Matematika7

Водич Кратак тест за проверу претходно усвојених знања

Кључни појмови

Обрада новог градива

Додатна објашњења дефиниција и правила

Решени задаци који помажу у разумевању градива

Тематски садржај Uvod u teme

Mnogougao

Realni brojevi..............................................................4–5 Pitagorina teorema................................................ 30–31 Celi i racionalni algebarski izrazi....50–51, 92–93 Mnogougao................................................................. 72–73 Zavisne veli~ine i wihovo grafi~ko predstavqawe.................................................. 116–117 Krug........................................................................ 146–147 Sli~nost trouglova............................................. 166–167

Mnogougao, stranice i dijagonale........................ 74–76 Zbir uglova mnogougla............................................ 77–79 Pravilni mnogouglovi.

Konstrukcija pravilnih mnogouglova.............. 80–85 Obim i povr{ina mnogouglova............................. 86–88

Realni brojevi

Pravougli koordinatni sistem u ravni........... 118–121 Rastojawe izme|u dve ta~ke.

Koordinate sredi{ta du`i........................... 122–124 Primeri zavisnih veli~ina i wihovo grafi~ko predstavqawe............... 125–128 Direktno proporcionalne veli~ine................ 129–134 Obrnuto proporcionalne veli~ine................. 135–137 Proporcija. Primena proporcija u direktnoj i obrnutoj proporcionalnosti........................................ 138–144

Skup racionalnih brojeva............................................66 Kvadrat racionalnog broja...................................... 9–12 Pojam kvadratnog korena....................................... 13–15 Pojam iracionalnog broja..................................... 16–18 Skup realnih brojeva.

Realni brojevi i brojevna prava..........19–22, 27–28 Operacije s kvadratnim korenima....................... 23–26

Pitagorina teorema Pitagorina teorema................................................ 32–34 Primena Pitagorine teoreme na kvadrat i pravougaonik, na jednakostrani~ni i jednakokraki trougao, na romb i trapez.......... 35–44 Konstrukcija ta~aka na brojevnoj pravoj............ 45–47

Celi i racionalni algebarski izrazi Stepen ~iji je izlo`ilac prirodni broj............. 52–53 Mno`ewe i deqewe stepena istih osnova........... 54–56 Stepen proizvoda brojeva.

Stepen koli~nika dva broja.............................. 57–58 Racionalni algebarski izrazi............................. 59–60 Monom. Zbir monoma.............................................. 61–63 Polinom.................................................................... 64–65 Sabirawe polinoma................................................ 66–67 Oduzimawe polinoma............................................. 68–69 Mno`ewe monoma monomom.

Mno`ewe polinoma monomom ......................... 94–99 Proizvod dva polinoma .................................... 100–104 Zajedni~ki ~inilac monoma.............................. 105–106 Rastavqawe polinoma na ~inioce – primena svojstva distribucije, kvadrata binoma i razlike kvadrata........... 107–112 Rastavqawe polinoma – primena u jedna~inama............................... 113–114

Zavisne veli~ine i wihovo grafi~ko predstavqawe

Krug Centralni i periferijski ugao....................... 148–151 Obim kruga........................................................... 152–154 Du`ina kru`nog luka.......................................... 155–157 Povr{ina kruga................................................. 158–1159 Povr{ina kru`nog ise~ka i kru`nog prstena........................................... 160–163

Sli~nost trouglova Razmera du`i....................................................... 168–171 Podela du`i na jednake delove......................... 172–174 Sli~nost trouglova............................................. 175–182

I to je matematika.................. 29, 48, 70, 89–90, 164,

183–185

Zapamti..................... 29, 49, 71, 91, 115, 145, 165, 185 Rezultati i uputstva...................................... 186–196 Prilozi.............................................................. 197–200

Реални бројеви Prema do sada prona|enim zapisima, mo`e se zakqu~iti da su se do 500. godine pre nove ere matemati~ari ug­ lavnom bavili brojevima. Drevnu egipatsku, vavilonsku i kinesku matematiku ~inila je najve}im delom aritme­ tika.

Diofant

Izme|u 500. godine pre nove ere i 300. godine nove ere matematika je prevazi{la samo prou~avawe brojeva. Grci su razvili ideju o tome da se precizno formulisana matemati~ka tvr|ewa mogu logi~ki dokazati. Pret­ postavqa se da je Diofant prvi koristio posebne oznake za obele`avawe nepoznatih u jedna~inama, za stepe­ novawe, kao i simbole za oduzimawe i jednakost.

