Matematika. Formulė VI by Leidykla "Šviesa"

TURINYS

1 skyrius. Statistinis tyrimas 1. 2. 3. 4. 5.

· ··

Tyrimo tikslas ir planas 10 12 Anketos sudarymas 16 Statistiniai duomenys 18 Dažnių lentelės Graf inis duomenų vaizdavimas 28 Pakartokime

2 skyrius. Skaičių įvairovė

FORMULĖ

Įvadas 4 Keliaukime drauge

· ·

1. Natūralieji ir dešimtainiai skaičiai 34 2. Paprastosios ir dešimtainės trupmenos 42 3. Mišrieji skaičiai 46 Pakartokime

3 skyrius. Skaičių magija 1. 2. 3. 4.

·· ·

Lyginiai ir nelyginiai skaičiai 52 54 Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai 58 Skaičiaus dalikliai ir kartotiniai Trupmenų su skirtingais vardikliais palyginimas 68 Pakartokime

4 skyrius. Plokščiosios f igūros 1. 2. 3. 4. 5.

· ·

Gretutiniai ir kryžminiai kampai 74 Daugiakampis, apskritimas ir skritulys 86 Trikampių rūšys 90 Trikampio kampų suma 92 Figūrų braižymas 100 Pakartokime

· · ··

5 skyrius. Teigiamųjų skaičių sudėtis ir atimtis

104

1. Natūraliųjų ir dešimtainių skaičių sudėtis 106 ir atimtis 2. Trupmenų su vienodais vardikliais sudėtis 110 ir atimtis 3. Trupmenų su skirtingais vardikliais 112 sudėtis ir atimtis 114 4. Mišriųjų skaičių sudėtis ir atimtis 120 5. Šventinė aritmetika 126 Pakartokime Kartojimo uždavinių atsakymai 130 134 Žodynėlis 136 Naudota literatūra Iliustracijų šaltiniai 136

· ·

· · ·

6 skyrius. Erdvinės figūros 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

· ·

Erdvinės figūros šalia mūsų 6 Stačiakampis gretasienis ir kubas Stačioji prizmė 10 Piramidė 12 Ritinys 14 Kūgis 16 Rutulys 18 Pakartokime 20

· · ··· · ·

7 skyrius. Teigiamųjų skaičių daugyba ir dalyba

FORMULĖ

TURINYS

1. Natūraliųjų ir dešimtainių skaičių daugyba ir dalyba 26 2. Skaičių keliame kvadratu ir kubu 30 3. Trupmenų ir mišriųjų skaičių daugyba 32 4. Trupmenų ir mišriųjų skaičių dalyba 38 5. Skaičius ir jo dalys 42 6. Pasaulio šalių simboliai 48 Pakartokime 50

· · · · · ·

· · ·

8 skyrius. Tiesioginis proporcingumas

1. Dviejų dydžių priklausomybė 56 2. Tiesiogiai proporcingi dydžiai 58 3. Tiesiogiai proporcingi dydžiai kasdieniame gyvenime 60 4. Mastelis 68 Pakartokime 72

·· ·

··· · · · · ··

9 skyrius. Reiškinys, lygtis, nelygybė 1. 2. 3. 4. 5.

Skaitiniai reiškiniai 76 Raidiniai reiškiniai 80 Lygtis. Lygties sprendinys 86 Lygčių sprendimas 88 Nelygybė. Nelygybės sprendinys Pakartokime 98

10 skyrius. Perimetras, plotas, tūris 1. 2. 3. 4. 5.

102

Figūros perimetras 104 Kaip greičiau apskaičiuoti perimetrą? 106 Plotas 110 Kaip greičiau apskaičiuoti plotą? 112 Stačiakampio gretasienio ir kubo paviršiaus plotas 116 6. Tūris 118 7. Stačiakampio gretasienio ir kubo tūris 120 8. Žmogus keičia Žemę 122 Pakartokime 126 Kartojimo uždavinių atsakymai 130 Žodynėlis 132 Naudota literatūra 133 Iliustracijų šaltiniai 133

· · ·

· ··

· ·

Įvadas

FORMULĖ

. Šis matematikos vadovėlis yra vienas iš gausios ir darnios „Šok“ serijos vadovėlių šeimos. Jis panašus į kitus tos serijos vadovėlius savo sandara ir užduočių sistema. Visų šios serijos dalykų vadovėlius taip pat jungia keletas bendrų – projektinių – temų. Vis dėlto kiekvieno dalyko vadovėlis turi ir savo ypatumų. Kuo ypatingas šis vadovėlis? Jis nuolat kviečia pasitelkti ir lavinti vaizduotę, mokytis logiškai mąstyti, žingsnelis po žingsnelio artėti prie tūkstantmečiais žmonijos puoselėto matematikos mokslo lobyno.

Spręsdami vadovėlio uždavinius, geriau suprasite temą ir išmoksite taikyti įgytas žinias.

Kiekvienos temos pradžioje išvardijama, ką turėtumėte mokėti išnagrinėję temą.

Savo kelią į nuostabų ir stebuklingą matematikos pasaulį galima rasti tūkstančiais būdų. Dirbdami kartu, į jį ateisite greičiau. Kad eiti būtų lengviau, susipažinkime su vadovėlio sandara. Vadovėlį sudaro dvi knygos, o jas – dešimt skyrių, suskirstytų į temas. Kai kurios temos dar turi potemius. Perskaitę temų tekstus, išnagrinėję ir aptarę aprašytas situacijas ar pavyzdžius, nedelsdami kibkite į darbą – spręskite uždavinius, atlikite įvairias mokytojo paskirtas užduotis. Vienos jų skatins įgyti žinių, kitos – mąstyti, pagrįsti savo samprotavimus, dar kitos išmokys kalbėti apie matematiką ir pasitikrinti, ar gerai supratote tai, ką mokėtės. 4

Čia rasite įdomių užduočių, pokštų ir galvosūkių. O gal galėsite pasiūlyti dar įdomesnių dalykų?

Salelė įdomių faktų, idėjų, nuomonių iš einamos temos. Čia galėsite pasisemti žinių ir iš matematikos istorijos, sužinoti, kaip rutuliojosi matematikos mokslas, iš kur atsirado įvairūs žymenys, pavadinimai ir pan.

Būkite atsakingi už savo mokymąsi. Jeigu kas nors bus neaišku, drąsiai kreipkitės į mokytoją. Jis ne tik patars, kokias užduotis ir kaip geriau atlikti, bet ir padės. Kiti vadovėlio Formulė komplekto leidiniai: pratybų sąsiuviniai, kontrolinių darbų knyga, uždavinynas – padės lavinti jūsų kūrybiškumą, mokytis jums priimtiniausiu būdu.

Tai – nuoroda į pratybų Tai – nuoroda į kontrolinių sąsiuvinio užduotis. Kūrybiškai darbų knygą. Atlikite joje pateikjas atlikdami, pasitikrinsite, kaip tą pavyzdinio kontrolinio darbo užduotį. Išnagrinėję jos vertinimo išmokote vieną ar kitą temą. instrukciją, galėsite įvertinti savo Tai – nuoroda į internetą. žinias. Tada jausitės ramiau, kai teks rašyti tikrą kontrolinį darbą.

. Čia pateikiamos sąvokos ir žymenys, kuriuos svarbu įsidėmėti ir mokėti paaiškinti. Vadovėlio gale rasite Žodynėlį. Jame trumpai aiškinama, ką tos sąvokos reiškia.

Kiekvieno skyriaus pabaigoje esantis skyrelis „Trumpai“ padės jums apibendrinti ir įsiminti svarbiausias skyriaus mintis.

Norėdami pasitikrinti skyriuje įgytas žinias, išspręskite visus ar dalį čia pateiktų kartojimo uždavinių. Jie suskirstyti į tris lygius. Lengviausi pažymėti ženklu , vidutinio sunkumo – , sunkiausi – .

PA K A R TO K I M E

Nuspalvintą f igūros dalį užrašykite: a) žodžiais; b) paprastąja trupmena; c) procentais. ❽

Kartojimo uždaviniai ❶

❷

❸

❹

Užrašykite skaičių skaitmenimis: a) penki šimtai septyniasdešimt šeši tūkstančiai vienuolika; b) du milijonai du šimtai šešiasdešimt penki tūkstančiai vienas. Užrašykite dešimtainį skaičių skaitmenimis: a) penki sveiki ir aštuonios dešimtosios; b) penkiolika sveikų ir trys šimtosios. Užrašykite nurodytą mišrųjį skaičių skaitmenimis: a) du sveiki ir dvi septintosios; b) aštuoniolika sveikų ir septynios dvidešimt trečiosios. Tarp skaičių įrašykite tinkamą ženklą (< arba >): a) 6 879 ... 6 897; b) 23 547 ... 23 457; c) 4,7 ... 3,7; d) 8,507 ... 8,602.

❺

Suapvalinkite skaičius: a) 473, 5 768 ir 62 794 iki dešimčių; b) 362, 8 573 ir 19 883 iki šimtų.

