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® Fundación Polar www.fpolar.org.ve HECHO EL DEPÓSITO DE LEY Depósito legal lf2592004510252 ISBN 980-379-082-X ciencia@fpolar.org.ve

Presentación

Desde la creación de Fundación Polar, hace casi 27 años, hemos mantenido un interés creciente por la educación en nuestro país y aportamos nuestra contribución en búsqueda de su desarrollo y mejoramiento, particularmente de la educación básica, donde se abre para todos la senda del verdadero progreso y bienestar duradero. Hoy día los educadores piensan que las matemáticas son uno de los ejes fundamentales sobre los que se sustenta la formación de los niños y jóvenes, no sólo porque es el lenguaje de la ciencia y la técnica, imprescindible para comunicar ideas a través de números y formas y para resolver problemas, también porque han demostrado que su aprendizaje contribuye significativamente al desarrollo del pensamiento lógico, ordenado y metódico. Diversos diagnósticos realizados por especialistas nacionales y foráneos han detectado en nuestras escuelas un bajo rendimiento de los estudiantes en dicha disciplina, lo cual preocupa y llama a la reflexión de muchos sobre la efectividad de nuestro sistema educativo. Estas razones nos estimularon a participar en el propósito común de mejorar su enseñanza en la escuela. Así, junto a un grupo de especialistas y docentes, de larga experiencia en las aulas, nos dimos a la tarea de elaborar esta colección de fascículos que presentan la matemática en sus múltiples facetas, con un lenguaje sencillo y directo, apoyado en cientos de imágenes y gráficos de impactante colorido que ilustran los diversos conceptos desarrollados y muestran que la matemática está presente en la naturaleza, en la casa, en el mercado, en los juegos de los niños, en el deporte, en la geografía, en fin, en nuestra vida cotidiana. Estamos seguros de que estos fascículos despertarán la curiosidad y el interés de nuestros niños y jóvenes, que también serán acompañantes ideales de los docentes en su labor de enseñanza y lectura fácil para todos aquellos que los tengan entre sus manos, amén de que en los hogares serán de gran ayuda para los padres preocupados por la educación de sus hijos. El Diario Últimas Noticias es nuestro aliado en la tarea de difundir esta colección de 13 fascículos, en 22 entregas, que hoy se inicia a todo lo largo y ancho del país, confiados como estamos en que llegará a todas las escuelas del territorio nacional y así comenzar a ver más cercana la meta, y nuestro sueño, de ayudar a construir un país de niños y jóvenes, hombres y mujeres capaces de labrarse una vida digna, útil y placentera.

Fundación POLAR • Matemática para todos

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Pitágoras de Samos Filósofo y matemático griego (siglo VI a.C.)

¿Matemática para todos? Matemática para Todos es una colección de fascículos concebida como una muestra de temas de cuatro áreas de la matemática, presentados de tal forma que sean motivantes para estudiantes de la Educación Básica, docentes de matemática y público en general, que encontrarán en éstas una serie de vinculaciones con situaciones de la vida diaria.

Áreas que componen los fascículos:

Geometría

Medidas

Números

Esa división responde a cierta organización, propia de la matemática, en áreas como: la geometría, la medición, la aritmética, los gráficos, la probabilidad y la estadística, correspondiendo en parte a una formulación clásica de la matemática que, posterior a Newton y Leibniz (s. XVII), señala a ésta como “el estudio de la forma, del número, del movimiento, del cambio y del espacio”.* La presentación de los temas se realiza en forma sencilla, sin formalismos y prestando especial atención al uso de imágenes y gráficas que ilustran los diversos conceptos y aplicaciones desarrolladas. Los diferentes temas que componen los fascículos contienen ideas focalizadas en aspectos importantes de la matemática escolar, varias de ellas contempladas en los programas instruccionales de la Educación Básica, que constituyen parte del conocimiento y herramientas esenciales para la comprensión de la matemática y su uso en la vida diaria, así como para entender un mundo de extraordinario y acelerado cambio.

Gráficos, probabilidad y estadística

El nombre de matemática se debe a Pitágoras. Los pitagóricos tenían como divisa “todo es número” y establecieron la división de la matemática en cuatro componentes, el quadrivium (atribuido a Arquitas): aritmética, música, geometría y astronomía. Esa clasificación del saber se completó con el trivium: la gramática, la retórica y la dialéctica, y perduró en la enseñanza durante unos dos mil años. El quadrivium y el trivium constituían las siete artes liberales y durante muchos siglos se consideró que una persona culta era aquella que dominaba esas siete artes liberales.

Se presentan: Reseñas históricas; Situaciones interesantes; Vinculación con otras áreas: geometría y arte, geometría y geografía, geometría y tecnología, medidas y geografía, números y códigos, matemática y petróleo, matemática y mapas. Esto es con el fin de mostrar la necesidad de conocer y apreciar cómo la matemática está presente en la vida cotidiana, en nuestro mundo actual, lo cual tiende a incrementarse, exigiendo cada día más experticia que contribuya a abrir puertas hacia el trabajo productivo. Se espera que el enfoque y los contenidos matemáticos aquí tratados sean un medio para estimular la creatividad en los niños y jóvenes, en los docentes, en los padres y representantes y, en general, en todos aquellos que cada día aspiran incorporarse a esta era del conocimiento. Este es el propósito de MATEMÁTICA PARA TODOS.

INTERESANTE El precursor Francisco de Miranda y las matemáticas Francisco de Miranda (1750-1816) tuvo bastante interés en las matemáticas, estudiando matemáticas e idiomas en Madrid en el año 1771. Además, en su casa de Londres, en 1800, formó una sociedad de jóvenes americanos a quienes dictó clases de matemáticas como parte de su preparación para la difícil y compleja tarea que vendría con el fin de independizar la América del dominio español. Miranda les enseñó álgebra aplicada a las armas, levantamiento de planos y fortificaciones. Fundación POLAR • Matemática para todos

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Contenido de los fascículos La obra se ha dividido en doce fascículos además de éste, el fascículo 1, donde se hace la presentación general, la descripción de cada uno de los fascículos y los créditos de los participantes en su elaboración.

Geometría En el tiempo de los griegos, la matemática desarrollada por esta civilización fue principalmente en el área de la geometría, además de la aritmética, el método axiomático y el razonamiento deductivo de lo que son sus creadores. Por lo tanto, la matemática era el estudio de los números y de las formas, correspondiendo esta última a la geometría, la cual alcanzó su punto culminante con Los elementos de Euclides (300 a.C.), una de las obras de mayor divulgación mundial. Tradicionalmente la geometría se ha incluido en el currículo escolar, además de su utilidad práctica, como un medio para que los estudiantes aprendan a razonar y entiendan el método axiomático de la matemática. Su estudio es esencial para la comprensión del espacio real por medio de la intuición geométrica o percepción espacial. En los fascículos 2 y 3 examinaremos, a grandes rasgos, aspectos fundamentales de la geometría: figuras planas y del espacio como los polígonos, los ángulos, las circunferencias y círculos, los poliedros, los prismas y las pirámides, los sólidos de revolución (esfera, cono, cilindro). Culminaremos en el fascículo 4 con el estudio de los movimientos rígidos o isometrías que son aquellas transformaciones geométricas que no cambian el tamaño ni la forma de las figuras sino únicamente su posición: traslaciones, rotaciones y simetrías axiales. En estos fascículos se ha vinculado la geometría con el arte, la decoración, la tecnología y la geografía.

Fascículo 2. El mundo de las formas Descubriendo el mundo de las formas 18 Formas completamente redondas 19 Formas con partes planas y superficies curvas 20 Formas con todas sus caras planas 23 Descubriendo las formas con todas sus caras planas Tengo que pensarlo 27 Geometría y tecnología 28 Geometría y ciencia 28 Geometría y arte 29 Ventana didáctica 30 Información actualizada 31 Miguel Méndez 32

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Fascículo 3. El mundo de las líneas Descubriendo el mundo de las líneas 34 Líneas curvas 35 Segmentos, semirrectas y rectas 36 Ángulos y polígonos 37 Polígonos regulares 38 Descubriendo el mundo de los triángulos 39 Descubriendo la clasificación y las propiedades de los triángulos Geometría y geografía 42 Geometría y arte 43 ¡A jugar! 44 Tengo que pensarlo 45 Ventana didáctica 46 Información actualizada 47 Luis Herrera Cometta 48

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Fascículo 4. El mundo de los movimientos y de las simetrías Descubriendo el mundo de los movimientos 50 Simetría axial o reflexión respecto de una recta (bilateral) Simetría de traslación, rotación y axial 53 Simetría y decoración 54 Geometría y arte 55 Descubriendo el mundo de los movimientos 56 Geometría y ciencia-tecnología 61 Tengo que pensarlo 62 Ventana didáctica 63 Ana María Font 64

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Medidas Desde inicios de la Educación Básica los niños se enfrentan con el mundo de las medidas, puesto que comienzan midiendo longitudes con sus manos, pies, brazos, pabilo y cintas métricas, determinando largos y anchos, alturas y profundidades. Posteriormente calcularán áreas, volúmenes y capacidades de recipientes, de figuras como cuadrados, triángulos, rectángulos, circunferencias y círculos, esferas, conos y cilindros, entre otros. Así, el estudio de las medición es importante en el currículo escolar desde el Primer Grado hasta el Ciclo Diversificado puesto que esto es una práctica constante en la vida cotidiana y es vinculante con otras partes de la Matemática, ya que para ello se necesita utilizar números, proporcionalidad, geometría, tablas, conceptos estadísticos, funciones y gráficos. En los fascículos 5 y 6 de medidas introduciremos a los lectores en el mundo de las medidas mediante el "descubrir qué es medir”, “¿qué medimos?” y “¿cómo se mide?”. El medir conlleva implícito varios procesos y acciones, como son: comparar, juntar o agregar, separar, clasificar, ordenar. Un comentario especial merece el tercer fascículo de medidas "Estimando medidas" porque este tema no está contemplado en los programas instruccionales de la Educación Básica ni en el Ciclo Diversificado, sin embargo, es de tal importancia que pensamos que en alguna futura reforma de los programas debería incluirse. Efectivamente, es frecuente el análisis de situaciones donde no se dispone de fórmulas para hacer mediciones ni las técnicas presentadas en los dos fascículos anteriores son aplicables y, por lo tanto, se acude a efectuar aproximaciones, a estimar las medidas, en donde se debe calcular la precisión y los errores cometidos. Este proceso adquiere gran relevancia con el uso de la tecnología de las calculadoras y computadoras que permiten efectuar numerosos cálculos, utilizando números con muchas cifras, y con gran rapidez. En estos fascículos se ha vinculado la medición con la tecnología, la ciencia y la geografía.

Fascículo 5. El mundo de las medidas Descubriendo las medidas 66 ¿Cómo se mide? 72 Fórmulas y propiedades que permiten determinar medidas Medida, ciencia y tecnología 76 Tengo que pensarlo 77 Ventana didáctica 78 ¡A jugar! 79 Carlos A. Di Prisco 80

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Fascículo 6. El mundo de las medidas ¿Qué medimos? 82 Unidades de longitud 83 Algunos instrumentos utilizados para medir longitudes 84 Calculando áreas 85 ¿Cómo calculamos el área de una figura plana? 86 ¿Cómo calculamos el área de algunas figuras que no son planas? Calculando volúmenes 89 Interesante 90 Medidas y tecnología 91 Medidas y geografía 92 Medidas y ciencia 93 Ventana didáctica 94 Tengo que pensarlo 95 Luis Báez Duarte 96

88

Fascículo 7. Estimando medidas Estimando medidas 98 Estimando la longitud de una circunferencia 99 Error en la estimación 100 Estimando áreas 101 Estimando volúmenes 103 Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones Ventana didáctica 108 Tengo que pensarlo 109 ¡A jugar! 110 Gustavo Ponce 112

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Números En el tiempo de los egipcios y babilonios, la matemática desarrollada por estas civilizaciones fue principalmente en el campo del álgebra y la aritmética, esto es, con los números, específicamente con los números racionales positivos (enteros positivos y fracciones positivas). Históricamente el estudio de los números ha sido la piedra angular del currículo matemático de la Educación Básica, puesto que además de su propio desarrollo y la utilización de los números naturales para contar, encontramos que todas las otras partes de la matemática escolar utilizan los números: en geometría y en medidas, en los gráficos y funciones, en el álgebra, en la estadística, así como la ciencia y la tecnología se comunican y expresan cuantitativamente en forma numérica. De allí que esta área no podía faltar en los fascículos de Matemática para todos, a la cual dedicamos tres fascículos. En los fascículos 8 y 9 descubrimos el mundo de los números utilizados por los niños y jóvenes hasta el octavo grado: los naturales, los enteros y los racionales, asi como sus operaciones. El fascículo 10, “El mundo de las proporciones", nos conduce a la proporcionalidad y los porcentajes. Un comentario especial merece el fascículo 11 ubicado en el área de números pero no relacionado únicamente con lo numérico. Hay algunas secciones relativas a los números como culminación de esta área y otras secciones de tipo conceptual referidas a aspectos esenciales para la comprensión y utilización de la matemática, lo cual se ejemplifica con dos títulos: matemática y petróleo, matemática y mapas, a fin de mostrar que el quehacer matemático no se lleva a cabo en forma parcelada sino de manera integral utilizando contenidos de diversas áreas de la matemática.

Fascículo 8. El mundo de los números Descubriendo el mundo de los números 114 Números en el tiempo 115 Descubriendo los números 116 Descubriendo operaciones: la adición 117 Descubriendo operaciones: la sustracción 118 Descubriendo operaciones: la multiplicación 119 Descubriendo operaciones: la división 120 Algoritmo de la división 121 Números y códigos 122 Números y deportes 123 Ventana didáctica 124 Tengo que pensarlo 125 ¡A jugar! 126 Información actualizada 127 Ernesto Medina Dagger 128

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Simón Stevin Matemático belga (1548-1620)

El matemático Stevin publicó, en 1585, la primera obra europea conocida, consagrada a la teoría general de fracciones decimales.

Fascículo 9. El mundo de las fracciones El mundo de las fracciones 130 Interpretaciones de fracciones 131 Fracciones 132 Fracciones equivalentes 133 Suma y resta de fracciones 134 Multiplicación y división de fracciones 135 Fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador Fracciones y cocina 137 Mantenernos en forma y... 138 Tengo que pensarlo 139 Ventana didáctica 140 Información actualizada 143 Hugo Leiva 144

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Fascículo 10. El mundo de las proporciones El mundo de las proporciones 146 Proporcionalidad 147 Porcentaje (%) 149 ¿Cómo calculo el n% de una cantidad C? 150 Figuras semejantes 151 Dibujos e identificación de figuras semejantes Proporciones y recetas de cocina 153 Proporcionalidad y belleza 154 La divina proporción 155 Tengo que pensarlo 156 ¡A jugar! 157 Ventana didáctica 158 Jesús Alberto León 160

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Fascículo 11. El mundo y los números Importancia de la matemática 162 La matemática 163 Los números 164 Números y operaciones 165 Números naturales especiales 166 Matemática y petróleo 167 Matemática y mapas 171 Ventana didáctica 174 Tengo que pensarlo 175 José Rafael León 176

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El récord de jonrones en una carrera deportiva está en manos de Henry Louis “Hank” Aaron con 755, consiguió 733 con los Bravos de Milwakee (1954-1965) y los Bravos de Atlanta (1966-1974) en la Liga Nacional, y 22 con los Cerveceros de Milwakee en la Liga Americana. Fuente: Guinness. Libro de records. www.guinnessrecords.com.

Probabilidad y estadística En esta sociedad tecnológica en la que tanto el volumen como el flujo de información crecen día a día en nuestra vida cotidiana, se hace necesario que todo ciudadano cuente con conocimientos que le permitan el estudio de los fenómenos regidos por el azar y métodos que le ayuden a comprender la variabilidad, hacer inferencias, interpretar o construir gráficos y en definitiva, generar conocimientos que lo orienten en la toma de decisiones. Esto lo hace la estadística y la probabilidad.

Fascículo 12. El mundo del procesamiento de datos Descubriendo el mundo de la probabilidad 178 Descubriendo el mundo de la estadística 180 Estadística en el tiempo 181 Estadística descriptiva 182 Estadística y la vida cotidiana 183 Ventana didáctica 184 Tengo que pensarlo 185 Un juego probabilístico 186 Probabilidades en nuestro juego de béisbol 187 Vladimiro Mujica 188

Fascículo 13. El mundo de los gráficos El mundo de los gráficos 190 Descubriendo el mundo de los gráficos 191 Otro tipo de relaciones (correspondencias) Crecimiento 193 Decrecimiento 194 Gráficos y cuerpo humano 195 Confiabilidad 196 ¡A jugar! 197 Ventana didáctica 198 Tengo que pensarlo 199 Leonardo Mora 200

Fundación Luis Roche 1956 Sentados de izquierda a derecha: Jorge Vera, Mario Calcinay, Miguel Layrisse, Marcel Roche, Luis Roche, Francisco de Venanzi, Gabriel Chuchani, Luis Carbonell. De pie: Abraham Levy, Andrés Gerardi, José Forero, Leocadia Escalona, María Enriqueta Tejera, Gloria Villegas, Slavka Hitrovo y Francisco Peña.

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¿Por qué matemática? La matemática es una parte de nuestra herencia cultural. Es uno de los grandes logros intelectuales de la humanidad, con un pasado que data, aproximadamente, desde cuatro milenios antes de la era cristiana. Ella se encuentra presente en todas las culturas y desde los albores de la humanidad el ser humano la empleó para contar sus rebaños o para medir el tiempo a través de calendarios a los fines de determinar las épocas de siembra y cosecha de los frutos de la tierra. La mayoría de las profesiones y los trabajos técnicos que hoy en día se ejecutan requieren de conocimientos matemáticos. Las actividades industriales, la medicina, la química, la sociología, la economía, la ingeniería y la arquitectura, la robótica, las artes y la música la utilizan, entre otras cosas, para expresar y desarrollar muchas ideas en forma gráfica, numérica y analítica (mediante fórmulas). La matemática es considerada un medio universal para comunicarnos y un lenguaje de la ciencia y la técnica. Ella permite explicar y predecir situaciones presentes en el mundo de la naturaleza, en lo económico y en lo social. A esto se suma que la matemática contribuye a desarrollar lo metódico, el pensamiento ordenado y el razonamiento lógico. Su estudio favorece que la mente humana distinga el todo de las partes, lo analítico y lo sintético, lo ordenado de lo no ordenado, lo que está clasificado de lo que está “revuelto”, entre otros procesos fundamentales del pensamiento.

INTERESANTE El Padre Andújar y los estudios de matemáticas en Venezuela El capuchino aragonés Fray Francisco de Andújar propuso en 1785, al gobernador Manuel González, que le permitiesen regentar una cátedra de matemáticas. Fue en junio de 1798 cuando se inició el proyecto del padre Andújar que apenas duró unos meses, como se dice en el acta del Consulado de mayo de 1800, el "Padre Andújar tuvo que valerse de casa particular para establecer la clase de Matemáticas que tuvo por algún tiempo". Fue el joven Simón Bolívar, con apenas quince años de edad en ese entonces, quien cedió una de las habitaciones de su casa para la clase del padre Andújar, de quien fue su alumno, como así lo reconoce el Libertador en su carta al general Santander de fecha 20 de mayo de 1825, firmada en Arequipa: "Robinson, que Vd. conoce, fue mi maestro de primeras letras y gramática; de bellas letras y geografia, nuestro famoso Bello; se puso una academia de matemáticas sólo para mí por el padre Andújar, que estimó mucho el barón de Humboldt. Después me mandaron a Europa a continuar mis matemáticas en la academia de San Fernando". Fundación POLAR • Matemática para todos

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¿Por qué matemática en la educación básica? En la Educación Básica del mundo entero se inicia el aprendizaje de la matemática con la adquisición de un lenguaje universal de palabras y símbolos que es usado para comunicar ideas de número, espacio, formas, patrones y problemas de la vida cotidiana. Así, encontramos palabras como cuadrado, círculo, cono, porcentaje, decimal, ... ; relaciones del tipo mayor que, dentro de, paralelo a, tangente a, más grande que... Asimismo, se utilizan símbolos como =, >, <, x, ≈, los cuales estimulan ideas acerca de lo que ellos representan. La utilización de esa nomenclatura no se limita únicamente a la educación formal, sino que cada día se hace necesario este conocimiento para desenvolverse diariamente pues está presente en el quehacer cotidiano, en los medios de comunicación, en la ciencia y en la tecnología. Por otra parte, la contribución del aprendizaje de la matemática en la formación del razonamiento no ofrece discusión. De allí que a lo largo de los programas instruccionales de la Educación Básica se consideran algunos tipos de razonamiento como se expresa en el siguiente diagrama:

Algunos tipos de razonamiento Razonamiento inductivo como consecuencia de situaciones en las que a partir de la observación de ejemplos se obtienen conclusiones que deben demostrarse. Por ejemplo: el producto de un número impar por un número par es un número par y siempre será par cualesquiera que sean esos dos números considerados. Esta conclusión puede inferirse a partir de la observación de varios ejemplos.

Razonamiento espacial se aplica para obtener conclusiones a partir de observaciones en el espacio.

Razonamiento deductivo significa demostrar una suposición mediante reglas de la lógica y enunciados verdaderos ya demostrados.

Razonamiento proporcional es el utilizado cuando se establecen relaciones entre variables en los que se obtiene una constante de proporcionalidad.

Para alcanzar un buen nivel de razonamiento es necesario que los docentes faciliten a los alumnos variadas experiencias conectadas con el mundo real y con otras ciencias, que estimulen la habilidad para resolver problemas en forma oral y escrita y se apoyen en los diferentes tipos de razonamiento. Estos fascículos de Matemática para todos fueron concebidos con una visión global de la matemática y con ellos se aspira desmitificar la percepción de que la matemática es sólo para algunos privilegiados. Se espera una actitud positiva en los docentes que estimule la natural curiosidad de sus alumnos para que aprendan a valorar la frondosidad del árbol matemático que atraerá a los niños y jóvenes, de acuerdo con sus intereses y talentos.

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Equipo de trabajo Coordinador de la colección Renato Valdivieso (Fundación Polar) Coordinadora académica Inés Carrera de Orellana Profesora de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Postgrado en Didáctica de la Matemática DEA (Universidad de París VII, Francia) Profesora Titular (J) CENAMEC Especialistas del área Walter Beyer. Licenciado en Matemática (UCV) Magíster en Educación mención Enseñanza de la Matemática (UPEL) Profesor Asociado (J) (UNA)

Mauricio J. Orellana Chacín Licenciado en Matemática (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de GrenobleFrancia). Profesor Titular (J) (UCV)

Simón Bong Profesor de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Magíster en Procesos de Aprendizaje (UCAB) Profesor Instructor (UPEL)

Rafael J. Orellana Chacín Licenciado en Estadística (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de París V Francia) Profesor Titular (J) (UCV)

Nora Ghetea de Jaegerman Licenciada en Educación Matemática (UCAB) Magíster en Educación Matemática (Universidad de Pittsburgh, EE.UU.) Gisela Marcano Coello Maestra Normalista Profesora de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Profesora (J) CENAMEC Miriam Meza Hidalgo Licenciada en Educación Matemática (UCV) Magíster en Didáctica de la Matemática (Universidad Laval, Canadá). Profesor Asociado (CENAMEC)

Colaboradores Sandra Leal (UPEL) Amanda Pérez Gómez (CENAMEC) Teresa Tesoro (USB) Ligia de Bianchi

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Jorge Salazar Profesor de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Ph.D. en Matemática (Universidad del Estado de Oklahoma-EE.UU.) Profesor Titular (J) (UPEL) José Francisco Salinas Licenciado en Estadística (UCV) Magíster en Estadística (UCV) Profesor Asociado (J) (UCV) Víctor Vásquez Licenciado en Matemática (USB) Ph.D. en Educación Matemática (Universidad de Berkeley-EE.UU.) Asesor internacional de proyectos educativos del Banco Mundial

Validadores Henry Martínez (UCAB) Saulo Rada (UPEL) Ricardo Ríos (UCV) Sergio Rivas (UNA) Rafael Sánchez (UCV) Ennodio Torres (UCLA) Wilfredo Urbina (UCV)

Interesante

La Armonía de las esferas según Kepler

Los pitagóricos (siglo VI-V a.C.) pensaban que los planetas se movían en superficies esféricas cuyo centro era la Tierra. Dichos movimientos producían sonidos armónicos a los que llamaron “la música de las esferas”. Así explicaban el universo con esta teoría de “Armonía celeste”. Muchos siglos después, en 1595, el astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571-1630), en sus consideraciones acerca de la armonía matemática del Universo, formuló una teoría en relación con las distancias entre los planetas para lo cual se valió de los cinco poliedros regulares metidos dentro de esferas: seis esferas que correspondían a los seis planetas conocidos en su tiempo (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) separados (en ese orden) por el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro y el icosaedro. Kepler intentó encontrar las razones de por qué solamente existían seis planetas y cinco poliedros regulares. Su teoría fue posteriormente desechada con el descubrimiento de Urano en 1781. Fundación POLAR • Matemática para todos

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Olimpíadas Matemáticas Rafael Sánchez Lamoneda Escuela de Matemáticas- Facultad de Ciencias- UCV Las competencias de matemáticas han existido desde hace cientos de años, basta recordar la historia que envuelve el descubrimiento de la solución general de una ecuación de tercer grado, evento que se desarrolló en la Italia del siglo XVI. En épocas más recientes, a finales del siglo XIX en Hungría, se organizaban concursos de matemáticas elementales dirigidos a estudiantes en su último año de educación secundaria. Estos concursos se conocen bajo el nombre de Competencias Eötvös y se pueden considerar como el origen de las Olimpíadas de Matemáticas, OM.

Actualmente existen muchas competencias de matemáticas, unas de carácter presencial, otras en las cuales se participa por correspondencia. Todas con un propósito común, “motivar a jóvenes estudiantes hacia el estudio de la matemática”, además de generar por parte de los de docentes, la producción e intercambio de problemas interesantes, novedosos y retadores. El desarrollo de las Olimpíadas Matemáticas, ha sido tan rápido y vigoroso que hoy en día participan anualmente en la Olimpíada Internacional de Matemáticas, más de 80 países y alrededor de 500 estudiantes, cuando hace sólo 20 años participaban una veintena de países, principalmente de Europa y Norteamérica, lo que dice mucho del desarrollo de estos juegos olímpicos. En Venezuela las Olimpíadas de Matemática se realizan desde 1975, como un proyecto del Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia (CENAMEC), liderado inicialmente por el profesor Saulo Rada. Hoy en día se llevan a cabo competencias de matemáticas en diferentes niveles del sistema educativo, tanto de carácter nacional como internacional. Entre ellos cabe destacar el concurso Canguro Matemático, la competencia juvenil de matemática más grande del mundo. En los tres últimos años Venezuela ha tenido una destacada actuación en varias olimpíadas de matemáticas en el mundo, cabe destacar la obtención de dos medallas de plata, dos de bronce y dos menciones honoríficas en las Olimpíadas Internacionales de Matemáticas en los años 2001 y 2002, así como tres medallas de plata y una de bronce en la Olimpíada Iberoamericana de Matemáticas en Uruguay, en el año 2001. Estos premios vinieron acompañados de la obtención de la copa Puerto Rico, en la misma olimpíada iberoamericana señalada. Esta copa la gana el país que muestra el mayor desarrollo en dos años consecutivos. En la actualidad la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas (ACM) tiene como objetivo la promoción de las matemáticas y la organización de un programa de captación de jóvenes con talento para la matemática con la finalidad de llevarlos a competir en diversas Olimpíadas de Matemática alrededor del mundo.

El Universo está escrito en el lenguaje de la matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una palabra de él Galileo Galilei (1564-1642) Matemático, físico y astrónomo italiano

Todos los objetos tienen una forma y ocupan un lugar en el espacio que podemos medir por medio de la Geometría. Así, Geo (tierra) y Metron (medida), vocablos griegos, originan la palabra Geometría, considerada la rama de la Matemática que estudia las formas y sus relaciones.

Óvalo Polar, obra cinética de Jesús Soto, uno de los máximos exponentes del arte cinético universal. Nació en el estado Bolívar (1923- ), donde hay un Museo que lleva su nombre. Ha realizado exposiciones en Venezuela, Francia, Estados Unidos, Italia y muchos otros países. La obra engalana la sala de entrada del edificio Fundación Polar en Caracas. Fotografía: Sabina Caula

Johannes Kepler (1571-1630) Astrónomo y matemático alemán

Descubriendo el mundo de las formas

Fotografías: R. Chovet

or las person as as p ch he

leza se en atura cue n la nt n r E

as formas y otra h c ss mu on n a

Estas son redondas por todas partes, es decir, tienen forma esférica.

Observa que todas las caras de estos tres objetos son planas.

Otras formas tienen partes curvas y partes planas. Las latas de atún y los dos vasos son ejemplos de esto.

Estas partes son planas

Estas partes son curvas

Completa el patrón

018

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

Formas completamente redondas

P

R

C

P1

P2 INTERESANTE Si consideramos una varilla de longitud R, fijada en un extremo C y la movemos libremente en el espacio, el otro extremo describe un esfera de radio R. Esto significa que la distancia de cualquier punto P de la esfera a su centro no varía y esta distancia es igual al radio R.

Los cuerpos que observas son redondos por todas partes pero de ellos sólo visualizamos su superficie, que es de forma esférica y la denominamos esfera (superficie esférica). La esfera conjuntamente con la región del espacio encerrada por ella la llamamos esfera sólida (˝bola˝).

Circunferencia y círculo Del espacio al plano Al hacer un corte a una esfera con un plano, por ejemplo un limón o una cebolla de forma esférica cortada con un cuchillo, resulta Plano

una circunferencia sobre la esfera, en la concha del limón. El

ncia fere n u c C ir

círculo es la circunferencia junto con la región del plano encerrada por ella.

C R P Circunferencia máxima

El corte o intersección de un plano con una esfera es una circunferencia. Esta es una propiedad característica de la

io ad

ro

obtiene el círculo. Si el plano pasa por el

R

et

la esfera sólida y el corte con un plano se

m

es igual al radio R de la esfera). Al considerar

resulta una circunferencia máxima (su radio

P

D

Si el plano pasa por el centro de la esfera,

INTERESANTE Para construir una circunferencia tomamos una tachuela o un clavo que fijamos a una hoja de papel. Amarramos una cuerda en la tachuela o clavo y en el otro extremo un lápiz que movemos para trazar la circunferencia sobre el papel. La distancia de un punto P de la circunferencia a su centro C no varía y esta distancia es igual al radio R.

R

esfera.

Lápiz

Tachuela

C

centro C, resulta un círculo máximo.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

019

Formas con partes planas y superficies curvas Cilindro

Eje

Todos estos cuerpos tienen partes planas y superficies curvas, a este tipo de formas se les llama cilindro. Si levantamos segmentos verticales en los puntos de una circunferencia C (son segmentos perpendiculares al plano que la contiene) y que tengan una misma longitud, obtenemos una superficie cilíndrica. El círculo limitado por la circunferencia C es una base. El cilindro es el sólido definido por la superficie cilíndrica, las dos bases de ésta y la región del espacio encerrada por ellas.

Johnson and Son Company

Dos tipos de cilindros, según que su eje sea o no perpendicular a las bases. Eje

Base

Cilindro recto es aquél que tiene su eje perpendicular a las bases. Base

Base

Base

OBSERVA

Eje

Superficie cilíndrica

Wisconsin, Estados Unidos

(es la superficie lateral)

Segmentos verticales

Base

90°

Cilindro oblicuo es aquél que no tiene su eje perpendicular a las bases. Base

Circunferencia C Base

Hilos

Del espacio al plano Al hacer un corte en un cilindro recto con un plano paralelo a las bases (esto es, perpendicular al eje) resulta un círculo. Si el corte se hace con un plano paralelo al eje, entonces resulta un rectángulo.

Varilla

Base

INTERESANTE Para construir un cilindro, primero debes recortar dos bases circulares del mismo radio hechas con cartón, luego pasas hilos de la misma longitud por agujeros en el borde de éstas, entre una base y la otra. Colocas una varilla resistente como eje (en el centro de las bases) de modo que los hilos estén paralelos y permanezcan tensos.

Repite el patrón

020

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Cono

Eje

Eje

El cono es otro cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. Si unimos con segmentos los puntos de una circunferencia C con otro punto V situado fuera del plano de esa circunferencia, obtendremos una superficie cónica. El cono esta formado por la superficie cónica, la base circular de ésta y la región del espacio encerrada por ellas.

Vértice V

Vértice V

Corte de Justicia Londres, Inglaterra

Superficie cónica (es la superficie lateral)

= 90° Base circular

Circunferencia C

Cono recto es aquél que tiene su eje perpendicular a su base.

Base circular

Cono oblicuo es aquél que no tiene su eje perpendicular a su base. Círculo

Del espacio al plano Al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base (esto es, perpendicular al eje), resulta un círculo. El sólido obtenido al quitar la parte que contiene al vértice es un cono truncado o tronco de cono.

Hilos Varilla

Base

INTERESANTE Para construir un cono, primero debes recortar una base circular en cartón, luego pasas hilos de la misma longitud por agujeros en el borde y los unes en el otro extremo. Colocas una varilla resistente como eje (desde la base hasta el nudo de los hilos) de modo que los hilos permanezcan tensos.

Fotografías: R. Chovet

Nudo

Las ruedas más antiguas se construyeron en Sumeria, entre los años ¿3500 y 3000 a.C.? La forma original de esas ruedas era la de un disco de madera fijado a un eje mediante espigas de madera. Los egipcios utilizaron troncos de árboles para transportar grandes piedras. Se supone que la primera rueda fue un trozo de tronco de árbol cortado en forma parecida a la de un cilindro. Los incas, la cultura más desarrollada en América del Sur antes de la llegada de los españoles, no conocieron la rueda y como hacían grandes construcciones en piedra utilizaban rodillos de madera para transportar esas piedras, parecido a lo que hacían los egipcios. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

021

Formas con partes planas y superficies curvas Del plano al espacio (los cuerpos o sólidos de revolución)

Los griegos fueron los primeros en considerar la esfera como un objeto matemático y la definieron como la superficie obtenida al girar una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros.

Templo de Delfos Uno de los raros edificios circulares de la arquitectura griega.

El cilindro y el cono también se obtienen por rotación. • Toma una tira de papel de 5 cm de ancho por 20 cm de largo y pégala a una varilla de cualquier longitud. Al rotar la varilla visualizarás un cilindro.

Eje de rot ac ión

¿Qué se obtiene al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro? ¿Qué se obtiene al girar un círculo alrededor de uno de sus diámetros? ¿Qué se obtiene si giras un rectángulo alrededor de uno de sus lados? ¿Qué se obtiene si en la construcción que hiciste de un cilindro con hilos, tuerces (giras) media vuelta los discos, uno hacia la derecha y otro hacia la izquierda? ¿Qué se obtiene al hacer un corte en un cono recto con un plano que contiene al eje? Completa la sucesión

022

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V

Eje de rot ac ión

A

B

Fotografías: R. Chovet

cono.

20 cm

90°

hipotenusa alrededor del cateto VB visualizarás el

5c

AV y ángulo recto en el vértice B. Al girar la

m

• Toma un triángulo rectángulo ABV de hipotenusa

Formas con todas sus caras planas

A ti, mar de los sueños angulares, flor de cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro Rafael Alberti (Poeta español, 1902-1999; Premio Cervantes 1983)

Poliedros Muchas de las edificaciones construidas por los humanos y algunos cuerpos de la naturaleza, tienen forma de poliedros. Los poliedros son cuerpos limitados por un número finito de superficies planas. Las superficies planas son polígonos que reciben el nombre de caras del poliedro. La intersección de dos caras es una arista y el punto de intersección de más de dos caras es un vértice.

Poliedro de Caracas Una edificación donde su cobertura es una suma de poliedros colocados de tal manera que asemeja una superficie curva.

Observa algunos poliedros y sus nombres de acuerdo al número de caras. Vértice

a

ist Ar

Ca

Octaedro 8 caras

ra

Nonaedro 9 caras

Pentaedro 5 caras

Dodecaedro 12 caras

Hexaedro 6 caras

Heptaedro 7 caras

Hexaedro 6 caras

VERIFICACiÓN

Sus caras son polígonos: triángulos, rectángulos, paralelogramos que no son rectángulos, trapecios, pentágonos, etc. Un poliedro es convexo si al colocar dos dedos sobre el mismo, los cuales determinan los puntos A y B, todo el segmento AB así determinado está dentro del poliedro. También se dice que un poliedro es convexo si está situado en un mismo lado de uno cualquiera de sus planos de apoyo (plano que contiene una cara). Todos los poliedros arriba representados son convexos.

V Poliedros B

A

Número Número de vértices de aristas

Octaedro

6

C Número de caras

12

8

A

Convexo

Si contamos las caras, los vértices y las aristas del octaedro convexo se cumple con la Fórmula de Euler V-A+C = 2. Construye una tabla como la de al lado y verifica la Fórmula de Euler.

Leonhard Euler (matemático suizo 1707-1783) fue uno de los más prolíficos matemáticos. Publicó más de 850 obras en vida y dejó muchísimos trabajos sin publicar. Desde 1771, cuando quedó totalmente ciego, dictaba a sus asistentes o escribía en un largo pizarrón las fórmulas para ellos. En geometría es conocido por la Recta de Euler y por la Fórmula de Euler. La «Recta de Euler» es la recta determinada por el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo. La «Fórmula de Euler» relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

023

Descubriendo las formas con todas sus caras planas Poliedros platónicos Poliedros regulares son aquellos poliedros convexos en los que todas sus caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Los poliedros regulares han intrigado a los matemáticos por miles de años. La existencia de sólo cinco tipos de poliedros regulares figuran en la explicación que dio Platón a ciertos fenómenos en su famoso diálogo Timeo. Estos poliedros se asocian a los cuatros elementos (Fuego, Tierra, Aire, Agua) y al Universo. Los cinco poliedros regulares son llamados Poliedros Platónicos.

Platón Filósofo griego (428-347 a.C.)

Observa los cinco poliedros regulares, las caras idénticas que se encuentran en cada vértice y el elemento que representan. ro ed ta e) Oc (air

D o (u dec n a i v er ed r so o )

Compendium Julio Pacheco Rivas

o Cubra) (tier

Icos a (aguedro a)

Tetraedro (fuego)

Pintor venezolano (1953- ) Galería de Arte Nacional

La Armonía de las esferas según Kepler

Los pitagóricos (siglo VI a.C.) pensaban que los planetas se movían en superficies esféricas cuyo centro era la Tierra. Dichos movimientos producían sonidos armónicos a los que llamaron “la música de las esferas”. Así explicaban el universo con esta teoría de “Armonía celeste”. Muchos siglos después, en 1595, el astrónomo y matemático Johannes Kepler (15711630), en sus consideraciones acerca de la armonía matemática del Universo, formuló una teoría en relación con las distancias entre los planetas para lo cual se valió de los cinco poliedros regulares metidos dentro de esferas: seis esferas que correspondían a los seis planetas conocidos en su tiempo (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) separados (en ese orden) por el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro y el icosaedro. Kepler intentó encontrar las razones de por qué solamente existían seis planetas y cinco poliedros regulares. Su teoría fue posteriormente desechada con el descubrimiento de Urano en 1781.

024

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Otros poliedros: Pirámides

La palabra pirámide evoca uno de los monumentos construidos por los antiguos egipcios. Los más grandes sólidos geométricos hechos por el hombre se construyeron cerca de 2600 años a.C. Uno de estos sólidos es la Gran Pirámide de Egipto, en la foto, la única de las siete maravillas del mundo todavía en existencia. Esta pirámide se realizó colocando más de dos millones de bloques de piedra, pesando entre 2 y 150 toneladas cada una. La Gran Pirámide pertenece a los poliedros llamados pirámides. Entre las culturas antiguas de México destacan la teotihuacana, la maya y la azteca. En Teotihuacán estaban las pirámides del Sol y la Luna. La civilización Maya (s. IIIXVI) tuvo su desarrollo en México y Centroamérica. Hicieron grandes construcciones utilizando la piedra. Entre éstas destacan los templos elevados a una gran altura como las cinco pirámides de Tikal. También los aztecas (en México), en la gran ciudad de Tenochtitlán, una de las mayores del mundo para la época de la llegada de los españoles, hicieron grandes construcciones, algunas de ellas de forma piramidal.

Aunque los egipcios y los mayas escogieron la forma cuadrada para la base de sus pirámides, otros polígonos también pueden ser utilizados como base. Observa: Las caras laterales de una pirámide son triángulos que tienen un punto común. Este punto común recibe el nombre de vértice de la pirámide. Pirámide cuadrada

Pirámide triangular

Pirámide pentagonal

Pirámide hexagonal

Vértice V

Del espacio al plano Toma una esfera, un cubo, una pirámide o un cono y haz incidir una luz sobre ellos para que genere una sombra sobre la pared. ¿Cómo es la sombra de cada uno de ellos? Caras laterales triángulos

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025

Descubriendo las formas con todas sus caras planas Liceo del Futuro Poitiers, Francia

Prismas Uno de los tipos más comunes de poliedros lo constituyen los prismas o cajas. Observa algunos prismas: Bases rectangulares

Paralelogramos

Bases triangulares Bases hexagonales

Paralelogramos

Prisma rectangular o caja

Prisma triangular

Prisma hexagonal

Prisma

Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadas bases del prisma. Los prismas se nombran por la forma de sus bases. En un prisma, las caras que no son bases se denominan caras laterales. Los prismas cuyas caras laterales son rectángulos, se llaman prismas rectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos. Los prismas rectangulares rectos o “cajas” también son llamados paralelepípedos. Uno de los paralelepípedos más utilizado es el cubo.

RETO Con 36 cubos formamos el prisma de la derecha (3 x 3 x 4). ¿Cuántos prismas diferentes podemos formar con los treinta y seis cubos?

La Casa de Piedra en los valles de Aragua, de la etapa precolombina, fue construida con grandes piedras o lajas que se sostenían entre sí. Su entrada era de forma “prismática”, con dos piedras de 3,5 m de largo cuyos lados constituían las paredes del estrecho zaguán, apoyándose en el suelo y con separación de 1,5 m. Sobre esas dos lajas se situaba otra de 4 m de largo con un saliente de 1,5 m a manera de porche. No se localizó, pero se tiene referencia de ella por una memoria de la Dirección General de Estadísticas de Venezuela de 1873. Fuente: E. Arcila Farías, Historia de la Ingeniería en Venezuela, 1961.

Repite la secuencia

026

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Escuela de Atenas (Detalle) Principal sitio de reunión de pensadores griegos Realizada por Rafael Sanzio (1483-1520)

Tengo que pensarlo Dibuja en los cuadros vacíos las figuras que faltan A

El dibujo corresponde a una estructura metálica. Una persona quiere ir del punto A al B, sin retroceder ni subir. B ¿Cuántas rutas puede elegir?

¿Puedes construir un cubo con tres bandas iguales de papel de diferentes colores, de forma tal que las caras opuestas sean del mismo color?

¿Cuántas esferas necesitarás para construir esta pirámide de base cuadrada? ¿Y si su base es un triángulo equilátero?

Con 110 esferas se construyen 3 pirámides de base cuadrada ¿Cuáles serán sus bases y el número de pisos?

Relaciones espaciales

A

A B C

E F

G

Un cubo se puede dividir exactamente D en tres pirámides. B Una de ellas es la pirámide cuadrada de vértices E, F, G, H y C. Nombra los cinco vértices de las otras dos pirámides que dividen el cubo. F H

C

E

La pirámide FHAC divide al cubo en 5 D pirámides triangulares. Señala los otros cuatro vértices de las otras cuatro pirámides triangulares. H

G Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

027

Maqueta del transbordador NASA, Cabo Kennedy, EE.UU.

Geometría y tecnología En el lanzamiento de un transbordador espacial se utiliza un cohete a los fines de colocarlo en órbita. La ilustración muestra la configuración de los tanques de combustible de oxígeno líquido, de hidrógeno líquido y el intertanque que es un conector mecánico entre los otros tanques.