Priroda matematike posle Grka nije se mewala do XVII veka, kada su Isak Wutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic, nezavisno jedan od drugog, otkrili integralni i diferencijalni ra~un. U osnovi, ti ra~uni prou~avaju pokret i promenu.

Nove tehnike omogu}ile su matemati~arima da istra`uju kretawe planeta, gravitaciju, rad ma{ina, protok te~nosti, letewe, rast biqaka i `ivotiwa, kao i kretawe novca i profita.

G. V. Lajbnic I. Wutn

Danas se nijedan tehni~ki poduhvat ne mo`e zamisliti bez matematike, od gradwe puteva, ­mostova, preko projektovawa elektronskih ~ipova, do genetskog in`eweringa.

Od svojih po~etaka, kada se matematika bavila samo ­brojevima, do danas je prerasla u nauku koja ~ini preko {ezdeset oblasti.

4

U narednim lekcijama u~i}e{ o: • kvadratu racionalnog broja • skupu realnih brojeva • operacijama i svojstvima koji va`e u skupu realnih brojeva • kvadratnom korenu nenegativnog broja • operacijama s kvadratnim korenima.

1

2

3

4

5

Izra~unaj. a) (–4)2

b) –(–4)2

v) –42

2 Vrednost izraza 1 − 1 ⋅ (−2) je: 2 2 3 3 b) 0 v) a) − 2 2 Koji je odgovor ta~an?

Vrednost izraza 1 − 1 x za x = –3 je: 3 a) -2 b) 0 v) 2 Koji je odgovor ta~an?

Re{ewe jedna~ine 5 – 5x = 25 je: a) -6 b) -4 v) 0 g) 4 Koji je odgovor ta~an?

d) 6

Broj 1 zapisan u obliku decimalnog broja je: 2 b) 0,5 v) 1,2 a) 0,12 Koji je odgovor ta~an?

5

Скуп рационалних бројева – децимални запис • коначан децимални запис рационалног број • периодичан децимални запис рационалног броја 1

U tri fla{ice zapremine od 0,33 l ima: a) mawe od 1 l soka b) ta~no 1 l soka Koji je odgovor ta~an?

v) vi{e od 1 l soka

0.33 l

2

Napi{i u obliku nesvodqivog razlomka, kao {to je zapo~eto. a) 0,35 = 35 = 7 100 20 b) 0,5 v) 0,12

0.33 l

0.33 l

Za razlomak 7 ka`emo da je nesvodqiv 20 jer je za brojeve 7 i 20 najve}i zajedni~ki delilac jednak broju 1.

g) 1,08 3

4

Broj 0,0002 zapisan u obliku razlomka je: 1 1 1 b) 5 000 v) 50 000 a) 500 Koji je odgovor ta~an?

Broj − 3 napisan u obliku decimalnog broja je: 4 a) –3,4 b) –7,5 v) –0,75 g) –4,3 Koji je odgovor ta~an?

5

Deqewem brojioca imeniocem ­razlomak mo`e{ zapisati u obliku decimalnog broja. Na primer: 3 = 3 : 8 = 0,675 8

Napi{i u obliku decimalnog broja: b) 1 a) −2 4 9 5

Periodi~an decimalni broj Razlomak mo`emo predstaviti decimalnim zapisom tako {to brojilac pode­ limo imeniocem. Taj postupak deqewa ~esto nije kona~an, {to zna~i da se jedna cifra ili grupa cifara bezbroj puta ponavqa. Tada ka`emo da se razlomak prikazuje periodi~nim decimalnim zapisom.

6

Na primer: 1 = 1 : 3 = 0,33…

3 –0 10 –9 10 –9 1 …

Proces ovog deqewa se ne zavr{ava, jer je ostatak uvek 1. Dobijeni koli~nik je broj u kojem se cifra 3 ponavqa bezbroj puta.

U decimalnom broju 0,25252525… ponavqaju se dve cifre, 2 i 5. U broju 3,256256… ponavqa se grupa cifara 256.

Cifru ili grupu cifara koje se ponavqaju obi~no zapisujemo tako {to te cifre nadvu~emo. Na primer: 0,33... = 0,3

0,25252525… = 0,25

3,256256… = 3,256

Svaki racionalan broj mo`emo zapisati u obliku kona~nog ili periodi~nog decimalnog broja.

