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Los modelos de línea de espera o Teoría de Colas Tienen una amplia aplicación en los negocios, por ejemplo: clientes que forman una cola en el banco o en un cajero automático o en un supermercados, productos que esperan ser inspeccionados o almacenados, autos que esperan en garitas de control , etc. Muchas veces la calidad y la rentabilidad de un negocio se define en cómo diseña de líneas de espera, es decir, cuánto tiempo deben esperar sus clientes, cuantas servidores debe contar el negocio, etc. de tal manera que la calidad del servicio sea adecuado. La Teoría de Colas brinda criterios de diseño, rendimiento y costos de diferentes tipos de líneas de espera y que deberán ser considerados para que el negocio funcione adecuadamente.

4.1 Modelo de línea de espera de un solo canal

con llegadas

Poisson y tiempos de servicio exponencial.

Supuestos del modelo El modelo de línea de espera con un solo canal considera los siguientes supuestos: 

   

Las llegadas de las unidades al sistema siguen una distribución de probabilidades de Poisson (λ = tasa media de llegadas del sistema). El tiempo de servicio del canal sigue una distribución de probabilidad exponencial (µ = tasa media de servicio del canal). La disciplina de la cola es: primeras llegadas, primeros servicios. La tasa media de servicio es mayor que la tasa media de llegada. El sistema opera en un estado estable.

Sistema Empleado

Llegada de los clientes Cola o línea de espera

Toma de pedidos y surtido de pedidos

El cliente se va después que el pedido se ha surtido

1

Características del modelo

1.

Número promedio de unidades en la línea de espera. Lq =

2.

λ2 µ ( µ − λ)

Número promedio de unidades en el sistema. λ λ = µ µ −λ

L = Lq +

3.

Tiempo promedio de una unidad en la línea de espera. Wq =

4.

Lq

λ

=

Tiempo promedio de unidad en el sistema. W = Wq +

5.

λ µ ( µ − λ)

1

µ

λ µ

Probabilidad de que no existan unidades en el sistema. P0 =1 −

7.

1 µ −λ

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar. PW =

6.

=

λ µ

Probabilidad de que haya n unidades en el sistema n

λ Pn =  µ  P0  

4.2 Modelo de línea de espera de múltiples canales con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. 2

Supuestos del modelo El modelo de línea de espera con múltiples canales considera los siguientes supuestos:        

Las líneas de espera tengan dos o más canales (k = número de canales ). Las llegadas sigan una distribución de probabilidades de Poisson (λ = tasa media de llegadas del sistema). El tiempo de servicio de cada canal siga una distribución de probabilidad exponencial (µ = tasa media de servicio de cada canal). La tasa media de servicio µ es la misma para cada uno de los canales. Las llegadas esperan en una sola línea de espera y entonces pasan al primer canal .abierto para su servicio. La disciplina de la cola es: primeras llegadas, primeros servicios. La tasa media de servicio (kµ) es mayor que la tasa media de llegada (λ). El sistema opera en un estado estable.

Sistema Canal 1

Empleado 1 Canal 2

Llegada de los clientes Cola o línea de espera

Empleado 2 . . .

Canal k

El cliente se va después que el pedido se ha surtido

Empleado k

3

Características del modelo 1. Probabilidad de que ninguna unidad se encuentre en el sistema: P0 =

1 k −1

∑ n =0

n

(λ / µ ) (λ / µ ) k + n! k!

 kµ     kµ − λ 

2. Número promedio de unidades en la línea de espera: Lq =

(λ / µ) k λµ (k −1)!(kµ − λ) 2

P0

3. Número promedio de unidades en el sistema: L = Lq +

λ µ

4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera: Wq =

Lq

λ

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en todo el sistema: W = Wq +

1

µ

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por servicio: k

Pw =

1 λ    k!   µ

 kµ    kµ − λ  P0  

7. Probabilidad de que existan n unidades en el sistema: Pn =

Pn =

(λ / µ ) n P0 n! (λ / µ ) n k! k ( n − k )

P0

para n ≤ k

para n > k

4

4.3 Análisis económico de la línea de espera El costo total de un sistema de líneas de espera está dado por la siguiente expresión: CT = cw . L + cs . k Donde: CT: cw: c s: L: k:

costo total de la línea de espera por periodo. costo de espera por periodo de una unidad. costo de servicio por periodo de cada canal. número promedio de unidades en el sistema. número de canales.

