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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica. Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6.2 del libro Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora – M.M.Rey – B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión y hacer los ejercicios de la sección 6.1 Ejemplo Adicional 1 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos –6 y 4 Al observar la recta numérica se tiene que los puntos –6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos ( −∞ , −6 ) , [ −6, 4] y ( 4, ∞ )

[ −6 , 4 ]

( −∞ , −6 ) -12

-10

-8

-6

-4

∀ x ∈ ( −∞ , −6 ) se tiene:

La distancia de cualquier punto x al punto –6 es menor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así: x − ( −6 ) < x − 4 ⇔

-2

0

( 4,∞ ) 2

4

∀ x ∈ [ −6, 4 ] se tiene: a.

x+6 < x−4

El punto medio entre –6 y 4 es –1, por lo tanto al ubicar el punto x en –1 la distancia entre –6 y x es igual que la distancia entre x y 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como: x − ( −6 ) = x − 4 ⇔

6

8

10

12

∀ x ∈ ( 4, ∞ ) se tiene:

La distancia de cualquier punto x al punto –6 es mayor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así: x − ( −6 ) > x − 4 ⇔ x+6 > x−4

x+6 = x−4 b.

Si x está más cerca de –6 que de 4, se tiene: x − ( −6 ) < x − 4 ⇔ x+6 < x−4

c.

Si x está más lejos de –6 que de 4, se tiene: x − ( −6 ) > x − 4 ⇔ x+6 > x−4

Ejemplo adicional 2 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos 3 y – 5. Observando la recta numérica se tiene:

29/08/05

1

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

(−∞; −5 ) -9

-8

(−5; 3 ) -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

(3; ∞ ) 0

1

2

3

4

5

6

El punto medio entre (−5; 3 ) es el La distancia de cualquier x ∈ (−∞ ; −5 ) al punto – 5 es menor que la distancia al punto 3. Este hecho se puede expresar en términos de valor absoluto así:

−5 − x < x − 3 ó

x − (− 5 ) < x − 3

expresiones que son equivalentes

punto – 1 y la distancia de este punto a – 5 y a 3 es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como:

−1 − ( −5 ) = −1 − 3

Los x ∈ (−5; −1) están más cerca de –5 que de 3, lo qué en términos de valor absoluto puede escribirse: x − (− 5 ) < x − 3 Los x ∈ (−1; 3 ) están más cerca de 3 que de –5, lo qué en términos de valor absoluto es. x − (− 5 ) > x − 3

La distancia de cualquier x ∈ (3; ∞ ) al punto – 5 es mayor que la distancia al punto 3, lo que escrito en término de valor absoluto es: x − (− 5 ) > x − 3

EJERCICIOS 1. Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:

a.

8−3

b.

4+5

c.

6

d.

−2

e.

x−3

f.

x−3

g.

1− x

h.

7,5 − x

i.

x+5

2. Expresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica : a. Que se encuentran a 2 unidades del b. Que se encuentran a menos de 3 origen unidades de 5 c. Que se encuentran a menos de 4 d. Que se encuentran a más de 3 unidades unidades de –2 de 5 e. Que se encuentran a más de 2 unidades f. Cuya doble distancia a 2 es mayor que 3 de –1 3. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. La distancia entre dos números x e y es igual a 3 b. El doble de la distancia que hay entre un número x y el punto –2 es igual a 5 4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la expresión:

a.

x−2

b.

x+3

5. Diga si es falso o verdadero −5 − ( −3 ) = −3 − ( −5 ) a.

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2

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

b.

10 + ( −14 ) = 10 + −14

c.

−3 + 8 ≤ −3 + 8

d.

( 2 x − 1) − 3

e.

3 −π = π −3

f.

x =0

g.

x = y

h.

x +y = x + y ,

=2 x −2

es equivalente a decir que significa que y

i.

∀ x,y ∈ℜ

j.

La distancia entre

k.

x = −x

l.

x −3

x<y

x =y

ó

x =0

x = −y

∀ x,y ∈ℜ ⇒

−1

x < y

y

1 2

es

1 2

es la distancia de x a –3

Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en

m.

x

n.