Utilizando las dimensiones de las partes de los componentes del transbordador se puede calcular aproximadamente el volumen total de los tres tanques. Para ello hay que considerar que: la forma del tanque de hidrógeno es cilíndrica con tapas, el tanque de oxígeno es la combinación de un cono, un cilindro y una media esfera.

Geometría y ciencia Las abejas y la geometría

Fotografías: R. Chovet

¿Has visto un panal de abejas? Visto de frente se parece a un piso cubierto de mosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectos hexagonales. Entre el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular, este último tiene el menor perímetro para un área establecida. Esto significa que en los panales de abejas en forma de prisma hexagonal se usa menos cera para su construcción.

El prisma y la luz

Lu

028

z

bl

an

ca

El prisma es utilizado para producir el espectro de colores desde el rojo hasta el violeta. La luz blanca que incide en una de las caras laterales de un prisma triangular cambia de curso cuando pasa a través del prisma y da origen al espectro de colores, según muestra la figura.

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Museo del Louvre París, Francia

Geometría y arte La presencia de la matemática en el arte se manifiesta desde tiempos remotos. Los griegos utilizaron la geometría en la construcción de sus monumentos. Los artistas del Renacimiento (s. XV), entre los cuales mencionaremos a Rafael Sanzio y Leonardo Da Vinci, crearon la perspectiva para representar la profundidad. La Última Cena, obra cumbre del equilibrio y de estudio de caracteres, donde se manifiesta un uso acentuado de la perspectiva, marcó una nueva etapa en la pintura. Además, los árabes (s. XII-XV) en la región de Andalucía, decoraron sus palacios mediante un espléndido arte geométrico. En el siglo XX muchos artistas han utilizado figuras geométricas en sus obras: Jesús Soto, Cruz Diez, Maurits Escher, Pablo Picasso, Vasili Kandinsky, Salvador Dalí, Piet Mondrian, René Magritte, para mencionar algunos.

Algunas obras artísticas combinan las formas geométricas, como la mostrada a continuación, Reptiles (1943) del pintor y grabador holandés Maurits Escher (1898-1972). Sus obras tienen un gran componente geométrico.

Vibración, Cuadrado 2 Jesús Soto

En el Paseo de Euclides (1953), de René Magritte (belga, 1898-1967) observamos un techo en forma de cono montado sobre una torre cilíndrica y una calle en perspectiva extendida al infinito con un efecto visual de “parecerse” a otro cono.

Construcción 2 Carlos Cruz Diez

Los reptiles salen del papel donde están dibujados, saltan al libro de biología, pasan por la escuadra para llegar al dodecaedro, caen en un tronco de cono y por último regresan al plano de donde salieron. A partir del mundo plano (bidimensional) se crea un mundo espacial (tridimensional).

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029

Poliedro con flores

Ventana didáctica

Maurits Escher

Estrategias sugeridas al docente

Construir un tetraedro Hoy se considera una necesidad desde un punto de vista didáctico, científico, histórico y cultural, recuperar el contenido espacial e intuitivo de la Geometría, el cual se puede lograr desde los primeros años de edad mediante un cierto componente lúdico, posponiendo las formalizaciones para cursos posteriores. Así, debe comenzarse por incentivar a los niños a descubrir propiedades de los objetos que los rodean mediante observaciones, manipulaciones, establecimiento de relaciones. Inducirlos a reconocer el espacio mediante recorridos, trayectorias, distancias... Entrenarlos a visualizar formas para luego representarlas, analizar las diferencias entre realidad y representación, espacio y plano. De esta manera puede darse cuenta de que en el espacio un objeto se puede manipular pero la representación del mismo objeto en un plano, por ejemplo, no se puede manipular. Pensemos en una fotografía, a pesar de "ver" que es idéntica a la realidad no deja de ser más que una representación de la realidad. A continuación se presenta una experiencia en la cual se pueden seguir los diferentes pasos que conducen a una aproximación a la forma de trabajar la Geometría en Educación Básica.

Construir un tetraedro (no regular) Fase exploratoria Se presenta un conjunto de sólidos (cubo, cono, cilindro, tetraedro, paralelepípedo). Los alumnos señalarán sus diferencias y semejanzas. Una vez determinadas sus semejanzas y diferencias, el docente realizará preguntas como las siguientes: ¿cuáles poseen cuatro caras? ¿Qué formas tienen las caras? ¿Cuáles de estos sólidos tienen todas sus caras con formas de triángulo isósceles? Con lo que identificarán al tetraedro no regular. Fase de construcción El docente ha preparado figuras triangulares cuyas caras son triángulos isósceles de 6 cm de base y 6 cm de altura. Ha dividido al grupo de alumnos en equipos y entrega un modelo a cada uno de los equipos diciendo que deben representar cuatro figuras con las mismas medidas que las entregadas por el docente, usando para ello el compás y la regla. Fase de planeamiento del problema El docente pedirá a los alumnos que ensamblen las cuatro figuras cuyas caras son triángulos isósceles (que han sido construidas por ellos) para obtener un modelo de tetraedro. Por ensayo y error los alumnos llegarán a comprender que pueden obtener la solución por varias vías. Estrellas (xilografía), 1948 M.C. Escher

Se darán cuenta de que con un patrón como el indicado en rojo no podrán alcanzar la solución: Se realizará una discusión colectiva con todos los equipos y se revisarán los conceptos de cara, aristas, vértices, triángulos isósceles, etc.... La sesión finalizará con una actividad creativa por parte de los alumnos construyendo una nueva figura con todos los tetraedros de los diferentes equipos.

030

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Información actualizada Páginas web

Bibliografía

TIMSS. Ejemplos: Geometría www.ince.mec.es/timss/geom.htm

Baena Ruiz, Julián y otros (1998), La esfera, Edit. Síntesis, Madrid, España.

The Geometry Center: www.geom.umn.edu

De Guzmán, Miguel (1994) Para pensar mejor, Pirámide S.A., Madrid, España.

Mega Mathemathics: www.c3.lanl.gov/mega-math Riverdeep: www.riverdeep.net Math resources inc: www.mathresources.com Quiz Lab: www.funbrain.com Teacher created materials: www.teachercreated.com Meridian Creative Group: www.meridiancg.com

Memorias (1998) III Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, Caracas, Venezuela. National Principles and Standard for School Mathematics (NCTM-2000). ICMI Study Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century. Editado por C. Mammana y Vinicio Villani (1998). Kluwer Academics Publishers, Holanda.

Miguel de Guzmán Ozámiz: www.mat.ucm.es/depots/am/guzman

Videos

Revistas

Espace en fête. Centre National de Divulgation Pedagogique (CNDP), París, Francia.

Curriculum Administrator. EE.UU.

Cordes a jouer: CNDP, París, Francia. Geometría en la Educación Básica: Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia -CENAMEC-, Venezuela. La armonía de los mundos: Serie Cosmos de Carl Sagan, Vol. III. Turner Home Entertainment (1994). M.C. Escher. Geometría y mundos imposibles. Audiovisuales Mare Nostrum. Madrid, España.

Education Enfantine Nathan. Francia. Emma, Investigación e Innovación en Educación Matemática, Bogotá. Colombia. Grand N IREM, Grenoble. Francia. Enseñanza de la Matemática, Sociedad Venezolana de Educación Matemática. Venezuela. Mathemathics Teachers. EE.UU. Recherches en Didactique des Mathématiques. Francia. The Elementary School Journal. EE.UU.

Resultados

Con 110 esferas se construyen una piramide de base 6, una de base 3 y otra de base 2

Esta es una de las soluciones Necesitamos 30 esferas para generar esta piramide con base cuadrada y sólo se requieren 20 esferas para la de base triángulo equilátero.

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031

Miguel Méndez

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Altagracia de Orituco, estado Guárico, en 1955. Realizó sus estudios de matemáticas en la Universidad Central de Venezuela, donde obtuvo la licenciatura en 1978. Posteriormente, en la misma universidad, completó su formación obteniendo el título de Doctor en Ciencias, mención matemáticas, en 1989, y realizó estudios postdoctorales en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), en el período 199192. El doctor Méndez es un reconocido especialista en Análisis Combinatorio, área en la que ha realizado contribuciones muy destacadas. Han sido particularmente significativos sus trabajos sobre especies de Moebius, especies tensoriales y funciones simétricas. Con el primero de ellos obtuvo en 1991 el premio al Mejor Trabajo en Matemáticas otorgado por el CONICIT. Con su trabajo sobre funciones simétricas obtuvo nuevamente, en 1996, el referido premio. Ha sido profesor visitante de prestigiosas instituciones académicas en el exterior y ha publicado más de veinte trabajos en algunas de las mejores revistas de matemáticas. Es actualmente investigador asociado titular del IVIC, profesor titular de la UCV, es miembro del Sistema de Promoción al Investigador y colabora con la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas en la preparación de jóvenes que participan en olimpíadas internacionales de matemáticas. Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1993. Fotografía: F. Fernández

*

Muchos problemas de conteo de arreglos de objetos han sido estudiados desde la antigüedad hasta nuestros días. Por ejemplo: número de combinaciones de n cosas tomando k de ellas cada vez. Este tipo de problemas se puede considerar con repetición de los objetos que aparecen en los arreglos o sin ella, por ejemplo, contar la cantidad de banderas diferentes, con tres franjas de distintos colores, que se pueden hacer con los colores amarillo, azul y rojo, es un ejemplo muy sencillo de conteo sin repeticiones, pero si lo que queremos es contar el número de placas de automóvil que se pueden hacer con la nomenclatura que actualmente tenemos en Venezuela, tres letras y tres números, entonces hay que contar las posibles repeticiones, pues por ejemplo XDK 332 es una placa y aquí el 3 aparece dos veces. Por cierto, ¿cuántas placas se pueden hacer? Otros problemas interesantes son los siguientes: contar el número de palabras de una cierta longitud que pueden formarse usando un cierto número de letras. De cuántas formas se pueden distribuir los números del 1 al 9 en un cuadrado con nueve casillas, cuyas filas, columnas y diagonales tienen la misma suma (cuadrados mágicos). ¿Con 16 o 25 casillas? Un ejemplo muy importante que relaciona la Combinatoria con la Geometría se menciona en este fascículo: si tomamos un poliedro convexo (la definición aparece en la página 023 de este fascículo) e indicamos con V el número de vértices, A el número de aristas o lados y C el número de caras y calculamos V-A+C, siempre obtendremos 2, teniendo así la famosa fórmula de Euler V-A+C=2, la cual forma parte de un grupo de resultados muy interesantes que hoy en día se estudian en diversas ramas de la matemática, como son la Geometría, la Topología y el Álgebra. La resolución de problemas como los mencionados en el párrafo anterior ha cobrado gran importancia en los últimos años debido a sus aplicaciones en muchas áreas, particularmente en las ciencias de la computación. Las técnicas creadas para resolver dichos problemas han sido sistematizadas en lo que hoy se conoce como combinatoria enumerativa, un área de la matemática que está en pleno desarrollo. El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el biólogo José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

¡A jugar! ¿Cuál es el sólido? Material Un cartón o papel como el situado aquí abajo, donde se colocarán un cubo, un prisma de base hexagonal, un cono, una pirámide de base triangular, una esfera, una pirámide de base cuadrada, un cilindro, un prisma de base triangular y un prisma de base rectangular.

¿Cómo jugar? Uno de los jugadores, seleccionado para conducir el juego, escribe en un papel el nombre de uno de los sólidos, a escondidas de los otros jugadores. Cada uno de los otros jugadores tiene derecho en su turno, a hacer una pregunta cuya respuesta le dé pistas para llegar a saber ¿Cuál es el sólido? Las preguntas deben ser hechas de tal manera que las respuestas sean SÍ o NO, por ejemplo: ¿Su base es cuadrada? ¿Todas las caras se encuentran en un punto? El jugador que haga una pregunta clave para saber ¿Cuál es el sólido? luego de recibir la respuesta, puede descubrirlo y debe explicar cómo llegó a esa conclusión. En cada ronda habrá un ganador, al final del juego gana quien haya descubierto la mayor cantidad de sólidos.

Plantillas para construir algunos sólidos Pega estas dos páginas en papel de cartulina para que puedas recortarlas y armarlas luego.

La esfera deberá ser

¿Cuál es el sólido?

una metra grande u

Antes de armar la figura trata de adivinar ¿cuál es?

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representada con

otro objeto esférico. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1

Matemática para todos Fascículo

El mundo de las Geometría II

líneas

El Maestro José Rafael Acevedo (Caracas, 1800-1864) dictó la primera cátedra de matemáticas en la Universidad Central de Venezuela (UCV), en 1827, la que había sido creada en los Estatutos Republicanos de la UCV, promulgados por el Libertador en ese mismo año. Fue el segundo maestro de la cátedra de matemáticas en 1830. “Todos los hombres notables del país que estudiaron Filosofía y Matemáticas antes de 1840, fueron sus discípulos, y muchos de ellos se formaron en su propia casa, donde fueron tratados con fraternal afecto” (Willy Ossott, 1956).

El ambiente natural de los animales es la selva. El ambiente natural de las obras artísticas son las plazas, los jardines, los edificios públicos, las fábricas, los aeropuertos. Carlos Raúl Villanueva (1900-1975) Arquitecto venezolano, diseñador de la UCV

En el año 2000 la UNESCO declaró a la UCV como Patrimonio Cultural de la Humanidad.

Plaza Cubierta de la Universidad Central de Venezuela donde observamos al Pastor de nubes (1953) de Jean Arp, escultor, pintor y poeta francés (1887-1966) y al fondo Mural (1954) de Mateo Manaure, pintor, diseñador y artista gráfico venezolano (1926- ). Fotografía: Obras de arte de la Ciudad Universitaria de Caracas. 1991. CONAC

Pitágoras (siglo VI a.C.) Filósofo y matemático griego

Descubriendo el mundo de las líneas Observemos figuras geométricas presentes en la naturaleza o construidas por las personas. Fijemos nuestra atención en las líneas rectas o curvas que se encuentran, tanto en objetos del espacio como en figuras planas.

Líneas rectas

Hay segmentos, rectas paralelas, triángulos, cuadrados, rectángulos, hexágonos y muchas otras figuras, que tienen lados rectos.

El pentágono estrellado o estrella de cinco puntas fue utilizado por los pitagóricos, seguidores de la escuela de Pitágoras, para identificarse entre sí.

Completa el mosaico

034

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 3 - El mundo de las líneas - GEOMETRÍA 2

Luna Pedro Barreto,

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escultor venezolano (1935- )

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La parte metálica de una cesta de baloncesto es una circunferencia

Estas líneas en forma de hélice representan la molécula del ADN (Ácido Desoxirribonucleico) muy importante en Medicina y Biología.

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Líneas curvas ¡Oh, qué maravilla! En este gusano hay una línea que se enrolla en sí misma, es una espiral. El célebre Yin-Yang o símbolo Taichi de la filosofía taoísta (China, s. IV-III a.C.): el Yin, principio femenino y el Yang, principio masculino. Los cables sostenidos entre dos postes no son rectilíneos sino CURVOS. Alexander Calder (1898-1976) Escultor norteamericano. Construyó estos móviles en el Aula Magna de la UCV, atendiendo una invitación de Carlos Raúl Villanueva.

A tu alrededor hay muchos objetos con combinaciones de contornos rectilíneos, como segmentos y líneas poligonales, y contornos curvos como arcos de circunferencia, semicircunferencias, espirales y otras líneas curvas. Aún hay más, existen figuras cuyos contornos tienen partes rectas y partes curvas. Arco de medio punto

Arco mixtilíneo

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035

Segmentos, semirrectas y rectas El contorno de todas estas figuras son segmentos (partes de rectas). Un triángulo

Un cuadrado

Segmento AB de una recta Semirrecta de origen A que pasa por B

B

Recta

B

A

Una línea poligonal

B

A

A Son secantes si se cortan en un punto “O”. O

Un diseño ornamental

Si tomas un pedazo de pabilo y lo estiras completamente sin romperlo, resulta la representación de un segmento de extremos A y B. Si pudieras prolongar indefinidamente ese segmento por un extremo, obtienes una semirrecta. En cambio, si lo prolongas por ambos extremos resulta una recta.

Posiciones relativas de dos rectas distintas en un plano.

J. Bolyai

a

Todas esas figuras de un plano (segmentos, rectas, ángulos, circunferencias, polígonos) fueron estudiadas en la obra Los elementos de Euclides, matemático griego (300 a.C.), cuyo modelo de geometría ha permanecido hasta el presente. Una historia referida a Euclides, es la de un rey quien le preguntó si no había un camino más fácil para aprender geometría que no fuera estudiando Los elementos. Euclides respondió: “No existe un camino real hacia la geometría”.

N. Lobachevsky

B. Riemann

Euclides en la Escuela de Atenas

Son parelelas si no se cortan.

b

c

P

036

Fue solamente en el siglo XIX cuando se crearon geometrías distintas a la euclidiana, denominadas geometrías no euclidianas, puesto que en éstas no se verifica el 5º postulado de Euclides: por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a la misma. En la creación de las geometrías no euclidianas intervinieron B. Riemann (alemán, 1826-1886), J. Bolyai (húngaro, 1802-1860) y N. Lobachevsky (ruso, 1793-1856). INTERESANTE En el espacio, cuando se dan dos rectas distintas, tenemos tres posiciones relativas de las mismas: Rectas en un mismo plano como se dijo anteriormente: Paralelas como las rectas a y b ; Secantes, en el punto P, como las rectas byc. Rectas en planos distintos: a y c que no se cortan. Se dice que son rectas que se cruzan.

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Para dibujar segmentos, semirrectas, circunferencias, polígonos, se utilizan distintos instrumentos de dibujo. También se utilizan papeles cuadriculados y milimetrados para representar figuras.

Ángulos y polígonos Ángulos

O

Consideremos dos semirrectas a y b de origen común O, como se observa en la armazón del atril o en los techos inclinados y en otras estructuras similares. En tal caso decimos que se tiene un ángulo formado por esas semirrectas. Las semirrectas a y b se llaman lados del ángulo y éste se denota mediante el símbolo AOB donde A y B son puntos cualesquiera respectivamente, de a y b.

a

b B

A

A a

c

O

b

C

B

Con dos rectas que se cortan en un punto O se forman los ángulos AOB, BOC, COD y DOA. Los ángulos AOB y COD se llaman opuestos por el vértice. Asimismo son los ángulos BOC y DOA. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Los ángulos AOD y COB son ángulos agudos ya que son menores que 90° y los ángulos COD y AOB son ángulos obtusos porque son mayores que 90°.

A

E

Los polígonos se clasifican según el número de lados

O

d

D

b

B a

A a

C

Con el transportador mides los ángulos y también determinas si un ángulo es recto, obtuso o agudo.

O B

A

b

a

Polígonos B

D

c

Si esos cuatro ángulos son iguales, se dice que son ángulos rectos (90°) y las dos rectas son perpendiculares.

C D

d

b

Colocando segmentos uno a continuación del otro, obtienes líneas poligonales. Los segmentos que forman la línea poligonal son sus lados. A y E son los extremos de la línea poligonal. Una línea poligonal es cerrada si sus extremos coinciden. El polígono está formado por la línea poligonal cerrada y la región del plano encerrada por ella. Un polígono es convexo si está situado totalmente en un mismo lado de una cualquiera de sus rectas de apoyo Ej: ABCDE. En caso contrario es un polígono no convexo o cóncavo. Ej: FGHI

Número de lados

Nombre del polígono

Prefijo griego

3 4 5 6 7 8

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono

Tri Cuadri Penta Hexa Hepta Octo

Polígono convexo

Polígonos no convexos

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037

Polígonos regulares Los polígonos tienen vértices, lados y ángulos. Los polígonos regulares son aquellos cuyos lados tienen la misma longitud (lados congruentes) y sus ángulos tienen la misma medida. En el espacio existen solamente cinco tipos de poliedros regulares (cuerpos platónicos). En un plano se pueden construir infinitos polígonos regulares de cualquier número de lados mayor o igual que 3.

Víctor Vasarely (1908-1997) Artista cinético francés de origen húngaro. Homenaje a Malevich. 1954. UCV Fotografía: Paolo Gasparini

Este es un polígono con cuatro lados iguales (lados congruentes): el rombo

Este es un polígono con cuatro ángulos iguales (ángulos congruentes): el rectángulo

Este es un polígono con cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales: el cuadrado

Los incas, la civilización precolombina más desarrollada de América del Sur, fueron grandes constructores. Construyeron palacios, templos, una vasta red de caminos y dispusieron de un sistema eficaz de correos. En las tierras altas utilizaban la piedra. Templos y palacios eran generalmente construidos en un solo nivel sobre una base rectangular. A veces los muros estaban hechos de bloques poligonales irregulares, y a veces de bloques rectangulares. Una de las principales características de la arquitectura inca fue la forma trapezoidal para los dinteles. La puerta y ventanas trapezoidales con las jambas inclinadas la una hacia la otra de tal manera que el dintel resultaba más estrecho que el umbral. INTERESANTE Cualquier polígono regular se puede inscribir o circunscribir en una circunferencia. Esto es similar al caso de los poliedros regulares o cuerpos platónicos que se pueden inscribir en una esfera, como las esferas de Kepler.

Triángulo equilátero inscrito y circunscrito en una circunferencia

Cuadrado inscrito y circunscrito en una circunferencia

Pentágono regular inscrito y circunscrito en una circunferencia

Hexágono regular inscrito y circunscrito en una circunferencia

Ponle el nombre a cada figura

1

6

038

4

3

2

7

8

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5

9

Descubriendo el mundo de los triángulos El triángulo tiene una característica especial, que en general otra forma no la tiene y por ello es vital en la industria: es estable. En efecto, si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, la forma del triángulo permanece. Observa las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo, en una que sostiene una antena parabólica, y también en muchos edificios.

A

El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo ABC se refiere al triángulo determinado por los puntos A, B y C. En este caso sus lados son los segmentos AB, BC y AC. Los ángulos del triángulo son los ángulos de vértices A, B y C, es decir CAB, ABC y BCA El símbolo representa la palabra triángulo. Así ABC significa el triángulo ABC.

B

C

¿Qué es un triángulo? Construyendo triángulos Recorta tiras de un centímetro de ancho de cartulinas de tres colores diferentes (azul, verde y roja). En un color, recorta tres tiras de 3 cm de largo. En otro color, tres tiras de 5 cm y del otro, tres tiras de 10 cm de largo. Con las tiras, primero construye triángulos que tengan sus tres lados iguales, es decir, sus tres lados de igual color. Luego, elige dos tiras de un color y otra de un color diferente. Y por último, tiras de diferentes colores. ¿Puedes construir triángulos con dos tiras rojas y una azul? ¿Y con dos azules y una verde? ¿Y con tres de diferentes colores? ¿Qué relación de tamaño deben cumplir las tiras para que se pueda construir un triángulo? ¿Que relación deben tener las tiras para conseguir un ángulo recto? Al final comprobarás que para construir triángulos es necesario que la suma de los largos de dos tiras debe ser mayor que el tamaño de la tercera.

Todas estas figuras son triángulos.

Ninguna de estas figuras es un triángulo.

¿Cuál de estas figuras es un triángulo?

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039

Descubriendo la clasificación y las propiedades de los triángulos Escuela de Atenas (Detalle) Principal sitio de reunión de pensadores griegos. Óleo pintado por Rafael Sanzio De Urbino. (1483-1520)

Por sus ángulos se clasifican

Cateto

Hip

ote

nus

a

Cateto Acutángulo: Tienen tres ángulos agudos (menores que 90°)

Rectángulo: Tienen un ángulo recto (90°)

Obtusángulo: Tienen un ángulo obtuso (mayor que 90°)

Por sus lados se clasifican

Equilátero: Tienen tres lados iguales

Escaleno: Sus tres lados son desiguales

Isósceles: Tienen dos lados iguales

iá n g ul s tr os o L también tienen

3 Alturas: Segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto

Ortocentro

040

Bisectrices: Semirrecta que divide cada ángulo en dos ángulos iguales

Incentro: Centro del círculo inscrito en el triángulo

Medianas: Segmento desde cada vértice al punto medio del lado opuesto

Baricentro o Centro de gravedad

Mediatrices: Recta perpendicular a cada lado en su punto medio

Circuncentro: Centro del círculo circunscrito al triángulo

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Matemática para todos

Fascículo

líneas

El mundo de las

En un campo se necesitaba construir un pozo de agua equidistante de las tres casas del dibujo. El maestro del pueblo conociendo la propiedad de las mediatrices del triángulo formado resolvió el problema: trazó segmentos que unieran a las casas y luego trazó las mediatrices del triángulo. El punto donde se cortan las mediatrices, llamado circuncentro, equidista de los vértices del triángulo o de las casas. En ese punto se construyó el pozo de agua. En una Escuela Industrial se construye una lámina de hierro homogénea en forma de triángulo escaleno para ser colgada del techo con un solo soporte. ¿Dónde colocar el soporte para que la lámina estuviera horizontal? El soporte debe colocarse en el baricentro, punto de intersección de las medianas. Dibuja en un papel el resultado.

La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180° Observa la secuencia de las figuras 2

2

3

3

1

1

1

2

3

La suma de las medidas de los ángulos 1, 2 y 3 del triángulo es 180°

La mediana y la hipotenusa

A

En un triángulo rectángulo ABC determinamos el punto medio M de la hipotenusa. Si colocamos la punta de un compás en el punto M, con abertura MB, la circunferencia pasa por los tres vértices, por lo tanto M es el circuncentro. Y además esto comprueba que la mediana AM mide la mitad de la hipotenusa BC. B

C

M

te Ca

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Observa cómo los cuadrados construidos sobre los catetos cubren el cuadrado construido sobre la hipotenusa. El cuadrado superior derecho se descompone ubicando primero el punto de corte de las diagonales. Luego se trazan, por ese punto, un segmento paralelo a la hipotenusa y un segmento perpendicular a ella. En la figura se presenta una “versión visual” de la comprobación de este teorema.

to

Teorema de Pitágoras Ca

te

to

Hipotenusa

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041

Geometría y geografía Para estudiar los planetas, entre ellos la Tierra, se parte de la premisa de que tienen forma esférica. Esto no es exacto pero es una forma adecuada de representar nuestro planeta a los fines de estudio. Así, consideramos la Tierra como una bola (esfera sólida) donde la superficie corresponde a la esfera (superficie esférica). En la Tierra distinguimos el Ecuador, los paralelos (cortando la esfera con planos paralelos al plano ecuatorial) y los meridianos (cortando la esfera con planos que pasan por los Polos Norte y Sur).

N

Hemisferio Norte

Venezuela está situada entre los paralelos 0°43’ Norte y 12°11’ Norte y los meridianos 59°48’ Oeste y 73°11’ Oeste. Luego, el Ecuador (0° de latitud) pasa muy cerca al extremo Sur de Venezuela. El meridiano de Greenwich corresponde a la longitud 0° y con este meridiano se Meridiano determina la hora legal u hora universal en un país: Ecuador cuando en Greenwich son las 12 m, en Venezuela son las 8:00 a.m. hora legal. (4 horas antes correspondientes a 4 x 15°= 60°. El meridiano 59°48’ Oeste, aproximadamente 60°0’, pasa por Punta de Playa en el extremo este del estado Delta Amacuro y cada 15° Paralelo = 360°/24 equivalen a 1 hora. Caracas está situada a 66°55’ Oeste.) Paralelo

Hemisferio Sur

042

S

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Geometría y arte

Guernica

Pablo Picasso (1937)

El arte abstracto, como opuesto al arte figurativo, surge inicialmente como una oposición contra todo aquello que represente, imite o reproduzca la realidad. En el arte las proposiciones abstractas se presentan en dos direcciones: el abstraccionismo lírico y el abstraccionismo geométrico. El primero, con carácter intuitivo y expresivo sin seguir reglas compositivas, se inicia a partir de Kandinsky y se apoya en el paradigma de la música. El geométrico se promueve con Malevich y se consolida con Mondrian según una clara inspiración de la arquitectura.

Piet Mondrian (1872-1944) Broadway Boogie Woogie

Las señoritas de Avignon (1907), de Pablo Picasso (pintor español, 1881-1973), considerada por algunos críticos de arte como la primera manifestación del cubismo (representación de volúmenes sobre superficies planas mediante líneas, curvas y rectas). Picasso desarrolló, junto con Georges Braque (francés, 1882-1963), el cubismo analítico y el cubismo sintético. Observemos, junto a los colores vivos, las líneas trazadas en la configuración de los personajes que revelan una concepción novedosa de la representación del espacio. Se considera a Vasily Kandinsky, uno de los iniciadores del arte abstracto. Pintó su primera obra abstracta en 1910. Este cuadro, La montaña azul (1908), data de un período de transición en su carrera, donde la figuración va perdiendo fuerza en aras de lo abstracto. Vasily Kandinsky Pintor ruso (1866-1944) Resonancia Multicolor

Kasimir Malevich Pintor ruso (1878-1935) Leñador

Vasily Kandinsky Amarillo, Rojo y Azul

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043

¡A jugar! con el TANGRAM Para poder jugar con el TANGRAM vamos en primer lugar a construir un octógono regular de la siguiente manera:

1 Traza una

circunferencia y dos diámetros perpendiculares.

2 Traza dos de las

3 Determina el punto medio

cuerdas que pasen por los extremos de dos de los diámetros trazados.

4 Sobre la circunferencia se han

de esas cuerdas y traza un segmento que pase por el centro y ese punto medio.

determinado 8 puntos que son los vértices de tu octógono regular.

2

1

3

8

4

5

7 6

2 Una vez construido tu octógono regular, ahora construirás tu TANGRAM octogonal de 8 piezas. Necesitas un pedazo de cartón o plástico, de preferencia negro, traza tu octógono regular y divídelo como indica la figura, y luego trata de armar algunas figuras que se muestran. ¡Inténtalo! Inventa las tuyas también.

044

1

3

8

4

5

7 6

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Tengo que pensarlo En la siguiente figura el triángulo ABC es rectángulo en A. AH es la altura y AB < AC. AE es la bisectriz del BAH. ¿Es cierto que CA=CE? ¿Por qué?

A

C

H

E

B

Esta gráfica recibe el nombre de Nefroide. Observa y trázala usando una regla y compás.

a

?

?

??

Cuatro hermanos quieren dividir el terreno en cuatro partes iguales y de igual forma. Ayúdalos a resolver este problema dejando una casa y un árbol en cada parcela.

? a

2a

Traza cuatro líneas rectas que pasen por esos puntos sin volver sobre ellos y sin levantar el lápiz.

Cambia de posición tres fósforos y convierte la figura en cuatro triángulos.

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045

Metamorfosis Jesús Soto Artista plástico venezolano (1923- )

Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Las diagonales de los cuadriláteros A continuación se desarrolla en la clase una actividad en la que está presente una fase exploratoria, otra de construcción y la de conclusiones, relacionadas con las diagonales de los cuadriláteros. Para observar las características de las diagonales de los cuadriláteros, nos podemos auxiliar con piezas de papel, cartulina, cartón o plástico cortadas en forma triangular (sus bases tienen forma de triángulos). Cortando piezas iguales cuyas bases sean triángulos rectángulos y escalenos podemos “ver” formadas por sus bases figuras de cuatro lados, CUADRILÁTEROS, rectángulos, rombos, trapecios. Una vez construidos los triángulos cada alumno realizará las siguientes actividades.

A Colocando dos piezas de manera que las hipotenusas de sus triángulos coincidan, como se muestra en el dibujo, queda representado un rectángulo y se puede ver una diagonal (segmento cuyos extremos son dos de los vértices opuestos), que divide al rectángulo en dos triángulos iguales. Pregunte a los alumnos ¿cómo verificarlo? Pídales que tracen las dos diagonales de un triángulo rectángulo. ¿Qué observan? Las respuestas serán variadas pero se enfatiza en que las diagonales se cortan en su punto medio y al hacerlo dividen la figura en cuatro triángulos. También al medir, se puede comprobar que las diagonales tienen igual longitud y que se cortan en un punto medio. Si un rectángulo tiene sus cuatro lados de igual longitud, entonces es un cuadrado.

B Colocando cuatro piezas en la forma que indica la figura, se puede “ver” otro cuadrilátero, en este caso el rombo que es equilátero por tener todos sus lados de igual medida. ¿Cómo comprobarlo? ¿Qué observan en el rombo? Sus diagonales se cortan en su punto medio, formando ángulos rectos. Las dos diagonales dividen al rombo en cuatro triángulos iguales. Plantear a los alumnos situaciones como las siguientes: ¿Se podría trazar un rombo comenzando por sus diagonales? ¿Cómo? Si un rombo tiene sus cuatro ángulos rectos, entonces es un cuadrado.

¿Qué concluyen? El cuadrado es un rectángulo y un rombo

Rectángulos Cuatro ángulos rectos

Rombos Cuatro lados de igual longitud

C Para observar las características de las diagonales de un cuadrado nos podemos ayudar de piezas triangulares que son isósceles. De igual forma puede trabajarse con trapecios, paralelogramos y otros polígonos. Con estas dos piezas se puede representar un cuadrado y observar una de sus diagonales.

046

Con cuatro de estas piezas se puede representar un cuadrado y observar sus dos diagonales.

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Acto II Asdrúbal Colmenárez Artista plástico venezolano (1936- )

Información actualizada Páginas web TIMSS. Ejemplos: Geometría www.ince.mec.es/timss/geom.htm

Videos Cordes a jouer. CNDP, París, Francia. Espace en fête. Centre National de Divulgation Pedagogique (CNDP), París, Francia. Geometría en la educación básica. Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia CENAMEC, Venezuela.

Revistas Boletines de la Enseñanza de la Matemática. ASOVEMAT. Curriculum Administrator. 992 High Ridge Road, Stanford CT 06905, EE.UU. Education Enfantine Nathan. 9 rue Méchain 75014, París, Francia. Grand N IREM. BP 41 38402. S. Martin D’Heres (Francia). Mathemathics Teaching. Fing Chambers, Queen street, derby DE 1 3DA (Gran Bretaña). Recherches en Didactique des Mathématiques. 38002 Grenoble Cedex, Francia.

Bibliografía ICME Study (1998). Perspectives on the teaching of geometry for the last century. Editado por Carmelo Mammana y Vinicio Villani. Kluwer Academic Publishers, Holanda. MUNARI, Bruno (1999). El triángulo. Ediciones G.Gili. S.A. de CV, México. National Council Teachers of Mathematics -NCTM(2000). Principles and Standards for School Mathematics. PAPPAS, Theoni (1999). The magic of mathematics. Wide World Publishing / Tetra.

Software (programas informáticos) Logo, Sketchpad y Cabri. Programas que permiten dibujar figuras geométricas y estudiar sus propiedades. Los dos primeros se diseñaron en Estados Unidos y el último en Francia.

Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá, Colombia The Elementary School Journal. http://www.journals.uchicago.edu/ESJ,EE.UU.

Resultados

A

ß

C

H

E

B

ß = CAE = CAB - EAB = 90º ∂ = 90º - HAE ∂ + 90º + HAE = 180º como HAE = EAB entonces ∂ = ß Luego el triángulo CAE es isósceles de donde CE=CA

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EAB

047

Luis Herrera Cometta

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en 1946. Obtuvo un master en Ciencias Físicas (summa cum laude) en la Universidad de la Amistad, Moscú, en 1968, y recibió su doctorado en el Instituto Henri Poincare, Facultad de Ciencias de París, en 1971. Su trabajo en el campo de la Física Teórica, particularmente en las áreas de relatividad general, astrofísica relativista y teoría clásica de campos, le ha permitido capitalizar el reconocimiento internacional de sus pares. Es profesor titular de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela y ha sido profesor invitado en varias universidades de EE.UU., España y Francia. Es miembro del Sistema de Promoción al Investigador (Nivel IV) y en 1997 el CONICIT le otorgó el Premio Nacional de Ciencias, mención Ciencias Naturales y Exactas. Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1985. Fotografía: Jorge Vall

Según el Dr. Herrera, la aparición de la Relatividad General en la segunda década del siglo XX, representó una verdadera revolución en la Física Teórica, entre otras cosas y sobre todo, por el papel protagónico que juega en ella la Geometría. Hasta el advenimiento de la Relatividad General, en todas las teorías físicas conocidas (la mecánica, el electromagnetismo, la termodinámica, la óptica, la hidrodinámica, etc.), los fenómenos físicos que se describen, tienen lugar en un espacio físico y un tiempo, cuyas propiedades están predeterminadas. Así por ejemplo, en estas teorías las propiedades del espacio físico están descritas por lo que se conoce como Geometría de Euclides, la misma que aprendemos en la escuela. La gran novedad que aporta la Relatividad General, consiste en que no sólo no usa la Geometría Euclídea para describir los procesos gravitacionales, sino que, y esto es posiblemente lo más revolucionario de su propuesta, el espacio y el tiempo dejan de ser simples escenarios donde se desarrollan los acontecimientos y pasan a ser variables físicas que cambian dependiendo de la distribución de la materia. Por primera vez en la historia de la Física, un fenómeno natural (la gravitación), se adscribe totalmente a las propiedades geométricas del espacio y el tiempo, y se describe formalmente en términos geométricos. La geometría que se utiliza en la relatividad general se debe sobre todo al matemático alemán Bernhard Riemann, quien formuló sus bases en el siglo XIX. Sin embargo, los desarrollos que le permitieron a Einstein proponer su teoría de la gravitación fueron introducidos por Ricci a principios del siglo XX. Al establecer una relación entre la materia y las características geométricas del espacio y el tiempo, la Relatividad General permite crear modelos del Universo (modelos cosmológicos), algunas de cuyas propiedades han sido verificadas en recientes observaciones. Estas teorías permiten una mayor y mejor comprensión del Universo.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el biólogo José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Matemática para todos Fascículo

El mundo de los movimientos Geometría III y de las simetrías

“Los que conocen a este señor deploraban y deploran que no se haya hecho uso de las ventajas que ofrece un joven venezolano que a una vasta ilustración en las matemáticas que ha estudiado por más de catorce años en España y Francia, une la noble ambición de consagrarse al bien de su país sin más recompensa, además de una módica subsistencia, que el honor de tributarle sus servicios y merecer de este modo la estimación pública”. José María Vargas, refiriéndose a Juan Manuel Cajigal (en el tope), en su informe del 3 de octubre de 1830 en relación con la creación de la Academia de Matemática, de la que Cajigal fue su primer maestro y primer director.

Juan Manuel Cajigal y Odoardo (1803-1856) Ingeniero, militar, matemático y periodista venezolano

Wapa de la etnia panare donde se observan simetrías. Fotografía: Cristina Paván, Casa Alejo Zuloaga. San Joaquín, estado Carabobo.

Descubriendo el mundo de los movimientos

La geometría no es sólo el estudio de las figuras y sus propiedades, sino también los movimientos de esas figuras. El deslizarse en una patineta o en una pista de hielo, trasladarse en una escalera mecánica, girar en un auto o en la rueda o verse en un espejo son movimientos físicos. Algo interesante en estos movimientos es que la persona o el objeto que se desliza, gira o se voltea no cambia de forma ni tamaño. Esos movimientos inducen en la geometría el estudio de las transformaciones de figuras. Traslación, rotación, reflexión de figuras son movimientos estudiados por la geometría. La geometría describe los movimientos al estudiar la correspondencia entre los puntos de la figura original y los puntos de la nueva figura o imagen.

I sometríassaírtemos I

Cada imagen es la transformada de una figura. Observa en las imágenes de abajo cómo a cada punto de la figura original (A) le corresponde un solo punto de la imagen (A’) y a cada punto de la imagen le corresponde un solo punto de la figura original. Estas transformaciones tienen algo adicional: no cambian el tamaño ni la forma de la figura, sólo cambian su posición. Estas transformaciones se llaman isometrías. La palabra isometría (iso: igual, metría: medida) describe muy bien estos movimientos. Las traslaciones, rotaciones y reflexiones son isometrías. Veremos como estos movimientos son utilizados en los diseños de papel tapiz, diseños de cerámicas y en el arte en general.

A A

ROTACIÓN

TRASLACIÓN

REFLEXIÓN A

’A

A’

Imagen

Original Original

Original

negamI

Imagen

A’

050

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Simetría axial o reflexión respecto de una recta (bilateral)

Eje de simetría

En la naturaleza, en el arte, en las cerámicas, papeles de decoración de las paredes (ornamentación geométrica) y otros, se encuentran simetrías bilaterales (reflexiones respecto de rectas o ejes).

Eje

t

La secuencia de letras b es simétrica de la secuencia de letras p respecto al eje t.

Torre Eiffel París, Francia.

Estrella de seis puntas (la estrella de David) simétrica según diversos ejes. Dibuja los otros ejes de simetría.

ppppppppppp ppppppppppp

Eje

Completa la figura según el eje de simetría

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051

Simetría axial o reflexión respecto de una recta (bilateral) Iglesia de Santa Teresa

Ej

er

Caracas, 27 de octubre de 1876

El hexágono regular y la flor con seis pétalos son simétricos respecto al eje r . Dibuja los otros ejes de simetría.

P’

S

S’

En diseños geométricos hay gran variedad de simetrías bilaterales.

Una reflexión o simetría axial es una isometría del plano que deja fijos los puntos de una recta r (el eje de reflexión o de simetría). Si P es un punto que no pertenece al eje r, entonces su imagen P’, mediante la reflexión del eje r, es tal que PP’ es perpendicular a r y las distancias de los puntos P y P’ a r son iguales (el eje r es mediatriz del segmento PP’).

P

N

N’ M

M’

Eje de reflexión

r

Una forma práctica de realizar simetrías axiales es la siguiente: Se dibuja una figura en un papel transparente, se dobla en alguna parte (preferiblemente la recta del pliegue que no atraviese la figura) y se calca la figura. Al desplegar el papel resultan dos figuras simétricas respecto de la recta de pliegue. Esto también se puede realizar con dos acetatos superpuestos. Las siguientes letras tienen ejes de simetría. Dibuja otras que también lo tengan.

052

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Simetrías de traslación, rotación y axial INTERESANTE Las isometrías (movimientos rígidos o congruencias) de un plano, diferentes de la identidad, se clasifican según la cantidad de puntos fijos que tienen. A’ A’

B’ A

B’ A’ B’

A

A B

B

Las que no tienen puntos fijos son las traslaciones (simetría de traslación).

B O

Las que tienen un único punto fijo O, son las rotaciones de centro O (simetría rotacional). Las rotaciones de ángulo 180º son las simetrías centrales.

Las que tienen más de un punto fijo, por lo tanto tienen fijos todos los puntos de una recta, son las reflexiones cuyo eje es esa recta (simetría axial o bilateral).

Hay las combinaciones (composiciones) de esos tipos de isometrías, entre las que mencionamos las reflexiones con deslizamiento: es una reflexión seguida de una traslación paralela al eje de reflexión (o en el orden contrario). Ese tipo de isometría se manifiesta en las huellas que dejan los pies al caminar sobre la arena de playa y en la disposición de hojas de helechos, entre otros.

Las simetrías han sido utilizadas desde la antigüedad por diversas civilizaciones. Los sumerios fueron particularmente aficionados a la simetría bilateral, de esto hay gran variedad de ejemplos. Para H. Weyl “La simetría, independientemente de la amplitud con que se defina su significado, es una idea por medio de la cual el hombre, a través de los tiempos, ha intentado comprender y crear orden, belleza y perfección”. También nuestras poblaciones indígenas se valen de la simetría para la decoración de diversos objetos como las cestas. La fotografía nos da un excelente ejemplo de ello. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 4 - El mundo de los movimientos y de las simetrías - GEOMETRÍA 3

053

Simetría y decoración Utilizando un motivo (una figura) y por repetición del mismo, mediante simetrías de diversos tipos, se obtienen diseños geométricos con los cuales se pueden realizar ornamentaciones (decoraciones). Cuando el motivo generador se repite a lo largo de una faja, se obtienen los frisos (bandas o cenefas) y si se recubre una parte del plano, sin dejar “huecos” ni superponerse (bien acoplados), se obtienen mosaicos o teselaciones. También hay diseños denominados grupos puntuales de Leonardo (en honor a Leonardo da Vinci) que son figuras con centro (un punto fijo: rotaciones con un centro en ese punto y reflexiones respecto de ejes que pasan por ese punto). Palacio Saarbrücken Alemania

Un friso con motivo generador

Partiendo de un

Motivo generador

Rotación de 90º (90º = 360º/4)

(Motivo inicial o motivo generador) al que aplicamos sucesivas isometrías bilaterales y rotacionales (un grupo puntual o de Leonardo).