El costo de servicio es fácil de determinar pues está asociado directamente a la operación de cada uno de los canales. En contrapartida, el costo de espera es difícil de determinar pues depende de cada tipo de cliente y además de cuanto cuesta al negocio que un cliente se vaya al negocio de la competencia. Finalmente las pérdidas de ventas definen los costos en los que se incurre. Analizando la fórmula del costo total, mientras más servidores haya en el sistema, mayor será el costo operativo de los mismos, pero menor será el costo de espera pues habrá menos clientes esperando. En cambio si hay menos servidores, menor será el costo operativo de servicio pero mayor el costo de espera. En conclusión, la variación del número de canales afecta en forma inversa a ambos componentes del costo total.

Costo por periodo

Conceptualmente se puede mostrar gráficamente como:

Costo total

Costo por servicio

Costo de espera Número de canales

La idea es determinar el número adecuado de servidores para incurrir en el menor costo total.

5

4.4 Modelo genérico de una línea de espera de un solo canal Para los casos de líneas de espera de un solo canal en los que los tiempos de servicio siguen una distribución distinta a la exponencial, el número promedio de unidades en la línea de espera: λ λ2σ 2 +   µ Lq = λ 2(1 − ) µ

2

Donde σ2 es la varianza de los tiempos de servicio. A partir esta característica se calculan las otras mediante las fórmulas estudiadas en el caso de una línea de espera de un solo canal.

4.5 Notación Kendall Para describir un sistema de colas se emplea la notación de Kendall, que consiste en un grupo de letras y números de la forma: A/B/C/ donde cada uno de los dígitos tiene el siguiente significado: A

designa el proceso de llegadas; más concretamente, describe el tipo de distribución del tiempo entre llegadas. Si este proceso es markoviano de tipo Poisson-exponencial, en este lugar se colocará la letra M. Si el proceso es determinístico, se colocará la letra D y la letra G si las llegadas son de otro tipo.

B

designa el proceso de servicio; es decir, describe la distribución del tiempo de servicio y, por tanto, de las salidas del sistema. Se colocará la letra M si este proceso es markoviano, D si es determinístico y G si es de otro tipo. En todos los casos supondremos que la duración del tiempo de servicio es independiente de la distribución de las llegadas.

C

número de canales de servicio ó número de servidores.

Si aplicamos la notación Kendall a los modelos estudiados: el modelo de un solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales se notaría M/M/1; el modelo de un varios canales (supongamos 3 canales) con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales se notaría M/M/3

6

4.6 Problemas de líneas de espera 1.

Un sistema de colas tiene dos servidores, una distribución de tiempos entre llegadas exponencial con media de 2 horas y una distribución de tiempos de servicio exponencial con media de 2 horas para cada servidor. Lo que es más, a las 12:00 del día acaba de llegar un cliente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada ocurra antes de las 13:00 h?, ¿entre las 13:00 h y las 14:00 h?, ¿después de las 14:00 h? b. Si no llegan más clientes luego de las 13:00 h, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada tenga lugar entre las 13:00 y 14:00 h? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llegadas entre las 13:00 y las 14:00 h sea 0?, ¿sea 1?, ¿sea 2 ó más?

2.

Una entidad financiera ha instalado una cajero automático para que los clientes puedan utilizarlo sin salir de sus automóviles. Se espera que el número de automóviles que lleguen siga una distribución de Poisson con una tasa media de llegada de 6 automóviles por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora lleguen más de un cliente? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurra entre dos llegadas consecutivas de clientes al cajero sea mayor a 15 minutos?

3.

Marty´s Barber Shop tiene un peluquero. El tiempo promedio entre llegadas de clientes al negocio es de 25 minutos y los cortes de pelo ocurren a una tasa promedio de 5 por hora. Utilice el modelo de llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales para responder las siguientes preguntas: a. ¿Cuáles son las características principales de operación del negocio? b. ¿Cuál es el porcentaje de ocupación del negocio? c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos clientes esté esperando ser atendido?

4.

a. b. c. d. 5.

El aeropuerto internacional de una importante ciudad utiliza 2 pistas cuando hay mucha demanda. Suponga que una de las pistas se dedica exclusivamente a despegues y la otra sólo a aterrizajes. Con este método de operación, los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente con media de 2 minutos por solicitud en cada una de las pistas. Suponga que no hay interferencia entre una pista y la otra, de manera que puedan operar en forma independiente. Suponga que las solicitudes de despegue tienen distribución de Poisson con tasa de 25 por hora, y que las solicitudes de aterrizaje también siguen una distribución de Poisson con tasa de 25 por hora. Calcule el tiempo promedio (en minutos) de espera para atender una solicitud de despegue o aterrizaje. Calcule el número promedio de aviones que permanecen en el sistema. Calcule el tiempo total (minutos) que un avión permanece en el sistema. Calcule el número promedio de aviones que esperan despegar o aterrizar Exchange Money es una empresa de cambios que opera en los principales centros comerciales de Lima. Su directorio ha decidido abrir en la plaza central de Chosica una pequeña sucursal con un administrador, una secretaria y solamente una operaria para la atención al público. Ellos han proyectado gracias a un estudio de mercado realizado 7

