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Texto para el Estudiante

Matemรกtica

ยบ 5

Bรกsico

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Copyright © 2009 by Harcourt, Inc. © 2013 de esta edición Galileo Libros Ltda. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información sin el permiso por escrito del editor. Las solicitudes de permiso para hacer copias de cualquier parte de la obra deberán dirigirse al centro de Permisos y derechos de autor, Harcourt, Inc., 6277 Sea Harbor Drive, Orlando, Florida 32887-6777. HARCOURT y el logotipo son marcas comerciales de Harcourt Harcourt, Inc., registradas en los Estados Unidos de América y / o en otras jurisdicciones.

Versión original Mathematics Content Standards for California Public Schools reproduced by permission, California Department of Education, CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207, Sacramento, CA 95814 Nº de Registro ISBN: 978-956-8155-06-3 Edición especial para el Ministerio de Educación Prohibida su comercialización.

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Créditos

Este libro ha sido realizado por autores profesores de varias universidades y college de los Estados Unidos de América y adaptado al Curriculum Nacional de Chile por el equipo pedagógico de Galileo Libros. Director del programa: Richard Askey, Profesor emérito de matemáticas de la Universidad de Wiscosin. Coordinadores: Evan M. Maletsky , Joyce McLeod. Autores colaboradores: Angela G. Andrews, Juli K. Dixon, Karen S. Norwood, Tom Roby, Janet K Scheer, Jennie M. Bennett, Linda Luckie, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, David G. Wright. Supervisores: Russell Gersten, Michael DiSpezio, Tyrone Howard, Lidya Song, Rebecca Valbuena. La adaptación ha sido llevada a cabo por Galileo Libros Coordinador: Rodrigo Vásquez A. Gerente de División Escolar. Adaptadores: Paola Rocamora Silva Profesora de Matemáticas del Programa de Educación Continua para el Magisterio. Universidad de Chile. Marco Riquelme Alcaide Profesor de Matemáticas del Programa de Educación Continua para el Magisterio. Universidad de Chile Victoria Ainardi Tamarín Profesora de Matemáticas por la Universidad de Concepción. Vilma Aldunate Díaz Profesora de Educación General Básica. Universidad de Chile Pamela Falconi Salvatierra Profesora de Educación General Básica. Pontificia Universidad Católica de Chile Jorge Chala Reyes Profesor de Educación General Básica. Universidad de Las Américas Equipo Técnico: Coordinación: Job López Góngora Diseñadores: Gabriel Aiquel Nicolás Roldán David Silva Nikolás Santis

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Índice Unidad

1

Números enteros y decimales

CAPÍTULO

1

Valor posicional suma y resta Muestra lo que sabes

2

3

Lección 1 Valor posicional hasta los mil millones .......................... 4 Lección 2 Comparar y ordenar números enteros ............................ 8 Lección 3 Redondear números enteros .................................................

12

Lección 4 Estimar sumas y diferencias...................................................

14

Lección 5 Sumar y restar números enteros..........................................

16

Lección 6 Cálculo Mental: Suma y resta ...............................................

20

Álgebra Expresiones de suma y resta ..........................

22

Lección 8 Taller de resolución de problemas. Estrategia: buscar un patrón ...............................................

26

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Otras maneras de sumar y restar Comprensión de los aprendizajes

30 32 33 34

Multiplicar números enteros

36

Lección 7

CAPÍTULO

2

Muestra lo que sabes

37

Lección 1 Cálculo Mental: Patrones en los múltiplos..................... 38 Lección 2 Estimar productos......................................................................... Lección 3

40

Manos a la obra: La propiedad distributiva....... 42

Lección 4 Multiplicar por números de 1 dígito.................................... 44 Lección 5 Multiplicar por números de 2 dígitos................................. 48 Lección 6 Practicar la multiplicación........................................................ 50 Lección 7 Taller de resolución de problemas. Estrategia: predecir y probar ................................................

52

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Propiedad distributiva Comprensión de los aprendizajes

56 58 59 60

IV

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CAPÍTULO

3

62

Matemática en Contexto

63

Lección 1 Estimar con divisores de 1 dígito........................................

64

Lección 2 Dividir entre divisores de 1 dígito........................................

66

Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

Álgebra Patrones de división..............................................

70

Lección 4 Dividir con residuos o restos.................................................

72

Dividir entre divisores de 1 y 2 dígitos Muestra lo que sabes

Lección 3

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 3, 37, 63, 91

Lección 5 Manos a la obra: Representar la división de 2 dígitos por 1 dígito........................................................................ 74 Lección 6 Taller de resolución de problemas. Destreza: interpretar el resto..................................................

76

Almanaque para estudiantes

Lección 7 Dividir números de 3 dígitos por números de 1 dígito usando dinero.........................................................

78

Resolución de problemas. . . . . . . 114

Lección 8 Ceros en la división......................................................................

82

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Dividir entre 12

86 88 89

CAPÍTULO

4

Álgebra: Usar las operaciones de multiplicación y división Muestra lo que sabes

90 

91

Lección 1 Propiedades de la multiplicación 92 Lección 2 Manos a la obra: Prevalencia de las operaciones.............................................................................. 96 Lección 3 Expresiones entre paréntesis................................................ 98 Lección 4 Escribir y evaluar expresiones.............................................. 102 Lección 5 Patrones: Hallar una regla........................................................ 106

Práctica adicional Práctica con un juego: Conexión entre ecuaciones Repaso / Prueba Enriquecimiento : Predecir patrones Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de problemas. La Colonización

108 109 110 111 112 114

V

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Unidad

2

Números y conceptos de fracciones

CAPÍTULO

5

Conceptos de fracciones Muestra lo que sabes

118 119

Lección 1 Fracciones equivalentes............................................................ 120 Lección 2 Fracciones irreductibles............................................................ 122 Lección 3 Comprender números mixtos................................................. 126 Lección 4 Comparar y ordenar fracciones y números mixtos. 128 Lección 5 Taller de resolución de problemas. Estrategia: hacer un modelo................................................... 132 Lección 6 Relacionar fracciones y decimales..................................... 136 Lección 7 Usar una recta numérica........................................................... 138

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Despejar incógnitas Comprensión de los Aprendizajes

140 142 143 144

Uni

3

CAPÍTULO

6

Sumar y restar fracciones semejantes 146 Muestra lo que sabes

147

Lección 1 Manos a la obra: Representar la suma y la resta.............................................................................................. 148 Lección 2 Sumar y restar fracciones semejantes............................. 150 Lección 3 Sumar y restar números mixtos semejantes................ 152 Lección 4 Restar haciendo conversiones.............................................. 156 Lección 5 Taller de resolución de problemas. Estrategia: Trabajar desde el final hasta el principio....

158

Práctica adicional 162 Práctica con un juego. Elige un par 163 Repaso / Prueba 164 Enriquecimiento. Patrones de fracciones 165 Comprensión de los Aprendizajes 166

VI

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CAPÍTULO

7

Sumar y restar fracciones no semejantes Muestra lo que sabes

168

Matemática en Contexto

169

Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

Lección 1 Manos a la obra: Representar la suma de fracciones no semejante........................................................... 170 Lección 2 Manos a la obra: Representar la resta de fracciones no semejantes........................................................ 172 Lección 3 Estimar sumas y diferencias.................................................. 174

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 119, 147, 169

Lección 4 Usar denominadores comunes............................................. 176 Lección 5 Sumar y restar fracciones........................................................ 180 Lección 6 Taller de resolución de problemas. Estrategia: comparar estrategias......................................... 182 

Práctica adicional Práctica con un juego. ¿Cuál es la diferencia? Repaso / Prueba Enriquecimiento. Suma y resta de fracciones Comprensión de los Aprendizajes Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de problemas. Música, música, música

Unidad

3

CAPÍTULO

8

184 187 186 187 188 190 192

Almanaque para estudiantes Resolución de problemas. . . . . . . 192

Operaciones decimales

Valor posicional: Comprender los decimales Muestra lo que sabes

196 197

Lección 1 Valor posicional de los decimales....................................... 198 Lección 2

Manos a la obra: Representar milésimas........... 200

Lección 3 Decimales equivalentes............................................................. 202 Lección 4 Cambiar a décimas y a centésimas.................................... 204 Lección 5 Comparar y ordenar decimales............................................. 206 Lección 6 Taller de resolución de problemas. Estrategia: hacer un diagrama.............................................. 208

Práctica adicional Práctica con un juego. Desafío decimal Repaso Prueba Enriquecimiento. Diez milésimas Comprensión de los Aprendizajes

212 213 214 215 216

VII

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CAPÍTULO

9

Sumar y restar decimales Muestra lo que sabes

218 119

Lección 1 Redondear decimales.................................................................. 220 Lección 2 Sumar y restar decimales......................................................... 222 Lección 3 Estimar sumas y diferencias................................................... 226 Lección 4 Cálculo Mental: Sumar y restar............................................. 228 Lección 5 Taller de resolución de problemas. Destreza: estimar o hallar una respuesta exacta....... 230 

Práctica adicional Práctica con un juego. Recorre la pista Repaso / Prueba de Capítulo Enriquecimiento. Las propiedades de la suma y los decimales Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de problemas. Los Juegos Olímpicos

Geometría y medición

Unidad

4

232 233 234 235 236 238

  

CAPÍTULO

10

Geometría y el plano cartesiano Muestra lo que sabes

242 243

Lección 1

Álgebra Hacer gráficos de pares ordenados............. 244

Lección 2

Álgebra Hacer gráficos ......................................................... 246

Lección 3 Taller de resolución de problemas. Destreza: información relevante o irrelevante............. 248 Lección 4

Manos a la obra: Figuras congruentes................ 250

Lección 5 Rotación ............................................................................................. 252 Lección 6 Simetría .............................................................................................. 254 Lección 7 Traslación .......................................................................................... 258

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Hacer gráficos de ecuaciones Comprensión de los Aprendizajes

260 262 263 264

VIII

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CAPÍTULO

11

Medición y perímetro 266 Muestra lo que sabes.................................................................................. 267 Lección 1 Medidas métricas........................................................................... 268 Lección 2 Longitud.............................................................................................. 272 Lección 3

Manos a la obra: Estimar el perímetro................. 276

Lección 4 Hallar el perímetro......................................................................... 278 Lección 5

Álgebra Fórmulas del perímetro...................................... 280

Lección 6

Álgebra Usar las fórmulas del perímetro..................... 282

Lección 7 Taller de resolución de problemas. Destreza: hacer generalizaciones ...................................... 284

Práctica adicional Práctica con un juego. La vuelta a la manzana Repaso / Prueba Enriquecimiento. Gráficos de red Comprensión de los Aprendizajes

CAPÍTULO

12

286 287 288 289 290

Área

292

Muestra lo que sabes

293

Matemática en Contexto Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 197, 243, 267 293

Almanaque para estudiantes Resolución de problemas. . . 238, 320

Lección 1 Estimar el área................................................................................. 294 Lección 2

Álgebra Área de los rectángulos ..................................... 296

Lección 3

Álgebra Relacionar el perímetro y el área................... 300

Lección 4 Taller de resolución de problemas.  

Estrategia: comparar estrategias......................................... 304 

Lección 5 Manos a la obra: Representar el área de los triángulos................................................................................... 306 Lección 6

Álgebra Área de los triángulos......................................... 308

Lección 7

Álgebra Área de los paralelogramos ........................... 310

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Hallar el área Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de Problemas. Juegos de agua

314 316 317 318 320

IX

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Unidad

5

Datos y gráficos (Probabilidades)   

CAPÍTULO

13

Analizar datos 324 Muestra lo que sabes

325

Lección 1 Reunir y organizar datos........................................................... 326 Lección 2 Hallar la media (promedio)....................................................... 330 Lección 3 Comparar datos.............................................................................. 332 Lección 4 Analizar gráficos............................................................................. 334

CAPÍTULO

14

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Gráficos confusos

338 340 341

Mostrar e Interpretar datos

342

Muestra lo que sabes

343

Lección 1 Hacer histogramas........................................................................ 344 Lección 2 Hacer diagramas de tallo y hojas......................................... 346 Lección 3 Hacer gráficos de líneas............................................................ 348 Lección 4 Taller de resolución de problemas. Destreza: Sacar conclusiones............................................... 352 Lección 5 Elegir el gráfico adecuado........................................................ 354

Práctica adicional Práctica con un juego. Lanzamientos Repaso / Prueba Enriquecimiento. Relaciones en los gráficos Comprensión de los Aprendizajes

358 359 360 361 362

X

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CAPÍTULO

15

Probabilidad Muestra lo que sabes

364 365

Lección 1 Manos a la obra: Hacer una lista de todos los resultados posibles............................................... 366 Lección 2 Taller de resolución de problemas. Estrategia: hacer una lista organizada............................. 368 Lección 3 Hacer predicciones....................................................................... 372

Matemática en Contexto Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 325, 343, 365

Lección 4 Probabilidad como una fracción.......................................... 376 Lección 5

Manos a la obra: Probabilidad experimental.... 380

Práctica adicional Práctica con un juego. Es probable, no es probable Repaso / Prueba Enriquecimiento. Hacer predicciones Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de problemas

382 383 384 385 386 388

Glosario

390

..................................................................................................................

Almanaque para estudiantes Resolución de problemas. . . . . . . 388

Bibliografía .............................................................................................................. 400

XI

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Estructura del texto

Este libro matemática para 5º Básico se compone de 5 Unidades didácticas, que responden cada una, respectivamente, a los 4 Ejes temáticos del currículum (Números y operaciones, Patrones y álgebra, Geometría y medición, Datos y probabilidades). Cada Unidad didáctica se divide en diversos Capítulos, y estos, a su vez, en Lecciones.

Inicio de Unidad: Esta doble página pretende que el estudiante se identifique, en unas, con fenómenos de la naturaleza, con acontecimientos de la vida y, en otras, con acciones de sus propias vivencias.

1

Números enteros y decimales

Enriquece tu vocabulario: incluye tres apartados permanentes: , , Monitorea conocimientos previos y proyección de conocimientos.

Matemática en Contexto ¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes comparar dos partes que tienen menos de una centésima de metro?

p En el centro de atención, los

empleados reciben aproximadamente 2 000 000 de órdenes personalizadas de sistemas de computación por año.

REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientes palabras cuando aprendiste las operaciones con números enteros y decimales. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? coma decimal signo usado para separar el lugar de las unidades y el lugar de las décimas en un decimal producto la respuesta a un problema de multiplicación cociente el número, sin incluir el residuo, que resulta de la división

p Piezas medidas con precisión en

milésimas de centímetro se desplazan a lo largo de sistemas transportadores en el edificio de montaje.

Copia y completa un diagrama como el siguiente. Usa lo que sabes acerca de la multiplicación y la división para completar las respuestas.

MULTIPLICACIÓN signo

x

números multiplicados factores

respuesta

DIVISIÓN signo

número dividido

número dividido entre

respuesta

p Las diferentes partes se mueven en

una cinta transportadora hacia el lugar donde se separan y se envían a diferentes áreas de embalaje.

Capítulo 1

1

MATEMÁTICA EN CONTEXTO, es una pequeña sección que muestra cómo el aprendizaje de la matemática es útil para la vida, la ciencia, el desarrollo y la tecnología.

XII

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CAPÍTULO Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 11.

Medición y perímetro

11

La idea importante

Halla el perímetro de cada figura. 1.

2.

6.

3.

7.

13 km

8.

8m

11 km

4.

9.

4m

5.

10.

6 cm

3m 9m

Investiga: Pequeña actividad relacionada con diversos aspectos de la vida y la sociedad.

Muestra lo que sabes: Monitorea prerrequisitos de aprendizaje.

u Perímetro: contar unidades

Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir usando unidades métricas y unidades usuales.

19 cm 10 cm

6 cm

u Elegir la unidad apropiada

Investiga

Elige la unidad usual apropiada. 9. altura de una habitación

Imagina que eres un arqueólogo que trabaja en una excavación en el Valle de la Luna. Marcas el contorno de un área rectangular de 5 metros por 15 metros usando una cuerda. Muestra y describe otras tres figuras planas que se puedan hacer con la misma cantidad de cuerda.

10. longitud de tu dedo

centímetros o metros

milímetros o centímetros

11. ancho de una cancha de fútbol

metros o kilómetros o decimetros

Elige la unidad métrica apropiada. 12. longitud de tu escritorio

13. distancia recorrida en

centímetros o metros o decimetros

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

Chile

Figuras planas

fórmula perímetro polígono prisma rectangular

DATO BREVE

cuadrado triángulo

A 13 kilómetros al Oeste de San Pedro de Atacama, perteneciente a la región de Antofagasta, se encuentra ubicado el Valle de la Luna, llamado así por su extraña apariencia lunar.

paralelogramo trapecio

bicicleta en 1 hora metros o kilómetros

14. ancho de una habitación

centímetros o metros o decimetros

PREPARACIÓN

perímetro la medida del contorno de una figura plana cerrada polígono una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos fórmula un conjunto de símbolos que expresan una regla matemática prisma rectangular un cuerpo geométrico cuyas seis caras son rectángulos

266

Capítulo 11

CHILE. DATO BREVE: El tema de INVESTIGA, sirve para extraer una nota breve de contenido local-nacional que contribuye a acercar el aprendizaje.

267

Enriquece tu vocabulario: Pequeña sección centrada en el vocabulario.

LE C C

La Lección: N IÓ

1

Repaso rápido

Valor posicional hasta los mil millones

Escribe el número que es 1 000 veces mayor que el número dado.

OBJETIVO: Leer y escribir números enteros hasta mil millones.

Aprende

1. 336

2. 1 230

3. 1 580

4. 3 975

Patrones de valor posicional A medida que avanzas hacia la izquierda en una tabla de valor posicional, el valor del lugar se multiplica por 10. Imagina que tienes 1 000 000 de monedas de $1. ¿Cuántas pilas podrías formar si pusieras 100 monedas en cada pila?

5. 8 627

PROBLEMA Imagina mil millones de monedas de $5. ¿Cuánto espacio ocuparían? Mil millones son 1 000 000 000.

Usa una tabla de valor posicional.

Paso Escribe los números en una tabla de valor posicional.

Observa las ilustraciones para darte una idea del tamaño de mil millones de monedas de $5.

Mil millones

Miles

Millones

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 1

0

310

0

310

0

310

0

0

0

1

0

0

310

Paso Aproximadamente 1 000 monedas de $5 podrían llenar un florero pequeño.

Aproximadamente 1 000 000 000 de monedas de $5 podrían llenar media cancha de basquetbol hasta una altura de 3 metros.

Aproximadamente 1 000 000 monedas de $5 podrían llenar la maleta de un auto.

Cuenta el número de lugares de cada cifra. 1 000 000 → 4 lugares más a la izquierda de 100 10 3 10 3 10 3 10 5 10 000 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100.

Por lo tanto, podrías formar 10 000 pilas de 100 monedas de $ 1 cada una.

Puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de un dígito.

Usa patrones de valor posicional.

Ejemplo ¿Cuál es el valor del dígito 2 en 3 205 000? Millones Centenas

Decenas

Miles

Unidades

1 000 000

1 millón

1 3 1 000 000

1 000 000

10 centenas de mil

10 3 100 000

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

1 000 000

100 decenas de mil

100 3 10 000

3

2

0

5

0

0

0

1 000 000

1 000 unidades de mil

1 000 3 1 000

3 x 1 000 000

2 x 100 000

0 x 10 000

5 x 1 000

0 x 100

0 x 10

0x1

1 000 000

10 000 centenas

10 000 3 100

3 000 000

200 000

0

5 000

0

0

0

El dígito 2 está en el lugar de los cien mil; por lo tanto, su valor es de 200 000. •   ¿Cuál es el valor del dígito 5 en 3 205 000?

ADVERTENCIA

Lección de doble página, que finaliza con actividad de evaluación/comprensión.

Por lo tanto, 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100. •   Usando el valor posicional, ¿de qué otras maneras se puede expresar 6 000?  ¿Y 900 000?

Recuerda que cuando

Un número se puede escribir en forma normal, en palabras o en forma desarrollada. Forma normal: 181 260 000 En palabras: ciento ochenta y un millones doscientos sesenta mil Forma desarrollada: 100 000 000 1 80 000 000 1 1 000 000 1 200 000 1 60 000

4

ADVERTENCIAescribes un número en ADVERTENCIAforma desarrollada, no necesitas escribir los valores que tienen el dígito 0. Ejemplo: 305 Forma desarrollada: 300 1 5

Práctica con supervisión 1. ¿Cómo puedes usar la tabla de valor posicional para hallar el valor del dígito 4? Mil millones

Millones

Miles

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 1

7

5

2

4

9

1

0

5

0

Capítulo 1

5

XIII

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Poder Matemático: Esta sección refuerza el razonamiento matemático y la conexión con otras áreas. PODER MATEMÁTICO: Resolución de problemas de razonamiento.

38. ¿Cuál es el error? Pedro escribió el número

39.

cuatro millones trescientos cinco mil como 4 350 000. Describe el error de Pedro.

PODER MATEMÁTICO. Resolución de problemas: Conexión con las Ciencias o las Artes... (o con otras áreas).

Explica cuál de los siguientes números no puede ser un producto de multiplicar repetidamente 1 087 por 10. 10 870; 180 700; 1 087 000

Comprensión de los Aprendizajes 40. Juan compró 5 paquetes de tarjetas de

colección. Cada paquete tiene 8 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas de colección compró Juan? 41. El árbitro lanza al aire una moneda de $100

para decidir qué equipo de fútbol patea primero. ¿Cuál es la posibilidad de sacar sello? 42. Preparación para la prueba ¿Cuál es el valor

del dígito subrayado en 348 912 605?

12 grupos iguales. ¿Cuántas cuentas tendrá en cada grupo?

32. Álgebra Razonamiento Escribe una expresión

33.

para el patrón. Luego usa la expresión para hallar el número siguiente del patrón.

44. Preparación para la prueba En el número

875 693 214, ¿qué dígito está en el lugar de las decenas de millón?

Elena compró una camisa por $6 800. Ahorró c dólares comprándola en oferta. Explica qué representa la expresión 6 800 2 c.

5, 13, 21, 29, 

A 8

Comprensión de los Aprendizajes

B 7

A 800 000 000

C 8 000 000

C 9

B 80 000 000

D 800 000

D 1

34. Una tienda vendió 813 juegos el lunes,

1 022 juegos el martes y 1 270 juegos el miércoles. ¿Cuántos juegos vendió la tienda en 3 días?

43. Clara tiene 60 cuentas que quiere separar en

35. Preparación para la prueba Joaquín tenía 80

discos compactos. Intercambió 20 por 15 nuevos. ¿Qué expresión muestra la cantidad de discos compactos que tiene ahora? PERCEPCIÓN NUMÉRICA En esta lección aprendiste sobre nuestro sistema de valor posicional, o sea, el sistema de base 10. Este sistema usa los dígitos del 0 al 9.

A 80 2 20 1 15

C 80 2 20

B 80 1 20 2 15

D 20 2 15

36. Preparación para la prueba ¿Cuál de las

opciones muestra una manera de escribir la expresión r 1 68 en palabras? A 68 más que un número B 68 menos que un número C un número menos que 68 D un número con una reducción de 68 37. Cada compartimento de la montaña rusa

Superman, costó aproximadamente veinte millones de pesos. Escribe este número en forma normal.

Base 10 Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades de mil de mil de mil 7

2

0

0

5

El sistema de base 2, programado en las computadoras, usa solo los dígitos 0 y 1.

¿Por qué los planetas siguen una órbita más o menos circular? Se debe a la atracción gravitacional entre la masa de cada planeta y la masa del Sol. Esta fuerza de atracción entre los planetas y el Sol mantiene los planetas en su órbita.

Ejemplo ¿Qué número de base 10 es equivalente al número 101 de base 2? Base 2 Treinta y dos Dieciséis Ochos Cuatros Dos Unos 1

0

1

Cada planeta tiene una fuerza gravitacional diferente. Cuanto mayor es la atracción gravitacional del planeta, mayor sería tu peso en la superficie de ese planeta.

(4 3 1) 1 (2 3 0) 1 (1 3 1) ← Multiplica cada valor posicional por el dígito 0 o 1 de la tabla. 4 1 0 1 1 ← Suma para hallar el valor de base 10. 5 O sea, 101 en el sistema de base 2 es igual a 5 en el sistema de base 10.

Ejemplo Escribe una expresión numérica y halla

2. 1010

Planeta

Peso (en kg)

Mercurio Tierra

38 100

Venus

91

Júpiter

235

el valor. Luego nombra el planeta descrito.

Halla el valor de base 10 de cada número de base 2. 1. 110

Peso en los distintos planetas

3. 111

Si un cuerpo pesa 100 kg en la Tierra, su peso sería 9 kg menor en este planeta.

4. 1011

Capítulo 1

7

100 2 9 ← expresión numérica 91 ← valor Por lo tanto, pesaría 91 kg en Venus. 1. Si pesas 38 kg en Mercurio, tu peso sería 62 kg mayor en este planeta. 2. Si un cuerpo pesa 100 kg en la Tierra, su peso en este planeta sería igual a la suma de 91 y 144. 3. Si un cuerpo pesa 91 kg en Venus, su peso disminuiría en 53 kg en este planeta.

LE C C

Capítulo 1

25

N IÓ

8

Estrategia: Buscar un patrón OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia buscar un patrón.

Aprende la estrategia Estamos rodeados de patrones. Hay patrones de colores, patrones numéricos y patrones geométricos. Hallar un patrón puede ayudarte a ver cómo se relaciona la información de un problema. Puedes usar diferentes tipos de patrones y sus reglas para resolver diferentes tipos de problemas.

Un patrón puede tener números. María plantó 13 flores en una hilera, 11 en la hilera siguiente y 9 en la que sigue. Si continúa con este patrón, ¿cuántas hileras de flores plantará María? La regla para el patrón es restar 2.

Un patrón puede repetirse. Gino está pintando un borde en una pared. Este es su trabajo hasta ahora. ¿Qué figura pintará Gino a continuación? ¿Cuál es el patrón?

TALLER. Esta sección, presente en algunos capítulos, trabaja directamente los procedimientos necesarios para el estudio de la matemática.

Un patrón puede crecer. Si el patrón continúa, ¿cuántos azulejos habrá en el sexto diseño de azulejos?

Describe algunos otros patrones que hayas visto.

26

XIV

Indice.indd 14

24-01-13 10:23

Cierre del capítulo Repaso/Prueba del Capítulo 1

Después de la conclusión de las Lecciones que discurren dentro de un Capítulo se presenta el cierre del capítulo, mediante la realización de varias páginas de actividades:

Comprueba el vocabulario y los conceptos

VOCABULARIO

Elige el mejor término del recuadro.

sobrestimación

? . 1. Un número de los miles de millones tiene al menos 10 — ? es una letra o un símbolo que representa uno o más números. 2. Una —

dígitos subestimación

?. 3. Una estimación que es menor que la respuesta real se llama —

variable

Comprueba tus destrezas

La vuelta a la manzana

Práctica adicional Grupo A

4. seis mil millones novecientos dieciocho mil setecientos sesenta y dos 5. 9 000 000 000 1 70 000 000 1 3 000 000 1 100 000 1 90 000 1 400 1 3 6. 560 034 107

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada .

Escribe el valor del dígito subrayado.

1. 24 404 485

2. 14 030 315

3. 1 084 303 220

4. 9 204 503 661

5. 14 336 872

6. 16 603 582 495

Escribe los números de otras dos formas. 7. 300 000160 00015 000180017019

8. 50 000 0001 5 000 000150 000150015

9. seis mil ocho millones noventa

10. dos mil treinta y siete millones

y siete mil trescientos cuatro

catorce mil noventa y siete

11. 4 061 002

Grupo B

Escribe cada número de otras dos formas.

7. 489 384  894 384

¡Caminantes!

10. 67 339

• fichas de 2 colores diferentes • flecha giratoria con 3 secciones rotuladas del 1 al 3 • papel cuadriculado

19. 19 1 k si k 5 7

4. 54 304 125  45 304 125

5. 823 158  823 158

6. 693 103 430  693 103 340

7. El año pasado, asistieron 37 884 personas

8. Juan obtuvo 4 872 puntos en un videojuego.

2. 761 584 204

3. 11 586 988

4. 6 393 958

5. 26 591 000

6. 4 192 295

¡A caminar!

7. 899 992

8. 1 999 204

9. 64 023 111

Cada jugador elige una ficha de un color diferente y la coloca en la SALIDA. Los jugadores hacen girar la flecha giratoria y mueven su ficha el número de espacios indicado.

Estima la suma o la diferencia. 19 592 + 43 596

3.

6.

693 932 + 529 000

7.

75 293 – 9 501 266 749 – 135 699

4.

64 381 – 12 944

8.

699 083 + 74 999

Cada cuadrado contiene un perímetro. El jugador 1 traza la mayor cantidad de rectángulos posibles con ese perímetro sobre papel cuadriculado. Las longitudes se deben dar en unidades enteras.

El jugador 1 anota un punto por cada rectángulo trazado. Cada rectángulo congruente cuenta como un solo punto. Por ejemplo, por un rectángulo de 3 3 4 y un rectángulo de 4 3 3 se anota 1 punto solamente.

Después de que cada jugador haya dado una vuelta a la manzana, gana el que haya acumulado el mayor número de puntos.

Capítulo 11

Cierre de Unidad El final de la unidad se caracteriza por el trabajo con dos dobles páginas.

Repaso/Prueba de la unidad Capítulo 4

5. Los vendedores de Autos Usados Baratos

1. Rosa escribió la ecuación y 5 500  k como la

regla para las tarifas de los taxis cuando salen de la ciudad. La tarifa es y, y el número de kilómetros recorridos es k. ¿Cuál es la tarifa de un taxi para un viaje de 9 kilómetros?

vendieron 32 autos en 4 días. Cada día se vendió el mismo número de autos. ¿Cuántos autos se vendieron cada día?

A 4

C 12

B 8

D 24

A $1 500 B $2 500

6. La familia Ortiz compró tres batidos de leche.

La familia Osorio compró 3 helados de una bola y 4 sundaes. ¿Qué expresión muestra cuántas fichas más gastó la familia Osorio que la familia Ortiz?

C $3 000 D $4 500

2. ¿Qué número va en el recuadro para hacer

verdadero este enunciado numérico?

68544j A 6

C 3

B 4

D 2

3. Joaquín pesa el doble que su hermano. Si m

representa el peso de Joaquín, ¿qué expresión muestra cuánto pesa su hermano?

Helados

Fichas

1 bola 2 bolas Sundae Batido de Leche

2 3 4 3

A (3  2) 1 4  (3  3) B (3  2) 1 (4  4) 1 (3  3) C (3  2 1 4)  (4  3)  3

A m2

D (3  2) 1 (4  4)  (3  3)

B m12

Se trata de dos dobles páginas: Repaso/Prueba de la Unidad (con explicitación de los capítulos que incluye): Evalúa los conocimientos globales adquiridos. Y en algunos casos comprende un eje temático completo.

287

De Aquí y de Allá

E

verdadero este enunciado numérico? j

A 50

1 5 5 21 1 9

B 20

A 35 C 6

D 4

D 10

esta unidad de patrón: 3 cuentas rojas, 2 cuentas rosadas y 1 cuenta blanca. Si repite el patrón 6 veces, ¿cuántas cuentas rosadas habrá usado?

ARA ESTUDIANTES NAQUE P

¡La colonización!

Colonización de la Región de Magallanes y de la Antártica Chilena

inmigraciones europeas más importantes en Chile. Los colonos traían provisiones para asentarse en esas frías tierra.

B 25

C 10

24. Rosa está haciendo una pulsera de cuentas con

n 1853 surge el “Territorio de Colonización de Magallanes”, erigido por decreto el 8 de julio de ese año. Abarca toda la mitad sur de la antigua Provincia de Chiloé, desde el golfo de Penas (una línea recta por el paralelo 47º S) por el norte hasta el Cabo de Hornos por el sur. En la década de 1850 comenzó la inmigración europea a la Patagonia chilena, destacándose por importancia y número la inmigración croata. Los croatas se instalaron principalmente en Puerto Natales, Punta Arenas y Porvenir (Tierra del Fuego) Lista de provisiones (para una persona) y se convirtió en una de las

t 5 8?

48  (t 1 4)  5

22. x 2 28 si x 5 91

Vicente dibujó un patrón de 4 puntos, 8 puntos, 12 puntos y luego 16 puntos. Dice que enseguida debe dibujar 24 puntos. Explica el error de Vicente y di cuántos puntos debe dibujar a continuación.

ALMA

Resolución de Problemas

7. ¿Qué número va en el recuadro para hacer

4. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si

3 941 042 – 2 953 161

Almanaque para estudiantes. Se trata de una sección de contenido cultural, tecnológico, científico o de contenido de ocio que sirve para comprender una aplicación matemática, problemas basados en datos. La temática del mundo real es local, regional, nacional o internacional. Sirve para cerrar la unidad.

C m2 D m2

18.

Se trata ejercicios de refuerzo: Repaso/Prueba de Capítulo, en algunos casos comprende un eje temático completo.

El jugador 2 hace girar la flecha y el juego continúa.

30

Opción múltiple

13. 770 641 785

32

1. 63 494 506

2.

4 583 100 + 3 902 145

21. 76 2 a si a 5 22

una semana de cortar céspedes. Al final de la segunda semana, Pablo tenía un total de 30 vales. Después de la tercera semana, Pablo tenía 45 vales. Si este patrón continúa, ¿cuántos almuerzos habrá ganado Pablo después de 8 semanas? 25.

314 992 – 275 841

20. d 2 9 si d 5 44

23. Pablo ganó 15 vales de almuerzo después de

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.

321 + 652

17.

Resuelve.

Miguel obtuvo 4 921 puntos. ¿Quién obtuvo el mayor número de puntos?

5.

76 941 497  76 941 497

Comprueba la resolución de problemas

3. 13 114 591  13 114 951

1.

9.

12. 623 971 764

Haz un estimación. Luego halla la suma o la diferencia. 824 377 89 044 600 921 14. 15. 16. – 799 562 + 73 491 – 321 650

12. 80 046 300

2. 2 401 393  2 104 933

Grupo D

11. 6 891 543

Halla el valor de cada expresión.

1. 62 023  63 032

Grupo C

920 090  902 900

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.

¡Equipo!

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada .

a un torneo de tenis. Este año asistieron 36 799 personas. ¿En qué año asistieron menos personas al torneo de tenis?

8.

2 jugadores

4 kg de café 1 kg de té 10 kg de harina de maíz

6 kg de tocino 3 kg de vegetales 20 kg de azúcar

112

sa la lista de provisiones para responder a las preguntas. U 1 ¿Cuántos kilogramos de vegetales se necesitaban para 5 personas? 2 Si 8 personas viajaban en una carreta, ¿cuántos kilogramos de té debían llevar? 3 ¿Para cuántos colonos alcanzarían 12 kg de café durante el viaje? 4 En días buenos, los colonos recorrerían 16 km por día. ¿Qué distancia recorrerían en 7 días?

5

Imagina que 3 personas viajaban en una carreta y que tenían 12 kg de tocino. ¿Tenían suficiente tocino para todos? Explica cómo lo sabes.

114

XV

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24-01-13 10:23

1

Libro 5.indb 2

NĂşmeros enteros y decimales

24-01-13 10:07

Matemática en Contexto ¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes comparar dos partes que tienen menos de una centésima de metro?

REPASO DEL VOCABULARIO  Aprendiste las siguientes p En el centro de atención, los

empleados reciben aproximadamente 2 000 000 de órdenes personalizadas de sistemas de computación por año.

palabras cuando aprendiste las operaciones con números enteros y decimales. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

coma decimal signo usado para separar el lugar de las unidades y el lugar de las décimas en un decimal producto la respuesta a un problema de multiplicación cociente el número, sin incluir el residuo, que resulta de la división

p Piezas medidas con precisión en

milésimas de centímetro se desplazan a lo largo de sistemas transportadores en el edificio de montaje.

Copia y completa un diagrama como el siguiente. Usa lo que sabes acerca de la multiplicación y la división para completar las respuestas.

MULTIPLICACIÓN signo

x

números multiplicados factores

respuesta

DIVISIÓN signo

número dividido

número dividido entre

respuesta

p Las diferentes partes se mueven en

una cinta transportadora hacia el lugar donde se separan y se envían a diferentes áreas de embalaje.

Capítulo 1 1

Libro 5.indb 1

24-01-13 10:07

1

Valor posicional, suma y resta La idea importante 

La posición de un dígito determina su valor; la suma y resta de números de varias cifras se basa en operaciones básicas y en los conceptos de base diez y de valor posicional.

Investiga Elige tres parques de la tabla que te gustaría visitar. Escribe sus áreas de menor a mayor número. ¿Cuánto mayor es el área del parque más grande que elegiste con relación al área del parque más pequeño?

Parques nacionales de Chile Nombre Archipiélago de Juan Fernández Bernardo O’Higgins

Tamaño (en hectáreas) 9 571 3 525 901

Torres del Paine

227 298

Vicente Pérez Rosales

253 789

Lauca

137 883

Chile

DATO BREVE

En Chile existen más de 100 áreas naturales protegidas, que garantizan la permanencia de la riqueza natural. Estas áreas se distribuyen en Parques Nacionales, Reservas Nacionales y Monumentos Naturales.

2

Libro 5.indb 2

24-01-13 10:07

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito en el Capítulo 1.

u Valor posicional hasta las centenas de mil Escribe el valor del dígito subrayado.

1. 328 406

2. 419 003

3. 16 297

4. 152 419

5. 456 107

6. 9 342

7. 204 593

8. 38 452

u Redondea hasta los miles Redondea cada número a la unidad de mil más cercana.

9. 837

13. 4 810

10. 6 409

11. 13 526

12. 70 143

14. 238 456

15. 42 718

16. 354 630

u Suma y resta hasta números de 4 dígitos Halla la suma o la diferencia. 17.

258 + 437

18.

984 – 562

19.

739 – 271

20.

3 926 + 1 451

21.

4 025 + 2 933

22.

8 059 – 5 426

23.

1 294 + 638

24.

9 162 – 2 543

25. 67 1 45 1 83

26. 134 1 72 1 250

27. 563 2 209

28. 7 652 – 3 114

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

expresión algebraica Propiedad asociativa   de la suma Mil millones Propiedad conmutativa   de la suma compensación diferencia estimación

operaciones inversas millones expresión numérica sobrestimación período redondear suma o total variable

PREPARACIÓN

mil millones 1 000 millones; se escribe 1 000 000 000 estimación número que se aproxima a una cantidad exacta sobrestimación estimación que es mayor que la respuesta exacta

Capítulo 1  3

Libro 5.indb 3

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

Valor posicional hasta los mil millones

Escribe el número que es 1 000 veces mayor que el número dado.

OBJETIVO: Leer y escribir números enteros hasta mil millones.

Aprende

1. 336

2.  1 230

3.  1 580

4.  3 975

5.  8 627

PROBLEMA Imagina mil millones de monedas de $5. ¿Cuánto espacio ocuparían? Mil millones son 1 000 000 000.

Observa las ilustraciones para darte una idea del tamaño de mil millones de monedas de $5.

Aproximadamente 1 000 monedas de $5 podrían llenar un florero pequeño.

Aproximadamente 1 000 000 000 de monedas de $5 podrían llenar media cancha de basquetbol hasta una altura de 3 metros.

Aproximadamente 1 000 000 monedas de $5 podrían llenar la maleta de un auto.

Puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de un dígito.

Ejemplo  ¿Cuál es el valor del dígito 2 en 3 205 000? Millones Centenas

Decenas

Miles

Unidades

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

3

2

0

5

0

0

0

3 x 1 000 000

2 x 100 000

0 x 10 000

5 x 1 000

0 x 100

0 x 10

0x1

3 000 000

200 000

0

5 000

0

0

0

El dígito 2 está en el lugar de los cien mil; por lo tanto, su valor es de 200 000. •  ¿Cuál es el valor del dígito 5 en 3 205 000?

ADVERTENCIA Recuerda que cuando

Un número se puede escribir en forma normal, en palabras o en forma desarrollada. Forma normal: 181 260 000 En palabras: ciento ochenta y un millones doscientos sesenta mil Forma desarrollada: 100 000 000 1 80 000 000 1 1 000 000 1 200 000 1 60 000

ADVERTENCIAescribes un número en ADVERTENCIAforma desarrollada, no necesitas escribir los valores que tiene el dígito 0. Ejemplo: 305 Forma desarrollada: 300 1 5

4

Libro 5.indb 4

24-01-13 10:07

Patrones de valor posicional A medida que avanzas hacia la izquierda en una tabla de valor posicional, el valor del lugar se multiplica por 10. Imagina que tienes 1 000 000 de monedas de $1. ¿Cuántas pilas podrías formar si pusieras 100 monedas en cada pila? Usa una tabla de valor posicional.

Paso Escribe los números en una tabla de valor posicional. Mil millones

Miles

Millones

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 1

0

310

0

310

0

310

0

0

0

1

0

0

310

Paso Cuenta el número de lugares de cada cifra. 1 000 000 → 4 lugares más a la izquierda de 100 10 3 10 3 10 3 10 5 10 000 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100.

Por lo tanto, podrías formar 10 000 pilas de 100 monedas de $ 1 cada una. Usa patrones de valor posicional. 1 000 000

1 millón

1 3 1 000 000

1 000 000

10 centenas de mil

10 3 100 000

1 000 000

100 decenas de mil

100 3 10 000

1 000 000

1 000 unidades de mil

1 000 3 1 000

1 000 000

10 000 centenas

10 000 3 100

Por lo tanto, 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100. •  Usando el valor posicional, ¿de qué otras maneras se puede expresar 6 000? ¿Y 900 000?

Práctica con supervisión 1. ¿Cómo puedes usar la tabla de valor posicional para hallar el valor del dígito 4? Mil millones

Millones

Miles

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 1

7

5

2

4

9

1

0

5

0

Capítulo 1 5

Libro 5.indb 5

24-01-13 10:07

Escribe el valor del dígito subrayado. 2. 1 368 034

3. 101 123 020

4. 687 104 902

5. 243 903 804

Escribe los números de otras dos formas. 6. 200 000 000 1 20 000 000 1 3 000 000 1 30 000 1 500 1 6 7. sesenta mil cuatrocientos

8. 2 910 000

tres millones novecientos seis 9. 807 500 000

10. 1 890 001

12. 4 decenas de mil

13. 37 decenas de mil

14.

11. 3 900 945

¿Cuántas monedas de $5 se ven a la derecha: 1 000 monedas de $5, 1 000 000 de monedas de $5, o 1 000 000 000 de monedas de $5? Explica tu respuesta.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe el valor del dígito subrayado. 15. 126 568 657

16. 3 583 007

17. 9 848 012

18. 3 205 772

Escribe los números de otras dos formas. 19. 4 000 000 1 60 000 000 1 5 000 000 1 40 000 1 200 1 8 20. 50 000 000 1 7 000 000 1 9 000 000 1 700 000 1 50 000 21. Ochenta mil trescientos veinte millones cuatrocientos treinta 22. Quinientos cuarenta y cinco mil novecientos noventa y ocho 23. 562 000

24. 7 000 145

25. 12 042 514

26. 5 316 295 000

27. 800 centenas

28. 7 000 decenas

29. 20 decenas

30. 5 decenas de millón

de mil

Álgebra 31.

  de mil

de millón

Escribe el número que falta en cada .

7 000 000 5  3 100

33. 900 000 000 5  3 10

32. 60 000 000 5  3 10 34. 4 000 000 5  3 100

USA DATOS  Para 35–36, usa la tabla. 35. ¿Cómo cambia el peso de las monedas de $5, cuando

se tiene 1 moneda, 10 monedas o 100 monedas? 36. ¿Cuál es el peso de 1 000 monedas de $5?

Explica tu respuesta. 37. Razonamiento  En 1 m hay 100 cm; en 10 m hay

1 000 cm y en 100 m hay 10 000 cm. ¿Cuántos centímetros hay en 1 000 m?

6

Libro 5.indb 6

Peso de una moneda de $5 Cantidad de monedas de $5

Peso (en gramos)

1

2

10

20

100

200

Práctica adicional en la página 30, Grupo A

24-01-13 10:07

38. ¿Cuál es el error?  Pedro escribió el número

39.

cuatro millones trescientos cinco mil como 4 350 000. Describe el error de Pedro.

Explica cuál de los siguientes números no puede ser un producto de multiplicar repetidamente 1 087 por 10. 10 870; 180 700; 1 087 000

Comprensión de los Aprendizajes 12 grupos iguales. ¿Cuántas cuentas tendrá en cada grupo?

40. Juan compró 5 paquetes de tarjetas de

colección. Cada paquete tiene 8 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas de colección compró Juan? 41. El árbitro lanza al aire una moneda de $100

44. Preparación para la prueba  En el número

875 693 214, ¿qué dígito está en el lugar de las decenas de millón?

para decidir qué equipo de fútbol patea primero. ¿Cuál es la posibilidad de sacar sello? 42. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el valor

del dígito subrayado en 348 912 605?

A 8

B 7

A 800 000 000

C 8 000 000

C 9

B 80 000 000

D 800 000

D 1

43. Clara tiene 60 cuentas que quiere separar en

percepción NUMÉRICa  En esta lección aprendiste sobre nuestro sistema de valor posicional, o sea, el sistema de base 10. Este sistema usa los dígitos del 0 al 9. Base 10 Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades de mil de mil de mil 7

2

0

0

5

El sistema de base 2, programado en las computadoras, usa solo los dígitos 0 y 1.

Ejemplo  ¿Qué número de base 10 es equivalente al número 101 de base 2? Base 2 Treinta y dos Dieciséis Ochos Cuatros Dos Unos 1

0

1

(4 3 1) 1 (2 3 0) 1 (1 3 1)    ←    Multiplica cada valor posicional por el dígito 0 o 1 de la tabla. 4 1 0 1 1    ←    Suma para hallar el valor de base 10. 5 O  sea, 101 en el sistema de base 2 es igual a 5 en el sistema de base 10. Halla el valor de base 10 de cada número de base 2. 1. 110

2. 1010

3. 111

4. 1011

Capítulo 1 7

Libro 5.indb 7

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

2

Repaso rápido

Comparar y ordenar números enteros

Compara. Escribe , , o . 1. 132  140

OBJETIVO: Usar el valor posicional y las rectas numéricas para comparar y ordenar números enteros.

2.  1 541  2 038 3.  17 008  17 008 4.  5 612  5 613

Aprende

5.  62 100  62 001

PROBLEMA  Una investigación bancaria informó acerca del número de monedas en circulación en 2009. ¿Cómo se compara el número de monedas de $5 con el número de monedas de $1?

774 824 000 monedas

707 332 000 monedas

1 346 624 000 monedas

662 228 000 monedas

 Usa el valor posicional para comparar. Empieza por la izquierda. Compara el valor posicional de cada dígito hasta que los dígitos sean diferentes.

Paso

Paso

Compara las centenas de millón.

Compara las decenas de millón.

707 332 000 ↓ 774 824 000

707 332 000 ↓ 774 824 000

iguales

7

.0

Por lo tanto, 774 824 000 . 707 332 000, y 707 332 000 , 774 824 000.

Usa una recta numérica para comparar. Compara 99 638 y 100 204.

Idea matemática

En una recta numérica, el número mayor está a la derecha.

Por lo tanto, 99 638 , 100 204.

8

Libro 5.indb 8

Práctica adicional en la página 30, Grupo B

24-01-13 10:07

Ordenar números enteros Otra investigación bancaria informó el número de monedas de $1, de $5 y de $10 en circulación en 2011. Ordena de menor a mayor la cantidad de monedas informadas.

123 473 200

127 504 000

138 662 400

Usa el valor posicional.

Paso

Paso

Compara las centenas de millón. 123 473 200 127 504 000 134 662 400  iguales

Paso

Compara las decenas de millón.

Compara los otros dos números en las unidades de millón.

123 473 200 127 504 000 2,3 134 662 400 ← mayores

123 473 200 127 504 000 138 662 400

← menores 3,7

Usa una recta numérica.  Ordena de menor a mayor. 1 002; 1 091; 997

Por lo tanto, 997 , 1 002 , 1 091.

 Ordena de mayor a menor. 2 335 000; 2 381 000; 2 359 000

Por lo tanto, 2 381 000  2 359 000  2 335 000.

Práctica con supervisión 1. Usa una tabla de valor posicional para

comparar los dos números. ¿Cuál es el lugar de mayor valor posicional, en el cual los dígitos son diferentes?

Miles

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 5

4

2

9

0

0

5

4

4

7

2

0

Capítulo 1 9

Libro 5.indb 9

24-01-13 10:07

Compara. Escribe , , o 5 en cada . 2. 32 403  32 304

3. 102 405  102 405

4. 2 306 821  2 310 084

Nombra el lugar de mayor valor posicional, en el cual los dígitos son diferentes. Nombra el número mayor 5. 2 318; 2 328

6. 93 462; 98 205

7. 664 592 031; 664 598 347

Ordena de menor a mayor. 8. 36 615; 36 015; 35 643 11.

9. 5 421; 50 231; 50 713

10. 707 821; 770 821; 700 821

¿Cuál crees que es más fácil usar, el valor posicional o una recta numérica, para comparar y ordenar números? Explica tu elección.

Práctica independiente y resolución de problemas Compara. Escribe , , o 5 en cada . 12. 8 942  8 492

13. 603 506  603 506

14. 7 304 552  7 430 255

15. 1 908 102  1 890 976

16. 530 240  540 230

17. 10 670 210  10 670 201

Ordena de menor a mayor. 18. 503 203; 530 230; 305 320

19. 561 682 500; 561 862 500; 561 628 600

20. 1 092 303; 1 173 303; 1 292 210

21. 97 395; 98 593; 97 359

Ordena de mayor a menor. 22. 85 694; 82 933; 85 600

23. 21 390 208; 21 309 280; 21 309 820

24. 5 505 055; 5 402 987; 5 577 001

25. 696 031; 966 301; 696 103

Álgebra

Halla el dígito que falta para que los enunciados sean verdaderos.

26. 35 938 , 35 9  0 , 35 941 27. 134 862 . 134 8  0 . 134 857

USA DATOS Para 28–29, usa la tabla.

Monedas chilenas de edición especial

28. Al comparar la cantidad de monedas

acuñadas, ¿cuál es el valor posicional mayor, en el cual los dígitos difieren? 29.

Explica cómo se ordenan de menor a mayor las cantidades de monedas acuñadas.

Año

Valor

1991

10 000 pesos plata

5 583

1993

2 000 pesos plata

4 416

2010

50 pesos mal acuñada

3 615

Cantidad de monedas acuñadas

10

Libro 5.indb 10

24-01-13 10:07

Comprensión de los Aprendizajes 30. ¿Cuántos libros se leyeron en total?

33. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el

dígito que falta en el siguiente enunciado?

Biblioteca CRA de quinto básico

46 726 < 46 7  0 < 46 741

Laura

A 0

Paula

B 1

C 2

D 3

34. Preparación para la prueba  ¿Cuál lista

Mario 0

2 4 6 8 10 Cantidad de libros leídos

muestra los números ordenados de mayor a menor?

12

A 8 107 450; 8 071 504; 8 059 631 B 8 059 631; 8 071 504; 8 107 450

31. ¿Cuál es el valor del dígito subrayado en

15 149?

C 8 071 504; 8 059 631; 8 107 450

32. ¿Qué número hace que el enunciado sea

D 8 107 450; 8 059 631; 8 071 504

verdadero? 2 000 000 5 20 3 

PENSAR VISUALMENTE  Puedes usar una recta numérica para hallar la distancia entre dos puntos. Santiago

0

Pelarco

100

200

Arauco

300

400

500

Purranque

600

700

 Halla la distancia de Pelarco a Arauco.

800

900

1 000

 Halla la distancia de Arauco a Purranque.

Por lo tanto, la distancia es de 310 km.

Por lo tanto, la distancia es de 405 km.

Halla la distancia entre cada par de puntos. A 500

B 600

1. A y B; A y C

C

D

700

800

E

2. D y E; C y D

F 900

G 1 000 3. D y G; C y E

4. A y D; C y F

5. Explica cómo puedes usar la recta numérica para comparar

las distancias entre los puntos B y C, y B y D.

Capítulo 1 11

Libro 5.indb 11

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

3

Repaso rápido

Redondear números enteros OBJETIVO: Redondear números enteros hasta un valor posicional dado.

Aprende

Di si la cifra está más cerca de 10 000 o de 20 000. 1. 13 579 

2.  18 208 

3. 15 781 

4.  11 627 

5.  19 488

ProblemA  Un periódico informó que 53 855 personas asistieron a un partido de fútbol en el Estadio Nacional. Durante el partido, un comentarista deportivo de TV redondeó ese número a 50 000. ¿Es razonable la estimación del comentarista? ¿Por qué? Redondear un número significa reemplazarlo por un número aproximado. A menudo es más fácil calcular con un número redondeado.

