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Sesión de aprendizaje N° 01: La recta

La Recta Introducción Histórica

En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos

por

G.

Cantor,

R.

Dedekind,

K.

Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray, cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación de análisis.

Así, Dedekind definió el número real como un corte en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación Dedekind Richard

geométrica en forma de “Línea Recta”.

Definición y características de la recta Según una página Web didáctica, WiKipedia.org, “Desde un punto de vista geométrico, el concepto de recta es sumamente difícil de construir. Puede decirse que una recta es el elemento geométrico unidimensional (su única dimensión es la longitud), el cual puede ser determinado por dos puntos del espacio, es decir, por un segmento de recta”. Además se aluden ciertas matizaciones semánticas en las cuales, la Recta: → →

Es la línea más corta entre dos puntos. Es un conjunto de puntos en el cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la mínima distancia a estos; se prolonga al infinito en ambas direcciones, en contraposición con el segmento y la semirrecta.

Geometría Analítica

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Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que tomados dos puntos cualesquiera de ella, la pendiente “m” calculada mediante la fórmula,

resulta siempre constante.

Es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

La Recta Ángulo de Inclinación y Pendiente de una Recta Siguiendo a Coveñas (s.f.):  El ángulo de Inclinación (  ) de una recta es el ángulo que forma la recta con el eje X, medido en sentido antihorario y considerando el eje X como el lado inicial.  Se llama pendiente “m” de una recta a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.  Si se conocen las coordenadas de dos puntos por donde pasa la recta, tales como A( x1 ; y1 ) y B( x2 ; y2 ) pendiente (m) de la siguiente manera:

m

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, podemos calcular su

m  tg 

y 2  y1 x 2  x1

, es decir:

Diferencia: Ordenadas Diferencia: Abscisas

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Ecuaciones de la Recta A continuación se presentan las diversas ecuaciones de la Recta: Forma Punto – Pendiente; de los Dos Puntos; Pendiente y Ordenada al Origen; de las Coordenadas al Origen y su Forma General, cada una de ellas con

sus

respectivas demostraciones.

Forma Punto – Pendiente De acuerdo a Figueroa (2002), la ecuación de una recta no vertical L

que pasa por el punto fijo P1 x1 , y1  y de pendiente dada “m”, es:

Demostración: 1.- Sea

P x , y 

punto fijo P1 x1 , y1.

un punto cualquiera del lugar geométrico diferente del

2.- Por definición de recta, para cualquier posición de P, se debe verificar que:

m

y  y1 x  x1

3.- De donde obtenemos:

y  y1  mx  x1 

Forma de los Dos Puntos La Recta que pasa por dos puntos fijos P1

x1, y1  y P2 x2 , y2  tiene

por ecuación: (Figueroa; 2002)

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y  y1 y2  y1  , x  x1 x2  x1

x1  x2

Demostración. En efecto:

P x , y 

1. Sea y

P2

2. Si

Y si

un punto cualquiera del lugar geométrico, diferente de P1

m1  mP1P2

m1 

y  y1 x  x1

m2  mP1P2

m2 

y2  y1 x2  x1

P , P1 y P2

3. Como

son colindantes, entonces

m1  m2 , esto es:

y  y1 y2  y1  , x1  x2 x  x1 x2  x1

Forma Pendiente y Ordenada al Origen La Recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b, tiene por ecuación:

Demostración: 1. Sea

P x , y 

un punto cualquiera del lugar geométrico y sea (0, b) otro

punto del lugar geométrico situado en el eje Y.

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2.- Por el teorema de la forma punto pendiente, la ecuación de la recta es:

y  b  mx  0 3.- De donde obtenemos:

:

(Figueroa; 2002)

Forma de las Coordenadas al Origen Esta forma de la ecuación de una recta, llamada también simétrica, es un caso especial de la forma de los dos puntos, en la cual los puntos son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados.

La Recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son

a0

y

,b  0 respectivamente, tiene por ecuación:

x y  1 a b Demostración: Efectivamente:

1. Sea

P x , y 

un punto cualquiera del lugar geométrico y sean (a, 0) y

(0, b) los interceptos del lugar geométrico con los ejes X y Y respectivamente.

