negativo. Así mismo en el intervalo 2, ∞ se puede tomar como elemento de prueba x=4, con el cual al evaluar el factor 2 se obtiene un valor positivo, tal como se indico anteriormente. Esta variación de signos la representamos en una tabla, donde la primera línea se usará para mostrar el conjunto de los números reales y los intervalos que se forman y la segunda línea para indicar la variación de signos del factor que se está analizando, se acostumbra usar signo + para los factores positivos y signo − para factores negativos. La tabla para este factor es la siguiente: −∞, 2 2, +∞ x x−2 − + Se hace lo mismo con el factor x + 1 y se obtiene la siguiente tabla: 1
∞, 1
1, ∞
Para colocar la información de las dos tablas anteriores en una sola, habrá que modificar los intervalos de manera que se incluyan las dos raíces y todas las variaciones de signo. Los intervalos modificados son: −∞, −1, −1, 2 y 2, +∞. La nueva tabla además de resumir la información anterior, tendrá una fila más para incluir el signo del producto de los dos factores. Así: 2 1 2 1
∞, 1
1, 2
2, ∞
Esta última fila, se llena usando la ley de signos para el producto de dos números reales. Por ejemplo en el intervalo −∞, −1, ambos factores son negativos por lo que el producto será positivo; en el intervalo −1, 2, un factor es positivo y otro negativo, luego el producto es negativo. Al completar la tabla se tiene el signo del producto: 2 1 2 1
∞, 1
1, 2
Paso 5: Ya que lo que se está buscando es resolver la desigualdad
2, ∞
(x − 2)(x + 1) ≤ 0,
se observa, en la tabla, el o los intervalos donde se cumple la desigualdad estricta x − 2x + 1 < 0, este es el intervalo −1, 2 . Observe que es un intervalo abierto y que la ecuación x − 2x + 1 = 0 se satisface exactamente en los extremos de este intervalo, es decir en los valores x = −1 y x = 2. Por lo tanto la desigualdad débil x − 2x + 1 ≤ 0, se cumple en el intervalo cerrado −1, 2. Así la solución de la desigualdad original 2x 2 − 3x − 2 ≤ x 2 − 2x , son todos los valores de x en el intervalo −1, 2.