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Desigualdades cuadrĂĄticas y fraccionarias de una variable. Una desigualdad cuadrĂĄtica en la variable x , es un enunciado que involucra dos expresiones, separadas por uno de los signos de desigualdad: >, <, â&#x2030;¤ o â&#x2030;Ľ; y que puede ser llevada a una expresiĂłn de la forma:        0 donde a, b y c son constantes y  0 (1) La forma (1) incluye las otras variantes del signo de desigualdad: ,  Ejemplos: 1. 3x 2 + 2x + 1 > 0, es una desigualdad cuadrĂĄtica en la variable x . 2. xî&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; 2î&#x201A;Ł + 5 â&#x2030;¤ 5x + 3, es tambiĂŠn una desigualdad cuadrĂĄtica en la variable x , ya que puede llevarse a la forma (1) 3. t 2 + t + 1 < 0, es una desigualdad cuadrĂĄtica en la variable t . Para resolver una desigualdad cuadrĂĄtica, seguimos los siguientes pasos Paso 1: Llevar la desigualdad a la forma ax 2 + bx + c > 0, o con el signo que corresponda, utilizando las Reglas para las desigualdades que ya se conocen. Paso 2: Factorizar la expresiĂłn de la izquierda aî&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; r 1 î&#x201A;Łî&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; r 2 î&#x201A;Ł > 0 Paso 3: Con las raĂ­ces r1 y r2 determinar los intervalos de anĂĄlisis. Paso 4: Analizar el signo de cada factor, en cada intervalo de anĂĄlisis, para determinar el signo del producto a( x â&#x2C6;&#x2019; r1 )( x â&#x2C6;&#x2019; r2 ) en cada intervalo. Paso 5: Determinar los intervalos donde la desigualdad es verdadera. Ejemplo 1. Encontrar el conjunto de nĂşmeros reales que resuelven la desigualdad 2x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2030;¤ x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2x

Paso 1: Aplicando las reglas para las desigualdades se obtienen las desigualdades equivalentes 2x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2030;¤ x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2x 2x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; x 2 + 2x â&#x2030;¤ 0 se suma a ambos lados â&#x2C6;&#x2019;x 2 + 2x x2 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2030;¤ 0 estĂĄ en la forma (1) Paso 2: Se factoriza la expresiĂłn cuadrĂĄtica î&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; 2î&#x201A;Łî&#x201A;˘x + 1î&#x201A;Ł â&#x2030;¤ 0 Pasos 3 y 4: Note que la expresiĂłn anterior tiene dos raĂ­ces, es decir dos valores donde la expresiĂłn es igual a cero: x = 2 y x = â&#x2C6;&#x2019;1. Cada uno de estos valores define la variaciĂłn de signos del factor de la siguiente manera. El factor î&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; 2î&#x201A;Ł se anula en   2, esta raĂ­z divide a los nĂşmeros reales en dos intervalos î&#x201A;˘â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 2î&#x201A;Ł y î&#x201A;˘2, +â&#x2C6;&#x17E;î&#x201A;Ł. Para valores en el intervalo î&#x201A;˘â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 2î&#x201A;Ł , el factor î&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; 2î&#x201A;Ł , es negativo y para valores en el intervalo î&#x201A;˘2, +â&#x2C6;&#x17E;î&#x201A;Ł , el factor î&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; 2î&#x201A;Ł , es positivo. Lo anterior se puede comprobar tomando un elemento cualquiera del intervalo y evaluando en el factor. Por ejemplo en el intervalo â&#x2C6;&#x17E;, 2 se puede tomar como elemento de prueba a x=0, ya que 0  â&#x2C6;&#x17E;, 2. Al evaluar el factor   2 en x=0 se obtiene un valor

negativo. Así mismo en el intervalo 2, ∞ se puede tomar como elemento de prueba x=4, con el cual al evaluar el factor   2 se obtiene un valor positivo, tal como se indico anteriormente. Esta variación de signos la representamos en una tabla, donde la primera línea se usará para mostrar el conjunto de los números reales y los intervalos que se forman y la segunda línea para indicar la variación de signos del factor que se está analizando, se acostumbra usar signo + para los factores positivos y signo − para factores negativos. La tabla para este factor es la siguiente: −∞, 2 2, +∞ x x−2 − + Se hace lo mismo con el factor x + 1 y se obtiene la siguiente tabla:  1