3

=

x 3

8 3

∀ x ∈ℜ

,

6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. “m está a 5 unidades de –2” b. “x está a menos de 5 unidades de 3” c. “q está a más de 2 unidades de 1” d. Los puntos x cuya distancia a –3 no es mayor que 7. e. La distancia entre dos números x e f. El doble de la distancia que hay entre y es igual a 3 un número x y el punto –2 es igual a 5 g. La distancia entre los puntos x y – y 7. Explique el significado de la expresión x − 3 > 4 8. Completar las siguientes afirmaciones.: a. Si x es negativo, entonces x = ________________. El valor absoluto de un número es la distancia al _________________ en la recta numérica. 9. Explique porqué 2 es el único valor que satisface x − 2 ≤ 0 b.

10. Exprese en palabras el significado de: a.

x +3 >

1 2

b.

5 x −1 < 2

c.

0< x <5

RESPUESTAS 1.a La distancia entre 8 y 3 1.c La distancia entre el origen y 6

29/08/05

1.b La distancia entre 4 y –5 1.d La distancia entre el origen y –2

3

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

1.e La distancia entre un real x y 3 1.g La distancia entre 1 y un real x 1.i La distancia entre un real x y –5 2.a

x −0 = 2

2.b

x −5 < 3

2.e

x +1 > 2

2.f

2x −2 > 3

3.a

x−y =3

4.c 0 5.a 5.e 5.i 5.m

3.b

1.f La distancia entre un real x y 3 1.h La distancia entre 7,5 y un real x 2.c

x +2 < 4

2.d

x −5 > 3

2x +2 =5

4.d 0 5.b 5.f 5.j 5.n

Verdadero Verdadero Falso Falso

Falso Verdadero Verdadero Falso

5.c Verdadero 5.g Verdadero 5.k Verdadero

5.d Verdadero 5.h Falso 5.l Falso 6.d

6.a

m+2 =5

6.b

x −3 < 5

6.c

q −1 > 2

6.e

x−y =3

6.f

2x +2 =5

6.g

x+y

x+3 < 7

7. Los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a 3 es mayor de 4 unidades. 8.a

….–x …

8.b

… origen

9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número positivo, por lo tanto el único valor de x que satisface es x = 2 10.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a –3 es mayor de media unidad 10.bLos puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a 1 es menor de 2 unidades. 10.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva y menor que cinco.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Estudiar previamente la SECCIÓN 6.3 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN y realizar los ejercicios de la sección 6.2 EJEMPLO ADICIONAL 3 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de x −3 = 4

En éste caso x − 3 significa la distancia entre x y 3, por lo cual el punto con respecto al que se va a medir es decir el punto de referencia es 3 .

29/08/05

4

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

Al ubicar 3 en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: ( −∞ ,3 ) y [ 3, ∞ ) ( −∞ ,3 ) [ 3, ∞ ) -2

-1

0

∀ x ∈ ( −∞ ,3 ) ⇒ x < 3 ∨

1

2

3

4

5

6

7

8

∀ x ∈ [ 3, ∞ ) ⇒ x ≥ 3 ∧ 3 ≤ x

3> x

Como 3 > x la distancia de x a 3 es 3 − x (el Como x ≥ 3 la distancia de x a 3 es x − 3 (el número mayor menos el número menor), de número mayor menos el número menor), de donde: donde: x − 3 = 3− x

x −3 = x −3

Reemplazando lo anterior en la ecuación original Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: se tiene: x − 3 = 4 ⇒ 3 − x = 4 ⇒ − x = 1⇒ x = −1

x −3 = 4⇒ x −3= 4⇒ x = 7

La solución en éste intervalo será: ( −∞ ,3 ) ∩ { −1} = { −1}

La solución en éste intervalo será: [ 3, ∞ ) ∩ { 7} = { 7}

El conjunto solución de x − 3 = 4 será por lo tanto x ∈ { −1} ∪ { 7} ⇒ x ∈ { −1, 7} ó { x x = −1∨ x = 7} El conjunto solución se representa gráficamente así: -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

EJEMPLO ADICIONAL 4 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de 2x + 4 =

11 4

Para solucionar ésta ecuación en primer lugar hay que identificar el punto de referencia con respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto x en la recta. Para leer 2x + 4 en términos de distancia hay que recordar que la distancia entre dos puntos en la recta numérica es la diferencia entre el mayor y el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como una diferencia 2x − ( −4 ) =