❻

Dalydami nustatykite, kuris atsakymas yra teisingas: a) 19 = ... ; A 0,1 B 0,11 C 0,(1) 3 = ... . b) 11

A 0,27

B 0,(27)

C 0,2(7)

Kiekviena f igūra padalyta į lygias dalis.

❼

1 4

❾

7 , 17 , 8 , 9 , 3 , Kurios iš trupmenų 73 , 13 5 7 1 17 4 , 17 , 12 , 16 yra taisyklingosios? 7 10 19 9

Koks mišrusis skaičius pavaizduotas kiekvienu atveju? a)

d) Užrašykite trumpiau:

a) 2 + 53 ;

b) 5 + 73 ;

c) 8 + 94 .

Mišrųjį skaičių užrašykite jo sveikosios ir trupmeninės dalies suma: 3 a) 2 11 ;

b) 3 75 ;

c) 9 94 ;

7 d) 12 19 .

Žiūrėdami į paveikslėlį, iš pradžių užrašykite netaisyklingąja trupmena, paskui – mišriuoju skaičiumi: a) b) Milda suvalgė pusę visų mamos nupirktų trešnių. a) Kiek procentų trešnių Milda suvalgė? b) Kiek procentų trešnių liko? Senelė nuravėjo ketvirtadalį lysvės. a) Kiek procentų lysvės senelė nuravėjo? b) Kiek procentų lysvės liko nenuravėta? Pirmą dieną turistai nuėjo ketvirtadalį viso kelio. a) Kiek procentų kelio jie nuėjo? b) Kiek procentų kelio jiems dar reikės nueiti?

Trupmeną užrašykite natūraliuoju skaičiumi: a) 84 ;

b) 15 ; 3

c) 40 ; 5

66 . d) 11

Trupmeną užrašykite kaip dalmenį: a) dvi penktosios; b) septynios vienuoliktosios; c) penkios septynioliktosios; d) devynios dvidešimt pirmosios. Paverskite dešimtaine trupmena: a) 15 ;

b) 53 ;

c) 58 ;

d) 78 .

Užrašykite begaline periodine dešimtaine trupmena: a) 92 ;

b) 56 ;

4; c) 11

5. d) 12

Tarp skaičių įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =): a) 0,6 ... 0,(6); b) 0,(12) ... 0,12; c) 0,2(31) ... 0,231; d) 1,35 ... 1,3(5). Edita turėjo 12 Lt. Už ketvirtadalį šių pinigų ji pirko sąsiuvinių. a) Kiek kainavo sąsiuvinis? b) Kiek procentų pinigų Edita išleido? c) Kiek procentų pinigų Editai liko? Per dieną parduotuvėje buvo parduota 43 visų apelsinų. Kiek procentų visų

apelsinų parduotuvėje liko?

Surašykite skaičius didėjimo tvarka: 253 764; 2 537; 25 697; 25 489; 253 674. Gabrielė 2 h ruošė pamokas. Tris ketvirtadalius to laiko ji rašė rašinėlį. Kiek minučių ji ruošė kitas pamokas? Skaičių spindulyje vienetas atitinka 8 langelių ilgį. Šiame spindulyje taškais pažymėkite skaičius 18 , 83 , 43 , 1 58, 2 14 . Skaičių spindulyje vienetas atitinka 9 langelių ilgį. Šiame spindulyje taškais 1 2 7 5 pažymėkite skaičius 3 , 3 , 9 , 1 9 , 2.

Skaičių 3 588,726 suapvalinkite iki: a) šimtųjų; b) dešimtųjų; c) dešimčių; d) šimtų. Netaisyklingąją trupmeną užrašykite mišriuoju skaičiumi: a) 13 ; b) 15 ; c) 25 ; d) 27 ; 3 4 3 4 e) 12 ; 7

f) 17 ; 9

g) 32 ; 5

h) 46 . 9

Mišrųjį skaičių užrašykite netaisyklingąja trupmena: a) 1 83 ;

b) 2 72 ; f) 6 58 ;

e) 5 59 ;

c) 3 79 ; 3 g) 7 10 ;

7; d) 4 11 7 h) 9 15 .

Paprastąją trupmeną paverskite dešimtaine ir suapvalinkite: 7; a) iki dešimtųjų: 72 ; 59 ; 12 3; 8; b) iki šimtųjų: 56 ; 11 15 5. c) iki tūkstantųjų: 17 ; 79 ; 12 Simas perskaitė penktadalį knygos, kurioje yra 240 puslapių. a) Kiek procentų knygos liko dar neperskaityta? b) Kiek puslapių Simui liko perskaityti?

Prekė, kainavusi 850 Lt, pabrango penktadaliu. a) Kiek litų prekė pabrango? b) Kiek ji kainuoja dabar? Prekė kainavo 80 Lt. Iš pradžių ji ketvirtadaliu atpigo, vėliau 25 % pabrango. Kiek prekė kainuoja dabar? Kurie natūralieji skaičiai galėtų būti vietoj kvadratėlio: a) 4 < 1; b) 7 < 1; c) 5 > 1; d) 6 > 1? Pastebėję dėsningumą, įrašykite trūkstamus skaičius. 11

721

6 21

3 skyrius FORMULĖ

Skaičių magija Gyvenime dažnai tenka ką nors dalyti. Pasirodo, kad nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 5, 10, 3 arba 9, galima ir neatliekant dalybos veiksmo. Šiame skyriuje taip pat sužinosite, koks rėtis vadinamas garsaus matematiko Eratosteno (Eratosthenēs) vardu ir ką šiuo rėčiu matematikai sijoja. Susipažinę su pirminiais ir sudėtiniais skaičiais, netruksite išmokti skaičius skaidyti pirminiais daugikliais, rasti keleto skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. O tada mokysitės spręsti uždavinius, lavinančius jūsų mąstymą ir vaizduotę.

Pirminiø skaièiø (iki 997) lentelë 2 47 109 191 3 53 113 193 5 59 127 197 7 61 131 199 11 67 137 211 13 71 139 223 17 73 149 227 19 79 151 229 23 83 157 233 29 89 163 239 31 97 167 241 37 101 173 251 41 103 179 257 43 107 181 263

269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433

439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521

523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613

617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701

709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809

811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887

907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

1 Lyginiai ir nelyginiai skaičiai . .

Čia parašyta lyginių skaičių eilutė:

Netrukus

•• •••• •••••• •••••••• ••••••••••

Sužinosime, kokie skaičiai vadinami lyginiais, kokie – nelyginiais. Išmoksime nustatyti, ar skaičius yra lyginis, ar nelyginis.

O štai čia yra nelyginių skaičių eilutė:

•

•••

•••••

••••••• 7

••••••••• 9

Abiejų eilučių skaičiai žymi, kiek yra skrituliukų. Pabandykime suporuoti kiekvienos grupelės skrituliukus. Pirmos eilutės skrituliukus pavyks suporuoti, o antroje eilutėje vienas skrituliukas kaskart liks be poros. 1 eilutė

••

•• ••

•• •• ••

•• •• •• ••

•• •• •• •• ••

•

•• • °

••• •• °

•••• ••• °

••••• •••• °

2 eilutė

Pirmos eilutės skaičiai 2, 4, 6, 8, 10, ... dalijasi be liekanos iš 2. Sakome, kad šie skaičiai yra lýginiai. Tai įdomu! Pitagoras (Pythagoras) skirstė skaičius į vyriškuosius ir moteriškuosius. Jis teigė, kad nelyginiai skaičiai yra stipresni ir aktyvesni už lyginius. Lyginį skaičių lengvai padalijus be liekanos pusiau, per vidurį lieka tuštuma:

••• 6 •••

Nelyginio skaičiaus taip paprastai padalyti į dvi lygias dalis neįmanoma – per vidurį visada lieka vienas skaičius:

••• • ••• 7

Todėl nelyginius skaičius Pitagoras vadino vyriškaisiais, o lyginius – moteriškaisiais.

Antros eilutės skaičiai 1, 3, 5, 7, 9, ... nesidalija be liekanos iš 2. Sakome, kad jie yra nelýginiai. Kaip nustatyti, ar skaičius yra lyginis, ar ne, jeigu jis labai didelis? Jei skaičiaus paskutinis skaitmuo yra 0, 2, 4, 6 arba 8, tai skaičius lyginis, o jeigu 1, 3, 5, 7 arba 9, tai nelyginis. Pavyzdžiai 1. Skaičius 42 938 lyginis, nes paskutinis jo skaitmuo yra 8. 2. Skaičius 273 481 nelyginis, nes paskutinis jo skaitmuo yra 1. Jei, atvykę į Vlnių, pradėtume eiti Gedimno prospektù nuo Kãtedros aikšts, pastebėtume, kad dešinėje prospekto pusėje namai sunumeruoti nelyginiais, o kairėje – lyginiais skaičiais. Vienos kelionių agentūros interneto puslapyje galima rasti tokios informacijos: „2008 m. sausio, kovo, birželio, liepos, rugsėjo ir spalio mėnesį keltas „Regina Baltica“ į Stòkholmą plaukia lyginėmis dienomis, iš Stòkholmo – nelyginėmis dienomis.“ Pagalvokite, kur savo aplinkoje esate susidūrę su lyginiais ir nelyginiais skaičiais. 52

Uždaviniai

Lyginis skaičius

Nelyginis skaičius

...