previamente, que los clientes llegarán para la compra-venta de sus dólares y euros a una razón promedio de 5 por hora, según una distribución de Poisson. Se sabe por la experiencia que tiene la operaria por haber trabajado en otras sucursales de la misma empresa, que atenderá a una velocidad promedio de 15 clientes por hora, también bajo una distribución Poisson. a. ¿Cuál es la probabilidad que hayan dos o más clientes en cola? b. Si una de las metas del servicio es que un cliente que llega no deba esperar más de un minuto y medio en promedio para que sea atendido, ¿se cumpliría la meta? c. En el caso que sea negativa, ¿cuánto debería ser el tiempo promedio en minutos de atención de la operaria por cliente para que se cumpla la meta? 6.

En la cadena de comida rápida Sándwich Gordo, cuatro ventanillas de servicio sirven una sola línea. La velocidad promedio de llegadas Poisson es de 50 clientes por hora; cada uno de las cuatro ventanillas pueda dar servicio a 30 personas por hora con tiempos de servicio exponencialmente distribuidos. A Juan Pérez, el gerente de Sándwich Gordo, le gustaría reducir el número de ventanas de servicio para ahorrar en los costos de operación, pero no quiere interferir demasiado dramáticamente con la velocidad de servicio. Juan considera que es aceptable para los clientes esperar en la línea hasta por un minuto antes de que se les dé servicio, pero no más. ¿Puede cerrar una más de las ventanillas de servicio?

7.

Considere una línea de espera de tres canales con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegada es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 6 minutos en cada uno de los canales. a. Calcule las características de operación de este sistema de línea de espera. b. Si la meta de servicio es de tener capacidad suficiente para que no más del 25% de los clientes tenga que esperar atención. De acuerdo a ese criterio, ¿se preferirá un sistema con dos o con tres canales?

8.

Una entidad financiera ha instalado una estación con dos cajeros automáticos para que los clientes puedan utilizarlos sin salir de sus automóviles. Se espera que el número de automóviles que lleguen siga una distribución de Poisson con una tasa media de llegada de 6 automóviles por hora. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial demorándose 6 minutos en promedio en la atención por cliente en cada uno de los cajeros. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue tenga que esperar?

9.

En la Municipalidad de San Borja funcionan 4 cajeros para que los vecinos realicen sus pagos. De acuerdo a los datos recopilados, los vecinos llegan a pagar siguiendo una distribución de Poisson con una media de 20 vecinos cada hora. El tiempo que emplea cada cajero en atender a un vecino es en promedio de 10 minutos y es igual en os cuatro cajeros. Los vecinos forman una sola cola y son atendidos por el primer cajero que queda disponible. a. Si el sistema está diseñado para que su utilización sea por lo menos el 95%, ¿se está cumpliendo esta condición? b. En condiciones de estado estacionario, encuentre e interprete la probabilidad de que no haya clientes esperando a ser atendidos. 8

c. Si el sistema cambiara a que cada caja tenga su propia línea de espera, compare característica que determina qué sistema es más eficiente (sin considerar criterios económicos). 10.

Suponga que para corregir un sistema de servicios al público se proponen las 3 alternativas que se ilustran a continuación: alternativa 1:

servidor 1 llegadas

alternativa 2:

llegadas

salidas

servidor 2

servidor 1

salidas

servidor 2

alternativa 3:

llegadas

servidor super-eficiente

salidas

En la alternativa 1 la llegada de clientes en cada cola tiene una distribución de Poisson con un promedio de 4.5 por hora. Cada servidor procesa clientes con una Distribución Exponencial a razón de 12 por hora. En la alternativa 2, la llegada de clientes tienen una Distribución Poisson con una tasa de 9 por hora. Cada servidor procesa clientes igual que en la alternativa a). En la alternativa 3 la llegada de clientes es igual a la de b), pero el servidor super-eficiente procesa a 24 clientes por hora, con una Distribución Exponencial. Para las alternativas 1 y 2), cada servidor recibe un salario diario de S/. 200. Para la alternativa 3, el salario del servidor super-eficiente es de S/. 600. Asuma que los clientes tienen un costo de oportunidad de S/. 1 000 diarios. ¿Qué alternativa es la más económica? Sustente su respuesta. 11.

