.1

6

2 1 1

1

П

УИ "л/

0.8 1.9 4.4 10 24 49 90 139 175 175 139 89 49 24 И

0.1 0.8 3.0 10 25 53 94 138 168 168 139 95 54 25 10

5

3

2.0 0.7 0.3

0.8 0.1

0.1

993

1231

942

989

о! 485

0*489

0!415

0" 5 0 6

о! 2 2 6

0*221

о! 246

0!236

Разности Д i можно получать по наблюдениям каждого из звеньев программы А,, Аъ В,, В2. С,, С2, йи £>2- В табл. 1 для каждого звена приведено распределение п разностей А, по классам, общее число разностей Л/, полученных по наблюдениям данного звена, их среднее арифметическое X и среднее квадратическое уклонений а отдельных А; от К. Чтобы определить вид исследуемых распределений, воспользуемся методами статистической школы Неймана—Пирсона [10, стр. 101]. Получив выборочные значения начальных момен105


Группы

тов |і 2 . ІЛз- М4 (табл. 2) и откладывая вдоль осей прямоугольной системы координат (рис. 3) величины

Iа»

Iа.

'

Таблица

2

1

h

ß.

3 12

Ь ~- рГ

находим тип сглаживающей кривой. Точки, соответствующие распределениям иссле4 . 3 0 . 0 6 9 2 0 . 0 0 8 7 0 . 0 2 0 7 0 . 2 2 9 Л, 626 — Ъ7 170 130 4.3 дуемых разностей, отмечены Л. 32 62 J + 160 4.1 042 В, на рис. 3. Они группируются 40 626 - f 151 3.8 065 ß, вблизи линии распределения 097 510 -f 10 3.7 075 С, Пирсона VII типа. Уклоне491 + 28 090 068 3.7 с, 607 + 27 031 3.6 133 ния в область IV типа вызя , 558 4 029 4.2 22 131 ваны отличием цз от нуля, чем мы пренебрегаем. Применяя наиболее удобную форму для представления плотности вероятности распределения Пирсона VII типа

D,

у.

Ц (1+ " ^ - Ц ' Р , (2) {2п(т — 1/2)' 2 (/я — 1/2)!о} | 2(т 1/2) 3 о»| переходим к уравнениям максимального правдоподобия для нахождения неизвестных X, о, т: д

.

т

= 0

— In L — — д\

Ш

д

N

- In Z. — — <?3 3 -д-т дт

L

^

106

M =

1

+ (Xi - W/2M*

у п: (х,—> ) = 0. Мз — ! + ( * , - ) . ) 3 / 2 М о т

3

1-і

d\n(m -

d In т\

1

dm

2 (от - 1/2) 2Мя2 і

\

4-І где

N

i-i

(m - 1/2)3 m1

&

/-1 N = V nt, i-i

1/2)!

dm

2(m —l/2)»o«

і — номер класса.

(3)


Система Значения

решается т

йт

известными

методами [6, 12, стр. 185].

' можно найти в работе [13], используя функцио-

о

а*

ов

д

Рис. 3. Определение типа кривой Пирсона (точка N соответствует закону Гаусса, полужирная линия —линия VII).

нальные соотношения для Г- и ^-функций. Дисперсии К, т и <т получили из соотношений 112, стр. 292] д* .

дГ-

1п

.

1

= -2 ,

1п ^ —

дт- "

4

1

а2„

и [6] з 2 =

^

т + 1 т—1/2

2п

Решение системы (3) выполнено на ЭВМ «Промжь». Результаты приведены в табл. 3. 107


Таблица

7

Нормальный закон распределении

Р а с п р е д е л е н и е VII типа Пирсона

N

Л,

Л,

Я.