❽

❷

Kurie šių skaičių dalijasi iš 2: 145; 478; 1 752; 3 849; 5 700; 1 000 004?

❸

Kurie šių skaičių nesidalija iš 2: 7 889; 65 974; 310 900; 594 487; 4 502 605; 9 722 000?

❹

❼

Ar galima nurodytą pinigų sumą išmokėti tik 2 Lt monetomis:

❾

Mokytoja surinko visų mokinių kontrolinių darbų ir pratybų sąsiuvinius. Iš viso ji suskaičiavo 53 sąsiuvinius. Ar visi mokiniai padavė abu sąsiuvinius? Koks skaitmuo galėtų būti vietoj * , jei žinoma, kad skaičius 243* yra: a) lyginis; b) nelyginis? Parašykite penkis tokius skaičius: a) lyginius triženklius; b) nelyginius keturženklius. Parašykite didžiausią ir mažiausią: a) lyginį keturženklį skaičių; b) nelyginį šešiaženklį skaičių. Apskaičiuokite visų lyginių skaičių nuo 19 iki 32 sumą. Apskaičiuokite visų nelyginių skaičių nuo 24 iki 37 sumą.

a) 146 Lt;

b) 100 Lt;

c) 1 245 Lt?

❺

Parašykite visus lyginius natūraliuosius skaičius, esančius tarp skaičių: a) 49 ir 64; b) 50 ir 63; c) 89 ir 98.

❻

Pavartę kelių eismo taisykles, rasime tokius kelio ženklų paaiškinimus: Draudžiama transporto priemonėms stovėti nelyginėmis mėnesio dienomis toje kelio pusėje, kurioje yra toks ženklas. Draudžiama transporto priemonėms stovėti lyginėmis mėnesio dienomis toje kelio pusėje, kurioje yra toks ženklas.

Iš skaitmenų 1, 4, 5 ir 8 sudarykite visus lyginius dviženklius skaičius, kurių skaitmenys: a) nesikartoja; b) kartojasi. Povilas pamiršo savo draugo naujojo telefono numerio paskutinius du skaitmenis, bet pamena, kad vienas iš jų buvo lyginis, o kitas – nelyginis: +370 682 655 . Kiek daugiausia telefono numerių jam teks išbandyti, kad surinktų teisingą? Neskaičiuodami nustatykite, ar skaičių suma bus lyginis, ar nelyginis skaičius: a) 146 + 206; b) 241 + 380; c) 348 + 451; d) 643 + 894.

Aukštačių gatvėje pastatytas pirmasis, o Trãkų gatvėje – antrasis kelio ženklas. a) Užrašykite, kuri šiandien yra diena. b) Kurioje kiekvienos gatvės pusėje šiandien galite pastatyti automobilį?

.. 53

Žodžių bankas Lýginis skačius Nelýginis skačius

SK AIČIŲ MAGIJA

Skaičius 14, 17, 28, 47, 49, 82, 91, 156, 184, 204, 335, 460, 537, 654, 2 000, 5 043, 16 006, 300 625 surašykite lentelėje.

❶

2 Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai . . . .

Netrukus Sužinosime, kaip, neatliekant dalybos veiksmo, nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 5, 10, 3 arba 9. Sužinosime, kas yra skaičiaus dalikliai. Sužinosime, kokie skaičiai vadinami pirminiais, kokie – sudėtiniais. Išmoksime skaičių skaidyti pirminiais daugikliais.

1 Dalumo požymiai Jau žinome, kad visi natūralieji skaičiai, kurie baigiasi skaitmeniu 0, 2, 4, 6 arba 8, yra dalūs iš 2 (t. y. be liekanos dalijasi iš 2). Kaip manote, ar galima nedalijant nustatyti, ar skaičius yra dalus iš 5? Jei galima, tai kaip? Gal jums kils kokių nors minčių, prisiminus daugybos iš 5 lentelę? 1×5= 5 2 × 5 = 10

3 × 5 = 15 4 × 5 = 20

5 × 5 = 25 6 × 5 = 30

7 × 5 = 35 8 × 5 = 40

9 × 5 = 45 10 × 5 = 50

Greičiausiai pastebėjote, kad visi natūralieji skaičiai, kurie baigiasi skaitmeniu 0 arba 5, yra dalūs iš 5. Pažiūrėję į daugybos iš 10 lentelę, pamatysite, kad visi natūralieji skaičiai, kurie baigiasi skaitmeniu 0, yra dalūs iš 10: 1 × 10 = 10 3 × 10 = 30 5 × 10 = 50 7 × 10 = 70 9 × 10 = 90 2 × 10 = 20 4 × 10 = 40 6 × 10 = 60 8 × 10 = 80 10 × 10 = 100

Taigi, ar natūralusis skaičius yra dalus iš 2, 5 arba 10, galime nustatyti pagal paskutinį jo skaitmenį. Tačiau ši taisyklė netiks, jeigu svarstysime, ar skaičius yra dalus iš 3 arba 9. Žvilgtelėkime į daugybos iš 3 lentelę: 1×3=3 2×3=6

3×3= 9 4 × 3 = 12

5 × 3 = 15 6 × 3 = 18

7 × 3 = 21 8 × 3 = 24

9 × 3 = 27 10 × 3 = 30

Skaičius, dalus iš 3, baigiasi skaitmeniu 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7 arba 0 (t. y. bet kokiu skaitmeniu). Šiais skaitmenimis baigiasi visi skaičiai, tačiau toli gražu ne visi dalijasi iš 3. Ar skaičius yra dalus iš 3 (iš 9), patikriname taip: • sudedame jo skaitmenis; • jei skaičiaus skaitmenų suma dalijasi iš 3 (iš 9), tai ir skaičius dalijasi iš 3 (iš 9). Pavyzdžiai Skaičiaus skaitmenų suma

Ar skaičius dalus iš 3?

Ar skaičius dalus iš 9?

4 986

4 + 9 + 8 + 6 = 27

3 972

3 + 9 + 7 + 2 = 21

–

4 562

4 + 5 + 6 + 2 = 17

–

Skaičius

Taisyklės, pagal kurias galime patikrinti, ar skaičius dalus iš 2, 3, 5 ir t. t., vadinamos dalùmo (iš 2, 3, 5 ir t. t.) póžymiais. 54

Uždaviniai

Dalus iš 2

Dalus iš 5

Dalus iš 10

ir joje surašykite šiuos skaičius: 25; 35; 65; 70; 131; 235; 350; 400; 1 015; 2 653. ❷

❸

Kokie skaitmenys galėtų būti parašyti vietoj kvadratėlių, kad skaičius dalytųsi iš 5: a) 8 ; b) 3 0; c) 72 ; e) 80; f) 0? d) 34 5; Kokie skaitmenys galėtų būti parašyti vietoj kvadratėlių, kad skaičius dalytųsi iš 10: a) 7 ; d) 479 ;

b) 53 ; e) 731 ;

c) 2 0 f) 4

; ?

Jei skaičius baigiasi dviem nuliais, tai jis dalijasi iš 100. Pateikite 3–4 tokių skaičių pavyzdžius. Apskaičiuokite skaičiaus skaitmenų sumą ir pagal ją nustatykite, ar skaičius dalus iš 3: a) 132; b) 702; c) 2 001; d) 5 845; e) 3 921; f) 4 501. Kokį skaitmenį reikėtų įrašyti vietoj žvaigždutės, kad skaičius dalytųsi iš 3: a) 1*00; b) 578*; c) 4*1; d) *888? Surašykite visus skaičius, kurie dalijasi iš 3 ir yra tarp skaičių: a) 28 ir 41; b) 34 ir 68; c) 110 ir 140. Ar galima iš šių skaitmenų sudaryti triženklį skaičių, kuris dalytųsi iš 3: a) 1, 2, 5; b) 2, 3, 7; c) 3, 7, 9?

Kokie skaitmenys galėtų būti parašyti vietoj kvadratėlių, kad skaičius dalytųsi iš 2: a) ; b) 5 ; c) 73 ; ; e) 8 ; f) 2 5 ? d) 43

Ar skaičius dalijasi iš 9: a) 69; b) 247; d) 636; e) 7 323; Jei dalijasi, padalykite.

❺

Parašykite visus natūraliuosius skaičius, kurie yra mažesni už 45 ir dalijasi: a) iš 5; b) iš 10; c) iš 2.

Kurie iš skaičių 237, 587, 738, 723, 942, 1 213, 3 447 ir 3 243 dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 9?

❻

Parašykite tris keturženklius skaičius, kurie dalijasi: a) iš 5; b) iš 10; c) iš 2.

Parašykite visus skaičius, kurie dalijasi iš 9 ir yra tarp skaičių: a) 27 ir 42; b) 32 ir 70; c) 20 ir 150.

❼

Ar teisingas teiginys: a) visi skaičiai, kurie dalijasi iš 5, dalijasi ir iš 10; b) visi skaičiai, kurie dalijasi iš 10, dalijasi ir iš 5?