Una empresa brinda servicios a su público mediante el uso de dos ventanillas de atención a los clientes. Las personas que llegan a la empresa lo hacen a razón de una cada 4 minutos y se asume que la distribución de los tiempos entre llegadas es aproximadamente exponencial. El servicio es brindado por dos personas y cada una de ellas puede atender a un cliente cada 3 minutos, sabiendo además que el tiempo entre atenciones se distribuye exponencialmente. La gerencia de la empresa tiene como meta que haya un máximo de 2 personas en cola como promedio, que el tiempo que un cliente espera en cola no exceda 8 minutos y que la utilización del sistema sea mayor al 80%. Con el sistema actual ¿se cumple con las metas de la empresa? 9

12.

El número de autos que llegan a un negocio que se encarga de su limpieza sigue una distribución de Poisson con un promedio de 3 autos por hora. La limpieza de cada auto es realizada por un grupo de los cinco trabajadores que en promedio terminan con su trabajo en un tiempo de 15 minutos pero que puede variar siguiendo una distribución exponencial. La administración del negocio quiere desea una forma menos costosa de operar el negocio. Se ha estimado en S/. 40 por hora como el costo de oportunidad de cada unidad que permanece en el negocio . Para tal fin podría adquirir un lavador automático que tiene una capacidad de lavar a 7 autos por hora pero su costo de operación sería el doble de lo que se les paga al grupo de los cinco trabajadores que actualmente trabajan. Otra alternativa a considerar por la administración del negocio es contar con un segundo grupo de cinco trabajadores de similar capacidad de trabajo que el grupo que actualmente trabaja en el negocio, de tal manera que cada grupo se pueda encargar de un auto, Sin embargo, esta alternativa adicionalmente requiere contratar a un supervisor. El monto que se les paga a cada trabajador es de S/. 3,50 por hora y al supervisor se le paga S/. 5 por hora. Con estas consideraciones, ¿qué decisión debería tomar la administración del negocio?

13.

a. b. c. d.

Agan Interior Design proporciona a sus clientes asistencia de decoración doméstica y de oficinas. En operación normal, llegan un promedio de 2,5 clientes todas las horas. Un asesor de diseño está disponible para responder las preguntas de los clientes y dar recomendaciones del producto. El asesor promedia 10 minutos por cada uno de ellos. Calcule las características de operación de la línea de espera de los clientes suponiendo llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Las metas de servicio indican que un cliente que llega a sus oficinas no debe esperar más de 5 minutos en promedio para que sea atendido. ¿Se está cumpliendo esta meta? De lo contrario, ¿qué acción recomendaría usted? Si el asesor puede reducir el tiempo promedio que utiliza por cliente hasta a 8 minutos, ¿cuál es la tasa media de servicio?. ¿Se cumplirá la meta de servicio? La administración de Agan desearía evaluar dos alternativas:  Utilizar un asesor con tiempo promedio de servicio de 8 minutos por cliente.  Ampliar a dos asesores, cada uno de los cuales tenga un tiempo promedio de servicio de 10 minutos por cliente. Si se les paga 16 dólares la hora a los asesores y el tiempo de espera de los clientes se evalúa en 25 dólares la hora para el tiempo de espera antes del servicio, ¿deberá Agan ampliar al sistema de dos asesores? Explique.

14.

Una agencia de alquiler de automóviles subcontrata el mantenimiento y reparación de sus vehículos. Sin embargo, dados los grandes retrasos en la entrega de estos autos, la agencia ha decidido abrir su propio taller para hacer el trabajo con mayor rapidez. El taller operará 42 horas por semana. La alternativa 1 consiste en contratar a dos mecánicos a un costo de $100 por semana cada uno) de manera que puedan trabajar en dos carros a la vez.. El tiempo necesario para dar servicio a un carro tendría una distribución exponencial con media de 5 horas. Con la alternativa 2 se contrataría a un solo mecánico y se compraría equipo especial adicional (a un costo operativo de $75 por semana) para acelerar el trabajo. El tiempo necesario para dar servicio a un carro tendría una distribución exponencial con media de 3 horas. 10

Para ambas opciones los carros llegan de acuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de llegadas de 0,3 carros por hora (durante las horas de trabajo). La agencia estima que el rendimiento neto que pierde por no tener autos disponibles para renta es de $150 por semana. ¿Qué alternativa debe elegir la agencia para minimizar el costo total esperado por semana? 15.

La llegada de los empleados a un almacén de herramientas se puede describir por una distribución Poisson. Los tiempos de servicio están distribuidos exponencialmente. La velocidad de las llegadas promedia 45 operadores cada hora, mientras que el ayudante puede dar servicio a un promedio de 50 hombres cada hora. Los operadores ganan $8 por hora, mientras que los ayudantes ganan $5 por hora. Encuentre el número óptimo de ayudantes a colocar en la estación.