й с а

я,

630 713 670 891 993 1231 942 989

3.83 3.44 3.90 5.36 6.38 7.00 6.38 8.40

0.86 0.64 0.93 1.43 1.92 2.00 1.90 2.95

0.430 0.010 0.254 0.009 0.426 09 376 383 236 8 416 409 09 241 8 465 459 08 248 7 4S3 222 6 485 07 489 484 218 0(5 5 442 244 6 445 08 506 500 231 6 07

0.010 09 09 07 07

0.264 250 249 250 226

07 07

246 236

06

221

0.007 7 7

6 5 4 5 5

Воспользовавшись критерием х2. по данным табл. 3, находим степень согласия исследуемых распределений с нормальной кривой и кривой Пирсона VII типа, т. е. вероятности того, что рассматриваемые совокупности значений Д, являются выборками из генеральной совокупности с заданным законом распределения. Для нормального закона эта вероятность обозначена через PN, для распределения Пирсона VII типа — через Р \ , i (табл. 4). Таблица Вероятности распределения

PN яЛ,>Зі

А,

Л,

0.03 <0.001 1

<0.001

1

1

Ді>3а

6

8

Pv„

0.40

0.025

1 5

С,

Вг

в.

0.19 0.63 1

1 8

7

0.003 0.40 0.81

с,

4 Z>3

Я.

0.09 0.23

0.04

2

1

1 8

0.51

9 0.68

8 0.05

Теоретическое распределение разностей по классам соответственно для кривой Пирсона VII типа л у п и нормальной кривой n N дано в табл. 1. При вычислении rt v a по формуле (1) удобно пользоваться логарифмами Г-функции [14, стр. 422]. Во всех случаях наблюдается одинаковый характер уклонения исследуемых распределений от гауссовой кривой (табл. 1). Как видим, рассматриваемые группы разностей нельзя считать выборками из одной генеральной совокупности. 108


Таблица Группы

Ах л, д,

в, с,

с, Д.

А,

я,

я,

с,

с,

о,

о,

0 . 0 4 7 0 . 0 2 2 ' 0 . 0 2 0 0 . 0 5 2 0 . 0 5 3 0.011 0 . 0 7 0 20 20 22 19 21 21 22 30 28 27 30 29 30 31 25" 21 29

7

ДХ 5Н 14

76 20 28

99 18 26

100 17 25

59 19 27

117 19 26

АX 5<Ц, Но

50 20 28

74 19 27

75 18 26

33 20 27

92 19 27

АХ 5%

24 18 25

24 19 26

17 19 27

41 18 26

дх 5« 1«„

9 16 22

41 17 24

18 17 24

АХ 5« 19*

42 16 23

17 16 22

ДХ 5% 1»6

58 18 95

ь%

\%

ДХ

1 0„

Исследуем этот вопрос более подробно, т.е. проверим, во всех ли случаях значимо отличаются величины X/ и ч, и аЛ, от, и т к какого-либо /-го и £-го звена. Если окажется, например,

где идху* = {а'(. 1(С}) — квантиль нормального распределения, соответствующий принятому уровню значимости С т о разность X/—Хк следует признать незначимой; если же

то следует признать систематические расхождения между Ху и X*. Этот вывод будет ошибочным примерно в 2(3 случаях из 100. В табл. 5 через АХ обозначены значения разностей Х;—Хц,, т. е. 109


разности каждого К со всеми остальными. Под каждым ДХ — величины (тДХд ((О) для 5 и 1% уровней значимости. Аналогичным образом получаем табл. 6, 7 значимости расхождений о и т, причем в табл. 7 опущены значения 1(С}) для <2=1%, поскольку уже для 5% предела отклонения почти во всех случаях \nlj—m k \•<£ l з Лmf | l t(Q) (звездочками обозначены случаи, когда /л, — тк > Таблица 6 Группы

л .

>4,

0.018 19 27

и,

Д.

Вг

с,

я.

Вг

с,

Д.

0.036 16 23

0.010 18 25

0.023 17 24

12 17 24

14 16 22

18 15 21

08 16 23

05 16

22

5% 1 «

07 17 24

18 16 23

23 13 22

04 17 24

10 16

Дз 59»

23

25 11 20

30 14 19

03 15 21

17 15 21

Д« 59а 1%

04 12 17

22 14 20

08

Дз 5 % 10»

26

1а 13

13 19

О,

аг

0.032 17 24

0.013 0.006 19 18 27 25 04 18 26

с,

13 19

до 5 ц 1% Дз

18

Да 5% 1?»