Parašykite penkis keturženklius skaičius, kurių visi skaitmenys skirtingi ir kurie dalijasi: a) iš 3; b) iš 9; c) iš 3, bet ne iš 9.

❹

❽

Iš skaitmenų 0, 2, 5 ir 7 sudarykite po tris triženklius skaičius, kurie dalijasi: a) iš 2; b) iš 5; c) iš 10.

❾

Parašykite keturis triženklius skaičius, kurie dalijasi ir iš 2, ir iš 5. Padarykite išvadą.

c) 342; f) 6 109?

Vietoj žvaigždučių parašykite tokius skaitmenis, kad skaičius 4*1* dalytųsi iš 9. Išnagrinėkite visus galimus atvejus.

Žodžių bankas Dalùs iš 2 skačius Dalùmo póžymiai

SK AIČIŲ MAGIJA

Nusibraižykite lentelę

❶

PIRMINIAI IR SUDĖTINIAI SKAIčIAI

2 Skaidymas pirminiais daugikliais Visi natūralieji skaičiai dalijasi iš kokių nors skaičių. Pavyzdžiui, 7 dalijasi iš 1 ir 7. Sakome, kad 1 ir 7 yra to skaičiaus dalikliai.

7:1=7 7:7=1 Skaičius 8 turi keturis daliklius: 1, 2, 4 ir 8.

8:1=8

8:2=4

8:4=2

8:8=1

Eratostenas

Tai įdomu!

• Senovės graikų mokslinin-

kas Eratostenas pirmasis pasiūlė pirminių skaičių radimo būdą, vadinamą Eratostèno rėčiù. Kokia jo esmė? Pavyzdžiui, raskime Eratosteno sugalvotu būdu visus pirminius skaičius nuo 1 iki 20. Iš eilės surašome visus natūraliuosius skaičius nuo 1 iki 20 ir iš jų išbraukiame sudėtinius skaičius. Braukiame taip: pirmiausia išbraukiame 1 (nes jis ne pirminis), paskui visus skaičius, kurie dalūs iš 2, išskyrus skaičių 2 (4, 6, ..., 20), tada visus skaičius, kurie dalūs iš 3, išskyrus skaičių 3 (6, 9, ...) ir t. t. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Taip išsijojame visus sudėtinius skaičius ir paliekame tik pirminius: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Pirminių skaičių savybes tyrinėjo ir lietuvių poetas Antanas Baranauskas (1835–1902). Naujų savybių atskleidė Lietuvõs matematikai Jonas Kubilius, Alfonsas Matuliauskas ir kt.

•

Skaičiai, kurie turi tik du daliklius, vadinami pirmniais, o kurie turi daugiau kaip du daliklius – sudėtniais. Skaičius 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis, nes turi tik vieną daliklį. Kiekvieną sudėtinį skaičių galima išskáidyti pirmniais daugkliais, t. y. užrašyti pirminių skaičių sandauga. Pavyzdžiui, 10 = 2 × 5, 12 = 2 × 2 × 3. Kaip pirminiais daugikliais išskaidyti didesnį skaičių, pavyzdžiui, skaičių 120? Išskaidykime jį pirminiais daugikliais. I būdas Skaidyti galime pagal tokią schemą: 1) skaičių 120 užrašome dviejų daugiklių sandauga taip, kad nė vienas iš jų nebūtų lygus 1 (pavyzdžiui, 12 × 10); 2) kiekvieną gautą daugiklį toliau skaidome dviejų daugiklių sandauga, kol galiausiai lieka tik pirminiai daugikliai. Gauname skáidinį 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.

120 12

3×4

II būdas Skaidome taikydami dalumo požymius: 1) užrašome skaičių 120, iš dešinės nubrėžiame vertikalų brūkšnį ir už jo ties skaičiumi parašome mažiausią pirminį daliklį 2; 2) 120 padalijame iš 2 ir gautą dalmenį 60 parašome po skaičiumi 120; 3) taip tęsiame tol, kol gauname dalmenį 1. Gauname skaidinį 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. 56

2×5

2×2

120 60 30 15 5 1

2 2 2 3 5

Uždaviniai

Kuris skaičius nėra pirminis? A 23 B 37 C 43

D 51

Naudodamiesi pirminių skaičių lentele (žr. p. 51), nustatykite, kurie šių skaičių yra pirminiai, o kurie – sudėtiniai: 197, 207, 239, 617, 813, 929, 943. Raskite visus pirminius skaičius: a) mažesnius už 12; b) esančius tarp 23 ir 49; c) didesnius už 62, bet mažesnius už 140; d) didesnius už 150, bet mažesnius už 180. Parašykite mažiausią ir didžiausią pirminį skaičių, esantį tarp 100 ir 200. Pasakykite lyginį pirminį skaičių. Ar yra daugiau lyginių pirminių skaičių? Kodėl? Ar yra du pirminiai skaičiai, kurių skirtumas lygus: a) 3; b) 2; c) 1? Išskaidykite pirminiais daugikliais skaičius 8, 10, 12, 14, 18, 20, 25, 27. Ar visi sandaugos daugikliai yra pirminiai: a) 2 × 2 × 2 × 4; b) 3 × 11; c) 2 × 2 × 2 × 2; d) 3 × 3 × 9? Apskaičiuokite kiekvieną sandaugą. Kuriuo atveju skaičius išskaidytas pirminiais daugikliais? A 90 = 2 × 9 × 5 B 60 = 2 × 6 × 5 C 84 = 2 × 2 × 3 × 7 D 180 = 3 × 3 × 4 × 5 Pabaikite schemas: a) 8 b) 12 4× ×

e) 50 ×7

5×

2×

Pabaikite skaidyti taikydami dalumo požymius. Parašykite skaidinius. a) 72 2 b) 240 ... c) 660 ... 36 ... ... 2 330 ... ... 2 ... ... ... 3 ... 3 ... 2 55 11 ... ... ... 3 ... ... ... ... ... Išskaidykite pirminiais daugikliais, taikydami dalumo požymius: 48, 96, 130, 250, 256, 300, 675, 1 225, 23 625. Iš skaičių 63, 71, 85, 101, 127, 160, 181 ir 204 išrinkite: a) pirminius; b) sudėtinius. Parašykite skaičių, kurį galima išskaidyti: a) dviem skirtingais pirminiais daugikliais; b) trimis skirtingais pirminiais daugikliais; c) trimis vienodais pirminiais daugikliais. Iš kurių skaičių dalijasi: a) sandauga 3 × 5 × 13; b) sandauga 2 × 2 × 7 × 11? Atlikdami pirmojo pratybų sąsiuvinio 4 testą (p. 31), pasitikrinkite, kaip išmokote skaičius skaidyti pirminiais daugikliais, taikyti dalumo požymius.

.. . .

× ×

7 × 14 ×

3×2

c) 18

3×

×3 57

Žodžių bankas Pirmnis skačius Sudėtnis skačius Skáidymas pirmniais daugkliais Skaidinỹs

SK AIČIŲ MAGIJA

D 73

Kuris skaičius yra pirminis? A 21 B 39 C 57

Skaičiaus dalikliai ir kartotiniai

. . . .

Netrukus

1 Skaičiaus dalikliai

Sužinosime, ką vadiname skaičiaus kartotiniais.

Turime 12 kvadratėlių. Iš jų reikia sudėlioti visus galimus stačiãkampius.

Išmoksime rasti skaičiaus daliklius ir keletą kartotinių. Sužinosime, ką vadiname skaičių mažiausiuoju bendruoju kartotiniu (MBK). Išmoksime apskaičiuoti mažiausiąjį bendrąjį kartotinį.

Galime visus kvadratėlius sudėti į vieną eilę. Gausime ilgą ir siaurą stačiakampį. O jeigu kiekvienoje eilėje bus tik po vieną kvadratėlį, tai stačiakampis primins bokštą.

Tai įdomu! Du skaičiai, kurių kiekvienas lygus kito skaičiaus (neskaitant jo paties) daliklių sumai, vadinami draũgiškaisiais skačiais. Pavyzdžiui, skaičiai 220 ir 284 yra draugiškieji. Skaičiaus 220 dalikliai (neskaitant 220) yra 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ir 110, o jų suma lygi 284. Skaičiaus 284 dalikliai (neskaitant 284) yra 1, 2, 4, 71 ir 142, o jų suma lygi 220. Pirmąją draugiškųjų skaičių porą 220 ir 284 atrado Pitagoro pasekėjai. Tik po daugelio šimtmečių Šveicãrijos matematikas Leonardas Oileris (Euler) atrado dar 65 draugiškųjų skaičių poras. Štai keletas jų: 1. 220 ir 284 2. 1 184 ir 1 210 3. 2 620 ir 2 924 4. 5 020 ir 5 564 5. 6 232 ir 6 368.

Skaičius 12 dalijasi iš 2, taigi kvadratėlius galėsime sudėlioti ir į dvi eiles, kiekvienoje po 6 kvadratėlius. Bet 12 dalijasi ir iš 6, todėl galima sudėti 6 eiles, po 2 kvadratėlius kiekvienoje eilėje.