16.

El Dr. Tsuka de la Clínica Ricardo Palma es un especialista en alergias y tiene un sistema excelente para manejar a los pacientes regulares que van a su consultorio sólo para que les apliquen inyecciones contra la alergia. Los pacientes que llegan para ese efecto escriben sus nombres en un formulario, que luego es colocado en una ranura abierta que comunica con otro recinto en el que trabajan las enfermeras. Luego, el paciente es llamado por un altoparlante para que vaya a la habitación, momento en que se le prepara la inyección específica e inmediatamente se le aplica.

En el caso de disponer de tres enfermeras practicantes para que cada una atienda a un paciente por separado, éstas demorarían seis minutos en promedio para preparar el medicamento y ponerles la respectiva inyección. Así mismo, se supone que los pacientes llegan siguiendo una distribución Poisson y que la tasa de servicios de la enfermera tiene una distribución exponencial. Los pacientes llegan a intervalos de aproximadamente tres minutos en promedio. Los rendimientos de este sistema son: Lq = 0.889 pacientes; L = 2.889 pacientes; Wq = 0.044 horas; W = 0.144 horas a. Se han presentado algunas quejas por la demora del servicio. Por lo consiguiente se está evaluando cambiar por dos enfermeras altamente calificadas para que cada una atienda a un paciente por separado preparando el medicamento y poniéndole sus inyecciones en un tiempo promedio de 4 minutos. Decidir cuál de los 2 sistemas propondría si la eficiencia del sistema se quiere medir según el tiempo total promedio que cada paciente tiene que permanecer en el consultorio. b. Y desde el punto de vista económico, ¿cuál de las dos alternativas de atención resulta la más conveniente? Se sabe que las enfermeras altamente calificadas cobran 50 soles mientras que las enfermeras practicantes en proceso de capacitación cobran 17.5 soles la hora pero necesitan de una supervisora que cobra 28 soles la hora. Por otro lado, debido a que el tiempo de espera pueda persuadir al paciente en acudir a otro especialista, el Dr. Tsuka considera un costo de oportunidad de 80 soles la hora para el tiempo de espera antes del servicio. 17.

Una franquicia de comida rápida está considerando manejar una operación de servicio de comidas con ventanillas de servicio en el automóvil. Suponiendo que las llegadas de los clientes siguen una distribución de probabilidad Poisson, con una tasa media de llegada de 24 automóviles por hora y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. Los clientes que llegan colocan pedidos en una estación de 11

intercomunicador en la parte posterior del estacionamiento y luego conducen hasta la ventanilla de servicio para pagar y recibir sus pedidos. Se están considerando las siguientes alternativas:  Una operación con un solo canal en el que el empleado toma el pedido y cobra al cliente. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de dos minutos.  Una operación con un solo canal en la que un empleado toma el pedido mientras que un segundo empleado cobra al cliente. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de 1,25 minutos.  Una operación con dos canales con dos ventanillas de servicio y dos empleados. El empleado ubicado en cada ventanilla toma el pedido y cobra a los clientes que llegan a la ventanilla. El tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de dos minutos para cada canal. Se dispone de la siguiente información de costos para la franquicia de comida rápida:  El tiempo de espera del cliente se valora en $25 por hora para reflejar el hecho de que el tiempo de espera para un negocio de comida rápida.  El costo de cada empleado es de $6,5 por hora.  Para tomar en cuenta el valor del equipo y el espacio, se les atribuye un costo adicional de $20 por hora a cada canal. ¿Cuál es el diseño de costo menor para el negocio de comida rápida? 18.

La compañía pesquera “El Tumbesino S.A.” utiliza sus propios botes camaroneros para pescar camarones y después empacarlos y enviarlos a diferentes centros de distribución. Cuando estos botes llegan durante la temporada alta de pesca, hay que descargarlos tan rápido como sea posible para que puedan volver al mar. El gerente de producción de la compañía estima que el costo de que un bote camaronero permanezca detenido es de $ 50 por hora. Los trabajadores que descargan los botes ganan $ 8 por hora, ya sea que estén trabajando o no. Los botes camaroneros llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con una tasa media de 1 bote por hora. Cada trabajador descarga un bote en un tiempo que se ajusta a una distribución exponencial con una media de 3 horas. ¿Cuál es el número de trabajadores que la compañía debe utilizar para descargar los botes y que produzca el mínimo costo total esperado por hora?

19.