13 14

5%

20

До

На основании результатов табл. 5—7 можно сделать вывод, что только группы С, и С2 являются однородными, т. е. принадлежат одной генеральной совокупности. В большинстве случаев имеются значимые различия либо средних, либо среднеквадратическнх. Из сравнения табл. 6 и 7 можно с достаточной степенью уверенности сделать вывод о том, что пары звеньев А\ и В2, Л2 и В, В2 и О, имеют одинаковый характер рассеяния (рис. 4). но


Таблица Группы

и,

Л,

0.39 1.07 1.76

С,

7

О,

Я,

Вг

0.07 1.26 2.07

1.53 1.66 2.72

0.46 1.13 1.86

1.92* 2 . 9 4 * 3 . 5 6 * 2 . 9 4 * 4 . 9 6 * Л от 1.57 2.03 2.10 2.00 3.02 2.58 3.45 3.34 3.28 4 . 9 6 59. 1.46 1.70 2.79

B,

2 . 5 5 * 3.17* 2 . 5 5 * 4.57* Д т 1.98 2 . 0 9 2.11 3.07 3-47 3.26 3.44 5.05 596

2.48* 3 . 1 0 * 2.48* 4 . 5 0 2.11 3.09 2.13 2.20 3.50 3.61 5.08 3.47 1.02 2.39

я,

Д.

1.64 2.46

1.02 ' 3 . 0 1 2.38 3.28

0.62 2.77

0.00

Д от 3

Лш

5?« Дот

594 C,

2.70

1.62 3.52

0.62 2.76

1.40 3.57

Дот

59«

С,

2.02 3.51

о,

Дот

з Ат 5н Д от 3 Лт 5 и

Получим теперь таблицы, идентичные табл. 5 и 6 в предположении нормального закона. В этом случае при отсутствии систематического расхождения средних А,- И Кк отношение

где V

я у л*(я у + я * - . 2)

Зу и О/ь, я, и л*, — дисперсии и число наблюдении сравниваемых звеньев, подчиняется распределению Стьюдента с п,- + пк—2 степенями свободы. Если окажется при уровне значимости <2, что

п; +

пк-2), 111


гипотеза если же

о

систематическом | Х , - л А | >s0t(Q,

различии

X/

и Хк отвергается.

nj + rtk — 2)

гипотеза подтверждается. Табл. 8 построена аналогично табл. 5. Под каждым АХ приведены величины А'о/(С?, п^ + пь.—2), вычисленные для двух уровней значимости. Заметим, что при числе степеней свободы —2>500 распределение Стьюдента мало отличается от нормального и при нахождении квантиля /(<?, Пу + + пк—>2) можно воспользоваться таблицами для нормального распределения [11]. Без ущерба для точности принимаем п -

V

+ •

Применив /•'-критерий для гипотезы п 7 = получаем данные табл. 9. Если о | 7 ' й < 1 - 1 4 , расхождения дисперсий незначимы при 5%-ном пределе отклонения, если ( Т ; / 0 / ; < 1 . 2 3 — при 1 %-ном [15]. Из-за отличия методов подхода наблюдается неРис. 4. Сглаживающие кривые VII типа которое различие выводов и нормальная (менее вытянутая) для табл. 8 и 5 (например, распределения А2. для звеньев А\ и Вь А2 и В|, А\ и В2, В2 и С2, В2 и 0 2 ) . В табл. 6 и 9 также наблюдаются несовпадения (например, для групп А2 и С\, В2 и С|, Л2 и С 2 . В 2 и 0 2 ) . В основном же выводы совпадают. Иного и трудно было ожидать из-за высокозначимых отличий средних и среднеквадратнческих, а также не слишком значительного уклонения от нормального закона. 112


Таблица Группы

Л

Л,

вх

В,

с,

с,

8

о,

я,

ДХ

0.050 0.010 0.039 0.059 0.063 0.019 0.080 21 21 20 19 22 23 23 29 27 30 29 33 31 33 40 23 33

Л, в,

59» 19»

дх

89 21 29

109 19 27

113 18 26

69 20 29

130 20 28

49 21 30

69 19 27

73 18 26

29 21 29

90 20 28

5и 19*

20 18 26

24 17 24

20 19 27

41 18 26

59»' 19»

4 16 22

40 18 25

21 17 24

59» 19«

44 17 23

17 16 23

5И 19.