Recuerda

Usa una recta numérica.

En la recta numérica, 53 855 está entre 50 000 y 60 000, pero está más cerca de 50 000. Por lo tanto, la estimación del comentarista deportivo es razonable.

Al redondear, mira el dígito a la derecha del lugar al cual vas a redondear. •  Si ese dígito es 5 o mayor que 5, redondea hacia arriba. •  Si ese dígito es menor que 5, redondea hacia abajo. •  Cambia cada dígito después del lugar redondeado a cero.

Usa el valor posicional.

Redondea 4 835 971 al lugar del dígito subrayado.

 Millón

  Centena de mil

4 835 971

8.5 5 000 000  Redondeo hacia arriba.

4 835 971 redondeado al millón más cercano es 5 000 000.

4 835 971 ↓ 35 4 800 000  Redondeo hacia abajo.

4 835 971 redondeado a la centena de mil más cercana es 4 800 000.

 Decena de mil 4 835 971 ↓ 555 4 840 000  Redondeo hacia arriba.

4 835 971 redondeado a la decena de mil más cercana es 4 840 000.

Práctica con supervisión 1. Usa la recta numérica para redondear

38 778 a la unidad de mil más cercana. 

12

Libro 5.indb 12

24-01-13 10:07

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 2. 67 348  7.

3. 141 742

4. 8 304 952

5. 12 694 022

6. 36 402 695

Explica por qué redondear 428 024 y 425 510 a la decena de mil más cercana da como resultado el mismo número.

Práctica independiente y resolución de problemas Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 8. 675 345 803 12. 56 469

9. 3 981 13. 24 508 349

10. 26 939 676

11. 500 357 836

14. 792 406 314

15. 276 405 651

Nombra el lugar al que se redondeó cada número. 16. 56 037 a 60 000

17. 919 919 a 900 000

18. 65 308 976 a 65 309 000

Redondea 4 813 726 al lugar que se menciona. 19. millones

20. centenas de mil

21. unidades de mil

22. decenas de mil

USA DATOS Para 23–25, usa la tabla. 23. El total de atenciones a dos servicios de

Atenciones de enfermería de nivel primario. Año 2010

enfermería, redondeado a la decena de mil más cercana, es el mismo. Nombra los dos servicios.

Servicio

24. ¿Cuál es el error?  Roberto dijo que el total de

atenciones en el servicio del Maule, redondeado a la unidad de mil más cercana fue de 413 000. ¿Tiene razón? Si no, ¿cuál es su error? 25.

El número redondeado de la distancia entre dos ciudades es 540 km. ¿Cuáles son el mayor y el menor número que se pueden redondear a 540? Explica tu respuesta.

Total atenciones

Metropolitano Occidente

234 109

Metropolitano Sur

245 807

Metropolitano Sur Oriente

221 383

Del Maule

413 605

Araucanía Sur

233 169

Comprensión de los Aprendizajes 26. Un patio cuadrado mide 8 metros en cada lado.

29. Preparación para la prueba  ¿Qué número

¿Cuál es su perímetro?

redondeado al millón más cercano da 30 000 000?

27. Escribe ,  o 5 para comparar 15 109

y 15 190. 28. La suma de x más y es igual a 21. Si x 5 13,

¿qué ecuación se puede usar para hallar el valor de y?

A 28 065 402

B 29 405 477

C 29 612 300 D 30 755 141

Práctica adicional en la página 30, Grupo C

Libro 5.indb 13

Capítulo 1 13

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Estimar sumas y diferencias

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.

OBJETIVO: Usar el redondeo para estimar sumas y diferencias.

1.  178 902 2. 34 998

Aprende

3.  2 503 499

PROBLEMA ¿Aproximadamente cuántas personas más viven en Brasil que en Perú? Puedes resolver el problema hallando una estimación. Una estimación es un número que se aproxima a una cantidad exacta.

4. 901 694 5.  5 500 000

Vocabulario estimación

subestimación

sobrestimación

Ejemplo 1  Usa el redondeo. Paso Redondea los números al millón más cercano. ​ 1 790 000 → ​40 000 000 4 – 30 000 307 → –​ 30 000 000

Paso

Población de algunos países en 2012

Resta. ​ 0 000 000 4 ​– 30 000 000 10 000 000

Por lo tanto, 10 000 000 de personas más, aproximadamente, viven en Argentina.

País

Población

Argentina

41 790 000

Perú

30 000 307

Ecuador

15 650 000

Ejemplo 2  Usa una sobrestimación y una subestimación. Una sobrestimación es mayor que la respuesta exacta. Una subestimación es menor que la respuesta exacta. Un jugador escolar de fútbol paga $6 717 por uniformes, $5 400 por chaquetas y $3 477 por camisetas. ¿Cuánto gasta el jugador? Halla un rango para hacer la estimación. Para hallar la sobrestimación, redondea hacia arriba. ​      ​ → ​       $  7 000      Redondea hacia arriba. ​     $6 717  → $3 477 $  4 000 ​      ​        ​ ​ → 1 $5 400 1 $  6 000 __ __ $17 000

Para hallar la subestimación, redondea hacia abajo.

Una sobrestimación es $17 000.

Una subestimación es $14 000.

→ ​  Redondea hacia abajo.  ​  ​       $  6 000      ​     $6 717  → $3 477 $  3 000 ​      ​        ​ ​ 1 $5 400 1 $  5 000 → __ __ $14 000

Por lo tanto, la respuesta estará en un rango de $14 000 a $17 000.

Práctica con supervisión 1. Redondea a la decena de mil más cercana.

Luego haz una estimación. 143 209 1 789 324

2. Halla un rango usando una sobrestimación y

una subestimación. 4 529 1 1 523 1 2 773

14

Libro 5.indb 14

24-01-13 10:07

Estima la suma o la diferencia. 3. 4 829 2 2 325

 4. 25 902 1 18 188 1 3 502

5. 312 300 1 429 301

6. 

Observa tu sobrestimación y tu subestimación del Ejercicio 2. ¿Cuál se aproxima más a la respuesta exacta? Explica cómo lo sabes.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima la suma o la diferencia. 7.

349 + 387

8.

24 619 + 45 998

9.

67 209 – 28 584

10.

51 922 + 39 104

11.

506 051 + 237 845

12. 8 793 972 2 4 239 981

13. 6 382 011 1 950 429

14. 488 352 2 290 128

15. 66 207 1 24 914 1 6 937

16. 569 203 123 2 43 192 291

17. 6 204 1 4 589

18. 254 1 746 1 832

19. 3 822 1 7 916

20. 3 491 812 1 4 721 874

21. 6 845 1 1 391

22. 973 1 235

23. 4 357 1 5 891 1 8 622

Halla un rango para estimar la suma.

USA DATOS  Para 24–25, usa la tabla. 24. ¿Aproximadamente cuántas personas más

Asistencia anual de expectadores a partidos de fútbol

asistieron a los partidos en 2011 que en 2009? 25. Halla un rango para estimar la asistencia total de

todos los años. 26.

¿Cuál es la pregunta? José compró dos bicicletas por $270 000 cada una. El impuesto de venta fue más o menos de $15 000 por cada bicicleta. La respuesta es $600 000 aproximadamente.

Años

Asistencia

2011

3 404 686

2010

3 603 680

2009

3 140 781

2008

2 109 298

Comprensión de los Aprendizajes 27. Halla el valor de la expresión. (4 3 3) 1 12 2 8. 28. ¿Cuál es el valor del dígito subrayado

en 452 302? 29. Redondea 45 782 106 a la centena de mil

más cercana.

Práctica adicional en la página 30, Grupo D

Libro 5.indb 15

30. Preparación para la prueba  En una semana,

28 769 personas usaron la tarjeta Bip del Transantiago. Durante la semana siguiente, 35 204 personas usaron la tarjeta. ¿Cuántas personas más, aproximadamente, usaron la tarjeta Bip la segunda semana? A 6 000

C 10 000

B 8 000

D 20 000

Capítulo 1 15

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

5

Sumar y restar números enteros

Repaso rápido

OBJETIVO: Sumar y restar números enteros.

1. $379 1 $298 

Estima la suma o la diferencia.  2.  14 668 2 8 015 

Aprende

3.  $2 359 2 $1 131 

PROBLEMA  Las áreas verdes de una parcela miden 56 804 m . El área edificada en un nivel mide 39 912 m2. Halla el área total de la parcela. 2

4.  74 952 1 3 883  5.  20 141 1 912 1 11 018 

Vocabulario

Ejemplo 1

operaciones inversas

Suma. 56 804 1 39 912 Estima. 60 000 1 40 000 5 100 000 1  ​​1  ​​ 5   ​​ 6 ​  804  ​ ​  ​   Empieza con las unidades.     1 39 912 __ Reagrupa cuando sea 96 716 necesario.

El área total mide 96 716 m2. Ya que se acerca a la estimación de 100 000, es razonable. Una parcela tiene un área de 54 556 m2. Otra parcela contigua, tiene un área de 8 721 m2. ¿Cuánto más grande que la parcela de menor área es la parcela de mayor área?

Ejemplo 2 Resta. 54 556 2 8 721 Estima. 50 000 2 10 000 5 40 000 13  ​​

4  ​​  @ 3    ​​  15  ​ @​ 5   ​ @​ 4      ​ @​ 5 5 ​ Empieza con las unidades.   6    ​ ​      

2   8   7 21 __ 4 5   8 35

Reagrupa cuando sea necesario.

La parcela de mayor área es 45 835 m2 mayor que la de menor área. Ya que 45 835 se acerca a la estimación de 40 000; es razonable. •  Explica el reagrupamiento del Ejemplo 2.

16

Libro 5.indb 16

24-01-13 10:07

Suma y resta números mayores El área de Canadá es de 9 984 670 km2. El área de Brasil es de 8 514 877 km2. ¿Cuánto más grande que el área de Brasil es el área de Canadá?

Ejemplo 3 Puedes calcular la respuesta usando papel y lápiz. Resta. 9 984 670 2 8 514 877 Estima. 10 000 000 2 9 000 000 5 1 000 000 9 984 670 Empieza con las unidades. – 8 514 877 Reagrupa cuando sea 1 469 793

necesario.

Por lo tanto, el área de Canadá es, aproximadamente, 1 469 793 km2 mayor que el área de Brasil. Dado que la respuesta se acerca a la estimación de 1 000 000; es razonable.

Las operaciones inversas son operaciones que se cancelan entre sí. Las relaciones inversas te permiten comprobar la suma por medio de la resta y comprobar la resta por medio de la suma. ¿Cómo compruebas tu respuesta en el ejemplo de arriba?

Práctica con supervisión Copia y completa para hallar la suma o la diferencia. 1.

32 146 + 18 219 065

2.

516 828 – 198 756 102

3.

6 941 + 9 387 12

4.

702 418 – 319 295 312

Estima. Luego, halla la suma o la diferencia. 5.

3 794 + 2 073

10.

6.

54 042 + 21 394

7.

409 232 – 403 243

8.

3 593 209 – 1 254 155

9.

789 039 + 325 155

Explica cómo hallar 92 010 2 61 764. 

Capítulo 1 17

Libro 5.indb 17

24-01-13 10:07

Práctica independiente y resolución de problemas Estima. Luego, halla la suma o la diferencia. 11.

4 596 + 9 293

12.

39 515 + 69 036

13.

109 958 – 102 989

14.

480 084 + 515 765

15.

2 308 027 – 1 456 328

16.

8 023 154 + 731 363

17.

129 993 + 74 875

18.

67 846 – 38 559

19.

1 009 875 – 872 945

20.

6 693 071 2 381 305 + 1 043 829

21. 43 831 1 8 375 1 30 294 22. 4 801 123 2 1 956 627 23. 100 230 2 76 834

  

Álgebra Halla cada uno de los valores que faltan.

24.

 2 2 346 5 9 638

25.

93 010 2  5 61 871 26.  1 197 794 5 200 010

27. Razonamiento  ¿Cómo usas las operaciones inversas para comprobar tus

respuestas a los Ejercicios 24–26? USA DATOS  Para 28–31, usa la tabla. 28. ¿Cuántas hectáreas más de superficie tiene el Parque

Nacional Cabo de Hornos que el Parque Nacional Bosque Fray Jorge?

Parque Nacional

29. ¿Cuál es la superficie total de los Parques Nacionales

presentados? 30. Halla la superficie del Parque Nacional Tolhuaca si la

superficie del Parque Nacional Laguna del Laja es 5 126 Ha mayor que él. 31.

Datos sobre algunos Parque Nacionales Superficie (Ha)

Cabo de Hornos

63 093

Laguna del Laja

11 600

Bosque Fray Jorge

9 959

Nahuelbuta

6 832

Huerquehue

12 500

¿Cuál es la pregunta?  Paula y Alejandro compararon la superficie de dos parques nacionales. La respuesta es 51 493 Ha.

Comprensión de los Aprendizajes 32. ¿Cuánto es 409 537 redondeado a la unidad

de mil más cercana?

verdadero? (8 2 6) 3 4 5 2 3 

33. Preparación para la prueba  ¿Qué cifra es

628 315 mayor que 547 906? A 1 761 221

C 1 176 221

B 1 716 212

D 1 176 211

18

Libro 5.indb 18

34. ¿Qué número hace que este enunciado sea

35. Preparación para la prueba  El cine Hoyts

vendió 35 890 entradas. El cine Cinemark vendió 43 741. ¿Cuántas entradas más vendió el cine Cinemark? A 6 851

C 8 951

B 7 851

D 12 151

Práctica adicional en la página 31, Grupo E

24-01-13 10:07

Escribir para explicar La industria frutícola de Chile es líder dentro del hemisferio sur en la exportación de fruta fresca –considerando uvas, manzanas, kiwis, paltas (aguacates), ciruelas, duraznos, peras, cerezas y arándanos– siendo el tercer sector más importante de la economía nacional. Esta industria se caracteriza por tener más de 7 800 productores, 310 266 hectáreas de cultivo y 630 empresas exportadoras. Desde el 2004 hasta el 2010 se han exportado aproximadamente 24 millones de toneladas métricas de frutas frescas. Usando los datos de la tabla, ¿cuántas toneladas métricas de fruta fresca se han exportado el 2007 o antes? Explica cómo resolver el problema.

Evolución de frutas frescas exportadas en las últimas seis temporadas (Toneladas Métricas) 3.000.000 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000

Hay cosas importantes que puedes hacer cuando explicas cómo resolver un problema. Escribir una buena explicación significa aprender a describir cuidadosamente un proceso.

Primero, leí el problema y vi que no tenía que usar la información de la última oración. Luego miré la tabla y vi que necesitaba sumar tres de los números para hallar la cantidad exportada el año 2007 o antes. Sumé la cantidad de toneladas métricas exportadas en los años menores a 2008 para hallar el total exportado en 2007 o antes. 2 143 785 + 2 192 766 + 2 406 706 = 6 743 257 6 743 257 es una respuesta razonable porque la estimación es, aproximadamente, 6 700 000.

0

2005 2006 2007 2008 2009 2010

Fuente: Asociación de Exportadores de Chile A.G.(ASOEX) 2011

• Incluye solo la información necesaria. • Escribe oraciones completas, usa palabras de transición como primero y luego. • Divide la explicación en pasos para que sea clara. •  Usa vocabulario matemático para describir cómo resolver el problema. •  Haz un dibujo o un diagrama si es necesario. •  Comprueba que la respuesta sea razonable.

Resolución de problemas  Explica cómo resolver el problema. 1. La familia Quiroz está haciendo un viaje de 1 238 km desde Pucón a La Serena. El primer día, los Quiroz recorrieron 405 km y, el segundo día, 390 km. ¿Cuántos km más debe viajar la familia Quiroz para llegar a La Serena? Explica cómo resolverlo.

Libro 5.indb 19

2. Luis anotó 62 309 puntos en un juego para computadora. Jorge anotó 9 548 puntos menos que Luis. La puntuación de Cata fue 10 283 puntos más alta que la de Jorge. ¿Cuál fue la puntuación de Cata? Explica cómo resolverlo.

Capítulo 1 19

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

6

Repaso rápido

CÁLCULO MENTAL

Suma y resta

1. 35 1 87 2. 61 2 45

OBJETIVO: Usar el cálculo mental para sumar y restar.

3. 32 1 56 1 21 4. 90 2 46

Aprende

5. 99 1 37

PROBLEMA   Una tienda de patinetas realizó una liquidación de tres días. Vendió 14 patinetas el lunes, 31 el martes y 56 el miércoles. ¿Cuántas patinetas se vendieron durante la liquidación?

Vocabulario Propiedad conmutativa de la suma Propiedad asociativa de la suma compensación

Algunos problemas se pueden resolver mentalmente usando las propiedades. La propiedad conmutativa de la suma significa que si el orden de los sumandos cambia, el total sigue siendo el mismo. La propiedad asociativa de la suma significa que el orden en que se agrupan los sumandos no modifica el total.

Ejemplo 1  Usa la propiedad conmutativa. 14 1 31 1 56 5 14 1 56 1 31  Usa la propiedad conmutativa. 5 70 1 31 Usa el cálculo mental. 5 101 Por lo tanto, durante la liquidación se vendieron 101 patinetas.

Ejemplo 2  Usa la propiedad asociativa. 36 1 (104 1 105) 5 (36 1 104) 1 105  Usa la propiedad asociativa. 5 140 1 105 Usa el cálculo mental. 5 245 La compensación es una estrategia de cálculo mental que puedes usar para sumar y restar.

Ejemplo 3   Usa la compensación para sumar. Modifica un sumando para que 328 1 546 5 (328 1 2) 1 (546 2 2)  Suma 2 a 328 para obtener 330. sea múltiplo de 10. Luego ajusta Luego resta 2 de 546. el otro sumando por medio de la 5 330 1 544 resta para mantener el equilibrio. 5 874

Ejemplo 4  Usa la compensación para restar. Haz que el segundo número sea un múltiplo de 10. Luego ajusta el primer número por medio de la resta para mantener el equilibrio.

565 2 243 5 (565 2 3) 2 (243 2 3)

Resta 3 de 243 para obtener 240.

5 562 2 240 5 322

Luego resta 3 de 565.

20

Libro 5.indb 20

24-01-13 10:07

Práctica con supervisión 1. Copia y completa. Nombra la propiedad.

2. Copia y completa.

19 1 52 1 31 5 19 1 31 1 j 5 50 1 52 5j

148 2 125 5 (148 2 5) 2 (125 2 j)

5 143 2 j 5j

Explica cómo puedes usar la compensación para hallar 128 1 56.

3.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa las propiedades y estrategias de cálculo mental para hallar la suma o la diferencia. 4. 83 1 37

5. 42 2 17

8. (218 1 462) 1 112

9. 328 1 256 1 802

6. 384 2 239

7. 898 2 617

10. 772 1 848

11. 469 1 752

12. 662 2 328

13. 751 2 737

14. 137 1 458

15. (617 1 927) 1 403

16. (7 1 19) 1 13

17. 36 1 (58 1 44)

18. 671 2 328

19. 944 2 726

USA DATOS  Para 20, 21, y 23, usa la tabla. 20. Usa el cálculo mental para hallar la cantidad

total de patinetas compradas. Explica tu respuesta. 21. La cantidad de patinetas compradas en

abril y mayo, ¿fue mayor o menor que la cantidad de patinetas compradas en julio? Usa el cálculo mental para explicar tu respuesta. 22.

Patinetas compradas Mes

Cantidad

abril

52

mayo

18

junio

47

julio

72

DATO BREVE La primera competencia en la historia del deporte de la patineta se realizó en Hermosa Beach, CA, en 1963. ¿Cuántos años antes de 2009 se realizó la primera competencia?

23.

Explica cómo puedes usar el cálculo mental para hallar cuántas patinetas más se compraron en julio que en mayo.

Comprensión de los Aprendizajes 24. Escribe 4 097 310 en palabras. 25. ¿Cuál es el valor de (9 3 3) 1 (7 1 3)?

27. Preparación para la prueba  Nombra la

propiedad usada. (64 1 15) 1 55 5 64 1 (15 1 55) A Asociativa C Identidad

26. ¿Cuál es mayor 4,09 o 4,1?

Práctica adicional en la página 31, Grupo F

Libro 5.indb 21

B Conmutativa D Orden

Capítulo 1 21

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

7

Álgebra

Repaso rápido

Expresiones de suma y resta

Usa el cálculo mental para sumar o restar.

OBJETIVO: Escribir y hallar el valor de las expresiones de suma y resta.

1. 23 1 17

2. 40 1 50

3. 46 2 26

4. 110 2 15

Aprende

5. 532 1 28

PROBLEMA  En Fantasilandia, la montaña rusa Raptor tiene una velocidad máxima de 100 km por hora, y la montaña rusa Galaxy tiene una velocidad máxima de 85 km por hora. Escribe una expresión numérica para mostrar la diferencia entre la velocidad máxima de las dos montañas rusas. Luego halla el valor de la expresión.

Vocabulario expresión numérica expresión algebraica variable

Una expresión numérica es una frase matemática que usa solo números y signos de operaciones. No tiene un signo de igualdad.

Ejemplo 1 Paso

Escribe una expresión.

Raptor 2 Galaxy ↓ ↓ 100 2 85

Paso

Halla el valor de la expresión. 100 2 85 → Resta. 15

La expresión 100 2 85 muestra la diferencia entre las velocidades máximas de las dos montañas rusas. El valor de la expresión es 15. Por lo tanto, el valor es la diferencia entre la velocidad máxima de las dos montañas rusas. Las expresiones pueden tener una operación o más de una operación.

Más Ejemplos  Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor.   doce más que 38 38 1 12 38 1 12 Suma. 50

  cincuenta y dos menos

  cinco menos que la suma

que 400

de 70 y 2

400 2 52 400 2 52 Resta. 348

(70 1 2) 2 5 (70 1 2) 2 5 Suma. 72 2 5 Resta. 67

22

Libro 5.indb 22

24-01-13 10:07

Expresiones algebraicas Algunas expresiones son expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una expresión que incluye al menos una variable. Una variable es una letra o símbolo que representa uno o más números. Tal vez veas la expresión “un número y 5 más” escrita de otras maneras. Estos son algunos ejemplos:

Ejemplo 2 Los cursos de quinto básico están planeando una excursión al zoológico. Con cada curso, van a ir cinco adultos. Cada curso viaja en su propio autobús. Escribe una expresión algebraica para mostrar la cantidad de personas que viaja en cada autobús.

•  un número más 5 •  un número aumentado en 5 •  la suma de un número y 5.

La expresión debe decir “cantidad de estudiantes que hay en un curso y 5 más”.

Todas las expresiones anteriores se pueden representar con la expresión algebraica t 1 5.

Sea e 5 la cantidad de estudiantes que hay en un curso. e 1 5

cantidad de estudiantes

5 adultos

Por lo tanto, la expresión algebraica e 1 5 muestra la cantidad de personas que hay en cada autobús. Para hallar el valor de una expresión algebraica, reemplaza la variable con un valor dado. Luego halla el valor de la expresión.

Ejemplo 3  Halla el valor de la expresión b 2 9, si b 5 12 y si b 5 23.   b 2 9

12 2 9

  b 2 9

Escribe la expresión. R  eemplaza la variable, b,

23 2 9

con 12.

3

Escribe la expresión. R  eemplaza la variable, b, con 23.

Halla el valor.

Por lo tanto, si b 5 12, el valor de b 2 9 es 3.

14

Halla el valor.

Por lo tanto, si b 5 23, el valor de b 2 9 es 14.

Práctica con supervisión Di qué operación usarías para escribir cada expresión. Luego escribe la expresión. 1.  4 más que 19

2.  12 menos que 33

3.  8 con un aumento de un

número Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. Di qué representa el valor. 4. Luisa tenía $12 y recibió

$10 más de regalo.

 5. Julia ahorró $52. Luego

gastó $8.

 6.  Sonia reunió 32 tarjetas de

béisbol, compró 12 más y luego vendió 4.

Capítulo 1 23

Libro 5.indb 23

24-01-13 10:07

Define la variable. Luego escribe una expresión algebraica. 7. Había una multitud de

8. En el lago, siempre está 10 8C

personas en fila para ver la película. Las puertas se abrieron y se permitió el ingreso de 75 personas. 10.

9. Todos los collares de Sofía

tenían 10 cuentas de plata y cuentas de arcilla de colores.

más fresco que en nuestro departamento.

Explica cómo hallar el valor de n 2 26 si n 5 54.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. Di qué representa el valor. 11. Julia está caminando en el

12. Marcos tenía un promedio de

nivel 3 de una cinta de correr. Aumenta el nivel en 2. 14. La diferencia entre 23 y 8.

13. Sandra compró 15 tarjetas,

94. Después de un examen, su promedio disminuyó en 5. 15. Diecisiete más 32.

envió 4 tarjetas y luego compró 7 más. 16. La suma de 22 y 18 con una

reducción de 9. Define la variable. Luego escribe una expresión algebraica. 17. Cada estudiante sumó

18. Durante la liquidación de

3 puntos a su puntuación. 20. Un número restado de 112.

19. El señor Fernández hizo 2

zapatos, el precio de los zapatos se redujo en $3 000. 21. Treinta y nueve aumentado en

copias adicionales con cada orden de carteles. 22. Un número más 23.

un número. Halla el valor de cada expresión. 23. 15 2 n si n 5 3

24. 36 1 n si n 5 14

25. b 1 3 si b 5 12

26. a 2 6 si a 5 18

27. m 1 180 si m 5 312

28. 90 2 t si t 5 38

USA DATOS  Para 29–31, usa la tabla.

Fuerzas gravitacionales de las montañas rusas

29. Los pasajeros de la montaña rusa Maremoto

sienten una fuerza que es n mayor que la fuerza sentida por los pasajeros en la montaña rusa X. Escribe una expresión para mostrar la fuerza que los pasajeros sienten en Maremoto. 30. A 2 fuerzas-g, te sientes dos veces más pesado

que cuando estás quieto. Si pesas 34 kg, ¿qué tan pesado te sentirás a 2 fuerzas-g?

Nombre de la montaña rusa

Fuerzas-g

Maremoto

6

X

4

Serpiente Cascabel

3,5

31. Los pasajeros de la montaña rusa Serpiente Cascabel

sienten una fuerza de 3,5 fuerzas-g, es decir, 3,5 veces la fuerza de gravedad. ¿Cuánta más fuerza que en Serpiente de Cascabel sienten los pasajeros en Maremoto?

24

Libro 5.indb 24

Práctica adicional en la página 31, Grupo G

24-01-13 10:07

32. Álgebra Razonamiento  Escribe una expresión

33.

para el patrón. Luego usa la expresión para hallar el número siguiente del patrón.

Elena compró una camisa por $6 800. Ahorró c dólares comprándola en oferta. Explica qué representa la expresión 6 800 2 c.

5, 13, 21, 29, j

Comprensión de los Aprendizajes 34. Una tienda vendió 813 juegos el lunes,

1 022 juegos el martes y 1 270 juegos el miércoles. ¿Cuántos juegos vendió la tienda en 3 días? 35. Preparación para la prueba  Joaquín tenía 80

discos compactos. Intercambió 20 por 15 nuevos. ¿Qué expresión muestra la cantidad de discos compactos que tiene ahora? A 80 2 20 1 15

C 80 2 20

D 20 2 15

B 80 1 20 2 15

¿Por qué los planetas siguen una órbita más o menos circular? Se debe a la atracción gravitacional entre la masa de cada planeta y la masa del Sol. Esta fuerza de atracción entre los planetas y el Sol mantiene los planetas en su órbita. Cada planeta tiene una fuerza gravitacional diferente. Cuanto mayor es la atracción gravitacional del planeta, mayor sería tu peso en la superficie de ese planeta.

Ejemplo  Escribe una expresión numérica y halla

36. Preparación para la prueba  ¿Cuál de las

opciones muestra una manera de escribir la expresión r 1 68 en palabras? A 68 más que un número B 68 menos que un número C un número menos que 68 D un número con una reducción de 68 37. Cada compartimento de la montaña rusa

Superman, costó aproximadamente veinte millones de pesos. Escribe este número en forma normal.

Peso en los distintos planetas Planeta

Peso (en kg)

Mercurio

38

Tierra

100

Venus

91

Júpiter

235

el valor. Luego nombra el planeta descrito. Si un cuerpo pesa 100 kg en la Tierra, su peso sería 9 kg menor en este planeta. 100 2 9 ← expresión numérica 91 ← valor Por lo tanto, pesaría 91 kg en Venus. 1. Si pesas 38 kg en Mercurio, tu peso sería 62 kg mayor en este planeta. 2. Si un cuerpo pesa 100 kg en la Tierra, su peso en este planeta sería igual a la suma de 91 y 144. 3. Si un cuerpo pesa 91 kg en Venus, su peso disminuiría en 53 kg en este planeta.

Capítulo 1 25

Libro 5.indb 25

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

8

Estrategia: Buscar un patrón ObjetivO: Resolver problemas usando la estrategia buscar un patrón.

Aprende la estrategia Estamos rodeados de patrones. Hay patrones de colores, patrones numéricos y patrones geométricos. Hallar un patrón puede ayudarte a ver cómo se relaciona la información de un problema. Puedes usar diferentes tipos de patrones y sus reglas para resolver diferentes tipos de problemas.

Un patrón puede tener números. María plantó 13 flores en una hilera, 11 en la hilera siguiente y 9 en la que sigue. Si continúa con este patrón, ¿cuántas hileras de flores plantará María?  La regla para el patrón es restar 2.

Un patrón puede repetirse. Gino está pintando un borde en una pared. Este es su trabajo hasta ahora. ¿Qué figura pintará Gino a continuación?  ¿Cuál es el patrón? 

Un patrón puede crecer. Si el patrón continúa, ¿cuántos azulejos habrá en el sexto diseño de azulejos?

Describe algunos otros patrones que hayas visto.

26

Libro 5.indb 26

24-01-13 10:07

Usa la estrategia PROBLEMA  Una secuoya costera puede producir entre 100 000 y 100 000 000 de semillas por año. Si una secuoya costera produce 100 000 000 de semillas, ¿cuántos kg pesarán las semillas aproximadamente? 

• ¿Qué información se da? • Haz una ayuda visual usando la información que te dan. 

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes buscar un patrón para resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Piensa: ¿Cómo cambia el número de semillas a medida que aumenta el número de gramos?

Mira los números de la tabla. Extiende el patrón a 1 000 000 de semillas 1

125 000

125 000

2

250 000

125 000

3

375 000

125 000

4

500 000

125 000

5

625 000

125 000

6

750 000

125 000

7

875 000

125 000

8

1 000 000

Semillas de la secuoya costera Peso (en Kg)

Número aproximado de semillas

1

125 000

+125 000

2

250 000

+125 000

3

375 000

Por lo tanto, 1 000 000 de semillas pesarán aproximadamente 3 600 gramos.

• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? • ¿De qué otra manera podrías resolver el problema?

Capítulo 1 27

Libro 5.indb 27

24-01-13 10:07

Resolución de problemas con supervisión 1. Alicia tiene 75 plantas en su jardín. Después de una semana de la temporada de jardinería, le quedaban 68. Después de 2 semanas, le quedaban 61 y, después de 3 semanas, le quedaban 54. ¿Cuántas le quedarán a Alicia después de 7 semanas?  Primero, halla un patrón y escribe una regla. 75, 68, 61, 54 Luego, extiende el patrón a 7 semanas.

Una regla es restar 7.

75, 68, 61, 54, , ,  Piensa: 54 2 7 5 , y así sucesivamente.

Por último, halla la cantidad que le queda a Alicia. 2. La familia García está realizando una excursión de 40 kilómetros por

el Parque Nacional Volcán Isluga. Al final del primer día, los García habían recorrido 8 kilómetros. Al final del segundo día, habían recorrido un total de 16 kilómetros y, al final del tercer día, habían recorrido 24 kilómetros en total. Si el patrón continúa, ¿cuántos días les llevará a los García terminar la excursión?  3. ¿Qué pasaría si los García hubieran recorrido solo 4 kilómetros al final

del primer día, un total de 8 kilómetros al final del segundo día y un total de 12 kilómetros al final del tercer día? ¿Cuántos días habrían tardado en terminar la excursión? 

Resolución de problemas • Práctica de estrategias 4. Un artesano está haciendo un acolchado. Hasta

ahora, el acolchado tiene este diseño. Si el patrón continúa, ¿qué diseño tendrá la duodécima fila del acolchado?  USA DATOS  Para 5-6, usa la gráfica. 5. Las araucarias pueden crecer más de un cm

cada año. Si el árbol que se muestra en la gráfica continúa su patrón de crecimiento, ¿qué altura tendrá en 2014?  6.

Si el patrón de crecimiento continúa, ¿cuándo será la altura de este árbol mayor que 100 cm? Explica cómo lo sabes.

Crecimiento de una araucaria

Altura (en cm)

70 60 50

53

56

59

62

2009

2010

2011

65

40 30 20 10 0

2008

2012

Año

28

Libro 5.indb 28

24-01-13 10:07

Práctica de estrategias mixtas

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

USA DATOS CIENTÍFICOS  Para 7–10, usa la tabla.

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfica Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

7. Raúl y Tomás usan un mapa para prepararse

para una excursión. Pueden recorrer senderos de dificultad mínima, moderada o extrema para ver cada uno de los árboles. ¿Cuántas opciones posibles tienen si quieren ver todos los árboles?  8. Un sexto árbol, que no aparece en la tabla, tiene

una altura de 142 cm menos que el árbol 1. ¿Cuál es la altura del árbol 6?  9.

Formula un problema  Usa la información de la tabla para escribir un problema. Explica cómo se halla la respuesta de tu problema.

10.

Problema abierto  Presenta un grupo de datos en la tabla de manera diferente. Explica la opción que elegiste para la presentación.

11. Natalia hizo este patrón de puntos.

• • •

• • • • •

• • • ••••

Natalia continuó su patrón, agregando un punto a cada uno de los “tramos”. ¿Cuántos puntos habrá en la séptima figura? 

Tipos de árbol y altura Árbol

Altura (en cm)

1. Pino

275

2. Canelo

255

3. Boldo

268

4. Romero

241

5. Laurel

256

esfuérzate 12. La altura de un palto comparte dos dígitos con la altura del tercer árbol más alto de la tabla. El árbol 1 es aproximadamente 70 cm más alto que el palto. ¿Qué altura tiene el palto? Explica cómo hallaste la respuesta. 13. Si la altura de un edificio medida en centímetros se redondea a la centena más cercana, su

altura es 725 cm más alto que el árbol 1 de la tabla. El dígito de las unidades de la altura del edificio es 5 y el de las decenas es 6. ¿Qué altura tiene el edificio? Explica cómo hallaste tu respuesta.

Capítulo 1  29

Libro 5.indb 29

24-01-13 10:07

Práctica adicional Grupo A  Escribe el valor del dígito subrayado. 1. 24 404 485 

2. 14 030 315 

3. 1 084 303 220

4. 9 204 503 661 

5. 14 336 872 

6. 16 603 582 495

Escribe los números de otras dos formas. 7. 300 000160 00015 000180017019 9. seis mil ocho millones noventa

8. 50 000 0001 5 000 000150 000150015  10. dos mil treinta y siete millones

y siete mil trescientos cuatro  catorce mil noventa y siete  11. 4 061 002 

12. 80 046 300

Grupo B  Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 1. 62 023  63 032

2. 2 401 393  2 104 933

3. 13 114 591  13 114 951

4. 54 304 125  45 304 125

5. 823 158  823 158

6. 693 103 430  693 103 340

7. El año pasado, asistieron 37 884 personas a un torneo de tenis. Este año asistieron 36 799 personas. ¿En qué año asistieron menos personas al torneo de tenis? 

8. Juan obtuvo 4 872 puntos en un videojuego.

Miguel obtuvo 4 921 puntos. ¿Quién obtuvo el mayor número de puntos? 

Grupo C  Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 1. 63 494 506 

2. 761 584 204 

3. 11 586 988 

4. 6 393 958 

5. 26 591 000 

6. 4 192 295 

7. 899 992 

8. 1 999 204 

9. 64 023 111 

Grupo D  Estima la suma o la diferencia. 75 293 – 9 501

1.

321 + 652

2.

19 592 + 43 596

3.

5.

314 992 – 275 841

6.

693 932 + 529 000

7.   266 749

– 135 699

4.

64 381 – 12 944

8.

699 083 + 74 999

30

Libro 5.indb 30

24-01-13 10:07

Grupo E  Haz un estimación. Luego halla la suma o la diferencia. 1.

5.

10 135 + 12 858

1 090 991 327 193

2.

168 930 + 929 856

3.

6.

61 942 + 9 835

7.   84 125

9. José ha armado 3 921 piezas de un rompecabezas. En la caja, le quedan 1 579 piezas. ¿Cuántas piezas en total hay en el rompecabezas?

92 000 – 63 580

– 60 938

4.

120 049 + 81 852

8.

206 398 – 187 489

10. Un elefante del zoológico pesa 6 947 kg. Una elefanta pesa 6 453 kg. ¿Cuánto más pesa el elefante? 

Grupo F  Usa estrategias de cálculo mental para hallar la suma o la diferencia. 1. 26 1 84 

2. 2 321 1 497 

3. 255 2 119 

4. 16 1 (29 1 44)

5. 604 2 337 

6. (66 1 93) 1 37 

7. 1 872 2 623 

8. 14 1 23 1 17 

9. 96 2 28 

10. 522 2 188 

13. El viernes se vendieron 485 tarjetas en un

puesto de un coleccionista de tarjetas del mercado de las pulgas. El sábado se vendieron 721 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas más se vendieron el sábado? 

11. 186 1 (224 1 179) 12. 779 2 535 

14. Sofía plantó un huerto de plantas aromáticas con 24 plantas de albahaca, 47 plantas de romero y 16 plantas de eneldo. ¿Cuántas plantas usó Sofía para plantar su huerto? 

Grupo G  Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. Di qué representa el valor. 1. Rocío pescó 4 peces. Al

2. La diferencia de 37

3. Ema sacó 6 libros

día siguiente, pescó y 14.  de la biblioteca. Devolvió 5 más.  3 y sacó 4 más. Define la variable. Luego escribe una expresión algebraica. 4. La pulsera de María 5. Un número con un 6. La temperatura del salón tiene 12 cuentas doradas aumento de 58.  de clases de Jorge es 5 °C y algunas perlas.  menor que la temperatura del exterior. Halla el valor de cada expresión. 7. 12 1 n si n 5 9 

8. x 2 15 si x 5 34 

9. h 1 152 si h 5 94 

Capítulo 1 31

Libro 5.indb 31

24-01-13 10:07

Repaso/Prueba del Capítulo 1 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro.

Vocabulario

1. Un número de los miles de millones tiene al menos 10        ​  ?  ​.  —

sobrestimación dígitos subestimación variable

    2. Una — ​  ? ​ es una letra o un símbolo que representa uno o más números.  ​ ? ​.   3. Una estimación que es menor que la respuesta real se llama     —

Comprueba tus destrezas Escribe cada número de otras dos formas. 4. seis mil millones novecientos dieciocho mil setecientos sesenta y dos 5. 9 000 000 000 1 70 000 000 1 3 000 000 1 100 000 1 90 000 1 400 1 3  6. 560 034 107  Compara. Escribe , , o  en cada . 7.  489 384  894 384  8.  920 090  902 900

9.  76 941 497  76 941 497

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 10.  67 339  11.  6 891 543  12.  623 971 764 13.  770 641 785

Haz un estimación. Luego halla la suma o la diferencia. 600 921 15. 16.   824 377 14. 89 044 – 799 562 + 73 491 – 321 650

17.

4 583 100 + 3 902 145

18.

3 941 042 – 2 953 161

Halla el valor de cada expresión. 19.  19 1 k si k 5 7 20.  d 2 9 si d 5 44 21.  76 2 a si a 5 22 22. x 2 28 si x 5 91

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 23. Pablo ganó 15 vales de almuerzo después de

una semana de cortar céspedes. Al final de la segunda semana, Pablo tenía un total de 30 vales. Después de la tercera semana, Pablo tenía 45 vales. Si este patrón continúa, ¿cuántos almuerzos habrá ganado Pablo después de 8 semanas? 

24. Rosa está haciendo una pulsera de cuentas con

esta unidad de patrón: 3 cuentas rojas, 2 cuentas rosadas y 1 cuenta blanca. Si repite el patrón 6 veces, ¿cuántas cuentas rosadas habrá usado? 

25. 

Vicente dibujó un patrón de 4 puntos, 8 puntos, 12 puntos y luego 16 puntos. Dice   que enseguida debe dibujar 24 puntos. Explica el error de Vicente y di cuántos puntos debe dibujar a continuación.

32

Libro 5.indb 32

24-01-13 10:07

Enriquecimiento • Otras maneras de sumar y restar

En el día de competencias de atletismo en la escuela básica Arturo Prat participaron los estudiantes de tercero, cuarto y quinto básico. Había 237 estudiantes de 3º básico, 369 estudiantes de 4º básico y 409 estudiantes de 5º básico.

Saque inicial B  Método para restar contando hacia arriba ¿Cuántos estudiantes más de 5o básico que de 3º básico participaron en el día de competencias de atletismo?

A Método de sumas parciales ¿Cuántos estudiantes de la escuela básica Arturo Prat participaron en el día de competencias de atletismo?

409 2 237 5 ?

237 1 369 1 409 5 ? Suma las centenas. 200 1 300 1 400 5

900

Suma las decenas. 30 1 60 1   0 5

90

Suma las unidades. 7 1 

Suma los totales parciales.

9 1  9 5

1 25 1 015

Empieza con la cifra más pequeña. 237 1 3 Cuenta hasta la decena más cercana. 240 Cuenta hasta la centena más cercana.

Cuenta hasta igualar las centenas.

Cuenta hasta igualar la cifra mayor.

1 60 300 1 100 400 1 9 409

3 60 100 1 9 172

Halla el total de los números que sumaste.

Por lo tanto, en el día de competencias de 

 Por lo tanto, en el día de competencias de

atletismo de la escuela básica Arturo Prat participaron 1 015 estudiantes.

atletismo participaron 172 estudiantes más de 5o básico que de 3o básico.

Juego Usa el método de sumas parciales o el de restar contando hacia arriba para hallar la suma o la diferencia. 1.

185 + 427

2.

376 152 + 827

3.  

386 – 228

4.

802 – 655

29 305 + 912

5.

6. La cafetería sirvió 567 almuerzos el miércoles y 492 almuerzos el jueves. ¿Cuántos almuerzos se sirvieron en los dos días?

En resumen Usa el método de la página 16 y el método de sumas parciales para hallar 325 1 107 1 416. ¿Qué método prefieres? Explica tu respuesta.

Capítulo 1  33

Libro 5.indb 33

24-01-13 10:07

Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 1

Percepción numérica

Álgebra

1. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde

5. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

con el número 4 003 012?

A cuatro mil trescientos doce

B cuatro millones trescientos doce

C cuatro millones tres mil doce

D cuatro mil millones tres millones doce

7 3 (6 2 2)

A 28

B 45

C 63

D 126

2. El parque nacional más grande está en Alaska

y mide 8 323 148 acres. ¿Cómo queda este valor redondeado a la unidad de mil de acres más cercana?

6. ¿Cuál es el valor de y si x 5 12? 

A 8 300 000

C 8 324 000

A 1

C 4

B 8 323 000

D 8 330 000

B 3

D 9

x5y18

7. La siguiente tabla muestra cuántos kilogramos

hay en cada bolsa de comida para perros.

Decide un plan.

Comida para perros

Mira el ítem 3. Escribir primero el número en forma desarrollada puede ayudarte a escribir el número en forma normal.

3. La construcción del nuevo complejo deportivo

costó tres millones quinientos dólares. ¿Cómo se escribe este número en forma normal? 

A $300 500 000

C $3 000 500

B $3 500 000

D $300 500

4.

El área total de Chile (con islas y la Antártica) es de 2 006 626 km2 y el área total de agua 102 160 km2 aproximadamente. Explica cómo estimar el área total de tierra y de agua a la centena de mil de kilómetros cuadrados más cercana.

Cantidad de bolsas

2

4

6

Cantidad de kg

20

40

60

Si Vanessa compra n bolsas de comida para perros, ¿cuál expresión representa la cantidad de kg que compra?

A n 1 3

B n 3 3

C n 1 10

D n 3 10

34

Libro 5.indb 34

24-01-13 10:07

Geometría

Estadística

8. En el segmento AB, el punto A está en (3, 6) y

11. ¿Cuál de los enunciados sobre los datos que se

muestran en la siguiente gráfica es verdadero?

el punto B está en (3,10). ¿Cuál enunciado numérico muestra cómo hallar la longitud del segmento AB?  A 3 1 3 5 6

C 10 2 3 5 7

B 3 1 6 5 9

D 10 2 6 5 4

Cantidad de miembros

Clubes escolares

9. Mateo dibujó el plano cartesiano que se

muestra a continuación.

y 6 5 4 3 2 1 0

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

N M

O

1 2 3 4 5 6

x

Debe marcar el punto P de modo que MNOP sea un cuadrado. ¿Dónde marcará Mateo el punto P?

ajedrez matemáticas español informática Club

A Hay 3 estudiantes más en el club de

informática que en el club de matemáticas.

B Hay 3 estudiantes más en el club de

informática que en el club de español.

C Hay 30 estudiantes en el club de informática

y en el club de ajedrez.

A (4, 4)

C (4, 5)

B (5, 4)

D (5, 2)

10. La longitud del segmento PQ es 6. ¿Cuál puede

ser el punto Q si P está en (4, 6)? A (10; 10)

C (4; 6)

B (10; 6)

D (10; 12)

D Hay 37 estudiantes en el club de informática

y en el club de español. 12. La siquiente tabla muestra el número de

personas atendidas en una oficina de reclamos. Día

Lunes

Número de personas

38

Martes Miercoles Jueves Viernes 28

47

52

13

¿Cuántas personas fueron atendidas los últimos 3 días? A 127

B 112

C 13

D 100

Capítulo 1 35

Libro 5.indb 35

24-01-13 10:07

2

Multiplicar números enteros La idea importante

La multiplicación de números enteros de varios dígitos se basa en el valor posicional y en las operaciones básicas de multiplicación.

Chile

DATO BREVE

Los exploradores ingleses del siglo XVIII le dieron su nombre al pingüino Macaroni debido al penacho de plumas amarillas que lleva en la cabeza. Las plumas se parecían a las plumas que los hombres jóvenes llevaban en extravagantes sombreros llamados Macarronis.

Eres un científico que está estudiando la población de pingüinos según sus especies. Has observado que la población de la especie de pingüinos Adelia es aproximadamente cuatro veces mayor que la del penacho amarillo del sur. Elige dos especies de pingüinos. Estima cuántas veces mayor es la población de una especie con respecto a la otra.

Población mundial de pingüinos Especies Adelia

Población estimada (en parejas) 2 500 000

Penacho amarillo del norte

350 000

Penacho amarillo del sur

650 000

Macaroni Papúa

9 000 000 320 000

36

Libro 5.indb 36

24-01-13 10:07

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 2.

u Multiplicar operaciones básicas Halla el producto.

1. 90 3 7

2. 40 3 6

3. 50 3 7

4. 20 3 8

5. 30 3 9

6. 60 3 6

7. 80 3 4

8. 70 3 8

9. 5 3 40

10. 9 3 60

11. 6 3 30

12. 80 3 3

u Multiplicar números de 2 dígitos Halla el producto.

13. 14 3 6

14. 23 3 4

15. 19 3 5

16. 31 3 8

17. 56 3 3

18. 97 3 2

19. 37 3 9

20. 69 3 4

21. 72 3 5

22. 86 3 7

23. 63 3 5

24. 96 3 3

25. 62 3 2

26. 76 3 3

27. 48 3 7

28. 88 3 4

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

matriz operación básica Propiedad distributiva estimación múltiplo producto parcial

patrón producto sobrestimación reagrupar redondear subestimación

preparaciÓn

Propiedad distributiva la propiedad que establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por ese número y luego sumar los productos múltiplo el producto de un número entero dado y otro número entero estimar hallar un número que se aproxima a la cantidad exacta

Capítulo 2  37

Libro 5.indb 37

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

CÁLCULO MENTAL

Patrones en los múltiplos OBJETIVO: Multiplicar operaciones básicas usando el cálculo mental y patrones de ceros.

1. 5 3 10 

2. 6 3 20 

3. 9 3 40 

4. 80 3 3 

5. 7 3 70 

Aprende PROBLEMA  En una colonia de pingüinos Macaroni puede haber miles de nidos. Contando los nidos, se sabe la población de la colonia. Imagina que una colonia de pingüinos Macaroni tiene 12 000 nidos, cada uno con dos pingüinos adultos y una cría. ¿Cuántos pingüinos hay en la colonia aproximadamente?

Ejemplo  Multiplica. 3 3 12 000 Para hallar los productos, puedes usar operaciones básicas y patrones con factores que son múltiplos de 10. 3 3 12 5 36  operación básica 3 3 120 5 3 3 12 3 10 5 360  operación básica multiplicada por 10 3 3 1 200 5 3 3 12 3 100 5 3 600  operación básica multiplicada por 100 operación básica multiplicada por 1,000 3 3 12 000 5 3 3 12 3 1 000 5 36 000 

p El pingüino Macaroni se llama así porque las plumas de su cabeza se parecen al sombrero que se hizo famoso por la canción “Yankee Doodle”.

Por lo tanto, la colonia tiene cerca de 36 000 pingüinos Macaroni en total. •  Cuenta el número de ceros de un factor que es múltiplo de 10. ¿Cómo se relaciona con el número de ceros del producto?

Más ejemplos  Usa operaciones básicas y un patrón.  4 3 5 5 20 4 3 50 5 200 4 3 500 5 2 000 4 3 5 000 5 20 000

 6 3 8 5 48 6 3 80 5 480 6 3 800 5 4 800 60 3 800 5 48 000

Puedes usar el cálculo mental para hallar el producto. Comienza con la operación básica. Luego, cuenta el número de ceros en el múltiplo de 10. Agrega el mismo número de ceros al final del producto.

Práctica con supervisión Halla el número que falta. 1. 4 3 4 5 j

2. 5 3 2 5 j

3. 2 3 3 5 j

 4. 8 3 7 5 j 4 3 40 5 j 5 3 20 5 j 2 3 30 5 j 8 3 70 5 j

40 3 40 5 j 5 3 200 5 j 20 3 30 5 j 8 3 700 5 j Halla el producto. 5. 3 3 40 10.

6. 2 3 500

7. 60 3 70

8. 80 3 10

 9. 3 3 3 000

Explica cómo 5 3 7, y los patrones de ceros, pueden ayudarte a hallar el producto de un número muy grande como 500 3 70 000. 

38

Libro 5.indb 38

24-01-13 10:07

Práctica independiente y resolución de problemas Halla el producto. 11. 40 3 80

12. 8 3 200

13. 3 3 40

14. 9 3 700

15. 10 3 5

16. 11 3 10

17. 60 3 30

18. 90 3 12

19. 7 3 60

20. 11 3 12

Halla el número que falta. Álgebra 21. 3 3 700 5 j

22. 5 3 j 5 450

23. j 3 6 5 540

24. 8 3 300 5 j

25. 70 3 80 5 j

26. 2 3 j 5 800

27. j 3 5 5 300

28. j 3 5 5 200

USA DATOS  Para 29–31, usa los datos sobre el krill. 29. El krill pone huevos, o desova, varias veces en

una temporada. Si un krill pone huevos 4 veces, ¿cuántos huevos pondrá?  30. Imagina que un pingüino come alrededor de

3 kg de krill por día. Aproximadamente, ¿cuánto krill come el pingüino en 100 días?  

Los small, krill son crustáceos pequeños,that en Krill are shrimplike crustaceans forma de langostino, que nadan en el swim in large groups in the ocean. agua como nubes de insectos.

31. Razonamiento  Los investigadores descubrieron

un grupo grande de krill que medía más de 9 000 m de largo. Aproximadamente, ¿cuánto es 9 000 m de largo, si se mide en cantidades de krill?  32.

Explica cómo puedes decir sin multiplicar que 7 3 600 y 700 3 6 tienen el mismo valor.

Datos sobre el krill • El krill es una fuente principal de alimento para animales marinos y aves. • El krill antártico adulto mide cerca de 5 cm de largo. • 30 unidades de krill antártico pesan cerca de 28 g. • Un krill pone cerca de 8 000 huevos a la vez.

Comprensión de los Aprendizajes 33. ¿Cuál es el valor de n 2 15 si n 5 40? 34. ¿Cuánto es 4 096 redondeado a la centena

más cercana?