Burrito King, una nueva franquicia de comida rápida en todo el país, automatizó exitosamente la producción de burritos en sus establecimientos de comida rápida con servicio al auto. El Burro-Master 9000, es una máquina que requiere invariablemente de 45 segundos para producir una porción de burritos. Se calcula que los clientes llegarán a la ventanilla en sus autos según una distribución Poisson a una tasa promedio de uno cada 50 segundos. Para ayudar a determinar la cantidad de espacio que se necesita para la fila en la ventanilla de autos, a la administración de Burrito King le gustaría conocer la longitud de fila promedio, el número de vehículos promedio en el sistema (tanto en fila como en la ventanilla) y el tiempo promedio esperado en el sistema (en minutos).

20.

Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta de ensamblado. Suponga que la tasa media de llegada es de cinco trabajadores por hora. Los tiempos de servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribución exponencial. A continuación se muestran dos diseños propuestos para la operación de ensamblado de la planta: 12

Diseño A B

Media 6,00 6,25

Tiempo de servicio Desviación estándar 3,0 0,6

¿Cuál diseño proporciona las mejores características operativas? Sustente. 21. Suponga que se tiene que contratar a una secretaria la cual será seleccionada entre: a. Dos candidatas. La primera secretaria es muy precisa, mecanografía un documento en exactamente 16 minutos. La segunda es un poco más rápida, con un promedio de 14 minutos por documentos, con tiempos que varían de acuerdo a la distribución exponencial. La carga de trabajo en la oficina es de 3 documentos por hora con tiempos entre llegadas que varían de acuerdo a la distribución exponencial. ¿Qué secretaria devolverá los documentos más rápido? b. Tres candidatas. Las dos anteriores y una tercera que registra tiempos que siguen una distribución normal con una media de 15 minutos y una desviación estándar de 5 minutos. ¿Cuál sería la secretaria escogida? c. Para cada una de las secretarias, cuál sería la codificación del sistema de colas, según la clasificación establecida por Kendall. 22.

a. b. c. d. e. f. g.

23.

Suponga que el modelo básico es una aproximación razonable para las barcazas que llegan a la esclusa La Crosse en el río Mississippi. Se estima que la media entre arribos en temporada alta es de 60 minutos para las barcazas y que en promedio toma 30 minutos pasar una barcaza por la esclusa. Calcular: La cantidad esperada de barcazas en cola La cantidad esperada de barcazas en el sistema El tiempo promedio en la cola de espera El tiempo esperado en el sistema La probabilidad de que el sistema esté vacío El mayor tiempo promedio de servicio para el cual el tiempo de espera estimado sea menor que 45 minutos. Ahora bien, si se observa que el tiempo que toma mover una barcaza a través de la esclusa (30 minutos) ya no sigue el comportamiento del modelo básico y que más bien la desviación estándar de este tiempo de servicio es de 3 minutos, responder nuevamente los incisos comprendidos entre a) y e). La empresa DR está diseñando un sistema de atención a sus clientes. La atención estará a cargo de una ventanilla habilitada para tal función. En el proceso de diseño se ha logrado establecer que los clientes llegarán a una tasa de 20 clientes por hora en promedio con una distribución de Poisson aproximadamente. El sistema que quiere emplear la empresa es de un servidor con una cola y requiere que el tiempo entre servicios siga una distribución exponencial. Además el diseño del sistema exige que no deben haber más de 4 clientes en cola. Determinar la velocidad que debe tener el servidor para lograr los objetivos del sistema.

13

Aplicaciones con solución 1.

Michèlle es la hija del dueño de varios restaurantes locales de hamburguesas. Ella se está preparando para abrir un nuevo restaurante de comida rápida que se llamará HAMBURGUESAS MICHÈLLE. Tomando como base las tasas de llegadas observadas en los establecimientos de su padre, ella pronostica que al inicio de las operaciones los clientes llegarán a la ventanilla para automovilistas de su establecimiento con una media de 20 clientes por hora, siguiendo una distribución de Poisson. La tasa de servicio es flexible; sin embargo, se espera que los tiempos de servicio se ajusten a una distribución exponencial. La ventanilla para automovilistas será una operación atendida por un solo servidor a razón de 25 clientes por hora. a)

¿Cuántos clientes hay en la cola en promedio?

1 pto.

λ = 20 clientes / hora µ= 25 clientes / hora Lq = b)

2

20 = 3.2 clientes 25(25 − 20)

Después que hace su cola el cliente, ¿cuánto tiempo demora en la ventanilla siendo atendido?

1 pto.

Si la tasa de servicio es = 25 clientes / hora , entonces el servidor de la ventanilla se demora con cada cliente un tiempo promedio de 1 / = 1/ 25 horas que equivale a 2.4 minutos. c)

¿Cuál es la probabilidad que lleguen 4 clientes dentro de los 15 minutos?