61 18 26.

ДХ 5», їй

В,

С,

С, 0.

дх дх дх ДХ

Таблица Группы

И,

к B,

C.

И, 1.10

В,

в,

1.11 1.11

1.11 1.00 1.01

С,

С,

о.

1.35 1.23 1.21 1.22

1.41 1.28 1.26 1.28 1.04

1.13 1.03 1.02 1.03 1.19 1.24

5« 1И

9 о, 1 1 1 1 1 1 1

25 12 11 12 09 14 09

Подводя итоги работы, можно сделать следующие выводы. 1. Исследуемые группы разностей имеют значимые отличия средних и дисперсий. 2. Кривая распределения Пирсона VII типа лучше согласуется с результатами наблюдений, чем нормальный закон. в—1138

ш


3. Принимая нормальный закон, мы вынуждены считать большие уклонения просчетами и отбрасывать их даже в тех случаях, когда никаких ошибок или неясностей в записи наблюдений обнаружить не удается. Принимая распределения Пирсона УН типа, придаем большим уклонениям малый вес, но не исключаем их совсем. 4. Хюльме и Симе замечают [2], что для группы наблюдений, сделанных в одно и то же время, распределение будет близко к нормальному. Судя по величине уклонения от нормального закона (табл. 3), зимним наблюдениям присущи более сильные вариации точности, чем летне-осенним. ' ЛИТЕРАТУРА 1. N c w c o m b S. — Proceeding Physical Society, E d d i n g t o n , 1932, 45. 271 2. H u t me H. R. and S u m s L. S. T. — M. N. Roy. Astr. Soc., 1939, 99 3. D о о I i It I e C. L. — Astr. J., 1910, 26. 608. 4. D о о I i 11 1 e C. L. - Astr. J., 1912, 27, 641. 5. N e w c o m b S. — Amer. J. Math., 1866, 8. 4, 343. 6. J e f f e r e y s 11. — M. N. Roy. Astr. Soc., 1939, 99, 9. 7. Ф е д о р о в E. П. — В кн.: О з а д а ч а х и программе МСШ. Изд-во АН С С С Р , М„ 1954. 8. Ф е д о р о в Е. П. — Тр. Полтавской грав. обсер. T. IV. Идз-во АН У С С Р 1951 9. П а н ч е н К о M. I., С м и р н о в В. О. — Д А Н У Р С Р . 1961. 1. 10. Б о л ь ш е й Л . Н., С м и р н о в Н . В . Таблицы математической статистики. «Наука», М., 1965. 11. К е л л и Г. Л. Статистические таблицы. В Ц А Н С С С Р , М., 1966 12. J e f f e r e y s H. Theory of Probability. Sec. Edition, Oxford, 1940 d 13. Таблицы функции *р(г) =~ In Г ( г ) н ее производных в комплексной dz области, ВЦ АН С С С Р . М., 1965. 14. M и т р о п о л ь с к и й' А. К. Техннка статистических вычислений. Физматгиз, М., 1961. .15. Д у и и и - Б а р к о в с к и й О. В., С м и р н о в Н. В. Теория вероятностей н математическая статистика в технике. Госиздат, М., 1955. Главная астрономическая обсерватория АН УССР

114


PEARSON'S DISTRIBUTION OF TYPE VII IN THE ERRORS OF LATITUDE OBSERVATIONS J. V. J U N E

Summary Concurrent observations with two zenith telescopes have been carried on at the Poltava Observatory. Differences between latitudes obtained with the two telescopes are dealt with in the present paper. It has been found that actual distribution of these differences better follows the Pearson's law of Type VII than the normal law which may be explained as due to the fact that the precision of observation is unstable because of variability of the observational conditions. The program common to the both instruments consists of 8 ÂŤlinksÂť. Correspondingly, the following values of parameter m of the Pearson's law have been obtained: 3.83, 3.44, 3.90, 5.30, 6.38, 7.00, 6.38. 8.40. The location parameters and standard errors of all links were put to the significance test in order to find out whether data for different links are samples taken out of the same population. The answer is mostly in the negative.

8


1_FLK