35. Preparación para la prueba  En un campo, hay

90 hileras de plantas de fresa. Cada hilera contiene 600 plantas. ¿Cuántas plantas de fresa hay en el campo? A 54

C 5 400

B 540 D 54 000

Práctica adicional en la página 56, Grupo A

Libro 5.indb 39

Capítulo 2 39

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

2 Estimar Productos

Repaso rápido

OBJETIVO: Estimar productos usando el redondeo y la forma desarrollada de los números.

1. 3 3 600

2. 5 3 3 000

3. 70 3 90

4. 80 3 50

5. 90 3 40

Aprende PROBLEMA  Una compañía desea comprar una cantidad de maderos equivalente a 360 m2 para construir 4 cabañas pequeñas. El señor Ramírez tiene12 hectáreas de tierra. Cada hectárea tiene suficientes árboles como para obtener un promedio aproximado de 40 m2 de maderos. ¿Tiene el señor Ramírez suficientes árboles para venderle a la compañía para que construya las 4 cabañas? No es necesario saber la cantidad exacta de metros cuadrados de maderos en las 12 hectáreas, por lo tanto puedes estimarla.

Ejemplo  Haz una estimación 405 3 12. Paso

Paso

Redondea ambos factores al primer dígito.

Usa la operación básica y los patrones de múltiplos de 10 para hallar la estimación.

12 3 40 ↓ ↓ 10 3 40

10 3 40 5 10 3 4 3 10 5 4 3 100 5 400

Ya que el señor Ramírez tiene árboles suficientes para producir 400 m2 de maderos, puede por tanto, vendérselos a la compañía. •  ¿Es 400 una sobreestimación de 12 3 40 o una subestimación? Explica tu respuesta.  

Más ejemplos   Operación básica y un múltiplo de 10

 Operación básica y dos múltiplos de 10

6 3 593 ↓ 6 3 600 5 3 600

 Operación básica con números mayores

92 3 79 ↓ ↓ 90 3 80 5 7 200

48 3 42 ↓ ↓ 50 3 40 5 2000

  Cantidad aproximada a la siguiente cifra sin decimales 16 3 12,95 ↓ 16 3 13 5 208

40

Libro 5.indb 40

24-01-13 10:07

Práctica con supervisión Estima el producto. Paso 1.

Paso 28 3 31 ↓ ↓  3 30

 3 30 5  3 10 3 3 3  5  3 100  5

2. 76 3 41 3. 122 3 6 4. 96 3 18

 5. 32 3 72

 6. 4 3 612

Explica por qué a veces puedes estimar en lugar de hallar una respuesta exacta.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima el producto.  8. 53 3 22

9. 96 3 51

10. 37 3 13

11. 62 3 94

12. 82 3 5

13. 28 3 49

14. 76 3 92

15. 56 3 31

16. 29 3 70

17. 24 3 65

18. 16 3 73

19. 23 3 50

20. 58 3 32

21. 21 3 27

22. 32 3 89

USA DATOS  Para 23–25, usa la tabla. 23. La Sociedad de Conservación recaudó $4 000

Gastos de la Sociedad de Conservación

para comprar 8 magnolias para el parque de una ciudad. Haz una estimación para hallar si el grupo recaudó suficiente dinero para comprar los árboles. 

Árboles y arbustos Magnolia Adelfa

24. La Sociedad de Conservación tiene $1 000 para

invertir en 21 arbustos de adelfa que serán plantados a lo largo de una senda para bicicletas. Haz una estimación para saber si tiene dinero suficiente para comprar los arbustos. 25. Formula un problema  Vuelve al Problema 23.

26.

Escribe un problema similar cambiando el tipo de planta y los números. 

Costo $412 $33

Camelia

$129

Hibisco

$54

Estima el producto 27 3 48. Explica si se trata de una sobreestimación o de una subestimación.

Comprensión de los Aprendizajes 27. ¿Qué número decimal es mayor, 3,092 o 3,598? 28. Clasifica los pares de líneas como paralelas o

perpendiculares. 

30. Preparación para la prueba  Un auto recorre

aproximadamente 75 km desde Los Andes hasta Santiago. Estima el número de km que hay en 34 viajes desde Los Andes hasta Santiago.  A 3 000 km C 3 400 km

29. 40 3 60 5

Práctica adicional en la página 56, Grupo B

Libro 5.indb 41

B 2 400 km D 4 400 km

Capítulo 2 41

24-01-13 10:07

3

La propiedad distributiva OBJETIVO: Representar la multiplicación usando la propiedad distributiva.

Repaso rápido 1. 6 3 7

2. 4 3 8

3. 9 3 50

4. 7 3 30

5. 8 3 80

Vocabulario Propiedad distributiva

Materiales ■ papel cuadriculado ■ tijeras

La propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos. Por ejemplo: 6 3 18 5 6 3 (10 1 8) 5 (6 3 10) 1 (6 3 8) Puedes usar una cuadrícula y la propiedad distributiva para resolver problemas de multiplicación. Traza una matriz en el papel cuadriculado para hallar 12 3 27. Corta uno de los factores para descomponer la matriz en dos partes. Corta la matriz más pequeña en otras dos partes cuyos productos conozcas. Una matriz debe mostrar la multiplicación de las decenas, y la otra, la multiplicación de las unidades. Halla el producto de cada matriz. Suma los productos de las matrices para hallar el producto de la matriz original.

Sacar conclusiones 1. ¿Cómo ilustran las matrices la propiedad distributiva? 2. ¿Tiene importancia qué factor descompones cuando

usas la propiedad distributiva? Usa el modelo para explicar tu respuesta. 3. Análisis  ¿Podrías haber descompuesto el factor de

otra manera, en lugar de descomponerlo en decenas y unidades? ¿Habría sido más fácil o más difícil hallar el producto de 12 3 27? Explica tu respuesta.

42

Libro 5.indb 42

24-01-13 10:07

Puedes usar la propiedad distributiva para multiplicar sin usar matrices.

Paso

Paso

Multiplica 13 3 29.

Usa la propiedad distributiva.

Escribe el mayor factor en forma desarrollada.

13 3 29 5 13 3 (20 1 9) 5 (13 3 20) 1 (13 3 9) Multiplica para hallar los productos parciales. 5 260 1 117 Suma los productos parciales. 5 377

13 3 29 5 13 3 (20 1 9)

Por lo tanto, 13 3 29 5 377. En el modelo, la matriz se ha descompuesto en dos partes. En el Paso 2, la forma desarrollada de un factor se multiplica por el otro factor para formar dos productos parciales. 

¿De qué manera multiplicar por la forma desarrollada del número hace que sea más fácil hallar el producto?

Halla el producto. 1. 2.

11 3 2 8 3 17

11 3 22

Traza un modelo para hallar el producto usando la propiedad distributiva. 3. 6 3 14

4. 3 3 25

 5. 5 3 37

 6. 11 3 16

Usa la propiedad distributiva para hallar el producto. Muestra tu trabajo. 7. 7 3 15

8. 9 3 54

9. 34 3 8

11. 6 3 23

12. 8 3 36

13. 9 3 82

14. 11 3 43

15. 56 3 12

16. 44 3 14

17. 15 3 27

18. 18 3 35

Álgebra

Usa la propiedad distributiva para resolver n.

19. 7 3 98 5 (7 3 90) 1 (7 3 n)

20. 3 3 45 5 (3 3 n) 1 (3 3 5)

21. n 3 13 5 (9 3 10) 1 (9 3 3)

22. 4 3 56 5 (4 3 60) 2 (4 3 n)

23.

10. 5 3 75

¿De qué manera usar la propiedad distributiva hace que sea más fácil hallar el producto?

Capítulo 2 43

Libro 5.indb 43

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Multiplicar por números de 1 dígito

Calcula el producto.

OBJETIVO: Multiplicar por un número de 1 dígito.

1. 4 3 672

2. 335 3 3

3.  1 806 3 7

4. 5 3 7 891

5.  8 288 3 4

Aprende PROBLEMA  Todos los días, una aerolínea tiene seis vuelos de aviones 747 desde New York hasta París. Si cada vuelo transporta un promedio de 238 pasajeros, ¿cuántos pasajeros vuelan en esta aerolínea todos los días desde New York hasta París?

t L a altitud de crucero de un avión 747 es de 9 000 m. El tiempo de vuelo desde París hasta New York es de aproximadamente 7 horas y 55 minutos.

Usa la propiedad distributiva.

Ejemplo  Multiplica. 6 3 238   Haz una estimación. 6 3 200 5 1 200 Recuerda que la propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos.

Paso Escribe el mayor factor en forma desarrollada. 6 3 238 5 60 3 (200 1 30 1 8)

Paso Multiplica cada sumando por 6. 6 3 238 5  6 3 (200 1 30 1 8) 5 (6 3 200) 1 (6 3 30) 1 (6 3 8) 5 1 200 1 180 1 48 5 1 428

Multiplica para hallar los productos parciales. Suma los productos parciales.

Compara el producto con la estimación. Dado que 1 428 se aproxima a 1 200, es una respuesta razonable. Por lo tanto, todos los días, la aerolínea transporta un promedio de 1 428 pasajeros desde New York hasta París.

La expresión 6 3 238 se puede leer de maneras diferentes. •  6 grupos de 238 •  el producto de 6 y 238 •  6 veces 238

44

Libro 5.indb 44

24-01-13 10:07

Usa el valor posicional y el reagrupamiento.

Paso

Paso

Multiplica las unidades. 6 3 8 5 48 unidades Reagrupa.

Paso

Multiplica las decenas. 6 3 3 decenas 5 18 decenas Suma las 4 decenas reagrupadas. 18 decenas 1 4 decenas 5 22 decenas

4

Multiplica las centenas. 6 3 2 centenas 5 12 centenas Suma las 2 centenas reagrupadas. 12 centenas 1 2 centenas 5 14 centenas

2 4

238 3 6 8

238 3 6 28

2 4

238 3 6 1 428

•  ¿En qué se parece multiplicar con reagrupamiento a usar la propiedad distributiva? ¿En qué se diferencia?

Más ejemplos  Valor posicional y reagrupamiento 1 2

  Valor posicional y reagrupamiento 3 4

5 628 3 3 16 884

44 036 3 8 352 288

Para multiplicar un número mayor por un número de 1 dígito, usa el mismo método que usaste para multiplicar por un número de 2 o de 3 dígitos. Simplemente, repite los pasos con todos los dígitos del número mayor.

  Propiedad distributiva 7 3 9 184 5 7 3 (9 000 1 100 1 80 1 4) 5 (7 3 9 000) 1 (7 3 100) 1 (7 3 80) 1 (7 3 4) 5 63 000 1 700 1 560 1 28 5 64 288

Práctica con supervisión Copia y completa. 1. 4 3 283 5 4 3 (200 1 80 1 j)

2. 5 3 769 5 j 3 (j 1 60 1 9)

5 (4 3 200) 1 (j 3 80) 1 (4 3 3)

5 (5 3 j) 1 (5 3 j) 1 (5 3 j)

5 800 1 j 1 12 5 j 1 300 1 j 5 j

5j

Haz una estimación. Luego halla el producto. 3. 36 3 7

4. 497 3 3

5. 208 3 8

7. 821 3 5

8. 4 3 915

9. 3 006 3 9

11.

 6. 556 3 4  10. 9 682 3 2

Explica cómo hallar el dígito que ocupa el lugar de las centenas en el producto de 731 3 7.

Capítulo 2 45

Libro 5.indb 45

24-01-13 10:07

Práctica independiente y resolución de problemas Estima. Luego halla el producto. 12. 32 3 4 13. 85 3 5 14. 709 3 2 15. 573 3 4 16. 625 3 3

17. 423 3 7 18. 716 3 5 19. 11 808 3 8 20. 32 045 3 6 21. 42 531 3 9

22. 632 3 4

23. 709 3 9

24. 4 625 3 3

28. 8 576 3 7

29. 34 253 3 6

25. 5 473 3 2

26. 5 3 3 954

27. 1 739 3 8

Resuelve para hallar el número que falta. Álgebra 30. 6 3 5 396 5  31. 8 3 5 179 5 

32. 5 3 42 736 5 

USA DATOS Para 34–40, usa la tabla.

Tarifas aéreas de ida y vuelta desde Santiago

34. ¿Cuánto le costaría a una familia de cuatro

integrantes un vuelo de ida y vuelta desde Santiago hasta Buenos Aires?

Destino

35. El grupo de teatro de U. de Chile viaja desde

Santiago hasta Chicago para una actuación. Hay 6 actores y 3 acompañantes. ¿Cuánto costarán en total los pasajes de avión? 36. Pamela manejó, de ida y vuelta, desde Santiago

hasta Buenos Aires. Pagó US$452 por el combustible y una noche de estadía en un hotel. ¿Cuánto menos habría pagado Pamela si hubiera volado de ida y vuelta desde Santiago hasta Buenos Aires en un día? 37. El señor Pérez hizo varios viajes de negocios.

Volando desde Santiago, fue hasta Sydney y Chicago una vez, hasta Tokio y París dos veces y hasta Londres cuatro veces. ¿Cuál fue el costo total de los pasajes de avión del señor Pérez? 39. ¿Cuántas veces podría una persona volar de

ida y vuelta desde Santiago hasta Chicago antes de que el costo fuera mayor que el de volar una sola vez desde Santiago hasta Sydney, Australia? 41.

46

Libro 5.indb 46

33. 7 3 135 819 5 

Costo en dólares

Buenos Aires

239

Chicago, IL

140

Londres, Inglaterra

591

París, Francia

883

Tokio, Japón

1 237

Sydney, Australia

1 329

38. El peso de la maleta de un pasajero en cierta

aerolínea no puede exceder los 22 kg. Si una familia de tres integrantes llevó, por persona, dos maletas que pesaban 22 kg cada una, ¿cuál es el peso total de su equipaje? 40. ¿Cuánto más les cuesta a 3 personas viajar de

ida y vuelta desde Santiago hasta Tokio que volar desde Santiago hasta París?

¿Cuál es el error?  Daniel escribió 5 3 2 047 5 (5 3 20) 1 (4 3 4) 1 (4 3 7). Explica su error. Luego escribe correctamente la ecuación.

Práctica adicional en la página 56, Grupo C

24-01-13 10:07

Comprensión de los Aprendizajes 42. Escribe una regla para la tabla usando una

ecuación con la variable x y la variable y.

45. Preparación para la prueba  ¿Cuánto cuestan

6 boletos de tren si un boleto cuesta $3 490?

Entrada

x

6

15

18

23

28

A $6 980

C $20 700

Salida

y

13

22

25

30

35

B $10 470

D $20 940

46. Preparación para la prueba  ¿Qué expresión 43. Escribe 0,7 en forma de fracción cuyo

denominador sea un centésimo. 44. Una tienda de artículos para restaurantes cobra

$76 por una cuchara. ¿Aproximadamente cuánto costarían 38 cucharas?

tiene el mismo valor que 5 3 (900 1 60 1 4)? A 5 3 900 604 B 4 500 1 60 1 4 C 4 500 1 300 1 20 D 45 1 30 1 20

PERCEPCIÓN NUMÉRICA  El matemático Carl Friedrich Gauss, nació en Alemania en 1777. Esta es una anécdota famosa que se cuenta sobre Gauss, cuando tenía 10 años. El maestro de Gauss les pidió a él y a sus compañeros de clase que sumaran los números del 1 al 100. El maestro se quedó sorprendido cuando, en unos instantes, Gauss se acercó con la respuesta correcta de 5 050. Esta es una manera en que Gauss pudo haber respondido la pregunta.

...

1 1 100 5 101 Empieza con el número mayor y con el número menor. 2 1 99 5 101 Sigue sumando el siguiente número mayor y el siguiente número menor. 3 1 98 5 101 La suma de cada par es 101. Carl Friedrich Gauss 49 1 52 5 101 Este es el último par porque son sumandos consecutivos que dan un total de 101. 50 1 51 5 101 

Hay 50 pares. El primer sumando de cada suma cuenta el número de pares.

Hay 50 sumas de 101, por lo tanto, multiplica 50 3 101.  50 3 101 5 5 050 Usa el método de arriba para hallar la suma de los números. 1. de 1 a 50

2. de 1 a 80

3. de 1 a 200

4. de 1 a 500

Capítulo 2 47

Libro 5.indb 47

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

5

Repaso rápido

Multiplicar por números de 2 dígitos

1. 48 3 4

2. 5 3 23

3. 85 3 4

4. 50 3 70

5. 83 3 2 

OBJETIVO: Multiplicar por un número de 2 dígitos.

Aprende PROBLEMA  Ana vive en Puerto Montt y planea ir en bicicleta hasta Valdivia. Quiere hacer unas pocas excursiones a lo largo del camino. Planea viajar alrededor de 18 km cada día durante 12 días. ¿Cuántos kilómetros en total planea recorrer Ana en bicicleta?

Ejemplo  Multiplica. 18 3 12 Paso

Valdivia

La distancia entre Valdivia y Puerto Montt es más o menos 216 km

Haz una estimación. 20 3 10 5 300

Paso

Multiplica por las unidades. 1

1 831 2 36

Pto. Montt

Paso

Multiplica por las decenas.

Suma los productos parciales.

1

1

1 831 2 36 1 80

1 831 2 36 1 80 2 16

productos parciales

Por lo tanto, Ana planea recorrer en bicicleta 216 km. Dado que este número es cercano a la estimación de 300, es una respuesta razonable. •  En el Paso 2, ¿por qué el producto parcial de 180 tiene un cero en el lugar de las unidades?

Más ejemplos  Dinero

  Factor de 2 dígitos

5 3

$ 2 837 4 1 1 2 ← 4 3 28 + 1 9 6 0 ← 70 3 28 $2 072

  Dos factores de 2 dígitos

6 2

8 139 5 4 0 5 ← 5 3 81 + 7 2 9 0 ← 90 3 81 7 695

6 933 7 ← 7 3 69 483 ← 30 3 69 2 070 2 553

48

Libro 5.indb 48

24-01-13 10:07

Práctica con supervisión Halla los números que faltan. 1.

4 531 7 3 1 5 ← 45 3  + 4 5 0 ← 45 3  765

2.

6 832 9 6 1 2 ←  3  + 1 3 6 0 ←  3  1 972

3.

5 733 8 4 5 6 ←  3  + 1 7 1 0 ←  3  

Haz una estimación. Luego, halla el producto.  4. 22 3 19 5. 30 3 36 6. 41 3 54

7. $53 3 85

8. 68 3 67

Práctica independiente y resolución de problemas Haz una estimación. Luego, halla el producto. 9. 29 3 53 10. 60 3 72 11. 72 3 46 12. $41 3 81 13. 30 3 19 14. 22 3 34

15. 43 3 50

16. 25 3 18

17. 52 3 70

18. 93 3 25

Resuelve. 19. Mientras Pablo anda en bicicleta, su frecuencia

21. Sandra se entrenó para una carrera de

cardíaca llega a 98 latidos por minuto durante 5 minutos. Durante este período de 5 minutos, ¿cuántas veces late el corazón de Pablo?  20.

bicicletas recorriendo 95 kilómetros por día, 4 días por semana, durante 8 semanas. ¿Cuál es la cantidad total de kilómetros que Sandra recorrió para entrenarse? 

¿Cuál es la pregunta?  Un artista de circo, tiene una bicicleta cuyas ruedas miden 27 cm, recorre alrededor de 85 cm por cada revolución de las ruedas. Las ruedas dan 78 revoluciones. La respuesta es 6 630 cm. 

27cm

aprox. 216 cm

Comprensión de los Aprendizajes 22. El perímetro de un jardín cuadrado mide

196 metros. ¿Cuál es la longitud de cada lado? 23. Romina corrió 3,6 km el martes y 3,48 km el

miércoles. ¿Qué día corrió Romina la mayor distancia?

24. ¿Qué número hace que el enunciado sea

4 3 29 5 (4 3 n) 1 (4 3 9) es verdadero? 25. Preparación para la prueba  ¿Cuánto dinero

gana una tienda que exporta 57 libros a US$72 dólares US$ cada una? A US$129 C US$4 104 B US$3 600 D US$3 990

Práctica adicional en la página 57, Grupo D

Libro 5.indb 49

Capítulo 2 49

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

6

Repaso rápido

Practicar la multiplicación OBJETIVO: Practicar la multiplicación por números de 1 y 2 dígitos.

1. 90 3 40

2. 40 3 61

3. 74 3 5 

4. 96 3 27

5. 30 3 40 

Aprende PROBLEMA  El peso de un elefante macho africano puede ser 85 veces mayor que el peso de un león joven. Si un león joven pesa en promedio alrededor de 72 kg, ¿cuánto podría pesar un elefante macho africano?

Ejemplo Multiplica. 85 3 72 Paso

Haz una estimación. 90 3 70 5 6 300

Paso

Multiplica por las unidades.

Paso

Multiplica por las decenas.

1

8 537 2 170

Suma los productos parciales.

3 1

3 1

8 537 2 170 +5 950

8 537 2 170 +5 950 6 120 p La trompa de un elefante africano contiene más de 40 000 músculos.

Por lo tanto, un elefante macho africano puede pesar unos 6 120 kg. Este número se acerca a la estimación de 6 300; por lo tanto, la respuesta es razonable.

Más ejemplos   Multiplica por 1 dígito.

  Multiplica por 2 dígitos.

5

3 639 32 4

  Usa la propiedad distributiva.

1 2

5 4336 324 +1 620 1 944

ADVERTENCIA ADVERTENCIA Cuando multiplicas por las decenas, coloca un cero en el lugar de las unidades para alinear los valores posicionales.

20 3 32 5 20 3 (30 1 2) 5 (20 3 30) 1 (20 3 2) 5 600 1 40 5 640

50

Libro 5.indb 50

24-01-13 10:07

Práctica con supervisión 1. Copia cada paso del problema de la

Paso

derecha. Luego di qué sucede en cada paso.

5

3. 4 3 655

Paso 1 5

5 2 837 6

Haz una estimación. Luego, halla el producto. 2. 201 3 5

Paso

1 5

5 2 837 96

4. 33 3 31

5 2 837 3 696

 5. 42 3 29

 6. 87 3 36

Explica por qué es importante el valor posicional cuando multiplicas.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Haz una estimación. Luego, halla el producto. 8. 16 3 6 9. 43 3 8 10. 35 3 9 11. 15 3 4 12. 14 3 8 13. 57 3 31

14. 18 3 55

15. 81 3 36

16. 64 3 54

17. 73 3 13

USA DATOS  Para 18–19, usa la tabla. 18. ¿Cuántos kilogramos de alimento come un león

Alimentación de los animales

en un año? (1 año 5 365 días.) 19.

Animal

¿Tiene sentido o no?  Miguel dice que el producto de un número de 1 dígito y un número de 2 dígitos es un número de 4 dígitos. ¿Tiene sentido el enunciado de Miguel? ¿Por qué?

Alimento diario (en kg)

gorila

20

hipopótamo

75

león

8

Hipopótamo

Comprensión de los Aprendizajes 20. ¿Qué dígito está en el lugar de los millones en

el número 146 378 920? 21. María está leyendo un libro de 98 páginas. Lee

15 páginas todos los días durante 6 días. ¿Cuántas páginas le quedan por leer a María?

22. Preparación para la prueba  La entrada a

un museo de historia natural cuesta $2 473 por persona. ¿Cuánto dinero pagan en total 6 visitantes en un día por concepto de entradas? A $12 428 B $12 838 C $14 828 D $14 838

Práctica adicional en la página 57, Grupo E

Libro 5.indb 51

Capítulo 2 51

24-01-13 10:07

LE C C

N IÓ

7 Estrategia: Predecir y probar

OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia predecir y probar.

Aprende la estrategia A veces, es posible que no estés seguro de cómo resolver un problema. Otras veces, puede haber muchas maneras de resolver un problema, pero no estás seguro de cuál es la mejor. Puedes predecir una solución para el problema, y luego probar y revisar la solución hasta que tu respuesta sea correcta.

Usa la estimación y la percepción numérica para predecir y probar. El producto de 8 y un número es 504. ¿Cuál es el número?

Estimación: Puedo redondear 8 a 10. ¿Qué puedo multiplicar por 10 para que me dé un producto que se aproxime a 500? 10 3 50 5 500 Piensa: Para obtener un producto que termine en 4, 8 se debe multiplicar por un número que termine en 3 o en 8. El número debe acercarse a la aproximación, 50. Predice: 58 o 63. Prueba: 58 3 8 5 104, que es demasiado alto. 63 3 8 5 504, por lo tanto, 63 es la solución al problema.

Usa patrones para predecir y probar. Hay 50 problemas en un examen. Por cada respuesta correcta, se dan 2 puntos. Por cada respuesta incorrecta, se pierde 1 punto. En el examen, Tina obtuvo 91 puntos. ¿Cómo puede determinar Tina el número de problemas en los que se equivocó?

Predecir

Examen

Correcta

Incorrecta

Puntuación

Patrón

50

0

(50 3 2) 2 0 5 100

49

1

(49 3 2) 2 1 5 97

restar 3

demasiado alta

48

2

(48 3 2) 2 2 5 94

restar 3

demasiado alta

47

3

(47 3 2) 2 3 5 91

restar 3

correcta

demasiado alta

Tina puede predecir el número de respuestas en las que se equivocó, haciendo una tabla para hallar un patrón. Cada respuesta incorrecta resta 3 puntos. Tina puede restar 3 puntos de 100 hasta que alcance su puntuación. Luego puede usar la tabla para hallar el número de problemas en los que se equivocó.

Revisa tu predicción cuando tu suposición no sea la solución. Vuelve a leer el problema y halla un método que te ayude a hacer una predicción que se aproxime a la respuesta real.

¿Cómo revisas tu predicción si la solución que probaste es demasiado grande o demasiado pequeña?

52

Libro 5.indb 52

24-01-13 10:07

Usa la estrategia PROBLEMA Jorge está tomando lecciones de natación y de fútbol mientras está en el campamento. Hasta ahora, Jorge ha pagado $11 600. Si las lecciones de natación cuestan $800 y las lecciones de fútbol cuestan $1 500 cada una, ¿cuántas lecciones de cada tipo ha tomado Jorge?

• Resume lo que te piden hallar. • ¿Qué información no se da?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes predecir y probar para tratar de resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Haz una tabla para mostrar tus predicciones y pruebas. Tu tabla debe tener suficientes hileras para incluir varias predicciones. Empieza haciendo una estimación y usando la percepción numérica. Diez lecciones de natación cuestan $8 000; diez lecciones de fútbol cuestan $15 000 y diez de cada una cuestan $23 000. Cinco lecciones de cada tipo costarían la mitad, o $11 500.

Predecir

Probar

Revisar

5 lecciones de natación, 5 lecciones de fútbol

(5 3 $800) 1 (5 3 $1 500) 5 $4 000 1 $7 500 5 $11 500

demasiado baja pero se acerca, intenta con una lección de natación menos y una lección de fútbol más

4 lecciones de natación, 6 lecciones de fútbol

(4 3 $800) 1 (6 3 $1 500) 5 $3 200 1 $9 000 5 $12 200

demasiado alta, trata de ajustar los números de otra manera

6 lecciones de natación, 4 lecciones de fútbol

(6 3 $800) 1 (4 3 $1 500) 5 $4 800 1 $6 000 5 $10 800

demasiado baja; faltan solo $800, necesitas 1 lección de natación más

7 lecciones de natación, 4 lecciones de fútbol

(7 3 $800) 1 (4 3 $1 500) 5 $5 600 1 $6 000 5 $11 600

correcta

Por lo tanto, Jorge ha tomado 7 lecciones de natación y 4 lecciones de fútbol.

• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? • ¿Tiene sentido tu respuesta para el problema?

Capítulo 2 53

Libro 5.indb 53

24-01-13 10:07

Resolución de problemas con supervisión 1. Sofía va a un campamento de aventura de deportes acuáticos. Está

aprendiendo a bucear y a hacer esquí acuático. Las lecciones de buceo cuestan $7 500 por día y las lecciones de esquí cuestan $5 600 por día. Hasta ahora, Sofía ha pagado $50 500. ¿Cuántas lecciones de cada tipo ha tomado Sofía? Primero, predice el número de lecciones de buceo y el número de lecciones de esquí que ha tomado.

Predecir

Luego, prueba la predicción comparando el costo con $50 500.

Probar

Revisar

4 lecciones de buceo 4 lecciones de esquí

(4  $7 500)  (4  $5 600)  demasiado alta; intenta con $52 400 una lección de buceo menos

3 lecciones de buceo 4 lecciones de esquí

demasiado baja; piensa: (3  $7 500)  (4  $5 600)  ¿cuánto mayor es $50 500 $44 900 que $44 900?



?



Finalmente, revisa tu predicción si es necesario. Repite hasta que tu solución concuerde con la información dada en el problema.

3. En el campamento, Luis está fabricando

2. ¿Qué pasaría si Sofía hubiera gastado $58 000

billeteras y señaladores de libros. Los adornos para los señaladores cuestan $300 y los adornos para las billeteras cuestan $800. Luis gastó $3 400 en adornos. ¿Cuántos señaladores y cuántas billeteras está planeando fabricar?

en las lecciones de buceo y de esquí? ¿Cuántas lecciones de cada tipo habría tomado?

Resolución de problemas con supervisión Predecir y probar para resolver.

Actividades del campamento

USA DATOS Para 4–6, usa la tabla.

Actividad

4. El lunes y el martes, Carlos realizó una

combinación diferente de actividades en el campamento. Realizó tres actividades diferentes cada día. Pagó $12 000 por las actividades del lunes y pagó $17 000 por las actividades del martes. ¿Qué actividades realizó Carlos cada día?

6.

5. Razonamiento  Amanda hizo dos tipos

diferentes de actividades cada día, desde el lunes hasta el sábado. La tabla siguiente muestra la cantidad que pagó por día. ¿Cuáles son las dos actividades que Amanda hizo cada día? Día Cantidad

lun.

mar.

mié.

jue.

vie.

$7 000 $13 000 $12 000 $9 000 $11 000

Costo

natación

$4 000 por día

arquería

$3 000 por día

equitación

$8 000 por día

buceo

$5 000 por día

Describe tres maneras en que un campista podría gastar $15 000 o menos por 3 días de actividades, haciendo una actividad cada día.

sáb. $8 000

54

Libro 5.indb 54

24-01-13 10:07

Práctica de estrategias mixtas USA DATOS  Para 7–12, usa la información de la tabla. 7. David va a ir a un campamento de artes escénicas durante 2 semanas. Ha ahorrado $5 110 y su padre aportará $2 500. ¿Cuánto dinero más necesitará ahorrar David para pasar dos semanas en el campamento? 8. Cynthia va a un campamento de informática durante una

semana. Pagará el costo semanal del campamento y necesita comprar útiles. Necesita comprar 10 CD en blanco a $100 cada uno, una resma de papel para imprimir a $3 500 y unos auriculares a $7 000. ¿Cuánto dinero en total necesita Cynthia? 9. Valentina decidió no ir al campamento de astronautas porque

era demasiado caro. En su lugar, quiere ir a un campamento de surf. ¿Durante cuántas semanas puede ir al campamento de surf en lugar de ir una semana al campamento de astronautas? 10.

11.

Formula un problema  Vuelve al Problema 8. Escribe un problema similar cambiando el tipo de campamento, los útiles necesarios y los números. Problema abierto  La abuela de Héctor le dio $30 000 para ir al campamento de verano. Describe otras maneras en que Héctor pudo gastar el dinero para ir a campamentos diferentes durante cantidades de tiempo diferentes.

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfica Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

Campamentos de verano Tipo de campamento

Costo semanal

Astronauta

$16 350

Informática

$13 330

Artes escénicas

$6 250

Surf

$3 140

12. José ganó 3 veces más insignias al mérito que Juan en

el campamento de exploradores. Juan ganó 3 insignias al mérito menos que Jorge. Jorge ganó 6 insignias al mérito. ¿Cuántas insignias al mérito ganó José y cuántas ganó Juan?

ESFUÉRZATE Mientras David está en el campamento, envía una postal a su mamá y a su papá cada dos días y una postal a su abuela cada cinco días. 13. David ha enviado un total de 9 postales. ¿Cuál es el menor número de días que David pudo haber estado en el campamento? 14. Si David pasa todo el mes de julio en el

campamento, ¿cuántas veces enviará una postal a sus padres y a su abuela el mismo día? Explica cómo hallaste la respuesta.

Capítulo 2 55

Libro 5.indb 55

24-01-13 10:07

Práctica adicional Grupo A  Usa el cálculo mental para hallar el producto. 1. 30 3 60

2. 9 3 400

3. 5 3 70 4. 10 3 60

5. 40 3 80 6. 9 3 50

7. 20 3 80

8. 40 3 12

9. 8 3 70 10. 5 3 60 11. 70 3 30

12. 50 3 80

13. 2 3 90 14. 30 3 13 15. 90 3 60

16. 50 3 14

17. El señor López encargó 8 cajas de lápices.

18. Cada paquete de tachuelas contiene

En cada caja hay 70 lápices ¿Cuántos lápices encargó?

120 tachuelas. ¿Cuántas tachuelas hay en 30 paquetes?

Grupo B  Estima el producto. 1. 42 3 23

2. 98 3 61

5. 72 3 51 6. 87 3 29

3. 34 3 17 4. 82 3 39 7. 48 3 32

8. 68 3 51

9. 23 3 61 10. 46 3 58 11. 18 3 47

12. 42 3 88

13. 31 3 75 14. 53 3 38 15. 19 3 17

16. 42 3 23

17. Una tienda encargó 48 cajas de tarjetas. Cada

18. Una tienda vendió 272 agendas. Cada agenda

caja tiene 112 tarjetas. ¿Aproximadamente cuántas tarjetas encargó la tienda? 

costó $1 200. ¿Aproximadamente cuánto ganó la tienda por las agendas? 

Grupo C  Halla el producto. Estima para comprobar. 1. 73 3 6 2. 49 3 3 3. 50 3 8 4. 639 3 2 5. 391 3 7 6. 45 3 6 7. 21 3 9 8. 50 3 7 9. 39 3 4 10. 41 3 8 11. 82 3 4

12. 9 3 26

13. 470 3 6 14. 3 3 74 15. 90 3 5

16. 6 3 265

17. Clara vendió 6 talonarios de boletos de rifa.

Cada talonario contiene 32 boletos de rifa. ¿Cuántos boletos de rifa vendió en total? 

18. Diego leyó los 8 libros de una serie policial.

Si cada libro tiene 245 páginas, ¿cuántas páginas leyó en total? 

56

Libro 5.indb 56

24-01-13 10:07

Grupo D  Halla el producto. Estima para comprobar. 1. 38 3 17 2. 50 3 24 3. 23 3 32 4. 19 3 78 5. 40 3 86 6. 20 3 46 7. 71 3 34 8. 18 3 16 9. 81 3 57 10. 20 3 63 11. 58 3 43 12. 50 3 13

13. 90 3 83 14. 19 3 36 15. 14 3 26 16. 41 3 73 17. 83 3 60

18. 19 3 46 19. 7 3 30 20. 19 3 27

21. El señor Carter recorre 135 kilómetros en

22. Paint Plus vendió 3 litros de pintura

bicicleta cada semana. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 semanas? 

a $2 700 el litro. ¿Cuánto fue el total de ventas de la pintura? 

Grupo E  Halla el producto. Estima para comprobar. 1. 24 3 7 2. 39 3 4 3. 27 3 5 4. 69 3 3 5. 72 3 6 6. 21 3 37 7. 82 3 15 8. 41 3 40 9. 40 3 28 10. 30 3 52 11. 27 3 9 12. 84 3 62

13. 72 3 58 14. 27 3 29 15. 20 3 21 16. 45 3 37 17. 10 3 72

18. 63 3 50 19. 51 3 40 20. 9 3 12

21. En un envío hay 5 cajas de papel. Cada caja

contiene 450 hojas de papel. ¿Cuántas hojas de papel hay en el envío? 

22. Una compañía saca a la venta 32 boletines

informativos cada semana. ¿Cuántos boletines sacará a la venta la compañía en 8 semanas? 

Capítulo 2 57

Libro 5.indb 57

24-01-13 10:08

Repaso/Prueba del Capítulo 2 Comprueba el vocabulario y los conceptos Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro para el Ejercicio 1.        1. La — ​  ?  ​ establece que multiplicar una suma por un número

Propiedad distributiva producto parcial

es igual que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos.

2. Explica cómo puedes usar la propiedad distributiva para que sea

más fácil hallar un producto.

Comprueba tus destrezas Halla el producto. 3. 80 3 20

4. 6 3 90

5. 70 3 50

6. 4 3 30

10. 21 3 49

11. 91 3 32

7. 40 3 30

Estima el producto. 8. 38 3 61

9. 56 3 87

12. 197 3 2

Haz una estimación. Luego halla el producto. 13. 56 3 8 14. 782 3 5 15. 918 3 3 16. 43 3 29 17. 72 3 15 18. 428 3 7

19. 5 3 3 105

20. 26 3 73

21. 85 3 39

22. 2 3 602

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 23. En la feria de libros, los libros encuadernados

en pasta cuestan $7 000 cada uno y los libros en rústica cuestan $2 000 cada uno. Doris gastó $40 000 en libros en la feria. ¿Cuántos libros de cada tipo compró?  25. 

24. El señor Lobos gastó $12 900 en boletos para

el concierto. Los boletos costaron $1 800 para los adultos y $1 500 para los niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo compró? 

  Estima el producto de 93 3 62. Explica cómo sabes

si la estimación es mayor o menor que el producto real.

58

Libro 5.indb 58

24-01-13 10:08

Enriquecimiento • Propiedad distributiva Los estudiantes están observando fósiles organizados en 4 cajas de exhibición. Cada caja contiene 140 fósiles. ¿Cuántos fósiles hay? Puedes usar números compatibles y la propiedad distributiva para hallar el producto mentalmente. Ejemplo Halla 4 3 140. 4 3 140 5 4 3 (100 1 40) 5 (4 3 100) 1 (4 3 40) 5 400 1 160 5 560

Descompón 140 en números compatibles. Piensa: 140 5 100 1 40 Usa la propiedad distributiva. Multiplica mentalmente. Suma mentalmente.

Fósil

Por lo tanto, hay 560 fósiles. Otro Ejemplo Halla 6 3 48. 6 3 48 5 6 3 (m 2 n) 5 (6 3 m) 2 (6 3 n) 5 (6 3 50) 2 (6 3 2) 5 300 2 12 5 288

Descompón Descompón 48 48 en en números números compatibles. compatibles. Piensa: 48 5 50 2 2 Sea m 5 Piensa: 48 5 50 2 2 Sea m 5 50 50 yy n n5 5 2. 2. Usa Usa la la propiedad propiedad distributiva. distributiva. Multiplica Multiplica mentalmente. mentalmente. Resta mentalmente. Resta mentalmente.

Inténtalo    Usa números compatibles y la propiedad distributiva para hallar mentalmente el producto. 1. 2 3 156

2. 3 3 197

3. 5 3 210

4. 8 3 525

5. 6 3 395 6. 4 3 550 7. 2 3 176 8. 4 3 485 5. 6 3 395 6. 4 3 550 7. 2 3 176 8. 4 3 485 9.  Desafío En la tienda de regalos del museo, los libros de calcomanías cuestan D esafío En la tienda de regalos del4 museo, loscalcomanías? libros de calcomanías cuestan 9.  $6.50 cada uno. ¿Cuánto cuestan libros de

$650 cada uno. ¿Cuánto cuestan 4 libros de calcomanías? Explica cómo hallarías mentalmente 3 3 9,998. Explica cómo hallarías mentalmente 3 3 9 998.

Capítulo 2  59

Libro 5.indb 59

24-01-13 10:08

Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 1-2

Percepción numérica

Geometría 5. ¿Qué cuerpo geométrico tiene 6 caras? 

Eliminar opciones. Mira el ítem 1. Halla las respuestas en las cuales se compara solamente la población de Curicó y de Talca. Luego elige la comparación correcta.

A pirámide cuadrada B cubo C cono D prisma triangular

6. Alberto está haciendo una copia de la bandera

chilena. Cada lado de la estrella de la bandera mide 4 cm.

1. ¿En qué respuesta se compara correctamente

la población de Curicó y de Talca? 

Población en 2011

4 cm

Ciudad

Población

Talca

20 851 820

Arica

11 353 140

Curicó

33 871 648

¿Cuál es el perímetro de la estrella? 

A 33 871 648 . 20 851 820

A 28 cm

B 33 871 648 , 20 851 820

B 32 cm

C 33 871 648 . 11 353 140

C 36 cm

D 20 851 820 , 11 353 140

D 40 cm

2. Un agricultor plantó 4 608 plantas de alcachofa

en 8 hileras iguales. ¿Cuántas plantas de alcachofa hay en cada hilera?  A 576

C 586

B 581

D 601

7.

Explica cómo hallarías el área de una bandera que mide 6 m de largo y 4 m de ancho.

3. ¿Cuál de los siguientes decimales es 3 equivalente a ​ __ 10   ​?

A 3,0 B 0,3 4.

C 0,03 D 0,003

Explica cómo calcularías la cantidad total de plantas de alcachofas del ítem 2.

60

Libro 5.indb 60

24-01-13 10:08

Álgebra

Estadística

8. Si f 5 7, ¿cuál es el valor de 28 2 f ?

12. Observa la siguiente tabla. ¿Cuántos

A 4

C 21

B 11

D 35

computadores se vendieron los días 2, 3 y 4?

Ventas de computadores Día 1 2 3 4 5 6

9. Mira la tabla de entradas y salidas.

Entrada

Salida

x

y

12

6

24

12

36

18

48

j

¿Cuál es el número desconocido?  A 96

C 24

B 60

D 20

10. A las 10:00 a.m., la temperatura era de 25 °C.

Computadores vendidos 5 6 6 6 7 2

A 6 + 6

C 6 X 3

B 17

D 23

13. Mira la siguiente tabla.

¿Cuántas revistas más se vendieron en la semana 3 que en la semana 4?

Al mediodía, la temperatura había subido unos grados. ¿Qué expresión muestra la temperatura al mediodía?

Ventas de revistas

A 25 2 t

Semana

Revistas vendidas

1

1 240

2

989

B 25 1 t

3

3 205

C t 2 25

4

2 754

A 1 551

C 551

B 1 441

D 451

D 25 3 t

11.

Explica cómo usarías la propiedad distributiva para hallar 3 3 46. 

Capítulo 2 61

Libro 5.indb 61

24-01-13 10:08

3

Dividir entre divisores de 1 y 2 dígitos La idea importante

La división de números de varios dígitos entre números de 1 y 2 dígitos se basa en el valor posicional y en las operaciones básicas de multiplicación y división.

Para el Desfile del 21 de mayo, las bandas se van a colocar en filas. En cada fila habrá entre 6 y 11 miembros. Elige una de las bandas del cuadro. Divide la banda en filas, cada una con una cantidad igual de miembros. ¿Cúal es la mayor cantidad de miembros que se puede incluir en filas que sean iguales? ¿Y la menor cantidad?

360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 0

Chile

ia Va go lp ar aís o

nt

Sa

illo Qu

ua ah Ta lc

ta

DATO BREVE

no

Cantidad de miembros

Desfile del 21 de mayo Bandas escolares

Bandas escolares

En Talcahuano, 4 mil escolares de distintas ciudades del país participaron en el primer desfile post terremoto, 27 de febrero de 2010, en conmemoración del 21 de mayo.

62

Libro 5.indb 62

24-01-13 10:08

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 3.

u Estimar cocientes Estima el cociente.

1. 130 4 4

2. 230 4 6

3. 280 4 3

4. 340 4 5

5. 500 4 8

6. 520 4 9

7. 390 4 4

8. 640 4 7

9. 400 4 6 

10. 370 4 6 

11. 610 4 8 

12. 200 4 3 

u Ubicar el primer dígito Identifica la posición del primer dígito del cociente.

13. 428 4 5

14. 361 : 2

15. 403 4 7

16. 572 4 9

17. 645 4 3

18. 793 4 4

19. 622 4 8

20. 917 4 6

u Multiplicar por números de 1 y 2 dígitos Halla el producto.

21. 78 3 6

22. 413 3 9

23. 826 3 5

24. 673 3 8

25. 32 3 12

26. 16 3 33

27. 27 3 25

28. 31 3 34

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

expresión algebraica números compatibles dividendo divisor evaluar expresión númerica cociente variable

PREPARACIÓN

números compatibles números que son fáciles de calcular mentalmente evaluar hallar el valor de una expresión númerica o algebraica cociente el número que, sin el residuo, resulta al dividir

Capítulo 3  63

Libro 5.indb 63

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

Estimar con divisores de 1 dígito OBJETIVo: Estimar cocientes usando números compatibles y redondeando.

1. 15 4 3

2. 24 4 4

3. 32 4 8

4. 49 4 7

5. 54 4 6

Vocabulario Aprende

números compatibles

PROBLEMA  Los camiones con remolque trasladan automóviles desde las fábricas hasta los concesionarios. Cada camión puede trasladar 9 automóviles. El mes pasado, un concesionario vendió 405 automóviles. ¿Aproximadamente cuántas cargas de camión se vendieron? Para estimar cocientes, puedes redondear o usar números compatibles. Los números compatibles son números que pueden calcularse mentalmente con facilidad.

Usa números compatibles. Haz un estimación. 405 4 9 Paso

Halla los múltiplos de 9.

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 Paso

Mira los dígitos con los que empiezan. Dado que 40 está entre 36 y 45, usa 36 y 45 como números compatibles.

Usa 2 conjuntos de números compatibles para estimar el cociente.

405 4 9 o 405 4 9 ↓ ↓ ↓ ↓ 360 4 9 5 40      450 4 9 5 50

En la estimación, usa el mismo valor posicional de la ecuación original.

Usa el redondeo y patrones en los múltiplos de 10.

Paso

Paso

Redondea el dividendo y el divisor al primer dígito, cada uno multiplicado por la potencia de 10 más cercana.

Divide. 400 4 10

405 4 9 ↓ ↓ 400 4 10

Piensa: ¿Qué puedo multiplicar por 10 para obtener un producto de 400?

10 3  5 400  5 40

400 4 10 5 40

Por lo tanto, se vendieron entre 40 y 50 cargas de autos.

Más ejemplos  Usa números compatibles. 236 4 4 o 236 4 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 200 4 4 5 50        240 4 4 5 60

 Usa el redondeo. 267 4 3 ↓ ↓ 300 4 3 5 100

64

Libro 5.indb 64

24-01-13 10:08

Práctica con supervisión 1. Estima 624 4 8 usando números compatibles.

560 4 8 5  640 4 8 5 

Estima el cociente. 2. 333 4 9

3. 648 4 6

4. 455 4 7

 5. 216 4 6

 6. 598 4 8

Explica cómo sabes que 40 es una sobrestimación para 351 4 9.

 ​ 7.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima el cociente. 8. 704 4 2

9. 430 4 5

10. 208 4 8

11. 296 4 4

12. 534 4 6

13. 268 4 6

14. 894 4 3

15. 324 4 9

16. 832 4 4

17. 595 4 7

USA DATOS  Para 18–20, usa la tabla. 18. Una tienda de reparación de motocicletas recibió

Envío de motores de motocicletas por peso total

un envío de motores que incluía 7 motores Wind Rider. ¿Cuánto pesa aproximadamente cada motor Wind Rider?

Tipo de motores de motocicleta

19. En el envío, hay 6 motores Open Road. ¿Cuánto

pesa aproximadamente cada motor Open Road? 20. El envió incluía 6 motores Strada Sprint.

¿Aproximadamente cuánto más pesa un motor Open Road que un motor para una Strada Sprint? 21.

Peso total (en kg)

Open Road

468

Strada Sprint

342

Wind Rider

476

Explica cómo estimar 478 4 7 usando dos conjuntos de números compatibles.

Comprensión de los Aprendizajes 22. 56 3 18 5

23. Mariela tiene 2 hámsters, Caco y Rolo. Caco pesa 0,31 kilogramos y Rolo pesa 0,27 kilogramos. ¿Qué hámster pesa menos? 24. Estima el producto. 82 3 81

25. Preparación para la prueba  El señor Núñez manejó 458 km en 3 días. Si manejó aproximadamente la misma cantidad de kilómetros cada día, ¿qué distancia recorrió en 1 día? A aproximadamente 200 km B aproximadamente 150 km C aproximadamente 100 km   D aproximadamente 90 km

Práctica adicional en la página 86, Grupo A y D

Libro 5.indb 65

Capítulo 3 65

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

2

Repaso rápido

Dividir entre divisores de 1 dígito

1. 5 3 9

2. 4 3 70

3. 6 3 60

4. 8 3 300

5. 7 3 800

OBJETIVO: Dividir dividendos de 3 y 4 dígitos entre divisores de 1 dígito.

Aprende PROBLEMA En 2011 terminó la elaboración de lingotes de cobre refinados a fuego (RAF) en la mina El Teniente. Imagina que con 195 kg en el horno se obtienen 5 lingotes. ¿Cuántos kilogramos pesaría cada lingote?

pC  hile es el principal productor de cobre del mundo.

Haz una estimación para colocar el primer dígito.

Divide. 195 4 5.

Paso

Paso

Haz un estimación.

Divide las 19 decenas.

Baja las 5 unidades. Divide las 45 unidades.

150 4 5 = 30  o  2 ​ 00 4 5 = 40

1 9’ 5 4 5 = 3 – 15 4

1 9’5’4 5 = 3 9 – 15 45 –45 0

Por lo tanto, coloca el primer dígito en el lugar de las decenas.

Paso

Divide. 19 4 5 Multiplica. 5 3 3 Resta. 19 2 15 Compara. 4 , 5

Divide. 45 4 5 Multiplica. 5 3 9 Resta. 45 2 45 Compara. 0 , 5

150 4 5 =  Por lo tanto, cada lingote de cobre pesaría 39 kg.

Más ejemplos Divide.  4 872 4 8

  1 700 4 9

Estima: 4 800 4 8 5 600 4 8’7’2’4 8 = 6 0 9 –4 8 07 Dado que 7 , 8, –0 escribe 0 en 72 el cociente en –72 el lugar de las 0

Recuerda

Estima: 1 800 4 9 5 200 Comprueba ✓ 7

6 0 938 4 8 7 2

1 7’0’0’4 9 = 1 8 8 9 80 – 72 80 –72 8

decenas.

Comprueba ✓ 7 7

El residuo es la cantidad sobrante cuando un número no se puede dividir en partes iguales.

1 8 839 1 6 9 2

+

1 6 9 2 8 1 7 0 0

Para comprobar tu respuesta, multiplica el cociente por el divisor. Luego agrega el residuo para obtener el dividendo.

66

Libro 5.indb 66

24-01-13 10:08

Usa el valor posicional para colocar el primer dígito. Divide. 637 4 7.

Paso

Paso

Mira las centenas. 637 4 7 6 , 7, por lo tanto, mira las decenas.

Paso

Divide las 63 decenas.

Baja las 7 unidades. Divide las 7 unidades.

6 3’ 7 4 7 = 9 Divide. 63 4 7 – 63 Multiplica. 937 0 Resta. 63 2 63

6 3’7’4 7 = 9 1 – 63 07 – 7 0

637 4 7 =  63 . 7, por lo tanto usa las 63 decenas.

Compara.

0,7

Divide. 7 4 7 Multiplica. 1 3 7 Resta. 727 Compara. 0,7

Coloca el primer dígito en el lugar de las decenas.

Por lo tanto, el cociente es 91.

Más ejemplos Divide.  2 654 4 5

 3 702 4 7

2 6’5’4’4 5 = 5 3 0 –2 5 15 – 15 04

3 7’0’2’4 7 = 5 2 8 –3 5 20 – 14 62 –56 6

Comprueba ✓ 5 2 84 7= 3 6 9 6

​    ​     3 696  1       6 __ 3 702

•  Explica cómo comprobarías la respuesta del Ejemplo C.

Práctica con supervisión 1. Usa la estimación para hallar la posición del primer dígito

del cociente para 236 4 4. Estima: 200 4 4 5 50. Identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego, halla el primer dígito. 2. 579 4 3 7.

3. 1 035 4 5

4. 282 4 6

 5. 1 766 4 8

 6. 1 027 4 4

Explica cómo sabes, sin dividir, si un número de 3 dígitos dividido entre un número de 1 dígito tendrá un cociente de 2 o 3 dígitos.

Capítulo 3 67

Libro 5.indb 67

24-01-13 10:08

Práctica independiente y resolución de problemas Identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego, halla el primer dígito. 8. 275 4 5

9. 624 4 8

13. 966 4 7

14. 3 220 4 4

10. 468 4 3

11. 810 4 2 12. 2 546 4 8

15. 1 157 4 9

16. 6 723 4 6

17. 8 567 4 7

Divide. Comprueba mediante la multiplicación. 18. 518 4 2

19. 618 4 6

20. 736 4 8

21. 1 716 4 4

22. 1 875 4 5

23. 223 4 3

24. 693 4 5

25. 762 4 4

26. 2 012 4 8

27. 1 729 4 2

28. 693 4 9

29. 2 203 4 4

30. 341 4 2

31. 3 632 4 6

32. 8 524 4 7

Álgebra

Escribe el número que falta en cada .