Pr ob{X = 4} e) = d)

−20 (15 / 60

((20)(15 / 60)) 4

1 pto.

= 0.17546737 ≈ 17.55%

4!

¿Cuánto debería ser la tasa media de servicio para que el tiempo que permanece en el sistema el cliente no exceda los 9 minutos en promedio? 1.5 pts.

W ≤ 9 min utos ≤ 9 / 60 horas 1 9 ≤ µ− λ 60 1 9 ≤ µ− 20 60 60 ≤ 9 µ− 180 240 ≤ 9 µ

µ≥ 26.67 clientes / hora

La tasa de servicio debería ser por lo menos 26.67 clientes por hora.

14

e)

En el caso de disponer de 3 ventanillas, cada una con la misma tasa de servicio, ¿cuál es la probabilidad que el sistema esté vacío?, ¿en qué porcentaje mejora el promedio del inciso a)? 2.5 pts.

λ = 20 clientes / hora µ= 25 clientes / hora k = 3 ven tan illas Modelo : M / M / 3

P0 =

1

(2025) + (2025) + (2025) + (2025)  0

1

0!

1!

2

3

2!

3!

=

3 * 25    3 * 25 − 20  

1 2.12 + 0.11638

P0 = 0.44715 Lq =

(20

/ 25 ) * 20 * 25 * 0 . 44715 (3 − 1 )! (3 * 25 − 20 3

)2

= 0. 0189

clientes

Variación

2.

Todos los pasajeros y su equipaje de mano de la aerolínea CONDOR ANDINO S.A.C. tienen que ser revisados para investigar si llevan alguno de los artículos que están prohibidos por la nueva reglamentación colocarse en la bodega de equipajes:

• • • • • • • • •

Explosivos (lo cual incluye detonadores, espoletas, granadas, minas y explosivos) Gases: propano, butano. Líquidos inflamables (lo cual incluye la gasolina y el metanol) Sólidos inflamables y substancias reactivas (lo cual incluye, el magnesio, los encendedores, los fuegos de artificio y las bengalas) Oxidantes y peróxidos orgánicos (lo cual incluye la lejía y los kits de reparación de carrocerías) Substancias tóxicas o infecciosas (lo cual incluye los raticidas y la sangre infectada) Material radiactivo (lo cual incluye los isótopos para uso médico o comercial) Corrosivos (lo cual incluye el mercurio y las baterías para automóviles) Piezas del circuito de combustible de un automóvil que hayan contenido combustible.

Suponga que 10 pasajeros por minuto, en promedio, llegan al aeropuerto (los tiempos entre llegadas son exponenciales) y tienen que pasar por un punto de revisión que consta de un detector de metales y un aparato de rayos X. Se requieren dos empleados siempre que el punto de revisión está en operación. Un punto de revisión puede verificar un promedio de 12 pasajeros por minuto, donde el tiempo para revisar a los pasajeros sigue una distribución exponencial. Si se supone que la aerolínea tiene solamente un punto de revisión. a)

¿Cuántos pasajeros en promedio hacen cola para pasar el punto de revisión?

λ = 10 pasajeros / min uto µ= 12 pasajeros / min uto 10

2

1 pto.

Lq =

= 4.17 pasajeros

12(12 − 10)

b)

Calcule el tiempo promedio entre pasajero y pasajero que llega al punto de revisión.

1 pto.

c)

Acaba de llegar un pasajero, ¿cuál es la probabilidad que llegue el siguiente dentro de los cinco segundos siguientes? 1 pto.

Si la tasa de llegada es λ = 10 pasajeros / min uto , entonces entre pasajero y pasajero que llega hay un tiempo promedio de 1 / λ = 1 / 10 min que utos equivale a 6 segundos.

5 / 60

0

10e

−10 t

( )

−10 5 60

dt = −e

+e

−10 ( 0 )

= −0.4345982 + 1 = 0.5654 = 56.54%

d)¿Cuánto debería ser la tasa media de servicio para que la cantidad de pasajeros que están siendo atendidos y esperando en la cola en conjunto, NO exceda de 3? 1.5 pts.

L≤3 λ

≤3 µ− λ 10 ≤3 µ− 10 10 ≤ 3µ− 30 40 ≤ 3µ µ≥ 13.33 pasajeros / min uto

La tasa de servicio debería ser por lo menos 13.33 pasajeros por minuto. e)

En el caso de disponer de 3 puntos de revisión, ¿cuál es la probabilidad que el sistema esté vacío?, ¿en qué porcentaje mejora el promedio del inciso a)? 2.5 pts.