11 , por lo tanto 2x − ( −4 ) significa “la distancia entre el doble de x y – 4

4”, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuación: 2x + 4 = 0 ⇒ x = −2

Por lo tanto el punto de referencia es –2 ( −∞ , −2 ) -7

-6

-5

∀ x ∈ ( −∞ , −2 ) ⇒ x < −2 ⇒ 2x < −4

-4

[ −2 , ∞ ) -3

− 4 > 2x

-2

-1

0

1

2

3

∀ x ∈ [ −2, ∞ ) ⇒ x ≥ −2 ⇒ 2x ≥ −4

Como −4 > 2x la distancia de 2x a –4 es −4 − 2x Como 2x ≥ −4 la distancia de 2x a –4 es (el número mayor menos el número menor), de 2x − ( −4 ) (el número mayor menos el número donde: menor), de donde: 2x + 4 = −4 − 2x

2x + 4 = 2x + 4

Reemplazando lo anterior en la ecuación original Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: se tiene:

29/08/05

5

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

2x + 4 =

11 11 27 27 ⇒ −4 − 2x = ⇒ −2x = ⇒x=− 4 4 4 8

2x + 4 =

La solución en éste intervalo será:

11 11 5 5 ⇒ 2x + 4 = ⇒ 2x = − ⇒ x = − 4 4 4 8

La solución en éste intervalo será:

{ }{ }

{ 85 } = {− 85 }

27 27 = − ( −∞ , −2 ) ∩ − 8 8

[ −2 , ∞ ) ∩ −

11 es por lo tanto 4 27 5 ó x x=− ∨x=− 8 8

El conjunto solución de 2x + 4 =

{ }{ }

x∈ −

{

27 5 27 5 ∪ − ⇒ x∈ − ,− 8 8 8 8

} {

}

El conjunto solución se representa gráficamente así: -4

-3

− 27

-2

-1

8

−5

0

8

EJEMPLO ADICIONAL 5 Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la ecuación 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 En éste caso existen dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación: y

3x − 9 = 0 ⇒ x = 3

2x + 1 = 0 ⇒ x = −

1 2

La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos: ⎛ −∞ , − 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ -3

( 3, ∞ )

⎡ − 1 ,3 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

-2

-1

−1

0

1

2

3

4

5

6

2

1 ∀ x ∈ ⎛⎜ −∞ , − ⎞⎟ 2⎠ ⎝

1 ∀ x ∈ ⎡⎢ − ,3 ⎤⎥ ⎣ 2 ⎦

3x − 9 = 9 − 3x y

3x − 9 = 9 − 3x y

2x + 1 = −1− 2x

2x + 1 = 2x − ( −1) = 2x + 1

Por lo tanto:

∀ x ∈ ( 3, ∞ ) : 3x − 9 = 3x − 9 y 2x + 1 = 2x − ( −1) = 2x + 1

Por lo tanto:

Por lo tanto:

3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒

3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒

3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 ⇒

9 − 3x = −1− 2x + x − 10 ⇒ −2x = −20 ⇒ x = 10

9 − 3x = 2x + 1+ x − 10 ⇒ −6x = −18 ⇒ x = 3

3x − 9 = 2x + 1+ x − 10 ⇒ 0=0

La solución en éste intervalo La solución en éste intervalo La solución en éste intervalo es: es: es: 1 ⎛ −∞ , − ⎞ ∩ {10} = ∅ ⎡ − 1 ,3 ⎤ ∩ { 3} = { 3} ( 3, ∞ ) ∩ ℜ = ( 3, ∞ ) ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝

2⎠

⎣ 2

El conjunto solución de 3x − 9 = 2x + 1 + x − 10 es: x ∈ ∅ ∪ { 3} ∪ ( 3, ∞ ) ⇒ x ∈ [ 3, ∞ ) ó { x x ≥ 3}

EJERCICIOS

29/08/05

6

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

Encontrar la solución de: a.

3 x −2 =5

b.

2 x − 5 = −4 3 5− x =4

d.

5− x =3

g.

x +1 = 2− x

h.

x

j.

( x − 3 )( x + 2) = 6

k.

x = 2x − 1 x −1

m.

2x 4 x 2 − 20 +1= 2x − 5 2x − 5

n.

x +2 = −1 x +2

e.

