Asig: Estadística II / Curso 1999-2000
Potencias superiores al continuo La cuestión siguiente sería lógicamente el preguntarnos: existen conjuntos infinitos más "grandes " que R, C,…. Teorema 1
Para todo conjunto infinito A siempre hay un conjunto infinito de mayor potencia. Car (A) < Card [ P(A) ]. (teorema de Cantor) (representamos por P(A) el conjunto de todas las partes de A, esto es el conjunto de todos los subconjuntos de A) (Para todo conjunto infinito siempre existe un conjunto infinito de mayor tamaño)
Demostrac.
Card [ P(A) ] = 2n luego el teorema se cumple y que Car (A) < Card [ P(A) ] En el caso finito el teorema es cierto ya que si Card (A) = n entonces Supongamos que sea un conjunto infinito Para demostrar que Car (A) < Card [ P(A) ] deberemos encontrar al menos una aplicación inyectiva definida de A en P(A), y que no existe ninguna inyectiva
como aplicación inyectiva nos sirve la aplicación f : A a b .. supongamos que, utilizando el método de reducción al absurdo, que existiese una aplicación biyectiva
Consideremos el subconjunto
Suponemos que existe un
C = {a ∈ A / a ∉ f (a)}
t ∈ A / f (t) = C
P(A) {a} {b} ..
con f (a) = {a} para todo a de A
f:A a b .. ??
P(A) f(a) f(b) .. C
a∈ f (A) ∀ a∈ A ⇒ f (a) ∈P(A) , f (A) ⊂ A y puedeserque ó a∉ f (A)
y veamos que este subconjunto de A no tiene ninguna preimagen a través de f , sea esta la aplicación que sea
entonces tiene que darse una de dos:
t ∈ C t ∉ C
⇒ t ∉ f (t ) = C ó ⇒ t ∈ f (t ) = C
absurdo absurdo
en cualquier caso llegamos a un absurdo luego f no puede ser biyectiva y llegamos a demostrar lo que queríamos, que Car (A) < Card [ P(A) ]
Según este resultado la sucesión de los números transfinitos sería infinita, como la de los números finitos ya que la sucesión: Card (N) < Card [P(N)] < Card [P(P(N))] < ……….. No tendría fin. P(N)
N
Veamos una forma sencilla de comprobar el teorema de Cantor, para A=N Suponemos que en la columna de la izqda. tenemos una sucesión con todos los subconjuntos posibles de N Cada subconjunto lo representamos por una sucesión de SI, NO,SI,…… La demostración consiste en encontrar un subconjunto de N que no pudiese estar en la lista de la izquierda. Ese es el subconjunto diagonalizado de la figura
Prop. 6
La aplicación: N P(N) a {a} b {b} … … es inyectiva, luego: Luego Car(N) <= Car[P(N)] y como no puede existir ninguna aplicación biyectiva de N en P(N) tenemos que: Car(N) < Car[P(N)] Comprobación extraída de: " Breve Historia del Infinito" A. W. Moore Rev.: Investigación y Ciencia. Junio 1995
El conjunto infinito R tiene el mismo cardinal que el conjunto de todas las partes de N. Card (R) = Card [ P(N) ]
E.U.E Lugo / Laboratorio de Métodos Cuantitativos / L. G. G.
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