Skaičius 12 dar dalijasi iš 3 ir iš 4, vadinasi, galėsime sudaryti ir tokius stačiakampius:

Iš jokio kito natūraliojo skaičiaus 12 nesidalija, taigi daugiau stačiakampių gauti nepavyks. Kiekvienas natūralusis skaičius, iš kurio dalijasi duotas natūralusis skaičius, vadinamas duoto skačiaus dalikliù. Skaičiaus 12 dalikliai yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12. 58

Uždaviniai ❾

Pabaikite pildyti daliklių lentelę: Skaičius 54

❷

Skaičius 12 dalijasi iš 4. Kuris skaičius yra kurio daliklis?

❸

Skaičius 28 dalijasi iš 2 ir iš 7. Ar tiesa, kad jis dalijasi ir iš šių skaičių sandaugos?

Visi skaičiaus dalikliai 1

❺

❻

Pasakykite visus skaičiaus daliklius: a) 5; b) 9; c) 15; d) 26; e) 30; f) 32. Patikrinkite, ar pirmasis skaičius yra antrojo daliklis: a) 13 ir 611; b) 14 ir 516; c) 32 ir 277; d) 101 ir 2 727; e) 10 ir 9 800; f) 9 ir 816. Parašykite tris skaičius, kurių daliklis yra skaičius: a) 3; b) 8; c) 10; d) 25; e) 40; f) 120.

❼

Ar teisingas teiginys: a) 3 yra skaičiaus 9 daliklis; b) 1 yra skaičiaus 15 daliklis; c) 5 yra skaičiaus 100 daliklis; d) 8 yra skaičiaus 288 daliklis; e) 61 yra skaičiaus 2 501 daliklis?

❽

Skaičių padaliję iš daliklio, gauname dalmenį. Pirmoje eilutėje parašyti visi skaičiaus 30 dalikliai, o antroje – gauti dalmenys. Matome, kad bet kuris dalmuo yra to skaičiaus daliklis.

54 36

❹

Parašykite visus skaičiaus daliklius: a) 8; b) 15; c) 26; d) 42; e) 100; f) 125; g) 144; h) 162. Raskite trūkstamus nurodyto skaičiaus daliklius: a) 35: 1, _, _, 35; b) 40: 1, 2, _, _, 8, _, _, _; c) 112: 1, _, _, _, _, _, _, _, _, 112. Keliais būdais mokinius galima padalyti į vienodas grupes, kai mokinių yra: a) 24; b) 48; c) 96? Keliems vaikams po lygiai galima padalyti 24 riešutus, kai yra daugiau negu vienas vaikas? Ant stalo išdėlioti 32 vienodi stačiakampėliai sudaro didelį stačiakampį. Kiek skirtingų matmenų stačiakampių galima sudėlioti iš visų šių stačiakampėlių?

Nedalydami įrodykite, kad: a) skaičius 3 yra skaičiaus 2 415 daliklis; b) skaičius 3 nėra skaičiaus 418 daliklis; c) skaičius 9 yra skaičiaus 5 724 daliklis; d) skaičius 9 nėra skaičiaus 3 210 daliklis.

Patikrinkite, ar šis teiginys tinka skaičiams: a) 72; b) 84; c) 96; d) 110; e) 126; f) 300.

. 59

Žodžių bankas Skačiaus dalklis

SK AIČIŲ MAGIJA

Žinome, kad 6 dalijasi iš 2, todėl 2 yra skaičiaus 6 daliklis. Kokie dar skaičiai yra skaičiaus 6 dalikliai?

❶

S K A I č I AU S D A L I K L I A I I R K A R TOT I N I A I

2 Skaičiaus kartotiniai

Galvosūkiai Prie skaičiaus 43 iš dešinės ir iš kairės prirašykite po vieną skaitmenį, kad gautas skaičius dalytųsi iš 45.

Žygimantas sumanė kas ketvirtą dieną lankyti baseiną. Pirmą kartą jis ten nuvyko kovo 4 dieną. Kuriomis kovo mėnesio dienomis Žygimantas dar ketina eiti į baseiną?

Visai nesunku susigaudyti, kad į baseiną jis planuoja eiti kovo 4, 8, 12, 16, 20, 24 ir 28 dienomis:

Tai įdomu! Pažaiskite. Sustokite ratu ir garsiai skaičiuokite nuo 1 iki 50. Pasakę skaičiaus 3 kartotinį arba skaičių, kuris baigiasi skaitmeniu 3, bet nėra skaičiaus 3 kartotinis, suplokite.

8, 12, 16, 20, 24, 28.

Pasvarstykime: 4 = 4 × 1 = 4 skaičius 4 imamas 1 kartą; 4 + 4 = 4 × 2 = 8 skaičius 4 imamas 2 kartus; 4 + 4 + 4 = 4 × 3 = 12 skaičius 4 imamas 3 kartus; 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 4 = 16 skaičius 4 imamas 4 kartus; 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 5 = 20 skaičius 4 imamas 5 kartus ir t. t. Kiekvienas natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš duoto natūraliojo skaičiaus, vadinamas duoto skačiaus kartótiniu. Skaičiai 4, 8, 12, 16, 20 ir t. t. dalijasi iš 4, taigi jie yra skaičiaus 4 kartotiniai. Apskritai skaičiaus kartotinių sąrašas yra nesibaigiantis. 1 pavyzdys. Raskime visus skaičiaus 3 kartotinius.

Sandauga

3×1

3×2

3×3

3×4

3×5

3×6

3×7

3×8

3×9

3 × 10

...

Rezultatas

...

Kartotiniai: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; ...

2 pavyzdys. Raskime visus dviženklius skaičiaus 9 kartotinius. Sandauga

9×1

9×2

9×3

9×4

9×5

9×6

9×7

9×8

9×9

9 × 10

9 × 11

9 × 12

Rezultatas

108

Dviženkliai kartotiniai: 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99.

Uždaviniai

Parašykite po tris skaičiaus kartotinius: a) 1; b) 7; c) 8; d) 12; e) 14; f) 24. Lentelėje kryželiu pažymėti skaičiaus 6 kartotiniai. Persibraižę lentelę, joje pažymėkite kitų skaičių kartotinius. Skaičius 1

12 20

Skaičiaus kartotinis 1 2 4 6

8 12

Ar teisingas teiginys: a) 12 yra skaičiaus 3 kartotinis; b) 4 yra skaičiaus 12 kartotinis; c) 40 yra skaičiaus 7 kartotinis?

Pasakykite visus dviženklius skaičius, kurie yra skaičiaus 15 kartotiniai.

Parašykite mažiausią ir didžiausią triženklį skaičių, kuris yra skaičiaus 5 kartotinis. Kuriais skaitmenimis baigiasi: a) skaičiaus 2 kartotiniai; b) skaičiaus 5 kartotiniai; c) skaičiaus 10 kartotiniai? Patikrinkite raštu, ar: a) 235 279 yra skaičiaus 9 kartotinis; b) 6 363 yra skaičiaus 99 kartotinis. Iš skaičių 12, 21, 24, 48, 60 ir 64 išrinkite ir surašykite skaičiaus 12 kartotinius. Ar pirmasis skaičius yra antrojo kartotinis: a) 170 ir 2; b) 1 750 ir 5; c) 2 718 ir 3; d) 29 025 ir 9? Parašykite po du triženklius skaičius, kurie yra skaičiaus kartotiniai: a) 9; b) 15; c) 25; d) 30; e) 45. Parašykite pirmuosius aštuonis iš eilės einančius skaičiaus 3 kartotinius. Ar tarp jų yra skaičiaus 6 kartotinių? Jei yra, tai kiek? Varlė šuoliuoja nuo kranto tiesia linija, kaskart nušokdama 4 dm. a) Kokiu atstumu nuo kranto ji bus pašokusi 6 kartus? b) Ar atstumas nuo kranto iki varlės gali būti lygus 124 dm? Atsakymą pagrįskite.

Parašykite skaičiaus 6 kartotinius, didesnius už 48, bet mažesnius už 98.

. 61

Žodžių bankas Skačiaus kartótinis

SK AIČIŲ MAGIJA

Raskite dviženklius skaičius, kurie yra skaičiaus 21 kartotiniai.

Žinome, kad: a) 9 dalijasi iš 3, todėl 9 yra skaičiaus 3 kartotinis. Pasakykite dar tris skaičiaus 3 kartotinius. b) 12 dalijasi iš 4, todėl 12 yra skaičiaus 4 kartotinis. Pasakykite dar tris skaičiaus 4 kartotinius. c) 15 dalijasi iš 5, todėl 15 yra skaičiaus 5 kartotinis. Pasakykite dar tris skaičiaus 5 kartotinius. d) 18 dalijasi iš 6, todėl 18 yra skaičiaus 6 kartotinis. Pasakykite dar tris skaičiaus 6 kartotinius.

S K A I č I AU S D A L I K L I A I I R K A R TOT I N I A I

3 Mažiausiasis bendrasis kartotinis (MBK)

Galvosūkiai Dviejų skaičių mažiausiasis bendrasis kartotinis lygus 240, kiekvieno tų skaičių mažiausias daliklis lygus 8. Mažesnis skaičius turi tik vieną daugiklį 5, tačiau jo neturi didesnis skaičius. Raskite tuos skaičius.