2

= x

c.

5 − 2x = 4

f.

2x −1 −3 =5

i.

x2 − 4 = 4

l.

5−x =x x −4

RESPUESTAS a. d. g. j.

m.

1 11 ó 3 3 ±2 1 2 −3 4 0

1

− 1− 26 2

b.

No hay solución

e.

±1 ó

h.

0 ó

k.

No hay solución

n.

f.

9 1 ó 2 2 5 ó −3

i.

0 ó

l.

3 ± 29 2

c.

±9 ±1

(−∞,−2 ) ∪ (−2,0)

±2 2

SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM 21 EJEMPLO ADICIONAL 6 Encontrar el conjunto solución de x − 3 ≥ 2 Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir x − 3 = 0 ⇔ x = 3 , ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos (−∞ ; 3 ) y (3 ; ∞ )

-2

29/08/05

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

7

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

En éste intervalo x − 3 < 0 por lo tanto:

En éste intervalo x − 3 > 0 por lo cual

x −3 = 3− x

x − 3 = x − 3 , por lo tanto se tiene.

Lo que nos lleva a decir que ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) se tiene.

x−3≥ 2 ⇔

3 − x ≥ 2 ⇔ − x ≥ −1 ⇔ x ≤ 1

x≥5

Dada l a condición ∀x ∈ (3; ∞ ) , el conjunto solución es:

Dada la condición de ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) , el conjunto solución es:

( 3; ∞ ) ∩ [5, ∞ ) = [5, ∞ )

( −∞,1]

] [

C.S.: ( −∞,1 ∪ 5, ∞ ) EJEMPLO ADICIONAL 7 Encontrar el conjunto solución de − x + 3 ≤ 4 Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de x donde − x + 3 = 0 ⇔ ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos (−∞ ; 3 ) y (3 ; ∞ )

-2

-1

0

1

2

3

En éste intervalo − x + 3 > 0 por lo tanto: − x + 3 = −x + 3 Lo que nos lleva a decir que ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) se tiene: − x + 3 ≤ 4 ⇔ − x ≤ 1 ⇔ x ≥ −1 Dada la condición de ∀x ∈ (−∞ ; 3 ) , el conjunto solución es: (−∞ ; 3 ) ∩ [−1; ∞ ) = [−1; 3 )

4

5

6

x = 3,

7

En éste intervalo −x + 3 < 0 por lo cual − x + 3 = −(− x + 3 ) , por lo tanto se tiene. − (− x + 3 ) ≤ 4

− x + 3 ≥ −4

− x ≥ −7 ⇔ x ≤ 7 , ∀x ∈ (3; ∞ ) , por lo tanto el conjunto solución es: (3; ∞ ) ∩ (−∞ ; 7 ] = [3; 7 ]

C.S.: [−1; 3 ) ∪ [3; 7 ] = [−1; 7 ] Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM 22 HASTA 24 EJEMPLO ADICIONAL 8 Encontrar el conjunto solución de 2 x − 3 > 3 x En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que 3 x no es un real positivo para todo valor de x. Qué podemos hacer para resolverlo? Haciendo un análisis sobre la recta numérica.Primero se determina el punto donde 2 x − 3 = 0 , lo que permite establecer dos intervalos

29/08/05

8

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ ⎝2 ⎠ 3/2

-2

-1

0

1

2

3

4

5

∀x ∈ ⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟ se tiene que 2 x − 3 < 0 , por ⎝ 2⎠ lo tanto 2 x − 3 = − (2 x − 3 )

∀x ∈ ⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ se tiene que 2 x − 3 > 0 , por lo ⎝2 ⎠ tanto 2 x − 3 = 2 x − 3

Por lo que la situación planteada equivale a resolver: −(2 x − 3 ) > 3 x

Por lo que la situación planteada equivale a resolver: 2 x − 3 > 3 x

2x − 3 > 3x ⇔ − x > 3 ⇔ x <3 5 3 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ C.S. ⎜ − ∞ ; ⎟ ∩ ⎜ − ∞ ; ⎟ = ⎜ − ∞ ; ⎟ C.S. ⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ ∩ (− ∞ ; −3 ) = ∅ ⎝ ⎝2 ⎠ 2⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 3 C.S. ⎛⎜ − ∞ ; ⎞⎟ ∪ ∅ = ⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎞⎟ ⎝ ⎝ 5⎠ 5⎠ − 2x + 3 > 3x

