Progresiones aritmeticas y geometricas

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Basta con seguir el siguiente desarrollo por inducción basado en la propia ley de formación de las PA

a1  a1 a2  a1  r a3  a2  r   a1  r   r  a1  2r a4  a3  r   a1  2r   r  a1  3r ................ an  an1  r   a1   n  2  r   r  a1   n  1 r En este último renglón se obtiene la buscada expresión del término general an  a1   n  1 r Suma de términos equidistantes En una PA la suma de los términos equidistantes es constante, es decir

a1  an  a2  an1  a3  an 2  a4  an 3  ...

Demostración Este resultado se obtiene también de la propia ley de formación pues

a1  an  a1   an 1  r    a1  r   an1  a2  an1 a2  an 1  a2   an 2  r    a2  r   an 2  a3  an 2 a3  an 2  a3   an3  r    a3  r   an 3  a3  an3 ................

Y así sucesivamente Suma de los n primeros términos En una PA

Sn 

a1 , a2 , a3 ,..., an ,..... la

suma de los n primeros términos viene dado por

 a1  an  n 2

Demostración Consideramos la suma de los n primeros términos

Sn  a1  a2  a3  ...  an 1  an (1) y escribimos al revés estos sumandos Sn  an  an 1  an 2  ...  a2  a1 (2) y ahora sumamos las expresiones (1) y (2) colocando ordenadamente cada sumando con su correspondiente de debajo:

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