Simetría axial

Rotación de 180º (180º = 360º/2)

Rotación de 72º (72º = 360º/5)

Rotación de 120º (120º = 360º/3)

Rotación de 60º (60º = 360º/6)

Crea tu propio friso

054

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 4 - El mundo de los movimientos y de las simetrías - GEOMETRÍA 3

Geometría y arte El arte islámico es muy rico en diseños geométricos. Entre estos, los árabes decoraron sus palacios con una gran variedad de ornamentos construidos a partir de figuras geométricas mediante su repetición y acoplamiento. Este arte islámico tiene su mayor exponente en la Alhambra de Granada. Dos ejemplos de estos mosaicos son el polihueso y la pajarita.

Capilla de Villaviciosa Córdoba, España.

El polihueso A

Primero se construye el hueso a partir de un cuadrado y luego se acoplan éstos para construir el embaldosado. B

A

B

A

B

D

C

D

C

Cuadrado

D

C

La pajarita

Se construye el motivo generador y luego se acoplan.

A

A Triángulo equilátero B’

C

B

C

C’

A’

B

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Mauritz Cornelis Escher (1898-1972)

Descubriendo el mundo de los movimientos Rotaciones y embaldosar El artista holandés M. C. Escher, inspirado en el embaldosado de La Alhambra en España, aprendió a usar traslaciones, rotaciones y reflexiones para cambiar la forma de los triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos regulares en figuras como pájaros, peces y reptiles que también sirvieran para embaldosar. A la izquierda está una ilustración donde utilizó rotaciones sobre el cambio de forma de un polígono. Observa, abajo, la creación de la figura de un pato a partir del polígono ABCD.

A

D

C

B

A

A

A

B

D

C

C

C

Observa, abajo, la creación de un “pez volador” (M.C. Escher) a partir de un triángulo equilátero.

B

D

B

D

A

A

C

B

A

C

C

B

B

Observa cómo con pequeñas variaciones en las curvas aparecerá la figura de un pájaro en vez de pez volador. Recorta el modelo y tesela el plano. A

C

A

B C

A

B

C

B

Reto Observa las modificaciones y rotaciones de un

P

triángulo equilátero. Recorta el modelo y tesela el plano como se ve a la derecha. Nombra todas las rotaciones con centro en el punto P que aplica esta tesela sobre sí misma.

056

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Matemática para todos

Fascículo

El mundo de los movimientos y de las simetrías

Rotaciones Girar, como deslizar, es un movimiento físico que hemos experimentado desde temprana edad, abrir la puerta de un cuarto, ver girar las agujas de un reloj, en un engranaje, las ruedas de una bicicleta o de un automóvil, en un tiovivo, en muchas obras de arte.

Símbolo Shinto: representa la revolución del Universo

P

P

P

P’

P’ ángulo

Dibuja un punto P y un punto O en el cuaderno y copia el punto P en una hoja de papel transparente. Fija en el punto O el papel transparente, con un alfiler, y gira el papel hacia la derecha. Marca con P’ la nueva posición de P. P’ es la imagen rotada del punto P. En una rotación, los puntos de cualquier figura original giran una cantidad constante de grados alrededor de un punto fijo. Así: un punto fijo, el punto O (centro de rotación) y el punto rotado definen una rotación.

Movimiento perpetuo de Leonardo da Vinci

O

O

O

OBSERVA ROTACIONES CON EL GEOPLANO Girar un cuarto de vuelta o 90º alrededor del punto centro.

Girar media vuelta o 180º alrededor del punto centro.

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Descubriendo el mundo de los movimientos Trasladar y embaldosar Embaldosar o teselar un plano consiste en cubrir el plano con figuras de tal forma que no queden huecos

B

entre las figuras ni que las figuras se solapen. Observa cómo la traslación de un octógono y de un cuadrado constituye el embaldosado de la derecha

A

(mosaico semirregular)

Observa un embaldosado especial: El salto del sapo, creación de Robert Canete, un estudiante de geometría. Observa la creación de la figura que se traslada por cambio de los lados opuestos de un cuadrado.

A

B

A

B

A

B

D

C

D

C

D

C

Reto Corta el rectángulo según el modelo y tesela el plano. Observa que lo que quitas en un lado lo agregas en el lado opuesto.

058

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Traslaciones Observa modelos físicos de traslaciones: montarse en un ascensor o en una escalera mecánica y pasar de un piso a otro de un edificio, el deslizarse por un tobogán recto, el caminar de un punto a otro en una calle. Dibuja un triángulo o una media luna en tu cuaderno y cópialos en una hoja de papel transparente. Desliza la hoja una cierta distancia, en cualquier dirección, sin que gire y copia las figuras en el cuaderno: la nueva figura es la imagen trasladada de la original. A’

B’

Imagen

A

Original

Original

B

C’

Los puntos de la figura original se movieron la misma distancia a lo largo de trayectorias paralelas (la misma dirección) dando origen a la imagen. Así, una distancia y una dirección definen una traslación. Se utiliza una flecha, llamada vector traslación. La longitud de la flecha define la distancia, y su dirección, la dirección de traslación.

C

En papel cuadriculado o en papel punteado, el vector traslación puede definirse usando un par ordenado: el primer número expresa la distancia en la que un punto de la figura se mueve horizontalmente y el segundo número cuánto se mueve verticalmente. La primera figura se movió ocho unidades a la derecha y tres unidades hacia arriba: vector traslación (8,3). Segunda figura, vector traslación (4,1).

Imagen

C’

B ’

C

B A’

A

Existen muchas máquinas que combinan movimientos de rotación y traslación. Una de ellas es el motor de los automóviles: los pistones se trasladan y con el árbol de levas generan un movimiento de rotación que al final hace que el automóvil se traslade. Averigua qué otras cosas utilizan estos dos movimientos simultáneamente y discútelas con tus amigos y profesor o maestro. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 4 - El mundo de los movimientos y de las simetrías - GEOMETRÍA 3

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Descubriendo el mundo de los movimientos INTERESANTE Las isometrías (movimientos rígidos o congruencias) del espacio, diferentes de la identidad, se clasifican según los puntos fijos que tienen: En un cilindro se pueden observar estos tres tipos de isometrías:

Las que tienen una recta de puntos fijos (un eje) son las rotaciones en torno de esa recta.

Las que no tienen puntos fijos son las traslaciones.

Las que tienen un plano de puntos fijos, son las simetrías especulares (simetría respecto a un espejo).

Eje

Eje

Eje

Plano o espejo

También hay las combinaciones (composiciones) de esos tipos de isometrías.

Semejanzas Además de las isometrías, bien sea de un plano o del espacio, hay otras transformaciones geométricas como las semejanzas. Éstas conservan las formas de las figuras pero alteran su tamaño, tal como se hace al reducir o ampliar en fotocopias alguna figura o texto. A’ A O B’

B

Ampliación en 150%

C C’

Tamaño real

Una homotecia de centro O y razón igual a 2. Los lados del triángulo A’B’C’, imagen del triángulo ABC, aumentaron el doble en longitud. El área del triángulo A’B’C’ es cuatro veces el área del triángulo ABC. ¿Por qué? Con las isometrías se definen las figuras congruentes. Con las semejanzas se definen las figuras semejantes.

Reducción al 50%

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Geometría y ciencia-tecnología Motor de combustión interna El motor de combustión interna es un mecanismo inventado para la facilidad del transporte. Creado por el escocés Dugald Clerk, en 1878 y modificado por Joseph Day, en 1891, ha sido el motor por excelencia de vehículos y motocicletas. El motor tiene cilindro, pistón, cigüeñal y bujía. Sus fases de funcionamiento son admisión, compresión, combustión y escape de gases, y se cumple en un movimiento completo del pistón hacia arriba y hacia abajo: un movimiento de traslación del pistón y se generan así movimientos de rotación del cigüeñal que al final hace que las ruedas giren. El ciclo de trabajo se inicia cuando el pistón se traslada del punto muerto inferior al punto muerto superior. Este movimiento de traslación del pistón en el cilindro genera el movimiento de rotación del cigüeñal. Observa esto en el diagrama aquí ilustrado. Árbol de levas

Entrada de carburante Entrada de aire

Uno de los primeros automóviles propulsados por un motor de combustión interna fue construido por Karl Benz en 1885. En diez años, su fábrica creó y comercializó numerosos automóviles. El modelo Benz Velo (Fotografía, 1898) fue el primer vehículo vendido en grandes cantidades.

Válvula de escape Bujía de encendido Salida de gases Válvula de admisión

Pistón

Biela

Modelo de vehículo utilizado en las carreras Fórmula 1. Estos automóviles alcanzan velocidades hasta de 320 km/h, pero sus motores deben ser reconstruidos al final de cada carrera.

Cigüeñal Contrapeso Aceite

Entrada de aire y combustible Al inicio, el pistón baja y el árbol de levas abre la válvula de admisión. El combustible (gasolina) y el aire son aspirados dentro del cilindro.

Subida del pistón y compresión de la mezcla El pistón sube. El aire y el combustible son comprimidos y se recalientan. Se enciende la bujía.

La mezcla se enciende y el pistón es empujado hacia abajo Se enciende el combustible y el pistón es empujado hacia abajo.

Expulsión de gases La válvula de escape se abre por la rotación del árbol de levas, y los gases residuales son expulsados al exterior.

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Tengo que pensarlo 1

¿Cuál de estas figuras será la misma después de una rotación de 1/4 de vuelta? ¿Y de 1/2 vuelta? A

2

B

Un astrónomo está construyendo un mapa de estrellas para demostrar la posición de la constelación Casiopea. El mapa muestra su posición respecto al Polo Norte a las 9:00 p.m. ¿Cuál es la posición de la constelación a las 3:00 de la mañana?

0

0

Casiopea

C

D

Polo Norte

0

3

0

Esta figura recibe el nombre de Polimino. Construye un rectángulo con cuatro de éstas.

4

¿Cuáles de estas figuras son rotaciones, simetrías o traslaciones de la figura A?

A

D

5

Coloca un espejo plano en posición vertical sobre la línea AB del siguiente dibujo. ¿Qué ves?

A

1380803

Resultados

6

C

B

E

Completa un cuadrado con cada una de las figuras de abajo, utilizando para ello un espejo plano.

B

1. A, B y C son las mismas rotándolas 1 o 1 vuelta. D varía al rotarla 1 de vuelta, y 4 2 4 queda igual rotándola 1 vuelta. 2 De 9:00 p.m. a 3:00 a.m. transcurren 3. Casiopea 6 horas. La Tierra da una vuelta entera en 24 horas, por lo que 6 horas = 14 de Polo Norte vuelta, es decir, una rotación con centro de rotación en el Polo Norte y un ángulo de 90º. 4. B es resultado de traslación y rotación de 90º. C y D son traslaciones de A. E es resultado de traslación y simetría según el eje vertical. 2.

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Poliedro con flores Maurits Escher

Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

La Simetría se propone en los Programas Oficiales de Matemática a partir del 1er Grado de la Educación Básica en Venezuela. Se trabaja en los tres primeros Grados de la 1ª Etapa de una manera intuitiva, mediante trazados, dobleces, recorte y completación de figuras para obtener unas imágenes simétricas. Por medio de variados procedimientos se va desarrollando el concepto, y en la 2ª Etapa se sistematizan algunas de sus nociones hasta llegar al 6º Grado, donde se considera logrado el concepto de simetría bilateral o axial. Las experiencias previas que los niños han logrado en su entorno (cuando, por ejemplo, construyen el "barquito de papel" y hacen numerosos dobleces, que son simétricos; superponen las alas de la mariposa al capturarla; observan las hojas de las plantas con su nervadura central y sus dos partes iguales de ambos lados, que pueden juntarse quedando del mismo tamaño) y una oportuna y efectiva motivación del docente que los lleve al recuento y a la reflexión, los enfrenta a una situación –problema– que les interesa resolver. Por ejemplo, en el 4º Grado: Determinar y dibujar los ejes de simetría en el hexágono regular que construyeron para hacer una Picúa (papagayo de forma hexagonal amarrado sobre los tres supuestos ejes de simetría). Los estudiantes se preguntan ¿cómo lo vamos a lograr? La búsqueda de la resolución los conduce a la acción y a la creación de variadas formas de hacer. Se organizan en equipos e intercambian ideas. La maestra incentiva la actividad con algunas preguntas y les facilita el material: espejos, compás, tijeras, reglas y lápices de color.

Hexágono regular

Observan el hexágono regular que construyeron y está dibujado en hojas de trabajo para cada equipo. Determinan las propiedades del hexágono: ¿cuántos lados? ¿cuántos vértices? ¿cuántos ejes de simetría le podemos trazar? La maestra pregunta: ¿Cómo saben que el segmento trazado es un eje de simetría? Pruébenlo usando el espejo. Colóquenlo verticalmente de vértice a vértice pasando siempre por el centro. ¿Qué observan? ¿Cuántos ejes de simetría encontraron en el hexágono? ¿Sólo tiene esos? Averígüenlo con el espejo, dibújenlos y digan el resultado. ¿Cuántos ejes de simetría deben trazar ahora en el hexágono para hacer la Picúa? Los estudiantes piensan, usan los espejos que aplican verticalmente sobre la línea punteada en rojo, y ven reflejada la otra mitad de la figura. Cada vez que lo rotan hacia el próximo vértice y van trazando un eje de simetría, ¿cuántos ejes trazaron? La maestra les dice: ¿Están seguros de que esos segmentos son ejes de simetría? Los niños intervienen, hacen preguntas. Proceden a armar una "PICÚA" en cada equipo, colocando un pedazo de verada sobre cada uno de los ejes de simetría dibujados. Comparan su papagayo con otros que enseña la maestra. Se dan cuenta de que todos son simétricos. PICÚA

Finalmente proyectan hacer la colección completa de papagayos. La maestra se propone aprovechar esa oportunidad para que los niños determinen los ejes de simetría de otros polígonos regulares usando “libros de espejos" (dos espejos que se unen con cinta adhesiva).

Bibliografía

Software (programas informáticos)

Baena Ruiz, Julián y otros (1998), La esfera, Edit. Síntesis, Madrid, España. Memorias (1998) III Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, Caracas, Venezuela. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM-2000). Christine Kinsey y Teresa Moore (2002), Symmetry, shapes and space. Key College Publishing & Springer, EE.UU.

Logo, Sketchpad (EE.UU.) y Cabri (Francia). Programas que permiten dibujar figuras geométricas y estudiar sus propiedades.

Revistas Resources in Education (RIE) Superintendent of Documents. U.S. Government Printing Office. Washington DC 20402-9371

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Ana María Font

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Anaco, estado Anzoátegui, en 1959. Cursó estudios superiores en la Universidad Simón Bolívar, donde obtuvo su licenciatura en Física (cum laude), en 1980. Realizó estudios doctorales en la Universidad de Texas en Austin, EE.UU., la cual le confirió el título de PhD en 1987. Es especialista en teorías unificadoras de la Física, particularmente en teorías de supercuerdas. Ha hecho contribuciones significativas en compactificación y fenomenología de cuerdas, así como en el estudio de simetrías de dualidad y simetrías espejo en cuerdas. La doctora Font es profesora visitante frecuente de universidades y centros científicos del exterior. Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de la Fundación Polar en 1991. Actualmente es profesora titular de la Escuela de Física, de la Facultad de Ciencias, de la Universidad Central de Venezuela y miembro del Sistema de Promoción al Investigador (Nivel III). Fotografía: Carlos Rivodó

Según nos cuenta con entusiasmo la doctora Font, "... en la búsqueda de una teoría de las interacciones de las partículas fundamentales, los físicos se guían por el principio de simetría. Se entiende por simetría la invariancia al realizar ciertas transformaciones. Por ejemplo, sabemos que la dinámica de un sistema de partículas debe ser independiente de cómo se definen las direcciones en el espacio. La teoría debe ser entonces invariante al realizar una rotación. Existe un teorema maravilloso, demostrado por la matemática alemana Emmy Noether, el cual establece que a cada simetría o invariancia le corresponde una cantidad conservada". En este fascículo trataremos entre otros temas del concepto de simetría, su relación con el arte, la naturaleza y diversas manifestaciones del intelecto humano. Lo expresado por la doctora Font está estrechamente relacionado con estas ideas. La noción de simetría en Matemáticas y Física es importante por las propiedades que preservan las figuras que son simétricas, es como cuando uno se mira en el espejo a diario, ahí está uno, la imagen nos muestra cómo lucimos. Nuestra imagen es una figura simétrica a nosotros y nos vemos iguales a como somos, es decir, aparecemos del otro lado del espejo de manera invariante, no hay variación en nuestra imagen. Esto sucede en los espejos planos como los que tenemos en casa, no así en espejos curvos, alabeados, como los que podemos encontrar en circos o ferias; al mirarnos en ellos nos hemos deformado, nuestra imagen no es invariante con respecto a nosotros. Estas consideraciones sobre la noción de simetría y lo expresado por la doctora Font nos motivaron para comenzar este fascículo con una pequeña reseña de ella, ganadora del Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” en su edición del año 1991, por sus trabajos en Física Teórica. Trabajos que muestran la estrecha y profunda relación entre la Matemática y la Física y en los cuales los conceptos de simetría e invariancia bajo transformaciones juegan un papel determinante. Finalizamos citando al gran sabio Galileo Galilei: El gran libro de la Naturaleza está escrito en lenguaje matemático. (Galileo: Saggiatore, Opere VI, p. 232).

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el biólogo José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Matemática para todos Fascículo

El mundo del procesamiento de

datos

“Una inteligencia que por un instante pueda comprender todas las fuerzas de que está animada la naturaleza y ... abrazarla en la misma fórmula a los movimientos de los más grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; nada sería incierto para ella y el devenir, como el pasado, estaría presente ante sus ojos.”

Pierre Simon Laplace matemático francés (1749-1827)

Nela Ochoa artista venezolana Theobroma cacao

Ochoa persigue el Proyecto Genoma hasta sus últimas consecuencias, de allí toma fórmulas y cromosomas para dejarnos pensativos y preocupados ante la única verdad posible: somos apenas una milésima parte, una serie de códigos que se repiten en una gran matriz que todo lo comanda. Zuleiva Vivas

Descubriendo el mundo de la probabilidad Tengo angina. ¿Será ocasionada por un virus o un estreptococo?

¿Cuántos peces sacaré hoy?

En todas estas situaciones hay un elemento común, Quiero llegar pronto a casa. ¿Cuánto tiempo durará esta lluvia?

la presencia de la incertidumbre. La noción de azar se presenta cuando no podemos predecir con certeza el resultado de un determinado acontecimiento, lo que conduce al estudio de la probabilidad.

Azar, palabra de origen árabe (al-zahr, dados para jugar), que en latín se traduce por casus, que significa casualidad. También se planteó otro tipo de causa, la suerte o fortuna en griego que fue traducido al latín por fortuna. En francés se designa también por chance, palabra que nosotros utilizamos con mucha frecuencia. Además significa oportunidad, posibilidad y probabilidad.

INTERESANTE Otra situación azarosa se exhibe muy bien en el siguiente pasaje de la epopeya sánscrita Mahabharata (s. XV o s. XVI a.C.): “Se cuenta que una vez un rey se había perdido en la jungla, y fue necesario pasarse la noche en un árbol. Al día siguiente, le dijo a un acompañante que el total de hojas del árbol eran tantas. Al preguntársele: ¿Cómo Ud. ha contado las hojas?, el respondió, no las conté todas, conté las hojas de unas pocas ramas del árbol y yo conozco la ciencia de los dados”. Este pasaje muestra que para aquella época ya se conocía algo de la noción de “azar”, o de estimación o de razonamiento inductivo.

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Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 12 - El mundo del procesamiento de DATOS

“La independencia de dos eventos se cumple si la probabilidad de uno de ellos no se modifica por la ocurrencia o no ocurrencia del otro” Thomas Bayes Estadístico y sacerdote inglés (1702-1761)

En la Antigüedad se denominaba probable a lo que según las apariencias puede ser declarado verdadero o cierto. Por lo que la probabilidad posee grados según su acercamiento o alejamiento de la certidumbre (certeza). Subjetiva: un juicio probable PROBABILIDAD Objetiva: un acontecimiento probable La idea de probabilidad y azar dieron origen al cálculo de probabilidades como disciplina de carácter matemático. Esto permitió dar un valor numérico a la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de un acontecimiento o resultado, el cual se mide por la relación entre el número de casos favorables para un acontecimiento cualquiera (evento) y el número posible de acontecimientos, admitiendo que todos los casos son igualmente probables. Por ejemplo, considere una bolsa que contiene cuatro pelotas rojas y tres negras. Calcular la probabilidad del evento sacar una pelota roja que denotamos por A: Probabilidad del evento A es 4 pues hay 4 casos favorables (cantidad de pelotas 7 rojas) y siete casos posibles (cantidad total de pelotas). Luego la probabilidad del evento A (sacar la pelota roja) es 0,57. Es decir, el 57% aproximadamente. Si la cantidad de casos favorables coincide con la cantidad de casos posibles, entonces la probabilidad es igual a 1. Por ejemplo, considere un bolsa que contiene siete pelotas rojas, calcular la probabilidad del evento sacar una pelota roja que denotamos B: Probabilidad del evento B es 7 pues hay 7 casos favorables (cantidad de pelotas 7 rojas) y siete casos posibles (cantidad total de pelotas). Luego la probabilidad del evento B (sacar la pelota roja) es 1, es decir, el 100% o certeza.

Pierre Simon Laplace propuso aplicar el cálculo de probabilidades a todos los problemas de las ciencias naturales y de la sociedad, debido a que nuestros conocimientos son incompletos en muchos casos (objetos y eventos).

INTERESANTE Si consideramos una lotería de 25 números y un cartón para jugar con 15 de esos números, y además ningún cartón se repite, es decir, hay un solo ganador del premio mayor, entonces la probabilidad de ganar es 0,0000003, resultado obtenido al dividir el valor 1 (cartón ganador) entre 3 268 760 (número de cartones posibles). Este número 3 268 760, resulta de calcular las combinaciones sin repetición de 25 números tomados de 15 en 15.

Lotería 1 2 4 5 7 8 9 11 12 14 15 20 21 22 24

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 12 - El mundo del procesamiento de DATOS

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“Un día el buen razonamiento estadístico será tan necesario para ejercer una ciudadanía eficiente como la capacidad de leer y escribir”. Stephen K. Campbell Universidad de Denver

Descubriendo el mundo de la estadística Se estima que en el próximo año la producción de arroz alcanzará niveles sin precedentes.

La estatura media del venezolano es 1,60 metros.

Aumentaron 37% las ventas de Venezuela a la Comunidad Andina de Naciones.

Ese bateador es el mejor de la Liga porque ha alcanzado en los dos últimos años promedios por encima de 400.

Fuente: El Nacional 21/07/02

Todas estas situaciones son hechos estudiados por la Estadística. Posiblemente la palabra “estadística” sea de origen italiano, cuando las ciudades italianas inventaron la moderna concepción del Estado, pero fue Gottfried Achenwall de Gotinga quien la definió como compilación de hechos “notables acerca del Estado”. La Estadística se ocupa de describir, inferir, estimar, contrastar y generar conocimientos sobre grupos de naturaleza diversa (población o universo). Se afirma que la estadística es el estudio de la incertidumbre y capacita para enfrentar el azar. El promedio del número de personas por grupo familiar, en varios países, es de 5 personas.

INTERESANTE Censo es la enumeración completa de un conjunto de personas o cosas. Ejemplo: Censo de Población y Viviendas; Censo de Industrias. Muestra es una parte o subconjunto de un conjunto de elementos. Por ejemplo, las industrias del aluminio. En estadística se considera como Universo al conjunto de todas las unidades bajo estudio y como muestra a una parte representativa de ese Universo.

180

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 12 - El mundo del procesamiento de DATOS

Antes del siglo XVI

Siglo XVI

Siglo XVII

E s t a d í s t i c a En Alemania, Italia e Inglaterra se considera como la ciencia del Estado. En Francia surge el cálculo de probabilidades. En Inglaterra nace la corriente de los aritméticos políticos y comienzan a realizarse los censos con periodicidad decenal.

Siglo XVIII

e n

Siglo XIX

e l

Se mejoran los procesos de recopilación de datos. Se amplían los usos estadísticos del concepto de probabilidad y su cálculo. Jacobo Bernoulli publica su obra Ars Conjectandi, en la que formula la ley de los grandes números.

Siglo XX

t i e m p o

Está asociada a la práctica del conteo y mediciones, tal como lo practicaban los astrónomos persas y los agrimensores egipcios. Referencias de esto se encuentran en la obra Los Estados de Aristóteles.

Se considera la estadística como la descripción de los Estados. Se utiliza la información de datos geográficos y económicos para tomar decisiones de Estado.

Friedrich Gauss desarrolla la “Teoría de errores” basada en la curva normal. Se establecen oficinas de estadística en Alemania y otros países. Simón D. Poisson generaliza la ley de los grandes números.

El avance computacional acelera el desarrollo del análisis de datos para afrontar el problema con muestras de cualquier tamaño y múltiples factores. La probabilidad borrosa alcanza gran auge.

XVIII Dinastía

Pieter Brueghel (el Viejo)

Jan van der Heyden

Francesco Guardi

Adolph von Menzel

Anita Pantin

Egipto (II milenio a.C.) Escenas de la vida agrícola

Pintor flamenco (1527?-1569) Los proverbios flamencos

Pintor holandés (1637-1712) La iglesia de Veere

Pintor italiano (1712-1793) Vista de Venecia

Pintor alemán (1815-1905) Emilia en la puerta

Artista venezolana (1949- ) www.anitapantin.com

La estadística descriptiva La realización de los censos originó la necesidad de mejorar los métodos de recolección y análisis de datos, apoyándose en herramientas matemáticas y en el cálculo de probabilidades. Mediante el uso de cuadros, tablas y gráficos se organizaron y redujeron datos. La Estadística Descriptiva se ocupa de organizar, reducir los datos y calcular los principales descriptores estadísticos, tales como: las medidas de tendencia central, dispersión, asimetría y kurtosis. Describir estadísticamente un fenómeno significa organizar y resumir los conjuntos de datos provenientes de muestras o estudios censales y para ello se dispone de cuadros, tablas y gráficos.

INTERESANTE En toda medición u observación está presente la variabilidad, la cual indica la variación o dispersión de los datos de una distribución con respecto a un valor que se considera representativo de ellos. La variabilidad no se puede eliminar, pero sí reducir. Controlándola domesticamos al azar y aprendemos a vivir bajo incertidumbre. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 12 - El mundo del procesamiento de DATOS

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Estadística descriptiva

Benozzo Gozzoli Pintor italiano (1420-1497) El cortejo de los Reyes Magos (detalle)

Cuadros estadísticos Son instrumentos mediante los cuales se agrupan en filas y columnas los datos numéricos. Un cuadro estadístico debe contener como elementos básicos lo siguiente: Título:

Debe contener todos los elementos que permitan la identificación del fenómeno. Un buen título, responde a las preguntas ¿qué?, ¿dónde?, ¿cómo? y ¿cuándo? Encabezamiento: El encabezamiento de filas y columnas se refiere a la identificación de las categorías o clases que se presentan en el cuadro. Cuerpo: Constituido por las cifras que aparecen en líneas y columnas. Notas de pie de página: Situadas en la parte inferior del cuadro, presentan algunas notas explicativas y detallan las fuentes de las cuales se obtuvo la información.

REGIÓN CAPITAL NACIMIENTOS Y DEFUNCIONES, 1990-1998 Nacimientos totales

Defunciones totales

AÑO

Región Capital

Variación (%)

Región Capital

Variación (%)

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

107 793 105 748 103 866 95 233 93 202 92 893 75 086 83 282 82 781

-1,90 -1,78 -8,31 -2,13 -0,33 -19,17 10,92 -0,60

21 816 21 724 23 023 22 448 24 425 22 243 22 246 23 788 23 160

-0,42 5,98 -2,50 8,81 -8,93 0,01 6,93 -2,64

Fuente: Anuario de estadísticas demográficas. EPADEM. Cálculos propios.

Tabla estadística Tabla Distribución del número de personas por apartamento

Es un cuadro donde los datos se organizan considerando los distintos valores que puede tomar una variable y las veces que un valor se repite (frecuencia).

Xi 2 3 4 5 6 7 ∑

Por ejemplo: Una junta de condominio investigó el número de personas que habitan por apartamento en un edificio, con los siguientes resultados: 5-6-3-3-5-4-5-7-4-3-2-5-6-3-2-5-6-7-4-3-3-5-6-4-3-2-6-5-5-4 En este caso la variable es “Xi= Número de personas por apartamento”. Las frecuencias serán las veces que se repite cada valor, por ejemplo, el valor 5 tiene frecuencia f=8. Los datos se organizan en columnas.

fi 3 7 5 8 5 2 30

Gráfico Constituyen una forma de representar los datos estadísticos y tiene como finalidad facilitar la observación visual de la información que se representa. Por ejemplo: histogramas, polígonos de frecuencia, diagramas de barra, etc...

Distribución de notas

20

En el gráfico se observa la moda Mo (valor de mayor frecuencia), es decir, el dato que más se repite y la mediana Me (valor por encima del cual está el 50% de los casos y por debajo el otro 50%).

10

Mo

Me

0

Nº de alumnos

182

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Estadística y vida cotidiana Muchas veces nos hemos encontrado con expresiones como las siguientes: “La nota promedio del curso fue de 14 puntos” “El promedio de la cesta petrolera venezolana alcanzó 26 dólares” “La edad promedio de los niños venezolanos que inician el primer grado es de 7 años”

Pero ¿qué es el promedio? Se considera como promedio a un valor que pretende representar o resumir en un solo número las características más relevantes de un conjunto de datos. Así, si en cuatro fruterías el precio de un kilo de pimentón es Bs.1 000; Bs.1 080; Bs. 1 220; Bs. 1 200, el precio en promedio de un kilo de pimentón es: x = 1 000 + 1 080 + 1 220 + 1 200 = 4 500 = 1 125 4 4 El precio en promedio del pimentón en este conjunto de fruterías es de Bs. 1 125. Los promedios son muy utilizados en diversas áreas, tales como educación (calificaciones), finanzas (cuentas), etc... INTERESANTE: La expresión: "Si Juan se come un pollo y Pedro no come nada, en promedio, cada uno se comió medio pollo", es una forma humorística de visualizar uno de los posibles promedios de una serie de valores. El ejemplo se refiere al promedio aritmético o media aritmética de una serie que se calcula sumando sus valores y dividiendo entre el número total de ellos. En este caso, el cálculo es bien sencillo, ya que si damos el valor numérico uno (1) al pollo 1+0 que se comió Juan y cero (0) al que no se comió Pedro, entonces el promedio X = =0,5 representa el medio 2 pollo que se comió cada uno. Este ejemplo demuestra cómo el promedio es afectado por la dispersión de los valores. Si la dispersión es grande, el promedio aritmético puede ser no representativo.

Hogar y censo de población Los censos de población se consideran como la más importante operación de recopilación de información estadística referida a las personas, la familia, el hogar y la vivienda. En el último censo venezolano realizado en 2001, se definió como hogar censal "al formado por una persona o grupo de personas, con o sin vínculos familiares que comparten la misma vivienda y los mismos servicios y mantienen un gasto común para comer". Sobre esa definición, giran variados aspectos de la investigación estadística, por ejemplo: ¿Cuántas personas componen el hogar? ¿Cuántas saben leer y escribir? ¿Cuántas personas del hogar trabajan? ¿Cuántos niños asisten a la escuela? Estas y otras preguntas referidas a las personas del hogar, a las condiciones de la vivienda y la composición familiar, son temas investigados por el censo para transformarse en cifras o datos estadísticos, útiles a la planificación y toma de decisiones por parte del Estado o de las personas.

En Venezuela existe la carrera de Estadística en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad Central de Venezuela, en la Facultad de Economía de la Universidad de Los Andes, en la Escuela de Hotelería y Turismo en el Núcleo Nueva Esparta de la Universidad de Oriente. El Núcleo de Puerto Ordaz tiene Tecnología Estadística y el título que se otorga es el de Tecnólogo en Estadística. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 12 - El mundo del procesamiento de DATOS

183

Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Probabilidad y estadística

América Latina y el Caribe 6%

184

5%

40 y más

Europa 2% África 27%

Abastecimiento de agua, distribución de poblaciones sin servicio

25%

38-39,99

Variable

50%

Fuente: Programa de Control Conjunto OMS/UNICEF, 2002. Actualizado en septiembre de 2002.

36-37,99

Conocidos como gráficos de torta o de pastel, los gráficos circulares, llamados también gráficos de sectores, son los que se utilizan, generalmente, para representar proporciones. Para construir un gráfico circular se toma como unidad la longitud de la circunferencia y las distintas porciones se llevan al gráfico como secciones circulares proporcionales a la unidad. En el caso de los porcentajes se toma 2πr=100% y se establece la proporcionalidad en cada porcentaje. Si, por ejemplo, dividimos la longitud de la circunferencia en 20 partes iguales, cada una de esas partes al unirlas con el centro de la circunferencia, dan una porción del círculo que representa un 5% del total del área del círculo. Así, si se representa 25% tomamos para ello 5 porciones.

34-35,99

Construyendo un gráfico circular

32-33,99

Paso 6: Siguiendo el orden de los intervalos, se pegan los rectángulos uno a continuación del otro y se obtiene una figura que recibe el nombre de histograma.

30-31,99

Paso 5: Para cada intervalo se toma una tira y se corta a una altura igual a la frecuencia de la clase. Se tendrán entonces tantos rectángulos como clases tiene la distribución.

Frecuencia (alumnos)

En la era actual con el desarrollo de la comunicación y la necesidad de hacernos cada vez más eficientes, surgen nuevos requerimientos y habilidades fundamentales para todo ciudadano, entre éstos se encuentran, entre otros, la interpretación y construcción de gráficos y la utilización de herramientas estadísticas y computacionales. En esta ventana se orientará el cómo construir algunos gráficos. La probabilidad y estadística se estudian en Educación Básica desde los primeros grados. Así se puede iniciar la elaboración de gráficos de manera intuitiva, por ejemplo, se reparten a los niños tarjetas con el fin de que dibujen su animal preferido y se colocan las tarjetas verticalmente alineadas, formando una barra para cada animal y obteniendo un pictograma. Esta representación permitirá hacer preguntas acerca de: ¿Cuántos niños tienen como animal preferido al conejo? ¿Cuál es el animal que más prefieren los niños? Este tipo de gráfico se puede hacer con cualquier variable cualitativa que resulte interesante a los niños (mes de cumpleaños, edad, sexo, color de cabello, etc.); en el eje horizontal se colocará la variable y en el eje vertical la frecuencia, o sea, el número de veces que se repite la variable. Frecuencia Peso (kilo) (alumno) Posteriormente, se utiliza la elaboración de histogramas tomando en cuenta algunas 30-31,99 4 características como las siguientes: edad, estatura, peso, edad de la madre, etc. 32-33,99 6 Construyendo un histograma 34-35,99 8 Considere la construcción del histograma asociado a la distribución de los pesos de 36-37,99 2 30 alumnos. 38-39,99 7 Paso 1: Se construye una tabla de frecuencia. 40 y más 3 Paso 2: Se elige la unidad de medida para cada intervalo: por ejemplo 2 centímetros. En este caso se cortan seis tiras de papel de dos centímetros de Paso 3: Se cortan tiras de papel del ancho de la unidad de medida. ancho y con las tiras se forman Paso 4: Se toma una unidad de medida para las frecuencias, por ejemplo: un centímetro rectángulos de alturas igual a: por unidad de frecuencia (alumnos). 4, 6, 8, 2, 7 y 3 centímetros.

Asia 65%

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Tengo que pensarlo una baraja española (40 barajas), ¿cuál es la probabilidad de 1 En sacar un as? una caja hay tres bolas rojas y tres azules ¿Cuál es la probabilidad de sacar una 2 En bola azul? Aeropuerto Simón Bolívar, Vuelos Internacionales. Salida de pasajeros por mes. Año 1989

100

Miles de pasajeros

3

80 60 40 20 0

Ene

Feb

Mar

Abr May

Jun

Jul

Ago Sep

Oct Nov

Dic

Fuente: PDVSA (1992). Imagen Atlas de Venezuela. Una visión espacial. Editorial Arte. Caracas

¿En qué meses la salida de pasajeros es semejante? ¿En qué mes sólo salieron 50 mil pasajeros? ¿Cuál es el mes en que hubo menor cantidad de pasajeros? ¿En cuántos meses hubo más de 60 mil pasajeros?

4

Si se lanzan tres monedas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

lanzar dos dados simultáneamente, ¿cuál es la suma de puntos de 5 Almayor probabilidad? REGIÓN CAPITAL NACIMIENTOS Y DEFUNCIONES, 1990-1998

uno o varios 6 Construye gráficos utilizando los datos de la siguiente tabla:

Nacimientos totales

Defunciones totales

AÑO

Región Capital

Variación (%)

Región Capital

Variación (%)

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

107.793 105.748 103.866 95.233 93.202 92.893 75.086 83.282 82.781

-1,90 -1,78 -8,31 -2,13 -0,33 -19,17 10,92 -0,60

21.816 21.724 23.023 22.448 24.425 22.243 22.246 23.788 23.160

-0,42 5,98 -2,50 8,81 -8,93 0,01 6,93 -2,64

Fuente: Anuario de estadísticas demográficas. EPADEM. Cálculos propios.

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185

Un juego probabilístico Jugando béisbol con dos dados Este juego es una aplicación del concepto de probabilidad. Consiste en jugar un partido de béisbol entre dos rivales de acuerdo a las siguientes reglas de juego. 2ª base

Materiales 1 1 4 2

cartón para dibujar el Diamante papel para dibujar la pizarra de anotaciones fichas para identificar el bateador y los posibles tres corredores dados de seis caras.

1

2

3

4

5

6

7

8

3ª base 1ª base

9

VISITANTE

=

LOCAL

=

Home

Forma de juego 1

El juego lo realizan dos jugadores: uno representa a un equipo denominado “Visitante” y el otro a un equipo denominado “Local”. La condición de visitante o local se decide por azar. Cada jugador lanza un dado y el que obtenga la mayor puntuación juega como Local. El juego se realiza sobre un diamante o campo, donde están identificadas las tres bases y el home. El juego consiste en desarrollar “acciones ofensivas” para tratar de ubicar corredores en las bases y llevarlos hasta el home. Cuando un corredor llega hasta el home se dice que “anotó una carrera”. Se juega a 9 entradas (en inglés, inning), en caso de estar empatados se continuará hasta que exista una diferencia de una carrera (mínimo) al final del inning utilizados de extensión para romper este empate. El visitante inicia la parte alta de la primera entrada, lanzando los dados para obtener la suma de las caras. La suma de las caras corresponde a una acción ofensiva (ver tabla de acciones) que se traduce en ubicar corredores en base, para tratar de anotar carreras o ser hecho out. Cuando se hayan realizado 3 out, el Visitante dará paso al equipo Local que irá a la ofensiva, y así hasta concluir las 9 entradas o lo estipulado en el nº 5.

2 3 4 5 6 7 8

Tabla de acciones ofensivas Suma de las caras 2 3, 11 4, 9, 10 5, 6, 7, 8 12

Acción ofensiva El bateador se anota un triple El bateador se anota un doble El bateador se anota un sencillo o hit El bateador se acredita un out El bateador se acredita un jonrón

Resultado de la acción El bateador corre tres bases y cada corredor se anota una carrera El bateador y cada corredor avanzan dos bases El bateador y cada corredor avanzan una base Si es 5 y hay un corredor en base se asigna un doble play (2 outs) El bateador y todos los corredores anotan carrera (llegan al home)

El récord de jonrones en una carrera deportiva está en manos de Henry Louis “Hank” Aaron con 755, consiguió 733 con los Bravos de Milwakee (1954-1965) y los Bravos de Atlanta (1966-1974) en la Liga Nacional, y 22 con los Cerveceros de Milwakee en la Liga Americana. Fuente: Guiness. Libro de records. Editorial Planeta 2001.

186

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Probabilidades en nuestro juego de béisbol Probabilidad de hit La tabla de Acciones Ofensivas señala opciones que ocurren bajo incertidumbre. Si se llama a los dados I y II y utilizamos un diagrama para señalar todos los eventos posibles se estará constituyendo el espacio muestral asociado al experimento: suma de las caras de dos dados.

ESPACIO MUESTRAL 1 Dado I

2 3 4 5 6 7 Dado II

3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10

Si se considera la acción ofensiva “hit”, vemos que ella ocurre cuando la suma vale 4, 9 o 10. Para calcular la probabilidad asociada a este “evento”, usaremos la noción clásica y los resultados que aparecen en el Espacio muestral: Casos probables Todas las sumas

suma cuatro 1+3;2+2,3+1

Casos favorables Suma nueve 3+6;4+5;5+4;6+3

Suma diez 4+6;5+5;6+4

Total= 36 casos

Total= 3 casos

Total= 4 casos

Total= 3 casos

6 7 8 9 10 11

Probabilidades de hit= 10 de 36 = 10/36 ≈ 0,28 ≈ 28%

7 8 9 10 11 12

Problema propuesto Genera una tabla con la probabilidad de los siguientes eventos: hit, doble, triple, jonrón y out.

Información actualizada Páginas web relacionadas Instituto Nacional de Estadística (INE) Venezuela. http://www.ine.gov.ve/ine/indexine.asp Banco Central de Venezuela (BCV) http://www.bcv.org.ve Plataforma de Información Oficial del Estado Venezolano http://www.platino.gov.ve Universidad Central de Venezuela, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales (UCV-Faces) http://www.faces.ucv.ve Instituto Nacional de Estadística (INE) España: http://www.ine.es Buró de Censo, Estados Unidos. http://www.census.gov Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) http://www.unesco.org

Bibliografía

Campbell, Stephen K. (1998) We'll set one up for you.Statistics You Can't Trust: A Friendly Guide to Clear Thinking About Statistics in Everyday Life, Think Twice Publishing. EE.UU. Salama, D. (1998) Estadística, metodología y aplicaciones, 4ª edición, Editorial EPSA, Venezuela. 1. La probabilidad de sacar un as es

4 40

, es decir, del 10%.

2. La probabilidad se sacar una bola azul es de

Resultados

3 6

, es decir, del 50%.

3a. La salida de pasajeros es semejante en los meses de febrero y junio. 3b. En el mes de abril sólo salieron 50 000 pasajeros 3c. El mes de abril hubo la menor cantidad de pasajeros. 3d. 9 meses hubo más de 60 000 pasajeros 4. La probabilidad se sacar tres caras es de

3 6

, es decir, del 50%.