− 5 x > −3

⇔ x < −3

EJEMPLO ADICIONAL 9 Encontrar el conjunto solución de 2 x − 1 > 2 − 3 x 3 Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir aquellos puntos donde 2 x − 1 = 0 y 2 − 3 x = 0 , al resolver estas ecuaciones se tiene que: 3 3 2 x = y x = , lo que permite establecer tres intervalos 2 3 ⎛⎜ − ∞ , 2 ⎞⎟ ⎝ 3⎠

⎛⎜ 2 ; 3 ⎞⎟ ⎝3 2⎠ 3/2

2/3 0

⎛⎜ 3 ; ∞ ⎞⎟ ⎝2 ⎠

1

2

En este intervalo 2 x − 1 < 0 por lo 3 tanto 2 x − 1 = −⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ y ⎝3 ⎠ 3 2 − 3 x > 0 por lo tanto 2 − 3x = 2 − 3x

En este intervalo En este intervalo 2 x − 1 > 0 por 3 2 x − 1 < 0 por lo 3 lo tanto 2 x − 1 = 2 x − 1 y 3 3 tanto 2 x − 1 = −⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ 2 − 3 x < 0 por lo tanto ⎝3 ⎠ 2 − 3 x = − (2 − 3 x ) 3 y 2 − 3 x < 0 por lo tanto 2 − 3 x = − (2 − 3 x )

De lo anterior el problema planteado 2 x − 1 > 2 − 3 x se 3 convierte en

De lo anterior el problema planteado 2 x − 1 > 2 − 3x 3

29/08/05

De lo anterior el problema planteado 2 x − 1 > 2 − 3 x se 3 convierte en

9

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

se convierte en 2 x − 1 > − (2 − 3 x ) 3 − ⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ > −(2 − 3 x ⎝3 ⎠ 2 x − 3 x > −2 + 1 2 3 ⎛⎜ x − 1⎞⎟ < (2 − 3 x ) ⎝3 ⎠ − 7 x > −1 2 x + 3x < 2 + 1 3 3 x<3 11 x < 3 7 3 x< 9 11 C.S. ∅ 3 3 2 2 C.S. ⎛⎜ − ∞ , ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ ; ∞ ⎞⎟ = ⎛⎜ ; ⎞⎟ C.S. ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝7 3⎠ ⎝ 3 11⎠ 3⎠ ⎝7 C.S. ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ∪ ∅ = ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11⎠ ⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11⎠ − ⎛⎜ 2 x − 1⎞⎟ > 2 − 3 x ⎝3 ⎠ 2 x − 1 < −2 + 3 x 3 2 x − 3 x < −2 + 1 3 − 7 x < −1 ⇔ x > 3 3 7

El conjunto solución de 2 x − 1 > 2 − 3 x puede darse utilizando diferentes notaciones: 3 En notación de intervalos: ⎛⎜ 3 ; 2 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 2 ; 9 ⎞⎟ ó ⎛⎜ 3 ; 9 ⎞⎟ − 2 ⎝ 7 3 ⎠ ⎝ 3 11 ⎠ ⎝ 7 11⎠ 3 En notación de inecuación compuesta 3 < x < 2 ó 2 < x < 9 7 3 3 11 En representación gráfica:

{ }

3/7

2/3

9/11 1

0

EJEMPLO ADICIONAL 10 Encontrar el conjunto solución de 2 x − 6 ≥ 4 − 4 x Usando propiedades del valor absoluto se tiene: 2x − 6 ≥ 4 − 4x ⇔

2 x − 3 ≥ 4 1− x

x − 3 ≥ 2 1− x

⇔ x − 3 ≥ 2 x −1

Lo que en términos de distancia significa “ los números reales cuya distancia a 3 es mayor o igual al doble de la distancia a 1”

