Найти ρ(S, пл. АВС). Решение: Прямая SM, где М – середина гипотенузы АВ, перпендикулярна к пл. АВС (в задаче 199 дано доказательство этого утверждения). Итак, SM ⊥ пл. АВС. SM = SA 2 − AM 2 = 100 − 25 = 75 = 5 3 (см).
Ответ: 5 3 см. 203. Дано: OK ⊥ (АВС); АВ = ВС = 10 см; АС = 12 см; OK = 4 см. Решение: В точки касания сторон ∆АВС с окружностью проводим отрезки ОЕ1, ОЕ2 и ОЕ3. KO ⊥ (ABC), OE1 ⊥ BC, OE2 ⊥ AB, OE3 ⊥ AC, то по теореме о 3-х перпендикулярах, KE1 ⊥ BC, KE2 ⊥ BA, KE3 ⊥ AC. Т. о. KE1, E2K и KE3 суть искомые расстояния. Поскольку проекции этих отрезков на плоскость ∆АВС равны (они равны r – радиусу вписанной окружности), то и отрезки равны: KE1 = KE2 = KE3; r=
S 2 ⋅10 + 12 32 , p= = = 16 (см). p 2 2
Применим формулу Герона: S=
p ( p − AB )( p − BC )( p − AC ) ;
S = 16 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 4 = 6 · 4 · 2 = 48 (см2); r =
48 = 3 (см); 16
KE 3 = OK 2 + r 2 ; KE 3 = 16 + 9 = 25 = 5 см.
Ответ: 5 см.
106
www.5balls.ru