6

Napi{i razlomak u obliku decimalnog broja, kao {to je zapo~eto. a) 2 = 2 : 7 = 0,285714285714285714… = 0,285714 7 b) 17 = 0,171717… = 0,17 99 v) 4 9 15 g) 11

7

a) Razlomak 5 napi{i u obliku decimalnog broja.

6 b) Koliko se cifara ponavqa u decimalnom ­zapisu razlomka 5 ?

6 • jedna • dve • tri

8

U periodi~nom decimalnom broju 0,1666… ponavqa se jedna cifra – cifra 6.

0,1666… = 0,16

Koja je ponuda keksa najpovoqnija? a)

b)

280 din.

v)

430 din.

880 din.

7

Појам ирационалног броја. Број 2 • ирационалан број 2 • бесконачан непериодичан децимални запис броја • с куп ирационалних бројева 1

a) Kolika je stranica kvadrata MNPQ? b) Kolika je povr{ina kvadrata MNPQ? v) Kolika je povr{ina kvadrata ABCD? g) I zmeri stranicu kvadrata ABCD u milimetrima.

Q

C

P B

D M

A

N

1 cm2

Broj 2 Povr{ina kvadrata ABCD u zadatku 1 je 2 cm2.

C

Pitawe koje nam se name}e jeste kako izra~unati stra­nicu kvadrata ~ija je povr{ina 2 cm2.

2

D

Nau~ili smo da na osnovu povr{ine kvadrata izra­~una­vamo wegovu stranicu primewuju}i operaciju korenovawa, to jest re{avaju}i jedna~inu: a2 = 2

B

A

a= 2 Na{ zadatak jeste da prona|emo broj ~iji je kvadrat jednak 2.

Prvi korak Du`inu stranice kvadrata pomo}u {estara prenosimo na brojevnu pravu (vidi sliku). Tako odre|ujemo ta~ku R ~ija je koor­di­nata 2.

Na osnovu crte`a zakqu~ujemo da je 1 < 2 < 2 , to jest 2 nije ceo broj. Treba prona}i prvu decimalu.

–3

2

–2

–1

0

1 R 2

Drugi korak Delimo deo brojevne prave izme|u brojeva 1 i 2 na 10 jednakih delova.

Ra~unamo kvadrat svakog od brojeva: 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 … 1,9; 2 i tra`imo onaj broj ~iji je kvadrat 2.

16

3

1,12 = 1,21 1,22 = 1,44 1,32 = 1,69 1,42 = 1,96 –3 –2 1,52 = 2,25 1,62 = 2,56 …

2 2 =4 Zakqu~ujemo da je: 1,42 < 2 < 1,52 1,4 < 2 < 15 ,

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

–1

0

R

1

2

U decimalnom zapisu broja 2 prva decimala je 4, to jest 2 = 1,4…

Treba prona}i drugu decimalu.

Tre}i korak Postupak nastavqamo. Interval od 1,4 do 1,5 delimo na deset jednakih delova. Ra~unamo kvadrat svakog od brojeva: 1,41; 1,42; 1,43 … 1,49; 1,5 i tra`imo onaj broj ~iji je kvadrat 2.

1,412 = 1,9881 1,422 = 2,0164 1,432 = 2,0449 1,52 = 2,25 …

2 2 =4

1,40 1,41 1,42 1,43 1,4

–3

–2

–1

0

1

R

2

Zakqu~ujemo da je: 1,412 < 2 < 1,422 1,41 < 2 < 1,42 U decimalnom zapisu broja 2 druga decimala je 1, to jest 2 = 1,41...

Treba prona}i tre}u decimalu.

Ako postupak nastavimo i interval od 1,41 do 1,42 podelimo na deset jednakih delova, zakqu~i}emo da je: 1,4142 = 1,999396 1,4152 = 2,002225 to jest: 1,4142 < 2 < 1,4152 1,414 < 2 < 1,415 2 = 1,414...

Uporedi rezultat u zadatku 1 g) s dobijenom vredno{}u 2 ≈ 1,414.

Ako bismo nastavili sa ovim postupkom, uvideli bismo da se 2 mo`e predstaviti decimalnim zapisom koji ima neograni~en broj decima­ la, a nije pe­­ri­odi~an.

2 = 1,41421356237… pa se takav broj ne mo`e napisati u obliku razlomka.

Isto va`i i za brojeve 3, 5, 7... i za brojeve wima suprotne: − 3, − 5, − 7...Takve brojeve nazivamo iracionalnim brojevima.

