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Movimiento Armónico Simple (MAS)

30th August 2008

Resumen En nuestra práctica de laboratorio descrita a continuación, analizamos el tipo más sencillo de oscilación, el Movimiento Armónico Simple (MAS). El montaje consiste en un resorte que se fija en la parte superior de un soporte universal, del cual cuelga un plato, y en la parte inferior un sensor de movimiento que nos permite obtener el desplazamiento en función del tiempo. Trabajamos sobre este sistema masa-resorte una y otra vez, variando algunas características de los componentes del sistema. En todos los casos consideramos el ángulo de fase φ = 0 y variamos la amplitud A, la masa m y la constante de elasticidad k para el caso 1, 2 y 3 respectivamente. Se realizaron gráficas de posición vs tiempo para cada caso, de manera que, se pudo ver claramente cómo variaba el desplazamiento en cada situación a lo largo del tiempo. Observando por ejemplo cómo afectaba la variación de las condiciones del sistema al período T o cuánto tardaba cada gráfica en completar un ciclo.

Abstract In our practice laboratory described below, we analyze the simplest type of oscillation, the simple harmonic motion (MAS). The assembly consists of a spring that is fixed at the top of a universal medium, from which hangs a plate, and at the bottom a motion sensor that allows us to obtain the displacement as a function of time. We work on this mass-spring system over and over again, changing some features of the system components. In all cases we consider the phase angle φ = 0 and varying the amplitude A, the mass m and the constant elasticity k for the case 1, 2 and 3 respectively. Provided graphics position vs. time for each case, so that, we saw clearly how varied displacement in each situation over time. Noting how such changes affect the terms of the period T system or how much each graphics took to complete a cycle.

Introducción Muchos elementos en la naturaleza presentan un movimiento repetitivo, que se da una y otra vez en intervalos iguales de tiempo. Este movimiento es llamado oscilatorio o periódico, y se caracteriza porque sobre el cuerpo siempre se está 1

ejerciendo una fuerza o un torque que trata que éste vuelva a su posición de equilibrio estable. A diario lo vemos en la cuerda de una guitarra que es rasgada, el péndulo de algún reloj antiguo, o en un resorte al estirarlo y soltarlo, entre otros. El movimiento de un sistema oscilante puede ser modelado mediante ecuaciones que describen el cambio de posición de éste con respecto al tiempo. El ejemplo que más se utiliza para describir este tipo de movimiento es el de un sistema masa-resorte, en el que se tiene un bloque atado a un resorte que se fija de a una pared o a algún objeto. El bloque se estira llevando consigo una elongación del resorte, entonces ahora la fuerza de restitución de éste hará que el bloque quede en constante movimiento, comprimiendo y estirando el resorte, es decir, oscilando. Todo sistema oscilante puede ser modelado como un sistema masa resorte, de ahí la importancia de estudiarlo. El movimiento oscilante se puede clasificar teniendo en cuenta las fuerzas que actúan en el sistema, la variación de éstas con el tiempo y la respuesta del sistema. De esta forma podemos tener un cuerpo con movimiento armónico simple, en donde sólo existen fuerzas conservativas o con movimiento armónico amortiguado, en donde se incluyen fuerzas disipadoras, además de las conservativas. Siendo estos dos movimientos oscilantes y el uno una variación del otro. Nos dedicaremos al estudio del tipo más sencillo de oscilación, el movimiento armónico simple. La ecuación de un oscilador con movimiento armónico simple se puede deducir del movimiento que tiene un bloque unido a un resorte fijado en la pared sobre una superficie sin fricción. Luego que el resorte haya sido estirado y soltado, haciendo sumatoria de las fuerzas horizontales que actúan sobre el bloque en movimiento, veremos que la única fuerza causante de éste es la de restitución del resorte. Estamos suponiendo que no hay fricción, así que la ecuación de la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es: P Fx = −kx = ma m¨ x + kx = 0 k )x = 0 x ¨ + (m

x ¨ + ω02 x = 0

(1)

La ecuación (1) describe el movimiento en función del tiempo de un oscilador armónico simple, donde ω0 se conoce como frecuencia angular, y es: q k ω0 = m Dado que, la frecuencia angular, ω, es 2π veces la frecuencia ω = 2πf =

2

2π T

Entonces, la frecuencia f y el período T son r ω0 1 k f= = 2π 2π m r 1 m 2π T = = = 2π f ω0 k

(2)

(3)

Las ecuaciones (2) y (3) muestran que el período y la frecuencia del MAS sólo dependen de la masa m y de la constante de fuerza k y además que es independiente de la amplitud A.