33. 564 4 8 5 

34.  4 3 5 317 r2

35.  4 5 5 66 r4

36. 685 4  5 97 r6

USA DATOS  Para 37–38, usa la tabla. 37. Si se transformara la pepita de oro Welcome

en 3 ladrillos de oro, ¿cuánto pesaría cada ladrillo? 38. Formula un problema  Vuelve al Problema

37. Escribe un problema similar cambiando los números y la información. Luego, resuélvelo.

Grandes pepitas de oro halladas Nombre

Peso

Ubicación

Welcome Stranger

2 284 onzas troy

Australia

Welcome

2 217 onzas troy

Australia

788 onzas troy

California

Willard

39. 246 estudiantes van de excursión a visitar

una mina de oro. Si cada microbús tiene capacidad para 9 estudiantes, ¿cuántos microbuses se necesitan? ¿Cuántos estudiantes viajarán en el microbús que no está completo? 40. 420 estudiantes van de excursión. Si hay

1 adulto acompañante por cada 8 estudiantes, ¿cuántos acompañantes tiene un grupo completo de 8 estudiantes? ¿Cuántos estudiantes estarán con el acompañante que tiene menos de un grupo completo? 41.

68

Libro 5.indb 68

El oro y otros metales p preciosos se pesan en onzas troy.

Explica cómo sabes dónde colocar el primer dígito del cociente en 374 4 4.

Práctica adicional en la página 86, Grupo B

24-01-13 10:08

Comprensión de los Aprendizajes 42. El teclado de una computadora tiene 114 teclas.

45. Preparación para la prueba  En una caja de

¿Cuántas teclas tendrían 10 teclados de computadora?

cartón caben 8 cajas de cereal. ¿Cuántas cajas de cartón se necesitan para guardar 128 cajas de cereal?

43. Vicente tiene 37 años. Maggie, su hermana,

tiene 9 años menos. ¿Cuántos años tiene Maggie? Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. 44. Elena tenía $4 500. Gastó algo de dinero para comprar un suéter. Luego Elena compró un refrigerio a $600. Escribe una expresión algebraica para mostrar cuánto dinero le quedó.

A 1 024

C 16

B 17

D 8

46. Preparación para la prueba  Para una venta

de repostería, un curso de quinto básico hizo 324 pastelitos. El curso puso los pastelitos en paquetes de 5. ¿Cuántos pastelitos sobraron? A 1 260

C 64

B 64 r4

D 4

pensar visualmente  Los siguientes rompecabezas se denominan pirámides. Puedes usar fórmulas de multiplicación y división para resolver los rompecabezas.

Para hallar el número en el cuadro superior, usa la fórmula. A3B5C

Para hallar el número en el cuadro inferior derecho, usa la fórmula. C4A5B

Ejemplo 10 3 14 5 140

14 4 2 5 7

Copia y completa la pirámide de números. Usa las fórmulas de multiplicación y división.  1.  2.

Capítulo 3 69

Libro 5.indb 69

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

3

Repaso rápido

Álgebra

Patrones de división OBJETIVO: Usar patrones para dividir.

1. 10 4 2

2. 18 4 3

3. 24 4 4

4. 15 4 5

5. 32 4 8

Aprende PROBLEMA  Un curso de quinto básico escribió un libro sobre la historia de su escuela. El libro tiene 40 hojas. El curso tiene 8 000 hojas de papel para hacer copias del libro. ¿Cuántas copias puede hacer ese curso? Para hallar el cociente, puedes empezar con una operación básica de división y buscar un patrón.

Ejemplo  Divide. 8 000 4 40  peración básica     8 4 4 5 2 ← o   80 4 40 5 2   800 4 40 5 20 8 000 4 40 5 200

Si el dividendo aumenta en una potencia de 10, entonces el cociente aumenta en una potencia de 10.

Por lo tanto, el curso hizo 200 copias.

Más ejemplos operación

    27 4 3 5 9 ←   básica    270 4 3 5 90   2 700 4 3 5 900 27 000 4 3 5 9 000

operación

       $35 4 5 5 $7 ← básica    $350 4 50 5 $7   $3 500 4 50 5 $70 $35 000 4 50 5 $700

operación

     6 4156←   básica 6 000 4 10 5 600 6 000 4 100 5 60 6 000 4 1 000 5 6

•  Explica la diferencia que existe entre los patrones del Ejemplo B y del Ejemplo C.

Práctica con supervisión Halla los números que faltan. 24 4 6 5 4 3.  40 4 5 5 n   1.    9 4 3 5 3 2.    90 4 3 5 30 240 4 6 5 40 400 4 50 5 n   900 4 3 5 n 2 400 4 6 5 400 4 000 4 500 5 n 9 000 4 3 5 3 000 24 000 4 6 5 n 40 000 4 5 000 5 n Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 4. 80 4 2 5. 140 4 20 6. $3 200 4 8 7. 36 000 4 6

70

Libro 5.indb 70

24-01-13 10:08

8.

Explica por qué disminuye el cociente cuando aumenta el número de ceros que hay en el divisor.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 9. 20 4 10 10. 180 4 9 11. $160 4 4 12. 420 4 7 13. 300 4 5 14. 640 4 8 15. 810 4 9 16. 540 4 6 17. 1 200 4 4 18. $1 000 4 4 19. 5 600 4 7 20. 3 600 4 9 21. 49 000 4 7 22. 60 000 4 2 23. 40 000 4 2 24. $2 500 4 5

Compara. Usa ,, . o 5 en cada . 25. 560 4 80  5 600 4 8 26. 3 000 4 5  300 4 5 27. 32 000 4 40  3 200 4 4 28. Una escuela encargó 4 cajas de papel que

29. Una caja contiene 10 resmas de papel, que

pesaban un total de 2 000 kg. ¿Cuánto pesa 1 caja de papel? 30. Una empresa compra en el extranjero 4

equivalen a 5 000 hojas. ¿Cuántas hojas hay en 1 resma? 31. Se necesitan aproximadamente 3 árboles

impresoras láser a US$800. Si cada impresora viene con un reembolso por correo de US$25, ¿cuál es el costo de una impresora? 32. Álgebra  ¿Cómo hallarías el valor de n si

para hacer 24 000 hojas de papel. ¿Cuántas hojas de papel se pueden hacer con un árbol, aproximadamente? 33.

2 400 4 n 5 80?

¿Cuál es el error?  Belén dice que 66 000 4 6 es 1 100. ¿Cuál es su error?

Comprensión de los Aprendizajes 34. Un jardín mide 8 metros por 12 metros. ¿Cuál

es el área del jardín en metros cuadrados? 35. El Estadio Nacional, tiene una capacidad para 65 127 personas. Redondea la capacidad del estadio a la unidad de mil más cercana. 36. 18 3 39 5

Práctica adicional en la página 86, Grupo C

Libro 5.indb 71

37. La dueña de un hotel gasta $20 000 en 4 timbres nuevos. ¿Cuánto gasta en cada timbre si cada uno cuesta la misma cantidad? A $400 B $500 C $4 000 D $5 000

Capítulo 3 71

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Dividir con residuos o restos Objetivo: Dividir números enteros que no se dividen en partes iguales.

1. 27 4 9

2. 4 3 7

3. 3 3 8

4. 25 4 5

5. 12 4 3

Vocabulario

Aprende

residuo o resto

Algunas veces, un número no se puede dividir en partes iguales. La cantidad que sobra se llama el residuo o resto. ProblemA  Tres amigos están jugando dominó. Hay 28 fichas en el grupo. Si cada jugador recibe la misma cantidad de fichas de dominó, ¿cuántas fichas recibirá cada jugador? ¿Cuántos fichas sobrarán?

Actividad Hacer un modelo. Materiales

■ fichas

Divide 28 entre 3. Escribe 28 4 3.

Paso

Paso Usa 28 fichas.

Dibuja 3 círculos. Divide las 28 fichas en 3 grupos iguales. La ficha que sobra es el residuo.

residuo El cociente es 9 y el residuo es 1.

Por lo tanto, cada jugador recibirá 9 fichas de dominó. Sobrará 1 ficha. • ¿Por qué el residuo tiene que ser menor que el divisor?

Práctica con supervisión

ADVERTENCIA ADVERTENCIA Si el residuo es mayor que el divisior, sigue dividiendo las fichas en partes iguales hasta que el residuo sea menor que el divisor.

1. Usa fichas para representar 17 4 5. Dibuja j círculos. Coloca j

fichas en cada círculo. El cociente es j. El residuo es j.

72

Libro 5.indb 72

24-01-13 10:08

Usa fichas para hallar el cociente y el residuo. 2. 15 4 6 7.

3. 26 4 7

4. 19 4 4

5. 24 4 5

6. 42 4 5

 Explica cómo sabes que habrá un residuo en un problema de división.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa fichas para hallar el cociente y el residuo. 8. 18 4 7 9. 17 4 5 10. 21 4 6

11. 22 4 4 12. 56 4 9

Divide. Tal vez quieras usar fichas o hacer un dibujo como ayuda. 13. 26 4 3

14. 37 4 6

15. 67 4 9

16. 47 4 3

1 7. 41 4 5

Álgebra  Halla el valor que falta. 18. 26 4 4 5 6 rj

19. 43 4 8 5 j r3

20. j 4 5 5 4 r2

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 22 a 24, usa la tabla.

21. 32 4 j 5 10 r2

Tipos de juegos de dominó Tipo

22. ¿A qué tipo de juego de dominó le sobrarán más

fichas si 5 jugadores se reparten las fichas en partes iguales? 23. Siete jugadores se dividieron un juego de dominó de

Doble seis Doble nueve Doble doce

Número de fichas 28 55 91

manera que cada uno tuviera el mismo número de fichas. Sobraron fichas. ¿Qué tipo de juego usaron? Explica tu respuesta. 24. Algunos estudiantes están jugando una partida

25.

de doble doce. Cada estudiante tiene 11 fichas de dominó. Sobran 3 fichas. ¿Cuántos estudiantes están jugando?

 ¿Cuál es el error? Francisca dice que el modelo representa 13 4 4. ¿Cuál es su error? Dibuja el modelo correcto.

Comprensión de los Aprendizajes 26. 24 3 51 5

29. Preparación para la prueba   ¿Qué problema describe el modelo?

27. ¿Cuál es mayor: 7 432 o 7 423? 28. Lanza cincuenta veces un cubo numerado

rotulado del 1 al 6. Registra los resultados y muéstralos en un diagrama de puntos.

Práctica adicional en la página 87, Grupo E

Libro 5.indb 73

A 14 4 2

C 12 4 4

B 14 4 3 D 14 4 2

Capítulo 3 73

24-01-13 10:08

5

Representar la división de 2 dígitos por 1 dígito ObjetivO: Hacer un modelo de la división con bloques de base 10.

Repaso rápido 1. 3

38 2. 12 4 2 3. 7 3 9 4. 6 3 8 5. 54 4 6

Materiales ■ bloques de base 10

El comedor de la escuela está sirviendo 72 duraznos en 3 bandejas. Cada bandeja tiene el mismo número de duraznos. ¿Cuántos duraznos hay en cada bandeja? Puedes usar bloques de base 10 para hallar el número de objetos que hay en grupos iguales.

Usa los bloques de base 10 para hacer un modelo de 72 duraznos. Muestra 72 como 7 decenas 2 unidades. Dibuja tres círculos. Coloca el mismo número de decenas en cada grupo. Si sobran decenas, reagrúpalas como unidades. Coloca el mismo número de unidades en cada grupo. Cuenta el número de decenas y unidades en cada grupo para hallar el número de duraznos en cada bandeja. Registra tu respuesta. 

Sacar conclusiones 1. ¿Por qué dibujaste 3 círculos en el paso A? 2. ¿Por qué necesitas reagrupar en el paso C? 3. ¿Cuántos duraznos hay en cada bandeja? 4. ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? 5. Síntesis  ¿Qué pasaría si hubiera 96 duraznos y 4

bandejas? ¿Cómo puedes usar los bloques de base 10 para hallar cuántos duraznos habrá en cada bandeja? 

74

Libro 5.indb 74

24-01-13 10:08

Puedes usar bloques de base diez para hacer un modelo de la división con residuos. El juego para armar de Miguel tiene 46 partes mecánicas. Él puede construir 4 robots iguales con estas partes. ¿Cuántas partes necesita Miguel para cada Robot? ¿Cuántas partes sobrarán?

Paso Muestra 46 como 4 decenas 6 unidades.

Paso Dibuja 4 círculos. Coloca 1 decena en cada círculo.

Paso Coloca 1 unidad en cada círculo. Cuenta cuántas unidades sobran.

Por lo tanto, para cada robot se necesitan 11 partes. Sobrarán 2 partes. Explica los pasos para hacer un modelo de 48 4 3 usando bloques de base 10.

Usa bloques de base diez para hallar el cociente y el resto. 1. 84 4 2

2. 96 4 6 3. 99 4 8 4. 67 4 5

5. 84 4 3

6. 52 4 2

7. 26 4 4 8. 81 4 5 9. 44 4 3

  10. 84 4 7

Divide. Puedes usar bloques de base diez. 11. 52 4 4

12. 48 4 5 13. 87 4 7 14. 77 4 6

16. 22 4 3

17. 72 4 3 18. 40 4 6 19. 23 4 9 20. 88 4 5

21.

 15. 97 4 6

Explica cómo puedes hacer un modelo del cociente de 73 4 5.

Capítulo 3 75

Libro 5.indb 75

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

6 Destreza: Interpretar el resto

OBJETIVO: Resolver los problemas usando la destreza interpretar el resto o residuo.

Usa la destreza PROBLEMA Hay 95 personas con reservaciones para un viaje guiado en balsa por el río Maipo en el Cajón del Maipo. En cada balsa pueden ir 6 personas. ¿Cuántas balsas se necesitarán para 95 personas? ¿Cuántas balsas irán llenas? ¿Cuántas personas irán en una balsa que no vaya llena? Cuando un problema de división tiene residuo, interpretas el residuo según la situación y la pregunta. Divide. 95 4 6 9’5’4 6= 1 5 –6 35 –30 residuo o resto 5

 Aumenta el cociente en 1. ¿Cuántas balsas se necesitan? Piensa: Como en 15 balsas sólo caben

 El cociente permanece igual. Deja el resto. ¿Cuántas balsas irán llenas?

90 personas, se necesita una balsa más.

Piensa: En una balsa caben 6

 Usa el resto como respuesta. ¿Cuántas personas irán en la balsa que no está llena?

Por lo tanto, baja el residuo y aumenta

personas. Baja el residuo porque 5

Piensa: La respuesta es el residuo.

el cociente en 1.

personas no llenan una balsa.

Por lo tanto, se necesitan 16 balsas.

Por lo tanto, 15 balsas estarán llenas.

Por lo tanto, 5 personas irán en una balsa que no va llena.

Piensa y comenta Resuelve el problema. Explica cómo interpretaste el resto. Otra compañía de viajes guiados tiene balsas para 8 personas. El sábado, 99 personas harán el viaje por el río.

a. ¿Cuántas balsas se necesitan para llevarlos por el río? b. ¿Irá llena cada balsa? Si no, ¿cuántas personas irán en la balsa que no esté llena?

76

Libro 5.indb 76

24-01-13 10:08

Resolución de problemas con supervisión Resuelve. Escribe a, b o c, para explicar cómo interpretar el cociente.

a. El cociente permanece igual.

b. Aumenta el cociente en 1.

Baja el resto.

c. Usa el resto como respuesta. 1. Un grupo de 57 personas está acampando en el parque nacional Corcovado.

En cada carpa caben 5 personas. ¿Cuántas carpas se necesitan para todos los campistas? Primero, divide. Piensa: 57 4 5 Después, vuelve a leer el problema para ver cómo debes interpretar el resto. 2. ¿Qué pasaría si se te preguntara por la cantidad de tiendas que estarán llenas? ¿Cuál sería la diferencia de tu respuesta en comparación a la del problema 1? 3. Hay guías que dirigen a grupos de 9 personas por un recorrido en bicicleta en el parque. 96 personas decidieron hacer el recorrido. ¿Cuántas personas irán en el recorrido que no va lleno? Interpreta el resto.

Aplicaciones mixtas USA LOS DATOS  Para los ejercicios 4 a 6, usa la tabla. En los viajes en balsa, los guías llevan 6 pasajeros en cada balsa. 4. ¿Cuántas balsas se necesitan para el viaje del sábado

en la tarde? ¿Se llenarán todas las balsas del sábado por la tarde? Explica. 5. ¿En qué día se hicieron más viajes? ¿Cuántos viajes

más se hicieron?  6. Al final de la semana, los guías llevaron 12 veces más

personas en los viajes en balsa de los que estaban reservados para los viajes del domingo en la mañana. ¿Cuántas personas tomaron los viajes en balsa esa semana? 7. El sábado en la mañana la temperatura durante el primer

viaje fue de 23 C. La temperatura durante el primer viaje del domingo fue 7 C más fría. ¿Cuál fue la temperatura del domingo? 8.

Pasajeros en los viajes en balsa Día Sábado Domingo

Mañana

Tarde

Total

23

85

47

51

 Una compañía inscribió a 67 personas

para los viajes en balsa. Si 8 personas caben en una balsa, ¿cuántas balsas se necesitan? Explica si necesitas una respuesta exacta o una estimación, y después resuelve.

Capítulo 3 77

Libro 5.indb 77

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

7

Repaso rápido

Dividir números de 3 dígitos por números de 1 dígito usando dinero

1. 8  9

2. 6  7

3. 3  5

4. 1  4

5. 2  8

OBJETIVO: Dividir números de 3 dígitos, incluyendo cantidades de

dinero, entre números de 1 digito.

Aprende PROBLEMA  En un pueblo del sur de Chile, para entregar a los participantes de una corrida, se preparan 193 litros de jugo de naranjas que repartirán en bidones de 8 litros. ¿Cuántos recipientes de 8 litros se puede llenar usando 193 litros de jugo?

Ejemplo 1  Divide 193 entre 8. Escribe 193 ÷ 8. Paso

Paso

Paso

Paso

Estima por redondeo.

Divide las 19 decenas.

Baja las 3 unidades. Divide las 33 unidades.

Para comprobar, multiplica el cociente por el divisor y suma el resto.

Piensa: 193 es aproximadamente 200 y 8 es aproximadamente 10. 200 4 10 5 20

1 9’ 3 4 8 = 2 Divide. – 16 Multiplica. 3 Resta. Compara.

193 ÷ 8 = j Coloca el primer dígito en la posición de las decenas.

1 9’3’4 8 = 2 4 – 16 33 –32 1

Divide. Multiplica. Resta. Compara.

2

2 4  8 = cociente 192 divisor + 1 193 resto

dividendo

Por lo tanto, 24 recipientes de 8 litros se pueden llenar usando 193 litros. Sobrará 1 litro.

Ejemplo 2  Divide 756 entre 6. Escribe 756 ÷ 6. Paso

Paso

Usa operaciones de división con el número 6 para hallar números compatibles con 756.

Divide las 7 centenas.

Piensa : 600 ÷ 6 = 100 o

1 200 ÷ 6 = 200 El cociente está entre 100 y

Paso

Paso Baja las 5 decenas. Divide las 15 decenas.

7’ 5 6 4 6 = 1 Divide. 7’5’ 6 4 6 = 12 – 6 – 6 Multiplica. 15 Resta. – 12 Compara. 3

200. Por lo tanto, coloca el primer dígito en la posición

Baja las 6 unidades. Divide las 36 unidades.

7’5’ 6 4 6 = 126 – 6 Multiplica. 15 Resta. – 12 Compara. 36 –36 0 Divide.

Divide. Multiplica. Resta. Compara.

de las centenas.

Por lo tanto, 756  6  126. Como 126 está entre 100 y 200, la respuesta es razonable.

78

Libro 5.indb 78

24-01-13 10:08

Dividir dinero Divides cantidades de dinero de la misma manera que divides números.

Ejemplo 3  En el quiosco de un colegio, un niño compró 4 caramelos en $168. ¿Cuánto cuesta 1 caramelo? Divide $168 entre 4. Escribe $168 ÷ 4.

Paso

Paso

Usa el valor posicional para colocar el primer dígito. Busca las centenas.

168 ÷ 4 = j 1 , 4, por lo tanto, busca en las decenas.

168 ÷ 4 = j 16 . 4, por lo tanto, usa 16 decenas. Coloca el primer dígito en la posición de las decenas.

Paso

Divide.

1 6’8’4 4 = 42 – 16 08 – 8 0

Multiplica para comprobar. Divide. Multiplica Resta.

4 2  4 cociente 168 divisor dividendo

Compara.

Por lo tanto, un caramelo cuesta $42. • ¿Cómo sabes si la respuesta es razonable?

Ejemplo 4 En la tienda de comestibles, se venden 3 latas de arvejas a $2 590. ¿Cuánto cuesta 1 lata de arvejas? Divide $2 590 entre 3. Escribe $2 590 ÷ 3. 2 5’9’0’4 3 = 8 6 3 –2 4 19 – 18 10 – 9 1

Como la tienda no puede cobrar centavos, esta aumentará el valor a la unidad siguiente: $864

Por lo tanto, el costo de 1 lata de arvejas es $864 • ¿Qué pasaría si la tienda vendiera 5 latas de arvejas a $4 290? ¿Cuánto costaría 1 lata? t En otros países las arvejas se llaman guisantes

Práctica con supervisión 1. Para hallar 456 4 8, ¿cuáles dos números compatibles usarías con

456? Divide cada número compatible entre 8. ¿En que posición colocarías el primer dígito del cociente?

Capítulo 3 79

Libro 5.indb 79

24-01-13 10:08

Divide y comprueba. 2. 329 4 4

3. $723 4 3

4. 655 4 7

 5. 924 4 8

 6. 582 4 6

Explica dónde colocarías el primer dígito en el problema 5. 

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Divide y comprueba. 8. 188 4 2

9. $826 4 7

10. 854 4 6

11. 112 4 3

12. 798 4 6

13. $332 4 4

14. 725 4 5

15. 766 4 8

16. 845 4 5

17. 948 4 3

18. 298 4 4

19. 223 4 2

20. 189 4 9

21. $125 4 4

22. 292 4 8

23. 483 4 2

24. 528 4 7

25. 483 4 3

26. $746 4 5

27. 829 4 9

Álgebra Halla el dígito que falta. 28. 4 8 5 4 5= j 7

0

32. 3 j 1 4 7= 4 5

6

29. 1 2 5 4 j = 3 1

1

33. 6 8 8 4 j = 2 29

1

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 36 a 39, usa la tabla.

30. j 7 4 4 6= 9 5

31. 3 1 7 4 9= 3 5

4

j 35. 8 9 4 8= j 1

34. 2 9 j 4 6= 4 9

1

5

Comparación entretiendas tiendas Comparación de de precios precios entre

36. ¿Cuánto cuesta 1 kg de coliflor en la

tienda Quetzal? 37. ¿Cuánto cuesta 1 kg de papas en

el Mercadito? 38. ¿Cuánto cuestan 3 kg de zanahorias

en la tienda Quetzal? 39. ¿Cuánto cuestan 2 kg de cebollas en el Mercadito? 40. Formula un problema  Vuelve a leer el problema

36. Intercambia la información conocida y desconocida. Después resuelve el problema. 41. Explica  cómo se usan los números compatibles

para resolver el problema 283 4 9. 43.

Vegetales Vegetales

Coliflor

Quetzal Quetzal Peso (kg) Precio Libra Precio

Col

5

Zanahorias

2

Cebollas

2

Papas

8

Zanahoría Cebolla Papa

5 2 2 8

2 990

Mercadito Mercadito Peso (kg) Precio Libra Precio

3

1 950

4

2 990

3

2 130

3

2 390

$2.99

3

$1.38

4

$1.89

3

$6.32

3

1 380 1 890 6 320

$1.95 $2.99 $2.13 $2.39

42. Razonamiento  ¿Cuál tiene el cociente mayor:

645 4 2 o 654 4 3? Explica cómo lo sabes.

¿Cuál es el error?  Describe el error y luego muestra la manera correcta de dividir. 5 2’6’4 7= 751 –49 36 –35 1

80

Libro 5.indb 80

Práctica adicional en la página 87, Grupo G

24-01-13 10:08

Comprensión de los Aprendizajes 44. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda

47. ¿En qué posición está el primer dígito del

caiga en cara o sello?

cociente en 816 4 6?  48. Preparación para la prueba  Tres latas de

45. 61 4 3 5 46. Preparación para la prueba  643 4 7 5 A  91 r6

C 92 r6

B 92

pelotas de tenis están en oferta esta semana por $5 670. ¿Cuánto costará una lata de pelotas de tenis?

D 916

Las plantas de energía convierten otras formas de energía en electricidad para que podamos calentar, refrescar o iluminar nuestros hogares y usar la televisión y otros aparatos electrodomésticos. La tabla muestra las estimaciones de uso y costo semanal de aparatos electrodomésticos en los hogares.

Costo de uso de algunos aparatos electrodomésticos Aparatos

Estimación de uso semanal

Estimación de costo semanal

Lavadora de platos

7 cargas

$1 260

Lavadora

6 lavados con agua caliente, enjuagado tibio con calentador de agua eléctrico

$4 800

Lavadora

6 lavados con agua caliente, enjuagado frío con calentador de agua eléctrico

$1 800

Secadora de ropa 6 cargas

$2 700

Refrigerador

$1 120

7 días ininterrumpidos

Usa la información de la tabla para resolver los problemas. 1. ¿Cuánto cuesta una carga en la lavadora de platos? 2. ¿Cuánto cuesta el uso del refrigerador por un día? 3. ¿Cuánto cuesta una carga en la lavadora usando

agua caliente y enjuagado tibio? 4. ¿Cuánto cuestan 8 cargas en la secadora de ropa? 5. Explica cómo puedes hallar el costo del uso del refrigerador

por 3 días?

Capítulo 3 81

Libro 5.indb 81

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

8

Repaso rápido

Ceros en la división

Mario tiene 23 CD. En cada caja caben 2 CD. ¿Cuántas cajas necesita?

OBJETIVO: Dividir números de 3 dígitos entre números de 1 dígito.

Aprende PROBLEMA  El Sr. Nilo reúne 324 tesoros para la búsqueda del tesoro en su jardín. Necesita 3 tesoros para cada estudiante que participe. ¿Cuántos estudiantes pueden participar?

Ejemplo Divide 324 entre 3.  Escribe 324 ÷ 3

Paso Estima para colocar el primer dígito en el cociente. Piensa: 300 ÷ 3 = 100 o

600 ÷ 3 = 200

Paso

Paso

Paso

Divide las 3 centenas

Baja las 2 decenas. Divide las 2 decenas.

3 2 44 3= 1 6 0 – 3 0

324 ÷ 3 = j

3 2’ 4 4 3 = 1 0 – 3 02 – 0 2

Por lo tanto, coloca el primer

El divisor 3 es mayor que 2,

dígito en la posición de las

por lo tanto, escribe 0 en el

centenas.

cociente.

Baja las 4 unidades. Divide las 24 unidades.

3 2’4’4 3 = 1 0 8 – 3 02 – 0 24 –24 0

Por lo tanto, 108 estudiantes pueden participar en la búsqueda del tesoro en el jardín. • ¿Qué pasaría si el Sr. Nilo tuviera 420 tesoros? ¿Cuántos estudiantes podrían participar?

Más ejemplos   Divide con ceros

  Divide dinero COMPRUEBA

4’0’9’4 4 = 1 0 2 – 4 00 – 0 09 – 8 1

1 0 2  4 = cociente 408 divisor + 1 409 residuo

dividendo

COMPRUEBA 2

5’2’0’4 5 = 1 0 4 – 5 02 – 0 20 –20 0

1 0 4 5= $5 2 0

cociente divisor dividendo

82

Libro 5.indb 82

24-01-13 10:08

Corregir cocientes Las clases de ciencias de quinto básico exhibieron sus tesoros sobre unas mesas para la noche de la naturaleza. Colocaron el mismo número de tesoros en cada mesa. Había 480 tesoros de animales en las 6 mesas. ¿Cuántos tesoros había en cada mesa?

Observa la hoja de Elías. Él dividió 480 entre 6.

Elías 4 8’ 0 4 6 = 8 – 48 0

• Describe el error de Elías. Halla el número correcto de tesoros por mesa. • Explica cómo las operaciones básicas y los patrones podrían haber ayudado a Elías a hallar la respuesta correcta. Los estudiantes que encontraron tesoros de plantas y minerales exhibieron 424 tesoros en las 4 mesas. ¿Cuántos exhibieron en cada mesa? Observa la hoja de Eva. Ella dividió 424 entre 4.

ADVERTENCIA

Eva

4’ 2 4’4 4 = 1 6 – 4 024 – 24 0

• Describe el error de Eva. Halla el número correcto de tesoros por mesa.

ADVERTENCIA Para que no olvides incluir los ceros, estima para decidir cuántos dígitos debe haber en el cociente y usa el valor posicional.

Práctica con supervisión 1. Copia el problema de la derecha. Estima para colocar el primer dígito. Divide las centenas. Divide las decenas. ¿Necesitas escribir un cero en el cociente? Después divide las unidades. ¿Cuál es el cociente?

210 ÷ 2

Capítulo 3 83

Libro 5.indb 83

24-01-13 10:08

Escribe el número de dígitos que hay en cada cociente. 2. 360 4 4

3. 714 4 7

4. 420 4 3

5. 960 4 8

 6. 400 4 5

8. 803 4 4

9. 840 4 6

10. 901 4 2

 11. 927 4 9

Divide y comprueba. 7. 305 4 5 12.

 Piensa en el problema 216 4 2. Explica cómo sabes que habrá un 0 en el cociente.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe el número de dígitos que hay en cada cociente. 13. 560 4 7

14. 282 4 4

15. 510 4 3

16. 805 4 7

17. 540 4 6

18. 601 4 5

19. 860 4 2

20. 704 4 8

21. 609 4 3

22. 919 4 9

23. 283 4 4

24. 763 4 7

25. 870 4 3

26. 724 4 6

27. 407 4 5

28. 700 4 4

29. 325 4 3

30. 417 4 2

31. 470 4 5

32. 306 4 3

Divide y comprueba.

Halla el valor que falta. 33. 701 4 2 5

j

34. j 4 5= 106

2

37. Ana está haciendo conejos de papel maché

para una celebración de la naturaleza. Se requieren 240 tiras de papel para hacer 8 conejos. ¿Cuántas tiras de papel necesita Ana por conejo? 39. José tiene que hacer 606 pliegues para crear 6 figuras de la mantis religiosa en origami. Hace 540 pliegues para formar 6 figuras del monstruo de Gila. ¿Cuántos pliegues más hace José en una mantis que en un monstruo de Gila? 41.

DATO BREVE Una leyenda japonesa dice

que plegar mil grullas trae buena salud o paz. Pablo hizo 864 grullas en origami en 8 meses. Si hizo el mismo número de grullas cada mes, ¿cuántas grullas hizo en un mes? 

84

Libro 5.indb 84

35. 9 0 1 4 3= j

j

36. 2 0 7 4 j = 5 1

3

38. Razonamiento  El centro de ciencias quiere exhibir 110 proyectos de ciencias. Cada área de exhibición tiene capacidad para 45 proyectos. ¿Cabrán todos los proyectos en 2 áreas? Explica. 40. Paloma está pintando flores de cerezo. Planea hacer 5 flores. Si gasta la misma cantidad de tiempo en cada flor, debería terminar en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará pintar una flor de cerezo? 42.

¿Cuál es la pregunta?  El libro divertido del bosque de Julio cuenta sobre las diferentes madrigueras de los castores y da la cantidad de tiempo que le toma a un castor construir una. La respuesta es 103 horas por cada madriguera de castor.

Práctica adicional en la página 87, Grupo F y H

24-01-13 10:08

Comprensión de los Aprendizajes 46. ¿Qué número va en el recuadro para hacer el

43. 873 4 3 5

enunciado numérico verdadero?

44. 269 4 6 5

estudiantes contarán nidos de avispas en 6 lugares diferentes. El mismo número de estudiantes estará en cada lugar. ¿Cuántos estudiantes estarán en un lugar? A 190

B 119

C 109

D 19

(9 2 7) 3 6 5 3 3 j

45. Preparación para la prueba  Un total de 654

47. Preparación para la prueba  562 4 7 5

A  8 r2

C  82

B  80 r2

D  802

PercepciÓn NUMÉRICa  Cuando estimas cocientes, una subestimación te da un cociente que es menor que el cociente real. Una sobrestimación te da un cociente que es mayor que el cociente real. Kari paga $105 por 3 semillas para plantar un jardín. Estima el costo de cada semilla. Compara la estimación con el valor real. El valor real de cada semilla es $105 4 3 o $35. Subestima.

Sobrestima.

Piensa: 90 está cerca de 105. 90 y 3 son números

Piensa: 1  20 está cerca de 105. 120 y 3 son números

compatibles dado que 9 4 3 5 3.

compatibles dado que 12 4 3 5 4.

90 4 3 5 30  ← subestimación Por lo tanto, la estimación de $30 es menor que el valor real de $35 porque 90 es menor que 105.

120 4 3 5 40  ← sobrestimación Por lo tanto, la estimación de $40 es mayor que el valor real de $35 porque 120 es mayor que 105.

Di si la estimación es una subestimación o una sobrestimación. Después, compara la estimación con el cociente real. 1. Un centro comunitario tiene 120 voluntarios en

8 equipos para el rescate de animales. Cada equipo tiene el mismo número de voluntarios. Estima: 160 4 8 5 20 voluntarios por equipo

2. Javier vende 330 comederos de pino para aves

en el mercado de las pulgas en 3 horas. Vende el mismo número cada hora. Estima: 300 4 3 5 100 comederos por hora. 

Capítulo 3 85

Libro 5.indb 85

24-01-13 10:08

Práctica adicional Grupo A  Estima el cociente. 1. 510 4 2 

2. 216 4 4 

3. 3 684 4 8 

4. 3 105 4 5 

5. 455 4 7 

6. 862 4 9 

7. 7 124 4 2 

8. 9 365 4 4

Grupo B  Identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego halla el primer dígito. 1. 724 4 2 

2. 260 4 5 

3. 1 248 4 4 

4. 3 779 4 9 

5. 7 592 4 6  6. 624 4 4  7. 804 4 2  8. 3 955 4 5 

Divide. Comprueba mediante la multiplicación. 9. 624 4 4  10. 804 4 2  11. 1 119 4 3  12. 4 603 4 5  13. 296 4 2 

14. 510 4 3 

17. Claudia compró 7 bolsas iguales de mostacillas

para su taller. El peso total era de 1 750 gramos. ¿Cuánto pesaba cada bolsa? 

15. 9 234 4 9 

16. 1 523 4 4 

18. Un florista empaquetó 1 125 bulbos de

tulipanes. Puso 9 bulbos en cada paquete. ¿Cuántos paquetes de bulbos preparó?

Grupo C  Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 1. 40 4 2 

2. 280 4 7 

3. $120 4 6 

5. 320 4 8  6. $400 4 5  7. 210 4 3 

4. 200 4 10  8. 540 4 9 

9. 1 600 4 4  10. $5 000 4 10  11. 420 4 7  12. 180 4 3  13. 2 100 4 3 

14. 640 4 8  15. $45 000 4 9  16. 16 4 2 

17. El club de teatro reunió $36 000 por la venta

de 90 entradas. Si todas las entradas tenían el mismo precio, ¿cuál era el precio de cada entrada? 

18. Los asientos de un teatro están ordenados

en 80 filas. Hay 1 600 asientos. ¿Cuántos asientos hay en cada fila? 

Grupo D  Estima el cociente. 1. 210 4 2 

2. 795 4 3 

3. 265 4 2 

4. 3 884 4 6 

5. 263 4 4  6. 305 4 5  7. 5 999 4 7  8. $1 853 4 5 

86

Libro 5.indb 86

24-01-13 10:08

Grupo E  Divide. Comprueba tu respuesta. 1. 836 4 2 

2. 608 4 3 

3. 486 4 5 

4. 446 4 8 

5. 630 4 5  6. 256 4 8  7. 572 4 6  8. 126 4 4  9. 804 4 6  10. 450 4 2  11. 381 4 7  12. 826 4 3  13. 965 4 4  14. 280 4 2  15. 831 4 5  16. 687 4 5  17. El propietario de un puesto de productos

alimenticios colocó 48 frascos de mermelada de manzana en estantes. En cada estante, había 6 frascos. ¿Cuántos estantes se usaron?

18. Se exhiben 376 calabazas en hileras. En

cada hilera, hay 4 calabazas. ¿Cuántas hileras hay?  

Grupo F  ¿Cuál es la mejor estimación que se puede usar para el cociente? Elige a o b. 1. 302 4 6   a. 50  b. 60 

2. 5 708 4 8   a. 700  b. 800

3. 3 190 4 4   a. 700  b. 800

Divide. 4. 306 4 4  5. 950 4 2  6. 192 4 3  7. 403 4 5  8. Los maestros de la Escuela Básica Alihue

necesitan 180 reglas. Cada paquete contiene 6 reglas. ¿Cuántos paquetes deben comprar?

9. Una empresa de juguetes empaca 8 unidades

del mismo juego en una caja. ¿En cuántas cajas se empacarían 208 juegos? 

Grupo G  Divide. Multiplica para comprobar tu respuesta. 1. 171 4 5 

2. 516 4 4 

3. 175 4 2 

4. 1 437 4 3 

5. 4 567 4 7  6. 812 4 9  7. 1 643 4 6  8. 2 536 4 8  9. 3 012 4 3  10. 4 715 4 5  11. 2 072 4 5  12. 3 609 4 4  13. 907 4 5 

14. 380 4 7 

15. 5 236 4 4 

16. 1 608 4 2

Grupo H  Escribe una expresión algebraica. Evalúa cada expresión si a 5 5 y c 5 12. 1. 128 dividido entre 

2. t dividido en 6

3. 12 grupos de

4. 16 menos que y

c elementos  p grupos  grupos iguales 5. 19 1 a  9. c 1 39 

6. a 4 5  10. 8a 

7. c 3 20  11. 132 3 a 

8. 105 4 a  12. 12 2 c 

Capítulo 3 87

Libro 5.indb 87

24-01-13 10:08

Repaso/Prueba del Capítulo 3 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro.        ?  ​ una expresión es hallar su valor. 1. ​ —        2. Los números que son fáciles de calcular mentalmente se llaman — ​  ?  ​. 

números compatibles evaluar variables

Comprueba tus destrezas Estima el cociente. 3. 275 4 5 

4. 503 4 2 

5. 345 4 7 

7. 170 4 8 

8. 254 4 3 

9. 168 4 5

6. 378 4 4 10. 398 4 3

Halla el cociente. 11. 60 4 3 

12. 240 4 8 

13. $450 4 9 

14. 170 4 1 

16. 610 4 3 

17. 462 4 9 

18. 825 4 4 

Divide. 15. 372 4 6 

19. 309 4 3  20. 251 4 3  21. 315 4 2  22. 532 4 7  23. 594 4 2 

24. 893 4 4 

25. 408 4 6 

26. 530 4 5 

Evalúa cada expresión para a 5 3 o c 5 18. 27. 2 1 a

28. c 2 12

29. 21 3 a

30. 99 4 a

31. 5c

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 32. Un total de 105 estudiantes van a una

excursión. Por cada grupo de 5 estudiantes, debe haber un acompañante. ¿Cuántos acompañantes se necesitan para la excursión?

33.

Imagina que 108 estudiantes fueron de excursión. Explica cómo determinar el número de acompañantes necesarios si hay un acompañante por cada grupo de 5 estudiantes.

88

Libro 5.indb 88

24-01-13 10:08

Enriquecimiento • Dividir entre 12 Con la hora oficial, las 24 horas del día se dividen en dos grupos de 12 horas. El primer grupo es el de las horas a.m. y el segundo grupo, el de las horas p.m. En cambio, con la hora militar el día no se divide en dos grupos, sino que se cuentan 24 horas. Problema Un espectáculo aéreo militar está programado para las 16:00. ¿A qué hora comienza el espectáculo, expresada como hora oficial? De una manera Puedes usar una esfera de un reloj normal de 12 horas para hallar la hora. Empieza en el cero y cuenta 16 lugares alrededor de la esfera. Después de pasar las doce horas, llegarás a las 4 p.m. De otra manera También puedes usar la aritmética modular para hallar la hora. Para expresar un valor, la aritmética modular usa un ciclo de números y residuos que se repiten. Cuando los números llegan a cierto valor, el módulo, se repiten. El número 16 expresado en módulo 12 (mód. 12) es el mismo que el residuo que sobra después de dividir 16 entre 12. 16 4 12 5 1 r4

16 mód. 12 5 4

Por lo tanto, el espectáculo empezará a las 4 p.m. Ejemplos A Rodrigo se fue a dormir a las 21:00. ¿Cuál es la hora oficial en que se fue a dormir? 21 mód. 12

21 4 12 5 1 r9

Se fue a dormir a las 9 p.m.

B Juan tiene 39 tarjetas coleccionables. ¿Cómo expresarías 39 en mód. 12? 39 mód. 12

39 4 12 5 3 r3

Por lo tanto, 39 mód. 12 es 3.

Inténtalo Expresa cada valor en mód. 12. Muestra tu trabajo. 1. 87  2. 117 

3. 200 

4. 14:00 

5. 62

Explica cómo usarías la aritmética modular para expresar 11 p.m. en hora militar.

6. 

Capítulo 3  89

Libro 5.indb 89

24-01-13 10:08

4

Álgebra: Usar las operaciones de multiplicación y división La idea importante

Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan para evaluar expresiones y resolver ecuaciones de multiplicación y división.

Chile

DATO BREVE

El estadounidense Charles Schulz creó la tira cómica Peanuts que ha dado la vuelta al mundo (en la imagen el mosaico homenaje en Santa Rosa, USA). En Chile Condorito es el protagonista de la historieta chilena por excelencia. René Ríos conocido por el seudónimo de Pepo fue su creador. La historieta de Condorito ha traspasado las fonteras chilenas.

Se han seleccionado 12 viñetas. Las expresiones 6 1 6 y 3 3 4 ambas son iguales a 12. Escribe tres expresiones diferentes que sean iguales al número de viñetas que se muestran aquí usando dos o más operaciones. Explica cómo decidiste si debías usar paréntesis.

90

Libro 5.indb 90

24-01-13 10:08

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar exitosamente el Capítulo 4.

u Usar una regla Copia y completa cada tabla. 1.

Equipo

2

3

4

5

6

Jugadores

12

18

24

j

j

Regla: Multiplicar el número de equipos por 6. 3.

Piernas

12

16

20

24

28

Vacas

3

4

5

j

j

Regla: Dividir el número de piernas entre 4.

2.

Monedas de $10

4

5

6

7

8

Monedas de $1

40

50

j

70

j

 Regla: Multiplicar el número de monedas

de $10 por 10.

4.

Pulgadas

12

24

36

48

60

Pies

1

2

j

4

j

Regla: Dividir el número de pulgadas entre 12.

u Familias de operaciones Copia y completa cada enunciado numérico. 5. 5  3 5 j

6. 6  7 5 j

7. 4  9 5 j 8. 7  9 5 j

15  j 5 3 42  j 5 7 36  j 5 9 63  j 5 9

u Ecuaciones de suma y de resta Resuelve la ecuación usando el cálculo mental. Comprueba tu solución. 9. n 1 8 5 13

10. 9  n 5 6

11. n 1 6 5 14 12. 12  n 5 3

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

PREPARACIÓN

propiedad  asociativa propiedad  conmutativa propiedad  distributiva ecuación expresión

propiedad envolvente del cero  la propiedad que establece que el producto de 0 y cualquier otro número es 0

propiedad de identidad prevalencia de las operaciones paréntesis variable propiedad del cero

propiedad de elemento neutro  la propiedad que establece que el producto de cualquier número y 1 es ese mismo número propiedad conmutativa la propiedad que establece que cuando se cambia el orden de dos factores, el producto es el mismo

Capítulo 4  91

Libro 5.indb 91

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

Propiedades de la multiplicación

1. 3 2. 5 3. 2 4. 7 5. 8

ObjetivO: Identificar y usar las propiedades de la multiplicación.

Aprende Las propiedades de la multiplicación te ayudan a hallar productos de dos o más factores.

3 3 3 3 3

1 3 6 0 2

Vocabulario Propiedad envolvente del cero Propiedad elemento neutro

PROPIEDADES

Propiedad conmutativa

La propiedad envolvente del cero dice que el producto de 0 y cualquier número es 0.

La propiedad elemento neutro dice que el producto de 1 y cualquier número es ese número.

3 3 0 5 0

1 3 3 5 3

La propiedad conmutativa dice que puedes multiplicar dos factores en cualquier orden y obtener el mismo producto. 2 3 3 5 6

33256

Propiedad asociativa Propiedad distributiva

La propiedad asociativa dice que puedes agrupar factores de diferentes maneras y obtener el mismo producto. Usa paréntesis ( ) para agrupar los factores que multipliques primero. (4 3 2) 3 3 5 24

4 3 (2 3 3) 5 24

• Usa fichas para mostrar dos maneras de agrupar 3 3 2 3 5 para hallar el producto. ¿Son los productos iguales? Explica. Haz un dibujo para registrar tus modelos.

Ejemplo 1  Usa las propiedades para hallar el factor que falta.   j 3 12 5 0 0  3 12 5 0 Por tanto, j 5 0.

Propiedad envolvente del cero

  9 3 j 5 8 3 9 9 3     8 5 8 3 9

Propiedad conmutativa

Por tanto, j 5 8.

92

Libro 5.indb 92

24-01-13 10:08

La propiedad distributiva PROBLEMA  En la tienda de mascotas, los conejos están en una jaula que mide 4 metros de ancho por 12 metros de largo. ¿Cuál es el área de la jaula?

El área es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie plana.

Actividad  Usa la propiedad distributiva. Materiales

Recuerda

■ losetas cuadradas

La propiedad distributiva dice que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y después sumar los productos.

área 5 2 3 3, o 6, unidades cuadradas.

Multiplica. 4 3 12

Paso

Paso

Haz un modelo para hallar 4 3 12. Usa losetas cuadradas para construir una matriz.

Paso

Separa la matriz para hacer dos matrices pequeñas para los productos que conoces.

12

10

4

2

4 4 3 12 5 j

Usa la propiedad distributiva para mostrar la suma de dos productos.

(4 3 10) 1 (4 3 2) 40

1

8

5

48

4 3 (10 1 2)

Por tanto, el área de la jaula es de 48 metros cuadrados. El uso de las propiedades te ayuda a hallar el valor de las expresiones de multiplicación.

Ejemplo 2  Usa las propiedades y el cálculo mental.  Halla 8 3 12. 8 3 12 5 8 3 (10 1 2) 5 (8 3 10) 1 (8 3 2) 5 80 1 16 5 96

Piensa: 12 5 10 1 2 Propiedad distributiva

 Halla 5 3 5 3 2. 5 3 5 3 2 5 5 3 (5 3 2) 5 5 3 10 5 50

 Halla 2 3 7 3 5. Propiedad asociativa

23735523537 5 (2 3 5) 3 7 5 10 3 7 5 70

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa

• ¿Cómo puedes agrupar los factores para multiplicar 5 3 2 3 8? • ¿Es 27 3 (48 2 48) 5 0 verdadero? Explica cómo puedes ver esto, fácilmente.

Capítulo 4 93

Libro 5.indb 93

24-01-13 10:08

Práctica con supervisión 1. Usa la propiedad asociativa para hallar el factor que falta. (12 3 j) 3 4 5 12 3 (3 3 4)

Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 2. 1 3 56 3 1 6.

3. 24 3 0 3 6

 4. 8 3 3 3 3

 5. 7 3 12

 Explica cómo es verdadera la propiedad conmutativa para 4 3 8 y 8 3 4. Haz un modelo o un dibujo.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 7. 9 3 7 3 0

8. 2 3 4 3 7

9. 8 3 5 3 2

10. 6 3 9 3 1

Halla el número que falta. Nombra la propiedad que usaste. 11. 8 3 6 5 6 3 j

12. 5 3 12 5 (5 3 10) 1 (5 3 j)

13. (4 3 5) 3 2 5 4 3 (j 3 2)

Haz un modelo y usa la propiedad distributiva para hallar el producto.  14. 5 3 12

15. 3 3 12

16. 6 3 12

17. 12 3 9

Muestra dos maneras de agrupar usando paréntesis. Halla el producto. 18. 3 3 2 3 5

19. 8 3 7 3 1

22. Hay 2 mesas, cada una tiene 3 peceras con

20. 7 3 0 3 2

23. Hay 9 peceras con 11 peces tetra en cada

5 peces en cada una. Hay también 3 mesas, cada una tiene 2 peceras con 5 peces en cada una. ¿Son iguales las cantidades? Explica. 24. Formula un problema  Escribe un problema

21. 2 3 6 3 2

una y 12 peceras con 7 peces molly en cada una. ¿Hay más tetras o mollis? ¿Cuántos más hay? 25.

que se pueda resolver usando el producto (4 3 2) 3 8.

 ¿Cuál es la pregunta? El producto es 19. Explica cómo lo sabes.

Comprensión de los Aprendizajes 26. 18 1 36 5 27. 42 4 7 5 28. ¿Cuánto es 324 946 redondeado a la decena

de mil más cercana?

94

Libro 5.indb 94

29.

Preparación para la prueba  ¿Cuál es el número que falta? 7 3  5 (7 3 10) 1 (7 3 2)

A 2 C 12 B 10 D 20

Práctica adicional en la página 108, Grupo A

24-01-13 10:08

Escribe para probar o refutar Algunas veces debes evaluar si un enunciado numérico o idea matemática es verdadera o falsa. Puedes usar lo que conoces acerca de las operaciones y propiedades para probar o refutar si las propiedades de la multiplicación son verdaderas para la división. El grupo de Paula quiere saber si la propiedad conmutativa es verdadera para la división. Los miembros de su grupo escribieron esta explicación para mostrar lo que aprendieron.

Nosotros podemos intentar con diferentes problemas de división

Escribe para probar o refutar:

para hallar si la propiedad conmutativa funciona para la división.

• Usa vocabulario matemático correcto.

Decidimos intentar con 6 4 6 y 6 4 3.

• Plantea la idea matemática que estás probando o refutando.

? 5​ Primero, preguntamos si 6 4 6      ​    6 4 6. Ambos cocientes son

• Decide por lo menos dos ejemplos para analizar tu idea.

iguales a 1. Por lo tanto, el enunciado numérico es verdadero y la

• Muestra tus cálculos y explica lo que aprendiste de cada ejemplo.

propiedad conmutativa funciona para este problema de división. ? 5​ Después, preguntamos si 6 4 3      ​    3 4 6. En este ejemplo, el divisor y el dividendo son números diferentes. 6 4 3 5 2 y 3 _

3 _

3 4 6 5 ​ 6 ​. El cociente 1 y 6​   ​no son iguales. Por lo tanto, este

enunciado numérico es falso.

• Para probar, cada caso necesita ser evaluado. Para refutar, sólo es necesario un caso falso. • Muestra tu razonamiento sacando una conclusión acerca de cada ejemplo. • Por último, escribe una conclusión que establezca si probaste o refutaste la idea matemática que estabas analizando.

Por último, los miembros de nuestro grupo estuvieron de acuerdo en que, como el segundo enunciado numérico es falso, la división no es conmutativa.

Resolución de problemas  Escribe para probar o refutar cada propiedad para la división. 1. Propiedad envolvente del cero

2. Propiedad elemento neutro

Capítulo 4 95

Libro 5.indb 95

24-01-13 10:08

2

Prevalencia de las operaciones

Repaso rápido

OBJETIVO: Aplicar la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción.

2. 28 4 4

1. 8 3 6 3. 56 4 7 4. 45 1 28 5. 91  34

PROBLEMA  En una visita a la Feria del libro usado, Carla compra un libro de $600 y 2 libros de $400 cada uno. Paga con un billete de $2 000. ¿Cuánto dinero le queda? Puedes escribir la expresión 2 000  600  2 3 400 para resolver el problema. Antes de que resuelvas este problema, investiga cómo el orden en que realices las operaciones puede cambiar la respuesta.

Vocabulario prevalencia de las operaciones

Recuerda

Una expresión es parte de un enunciado numérico que tiene números y signos de operaciones pero que no tiene un signo de igual.