λ = 10 pasajeros / min uto µ= 12 pasajeros / min uto Modelo : M / M / 3 P0 =

k = 3 puntos de revisión

1

(1 12) (1 12) (1 12) (1 12)  0

0

+

0!

0 1!

1

+

0

2

2!

+

0 3!

= 3 *12

1 2.18055555+ 0.133547007

3

   3 *12 − 10 

P0 = 0.432132964 Lq =

(10

/ 12

)3

* 10 * 12 * 0 . 4321 = 0 .022196178 (3 − 1 )! (3 * 12 − 10

pasajeros

)2 Variación

porcentual

=

( 4 . 1666667 − 0 . 022196178 4 . 16666667

) * 100 %

= 0. 9947

≡ 99 . 47 %

porcentual

(3.2 − 0. = 0189 3. 2

) * 100 %

= 0. 99409

≡ 99 . 41 %

3.

La Florida Turnpike Commission (FTC) tiene un número de estaciones para el pesado de camiones a lo largo de la autopista. Los camiones llegan a una tasa de 70 camiones por hora y cada báscula puede atender a 40 camiones por hora, siguiendo una distribución de Poisson. La FTC desea saber ¿cuánto tiempo permanecería un camión desde que llega hasta que sale pesado, si se dispusieran de 5 básculas? 2.5 pts. λ = 70 camiones / hora

µ= 40 camiones / hora k = 5 básculas

P0 =

1 k

n

 λ  λ  k−1   µ  kµ  

µ

∑

   + − µ λ k    k!  

n=0

n!

P=

1

0

( 40 40) ( 40) ( 40) ( 40) (7 40)   5*40  *  5*40−70  70 ) (70 70 70  0  70 + + + 0

0!

1

1!

2

3

2 !

3 !

P0 =0.17314 (λ / µ)k λµ

Lq =

P

(k − 1)!(kµ− λ ) (70 / 40)5 * 70 * 40 * = 2

Lq

W = q

0

0.17314 (5 − 1)!(5 * 40 − 70)2 Lq

λ

W = W

=

q

0.0196

+

= 0.0196

= 0.00028 70 1

µ = 0.

00028

4

+

4!

5

+

 5!      

+

1 40

=

0 . 025 Conclusi贸n: El tiempo que transcurre desde que llega un cami贸n hasta que sale pesado ser铆a en promedio 0.025 horas = 1.52 minutos.

DISTRIBUCIÓN NORMAL ACUMULADA

CARACTERISTICAS OPERATIVAS ó MEDIDAS de RENDIMIENTO para MODELOS de COLAS: M/M/k Parámetro Utilización promedio del sistema

Cantidad de clientes en cola Cantidad de clientes en el sistema Probabilidad que un cliente que llega tenga que esperar Tiempo estimado en cola

Tiempo estimado de permanencia en el sistema

POBLACIÓN INFINITA k=1 k>1

Símbolo

ρ

ρ = 1 − P0

Lq

(λ / µ) λµ P (k − 1)!(kµ− λ )2 0

L

λ λ λW = Lq + µ = µ− λ

λ λW = Lq + µ

ρ = λµ

1  λ   kµ     P k !  µ  kµ− λ  0

k

2

Pw Lq

Wq

W

λ

1

Wq +

µ

1-

Probabilidad de que hayan "n" clientes en el sistema

ρ

Pn

Probabilidad de que el número de llegadas X sea igual a “n” en Prob {X = n} “t” unidades de tiempo

Lq

1

µ− λ

∫a λ e

- λx

e

Wq +

1 W q+ µ

k

n

   λµ    P 0 n−k k !k

( λt ) n!

nfk

n

2 2 2 λ σ + (λ / µ) 2 (1 - λ / µ)

1

L = µ (N − L)λ

1

λ   λ   k−1   µ   µ kµ    + ∑ n!  k! kµ−λ n=0   n    λµ    n≤k P0 n!

P0

(1 − P0 )

(N − L)λ

1

λ µ

λ

(1 − P0 )

Lq

dx = - e- λb + e- λa

- λt

λ+ λ

N−

Lq λ

n

n

b

P(a ≤ X ≤ b)

=

N−

k

λ µ( µ− λ )

=

P0

Cuando la distribución del tiempo de servicios sea arbitraria

λ

ρ =

λ µ( µ- λ )

Probabilidad que el sistema esté vacío

Probabilidad de que un cliente llegue entre "a" y "b" unidades de tiempo.

λ µ

ρ =

POBLACIÓN FINITA k=1

NOTA: En los casos que la distribución del tiempo de servicios sea exponencial se 2 2 considerará que σ =(1/µµ) .

N

n

N!  λ ∑ (N − n)! µ n=0  


modelos de espera y teoria de colas