Análisis y resultados Una vez hecho el montaje, lo primero que realizamos fue determinar los valores de la constante de elasticidad k para los distintos resortes que disponiamos, mediante una gráfica de fuerza vs posición, que se obtuvo al registrar la deformación del resorte al colocarle una masa en el platillo y conservar los datos. Dado que en el MAS la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento x respecto el equilibrio, le realizamos un ajuste lineal a dicha gráfica y la constante de elasticidad k equivale a la pendiente de la recta, por la ley de Hooke. Ésto nos servirá para desarrollar el caso 3 de la experiencia de laboratorio. Por otro lado,como ya hemos visto, cuando un cuerpo comienza a oscilar en MAS, el valor de ω, está predeterminado por los valores de k y m. Por tanto, la frecuencia f , definida como el número de ciclos en la unidad de tiempo y el período T , que es el tiempo que tarda un ciclo, dependen de éstos valores. Así, por las ecuaciones del MAS que definen a f y a T , vemos que si aumentamos la masa m, el cuerpo se mueve más lentamente; disminuye la frecuencia f y tarda más en completar un ciclo, es decir, aumenta el período T . En contraste, un resorte con mayor constante de elasticidad k ejerce una mayor fuerza de restitucion, causando una mayor aceleración, altas velocidades y por tanto ciclos más cortos, es decir, aumentar k , aumenta la frecuencia y reduce el período. Por último, el cambio en la amplitud A no afecta el período, como se puede ver claramente de las ecuaciones. Para valores dados de m y k, el tiempo de una oscilación completa es el mismo, sea la amplitud grande o pequeña. La experiencia la dividimos en tres casos, con el fin de examinar qué pasa por separado en cada una de las situaciones en que se varía uno de los parámetros, dejando los otros dos constantes. Para desarrollar cada uno de los tres casos que vamos a considerar, permitimos en cada uno de ellos que el resorte y platillo oscilaran con el objetivo de registrar en DataStudio gráficas que describieran su movimiento con respecto al tiempo Caso 1. La amplitud A varía, k y m permanecen constantes. Para este primer caso vamos a variar la amplitud A y mantener constantes k y m; para ello tomamos un mismo resorte para todos los ensayos con una 3

constante k = 14N/m y una masa, m = 50g colocada sobre el platillo que cuelga del resorte, y hacemos que la elongación del resorte sea cada vez más grande respecto a la posición de equilibrio, es decir, aumentamos la magnitud del desplazamiento respecto al equilibrio. Para ésta experiencia se despreció la masa del resorte, considerando el sistema como ideal. Cabe señalar que no es fácil idealizar en la práctica estos modelos matemáticos q utilizamos para estudiarlos, por lo que en la práctica vamos a tener valores aproximados pero no exactos como se espera teóricamente, como consecuencia de ésto hay que considerar que en la práctica podemos tener un error absoluto significativo. En la gráfica se muestra el desplazamiento en función del tiempo de 3 ensayos realizados con las condiciones antes mencionadas. Éstas son sinusoidales, ya que, en el MAS, la posición es una función periódica senoidal del tiempo.

Nos interesa ver qué pasa con el período T comparando los 3 ensayos. Como ya habíamos dicho teóricamente el cambio de amplitud no afecta el período. Mediante la gráfica lo podemos ver midiendo la distancia entre picos, ya que, éste es el tiempo que tarda cada gráfica por ciclo, o con el ajuste sinusodial que se les hace. El período indicado por el ajuste sinusoidal que se les dio a las gráficas es de T = 0.545, T = 0.554 y T = 0.560 para el ensayo4(morado), ensayo3(roja) y ensayo2(marron) respectivamente. Midiendo el período por la distancia entre picos nos da un período mas homogéneo de T = 0.550. Dicho esto se puede ver que el hecho de que el resorte se estire inicialmente a una distancia determinada no afecta el periodo de la oscilación. Este hecho se hace más evidente si consideramos que al aumentar la elongación inicial del resorte, la fuerza de restitución será mayor, por tanto el sistema adquirirá una mayor aceleración y aumenta la rapidez media del cuerpo durante un ciclo completo, lo que conlleva a realizar el desplazamiento (que es mayor) en un periodo T , es decir, en este caso el cuerpo recorre una mayor distancia, de modo que el tiempo total sea el mismo. Caso 2. La masa m varía, A y k permanecen constantes. En esta experiencia, realizamos distintos ensayos utilizando el mismo resorte, con el fin de que k permaneciera constante, en nuestro caso, el resorte que elegimos tenía una constante de elasticidad k = 9.27N/m y tomamos un nivel de referencia para conservar la magnitud del desplazamiento respecto al equilibrio, de manera que, A, permaneciera constante para los diferentes ensayos. La masa m, iba aumentando para cada prueba de 5g en 5g, comenzando con una masa m1 = 20g (gráfica roja), siguiendo con m2 = 25g (gráfico negro) y finalizando los ensayos con m3 = 30g (gráfico azul). 4

A cada gráfico se les realizó un ajuste senosoidal, con el fin de poder analizar y sacar conclusiones de acuerdo a los datos obtenidos. Así de las gráficas los períodos obtenidos fueron T1 = 0.829, T2 = 0.861 y T3 = 0.876, es decir, que a medida que aumentaba la masa que suspendíamos del resorte, aumentaba el período.