Haz una lista de todos los órdenes posibles que puedes usar para hallar el valor de la expresión. 4 1 16 4 4  2. Usa cada orden de tu lista para hallar el valor de la expresión. Usa papel y lápiz.

Sacar conclusiones 1. ¿Cambió el valor de la expresión al seguir un orden

diferente?  2. Compara todos los valores que hallaste.

¿Tienen sentido todos estos valores? Explica. 3. ¿De qué manera el orden en que realizas las

operaciones cambia el valor de una expresión que tiene más de un tipo de operación? 4. Síntesis  ¿Qué ventaja hay en establecer un orden de

las operaciones que todos sigan? 

96

Libro 5.indb 96

24-01-13 10:08

Cuando resuelves problemas con más de un tipo de operación, necesitas saber qué operación realizar primero. Un conjunto de reglas especiales, llamado prevalencia de las operaciones, da el orden en el cual se realizan los cálculos en una expresión. Primero, multiplica y divide de izquierda a derecha. Después, suma y resta de izquierda a derecha. Luego, usa el orden de las operaciones para resolver el problema.

Halla el valor de 2 000  600 2 2 3 400.

Paso

Multiplica de

2 000  600  2 3 400 izquierda a 2 000  600  800 derecha.

Paso 2 000  600  800 1 400  800

Paso

Después, resta

1 400  800 Luego, resta otra vez. 600

de izquierda a derecha.

Por lo tanto, a Carla le quedan $600. • ¿Cómo te ayudó la prevalencia de las operaciones a resolver este problema?

¿Qué operación debes realizar primero para hallar los valores de 12  6 4 2 y 12 4 6  2? ¿Cuál es el valor de cada expresión?

Ejemplos  12 1 15 4 3 12 1 5 17

 32  10 1 6 22 1 6 28

Divide de izquierda a derecha. Después, suma.

Suma y resta de izquierda a derecha.

Escribe correcto si las operaciones están en el orden correcto. Si no es así, escribe el orden de las operaciones correcto. 1. 4 1 5 3 2  Multiplicar, sumar

 2. 8 4 4 3 2  Multiplicar, dividir 

3. 12 1 16 4 4  Sumar, dividir 4. 9 1 2 3 3  1  Sumar, multiplicar, restar

Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 5. 6 1 9 4 3 6. 3 3 6 4 2 7. 49 4 7 1 5

 8. 36  4 1 8 4 4

9. 8 1 27 4 9  2 10. 9 3 7 1 4 11. 45 4 5  6

12. 8 3 9  4 1 12

Razonamiento  Usa los números de la lista para hacer un enunciado numérico verdadero.  13. 2, 6 y 5

14. 4, 12 y 18

15. 8, 9 y 7

j 1 j 3 j 5 16 j  j 4 j 5 15 j 3 j  j 5 47 16.

¿Es 4 1 8 3 3 igual a 4 1 3 3 8? Explica cómo lo sabes sin hallar el valor de cada expresión.

Práctica adicional en la página 108, Grupo B

Libro 5.indb 97

Capítulo 4 97

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

3 Expresiones entre paréntesis

OBJETIVO: Aplicar las reglas relativas a paréntisis para hallar el valor de expresiones

Repaso rápido 1. 9 1 3 3 6 2. 15 2 8 4 2 3. 20 4 4 2 3 4. 7 3 6 2 3 3 5 5. 36 4 4 1 8 3 2

Aprende Ya sabes cómo usar el orden de las operaciones para hallar el valor de una expresión con más de un tipo de operación. Algunas expresiones pueden tener paréntesis. En una expresión que tiene paréntesis, se resuelve primero lo que está entre paréntesis. Primero, realiza cualquier operación entre paréntesis. Después, multiplica y divide de izquierda a derecha. Luego, suma y resta de izquierda a derecha.

Ejemplo 1  Usa el orden de las operaciones.  David es un observador de aves. Vio 8 cachuditos del norte durante el fin de semana. Cada día de la semana, vio 3 cachuditos más. ¿Cuántos cachuditos vio en total? 8 1 (2 3 3) ↓ 8 1 6 ↓ 14

Piensa: 8 cachuditos más 2 días multiplicado por 3 cachuditos cada día Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, suma.

Por lo tanto, David vio 14 cachuditos del norte en total.  Camila vio 8 diucas el lunes y otras 2 el martes. Para finales de la semana, había visto 3 veces tantas diucas como las que vio el lunes y el martes juntas. ¿Cuántas diucas vio en total? (8 1 2) 3 3 ↓ 10 3 3 ↓ 30

Piensa: 3 multiplicado por el total de 8 diucas y 2 diucas Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, multiplica.

Por lo tanto, Camila vio 30 diucas en total. • Halla el valor de 8 1 2 3 3. ¿En qué se parece esta expresión a 8 1 (2 3 3) y a (8 1 2) 3 3? ¿En qué se diferencia?

98

Libro 5.indb 98

24-01-13 10:08

Relaciona las palabras y las expresiones Puedes relacionar palabras con una expresión o escribir una expresión que se relacione con palabras.

Ejemplo 2  Relaciona las palabras con una expresión. Después, halla el valor de la expresión. Juan contó bandurrillas de pico recto en 2 árboles. Había 5 pájaros en cada árbol. Después, 3 pájaros se fueron de cada árbol. ¿Cuántas bandurrillas quedaron? ¿Qué expresión se relaciona con el significado de las palabras? Piensa: Los 2 árboles que tenían 5 pájaros cada uno, ahora tienen 3 pájaros menos.

(2 3 5) 2 3  ← Primero, halla el número total de pájaros

(2 3 5) 2 3 

2 3 (5 2 3)  ← Primero, halla el número de pájaros que

en los árboles y después resta el número

quedan en cada árbol y después halla el

que se fue volando.

número total que quedan.

No se relaciona con el significado.

2 3 (5 2 3) 

Se relaciona con el significado.

Para hallar cuántas bandurrillas quedan, sigue el orden de las operaciones. 2 3 (5 2 3) ↓ 2 3 2 ↓ 4

Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, multiplica.

Por lo tanto, quedan 4 bandurrillas de pico recto.

Ejemplo 3  Escribe una expresión que se relacione

Los paréntesis te ayudan a hallar el valor correcto de una expresión con más de un tipo de operación. El significado de las palabras en un problema indica dónde colocar los paréntesis.

con las palabras. Después, halla el valor de la expresión. Elia vio 6 albatros de frente blanca en cada uno de 3 árboles. Además, vio 4 diucas. ¿Cuántas albatros más que diucas vio? (6 3 3) 2 4  ← 6 albatros en cada uno de 3 árboles y 4 diucas menos Para hallar cuántos más albatros vio Elia, sigue el orden de las operaciones. (6 3 3) 2 4 ↓ 18 2 4 ↓ 14

Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, resta.

Por lo tanto, Elia vio 14 albatros de frente blanca más que diucas. • Explica por qué la posición de los paréntesis es importante.

Capítulo 4 99

Libro 5.indb 99

24-01-13 10:08

Práctica con supervisión 1. ¿Qué manera de colocar los paréntesis da un valor de 35?

a. 5 3 (9 2 2)

b.  (5 3 9) 2 2

Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 2. 3 3 6 2 (2 1 4) 4 2

3. 3 3 (6 2 2) 1 4 4 2

 4. 3 3 (6 2 2 1 4) 4 2

Elige la expresión que se relacione con las palabras. 5. Claudia tenía $7 y después trabajó 3 horas

a $6 la hora. a. (7 1 3) 3 6

7.

6.  Juán José tenía 4 páginas con 5 estampillas

en cada una. Usó 3 estampillas

b. 7 1 (3 3 6)

a. (4 3 5) 2 3

b. 4 3 (5 3 3)

Explica por qué los valores de 8 1 6 4 2 y (8 1 6) 4 2 son diferentes. ¿Cuál es el valor de cada expresión?

Práctica independiente y resolución de problemas Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 8. 45 2 9 4 3

9. 30 1 2 3 (6 2 4)

10. (45 2 9) 4 3

11. 36 2 (4 1 8) 4 4

12. 8 1 6 3 5 2 2 

13. (28 2 8) 4 4 1 6

14. 5 3 (9 2 4) 1 (12 4 6)

15. 18 2 (5 3 3)

16. (36 4 4) 1 (10 2 5)

17. (3 3 8) 4 (6 1 6)

18. (9 2 6) 3 (8 2 5 1 3) 

19. (12 3 3) 4 (8 2 4)

Elige la expresión que se relacione con las palabras. 20. Ariel tenía 15 bolitas. Regaló 3 y después le

21. María José tenía 50 láminas. Le dio 4 láminas

dieron 5. a. (15 2 3) 1 5

durante 5 días a su hermano. b. 15 2 (3 1 5)

22. Samuel trabajó 6 horas al día por 4 días.

a. 50 2 (4 3 5)

23. Jéssica compró 2 boletos a $800 cada uno.

Trabajó 5 horas el quinto día. a. (6 3 4) 1 5

b. (50 2 4) 3 5

Pagó $100 de impuesto de ventas.

b. 6 3 (4 1 5)

a. 2 3 (800 1 100) b. (2 3 800) 1 100

Escribe las palabras que se relacione con la expresión. 24. 4 3 (5 1 3)

25. (10 1 2) 3 6

26. 6 3 (5 2 3)

27. (7 3 2) 2 12

Usa paréntesis para hacer el enunciado numérico verdadero. 28. 34 1 6 4 4 5 10

29. 7 3 6 2 3 5 21

30. 14 2 4 1 8 4 2 5 9

31. 7 3 6 1 6 2 2 5 82

32. 5 1 6 3 2 5 22

33. 9 2 6 3 6 4 2 5 9

100

Libro 5.indb 100

24-01-13 10:08

34. Lia vio 8 gorriones en cada uno de 3 árboles y

35. Formula un problema  Escribe un problema

4 chincoles en cada uno de 2 árboles. ¿Cuántos gorriones más vio que chincoles? 36. Luisa vio 4 zorzales en su primera hora

observando aves. En la segunda hora, vio 1 más que el doble del número que vio en la primera hora. Escribe una expresión para el número de zorzales que vio en la segunda hora. ¿Cuántos zorzales vio en total? 

que se relacione con la expresión 4 3 (8 2 3). 37.

  Cuando hallas el valor de 6 1 6 y 3 3 4, ambas expresiones son iguales a 12. ¿Qué otros nombres para 12 puedes escribir que tengan solo números menores que 10 y por lo menos tres operaciones diferentes? Explica cómo decidiste si debías usar paréntesis.

Comprensión de los Aprendizajes 365639

38. Halla el valor de w 1 26 si w 5 17.

41. j

39. Un santuario de aves tiene 8 aves en cada jaula

42. Preparación para la prueba  ¿Qué expresión

tiene un valor de 28?

gigante. Si hay 56 aves, ¿cuántas jaulas hay?  40. Preparación para la prueba  Halla el valor de la

expresión. 4 3 (9 2 5) 2 1

A (16 2 2) 3 2 B 16 2 2 3 2 C 16 1 4 4 2 1 8 D (16 1 2) 4 2 1 8

Sendero de Chile

q Torres del Paine

El Parque Nacional Torres del Paine dista 41km del Monumento Natural Cueva del Milodón. En esta cueva habitó el Milodón. Esta especie de animal extinta pertenecía a la familia de los armadillos, osos hormigueros y actuales perezosos; era bípedo y medía aproximadamente dos metros y medio. Escribe una expresión que se relacione con las palabras. Después, halla el valor de la expresión. 1. Un pionero viajó 3 km por hora durante 3 horas en la mañana.

Después viajó 5 km en la tarde y 3 km en la noche. ¿Qué distancia viajó?  2. Una familia viajó 7 km en la mañana, 2 km por hora durante

4 horas en la tarde y después 1 km más en la noche. ¿Qué distancia viajó la familia? 

Capítulo 4 101

Libro 5.indb 101

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Escribir y evaluar expresiones

1. 6 3 3

2. 4 3 5

3. 9 3 7

4. 24 4 3

5. 36 4 9

ObjetivO: Escribir y evaluar expresiones de multiplicación y división con variables.

Aprende ProblemA  Doris colecciona estampillas. Ahora tiene 5 veces la cantidad de estampillas que tenía cuando empezó la colección. Escribe una expresión para el número de estampillas que tiene ahora. Después halla cuántas estampillas más tendría ahora si empezara con 3.

Ejemplo 1

Usa bloques de patrón para representar la expresión. para representar el número de estampillas con que Doris Usa empezó su colección y usa para representar 1 estampilla. ← número de estampillas que tiene ahora

Como ella empezó con 3 estampillas, sustituye cada

por 3

.

5 15 Usa una variable. Escribe una expresión con una variable. Usa n para representar el número de estampillas con que Doris empezó su colección. ← número de estampillas que tiene ahora 5 3 n Halla el valor de 5 3 n si n 5 3. 5 3 n ↓ Sustituye n por 3, ya que ella empezó con 3 estampillas. 5 3 3 ↓ 15 Por lo tanto, Doris tiene ahora en su colección 15 estampillas.

Recuerda 

Una variable puede representar cualquier número. Puedes usar cualquier letra como variable

• ¿Cómo usarías la propiedad asociativa para volver a escribir y después hallar el valor de (d 3 4) 3 3 si d 5 6?

102

Libro 5.indb 102

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Ejemplo 2 Carlos coloca sus estampillas en un álbum. Él llena una página con 24 estampillas en hileras iguales. Escribe una expresión para el número de estampillas que hay en 1 hilera. Después halla cuántas estampillas hay en cada hilera si él las coloca en 4 hileras. Usa un modelo. Usa bloques de patrón para representar la expresión. Usa 24

  para representar 24 estampillas.

Coloca los

en 4 hileras iguales.

Usa una variable. Escribe una expresión con una variable. Usa f para representar el número de estampillas en cada hilera. ← número de estampillas en cada hilera 24 4 f Halla el valor de 24 4 f si f 5 4. 24 4 f ↓ . 24 4 4 Sustituye f por 4, ya que hay 4 ↓ hileras iguales. 6

Estas frases de multiplicación tienen el mismo significado: • 4 grupos cada uno con n objetos • 4 3 n • 4 veces un número, n Estas frases de división tienen el mismo significado: • n objetos separados en 6 grupos

Por lo tanto, Carlos colocó 4 estampillas en cada hilera.

• n 4 6

Ejemplo 3  Escribe una expresión que se relacione con las palabras. Después halla el valor de la expresión.

• un número, n, dividido entre 6

  Carlos gastó $1 000 en algunas estampillas. Escribe una expresión para el precio de una estampilla. costo total 4 entre un número de estampillas ↓ ↓ 1 000 4 e ← e es el número de estampillas.

  Carlos compró algunas estampillas de $300. Escribe una expresión para la cantidad total que gastó. un número de estampillas 3 el precio de cada estampilla ↓ ↓ ← e es el número e 3 300

Imagina que él compró 5 estampillas. 1 000 4 e ↓ 1 000 4 5 Sustituye e por 5. ↓ 200

Imagina que él compró 8 estampillas. e 3 300 ↓ 8 3 300 Sustituye e por 8. ↓ 2 400

Por lo tanto, Carlos gastó $200 por cada estampilla.

de estampillas.

Por lo tanto, Carlos gastó $2 400 por 8 estampillas.

Capítulo 4 103

Libro 5.indb 103

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Práctica con supervisión 1. Hay dos cajas de lápices, con c lápices en cada caja. Halla el

número total de lápices, 2 3 c si c 5 8. Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 2.  3 veces un número de palabras, p, en una

3. Un puñado de llaves, l, dividido en partes iguales

lista de deletreo.

y colocado en 4 llaveros.

Halla el valor de la expresión. 4. 2 3 p si p 5 9 8.

5. 6 3 w si w 5 7

6. 40 4 m si m 5 5

7. s 4 3 si s 5 27

Explica cómo hallar el valor de 8 3 k y 36 4 k si k 5 4.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 9. el precio de algunos juguetes, j, a $500

cada uno

10. muchas páginas, p, cada una con

10 calcomanías

11. el número de libros, l, dividido en partes iguales y 12. 16 autos miniatura divididos en partes iguales

colocados en 6 estantes

entre un número de cajas, e

Halla el valor de la expresión. 13. c 3 8 si c 5 3

14. 9 3 y si y 5 7

15. v 4 8 si v 5 32

16. 25 4 q si q 5 5

17. a 4 2 si a 5 12

18. b 3 4 si b 5 8

19. 72 4 b si b 5 9

20. 7 3 r si r 5 8

23. 9 3 s

24. (6 4 s) 1 3

Relaciona la expresión con las palabras. 21. 9 4 s

22. 6 3 (s 3 3)

a. 6 veces el producto de s y 3

b. el cociente de 9 dividido entre s

c. 6 dividido entre s y sumar 3

d. 9 veces s

Halla el valor de cada expresión si n 5 7. Después escribe ,, . o 5. 25. 59 2 58 d n 4 7

26. 9 3 3 d 42 4 n

27. 4 3 n d 26 1 4

28. Ángela compra algunas hojas de estampillas. Cada hoja tiene 10

estampillas. Escribe una expresión para el número de estampillas que compra. ¿Cuántas estampillas más hay en 9 hojas que en 6? 29.

DATO BREVE En 1980, un coleccionista compró una estampilla en $3 000. En 2006 la vendió a un valor de 12 veces al que la compró más 3 monedas de $100. ¿En cuánto vendió la estampilla?

104

Libro 5.indb 104

Práctica adicional en la página 108, Grupo C

24-01-13 10:08

30. Razonamiento  Usa las propiedades

¿Cuál es el error? Alberto afirma que w 3 8 es 16 si w 5 8. ¿Qué error pudo haber cometido Alberto? Escribe la respuesta correcta.

31.

conmutativa y asociativa para volver a escribir y después hallar (5 3 n) 3 2 si n 5 9. Explica cómo hallaste tu respuesta.

Comprensión de los Aprendizajes 35. Muestra dos maneras de usar paréntesis para

32. ¿Qué número representa la n?

agrupar 6 3 2 3 3. Halla los productos. 

n + 7 = 14 33. ¿Cuántos pares de lados paralelos pareciera

tener esta figura?

34. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el valor

36. Preparación para la prueba  Danilo tiene 6 veces tantas monedas como Susana. Usa s para representar el número de monedas que tiene Susana. ¿Qué expresión muestra el número de monedas que tiene Danilo? A 6 1 s B 6 2 s

de la expresión 36  t si t = 4? A 9 C 40

C 6 3 s

B 32

D 144

D 6 4 s

Universidad de Chile 170 años: Cuatro sellos con las imágenes de Valentín Letelier, Amanda Labarca, la Casa Central y la estatua de Andrés Bello fueron presentados este viernes 28 de septiembre (2012) en CorreosChile, dando así comienzo a las actividades de Aniversario 170 de esta Casa de Estudios. En cada uno de los sellos se lee la inscripción “Precursores de la Educación Pública”. Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 1. el total de 2 estampillas en cada tarjeta conmemorativa, c 2. el precio de un número de sobres de la primera emisión, s,

que costaba $2 500 cada uno

Cada estampilla, e, cuesta $500. Halla el costo total del número de estampillas. 3. e 5 8

4. e 5 5

5. e 5 7

Capítulo 4 105

Libro 5.indb 105

24-01-13 10:08

LE C C

N IÓ

5

Repaso rápido

Patrones: Hallar una regla OBJETIVO: Hallar una regla para una relación numérica y escribir una ecuación para la regla.

1. 5 3 7

2. 8 3 6

3. 32 4 4

4. 63 4 9

5. 3 3 6 1 2

Aprende PROBLEMA  Un litro de leche es igual a 4 cuartos de leche, 2 litros son iguales a 8 cuartos y 3 litros son iguales a 12 cuartos. ¿Cuántos cuartos de leche son iguales a 4 litros? Puedes usar una tabla de entrada y salida para hallar una regla que relacione el número de litros con el número de cuartos. Entrada (litros)

Salida (cuartos)

1

4

2

8

3

12

4

j

Busca un patrón que te ayude a hallar una regla. Patrón: Cada salida es la entrada multiplicada por 4.

p U  na vaca produce aproximadamente 752 litros de leche en un mes.

Regla: Multiplicar la entrada por 4. Entrada: 4 Salida: 4 3 4 5 16

Por lo tanto, 4 litros son iguales a 16 cuartos de leche.

ADVERTENCIA

Puedes escribir una ecuación para mostrar la regla. Usa variables para mostrar la entrada y la salida. entrada (litros)

salida (cuartos)

g  3  4  5  c

Una regla debe funcionar con cada par de números de la tabla. Asegúrate de probar tu regla con cada par de números de la tabla.

Piensa en la ecuación como una regla. Para hallar el valor de c, multiplica g por 4.

Ejemplos  Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la ecuación para hallar el número que sigue en tu patrón.

 atrón: Cada salida es la entrada dividida entre 7. P Regla: Divide b entre 7. Ecuación: b 4 7 5 c

Entrada, b

Salida, c

14

2

14 4 7 5 2

28

4

28 4 7 5 4

42

6

42 4 7 5 6

56

j

56 4 7 5 8

Piensa:

Por lo tanto, el número que sigue en el patrón es 8.

106

Libro 5.indb 106

24-01-13 10:08

Práctica con supervisión 1. La regla es multiplicar w por 6. La ecuación es w 3 6 5 z.

¿Cuál es el número que sigue en el patrón?

Entrada, w 4

5

6

7

8

Salida, z

30

36

42

24

Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan.   2. Entrada, b 90

70

60

50

Salida, c

7

6

   

4.

9

30

20

 3.

10

Entrada, r

2

3

5

6

Salida, s

18

27

45

   

 Explica cómo se usa la tabla para escribir una ecuación para hallar la distancia, d, en kilómetros que recorrerá un camión que viaja con l litros de bencina. Usa la ecuación para completar la tabla.

8

9

10

Entrada, l

1

2

3

4

Salida, d

12

24

36

Práctica independiente y resolución de problemas Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan.  5.

Entrada, x

14

28

42

56

Salida, y

2

4

6

   

70

77

6.

84

Entrada, d

3

4

6

  

11

Salida, f

15

20

30

40

55

45

50

Usa la regla y la ecuación para hacer una tabla de entrada y salida.  7. Dividir k entre 10. 8. Multiplicar c por 12.

9. Multiplicar f por 4, sumar 7.

10. Dividir p entre 5, restar 2.

k 4 10 5 m c 3 12 5 d (f 3 4) 1 7 5 g (p 4 5) 2 2 5 q USA LOS DATOS  Para los ejercicios 11 a 12, usa la pirámide de alimentos para niños.

t P ara una dieta de 1 800 calorías, necesitas comer o tomar la cantidad que se muestra de cada grupo todos los días.

11. ¿Cuántas tazas de leche debe tomar un niño

en 2, 3, 4 y 5 días? Haz una tabla de entrada y salida. Escribe una ecuación para resolverlo. 12.

Explica cómo se halla una regla y se escribe una ecuación para el número total de tazas de granos que un niño debe comer en 3 días.

Granos

Vegetales

1 taza

2 12 tazas

Frutas

112 tazas

Leche

Carne y legumbres

3 tazas

114 tazas

Comprensión de los Aprendizajes 13. ¿Cuál es el valor de p?

15 2 p 5 8

16. Preparación para la prueba  ¿Qué ecuación

muestra una regla para la tabla? 

14 4 3 10 5

Entrada, c

3

6

9

15. (10 2 2) 3 7 5

Salida, p

6

12

18

Práctica adicional en la página 108, Grupo F

Libro 5.indb 107

A r 1 6 5 5

C 5 2 6 5 r

B r 2 6 5 5

D r 2 5 5 6

Capítulo 4 107

24-01-13 10:08

Práctica adicional Grupo A  Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 1. 2 3 7 3 5

2. 2 3 0 3 31

3. 1 3 6 3 7

4. 3 3 8 3 2

5. 8 3 1 3 7

6. 5 3 4 3 6

7. 5 3 9 3 2

8. 3 3 0 3 34

9. Una tienda recibió un envío de 2 cajones con 10 empaques

de jugo en cada uno. Hay 5 cajas de jugo en cada empaque. ¿Cuántas cajas de jugo recibió la tienda?

Grupo B  Sigue el orden de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 1. 28 2 4 4 2

2. 25 1 15 4 (2 1 3)

3. 5 3 (6 2 3) 1 9

4. 28 2 (5 1 3) 4 4

5. 16 1 4 3 (3 1 7)

6. (22 2 1) 4 7

7. (9 1 18) 4 3

8. 36 4 9 2 4

3. 6 3 n si n 5 8 

4. 56 4 q si q 5 7

7. 9 3 s si s 5 8

8. w 4 9 si w 5 36

Grupo C  Halla el valor de cada expresión. 1. d 3 9 si d 5 6

2. f 4 7 si f 5 49

5. n 3 8 si n 5 5 6. 63 4 m si m 5 9

9. Allison colocó 10 fotos en cada una de n páginas de su álbum. Escribe una expresión para mostrar el número total de fotos en el álbum.

Grupo D  Resuelve la ecuación. 1. 3 3 n 5 21

2. c 4 9 5 1

3. t 3 4 5 28

4. h 4 4 5 10

5. r 4 6 5 5

6. 56 4 m 5 7

7. 3 3 w 3 3 5 36

8. 3 3 n 3 4 5 24

Grupo E  Di si cada ecuación es verdadera. Si no, explica por qué.      ​  ?   ​ 8 3 3 1. (12 2 4) 3 8 5      ​  ?   ​ (5 3 3) 4 5 3. (8 1 7) 4 3 5

     ​  ?   ​ (30 4 10) 3 12 2. (5 1 4) 3 4 5      ​  ?   ​ (63 4 7) 3 3 4. (56 4 8) 3 3 5

Grupo F  Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 1.

Entrada, a

6

12

18

24

Salida, b

1

2

3

 

30

2.

Entrada, m

4

5

6

 

Salida, n

32

40

48

56

64

108

Libro 5.indb 108

24-01-13 10:08

Conexión entre ecuaciones ¡En sus marcas! 2 jugadores

¡Listos!

tarjetas (20)

Un jugador volteó estas dos tarjetas. Los valores de n no coinciden. Por lo tanto, el jugador coloca otra vez las tarjetas boca abajo y le toca su turno al otro jugador.

¡Fuera! Cada jugador toma 10 tarjetas. Un jugador escribe 10 ecuaciones de multiplicación y el otro escribe 10 ecuaciones de división. Todas las ecuaciones necesitan tener la n como variable y el valor de n en cada una debe ser un número entero del 1 al 10.

Decidan quién será el primero. El primer jugador voltea dos tarjetas. Si las dos ecuaciones tienen el mismo valor de n, el jugador se queda con las tarjetas. Si no tienen el mismo valor, el jugador regresa las tarjetas otra vez boca abajo.

Mezclen las tarjetas. Colóquenlas boca abajo en 4 hileras con 5 tarjetas cada una.

Túrnense hasta que todas las tarjetas tengan su pareja. El jugador con más tarjetas gana.

Capítulo 4 109

Libro 5.indb 109

24-01-13 10:09

Repaso/Prueba del Capítulo 4 Repasar el vocabulario y los conceptos 

VOCABULARIO

Elige el mejor término del recuadro. 1. La ? establece que cuando el orden de dos factores

propiedad asociativa propiedad conmutativa propiedad de elemento neutro propiedad envolvente del cero

se cambia, el producto es el mismo. 2. La

?

3. La

?

establece que el producto de 0 por cualquier número es 0. establece que se pueden agrupar factores de diferentes maneras y aun así obtener el mismo producto.

Repasar las destrezas  Aplicar las reglas relativas a la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 4. 25  10  2

5. 11 1 1  (7  3)

6. 3  (8  6) 1 7

7. 14  (3 1 9)  6

Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 8. un número de juguetes, j, dividido 9. varias carpetas, c, que tienen 3 aros cada una en partes iguales entre 8 gatos

Resuelve la ecuación. 10. 7  n 5 56

11. d  6 5 4

12. w  6 5 30

13. p  6 5 7

14. k  4 5 2

15. 35  m 5 7

16. 3  h  3 5 45

17. 4  n  5 5 40

Di si cada ecuación es verdadera. Si no lo es, explica por qué.           ​  ?   ​ (8 1 8)  4 ​  ?   ​ (2  6)  10 18. (4  4)  4 5 19. (24  4)  10 5      ​  ?   ​ (36  3)  3 20. (10 1 6)  4 5

     ​  ?   ​ (40  8)  3 21. (14  9) 1 3 5

Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 22.

Entrada, x Salida, y

20 4

25 5

30 6

35

40

23. Entrada, n

3

4

5

j

j

Salida, m

27

36

45

j 54

j 63

Repasar la resolución de problemas  Resuelve.  24. La suma de dos números es 17. El producto es

72. ¿Cuáles son los números? 

25.

El producto de 11 y p es  igual a q. Describe lo que sabes acerca de los números p y q.

110

Libro 5.indb 110

24-01-13 10:09

Enriquecimiento • Predecir patrones

Crecer, crecer, crecer Puedes usar diagramas, tablas y ecuaciones para predecir patrones. En cada lado de cada mesa cuadrada se puede sentar sólo un estudiante. ¿Cuántos estudiantes se pueden sentar en dos mesas colocadas una junto a la otra? ¿Qué ecuación puedes usar para predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra?

Entrada, m

1

2

3

4

Salida, e

4

6

8

Completa la tabla de entrada y salida para predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto (2  t)  2  s a la otra. Escribe una ecuación para el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra.

Piensa: en cada mesa se pueden sentar 2 estudiantes más 1 estudiante en cada extremo.

La ecuación (2  t)  2  e predice el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra. Por lo tanto, 10 estudiantes se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto a la otra.

Inténtalo Copia y completa el patrón de la tabla. Después, escribe una ecuación para predecir el número de objetos que tendrá cada diseño del patrón. 1. 2. 

fila 1 fila 2 fila 3 fila 4

Entrada, u

1

2

3

4

5

6

Entrada, r

1

2

3

4

5

6

Salida, v

1

3

Salida, c

2

4

3. 4.

Entrada, m Output, n

1

2

3

4

5

6

Entrada, q

1

2

3

4

5

6

1

4

Salida, r

1

5

Explica cómo puedes predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en 14 mesas colocadas una junto a la otra, usando la ecuación (2  m)  2  e.

Capítulo 4 111

Libro 5.indb 111

24-01-13 10:09

Repaso/Prueba de la unidad Capítulo 4

Opción múltiple

5. Los vendedores de Autos Usados Baratos

vendieron 32 autos en 4 días. Cada día se vendió el mismo número de autos. ¿Cuántos autos se vendieron cada día?

1. Rosa escribió la ecuación y 5 500  k como la

regla para las tarifas de los taxis cuando salen de la ciudad. La tarifa es y, y el número de kilómetros recorridos es k. ¿Cuál es la tarifa de un taxi para un viaje de 9 kilómetros?

A 4

C 12

B 8

D 24

A $1 500 B $2 500

6. La familia Ortiz compró tres batidos de leche.

La familia Osorio compró 3 helados de una bola y 4 sundaes. ¿Qué expresión muestra cuántas fichas más gastó la familia Osorio que la familia Ortiz?

C $3 000 D $4 500

2. ¿Qué número va en el recuadro para hacer

verdadero este enunciado numérico?

6  8 5 4  4  j A 6

C 3

B 4

D 2

3. Joaquín pesa el doble que su hermano. Si m

representa el peso de Joaquín, ¿qué expresión muestra cuánto pesa su hermano? 

Helados

Fichas

1 bola 2 bolas Sundae Batido de Leche

2 3 4 3

A (3  2) 1 4  (3  3) B (3  2) 1 (4  4) 1 (3  3)

A m  2

C (3  2 1 4)  (4  3)  3

B m 1 2

D (3  2) 1 (4  4)  (3  3)

C m  2 D m  2

7. ¿Qué número va en el recuadro para hacer

4. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si

verdadero este enunciado numérico? j

1 5 5 21 1 9

t 5 8?

48  (t 1 4)  5 A 50

C 10

B 20

D 4

A 35 B 25

C 6 D 10

112

Libro 5.indb 112

24-01-13 10:09

8. ¿Qué enunciado numérico no está en la misma

familia de operaciones de 6  9 5 j?

Respuesta breve 12. Usa p para representar el precio original de un

cartel. Escribe una expresión para mostrar su precio de oferta.

A j  9 5 6 B j  6 5 9 C 9  j 5 6 D 9  6 5 j

9. Las letras A y N representan números. Si

A  5 5 N  5, ¿qué enunciado es verdadero? A A . N

13. Coloca paréntesis a la siguiente expresión de

manera que su valor sea 28. 

9152

B A , N 14. Mira el problema de abajo.

C A 5 N D A  N

y5x42

10. Natacha está leyendo un libro. El libro tiene 99

páginas. ¿Cuántas páginas debe leer Natacha cada día para acabar el libro en 9 días?

Si y 5 10, ¿cuánto es x?

15. La Sra. Gallardo compra 11 cajas de

invitaciones. En cada caja hay 12 invitaciones. ¿Cuántas invitaciones compra la Sra. Gallardo en total?

A 8 B 9 C 10 D 11

Respuesta desarrollada 16. Explica cómo se halla el valor de la expresión

11. ¿Qué número representa la g?

g  12 5 7 A 96 B 84

42  6 1 (5 2 3).

17. Hay 3 veces más niñas que niños en una clase

de ballet. Hay 12 niñas en la clase. Explica cómo se escribe una ecuación para hallar el número de niños en la clase de ballet.

C 74 D 72

18. Explica cómo sabes qué número hace este

enunciado numérico 6  n 5 6  (3 1 4) verdadero.

Capítulo 4 113

Libro 5.indb 113

24-01-13 10:09

De Aquí y de Allá

AL

Resolución de Problemas

E

ARA ESTUDIANTES P E U Q A MAN

¡La colonización!

Colonización de la Región de Magallanes y de la Antártica Chilena

n 1853 surge el “Territorio de Colonización de Magallanes”, erigido por decreto el 8 de julio de ese año. Abarca toda la mitad sur de la antigua Provincia de Chiloé, desde el golfo de Penas (una línea recta por el paralelo 47º S) por el norte hasta el Cabo de Hornos por el sur. En la década de 1850 comenzó la inmigración europea a la Patagonia chilena, destacándose por importancia y número la inmigración croata. Los croatas se instalaron principalmente en Puerto Natales, Punta Arenas y Porvenir (Tierra del Fuego) Lista de provisiones (para una persona) y se convirtió en una de las 4 kg de café 6 kg de tocino inmigraciones europeas más 1 kg de té 3 kg de vegetales importantes en Chile. Los colonos traían provisiones para 10 kg de harina de maíz 20 kg de azúcar asentarse en esas frías tierra.

sa la lista de provisiones para responder a las preguntas. U 1 ¿Cuántos kilogramos de vegetales se necesitaban para 5 personas? 2 Si 8 personas viajaban en una carreta, ¿cuántos kilogramos de té debían llevar? 3  ¿Para cuántos colonos alcanzarían 12 kg de café durante el viaje? 4  En días buenos, los colonos recorrerían 16 km por día. ¿Qué distancia recorrerían en 7 días?

5

   Imagina que 3 personas viajaban en una carreta y que tenían 12 kg de tocino. ¿Tenían suficiente tocino para todos? Explica cómo lo sabes.

114

Libro 5.indb 114

24-01-13 10:09

Planear

E

por adelantado

n 1587, el corsario inglés Thomas Cavendish cruzó el estrecho de Magallanes y divisó algunos sobrevivientes en la costa cerca de la Primera Angostura. Rescató sólo a uno, que le relató el trágico fin de las ciudades diezmadas por el hambre: Ciudad del Nombre de Jesús y Rey Don Felipe. Cavendish bautizó al entorno de la Bahía de San Blas como Puerto del Hambre, denominación con la cual es conocido hasta la actualidad.

Fernando de Magallanes descubrió el estrecho que lleva su nombre el 21 de octubre de 1520, en su viaje alrededor del mundo. Fue así el primer europeo, al servicio de la corona española, en poner pie en tierras chilenas.

La tabla de abajo muestra algunas provisiones de alimentos en 1853. Imagina que tu familia va en carreta a colonizar la Patagonia. La carreta puede cargar aproximadamente 1 050 kg. u Decide qué provisiones de alimentos necesitará cada miembro de la familia. Haz una lista de los artículos y el número de kg que cada miembro de la familia traerá. u Halla el total de kg de cada artículo para toda la familia. Ahora halla la cantidad total de kg que se van a cargar en la carreta. Asegúrate de que la cantidad de kg no sobrepase los 1 050 kg. u Si el total de kg de artículos es menos de 1 050 kg, añade más artículos para llegar lo más cerca posible de los 1 050 kg.

Algunas provisiones de alimentos en 1853

tocino café harina de maíz

harina arroz azúcar

vegetales

Capítulo 4 115

Libro 5.indb 115

24-01-13 10:09

2

Libro 5.indb 116

NĂşmeros y conceptos de fracciones

24-01-13 10:09

Matemática en Contexto ¿Qué matemáticas se usan en la música de Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes determinar cuándo dos patrones de ritmo diferente comparten un solo tiempo?

p Los tiempos de 3, 4 u 8 por compás forman patrones o ritmos de repetición en las baterías electrónicas.

REPASO DEL VOCABULARIO  Cuando aprendiste sobre factores y fracciones, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

factor común un número que es un factor de dos o más números factor un número que se multiplica por otro número para hallar un producto número mixto un número que se compone de un número entero y una fracción

Copia y completa la siguiente tabla. Usa lo que sabes acerca de los patrones. p Como en los patrones de los factores, el ritmo se combina con otro ritmo grabado, pero diferente.

Pregunta

Ritmos

¿Cuántos tiempos hay en 7 compases?

2 tiempos por compás: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

¿Cuándo comparten tiempos dos ritmos diferentes?

2, 3 tiempos por compás: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, __, __ 3, 6, 9, 12, __, __, __

¿Cuándo comparten tiempos dos ritmos diferentes?

3, 4 tiempos por compás: 3, 6, 9, __, __, __, __, __, 4, 8, __, __, __, __, __,

p Los equipos electrónicos muestran los ritmos grabados, en forma de patrones que se pueden ver.

Unidad 2 117

Libro 5.indb 117

24-01-13 10:09

CAPÍTULO

5

Conceptos de fracciones La idea importante

Las fracciones y los números mixtos pueden expresarse en formas equivalentes y pueden compararse y ordenarse.

Chile

DATO BREVE

El primer concierto de la Orquesta Filarmónica de Santiago se realizó el 3 de julio de 1955, y fue dirigido por Leopold Ludwig. En sus inicios, estaba formada por cerca de sesenta jóvenes músicos y docentes de música o del conservatorio.

Investiga Sección de cuerdas de la Filarmónica de Santiago Primer violín

Instrumento

La Orquesta Filarmónica de Santiago es una agrupación de músicos que cuenta con varias familias de instrumentos musicales como: viento madera, viento metal, percusión y cuerda. Generalmente está compuesta por más de 80 músicos pero en algunos casos pueden llegar a más de 100. Elige dos instrumentos de cuerda de la gráfica. ¿Cuántos músicos de la sección hay por cada instrumento? Escribe la respuesta en forma de fracción reducida.

Segundo violín Viola Violonchelo Contrabajo 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Cantidad de músicos

118

Libro 5.indb 118

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 5.

u Entender fracciones Escribe la fracción que corresponde a la parte sombreada. 1.

2.

3.

4.

Escribe en palabras. 2 __ ​  5. ​ 5

1 __ ​  6. ​ 7

4 __ ​  7. ​ 9

1 __ ​  8. ​ 3

u Entender números mixtos Escribe un número mixto para cada dibujo. 9.

10 .

11.

u Comparar fracciones. Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5 en cada .

1 4 1 2 12. ​__ ​  ​__ ​ 13. ​__ ​  ​__ ​ 3 8 4 4

2 __ ​  1 14. ​ ​__ ​ 3 2

1 __ ​  3 15. ​ ​__ ​ 2 8

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

PREPARACIÓN

fracciones de referencia múltiplo común fracciones equivalentes máximo común divisor (MCD) número mixto fracción irreductible

fracciones equivalentes fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad fracción irreductible  Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. máximo común divisor (MCD) El factor más grande que dos o más números tienen en común.

Capítulo 5  119

Libro 5.indb 119

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

Fracciones equivalentes

Haz un modelo de cada fracción.

OBJETIVO: Identificar y escribir fracciones equivalentes.

1 __ ​ 1. ​

2 __ ​ 2. ​ 3

1 __ ​ 4. ​ 8

4 5. ​  ___  ​ 12

4

Aprende PROBLEMA  Eva quiere compartir ​ _12 ​pastel con dos amigas. Divide la mitad del pastel en tres partes iguales. Escribe dos fracciones para representar la parte del pastel que comparte con sus amigas.

Actividad 

Materiales

3 __ ​ 3. ​ 5

Vocabulario fracciones equivalentes

■ patrones de figuras geométricas

Puedes usar patrones de figuras geométricas para hacer modelos de fracciones. Haz que el hexágono sea igual a 1 entero.

Paso

Paso

Cubre un hexágono con un trapecio para mostrar ​ _12 ​.

Paso

Cubre otro hexágono con triángulos para mostrar ​ _36 ​.

Compara los dos hexágonos.

Por lo tanto, ​ _36 ​al igual que ​ _12 ​representan la parte del pastel que Eva comparte con sus amigas. Las fracciones ​ 1_2 ​y ​ 3_6 ​se llaman fracciones equivalentes. Fracciones equivalentes son fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. En las siguientes rectas numéricas, las fracciones ​ _13 ​y ​ _26 ​son fracciones equivalentes porque están a la misma distancia de 0. También puedes hallar fracciones equivalentes multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Una fracción con el mismo numerador y denominador es igual a 1.

Usa la multiplicación.

6 632 12 __ ​ ​  5 ___ ​ ​  ​ ​ 5 _____ 8

832

Usa la división. 6 642 3 ​ 5 _____ ​ ​  5 __ ​ ​  ​__

16

8

12 __ ​ ​.  Por lo tanto, 6 ​ ​ 5 ___ 8

16

842

4

__​ 5 3 __ ​ ​.  Por lo tanto, ​6 8

4

120

Libro 5.indb 120

24-01-13 10:09

Práctica con supervisión Usa las rectas numéricas para identificar una fracción equivalente para cada fracción. 3 2 2 __ ​ __ ​ __ ​ 1. ​ 2. ​ 3. ​ 4

4

6 __ ​ 4. ​ 8

1 __ ​ 7. ​ 3

5 8. __ ​ 8

8

Escribe una fracción equivalente.  5 1 __ ​ 5. ​ 6. ​  ___  ​ 4

10

5 __ ​ 10. ​ 6

2 __ ​   9. ​ 5

6 Explica cómo hallar una fracción equivalente para ​ __ 10  ​.

11.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe una fracción equivalente.  6 1 __ ​ 12. ​ 13. ​  ___  ​ 10

5

3 19. ​  ___  ​ 10

1 __ ​ 18. ​ 9

3 __ ​ 14. ​ 6

6 __ ​ 15. ​ 9

3 __ ​ 16. ​ 8

5 17. ​  ___  ​ 15

3 20. ​  ___  ​ 12

10 ___ ​ 21. ​ 12

2 __ ​ 22. ​ 3

12 ___ ​ 23. ​ 16

Di qué fracción no es equivalente a las demás. 3 8 3 2 4 ___ __ ​, 2 __ ​, ​  ___ 24. ​ ​__ ​, ​  ___   ​  25. ​   ,​ ​    ​  4 3 12

5 10 15

2 __ ​, 1 26. ​ ​__ ​, 1 ​__ ​  6 4 3

6 3 __ ​, 5 27. ​ ​__ ​,  __ ​  4 6 8

Usa la ilustración para 28–30. 28. Marco tiene estas 24 bolitas. Escribe cuatro fracciones

equivalentes para mostrar cuántas bolitas son azules.  29. ¿Qué pasaría si Marco cambiara las seis bolitas verdes por

otras seis bolitas azules? Escribe tres fracciones equivalentes para mostrar cuántas bolitas azules tiene ahora.  30.

Marco dice que ​ _14 ​de sus bolitas son verdes. Dice que eso representa ​ _28 ​de sus bolitas. ¿Tiene razón Marco? Explica tu respuesta.

Comprensión de los Aprendizajes 31. ¿Cuántos ángulos tiene un pentágono?

33. Preparación para la prueba 

¿Qué fracción es igual a ​ 1_3 ​?

32. Halla el cociente. 4 278 4 4 

Práctica adicional en la página 140, Grupo A

Libro 5.indb 121

1 __ ​ A ​ 6

3 C __ ​ 5

4 B ​  ___  ​ 12

2 __ ​ D ​ 3

Capítulo 5 121

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

2

Repaso rápido

Fracciones irreductibles

Escribe una fracción ­equivalente.  __ 5  __ 3  __ 1 1. ​  ​ 2. ​  ​ 3. ​  ​

OBJETIVO: Escribir fracciones irreductibles.

4 

Aprende

7 

 4 4. ​  ___  ​ 10 

PROBLEMA  La región del Maule está dividida en 4 provincias: Talca, Cauquenes, Curicó, Linares. La provincia de Talca, a su vez, está 10 formada por diez comunas. Eso representa ​ __ 30 ​de las comunas. 10 ¿Cuál es la mínima expresión ​ o fracción irreductible __ 30 ​?

8 

 __ 2 5. ​  ​ 3 

Vocabulario fracción irreductible máximo común divisor (MCD)

Una fracción es irreductible cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. Puedes dividir entre factores 10 comunes para hallar la fracción irreductible de ​ __ 30 ​.

Ejemplo 1

Curicó

Divide tanto el numerador como el denominador por un factor común de 10 y de 30.

Talca

 10 4 2 ______ Prueba 2.  ​ ​  5 ___ ​   5 ​  ← no está en su mínima expresión 30 4 2 

15  El único factor común del 545 1 ← numerador y del denominador Prueba 5.  ​ ______   ​   5  ​__ ​   3 15 4 5 es 1. 10 1 ​  .  ​  reducido  ​  _ Por lo tanto,  ​ __ 3 30

Linares Cauquenes

p Región del Maule

 ​  _13 ​  de las 30 comunas, se encuentra en la provincia de Talca.

Más ejemplos  ___​   ​15

12

15 4 3 5   ​5  ​__ ​    fracción irreductible  ​ ______ 24 4 3 

45 ___​   ​

12 ___  ​ ​ 

24

8

60

4 12 1 _______  ​12 ​   5  ​__ ​  

45 4 5 9  ​______ ​   5  ​ ___  ​  

__ ​5 1  fracción irreductible ​1

943 3  ​ ______   ​   5  ​__ ​       fracción irreductible

12 4 12

1

1

15 ​en su mínima ​  __ 24 expresión es  ​  _5 ​. 8 

12 ​en su mínima ​  __ 12 expresión es  ​  1_1 ​ , o 1.

60 4 5

12 4 3

12 4

45 ​en su mínima ​  __ 60 expresión es  ​  3_ ​.  4

•  ¿Cuándo debes dividir por un factor común más de una vez para escribir una fracción irreductible o en su mínima expresión?

122

Libro 5.indb 122

24-01-13 10:09

Usa el máximo común divisor 20 Para la fracción ​ __ 30  ​, los factores comunes del numerador y del denominador son 1, 2, 5 y 10. Cuando divides el numerador y el denominador entre 1, 2 o 5, la fracción no es irreductible.

Curicó

Puedes dividir el numerador y el denominador entre el máximo común divisor, para escribir una fracción en su mínima expresión, en un paso. El máximo común divisor (MCD) es el factor más grande que dos o más números tienen en común.

Talca

Linares Cauquenes

p Región del Maule

Ejemplo 2

20 Las provincias: Cauquenes, Curicó y Linares componen ​  __ 30 ​de comunas de la 20 __ región del Maule. ¿Cuál es la fracción irreductible de ​  30 ​?

Paso

Paso

Halla el máximo común divisor de 20 y 30.

Divide el numerador y el denominador por el máximo común divisor.

20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 30 El MCD es 10.

4 10 2 _______  ​ 20   ​5  ​__ ​   ← fracción reducida 30 4 10 

3­­­

__  ​ reducida es ​  2_ .​ Por lo tanto, 20 3 30

Más ejemplos __ ​ reducida.  Escribe ​  35 49

7 es el único factor

35 4 7 5 común diferente de ​   5  ​__ ​    ​______ 49 4 7

7

1 para 35 y 49.

35 Por lo tanto, ​ __  ​reducida es ​ _57 ​. 49

__ ​en su fracción  Escribe ​  18 36 irreductible.

Divide el numerador y

18 4 18 1 el denominador por el ​   5  ​__ ​    ​_______ 36 4 18

2

máximo común divisor.

18 1 ​. Por lo tanto, ​ __  ​reducida es ​ _ 36 2

Capítulo 5 123

Libro 5.indb 123

24-01-13 10:09

Encuentra cada fracción irreductible. 6 4 __ ​  1. ​ 2. ​  ___  ​  8

7.

10

5 __ ​ 3. ​ 5

24 ___ ​  5. ​ 36

10 ___ ​   6. ​ 14

12 ___ ​ 12. ​ 42

18 ___ ​ 13. ​ 24

24 ___ ​ 17. ​ 32

18 ___ ​ 18. ​ 30

3 __ ​ 19. ​ 7

7 __ ​  4. ​ 9

12 Explica cómo hallarías la fracción irreductible de ​ __ 36 ​ utilizando el MCD.

Práctica independiente y resolución de problemas Identifica el máximo común divisor del numerador y del denominador. 10 9 4 11 ___ ​ ___ ​ 8. ​ 9. ​  ___  ​ 10. ​ 11. ​  ___  ​ 30

22

13

18

Escribe cada fracción en su fracción irreductible. 30 5 6 ___ ​ __ ​ 14. ​ 15. ​ 16. ​  ___  ​ 5

45

16

14 ___ ​ 20. ​ 16

20 21. ​  ____   ​ 100

12 ___ ​ 22. ​ 25

16 ___ ​ 23. ​ 32

15 ___ ​ 24. ​ 75

48 ___ ​ 25. ​ 54

2 __ ​ 26. ​ 6

12 ___ ​ 27. ​ 15

25 28. ​  ____   ​ 100

8 29. ​  ___  ​ 20

24 ___ ​ 30. ​ 26

9 31. ​  ___  ​ 30

Álgebra Completa. 1  32.  ​__ ​  5  ​__  ​  2 6

3 9 33.  ​__ ​  5  ​  __  ​  4 

10 2 35.  ​  __  ​  5  ​___ ​  15 

 1 34.  ​  ___  ​  5  ​__ ​  20 4

4  36.  ​  ___  ​  5  ​__  ​  12 3

USA DATOS Para 46–49, usa la gráfica. 37. ¿Qué fracción de las 30 comunas forman las provincias

de Linares y Curicó? Escribe la fracción irreductible. 

Provincias del Maule

38. ¿Qué fracción de los 30 comunas se encuentra

en la provincia de Cauquenes? Escribe la fracción irreductible. 

DATO BREVE Sólo cinco comunas limitan con

la Región del Bío-Bío. Escribe la fracción irreductible. 40.

Provincia

39.

Talca Cauquenes Curicó

¿Cuál es la pregunta?  Seis quinceavos de las 30 comunas conforman esta provincia.

Linares 0 Curicó

2

4

6

8

10

12

14

Cantidad de comunas

Talca Linares Cauquenes

124

Libro 5.indb 124

24-01-13 10:09

Comprensión de los Aprendizajes 41. Francisco tenía algunos discos compactos.

44. Preparación para la prueba  ¿Qué fracción NO

es equivalente a ​ _23 ​?

Dio 4 a su hermano. Escribe una expresión con una variable para representar la situación. 42. El salón de clases de Alejandra tiene 25

metros de ancho y 30 metros de largo. ¿Cuál es el perímetro del salón de clases?

4 __ ​ A ​ 6

2 C __ ​ 5

8 B ​  ___  ​ 12

12 ___ ​ D ​ 18

45. Preparación para la prueba Hoy, 10 de

43. ¿Qué número mixto se muestra en el modelo?

22 estudiantes compraron el almuerzo. ¿Qué fracción de los estudiantes compró el almuerzo? Escribe la fracción en su mínima expresión o fracción irreductible.

Álgebra  Fraccciones equivalentes. Juan tiene en su casa 12 invitados para los cuales ha comprado una pizza. Viene dividida en 6 porciones iguales. Encuentra las fracciones equivalentes que satisfagan este ejemplo: Observa que cada trozo de pizza equivale a 1 6

Como Juan debe repartir la pizza en 12 partes iguales, corta cada sexto de pizza en dos partes. Tiene 2 . 12

1 12

1 6

Es decir, 1 equivale a 2 6

1. Dibuja para representar que

2 5 1. 4 2

12

2. Dibuja para representar que

5 5 1 15 3

Capítulo 5 125

Libro 5.indb 125

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

3

Repaso rápido

Comprender números mixtos

Escribe cada fracción en su mínima expresión.