5. La suma de mayor probabilidad es 7. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 12 - El mundo del procesamiento de DATOS

187

Vladimiro Mujica

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1954. Obtuvo su licenciatura en Química en la Universidad Central de Venezuela en 1979, y su doctorado en Química en la Universidad de Uppsala (Suecia), en 1985. Luego de una pasantía de posdoctorado en la Universidad de Tel Aviv (Israel), en 1986, regresó a la Facultad de Ciencias de la UCV, donde es Profesor Titular desde 1997. Su área de investigación es la FísicoQuímica teórica. Ha sido investigador visitante de la Universidad de Uppsala y el Instituto Fritz Haber (Alemania), y desde 1997 es Senior Research Associate de la Universidad de Northwestern (EE.UU.). Ha sido ganador en dos oportunidades (1998, 2000) del Premio al Mejor Trabajo Científico en Química otorgado por el CONICIT y obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 2001. Es miembro del Sistema de Promoción del Investigador, en su máximo nivel (Nivel IV). Fotografía: Carlos Rivodó

El Dr. Mujica es un prestigioso químico venezolano que utiliza con mucha fuerza las matemáticas en el desarrollo de sus investigaciones. Como él mismo nos comenta: “La química es la ciencia de las transformaciones y estructura de la materia”. La estructura está determinada por un delicado balance energético que involucra a núcleos y electrones, los dos bloques fundamentales de la materia. El comportamiento de estas partículas está descrito por las leyes de la mecánica cuántica, cuyos fundamentos son un conjunto de postulados acerca de la estructura matemática de dichas leyes y su interpretación física. La descripción de las transformaciones de la materia requiere adicionalmente de la consideración de aspectos cinéticos y de transporte, para lo cual es necesario recurrir nuevamente a modelos cuánticos o semiclásicos que se formulan en términos de ecuaciones de dispersión, transporte y de ruptura de enlaces, y de las cuales depende la interpretación física de los fenómenos en cuestión. “Buena parte de mi trabajo está relacionado con el estudio del transporte de carga a través de una estructura microscópica cuyo tamaño obliga a utilizar las reglas cuánticas tanto para la descripción de la estructura como del proceso de transporte mismo. En estos trabajos la matemática constituye una parte integral de la modelación fisicoquímica y las técnicas que se emplean corresponden fundamentalmente al análisis funcional, el cálculo variacional, la estadística y el álgebra lineal. Adicionalmente, la construcción y evaluación de un modelo de transporte de carga, involucra un paso final de cálculo numérico asistido por computadora que permite tanto la validación del modelo como la comparación con los resultados experimentales.” Sus palabras nos muestran claramente una característica del quehacer científico, la necesidad del uso de las matemáticas para modelar situaciones que luego se verifican experimentalmente. Es muy importante destacar que si bien esta manera de avanzar en el conocimiento científico está muy expandida hoy en día, hay muchos ejemplos extraordinarios a lo largo de la historia que permiten confirmar la fuerza de las matemáticas como soporte del pensamiento y desarrollo humano. No es una pretensión de los matemáticos pensar que muchos avances en los años por venir, en todas las ciencias, tendrán ese toque matemático que tan bien expresa el Dr. Vladimiro Mujica.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Matemática para todos Fascículo

El mundo y los Números IV

Fotografía: Fabián Michelangelli

números

“No existe rama de la matemática, incluso la abstracta, que no pueda ser aplicada a un fenómeno del mundo real”

Nikolai Lobatchevsky Matemático ruso (1793-1856)

La construcción observada en el dibujo se denomina Espiral de Teodoro, en honor de Teodoro de Cirene (filósofo y matemático, s. IV a.C.), que es una espiral formada por lados de triángulos rectángulos. Platón indicó que su maestro Teodoro fue el primero en probar que la raíz cuadrada de los enteros no cuadrados desde 3 hasta 17 son irracionales (”inconmensurables”). Al llegar a 17 triángulos rectángulos de lados 1,√n , √n+1, n=1, 2.....17 se tiene una vuelta completa.

Importancia de la matemática ¿A qué se debe hoy en día la importancia de la matemática en la ciencia, la tecnología y otros sistemas? Destacamos tres aspectos: • Comunicación. • Predicción. • Razonamiento. Es un medio para la comunicación científica y tecnológica que suministra un lenguaje claro y conciso. Un gráfico

Una fórmula

Un enunciado

(Variación del precio de la canasta alimentaria, año 2001)

La función P=f (h) que expresa la presión atmosférica P en relación con la altitud h sobre el nivel del mar es decreciente: a mayor altitud, la presión del aire es menor.

v=πhr2 Bolívares

225.061 224.915 222.371 215.429

214.792

208.702

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Es un medio efectivo para la predicción. Esto se logra a través de los modelos matemáticos o "matematización" de situaciones reales, lo cual permite explicar el comportamiento de esas situaciones y predecir, con cierta aproximación, cuestiones desconocidas. Por ejemplo, si tenemos los siguientes datos de los censos de población de Venezuela. Millones

AÑO 1936 1941 1950 1961 1971 1981 1990 2001

POBLACIÓN 3 364 347 3 850 771 5 043 838 7 523 999 10 721 522 14 516 735 18 105 265 23 542 649

¿Podremos encontrar alguna expresión matemática que responda a esos datos? (explicación). ¿Será posible estimar la población en los años en los que no se realizaron censos, durante el período 19362001? (interpolación). ¿Será posible estimar la población del año 2010, y en algunos años futuros, a partir de esos datos? (predicción).

20

15

10

5

1936 41

50

61

71 Años

81

1990

2001

Es un medio muy útil para aprender a razonar en forma lógica. Ésta ha sido tradicionalmente una de las consideraciones que se hacen para incluirla en el currículum escolar. Para llevar a cabo esos cometidos la matemática ha evolucionado, ampliando teorías y creando otras. En los últimos cuarenta años se han creado y desarrollado teorías que hoy en día ocupan atención primordial de matemáticos y científicos, tanto por su propio desarrollo como por las aplicaciones que tienen: los fractales, el caos, la programación, la borrosidad, las ondículas, la criptografía, son nuevos desarrollos de la matemática. En este fascículo mostramos la utilización de algunos contenidos matemáticos y su aplicación en otras áreas del conocimiento. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

La matemática “La música es el placer que experimentan los humanos al contar sin estar conscientes de estar contando” Gottfried Leibniz Filósofo y matemático alemán (1646-1716)

Utilicemos la matemática para contar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Diez dedos tenemos en nuestras dos manos.

De la época de Kepler a la de Newton y de la de Newton a Hartley todas las cosas de la naturaleza, los ingeniosos misterios de la vida y la organización y aun el intelecto y las cosas morales se hacen aparecer dentro del círculo mágico de la formulación matemática Samuel Taylor Coleridge Escritor y pensador británico (1772-1834)

Qué bueno que aprendí matemática que es tan necesaria para diseñar y construir casas y edificios.

Medio litro de agua, un tercio de litro de leche, tres cuartos de kilo de azúcar. Lo entiendo porque he estudiado matemática.

Necesitamos matemática para comprar, vender, hacer cheques, cobrar en un banco, llevar las cuentas.

La matemática es una herramienta fundamental en el desarrollo de la ciencia y la tecnología. Todos sabemos lo que es bailar y oír música, y todos podemos bailar, conocer ciertos pasos y ciertos acordes de música, e igualmente todos sabemos algo de matemática y todos somos capaces de entenderla y asimilarla con práctica y dedicación como las bailarinas de ballet.

El número π expresa la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Los números Carlos Mendoza Artista plástico caraqueño (1953- ) Triángulo

Para contar y enumerar utilizamos los Humm... “Menos cinco” y está bajando. Los números naturales. Algunos números números enteros negativos como que no naturales son: 0, 1, 23, 453... Los tienen un elemento que sea el menor de todos. números naturales tienen primer elemento, el 0, pero no tienen un último elemento, es decir, uno mayor que todos los demás.

¡Claro que es importante el cero! Piensa: ¿Cómo se escribiría el número dos mil tres sin el cero?

La unión de los números naturales y los enteros negativos es el conjunto de los números enteros. Observa en la recta numérica la representación de los números enteros y visualiza que entre dos números enteros consecutivos no existe otro número entero: -7

-6

-5 -4 -3 Enteros negativos

En mi trabajo utilizo muchas fracciones: llaves de media, tuberías de tres cuartos, motores de una y media. Grabado de la llegada de Colón a la isla de Guanahaní

-2

-1

0

Los números racionales se expresan como la razón de dos números enteros cuyo denominador es diferente de 0. Las fracciones representan a los números racionales. Entre dos números racionales existen infinitos números racionales. Si consideras dos numeros racionales a y b, a+b 2 está entre ellos.

1

2

3 4 5 Enteros positivos

6

7

Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como razón de dos números enteros. Desde que se conoce la expresión a2 + b2 = c2, que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, se sabe de la existencia de números como √ 2, √ 3, √ 5. Estos son ejemplos de números irracionales.

La unión de los números racionales y de los números irracionales es el conjunto de los números reales. Cuando se representan los números enteros o los números racionales en la recta numérica, sobran muchísimos puntos. Cuando se representan los números reales no sobran puntos: a cada número le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real.

El año 1492 no sólo fue prometedor para Cristóbal Colón sino que también lo fue para la coma decimal. En su libro Compendio del Ábaco, el cual trataba del uso práctico y comercial de la aritmética, Francisco Pellos usó un punto para ilustrar la división entre 10 y así introdujo una de las primeras apariciones de la coma decimal. Su aparición oficial en la matemática fue por el año 1600 en los trabajos de Pitiscus, Napier, Stevin, Rudolff y Briggs. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Números y operaciones

Núm

2

7

3

ero

0,51

3

7

4

2

5115

Re

111. ...

al

Númer

1

os R ac 0,33 io 3.

...

Números

-4

-25

-3

N ú m

-1

4

le

s

-3 4 -0,25

π 5

s

3...

na

te

ra le

23..

-2

0,6

es 3

ro

0

En u

e r o s Na 12 t

Propiedades de las operaciones

s

Cuando se suman o se multiplican dos números naturales se obtiene otro número natural.

Pero, cuando se restan o se dividen dos números naturales no siempre se obtiene un número natural.

1+3 107 x 23 71 + 12

1 - 3 107 ÷ 23 71 - 112

Con números enteros es diferente: se pueden sumar, restar o muItiplicar dos enteros y se obtiene un entero.

Pero, cuando se dividen dos números enteros no siempre se obtiene un número entero.

Los números racionales y los números reales admiten las cuatro operaciones: la suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números racionales o reales es un número racional o real, respectivamente. Bueno, siempre que no se divida entre cero.

-4 x 3 205 - 374 -713 + 250

-5:6 9:4 80 : 132

0,333 : 2 √ 4 - 32 78 x 5,83

Todo número real tiene un número opuesto que también es real.

Todo número racional tiene un número opuesto que también es racional.

Todo número entero tiene un número opuesto que también es entero.

3 tiene a -3

3 tiene a -3 -5 tiene a 5

√ 3 tiene a -√ 3

3 tiene a - 3 4 4

Todo número real no nulo tiene un número inverso que también es real.

Todo número racional no nulo tiene un número inverso que también es racional.

4 tiene a .14 1 2

3 4

tiene a 2

√3 tiene a 13.

tiene a

4 3

.

- 1n tiene a -n

Interesante Los números primos son los 5 bloques de construcción de los 5 números compuestos. Observa tres árboles de factores del número 30.

.

30

. 2

30 6

3

.3

30 2 2

.

. 3

3 15

.

5

.

. 2

10

.

5

.

s

3 tiene a -3; -7 tiene a 7

103.

Ningún número entero, excepto 1 y -1 , tiene inverso.

Pero ningún número natural tiene opuesto. si x es natural -x no es natural. 2 es natural pero -2 no lo es. Ningún número natural, excepto 1, tiene inverso: si x es natural y diferente de 1, entonces 1x no es natural. 2 es natural pero 12 no lo es.

Aunque las ramas de los tres árboles de factores son diferentes, los números primos en la fila inferior son los mismos, sin importar el orden en que aparecen. En cada árbol, el producto de 2, 3 y 5 en cualquier orden es 30. Esto sugirió a Euclides una propiedad muy importante de los números y la incluyó en su obra Los elementos en el año 320 a.C. “Todo número compuesto puede ser expresado como el producto de números primos en exactamente una forma, sin importar el orden de los factores”.

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Números naturales especiales Separemos el conjunto de los números enteros no negativos en dos conjuntos:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ....}

{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ....}

{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,....}

Números pares: Tienen la forma 2n, Siempre que n sea un número entero no negativo. Ejemplo: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4.....

Números impares: Tienen la forma 2n+1, siempre que n sea un número entero no negativo. Ejemplo: 9 = 2 x 4 + 1....

Los números naturales pueden representarse geométricamente de muchas formas. Observa una representación de ellos con cuadrados:

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

Números primos y compuestos Observa una representación rectangular de algunos números:

2

3

4

5

6

7

8

9

Observa que números como 2, 3, 5 y 7 con esta representación rectangular tiene una sola forma: horizontal o vertical. Estos números reciben el nombre de números primos. Un número natural, mayor que 1, que admite exactamente dos factores se denomina número primo. Un número es compuesto si admite más de dos factores. El número 1 no es ni primo ni compuesto. Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

Matemática y petróleo El petróleo es para Venezuela su principal producto de exportación y fuente de ingreso de divisas. En los periódicos aparecen frecuentemente aspectos sobre el tema petrolero en los cuales está presente la matemática.

US$ por barril

30 marzo

21,77

6 abril

21,19

20 abril

21,99

27 abril

21,32

Medidas Un barril (unidad de medida del petróleo) Los grados API

Lo probabilístico Estimar reservas

20

21,99

21,77

21,32

21,19

30 marzo

6 abril

20 abril

27 abril

OS RELACIONAD MÁTIC OS C E T A ON M EL S O PE T C TR E ÓL P EO

Promedio al cierre de la semana (2001)

Gráficas y funciones

Lo geométrico

ALG U NO S

Lo numérico

Precio en dólares

24

AS

En Venezuela el comienzo de la explotación del petróleo fue hacia 1878 con la Compañía Nacional Minera Petrolia, en el estado Táchira, la que produjo inicialmente 15 barriles diarios para consumo doméstico. Esta iniciativa duró poco. La primera explotación a escala comercial se llevó a cabo en 1914 en el pozo Zumaque Nº 1, en el estado Zulia. Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

167

Matemática y petróleo Etta Corradi Dibujante italiana (1924- ) Venezuela-Crisis Fortaleza

Medidas Cuando se inició la industria petrolera, hacia 1859, se utilizaban barriles de madera de distintos tamaños usados originalmente para envasar cerveza, vinos y otros líquidos. En barriles también se transportaba el petróleo desde los sitios de su explotación, puesto que en esa época no había oleoducto; ni supertanqueros. Esto dio origen a una unidad de medición para el petróleo: el barril. Un barril es una medida de capacidad, de símbolo bbl, utilizada especialmente para los productos petroleros, y es equivalente a 42 galones, o sea, aproximadamente 159 l. Los grados API (American Petroleum lnstitute) se refieren a una escala empírica para medir el peso específico de los crudos de petróleo. En la página web de PDVSA encontramos lo siguiente para el petróleo venezolano a 60º F (15,555 ºC ≈ 15,6 ºC): Crudos Livianos Medianos Pesados

Gravedad API Desde 30 hasta 41,3 Desde 22,1 hasta 24,1 Desde l0,2 hasta 14,5

Interesante Otra medida utilizada en la industria petrolera es el índice de octanos u octanaje. Cuando vas a una estación de servicios, observas en la bomba de suministro de gasolina que hay números 91 y 95, lo cual indica el octanaje de la gasolina. El octanaje es una medida de calidad, indicativa del poder antidetonante de la gasolina, y se refiere a comparar una determinada gasolina con una mezcla de dos hidrocarburos: el heptano (alta tendencia al pistoneo) y el isooctano (baja tendencia al pistoneo), a los que se asignan respectivamente, los valores 0 y 100. Si una gasolina tiene 95% de iso-octano, se dice que su octanaje o índice de octanos es 95. Las gasolinas para los motores de los aviones tienen un octanaje que varía desde 100 hasta 130. Tradicionalmente se ha agregado a la gasolina el tetraetilo de plomo para aumentar el octanaje, pero éste es un producto contaminante por lo que se expende la gasolina sin plomo o gasolina “ecológica”.

Lo geométrico Las torres de petróleo (torres de perforación o cabrías) tienen forma de pirámide cuadrangular y en su diseño un elemento estructural es el triángulo. Esto se debe a que el triángulo posee una característica especial, que en general otra forma no la tiene, es estable en el sentido de que si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, entonces la forma triangular permanece. Una pieza vital del taladro, que va en la torre de perforación, es el cuadrante que tiene sección cuadrada y encaja en la mesa rotatoria convirtiendo el movimiento físico de rotación en uno de traslación de la tubería de perforación, parecido a los motores de dos tiempos, en los que se pasa de un movimiento de traslación a uno de rotación.

Reto: ¿A cuánto equivale, en el Sistema Internacional SI, un galón y un barril? Escríbelos en m3 y dm3

168

Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

Matemática para todos El mundo y los

Fascículo

números ¿Qué hacer con todos estos datos? Precio promedio anual del barril (cesta venezolana}

Lo numérico y lo gráfico Muchos son los datos que permanentemente se recopilan en relación con el petróleo, entre otros:

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

* Variación diaria del precio del barril de petróleo (en US$) y promedios semanales, mensuales y anuales. * Volumen de producción nacional, de la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) y mundial. * Estimación de reservas nacionales y de otros países. * Consumo de derivados del petróleo, por ejemplo, gasolina, diesel, kerosén.

En lo numérico, algunos de los aspectos a considerar son: •

COCIENTES DE PROPORCIONALIDAD.

US$ 20,33 15,92 14,91 13,34 13,23 14,84 18,39 16,32 10,57 16,04 25,91

Fuente: Veneconomía, mayo 2001

Dividir cada precio por el siguiente para determinar en cuánto ha aumentado o bajado el precio. Por ejemplo, 20,33 : 15,92 es aproximadamente 1,28; lo cual indica que el precio para el año 1990 fue, aproximadamente, una vez y cuarto del precio del año 1991. Esto puedes hacerlo con todos los datos y construir una tabla de cocientes de proporcionalidad. Otra tabla se puede elaborar al dividir el precio de cada año por el del año anterior (los inversos de la tabla anterior). •

VARIACIONES NETAS AL PASAR DE UN AÑO AL SIGUIENTE. Por ejemplo, 15,92 - 20,33 = -4,41 es la variación neta del período 1990-91. El signo negativo indica que hubo un retroceso (decremento) en el precio. Esto puede expresarse en porcentaje, ya que 4,41 es el 21,69% de 20,33; lo que da la variación (pérdida) neta, en porcentaje, al pasar del año 1990 al año 1991. Aquí también puedes construir una tabla de porcentajes.

Lo gráfico. Algunos de éstos son: GRÁFICO DE BARRAS VERTICALES

GRÁFICO DE LÍNEAS

Precio promedio del barril (US$)

30 25,91

20 16,04 20,33

20

18,39

10 15,92 16,32

14,91 13,34 14,84 13,34

10 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Años

13,23 10,57

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Estos gráficos se pueden “leer” y de ellos obtener conclusiones. Por ejemplo, en el gráfico de la derecha observamos claramente “caídas bruscas” del precio en 1990-1991, 1997-1998 (se dice que la gráfica tiene pendiente negativa bastante fuerte) y “aumentos considerables” en 1998-1999 y 1999-2000 (se dice que la gráfica tiene pendiente positiva bastante fuerte). Observa la fuerte inclinación, respecto a la horizontal, de esos segmentos. Estas conclusiones también se deducen de las tablas de porcentajes. ¿Cómo interpretas el gráfico de la izquierda? Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

Matemática y petróleo Ahora presentamos otro tipo de gráfico apropiado para los datos que daremos. Considera los niveles de producción de los países pertenecientes a la OPEP para el mes de abril de 2001 (Fuente: El Nacional, 04/06/01)

País

Millones de barriles Argelia 800 Indonesia 1 214 Irán 3 678 Kuwait 2 000 Libia 1 365 Nigeria 2 063 Qatar 674 Arabia Saudita 7 909 Emiratos Árabes Unidos 2 203 Venezuela 2 851 TOTAL OPEP

24 757

Porcentajes sobre el total 3,23 4,90 14,86 8,08 5,51 8,33 2,72 31,95 8,90 11,52

En este caso no tenemos una variación de producción en relación con el tiempo, sino una sola variable cual es los millones de barriles producidos que expresamos en porcentajes. Un gráfico adecuado para expresar esta situación es el de sectores circulares, denominado popularmente gráfico de torta. Emiratos Árabes Unidos 8,90%

Venezuela 11,52%

Argelia 3,23%

Indonesia 4,90%

Kuwait 8,08%

100,00

No se incluyen las estadísticas de Irak debido a las sanciones impuestas por la ONU.

Irán 14,86%

Arabia Saudita 31,95%

Qatar 2,72%

Nigeria 8,33%

Libia 5,51%

Lo probabilístico Utilizando el cálculo de probabilidades se estiman las reservas que hay de petróleo en el subsuelo, para lo cual se analiza estadísticamente la información Cuencas geológica y de ingeniería que se recoge mediante instrumentos de medición. Cuenca de Hay las reservas probadas, las Falcón probables y las posibles. Esta Cuenca de denominación depende del grado Maracaibo de certidumbre que se tenga sobre las estimaciones que se Cuenca de hacen. Así, las reservas posibles Barinas y tienen un menor grado de certidumbre Apure que las probables y éstas a su vez menos que las probadas, clasificación esta última donde hay cifras "ciertas y precisas" obtenidas de los yacimientos detectados, con un margen de error muy pequeño.

El total de crudo en reservas de Venezuela es, aproximadamente, 221 millardos de barriles (221 x 109 bbl), de los que 76 millardos son reservas probadas y de éstos el 69% son de crudos pesados y extrapesados. (Página Web de PDVSA, actualizada hasta noviembre del año 2000.) Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

Petrolíferas de Venezuela Cuenca Tuy Cariaco Cuenca Oriental y Faja Petrolífera del Orinoco

Cuenca de Carúpano

Matemática y mapas

La Cartografía se ocupa de la confección y del levantamiento de los mapas. En relación con los mapas surgen varias preguntas.

¿Qué es un mapa? ¿Cómo se elaboran los mapas? ¿Qué información se obtiene de los mapas? ¿Qué vinculación tiene la matemática con los mapas?

Algunos temas que se estudian referidos a las relaciones de la matemática con los mapas son: • Las proyecciones (para elaborar mapas). • Las coordenadas geográficas (latitud y longitud). • Los husos horarios. • Mediciones sobre aspectos terrestres. • Las escalas.

Mercator fue el autor, en 1569, de un mapamundi para uso de los navegantes. Una de las proyecciones utilizadas para elaborar mapas recibe el nombre de Mercator en honor a este científico. Gerhard Mercator Matemático y geógrafo flamenco (1512-1594)

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Matemática y mapas Martin Waldssemüller Cosmógrafo alemán (¿1475-1521?) Primer mapa con el nombre de América

Las proyecciones representan un objeto o figura del espacio en un plano. Es decir, lo tridimensional se representa sobre una superficie plana que es bidimensional. En una proyección central de una figura del espacio sobre un plano a partir de un punto C, llamado foco o centro de la proyeccion, se determinan los puntos proyectados P', en el plano, uniendo C con los puntos P de la figura.

P’ P

C

Dos de las proyecciones utilizadas para elaborar mapas son la proyección gnomónica (gnómica) y la proyección estereográfica. La imagen plana del globo terrestre o de una parte de él, siempre tiene algunas deformaciones (distorsiones) con las distancias, ángulos y áreas.

H H’

Plano sobre el que se proyecta C’

C’

C

Meridianos y paralelos

El centro C de proyección es el centro de la Tierra en la proyección gnomónica.

Foco de proyección C

N

Estas circunferencias son las proyecciones de los paralelos Estos segmentos (radios) son las proyecciones de los meridianos

E

S

E’ Proyección del Ecuador E

Proyección estereográfica (Es bastante utilizada para hacer mapas de las regiones polares)

Interesante Además de mapas se habla de cartas y planos. Esto no es más que una clasificación de mapas atendiendo a la superficie representada. Las cartas o mapas corográficos, son mapas que abarcan extensiones no tan grandes como las de un estado o distrito. Los planos son aquellos mapas que representan extensiones pequeñas de las superficies de la Tierra, como las de una ciudad o un municipio: un plano de Caracas, un plano del municipio Baruta. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

El centro C de proyección es un polo de la Tierra en la proyección estereográfica.

Juan de la Cosa Navegante y cartógrafo español (?-1510) Mapa del continente americano, año 1500

La proyección de Mercator se hace de otra manera. Es un tipo de proyección cilíndrica: pensemos en enrollar alrededor del globo una superficie cilíndrica y luego, al desenrollarla resulta un cuadriculado en donde los paralelos y los meridianos están representados por rectas perpendiculares entre sí. Debido a las distorsiones se hacen ciertas modificaciones. La denominada proyección de Mercator Transversal es, actualmente, una de las más utilizadas en el mundo y se refiere a cilindros circunscritos a la esfera terrestre en donde el eje del cilindro no es coaxial con el eje del planeta.

Los paralelos en la superficie esférica se transforman en paralelos en la superficie cilíndrica. Los meridianos en la superficie esférica se transforman en segmentos sobre la superficie cilíndrica. Al desenrollar la superficie cilíndrica sobre un plano, queda un reticulado con rectas perpendiculares. 60º 30º 0º

60º

-30º -60º

30º

0º -30º

Proyección de Mercator (Esta proyección es muy utilizada para la navegación marítima y aérea)

Cualquier información que se transmite en un mapa requiere de una escala adecuada. En los casos de mapas donde se necesita medir distancias, como los que incluyen las vías de comunicación, hay dos tipos de escalas que se utilizan: la escala numérica y la escala gráfica. En la escala gráfica de este mapa se tiene que AB = 0,93 cm, que equivale a 200 km de longitud real en línea recta. Por ejemplo, de Caracas hasta Santiago de Cuba medimos 6,56 cm, lo cual dice que la distancia real entre esas dos ciudades se resuelve de la siguiente forma: 0,93 cm 200 km 6,56 cm X Escala gráfica 0.93 cm = 200 km

Por lo que X =

(6,56 x 200) = 1 410,75 km 0,93

Reto: Determina la distancia entre Caracas y San Juan (Puerto Rico) utilizando la escala gráfica en el mapa anterior.

Hay una gran riqueza matemática en los mapas y lo importante es explorarla, estudiarla y aplicarla. Reto: Las ciudades de Filadelfia (Estados Unidos) y Lima (Perú) están situadas en el mismo meridiano y sus latitudes son respectivamente, 40° Norte y 14° Sur. Sabiendo que los meridianos miden 39 920,70 km (de polo a polo). ¿Cuál es la distancia entre esas dos ciudades medida a lo largo de ese meridiano común? Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

173

Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

En ocasiones es provechoso desarrollar actividades de matemática que puedan integrar diversas áreas del conocimiento, tanto matemáticos como de otros campos, así como situaciones de la vida cotidiana de cada quien. A continuación se presentan situaciones basadas en hechos muy conectados con la realidad tanto de estudiantes como de maestros, que permiten plantear actividades de aula en las cuales esta integración es posible. Muchas más situaciones como éstas puedes encontrar en el sitio de Internet http://www.figurethis.org.

¿Qué vaso de cotufas debería comprar, si ambos cuestan lo mismo?

22 cm

En lugar de tener sus envases, al cliente le dan una hoja de papel tamaño carta y le dicen que haga el envase cilíndrico de la forma que prefiera. La tienda provee las tapas, sin importar la forma que el cliente genere con el papel.

¿Cuál de las formas será la que carga mayor cantidad de cotufas? 1. Materiales Para el docente • Láminas de rotafolio. • Tiza y pizarrón como recurso alternativo si no se puede contar con un rotafolio. • Envases cilíndricos con tapas, ya hechos a partir de hojas de papel.

28 cm

Esta es una tienda en la que tienen una manera muy singular de vender las cotufas.

Para el estudiante • Hojas de papel tamaño carta. • Goma de pegar. • Granos o piedritas. • Lápiz. • Cuaderno cuadriculado para resolver los ejercicios.

2. Organización Organice a los estudiantes en grupos de tres o cuatro. 3. Estimación Examinen a simple vista ¿cuál parece tener la mayor capacidad? Haga una lista de las razones que ellos expresan para justificar su escogencia. Llévelos a que se den cuenta que no es fácil si no se tienen los envases. Es posible que los niños ofrezcan como razones para llegar a una conclusión que el primer envase es más ancho pero menos alto que el segundo. El segundo envase es más alto que el primero, pero menos ancho que éste. 4. Verificación con material concreto Si cuenta con las hojas de papel construya dos envases como los mostrados y provéalos con una base. Llene uno de ellos con arena, cotufas o granos. Vierta el contenido en el otro. Observe cuál es el que tiene mayor capacidad. Si tienen los envases, abra una discusión cualitativa e informaI en la cual los estudiantes expongan las razones por las cuales la capacidad es distinta entre ellos. LIévelos a concluir que lo que determina cuál envase carga más, es el volumen. A mayor volumen, mayor cantidad de cotufas. 5. Cálculo de volúmenes Proponga una actividad en la que se calculen los volúmenes de los dos cilindros. Para los cilindros, tenemos entonces que voIumen es el producto del área del círculo de la base multiplicado por la altura. La fórmula usual para calcular el área del círculo es πxR2. Sin embargo, no se tiene la longitud del radio de los círculos de ninguno de los envases. Lleve a los estudiantes a darse cuenta de que la longitud de la circunferencia es la longitud del lado que estamos haciendo curvo. Si se recuerda que la longitud del diámetro multiplicado por π es igual a la longitud L de la circunferencia, esto permite calcular los radios mediante la fórmula R = L : 2π. El volumen de los cilindros entonces es igual a V= πR2 x H. Haga que noten que los números obtenidos son consistentes con las conclusiones que obtuvieron mediante la verificación directa con los envases, en la segunda actividad.

174

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Tengo que pensarlo El alambre Un pedazo de alambre puede ser doblado en partes iguales como se muestra. Si la longitud de cada segmento es un número entero de centímetros, ¿cuál es la mínima longitud posible del alambre?

La reunión Seis personas están sentadas alrededor de una mesa rectangular, tal como se muestra en la figura. ¿Quién es el anfitrión?, si se sabe que: • Las seis personas son tres mujeres: Luisa, María y Dora; y tres hombres: Eduardo, José y Luis. • Luisa está sentada enfrente de María o Eduardo. • José está sentado inmediatamente a la izquierda de Dora. • Luis está sentado inmediatamente a la izquierda de una mujer e inmediatamente a la derecha de otra mujer. • El anfitrión que ofrece la comida es la única persona que está sentada enfrente de un hombre y a la izquierda de una mujer. ¿Quién es el anfitrión?

Los dados Sabiendo que la suma de los números que aparecen en las caras opuestas de un dado es constante. ¿Cuánto vale la suma de los números contenidos en las tres caras posteriores y las tres laterales que no se ven en el dibujo?

Información actualizada Bibliografía Arocha Reyes, José Luis (1991). La escala en el mapa y en la aerofoto. Ediciones de la Biblioteca de la Universidad Central de Venezuela. Caracas, Venezuela. Baena R., Julián y otros (1996). La esfera. Colección Educación Matemática en Secundaria. Editorial Síntesis, Madrid, España. Martínez, Aníbal R. (2000). Diccionario del petróleo venezolano. Colección Libros de El Nacional. Caracas, Venezuela. Montiel Ortega, Leonardo (1999). Guía para estudiantes sobre petróleo y gas. Editorial Arte. Caracas, Venezuela. NCTM -National Council of Teachers Mathematics- (2000). Principles and Standars for School Mathematics. EE.UU.

Resultados

La mínima longitud del alambre es 6 cm. La anfitriona es Dora. La suma de las caras posteriores no visibles es 1+4+5+6+4+2 = 22. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

175

José Rafael León R.

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* El doctor José R. León es un reconocido especialista en las áreas de Estadística, Teoría de Probabilidades y Procesos Aleatorios. Es profesor titular de la Escuela de Matemáticas de la Universidad Central de Venezuela y actualmente es Coordinador de Estudios de Postgrado de la UCV y Representante Profesoral ante el Consejo Universitario. Ha sido profesor invitado en diversas ocasiones en universidades francesas, españolas y de América Latina. Es miembro del Sistema de Promoción al Investigador en su máximo nivel (Nivel IV). Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1997. Fotografía: Carlos Rivodó

Uno de los temas que interesa actualmente al Dr. León es la utilización de procesos aleatorios para realizar modelos de la superficie del mar. La Teoría de Procesos Aleatorios es un área que ha tenido un impresionante desarrollo en los últimos 50 años y se ocupa del estudio de funciones que dependen del azar, por ejemplo, la evolución de cantidades que varían en el tiempo pero que lo hacen de manera aleatoria. Un caso interesante es el de la superficie del mar. Si pensamos en una boya fija en un lugar de la superficie marina, su altura varía a lo largo del tiempo y no podemos predecir con exactitud la altura de la boya en un instante dado del futuro. La evolución de la altura de la boya en el tiempo es un ejemplo de una función que depende del azar. Más complicado, pero también más interesante, es considerar una parte de la superficie del mar en lugar de considerar un punto (que corresponde a una boya), es decir, considerar una superficie aleatoria. Esto permite estudiar la evolución de las olas en el tiempo. El estudio de modelos teóricos de superficies aleatorias permite analizar diversas propiedades de las olas y su evolución, que son de interés, por ejemplo, en el diseño de barcos y plataformas marinas. Usando registros tomados con arreglos de boyas o por satélite, es posible medir la energía del mar en distintas direcciones a través de lo que se conoce como el espectro direccional de la superficie. Teniendo en cuenta que esta es una de las informaciones disponibles de manera rutinaria por los observatorios marinos, es de especial interés poder deducir, a partir de estos espectros de energía, propiedades de la superficie correspondiente, para lo cual es fundamental el estudio de los modelos teóricos de la superficie del mar.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Matemática para todos Fascículo

El mundo de las

Godfrey H. Hardy matemático británico (1877-1947) Esta frase fue escrita en su obra Apología de un matemático, 1940

Fotografía: Rogelio Chovet

Números III

proporciones

“Los diseños del matemático, como los del pintor o del poeta, han de ser bellos: las ideas como los colores o las palabras deben relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas”.

Número de oro Este es el “cuadro 72” de Piet Mondrian, construido de acuerdo con las proporciones del número de oro. Pintor neerlandés (1872-1944), Pieter Cornelis Mondrian, llamado Piet Mondrian, influido por el cubismo analítico pasó de una figuración al estilo Van Gogh a una abstracción geométrica en la que consigue el rigor extremo combinando los colores primarios con el blanco y el grís sobre una trama ortogonal.

El mundo de las proporciones De cada 10 000 habitantes de un país, 2 000 tienen título universitario.

Este auto es el mismo, uno es de verdad y el otro es su foto.

¿Qué porcentaje de la flor representa cada uno de sus pétalos?

Un perro tiene dos orejas. ¿Cuántas orejas tendrán 35 perros?

La factura de la electricidad vino altísima, porque aumentamos nuestro consumo.

Estos limones son “semejantes”.

Los intereses de las tarjetas de crédito en Venezuela eran mayores al 50% en el 2002.

Para subir 2,40 m necesito 18 escalones. ¿Cuántos escalones necesito para subir 4,50 m?

Todas estas situaciones pertenecen al fabuloso mundo de las proporciones. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Proporcionalidad 1.- La fórmula señala que para obtener un litro de leche deben agregarse a un litro de agua, 16 cucharadas de leche en polvo. Así, si deseamos preparar el doble de litros de leche, necesitaremos el doble de cucharadas de leche en polvo y si deseamos preparar una cantidad menor disminuiremos la cantidad de cucharadas de leche en polvo.

16 cucharadas de leche en polvo son necesarias para preparar un litro de leche. 8 cucharadas de leche en polvo son necesarias para preparar medio litro de leche.

Al expresar esto en una tabla, queda así:

Cucharadas

x

8

16

32

48

64

Litros de leche

y

1/2

1

2

3

4

Observamos que al relacionar el número de cucharadas de leche en polvo y la cantidad de litros de leche, obtenemos fracciones equivalentes:

16

32

=

1

®

48

2

3

0

10

=

64 4

=

X

cantidad de cucharadas

= 16

y

cantidad de litros

4 3

Litros

Si representamos mediante puntos algunos de estos pares en un sistema de coordenadas, al unirlos se obtiene un gráfico como éste.

=

2 1 0 20

30

40

50

70 cucharadas

60

2.- El siguiente recibo de la Electricidad de Caracas de agosto de 2001 muestra la facturación por consumo de kilovatios/hora (KWH) durante un mes

Observa que el consumo es de 872 KWH y el costo de 1 KWH es de Bs. 59,7454. Por lo tanto, el monto a pagar por este consumo es de Bs. 52 098. Para calcular ese monto a pagar se efectúa la siguiente operación:

872 KWH x Bs. 59,7454 Bs./KWH = Bs. 52 098 aproximadamente. ¿Cuánto costarán 100 KWH? ¿Cuánto costarán 5 KWH? Si se expresa esta relación con un gráfico se obtiene lo siguiente:

Bs.

3.000

Se observa en esta gráfica que para 0 KWH corresponde a Bs 0. Mientras mayor sea el consumo de electricidad, mayor será la cantidad de bolívares a pagar.

2.000

1.000 0 0

10

20

30

40

50

60

70

KWH

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Proporcionalidad En las dos relaciones vistas en la página anterior podemos observar lo siguiente: • A cada valor de la variable (KWH o número de cucharadas) le corresponde un valor único (imagen). Si la variable aumenta o disminuye, la imagen aumenta o disminuye en la misma relación. Por ejemplo, si se duplica la cantidad de KWH consumidos, se duplica el monto a pagar, es decir, hay una variación directa. • En las dos situaciones anteriores, la relación que se establece entre las variables forma un conjunto de fracciones equivalentes:

16

=

1

32

=

48

2 59,74

=

1

64

=

3

=

4

119,48

=

179,22

2

x

cantidad de cucharadas

y

cantidad de litros

=

3

y

Monto a pagar en Bs.

x

Cantidad de KWH consumidos

• Al representar gráficamente una relación directamente proporcional se obtiene una recta que pasa por el origen.

Intensidad

5 4 3 2 1 0 0

1

2 3 Resistencia

1

Existen relaciones que son inversamente proporcionales, es decir, que si una variable aumenta la otra disminuye en una relación similar. Por ejemplo: al aplicar en un circuito eléctrico una tensión constante, se mide la intensidad (Amperios) de la corriente haciendo variar la resistencia (Ohms).

Resistencia (Ω)

0,40

0,80

2,03

2,40

2,78

3,30

Intensidad (A)

13,2

6,60

2,60

2,20

1,90

1,60

Interesante 1- El resultado de dividir el numerador entre el denominador siempre es el mismo y se llama constante de proporcionalidad.

cantidad de cucharas cantidad de litros

16

32

48

64

80

1

2

3

4

5

En este caso k = 16

2- Dos relaciones cualesquiera de las establecidas en el cuadro anterior cumplen que al multiplicar sus extremos el resultado es el mismo. Por ejemplo:

32

80

32

80

5

2

5

=

2

32

160 = 160

48

3- Si tomas dos fracciones equivalentes, por ejemplo 2 y 3 y sumas directamente los numeradores y los denominadores, el resultado es una fracción equivalente a las anteriores:

numeradores denominadores

32 + 48 = 80 2+3=5

resulta que

80 5

es equivalente a

32 2

ya

48 3

4- La gráfica que resulta al representar los puntos de una relación proporcional siempre es una línea recta: Todas estas características se cumplen porque la relación de proporcionalidad está expresada por una función lineal. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Porcentaje (%) El

55%

de la población mundial es menor de 25 años

El

25%

de la estrella

está coloreada de rojo

El Este túnel

examen lo

está perforado

aprobó el

60%

sólo en un

del

15%

grupo

n por ciento (n%) significa que tomamos en cuenta n de las 100 partes iguales en las que dividimos algo. La distribución de agua es

La inflación

30%

acumulada en

para la zona rural y

el año 2002 fue

70% para la zona

de

17%

urbana

RETO Porcentaje como parte de un todo

Porcentaje como comparación

Estima el porcentaje de la parte roja en cada una de las siguientes figuras:

Observa cada par de figuras A y B. En cada caso determina cuál es el porcentaje, que es A de B y luego el que es B de A, es decir, en cada par de figuras completa: A = __% de B y B = __% de A

A

B

A B Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

¿Cómo calculo el n% de una cantidad C? ¿Cómo calculo el n% de una cantidad C? Ejemplo: Hallar el 32% de 16 Método 1 Se divide 16 en 100 partes iguales 16 100 =0,16 Se multiplica el resultado por 32 0,16 x 32 = 5,12

Método 2 Calculo 32 centésimos de 16 32 100 x 16 = 0,32 x 16 = 5,12

Ejemplo El 20 % de una población tiene título para manejar Población con

Obtengo así el 32% de 16 Divido C entre 100 Multiplico el resultado por n

Divido n entre 100 Multiplico el resultado por C Regla de tres

100 C

n ?

? = (n x C) /100 Población con título para manejar

Población

título para manejar

X 20 500 1 000 2 500 5 000 10 000

Y 4 100 200 500 1 000 2 000

1 000 500

Cálculo de un número q del cual D es el n% Ejemplo: Hallar el número del cual 5 es el 25% 500

1 000

1 500

Método 1 Divido 5 entre 25 con lo que obtengo el valor de una de las cien partes del 100% 5 25 = 0,2 Multiplico luego por 100 y obtengo el número correspondiente al 100% 0,2 x 100 = 20 Este procedimiento puede resumirse así: 5 / (25 / 100) = 5 / 0,25 = 20 20 es entonces el número del cual 5 es el 25% Divido D entre n Multiplico el resultado por 100

Resumen Divido D entre n/100 Regla de tres

100 q

n D

q = (100 x D) / n

2 000

2 500 3 000 Población

Una franela me costó Bs. 3 664. El precio pagado incluyó el IVA, el cual es el 14,5% del PVP. ¿Cuál es el PVP de la franela? El monto pagado corresponde al 114,5% del PVP. Entonces PVP = 3 664 / 1,145 PVP = 3 200 Bs.

Argentina es el país que consume la mayor cantidad de alimentos per cápita (por persona). Cada habitante consume el 183% de la cantidad necesaria recomendada en 1996 por la FAO (Organización de Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación). Portugal es el segundo país, con el 149%, seguido de Irlanda con 142%. Fuente: Libro Guiness de los Records 2002. Editorial Planeta Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Figuras semejantes Los automóviles son iguales en forma. Uno de ellos es una réplica a escala.

Estas mariposas son copias semejantes de una misma fotografía, pero de diferente tamaño.

La semejanza de figuras es un importante concepto geométrico que se aplica en: diseño de casas y edificios, diseño de automóviles, construcción de circuitos impresos, fotografías. En la televisión, en el cine y en el microscopio vemos objetos que son semejantes a los objetos originales. Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma pero no necesariamente tienen el mismo tamaño. La expresión “igual forma” está relacionada con las ideas numéricas de razón y proporción. Los rectángulos ABCD y XYZW son semejantes. Una correspondencia entre los vértices es: A <-> X , B <-> Y, C <-> Z y D <-> W. Y así corresponden los lados: AB <-> XY, AD <-> XW, BC <-> YZ y X CD <-> ZW. Si el factor de proporcionalidad es 2, entonces cada segmento de XYZW es el doble de su correspondiente de ABCD: XY = 2AB , XW = 2AD, YZ = 2BC y Y WZ = 2DC.

La proporción se establece entre pares de segmentos así: A

D

B

C

B’C’ BC

C’D’ CD

D’E’ DE

E’A’ EA

W

2, 1

YZ BC

2 , 1

ZW CD

2 , 1

WX DA

2 1

“La longitud del segundo segmento es a la del primero como 2 es a 1.” En las figuras semejantes los ángulos se conservan y las longitudes se multiplican por un número K>0. Si K>1 la figura se agranda y si K<1 se reduce.

Z

El dibujo A’ B’ C’ D’ E’ es la imagen semejante de ABCDE. El factor de proporcionalidad es 3 por cuanto OA’ es tres OA. Esto se expresa:

A’B’ AB

XY AB

La figura F’ es la imagen semejante de F. El factor de proporcionalidad es 1 : Observa que OX’ es la mitad 2 de OX. Esto se expresa:

X’Z’ XZ

3

A’

B’

X’W’ XW

1 2 X Z

A

X’

B O

O

Z’ F’

F

C E

C’

D

W’ W

E’

D’

El escalímetro, regla con seis graduaciones, una en cada borde de cada cara del prisma, es un instrumento fundamental para todos aquellos profesionales que trabajan con planos (arquitectos, ingenieros...). Los planos tienen unas escalas o factores de proporcionalidad “estándar” (uso reglamentado) que son 1:100, 1:50, 1:25, 1:200... Esto significa que cada centímetro medido en el plano corresponde en la realidad a 100 cm (1 m), 50 cm, 25 cm o 200 cm (2 m), respectivamente. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Dibujos e identificación de figuras semejantes Pasos para dibujar figuras semejantes: Dibuja un triángulo ABC y un punto O (el triángulo es como la figura proyectada de una diapositiva y el punto O es como el foco de un proyector). Desde O dibuja los rayos OA, OB y OC. Con un compás se toma la distancia OA (línea roja discontinua) y la repetimos dos veces desde A para determinar A’. Se repite para cada vértice del triángulo ABC y así se determina el triángulo A’B’C’ semejante al triángulo ABC y además: A’B’ = 3 AB

A’B’ AB

B’C’ BC

A’C’ AC

3

B’C’=

3 BC

A’C’=

3 AC

A’

A O B B’

C

El pantógrafo

O

V’ V

El pantógrafo es un instrumento mecánico para reducir o aumentar figuras, produciendo figuras semejantes. El punto O es fijo, el punto V (visor) recorre la figura y el lápiz en el punto V’ dibuja la figura semejante.

