Relatório Técnico Vetores e Matrizes Ortogonais Wagner Oliveira de Araujo
Lecture Report March
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Relatório de Disciplina 2013
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Março
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Vetores e Matrizes Ortogonais Wagner Oliveira de Araujo ∗ woa2009@gmail.com
Resumo. Este meta-artigo descreve um passo a passo a utilização de matrizes e vetores ortogonais. Palavras-Chave: Ortogonais. Normalização. Matrizes. Vetores.
1 Introdução Dois vetores a e b do mesmo tamanho são referidos como sendo ortogonais [1] se a = (a1 , a2 , . . . , an ) e
b = (b1 , b2 , . . . , bn )
a’b = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn = 0.
(1) (2)
Geometricamente, vetores ortogonais são perpendiculares. Se a’a = 1, o vetor √ é dito normalizado. O vetor pode sempre ser normalizado dividindo-se pelo seu comprimento, a’a. Assim c= √
a a’a
(3)
é normalizada de modo a que c’c = 1. A matriz C = (c1 , c2 , . . . , cp ) cujas colunas são normalizadas e mutuamente ortogonais é chamada uma matriz ortogonal. Uma vez que os elementos de C’C são produtos de colunas de C, que possuem a propriedades ci 0 ci = 1 para todo i e ci 0 cj = 0 para todo i 6= j, temos C0 C = I1 .
(4)
Se C é satisfeita pela Equação (4), segue-se necessariamente que CC0 = I,
(5)
a partir do qual podemos ver que as linhas de C também são normalizadas e ortogonais entre si. É forma clara Equação (4) e Equação (5) que C−1 = C0 para uma matriz ortogonal C. Ilustra-se a criação de uma matriz ortogonal, iniciando com
1 1 1 1 1 −1 A= 1 −2 0 ∗ 1
Responsável pelo texto do relatório. Representa a matriz identidade
1
(6)
2
Relatório Técnico
Aplicando a Equação (3) por cada coluna da Matriz (6) temos h
h
h
i
1 1 1
1 1 −2
1 −1 0
i
i
1 √ × 1 = 1(1) + 1(1) + 1(1) = 3 ⇒ 3 1
1 √ × 1 = 1(1) + 1(1) − 2(−2) = 6 ⇒ 6 −2 1 √ × −1 = 1(1) − 1(−1) + 0(0) = 2 ⇒ 2 0
cujas colunas são ortogonais √ √ entre √ si, para normalizar as três colunas, dividimos pelos respectivos comprimentos, 3, 6 e 2 obtém
C=
√1 3 √1 3 √1 3
√1 6 √1 6 − √26
√1 2 − √12
0
.
(7)
Note-se que as linhas tornaram-se também mutuamente ortogonais e normalizadas, de modo que satisfaça tanto C Equações (4 e 5).
Referências [1] Alvin C. Rencher. Methods of Multivariate Analysis. Jonh Wiley & Sons, 2th edition, 2002.
2 Código do programa em MATLAB 1 2 3
%% Vetores e Matrizes Ortogonais % Criado por: Wagner Oliveira de Araujo % Data 30/03/2013
4 5 6
A=[1,1,1;1,1,-1;1,-2,0]; B = orth(A)
7 8
% Prova
9 10
B’*B
11 12
B*B’
13 14
%Resposta
15 16
B =
17 18 19 20
-0.4082 -0.4082 0.8165
-0.5774 -0.5774 -0.5774
-0.7071 0.7071 -0.0000
0 1.0000 0.0000
-0.0000 0.0000 1.0000
21 22 23
ans =
24 25 26 27 28 29
1.0000 0 -0.0000
3
Relat贸rio T茅cnico
30
ans =
31 32 33 34
1.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 1.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000