OBJETIVO: Expresar fracciones mayores que 1 en forma de números mixtos y números mixtos en forma de fracciones mayores que 1.

Aprende Un número mixto se compone de un número entero y de una fracción. Un número mixto se puede convertir en una fracción impropia. A veces, una fracción mayor que 1 se denomina mayor que 1.

4 __ ​ 1. ​ 4

10 ___ ​ 2. ​ 14

4 __ ​ 4. ​ 8

9 5. ​  ___  ​ 12

10 ___ ​ 3. ​ 25

Vocabulario

PROBLEMA  Ricardo está haciendo un jugo de frutas. Comienza con una taza de concentrado de naranja. Luego agrega ​ _34 ​de taza más. En total, usa 1​  _34 ​tazas de concentrado de naranja. 1​  _34 ​es un número mixto. ¿Cuántos ​ _14 ​de taza de concentrado de naranja usa Ricardo para el jugo de frutas?

número mixto

Ejemplo 1  Usa una recta numérica.

Entonces, Ricardo usa ​ _74 ​de tazas de concentrado de naranja para el jugo de frutas. Puedes usar la multiplicación y la suma para expresar un número mixto en forma de fracción impropia. Puedes usar la división para expresar una fracción impropia en forma de número mixto.

Ejemplos  Expresa 2​  5_8 ​en forma de fracción. (8 3 2) 16   ​     5  ​___  ​   2  5  ​______

Escribe el número entero en

5 16 1 5 21 ​   5  ​______   ​    5  ​___  ​   2​__

denominador, 8.

8

8

8

8

8

21 __​   5 ___ ​  ​.  Entonces, 2 ​5 8

8

forma de fracción usando el

__  ​en forma de número mixto.   Expresa ​  21 8

__​  21 ÷ 8 → 2​5 8 – 16 5

Divide el numerador entre el denominador. Usa el residuo y el divisor para escribir una fracción.

Escribe el número de octavos en forma de fracción impropia.

5 21 ​.  Entonces, ___ ​  ​ 5 2​__ 8

8

•  ¿Qué sucede con el numerador y el denominador siempre que un número mixto se convierte en fracción?

126

Libro 5.indb 126

24-01-13 10:09

Práctica con supervisión Usa la recta numérica. Escribe las fracciones en forma de número mixto. Escribe los números mixtos en forma de fracción. 11 1.  ​___  ​  8

5 3. 1 ​__ ​  8

1 2. 1 ​__ ​  8

Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 11 4.  ​___  ​  4

10.

6 5.  ​__ ​  5

7 6. 2 ​__ ​  9

2 7. 3 ​__ ​  3

23 ___  8.  ​ 10 ​ 

2 __  9. 4 ​5 ​ 

Explica cómo puedes expresar un número mixto en forma de fracción mayor que 1.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 3 11. 1 ​__ ​  5

1 12. 2 ​__ ​  3

9 13.  ​__ ​  4

11 14.  ​___ ​  10

13 15.  ​___  ​  6

3 16. 1 ​__ ​  7

8 17.  ​__ ​  3

5 18. 3 ​__ ​  6

1 19. 7 ​__ ​  2

47 20.  ​___ ​  15

25 21.  ​___  ​  4

7 22. 2 ​  ___  ​  12

USA DATOS   Usa la receta para 23–25. 23. Carolina está haciendo una bandeja de barras de cereal.

¿Cuántos ​  _13 ​de taza de miel usará?

Barras de Cereal

24. ¿Cuál es la cantidad de cereal de salvado en la receta,

escrita en forma de fracción? 25.

Carolina tiene una taza para medir ​ _12 ​. ¿Cuántas veces la debe llenar para medir la cantidad correcta de mantequilla de maní? Explica tu respuesta.

Comprensión de los Aprendizajes 26. Clara compró una bicicleta por $150 000.

También compró pedales por $30 000. ¿Pagó más o menos que $190 000? 12 27. Escribe la fracción ​ __ 30 ​en su mínima expresión o

fracción irreductible.

28. Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5.

​  3_4 ​ ​  1_4 ​

29. Preparación para la prueba  ¿Qué fracción es

equivalente a 2​  _35 ​?

5 11 __ ​ B ​ ___  ​ A ​ 5 5

Práctica adicional en la página 140, Grupo C

Libro 5.indb 127

12 ___  ​ C ​ 5

13 ___  ​ D ​ 5

Capítulo 5 127

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

4

Comparar y ordenar fracciones y números mixtos OBJETIVO: Comparar y ordenar fracciones y números mixtos.

Aprende PROBLEMA  Jorge planea ser acomodador en ​ _23 ​de los conciertos de una orquesta sinfónica. Sara planea ser acomodadora en ​ _34 ​de los conciertos. ¿Quién va a acomodar en más conciertos? Compara ​  _23 ​y ​ _34 ​.

Repaso rápido Tomás tenía 12 barras de fruta. Le regaló 6 barras a Marco y 2 barras a Margarita. Escribe dos fracciones equivalentes que describan la fracción de barras de fruta que le queda. 

Vocabulario múltiplo común

Usa barras de fracciones para comparar. 1 4

1 4

1 4 1 3

1 3

2 __​  ​    ​__  3 ​   4

3

Halla denominadores comunes.

Paso Escribe los múltiplos de los denominadores y luego halla un múltiplo común. Un número que es un múltiplo de dos o más números es un múltiplo común. Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24 12 y 24 son múltiplos comunes de los denominadores, conocidos también como denominadores comunes.

Paso Usa fracciones equivalentes y convierte cada fracción usando un denominador común. 3 3 3  ___ __   ​  5  ​  9 ​  o ​ ​   se puede convertir a  ​3_____ 4  4 3 3 12

36 ___​    ​3_____   ​  5  ​18 436

24

38 16 2 3 4  ___ ​__ ​   se puede convertir a  ​2_____   ​  5  ​  8 ​  o  ​2_____   ​  5  ​___ ​   3

 3 3 4

12

338

24

Paso Compara los numeradores de las fracciones que acabas de convertir.

Recuerda Para comparar fracciones que tienen el mismo denominador, solo necesitas comparar los numeradores. Dado que 5 . 2, 5 2 __ ​ ​  .  ​__  ​. 8 8

__​  .  ​2 __​  . Dado que 9 . 8, o 18 . 16,  ​3 4

3

Por lo tanto, Sara será el acomodador en más conciertos.

128

Libro 5.indb 128

24-01-13 10:09

Ordenar fracciones y números mixtos Antonio trabajó de acomodador en ​ _56 ​de los conciertos. María trabajó en ​ _49 ​de los conciertos y Tania lo hizo en ​ _23 ​de los conciertos. Ordena las fracciones ​ _56 ​, ​  _49 ​y ​ _32 ​de menor a mayor para saber quién fue el acomodador en el menor número de conciertos.

Ejemplo 1  Ordena fracciones Paso

Paso

Paso

Halla un común denominador de 6, 9, y 3.

Conviértelos a fracciones equivalentes con un denominador de 18.

Compara los numeradores. Ordénalos de menor a mayor.

6: 6, 12, 18, 24, 30 9: 9, 18, 27, 36 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

Dado que 8 , 12 , 15,

33 ___ ​   ​5_____   ​  5  ​15 633

8 15 12  ​ ___  ​  ,  ​___​  ,  ​___​  .

18

18

8 32  ​4_____   ​  5  ​ ___  ​   932 18

Un común denominador es 18.

18

El orden de menor a mayor es ​  _49 ​, ​  _23 ​, ​  _56 ​.

36 ___​    ​2_____   ​  5  ​12 336

18

18

Por lo tanto, María trabajó de acomodadora en el menor número de conciertos. •  ¿Cómo ordenas fracciones unitarias de menor a mayor? Puedes usar los denominadores comunes para ordenar números mixtos. Primero, compara los números enteros. Luego, compara las fracciones.

Ejemplo 2  Ordena números mixtos Ordena 2​  _23 ​, 3​  _16 ​, 2​  _34 ​de mayor a menor.

Paso

Paso

Compara los números enteros.

Usa denominadores comunes para comparar las otras dos fracciones: ​ _23 ​ y ​  _34 ​. 8 9 __ ​  5 2 ​ ___ __​  5 2 ​ ___ 2 ​2  ​      2 ​3  ​  

3 1 __​  3​ __ ​  2​ __​    2​2 3

6

Dado que 3 . 2, 3​  _16 ​es el mayor.

3

4

12

4

12

9 8 Dado que 9 . 8, 2 ​  __   ​  . 2 ​  __  ​  . 12 12

Por lo tanto, el orden de mayor a menor es 3​ _16 ​, 2​  3_4 ​, 2​  _23 ​. •  Si estuvieras ordenando números mixtos cuyos números enteros fueran todos diferentes, ¿qué parte de los números mixtos compararías?

Capítulo 5 129

Libro 5.indb 129

24-01-13 10:09

Práctica con supervisión Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5 en cada caso. 1.

2.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 __ ​ 4​__ ​ ​ __ ​ 5​__ ​ 8 8 8 8 8 5 5 5 5 ​

1 3

3

1 3

5

1 5

1 5

1 5

5

1 5

8

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada caso. 1 __ ​ 3. ​ 3

2 ​__ ​  3

2 __ ​ 4. ​ 5

3 ​__ ​  8

1 __ ​ 2​13 ___ ​  5. 3​ 4 15

3 9 __ ​ 1​  ___   ​   6. 1​ 4 12

7 ___  7. 5​  21  ​

3 5​__ ​  7

Explica cómo se ordenan las fracciones unitarias ​ _16 ​, ​  _12 ​, y ​ _13 ​de menor a mayor. 

8. 

Práctica independiente y resolución de problemas Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada caso. 3 5 5 1 2 1 7 __ ​ 1​__ ​  10. ​ __ ​ 6​__ ​  11. ​ __ ​ 3​__ ​  12. ​  ___ __ ​ 3​  ___ 9. ​   ​  ​__ ​  13. 3​   ​ 2

3

4

8

7

5

11

7

4

14

Escribe en orden de menor a mayor. 3 3 1 1 7 2 1 1 __ ​, 3 __ ​, 1 __ ​, 1​1__ ​, 1​5__ ​ 17. 2​ __ ​, 3​1__ ​, 2​3__ ​ 18. 1​ __ ​, 7 14. ​ ​__ ​, ​__ ​  15. ​ ​__ ​, ​__ ​  16. 1​ ​__ ​, 2​__ ​ 2 4 4

8 8 8

8

4

6

3

8

5

4 8

5

Para 19–21 usa la tabla. 19. Catalina colecciona figuras miniatura de animales

Figuras miniatura

de porcelana. Haz una lista de sus animalitos ordenándolos del más largo al más corto. 20. Catalina compra una figura de tortuga, que

mide 6​  7_8 ​cm de longitud. ¿Cuál es la figura

figura rana

6 ¾ cm de largo

figura mono

7½ cm de largo

figura armadillo

6 ⅝ cm de largo

de su colección que tiene la mayor longitud?  21.

Explica cómo se determina qué figura está entre los 6​  _12 ​y los 6​  3_4 ​cm de longitud. 

Comprensión de los Aprendizajes 22. Si y 5 8, ¿cuál es el valor de 22,5 – y? 23. ¿Cómo se escribe el decimal 0,3 en forma

de fracción?

130

Libro 5.indb 130

24. Preparación para la prueba  Alberto ensayó

con su trompeta 1​  2_3 ​horas el lunes. Ensayó 1​  _56 ​horas el martes y 1​  _49 ​horas el miércoles. ¿Qué día ensayó más tiempo?

A lunes

C miércoles

B martes

D jueves

Práctica adicional en la página 141, Grupo D

24-01-13 10:09

Planeta de agua Visualizar

E

l agua de la Tierra fluye por el medio ambiente

como parte del ciclo del agua. La mayoría es agua salada que hay en los océanos y los mares. El

resto es agua dulce. La siguiente tabla muestra los

distintos lugares donde se encuentra el agua dulce

de la Tierra. ¿Dónde se encuentra la mayor parte del agua dulce de la Tierra?

Agua dulce de la Tierra Casquetes de hielo y glaciares

⅘76

Agua subterránea

Lagos, ríos y agua del suelo y del aire

71

516

Puedes resolver algunos problemas visualizándolos. Cuando visualizas un problema, te lo imaginas.

agua dulce 28 mL

Paso 1  Lee el problema atentamente y visualízalo. Paso 2  Piensa en la mejor manera de presentar el

agua salada 972 mL

problema. Podrías hacer un dibujo, o una tabla, o hacer una gráfica. Podrías usar un modelo, como barras de fracciones o fichas.

t S i toda el agua de la Tierra pudiera guardarse en una botella de 1 litro, el contenido se dividiría así.

Resolución de problemas  Visualiza para resolver el problema. 1.  Resuelve el problema de arriba. 2. ¿Dónde se encuentra la menor cantidad de agua dulce de la Tierra?  3. Compara la cantidad de agua subterránea dulce con la cantidad de agua

dulce en los casquetes de hielo y los glaciares.

Capítulo 5 131

Libro 5.indb 131

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

5 Estrategia: Hacer un modelo OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia hacer un modelo.

Aprende la estrategia Hacer un modelo puede ayudarte a resolver un problema. Existen diferentes tipos de modelos para diferentes tipos de problemas matemáticos.

Un modelo puede mostrar fracciones. Joel le pidió a sus amigos Mauricio y Elena que lo ayudaran a pintar su habitación. Cada persona pintaba una pared del mismo tamaño. A la hora del almuerzo, Joel había pintado ​ _38 ​de su pared. Mauricio había pintado ​ _23 ​de su pared, y Elena había pintado ​ _35 ​de la suya. ¿Quién había pintado la mayor parte de la pared que le correspondía? 

Usa barras de fracción para mostrar la cantidad de pared que pintó cada persona. Compara las barras de fracción. 1 3

1 3 1 5

1 5 1 8

1 8

1 5

1 8

Un modelo puede ayudarte a estimar. La inscripción en la Escuela Gabriela Mistral aumentó a 445. Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes asisten a la escuela? Redondea tu respuesta al centésimo más cercano.

Ubica 445 en la recta numérica. Halla el centésimo más cercano a 445. 300 350

400 450

500 550 600

Un modelo puede mostrar decimales. Iris necesita 0,8 metros de tela de algodón para hacer una mochila. ¿Cuántos metros de tela de algodón necesita Iris para hacer 3 mochilas? 

Sombrea 0,8 tres veces.

¿Qué otros tipos de problemas matemáticos se pueden representar con modelos usando una recta numérica?

132

Libro 5.indb 132

24-01-13 10:09

Usa la estrategia PROBLEMA  Blanca y sus amigos están jugando a la herradura en un picnic familiar. La herradura de Miguel cae a 1​  _56 ​metros de la estaca. Mariana lanza su herradura a 2​  _14 ​metros de la 7  ​metros de la estaca. La de Blanca estaca. La de René está a 1​  __ 12 cae a 1​  _23 ​metros de la estaca. ¿De quién es la herradura que está más cerca de la estaca? ¿De quién es la herradura que está más lejos de la estaca?

• Identifica los detalles del problema. • ¿Qué información se da?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Hacer un modelo puede ayudarte a resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Compara las partes enteras de los números mixtos. 1 ___ 2 __​,  2​__ 1​5 ​,  1​  7 ​,  1​__ ​  6

4

12

1 Dado que 2 . 1, 2​__ ​ metros es la mayor distancia.

3

4

Usa las barras de fracción para comparar las partes fraccionarias de los otros números mixtos. 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12 12 12 1 3 1 6

1 3 1 6

1 6

1 6

7 7 Dado que ​ ___ ​ es la menor, 1​ ___  ​ metros es la distancia menor. 12

12

1 6

Por lo tanto, la herradura de René es la que está más cerca de la estaca y la de Mariana la que está más lejos.

• ¿Qué otros modelos podrías usar para resolver el problema?

Capítulo 5 133

Libro 5.indb 133

24-01-13 10:09

Resolución de problemas con supervisión 1. Algunos de los amigos de Sara decidieron realizar un concurso de

salto. ¿Quién saltó la distancia más larga? ¿Quién saltó la distancia más corta? Primero, compara las partes enteras de los números mixtos.

Longitud del salto

5 3 3 1  ​,  3​__​,  4​__​,  3​__​  4   .3 3​ ___ 12

4

8

Nombre Longitud (en metros)

2

Luego, usa las barras de fracción para comparar las partes fraccionarias de los números mixtos que tienen el mismo número entero. 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12

Andrea

3

5 12

Marcos

3

Pablo

4

Sara

3

3 4 3 8 1 2

1 2

1 4

1 4

1 4

Para terminar, determina quién saltó la distancia más larga y la más corta.  2. ¿Qué pasaría si, el salto de Sara hubiera sido de

3​  _16 ​pies de longitud? Entonces, ¿quién habría hecho el salto más largo, y el más corto? Explica.

3. Andrea, Marcos, Pablo y Sara se ponen en fila para saltar.

Sara no es la primera. Andrea tiene al menos dos personas delante de ella. Pablo es el tercero. Determina el orden de los cuatro. 

Resolución de problemas • Práctica de estrategias Haz un modelo para resolver. 4. Mario compró 2 paquetes de invitaciones

para una fiesta. Cada paquete contenía 10 invitaciones. Mario invita a 7 compañeros de clase, 4 primos y 5 niños del vecindario. ¿Qué fracción de las invitaciones usa Mario?

5. Pablo, Gregorio e Hilda se reúnen en la casa

de Hilda antes de ir al parque. Pablo vive a 8​  4_5 ​kilómetros de Hilda. Gregorio vive a 8​  3_4 ​ kilómetros de Hilda. ¿Quién vive más cerca de Hilda?

6. El jardín de Tatiana tiene 5 metros de ancho y

12 metros de largo. La sección de flores tiene el mismo ancho y el doble de longitud que la sección de verduras. ¿Qué longitud tiene cada sección? 

8.

7. Valentín compró 24 globos amarillos para una

fiesta. Devolvió 12 de los globos y compró 9 globos rojos. Luego decidió devolver 6 globos rojos y comprar 16 globos azules. ¿Cuántos globos tiene Valentín ahora?

¿Cuál es el error?  Andrés tenía 14 bolitas. Le dio 9 bolitas a Claudia. Susana le dio 18 bolitas a Andrés. Luego Andrés le dio 8 bolitas a Ricardo. Andrés dice que ahora tiene 31 bolitas. Describe el error que comete y haz un modelo para mostrar la solución.

134

Libro 5.indb 134

24-01-13 10:09

Práctica de estrategias mixtas

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

Resuelve.

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfica Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

9. Irma hizo una fiesta y le dio a cada uno de sus amigos una

sorpresa. Había 7 sorpresas de yo-yos, 13 de silbatos, 6 de caleidoscopios, 9 de paletas de playa y algunas bolitas. En total, Irma repartió 41 sorpresas. ¿Cuántas de ellas eran juegos de marcadores? 10. El lunes Benjamín envió 2 invitaciones para una fiesta. El martes

envió 3 invitaciones y el miércoles, 5 invitaciones. El jueves envió 8 invitaciones. Si el patrón continua hasta el sábado, ¿cuántas invitaciones enviará Ryan en total?  USA DATOS Para 11–14, usa la gráfica de barras. 11. Victoria, Daniel, Cecilia y Franco votaron cada uno por tipo

de música de fiesta diferente. Daniel votó por Hip Hop. Franco no votó por cumbia o regatón. Cecilia no votó por regatón. ¿Por qué tema votó cada estudiante?  mayor que el número de niños que lo hizo. ¿Cuántos niños votaron por la fiesta mexicana?  13.

Formula un problema  Observa el Problema 12 nuevamente. Escribe un problema similar cambiando la relación matemática entre el número de niñas y niños que votaron por la fiesta mexicana. Luego resuelve el problema. 

14.

Número de votos

12. El número de niñas que votó por rock es tres veces

Escuela Gabriela Mistral Encuesta de música para la fiesta 250 200 150 100 50 0

Cumbia

Hip-Hop

Rock

Regatón

Temas

Problema abierto  Usa los datos de la gráfica de barras para escribir tres enunciados numéricos diferentes en que se usen una o más operaciones. sombreros y cuántos silbatos compró?

esfuérzate Un negocio de artículos para fiestas vende sorpresas a $750 cada una, sombreros a $450 cada uno y silbatos a $600 cada una. 15. Trinidad compra 12 sorpresas. Gasta en sombreros la misma

cantidad de dinero que gastó en las sorpresas. Gasta en silbatos el doble de lo que gastó en las sorpresas. ¿Cuántos sombreros y silbatos compra? 16. Angélica pagó $15 900 por artículos de fiesta. Gastó $7 500 en

sorpresas. Compró la misma cantidad de sombreros que de silbatos. ¿Cuántos sombreros y cuántos silbatos compró?

Capítulo 5 135

Libro 5.indb 135

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

6

Repaso rápido

Relacionar fracciones y decimales

En una competencia, Patricio recibió un puntaje de ocho con setenta y cinco centésimos. Escribe el puntaje de Pat en forma de fracción y en forma de decimal.

OBJETIVO: Relacionar fracciones y decimales que representen décimas, centésimas y milésimas.

Aprende 1 En un día normal, ​ __ 10  ​de los oyentes de radio sintonizan una estación de rock 15 y ​  ___ ​sintonizan una estación de noticias. 100   

¿Cuáles son los decimales equivalentes para cada fracción de radio oyentes? Puedes escribir una fracción como un decimal. 15 1 ​ ___  ​ 5 0,1 ​ ____ ​ 5 0,15 10

100

Por lo tanto, 0,1 de la audiencia de radio está escuchando una estación de rock y 0,15 está escuchando una estación de noticias.

Actividad

Recuerda

Puedes usar un modelo para encontrar el decimal equivalente a ​ _15 ​.

Paso

Paso

Traza un modelo para ilustrar ​  _15 ​.

Paso

Divide el modelo para mostrar diez partes iguales. Escribe una fracción equivalente a ​ _15 ​.

1 2 __ ​  ​ 5 ​ ___  ​  5

10

Escribe un decimal equivalente.

Puedes escribir un número como cuatro décimos en palabras para ayudarte a escribir un decimal o una fracción como 4  ​. 0,4 o ​ __ 10

1 Por lo tanto, __ ​ ​ 5 ___ ​  2 ​ 5 0,2. 5

10

Ejemplos En un día normal, ​ 1_4 ​de la totalidad de radio oyentes escucha la radio en el trabajo. ¿Cuál es el decimal equivalente de ​ _14 ​?  Usa un modelo de centésimas. Sombrea ​  _14 ​del modelo. Cuenta los cuadrados sombreados.

 Escribe una fracción equivalente con un denominador de 100. 1 3 25 ​______ ​  5 ____ ​  25 ​ 5 0,25 4 3 25

100

1 __  ​ ​ 5 0,25 4

Por lo tanto, 0,25 de los oyentes de radio escucha la radio en el trabajo.

136

Libro 5.indb 136

24-01-13 10:09

Práctica con supervisión Escribe un decimal y una fracción para cada modelo. 1.

2. 3.

Escribe cada fracción como decimal. Escribe cada decimal como una fracción irreductible. 3 __ ​ 4. 0,7 5. ​ 6. 0,54

35 8. ​  ____   ​ 100

9. 0,22

10 ___ ​ 14. ​ 25

21 15. ​  ____   ​ 100

33 16. ​  ____   ​ 100

2 __ ​ 20. ​ 8

58 21. ​  ____   ​ 100

18 22. ​  ____   ​ 100

24 7. ​  ____   ​  100

5

10.

Explica cómo cambiar un decimal a una fracción y una fracción a un decimal. 

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe cada fracción como decimal. 3 1 4 __ ​ __ ​ 11. ​ 12. ​  ___  ​ 13. ​ 2

5

10

26 ___ ​ 18. ​ 50

24 ___ ​ 17. ​ 25

3 19. ​  ___  ​ 15

Escribe cada decimal como una fracción irreductible. 23. 0,8 

24. 0,4 

25. 0,50 

26. 0,83 

27. 0,78 

28. 0,25 

29. 0,42 

30. 0,47 

31. 0,1 

32. 0,36 

33. 0,95 

34. 0,15 

Usa el diseño para 35—36. 35. Escribe un decimal que represente la parte sombreada del diseño.  36.

Explica cómo puedes cambiar el diseño para que muestre las décimas. 

Comprensión de los Aprendizajes 37. La longitud de un lado de un cuadrado es de

4 centímetros. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado? 40 38. Del total de radio oyentes, ​ ___  ​escuchan la 100  

radio en casa. Escribe la fracción irreductible.

40. Preparación para la prueba  ¿Qué fracción es

equivalente a 0,33? 3 A ​  ___  ​ 10

33 C ​  _____    ​ 1 000

33 B ​  ____   ​ 100

1 D ​  ___  ​ 33

14 39. ¿Qué número mixto es igual a ​ __ 3  ​?

Capítulo 5 137

Libro 5.indb 137

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

7

Repaso rápido

Usar una recta numérica

Escribe una fracción equivalente. 3 5 2 __ ​ __ ​ 1. ​ 2. ​ 3. ​  ___  ​

OBJETIVO: Identificar, representar y ordenar decimales, fracciones y números mixtos en una recta numérica.

Aprende PROBLEMA  El quinto básico del colegio está vendiendo entradas para su primer día de competencias atléticas. Mariana vendió ​ _35 ​de 7 sus entradas. Camila vendió ​ __ 10  ​de sus entradas. Valentina vendió 0,35 de sus entradas. Si las tres comenzaron con el mismo número de entradas, ¿quién vendió la mayor cantidad de entradas?

5

4

25 4. ​  ____   ​ 100

4 5. ​  ___  ​ 10

10

Vocabulario fracciones de referencia

Ejemplo 1 Paso Traza una recta numérica. Rotula fracciones de referencia. Las fracciones de referencia son fracciones familiares que se usan como referencia. A menudo las fracciones ​ 1_4 ​, ​  _12 ​ y ​  _34 ​ se usan como referencia en las rectas numéricas.

Paso Usa tus fracciones de referencia como ayuda para ubicar un punto para cada número.

0,35 está entre 0,25 y 0,5. 3 3 1 __ __ ​  ​está entre __ ​ ​ y ​ ​. 

0,25

0,5

5

0,75

2

4

3 7 ___ ​ ​ y 0,75. ​   ​ es un poco menos que __ 10

0,35

4

Paso Ya que quieres saber quién vendió la mayor cantidad de entradas, identifica el punto que está más lejos a la derecha. Entonces, Camila vendió la mayor cantidad de entradas.

Ejemplo 2  Ubica 1,35; 1​ _34 ​; 1,98 y 1​ _58 ​en la recta numérica. Luego

ordena los números de mayor a menor.

Ubica y representa gráficamente un punto para cada número.

1,0

1,25

1,35

1,50

1,75

1,98

2,0

Entonces, los números ordenados de mayor a menor son 1,98; 1​ _34 ​; 1​  _58 ​; 1,35.

138

Libro 5.indb 138

24-01-13 10:09

Práctica con supervisión Identifica un decimal y una fracción para cada punto.

1. Punto C

0,25

0,5

0,75

2. Punto A

3. Punto E

4. Punto B

Para 6–11, ubica cada número mixto o decimal en una recta numérica. Luego escribe los números ordenados de menor a mayor. 3 1 __ ​ 8. 1,75 __ ​ 6. 1,2 7. 1​ 9. 1​ 4

8

5. Punto D

7 __ ​ 11. 1​ 8

10. 1,35

5 Explica cómo usarías una recta numérica para representar 0,35 y ​ __ 12  ​.

12.

Práctica independiente y resolución de problemas Ubica cada número mixto o decimal en una recta numérica. Luego escribe los números ordenados de menor a mayor. 5 1 1 __ ​ 15. 1,55 16. 1​ __ ​ 17. 1,8 18. 1​ __ ​ 13. 1,4 14. 1​ 8

8

4

Usa una recta numérica para ordenar cada conjunto de números de mayor a menor. 3 3 1 4 __ ​; 1,50; 1​3__ ​ 20. 1,25; 1,75; 1​2__ ​ 21. 1,55; 1​  ___ 19. 1​   ​; 1​ __ ​ 22. 0,65; ​__ ​; 0,45 4

8

5

10

23. Florencia corrió 0,84 de kilómetros. Constanza corrió

¿Quién corrió más? 24.

​ 3_4 ​de

5

5

kilómetros. Tatiana corrió

​ 5_8 ​de

kilómetros.

¿Cuál es el error?  Mauricio y Tomás empezaron con el mismo número de entradas. Mauricio vendió 0,7 de sus entradas para el día de la fiesta del curso y Tomás vendió ​ 3_4 ​de sus entradas. Mauricio dice que ambos vendieron el mismo número de entradas. ¿Tiene razón? Explica.

Comprensión de los Aprendizajes 25. Cristián tiene $20 000. Le gustaría comprar

tres camisetas que cuestan $7 000 cada una. ¿Tiene dinero suficiente? Explica.

27. Escribe 2​  2_5 ​en forma de fracción mayor que 1. 28. Preparación para la prueba  ¿Qué fracción es

26. Un campo de fútbol tiene 110 metros de

largo y 49 metros de ancho. ¿Cuál es el área del campo de fútbol?

Práctica adicional en la página 141, Grupo F

Libro 5.indb 139

menor que 0,55?

4 A ​__ ​ 5

9 B  ​___  ​ 20

8 __ ​ C ​ 9

24 ___ ​ D ​ 30

Capítulo 5 139

24-01-13 10:09

Práctica adicional Grupo A  Escribe una fracción equivalente. 3 __ ​  1. ​ 5

1 __ ​  2. ​ 8

4 __ ​  3. ​ 8

4 __ ​  4. ​ 5

3 __ ​  5. ​ 9

6 6. ​  ___  ​  12

4 __ ​  7. ​ 6

2 __ ​  8. ​ 7

4 9. ​  ___  ​  10

3 10. ​  ___  ​  18

2 __ ​  11. ​ 5

3 12. ​  ___  ​  15

1 __ ​ 13. ​ 6

4 14. ​  ___  ​  12

1 15. ​  ___  ​  10

4 16. ​  ___  ​  16

5 __ ​  17. ​ 7

8 __ ​  18. ​ 9

19. Catalina tiene 6 latas de frutas. Dos de ellas

contienen duraznos. Escribe dos fracciones que representen las latas que contienen duraznos. 

20. Jaime y Eva están jugando con 4 cubos rojos

y 8 cubos azules. Jaime dice que ​ 12_ ​de los cubos son rojos. Eva dice que ​ _13 ​son rojos. ¿Quién tiene razón? Explica tu respuesta. 

Grupo B  Encuentra cada fracción irreductible asociada. 30 ___ ​  1. ​ 40

4 2. ​  ___  ​  14

3 __ ​  3. ​ 3

4 __ ​  4. ​ 5

12 ___ ​  5. ​ 24

5 7. ​  ___  ​  12

18 ___ ​  8. ​ 20

10 ___ ​  13. ​ 80

9 14. ​  ___  ​  15

40 6. ​  ____   ​  100

8 9. ​  ___  ​  32

50 ___ ​  10. ​ 75

18 ___ ​  11. ​ 24

7 12. ​  ___  ​  49

16 ___ ​  15. ​ 16

25 ___ ​  16. ​ 45

15 ___ ​  17. ​ 16

75 18. ​  ____   ​  100

Grupo C  Escribe cada número mixto en forma de fracción. Escribe cada fracción en forma de número mixto. 13 ___  ​  1. ​ 4

1 2. 2 ​__ ​  5

5 __ ​  3. ​ 3

29 ___  ​  4. ​ 4

1 5. 1 ​__ ​  2

3 6. 4 ​__ ​  8

49 ___ ​  7. ​ 12

7 __ ​  8. ​ 3

4 9. 3 ​__ ​  5

21 ___ ​  10. ​ 20

1 11. 5 ​__ ​  3

20 ___  ​  12. ​ 9

4 __ ​  13. ​ 3

5 14. 1 ​__ ​  6

43 ___ ​  15. ​ 10

19 ___  ​  16. ​ 3

2 17. 3 ​__ ​  9

1 18. 8 ​__ ​  2

19. La señora Pino está haciendo un pastel de

chocolate. La receta requiere 2 ​  _12 ​tazas de harina cernida. ¿Cuántas ​ _12 ​tazas de harina necesitará? Escribe el número mixto como una fracción mayor que 1. 

20. Eduardo corrió nueve cuartos alrededor de una

pista de ​ _14 ​de kilómetro. ¿Cuántos kilómetros corrió Eduardo? Escribe la distancia como un número mixto y una fracción irreductible. 

140

Libro 5.indb 140

24-01-13 10:09

Grupo D  Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 1 __ ​  3​__ ​  1. ​ 5 3

1 __ ​  2 2. ​ ​__ ​  2 4

5 7 3. 4 ​__ ​  4 ​  ___  ​  6 12

2 1 4. 2 ​__ ​  1 ​__ ​  9 2

3 4 5. 3 ​__ ​  3 ​__ ​  5 4

1 2 6. 2 ​__ ​  2 ​__ ​  5 3

3 1 7. 1 ​__ ​  2 ​  ___  ​  4 16

2 4 8. 3 ​__ ​  3 ​  ___  ​  5 10

5 3 9. 4 ​  ___  ​  4 ​__ ​  12 8

1 1 __ ​, 1 13. ​ ​__ ​, ​  ___  ​  6 8 10

3 1 5 14. 1 ​__ ​, ​__ ​, 1 ​  ___  ​ 4 3 12

3 3 10. 12 ​  ___  ​  12​__ ​ 5 10

Escribe en orden de menor a mayor. 5 2 7 11. 1 ​__ ​, 1 ​__ ​, 1 ​__ ​  9 9 9

4 7 __ ​, 3 12. ​ ​__ ​, ​  ___  ​  5 5 10

16. Antonio tiene tres perros: Liza, Kiki y Lulú. Liza

pesa 9 ​  _18 ​ kg, Kiki pesa 10 ​  _14 ​kg y Lulú pesa 9 ​  _34 ​kg. ¿Cuál de los perros pesa menos? 

1 5 3 15. 2 ​__ ​, 2 ​__ ​, ​__ ​ 2 6 8

17. Marcelo regó sus flores con ​ _4 ​de taza de agua 3

el lunes, ​ _12 ​taza de agua el martes y ​ 8_7 ​de taza de agua el miércoles. ¿Qué día regó sus flores con más agua? 

Grupo E  Escribe cada fracción como un decimal. 2 __ ​  1. ​ 5

11 ___ ​  2. ​ 20

14 3. ​  ____   ​  100

6 __ ​  4. ​ 8

9 5. ​  ___  ​  10

9 6. ​  ___  ​  20

6 7. ​  ___  ​  10

2 __ ​  8. ​ 5

13 ___ ​  9. ​ 50

44 10. ​  ____   ​  100

Escribe cada decimal como una fracción irreductible. 11. 0,9 

12. 0,03 

13. 0,45 

14. 0,75 

15. 0,6 

16. 0,14 

17. 0,3 

18. 0,52 

19. 0,8 

20. 0,99 

Grupo F  Usa una recta numérica para ordenar cada conjunto de números de mayor a menor. 2 1. 0,65; ​__ ;​ 0,25 5

3 1 2. ​  ___  ​; 0,5; ​__ ​  5 10

3 __ ​; 1  5__ ​; 0,75 3. 1  4 8

3 4. 1,80; 1,25; 1 __ ​ 5

4 5. 0,70; 0,85; ​__ ​ 5

1 1 6. 0,35; ​__ ​; ​ __ ​  4 2

1 7. 1,20; ​__ ​; 1,25 5

9 4 __ ​; 1,85; 1  ___ 8. 1    ​ 5 10

Capítulo 5 141

Libro 5.indb 141

24-01-13 10:09

Repaso/Prueba del Capítulo 5 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro.        ?  ​ son fracciones que representan la misma cantidad. 1. ​ —

factor común múltiplo común

       2. Un número que es múltiplo de dos números o más se llama — ​  ?  ​. 

fracción equivalente

       3. Una fracción — ​  ?  ​ cuando el numerador y el denominador tienen solo el 1 como factor común.

fracción irreductible

Comprueba tus destrezas Escribe una fracción equivalente. 4. 1 ​__ ​ 

4 5. ​ ___  ​  12

6

2 6. ​  ___  ​  10

5 7. ​__ ​  8

Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 1 9. 1 ​__ ​ 4

8. 9 ​__ ​ 2

2 10. 5 ​__ ​ 3

10 11. ​___  ​ 3

3 1 14. 3 ​__ ​  2 ​__ ​ 5 7

2 4 15. 1 ​__ ​  1 ​__ ​ 7 3

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 5 1 13. 1 ​__ ​  1 ​  ___  ​ 2 10

__ 12. 2 ​__ ​  5 3 ​6 ​

Escribe cada fracción como decimal. Escribe cada decimal como una fracción irreductible. 19 2 16. 0,75 17. ​ ____   ​ 18. 0,48 19. ​__ ​ 100

8

Usa una recta numérica para ordenar cada conjunto de números de mayor a menor. 1 ​__ ​; 0,45; ​__ ​ 20. 3 4

2

3 21. 1,15; 1,25; 1 ​__ ​ 8

3 1 __ ​; ​  ___ 22. ​   ​; 0,5 5 10

1 1 23. ​__ ​; 0,23; ​__ ​ 5 4

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 24. Javier, Violeta y Paula están haciendo collares de mostacilla. El collar de Javier es de 1 ​  _38 ​metros de

largo. El collar de Violeta es de 1 ​  _12 ​metros de largo. El collar de Paula es de 1 ​  3_4 ​metros de largo. ¿Cuál collar es el más largo?

Liliana vive a 0,9 kilómetro de la escuela. Explica cómo podrías usar un modelo para hallar la distancia que Liliana recorre de ida y vuelta de la escuela durante 5 días de la semana. 

25. 

142

Libro 5.indb 142

24-01-13 10:09

Enriquecimiento • Despejar incógnitas

Usa las pistas

Puedes usar lo que sabes sobre fracciones equivalentes para resolver incógnitas.

Ejemplo 1

6  Halla el número desconocido. ​__ ​ 5 ​  ___  ​ 7

56

Pista 1: E  l número desconocido es un número par de dos dígitos mayor que 40 pero menor que 60. Pista 2: La suma de los dígitos es 12. Paso 1

Paso 2

Haz una lista de todos los números pares mayores que 40 pero menores que 60.

Halla un número en la lista cuyos dígitos sumen 12.

42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58

4 1 8 5 12 Entonces, el número desconocido 5 48.

Ejemplo 2

28 2 Halla el número desconocido. ​__ ​ 5 ​______      ​ . 3

51

Paso 1

Paso 2

Halla una fracción equivalente a ​  2_3 ​que tenga 51 como denominador.

Como 3 3 17 5 51, multiplica: 2 3 17.

Entonces, divide 51 entre 3.

3 17 _______      ​5 34 ​___ ​ ​  2 3 3 17

51

Paso 3 Resuelve el número desconocido.  2 8 5 34 42 2 8 5 34 Entonces, el número desconocido es 42.

51 4 3 5 17

Inténtalo Resuelve. 4 ​   ​  1. ​__​ 5 ___ 5

3 27 2. ​__​ 5 ___ ​  ​ 

7 28 3. ​ ___ ​ 5 ___ ​  ​ 

Pista: La suma de los dígitos es 9.

Pista: La suma de los dígitos es 7.

4

60

Pista: el número desconocido es un número par mayor que 45 pero menor que 65.

13

 2 Explica cómo hallarías el número desconocido en ___ ​   ​ 5 __ ​ ​  . 24

3

Capítulo 5  143

Libro 5.indb 143

24-01-13 10:09

Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 5

5. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la

Opción multiple

fracción representada en su forma irreductible?

1. ¿Qué fracción de letras de la palabra murciélago son vocales? 1 a) 2 1 b) 5 1 c) 10 d)

2 A ​__ ​ 3

5 5

2. El número mixto que representa a 3 a) 5 4 3 b) 4 4 1 c) 4 2 d) 4

  ​ 17 4

es: 

1 4

1 B ​__ ​ 2 8 C ​ ___  ​ 11 3 D ​__ ​ 4

6. ¿Qué recta numérica muestra 2  ​  _14 ​representado

por un punto?

3. ¿Cuál de las fraciones es mayor?  a)

1 10

b)

3 4

A

B

C

D

11 c) 5 d)

12 13

4. ¿Qué fracción representa la parte sombreada?  a) 1 b)

1 2

c)

1 4

d)

1 5

1 2

144

Libro 5.indb 144

24-01-13 10:09

7. ¿Cómo se escribe 0,5 en forma de fracción? 

10. Representa gráficamente las fraciones:

1 __ ​ A ​ 5

1. 2

1 __ ​ B ​ 2

11. Traza en tu cuaderno una recta numérica de 0 a

4

2. 12

3. 45

20

20

4 como se muestra a continuación.

2 __ ​ C ​ 3

Ubica los siguientes números en la recta numérica: 1,4; 3,7; 2 ​  _15 ​.

5 __ ​ D ​ 6

Respuesta desarrollada

8.

12. De una botella de

¿Qué letra en la recta numérica identifica la ubicación de 1​  _13 ​? A

P

B

Q

C

R

D

S

13. El entrenador de basquetbol anota el número

de las canastas e intentos de cada partido. La siguiente tabla muestra los datos de cinco jugadores. Jugador

Respuesta breve 9.

Usa la recta numérica para ubicar las siguientes fracciones en orden de menor a mayor. 1 1 3 ​__  ​, ​__ ​ , ​__ ​  2 4 8

1 2

Litros, Jaime ha bebido 1 de litro y Andrea 1 de litro. 4 2 ¿Qué fracción de la bebida han consumido? 2

Canastas hechas por intento

Bruno

2 4

Rodrigo

5 10

Javier

7 10

Edmundo

3 4

Daniel

3 5

Decimal equivalente

Copia la tabla y escribe un decimal equivalente para cada fracción. Luego ubica los jugadores en orden del que hizo más canastas por intento al que hizo menos. Puedes usar una recta numérica u otro modelo para resolver. Explica cómo hallaste la respuesta.

Capítulo 5 145

Libro 5.indb 145

24-01-13 10:09

CAPÍTULO

6

Sumar y restar fraciones semejantes La idea importante

La suma y resta de fracciones semejantes se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes.

Chile

DATO BREVE

La naranja se originió hace unos 20 millones de años en el sudeste asiático. La dispersión mundial de los cítricos se debió a los grandes movimientos migratorios de la humanidad. A Chile llegó con el descubrimiento de América y la Conquista, hace apróximadamente 400 años. El clima chileno es propicio para su cultivo. Chile es, actualmente, país exportador de naranjas.

Investiga Imagina que comes parte de una naranja para el desayuno, y luego te comes el resto para el almuerzo. ¿De cuántas maneras podrías comerte la naranja? Elige la cantidad de secciones, de 8 a 11, para tu naranja. Escribe la cantidad de secciones de la naranja para ambas comidas en forma de fracción. Escribe tres pares de fracciones.

146

Libro 5.indb 146

24-01-13 10:09

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 6.

u Fracciones equivalentes Encuentra dos fracciones equivalentes para cada ilustración.

1.

4.

7.

2.

 ​

3.     ​

5.

8.

6.

9.

u Mínima expresión Encuentra cada fracción irreductible.

2 10. __​ ​   4

4 11. __​ ​   6

2 12. __​ ​   8

3 13. __​ ​   9

14. ___ ​  6 ​   10

15. ___ ​  6 ​   12

16. ___ ​  8 ​   10

17. ___ ​  4 ​   20

18. ___ ​  8 ​   12

19. ___ ​10​   30

20. ___ ​15​   25

21. ___ ​  6 ​  18

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

fracciones equivalentes operaciones inversas número mixto convertir fracción irreductible

PREPARACIÓN

fracciones equivalentes  fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad fracción irreductible  Una fracción es irreductible o está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. operaciones inversas  operaciones que se anulan una a la otra, como la suma y la resta o la multiplicación y la división.

Capítulo 6  147

Libro 5.indb 147

24-01-13 10:09

Repaso rápido

Representar la suma y la resta OBJETIVO: Representar la suma y la resta de fracciones semejantes.

Escribe cada fracción en su fracción irreductible. 2 __ ​ 1. ​ 4

6 __ ​ 2. ​ 8

5 4. ​  ___  ​ 10

2 __ ​ 5. ​ 8

6 __ ​ 3. ​ 6

Materiales ■ barras de fracciones

Puedes sumar y restar fracciones con denominadores semejantes usando barras de fracciones. 1 5 Suma. __​​ 1 __​​  8

8

Coloca una de las barras de 8_​  1​  debajo de 1 barra de fracción de entero.

1

1 8

Coloca 5 barras más de 8_​  1​  para mostrar 8_​  5​.   Cuenta las barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción irreductible. Usa barras de fracciones para hallar 6_​ 2​  1 6_​  5​.  

Sacar conclusiones 1. En tu modelo, ¿cuántas barras de 8_​ 1​  equivalen a 2_​ 1​  ? ¿Qué sabes sobre 8_​ 4​  y 2_​  1​  ? 2. Mira el modelo que hiciste para D. ¿Cómo sabes si la suma de dos fracciones es mayor que 1? 3. Aplicación  Muestra cómo aplicar el mismo método usando barras de fracciones para hallar 5_​ 3​  2 5_​  1​.  

148

Libro 5.indb 148

24-01-13 10:09

Puedes usar las barras de fracciones con denominadores semejantes para restar fracciones. 3 7 Resta. ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​  10

10

Paso

Paso

1  ​ Coloca siete barras de ​ __ 10

debajo de la barra de fracción de 1 entero.

Paso

1  ​ debajo Coloca tres barras de ​ __ 10 1  ​ para de las siete barras de ​ __ 10 3 __ representar ​    ​. 10

Compara las hileras de barras. Halla la diferencia en su mínima expresión. 1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1 10 10 10

1 1 1 10 10 10

?

? 1 1 1 1 10 10 10 10

7 4 2 ​ ___  ​ 2 ___ ​  3 ​ 5 ​ ___  ​ 5 __ ​ ​  10

10

5

10

¿Cómo hallarías ​ 5_6 ​ 2 ​  2_6 ​?

Usa barras de fracciones para hallar la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 1.

2.

1

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

3.

1 1 6

1 6

1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10

1 6

__2​ ​ 1 __1​ ​  __4​ 1 __3​ ​   ​

8

6

8

1

6

1 1 10 10

? 8 2 ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​  10 10

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 3 2 ​   ​ 1 ___ ​   ​   4. ___

5 2 5. ___ ​   ​ 1 ___ ​   ​   12 12

5 2 8. __​ ​ 2 __​ ​  

2 1 9. __​ ​ 1 __​ ​   4 4

10 6

12.

10

6

2 1 6. __​ ​ 2 __​ ​   3 3

2 4 7. __​ ​ 1 __​ ​  9 9

9 7 10. ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​   12 12

3 4 11. __​ ​ 1 __​ ​  7 7

Explica una regla que puedas usar para sumar o restar fracciones con denominadores semejantes.

Capítulo 6 149

Libro 5.indb 149

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

2

Repaso rápido

Sumar y restar fracciones semejantes

Escribe cada fracción irreductible. 2 1. ​  ___  ​ 10

6 __ ​ 2. ​ 8

Aprende

4 __ ​ 3. ​ 8

2 __ ​ 4. ​ 6

PROBLEMA  El glaciar de la laguna de San Rafael, al sur de Chile, es uno de los glaciares que retrocede con mayor rapidez. Algunos glaciares retroceden aproximadamente 78 metros, otros 114 metros por año. __ __ ​ 3 ​ de km. Imagina que en 2 años retrocede 10 ​ 2 ​ de km y en otros dos años 10 ¿Qué distancia en km retrocede el glaciar en cuatro años?

6 __ ​ 5. ​ 9

OBJETIVO: Sumar y restar fracciones semejantes.

Usa un modelo.

Usa papel y lápiz.

3 2 ___   ​ 1 ​  ___  ​ Suma.   10

10

Sombrea 2 partes de un modelo de décimos. Sombrea 3 partes más. Escribe la fracción que corresponde a la 5 1 ​   ​ 5 ​  _ parte sombreada. ​ __ 10 2

___ ​  2 ​  ​  ​  10      3 ___ 1  ​   ​  10 _ 1 ___ ​  5 ​  5  ​__​  10

2

•  Suma los numeradores. •  Escribe la suma sobre el denominador. •  Escribe la suma en su fracción irreductible.

Por lo tanto, el glaciar se desplaza ​  1_2 ​km cada 4 años.

Usa un modelo.

Usa papel y lápiz.

2 Resta. ​___  3  ​ 2 ​  ___   ​ 10

10

Sombrea 3 partes de un modelo de décimos. 2  ​. Traza una línea Resta ​  __ 10 a través de dos partes. 1  ​. Escribe la fracción: ​ __ 10

•  Resta los numeradores. 3 ​ ___  ​  10 ​  ​  •  E scribe la diferencia sobre       2 el denominador. ___ 2  ​   ​  10 •  Comprueba que la _ ___ diferencia esté en su ​  1 ​ 

10

fracción irreductible.

Práctica con supervisión 1. Usa el modelo para hallar 8_​ 2​  1 8_​  4​.   Escribe la respuesta en su mínima expresión.

150

Libro 5.indb 150

24-01-13 10:09

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 1 2 2. __​ ​ 1 __​ ​   4 4

3 1 3. __​ ​ 2 __​ ​   4 4

5 3 4. __​ ​ 1 __​ ​   8 8

__2 __1  5. 3​ ​ 2 3​ ​  

7 ___  ​  ​ 1 ___ ​ 1 ​   6. 10 10

3 1 4 3 9. __​ ​ 2 __​ ​   10. __​ ​ 1 __​ ​   6 6 8 8

5 3 11. __​ ​ 2 __​ ​   7 7

12. ___ ​ 7 ​ 1 ___ ​ 5 ​  12 12

5 3 2 4 14. __​ ​ 1 __​ ​   15. __​ ​ 2 __​ ​   7 7 8 8

1 1 16. __​ ​ 1 __​ ​   3 3

3 1 17. __​ ​ 2 __​ ​  8 8

__ __ Explica cómo hallar 12 ​ 2 ​ 1 12 ​  4 ​. 

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 8. ___ ​ 1 ​ 1 ___ ​ 3 ​   10 10 4 1 13. __​ ​ 2 __​ ​   4 4

Álgebra Halla el número que falta en cada . 4 7 18.  1 __​ ​ 5 __​ ​   9 9

3 1 19. __​ ​ 2  5 __​ ​   4 4

USA DATOS Para 22–24, usa el gráfico. 22. ¿Qué fracción de estudiantes eligió la

primavera o el verano como su estación preferida?

Estación preferida 20 estudiantes otoño 1 10

23. Razonamiento  ¿Cuáles dos estaciones

fueron elegidas por 5_​ 2​  de los estudiantes?

24.

¿Cuál es el error? Para hallar la diferencia entre la cantidad de estudiantes que eligió el verano y la cantidad __ __ ​  2 ​ y que eligió el invierno, Clara calculó 10 ​ 5 ​ 2 10 obtuvo 3. ¿Cuál es su error?

11 21. ___ ​ 9 ​ 1  5 ___ ​ ​   12 12

2 20. 1 2  5 __​ ​   3

verano 5 10

invierno 2 10

primavera 2 10

Comprensión de los Aprendizajes 25. Compara. Escribe ,, ., o 5.

1 840,099  1 840,215 26. Karina corrió 4_​ 1​  de kilómetro. Escribe la distancia que corrió en forma de decimal. 27. Escribe la fracción __ ​ 37 8 ​  en forma de número

mixto.

Práctica adicional en la página 162, Grupo A

Libro 5.indb 151

28. Preparación para la prueba  Álvaro vertió 4_​ 1​  de

taza de jugo de naranja y ​ 4_3 ​ de taza de jugo de piña en un vaso. ¿Cuántas tazas de jugo hay en el vaso?

1 A __​ ​   de taza 4

3 C __​ ​   de taza 4

3 B __​ ​   de taza 8

D 1 taza

Capítulo 6 151

24-01-13 10:09

LE C C

N IÓ

3

Repaso rápido

Sumar y restar números mixtos semejantes

Suma o resta. Escribe la respuesta como fracción irreductible.

OBJETIVO: Sumar y restar números mixtos semejantes.

Aprende PROBLEMA  Todos los fines de semana, Susana trabaja en un invernadero. Trabaja 2 4_1​ ​  horas el sábado y 3 4_1​ ​  horas el domingo. ¿Cuántas horas trabaja Susana todos los fines de semana?