C’

Con un par de ligas y un lápiz

Se cruzan las ligas como en la figura.

Se fija un extremo en un punto y en el otro extremo se coloca un lápiz.

A medida que el nudo recorre la figura, se va dibujando con el lápiz la figura semejante.

RETO Dibuja una figura semejante al pentágono cuyos lados midan la mitad del pentágono dado.

Dibuja una figura semejante al hexágono cuyos lados midan tres medios de los lados del hexágono dado.

Interesante Las diagonales de rectángulos semejantes están sobre una recta si los rectángulos son colocados como en la figura de la izquierda.

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Matemática para todos El mundo de las

Fascículo

proporciones

Proporciones y recetas de cocina CREMA DE BRÓCOLI Ingredientes para 4 porciones 4 tazas de brócoli picado 3 cucharadas de mantequilla 1 2 taza de cebolla picada 3 tazas de consomé de carne 2 cucharadas de harina 1 taza de leche caliente 1 12 cucharadita de sal 1 8 cucharadita de pimienta negra 2 ramitas de hierbabuena 2 ramitas de cilantro 2 cucharadas de crema gruesa La receta original es para 4 porciones ¿Cómo calculamos los ingredientes para 8 porciones? ¿Cómo calculamos los ingredientes para 6 porciones? • 8 es el doble de 4 • 6 es 1 y 12 vez de 4. Puedo calcular de dos maneras • Entonces multiplicamos por 2 cada una de las equivalentes que conducen a los mismos resultados: cantidades de los ingredientes. 1. Multiplico la cantidad de cada ingrediente por 1,5. Por ejemplo: El número de tazas de brócoli picado será El número de tazas de consomé será: 3 x 2 =6 4 x 1,5 = 6 Las cucharaditas de pimienta negra serán: El número de cucharaditas de sal será 1,5 x 1,5 = 1 2 1 x 2 = = 2,25 = 2 14 8 8 4 2.- A cada ingrediente le sumo la mitad de la cantidad En término de proporciones podemos decir que si de la receta original. Receta + 12 receta. la receta original de la crema de brócoli está dada El número de tazas de brócoli picado será: para 4 porciones, entonces: 4 + 42 = 4 + 2 = 6 Para 8 porciones los ingredientes son el doble de los de la receta original. El número de cucharaditas de sal será: Para 6 porciones los ingredientes son una vez y media de la 1 12 + 34 = 32 + 34 = 94 = 2,25 = 2 14 receta original. Para 16 porciones los ingredientes son cuatro veces de los de la receta original. Y así podemos armar una tabla de equivalencias.

Nº de porciones

4

6

8

16

20

Cucharadas de mantequilla

4 3

6 4 12

Taza de cebolla picada

1 2

3 4

Cucharadita de sal

3 2 1 1 12

42 3 112 2 14

8 6 1 6 4 2 3

16 12 2 12 8 4 6

20 15 2 12 15 10 5 7 12

Cucharadita de pimienta negra

1 8

3 16

1 4

1 2

5 8

2 2 2

3 3 3

4 4 4

8 8 8

10 10 10

Tazas de brócoli picado

Tazas de consomé de carne Cucharadas de harina Taza de leche caliente

Ramitas de hierbabuena Ramitas de cilantro Cucharadas de crema gruesa

1

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Proporcionalidad y belleza Alguna vez hemos escuchado una expresión como esta: “Qué bien proporcionada está esa chica, sus medidas son 90-6090”. Esto significa que la medida de su busto y de su cadera es de 90 cm y la de su cintura 60 cm. Si además de esto su cuerpo está distribuido según el estudio de las proporciones humanas (que Le Corbusier ha hecho de las relaciones que deben cumplir las diferentes partes del cuerpo humano para ser considerado perfecto), y su cara está demarcada por dos Rectángulos de Oro (rectángulo cuya relación entre sus lados es aproximadamente 1,618), concluiremos que una persona que cumpla con todas estas condiciones es bella matemáticamente.

90

60 90

Entonces podríamos preguntarnos:

¿Qué es la belleza?

El Modulor de Le Corbusier

Cabe definir la belleza como eI conjunto de cualidades cuya manifestación sensible produce un deleite espiritual, un sentimiento de admiración (Diccionario Pequeño Larousse, 1999). La belleza resulta de armonías y contrastes de líneas, colores, formas, tono y palabras, que sugieren o presentan atractivos de la naturaleza, situaciones humanas, logros, anticipaciones o sueños (Diccionario filosófico, Julio Rey Pastor e Ismael Quiles, 1952, p. 1 057, Buenos Aires). En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino formuló lo siguiente: "Los sentidos se deleitan en cosas debidamente proporcionadas". (Matemáticas, Colección Científica de Time Life, 1971, México). Santo Tomás se refería a la relación directa y frecuentemente manifiesta que existe entre la belleza y la matemática, la cual se encuentra presente a lo largo de la historia con el denominado Número de Oro, también conocido como la Divina Proporción. Este es un número que tiene un valor aproximado de 1,618 y que aparece en la relación que se establece entre los lados que están en Proporción de Oro de un rectángulo.

El Partenón, el Panteón de París y la Mona Lisa son obras de arte y arquitectura de diferentes épocas, en las que de alguna manera está presente la Divina Proporción o Número de Oro.

El Partenón

Reine Isabeau de Pablo Picasso

Sculpture et Nu de Le Corbusier

La Mona Lisa de Leonardo da Vinci

El Rectángulo de Oro ha sido utilizado en famosas obras de arte y en la Arquitectura desde las construcciones griegas como el Partenón, pasando por Leonardo da Vinci, hasta nuestros días, por cuanto ha sido utilizado por Le Corbusier y sus seguidores; Salvador Dalí, Mondrian y otros.

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La Divina Proporción El Rectángulo de Oro

C

P

Observa la construcción del Rectángulo de Oro B

1 1 2 M

1

5 2

5 2

B

1 1 2 M

M

1 2

1 2

1 2 Q

A Se dibuja un cuadrado.

Se determina M, punto medio de un lado.

Con radio MB se traza un arco para determinar P.

La intensidad de las sensaciones se incrementa proporcionalmente (de forma logarítmica) con el incremento de los estímulos que caracterizan nuestras relaciones físico-síquicas.

Rectángulo de oro ACPQ. QP 1+ 5 = 2 QA

En 1876, el filósofo alemán Gustav Theodor Fechner (1801-1887) hizo un estudio sobre los rectángulos con proporciones especiales entre sus lados. Cerca del 75% de los encuestados seleccionaron los Rectángulos de Oro como más estéticos y placenteros a la vista y al gusto, entre un grupo de formas rectangulares. La selección fue de los rectángulos cuya razón de las longitudes de sus lados es:

1+ 5 2

aproximadamente 1,618: la Razón de Oro o Divina Proporción.

Los griegos y las proporciones Estos rectángulos especiales son llamados Rectángulos de Oro. Las cartas de barajas, muchas puertas y ventanas y portadas de libros, son ejemplos de Rectángulos de Oro. Los griegos utilizaron la Razón de Oro para casi todas sus esculturas y construcciones. El Partenón tiene muchos Rectángulos de Oro. Maqueta de El Partenón

El investigador norteamericano Jay Hambidge estableció que la razón de oro está presente en las proporciones del ser humano. La razón de la altura (b) del ser humano a la altura (h) del ombligo es muy próxima a la Razón de Oro. La razón a e en el brazo x y la razón y en la cabeza son también razones próximas a la Razón de Oro.

x y

a b

e

h

Las escaleras de casas, edificios o calles guardan una relación entre la altura de los escalones y el ancho del escalón. Además, se construyen de forma tal que la altura del escalón sea proporcional a la altura promedio de las personas. Cuando una escalera mecánica está parada se hace mayor esfuerzo para subir por ella. La altura de los escalones no son proporcionales a la altura promedio de las personas. Maurits C. Escher Artista plástico holandés (1898-1972 ) Relatividad

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Tengo que pensarlo La barba de Bartolomeo Supongamos que la barba del Sr. Panciatichi crecía a razón de 3 mm cada 24 horas. Si la barba alcanzó 1 dm con 8 cm el 5 de diciembre de 1540, ¿cuál fue la última fecha en la que el Sr. Bartolomeo se afeitó?

De Maturín a Tucupita Según se presenta en el mapa y tomando en cuenta la escala señalada, ¿calcule la distancia medida en línea recta entre Maturín y Tucupita? Escala del mapa 1:2.000.000

La figura ¿Cómo puede dividirse la figura en 4 partes tales que cada una de ellas sea semejante a la figura grande?

El restaurante Pagué, en el año 2001, un total de 72 500 bolívares por la cuenta del restaurante. Si se sabe que el 14,5% corresponde al pago del IVA y 10% al servicio, ¿cuánto me costó realmente la comida?

Resultados Bartolomeo se afeitó la barba el 7 de octubre de ese mismo año. Entre Maturín y Tucupita hay 143 km aproximadamente. La comida me costó Bs. 58 232,93; el IVA fue de Bs. 8 443,77 y el 10% fue de Bs. 5 823,29.

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¡A jugar! Material Nueve fichas rojas y nueve azules, un par de dados y el cartón de juego.

Número de jugadores Dos (uno con las fichas azules y el otro con las rojas).

Objeto del juego Colocar tres fichas de un mismo color en fila: diagonal, vertical u horizontal.

Reglas del juego Se elige el jugador que inicia el juego lanzando los dados. En su turno, el jugador lanza los dados y forma una fracción con los números de los dados. El jugador puede marcar una fracción o equivalente, y coloca su ficha en el recuadro correspondiente a dicho valor. Si la fracción seleccionada no está en el cartón pierde su turno. Ejemplo: Con estos números se pueden formar las fracciones y porcentajes:

2 = 40% 5

Un jugador puede remover la ficha del contrario si en su turno obtiene ese valor.

2 3

50% 40%

5 = 250% 2

60% 200%

300% 120% 20%

125% 80% 100% 150% 1 3

60% 250% 75%

Información actualizada Bibliografía Carvajal, Fernando (1997). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Editorial Grao. Barcelona, España. Gutiérrez A. (editor) (1987). Didáctica de la matemática. Editorial Síntesis. Madrid, España. Grupo Beta (1990). Proporcionalidad, geometría y semejanza. Editorial Síntesis. Madrid, España.

Páginas web OMA- Programa Enriquecimiento en Matemática. http://www.oma.org.ar/programa/blan26.htm Fibonacci y el Número Áureo. http://www.geider.net/esp/mate/logo.htm Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Uso de mapas para desarrollar el pensamiento proporcional o sentido de proporción en los niños y adolescentes. ¿Se pueden lograr pensadores proporcionales en la escuela básica? Esta fue una interrogante que se plantearon un grupo de docentes conscientes de la importancia que tiene el desarrollo de lo que se ha llamado sentido de proporción en el ser humano. En muchos de los aspectos de nuestra vida diaria están presentes relaciones que son directamente proporcionales, así lo encontramos en muchas obras de arte, arquitectura, etc. En ciencia, el estudio de soluciones, el uso de balanzas de cruz, los cálculos de densidad de sustancias, requieren de la aplicación del concepto de proporción. En geografía, calcular la densidad de población, construir y leer mapas, hacer gráficas, también lo requieren. En matemática, la semejanza de figuras geométricas, el estudio de probabilidades, de las fracciones y del porcentaje están basados en la idea de proporcionalidad.

¿Cómo lograrlo? Apoyados en la opinión de los investigadores, los docentes señalaron que aun cuando el desarrollo de este concepto no es fácil, se puede alcanzar su comprensión aplicando una enseñanza activa que utilice material apropiado, lo cual ayuda al estudiante en la formulación de las respuestas, y esto tiene influencia significativa en el desarrollo del pensamiento proporcional. Ésta competencia se adquiere entre el Quinto y el Octavo Grado de la Educación Básica, a través de una enseñanza organizada, que se inicie desde temprana edad, a partir de las relaciones proporcionales que cada estudiante maneja en su entorno. Proponen, a continuación, una actividad que hace uso de mapas y diferentes escalas en un contexto real y útil; da la oportunidad a los estudiantes de manejar conceptos relacionados con la idea de proporcionalidad. ACTIVIDAD SUGERIDA PARA EL DOCENTE Objetivo Desarrollar en los niños y adolescentes el sentido de proporción. ¿Cómo nos organizamos en el aula? • Los estudiantes trabajarán en parejas. ¿Qué necesitamos? • Para las demostraciones del docente: Un mapa político de Venezuela. Un mapa del estado Anzoátegui. Un mapa de la ciudad de Barcelona. • Para cada pareja de estudiantes: Un mapa del estado Anzoátegui. Escala. Un mapa de la ciudad de Barcelona. Escala. Una regla. Rotafolio con las instrucciones.

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¿Qué haremos? 1- Pídale a los estudiantes que ubiquen su mapa del estado Anzoátegui. 2- Muestre en el mapa político de Venezuela la ubicación del estado y comente: • Los mapas están en escalas diferentes, por eso su tamaño es diferente. • Identifique en ambos mapas la escala correspondiente y escríbala en el pizarrón. • Revisar y explicar la escala del mapa político de Venezuela. • Escala del mapa del estado Anzoátegui. La forma del estado Anzoátegui es igual en ambos mapas, el que tienen los estudiantes y el mapa político de Venezuela grande que tiene el docente. Las dos figuras son semejantes. En la medida en que a cada unidad de la escala le corresponda un número mayor de la medida natural, el dibujo es más pequeño. 3- Cada pareja, con el mapa del estado Anzoátegui, va a responder a las siguientes preguntas; es importante recordar que un estudiante hace las mediciones y el otro registra los resultados. a ¿Cuál es la escala del mapa? b Determinar la distancia entre Barcelona y Puerto La Cruz. • Ubicar cada una de las ciudades en el mapa. • Medir con una regla graduada en centímetros cuánta es la distancia que las separa. • Usando la escala calcular la distancia. c Ubicar en el mapa un pueblo o ciudad que esté a más de xx km de Barcelona. • Deben determinar a cuántos centímetros corresponden los xx km usando la escala. • Ubicar a Barcelona en el mapa. • Ubicar la regla en su punto cero en Barcelona. • Rotarla con cuidado hasta encontrar un pueblo o ciudad que esté más lejos. Se puede usar un compás con la abertura en los centimetros establecidos. • Es importante indicar que puede haber distintas soluciones y también pequeños errores de medición. • Se puede cerrar esta parte midiendo y calculando la distancia exacta del pueblo o ciudad encontrado y la ciudad de Barcelona. d Llenar un cuadro de distancias de Barcelona a diferentes centros poblados. e Indicarle a los estudiantes que el factor que relaciona a ambas cantidades en cada caso es la constante de proporcionalidad. Los nuevos prospectos de pensadores proporcionales que se espera formar deben saber: • Que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando aumentan y disminuyen siempre en la misma relación. • Que hay un factor constante que relaciona las dos magnitudes: constante de proporcionalidad. • Que gráficamente al representar los puntos de una relación proporcional y unirlos, forman una recta que pasa por el origen. Adicionalmente, deben ser capaces de: • Diferenciar lo que es directamente proporcional de lo que no lo es. • Comprender situaciones proporcionales. • Aplicar varios métodos para resolver situaciones que son proporcionales. • Resolver tareas cuantitativas y cualitativas del razonamiento proporcional.

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Jesús Alberto León

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en La Victoria, estado Aragua, el 19 de octubre de 1940. Obtuvo la Licenciatura en Biología en 1963 y en Matemática en 1964, en la Universidad Central de Venezuela, y un doctorado en Ciencias en 1973, en la Universidad de Sussex, Inglaterra. Ha recibido premios nacionales y reconocimientos internacionales, tales como el Premio de la Asociación de Profesores de la UCV (APUCV) al mejor Trabajo de Ascenso de la UCV, en 1991. Premio Francisco De Venanzi (APIUCDCH) a la Trayectoria del Investigador Universitario (1991). Premio Iberoamericano “Federico Riu” a la investigación filosófica, en 1990. Premio al Mejor Trabajo Científico otorgado por el CONICIT (1995) y la Orden José María Vargas (Corbata), en 1990. Es fundador de la revista Evolutionary Theory y editor asociado de varias revistas internacionales de su especialidad. Es miembro del Sistema de Promoción al Investigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 2001. Fotografía: Carlos Rivodó

Los trabajos del profesor León, si bien en el área de biología, hacen uso de la matemática. Dejemos que él nos explique: “La biología está, como toda ciencia, llena de aspectos que requieren matemática para su expresión precisa. Pensemos, por ejemplo, en la biomecánica. Es claro que en la constitución de los huesos en animales, o de los troncos y ramas en los árboles, hay implicados problemas de tensión, deformación y resistencia de materiales. Y en la relación entre huesos que sostienen un esqueleto, o lo mueven mediante contracciones y relajamientos musculares, hay toda una música de leyes mecánicas en acción. ¿Dónde se ha visto que esto pueda estudiarse sin las leyes de Newton y su expresión matemática? Y el movimiento de fluidos en los sistemas circulatorios animales, o el agua que trepa por dentro de los árboles desafiando la gravedad. ¿No requieren compleja hidrodinámica para su comprensión? Por otra parte, al ser los seres vivos complicados sistemas físico-químicos, en los cuales campean toda clase de moléculas –desde las simples hasta las grandes y enmarañadas macromoléculas– que interactúan en incesantes flujos y transformaciones bio-químicas, es apropiado que para entenderlos se usen las matemáticas de la química y la físico-química. Hay otros niveles en que la biomatemática no es reducible a las matemáticas ‘importadas’ (por decirlo así) de las otras ciencias. Por un lado, los seres vivos se hallan siempre en colecciones que llamamos poblaciones y comunidades. Esto es consecuencia de la propiedad definitoria de estos seres: la reproducción. Así, las preguntas ¿cuán numerosos serán dichos colectivos, cuáles procesos determinarán su abundancia?, deben forzosamente ser formuladas matemáticamente. Se prestará entonces atención a los mecanismos que inducen nacimientos y muertes, eventos básicos que cambian la numerosidad de los individuos constitutivos de cualquier población. Esta clase de formulaciones (casi siempre usando ecuaciones diferenciales, que son las matemáticas del cambio), son el meollo de lo que se llama Ecología Matemática”. Dos aspectos fundamentales del trabajo del Dr. León son el desarrollo de la teoría matemática de la coevolución y la de estrategias adaptativas. Como él explica, “al caracterizar la Selección Natural se ha esbozado la dinámica de la causación de cambios evolutivos en una especie en un ambiente. Pero las especies están siempre involucradas en redes ecológicas con otras especies (compiten, se comen unas a otras... etc.). Así, cada especie es a la vez ambiente para otras, y esto da lugar a cambios evolutivos recíprocos, a coevolución. Por otra parte, el cambio evolutivo guiado por la Selección Natural tiene consecuencias. ¿Cuáles serán éstas? ¿Cuál constelación de caracteres será favorecida en un ambiente dado? ¿Qué resulta adaptativo en ese ambiente? Como la selección premia a quien es capaz de sobrevivir o reproducirse mejor, hay que encontrar funciones que expresen esto: funciones que indiquen qué relaciones hay –en un cierto ambiente– entre los caracteres y la supervivencia y reproducción. Así se puede, con técnicas matemáticas de optimización, buscar cuál combinación de caracteres –entre aquellas que son posibles– otorga mayor éxito reproductivo”.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

En 1799, un joven ingeniero geógrafo francés llamado Edme-François Jomard (1777-1862), descubrió que las galerías de acceso al corazón de la Gran Pirámide eran empinadas, pequeñas y estaban prácticamente bloqueadas por excrementos de murciélago. En aquellos días de fuertes calores, los franceses despejaron también parte de la plataforma sobre la que hoy se levanta la Gran Pirámide, calcularon sus dimensiones originales y la escalaron. Jomard se quedó lívido al comprobar que los egipcios emplearon en su construcción medidas como el estadio, el codo o el pie, que eran fracciones exactas del tamaño de la Tierra. Fuente: www.la esferadeloslibros.com

Matemática para todos Fascículo

El mundo de las

Números II

fracciones

Fotografía: Rogelio Chovet 1/1 1/2 1/3

1/4

1/4

1/5

1/5

1/3 1/4

1/4 1/5

1/5

1/5

1/6 1/7 1/8

1/6 1/6 1/6 1/6 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

1/9

1/9

1/9

Planta por fracciones Observa los tallos divididos en trozos de la misma longitud. En la torre de franjas a la izquierda puedes ver que

1/2

1/3

1/9

1/9

1/9

1/9

1/9

1/6 1/7 1/8 1/9

1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10

1>1>1> 1> 1 > 1> 1> 1> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Observa los separadores de colores en las distintas filas que aparecen. Vemos claramente que 1 = 2 = 3 = 4= 5 2 4 6 8 10

1=2=3 3 6 9

1=2 4 8

El mundo de las fracciones Me serví medio litro de leche. Ojalá no llueva, ya que para ir de Caracas a San Antonio del Táchira necesitamos medio día. Mi casa está en la mitad de la cuadra. Puse el cuarto de kilo de queso en un envase. Queda un poco menos que tres cuartos de litro de aceite. Ese señor pidió un quinto de veinte mangos. Tranquilo, que sólo son cuatro mangos.

Así como contar impulsó la invención de los números naturales, la necesidad de medir generó la invención de las fracciones o “números quebrados”. Una fracción indica que un número se ha dividido en partes iguales más pequeñas. La palabra árabe para fracción es al-kasar que es la raíz del verbo que significa romper o quebrar, lo que dio origen a que se hablara de números quebrados. Los enteros y las fracciones forman el conjunto de los números racionales. Parece ser que una de las complejidades del concepto fracción es su símbolo

a b

, con b diferente de cero. En efecto, ese mismo símbolo se utiliza como:

partes de un todo, división, operador, comparación de magnitudes o razón.

RETO Observa algunas particiones de un rectángulo en octavos.

Haz otras particiones de los rectángulos en blanco y sombrea las fracciones indicadas.

1 8

3 8

4 8

5 8

6 8

2 8

Las fracciones fueron utilizadas por los babilonios cerca de 2000 a.C. Ellas fueron escritas en forma de valor de posición, esencialmente en la misma forma de escribir actualmente las fracciones decimales, pero con denominadores potencias de sesenta. En el Papiro Rhind de los egipcios se encuentra el primer tratado sistemático de fracciones propias, con la unidad como numerador (unitarias). En el mismo se observa la escritura de varias fracciones. Las fracciones unitarias eran escritas utilizando un símbolo en forma de boca y el denominador debajo de este símbolo. Excepto para la fracción 23 que tenía un símbolo especial, todas las otras fracciones con numerador diferente a 1 las escribían como suma de fracciones unitarias. 1 1 1 Por ejemplo, en vez de 35 escribían 12 + 10 o para 67 escribían 12 + 14 + 14 + 28 . Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 9 - El mundo de las fracciones - NÚMEROS 2

Interpretaciones de fracciones Fracción como parte de un “todo” El “todo” o unidad en la forma de un objeto continuo (una torta, un rectángulo) o de un conjunto discreto (número de animales, número de formas geométricas) es dividido en partes iguales. Observa algunos ejemplos de fracciones y su representación en un todo continuo o discreto.

0

1

En cada figura está representada en rojo la fracción “tres octavos” 38

Fracción como cociente

Fracción como razón

La interpretación como cociente, donde un número de objetos necesita ser compartido o repartido equitativamente, es muy frecuente. Ejemplos: Dividir una docena de galletas entre cinco, o dividir tres pizzas entre ocho.

Se utiliza la fracción para indicar una comparación entre dos magnitudes.

1

2 La razón de bolas rojas a bolas amarillas es 35

4 3

A

5 1

2

3

4

En una caja hay 3 medias negras y 5 blancas. La probabilidad de sacar una media blanca al azar es 58

B

5

A 12 5

es la representación de repartir 12 galletas entre cinco personas. A cada uno le corresponden dos galletas y dos quintos de galletas. 12 = 2 + 2 5 5

D 3 8

es la representación de dividir 3 pizzas entre 8. A cada uno le corresponden tres octavos de pizza.

x3

20

Fracción como operador

3

En esta interpretación, la fracción actúa como una operación matemática doble: divide y multiplica. El denominador divide y el numerador multiplica.

5

C

La razón del área del rectángulo ABCD al área del triángulo ABD D es 21

60 5

:5

5

4

9 de 20

x3

:5

5

:9

9

7 3 5

315

de 63

12 12 es

x5

63

de 20 3

B La razón del área del rectángulo E ABCD al área del triángulo ABE es 41 C

de 20 y 35 es

5 9

:9

de 63

x5

35

de 63

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Fracciones

Unidad

Un medio 1 2

12

Un medio de 12 es igual a 6

Dos tercios de 12 es igual a 8

Dos tercios 2 3

Un tercio de 12 es igual a 4

Cinco Un sexto sextos de de 12 12 es igual a 10 2

Cinco sextos 5 6

Un cuarto 1 4

Un sexto de 12 es igual a 2

Tres cuartos de 12 es igual a 9 Un cuarto de 12 es igual a 3

¿SABíAS QUE...? Los hindúes escribían fracciones como hoy lo hacemos, pero sin la barra horizontal. Fueron los árabes los que introdujeron la barra horizontal. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 9 - El mundo de las fracciones - NÚMEROS 2

Fracciones equivalentes

Un tercio = dos sextos 1 = 1x2 = 2 3 3x2 6

1 3

Un medio = dos cuartos 1 = 1x2 = 2 2 2x2 4

1 6

1 6

1 4

1 4

1 1 6 6

1 1 6 6

1 2

Dos tercios = cuatro sextos= ocho doceavos 2 = 2 x 2= 4 3 3x2 6

Interesante

Medios

Observa las equivalencias entre un segmento de la recta numérica y las barras de medios, tercios, cuartos y quintos. ¿Qué observas?

Tercios

2 = 2 x 4= 8 3 3 x 4 12

2 3

Cuartos Quintos 0 0

1 2 2 4

2 2 4 4

3 2 6 4

4 2 8 4

5 2 10 4

6 2 12 4

7 2 14 4

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8 2 16 4

Suma y resta de fracciones 2 4 + 3 4

5 4

1 4 + 1 2

1 4 + 2 4

3 4

2 3 + 1 2

4 6 + 3 6

7 6

1 2 1 3

3 6 2 6

1 6

Simón Stevin Matemático holandés (1548-1620)

El matemático Stevin publicó, en 1585, la primera obra europea conocida, consagrada a la teoría general de fracciones decimales. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 9 - El mundo de las fracciones - NÚMEROS 2

Multiplicación y división de fracciones 2 x 1 3

= 2 3

El doble de 1/3

1 x 1 2 3

= 1 6

Interesante Multiplicar por un medio es igual que dividir entre dos.

2 x 1 = 2 4x 1 = 4 = 2 2 2 5 2 10 1 x 1 = 1 2 2 4

1 : 2 = 1 6 12 La mitad de 1/6

1 : 1 = 2 2 4

¿Cuántas veces cabe un cuarto en un medio?

1 : 1 = 1 x 4 = 4 = 2 2 4 1 2 2

1 : 1 = 1 4 2 2 ¿Cuántas veces cabe un medio en un cuarto?

1 : 1 = 1 x 2 = 2 = 1 4 2 1 4 2 4

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Fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador A una pastelería llegan 18 personas después de un juego. Cada uno quiere comer una ración de unas tortas que tienen en la pastelería. Cada ración corresponde a 1 de torta 8 Eso quiere decir que en total se comen:

18 dieciocho octavos ( 8 ) de torta ¿Cuántas tortas se comieron?

Observando la figura nos podemos dar cuenta de que se comieron 2 tortas y 2 octavos de torta. Es decir:

18 = 2 + 2 8 8 Quiere decir que se comieron 2 tortas y 2 octavos, o sea, 2 tortas y 1 cuarto de torta

Otra manera de verlo es efectuando la división sugerida por la fracción

18 8

Vemos que las 18 personas se comieron

tortas.

2,25

2 1 4

1 8 8 2 0 2,25 4 0 0

2, 25 = 2 1 4 Llamamos fracciones impropias a todas aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. En caso contrario se llaman fracciones propias. Las fracciones impropias se pueden escribir en forma de número mixto, es decir, con un número entero y una fracción propia a su lado; en nuestro ejemplo 2 1 , o como un número decimal 4 mayor que uno; 2,25 en nuestro caso.

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Fascículo

Matemática para todos El mundo de las

fracciones

Fracciones y cocina

Si revisas las recetas de un libro de cocina, encontrarás tanto en las instrucciones como en los ingredientes variadas expresiones de medidas como las siguientes: " 12 kilo de maíz" ..."1 pollo de 1kilo y 12 "..." 12 pimentón 1 rojo"..."calentar el horno 4 de hora previamente"... "cocinar durante 3 4 de hora"... A lo largo del libro Mi cocina de Armando Scannone (1984) se hizo una revisión de las fracciones que aparecen con mayor frecuencia y éstas son 12 , 14 , 34 , 18 , 1 12 , 2 12 , 2 14 , 1 34 . Leamos un ejemplo:

Quesillo de piña Ingredientes: • 2 piñas de 1 14 de kilo cada una aproximadamente • 1 a 1 12 tazas de azúcar • 1 taza de azúcar •

1 4

de taza de agua para hacer un caramelo

• 10 amarillas de huevo • 6 claras de huevo

Preparación: 1) Se pelan las piñas, se rallan o trituran y se cuelan a través de una tela. Se deja reposar hasta que desaparezca la espuma. 2) Se precalienta el horno a 400 °F. 1

3) En una olla se pone el jugo de piña y 1 taza de azúcar, se lleva a hervir hasta reducir aproximadamente a 1 2 o 2 tazas de almíbar con consistencia gruesa. Se retira del fuego y se deja reposar. 4) En un molde de metal de unos 18 centímetros de diámetro por 10 centímetros de alto, donde se hará el quesillo, se pone la taza restante de azúcar y 14 de taza de agua para hacer un caramelo. 5) Se baten las amarillas y las claras con batidor de alambre. 6) Se mezclan los huevos batidos con el almíbar y se coloca en el molde. 7) Se pone en baño de María por

3 4

de hora y se deja reposar por 2 o 3 horas.

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Mantenernos en forma y ... ¿Cuántas calorías consumimos en un día? La actividad física “quema” calorías. Pero, ¿sabemos cuántas calorías “quemamos” cada día? Las calorías que nuestro cuerpo obtiene de los alimentos son almacenadas como grasa o quemadas como energía. Mientras más activa es una persona, más calorías ella o él gastan. Se puede esperar gastar muchas más calorías corriendo en un maratón que viendo el maratón por televisión cómodamente sentado en su sillón. En el siguiente cuadro aparecen varias actividades y la cantidad aproximada de calorías que quemaría cada hora por cada kilogramo de su peso. Se puede calcular un estimado de su gasto de calorías usando la siguiente fórmula: Su peso (kg) x calorías x horas = Total de calorías. Por ejemplo, si usted pesa 75 kg y camina una hora y media: Multiplique 75 X 5,07 (ver tabla) X 1,5, esto da aproximadamente 570 calorías. Caminando por una hora y media usted ha quemado 570 calorías, lo cual equivale a las calorías que tienen una hamburguesa con papas fritas y un refresco.

Actividad Béisbol Baloncesto Boxeo Jugar cartas Limpieza del hogar Cocinar Montar bicicleta Bailar Comer Pescar Fútbol Jardinería Caminar Escalar montaña Montar a caballo Planchar Gimnasia Trotar Saltar cuerda Descansar Nadar Tenis

Calorías x hora x kg 6,39 9,91 9,91 1,54 3,52 2,86 5,51 6,17 1,76 3,74 8,15 4,63 5,07 7,93 5,95 1,98 8,15 9,25 8,37 1,32 8,37 5,51

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Tengo que pensarlo El área del triángulo En la figura, si el área del cuadrado es 8 m2, ¿cuál es el área de la parte coloreada de rojo?

La patilla Una patilla pesa tanto como

3 4

partes de ella misma más 34 kg. ¿Cuánto pesa la patilla?

5 6 8 + + = 4,8 a b c

Los números Encontrar los números naturales a, b y c que verifiquen la expresión.

El cumpleaños Para el cumpleaños de Norberto elaboraron una bella torta. Víctor se comió 16 de la torta. Miriam se comió 14 de la torta. Jorge se comió el doble que Víctor. ¿Cuál fracción de la torta se comió Norberto si aún queda 1 para guardar en la nevera? 6 ¿Quién comió la mayor cantidad de torta?

Los camellos Se cuenta que tres hermanos discutían acerca de un lote de 35 camellos que habían recibido como herencia a la muerte de su padre. Según la voluntad de éste, uno de de los hijos debía recibir la mitad de los camellos, otro una tercera parte y el más joven una novena parte. ¿Cuántos camellos le tocarían a cada uno? Un amigo que oía la discusión y quería aprovecharse de la situación dio una solución. ¿Cuál crees tú que sería la solución, cumpliendo con la voluntad del padre? Tomado del libro El hombre que calculaba de Malba-Tahan

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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Trabajando con números decimales Estas actividades presentan la notación decimal a los estudiantes como otra forma de escribir números fraccionarios. Se establecen relaciones entre la imagen visual, las fracciones decimales y las expresiones decimales, de manera que los estudiantes reconozcan que los símbolos, a pesar de ser diferentes, representan el mismo número.

Materiales Para el docente • Láminas de rotafolio con las figuras que se presentan en las siguientes actividades • Tiza y pizarrón como recurso alternativo si no se puede contar con un rotafolio

Para el estudiante • Regla • Creyones o marcadores • Hojas de trabajo con los ejercicios propuestos • Cuaderno cuadriculado para copiar los ejercicios

Descripción general de la actividad • Vamos a trabajar los conceptos de décima y centésima usando el cuadrado como unidad. Primero lo dividiremos en diez partes para estudiar la décima y luego en cien partes para el estudio de las centésimas. Observemos las figuras que utilizaremos.

Unidad dividida en 10 partes. Cada rectángulo representa 1 de la 10 unidad.

Instrucción general

Unidad dividida en cien partes. Cada cuadradito representa 1 100 de la unidad.

• Para todas las actividades se sugiere suministrar a los estudiantes una hoja de trabajo con los ejercicios propuestos. • Si no es posible, pedir a los estudiantes que copien los ejercicios en sus cuadernos cuadriculados.

Escribiendo y leyendo décimas Actividad 1 En cada uno de los ejercicios propuestos señale a los alumnos que la parte coloreada representa la fracción decimal escrita en el recuadro inferior. Lea con los estudiantes la fracción decimal y el número decimal, aclarando que el decimal representa la misma cantidad.

Ejemplo: Ejercicio A 1. Pídale a los alumnos que observen el cuadrado A en el que se ha coloreado “un décimo”, ya que es una de las diez partes iguales en las que dividimos la unidad. 2. Leer: “un décimo es igual a una décima”. 3. Aclarar que el número decimal es otra manera de escribir la misma cantidad representada por la parte coloreada en el dibujo. A

B

1 = 0,1 10

C

6 10 = 0,6

D

3 10 = 0,3

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9 = 0,9 10

Actividad 2 Pida a los estudiantes que lean el número escrito y coloreen el área correspondiente al número dado. Pídales que completen la igualdad con la fracción decimal correspondiente.

Ejemplo: Ejercicio A 1. Leer la fracción “4 décimas”. 2. Pregúnteles ¿cuántos rectángulos deben colorear? 4 = 0,4” 3. Pídales que escriban “ 10 A

B

4 10 =

C

0,7 =

D

0,8 =

0,4 =

Actividad 3 Señale uno de los cuadrados. Pida a los estudiantes que escriban la fracción decimal y el número decimal que la parte coloreada representa.

Ejemplo: Ejercicio A 1. Señalar que en el dibujo de la parte A están sombreados 7 rectángulos. 7 2. Pedir que escriban la fracción decimal representada por la parte coloreada “ 10 ”. 3. Pida que escriban la fracción decimal 7 , el símbolo = y el decimal 0,7. Es decir 7 10

A

B

=

10

C

=

= 0,7.

D

=

=

Actividad 4 Dicte una fracción o un decimal (A=0,5; B= 4 ; C=0,9; D= 2 ). 10 10 Pida a los estudiantes que escriban la fracción decimal y el número decimal equivalente. Pida que sombreen la parte que represente esta fracción.

Ejemplo: Ejercicio A 1. Dicte al niño “cinco décimas” 2. Pídales que escriban “0,5= 5 ” 10 3. Pídales que coloreen los rectángulos que representa la fracción decimal. A

B

C

D

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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Escribiendo y leyendo centésimas Actividad 1 En cada uno de los ejercicios propuestos señale que la parte coloreada representa la fracción decimal escrita en el recuadro inferior. Lea con los estudiantes la fracción decimal y el número decimal, aclarando que el decimal representa la misma cantidad.

Ejemplo: Ejercicio A 1. Díga a los estudiantes que cada cuadradito coloreado representa la fracción “un centésimo”, ya que es una de las cien partes en las que dividimos la unidad. 2. Lea: “un centésimo es igual a una centésima”. 3. Aclarar que el número decimal es otra manera de escribir la misma cantidad que la fracción decimal, representada por la parte coloreada en el dibujo. A

B

35 = 0,35 100

C

87 = 0,87 100

D

100 = 1 100

45 = 0,45 100

Actividad 2 Dicte un número decimal y pida a los estudiantes que coloreen el área correspondiente al número dado. Pida además que completen la igualdad con la fracción decimal o el número decimal correspondiente.

Ejemplo: Ejercicio A 1. Leer el número “49 centésimas” 2. Pídales que coloreen 49 cuadraditos en el cuadrado A. 49 ” 3. Pídales que escriban “0,49 = 100

=

=

=

=

Actividad 3 Señale uno de los cuadrados. Pida a los estudiantes que escriban el número decimal que la parte coloreada representa.

Ejemplo: Ejercicio A 1. Señalar que en el cuadrado A están sombreados 98 cuadraditos. 2. Pedir que escriban el número decimal representado: 0,98

=

=

=

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 9 - El mundo de las fracciones - NÚMEROS 2

=

Información actualizada Bibliografía Centeno, Julia (1995). Números decimales. Editorial Síntesis. Madrid, España. De Guzmán, Miguel (1994). Para pensar mejor. Editorial Pirámide. Madrid, España. Díaz, Godino J. y otros (1999). Didáctica de la matemática. Editorial Síntesis. Madrid, España. Llinares, Salvador y otros (1987). Fracciones: la relación parte todo. Editorial Síntesis. Madrid, España.

Páginas web Centro de Computación y Comunicación para la construcción del conocimiento http://www.c5.cl Sociedad Andaluza de Educación THALES. http://thales.cica.es Gimnasio virtual. http://www.gimnasiovirtual.edu.co

Revistas Boletines de la Enseñanza de la Matemática. ASOVEMAT. Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica. Serapio Rendón 125, Col. San Rafael 06470, México, DF.

Teacher Created Materials. http://www.teachercreated.com

For the Learning of Mathematics. F.L.M. Pibl. Co. 4336 Marcil Avenue. Montreal, Canadá.

Videos

Petit X. IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. Martin D’Heres (Francia).

La historia de las fracciones. Universidad Nacional Abierta. Caracas, Venezuela.

Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá, Colombia.

Resultados El área coloreada mide 1 m2. La patilla pesa 3 kg. a=5, b=2 y c=10. Norberto se comió un doceavo de la torta y Jorge fue el que más comió. El amigo decidió agregar un camello prestado. Esto da 36 camellos para repartir. Al mayor le tocó 18 camellos, al segundo la tercera parte, es decir: 12 camellos y al menor la novena parte que son 4. Esto suma 34 camellos. El amigo devolvió el camello prestado y se quedó con el camello que sobró por su ingenio para resolver este problema, quedando los herederos complacidos.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 9 - El mundo de las fracciones - NÚMEROS 2

Hugo Leiva

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Hugo Leiva nació en Anaco, estado Anzoátegui. Realizó estudios de Licenciatura en Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela y obtuvo el título de Ph.D en Matemáticas en el Instituto Tecnológico de Georgia, EE.UU., en 1995. En 1999 obtuvo el premio del CONICIT al mejor Trabajo Científico en Matemáticas y en el año 2001 fue galardonado con el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar. Es miembro del Sistema de Promoción del Investigador y profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Los Andes. Fotografía: Carlos Rivodó

El tema de interés del Dr. Leiva es el estudio de las Ecuaciones Diferenciales. Concretamente, una Ecuación Diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas. Muchas de las leyes de la Física están dadas en términos de estas ecuaciones. Al hablar de velocidad, aceleración, fuerza, inercia, acción y reacción, tenemos siempre presente ecuaciones diferenciales. Pero dejemos que sea el mismo profesor Leiva quien nos aclare estos puntos: “Cuando haces ecuaciones diferenciales es bueno tener en mente un problema concreto que debes resolver. Yo trato de motivar mucho a mis estudiantes. ¿Cuándo aparecen las ecuaciones diferenciales? Cuando uno desea analizar un problema que se presenta en la vida real es preciso elegir un modelo matemático que describa ese problema. Por ejemplo, el modelo de la desintegración radioactiva. Si tomo un pedazo de madera y determino su contenido de carbono catorce, puedo decir en qué fecha el árbol fue cortado. Otro ejemplo interesante es la ecuación del puente suspendido. Los puentes suspendidos implican muchas fuerzas presentes. Hay una fuerza de amortiguamiento, hay fuerza de roce, fuerzas externas, de difusión. Eso viene dado por una ecuación diferencial que describe todo. Debes lograr que la configuración de esas fuerzas impidan que el puente se caiga. Para un matemático eso significa que la ecuación admita una solución acotada. Si con los parámetros introducidos produzco una solución acotada, la interpretación que de eso da un ingeniero es que el puente no se cae”. Queremos terminar esta pequeña semblanza con una reflexión del Dr. Leiva: “Las matemáticas se fundamentan en el razonamiento lógico, por lo tanto todas las personas normales tienen o deberían tener la capacidad de hacer matemáticas. La lógica es su basamento principal. Sin embargo, yo insisto en que el medio ambiente es importante. Mientras la carrera de matemáticas o, en general, la ciencia, no sea bien remunerada, mientras no existan suficientes incentivos, los muchachos no van a estar motivados. En San Pedro de Macorís, el sueño de los niños es ser grandes ligas, ¿por qué?, porque los peloteros tienen mejor estatus, por eso todos quieren ser un Sammy Sosa o cualquiera de los grandes del béisbol de República Dominicana”.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Matemática para todos Fascículo

El mundo de los Números I

números

“La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas”

Carl Friedrich Gauss Matemático alemán (1777-1855)

Una flor en forma de espiral. En la corola de un girasol se forman dos grupos opuestos de espirales. Hay 34 espirales en el sentido de las agujas del reloj y 55 en sentido opuesto. Estos números pertenecen a la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89... Fotografía: Rogelio Chovet

Descubriendo el mundo de los números ¿Qué tienen en común estos objetos? Todos presentan números que llevan implícita una información. En la cédula aparece el número que identifica a cada ciudadano mayor de una cierta edad. En un billete se expresa la cantidad de bolívares que representa (bolívares 500) y la serie a la que pertenece (149838217).

La etiqueta de cualquier producto en el mercado presenta en números la capacidad del envase, la fecha de expedición y la de vencimiento, así como un código de barras que identifica al producto.

Podríamos continuar revisando diversas situaciones de nuestra vida cotidiana en las cuales los números están presentes. En todas estas situaciones los números utilizados responden a los principios del SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

En este sistema de numeración se utilizan diez símbolos denominados dígitos o cifras que representan ideas de cantidad.

Cada cifra tiene un valor diferente según su posición. Es decir, la misma cifra colocada en diferente lugar representa cantidades distintas.

El valor de una cifra depende de la posición que ocupa en el número. Cada posición a la izquierda es diez veces mayor que la que le precede.