Du broliai: Žygimantas ir Rolandas, kartu pradeda žingsniuoti per apsnigtą kiemą. Žygimanto žingsnio ilgis 4 dm, o Rolando – 5 dm. Kas kiek decimetrų brolių pėdsakai sutaps (bus greta)? Sprendimas Nužingsniuotas atstumas (dm) Žygimantas

Rolandas

Matome, kad Žygimanto ir Rolando pėdsakai bus greta, kai kiekvienas berniukas nueis 20 dm, 40 dm ir t. t. Taigi jų pėdsakai sutaps kas 20 dm. Skaičius 20 yra skaičių 4 ir 5 mažiausiasis bendrasis kartotinis. Rašome: MBK(4; 5) = 20. Dviejų natūraliųjų skaičių mažiáusiuoju bendrúoju kartótiniu vadinamas mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno tų skaičių. Mažiausiąjį bendrąjį kartotinį galima apskaičiuoti įvairiais būdais. Išnagrinėję pavyzdį, pasidalykite mintimis, kuris būdas jums pasirodė aiškiausias. 1 pavyzdys. Apskaičiuokime skaičių 24 ir 90 mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. I būdas Pirmiausia abu skaičius išskaidome pirminiais daugikliais: 90 = 2 × 3 × 3 × 5. 24 = 2 × 2 × 2 × 3, Tuos daugiklius surašome dviejuose susikertančiuose skrituliuose: viename – skaičiaus 24, kitame – skaičiaus 90. Bendruosius abiejų skaičių daugiklius (jie pažymėti raudona spalva) įrašome bendroje skritulių dalyje. Lieka sudauginti visus skrituliuose įrašytus skaičius. MBK(24; 90) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360. II būdas 24 = 2 × 2 × 2 × 3 90 = 2 ×3×3×5 MBK(24; 90) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360 62

24; 90 2 12 × 45 ×

Skaičiai 12 ir 45 dalijasi iš 3. Padaliję gauname 4 ir 15.

24; 90 2 × 12 × 45 3 4 × 15

Skaičiai 4 ir 15 neturi kitų bendrųjų daliklių, išskyrus 1. Todėl MBK(24; 90) = 2 × 3 × 4 × 15 = 360.

24; 90 12 × 45 4 × 15

IV būdas Surašome pirmuosius skaičiaus 90 kartotinius: 90, 180, 270, 360, ... Tikriname, kuris pirmasis iš jų dalysis iš 24: 90 : 24 – nesidalija; 270 : 24 – nesidalija; 180 : 24 – nesidalija; 360 : 24 – dalijasi. Vadinasi, MBK(24; 90) = 360. Šį būdą patogiau taikyti tada, kai skaičiai nedideli.

2 × 3 ×

SK AIČIŲ MAGIJA

III būdas Pirmiausia pastebime, kad abu skaičiai dalijasi iš 2. Padaliję kiekvieną, gauname 12 ir 45.

Galima apskaičiuoti ne tik dviejų, bet ir trijų bei daugiau skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. Išnagrinėkite pavyzdžius. 2 pavyzdys. Apskaičiuokime MBK(12; 18; 30). 12; 18; 30 2 × 6 × 9 × 15 3 × 2×3× 5 MBK(12; 18; 30) = 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 180. 3 pavyzdys. Apskaičiuokime MBK(28; 60; 63). ×7 28 = 2 × 2 60 = 2 × 2 × 3 ×5 63 = 3×3 ×7 MBK(28; 60; 63) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 1 260. 4 pavyzdys. Apskaičiuokime MBK(8; 12; 20). 20 nesidalija nei iš 8, nei iš 12. 20 × 2 = 40. 40 dalijasi iš 8, bet nesidalija iš 12. 20 × 3 = 60. 60 nesidalija iš 8, bet dalijasi iš 12. 20 × 4 = 80. 80 dalijasi iš 8, bet nesidalija iš 12. 20 × 5 = 100. 100 nesidalija nei iš 8, nei iš 12. 20 × 6 = 120. 120 dalijasi ir iš 8, ir iš 12. MBK(8; 12; 20) = 120. 63

S K A I č I AU S D A L I K L I A I I R K A R TOT I N I A I

Uždaviniai

Parašykite penkis skaičiaus kartotinius: a) 2; b) 5; c) 8; d) 32. Parašykite po dešimt kiekvieno skaičiaus kartotinių, abiejų skaičių bendruosius kartotinius pabraukite, tada parašykite mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. a) 9 ir 6; b) 2 ir 8; c) 4 ir 12; d) 15 ir 60. Dviejų skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį apskaičiuokite braižydami susikertančius skritulius: a) 12 ir 30; b) 15 ir 25; c) 25 ir 55; d) 16 ir 36. Dviejų skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį apskaičiuokite skaidydami pirminiais daugikliais: a) 30 ir 48; b) 24 ir 72; c) 32 ir 40; d) 144 ir 180. Dviejų skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį apskaičiuokite dalydami kampu (III būdu): a) 24 ir 28; b) 20 ir 65; c) 18 ir 28; d) 40 ir 160.

Parašykite du skaičius, kurių mažiausiasis bendrasis kartotinis lygus: a) 10; b) 50; c) 100; d) 20; e) 45; f) 200. Koks skaičius turi būti vietoj daugtaškio: a) MBK(9; ...) = 36; b) MBK(12; ...) = 60; c) MBK(31; ...) = 124? Paaiškinkite, kodėl bet kurie du natūralieji skaičiai turi be galo daug bendrųjų kartotinių, bet tik vieną mažiausiąjį. Kiek mažiausiai metrų audinio turi būti rietime, kad audinį būtų galima sukarpyti po 3 m arba po 4 m ir jo nė kiek neliktų?

Iš Rytų uosto į Vakarų uostą tuo pačiu metu išplaukė du motorlaiviai. Pirmasis jų, plaukdamas pirmyn ir atgal, užtrunka 4 paras, antrasis – 6 paras. Po kiek parų abu motorlaiviai vėl bus kartu Rytų uoste?

Dviejų skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį apskaičiuokite jums patogiu būdu: a) 154 ir 264; b) 84 ir 252; c) 702 ir 780; d) 675 ir 855. Trijų skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį apskaičiuokite braižydami susikertančius skritulius: a) 54, 72, 162; b) 12, 15, 18. Trijų skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį apskaičiuokite skaidydami pirminiais daugikliais: a) 252, 396, 720; b) 200, 140, 150. Trijų skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį apskaičiuokite dalydami kampu: a) 48, 108, 156; b) 80, 96, 288. 64

Uostamiestyje prasideda du turistiniai reisai motorlaiviais. Vieno reiso trukmė 15 dienų, kito – 18 dienų. Motorlaiviai abiem reisais išplaukė tuo pačiu metu. Po kiek dienų jie vėl išplauks kartu (sugrįžę į uostą, motorlaiviai tą pačią dieną išplaukia į reisą)?

Ponas Benediktas ir jo žmona vaistus turi gerti kas keletą valandų. Kad nepamirštų, jie įjungė savo mobiliojo telefono priminimo programą. Pono Benedikto telefonas pypsi kas 6 valandas, o jo žmonos – kas 8 valandas. 10 valandą pypsėjo abu telefonai. Kada anksčiausiai jie vėl pypsės kartu? Ponia Aldona vieną iš savo kaktusų laisto kas 10 dienų, o kitą – kas 14 dienų. Paskutinį kartą ji palaistė abu kaktusus sausio 10 dieną. Kada ji dabar vėl laistys abu augalus kartu?

Vaikiško dviračio varančioji žvaigždutė turi 44 krumplius, varomoji – 20 krumplių. Kiek mažiausiai kartų turi apsisukti varančioji žvaigždutė, kad abi žvaigždutės atsidurtų pradinėje padėtyje?

Aušra eina į baseiną kas 3 dienas, Vilius – kas 4 dienas, o Edgaras – kas 5 dienas. Pirmadienį jie visi trys susitiko baseine. Po kiek mažiausiai dienų ir kurią savaitės dieną jie vėl čia susitiks? Ant stalo yra mažiau kaip 100 knygų. Jas galima sudėlioti į krūveles po 3, po 4, po 5. Kiek knygų yra ant stalo? Vytauto žingsnio ilgis 75 cm, Aušros – 60 cm, o jų tėčio – 1 m 5 cm. Kokį mažiausią atstumą jie galėjo nueiti, jei pradėjo eiti kartu ir žengė natūralųjį skaičių žingsnių?

Iš stoties tuo pačiu metu, bet skirtingais maršrutais išvažiuoja du autobusai. Vieno reisas į abi puses trunka 48 min, o kito – 1 h 12 min. Po kiek laiko autobusai susitiks stotyje pirmą kartą?

SK AIČIŲ MAGIJA

Petras ir Laima pradeda eiti kartu. Petro žingsnio ilgis 75 cm, o Laimos – 60 cm. Kokiu mažiausiu atstumu nuo pradinės vietos jie bus, kai nužengs natūralųjį skaičių žingsnių?