0

1

2

3

En este intervalo x − 3 < 0 y x −1< 0

En este intervalo x − 3 < 0 y x −1> 0

En este intervalo x − 3 > 0 y x −1> 0

Por lo tanto

Por lo tanto

Por lo tanto

29/08/05

10

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

x − 3 ≥ 2 x −1

− ( x − 3 ) ≥ −2( x − 1)

x − 3 ≥ 2 x −1

−( x − 3 ) ≥ 2( x − 1)

x − 3 ≤ 2( x − 1)

x − 3 ≥ 2 x −1 ⇔

x − 3 ≥ 2x − 2

− x + 3 ≥ 2x − 2

x − 2x ≥ −2 + 3

x − 2x ≤ 3 − 2 − x ≤ 1 ⇔ x ≥ −1

− 3 x ≥ −5

x ≤5 3

x ≤ −1

C.S. (−∞ ;1] ∩ [−1; ∞ ) = [−1;1]

C.S.

⇔ ⇔ ⇔

C.S. [3 ; ∞ ) ∩ (−∞ ; −1] = ∅

[1; 3 ] ∩ ⎛⎜ − ∞ ; 5 ⎤⎥ = ⎡⎢1; 5 ⎤⎥ ⎝ 3⎦ ⎣ 3⎦ 5 C.S. [− 1;1] ∪ ⎡1; ⎤ = ⎡ − 1; 5 ⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ El conjunto solución representado en la recta numérica es: 5/3 0

-1

1

2

3

EJERCICIOS 1.

Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones:

a.

7 − 3x > 2

d.

2x − 3 > 4

g.

3< x +5

j.

x −1 ≤ 2

m.

x <0 x +2

n.

p.

−7 x − 3 > 5,1

q.

s.

x − 7 > 4x + 7

v.

1 4x + 7 + − x − 2 > 2

y

2− x ≤ 2

b.

3x − 4 − 2 ≤ 0

e.

2 x −1 ≥ 2 3

h.

x −3 = 5

k.

x +1 ≥ 4

y

x >2

y

x −1 > 1

3 x + 1 > 1,7

c.

x+4 =2

f.

x−

i.

x − ( x + 3) ≤ 5 2

l.

2x − 3 >

y

4 3

2 ≤2 3

1≤ x + 2 ≤ 2

ó

o.

1 >0 x −3

3x + 3 − 5x > 4

r.

3x − 5 < 1 − 4x

t.

8 − x ≥ 2x + 1

u.

2x − 3 ≤ 7 − x + 1

w.

2x + 1 ≤ 3 + x − 3

c.

x = −2 ó

x −1 <0 x

RESPUESTAS a.

d. g.

29/08/05

5⎞ ⎛ ⎜ − ∞, ⎟ ∪ (3, ∞ ) 3⎠ ⎝ 1⎞ ⎛7 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ (−∞,−8) ∪ (−2, ∞ )

b.

e. h.

⎡2 ⎤ ⎢ 3 ,2⎥ ⎣ ⎦ 3⎤ ⎡9 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, − ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟ 2⎦ ⎣2 ⎠ ⎝ x = −2 ó x = 8

f. i.

x = −6

⎡ 4 8⎤ ⎢− 3 , 3 ⎥ ⎣ ⎦ [−6,4]

11

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

[0,3] (−∞,−2)

k.

(− ∞,−5] ∪ [3, ∞ )

n.

9⎞ ⎛ 7 ⎛ ⎞ ⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 10 ⎠ ⎝ 30 ⎠ ⎝

p.

81 ⎞ ⎛ 21 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 70 ⎠ ⎝ 70 ⎠ ⎝

q.

1⎞ ⎛7 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 2⎠ ⎝8 ⎠ ⎝

s.

⎛ 14 ⎞ ⎜ − ,0 ⎟ ⎝ 3 ⎠

j. m.

v.

29/08/05

t.

o.

(−∞,0) ℜ − {3}

r.

(− ∞,−4) ∪ ⎛⎜ 6 , 5 ⎞⎟

l.

⎝7 3⎠

u.

w.

12

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

EJERCICIOS DE REPASO Encuentre el valor de m y n para que el conjunto de números reales que satisface 3 x − m ≤ n tenga la siguiente representación gráfica:

1.

-10/3

2/3

2.

Para qué valores de p la inecuación

3.

Encontrar el conjunto solución. x + 4 ≤ 3x − 8

a. d.

− 2x + 3 < 2

g.

2 x − 8 = 12

j.

x-2 < 8

3x − 4 − 2 ≤ 0

c.

7x −1 = 2

e.