0123456789 23 32

y se utilizan las mismas cifras

es diferente de Centenas

Decenas

Unidades

3 centenas

3 decenas

2 unidades

100 10 1 3 3 2

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

N ú m e r o s Prehistoria Las ideas se comunican verbalmente

ca 15000 años a.C. Paleolítico superior. La invención de marcas para contar: las muescas

e n

ca 3400 años a.C. Invención de los símbolos escritos representan ideas de cantidades. Sistema egipcio aditivo

e l ca 2000 años a.C. Símbolos escritos, sistema de numeración posicional babilónico

t i e m p o s. V d.C. Sistema posicional. Sistema de numeración maya de base 20. Sistema de numeración Inca, base 10 verbal y representación en quipú

s. XII d.C. Sistema de numeración decimal en Europa

El actual sistema decimal de numeración o sistema hindú-arábigo, que utiliza el valor de posición, es la culminación de muchos siglos de contribuciones de varios sistemas de numeración. Los babilonios al principio de 2000 a.C., los chinos en el siglo I a.C. y los Mayas en el siglo V d.C. ya habían desarrollado sistemas de numeración posicionales. Para escribir números, las cifras cumplen la misma función que las letras del alfabeto para escribir palabras. Observa los diferentes símbolos que en el transcurso de la historia se utilizaron para escribir números. Maya

Hindú

Griego

Árabe

Egipcio

Babilónico

Binario (base 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 Interesante Al tiempo que en Europa se adoptaba el sistema de numeración hindú-arábigo, considerado como uno de los más importantes inventos de la humanidad, los incas en Sudamérica usaban el quipú: tiras de algodón con nudos que representaban la notación posicional como un sistema decimal de numeración, es decir, un sistema de base 10. Observa la representación de cantidades en un quipú.

215

31

102

348

La introducción de un símbolo que representara la ausencia de cantidad encontró grandes obstáculos. Se decía: “si los números se inventaron para contar, es absurdo inventar un símbolo para contar nada”. Los waraos en Venezuela poseen un sistema fonético muy vinculado con sus manos 1 Isaka, 2 Manamo . . . . . 5 Mojobasi, 6 Mojo matama isaka (uno de otra mano). En los sistemas de numeración de los babilonios, griegos, egipcios, romanos, chinos y mayas, no se puede reconocer la magnitud de los números por la longitud de su escritura. Esta es una de las ventajas del sistema decimal de numeración posicional: con una sola mirada, sin leer los números, se puede comparar con la longitud de su escritura. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Descubriendo los números

Si quisiéramos contar el número de granos que hay sobre esta mesa, buscaríamos una manera de organizarlos sin tener que contarlos uno por uno. Una forma de contarlos es agrupándolos de 10 en 10 y pegar cada grupo de 10 en una paleta.

Luego se agrupan en cuadros de exactamente 10 paletas.

Centenas Observa que cada cuadro tiene 10 paletas y cada paleta 10 granos. Obtenemos finalmente: 2 cuadros 3 paletas 7 granos sueltos ¡Tenemos en total 237 granos! Yendo más allá En caso de poder agrupar 10 cuadros de 10 paletas en cada pila, obtenemos unidades de mil.

100

100

Unidades Decenas 7 10 10 10 2 Centenas 3 Decenas 7 Unidades

Agrupamos 1 724 granos así: 1 724 granos 172 paletas y 4 granos 17 cuadros y 2 paletas y 4 granos 1 pila y 7 cuadros y 2 paletas y 4 granos Unidades de mil

Centenas

Decenas

unidades

1

7

2

4

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Descubriendo operaciones: la adición Conteo de unidades sucesivas 0

1

2

3

4

5

6

7

8

4+3=7 “Sumando” con paletas y granos

5 +

5 +7 12

7

Reúno paletas y granos

165 + 72

y 165 + 72 237

Reto Cuadrado Mágico Coloca los números del 1 al 9 de manera tal que todas las columnas, filas y diagonales mayores sumen 15.

Números triangulares Representa y escribe el próximo número triangular

1

3

6

10

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Descubriendo operaciones: la sustracción 8-5=3 Quitando

Completando

Comparando

Tengo 8 caramelos y regalo 5

Tengo 5 caramelos y necesito 8

Víctor tiene 8 caramelos y María tiene 5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

La sustracción ... o “pido prestado” ¿Alguna vez te has preguntado qué quiere decir “pido prestado” cuando estás efectuando una sustracción? Fíjate en el ejemplo. Usaremos monedas, las cuales nos resultan familiares. La única limitación en esta situación es que tenemos sólo monedas de 1, 10 y 100 bolívares. Tenemos 245 bolívares así representados y necesitamos pagar 72 bolívares. ¿Qué podemos hacer? • Quitamos 2 bolívares. • Ahora para pagar los 70 restantes, sólo tengo 4 monedas de 10. • Para poder tener las 7 que necesito, cambiamos una moneda de 100 en 10 monedas de 10.

Ahora puedo sacar las 7 monedas de 10 que necesito de las 14 que tengo, y dos monedas de uno para pagar los “Pido prestado” al 72 bolívares, por lo que me quedan 173 Bolívares. 2 una centena

245 -72 173 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Minuendo Sustraendo Diferencia

Descubriendo operaciones: la multiplicación 3 x 5 = 15 3 veces 5

Suma abreviada

3 filas de 5 fichas

Área de rectángulos

3x5

5+5+5

3 filas de 5 fichas

Área de rectángulos

Propiedad distributiva

(3 + 5) x 4 = (3 x 4) + (5 x 4) 8x4 = 12 + 20 32 = 32

3 3

y

5

5

4 4 4

La propiedad distributiva ayuda a comprender el procedimiento que se usa para multiplicar números de varias cifras.

Reto Usando la propiedad distributiva lo podemos explicar. 325 x 42 = 325 x (40 + 2) = (325 x 40) + (325 x 2) = (325 x 4 x 10) + 650 = (1 300 x 10) + 650 = 13 000 + 650 = 13 650

• Completa lo que falta de la tabla. • Sombrea los resultados 1x1, 2x2, 3x3, 4x4... • Sombrea en otro color los múltiplos de 5 que están entre 20 y 50. • ¿Qué observas?

1 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

6

8

10 12 14 16 18 20

9

12 15 18 21 24 27 30

3

Números rectangulares Representa y escribe el próximo número rectangular

4

16 20 24 28 32 36 40

5

25 30 35 40 45 50

6

12

36 42 48 54 60

7

49 56 63 70

8

2

6

12

20

32

9 10

64 72 80 81 90

30

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

100

Descubriendo operaciones: la división Dividendo Residuo

17 2

3 5

Divisor

17 = 3 x 5 + 2

Cociente

Repartiendo

Agrupando

Se quiere repartir 17 caramelos entre tres niños de manera que cada niño reciba la misma cantidad. ¿Cuántos caramelos le tocan a cada niño?

¿Cuántos paquetes de tres caramelos se pueden hacer con 17 caramelos?

¡5 caramelos a cada niño! ... y sobran 2 caramelos.

¡5 paquetes! ... y sobran 2 caramelos.

Cálculo mental 2 436 : 12 2 436 = 2 400 + 36 (2 400 + 36) : 12 = 2 400 : 12 + 36 : 12 = 200 + 3 = 203 Compruebo 203 x 12 = 2 436

152 : 8 152 = 160 - 8 (160 - 8) : 8 = 160 : 8 - 8 : 8 = 20 - 1 = 19 Compruebo 19 x 8 = 152

Retos • ¿Qué número dividido por 2, luego por 3, luego por 5 y finalmente por 7 da como resultado 10? • ¿Qué número dividido 5 veces por la mitad es igual a 100?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Leonardo Pisano Apodado Fibonacci (1180-alrededor de 1250)

Gauss dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió a leer y a hacer cálculos aritméticos con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos realizados por su padre para cancelar salarios. Nacido en una modesta cabaña de Alemania e hijo de padres muy pobres, sus contribuciones a la matemática, la física y otras ramas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. A Gauss, en su vejez, le encantaba contar la siguiente anécdota: A los diez años de edad, su maestro le propuso en clase el cálculo de una suma complicada para su edad. Apenas el maestro había terminado de dictar el problema, Gauss puso en la mesa del maestro su pizarra con el resultado de la suma. Observa el problema que el maestro propuso: Calcular la suma de los números enteros consecutivos desde 1 hasta 100 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +..........+ 100

120

Fibonacci era hijo de un mercader de Pisa, Bonaccio (de aquí se origina el sobrenombre, “figlio di Bonaccio”). Viajó al África septentrional, a Egipto, Siria y Grecia, donde aprendió los métodos algebraicos árabes y el sistema de numeración hindú-arábigo. Con su obra Liber Abaci, difundió en Europa la notación árabe de los números, la cual usa nueve cifras y el cero, y también la barra horizontal para escribir fracciones. Se reconocen como números de Fibonacci los números de la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... en los que cada número es la suma de los dos términos que lo preceden.

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Fascículo

Matemática para todos El mundo de los

números

Algoritmo de la división

Queremos dividir Bs. 1 353 entre 12

• Un billete de Bs. 1 000 no lo puedo repartir entre 12. • Cambio el billete de Bs. 1 000 en 10 monedas de 100.

• Ahora tengo 13 monedas de Bs. 100. • Reparto entre 12. • Le toca una moneda de Bs. 100 a cada uno y sobra una moneda de Bs. 100.

• Cambio la moneda de Bs. 100 en 10 monedas de Bs. 10. • Ahora tengo 15 monedas de Bs. 10. • Las reparto entre 12. • Le toca una moneda de Bs. 10 a cada uno y sobran 3 monedas de Bs. 10.

Bs. 100 a cada uno

1’353

12

13’53

12 1

- 12

1

Bs. 10 a cada uno

135’3

- 12

15

12 11

- 12

3

• Cambio las 3 monedas de Bs. 10 en monedas de Bs. 1. • Ahora tengo 33 monedas de Bs. 1 • Las reparto entre 12. • Tocan 2 monedas de Bs. 1 a cada uno y sobran 9 monedas de Bs. 1.

1353’

- 12

15

12 112

- 12

33 - 24 9 Bs. 2 a cada uno

A cada uno le toca un total de Bs. 112 y sobran 9 monedas de Bs. 1

1 353 = 112 x 12 + 9

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121

Números y códigos Número clave

Un código es un grupo de símbolos que relacionados representan información. Los códigos existen hace miles de años, tal como se aprecia en los jeroglíficos, el alfabeto griego, números romanos, el código Morse. Actualmente hablamos del código genético (ADN), código de barras, código bidimensional, etc. En esta sección hablaremos del código de barras. El código de barras es un elemento identificador que se visualiza como una combinación de 30 o más rayas negras de diferente grosor y de cifras que pueden ser leídas por un lector óptico (scanner) que reconoce caracteres. Este código proporciona información individual de cada producto o servicio y facilita el manejo de la información por su precisión ya que cada artículo tiene una identificación única en cualquier parte del mundo. Por ejemplo: 3 representa el país de origen 065890 características del fabricante 000643 características del producto Para verificar si el código corresponde a ese producto la computadora realiza las siguientes operaciones: 1)

Suma las cifras colocadas en los lugares pares a partir de la derecha.

2)

Multiplica esta suma por la primera cifra a la izquierda.

3)

Se suman las cifras de lugar impar comenzando por la tercera cifra de la derecha.

4)

Se suman los resultados de los pasos 2 y 3, la diferencia entre este resultado y la decena superior debe coincidir con el número clave. De no ser así hay algún error en el código o en la lectura que amerita ser revisado.

Su uso ha sido principalmente en el área comercial, pero también se está utilizando en control de acceso de personas, en inventarios, en centros asistenciales, entre otros. Por ejemplo, cuando usted paga en la caja de un supermercado, ésta, además de cobrarle recoge la información del tipo de producto, el tamaño, ubicación, fecha de expedición, etc. Todo el código responde a normas aprobadas por el “Código Universal de Productos” (UPC). La utilización del código de barras en la vida cotidiana ha simplificado y automatizado el proceso de recolección de datos en los comercios e industrias.

122

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Números y deportes ¿Cómo sería la práctica de deportes si no tuviéramos números? ¿Qué perderíamos? • ¿Cómo podríamos determinar el ganador de un partido? • ¿Cuándo decimos que un partido se terminó? • ¿Cómo mediríamos la cancha para cada deporte? • ¿Cuántos jugadores tendría cada equipo? • ¿Qué tamaño y peso tendrían las pelotas para cada deporte? • ¿Cómo podríamos saber qué equipo gana un campeonato? • ¿Cómo podríamos determinar el mejor jugador de un campeonato? Sin números, la práctica deportiva perdería gran parte de su interés. Eso sin contar con el hecho de que en algunos casos sería imposible de llevarse a cabo, ya que careceríamos de cosas tan elementales como medida de la cancha, de la pelota con que se juega y el número de jugadores, entre otras cosas. Además, ¿qué sería de la afición al béisbol, por ejemplo, si no pudiéramos saber qué equipo va ganando el campeonato, o qué jugador va punteando en número de hits conectados? A veces nos parece que un jugador de fútbol corre muchísimo durante un partido completo pero, ¿podríamos saber cuánto corre realmente si no pudiéramos contar con números? A continuación te ofrecemos información numérica fundamental para la práctica de dos deportes que gozan de una gran popularidad: el baloncesto y el fútbol. 7,32 m 15 m

altura del arco: 2,44 m 5,8 m

5,05 m 11,1 m

28 m

1,8 m

100 a 110 m

altura del tablero: 2,75 m

64 a 75 m

El balón de fútbol debe tener una circunferencia máxima entre 69 y 70 cm. Debe estar a una presión de 1,1 atmósferas. El balón del baloncesto debe tener una circunferencia máxima de 75 a 78 cm y un peso de 600 a 650 gramos. Se infla a una presión de aire tal, que cuando se deje caer de una altura aproximada de 1,80 m, debe rebotar hasta una altura mínima de 1,20 m y máxima de 1,40 m.

Interesante: Un jugador de fútbol puede correr entre 11 y 13 kilómetros durante un partido completo. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

123

Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Tres juegos con la calculadora La calculadora, lejos de ser solamente un instrumento para sacar cuentas engorrosas, puede utilizarse, entre otras cosas, para desarrollar habilidades de estimación, para reforzar concepciones básicas en el manejo de números y para desarrollar estrategias de resolución de problemas. Lo increíble es que esto podemos lograrlo tan sólo jugando con ella. A continuación proponemos tres juegos que se pueden realizar en cualquier sitio.

El cero en no más de cinco pasos • Se juega entre dos personas. • El jugador A introduce en la calculadora un número de tres cifras menor o igual a 900. • El jugador B debe reducir el número a cero en no más de cinco pasos. • Para reducir al cero, solamente puede usar operaciones básicas, en las cuales sólo use números de una cifra. Ejemplo: • El jugador A introduce el número 703 en la calculadora. • El jugador B puede seguir el siguiente procedimiento.

-3=

:7=

:5=

:5=

-4=

Gana el que acumule 10 puntos • Cada participante trabaja con su propia calculadora. • Se propone un número de siete cifras, ninguna de las cuales se repite. • Se pide eliminar un dígito del número, aplicando solamente una operación. • Se pide el relato de lo realizado y se califica según el siguiente ejemplo. Ejemplo: • Se introduce 5382749. El participante reporta sólo la El participante reporta sólo la • Se pide eliminar el 7.

Eliminando cifras

operación sobre el dígito que debe ser eliminado menos siete.

Pierde un punto

operación y los dígitos con los que la hizo menos siete, cero, cero.

Ni gana ni pierde el punto

Los factores morochos

El participante reporta la operación y el número que resta menos setecientos.

Gana un punto

Gana el que acumule 10 puntos

• Cada participante trabaja con su propia calculadora. • Se propone un número que sea un cuadrado perfecto. • Se pide estimar qué número multiplicado por sí mismo dé el número propuesto. • Se pide que se efectúe la multiplicación. • Se califican los resultados de acuerdo al siguiente ejemplo. Ejemplo: • Se propone 3969. • Se puede seguir el siguiente procedimiento: - El participante reporta 631, que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades (1) al elevarlo al cuadrado no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto (9). Pierde dos puntos. - El participante reporta 633, un número que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Pierde un punto. - El participante reporta 75, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Ni gana ni pierde puntos. - El participante reporta 67, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Gana un punto. - El participante reporta 63, la raíz cuadrada del número propuesto. Gana dos puntos.

124

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Tengo que pensarlo El número de la casa de Yolanda Si el número de la casa de Yolanda es múltiplo de tres, se trata de un número comprendido entre el 50 y el 59. Si el número de la casa no es múltiplo de 4, entonces es un número comprendido entre 60 y 69. Si el número no es múltiplo de 6, entonces se trata de un número comprendido entre el 70 y el 79. ¿Cuál es el número de la casa de Yolanda?

1 2 58 _ _ _ 1 3

Sumas iguales En la figura cada letra representa una cifra. Todas las cifras (1 al 9) están representadas por una letra distinta. Se sabe que la suma de cada columna o fila es igual a 13. ¿Cuál cifra representa la letra E?

Fibonacci La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8.... Recibe el nombre de sucesión de Fibonacci. Escribe los números que corresponden al noveno y duodécimo lugar.

C B A D G F E H I

13

13

13

123456789

= 2 000

Dos mil Utilizando la cifras del 1 al 9, coloca entre ellas los signos + - x : de tal manera que obtengas 2 000.

13

El cubo Coloca las cifras del 1 al 8 en cada vértice del cubo de tal forma que la suma de las cifras de los vértices de cada cara sea 18.

Edificio en Tokio, Japón

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

125

¡A jugar! Materiales •

Dos juegos de cartas como los siguientes:

1

2

1

2

3 3

4

4 5

5 6

6

7

8

9

7

8

9

10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Versión 1 • Dos jugadores

Versión 2 • Hasta 4 jugadores

1

El jugador Nº 1 selecciona cuatro cartas verdes.

1

2

El jugador Nº 2 selecciona una carta amarilla.

Hasta cuatro jugadores pueden jugar. En este caso, se necesitarían dos juegos de cartas verdes.

3

El jugador Nº 1 debe combinar los números de sus cuatro cartas verdes con operaciones aritméticas básicas (+, -, x, :) hasta obtener el número escrito en la carta amarilla.

2

Cada jugador toma cuatro cartas verdes y una amarilla.

3

Cada uno trata de resolver el problema planteado en la versión 1.

4

Cuando un jugador falla, el jugador a su derecha tiene la oportunidad de resolverlo y ganar un punto adicional. De fallar este también, le toca el turno al jugador de la derecha y así sucesivamente.

5

El juego termina cuando se agotan las posibilidades de resolución para todos los problemas.

4

Si resuelve el problema, gana un punto.

5

Si el jugador Nº 1 no puede resolver el problema, el jugador Nº 2 tiene la oportunidad de resolverlo y gana un punto si lo logra.

6

Se inicia el juego siguiente barajando las cartas y cambiando los roles de los jugadores.

Gana quien primero complete 10 puntos

Ejemplo:

3 126

4

5

9

2

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

4 : [5 - (9:3)] = 2

Información actualizada Bibliografía De Guzmán, Miguel (1994). Para pensar mejor. Editorial Pirámide. Madrid, España. Díaz, Godino J. y otros (1999). Didáctica de la matemática. Editorial Síntesis. Madrid España. Jiménez, Douglas (1999). La aventura de la matemática. Editorial CEC (Libros de El Nacional). Caracas, Venezuela. Marcano, Gisela (2001). La multiplicación (mimeografía). Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela. Marcano, Gisela (2000). A jugar con los dedos (mimeografía). Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela. Rico, L., Castro, E. y Castro, E. (1987). Números y operaciones. Editorial Síntesis. Madrid, España.

Videos

Theoni, Pappas (2000). More joy of mathematics. World Publishing Tetra. EE.UU.

Donald en el país de las matemágicas. Walt Disney, EE.UU.

Páginas web

Revistas

Math resources inc : http://www.mathresources.com

Boletines de la Enseñanza de la Matemática. ASOVEMAT. Venezuela

Sistemas de numeración. Video de la Universidad Nacional Abierta. Caracas, Venezuela.

Teacher created materials. http://www.teachercreated.com Editorial Síntesis. http://www.sintesis.com

Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica. Serapio Rendón 125, Col. San Rafael 06470, México, DF. For the Learning of Mathematics. F.L.M. Pibl. Co. 4336 Marcil Avenue. Montreal, Canadá. Petit X. IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. Martin D’Heres (Francia). Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá, Colombia.

Un corro alrededor del mundo Si todos los muchachos del mundo quisieran darse las manos, podrían hacer un corro todos alrededor del mar. Si todos los muchachos del mundo quisieran ser marineros, harían con sus barcas un hermoso puente sobre las olas. Se podría hacer un corro alrededor del mundo, si toda la gente del mundo quisiera darse la mano.

Resultados

Paúl Fort

El número de la casa de Yolanda: Es el 76. Fibonacci: El noveno es 34 y el duodécimo es 144. Sumas iguales: E vale 4. Dos mil: tiene múltiples respuestas. El cubo:

3

6 5

4

1 7

8 2

Suponiendo que somos, aproximadamente, 6 millardos de habitantes y sabiendo que la circunferencia máxima de la Tierra es de aproximadamente 40 000 km y consideramos que cada uno de nosotros sería un eslabón de 1 m, entonces tendríamos una cadena que podría rodear 150 veces la Tierra. Dios quiera que algún día, todos los habitantes de la Tierra nos diéramos las manos. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

127

Ernesto Medina Dagger

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1961. Realizó sus estudios de Física en la Universidad Central de Venezuela, graduándose con honores (summa cum laude) en 1985. Obtuvo el título de PhD en 1991 en el Instituto Tecnológico de Massachusetts. Actualmente es investigador asociado del IVIC, profesor titular de la UCV y pertenece al Sistema de Promoción del Investigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1993. Fotografía: F. Fernández

Durante los siglos XIX y XX se le dio un gran impulso a la Física cuando se empezó a pensar en términos de simetrías. Una simetría se expresa matemáticamente como una invariancia (ausencia de cambios) bajo una operación como la de traslación espacial, temporal o, por ejemplo, una rotación. Si tomamos la figura de un cuadrado y la rotamos alrededor de su centro en 90 grados no podemos distinguir la orientación final de la original, el cuadrado es entonces invariante bajo una rotación de 90 grados. En la Física, las operaciones mencionadas dan origen respectivamente a la ley de conservación de energía (invariancia temporal), la ley de conservación de momentum (invariancia traslacional) y la de conservación de momento angular (invariancia rotacional). La presencia de todas estas invariancias juntas resulta en un mundo que no cambia en el tiempo, que es igual en todos los puntos del espacio y en todas las direcciones. Sin embargo, el mundo se pone interesante cuando ocurre el rompimiento de algunas de estas simetrías, lo cual da lugar a la formación de patrones o formas que varían de múltiples maneras en el espacio y el tiempo, lo que reconocemos intuitivamente como “orden” en la naturaleza. Los rompimientos de simetría dan lugar a muchos fenómenos con que convivimos, como la formación de cristales, los populares imanes o magnetos y la misma estructura que observamos del universo hoy en día. Sin el rompimiento de simetría no existirían los electrones, protones y neutrones que componen los átomos y por lo tanto los átomos mismos. No existiría la vida. Un fenómeno supremamente importante, asociado al rompimiento de la simetría, es el surgimiento, paradójico, de una simetría exótica, la asociada a la invariancia de escalas. Formas y objetos que vemos a una escala de magnificación particular, se repiten a cualquier otra magnificación por encima o por debajo de la primera dando origen a patrones que son construidos en base a sí mismos. Esto es lo que conocemos como fractales y son las estructuras más ricas y bellas al ojo humano que ofrece la naturaleza. El estudio de simetrías y su rompimiento está hoy en el corazón de todos los campos de la física: la teoría de campos, la cosmología, la física de partículas, la física del estado sólido y fenómenos críticos. * El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Todo está lejos, pero es un modo de decir. En realidad no tengo patrón universal para medir cercanos y remotos...

Matemática para todos

...En mi mejor historia ha habido lontananzas a granel y mi experiencia dice que lo remoto a veces se aproxima.

Fascículo

Estimando Medidas III

medidas

Mario Benedetti Poeta y escritor uruguayo (1920- )

Gérard David Pintor flamenco (1450/60-1523) En Las bodas de Caná, David logró combinar las características de cuadro colectivo y las convenciones de cuadro religioso, en donde destacan al frente unas vasijas para guardar agua, que parecieran tener la misma capacidad de almacenaje. Esta ha sido una constante de búsqueda en los matemáticos y físicos, el conseguir el recipiente que contenga más cantidad de líquido, sea resistente, manejable y de fácil apilamiento.

Estimando medidas

En la vida diaria nos encontramos ante muchas situaciones en las que se hace necesario estimar, es decir, valorar de manera cuantitativa una determinada magnitud. Por ejemplo, estimamos el tiempo para llegar de un lugar a otro, la cantidad de alimentos necesarios para alimentar a una familia en una semana, la cantidad de tela requerida para hacer un traje, la cantidad de ingredientes para preparar una comida, la cantidad de pintura que hace falta para pintar una ventana o una casa. No siempre es fácil asignar un número exacto a una magnitud, por ejemplo, conocer la cantidad de asistentes a una manifestación, la cantidad de cabellos que tenemos en la cabeza, la cantidad de agua que utilizamos para bañarnos, la cantidad y el costo del material necesario para hacer una construcción o la extensión de alguna superficie. Así también, hay algunas magnitudes de las cuales es imposible obtener un valor exacto, por ejemplo, la cantidad de población y la cantidad de agua caída como consecuencia de las lluvias. No obstante, la estimación permite asignar valores numéricos a estas magnitudes manteniendo al mismo tiempo un control sobre la validez de esa valoración.

Interesante Esta figura representa el cálculo que Fermat hizo con el fin de determinar el área entre el eje horizontal, las verticales a izquierda y derecha y la curva definida por la 1

función y=x 3 . Fermat generalizó el cálculo para curvas de ecuación p q

y=x . Observa que la suma de las áreas de esos rectángulos da un valor aproximado del área antes descrita. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Pierre de Fermat Matemático francés (1601-1665) Este personaje estudió y ejerció el Derecho y fue consejero en el Parlamento. En su tiempo libre se ocupó de la literatura y de la matemática llegando a ser uno de los principales matemáticos del siglo XVII y gloria universal de esta ciencia debido a numerosos aportes en sus diversas áreas. Publicó poco sus resultados, figurando algunos de ellos como notas y apéndices a libros escritos por otros, en los márgenes de esos tratados. Varios de sus trabajos se perdieron.

Estimando la longitud de una circunferencia Consideremos un polígono regular M1 inscrito en una circunferencia C y llamemos p1 a su perímetro. Construyamos otro polígono regular M2, inscrito en la misma circunferencia y con el doble número de lados que M1, y llamemos p2 a su perímetro; entonces se cumple que p1 < p2. Si continuamos construyendo polígonos inscritos a esa circunferencia, duplicando indefinidamente el número de sus lados, los perímetros de los polígonos serán cada vez mayores y más cercanos a la medida de la longitud de la circunferencia L: p1 < p2 < p3 < p4 < ..... < pn < ..... < L. C M M11

M1

C

L1

L2 M2

R≈2,2 R≈2,2

L

R≈2,2 Cuadrado inscrito

Octógono inscrito

L1 ≈ 3,1 cm p1 ≈ 4 • L1 ≈ 12,4 cm

L2 ≈ 1,7 cm p2 ≈ 8 • L2 ≈ 13,6 cm L= 2πR ≈ 13,82 cm

Se han medido los lados L1 y L2 con una regla graduada y por esto resultan aproximaciones. Asimismo, consideremos un polígono regular S1 circunscrito a la circunferencia C y llamemos P1 a su perímetro. Construyamos otro polígono regular S2, circunscrito a la misma circunferencia y con el doble de lados que S1. Llamemos P2 al perímetro de S2, entonces se cumple que P1 > P2 . En forma análoga al caso anterior, si duplicamos indefinidamente el número de lados, los perímetros de los polígonos obtenidos serán cada vez menores y más cercanos a la medida de la longitud de la circunferencia L: P1 > P2 > P3 > P4 > .... > Pn > .... > L.

S1 C

L2

S2

C

L1

R

R

Octógono circunscrito

Cuadrado circunscrito

L2 ≈ 1,8 cm P2 ≈ 8 • L2 ≈ 14,4 cm

L1 ≈ 4,4 cm P1 ≈ 4 • L1 ≈ 17,6 cm

L = 2πR ≈ 13,82 cm

Calculando los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos, notamos que se aproximan a un mismo valor L. Estos perímetros son valores aproximados de L. Los errores cometidos en estas aproximaciones se hacen más pequeños a medida que tomamos los polígonos regulares con mayor número de lados.

p1

p2

p3

pn

L

Pn

P3

P2

P1

Interesante Los cálculos de esos perímetros se pueden hacer, aplicando propiedades geométricas, en función del radio (R). Por ejemplo: P1 = 4 • 2 R ≈ 12,4 cm P1 = 8R ≈ 17,6 cm

P2 = 8 • 2 - 2 • R ≈ 13,47 cm P2 = 8 • 2 • (2- 2) • R ≈ 14,58 cm

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Error en la estimación

Escuela de Atenas (Fragmento) Rafael Sanzio (1483-1520)

Al estimar utilizamos expresiones como: "entre tanto y tanto", "alrededor de", "aproximadamente", etc., para indicar que no es la cantidad exacta, sino que existe un margen de error, es decir, que puede ser más o menos la cantidad exacta. Error es el término utilizado para designar la diferencia que un valor aproximado (Va), tiene respecto del valor exacto (Ve) al que representa. Este error es conocido como error absoluto (Ea), es decir, Ea = |Ve - Va|, donde | | indica el valor absoluto. En casi todas las estimaciones se comete un error, más aún, podríamos decir que regularmente la medición de las magnitudes físicas son inexactas, aun cuando éstas sean realizadas con instrumentos de medida, ya que existen algunos imponderables como las imperfecciones de los objetos, los defectos de construcción de los instrumentos de medida y los errores que cometemos en su manipulación, que impiden la exactitud. No obstante, lo importante es saber cuándo un error es aceptable, por ejemplo, en la estimación de la cantidad de agua al preparar 3 una comida, un error de 1 cm no es significativo, no así, si ese mismo error se comete en la dosis de un medicamento. Para tener una mejor idea de cuán buena es la estimación realizada, calculamos la razón entre el error cometido (Ea) y el tamaño de la magnitud medida (Ve). Esta razón es lo que se conoce con el E nombre de Error relativo (Er). Es decir, Er = Va . e Cuando este valor relativo (Er) lo expresamos en porcentaje, multiplicando la relación referida por cien, hablamos entonces de error porcentual.

Uno de los teoremas notables de Arquímedes se refiere a: “La longitud de la circunferencia de un círculo es igual al triple del diámetro, más una parte de éste, que es menor que su séptima parte, y mayor que diez setenta y un avos del mismo” ya que los números 3 10 y 3 1 son dos valores aproximados por defecto 71 7 y por exceso, respectivamente, del conocido número π. Arquímedes determinó estos números utilizando el método de inscribir y circunscribir polígonos duplicando el número de lados, Arquímedes partiendo del hexágono regular, para llegar al polígono regular Matemático griego (siglo III a.C.) de 96 lados y calculando aproximadamente sus perímetros. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Pancho Quilici Pintor caraqueño (1954- ) Para conocer un mundo, una isla basta y sobra. 1988

Estimando áreas

Veamos el caso de una región como la dibujada y tratemos de calcular su área. Para la región S no hay una fórmula que permita calcular su superficie.

S

Cuando no tengamos una fórmula para calcular el área hay que buscar otro procedimiento para ello. Uno de estos procedimientos es emplear instrumentos de medida, otro sería buscar alguna herramienta matemática para hacerlo, o una combinación de los procedimientos antes nombrados. En todo caso, esto nos conduce a una estimación del valor del área y no a un cálculo exacto. ¿Qué nos muestran las dos figuras a la derecha? En ellas hemos superpuesto una cuadrícula a la región a la cual queremos calcular el área. ¿Por qué hacemos esto? Lo hacemos porque tenemos un procedimiento, una fórmula, para calcular el área de un cuadrado. ¿Cómo estimar el área de S por intermedio de la cuadrícula? Basta contar cuántos cuadrados quedan encerrados en la región y multiplicar este número por el área de cada cuadrado. El resultado obtenido es menor que el área de S. Esto es, obtenemos una aproximación del área por defecto. Podemos también contar el número mínimo de cuadrados que cubren a S, esto es, los que están dentro más aquellos que tienen una parte dentro de S y una parte fuera. En este caso también hay que multiplicar el número de cuadrados por el área de cada uno de ellos para obtener la estimación del área de S. El resultado obtenido es mayor que el área de S. En este caso obtenemos una aproximación del área por exceso.

Aproximación por defecto

60 cuadrados de 0,25 cm2 = 15 cm2

Aproximación por exceso

103 cuadrados de 0,25 cm2 = 25,75 cm2

Otra estimación la obtenemos promediando ambos valores

Area de la figura = (15 + 25,75) = 20,37 cm2 2 No siempre la última aproximación del área es mejor que las anteriores Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Guárico

Anzoátegui

Delta

Estimando áreas Consideremos un estado venezolano. Ejemplo: el estado Bolívar. Veamos un Atlas (hemos consultado el Libro Imagen de Venezuela: Una visión espacial. PDVSA, 1990) y en él hallamos el mapa del estado que nos concierne. En este libro aparece que el área del estado es 238 000 km2. Por otra parte, hemos de tener cuidado en mirar la escala de nuestro mapa. Según la escala gráfica del mapa un cm de éste es equivalente a 104 km en la realidad. Si lo transformamos, 1 cm equivale a 10.400.000 cm, por lo que la escala del plano es 1:10.400.000.

Estado Bolívar

Amazonas

1 cm 1 cm equivale a 104 km 1 cuadrado = 0,5 cm • 0,5 cm equivale a 52 km • 52 km ≈ 2 704 km2

Cálculo con la misma cuadrícula utilizada en el ejercicio anterior (0,5 cm x 0,5 cm) Nº de cuadrados dentro del estado (color amarillo) = 63 Nº de cuadrados dentro y fuera = 110 Los valores que se obtendrán son estimados. Estimación por defecto (color amarillo) = 63 • 2.704 km2 = 170.352 km2. Estimación por exceso = 110 • 2.704 km2 = 297.440 km2. El promedio de los dos valores anteriores = (170.352 + 297.440) = 233.896 km2. 2 1 cuadrado = 1 mm • 1 mm equivale a 10,4 km • 10,4 km ≈ 108.16 km2

Cálculo con papel milimetrado Nº de cuadrados dentro del estado (color amarillo) = 2.033 Nº de cuadrados dentro y fuera = 2.295 Los valores que se obtendrán son estimados Estimación por defecto (color amarillo) = 2.033 • 108,16 km2= 219.889,28 km2. Estimación por exceso = 2.295 • 108,16 km2= 248.227,20 km2. El promedio de los dos valores anteriores = (219.889,28 + 248.227,20) = 234.058,24 km2. 2

Para saber cuán buenas son estas aproximaciones debemos calcular el error cometido. La siguiente tabla recoge las estimaciones anteriores y el cálculo de errores tomando como valor exacto 238.000 km2 Área aproximada Ad= 170 352 km2 Ae= 297 440 km2 Ap= 233 896 km2 A’d= 219 889 km2 A’e= 248 227 km2 A’p= 234 058 km2

Error Absoluto |170 352 - 238 000| = 67 648 |297 440 - 238 000| = 59 440 |233 896 - 238 000| = 4 104 |219 889 - 238 000| = 18 111 |248 227 - 238 000| = 10 227 |234 058 - 238 000| = 3.942

km2 km2 km2 km2 km2 km2

Error relativo 67 648 / 238 000 ≈ 0,2842 59 440 / 238 000 ≈ 0,2497 4 104 / 238 000 ≈ 0,0172 18 111 / 238 000 ≈ 0,0761 10 227 / 238 000 ≈ 0,0430 3 942 / 238 000 ≈ 0,0166

Error Porcentual 28,42 % 24,97 % 1,72 % 7,61 % 4,30 % 1,66 %

Observa que el menor error porcentual (1,66%) corresponde a A’p, esta es la mejor de las aproximaciones efectuadas. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Estimando volúmenes En todos estos objetos podemos calcular sus áreas y/o volúmenes (capacidades) con sólo medir ciertas longitudes y luego aplicar fórmulas:

Círculo

Paralelepípedo más prisma

Pirámide

Cilindro

Tanque esférico

¿Y cómo calculamos las longitudes, áreas o volúmenes de estos otros objetos?

Las curvas de los adornos en las rejas

Los restos arqueológicos encontrados en Barinas

La superficie territorial abarcada por el Delta del Orinoco

La capacidad de esta cesta de moriche

El volumen de este matero

Hay muchos otros objetos para los que no existen fórmulas, o no las conocemos, que permitan calcular sus longitudes, áreas o volúmenes.

Todo ello se hace mediante un proceso de aproximación que permite estimar las medidas respectivas, bien sea por defecto (menores que la medida considerada como exacta) o por exceso (mayores que la medida considerada como exacta). En casos como el de la cesta moriche o del matero de las fotografías, su capacidad puede determinarse experimentalmente: se llena de agua o arena el recipiente hasta el tope y luego se trasvasa el contenido a una jarra graduada con la que medimos volúmenes.

R +10% de R R

Reto Si el radio de una esfera aumenta en 10%. ¿En qué porcentaje aumenta el volumen de esa esfera? Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones Consideremos el sólido de color amarillo claro, dibujado al lado, en el que se han medido las longitudes allí indicadas (diámetro de la tapa superior y altura). ¿Cómo calcular su volumen V?

1,3 m

Esto se hace mediante aproximaciones. Primera aproximación (por defecto) Color verde: El volumen aproximado del cilindro interior al sólido es Vf=πR2 • H 3,14 • ( 1,32 m )2 • 1,4 m = 1,8573 m3 (1 857,3 l) Segunda aproximación (por exceso) Color azul Medimos con algún instrumento el diámetro (o la circunferencia) mayor y supongamos que el resultado da igual a 1,52 m. Entonces, el volumen del cilindro exterior al sólido es 3,14 •( 1,52 m )2 • 1,4 m = 2 2,5391 m3 (2 539,1 l). Observemos que 1,8573 < V < 2,5391 y el promedio entre esos dos volúmenes es 2,1982 m3: Tercera aproximación: Si queremos mejorar la aproximación para el volumen V se divide el sólido en pequeños cilindros interiores (de color rojo), por ejemplo dividiendo la altura como se muestra en el dibujo, y luego haciendo la suma de los volúmenes de esos cilindros (da un valor aproximado de V por defecto).

1,52 m

1,4 m

1,3 m

1,3 m 0,35 m

0,35 m 1,52 m

En forma análoga se puede hacer con cilindros exteriores y obtener un valor aproximado de V por exceso. ¿Cómo realizarías los cálculos?

0,35 m

0,35 m 1,3 m

Un sólido

Aproximación del volumen del sólido mediante la suma de volúmenes de cilindros

Reto Un envase cilíndrico de diámetro d, acostado, con un volumen total de 60 litros, sólo queda lleno hasta las tres cuartas partes de d. ¿Cuántos litros más de agua hacen falta para llenar el envase? Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Fascículo

Matemática para todos Estimando

medidas

8 cm

Consideremos un cono con radio de la base R = 4 cm y altura H = 8 cm. ¿Cómo podemos determinar aproximadamente, el volumen V de este cono a partir del conocimiento del volumen de un cilindro y sin utilizar la fórmula que da el volumen del cono? Para ello dividimos la altura del cono, digamos en cuatro partes iguales de longitud 2 cm. De aquí se obtienen tres troncos de cono y un pequeño cono, todos de altura 2 cm, como se muestra a continuación:

2c m

3c m

4c m

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

4 cm

1c m

Ahora calculamos la suma de los volúmenes de los cilindros mostrados a continuación:

Cilindros que contienen esos sólidos VE2

VE4

3c m

4c m

2 cm

2 cm

VE3

2 cm

2 cm

VE1

2c m

1 cm

1c m

VD4 0 cm

2

V =π•R •H VE < VE1 + VE2 + VE3 + VE4 2

2

2

3

Cilindros que son contenidos por esos sólidos VD2 VD3 2 cm

2 cm

2 cm

3c m

2 cm

VD1

3

VD > VD1 + VD2 + VD3 + VD4 2

2

2

2

3

V > (π • 3 • 2 + π • 2 • 2 + π • 1 • 2 + π • 0 • 2) cm = 28 π cm

3

2 cm

2

V < (π • 4 • 2 + π • 3 • 2 + π • 2 • 2 + π • 1 • 2) cm = 60 π cm

Este pequeño cono no contiene ningún cilindro, por lo que se coloca 0.

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Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones

2,5

1 cm

m

2c

1 cm

3,5

4c

2

2

2

m

4c

m

Al calcular de manera análoga a lo realizado antes, la suma de los volúmenes de los cilindros es la siguiente:

cm

3,5

cm

2

m

3c

m

4c m

cm

2,5

cm

3c

m

1,5

1 cm

2c

cm

cm

1c

1 cm

1,5

m

1 cm

1c

0,5

1 cm

cm

1 cm

0,5

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

8 cm

Consideremos el mismo cono con radio de la base R = 4 cm y altura H = 8 cm. Si dividimos la altura del cono en ocho partes iguales de longitud 1 cm obtendremos siete troncos de cono y un pequeño cono, todos de altura 1 cm, como se muestra a continuación:

cm

m

2

2

2

2

3

3

2

3

3

V < [π • 1• (4) + π • 1 • (3,5) + π • 1 • (3) + π • 1 • (2,5) + π • 1 • (2) + π • 1 • (1,5) + π • 1 • (1) + π • 1 • (0,5) ] cm = 51 π cm 2

2

2

2

2

2

2

V > [π • 1 • (3,5) + π • 1 • (3) + π • 1 • (2,5) + π • 1 • (2) + π • 1 • (1,5) + π • 1 • (1) + π • 1 • (0,5) + π • 1 • (0) ] cm = 35 π cm

Por lo tanto:

28π < 35π < V < 51π < 60π 28π

35π

42,67π

51π

60π

V Si continuamos ese proceso de dividir la altura en partes de igual longitud, observamos que cada vez los valores obtenidos se aproximan al valor V.

V cono=

1 π • R2 • H 3

V=(

3 3 128 ) x π cm ≈ 42,67 x π cm 3

Los radios obtenidos anteriormente 3 cm, 2 cm, 1 cm, etc., se determinan utilizando el Teorema de Tales. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

Esfinge y pirámide de Kefrén

Reto

2.600 a.C. (Egipto)

10 cm

Consideremos una pirámide con base rectangular de lados 4 cm y 5 cm, y altura 10 cm. ¿Cómo procedes para estimar el volumen V de esa pirámide a partir del conocimiento del volumen de un paralelepípedo recto y sin utilizar la fórmula que da el volumen de una pirámide? Explica con detalle y haz los dibujos respectivos.

El número π (pi) presenta una larga historia, comenzando con que tradicionalmente se entendía ese número como el cociente entre la longitud L de una circunferencia y su diámetro D, por lo que se denota con la letra griega π, inicial de la palabra que significa perímetro. La notación π la popularizó L. Euler a partir de 1737, aun cuando había sido utilizada por William Jones en 1706. 9 Todavía en nuestros días se hacen cálculos sobre π, llegando a estimarlo con 10 cifras decimales. Este número figura en muchas fórmulas relacionadas con medidas: longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de un óvalo, volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de una esfera, entre otros. En las civilizaciones más antiguas, los Babilonios y los Egipcios, si bien no se le da ese nombre ni ese símbolo, se le atribuye (los Babilonios) el valor 3 obtenido a partir de aproximar la longitud L de una circunferencia mediante 6R que es el perímetro del hexágono regular inscrito (de la relación 6R= 2πR se obtiene π=3). También de un pasaje de la Biblia se puede deducir ese valor 3: "Él hizo también un vaso de metal fundido, la gran cuba, que tenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo, y tenía cinco codos de alto, en tanto que un cordón de treinta codos medía la circunferencia en derredor". (Lo que equivale a tomar π=30 codos/10 codos = 3). El primer matemático que calculó π con muchas cifras, 707 cifras decimales, fue el inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio del Descubrimiento” (Museo de Ciencias) en París. Esta cúpula se encuentra en una sala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro. El ingeniero y matemático venezolano Francisco José Duarte (Maracaibo, 1883Caracas, 1972) también calculó el número π con muchas cifras. Él escribió, en 1956, una monografía sobre los números π y e.