2. Por el Teorema en la Ecuación de la Forma de los dos Puntos, la ecuación del lugar geométrico es:

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y 0 0b  xa a0

ay  bx  ab

3. De donde obtenemos:

x y  1 a b

:

(Figueroa; 2002)

Forma General Cualquier ecuación de primer grado en X e Y se puede escribir de la forma:

Ax  By  C  0 En donde A, B y C son constantes arbitrarias, con Ay B no nulas simultáneamente.

CASOS Caso 01: Si

A  0, B  0

y

C0

, la ecuación general se puede escribir de la

forma:

y

A C x B B

Comparando con la ecuación Geometría Analítica

, se deduce que: Página 6

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m

A B

Y

b

C A

Caso 02: Si

A  0, B  0

C 0

y

y

A x B

, la ecuación general toma la forma:

O

y  mx

Se dice entonces que la recta pasa por el origen de coordenadas.

Caso 03:

A  0, B  0

x

y

C A

C0

O

, la ecuación general toma la forma:

xa

Se dice entonces que la recta es vertical, de pendiente indefinida o paralela al eje Y.

Caso 04: Si

A  0, B  0

y

C B

y C  0 , la ecuación general toma la forma: O

y b

Se dice entonces que la recta es horizontal, de pendiente cero o paralela al eje Y.

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Posiciones Relativas de Dos Rectas

Dadas las ecuaciones de Dos Rectas

L1

:

A1 x  B1 y  C1  0

L2

:

A2 x  B2 y  C2  0

Las Relaciones siguientes son condiciones necesarias suficientes para:

→ Paralelismo:

A1 B1  A2 B2

A1B2  A2 B1  0

O sea,

→ Perpendicularidad:

A1 A2  B1B2  0

→ Coincidencia:

A1  KA2

,

B1  KB2

,

C1  KC2

,

K 0

→ Intersección en uno y solamente un punto:

A1 B1  A2 B2 (Lehmann; 2002)

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Distancia de un Punto a una Recta

A continuación se presenta la Demostración de la fórmula que determina la distancia de un punto a una recta, gracias a la contribución de Peterson (1998):

L1

1° Hallamos “m”, de

ax  by  c  0 y

 ax c  b b

m1 

Entonces: 2°

a b

L1  L'

m1 .m '  1 m' 

b a

3° Hallamos la Ecuación:

y  y1  m( x  x1 ) y  y1 

b ( x  x1 ) a

a( y  y1 )  bx  bx1 ay  ay1  bx  bx1

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4° Formamos un Sistema

a

b

b

a

  a 2  b 2  ( a 2  b 2 )

ay  ay1  bx  bx1 ax  by  c  0 ax  by  c  0 ax  ay  bx1  ay1 ax  by  c bx  ay  bx1  ay1

x

c

b

bx1  ay1

a

 ca  (b 2 x1  aby1 )

 b 2 x1  aby1  ac  (b 2 x1  aby  ac)

y

a

c

b bx1  ay1

 a (bx1  ay1 )  bc

 a 2 y1  abx1  bc  (a 2 y1  abx1  bc)

x

x

 (b 2 x1  aby1  ac) (b 2 x1  aby1  ac)    (a 2  b 2 ) (a 2  b 2 )

y

y

 (a 2 x1  aby1  bc) (a 2 x1  aby1  bc)    (a 2  b 2 ) a2  b2

pero : d 2  d 2 (Q, Q ´ )  ( X  X 1 ) 2  (Y  Y1 ) 2

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Entonces:

b 2 x  aby1  ac x  x1   x1 2 2 a b 2 b x1  abx1  ac  a 2 x1  b 2 x1  a2  b2  a (ax1  by1  c)  a2  b2 a 2 y1  abx1  bc y  y1   y1 a2  b2 a 2 y1  abx1  bc  a 2 y1  b 2 y1  a2  b2  b(ax1  by1  c)  a2  b2 Por tanto:

a 2 (ax1  by1  c) 2 ( x  x1 )  (a 2  b 2 ) 2 2

b 2 (ax1  by1  c) 2 (a 2  b 2 ) 2

(ax1  by1  c) 2 2 ( x  x1 )  ( y  y1 )  .( a  b 2 ) 2 2 2 2 (a  b ) 2

2

 ax  by  c  ( x  x1 )  ( y  y1 )   1 2 1 2   a b  2

d

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2

2

ax1  by1  c a 2  b2 Página 11


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