∞, 1 

1, ∞ 

Para colocar la información de las dos tablas anteriores en una sola, habrá que modificar los intervalos de manera que se incluyan las dos raíces y todas las variaciones de signo. Los intervalos modificados son: −∞, −1, −1, 2 y 2, +∞. La nueva tabla además de resumir la información anterior, tendrá una fila más para incluir el signo del producto de los dos factores. Así:  2 1   2  1

∞, 1  

1, 2  

2, ∞  

Esta última fila, se llena usando la ley de signos para el producto de dos números reales. Por ejemplo en el intervalo −∞, −1, ambos factores son negativos por lo que el producto será positivo; en el intervalo −1, 2, un factor es positivo y otro negativo, luego el producto es negativo. Al completar la tabla se tiene el signo del producto:  2 1   2  1

∞, 1   

1, 2   

Paso 5: Ya que lo que se está buscando es resolver la desigualdad

2, ∞   

(x − 2)(x + 1) ≤ 0,

se observa, en la tabla, el o los intervalos donde se cumple la desigualdad estricta x − 2x + 1 < 0, este es el intervalo −1, 2 . Observe que es un intervalo abierto y que la ecuación x − 2x + 1 = 0 se satisface exactamente en los extremos de este intervalo, es decir en los valores x = −1 y x = 2. Por lo tanto la desigualdad débil x − 2x + 1 ≤ 0, se cumple en el intervalo cerrado −1, 2. Así la solución de la desigualdad original 2x 2 − 3x − 2 ≤ x 2 − 2x , son todos los valores de x en el intervalo −1, 2.

Ejemplo 2 Resolver la desigualdad 2x 2 − 7x + 3 > 0. La desigualdad ya se encuentra en la forma canónica, entonces se procede a factorizarla 2x − 1x − 3 > 0 1 y luego se construye la tabla. El miembro izquierdo tiene dos raíces x = 2 y x = 3, de 1 1 manera que se forman 3 intervalos: −∞, 2  ,  2 , 3 , 3, +∞. Estos intervalos permiten construir la tabla de signos.



2  1 3 2  1  3

1 ∞,  2   

1  , 3 2   

3, ∞   

De acuerdo a la tabla, la desigualdad 2x − 1x − 3 > 0, se cumple en los intervalos −∞, 12  y 3, +∞. Ya que la desigualdad es estricta, no se incluyen los extremos de los intervalos y dado que en ambos intervalos se satisface la desigualdad, la solución es la unión de los dos intervalos. Es decir todos los valores de x en el conjunto −∞, 12  ∪ 3, +∞. Este método de analizar el signo para encontrar la solución de una desigualdad, se aplica no sólo a desigualdades cuadráticas, sino a desigualdades de grado mayor o igual a 2, como la del siguiente ejemplo. Ejemplo 3 Encuentre el conjunto solución de la desigualdad x 4 ≥ 1.

Los pasos a seguir son los mismos que para desigualdades cuadráticas, así es que se comienza por escribir la desigualdad comparando con cero: x 4 − 1 ≥ 0. 2 Luego se factoriza x − 1x + 1x + 1 ≥ 0 y se encuentran las raíces de cada factor. Las raíces de x − 1  y x + 1  son x = 1 y x = −1, respectivamente. El factor x 2 + 1 es irreducible (no tiene raíces reales). Por tanto se construye la tabla con las únicas dos raíces: 1 y −1 ; los intervalos son: −∞, −1 , −1, 1  y 1, +∞.  1 1   1   1  1   1

∞, 1    

1, 1    

1, ∞    

Observe que el factor x 2 + 1, es positivo en cualquier número real que se evalúe. Para resolver x 4 − 1 > 0, la tabla indica que esto ocurre en −∞, −1 y 1, +∞. Por tanto, la solución a la desigualdad x 4 ≥ 1 son todos los valores de x en el conjunto −∞, −1 ∪ 1, +∞.