4c

5 cm

m

R

R

Leonardo Euler Matemático suizo (1707-1783)

Reto En el papiro Rhind (aproximadamente 1650 a.C.), uno de los principales documentos para el estudio de la matemática egipcia, se encuentra un problema relacionado con el cálculo del área de un círculo de diámetro D, aproximándola al área de un cuadrado de lado ( 8 )D. ¿Qué valor aproximado de π, con dos cifras decimales, se obtiene a 9

partir de esa consideración y cuál es el error porcentual cometido si tomamos como valor exacto π= 3,1416?

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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Cálculos y estimaciones En la enseñanza de la matemática a nivel de educación básica, es importante hacer hincapié en los contenidos que sustentan los cálculos y la estimación en diversos contextos. Así, se pueden desarrollar en los estudiantes habilidades cognitivas que les permitan, además de emplear los cálculos y la estimación en la resolución de problemas, utilizar la estimación para verificar lo razonable de los resultados. La estimación se utiliza en muchas situaciones de la vida cotidiana tales como calcular el número de baldosas que se necesitan para cubrir un piso o pared de una casa. Por otra parte, hemos presentado algunos aspectos que intervienen en el proceso de medición de magnitudes. Entre ellos está la utilización de instrumentos de medida. Un instrumento tiene escalas graduadas, como se puede notar en el gráfico. Llamaremos apreciación del instrumento a la menor división de su escala. En forma de ecuación matemática la apreciación se calcula de la siguiente manera:

2 3 1 4

Apreciación = Lectura mayor - Lectura menor Número de divisiones A=

De esta manera se puede observar la apreciación de diferentes instrumentos. Sin embargo, en algunos casos las divisiones de la escala del instrumento permiten que el experimentador pueda estimar visualmente una cantidad menor a la apreciación del instrumento. Esta cantidad se denomina estimación de una lectura. En las figuras se muestran algunos ejemplos de estimación. Es conveniente plantear a los estudiantes situaciones como la siguiente: suponga que al medir con una cinta métrica la longitud de una barra de metal, se obtiene una medida de 15 cm. Además, ya sea por la apreciación de la cinta o por estimación del obsevador se Ie puede asignar un error de 0,1 cm. A partir de estos datos promueva una discusión que le permita a los estudiantes concluir que: 1.El valor verdadero de la medida está en el rango comprendido entre 14,9 cm y 15,1 cm. 2.Por estimación, el mínimo valor que se puede distinguir es de 0,1 cm. Comente que este mínimo valor determina las cifras significativas del resultado de la lectura. Así, es necesario que al expresar la medición de la barra se consideren las dos conclusiones y, en consecuencia, la expresión más adecuada para registrar el valor obtenido es: Longitud = (15,0 ± 0,1) cm, como se presenta en el siguiente gráfico. 14,9 cm

15 cm 0,1 cm

1,1

Para finalizar la clase, es recomendable inducir a los estudiantes para que valoren el hecho de que los resultados obtenidos al realizar una medida no son exactos, es decir, por diversas razones presentan un error. La eficacia del resultado está determinada por un análisis adecuado del error, en el conocimiento que se tenga de ellos y en la habilidad del experimentador para minimizar sus efectos. Los errores más usuales que se presentan en la ciencia se caracterizan en dos tipos: Errores casuales: Su característica es el azar. Pueden proceder de Ia interacción de un experimento con un sistema físico, o de un cambio en el ambiente. Errores sistemáticos: Aquellos que varían en una misma dirección la magnitud a medir. Se deben a fallas en los equipos o a errores en los procedimientos realizados. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1,2 1,3 2,1

0

2,2

A = 2,2 - 2,1 = 0,02 5

2 3 1 4 Estimación: 2,975

15,1 cm 0,1 cm

4-3 = 0,05 20

1,1

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1,2 1,3 2,1

0 Estimación: 1,95

2,2

Tengo que pensarlo Un fósforo tiene aproximadamente 3 cm de largo. Hacen falta 16 fósforos para hacer una escalera de 15 cm de largo y 3 cm de ancho como la mostrada. ¿Cuántos fósforos se necesitan para hacer una escalera similar de 90 cm de largo por 3 cm de ancho?

Para determinar el área de una región plana de forma irregular se puede proceder de la siguiente manera: pesa un recorte de cartón cuya forma coincida con la de la región y luego compara el peso del recorte con el peso de un pedazo rectangular del mismo cartón, cuyas dimensiones son conocidas. Explica por qué este procedimiento conduce a determinar aproximadamente el área de la región. Piensa en otros procesos que te permitan determinar el área de una región plana.

Los cohetes que impulsan los transbordadores espaciales tiene distintos tanques de combustible: tanque de oxígeno líquido, tanque de hidrógeno líquido y el intertanque conectando esos dos tanques. En los dibujos siguientes tienes esos tanques con sus dimensiones. 4,2m

4m

8,1 m

8,4 m

8,4 m

29,6 m

Tanque de hidrógeno líquido

Intertanque

Tanque de oxígeno líquido

Calcula los volúmenes aproximados de los tanques de hidrógeno líquido y de oxígeno líquido y compáralos con los valores exactos que son 1.450 m3 y 541 m3 respectivamente, determinando los errores cometidos. Fuente: Space Mathematics. A resource for Secondary School Teachers. Por B. Kastner & S. Fraser, NASA (1985).

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3

¡A jugar! Magnitudes, instrumentos, fórmulas y unidades o tr e m ó Kil

cm

n

lo Re

j

Mi

o

uto

ram

ho

Metro cuadrado

c an

ÁREA

l

o arg

x

m2

m3

1. Se colocan los 24 cartoncitos boca abajo,

jugadores que pueden ser 2, 4 o 6.

o

o

G

TIEMPO

VOLUMEN

se revuelven y se reparten entre los

í

me tr

Segundo

largo x ancho x altura

¿Cómo jugar?:

LONGITUD

m e tr

ó

24 piezas de forma triangular cortadas en cartón. En 12 de éstas (color marrón) se escriben nombres de magnitudes, en las otras 12 (color amarillo) se escriben intrumentos de medición, fórmulas y unidades correspondientes a las magnitudes seleccionadas, en forma similar a las del dibujo.

De c

Te rm

Materiales:

25 °C

pasa, y juega el siguiente participante. Y así sucesivamente hasta que uno de los jugadores se quede sin cartones y es considerado el ganador. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

in

dr Regla

Cil

posee una pieza del juego con esas características

o

fórmula o unidad referentes a capacidad. Si no

me tr

una pieza en la que aparezca un instrumento,

ó

en coincidencia con uno de los lados del triángulo,

TEMPERATURA

d

3. El jugador que está a su derecha debe colocar,

Te rm

superficie de juego.

ra g o

que dice CAPACIDAD, que coloca al centro de la

d ua

o

2. Comienza el juego la persona que tiene la pieza

ra Ho

Kil

ó

Dm 2

tr me

o

ÁREA

De

C

it cil

ó

o

o

m e tr

° 26

Te rm

C en tí me tr

TEMPERATURA

ro

Grado centígrado

Hora

VOLUMEN

TIEMPO

cm

Se

3

4

πR 3

n gu

3

do

m3

Kilogramo

C.

B

C.

n ala

za

MASA

Dos dimensiones

Bibliografía Del Olmo R. y Moreno C., et al (1993) Superficie y volumen ¿Algo más que el trabajo con fórmulas? Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº 19, Editorial Síntesis, Madrid. Prada V. María Dolores (1990) Cómo enseñar las magnitudes, la medida y la proporcionalidad. Cuadernos de matemáticas, Nº 1, Editorial Ágora, Málaga.

Video Donald en el país de las matemáticas. Producción Walt Disney. California, Estados Unidos. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

Gustavo Ponce

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1952. Licenciado en Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela, en 1976, realizó su posgrado en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York, obteniendo el PhD en 1982. Desde ese año hasta 1984 estuvo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Berkeley, California, en tareas de posdoctorado. En 1985 obtuvo el Premio Anual del CONICIT en el área de Matemáticas. Fue profesor de la Facultad de Ciencias de la UCV desde 1977 hasta 1991, y profesor visitante en Universidades en España, Francia y Alemania. Ha tenido posiciones académicas en la Universidad de Chicago y en la Universidad del Estado de Pennsylvania. Actualmente es Profesor Titular en la Universidad de Santa Bárbara, California. Fue conferencista invitado al Congreso Internacional de Matemáticos, realizado en Berlín en agosto de 1998. Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1987. Fotografía: Vladimir Sersa

Los trabajos del doctor Ponce están relacionados con el estudio de los sistemas que aparecen en la propagación de ondas, por ejemplo, la estructura de una ola moviéndose en una dirección dentro de un canal, la evolución en el tiempo de un hilo de torbellino o la forma de la superficie de un líquido sometido a ciertas fuerzas externas. Con esto podemos predecir la evolución del movimiento de un líquido, el cual inicialmente está represado y que al abrir la compuerta escapa por un canal. Dicha evolución dependerá de la cantidad de líquido y de las dimensiones del canal. En la búsqueda de una solución a este tipo de problemas se conectan varias áreas de la matemática y la física, como son el análisis armónico y la dinámica de fluidos, con aplicaciones a modelos concretos y el diseño de códigos numéricos, los cuales modelan el comportamiento de la solución en problemas donde no han sido aún establecidos resultados rigurosos. Según nos expresa el doctor Ponce, su interés en estos problemas es básicamente teórico, la idea es tener la mejor descripción posible que modela el problema físico. Esto nos muestra una característica muy importante del trabajo de los matemáticos. En muchas oportunidades el interés es totalmente teórico, el fin último es la comprensión total de un fenómeno determinado. Su posible aplicación es muchas veces algo del futuro. Aún así, muchos de los grandes avances tecnológicos y científicos tienen base en resultados matemáticos que en un principio sólo motivaron intelectualmente a sus creadores.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Matemática para todos Fascículo

El mundo de las

Medidas II

medidas

“De una manera indescriptible, mientras (Davidson) iba de un lado a otro en Londres, su mirada iba de un lado a otro de manera correspondiente por aquella isla lejana... Cuando yo le señalé que no se podía alterar el hecho de que ese lugar (la isla Antípoda) estaba a ocho mil millas de distancia, me respondió que aunque dos puntos estuvieran separados por una yarda en una hoja de papel, se les podía poner uno junto al otro al dar vuelta al papel sobre sí mismo.”

H.G. Wells Escritor británico, 1866-1946

La matemática y la astronomía tuvieron un gran avance con los científicos del Islam, quienes hicieron grandes aportes en álgebra, geometría y trigonometría. Esta es una ilustración persa del s. XVI y en ella se observa a varios astrónomos utilizando diversos instrumentos de medida y de observación como son: compás, astrolabio, plomada, reloj de arena, escuadra y un globo terrestre, entre otros.

¿Qué medimos? Las líneas: segmentos, poligonales y curvas (objetos unidimensionales), a las que calculamos sus longitudes.

Del segmento

De la poligonal

De la curva y de objetos enrollados

Las regiones de un plano limitadas por líneas (objetos bidimensionales), a las que calculamos sus áreas. Joan Miró Pintor español (1893-1983) El hermoso pájaro que revela lo deconocido a una pareja de enamorados

Del triángulo

Del polígono

Del círculo

de una región

Los cuerpos en el espacio (objetos tridimensionales), a los que calculamos su volumen.

¿Distancia entre la Tierra y la Luna?

Del tetraedro

Del paralelepípedo

Del cilindro

¿Longitud del ecuador?

De la esfera

Del barril

¿Superficie de la Tierra?

Capacidad del recipiente

También se calculan: las áreas de las superficies (planas o curvas) que los limitan, las longitudes de sus aristas y los contornos rectos o curvos.

D

Cuando medimos el largo, ancho o altura de un objeto estamos midiendo la longitud de las dimensiones de ese objeto. Al medir cada una de estas longitudes lo que hacemos es medir la distancia entre los extremos de un segmento. Por ejemplo, en el dibujo el ancho, el largo y la altura del paralelepípedo, son respectivamente la distancia entre los puntos A y B, B y C, C y D. Asimismo, cuando medimos la distancia entre Barcelona y Maturín, bien sea en línea recta en un mapa o por carretera, la profundidad de un pozo, el perímetro de un polígono o la circunferencia de un círculo, medimos longitudes.

Altura

Calculando las longitudes

C A An

ch

La

o

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B

rg

o

Unidades de longitud La unidad patrón de la longitud es el metro. Se considera la unidad base del Sistema Internacional de Medidas (SI) porque las unidades de superficie, volumen y peso derivan de esta unidad de longitud. Cuando necesitamos medir longitudes muy grandes, por ejemplo, la distancia entre dos ciudades, utilizamos el kilómetro que es un múltiplo del metro, el cual es equivalente a 1 000 m. Si, por el contrario, queremos medir longitudes pequeñas utilizamos submúltiplos del metro como el centímetro o el milímetro equivalentes a 0,01 m y a 0,001 m, respectivamente. Para medidas microscópicas se utiliza la micra o micrón equivalente a una millonésima parte del metro (0,000 001 m) o sea una milésima de milímetro (0,001 mm). Análogamente, para grandes distancias se usa el megámetro equivalente a 1 000 000 m = 1 000 km. Para expresar distancias enormes en astronomía se utiliza el Año Luz, el cual representa la distancia que la luz recorre en un año.

19

pu

a lg

da

s

Otras medidas de longitud Debido a tecnologías importadas y a la influencia del comercio internacional, en nuestro país coexisten junto a las medidas del SI otras medidas como la pulgada, medida inglesa equivalente a 2,54 centímetros que es utilizada para medir, por ejemplo, herramientas como tornillos, llaves, tubos y otros. La milla náutica internacional, también conocida como milla marina, es una medida utilizada para medir distancias en navegación marítima. Su valor está fijado por convención en 1 852 m, valor que se obtiene al dividir la circunferencia aproximada de la Tierra (40 000 km) entre 360 grados y dividir ese resultado entre 60 que es la cantidad de minutos de arco en un grado.

Al referirnos al tamaño de un monitor de computadora o un televisor, lo expresamos en pulgadas (ejemplo: 15”, 19”, 27”), refiriéndonos a la longitud de la diagonal de la pantalla.

A Escala gráfica 0

50 km

C

B

A

100 km

B

D

R

C E

C F 135

E F G

km

D 210 km

Perímetro del polígono= AB + BC + CD + DE + EF+ FA

Longitud de la poligonal= Longitud de la AB + BC + CD + DE + Circunferencia C = 2πR EF+ FG

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Algunos instrumentos utilizados para medir longitudes

Micrómetro o tornillo micrométrico: Instrumento que permite medir con gran precisión longitudes o ángulos muy pequeños.

Odómetro: Instrumento que permite contar la distancia. Ejemplo: El cuentakilómetros de un automóvil.

O

A

B

RETO: En la figura se tienen dos circunferencias concéntricas en O, siendo OB = 9 cm y OA = 3 cm. Determina el perímetro de la zona roja.

Medida de una circunferencia Si queremos conocer la longitud de una circunferencia, un método muy fácil consiste en tomar un pabilo o cinta (inextensible), fijar uno de sus extremos en un punto A de la circunferencia y bordear ésta con el pabilo hasta completar la curva. El punto en el cual el pabilo completa la curva lo marcamos y lo llamamos B. Así obtenemos un segmento AB del pabilo cuya longitud es la longitud de la circunferencia que llamaremos L. Si efectuamos esta operación con diferentes objetos circulares como monedas, discos compactos, ruedas, etc. y observamos los resultados, notaremos que siempre el segmento AB resultante contiene tres veces el diámetro d y sobra un pequeño trozo CB el cual podemos comprobar que es 1 aproximadamente 7 del diámetro. Es decir que la medida de cualquier circunferencia, con respecto a su diámetro d como unidad es la misma; esta constante es el número que conocemos como π (pi). Entonces π es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Es decir π = L/d aproximadamente igual a 3 + 1 = 22 . 7 7 Entonces la longitud de una circunferencia de radio R viene dada por la fórmula L=2 πR.

R d A

d A

d

d C

B

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Calculando áreas El área de una superficie (plana o curva) es una magnitud que mide su extensión superficial con una unidad de medida prefijada. En el Sistema Internacional (SI) la unidad es el metro cuadrado (m2). Igual que para otras magnitudes, en el SI hay múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado, y éstos van de 100 en 100. Un múltiplo muy utilizado es el hectómetro cuadrado (hm2) el cual es empleado para la medición de parcelas de terreno y recibe el nombre de hectárea (ha), y es equivalente a 10 000 m2. Cuando se trata de mediciones referidas a la construcción de una casa recurrimos al metro cuadrado. Si se trata de medir la extensión territorial de un país se emplea el kilómetro cuadrado (km2). Por ejemplo, Venezuela tiene una extensión territorial de 916 445 km2. (Fuente: Imagen de Venezuela,1992, PDVSA)

Pietro Lorenzetti Pintor italiano (c. 1280-1348) Historia de la Beata Humildad La escena representa el acarreo de ladrillos para construir el convento y el hospicio. Para edificar es necesario conocer correctamente las medidas de superficies planas.

La Tierra no es de forma exactamente esférica, pero suponiendo que lo fuese su superficie tiene un área aproximada de A= 4 x (3,14) x (6 367,59)2= 509 260 302,25 km2. De éstos, aproximadamente, 381 945 226,68 km2, (sus 34 partes) están cubiertas de agua. Hemos tomado como aproximación de π el valor 3,14 y como radio de la Tierra, el promedio entre su radio polar (6 356,8 km) y su radio ecuatorial (6 378,38 km). Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

¿Cómo calculamos el área de una figura plana? Armando Barrios Pintor caraqueño (1920-1999) Composición

Existen varias formas para calcular el área de una figura plana. Para algunas figuras tenemos fórmulas; por ejemplo, el área del círculo de radio R viene dada por A=π R2. También existen instrumentos como el planímetro (o integrómetro) mediante los cuales podemos hacer mediciones de áreas. A veces es necesario hacer estimaciones para determinar el área. Esto último ocurre si queremos conocer el área de una finca, de un país o de una región. Asimismo, existen teoremas, como el de Pitágoras, los cuales establecen interesantes relaciones entre áreas. Sin embargo, también se calcula el área de figuras que no son planas. Por ejemplo, el área de la superficie de una esfera de radio R es 4 π R2. Actualmente existen modernos instrumentos digitales para la medición de áreas como los planímetros que se muestran a continuación.

Herón de Alejandría (s. I d.C.) presenta en el libro I de su tratado Las métricas, la fórmula A= s(s-a)(s-b)(s-c) para calcular el área de un triángulo de lados a, b y c, donde s es el semiperímetro, [s= (a+b+c) ]. Esta fórmula se conoce como fórmula 2 de Herón aunque algunos la atribuyen a Arquímedes. El círculo tiene la mayor área entre todas las áreas de regiones limitadas por curvas con una longitud dada. Por ejemplo, si tenemos una cuerda de longitud L =10 m y construimos un triángulo, un cuadrado y un pentágono regular cuyos perímetros sean iguales a 10 m, y también construimos una circunferencia de longitud 10 m, entonces dicho círculo tiene mayor área que los otros tres polígonos. Esta propiedad del círculo fue demostrada por Pappus de Alejandría (s. IV d.C.), quien lo hizo para los polígonos regulares. “De todas las figuras planas de igual perímetro, el círculo es el de mayor área”. Hay una leyenda curiosa en torno de esta propiedad, denominada el problema o la leyenda de Dido relacionada con la fundación de Cartago, la ciudad rival de Roma durante varios siglos: la princesa fenicia Dido desembarcó en las costas del Norte de África y realizó un convenio con el rey del lugar que consistía en canjear sus joyas por un pedazo de terreno, todo aquél que se podía limitar con una piel de toro. Una vez que se aceptó ese convenio, ella cortó la piel del toro en trozos muy delgados uniéndolos entre sí y luego formó una curva cerrada de gran longitud, precisamente en forma de una circunferencia, dentro de la cual construyó la ciudad de Cartago. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

Vamos a mostrar algunas figuras planas y la respectiva fórmula que permite calcular sus áreas.

h

h

b

Todos estos paralelogramos tienen la misma base b, y la misma altura h. Su área viene dada por la fórmula A = bh.

h

b

b

Un caso partícular de paralelogramo es el rectángulo, donde a la base y a la altura se les llama comúnmente largo y ancho.

h

m

l

b

m

A su vez, un caso particular es el cuadrado. En esta figura la base y la altura miden lo mismo y se les llama simplemente lado. Si denotamos el lado por m, el área del cuadrado viene expresada por A= m2.

Otra figura muy conocida es el triángulo. C

D

El área de un triángulo viene dada por A= 12 bh Los triángulos ABC y ABD tienen la misma área puesto que tienen la misma base AB, y la misma altura ya que CD es paralelo a AB.

h A

b

B

Veamos algunas otras figuras planas. C

d d’

El área de un rombo viene dada por A = dd’, donde d y d’ son sus respectivas diagonales.

B

D

E

A

Para calcular el área de un polígono, lo subdividiremos en triángulos, calculamos sus respectivas áreas y las sumamos.

F

Hay figuras planas cuyo contorno no está formado por líneas poligonales y para las cuales existen también fórmulas que permiten calcular su área.

R

El área de un círculo viene dada por A = π R2, donde R es su radio.

W

Si quieres calcular el área de una región W con forma irregular apelamos a la estimación del área, ya que no conocemos ninguna fórmula para hacerlo.

INTERESANTE Utilizando una trenza de longitud L representamos diversos polígonos. De ellos, el cuadrado es el que encierra mayor área.

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¿Cómo calculamos el área de algunas figuras que no son planas? Veamos ahora las áreas de algunas figuras que no son planas. Dado cualquier cuerpo en el espacio podemos preguntarnos cuál es el área de la superficie que conforma el borde o frontera del cuerpo.

Frank Lloyd Wright arquitecto norteamericano (1867-1959) Charles Ennis House, Los Ángeles, EE.UU.

Parelelepípedo

Tetraedro

Cubo

Estas figuras tienen el borde formado por caras. Cada cara es un polígono y ya sabemos calcular áreas de polígonos. Luego basta B

calcular el área de cada cara y sumarlas.

RETO El área del hexágono regular es S. ¿Cuánto es el área del triángulo de vértices ABC?

A

C

Pitágoras de Samos, nació en la primera mitad del siglo VI a.C. en Samos, isla del mar Egeo. Se dice que fue alumno de Tales de Mileto (uno de los Siete Sabios de la Antigüedad). Viajó por Egipto y Babilonia. Su filosofía se basaba en el precepto “todo es número”. Descubrió las progresiones armónicas de la escala musical y a él se debe la tabla de multiplicar. Existen diversas extensiones del Teorema de Pitágoras en las cuales está involucrada la noción de áreas.

2

A

b

2

a

a El Teorema de Pitágoras, el cual B sólo se cumple en triángulos rectángulos, algebraicamente se escribe así: 2 2 2 c =a +b Ordinariamente la interpretación geométrica es como se presenta en la figura, en términos de área de cuadrados.

B

A

b c C

c

2

C = A + B donde A, B y C son las respectivas áreas de los semicírculos.

C

Una forma más general es ésta. El área de S3 se obtiene como la suma de las respectivas áreas de S1 y de S2, suponiendo que las figuras son semejantes.

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S2 S1 S3

Matemática para todos El mundo de las

Fascículo

medidas

Calculando volúmenes

Si tenemos un paquete que a su vez contiene 9 cajitas de fósforos, ese número mide el volumen del paquete considerando la cajita de fósforos como la unidad de medida.

David Teniers Pintor flamenco (1610-1690) El alquimista

dm

1 cm

1

cm

1 cm

1 dm

1

En el sistema Internacional de Medidas (SI), la unidad patrón de longitud es el metro (m), de la que se deriva la unidad de volumen, el metro cúbico (m3). Otras unidades usuales que se utilizan (submúltiplos del m3) son el cm3 y el dm3.

Un cm3 es el volumen de un cubo cuyas aristas miden 1 cm. 1 dm

1 dm3 = 1 000 cm3. El dm3 es el volumen de un cubo cuyas aristas miden 1 dm.

1 dm3 es equivalente a un litro de agua pura a la temperatura de 4 ºC. Litro, centilitro, mililitro, son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes en volumen: 1 m3 =1 000 dm3 = 1 000 l 1 dm3 =1 000 cm3 = 1l 100 cl = 1 000 ml 1 cm3 = 1 ml

6 cm

20

cm

INTERESANTE En varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). También es usual en muchos productos importados: perfumes, cosméticos, medicinas, etc., expresar las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen) en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de fluido). Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 mI); 4,2 fl oz (125 mI) como se lee en las etiquetas de algunos de esos productos. ¿Cuántos mI equivalen a 1 fl oz?

2

2 2

24 cm

RETOS: 1) Toma una cajita de fósforos de las que utilizan en tu casa, que tenga forma de paralelepípedo, y calcula su volumen (en cm3). Calcula el volumen de un paquete con 9 cajitas de fósforos. 2) Calcula el volumen de la caja dibujada tomando como unidad un pequeño cubo de 2 cm de arista.

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Interesante

Sandro Botticelli pintor florentino (1455-1510) San Agustín, fresco donde aparece este santo en su estudio, rodeado de instrumentos astrológicos y libros

Sólidos del espacio con volúmenes iguales y suma de áreas de las superficies que los limitan, distinta.

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

Figuras de un plano con áreas iguales y perímetros distintos.

1 cm

1 cm

1

cm

1 cm

1

Hay varios sólidos para los cuales se conocen fórmulas que determinan sus volúmenes.

cm

4 cuadrados formando un cuadrado

4 cuadrados formando un rectángulo

4 cubos formando un paralelepípedo

4 cubos formando un paralelepípedo

Área = 4 cm2 Perímetro = 8 cm

Área = 4 cm2 Perímetro = 10 cm

Volumen = 4 cm3 Área = 18 cm2

Volumen = 4 cm3 Área = 16 cm2

a Cubo

V = a3 a a a Paralelepípedo

V = lah Sólidos del espacio con volúmenes distintos e suma de áreas de las superficies que los limitan iguales.

h l h

Un cuadrado de lado 12 cm Área = 144 cm2 Perímetro = 48 cm

Cilindro V = πR2h

h

14 cm

R

Un rectángulo de lados 10 cm y 14 cm Área = 140 cm2 Perímetro = 48 cm

1 cm

1

cm

1 cm

1

cm

1 cm

10 cm

1 cm

12 cm

Figuras de un plano con áreas distintas y perímetros iguales.

12 cm

Pirámide Volumen = área de la base.h 3

5 cubos formando un paralelepípedo

6 cubos formando un paralelepípedo

Volumen = 5 cm3 Área de las caras = 22 cm2

Volumen = 6 cm3 Área de las caras = 22 cm2

h R

R

Cono 2 V = (πR h) 3

Esfera V = (4πR2) 3

El matemático griego Zenodoro (siglo II a.C.) escribió un libro en el que uno de sus enunciados se refiere a las esferas. “Entre todos los sólidos con la misma superficie, la esfera es la que encierra mayor volumen”. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

Medidas y tecnología

Motor 4 cilindros

La energía generada por el motor de un vehículo hace que las ruedas giren y por ello éste se mueve. Los motores usuales son los de combustión interna en donde el combustible (la gasolina) se quema dentro de los cilindros (en la cámara de combustión). Esa combustión, la "explosión" de la mezcla de combustible con aire (motor de explosión), produce una energía que hace girar un eje, el eje-cigüeñal, y dicho movimiento de rotación se transmite a las ruedas que hacen desplazar el vehículo y éste se mueve. Es frecuente leer en las partes traseras de los vehículos números y siglas como las siguientes: 1.3, 1.6, 2.0 L, 4.0 L, 16V, entre otros. ¿Qué significan esos números? Ellos se refieren a la cilindrada del vehículo, esto es, al volumen útil de los cilindros. Por ejemplo, un vehículo tiene las siguientes especificaciones técnicas en su manual: Motor 1.6 L Cilindros 4 en línea Válvulas 2 por cilindro Cámara de combustión Diámetro de los cilindros 82,07 mm Carrera 75,48 mm Cilindrada 1 597 cm3 Calculando el volumen de cada cilindro, resulta V=πR2h: 8,207 cm 2 V= 3,1416 • • 7,548 cm ≈ 399,29 cm3 luego 4V ≈ 2 3 1 597 cm , cilindrada especificada en el manual. En la inscripción de la parte trasera del automóvil se lee 1.6, lo que indica 1,6 litros = 1 600 cm3 con el fin práctico de no escribir tantos números.

Carrera

Hay vehículos con 4 válvulas por cilindro (total 16 válvulas si son 4 cilindros) y otros con 24 válvulas y 6 cilindros. Este Ferrari de 1944 tenía 24 cilindros y 48 válvulas.

b=2

h=6

a=

4

h

a

Pistón

Transmisión

A mayor cilindrada hay mayor consumo de combustible y por ende más combustión. Lo que implica más energía generada.

Las fuentes principales para el conocimiento de la matemática egipcia de la época de los faraones son los papiros, entre los que se encuentra el denominado papiro Rhind, escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. Otro de estos importantes documentos es el papiro Golenischev o papiro de Moscú, así llamado por conservarse en el Museo de Artes de Moscú. Este papiro fue escrito hacia el año 1850 a.C. por un escriba desconocido y contiene 25 ejemplos o problemas, la mayoría relacionados con la vida práctica. La resolución del problema 14 del papiro de Moscú es digna de admiración cuando nos situamos en esa época tan lejana de la actual: se trata de determinar el volumen de una pirámide truncada con bases cuadradas, la cual tiene por dimensiones 6 unidades de altura, con dos bases cuadradas cuyos lados miden, respectivamente, 4 y 2 unidades. La respuesta dada en ese papiro es 56, lo que efectivamente coincide cuando hoy en día aplicamos la fórmula: (a 2 +ab+b 2 )h V= 3 para calcular tal volumen de manera general. En el caso del papiro de Moscú se tiene h=6, a=4, b=2. ¿Cómo obtuvieron el resultado los egipcios? ¿Era conocida esa fórmula de manera general? No se sabe cuál fue el método empleado por ellos aún cuando se han dado diversas explicaciones. Observa que si b=0 se tiene una pirámide de base cuadrada, cuyo volumen V resulta igual a a 2 h, es decir, área de la base • altura. 3

3

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Medidas y geografía El Ecuador terrestre mide 40 056,23 km (el radio ecuatorial es 6 378,38 km). El meridiano de Greenwich mide 39 920,70 km (el radio polar es 6 356,80 km). Observa que esas longitudes indican que la Tierra es más achatada en los polos que en el Ecuador. El promedio de esos dos radios es 6 367,59 km. Por lo tanto, suponiendo que la Tierra sea de forma esférica con radio igual a 6 367,59 km, podemos calcular su volumen: Volumen = 4π (radio)3 ≈ 4 • 3,14 • (6 367,59)3 km3 ≈ 1 080 920,27 millones de 3 3 km3. Volumen ≈ 1 080,1 millardos de km3.

Para tener idea de esas medidas, comparemos con el volumen del Sol que es 1 301 503 veces el volumen de la Tierra y éste a su vez es 49 veces el de la Luna (aproximadamente).

Alejandría

Asuán

El primero que realizó el cálculo de la circunferencia terrestre (circunferencia máxima) bastante aproximado a lo conocido hoy en día, fue el griego Eratóstenes, bibliotecario de Alejandría (Egipto). Eratóstenes determinó como medida de la circunferencia 250 000 estadios, referida a la que pasa por las ciudades de Alejandría y Siena (ahora Asuán, en Egipto). El estadio era una medida antigua y el que posiblemente utilizó Eratóstenes fue el estadio egipcio, cuyo valor es 157,50 m. Por lo tanto, 250 000 estadios = 250 000 • 157,50 m = 39 375 000 m = 39 375 km , valor próximo del conocido actualmente. N

Alejandría

7,2º Ra

RETO: Construye dos triángulos distintos que tengan la misma base e igual altura, pero con perímetros distintos. ¿Qué concluyes?

yo

o ss

lar

es

Siena (Asuán)

7,2º

S

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Eratóstenes Matemático, geógrafo y astrónomo griego (s. III - s. II a.C)

360º = 50 • 7,20º De Siena a Alejandría hay 5 000 estadios. 5 000 • 50 estadios = 250 000 estadios.

Medidas y ciencia La Física estudia la materia, desde partículas tan diminutas como los electrones y los quarks hasta cuerpos tan grandes como las galaxias y el universo entero, por lo tanto, existe un rango enorme de medidas de las regiones que conforman el espacio conocido por la ciencia. Por ejemplo, en la figura se representan en forma esquemática diferentes longitudes (distancias o tamaños) de objetos. La escala que se utiliza no es lineal, pues se expresa en potencias de diez y existe un factor de 104 entre datos sucesivos de la escala. También se puede notar que entre las cosas más pequeñas y las más grandes existe un rango del orden de 1041. Las partículas más pequeñas y los cuerpos más grandes son diferentes en tamaño por más de 40 órdenes de magnitud. En este rango existe una pequeña porción de distancias en la que vivimos y que nuestros sentidos pueden apreciar con facilidad. ¿Cuál es este rango? Al responder a esta interrogante es posible afirmar que nuestro conocimiento acerca del universo se va desarrollando en la medida en que los científicos han diseñado y construido instrumentos y técnicas que permiten medir magnitudes y que amplían el trabajo de nuestros sentidos. Estas ideas se comprenden mejor si se realiza una exploración visual del dominio de la física en su intento por desarrollar una visión del tamaño relativo de los objetos del ambiente. La invitación consiste en emprender un viaje fantástico, iniciándose desde lo familiar, es decir, considerando la escala humana. Durante el viaje te puedes dirigir hacia lo muy grande (macrocosmos) o descender hacia lo muy pequeño (microcosmos). Cierra tus ojos e intenta viajar comprando para ello un boleto a tu imaginación.

1024

Frontera del universo observable ≈ 1024 m

1020

Diámetro de nuestra galaxia ≈ 7,6 x 1020 m

1016

Distancia a la estrella más cercana ≈ 4 x 1016 m

1012

108

Distancia Tierra-Sol ≈ 1,5 x 1011 m

Distancia Tierra-Luna ≈ 108 m Radio de la Tierra ≈ 6 x 106 m

104

Altura del pico Bolívar ≈ 5 x 103 m Altura de una persona ≈ 1,7 m

100 Diámetro de cien bolívares ≈ 2,5 x 10-2 m

10-4

u

u

d

u u

d

d u

u

d

10-8

d

d

d

Diámetro del átomo ≈ 1 x 10-10 m

d

u

u u

Diámetro de un glóbulo rojo de la sangre ≈ 10-5 m Longitud de onda de la luz visible ≈ 5 x 10-7 m

d

u u

d

d u

d

10-12

Diámetro del protón ≈ 2 x 10-15 m -16 10

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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Áreas Para que los niños se formen una idea clara de lo que es el área, de las fórmulas que se utilizan para calcularla y de las unidades en que se expresa, es conveniente hacerles vivir la experiencia de medir el tamaño de una superficie con un pedazo de cartón de base cuadrada, que podría ser de un decímetro por lado, para medir la superficie de una hoja de papel, de una mesa rectangular o del pupitre. Al medir el tamaño de diferentes superficies rectangulares, se van dando cuenta de que el área depende de las longitudes de los lados. Luego se puede plantear la situación de dibujar en el cuaderno diferentes rectángulos que tengan de área 24 cuadraditos. Así representarán rectángulos de lados de 8 y 3, 4 y 6, 12 y 2, 24 y 1, para llegar a concluir que en todos estos casos el área es el producto del largo por el ancho, o también de la base por la altura.

6 8

12

3 2 4

24

1

Área de un triángulo

Área de un paralelogramo

Experimentalmente verificamos la fórmula del área de los triángulos. A un cartón de base rectangular cuya área es a x b se le traza una de las diagonales, obteniéndose dos triángulos iguales. Por tanto, el área de cada uno de estos triángulos es (a x b) 2 En general, se puede demostrar que el área de un triángulo es (base x altura) 2

Con un pedazo de cartón de base rectangular se puede “ver” cómo calcular el área de un paralelogramo y el de un trapecio.

N

Verifiquemos esta fórmula en las siguientes situaciones: Represente en un papel un triángulo isósceles, uno escaleno, o uno equilátero llamados ABC. Si trazamos una paralela a la base AC en la mitad (M) de la altura del triángulo, se puede comprobar que los triángulos coloreados C’MB y A’MB corresponden a los triángulos C’XA y A’YC respectivamente. Estas dos últimas figuras agregadas a la parte blanca (AC’A’C) del triángulo completan un rectángulo, el cual tiene la misma base y la mitad de la altura de los respectivos triángulos ABC.

En este caso se observa un paralelogramo no rectángulo y su área sigue siendo base por altura.

N

b h N

B

Del cartón de base rectangular se corta un pedazo triangular N que se coloca en otras posiciones como las indicadas más abajo.

a (a+b) x h 2

En este caso se tiene un trapecio de igual área que la del rectángulo de donde proviene y se puede comprobar que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por su altura.

B M

X C’

A

Y A’

X

C A

C’

M

A’

Y

A partir de estas experiencias se pueden proponer problemas de cálculo de áreas.

C

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Tengo que pensarlo Imagina que dispones de una cinta métrica y de una foto de un edificio de gran altura. ¿Cómo harías para determinar su altura sin tener que subirte piso por piso? C

D

El cubo de la figura tiene un volumen de 27 cm3. ¿Cuánto es el área del rectángulo rojo ABCD?

Tres pelotas de tenis están estrechamente empaquetadas en una caja cilíndrica, como se muestra en la figura. ¿Qué fracción de volumen de la caja está ocupada por las pelotas de tenis?

A

B

¿Cuánto mide el área de color anaranjado –comprendida entre los dos cuadrados– sabiendo que el radio de la circunferencia es 2 cm?

Todos conocemos la obra de Leonardo da Vinci La Monalisa o La Gioconda. Se sabe que las dimensiones del lienzo son 77 cm de altura y 53 cm de ancho. Si la dama de la pintura tuviera los brazos extendidos horizontalmente (1,70 m de longitud real) y Leonardo mantuviera la proporcionalidad del dibujo, ¿qué superficie mínima debería tener el lienzo?

1,70 m

Bibliografía Chamorro, Carmen y Juan Belmonte (1994). El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº 17. Editorial Síntesis, Madrid, España. Gaceta Oficial de la República de Venezuela. Extraordinario Nº 2.823, 14 de julio de 1981. Rodríguez, Leonardo (2000). Pesos y medidas antiguas de Venezuela. Fondo Editorial Tropykos, Caracas, Venezuela.

Páginas web http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm http://lectura.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/curso1/htmlb/sec_49.html

Resultados

El área del rectángulo es ≈ 12,72 cm2. Las pelotas ocupan 23 de la caja. El área de color anaranjado es 8 cm2. La superficie mínima del lienzo es de ≈ 4,2 m2. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

Luis Báez Duarte

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1938. Realizó sus estudios en el Instituto de Tecnología de California (Caltech), donde obtuvo con honores el BSc. en Matemáticas, en 1959. Luego, en esa misma institución, obtuvo el PhD en matemáticas en 1965. El doctor Báez Duarte ha sido profesor de la Universidad de California y del Instituto Tecnológico de Massachusetts y fue fundador del departamento de matemáticas del IVIC, donde se mantiene como colaborador visitante desde 1990. Le fue conferido el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en 1999.

Luis Báez Duarte ha centrado su trabajo de investigación en la búsqueda de la solución a uno de los problemas más famosos de la matemática en la actualidad, quizás el más famoso. Se trata de la Hipótesis de Riemann, RH, la cual fue planteada por el matemático alemán Bernard Riemann durante la segunda mitad del siglo XIX y nos dice, hablando de una manera muy informal desde el punto de vista matemático, dónde se piensa que están ubicados los valores que anulan una cierta función (los ceros de la función), definida en los números complejos. Esta función se conoce hoy en día como la función Zeta de Riemann. La verdad de esta conjetura está conectada con el fascinante problema de la distribución de los números primos dentro del conjunto de los números enteros. Hoy en día hay muchos resultados matemáticos importantes, cuya verdad depende de la veracidad de la Hipótesis de Riemann.

Fotografía: Carlos Rivodó

Varios matemáticos importantes del siglo XX han intentado resolver este problema sin éxito. En el mejor de los casos han logrado encontrar reformulaciones de la Hipótesis, es decir, han logrado plantear otros problemas cuya solución implicaría la solución de RH y viceversa, la solución de RH implicaría la solución de estos problemas. Esta es una técnica muy común en Matemáticas y rinde sus máximos beneficios cuando se puede lograr una reformulación equivalente al problema original, pero más sencilla de resolver. Algo similar a esto se logró hacer con éxito recientemente con el famoso Teorema de Fermat, cuya solución requirió esfuerzos por más de trescientos años y el hecho de haberla logrado, produjo un gran impacto en el mundo desde un punto de vista noticioso, además del correspondiente impacto en la comunidad matemática. Volviendo a RH, el Dr. Báez Duarte es autor de algunas de las reformulaciones mencionadas, una de las cuales, según expertos en la materia, parece particularmente esperanzadora. Se puede consultar en el sitio http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHreformulations.htm. En el camino a la búsqueda de la solución de RH el Dr. Báez Duarte ha logrado interesantes aportes a la matemática, particularmente en el área de Teoría de Números. Esta rama de la matemática ha sido considerada históricamente como una de las más puras, sin embargo con el desarrollo de los computadores, se están utilizando muchos de sus resultados en la codificación de mensajes, dando origen al fascinante mundo de la criptografía. * El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Matemática para todos Fascículo

El mundo de las

Medidas I

medidas

“Si uno logra medir lo que está diciendo y lo puede expresar en números, es que sabe lo que dice; pero si no lo puede expresar con números es que el conocimiento que tiene de ello es escaso e insatisfactorio.”

Sir William Thomson -Lord Kelvin- (1824-1907) Físico británico. Su nombre está asociado con la unidad de temperatura absoluta.

Medir viene de mensura (metiri). Protágoras de Abdera, filósofo griego (s. V a.C.) escribió un tratado, Sobre el ser, en que afirma que “el hombre es la medida de todas las cosas” (el homo mensura). Medir como proceso es determinar el valor de magnitudes mediante la comparación con una magnitud de la misma especie, tomada como patrón o unidad.

El esquema geométrico, realizado por Leonardo da Vinci, de un hombre inscrito en un cuadrado y en el que escribió “Si abres las piernas hasta reducir tu altura en una decimocuarta parte, y si extiendes y levantas los brazos hasta que los dedos corazón lleguen al nivel de la cima de la cabeza, verás que el centro de los miembros extendidos se halla en el ombligo, y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero”. La concepción de Leonardo se inspira en el canon de Vitruvio (arquitecto romano, s. I a.C., quien hizo uso práctico de la matemática) en sus Diez libros de Arquitectura. En el Libro III analizó las dimensiones humanas y escribió las proporciones ideales que 1 1 debería tener un hombre “La cabeza es 8 de la estatura, la cara es 10 y el pie es 16 . La mano es igual a una 1 cara y el codo (antebrazo más mano) es igual a dos cabezas, o sea 4 de la estatura. En fin, la brazada representa la altura del hombre”.

Leonardo da Vinci Italia 1452-1519

Descubriendo las medidas

Las respuestas a estas preguntas involucran un proceso de medición

¡A ver! ... ¡A ver! ¿Qué es medir?

Medir es determinar una magnitud comparándola con una unidad prefijada llamada unidad patrón o fundamental. El número de calzado que usas, tu estatura, tu peso, tu edad. Todos estos números son medidas.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

¿Qué cosas podemos medir? Muchas cosas podemos medir, por ejemplo, el área de un piso. Por medición entendemos el proceso mediante el cual asignamos un número a una magnitud. También podemos medir el agua que sale por un grifo abierto, el peso que levanta una máquina, la longitud de una carretera.

¡CUIDADO! No todas las cosas son susceptibles de ser medidas. Por ejemplo, ¿qué número podemos asignarle a la belleza de una flor? Tampoco todo número proviene de la medida de alguna magnitud, por ejemplo: el número de un jugador de béisbol no refleja ningún rasgo particular de su persona. Igual ocurre con los números de las cédulas de identidad o con la placa de un carro.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

Descubriendo las medidas ¿Pero, cómo medimos?