17

Растојање између две тачке. Координате средишта дужи • растојање између две тачке • координате средишта дужи 1

Koliko jedini~nih du`i iznosi rastojawe izme|u ta~aka: a) A i B

b) C i D

v) E i D?

A -4

-3

B -2

-1

0

D

C

E 1

2

4

3

5

6

Rastojawe izme|u ta~aka koje pripadaju istoj koordinatnoj osi Rastojawe izme|u ta~aka u koordinatnoj ravni naj~e{}e izra`avamo u jedini~nim du`ima. a) Date su ta~ke A(x1, 0) i B(x2, 0)

b) Date su ta~ke A(0, y1) i B(0, y2).

AB = y 2 − y1

A(x1, 0)

B(x2, 0)

x1

x2

y2 y1

B(0, y2) A(0, y1)

Rastojawe izme|u wih ra~unamo: AB = x 2 − x1 Na primer, rastojawe izme|u ta~aka P(-2, 0) i Q(4, 0) ra~unamo: PQ = −2 − 4 = 6

Na primer, rastojawe izme|u ta~aka C(0, -3) i D(0, 1) ra~unamo: CD = 1 − (−3) = 4

y

y

P(–2, 0) –2

Q(4, 0) 1

4 x

C(0, 1) x

D(0, –3)

122

2

Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka A i B. a) b) y

Primeni Pitagorinu teoremu.

y A(–3, 4) 4

B 3

3

2

A 1 1

3

4

B(1, 1) x

4

–3

1

x

Izra~unavawe rastojawa izme|u dve ta~ke u koordinatnoj ravni Date su ta~ke A(x1, y1) i B(x2,y2) na slici.

y2

Uo~imo da je trougao ABC pravougli trougao, s pravim uglom kod temena C. Primenom Pitagorine teoreme dobijamo:

y1

B(x2, y2) y2 – y1 A(x1, y1)

AB2 = (x 2 − x1) + ( y 2 − y1) 2

x2 – x1

C(x2, y1)

2

x1

AB = (x 2 − x1) + ( y 2 − y1) 2

2

x2

y

Na primer, rastojawe izme|u ta~aka A(-3, 4) i B(1, 1) je: 2

2

A(–3, 4) 4

2

AB = (–3 – 1) + (4 + 1) AB2 = (–4)2 + 32

B(1, 1)

AB2 = 16 + 9

1

AB2 = 25

1

–3

x

AB = 5 3

Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka A i B ako je du`ina jedini~ne du`i 1 cm. a) b) y y –2 –2

3 –1 –1

B

x B

Koliko jedini~nih du`i ima du` PQ ako je: a) P(0, -15), Q(8, 0)

5

2

x

–1

A

4

A

3

b) P(1,2; -2), Q(2,8; -5)?

Ako je jedini~na du` du`ine 0,5 cm, kolika je du`ina du`i PQ: a) P(0, -15), Q(8,0)

b) P(1,2; -2), Q(2,8; -5)

Ako jedini~na du` u centimetrima ima du`inu 0,5 cm, onda du` od 5 jedini~nih du`i ima du`inu 5 ⋅ 0,5 cm = 2,5 cm.

123

6

Odredi koordinate sredi{ta S du`i AB. a)

b)

y A

S

3

–1

A

B x

v)

y

–4

S

B 0

y 2

x

A

B

y a

S

x1

Koordinatu yS sredi{ta S(a, yS) du`i ~ije su krajwe ta~ke A(a, y1) i B(a, y2) ra~unamo po formuli: y1 + y 2 2

–2

x2 x

y A

y1 ys

a S

y2

B

y y2 ys S A

Koordinate ta~ke S(xS,yS) ra~unamo: x + x2 y + y2 xs = 1 , ys = 1 2 2 7

x

B

xs

Odre|ivawe koordinata sredi{ta du`i Ta~ka S(xS, yS) jeste sredi{te du`i AB na slici. Posmatrajmo pravougli trougao ABC. Znamo da se simetrale kateta AC i CB seku u sredi{tu S hipotenuze AB. Na osnovu toga zakqu~ujemo da koordinata x sredi{ta du`i AC jeste xS i da koordinata y sredi{ta du`i CB jeste yS.