Otro caso en que puede aplicarse este procedimiento, es en desigualdades fraccionarias, es decir cuando al menos un miembro de la desigualdad es un cociente de dos polinomios. Ejemplo 4

Resolver la desigualdad

6 < xâ&#x2C6;&#x2019;2 xâ&#x2C6;&#x2019;1

6 â&#x2C6;&#x2019; î&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; 2î&#x201A;Ł < 0, Primero la llevamos a la forma canĂłnica (comparar con cero) x â&#x2C6;&#x2019; 1 esta expresiĂłn es equivalente a cada una de las siguientes

â&#x2C6;&#x2019;x 2 + 3x + 4 < 0, xâ&#x2C6;&#x2019;1

efectuando la suma,

â&#x2C6;&#x2019;î&#x201A;˘x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 4î&#x201A;Ł < 0, factorizando â&#x2C6;&#x2019;1 xâ&#x2C6;&#x2019;1

x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 4 > 0, multiplicando por â&#x2C6;&#x2019;1 ambos lados de la desigualdad. xâ&#x2C6;&#x2019;1 Luego se factorizan las expresiones en el numerador y en el denominador y se obtiene î&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; 4î&#x201A;Łî&#x201A;˘x + 1î&#x201A;Ł >0 xâ&#x2C6;&#x2019;1 Se encuentran las raĂ­ces del numerador y las raĂ­ces del denominador: x = 1 , x = â&#x2C6;&#x2019;1 y x = 4. Con estos resultados se construye la tabla usando todos los factores, Recuerde que las leyes de signos se aplican igual si los factores estĂĄn multiplicando o dividiendo. Los intervalos que se forman son: î&#x201A;˘â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;1 î&#x201A;Ł , î&#x201A;˘â&#x2C6;&#x2019;1, 1 î&#x201A;Ł , î&#x201A;˘1, 4î&#x201A;Ł y î&#x201A;˘4, +â&#x2C6;&#x17E;î&#x201A;Ł y la tabla correspondiente es la siguiente:  4 1 1   4  1 1

â&#x2C6;&#x17E;, 1    

1, 1    

1, 4    

4, â&#x2C6;&#x17E;    

î&#x201A;˘x â&#x2C6;&#x2019; 4î&#x201A;Łî&#x201A;˘x + 1î&#x201A;Ł > 0, Por lo tanto, se deduce de la tabla que la desigualdad , se cumple en xâ&#x2C6;&#x2019;1 los intervalos î&#x201A;˘â&#x2C6;&#x2019;1, 1î&#x201A;Ł y î&#x201A;˘4, +â&#x2C6;&#x17E;î&#x201A;Ł. 6 < xâ&#x2C6;&#x2019;2 AsĂ­, la soluciĂłn a la desigualdad x â&#x2C6;&#x2019; 1 es el conjunto de todos los nĂşmeros reales en el conjunto î&#x201A;˘â&#x2C6;&#x2019;1, 1î&#x201A;Ł â&#x2C6;Ş î&#x201A;˘4, +â&#x2C6;&#x17E;î&#x201A;Ł. Ejercicios Resuelva cada desigualdad y escriba la soluciĂłn en forma de intervalo. 1.      12  0 2.    2  4 0 3.    4  4

4. 3  2  3  5 0 5. 3   3   6  0  ! 6. "  2 7.

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Desigualdades Cuadráticas de una variable