Demostraci´on: ||µ ||µ||2
2xµ, νy
ν||2 ¤ p||µ||
||ν||q2
||y||2 ¤ ||µ||2
2||µ|| ||ν||
||y||2
xµ, νy ¤ ||µ|| ||ν||
Cumpliendose usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz N´otese que la igualdad en e´ sta propiedad de la norma se mantiene de nuevo si y solo si los vectores µ y ν son linealmente dependientes.
Ortogonalidad Definici´on 4. Sea V un espacio prehilbertiano: Ref: [6] 1. Dos vectores µ, ν P V son ortogonales si y solo si xµ, νy = 0 2. Un conjunto de vectores {µ1 , µ2 . . . µn } es ortogonal si µi K µ j
@ i, j P r1..ns e i j
Ejemplo 2. Dos vectores ortogonales respecto al producto interno de vectores, es decir, el producto punto
1 1
1 1
0
Teorema 3. Si un conjunto de vectores {µ1 . . . µk u P Rn es ortogonal para cada con µi conjunto es linealmente independiente. Demostraci´on: Consid´erese la relaci´on lineal α1 µ1 producto punto µi en ambos lados de la ecuaci´on µi pα1 µ1
α2 µ2
α2 µ2
αk µk
0.
Si i P r1 . . . ks, aplicando el
αk µk q µi 0
µiαiµi µiαk µk 0 α1 pµi µ1 q α2 pµi µ2 q αi pµi µi q αk pµi µk q 0 αi pµi µi q 0 cuya u´ nica soluci´on es αi 0 cumpliendose la propiedad (4) del producto interno. µi α1 µ1
µi α2 µ2
6
0, entonces el