1 S

x

B

–1

y

A –2

S

1

Koordinatu xS sredi{ta S(xS, a) du`i ~ije su krajwe ta~ke A(x1, a) i B(x2, a) ra~unamo po formuli: x + x2 xs = 1 2

ys =

g)

A

x2

y1

B C xs

x1 x

Odredi sredi{te du`i PQ i napi{i wegove koordinate. a) P(-12, -10), Q(8, 4)

b) P(1,5; -2), Q(-2,3; 6)

Провери шта знаш 1. Izra~unaj rastojawe izme|u ta~aka: a) P(-12, -10) i Q(8, 4) b) P(1,5; -2) i Q(-2,3; 6) 2. Izra~unaj du`inu otvorene izlomqene linije ABC ako je: a) A(2, 4), B(-4, 4), C(-4, -2) b) A(2, 1), B(-5, 2), C(-4, 2) v) A(-2, 4), B(-2, -4), C(0, -2) g) A(0, 4), B(-4, 0), C(0, -4) 3. Izra~unaj koordinate sredi{ta du`i AB ako je: a) A(-2, 4), B(-4, -4) b) A(0, 5), B(-5, 0) v) A(0, 0), B(-4, 4)

124

g) A(2,6; 4), B(-6; 4,2)

Примери зависних величина и њихово графичко представљање • зависне величине • графичко представљање зависних величина 1

Zbir dva broja je 123. Ako sa x obele`imo jedan sabirak, koji izraz odgovara drugom sabirku? a) x - 123

2

v) 123 - x

b) x + 123

Popuni tabelu ako je a du`ina stranice jednakostrani~nog trougla, a O wegov obim. a (dato u cm)

1

1,5

4

6,5

O (dato u cm)

Na osnovu prethodnog zadatka mo`e{ primetiti da se obim jedna­ ko­strani~nog trougla mewa kada se mewa du`ina wegove stranice.

Za stranicu i obim datog trougla ka`emo da su zavisne veli~ine jer se pri promeni jedne veli~ine mewa i druga. ^esto se sre}emo s veli~inama kod kojih se pri promeni vrednosti jedne od wih mewa i vrednost druge.

Za svaku mogu}u vrednost jedne veli~ine postoji woj odgovaraju}a vrednost druge veli~ine. U tom slu~aju ka`emo da su to me|usobno zavisne veli~ine.

Na primer: – Cena vozne karte zavisi od relacije na kojoj putujemo.

– Potro{wa goriva zavisi od pre|enih kilometara.

– Povr{ina kvadrata zavisi od du`ine stranice.

– Kamata zavisi od kapitala.

3

Ako se u zadatku 1 prvi sabirak pove}ava onda se drugi sabirak: a) pove}ava

b) smawuje

v) ne mewa.

Koji je odgovor ta~an?

125

4

U koordinatnom sistemu prikazane su jutarwe temperature vazduha u Bademovcu.

Ovo je grafi~ki prikaz dve zavisne veli~ine.

температура (°C)

7 6 5 4 3 2 1 0

пон уто сре чет пет суб нед

дани у недељи

a) Kog je dana u nedeqi temperatura bila najvi{a? b) Kolika je temperatura izmerena u ~etvrtak? v) Kog je dana izmerena temperatura od 0°C? g) Koliko je puta izmerena temperatura od 5°C ?

5

Porodica Vukovi} krenula je kolima od Beograda do Subotice i nazad. Na grafikonu je prikazana udaqenost d (data u kilometrima) od Beograda u zavisnosti od proteklog vremena t (datog u satima). a) Novi Sad je od Beograda udaqen 84 km.

Koliko je sati putovala do Novog Sada? b) Koliko se sati porodica Vukovi} zadr`ala u Novom Sadu? ko je porodica Vukovi} iz Beograda v) A krenula u 8 sati ujutru, u koliko je sati stigla u Suboticu? g) K oliko je kilometara Subotica udaqena od Beograda? d) Koliko je vremena ova porodica provela u Subotici? |) Koliko je sati trajao povratak u Beograd?

d 190 178 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1

2 3 4

5 6 7

8 9 10 11

Neka su x i u zavisne veli~ine. Ako tim veli~inama pridru`imo ta~ke u koor­ di­natnoj ravni za neke izra~unate ili izmerene vrednosti, kao u primeru datom u zadatku 5, dobijamo grafi~ki prikaz te zavisnosti. Skup dobijenih ta~aka u koordinatnoj ravni nazivamo grafik zavisnosti veli~ina x i y. Grafi~ki prikazi ~esto se ko­riste za prikazivawe zavisnosti dve veli~ine. Sa grafika mo`emo ~itati razli~ite informacije.

126

t