Cuando tenemos un mismo resorte y variamos la carga que éste sostiene, y dejamos todas las otras condiciones iguales, empezamos a observar cierto cambio como el que se nota en la gráfica, podemos apreciar como las ondas están un poco desfasadas la una de la otra, porque en una gráfica el resorte soportaba más peso, a medida que el tiempo transcurre es más evidente el desfase, pues cada vez la frecuencia se va volviendo menor y por tanto el período mayor, dando un efecto de estiramiento de las ondas. En nuestra ecuación del movimiento teníamos que la raíz del cociente entre k y m es la frecuencia angular, ω0 por tanto, si la masa aumenta el cociente decrecerá, disminuyendo así la frecuencia f y por lo tanto aumentando el período T . En este primer razonamiento que hemos hecho no se ha tenido en cuenta la masa del resorte, es decir, despreciamos su peso y por lo tanto la energía potencial gravitacional que este le introduce al sistema, entonces ahora habría que considerar ya no sólo la energía cinética de la masa y la potencial elástica del resorte, sino también una energía cinética para el resorte. Además se debe tener muy en cuenta que no se puede tomar esta energía como el producto acostumbrado de una vez, debido a la forma como se distribuye la masa en el resorte, entonces debemos tomar un elemento representativo de masa dm y hallar el dk para éste, luego, integrar esta expresión en toda la longitud del resorte. De esta forma se obtendrá que la frecuencia angular, ω, es: q k ω= 1 M r+m 3

Entonces, el período ahora está dado por: s 1 Mr + m 2π T = = 2π 3 ω k

(4)

siendo k la constante de fuerza, M r, la masa del resorte y m, la masa que cuelga del resorte. De donde se puede notar que si bien la relación no es la misma que antes, dado que se incluye la masa del resorte, y ahora el período va a depender además de esta, sigue teniendo la misma incidencia un aumento de la fuerza que tira el 5

resorte. Para éste caso en particular, la masa del resorte permanece constante para las tres pruebas, dado que realizamos todos los ensayos con un mismo resorte con el objetivo de mantener constante k, por lo que el período sólo está dependiendo de la masa m que sostiene el resorte, y en la misma relación que existía, considerando la masa del resorte despreciable. Caso 3. La constante de fuerza k varía, A y m permanecen constantes. Para este caso lo que hicimos fue dejar todas las condiciones iguales, masa que cargaba el resorte y amplitud, aunque era muy difícil mantener la amplitud constante, lo que va a generar mucho error. Y variabamos la constante de fuerza k, usando para cada prueba resortes diferentes, o en su defecto obtuvimos k diferentes cortando uno de los resortes. El gráfico verde describe el movimiento a lo largo del tiempo producido por la oscilación del resorte sin cortar, cuya constante de fuerza es k1 = 8.79N/m , por su parte, el ensayo que produjo el gráfico morado, se realizó con el resorte ya cortado, con una k2 = 16.3N/m , y por último el gráfico fucsia se obtuvo con una k3 = 4.08N/m. Ya teniendo los valores de k, podemos analizar cómo cambia el período al cambiar la constante de fuerza en los resortes. Para el gráfico verde, morado y fucsia se obtuvieron los siguientes valores de T respectivamente examinando los datos obtenidos por el ajuste senoidal, T1 = 0.517, T2 = 0.345 y T3 = 0.733. Según ésto se puede ver claramente que al aumentar k, aumenta la frecuencia de oscilación y reduce el período. Cómo ya se había dicho antes. Éste análisis es considerando despreciable la masa de los resortes. Si no despreciamos la masa de los resortes, el período estará dado por la ecuación (4), y en este caso en particular el período va a depender estrictamente de la masa del resorte, M r, y de la constante k, debido a que, aunque sigue dependiendo de la masa m, esta permanece constante para las diferentes pruebas, entonces, no es lo que va a determinar los diferentes periodos.

Conclusión Al finalizar las experiencias relacionadas al MAS, nos pudimos dar cuenta que el período, T , juega un papel importante para la descripción y análisis de movimientos de vibración, ya que, es un indicador de las características de éste tipo de movimientos.

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References [1] Sears. Zemansky. Young. Freedman. Físisca Universitaria. Vol 1. 11ª Ed. Pearson education. Steffanny Fernández Chica Darwin R. Pico Ripoll

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