Du berniukai stadione bėga ratu. Pirmasis ratą apibėga per 250 s, antrasis – per 400 s. Jie pradeda bėgti kartu nuo starto linijos. Po kiek laiko jie pirmą kartą susitiks prie starto linijos?

Kokio mažiausio ilgio turi būti virvelė, kad ją būtų galima sukarpyti į 6 dm ir 8 dm ilgio gabalus?

Atlikdami pirmojo pratybų sąsiuvinio 5 testą (p. 36), pasitikrinkite, kaip išmokote rasti skaičiaus daliklius ir kartotinius, skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį.

. 65

Žodžių bankas Mažiáusiasis bendràsis kartótinis (MBK)

4 Trupmenų su skirtingais vardikliais palyginimas . .

Penktoje klasėje jau mokėmės palyginti trupmenas. Prisiminkime.

Netrukus Prisiminsime, kaip palyginamos trupmenos, kurių vienodi vardikliai arba skaitikliai.

. .

Jei dviejų trupmenų vardikliai lygūs, tai mažesnė yra ta trupmena, kurios skaitiklis mažesnis. Jei dviejų trupmenų skaitikliai lygūs, tai mažesnė yra ta trupmena, kurios vardiklis didesnis.

Išmoksime bendravardiklinti trupmenas.

1 pavyzdys. Palyginkime dvi trupmenas: a) 56 ir 76 ; b) 56 ir 75 . a) Abiejų trupmenų vienodi vardikliai, todėl mažesnė yra ta trupmena, kurios skaitiklis mažesnis. Taigi 56 < 76 . b) Abiejų trupmenų vienodi skaitikliai, todėl didesnė yra trupmena, kurios vardiklis mažesnis. Vadinasi, 56 > 75 . O dabar panagrinėkime, kaip palyginamos trupmenos, kurių skiriasi ir skaitikliai, ir vardikliai. 11 . 2 pavyzdys. Palyginkime trupmenas 56 ir 12 Abiejų trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra skirtingi. Kad šias trupmenas galėtume palyginti, suvienodinkime jų vardiklius, kitaip tariant, trùpmenas subendravardklinkime. Pastebime, kad 12 : 6 = 2, todėl pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padau2 = 10 . giname iš 2: 56 = 56 # # 2 12 Dabar jau lyginame trupmenas, kurių vardikliai vienodi: 10 < 11 , todėl ir 5 < 11 . 12 12 6 12 5 ir 7 . 3 pavyzdys. Palyginkime trupmenas 60 80 Šių trupmenų skiriasi tiek skaitikliai, tiek vardikliai. Paprasčiausias būdas bendrajam trupmenų vardikliui rasti – sudauginti vardiklius: 60 × 80 = 4 800. Tada

Galvosūkiai Kokį didžiausią skaičių galima gauti sudėliojus pavaizduotas korteles į eilę vieną po kitos?

10 6 901 80 4

5 5 # 80 400 7 7 # 60 420 60 = 60 # 80 = 4800 , o 80 = 80 # 60 = 4800 . 400 < 420 , todėl ir 5 < 7 . Palyginame gautas trupmenas: 4800 4800 60 80 Šias trupmenas galėjome palyginti ir greičiau, jei būtume ieškoję ne bet kokio bendrojo jų vardiklio, o mažiáusiojo beñdrojo vardklio, t. y. skaičių 60 ir 80 mažiausiojo bendrojo kartotinio. Kadangi MBK(60; 80) = 240, tai 5 5#4 20 7 7#3 21 60 = 60 # 4 = 240 , o 80 = 80 # 3 = 240 . 20

Tada 240 < 240 , vadinasi, ir 60 < 80 . 66

Palyginkite trupmenas: a) 52 ir 15 ; c) 15 ir 15 ; 7 8

❷

b) 17 ir 74 ; d) 81 ir 81 . 7 6

Surašykite trupmenas 58 , 83, 84 , 18 , 78 , 68 , 13 , 8 didėjimo tvarka. 8 8

Surašykite trupmenas mažėjimo tvarka: 7 , 4; 5. b) 58 , 79 , 12, 43 , 18 a) 15, 13, 52 , 10 5 Subendravardiklinę trupmenas, nustatykite, kuri iš jų yra didžiausia: 11 . a) 73, 52 , 94 ; b) 54, 56 , 12

9 , 7 , 3 , 1 , 18 ,, Surašykite trupmenas 10 10 10 10 10 19 , 4 , 2 mažėjimo tvarka. 10 10 10

Išreikškite trupmenomis, kurių bendrasis vardiklis yra mažiausias: 7 , 5 , 3; a) 23, 43 , 79 ; b) 20 8 5

❹

Parašykite trupmenas: 3 , bet mažesnes už 7 ; a) didesnes už 10 10 5 11 . b) didesnes už 12 , bet mažesnes už 12

11, 5; 41 , 19 , 17 . d) 60 c) 78 , 12 6 36 45 Išrinkite mažesnes už 73 trupmenas: 4 1 3 9 42 , 2 5 , 3, 5 , 21, 48 , 3 .

❺

Trupmeną 53 išreikškite: a) dešimtosiomis dalimis; b) penkioliktosiomis dalimis; c) šimtosiomis dalimis.

Parašykite trupmeną, kuri yra: a) didesnė už 83 , bet mažesnė už 43 ;

❸

❻

Trupmenas užrašykite taip, kad jų bendrasis vardiklis būtų mažiausias: 8; a) 16 ir 83 ; b) 94 ir 15

7 ir 5 ; 8 . d) 11 ir 45 c) 12 8 30 ❼ Subendravardiklinkite trupmenas ir tarp jų įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =): a) 12 ir 23 ; b) 53 ir 12 ; 2; 9. d) 89 ir 10 c) 16 ir 11 ❽ Tarp trupmenų įrašykite tinkamą ženklą (<, > arba =): 9; 5 ir 7 ; a) 14 ir 10 b) 12 15 18 7 9 13 c) 40 ir 30 ; d) 24 ir 17 . 36 ❾

b) didesnė už 15 , bet mažesnė už 14 . 3 m ilgio virvė supjaustyta į 8 lygias dalis, o 4 m ilgio – į 10 lygių dalių. Kurios virvės dalys yra ilgesnės? Paveikslėlyje pavaizduoti du žaidimo ratai. Kai rodyklė sustoja žaliame sektoriuje, laimimas pagrindinis prizas, kai geltoname – nelaimima nieko. Kurį ratą sukant, galima dažniau laimėti pagrindinį prizą? 1 ratas

Ar teisingai palyginta: b) 23 > 74 ? a) 23 < 54 ;

2 ratas

. .

Atsakymą pagrįskite. Surašykite trupmenas didėjimo tvarka: 3 , 2; 3 b) 12 , 78 , 13 a) 43 , 12 , 78 , 20 5 20 , 5 . 67

Žodžių bankas Trùpmenų bendravardklinimas Mažiáusiasis bendràsis vardklis

❶

SK AIČIŲ MAGIJA

Uždaviniai

Pakartokime

SKAIČIŲ MAGIJA

Trumpai

1 Lyginiai ir nelyginiai skaičiai • Lyginiais vadinami skaičiai, kurie dalijasi iš 2. • Nelyginiai yra tie skaičiai, kurie nesidalija iš 2. • Jei skaičiaus paskutinis skaitmuo yra 0, 2, 4, 6 arba 8, tai skaičius lyginis, o jeigu 1, 3, 5, 7 arba 9, tai nelyginis.

2 Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai • Dalumo požymiai: − iš 2 dalijasi visi natūralieji skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0, 2, 4, 6 arba 8; pavyzdžiui, iš 2 dalijasi skaičiai 76, 128, 340, 4 506; − iš 5 dalijasi visi natūralieji skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5; pavyzdžiui, iš 5 dalijasi skaičiai 30, 75, 645, 9 450; − iš 10 dalijasi visi natūralieji skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0; pavyzdžiui, iš 10 dalijasi skaičiai 40, 120, 300, 1 960; − iš 3 (iš 9) dalijasi visi natūralieji skaičiai, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 3 (iš 9); pavyzdžiui, skaičius 873 dalijasi iš 3 (iš 9), nes 8 + 7 + 3 = 18, o 18 dalijasi iš 3 (iš 9).

• Skaičiai, kurie turi tik du daliklius, vadinami pirminiais. Pavyzdžiui, skaičius 19 yra pirminis, nes turi tik du daliklius: 1 ir 19.

• Skaičiai, kurie turi daugiau kaip du daliklius, vadinami sudėtiniais. Pavyzdžiui, skaičius 20 yra sudėtinis, nes turi daugiau kaip du daliklius: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

• Skaičius 1 nėra nei sudėtinis, nei pirminis, nes turi tik vieną daliklį. • Kiekvieną sudėtinį skaičių galima išskaidyti pirminiais daugikliais, t. y. užrašyti pirminių skaičių sandauga. Pavyzdžiui, 210 = 2 × 3 × 5 × 7.