3 __ ​ 1 1​__ ​ 1. ​ 7 7

3 __ ​ 2 2​__ ​ 2. ​ 5 5

3 7 3. ​  ___  ​ 1 ​  ___  ​ 10 10

5 __ ​ 2 3 4. ​ ​__ ​ 6 6

1 __ ​ 1 5. ​ 4

2 ​__ ​ 4

Usa un modelo. __​ 1 3​1 __​  Suma. 2​1 4

4

Paso Representa el problema. 1

1

1

1

1

1 4

2 14

1 4

3 14

1 4

2 14

1 4

3 14

Paso Primero suma las fracciones, y luego suma los números enteros. 1

1

1

1

1

__​ 1 3​1 __​ 5 5​2 __ ​, o 5​1 __​   Escribe la suma como fracción irreductible. 2​1 4

4

4

2

Usa papel y lápiz. __​  2​1 4 ​       ​  1 __ 1 3​  ​ 4 _ 2 1 __ 5​  ​5 5​__ ​  4

2

•  Suma las fracciones. •  Suma los números enteros. •  Si es necesario, escribe la suma como fracción irreductible.

1 Por lo tanto, Susana trabaja  5__ ​ ​   horas todos los fines de semana.

Idea matemática

Suma o resta las partes fraccionarias de los números mixtos como lo harías con dos o más fracciones.

2

152

Libro 5.indb 152

24-01-13 10:09

Resta números mixtos Un fin de semana, Susana trabajó 3​ _56 ​horas en la frutería de un supermercado el sábado, y el domingo trabajó 2​ _16 ​horas. ¿Cuánto tiempo más trabajó Susana el sábado que el domingo? 5 __​  ​ 2 2​1 Resta. 3​__ 6

6

Usa un modelo. 1

1

1

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1

1

1

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Quita 2​ _16 ​barras de fracciones.

__​ 2 2​1 __​ 5 1​4 __​,  o 1​2 __​   Escribe el resultado como fracción irreductible. 3​5 6

6

6

3

Usa papel y lápiz. __ ​ 3​5 6 ​        ​  1 __ 2 2​  ​ 6 _ 4 __ __ ​ 1​ ​  5 1​2 6

3

•  Resta los numeradores de las partes fraccionarias. Escribe la diferencia sobre el denominador. •  Resta los números enteros. •  Escribe el resultado como fracción irreductible.

2   ​ horas más que el domingo. Por lo tanto, el sábado Susana trabajó 1​__ 3

•  ¿Qué estimación harías para comprobar la diferencia?

Más ejemplos __ ​ 5​4   5​   ​     2 1 2__ ​ ​  5 _ 6 __​ 5 8​1 __​  7​__ ​  5 7 1 1​1 5

5

5

7  ​  1​ ___   12 ​     ​     ___​  1 3 ​11 12 _ 6 6 1 ___​ 5 4 1 1​ ___ 4 ​18  ​ 5 5​ ___ ​ 5 5​__​  12

12

12

2

__ ​ 7​7   8 ​     ​    __ 2 41 ​ ​  8 _ __​  __​  5 3​3 3​6 8

4

Capítulo 6 153

Libro 5.indb 153

24-01-13 10:10

Práctica con supervisión Usa barras de fracciones para hallar la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 3   Suma las fracciones. __1​ ​ 1 __3​ ​ 5 j ​__ ​   1. 2​__1​ 1 4​__​  5

5

5

5

5

Suma los números enteros. 2 1 4 5 j Combina el número entero y la fracción para formar un número j mixto. j 1 j ​__ ​  5 j ​__ ​   5

5

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 2.

+

7. 1

7 10 1 7 3 3. 4. 8 12 6 3 5 3 – 5 + 2 3 8 12 6

5.

1

1 3 – 8 4 4

8. 10

2 1 – 4 3 3

Explica cómo hallar 3

11.

9. 4

7 5 – 6 9 9

9 1 2 6. 10 2 7 1 3 + 8 10 2 6

10. 8

3 1 – 5 4 4

7 9 1 1 . 10 10

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible.   __6 ​    12. ​  10​   7 2 5__3​ ​  _7

​  5​   __5 ​    13.   8 1 2__2​ ​  _8

9 ​  6​___      ​    14.    14 2 3___ ​ 5 ​  14 _

  __3 ​    15. ​  4​   4 1 1__3​ ​  _4

7 ​  8​___      ​    16.    10 2 2___ ​ 7 ​  10 _

3 9 3 4 11 7 1 2 17. 7​__​ 1 4​__​   18. 10​___​ 2 5​___    ​   19. 7​__​ 1 1​__​   20. 2​___    ​ 2 2​___    ​  6 6 12 12 3 3 10 10

USA DATOS Para 21–23, usa la receta de refresco de frutas. 21. ¿Cuántos cuartos de litro de refresco de frutas se

pueden preparar con la receta?

Receta de refresco de frutas

22. ¿Cuántos cuartos de litro de jugo de naranja más que de jugo de piña requiere la receta?

• 2 ¾ cuartos de litro de jugo de naranja

23. Razonamiento  Olga quiere duplicar la receta. ¿Cuánto jugo de naranja necesitará?

• 2 cuartos de litro de jugo de lima-limón

24.

154

Libro 5.indb 154

¿Cuál es el error?  Isabel sumó 2 8_5​ ​  a 6 8_7​ ​.   Su respuesta fue 8 4_1​ ​.   Explica el error de Isabel y halla la repuesta correcta.

• 1 24 cuartos de litro de jugo de piña • Frutas como limones, limas, frambuesas y naranjas, en trozos.

Práctica adicional en la página 162, Grupo B

24-01-13 10:10

Comprensión de los Aprendizajes 28. Preparación para la prueba  9​__3​ 2 2​__1​ 5

25. Halla el valor de j.

4

__3​ 1 j 5 __5​​  ​ 7

7

B 7​__1​  

D 12

2

10

27. Completa para escribir fracciones equivalentes. 2 __1​ 5 __ ​ ​   ​ 3

1 C 11​__​  2

4

4 2 26. ​ ___ ​ 1 ___ ​   ​ 5 10

A 7​__1​  

j

4

29. Preparación para la prueba  Pablo mezcla 4​2_1 ​   tazas de harina de maíz y 2​2_1 ​  tazas de harina. ¿En qué tamaño de recipiente cabrá la mezcla? A 1 taza

C 6 tazas

B 2 tazas

D 8 tazas

PERCEPCIÓN NUMÉRICa  Puedes estimar con números mixtos, así como lo haces con números enteros. •  Si la parte fraccionaria del número mixto es menor que ​ 2_1​,   redondea hacia abajo al número entero más cercano. •  Si la parte fraccionaria del número mixto es igual o mayor que ​ 2_1​,   redondea hacia arriba al número entero más cercano. 1 __1​ ​ redondea hacia abajo, a 1. 4

1 __​1​ redondea hacia arriba, a 2. 2

    Después de redondear, suma o resta para hacer tu estimación. 1 __1​ ​ 1 1 __1​ ​ ?   1 1 2 5 3. Por lo tanto, 3 es una estimación razonable para la suma. 4

2

Estima cada suma o diferencia. Para 1–4, usa la recta numérica como ayuda. 3 5 1 1 1 1 1 3 1. 1​__​ 1 2​__​   2. 2​__​ 2 1​__​   3. 1​__​ 1 2​__​   4. 2​__​ 2 __​ ​  4 4 4 6 4 4 4 6 4 1 5. 3​__​ 1 4​__​   5 5

2 6. 2​__​ 2 2 3

9 7. 4​___  6 ​ 1 5​___    ​   10 10

5 1 8. 5​__​ 2 3​__​  8 8

Capítulo 6 155

Libro 5.indb 155

24-01-13 10:10

LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Restar haciendo conversiones

Resta. Escribe la respuesta en su fracción irreductible.

OBJETIVO: Restar números mixtos haciendo conversiones.

Aprende PROBLEMA  Gabriel está construyendo un escenario para una obra de teatro. Corta 1​6_1 ​  metros de una tabla que mide 2 metros. ¿Cuál es la longitud de lo que queda de la tabla?

3 __ ​2 1 1. ​ ​__ ​  4 4

2 __ ​2 1 2. ​ ​__ ​  3 3

1 __ ​2 1 3. 1​ ​__ ​  2 2

7 __ ​2 3 4. ​ ​__ ​  8 8

5 __ ​2 1 5. 2​ ​__ ​  6 6

A veces necesitas convertir el número entero para hacer restas con números mixtos. Puedes usar barras de fracciones como ayuda.

Actividad Resta. 2

1 16

Materiales

barras de fracciones

Paso Representa el 2 usando dos barras enteras.

1

1

2

Paso Para restar 1 16 , reemplaza una de las barras enteras con seis barras de 1 .

1 6

1

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 66

Paso Resta 1 16 . Escribe la respuesta en su mínima expresión.

1 6

1

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 66

1 16

Por lo tanto, la longitud de la tabla que queda es ​ _56 ​de metro.

Ejemplo  Resta. 3​__3​ 2 1​5__​  8

8

Paso

Paso

Convierte el número mixto.

Paso

Resta las fracciones.

Piensa: Dado que

​  _58 ​ ​  _38 ​, convierte 3​  _38 ​. 3 3​__ ​ 5

3 3​__ ​ 5

11 2​___  ​ 

8 21​5__​ 5 2 8

8 __​  1​5 8

3​  _38 ​5 2

1

11  ​ ​  _88 ​1 ​  3_8 ​5 2​  __ 8

11 2​___  ​ 

8 21​5__​ 5 2 8

8 __​  1​5 8 6 __ ​  ​ 8

Resta los números enteros. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 3  ​5 3​__

11 2​___  ​ 

8 21​5__​ 5 2 8

8 __ ​ 1​5 8 6 3 __ 1​ ​  5 1​__ ​  8 4

__​ 2 1​5 __​ 5 1​3 __​.  Por lo tanto, 3​3 8

8

4

156

Libro 5.indb 156

24-01-13 10:10

Práctica con supervisión 1. Copia el problema de la derecha. Halla la diferencia usando la conversión. 

__ ​   2​__3​ 5      1​

6 6 21​__4​ 5 21​__4​  6 6

Usa barras de fracciones para hallar la diferencia. Escríbela como fración irreductible 1 2. 2​__​ 2 4

1​__3​   4

1 2 3. 1​__​ 2 __​ ​   3 3

2 4. 5​__​ 2 5

___  7 ​ 2 ___ ​ 9 ​    5. 4​10 10

2​__4​   5

___  5 ​ 2 1​___  8 ​    6. 3​12 12

Explica cómo hallar 3 2 1​3_2 ​.  

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 5 2 8. 5​__​ 2 3​__​   9 9 3 6 13. 3​__​ 2 1​__​   7 7

9. 2​___  3 ​ 2 1​___  7 ​   15 15 3 5 14. 4​__​ 2 2​__​   6 6

3 4 10. 8​__​ 2 2​__​   5 5

1 11. 2 2 1​__​   4

12. 3​___  1 ​ 2 2​___  9 ​   10 10

10 15. 6​___  9 ​ 2 3​___ ​   12 12

11 16. 4​___  6 ​ 2 1​___ ​   20 20

4 17. 8 2 5​__​   9

18. El padre de Mónica conduce 20​4_1 ​  kilómetros por

19. Esta semana, Joel quiere correr 18 kilómetros.

Corrió 3 kilómetros, 2​4_3 ​  kilómetros y 3​4_2 ​   kilómetros. ¿Cuántos kilómetros más tiene que correr Joel para lograr su objetivo?

día. Su madre conduce 25 kilómetros por día. ¿Cuánto más lejos conduce la madre de Mónica que su padre?

20.

¿Cuál es la pregunta?  El pedazo de tela de Roberto, de 3​8_5 ​  metro de largo, es 1​8_7 ​  metro más largo que el de Cecilia. La respuesta es 1​4_3 ​  metro. 

Comprensión de los Aprendizajes 21. Daniela trabajó 3_​ 1​  de hora en la tarea de

matemáticas y 3_​ 2​  de hora en la de ciencias.

¿Cuánto tiempo tardó Daniela en hacer toda su tarea?

22. Un molde para pasteles de 9 cm de largo por

10 cm de ancho contiene 5​4_1 ​  tazas de mezcla. La receta de pastel de Karen hace 11 tazas de mezcla. ¿Necesitará usar 2 moldes o 3 moldes?

23. ¿Qué clase de cuadrilátero tiene siempre 4

ángulos rectos y 4 lados iguales? 24. Preparación para la prueba  Laura y Angélica

compraron 2 pizzas y se comieron _3​ 2​  de una pizza como muestra la ilustración. ¿Qué fracción de las 2 pizzas sobró?

A 1​__1​   pizza

2 C 1​__​   pizza 3

1 B 1​__​   pizza 3

D 2 pizzas

6

Práctica adicional en la página 162, Grupo C

Libro 5.indb 157

Capítulo 6 157

24-01-13 10:10

LE C C

N IÓ

Trabajar desde el 5 Estrategia: final hasta el principio OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia trabajar desde el final hasta el principio.

Aprende la estrategia Trabajar desde el final hasta el principio puede ayudarte a resolver un problema. Puedes usar esta estrategia cuando sabes cómo termina una situación pero no sabes cómo empieza.

Trabaja desde el final hasta el principio en una recta numérica. Soledad tejió un poncho para el invierno. Usó en total 3 ovillos de lana café, roja y amarilla. Primero usó 1​8_3 ​  de ovillo de lana café y 8_5​ ​  de ovillo de lana roja. Si el resto de lana era roja, ¿cuánto de la lana amarilla usó Soledad?

Comenzando desde el 3 en la recta numérica, mueve 1​ _38 ​, u 11 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 5 octavos hacia la izquierda.

5 8

02

13 8

1

3

Por lo tanto, Sol usó 1 metro de cinta roja.

Trabaja desde el final hasta el principio con una ecuación. Isabel pagó $32 000 por 3 tarros de pelotas de tenis de lanzamiento rápido y una raqueta de tenis. El raqueta costó $20 000. Ella no recuerda el precio exacto de las pelotas de tenis. ¿Puedes hallar cuánto pagó Isabel por cada tarro de pelotas de tenis? Sí puedes. ¡Trabaja desde el final hasta el principio!

¿Por qué es importante comprobar tu respuesta cuando usas la estrategia de trabajar desde el final hasta el principio? Explica cómo puedes comprobar tu respuesta.

Escribe la ecuación.

($ 3 3 tarros de pelotas de tenis) 1 raqueta 5 total (s 3 3) 1 $20 5 $32 Trabaja desde el final hasta el principio usando operaciones inversas.

s 5 (32 2 20) 4 3 s 5 12 4 3 s54 Por lo tanto, Isabel pagó $4 000 por cada tarro de pelotas de tenis. Comprueba tu respuesta.

($4 000 3 3) 1 $20 000 5 $32 000

$12 000 1 $20 000 5 $32 000 $32 000 5 $32 000 ✓

158

Libro 5.indb 158

24-01-13 10:10

Usa la estrategia PROBLEMA  La clase de quinto grado del señor Juan está presentando un espectáculo de títeres sobre seguridad para el primer grado y el segundo. Para hacer sus propios títeres, los estudiantes de quinto año de enseñansa básica compraron 1​8_7 ​  metro de fieltro para tres títeres de distinto tamaño. Cortaron 8_​  3​  de metro para el títere más pequeño y 8_7​ ​  de metro para el títere más grande. ¿Cuántos metros de fieltro usaron los estudiantes para el títere mediano?

• Identifica los pasos del problema.  • ¿Qué parte del problema es una incógnita?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes trabajar desde el final hasta el principio para resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Traza una recta numérica que muestre octavos. Trabaja desde el final hasta el principio. Comenzando desde 1 8_​ 7​,   mueve 7 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 3 octavos hacia la izquierda. 3 8

02

7 8

1 17 8

Solo quedan 5 octavos más antes del 0 en la recta numérica. Por lo tanto, usaron 8_5​ ​  de metro de fieltro para el títere mediano.

• ¿Cómo sabes que tu respuesta es correcta? • ¿De qué otras maneras podrías resolver este problema?

Capítulo 6 159

Libro 5.indb 159

24-01-13 10:10

Resolución de problemas con supervisión 1. Para construir el escenario de los títeres para su espectáculo, los

estudiantes usaron un total de 9 6_5​ ​  metros de fieltro para hacer la cortina, el techo y la falda del escenario. Si usaron 3 6_1​ ​  metros para la cortina y 3 6_5​ ​  metros para la falda, ¿Cuántas metros de fieltro usaron para el techo? 

Primero, haz una recta numérica que muestre de 0 a 10. Divide cada sección en sextos. Luego, trabaja desde el final hasta el principio en la recta numérica. Finalmente, comprueba tu respuesta.

01

23

4

567

89

10

_5    2. ¿Qué pasaría si los estudiantes tuvieran 2 6​ ​  metros para la cortina? ¿Cuánto fieltro se usaría para el techo? 

   3. Veinte minutos antes de empezar el espectáculo, los estudiantes todavía estaban trabajando en el escenario. Javiera tardó 12,5 minutos en engrapar la falda y luego le pasó la engrapadora a Carlos, quien tardó 6,75 minutos en engrapar el techo. Cuando terminaron, ¿cuántos minutos quedaban para empezar el espectáculo? 

Resolución de problemas con supervisión Trabaja desde el final hasta el principio para resolver 11 __ 4. Los estudiantes tenían 12 ​  ​  de hora para ver un espectáculo de títeres

__ acerca de la seguridad. El primer 12 ​ 5 ​ de hora se trató sobre la __ seguridad en el patio de juegos, y el siguiente 12 ​ 2 ​ de hora se trató sobre la seguridad en la cafetería. Las dos primeras partes del espectáculo provocaron más risas de lo esperado y se extendió __ por 12 ​ 1 ​ de hora. El resto del tiempo se trató sobre cómo cruzar una calle concurrida. ¿Cuánto tiempo tuvieron los estudiantes para la última parte del espectáculo que trataba sobre cómo cruzar una calle concurrida? 

USA DATOS  Para 5–7, usa la tabla de datos. 5. Los estudiantes usaron 4_2​ ​  de una lata de un litro de pintura para

los carteles y 4_​ 3​  de una lata de un litro de pintura para utilería. ¿Cuántos litros de lata de pintura quedaron para pintar el decorado de fondo? 

Materiales para el espectáculo de títeres

6. Para construir el escenario de los títeres, los estudiantes usaron

dos marcos en forma de U, sostenidos por 4 patas. Para cada marco en forma de U se usaron 11 3_1​ ​  metros de madera. ¿Cuánta madera usaron los estudiantes para las 4 patas?  7.

Material Madera Pintura Fieltro

Cantidad 1 3 1 2 4 5 9 6

37

metro litro metro

Explica cómo usarías una recta numérica para hallar la longitud de cada pata usada para sostener el escenario de los títeres. Muestra tu trabajo.

160

Libro 5.indb 160

24-01-13 10:10

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

Práctica de estrategias mixtas USA DATOS  Para 8–11, usa la tabla.

Hacer un diagrama o dibujo

8. En la sala de teatro Agustín Siré, de

Hacer un modelo o una dramatización

la Facultad de Arte de la Universidad de Chile, la taquilla abrió al mediodía para vender entradas. A las 12:10, ya se habían vendido 20 entradas. A las 12:20, se habían vendido 40 entradas. Al final de la primera media hora, se habían vendido 60 entradas. Si el patrón continúa, ¿a qué hora se habrán vendido todas las entradas? 

Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

9. El teatro La Memoria de Santiago

tiene 3 espectáculos el sábado por la tarde, mientras que el teatro Huemul tiene 1 espectáculo. Si ambos teatros tuvieran la sala llena, ¿cuál vendería la mayor cantidad de entradas ese día? ¿Cuántas entradas más venderá ese teatro?  10.

Ciudad, Estado

Cantidad de asientos

Teatro Condell, Valparaíso

300

18 x 14

55

Sala Agustín Siré, Santiago  

160

12 x 12

40

Teatro Huemul, Santiago

500

20 x 8

45

100

6x7

30

Formula un problema  Vuelve al Problema 9. Escribe un problema similar cambiando el teatro y el patrón.

11.

Teatros de títeres

Problema abierto  Imagina que hay un

intervalo de 25 minutos entre los Teatro La Memoria, Santiago espectáculos en el teatro Condell en Valparaíso. Si el teatro está abierto desde la 1:00 p. m. hasta las 4:30 p. m., ¿cuántas entradas podrá vender? ¿Cómo podría el teatro cambiar la duración del espectáculo o el intervalo entre los espectáculos para poder vender más entradas?

Duración Tamaño del del espectáculo escenario Largo x ancho (en minutos) (en pies)

ESFUÉRZATE UNICEF, una organización internacional para niños, usa títeres para educar y entretener. En el país africano de Namibia, los adolescentes usan títeres para enseñar acerca de la seguridad. En una plaza del pueblo, 2 000 personas miran el espectáculo de títeres que tiene una hora de duración. 12. En Vietnam, un espectáculo de títeres similar

atrae a un promedio de 1 200 personas. Si en Vietnam hay seis espectáculos de títeres al mes, aproximadamente ¿cuántas personas pueden ver el espectáculo de títeres de UNICEF cada mes?

13. En Namibia, 5_​ 2​  de los titiriteros tienen de 12 a 14

años. Del resto de los titiriteros, uno de cada tres tiene de 10 a 11 años. ¿Cuántos quintos del total de los titiriteros tienen de 10 a 11 años? 

Capítulo 6 161

Libro 5.indb 161

24-01-13 10:10

Práctica adicional Grupo A  Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 2 __3 1. __ ​ ​ 1 ​ ​  

11 ___ 2. ___ ​ ​ 2 ​ 2 ​   3. 12 12

6. __5​ ​ 2 __3​ ​  

4 3 7. __​ ​ 1 __​ ​   9 9

3 2 11. __​ ​ 2 __​ ​   3 3

4 2 12. __​ ​ 1 __​ ​   6 6

5

5

7

7

___ ​ 3 ​ 1 ___ ​ 4 ​   10 10

7 5 4. __​ ​ 2 __​ ​   8 8

10 ___ 8. ___ ​ ​ 2 ​ 4 ​   11 11 6 1 13. __​ ​ 2 __​ ​   8 8

1 3 5. __​ ​ 1 __​ ​   6 6

9. ___ ​ 4 ​ 2 ___ ​ 2 ​   10 10

1 1 10. __​ ​ 1 __​ ​   5 5

2 1 14. __​ ​ 1 __​ ​   4 4

1 1 15. __​ ​ 2 __​ ​   2 2

Grupo B  Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 1. 2 ​__1​ 1 1 ​__5​  

1 1 2. 5 ​__​ 2 3 ​__​   2 2

1 3. 7 ​___  3 ​ 1 2 ​___    ​   10 10

3 4 4. 4 ​__​ 2 1 ​__​   7 7

5. 6 ​__2​ 1 1 ​__1​  

3 1 6. 5 ​__​ 2 4 ​__​   4 4

2 5 7. 7 ​__​ 1 3 ​__​   9 9

5 1 8. 3 ​__​ 2 1 ​__​   6 6

9. 4 ​__3​ 2 2 ​__2​  

3 1 10. 3 ​__​ 1 4 ​__​   8 8

2 1 11. 3 ​__​ 2 2 ​__​   3 3

12. 5 ​___  4 ​ 1 3 ​___  4 ​   10 10

6

3

5

6

3

5

Grupo C  Halla la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 1. Sandra usa 14_3​ ​  tazas de harina para hacer un

pastel. ¿Cuántas tazas de harina necesitará para hacer dos pasteles? 

3. 3 ​___  5 ​ 2 1 ​___  7 ​   12 12

3 7 4. 4 ​__​ 2 3 ​__​   8 8

 7 8. 5 2 2​__​     8

3 4 9. 7 ​__​ 2 5 ​__​   5 5

3 1 13. 4​__​ 2 2 ​__​   6 6

14. 6 2 1 ​___  6 ​   10

2. Ignacia compró 5 ​8_5 ​  kilogramos de frutas.

Compró 3 ​8_1 ​  kilogramos de manzanas. El resto eran naranjas. ¿Cuántos kilogramos de naranjas compró? 

3 5. 1 2 __​ ​   4

2 6. 5 2 __​ ​   7

5 4 7. 2 ​__​ 2 1 ​__​   7 7

8 11. 9 2 7 ​__​   9

5 2 12. 4 ​__​ 2 1 ​__​   9 9

3 4  7 15. 5​__​ 2 2​__​   16. 8 2 7​__​     9 9 8

5 2 17. 7​__​ 2 5 ​__​   6 6

10. 3 ​___  7 ​ 2 2 ​___  9 ​   10 10

18. Pedro tenía 4 metros de cordel. Usó 2 ​8_3 ​  metros

para un proyecto. ¿Cuánto cordel le queda a Pedro? 

19. José leyó durante 1 ​4_3 ​  horas el lunes y

2 ​4_1 ​  horas el martes. ¿Cuánto tiempo más leyó el martes? 

162

Libro 5.indb 162

24-01-13 10:10

ELIGE UN PAR ¿Quién? 4 estudiantes

¿Qué?

1

• 32 tarjetas

? ?  _ ​  __  ​

? ?  _ ​  __  ​

__ ​  5 ​ 6

__ ​  1 ​ 6

__ ​  4 ​ 6

__ ​  2 ​ 6

__ ​  67 ​

__ ​  17 ​

__ ​  47 ​

__ ​  37 ​

__ ​  5 ​ 8

__ ​  3 ​ 8

__ ​  1 ​ 8

__ ​  7 ​ 8

__ ​  7 ​ 9

__ ​  2 ​ 9

__ ​  4 ​ 9

__ ​  5 ​ 9

__ ​  25 ​

__ ​  35 ​

__ ​  45 ​

__ ​  15 ​

1  ​  ​ ___

___ ​  9  ​  10

___ ​  3   ​ 10

___ ​  7   ​ 10

__ ​  1 ​ 3

__ ​  2 ​ 3

__ ​  14 ​

__ ​  34 ​

__ ​  15 ​

__ ​  45 ​

__ ​  1 ​ 2

__ ​  1 ​ 2

10

¡Cómo! Rotula las tarjetas como se muestra. Mézclalas y colócalas boca abajo en la superficie plana de una matriz de 8 por 4.

Si las fracciones no tienen un total de 1, se vuelven a poner boca abajo a su posición original.

El primer jugador le da vuelta a dos tarjetas. Si las fracciones que se muestran tienen un total de 1, el jugador conserva las tarjetas y gana otro turno.

El próximo jugador repite el proceso. El juego continúa hasta que todas las tarjetas hayan sido levantadas. El jugador con el mayor número de tarjetas es el ganador.

Capítulo 6  163

Libro 5.indb 163

24-01-13 10:10

Repaso/Prueba del Capítulo 6 Comprueba los conceptos 1. Explica cómo puedes sumar 5_​ 2​  1 _5​  1​  usando barras de fracciones. 2. Explica una regla que puedas usar para restar fracciones con denominadores semejantes. 

Comprueba tus destrezas Halla la suma o la diferencia. Escríbela en su mínima expresión. 3 1 3. __​ ​ 1 __​ ​   5 5

5 2 4. __​ ​ 2 __​ ​   6 6

10 ___ 8. ___ ​ ​ 2 ​ 8 ​   11 11

9. ___ ​ 6 ​ 1 ___ ​ 3 ​   10 10

1 13. ​  2 ​​  __    ​      3 1 3 ​__2​  _3

4 14. ​  4 ​​  __    ​      5 2 1 ​__2​  _5 3 ​2_ ​ 5

6

4 2 5. __​ ​ 1 __​ ​   9 9

6. ___ ​ 9 ​ 2 ___ ​ 7 ​   10 10

3 2 7. __​ ​ 1 __​ ​   7 7

5 3 10. __​ ​ 2 __​ ​   6 6

3 4 11. __​ ​ 1 __​ ​   7 7

7 3 12. __​ ​ 2 __​ ​   8 8

5 15. ​  3 ​​  __    ​      6 1 5 ​__4​  _6 9 ​1_ ​ 2

3 16. ​  7 ​​  __    ​      8 2 2 ​__1​  _8 5 ​1_ ​ 4

9 17. ​  1 ​___  ​     ​       10 1 3 ​___  3 ​  ​10 _ 5​1_ ​ 5

1 21. ​  7 ​​  __    ​      2 2 4 ​__1​  _2

1 22. ​  6 ​ __    ​      8 2 5 ​__7​  _8 ​1_ ​ 4

Halla la diferencia. Escríbela en su mínima expresión. 2 18. ​  3 ​​  __    ​      5 2 1 ​__4​  _5 1 ​3_ ​ 5

1 19. ​  6 ​​  __    ​      6 2 4 ​__5​  _6 1 ​1_ ​ 3

3 20. ​  8 ​​  __    ​      5 2 4 ​__4​  _5 3 ​4_ ​ 5

3

​Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 23. Gina usó 4 _83​  ​  metros de tela para hacer un

disfraz. Ella usó 1 _85​  ​  metros para la camisa y 2 _81​  ​  metros para los pantalones. ¿Cuántos metros de tela usó para hacer las otras partes del disfraz? 

24. Victor usó 3​_41  ​  cuartos de pintura para decorar

algunos muebles. Él usó ​ _43​  de cuarto en un escritorio y 1​_41  ​  cuartos en un tocador. ¿Cuánta pintura usó Victor en los otros muebles?

Tara usó 17 _31​  ​  metros de tela para hacer cuatro disfraces de flor. Explica cómo usarías una recta numérica para hallar la cantidad de tela que ella usó para un disfraz. 

25. 

164

Libro 5.indb 164

24-01-13 10:10

Enriquecimiento • Patrones de fracciones

¿Cuál es la regla? Raúl está entrenando para una carrera. Durante la primera semana, corre

_1 _2 3​  ​  de kilómetro cada día. Durante la segunda semana, corre 3​ ​  de kilómetro cada

día, y durante la tercera semana, corre 1 kilómetro cada día. Si continúa con este patrón, ¿durante qué semana correrá Raúl 3 kilómetros cada día? Paso 1 Escribe todas las distancias como fracciones con un denominador común.

Paso 2 ​__ ​  , 3 ​__ ​ Busca un patrón. 1​__ ​  , 2 Halla una regla.

3 3 3

Regla: Suma ​1__ ​. 3

1 ​__ ​, 2 ​__ ​, 3 ​__ ​ 3 3 3

Paso 3 ​__ ​ , 3​__ ​ , 4​__ ​ , 5​__ ​ , 6​__ ​ , 7 ​__ ​ , 8 ​__ ​ , 9​__ ​ Continúa el patrón. 1​__ ​ , 2 3

3

3

3

3

3

3

3

3

Detente en ​ 9_3 ​ porque es equivalente a 3. Por lo tanto, 3_​ 9​  es la novena fracción en el patrón. Raúl corre 3 kilómetros por día durante la novena semana de entrenamiento.

Ejemplo

1 3 1 5 Halla las tres fracciones siguientes en este patrón: __​ ​  , __​ ​  , __​ ​  , __​ ​.  4

Paso 1 Escribe las fracciones con un denominador común.

8

2

8

Paso 2 Halla la regla.

Paso 3 Escribe las tres fracciones siguientes como irreductibles.

Regla: Suma ​1__ ​. 8

Continúa el patrón. 2 ​__ ​ ​__ ​ , 3​__ ​ , 4​__ ​ , 5 8 8 8 8

2 ​__ ​ , 8 ​__ ​ ​__ ​ , 3​__ ​ , 4​__ ​ , 5​__ ​ , 6​__ ​ , 7 8 8 8 8 8 8 8

6 8 7 __ ​ 5 7​__ ​ ​ __ ​ 5 1 ​__ ​ 5 3​__ ​ ​ 4 8 8 8 8

Por lo tanto, las tres fracciones siguientes son 4_​ 3​,   8_​  7​,   y 8_​ 8​,   o 1.

Inténtalo Halla una regla. Usa la regla para escribir las tres fracciones irreductibles siguientes: 3 2 1 3 3 1 1 1 1 1 11 5 3 1. ​___    ​, __​ ​,  __​ ​,  __​ ​   2. ​___    ​, __​ ​,  __​ ​,  __​ ​   3. ​___​, __​ ​,  __​ ​   4. 3; 2​__​;  2​__​  12 6 4 3

10 5 2 5

12 6 4

5

5

Toma un patrón de fracción que tenga 4_​ 3​  como tercera fracción.

Capítulo 6  165

Libro 5.indb 165

24-01-13 10:10

Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 6

Percepción numérica 1. La fracción que falta en la operación

11 12

=

5 es: 12

4 10

-

5. El resultado de 7 +

8 7

4. El resultado de 5

A 3

1 2

B 3

1 5

11 A 12

7 B 12

C 3

3 10

1 C 4

D 3

4 10

D

1 2

2. Alejandro repartió su torta de cumpleaños 1

a la hora de entre sus amigos. Repartió 4 2 por la tarde. ¿Cuánto repartió almuerzo y 4 de su torta de cumpleaños?

A

3 8

B

1 4

3 C 4

D

A 16

2 3

B 15

2 3

C 1

1 3

D 15

1 3

A 8

1 7

B 2

1 7

C 1

1 14

D

8 17

6. Dos veces 1

1 2

3. El resultado de 8

1 3

+

7

1 es: 3

A 2

2 10

B 2

1 5

C 2

2 5

D 1

2 5

2

1 es: 10

es:

1 es: 5

Se realizó una encuesta a un grupo de estudiantes en una feria científica acerca de su mascota preferida, arrojando los resultados que se encuentran en el gráfico adjunto. Con esta información responde las preguntas 6, 7, 8, 9 y 10.

166

Libro 5.indb 166

24-01-13 10:10

¿Cuántos?

¿Qué clase de mascota tienes?

9. De las mascotas que tienen cuatro patas.

¿Cuál es el menos preferido por los estudiantes?

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Perro

Gato

Pájaro

Pez

Roedor

Reptil

Clase de mascota

A Perro

B Gato

C Roedor

D Reptil

Otro

7. ¿Qué fracción de estudiantes prefieren un

10. Las preferencias de los estudiantes,

perro como mascota?

expresadas en fracción, por tener una mascota reptil o pez respectivamente es:

A 8

B

5 24

C

1 7

A

1 24

1 24

D

1 3

B

1 8

1 24

C

1 7

1 24

D

1 7

1 7

8. ¿Qué fracción de estudiantes prefiere

pájaro o roedor como mascota? 2 7

A

6 B 7

C

1 4

D

3 4

Pez

Reptil

11. Contruye una tabla que resuma la

información sobre la mascota preferida de los estudiantes encuestados expresada en fracción irreductible.

Capítulo 6 167

Libro 5.indb 167

24-01-13 10:10

7

Sumar y restar fracciones no semejantes La idea importante

La suma y resta de fracciones no semejantes se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes.

Investiga La tabla muestra la parte del sendero recorrido por cada uno de los corredores de un grupo de ciclistas de montaña en las laderas de la cordillera. Elige dos ciclistas. Muestra cómo hallar la diferencia entre la parte del sendero que un ciclista recorrió, en comparación con la parte recorrida por el otro.

Ciclistas en el monte Tamalpais Ciclistas de montaña Andrés Carlos Karen Silvia

Parte del sendero recorrida

170 ¾ ½ ⅘

Chile

DATO BREVE

El bicicross llega a Chile en 1979 gracias a una pista que se construye por Jorge Herrera y Vicente Cancino en los terrenos que hoy día ocupa el Parque Araucano, en la comuna de Las Condes. Las competencias consitían en varias vueltas a un circuito con pozos de agua, baños y algunos saltos. Después se extendió al ciclismo de montaña.

168

Libro 5.indb 168

24-01-13 10:10

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 7.

u Fracciones equivalentes Escribe dos fracciones equivalentes para cada ilustración.

1.

4.

7.

5.

2.

3.

6.

8.

9.

u Mínima expresión Escribe cada fracción irreductible.

3 1 10. __​ ​   _​ ​   62

6 3 11. __​ ​   _​ ​   84

2 1 12. __​ ​   _​ ​   63

6 2 13. __​ ​   _​ ​  93

14. ___ ​  3 ​  _1​ ​   12 4

15. ___ ​  4 ​  _2​ ​   10 5

16. ___ ​12​  _4​ ​   15 5

17. ___ ​15​  _3​ ​  20 4

18. ___ ​  8 ​  _1​ ​   16 2

19. ___ ​14​  _2​ ​   21 3

20. ___ ​18​  _3​ ​   24 4

21. ___ ​  5 ​  _1​ ​  30 6

22. ___ ​  4 ​  _1​ ​   20 5

23. ___ ​  6 ​  _1​ ​   12 2

24. ___ ​  8 ​  _1​ ​   32 4

25. ___ ​  6 ​  _1​ ​  18 3

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

fracción de referencia múltiplo común fracciones equivalentes mínimo común denominador  (m.c.d.) múltiplos

PREPARACIÓN

fracciones equivalentes fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad mínimo común denominador (m.c.d.) el menor múltiplo común de dos o más denominadores múltiplo común un número que es un múltiplo de dos o más números

Capítulo 7  169

Libro 5.indb 169

24-01-13 10:10

Representar la suma de fracciones no semejantes OBJETIVO: Representar la suma de fracciones no semejantes.

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 1. ​1__ ​ 1 1​__ ​

2. ​3__ ​ 2 1​__ ​

3. ​4__ ​ 1 3​__ ​

5 2 4. ​  ___   ​ 2 ​  ___  ​

4

Materiales ■ barras de fracciones

Puedes usar barras de fracciones para sumar fracciones con denominadores no semejantes.

8

4 8

8

10

8

10

5. ​1__ ​ 1 4​__ ​ 5

5

Halla 2_​  1​  1 4_​  1​.   Coloca una barra de 2_​ 1​  y una de 4_​ 1​  debajo de una barra de fracción de entero. 1

1 2

1 4

Halla barras de fracciones semejantes que coincidan exactamente debajo de la suma 2_​ 1​  1 4_​  1​.   1 1 2

1 4

?

Registra la suma en su mínima expresión. Usa barras de fracciones para hallar 5_​ 3​  1 2_​  1​.   Registra la suma.

Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones semejantes usaste para

que coincidieran exactamente debajo de ​ _12 ​ 1 ​  _14 ​? ¿Podrías haber usado cualquier otra barra de fracciones semejantes? Si es así, ¿cuáles habrías usado?

2. ¿Qué barras de fracciones semejantes usaste para

hallar 5_​  3​  1 2_​  1​  ? ¿Es la suma mayor o menor que 1?

3. Análisis  En tu modelo de 5_​ 3​  1 2_​  1​,   ¿cuántas barras de __ ​ 1 ​ equivalen a 5_​ 3​  ? ¿Cuántas equivalen a 2_​ 1 ​? ¿Qué sabes 10 __ __ ​ 6 ​  ? ¿Y sobre 2_​ 1​  y 10 ​ 5 ​  ? sobre 5_​  3​  y 10

170

Libro 5.indb 170

24-01-13 10:10

Cuando hallas las barras de fracciones que coinciden exactamente debajo de una suma, has hallado fracciones equivalentes. 2 __ Halla: __ ​ ​ 1 ​1​.  3

6

Paso

Paso

Coloca dos barras de fracciones de 3_​ 1 ​debajo de una barra de 1. Luego coloca una barra de fracciones de ​ _16 ​al lado de las dos barras de ​ _13 ​.

Halla barras de fracciones semejantes que sean equivalentes a ​ _23 ​ y ​  _16 ​.

1 3

1 6

1 3

Suma las fracciones semejantes.

1

1 1 3

Paso

1 6

1 1 6

1 3

1 6 2 3

1 6

1 6

1 3

1 6

4 6

1 6

1 6 1 6

1 6

1 3

1 6

1 6

1 6

Por lo tanto, 46

1 6 1 6

5 6

¿Qué fracciones equivalentes usarías para hallar ​ 1_2 ​ 1 ​  3_4 ​?

Halla la suma. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 1.

1 8

1 2

1 8

1 8

2.

__1​ 1 __3​ ​ ​   2

8

1 8

1 8

1 8

1 4

3.

1 2

1 5

1 5

__1​  1 __2​ ​  __​3​ 1 __1​ ​   ​ 2 5 8 4

Halla la suma usando barras de fracciones. Escríbela como fracción irreductible. __2​ 1 ___ 4. ​ ​ 3 ​   5 10

__1​ 1 ___ 5. ​ ​ 2 ​   4 12

__1​ 1 ___ 6. ​ ​ 3 ​   2 10

__1​ 1 __1​ ​  7. ​ 2 3

__1​ 1 ___ 8. ​ ​ 4 ​   4 12

__1​  1 __3​ ​   9. ​ 3 6

__1​ 1 ___ 10. ​ ​ 1 ​   5 10

3 1 11. __​ ​ 1 __​ ​  4 3

__3​ 1 __1​ ​   12. ​ 4 6

__2​ 1 __1​ ​   13. ​ 5 2

__2​ 1 __1​ ​   14. ​ 3 4

__3​ 1 __5​ ​  15. ​ 4 6

16.

Explica cómo sumar 8_​ 2​  y 4_​ 3​  usando barras de fracciones.

Capítulo 7 171

Libro 5.indb 171

24-01-13 10:10

Representar la resta de fracciones no semejantes OBJETIVO: Restar fracciones no semejantes usando barras de fracciones.

Materiales ■ barras de fracciones

Halla la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 3 __ ​  2  ​1__ ​  1. ​ 4 4 2 1 __ __ 3. ​ ​  2  ​  ​ 3 3 10 8 ___ 5. ​  ​  2  ​  ___  ​  10 10

5 __ ​  2 2. ​ 8 4 __ 4. ​ ​  2 5

 ​2__ ​  8 2 __  ​  ​  5

Puedes usar barras de fracciones para restar fracciones con denominadores no semejantes.

Halla 4 ​ _3​   2 8 ​ _1​  .  Coloca tres barras de 4 ​ _1  ​  debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de 8_​ 1​  debajo de las barras de 4_​ 1​.   1 1 4

1 4

1 4

1 8

Compara las barras. Halla barras de fracciones semejantes que coincidan exactamente debajo de la diferencia 4 ​ _3​   2 8 ​ _1​  .  1 1 4 1 8

1 4

1 4

?

diferencia

Anota la diferencia. Usa barras de fracciones para hallar  ​ 3_1​    2  ​ 4_1​   .

Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones semejantes usaste para

que coincidieran exactamente debajo de  ​ 4_3​    2  ​ 8_1​   ?

2. ¿Qué barras de fracciones semejantes usaste para hallar  ​ 3_1​    2  ​ 4_1​   ? 3. Análisis  En tu modelo de  ​ 3_1​    2  ​ 4_1​   , ¿cuántas barras 1 ​  equivalen a  ​ _1​   ? ¿Cuántas equivalen a  ​ _1​   ? __ de  ​ 12 3 4 3 4 ​ ? __ __   ¿Y sobre  ​ 4_1​    y  ​ 12  ​ ?   ¿Qué sabes sobre  ​ 3_1​    y  ​ 12

172

Libro 5.indb 172

24-01-13 10:10

Puedes usar barras de fracciones con denominadores semejantes para restar fracciones con denominadores no semejantes 1 Resta.  ​__2​  2 __ ​ ​   4

3

Paso

Coloca dos barras de ​ _13 ​ debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de ​ _14 ​debajo de las dos barras de ​ _13 ​.

Paso Halla barras de fracciones semejantes que coincidan exactamente debajo de la diferencia ​  _23 ​ 2 ​  _14 ​.

1 1 3

1 1 3

1 3

1 4

1 3

1 4

?

? 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12

diferencia 5 __ __​  5  ​ ___ Por lo tanto, 2 ​ ​ 2  ​1  ​   4

3

¿Qué fracciones semejantes usarías para hallar ​ 5_6 ​ 2 ​  1_2 ​?

12

Usa barras de fracciones para hallar la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 3 7 2 __2​ 2 __​1​ __1​ 2 ___ 1. ___ ​   ​ 2 __​ ​   2. ​   3. ​ ​   ​  10 5 3 6 2 10

1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 1 5

1 5

1 3

1 6

?

1 3

?

1 2

1 1 1 10 10 10

?

Halla la diferencia usando barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 3 3 4. __​ ​ 2 ___ ​   ​  

5 1 5. ___ ​   ​ 2 __​ ​   12 3

__7​ 2 __1​ ​   8. ​

__2​ 2 __3​ ​   9. ​ 3 6

5

8

12.

10

4

1 __1​ 2 ___ ​   ​    6. ​ 2 10

__3​ 2 __1​ ​   10. ​ 4 3

__3​ 2 __​1​    7. ​ 5 2 __5​ 2 __1​ ​   11. ​ 6 2

Explica cómo usar barras de fracciones para hallar 4_​ 3​  2 8_​  5​.  

Capítulo 7 173

Libro 5.indb 173

24-01-13 10:10

LE C C

N IÓ

3

Estimar sumas y diferencias OBJETIVO: Estimar las sumas y las diferencias de las fracciones.

3 __ ​ 1 1. ​ 4 2 __ ​ 1 3. ​ 8 2 __ 5. ​ ​ 1 5

Aprende

1 ​__ ​ 4 3 ​__ ​ 8 3 __ ​  ​ 5

2 __ ​ 2 2. ​ 2 5 __ 4. ​ ​ 2 8

1 ​__ ​ 2 1 __ ​  ​ 8

Karina usa diferentes ingredientes para cubrir su banana con helado. Primero vierte 6_​ 1​  de taza de jugo de frutas sobre el helado. Luego vierte 8_​  3​  de taza de nueces sobre la jugo de frutas. Estima la cantidad total de ingredientes que Karina pone en su banana con helado.

Ejemplo 1  Estima. __1​ ​ 1  ​__3​   6

8

Paso

Paso

La fracción ​ _16 ​está cerca

de 0. Redondea a 0. 1 6

2 6

3 6

4 6

2

5 6

1 2

0

Paso

La fracción ​ _38 ​está cerca de ​  1_ ​. Redondea a ​ 1_ ​.

Suma las fracciones redondeadas.

2

1 6 3 8

1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8

1

1 2

0

1

0 1 2 1 2

Por lo tanto, Karina pone aproximadamente ​ _12 ​taza de ingredientes en su banana con helado.

Idea matemática

Ejemplo 2  Estima. 7__​ ​ 2  ​__2​   8

7 8 2 5

5

1 8

1 1 2 1 2

Puedes estimar las sumas y las diferencias redondeando fracciones a fracciones de referencia como 0, ​ _12 ​o 1.

2 8

0

32 85

4 8

5 8

6 8

7 8

1 5

1

​  _25 ​está entre 0 y ​ _12 ​, pero cerca de ​ _12 ​. La diferencia es mayor que 0, pero menor que ​ 1_2 ​.

•  ¿Cómo puedes estimar ​ _45 ​1 ​  _25 ​?

Práctica con supervisión 1. Usa la recta numérica para completar.

8_3​ ​  está entre  y , pero más cerca de . 3_2​ ​  está entre  y , pero más cerca de .

2 3

01

3 8

1 2

174

Libro 5.indb 174

24-01-13 10:10

a

y ndo e

Estima cada suma o diferencia. __4​ 2 __1​ ​  2. ​ 6 8 8.

7 1 3. ___ ​   ​ 1 __​ ​   10 3

__5​ 1 __2​ ​   4. ​ 6 5

9 2 5. ___ ​   ​ 2 __​ ​   10 9

__4​ 1 __​1​    6. ​ 6 9

4 1 ___  ​  ​ 2 __​ ​   7. 10 9

__ Explica cómo sabes que 8_​ 1​  1 10 ​  6 ​ es mayor que 2_​ 1​   pero menor que 1.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima cada suma o diferencia. 6 11 ___ 1 9 __5​ 2 __1​ ​ __2��� 1 __3​ ​ __6​ 2 __3​ ​ ___ ___ 9. ​   10. ​   11. ​   12. ​ ​ 1 ​   ​   13. ​   ​ 2 __​ ​  7 5 8 5 6 8 12 10 10 2

__3​ 1 __4​ ​ __5​ 2 __3​ ​   14. ​   15. ​ 6 5 6 8

__1​ 1 __8​ ​   16. ​ 7 9

5 1 17. ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​   12 10

3 3 18. __​ ​ 1 __​ ​  8 5

__1​ 1 __5​ ​   19. ​

3 8 21. __​ ​ 1 __​ ​   7 9

__7​ 2 __3​ ​   22. ​ 8 5

10 ___ 1 ___ 23. ​ ​ 2 ​   ​  12 10

5

6

7 4 20. ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​   12 10

Estima para comparar. Escribe o en cada . __2​ 1 __1​ ​   1 24. ​ 3 9

__3​ 2 __1​ ​   __1​ ​   25. ​ 4 8 2

5 3 26. ___ ​   ​ 1 __​ ​   1 12 5

7 27. ___ ​   ​ 2 12

__1​ ​   0 5

28. Laura y Valeria están haciendo un picnic en el parque nacional Pan de Azúcar, en la III Región. Laura usa 4_​ 3​  de taza de fresas y 3_​ 2​  de taza de duraznos para preparar un tutti frutti. ¿Aproximadamente cuántas tazas es esa cantidad? 29. 30.

¿Cuál es el error?  Nicolas estimó que

_5 _4 8​  ​  1 7​  ​  es aproximadamente 2. ¿Cuál es su error?

DATO BREVE   En la región del Bío-Bío, hay una ruta

para bicicletas de montaña llamada Ruta del Indio de 25 kilómetros. Si Tomás recorrió en su bicicleta 3_​ 1​  del sendero el sábado y 5_​ 1​  del sendero el domingo, aproximadamente qué fracción del sendero recorrió?

Comprensión de los Aprendizajes 31. Halla el valor de b en la ecuación 5 2 7 5 si 5 3. 34. Preparación para la prueba  Patricio atrapó

un pez que pesa 4_​ 1​  de kilogramo y un pez que pesa 3_​  1​  de kilogramo. ¿Aproximadamente cuánto pesan los dos peces en total?

32. Estima la suma de 178 021 y 146 973. __ 33. Escribe la fracción 45 ​ 27​  como irreductible.

A 2_​ 1 ​ kilogramo

C 1 2_​ 1 ​ kilogramos

B 1 kilogramo

D 2 kilogramos

Práctica adicional en la página 184, Grupo A

Libro 5.indb 175

Capítulo 7 175

24-01-13 10:10

LE C C

N IÓ

4

Usar denominadores comunes

Halla un múltiplo común para cada par.

OBJETIVO: Usar un denominador común para sumar y restar las fracciones no semejantes.

1.  2 y 4

2.  5 y 10

3.  4 y 6

4.  3 y 9

5.  6 y 10

Aprende

mínimo común denominador (m.c.d.)

Doñihue es un pueblo lleno de tradiciones, como por ejemplo las chamanteras, personas dedicadas a la confección de mantas. Imagina que 2_1​ ​  chamanto se teje en un mes y 4_​ 1​  en dos semanas. ¿Qué cantidad de la manta se ha tejido?

Idea matemática

Para sumar o restar fracciones no semejantes, exprésalas como fracciones semejantes con un denominador común.

Primero estima la respuesta. Luego compárala con la respuesta exacta para ver si es razonable.

Ejemplo 1  Suma. __1​ ​ 1 __1​ ​  2

4

Paso

Paso

Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 2 3 4 5 8  denominador común

Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma.

1

4

​ ​__​ 5     ​__  ​ ​   2 8      1 2 1 ​__​ 5 1 ​__​  4 8 __ 6 3 __​ 5 ​  ​__  ​  ← mínima expresión 8

4

Por lo tanto, se ha tejido ​ _34 ​de la manta. •  Helena estimó que la suma se acerca a ​ 1_2 ​. ¿Es razonable su estimación? Imagina que una tejedora de chamanto tenía _56 ​de madeja de lana para terminar una de estas mantas. Necesitaba solo ​ _34 ​madeja para acabar una manta. ¿Qué cantidad de madejas quedó cuando acabó la manta?

Ejemplo 2  Resta. 5__​ ​ 2 __3​ ​  6

4

Paso

Paso

Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 6 3 4 5 24   denominador común

Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego resta.

5

20

​ ​__ ​5       ​___  ​ ​   6 24      3 18 2 __​ ​ 5 2 ​___ ​ 4 24 __ 1 2 ___ ​   ​ 5  ​ ___ ​  ← mínima expresión 24

12

1 __ Por lo tanto, a la tejedora de chamantos le quedó ​ 12   ​de madeja de lana.

176

Libro 5.indb 176

24-01-13 10:10

Para sumar o restar fracciones no semejantes, también puedes escribir fracciones equivalentes con el mínimo común denominador. El mínimo común denominador (m.c.d.) es el menor múltiplo común de dos o más denominadores.