3≥ x

f.

− 4x + 5 > 1

i.

x +1 ≥ 4

l.

x − ( x + 3) ≤ 5 2

1≤ x + 2 ≤ 2

k.

3x − 5 − x + 4 ≤ 2

−6 − −4

n.

−1− 1− −1

y

y

2− x ≤ 2

y

x −1 > 1

A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo y en notación de desigualdad, y, exprese en palabras la situación. x−

2 ≤2 3

5.

Escriba en notación de intervalo

6. 7.

Los valores de x que cumplen con Los valores de x que cumplen con Completar Si a > 0 , entonces,

a.

b. c. d.

9.

b.

x −1 ≤ 2

a.

8.

no tiene solución?

h.

m.

4.

3x −7 ≤ p−3 2

Si

b<0

, entonces,

b.

3< x +5

x −2

, si x > 2

c.

x −3 =5

y

x >2

x= x x< x

−a = −b =

La distancia entre −9 y 5 es: El conjunto de todos los reales tales que

x −2 = 2−x

es

Complete la tabla siguiente:

X -5 -1

y

x

y

xy

x y

x

x

y

y

x+y

x + y

5 3 2

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13

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

10. Simplifique x − y − y − x 11. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las expresiones de la derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla. 3 − 2x < 1

a1

b1

−5 ≤ x < 5 x<7

a2

2 ( 1 − x ) > −2 x

b2

a3

− 5 ≥ −3 x − 20 > −35

b3

x >2

b4

1< x < 2

3 67 < 2x − 5 5 x +1 > x −5

a4 a5

b6 zz<0

12. Que podemos decir de z, si, 13. Demuestre que (2 x − 1) − 3

y exprese en palabras el significado de la igualdad.

= 2x −2

14. En qué caso es 1 − x igual a 1 - x ? En qué caso es igual a x - 1? 15. Encontrar la solución de: a.

(1 − x ) 2 x − 9

d.

x 2 + 3x + 2 ≤ 4

e.

2x 2 − 3x − 2 ≤ 3 14 + 6 x − 4 x 2 ≥ 4 x 2 − 6

> −5

b.

c.

(x − )

f.

x 2 − 6 x + 10 < 2

g.

23 − 5 x − 2 x 2 > 19 − 3 x

h.

i.

4 x 2 + 4 x − 11 ≥ 9 − 2 x − 4 x 2

j.

x 2 + 3x + 2 ≤ 4

k.

l.

3x − 1 <2 x +1

m.

7−x 2 > 5x + 1 3

n.

o.

2x + 1 ≤3 1− x

p.

x +7 5 > 10 x − 1 17

q.

x + 1 > −2

4 − x (x − 1) ≤ 4

3x +4 ≤2 3x − 1 3 − 2x ≥4 x +2

(x − 2)

x + 1 > −2

RESPUESTAS m = −4

1. 3.

a.

d. g. j.

m.

y

n=6

[6, ∞ ) ℜ −2

[−4,−3]∪ [−1,0] 2

2.

b. e. h. k. n.

p<3

⎡2 ⎤ ⎢ 3 ,2⎥ ⎣ ⎦ [−3,3] [0,3] ⎛ 1 11 ⎤ ⎜− , ⎥ ⎝ 4 2⎦ −3

c. f. i. l.

3 1 ó − 7 7

No hay solución (−∞,−5] ∪ [3, ∞ ) [−2,18]

4.

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14

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

a.

⎡ 4 7⎤ ⎢− 3 , 3 ⎥ ⎣ ⎦

5.

b.

(0, ∞ )

6.

(−∞,−8) ∪ (−2, ∞ )

c.

[0, ∞ )

7.

x=8

(−∞,0)

8. a.

a

b.

−b

14

c.

d.

9.

X

Y

-5 -1

5 3 2

10. 11. 12.

0 a1 con b4 z<0

x

5 1

y

xy

5

25 3 2

3 2

x y

25 3 2

x

x

y

y

1 2 3

1 2 3

x+y

0 1 2

x + y

10 5 2

, a 2 con b6 , a 3 con b1 , a 4 con b2 , a 5 con b3

13. 14.

Si 1 − x ≥ 0

y cuando 1 − x < 0

15. a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

o.

p.

q.

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15


ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO