Matrizes
A
aij
m n
Matrizes Especiais • • • • • •
Matriz linha Matriz coluna Matriz Nula Matriz quadrada Matriz diagonal Matriz identidade
Igualdade de Matrizes
A B
aij
bij
m n
m n
Ex:
2x 3 y 3
4
x 1 2y 3
y 4
aij bij
Quem s達o as matrizes abaixo?
Ex1 : A Ex 2 : B
aij bij
3 3
3 2
; aij i j ; bij
1, se i 2
i , se i
j j
ADIÇÃO DE MATRIZES 1) Condição Necessária 2) Propriedades: i) Associativa ii) Comutativa iii) Existência de elemento neutro iv) Todo elemento tem simétrico A B A B Obs: oposta de B
Produto de um escalar por uma matriz 1 3
0 5
1 2
0 1 2 3
2 1
2 0
...
...
t A Matriz Transposta: Matriz Simétrica: At A t A Matriz Anti-Simétrica:
Propriedades: t t
i)
A
ii)
A B
iii)
kA
iv)
AB
A t
At
t
kAt
t
Bt At
Bt
A
Multiplicação de Matrizes Ex: 1 2 0
Am n Bn
p
Cm
p
1 3 3 0
1 0
2 1 0
NOTA: A I n A e I m A A Exercício D.168, pag: 54-D
Sendo
1 9 2 1
A 2
A B ,
e
B
0 3
A B A B ,
8 1 , determine:
A2 2I 2 A I 22 e A3 I 23
Matrizes Inversas A é inversível se
onde B
B
tal que AB BA I n ,
A 1.
Determinar a inversa da matriz 1 2 3 4
• • • •
Menor complementar do elemento aij : Dij Cofator do elemento aij : Aij Matriz dos cofatores: M ` Matriz adjunta: M M ` t
M
Ex:
M
1 2 3 4
1
1 M det M