Para hallar el mínimo común denominador, primero halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo 3  Suma. __1​ ​ 1 __3​ ​  4

Recuerda

8

Una tejedora de chamantos compró hilo de seda y lana para tejer los diseños en sus mantas . Compró 4_​ 1 ​de kilogramo de hilo de seda y 8_​ 3 ​de kilo de lana natural. ¿Cuántos kilógramos de materiales compró? Usa un denominador común. Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 4 3 8 5 32 ← denominador común Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma.

8

1

​ ​__​ 5       ​ ___ ​   4 32      3 12 __ ___ 1  ​ ​ 5 1  ​ ​  8 32 __ 5 20 ___ ​ ​ 5  ​__​  ← mínima expresión 8

32

Usa el mínimo común denominador (m.c.d.) Haz una lista de los múltiplos de cada denominador. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48 El mínimo común múltiplo es 8. Por lo tanto, el m.c.d. de ​ _14 ​ y ​  _38 ​es 8. Escribe fracciones equivalentes. Luego suma. 1 32 2 __​ 5   ​1 _____    ​ ​    ​  5  ​__​   ​  4 432 8        3 3 __ __ 1  ​ ​              1  ​ ​      8 8 ___ 5 __ ​ ​     ← mínima expresión 8

Por lo tanto, la tejedora de chamantos compró ​ 58_ ​de kilógramo de materiales.

Más Ejemplos 1 1   Suma. __ ​ ​ 1 __ ​ ​  6

5 11   Resta. ___ ​ ​ 2 __ ​ ​  12

2

Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma. 1

1

__​      ​ ​__​        ​ 6 6      3 1 1  ​__​ 5 1  ​__​  2 6 __ 4 2 __ ​ ​ 5 __ ​  ​ 6

2 __ __ ​ ​ 5 __ ​ ​.  Por lo tanto, 1 ​ ​ 1 1 6

2

3

3

8

Halla el mínimo común denominador. Luego escribe fracciones equivalentes para restar. 11 32 22 ___ ​5      ​11 ______    ​ 5      ___   ​  ​ ​ ​         12 12 3 2 24 5 533 15 2  ​__​      5 2  ​_____​  5 2  ​___​  8 8 3 3 24 ____ 7 ___ ​   ​  24

5 11 ​ 2 __ ​ ​ 5 ___ ​  7 ​.  Por lo tanto, ​___ 12

8

24

Capítulo 7 177

Libro 5.indb 177

24-01-13 10:10

Práctica con supervisión 1. Copia el problema a la derecha. Muestra cómo restar fracciones

no semejantes escribiendo fracciones equivalentes. Escribe la respuesta en su mínima expresión.

      ​     ​  __4​ ​ 5         ​​ ___ 5 30      2  2 ​__​ 5 2 ​___    ​   6 30 __  

Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 3 1 2. __​ ​ 2 __​ ​   4 8

3 __2​ 1 ___ 3. ​ ​   ​   5 10

5 1 5. ___ ​   ​ 1 __​ ​   12 3

__1​ 2 __1​ ​   4. ​ 4 7

9 1 6. ___ ​   ​ 2 __​ ​  10 2

Explica cómo puedes usar múltiplos comunes para sumar 8_​ 7​  y 3_1​ ​.  

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. __3​ 1 __1​ ​   8. ​ 5 4

__5​ 1 __1​ ​   9. ​ 8 5

1 1 10. ___ ​   ​ 1 __​ ​   12 2

7 1 11. ___ ​   ​ 1 __​ ​   10 5

3 __2​ 1 ___ 12. ​ ​   ​  7 10

__5​ 2 __3​ ​   13. ​ 6 8

__3​ 2 __1​ ​   14. ​ 4 2

__7​ 2 __1​ ​   15. ​ 8 6

3 __3​ 2 ___ 16. ​ ​   ​   7 14

5 1 17. ___ ​   ​ 2 __​ ​  12 4

Álgebra Halla el número que falta para cada j. Escribe la respuesta como fracción irreductible. __5​ 2 j 5 __3​ ​   18. ​ 8 8

__1​ 1 j 5 1 19. ​ 6

9 1 20. ___ ​   ​ 2 j 5 __​ ​   5 10

5 1 21. ___ ​   ​ 1 j 5 __​ ​  12 2

 Para 22–24, usa la ilustración. 22. Sara hace un cinturón para una muñeca usando el siguiente diseño de piedras. ¿Qué fracción de las piedras en su diseño son azules o rojas? __ ¿Cuál es la pregunta?  La respuesta es 15 ​ 2 ​ del patrón.

23.

24. Al hacer el cinturón, Sara quiere repetir el patrón de piedras tres veces. Tiene un total de 21 piedras rojas, 18 piedras azules y 19 piedras blancas. Escribe una fracción que represente el número de piedras que le quedarán.

Comprensión de los Aprendizajes 25. Eric tiene 4 bombillas rojas, 2 bombillas azules, y 6 bombillas amarillas. Si elige una sin mirar, ¿qué probabilidad hay de que elija la roja? 26. 420 4 15 5 27. Escribe dos fracciones equivalentes

24 __ ​   usando denominadores menores para 32 que 32.

178

Libro 5.indb 178

28. Preparación para la prueba  Carlos plantó 3_​ 2​   del jardín con caléndulas y 6_​ 1​  del jardín con petunias. ¿Qué parte del jardín plantó con estas flores? __1​   A ​

__5​  C ​ 6

__1​   B ​

D 1

6 2

Práctica adicional en la página 184, Grupo B

24-01-13 10:10

Variedad de patrones Recursos visuales

U

na de las artesanías de los indios americanos, más

conocidas de la antigüedad es la cestería. Diferentes tribus usaban diferentes materiales, como madera,

pasto, agujas de pino, o ramas de sauce, según lo que encontraban disponible en su entorno. Los patrones y materiales en los canastos podrían usarse para identificar a la tribu que los tejió.

Estos patrones, como los patrones en matemáticas, a

menudo seguían una regla, como: multiplica por 5 o suma ​  1_ ​. 4

Busca el patrón en esta lista de fracciones.

q E stos canastos muestran los diferentes tipos de patrones que usaban los indios americanos en las artesanías.

1 2 3 4 5 ​_ ​, ​_​,  ​_​,  ​_​,  _​  ​ 4 4 4 4 4

¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando

aumentan los numeradores? ¿Cuál es la regla del patrón? Usar recursos visuales puede ayudarte a resolver

el problema. Elige un recurso visual que te ayude a

plantear el problema o su solución. Por ejemplo, puedes usar una recta numérica para representar las fracciones. 0

2 4

1 4

3 4

4 4

5 4

6 4

7 4

8 4

Piensa: Para resolver el problema, también puedes usar recursos visuales como tiras de fracciones o modelos de fracciones.

Resolución de problemas Usa un recurso visual para resolver el problema.

1. Resuelve el problema de arriba. 2. a. ¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando aumentan los denominadores?

__1​​,  2

__1​​,  3

__1​​,  4

__1​​,  5

b. ¿Cuál es la próxima fracción en el patrón?

__1​​,  _​ 1 ​ 6 n

Capítulo 7 179

Libro 5.indb 179

24-01-13 10:10

LE C C

N IÓ

5

Sumar y restar fracciones

Estima la suma o la diferencia.

OBJETIVO: Usar el mínimo común denominador para sumar y restar fracciones.

Aprende Se midió la longitud del caparazón de una tortuga marina verde durante 2 dos años. El primer año, el caparazón creció __ 5 ​  de metro. El segundo 3 __ año, el caparazón creció 10 ​  de metro. ¿Cuánto creció el caparazón durante el período de los dos años?

1 1 1.  ​__ ​  1  ​__ ​  7 2 1 7 3.  ​__ ​  1  ​__ ​  6 8 7 2 5.  ​  ___  ​  1  ​__ ​  5 12

3 __ ​  2  ​1__ ​  2. ​ 5 8 3 3 4.  ​__ ​  2  ​__ ​  4 5

3 Ejemplo 1  Suma. __25​ ​ 1  ​ ___  ​   10

Paso

Paso

El mínimo común múltiplo de 5 y 10 es 10. 3   ​es 10. Usa el Por lo tanto, el m.c.d. de ​ _25 ​ y ​  __ 10 m.c.d. para escribir fracciones equivalentes.

Suma las fracciones. Escribe la respuesta en su mínima expresión. 232 4    ​5 ___ ​    ​ ​ ​_____  532 10       3 3  1 ​ ___ ​      5 1 ​ ___ ​  10 10 ___ 7 ___ ​   ​ 

232 4 ​  1 ​_____     ​5 ___ ​    ​  532 10       3 3  1 ​ ___ ​      5 1 ​ ___ ​  10 10 ___ 

10

7  ​de metro en dos años. Por lo tanto, el caparazón de la tortuga gigante creció ​ __ 10

Ejemplo 2

El caparazón de una tortuga carey adulta mide ​ 3_4 ​de metro de longitud aproximadamente. El caparazón de una pequeña cría mide ​ 1_5 ​de metro. ¿Qué diferencia de longitud hay entre sus caparazones? 1 3 ​ ​   Resta. __ ​ ​ 2  __ 4

5

Paso

Paso

El mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20. Por lo tanto, el m.c.d. de ​ _34 ​ y ​  _15 ​ es 20. Usa el m.c.d. para cambiar las fracciones a fracciones equivalentes. 3 335 15 __ ​ ​    ​ 5      _____ ​ ​  5      ___ ​ ​   4 435 20         134 4 __​ 5 2  ​_____ 2  ​1 ​  5 2  ​ ___  ​  5 534 20 ____  

Resta las fracciones. Si es necesario, escribe la respuesta en su mínima expresión.

Idea matemática

Para sumar o restar fracciones no semejantes, halla el mínimo común denominador (m.c.d.) para escribir fracciones equivalentes. Luego suma o resta los numeradores.

3 335 15 __ ​ ​    ​ 5      _____ ​ ​  5      ___ ​ ​  4 435 20         1 34 4 _____ 2  ​__ ​ 5 2  ​1 ​5 2  ​ ___    ​  5 534 20 ____ 11 ← mínima ___ ​ ​  20

expresión

11 ​de metro. Por lo tanto, la diferencia entre las longitudes es ​ __ 20

180

Libro 5.indb 180

24-01-13 10:10

Práctica con supervisión 1. Observa el problema de la derecha. Halla la suma de las fracciones escribiendo fracciones semejantes. Escribe la respuesta como fracción irreductible

 __    ​     ​   ​__1​ 5      ​  ​       2 4 __ ​    1 ​__3​ 5 1 ​ 4 4 __ 

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. __3​ 1  ​__1​   2. ​ 4 8

7 2 3. ___ ​   ​ 2  ​__​   5 10

__1​ 1  ​__1​   4. ​ 5 6

__5​ 1  ​__1​    6. ​

__2​ 2  ​__1​    5. ​ 3

4

8

3

__ Explica cómo sabes que 20 ​ 11 ​ está reducida.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. __3​ 1  ​__1​   9. ​ __3​ 2  ​__1​   10. ​ __2​ 1  ​__1​   8. ​ 7 4 2 3 8 4 __1​   4

__5​ 2  ​__2​   11. ​ 6 3

__7​ 1  ​ 12. ​ 8

__4​ 2  ​__1​   14. ​ __1​ 1  ​__1​   15. 1 2  ​___ 13. ​  3 ​    9 6 3 10 5 2  ​___  2 ​   14

3 16. ___ ​ 3 ​ 1  ​__​   10 4

__6​  17. ​ 7

Compara. Escribe , o . en cada . __1​ 1 18. ​ 3

1 1 __1​ 1  ​__3​    __2​ ​ 2  ​__1​    __​ ​    __2​ ​ 1  __​ ​    19. ​__5​ 2  ​__1​    ___ ​ 9 ​ 2  ​__1​   20. ​ 8

3

7

6

4

10

2

4

8

C

2 m 5

3

2

Para 21–23, usa las ilustraciones. 21. ¿Cuánto más larga es la tortuga A que la tortuga B? 22. ¿Qué diferencia de longitud hay entre la tortuga carey

más grande y la tortuga carey más pequeña? 23.

¿Cuál es el error?  Sara dijo que si la tortuga C creciera 3_��� 1​  de metro más, mediría _​  3​  de metro de longitud. Describe su error. Escribe 5 la respuesta correcta.

A

3 m 4

B

2 m 3

Comprensión de los Aprendizajes 6 7 24. ​ ___ ​ 1 ___  ​   ​  5 10 10

25. ¿Cómo se escribe el decimal 0,45 en forma

de fracción? 26. ¿Cuál es el m.c.d. de 4_​ 3​  y 3_​ 1​  ?

27. Preparación para la prueba  Romina tardó _1 3​  ​  de

hora en caminar a la biblioteca y luego 4_​  1​  de hora en caminar a la casa de Ana. ¿Cuánto tiempo tardó Romina en total en caminar a ambos lugares?

A 6_​ 1 ​ de hora

__ C 12 ​ 7 ​ de hora

B 2_​ 1 ​ hora

D 4_​ 3 ​ de hora

Capítulo 7 181

Libro 5.indb 181

24-01-13 10:10

LE C C

N IÓ

6 Estrategia: Comparar estrategias OBJETIVO: Comparar diferentes estrategias para resolver problemas.

Usa la Estrategia PROBLEMA  En la clase de ciencias de Natalia, los estudiantes observan el total de precipitación mensual. Al final de cada semana, registran la cantidad de lluvia que cayó. Al final de la semana 3, había caído un total de 6_​ 5​  milímetros de lluvia, 5_​ 2​  milímetros más que la cantidad de lluvia registrada al final de la semana 2. Durante la semana 2, cayó 3_​ 1​  de milímetros más de lluvia que la semana anterior. ¿Cuál fue la cantidad de precipitación en la semana 1?

• Haz un resumen de lo que debes hacer. • ¿Qué información se da? • ¿Hay información que no usarás? Si es así, ¿cuál es?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? A menudo puedes usar más de una estrategia para resolver un problema. Usa hacer un modelo y trabajar desde el final hasta el principio.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?

Hacer un modelo

Trabajar desde el final hasta el principio

Puedes usar barras de fracciones para hallar los datos que faltan. 1 6

1 6

1 6

1 3

1 6

1 5

1 6 1 5

1 10

5 __ 1 2 __ ​  ​5 ​ ​ 1 ​__​ 1 ___ ​ 1 ​  6

3

5

10

__ Por lo tanto, cayó 10 ​  1 ​ de milímetro de lluvia en la semana 1.

Puedes escribir una ecuación para mostrar el total de precipitación. 2 __​ 2  ​__ __​      ​     n 5  ​5 ​ 2  ​1   ​ Halla un común denominador. 5 6 3        ___​ 2  ​12 ___​ 2  ​10 ___​  n 5  ​25 30 30 30        3 1 n 5  ​ ___ ​,  or ___ ​   ​          30 10 semana 1 1 semana 2 1 semana 3 5 total n

5 1 2 __ __ __ 1 ​ ​  1 ​ ​   5 ​ ​  3

5

6

• ¿Qué otra estrategia podrías usar para resolver el problema?

182

Libro 5.indb 182

Práctica adicional en la página 184, Grupo C

24-01-13 10:10

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

1. David trabajó durante 7 2_1​ ​  horas en su proyecto de ciencias. Pasó

1 2_1​ ​  horas leyendo su revista de ciencias y 2 5_4​ ​  horas construyendo

Hacer un diagrama o dibujo

un modelo. Luego pasó el resto del tiempo haciendo carteles para el proyecto. ¿Cuántas horas pasó David haciendo carteles?

Hacer un modelo o una dramatización

Primero, usa la estrategia hacer un modelo.

Buscar un patrón

Hacer una lista organizada Hacer una tabla o gráfico

Luego, usa la estrategia trabajar desde el final hasta el principio.

Predecir y probar

Finalmente, compara las respuestas.

Trabajar desde el final hasta el principio

2. ¿Qué pasaría si David hubiera trabajado durante 6 5_4​ ​  horas en

Resolver un problema más sencillo

su proyecto de ciencias? ¿Cuántas horas habría pasado David haciendo carteles?

Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

3. David compró algunos artículos para el proyecto de ciencias.

Gastó $399 en cartulina, $120 en pegamento, y $455 en un lápiz. Si David tenía $1 570 cuando salió de la tienda, ¿cuánto dinero tenía antes de hacer las compras?

Práctica de estrategias mixtas 4. En la clase de ciencias de la señorita Gómez, 3_​ 1​  de los proyectos tenía

que ver con el clima, 6_​ 1​  tenía que ver con los terremotos, y 4_​ 1​  tenía que ver con el agua y los ecosistemas. El resto de los proyectos tenía que ver con los volcanes. ¿Qué fracción de los proyectos de ciencias tenía que ver con los volcanes?

5. Julia está construyendo una base rectangular para la estación

meteorológica de la escuela. El perímetro es 3 3_2​ ​  metros. Si el ancho es 3_​ 1​   de metro, ¿cuál es la longitud?

Para 6–9, usa la tabla. 6. Ordena las cuatro ciudades de menor a mayor según

la cantidad de precipitación que hubo el lunes. 7. ¿En qué día cayó la misma cantidad de

precipitación, mayor que cero, en dos ciudades? ¿Cuáles fueron las dos ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación? 8. ¿En qué día la suma de la precipitación en dos

ciudades fue igual a la cantidad de precipitación que cayó en una tercera ciudad? ¿Cuáles fueron las ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación? 9.

Explica cómo podrías usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver uno de los problemas de arriba.

Precipitación en la cuarta región durante una semana de agosto Día

Precipitación en las comunas (milímetros) Los Vilos Illapel

Combarbalá Salamanca

LUNES

130

190

MARTES

0

0

0

170 101 0

MIÎRCOLES

0

0

0

0

JUEVES

0

DOMINGO

0

½ 210 110 101 0

130

SÃBADO

⅕ 230 110

VIERNES

110 215 ⅘

0 0

130

Capítulo 7 183

Libro 5.indb 183

24-01-13 10:10

Práctica adicional Grupo A  Estima cada suma o diferencia. 5 3 1. __​ ​  1 __​ ​   6 5

11 __4 ___ 2. ​ ​  2 ​ ​   12 7

1 8 3. ___ ​   ​  1 __​ ​   10 9

10 __2 ___ 4. ​ ​  2 ​ ​   12 7

__3​  2 __1​ ​   6. ​

2 7. ___ ​ 7 ​  1 __​ ​   11 9

__4​  2 __1​ ​   8. ​ 5 8

__3​  1 __2​ ​   9. ​ 4 3

__6​  2 __1​ ​   10. ​ 7 5

11 __1 __7​  2 __3​ ​   13. ​ ___ __2​  2 __1​ ​   12. ​ ​  1 ​ ​   14. ​ 5 9 8 4 12 4

__7​  1 __2​ ​   15. ​ 9 7

4

3

5 ​  1 ​1   __​ ​   11. ___ 12

6

13 __3 ___ 5. ​ ​  1 ​ ​   14 5

Grupo B  Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fración irreductible. 1 4 1. ​__​  1 ___ ​   ​   5 10

2. __ ​ 7​  2 __1​ ​   9 3

3 1 3. __​ ​  1 __​ ​   8 2

11 __5 ___ 4. ​ ​  2 ​ ​   12 6

__2​  1 __1​ ​   5. ​ 7 2

__8​  2 __2​ ​   6. ​

2 __3​  1 ___ 7. ​ ​   ​   5 10

__5​  2 __1​ ​   8. ​ 8 4

__3​  2 __4​ ​   9. ​ 5 7

10. ___ ​ 9 ​  2 __2​ ​   12 3

9

3

__ 12. Sandro leyó 12 ​ 5 ​  de un libro la semana pasada y 4_​ 1​  

11. Rosa cortó 3_​ 1​  del césped por la mañana

y 5_​  1​  del césped por la tarde. ¿Cuánto césped cortó? 

del libro esta semana. ¿Cuánto más del libro leyó la semana pasada? 

Álgebra

Halla el número que falta en cada . Escribe la respuesta como fración irreductible. 3 7 1 5 __ __ 13. ​​  1  5 ​ ​   14. ___ ​ 7 ​  2  5 __1​ ​   15.  2 __​ ​  5 __​ ​   8

8

12

2

4

__5​  2  5 __1​ ​   16. ​ 6 3

8

1 7 1. ​___    ​  1 __​ ​   2. 12 6

1

Grupo C  Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fración irreductible. __7​ ​  2 __1​ ​   3. 8 2

__1​ ​  1 __3​ ​   4. 4 6

__7​ ​  2 __1​ ​   5. 8 4

1 __5​  2 __1​ ​   8. ​ __3​  1 __2​ ​   9. ​ __4​  2 __1​ ​   6. ___ ​ 6 ​  1 __​ ​   7. ​ 5 6 11 3 6 2 4 5

11. Mario tardó 3_​ 2​  de hora en caminar a la escuela

y 6_​  1​  de

hora en caminar de la escuela a la biblioteca. ¿Cuánto tardó Mario en total, caminando a la escuela y luego a la biblioteca? 

Álgebra

Compara. Escribe , o . en cada

__2​  2 __1​ ​   __5​ ​  2 __1​ ​   13. ​ 3 4 6 5

__5​ ​  2 __1​ ​   7 3

11 __1 ___ 10. ​ ​  1 ​ ​   12 5

__ 12. Nancy estudió 12 ​  10​  de hora. Liliana estudió 4_​ 3​  de

hora. ¿Cuánto tiempo más que Liliana estudió Nancy? 

.

__3​  1 __1​ ​   __3​ ​  1 __1​ ​   14. ​ 8 3 4 6

__7​  2 __2​ ​   ___ 15. ​ ​ 3 ​  1 __1​ ​  8 3 10 4

184

Libro 5.indb 184

24-01-13 10:10

¿Cuál es la la diferencia? diferencia?

Jugadores 4 estudiantes

Materiales

4 conjuntos de tarjetas de números (1–8)

— – —= 5

1

6

Cada jugador hace un esquema de un problema en un papel. El primer jugador mezcla las tarjetas de números y reparte 4 tarjetas a cada jugador. Con base en sus tarjetas, los jugadores tratan de formar dos fracciones que tengan la menor diferencia posible. Los jugadores muestran sus problemas de resta, colocándolos en el esquema.

8

7

5

3

1

6

4

2

2

Los jugadores resuelven los problemas de los demás para determinar cuál resulta en la menor diferencia. El jugador que plantea el problema con la menor diferencia obtiene 1 punto y vuelve a mezclar las tarjetas para la próxima ronda. Gana el juego el primer jugador que obtenga 5 puntos.

Capítulo 7  185

Libro 5.indb 185

24-01-13 10:10

Repaso/Prueba del Capítulo 7 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro.        1. El — ​  ?  ​ es el menor múltiplo común de dos o más denominadores.  2. Explica cómo puedes usar barras de fracciones para sumar y restar fracciones con denominadores no semejantes.

Vocabulario fracción equivalente mínimo común   denominador (m.c.d.)

Comprueba tus destrezas Estima cada suma o diferencia. 7 2 7 2 3. ​__​  2 __​ ​   4. ​__​  1 __​ ​   5. ___ ​ 7 ​  1 __1​ ​   6. ​__4​  1 __1​ ​   7. ​__5​  2 __1​ ​   7 2 9 5 8 3 11 3 6 8

Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 7 3 4 1 8. ​__​  2 __​ ​   9. ​__​  1 __​ ​   10. ___ ​ 8 ​  2 __3​ ​   11. ​__2​  1 ___ ​ 1 ​   12. ​__5​  2 __1​ ​   8 4 9 3 10 5 3 12 6 4

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 3 1 1 1 13. ​__​  2 __​ ​   14. ​__​  1 __​ ​   15. 1 2 ___ ​ 7 ​   16. ___ ​ 9 ​  1 __1​ ​   17. ​__5​  2 ___ ​ 3 ​   8 6 3 4 10 10 4 8 16

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 18. Ana usó 8_​ 7​  de taza de arándanos para hacer

pastelitos. Usó _4​ 1​  de taza de arándanos menos para hacer una tarta de arándanos. Usó 2_​ 1​   taza menos de arándanos para hacer un jugo que para hacer la tarta. ¿Qué cantidad de arándanos usó Ana para hacer el jugo? 

19. La distancia desde el centro comercial hasta

__ la biblioteca es 10 ​ 9 ​ de kilómetro. La distancia desde la biblioteca hasta el correo es 5_​ 1​  de kilómetro más que esa distancia. La distancia desde el correo hasta el supermercado es 2_​ 1​   kilómetro menos que la distancia desde la biblioteca hasta el correo. ¿Cuál es la distancia desde el correo hasta el supermercado?

Explica cómo puedes usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver el Problema 18. 

20. 

186

Libro 5.indb 186

24-01-13 10:10

Enriquecimiento • Suma y resta de fracciones

Una fracción unitaria es una fracción que tiene el 1 como numerador. Los antiguos egipcios representaban valores menores que 1 como la suma de diferentes fracciones unitarias. 13 __1 ___ 1 1 1 __2​ ​ 5 __1​​ 1 ___ __7​ 5 __1​​ 1 __1​​ 1 __1​​ ​ ___ ​   ​ ​     ​ 5 ​​ 1 ​   ​ 1 ___ ​   ​  5 3 15 8 2 4 8 20 2 10 20

Para expresar una fracción como una fracción egipcia, se resta continuamente de la fracción original la fracción unitaria más grande posible.

Ejemplo 1

7 Expresa ​ __ 12  ​  como una fracción egipcia.

L a fracción unitaria más grande menor que

Resta la fracción unitaria.

7 1   ​ es ​__ ​ . ​  ___ 12

Deja de restar cuando la diferencia sea una fracción unitaria. Expresa la fracción egipcia como una suma de fracciones unitarias. 1 1 ​__ ​ 1 ​  ___   ​ 2 12

6 7 1 7 1   ​ 2 ​__ ​ 5 ​  ___  ​ 2 ​  ___  ​ 5 ​  ___  ​ ​  ___

2

12

2

12

12

12

__ __ Por lo tanto, 12 ​ 7 ​ 5 2_​  1​  1 12 ​  1 ​. 

Ejemplo 2

Expresa ​ _87 ​ como una fracción egipcia. La fracción unitaria más grande menor que

Resta. ​  7_8 ​ 2 ​  1_2 ​ 5 ​  7_8 ​ 2 ​  4_8 ​ 5 ​  3_8  ​ La fracción unitaria más grande menor que

​7__ ​ es 1​__ ​  . 8

​3__ ​ es 1​__ ​  .

2

8

Resta esta fracción. 3 ​__ ​ 2 1​__ ​ 5 3​__ ​ 2 2​__ ​ 5 1​__ ​ 4 8 8 8 8

4

Por lo tanto, 8_​ 7​  5 _2​  1​  1 4_​  1​  1 8_​  1​.  

Inténtalo Expresa cada fracción en forma de fracción egipcia. 3 5 2 2 1. ​__​   2. __​ ​   3. __​ ​   4. __​ ​   4

3

5

5 4 5. __​ ​   6. ​_​  5 9

6

¡Piénsalo! 1 1 Explica cómo expresar la fracción egipcia __​​ 1 __​​ 1 ___ ​ 1 ​ como una sola fracción. 2

3

12

Capítulo 7  187

Libro 5.indb 187

24-01-13 10:10

Comprensión de los Aprendizajes Capítulos 5-7

Medición y geometría

Percepción numérica

1. ¿Cuál de las opciones describe mejor el par de líneas siguientes? 

4. La tabla muestra el área terrestre de algunas

regiones.

Tamaño de Regiones Región

A líneas paralelas

B líneas secantes

C líneas perpendiculares

D líneas obtusas

eje y

2. Juan hizo la siguiente cuadrícula para mostrar la ubicación de algunas de las verduras en su jardín. 7 6 5 4 3 2 1 0

pepinos pimentones zanahorias

B (3, 6) C (4, 1) D (6, 3)

3.  Explica cómo puedes saber si una figura tiene simetría rotacional. 

48 584

Coquimbo

40 707

Del Maule

30 269

Metropolitana

15 403

A Los Lagos

C Del Maule

B Coquimbo

D Metropolitana

4 5 2

1​  ​  5 5. ​ __​  2 __

3 A ​ ___ ​   10

C 1

__1​   B ​ 3

D 1​___  3 ​  10

¿Qué par ordenado representa mejor la ubicación de los tomates?  A (1, 4)

Los Lagos

¿Qué región tiene un área terrestre que es casi el doble más grande que la región Metropolitana? 

tomates 1 2 3 4 5 6 7 eje x

Área terrestre (en kilometros cuadradas)

6. 2 8_7​ ​  1 4 8_3​ ​  5

1 A 6 __​ ​   8

C 6 __ ​ 5 ​ 

B 6 __ ​ 1 ​  

D 7 __ ​ 1 ​ 

7.

4

de 6_​  1​  y 9_​ 4​.  

8 4

Explica cómo hallar la suma

188

Libro 5.indb 188

24-01-13 10:10

Álgebra

11. La suma de p y q es igual a 25. Si p 5 18,

¿qué ecuación se puede usar para hallar el valor de q? 

8.

(15 1 9) 4 (4 2 3) 5

A 24

B 23

A p 1 18 5 25

C 21

B p 1 q 5 18 1 25

D 3

C 18 1 q 5 25

D q 2 18 5 25

12.

¿Cuál expresión tiene el mayor valor: 16 2 (19 2 15) o 15 2 (19 2 16)? Explica tu respuesta.

9. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa

el área (  A) del rectángulo en centímetros cuadrados?

8 cm 16 cm

13. El mínimo común denominador de las 3 4 5   es: fracciones __​  , __​,  ___ 8 6 12

A A 5 (2 3 16) 1 (2 3 8)

A 12

B A 5 16 3 8

B 24

C 16 5 A 3 8

C 48

D 16 5 (2 3 A) 1 (2 3 8)

D 72

10. Una mamá hace una torta para su esposo y sus

tres hijos: Hernán, Rodrigo y Carmen. De ella Hernán se come la mitad, rodrigo la tercera parte y carmen una sexta parte. Entonces, al papá le dejaron.

__1​  A ​ 3 B 3

C 24

D Nada

1 1 1 14. El resultado de la adición __ ​ 1 __​   1 __  es: 2 3 6

A ​1

__1  B ​ 2

__5​  C ​ 6

D ___  3 ​  11

Capítulo 7 189

Libro 5.indb 189

24-01-13 10:10

Repaso/Prueba de la unidad Opción múltiple

4. Ricardo tarda 4_​ 1​  de hora para ir en bicicleta

hasta la casa de Juan y 3_1​ ​  de hora para ir en bicicleta desde la casa de Juan hasta el área de juego. ¿Cuánto tiempo tarda Ricardo para ir en bicicleta hasta la casa de Juan y luego hasta el área de juego? 

4 1. __3​ ​  1 __​ ​  5 8

8

12 A ​___  ​  

__7​  B ​

7 C ___ ​   ​ 

7 D ___ ​   ​ 

8

8

16 64

2. La familia Durán tardó 4 ​4_3 ​  horas para conducir

hasta Puerto Varas. Si se detuvieron en un parque durante 1 ​4_1 ​  horas, ¿cuánto tiempo condujeron en realidad? 

A 1 ​__1​ horas

B 1 ​__3​ horas

C 2 ​__1​ horas 4

D 3 ​__1​ horas

4

4

2

1 A ___ ​   ​  de hora

B ​17__​  de hora

__2​  de hora C ​ 7

7 D ___ ​   ​  de hora

12

12

1 1 5. 1 ​__​  1 2 ​__​  5  6 3

A 3 ​__2​ 

B 3 ​__1​ 

9 2

C 3 ​__3​  4

D 4 ​__1​  2

6. Luna está controlando su consumo de frutas

para un proyecto de salud. El lunes comió 2 ​4_1 ​  tazas de fruta. El martes comió 1 ​4_3 ​  tazas de frutas. ¿Cuánta más fruta comió Liza el lunes que el martes?

__3​  2 ___ 3. ​ ​ 1 ​  5    5 10

3 A ___ ​   ​ 

__2​  B ​ 5

A ​__1​ de taza

__1​  C ​

__1​ taza B ​

7 D ___ ​   ​ 

__3​ de taza C ​

D 1 taza

10

2

10

4 2 4

190

Libro 5.indb 190

24-01-13 10:11

7. 9  ​___  5 ​  2 4 ​___  7 ​  5 12 12

A 4  ​__5​ 

11 B 4 ​___ ​ 

C 5  ​___  1 ​ 

D 5   ​__5​ 

6

12

12 6

__2​  3 __​1​  5   8. ​ 3 2

A ​__1​ 

__2​  B ​ 5

__1​  C ​

D

3

Respuesta breve 11. La clase de la señora Bueno realizó una

excursión a un parque. Antes de almorzar, caminaron 4_​  3​  de kilómetro. Después de almorzar, caminaron 3_​ 1​  de kilómetro más. ¿Aproximadamente cuántos kilómetros caminó en total la clase? Muestra tu trabajo.  12. El cocinero de un restaurante preparó

2 ​2_1 ​  ollas de salsa para espaguetis. Después de servir la comida, le quedaron 4_3​ ​  de olla de salsa. ¿Cuántas ollas de salsa para espaguetis sirvió en la comida? Muestra tu trabajo. 

13. Una jarro contiene la cantidad de jugo que se

muestra a continuación.

2

3 ​__​  5

9. Hariana tiene 2 metros de cinta para usar en un

proyecto de artesanía. Necesita cortar la cinta en pedazos que tengan un largo de 4_​ 1​  de metro. ¿Cuántos pedazos de cinta tendrá Mariana? 

A 4

B 6

C 8

D 10

10. En un curso hay 17 mujeres y 15 hombres. Si

a final de año se retiran del curso 3 hombres y llegan 5 mujeres, ¿qué fracción del curso representan los hombres ahora? 3 8 B 6 11 C 1 3 D 6 17

Dante vierte 4_3​ ​  de taza de jugo en cada vaso. ¿Cuántos vasos puede llenar? ¿Cuánto jugo le sobra?

Respuesta desarrollada 14. El viernes, una planta de tomate tenía una

altura de 3_​ 2​  de metro. Había crecido 6_​ 1​  de metro desde el miércoles hasta el viernes. Había __ crecido 12 ​  1 ​ de metro del lunes al miércoles. ¿Cuánto medía la planta el lunes? Explica tu respuesta. 

A

__ 15. El señor Moraga ahorró 10 ​ 1 ​ de su sueldo.

Luego pagó cuentas con la mitad de lo que le quedaba. Su sueldo era de $500 000 ¿Cuánto dinero le queda? Explica tu respuesta.

Capítulo 7 191

Libro 5.indb 191

24-01-13 10:11

De aquí y de allá AL

ARA ESTUDIANTES P E U Q A MAN

Resolución de Problemas

¡Escucho

una sinfonía!

L

a Filarmónica de Los Angeles es una orquesta famosa en todo el mundo por su encantadora música. Se creó en 1919. La orquesta normalmente interpreta música clásica de compositores como Johann Sebastian Bach y Johannes Brahms. La participación de la comunidad es importante para la Filarmónica de Los Angeles. Cada verano realiza un concierto al aire libre para los niños, llamado Sonidos del Verano. También presenta sinfonías para las familias y programas para estudiantes de los grados 3 a 12.

Piezas de compositores interpretadas en un mes. Compositor

5 

Número de piezas interpretadas

Bach

3

Brahms

3

Mozart

6

Schubert

2

Strauss

8

Telemann

2

Usa la tabla para responder las preguntas.

1 ¿Qué fracción de las piezas interpretadas eran composiciones de Mozart?

2 ¿Qué fracción de las piezas interpetadas eran composiciones de Brahms y Strauss?

3 ¿Cuáles dos compositores juntos representan ​  _16  ​del total de piezas interpretadas por la sinfonía?

4 Escribe una desigualdad en la que se compare la fracción de piezas de Bach y la fracción de piezas de Schubert que fueron interpretadas.

Explica cómo hallaste la respuesta para el Problema 4.

192

Libro 5.indb 192

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Muchas

voces, una orquesta

La Orquesta Juvenil de Linares fue creada en el año 2005 por dos profesores de música, dos años más tarde se fundó la orquesta Infantil de Linares

¿Cómo se llama un grupo grande de músicos? Los dos términos, orquesta y banda son correctos, pero los dos grupos musicales son diferentes. Las orquestas tienen cuatro secciones: metales, percusión, instrumentos de viento de madera y cuerdas. Las bandas de música no tienen una sección de cuerdas.

PERCUSIÓN Triángulo

Xilófono

Contrabajos Cornos franceses

Tambor

METALES

Platillos Timbales

Clarinetes

Fagots

Trompetas

VIENTOS Bombo

Tuba

Trombones

Piccolo Flautas

Violas

Gong

Oboes

CUERDAS Arpa

Violines Campanas

CUERDAS

DIRECTOR

Violoncelos

La sección de cuerdas de una orquesta incluye violines, violas, 63 violoncelos, contrabajos y un arpa. Las cuerdas conforman ____ ​ 100 ​ de la orquesta que se ve arriba.

1 Diseña tu propio grupo de músicos. uDecide el número de miembros que estarán en tu grupo. uElige un instrumento para cada miembro. Puedes usar el diagrama de arriba como referencia. u¿Cuántos instrumentos de cada grupo necesitarás? u¿Qué fracciones puedes usar para describir cada parte de tu grupo?

2 Describe cómo cambiarán las fracciones si un miembro de tu grupo no puede tocar.

Capítulo 7 193

Libro 5.indb 193

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3

Libro 5.indb 194

Operaciones decimales

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Matemática en Contexto ¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes hallar una medición precisa del ancho de los teléfonos celulares que se muestran?

REPASO DEL VOCABULARIO  Cuando aprendiste decimales  Un nuevo diseño para un teléfono celular empieza con un dibujo que muestra cómo se unen las pieza para que sea sencillo de usar y sostener.

y valor posicional, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? decimales equivalentes decimales que representan el mismo número o la misma cantidad redondear reemplazar un número por otro que es más sencillo y tiene aproximadamente el mismo valor que el número original milésima una parte de mil partes iguales

Copia y completa un cuadro como el que sigue usando lo que sabes sobre los triángulos.  Los teléfonos celulares son mucho más pequeños de lo que eran antes, a pesar de que tienen una cantidad de funciones adicionales.

 Para medir teclas o el espesor de la cubierta de metal, se necesitan unidades decimales.

Capítulo 8 195

Libro 5.indb 195

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8

Valor posicional: Comprender los decimales La idea importante 

Los valores posicionales que están a la derecha de la coma decimal en el sistema de base diez nombran los números menores que uno.

Investiga Quieres comprar una computadora nueva. La siguiente tabla muestra la velocidad de los diferentes procesadores disponibles a la venta. Elige dos procesadores diferentes y compara su velocidad. ¿Qué procesador proporciona la velocidad mayor?

Procesadores de computadora Procesador

Velocidad (GHz)

Intel Pentium 4

3,8

Intel Xeon

2,8

Intel Core Duo

1,83

AMD Anthlon 64

2,4

PowerPC G5

1,9

Chile

DATO BREVE

La carrera computacional en Chile comenzó en 1961, con el primer computador digital, correspondiente al IBM 1401, adquirido por la Aduana de Valparaíso, el cual poseía sólo 4 kb de memoria.

196

Libro 5.indb 196

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 8.

u Comparar y ordenar números enteros Compara. Escribe ,, . o = en cada .

1. 572  800

2. 635  599

5. 3 404  3 440

6. 52 008  52 100 7. 90 523  90 098

3. 706  760

4. 3 926  3 906 8. 146 025  146 025

Escribe los números en orden, de menor a mayor.

9. 4 032; 4 203; 3 402; 4 320

10. 25 046; 25 406; 50 256; 45 620 

11. 73 801; 38 710; 187 039

12. 182 950; 208 109; 102 985

u Modelos decimales Escribe en forma de decimal.

13.  

14.  

15.  

16.  

17.

18.  

Escribe los números de otras dos maneras.

19. cuatro y siete décimas

20. 10 1 0,3

21.  200 1 5 1 0,9

22.  5,2

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

decimal decimales equivalentes centésima décima milésima

PREPARACIÓN

centésima una de cien partes iguales milésima una de mil partes iguales decimales equivalentes decimales que representan el mismo número o la misma cantidad

Capítulo 8  197

Libro 5.indb 197

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LE C C

N IÓ

1

Valor posicional de los decimales OBJETIVO: Leer y escribir decimales hasta las centésimas.

El hombre más alto del mundo mide 2,36 metros y su esposa mide solo 1,68 metros.

Aprende Un decimal nombra enteros y partes de un entero. Una centésima es una de cien partes iguales. Los siguientes modelos muestran el decimal 0,52 o 52 centésimas. 50 100

55 100

60 100

0,50 0,52

0,55

0,60

Vocabulario centésima

___   ​Lee: cincuenta y dos centésimas Escribe: 0,52 o ​ 52 100

PROBLEMA  Aumenta la estatura promedio de los chilenos. La media actual es 1,69 metros de altura.

Ejemplo 1  Usa una tabla de valor posicional. Unidades

Décimas

Centésimas

6

9

11

6  0,1

9  0,01

1

0,6

0,09

1

.

El valor de cada lugar de un decimal es diez veces el valor del lugar a su derecha.

Por lo tanto, el valor del dígito 9 es 9 centésimas, o 0,009. Puedes escribir un decimal en forma normal, en palabras y en forma desarrollada.

Ejemplo 2  Escribe 5,87 de otras dos formas. Forma normal: 5,87

En palabras: cinco y ochenta y siete centésimas

Forma desarrollada: 5 1 0,8 1 0,07

ADVERTENCIA ADVERTENCIA Cuando leas o escribas en palabras un decimal mayor que uno, acuérdate de incluir la letra y para indicar la coma decimal.

Práctica con supervisión 1. Copia y completa para hallar el valor de cada dígito. Unidades

Décimas

Centésimas

2

6

8

21

 3 

 3 

2





198

Libro 5.indb 198

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Escribe el valor del dígito subrayado. 2. 1,93

3. 0,76

4. 0,39

5. 8,61

6. 7,92

Explica cómo usar un modelo para mostrar el decimal 0,36.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe el valor del dígito subrayado. 8. 0,62 9. 8,03 10. 1,49

11. 25,94

12. 0,45

13. 3,27

16. 6,54

17. 16,21

14. 0,43

15. 0,81

Escribe cada número de otras dos formas. 18. 0,87

19. 0,29

20. 3,36

21. 8,17

22. 1 1 0,06

23. 10 1 4 1 0,05

24. 5 1 0,4 1 0,03

25. 10 1 2 1 0,04

26. quince y setenta y tres centésimas   27. uno y treinta y siete centésimas

USA DATOS Para 28–30, usa la tabla.

Estaturas medias de países sudamericanos

28. Escribe la estatura promedio de los venezolanos.

País

Estatura en metros

Colombia

1,68

México

1,67

Venezuela

1,69

Argentina

1,72

29. Razonamiento Hay 10 decímetros en un metro.

Escribe la estatura del promedio de los chilenos en decímetros, en forma desarrollada. 30.

Los brasileños miden un metro sesenta y siete centímetros de estatura promedio. ¿Qué otro país tiene la misma estatura promedio que los brasileños? Explica cómo lo sabes. 

Comprensión de los Aprendizajes    31. ​    4 520 990   ​      2  ___ 970 620

32. En 2011, el aeropuerto Pudahuel fue utilizado

por 10 315 319 pasajeros. ¿Cuál es este valor redondeado a la unidad de mil más cercana?

Práctica adicional en la página 212, Grupo A

Libro 5.indb 199

33. Escribe el número 4 009 721 en palabras. 34. Preparación para la prueba  ¿Cuál muestra la

forma normal de tres y cinco centésimas? A 3 500

C 3,5

B 30,5

D 3,05

Capítulo 8 199

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Representar milésimas

Escribe cada número en palabras.

OBJETIVO: Usar modelos para comprender, leer y escribir decimales hasta las milésimas.

1. 0,3 2. 1,9  3. 0,72

4. 2,28

5. 4,06

Vocabulario Materiales ■ cuadrado decimal ■ lápices de colores ■ escuadra

milésimas

Puedes hacer un modelo para comprender los decimales hasta las milésimas. Empieza con un cuadrado decimal. El cuadrado decimal representa un entero. Divide el cuadrado en 10 rectángulos iguales. Con un color, sombrea uno de los rectángulos. ¿Qué parte del entero representa el rectángulo sombreado? Divide cada rectángulo en 10 cuadrados iguales. ¿Cuántas partes tendrá el modelo? Usa un segundo color para sombrear uno de los cuadrados. ¿Qué parte del entero representa el cuadrado sombreado? Divide uno de los cuadrados en 10 rectángulos iguales. Si cada cuadrado se divide en 10 rectángulos iguales, ¿cuántas partes tendrá el modelo? Usa un tercer color para sombrear uno de los rectángulos. ¿Qué parte del entero representa el rectángulo sombreado?

Sacar conclusiones 1. ¿Qué parte de tu modelo muestra una décima, y

cuál muestra una centésima? Explica en qué se diferencian. 2. ¿Qué parte de tu modelo muestra una milésima?

Explica cómo lo sabes. 3. Compara tu modelo con los de otros compañeros.

¿Qué conclusión sacas? Explica tu respuesta.  4. Análisis  ¿Cómo puedes usar un cuadrado decimal

para mostrar 0,251? Explica. 

200

Libro 5.indb 200

24-01-13 10:11

También puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de cada uno de los dígitos de un decimal.

El valor de cada lugar de un decimal equivale a diez veces el valor del lugar que está a su derecha.

Unidades Décimas Centésimas Milésimas 2

2

2

2

21

2  0,1

2  0,01

2

0,2

0,02

2  0,001 0,002

valor

El número que se muestra en la tabla de valor posicional es 2,222. Puedes escribir un decimal en forma normal, en forma desarrollada y en palabras. Forma normal: 3,756 Forma desarrollada: 3 1 0,7 1 0,05 1 0,006 En palabras: tres y setecientos cincuenta y seis milésimos

Explica cómo puedes usar patrones cuando se usa el valor posicional para comprender decimales.

Escribe el decimal que corresponde a la parte sombreada. 1.

 2.

Escribe el valor del dígito subrayado. 3. 0,537

4. 0,059

5. 1,407

6. 2,006

 7. 1,014

8. 1,725

9. 0,089

10. 3,506

11. 0,246

12. 2,159

Escribe cada número de otras dos formas. 13. dos y tres milésimas

14. 0,093

15. 3 1 0,4 1 0,07 1 0,001

16. 6,553

17. 5 1 0,08 1 0,009

18. ochenta y seis milésimas

19.

Explica cómo usar una tabla de valor posicional para mostrar el valor de cada uno de los dígitos de un decimal hasta las milésimas.

Capítulo 8 201

Libro 5.indb 201

24-01-13 10:11

LE C C

N IÓ

3

Decimales equivalentes

4 1. 3, 5 3​  ___  ​ 10  2. 1,9 5 1​  ___  ​ 10 52 3. 7, 5 7​  ____   ​ 100  4. 9,84 5 9​  ____    ​ 100 3 5. 12, 5 12​  ___  ​ 10

OBJETIVO: Identificar y escribir decimales equivalentes.

Aprende PROBLEMA  El “saca tu real” es un pájaro que habita en Chile y Argentina. Se alimenta de insectos y anida en árboles a 2,5 metros del suelo. Escribe un decimal equivalente a 2,5.

Vocabulario

Los decimales equivalentes son nombres diferentes para el mismo número o para la misma cantidad. En la siguiente tabla de valor posicional se han colocado ceros a la derecha del dígito 5 para crear decimales equivalentes.

decimales equivalentes

Unidades Décimas Centésimas Milésimas 2

5

2

5

0

2

5

0

Puedes agregar ceros a la derecha del último dígito en un decimal sin que cambie el valor del decimal.

0

Por lo tanto, los decimales 2,50 y 2,500 son equivalentes a 2,5. Puedes usar modelos para determinar si dos decimales son equivalentes.

Ejemplos  Traza un modelo para cada decimal. Escribe equivalente o no equivalente para describir cada par de decimales.  0,3 y 0,30

0,3

 0,5 y 0,05

0,30

El área sombreada en los dos modelos es del mismo tamaño. Por lo tanto, 0,3 es equivalente a 0,30.

0,5

0,05

El área sombreada en los dos modelos no es del mismo tamaño. Por lo tanto, 0,5 no es equivalente a 0,05.

•  Diez centésimas son equivalentes a una décima. ¿Cuántas décimas son equivalentes a 1? Usa un modelo para explicar tu respuesta. 

Práctica con supervisión 1. Haz un modelo para 0,4 y 0,40. Luego, explica en qué forma los

modelos te ayudan a decidir si los decimales son equivalentes. ¿Son equivalentes los decimales?

202

Libro 5.indb 202

24-01-13 10:11

Escribe equivalentes o no equivalentes para describir cada par de decimales. 2. 3,7 y 3,70

3. 0,06 y 0,006

4. 8,90 y 8,09

5. 2,5 y 2,5

6. 0,52 y 0,520

7. 7,8 y 7,08

8. 0,9 y 0,09

9. 0,42 y 0,420

Explica cómo puedes determinar si 1,206 es equivalente a 1,026.

10.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe equivalentes o no equivalentes para describir cada par de decimales. 11. 2,09 y 2,90

12. 5,003 y 5,03

13. 12 y 12,0

14. 9,01 y 9,010

15. 3,26 y 3,260

16. 4,01 y 4,011

17. 6,004 y 6,04

18. 7,08 y 7,80

Escribe un decimal equivalente para cada número. 19. 0,09

20. 1,430

21. 0,6

22. 2,400

23. 5,08

24. 0,700

25. 4,08

26. 8,90

29. 1,006

30. 0,5900

Marca los dos decimales que son equivalentes. 27. 6,03

28. 0,041

6,300 6,030

0,0401 0,0410

1,600 1,6000

USA DATOS Para 31–33, usa la tabla.

Promedio de altura y masa de la grulla

31. Escribe dos decimales equivalentes para

el peso de la grulla damisela. 32. ¿Cuáles dos grullas tienen pesos equivalentes?

¿Son equivalentes las alturas de estas dos grullas? 33.

0,059 0,59

¿Cuál es la pregunta?  En promedio, la grulla del paraíso tiene una altura de 1,23 metros. La respuesta es grulla canadiense.

Nombre

Altura (en metros)

Peso (en kilogramos)

Grulla canadiense

1,23

4,55

Grulla carunculada

1,85

6,36

Damisela

0,92

2,50

Sarus

1,85

6,36

Comprensión de los Aprendizajes 34. ¿Cuál expresión tiene el mayor valor,

3 1 (8 3 4) o (3 1 8) 3 4? 35. Estima la suma 638,299 1 196,500. 36. ¿Cómo se escribe seis décimas en forma de

decimal?

37. Preparación para la prueba  Julio caminó

2,75 kilómetros hasta la cascada. ¿Cuál de los decimales es equivalente a 2,75? A 2,075 C 2,750 B 2,705 D 2,755

Práctica adicional en la página 212, Grupo B

Libro 5.indb 203

Capítulo 8 203

24-01-13 10:11

LE C C

N IÓ

4

Cambiar a decimas pé y a centésimas

Escribe un decimal equivalente.

OBJETIVO: Comprender los decimales y escribirlos en forma de fracciones y de números mixtos con décimas y centésimas.

1. 0,3

2. 0,45

3. 1,090

4. 3,270

5. 0,800

Aprende PROBLEMA  El Parque Pumalín está ubicado en la provincia de Palena. Entre los numerosos senderos que posee, está el sendero Cascadas escondidas de aproximadamente, 3,75 kilómetros de largo. ¿Cómo se escribe la longitud del sendero en forma de número mixto? Usa un modelo decimal.

1 1 1 1 1 1

75 0,75 o ​ ____  ​  100

Piensa: 3,75 se compone de 3 enteros y 0,75 de un entero. Por lo tanto, escrita en forma de número mixto, la longitud del sendero es 75 de 3​  ___     ​ kilómetros. 100

Usa el valor posicional.

Recuerda Un número mixto se representa mediante un número entero y una fracción.

Escribe 2,5 en forma de número mixto con centésimas. 2,5 5 2,50

Escribe un decimal equivalente con centésimas.

2,50 5 dos y cincuenta centésimas  Escribe el decimal en palabras. 50 5 2 ​ ____  ​   Escribe el número mixto. 100

50 Por lo tanto, escrito en forma de número mixto con centésimas, 2,5 es 2 ​ ___     ​. 100

Más ejemplos  Escribe 0,80 en forma de fracción con décimas. 0,80 5 0,8  decimales equivalentes 0,8 5 ocho décimas 8  ​  5 ​ ___

 Escribe 0,62 en forma de fracción con centésimas. 0,62 5 sesenta y dos centésimas 62 5 ​ ____  ​  100

10

204

Libro 5.indb 204</