• Skaičių galime keliais būdais išskaidyti pirminiais daugikliais: 1) braižydami schemą, pavyzdžiui, 90 9 × 10 3×32×5 90 = 2 × 3 × 3 × 5;

68 68

2) taikydami dalumo požymius, pavyzdžiui, 90 45 15 5 1

2 3 3 5

90 = 2 × 3 × 3 × 5.

Skaičiaus dalikliai ir kartotiniai

• Kiekvienas natūralusis skaičius, iš kurio dalijasi duotas natūralusis skaičius, vadinamas duoto skaičiaus dalikliu. Pavyzdžiui, skaičiaus 18 dalikliai yra 1, 2, 3, 6, 9 ir 18.

• Kiekvienas natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš duoto natūraliojo skaičiaus, vadinamas duoto skaičiaus kartotiniu. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 kartotiniai yra 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...

•

Dviejų natūraliųjų skaičių mažiausiuoju bendruoju kartotiniu (MBK) vadinamas mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno tų skaičių. Pavyzdžiui, MBK(8; 12) = 24, nes 24 yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi ir iš 8, ir iš 12. Skaičiaus 8 kartotiniai: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ... Skaičiaus 12 kartotiniai: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... Bendrieji kartotiniai: 24, 48, ..., taigi mažiausiasis bendrasis kartotinis yra 24.

Trupmenų su skirtingais vardikliais palyginimas

•

Norėdami palyginti dvi trupmenas, kurių vardikliai skirtingi, tuos vardiklius suvienodiname, t. y. trupmenas subendravardikliname. Pavyzdžiui, 2 < 3 , 3

nes 2 = 2 ´ 4 = 8 , 3 = 3 ´ 3 = 9 , o 8 < 9 . 3

3´4

12 4

4´3

Atlikite trečiojo pavyzdinio kontrolinio darbo 1 varianto užduotis.

69 69

PA K A R TO K I M E

❼

Kuris skaičius nėra pirminis? A 31 B 51 C 71 D 91

❽

Ar visi šios sandaugos daugikliai yra pirminiai: a) 2 × 3 × 2 × 4; b) 4 × 11; c) 5 × 7; d) 2 × 2 × 13?

❾

Apskaičiuodami sandaugą, nustatykite, koks skaičius išskaidytas daugikliais: a) 2 × 3 × 5; b) 2 × 2 × 3 × 5.

Kartojimo uždaviniai ❶

❷

Pabaikite rašyti sakinius: a) Skaičius dalijasi iš 2, jeigu baigiasi skaitmeniu __ , __ , __ arba __ . b) Skaičius dalijasi iš 5, jeigu baigiasi skaitmeniu __ arba __. c) Skaičius dalijasi iš 10, jeigu baigiasi skaitmeniu __ . Persibraižykite lentelę ir joje pažymėkite, kurie skaičiai dalijasi iš 2, 5 arba 10. Skaičius 128

❸

❹

❺

❻

dalijasi iš 2

iš 5

iš 10

Skaičius 330

334

335

980

987

dalijasi iš 2

iš 5

iš 10

Persibraižykite lentelę ir ją užpildykite: Skaičius

Dalus iš 3 (taip/ ne)

333

taip

SkaitSkai- menų čius suma

Dalus iš 3 (taip/ ne)

1 050

771

2 304

874

8 096

Parašykite visus natūraliuosius skaičius, kurie dalijasi iš 3 ir yra tarp skaičių: a) 22 ir 37; b) 41 ir 67; c) 82 ir 99. Kuris skaičius yra pirminis? A 29 B 39 C 49 D 99 70 70

Simas išskaidė skaičius 18, 24, 45 ir 84 pirminiais daugikliais. Kuris skaidinys yra kurio skaičiaus? A2×2×2×3 B3×3×5 C 2×2×3×7 D2×3×3 Išskaidykite pirminiais daugikliais: a) 28; b) 32; c) 42; d) 56. Iš kokių skaičių dalijasi skaičiai: a) 6; b) 9; c) 12; d) 15?

Iš skaičių 12, 19, 27, 44, 75, 97, 128, 196, 203 ir 392 išrinkite: a) lyginius skaičius; b) nelyginius skaičius.

Skaitmenų suma

Naudodamiesi pirminių skaičių lentele (žr. p. 51), surašykite visus pirminius skaičius nuo 61 iki 85.

Surašykite visus skaičiaus daliklius: a) 10; b) 24; c) 39; d) 45. Parašykite tris skaičiaus kartotinius: a) 2; b) 6; c) 9; d) 20. Kokio skaičiaus kartotiniai yra visi keturi nurodyti skaičiai: a) 6, 15, 24, 99; b) 12, 20, 32, 40; c) 10, 35, 65, 80; d) 14, 28, 49, 63? Nurodykite dviejų skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį: a) 8 ir 12; A 8 B 12 C 24 b) 6 ir 8. A 12 B 24 C 32 Kokį ženklą (<, > arba =) reikia įrašyti tarp trupmenų: a) 72 ... 73 ; b) 54 ... 52 ; ... 75 ; d) 15 ... 13 ? c) 13 6 6 8 8

Parašykite visus lyginius skaičius, esančius tarp skaičių: a) 39 ir 71; b) 53 ir 68; c) 567 ir 586. Parašykite visus natūraliuosius skaičius, kurie yra mažesni už 43 ir dalijasi: a) iš 5; b) iš 10; c) iš 2. Parašykite po tris penkiaženklius skaičius, kurie dalijasi: a) iš 5; b) iš 10; c) iš 2. Apskaičiuokite skaičiaus skaitmenų sumą ir pagal ją nustatykite, ar skaičius dalus iš 3: a) 432; b) 504; c) 2 001; d) 7 845. Kokį skaitmenį reikia įrašyti vietoj žvaigždutės, kad skaičius dalytųsi iš 3: a) 2*00; b) 678*; c) 7*1; d) 8*77? Surašykite visus galimus atvejus.

Aušros senelė į vieną parduotuvę eina kas 6 dienas, o į kitą – kas 8 dienas. Paskutinį kartą abiejose parduotuvėse ji buvo kovo 20 dieną. Kada artimiausiu metu tą pačią dieną senelė vėl apsipirks jose? Trupmeną 56 išreikškite: a) dvyliktosiomis dalimis; b) aštuonioliktosiomis dalimis. Subendravardiklinkite ir palyginkite trupmenas: 5 ir 3 ; 7 ir 22 . a) 53 ir 23 ; b) 12 c) 15 8 45 Surašykite trupmenas didėjimo tvarka: 9 , 11 , 7 , 1 . a) 1 , 7, 15 , 3 ; b) 20 8 24 4 25 10 4 3

Surašykite trupmenas mažėjimo tvarka: 11 5 5 a) 23 , 43, 58 , 94 ; b) 13 24 , 12, 8 , 6 .

Ar galima iš šių skaitmenų sudaryti triženklį skaičių, kuris dalytųsi iš 3: a) 2, 5, 8; b) 3, 4, 7; c) 4, 5, 9? Atsakymą pagrįskite.

Iš skaitmenų 2, 3, 6 ir 7 sudarykite visus lyginius dviženklius skaičius, kurių skaitmenys: a) nesikartoja; b) kartojasi.

Nustatykite, ar skaičius yra sudėtinis, ar pirminis: a) 21; b) 23; c) 22; d) 461.

iš 9: a) 78;

Išskaidykite skaičių pirminiais daugikliais: a) 57; b) 106; c) 130; d) 220; e) 304; f) 369; g) 605; h) 550.

Parašykite šešis penkiaženklius skaičius, kurių visi skaitmenys skirtingi ir kurie dalijasi: a) iš 3; b) iš 9.

Parašykite visus skaičiaus daliklius: a) 16; b) 30; c) 52; d) 60.

Trys laikrodžiai nuskambėjo kartu. Paskui pirmas laikrodis skambėjo kas 6 h, antras – kas 9 h, o trečias – kas 10 h. Po kiek laiko visi trys laikrodžiai vėl skambės kartu?

Parašykite du triženklius skaičius, kurie yra nurodyto skaičiaus kartotiniai: a) 9; b) 15; c) 25; d) 30. Apskaičiuokite šių skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį: a) 18 ir 32; b) 54 ir 90; c) 15, 20 ir 70; d) 80, 240 ir 360.

Nustatykite, ar skaičius dalijasi b) 387;

c) 62 913.

Dviračio varančioji žvaigždutė turi 54 krumplius, o varomoji – 36 krumplius. Kiek mažiausiai kartų turi apsisukti varančioji žvaigždutė, kad abi žvaigždutės atsidurtų pradinėje padėtyje? 71 71

Serijos „Šok“ vadovėlio „Formulė“ komplektą VI klasei sudaro:

• Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga

• Pratybų sąsiuviniai Pirmasis sąsiuvinis Antrasis sąsiuvinis

• Mokytojo knyga • Uždavinynas • Kontroliniai darbai

Apsilankyk www.knyguklubas.lt

www.sokvadoveliai.lt

• Rasi naujausių knygų • Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai • Dalyvausi diskusijose