´ 1. TEOR´IA BASICA DE CONJUNTOS
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En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los suficientes y se usan los puntos suspensivos “. . . ”para sugerir los elementos faltantes: E JEMPLO 1.1. B = {3, 5, 7, . . . }, C = {2, 4, . . . , 25 }. Sin embargo esta forma de nombrarlos puede resultar ambigua. Por ejemplo, B podr´ıa ser el conjunto de los n´umeros impares, o podr´ıa ser el conjunto de los n´umeros primos mayores que 2. Del mismo modo, C podr´ıan ser todos los pares entre 2 y 25 o bien todas las potencias de 2 comprendidas en el intervalo natural [2, 25 ]. Una alternativa es definir al conjunto por comprensi´on, es decir dando una propiedad de los elementos que lo integran: A = {x | x cumple la propiedad P }. Esto se lee: “el conjunto de los x tales que x cumple la propiedad P . De esta manera, los conjuntos del ejemplo 1.1 se describir´ıan as´ı: B = {x | x es impar y x ≥ 3},
C = {x | 2 ≤ x ≤ 26 y x es potencia de 2}.
El orden en el cual se nombran los elementos de un conjunto es irrelevante, y los elementos se consideran una sola vez. E JEMPLO 1.2. {1, 2, 3} = {3, 2, 1}, {a} = {a, a}. Dos conjuntos se dicen iguales si y s´olo si poseen los mismos elementos. Si A es igual a B escribimos A = B. Esto significa que para determinar si dos conjuntos A y B son iguales debemos probar que todo elemento de A es elemento de B y viceversa. E JEMPLO 1.3. Sean A = {1, 3} y B = {n | n2 − 4n = −3}. Probar que A = B.
Primero probamos que 1 ∈ B y 3 ∈ B. En efecto 12 − 4 · 1 = 1 − 4 = −3
y
32 − 4 · 3 = 9 − 12 = −3
Para probar que todo elemento de B est´a en A, observemos que si n ∈ B, n2 − 4.n + 3 = 0
o bien que
(n − 3)(n − 1) = 0
Esta ecuaci´on es satisfecha u´ nicamente si n = 3 o si n = 1. Hemos concluido entonces que A = B.