Ayer me midieron en la escuela y mi estatura es 1,60 m. ¿Pero, cómo mediremos la distancia de la Tierra a la Luna?

¿Cuál será mi peso? RETO Conociendo la longitud de un paso tuyo ¿podrías estimar la longitud que recorrerías si das un millón de pasos? ¿Será tan grande como la distancia que hay de Barcelona a Barquisimeto?

A lo largo de la historia el hombre ha venido empleando diversos tipos de sistemas de unidades. Éstos están íntimamente relacionados con la condición histórica de los pueblos que las crearon, las adoptaron o las impusieron a otras culturas.

El primer intento de unificación de las medidas lo constituyó el uso de medidas basadas en el cuerpo humano. Por ejemplo, el “codo” era la distancia desde el codo humano hasta el extremo del dedo medio. Estas medidas distaban de ser exactas, porque no todos los seres humanos tenemos las mismas dimensiones. En la Biblia se dice respecto de las proporciones que debía tener el Arca de Noé: “La fabricarás de esta manera: trescientos codos será la longitud del arca, cincuenta codos su anchura, y treinta codos su altura”. (Génesis: 6,15) Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

Los romanos terminaron por adoptar un sistema de unidades para todo el imperio. Hicieron un peso que llamaron “libra” y una barra de bronce que llamaron “pie”, para medir pesos y longitudes respectivamente. Por primera vez, el mundo tenía una sola manera de pesar y medir. A la caída del Imperio Romano (476 d.C.) volvió la desorganización en las medidas que se usaban en diversos países. Así, en un lugar una libra podía ser unas 13 onzas, mientras que en otro eran 20 onzas; o un pie podía representar en un país una medida y en otro ser el doble de esa medida.

La “milla” era una medida romana cuyo nombre significaba mil pasos, mille passuum, aunque se trataba en realidad de dos mil pasos, porque cada uno de ellos era un avance que consistía en el movimiento que se realiza desde

Co

do

Passuum

una posición hasta que se vuelve a colocar el mismo pie en el suelo.

Mano

Paso

Pie

La yarda fue establecida para toda Inglaterra como la distancia existente desde la nariz hasta el pulgar del rey Enrique I. En Inglaterra, el parlamento fijó ciertas medidas de peso y longitud en términos de granos de trigo y de cebada. Así, 35 granos de trigo formaban un “escrúpulo” y 3 granos de cebada puestos en fila, constituían una “pulgada”. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

Descubriendo las medidas ¿Qué es el metro? En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la encargada por la Asamblea Nacional Francesa, a propuesta de Talleyrand y Prieur, de establecer un sistema unificado de medidas, de aplicación sencilla, lo que culminó el 19 de marzo de 1791 con la definición del Sistema Métrico Decimal a partir de las propuestas de dos comisiones. La unidad de longitud, el metro, se definió igual a la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre. Delambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano terrestre que pasa por París, comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich en Barcelona. A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otras unidades: las de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad. Por ejemplo, el gramo se definió, para la época, como el peso de la masa de un centímetro cúbico de agua destilada, pesada en el vacío, a la temperatura de 4 °C. Charles Maurice de Talleyrand Político francés, 1754-1838

Academia Francesa de Ciencias

RETO Conociendo que el diámetro máximo de la Tierra es 12 756,76 kilómetros. ¿Podrías estimar cuántas personas se necesitan para que, con los brazos extendidos, abracen la Tierra por el Ecuador?

El Sistema Internacional (SI) es un sistema de unidades de medidas que utiliza siete magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia, cuyas unidades fundamentales son: el metro, el kilogramo, el segundo, el amperio, el kelvin, la candela y el mol. A partir de esas siete unidades, se definen las derivadas (coulomb, joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), y otras suplementarias de las últimas. José Tadeo Monagas (1784-1868) Presidente de la República de Venezuela desde 1847 hasta el año 1851 y luego desde 1855 hasta 1858.

En Venezuela, por ley del Congreso de fecha 13 de febrero de 1857, se adoptó el Sistema Métrico Decimal, poniéndole el ejecútese el entonces Presidente de la República, general José Tadeo Monagas. Nuestro país figura en el quinto lugar entre los primeros que adoptaron este sistema. Antes lo habían adoptado Holanda y Bélgica en 1821; Grecia en 1836 e Italia en 1853. La obligatoriedad de uso quedó establecida el 18 de mayo de 1912, por decreto firmado por el general Juan Vicente Gómez. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

2

Sistema métrico decimal

3

8

4

9

7

10

1

Es un sistema porque es un conjunto de medidas relacionadas; es métrico porque su unidad fundamental es el metro; y es decimal porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencias de 10.

5 6

A continuación se muestra una tabla que indica algunos múltiplos y submúltiplos para medir longitudes, así como algunas equivalencias entre ellos. Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: deci para diez; centi para cien; mili para mil y así sucesivamente. Mientras, que para los múltiplos se estableció el uso de prefijos griegos: deca para diez, hecto para cien, kilo para mil, etc.

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

Símbolo km hm dam m dm cm mm

Oficina Internacional de Pesos y Medidas. Donde se conservan los patrones del metro y el kilogramo del sistema métrico decimal. Sèvres, Francia.

Algunas equivalencias 1 km =1 000 m = 100 dam = 10 hm 1hm = 0,1 km = 10 dam = 100 m 1 dam = 10 m = 100 dm = 0,1 hm 1 dm = 0,1 m = 1 cm = 1 mm =

Trata de completar los espacios vacíos de la tabla Una manera de ver la relación entre el metro, sus múltiplos y sus submúltlipos, es la siguiente:

km

,

1

hm

,

0

dam

,

2

m

,

6

dm

,

1

cm

,

0

mm

,

7

,

1,026107 km = 10,26107 hm = 1 026,107 m = 10 261,07 dm Imagínate que vas desplazando la coma en el cuadro superior. Así se obtienen las medidas expresadas en la línea que está debajo del cuadro. ¿Qué justifica la presencia de los múltiplos y submúltiplos del metro? Si deseamos reparar una mesa a la cual se le ha roto una pata y deseamos sustituirla, para medir la longitud de la pata nos basta que esta longitud esté expresada en centímetros, no son adecuados, por ejemplo, los kilómetros. Mientras que si deseamos viajar de Caracas a Valencia lo conveniente es expresar en kilómetros la distancia que separa ambas ciudades. Raúl Leoni (1905-1972) Presidente de la República de Venezuela desde 1964 hasta el año 1969

El Sistema Internacional de Medidas fue establecido en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en 1960 y fue adoptado por Venezuela en la Gaceta Oficial Nº 27.919 del 25 de diciembre de 1964, durante el gobierno de Raúl Leoni. Las unidades de medida de este sistema fueron publicadas en la Gaceta Oficial Nº 2.823 Extraordinario del 14 de julio de 1981. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

¿Cómo se mide ? ¿Cómo calculamos el volumen de esta pelota? ¿Cómo calculamos el radio de la circunferencia ecuatorial si no podemos medirlo directamente? ¿Cómo calculamos la longitud de esta rama? ¿Cómo calculamos el área de la estrella? ¿Cuál de estas tres líneas tiene mayor longitud?; y de los segmentos AB y CD, ¿cuál es el más largo?

Ecuador

A

C

n

io

di c

c er m e

u d s e n e c e s it

ra h a

D

Si disponemos de fórmulas que permiten calcular medidas, ¿cómo se obtienen y cómo se utilizan?

da n it

a

Pa

et u n a d e r mi n a

ag

Utilizar instrumentos de medida o fórmulas

es

de

m

Disponer de un sistema de medida para esa magnitud

B

Por ejemplo: (base x altura) área = 2 Longitud de una circunferencia= 2πR 3 Volumen de una esfera = 4πR 3 (donde R es el radio y π ≈ 3,14)

Si no disponemos de fórmulas o no las conocemos, ¿qué podemos hacer para calcular los volúmenes o las capacidades de todos estos recipientes?

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Matemática para todos El mundo de las

Fascículo

medidas

En el proceso de medir magnitudes intervienen los instrumentos (aparatos) de medida. Algunos de estos instrumentos son los mostrados a continuación:

Regla graduada para medir longitudes.

Vernier (calibrador o pie de rey) para medir longitudes apreciando milímetros y décimas de milímetro.

Reloj para medir el tiempo.

Termómetro para medir temperaturas.

Peso para medir masa.

Para ciertas mediciones existen hoy en día instrumentos de precisión utilizados en la industria y laboratorios para estudios científicos. Por ejemplo: balanza electrónica, osciloscopio, cronómetro, contador de vueltas, entre otros. Vasos graduados para medir capacidades.

Osciloscopio

Cronómetro

INTERESANTE ¿Cómo medir el diámetro de una esfera? Una forma práctica de construir un instrumento de tipo casero con el que realizamos tal medida consiste en tomar dos partes planas de cartón grueso o de madera, de la misma forma (por ejemplo cuadrada o rectangular), con cuatro tornillos largos de igual longitud y tuercas móviles (tipo mariposa), pasando por agujeros hechos previamente en las esquinas. Se coloca la esfera entre esas dos partes planas y luego con una regla graduada u otro instrumento se mide la distancia interior entre los dos cartones. Esta medida da una aproximación del diámetro de la esfera. El instrumento de medida así construido se denomina esferómetro. Los hay construidos industrialmente. Con él puedes realizar otras mediciones. Johannes Kepler Astrónomo y matemático alemán (1571-1630)

Kepler estudió el problema de determinar el volumen de diversos toneles de vino, buscando calcular las dimensiones más adecuadas, con el fin de emplear un mínimo de material para obtener igual capacidad. Ese estudio lo llevó a cabo en una de sus obras famosas titulada Nova stereometría doliorum vinariorum, un año que hubo una cosecha abundante de uva (1615). Sin embargo, Kepler es más conocido por sus tres célebres leyes acerca del movimiento de los planetas. Las dos primeras de estas leyes las anunció en 1609 en su obra Astronomia nova (publicada después de seis años de investigaciones); la segunda, ley de las áreas, reza así: el segmento de recta que une el centro del Sol con el centro de un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

B A

Las partes sombreadas tienen la misma área si el planeta tarda el mismo tiempo para ir desde A hasta B y desde C hasta D.

Sol

C

Planeta D

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Fórmulas y propiedades que permiten determinar medidas Para calcular el área de regiones planas como la de un rectángulo, un triángulo, un círculo, etc. y el volumen de ciertos sólidos del espacio como un cubo, un cilindro, una esfera, un cono, etc., se utilizan fórmulas. Esas áreas y volúmenes no se calculan directamente puesto que previamente se deben medir ciertas magnitudes de esas regiones planas o de esos sólidos.

1

altura

b

a base Rectángulo Área= a x b

Triángulo Área =

base x altura 2

Italia

R

H

R

Torre inclinada de Pisa

R Circunferencia Longitud= 2πR Círculo Área = πR2

Cilindro Volumen= πR2H

Esfera sólida 3 Volumen = 4πR 3

A

B

En una poligonal ABCDE, su longitud es la suma de las longitudes de los segmentos AB, BC, CD y DE. En este caso estamos aplicando una propiedad (un teorema) matemática. En el dibujo esas longitudes son respectivamente, 2 cm; 1,5 cm; 2,4 cm y 3 cm, por lo que la poligonal mide: 2 cm + 1,5 cm + 2,4 cm + 3 cm = 8,9 cm

2 3

Tales, el primero de los Siete Sabios de Grecia, calculó la altura de la gran pirámide de Keops sin medirla directamente y para ello se valió de un teorema que lleva su nombre. En la historia de la matemática se indica que Tales procedió como sigue: sea H la altura de la pirámide que se quiere calcular; se coloca un bastón verticalmente en la extremidad de la sombra arrojada por la pirámide. Las distancias S y d son respectivamente las longitudes de las sombras de la pirámide y de la estaca. Mediante el teorema de Tales se puede demostrar la siguiente igualdad H= D dx h , siendo D = base + S. Esa igualdad permite calcular H 2 conociendo la base de la pirámide cuadrangular, la sombra S de la pirámide, la altura h del bastón y la sombra del bastón. En su d tiempo, la gran pirámide medía 227 m de lado y 146,5 m de altura.

E

C D Tales (s. VI a.C.)

Matemático y filósofo, nacido en Mileto, Grecia

H

S h

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base

En la medición de características o atributos de los objetos pueden ejecutarse uno o más procesos básicos y acciones como los especificados a continuación, entre otros:

Comparar Cuando establecemos una medida lo que hacemos es comparar con un patrón elegido como unidad.

Unidad de área Unidad de volumen

15 unidades de área

16 unidades de volumen

Juntar o agregar Calculamos medidas de objetos juntando (reuniendo) otros objetos que se solapen.

y 100 cm3

Separar

+

=

100 cm3

200 cm3

2m

Calculamos medidas de objetos que sólo se solapen, separándolos en otros objetos. 5m

A1

4m

A2

A

10 m

2m A3 5m

Área A = área A1 + área A2 + área A3 4m

4m

10 m

10 m

Clasificar Se agrupan objetos con igual medida en clases y subclases, para lo que se utilizan frases: “tan largo como”, “tan pesado como”, “con volúmenes iguales”, etc.

3H H R iguales de largo

la misma estatura

R

Volúmenes o capacidades iguales

Para la misma época de Kepler, 1609, Galileo Galilei indagaba acerca del universo e inventó el anteojo astronómico que

Galileo Galilei Físico, matemático y astrónomo italiano (1564-1642)

revolucionó la observación de los cuerpos celestes.

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Centro Mundial de Investigación en Física de Partículas CERN. El mayor acelerador de partículas está enterrado en un gran anillo profundo en la frontera franco-suiza.

Medida, ciencia y tecnología

¿Por qué los aceleradores de partículas son tan grandes y circulares? El campo magnético cambia la dirección de partículas cargadas.

Poniendo varios magnetos en un círculo, las partículas vuelven al inicio, donde se les da un nuevo impulso, por lo que toman velocidades impresionantes. Magnetos fuerzan a las partículas a dar un movimiento circular

Explorar el Universo, lo “infinitamente grande” (distancia de la Tierra a Marte) y lo “infinitamente pequeño” (masa del electrón), ocupa a muchos científicos en el mundo que trabajan de manera mancomunada. Estas exploraciones se hacen en laboratorios, entre los que se destaca el Centro Mundial de Investigación en Física de Partículas CERN (Ginebra, Suiza). Si nos preguntamos por qué se estudian las partículas, la respuesta es: porque estamos constituidos por ellas al igual que todo el Universo. Algunas de estas partículas, los electrones, los protones, los quarks, tienen masa, energía, ejercen fuerzas entre ellas, etc. Así que su estudio permite descifrar los secretos de la materia. Para tener idea de lo extraordinariamente pequeñas que son estas partículas mencionaremos que el electrón tiene una masa del orden de 10-31 kg (30 ceros después de la coma decimal: 0,0000000000000000000000000000001 kg) y aún más pequeños son los u d quarks. En este esfuerzo conjunto de investigación se creó el CERN (1954), en el que actualmente u d u d trabajan más de 1.000 físicos, u u d d ingenieros y científicos, y sus u d d d instalaciones son utilizadas por u u cerca de 6.500 científicos de unas u d 500 universidades. Los trabajos científicos que allí se realizan son útiles en la industria, u d la medicina, la investigación y para u d ello se valen del mayor acelerador de partículas que existe, construido en la frontera Franco-Suiza, el cual mide 27 km de circunferencia, enterrado en un túnel profundo, Los átomos están constituidos de electrones algunas de cuyas instalaciones están a casi 100 m de profundidad. girando alrededor de un núcleo Allí se colisionan y detectan partículas, y se miden diversas que está formado por protones magnitudes con instrumentos de gran y neutrones precisión, por ejemplo, calorímetros que miden la energía. los cuales a su vez están formados de quarks, quarks hacia Sus investigadores buscan responder arriba y quarks hacia abajo, que son el límite de nuestro preguntas fundamentales de la conocimiento actual. naturaleza: ¿Qué es la materia? ¿Cuál es su origen? ¿Cómo permanece unida formando objetos tan complicados como las estrellas, los planetas o los seres humanos? Esos investigadores intentan comprender la evolución del Universo desde hace 15 000 millones de años hasta nuestros días. u

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Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

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Tengo que pensarlo El hombre más alto en los anales de la medicina fue Robert Wadlow (EE.UU.). Cuando se comprobó su estatura en junio de 1940, poco antes de su muerte, medía 2,72 m. El mayor peso que llegó a registrar fue de 222,71 kg al cumplir los 21 años y cuando murió pesaba 199 kg. Sus manos medían 47 cm desde la muñeca a la punta del dedo medio y del extremo de un brazo al del otro medía 2,88 m. ¿Cuántos hombres de la estatura del Sr. Wadlow se necesitarían para alcanzar la altura del salto de agua más alto del mundo, el Salto Ángel ubicado en Venezuela, que tiene 979 m?

Con muchas pesas Es posible pesar cualquier objeto que pese entre 1 y 255 unidades (sólo valen cantidades enteras) usando pesas que valen 1, 2, 4, 8, 16, ....., 128 ¿Cómo lo harías?

La moneda falsa Se tienen 9 monedas de idéntico aspecto, y sabemos que una de ellas es falsa, y que por ello pesa menos que cualquiera de las auténticas. Para identificar cuál de ellas es falsa bastan dos pesadas. ¿Cómo lo harías? ¿Qué ocurre si en lugar de 9 monedas, tenemos originalmente 13 monedas?

El timbre postal El timbre más pequeño que se conoce mide 8 mm x 9,5 mm. Este timbre fue editado en Colombia en el año 1963 y lleva impreso el rostro de Simón Bolívar. Podrías estimar ¿cuántos timbres harían falta para cubrir la cuarta parte de la superficie de un sobre de tamaño 20 cm x 10 cm?

Los botellones Se dispone de tres botellas de agua, que contienen 8, 5 y 3 litros, respectivamente. La de 8 litros está llena y las otras están vacías. ¿Cómo se pueden compartir los 8 litros de agua en dos partes iguales utilizando solamente estas tres botellas?

5 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

3

Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Aprender a medir La enseñanza y el aprendizaje de la medición no pueden reducirse a la mera asignación numérica de una magnitud con instrumentos sofisticados. El desarrollo de contenidos relacionados con sistemas de medidas debe ser orientado para favorecer en los niños la comprensión y el desarrollo de procesos y conceptos presentes en la medición. La construcción del concepto de magnitud se refiere, entre otros aspectos, a abstraer en el objeto o en un fenómeno la magnitud concreta susceptible de medir. Por ejemplo, es recomendable desarrollar actividades que conduzcan al niño a pasar del reconocimiento en un objeto de atributos como el largo, ancho, alto, profundidad, espesor, etc., al reconocimiento de la magnitud abstracta que la envuelve y relaciona a todas ellas, que en este caso corresponde a la longitud. El proceso de medir magnitudes está presente en muchas situaciones de la vida cotidiana. El niño mide desde muy temprana edad y de manera muy intuitiva. Posteriormente, en el ámbito formal de la escuela, es necesario propiciar la comprensión de la medición y explorar las implicaciones de ésta en la actividad científica, tecnológica y manufacturera. Es importante, además, concientizar a los estudiantes acerca de los procedimientos implicados en la construcción del concepto de medida, tales como: observación, estimación, comparación, clasificación, comunicación, entre otros. En este sentido, es recomendable que los maestros comiencen por explorar las ideas que tienen los estudiantes acerca de medir. Así resultaría interesante presentar situaciones concretas, por ejemplo, que los alumnos estimen y determinen la longitud del ancho y largo de una mesa, en las cuales tengan que medir sin utilizar instrumentos convencionales de medida (una regla o una cinta métrica) y que registren los resultados de sus mediciones en una tabla que esté a la vista de todos. Es probable que en esta experiencia se utilicen algunos patrones como: "una cuarta", "un pie", "una brazada". Luego, el docente propiciará una discusión en la cual los estudiantes, además de confrontar sus resultados, expresen sus concepciones acerca de los conceptos involucrados en el estudio del tema. Esta discusión puede ser orientada mediante preguntas como las siguientes: ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos resultados? ¿Por qué? Con el fin de evidenciar la necesidad de unificar los resultados de las mediciones realizadas y desarrollar la noción del proceso de medición a continuación conviene desarrollar actividades en las cuales los estudiantes inventen patrones de medida. Para ello, se puede construir una cinta de papel que mida aproximadamente 3 cm de ancho y 90 cm de largo. Solicite a los estudiantes que doblen la cinta, justamente por la mitad y luego la vuelvan a doblar sobre ella misma en partes iguales. Con un lápiz se marcan las tres líneas que dividen la cinta en cuatro partes iguales y ésta se vuelve a doblar dos veces más para que quede dividida en dieciséis partes iguales; se marcan además las doce líneas que dividen nuevamente la cinta. A continuación se indica a los estudiantes que consideren y den nombre a tres patrones: la cinta, 1 1 Algunos nombres pueden ser: 1 cinta = 1 tac, cinta = 1 tec y cinta = 1 tic.

2 tic

3 tic

1 tec

4

de cinta y

1 16

de cinta.

16

4

1 tic

1

2 tec

3 tec

Seguidamente, el docente los invita a medir nuevamente la longitud del ancho y largo de la mesa en la actividad anterior, con el instrumento construido y finalmente con uno convencional (cinta métrica, por ejemplo). Para cerrar, se puede, a partir de las actividades anteriores, plantear una discusión que permita analizar los resultados obtenidos. En la discusión debe quedar clara la necesidad que ha tenido el ser humano de medir y unificar patrones de medida y la importancia que tiene el error en el proceso de medición. Finalmente, se pueden resolver algunos problemas de medición relacionados con la vida cotidiana, lo cual permitirá la aplicación de los contenidos involucrados con el tema estudiado. Por ejemplo, medir la distancia que separa las puertas del salón de clase y la salida. También resultaría interesante pasar por la experiencia de medir la cantidad de agua que utilizan para bañarse. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

¡A jugar! Ponte Pilas Material Sobre una cartulina, dibuje y recorte tantas tarjetas como personas van a jugar. En cada tarjeta (salvo la primera y la última) se escribe una pregunta y la respuesta a la pregunta de la tarjeta anterior. En la primera tarjeta se escribe “Yo comienzo” y una pregunta. En la última tarjeta sólo se escribe la respuesta a la pregunta de la tarjeta anterior.

¿Cómo se juega? 1. Se reparten las tarjetas entre los participantes. 2. Comienza el que tenga la tarjeta que dice “Yo comienzo” y realiza la pregunta que aparece en su tarjeta. 3. Alguien tiene la tarjeta con la respuesta a esa pregunta y debe estar atento, pues es el segundo en jugar. Continúa así el juego hasta llegar a la última tarjeta. 4. Si alguien está descuidado o se equivoca al responder, se le grita “PONTE PILAS”. YO COMIENZO En los juegos de lotería por televisión oigo que las bolitas con cifras que se usan han sido certificadas por el Servicio Nacional de Metrología. ¿Qué es el Servicio Nacional de Metrología? Es una dependencia del Ministerio de Producción y Comercio que se encarga de todo lo relacionado con pesas y medidas.

En todos esos casos la magnitud es longitud. ¿Cómo se determina cuantitativamente una longitud?

Cuando nos referimos a una distancia, al largo, al ancho, a la profundidad ¿nos referimos a la misma magnitud?

Resultados

Longitud, masa y tiempo. ¿Cuáles son sus unidades patrón?

¿Qué es el SI?

Para determinar cuantitativamente una longitud se mide.

El SI es el Sistema Internacional de Medidas.

Para la longitud: el metro; para la masa: el kilogramo; y para el tiempo: el segundo.

¿Qué es medir?

Pero, ¿existió otro sistema de unidades de medidas?

¿Cómo se simbolizan estas unidades?

Medir es comparar con una unidad patrón.

Antes se utilizó el Sistema Métrico Decimal.

¿Qué es una unidad patrón?

¿Cuáles fueron las magnitudes básicas en el Sistema Métrico Decimal?

¿Qué se mide? Volumen, capacidad, etc... Se miden magnitudes como longitud, peso, área...

Unidad patrón es una cierta cantidad que se toma como medida común de todas las de su misma especie. Por ejemplo en el SI, la unidad patrón de longitud es el metro.

Se simbolizan: Metro - m Kilogramo - kg Segundo - s Por ser símbolos y no abreviaturas no llevan punto.

Se necesitarían 360 personas del alto de Robert Wadlow para alcanzar la cima del Salto Ángel y sobrepasarla por 20 cm. En la primera pesada colocamos 3 monedas en cada lado de la balanza, si tienen el mismo peso entonces tenemos definido que la falsa moneda está en el último lote. En caso de que un lado pese más que el otro, tenemos determinado que la moneda se encuentra en este trío. Del trío más pesado colocamos una moneda en cada lado de la balanza, si una pesa más que la otra tenemos definida la falsa, si pesan igual, esto determina que la tercera (no usada) es la falsa. Con 13 monedas necesitamos una pesada más. Se necesitan 66 estampillas para cubrir un cuarto del sobre. Llamaremos la botella de 8 litros A, la de 5 litros B y la de 3 litros C; Llenamos la botella B (5 litros) y con ésta llenamos la C, por lo que las tres botellas quedan con la siguiente cantidad de litros: A=3, B=2 y C=3. El contenido de la C (3 litros) lo devolvemos a la A y el resto de la B (2 litros) lo echamos en la C. Nos queda ahora A=6, B=0 y C=2. Con A llenamos la B (5 litros) y nos queda A=1, B=5 y C=2. Con B completamos C y nos queda A=1, B=4 y C=3. Nos queda solamente echar el contenido del C en A y obtener las cantidades deseadas en las botellas A y B. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

Carlos A. Di Prisco

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1949. Cursó estudios de Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela, de 1966 a 1970 y obtuvo su título de PhD en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), en 1976. El doctor Di Prisco es un reconocido especialista en lógica matemática y teoría de conjuntos. Es miembro de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales. Ha sido director asociado de la revista Interciencia. Es investigador titular del IVIC, donde ha sido decano de estudios de postgrado y jefe del Centro de Matemáticas; es además profesor titular de la Universidad Central de Venezuela y miembro del Sistema de Promoción al Investigador, Nivel IV. En la actualidad su tema de interés es el estudio de ciertas propiedades de los números, en particular el estudio del Teorema de Ramsey y sus consecuencias. Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1983. Fotografía: Archivo Fundación Polar

Según sus propias palabras: "La colección de los números naturales, siendo aún una de las estructuras más básicas de las matemáticas, es de una complejidad asombrosa. Algunas de las preguntas que los matemáticos se han planteado sobre estos números han resultado sumamente difíciles de responder, a tal punto que una cierta cantidad de ellas han resistido el ataque de los matemáticos durante los siglos y siguen aún sin respuesta; otras, han dado lugar al desarrollo de teorías matemáticas de gran complejidad”. En 1930, F. P. Ramsey (matemático y economista inglés perteneciente al círculo de Keynes), publicó un teorema que ha servido de punto de partida para la creación de una teoría matemática muy rica, cuyas ramificaciones trascienden el ámbito de los números naturales. Una versión de este resultado está estrechamente relacionada con el siguiente juego: se juega con dos personas y se necesita una hoja de papel en la cual se han marcado seis puntos y dos lápices de colores diferentes, uno rojo y el otro azul, por ejemplo. En la hoja de papel se marcan seis puntos de tal manera que no hay tres de ellos en una misma línea recta. Cada jugador, en su turno, une dos puntos de los seis, dibujando un segmento entre ellos. Cada dos puntos se unen una sola vez. El primer jugador que complete un triángulo que tenga el mismo color de su lápiz, pierde. El teorema de Ramsey permite demostrar que siempre habrá un ganador en este juego, no importa cómo se proceda. Por ello algunas veces se enuncia este teorema diciendo que: es imposible obtener un completo desorden. La versión del teorema de Ramsey para conjuntos con infinitos elementos la podemos explicar como sigue: supongamos que tenemos todos los pares de números naturales, por ejemplo, (1,2), (7,2003), (5,3), etc. Dividamos esta colección en dos clases, no importa cómo, lo significativo es que cada par de números naturales en el que usted piense, esté en una de las dos clases. El teorema de Ramsey afirma que siempre es posible encontrar un conjunto infinito de números naturales tal que todos los pares de elementos de ese conjunto estén en la misma clase. Este importante Teorema tiene extensiones que se relacionan con ideas matemáticas sorprendentes para alguien que no sea matemático, pues están relacionadas con la existencia de diferentes magnitudes infinitas, algo que los especialistas llaman números transfinitos. El estudio del infinito en matemáticas ha servido de base para el desarrollo de algoritmos que han permitido a su vez avances extraordinarios en las ciencias de la computación.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

Matemática para todos Fascículo

El mundo de los

gráficos

“Extrapolando hacia el futuro, yo predigo que existirá una gran brecha entre la demanda y los recursos disponibles, la cual generará una hambruna a través del planeta”. Thomas Malthus Economista inglés (1766-1834)

Revista Puntal 5. Página 13 Irene Savino e Iván Larraguibel

El mundo de los gráficos En esta era de la información cada día, con mayor frecuencia, diversas situaciones son presentadas mediante gráficos con el objetivo de representar cantidades de datos en muy poco espacio. Todo ello nos ayuda a la toma de decisiones, a extrapolar e interpolar información con mucha aproximación. Así encontramos:

Septiembre Rojo

1.855

Accidentes

2% Condiciones de la vía

3,7% Ingestión alcohólica

Septiembre 7.303 2002 Septiembre 2.933 2003*

878

0,7% Fallas de vehículo

Exceso de velocidad

* Primeros 13 días Muertos 201 Días

155

16,9%

Lesionados Días

15

15

30 2002 2003

30 2002 2003

Septiembre

Septiembre

77,7 % Imprudencia

Fuente: El Nacional. Martes 16 septiembre 2003 Fuente:

Libro Rojo de la Fauna venezolana. Franklin Rojas-Suárez y Jon Paul Rodríguez (editores). 2003, 2a. edición. Provita-Fundación Polar.

Relación Peso-edad en niños de 0 a 6 años

Cantidad de especies de flora

Nº de especies 2.000 a 2.500 3.000 a 3.500 4.500 a 5.000 9.500 a 10.300

Fuente:

Libro Rojo de la Flora venezolana. 2004. Fundación Polar.

Tres empresas venezolanas: Tres estrategias distintas EMPRESA 1 Conquistar la confianza y lealtad de sus clientes locales y regionales, mediante un servicio óptimo y productos a la medida.

EMPRESA 2 Potenciar las estrategias del cacao criollo para lograr un nicho de alta calidad en el mercado mundial, asociados a una empresa globalizada.

EMPRESA 3 Ganarse una posición cada vez más importante en el mercado mundial de su socio global.

Tasas de interés 37,99

Activas (al último del mes) 34,83

Pasivas

34,39

26,96 28,23 21,34

25,35 23,16 20,35

20,15 17,32

16,92 14,53 12,32

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

13,53

11,61

Jul

Ago

0

14,9

Inflación de los servicios financieros 0

Fuente:

190

Venezuela: El desafio de innovar. Arnoldo Pirela (editor) 2002. Fundación Polar - CENDES

Fuente:

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 13 - El mundo de los GRÁFICOS

0

0,9

5,6

7,6

El Nacional. Martes 16 septiembre de 2003

0

Descubriendo el mundo de los gráficos A continuación desarrollamos una situación que permite ilustrar cómo se elabora un gráfico: Durante los primeros 10 cumpleaños de Eduardo, sus padres registraron su altura en un cuadro como el adjunto. Al representarlo en los ejes de coordenadas (dos rectas perpendiculares), en el eje horizontal (x) estableceremos una escala con la edad de Eduardo en años y en el eje vertical (y) una escala con las alturas alcanzadas por Eduardo en centímetros. 140

y= altura (cm)

120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 x= edad (años)

Si observas esta situación encontramos que: - A cada cumpleaños le corresponde una y solo una altura. - En todos los cumpleaños siempre se registró la altura correspondiente. En este ejemplo llamaremos conjunto A a las edades y las representamos en el eje X: A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

años X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

altura (cm) Y 75 85 93 100 103 109 114 119 125 130

Llamamos B al conjunto de las alturas alcanzadas por Eduardo en cm, y lo representamos en el eje Y: B= { 75, 85, 93, 100, 103, 109, 114, 119, 125, 130 } Al establecer la relación entre los conjuntos A y B, en cada cumpleaños hacemos corresponder la altura alcanzada por Eduardo. Así se obtienen los pares ( 1 , 75 ); ( 2 , 85 ); ( 3 , 93 )... Estos puntos representados en el sistema de coordenadas los unimos para hacer un gráfico continuo. Este gráfico se puede denominar “años y alturas alcanzadas por Eduardo entre 1 y 10 años”. En el gráfico podríamos conocer aproximadamente la altura a los siete años y medio con sólo hacer corresponder a este valor su imagen en el eje de las “y”. Otra situación que podríamos registrar y representar mediante un gráfico es la temperatura de Caracas en algunas horas de un cierto día. Esta temperatura está registrada en grados centígrados, a partir de las 12 del día hasta las 11 de la noche, la cual se muestra en la tabla anexa. 34

Temperatura (ºC)

30 30 31 31 29 28 28 27 26 25 23 22

32 30 Temperatura °C

Hora

12 m 1 pm 2 pm 3 pm 4 pm 5 pm 6 pm 7 pm 8 pm 9 pm 10 pm 11 pm

28 26 24 22 20 12 m

1 pm

2 pm

3 pm

4 pm

5 pm

6 pm

7 pm

8 pm

9 pm 10 pm 11 pm

Este gráfico permite determinar temperaturas aproximadas a las 8:30 p.m., 3:45 p.m., etc.

Interesante: Al observar las situaciones anteriores hay siempre dos conjuntos (edades-alturas, horas-temperaturas, etc.) entre los cuales se establece una relación que cumple con lo siguiente: 1. A cada elemento “x” de un conjunto A se hace corresponder un solo elemento “y” de un conjunto B. “y” se llama imagen del elemento “x”. Así, al tener la temperatura de Caracas en cada hora “x” del conjunto A se le relaciona una temperatura “y” perteneciente al conjunto B. 2. Cada uno de los elementos del conjunto A tiene una y sólo una imagen en el conjunto B, como en el ejemplo horatemperatura o edad-altura. Relaciones que cumplan con las características anteriores reciben el nombre de función. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 13 - El mundo de los GRÁFICOS

191

Otros tipos de relaciones (Correspondencias) “En la naturaleza no hay causas ni efectos; la naturaleza meramente ‘marcha’. Una ciencia desarrollada expresará sus conclusiones en términos de relaciones funcionales, fórmulas asépticas reemplazarán los ‘nexos causales’ de la metafísica”.

Ludwig Wittgenstein Filósofo y matemático austríaco (1889-1951)

El concepto de función es muy importante en matemática, y en general en la ciencia. En física, biología y química se utilizan gráficos de funciones tales como y=ex, y=ln(x), y= ax+b, y= x2. 2,00

i ca

y=ln(x)

1

nl

1

2

3

4

5

0

1

2

4

6

8

10

El número e = 2,71828182845... aproximadamente 2,72 es uno de los más importantes en matemática. Con este número se define la función exponencial y = ex y su inversa, la función logarítmica y = ln(x), que se lee logaritmo neperiano en honor del matemálico escocés John Neper (1500-1617). Con esas funciones se modelan diversas situaciones de las ciencias naturales, la ingeniería y la economía: presión atmosférica, desintegración radiactiva, crecimiento económico, etc.

3

2

1

tic

a

0 0

2

n

0,25

0,50

nc

nc

0

Fu

4

Fu

25

Fun

ex

0,75

n

50

6

ció

1,00

po

y=ex

og

cial

1,25

nen

75

2

8

ar

1,50 100

y=x

10

ít m

1,75

125

c uad 0

1

2

3

John Neper (1550-1617) Matemático escocés,

Entre las propiedades esenciales del número e destacamos dos: Es un número irracional (demostrado en el s. XIIl). Es un número trascendente, lo cual significa que el número e no puede ser raíz de una ecuación polinómica con coeficientes números racionales (demostrado en el s. XIX por Charles Hermite). Charles Hermite (1822-1901) Matemático francés

Se llama función unívoca o simplemente función, a la correspondencia en la que un "x" se relaciona con un solo "y", como los ejemplos anteriores (edad-altura, hora-temperatura). Se llama multívoca a la correspondencia en la que cada elemento x de un conjunto A tiene como imagen un conjunto. Por ejemplo, la relación que se establece entre un miembro x de la familia y sus descendientes, también en circuitos eléctricos, en diagramas de organización, en sociogramas (psicología), etc. Se llama función de conjunto aquella correspondencia que se establece de tal forma que a conjuntos se asocian números reales, por ejemplo: la relación entre la distribución de frecuencia de los ingresos mensuales de un conjunto de hogares así como al intervalo [200 001 - 300 000] le corresponde el número 0,153, que se puede interpretar como la probabilidad del 15,3% de elegir un hogar con promedio de ingresos mensuales de aproximadamente 250.000 bolívares.

192

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 13 - El mundo de los GRÁFICOS

Crecimiento Observemos las sucesiones de números: 3, 9, 27, 81, 243... o 3, 32, 33, 34, 35, ...; y 3, 6, 9, 12, 15, ... ó 3x1, 3x2, 3x3, 3x4, 3x5, ... La primera sucesión tiene un crecimiento exponencial, caracterizado porque la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente, es decir, cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante, en este caso 3. Su representación gráfica en “forma continua” está dada por una función exponencial. La segunda sucesión tiene un crecimiento lineal, que se caracteriza porque su tasa de crecimiento es constante, esto es, cada término de la sucesión se obtiene sumando la misma cantidad a su antecesor, en este caso 3. Su representación gráfica en “forma continua” es una recta.

Crecimiento exponencial

Crecimiento lineal

250

15

200

12

150

9

100

6

y = 3x

50 0

y = 3x

3

1

0 0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

INTERESANTE Si un banco presta 1.000 Bs, al 50% anual de interés compuesto, al cabo de 6 años (N), la deuda (D) se incrementa exponencialmente en Bs. 11.390, ya que D=1.000 x (1,5)N, con N= 1, 2, 3, 4, 5, 6; D= 1.000 x (1,5)6 = 11.390,625 ≈ 11.390. Si el banco presta los Bs 1.000 al 50% anual de interés simple, la deuda al cabo de los 6 años será Bs 4.000, ya que D = 1.000 + 1.000 x (0,5)N, con N= 1, 2, 3, 4, 5, 6; D= 1.000 + 1.000 x 0,50 x 6 = 4.000. Comparando las dos deudas, al cabo de 6 años la deuda exponencial supera con creces a la lineal. El crecimiento exponencial supera rápidamente al lineal.

Po

bl

ac

n

Thomas Robert Malthus (1766-1834), economista británico, afirmó que la población crece exponencialmente en tanto la provisión de alimentos lo hace linealmente.

alimentos

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193

Decrecimiento Planta de generación eléctrica a partir de la energía atómica.

Hay elementos que son radiactivos y, por lo tanto, se desintegran, como el uranio y el radium (radio). La radiactividad (desintegración radiactiva) sucede porque algunos átomos del elemento radiactivo emiten unas partículas denominadas alpha y beta. Estas radiaciones se detectan mediante un contador Geiger.

Diagrama cartesiano de desintegración radiactiva N

Escala logarítmica

1000

Para medir la desintegración radiactiva se utiliza el concepto de período medio de vida o vida media de un elemento radiactivo que es el período de tiempo en que la probabilidad de desintegración es de un 50%, esto es, el tiempo requerido para que una cantidad inicial de átomos de dicho elemento decaiga a la mitad. Por ejemplo, el Uranio 238 tiene una vida media de 4,5 x l09 años (4,5 millardos de años) y se transmuta en otro elemento radiactivo denominado Torio 234. No se puede predecir el momento de la desintegración radiactiva, solamente es posible determinar una probabilidad en función del tiempo transcurrido, como lo indica la figura, ni tampoco la dirección en que se produce dicha desintegración.

500

250

125

100 T

2T

3T

Tiempo

Fuente:

Enciclopedia Hispánica. Macropedia 12. EE.UU., 1996.

Una aplicación importante de la radiactividad está dada por el método del carbono 14: el carbón que se halla en la Tierra contiene carbono 14 que es un elemento radiactivo cuya vida media es 5 568 años; el decrecimiento exponencial del carbono 14 durante el proceso de desintegración radiactiva permite determinar la edad de cualquier ser o cosa sobre la Tierra.

Interesante: Asi como la radiactividad tiene grandes potencialidades benéficas, también se ha utilizado para agredir o destruir a nuestros semejantes. El 6 de agosto de 1945, 155 200 personas murieron cuando una bomba atómica cayó sobre Hiroshima (Japón). Esta cifra, que incluye las muertes por radiación durante el siguiente año, constituye el mayor número de víctimas mortales causadas por un artefacto atómico. Esta primera bomba atómica, cuyo nombre clave era “Little boy” fue lanzada por Estados Unidos con la intención de poner fin a la Segunda Guerra Mundial. Tenía una potencia explosiva equivalente a la de 12,5 kilotones de TNT, medía 3,04 m de largo, pesaba más de 4 toneladas y explotó a 509 m por encima de Hiroshima. La explosión devastó al instante 10 km2 de la ciudad y más de 65% de los edificios quedaron dañados o destruidos. Fuente: Guiness (2002). Libro de los Records. Editorial Planeta. España.

Otra aplicación importante de la radiactividad se da en medicina. En Venezuela, la primera vez que se usó el yodo radiactivo 131 (vida media de 8 días) fue en 1954, utilizado en investigaciones sobre el bocio endémico y en el diagnóstico de las enfermedades tiroideas. El trabajo se publicó en 1955, realizado por Francisco De Venanzi, Marcel Roche y Andrés Gerardi (Acta Médica Venezolana, 1955). Fundación Luis Roche 1956 Sentados de izquierda a derecha: Jorge Vera, Mario Calcinay, Miguel Layrisse, Marcel Roche, Luis Roche, Francisco de Venanzi, Gabriel Chuchani, Luis Carbonell. De pie: Abraham Levy, Andrés Gerardi, José Forero, Leocadia Escalona, María Enriqueta Tejera, Gloria Villegas, Slavka Hitrovo y Francisco Peña.

194

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Gráficos y cuerpo humano 6E13

Tiempo de mortalidad

Células vivas (Nº)

Todo organismo superior está formado por la juxtaposición de células, por ejemplo: el organismo humano está formado aproximadamente por 60.000 millardos de células. Cada día, alrededor de 2 000 millardos de células se mueren. Si no hubiese los mecanismos de regulación responsables de que cada célula muerta sea reemplazada por una nueva con la misma función y el mismo espacio, el organismo humano moriría al cabo de pocos días.

6E0 1

2

3

4

Tiempo (días)

Continuemos viajando por nuestro maravilloso y complejo cuerpo formado por células. La célula es el elemento fundamental de los tejidos organizados o el elemento más simple libre dotado de vida propia, compuesto de una masa protoplasmática circulante que contiene un núcleo. La escala de tamaño de las células es del orden de las micras (milésima parte de un milímetro). Por ejemplo, el cerebro tiene alrededor de 100 millardos de neuronas del orden de 4 micras hasta las 130 micras, que se conectan con otras mediante la sinapsis o conexiones neuronales. Cada neurona del cerebro puede conectarse con otras diez mil (10.000), por lo que aproximadamente se tiene un millón de millardos de conexiones, esto origina una complejísima maraña. Se admite que el aprendizaje y la memoria residen en esta maraña.

Humberto FernándezMorán (1924-1999) Médico venezolano

Corpúsculo de Nissl

Cuerpo celular

Nucleolo

Estructura de una neurona motora

INTERESANTE Estudios recientes han demostrado que existe una correlación perfectamente lineal entre la tensión arterial y el riesgo de morir. Así, entre los 40 y 69 años, un aumento en la presión sanguínea está asociado a una doble probabilidad de ataque cerebro-vascular.

Humberto Fernández Morán, médico graduado summa cum laude en la Universidad de Munich (1944), con posgrado en Neurología. Trabajó en el Laboratorio de Microscopía Electrónica del Instituto Karolinska, donde desarrolló la cuchilla de diamante para ultramicrotomía que le valió el premio John Scott, premio que habían recibido Marie Curie por el descubrimiento del Radio, Thomas Edison por la lámpara incandescente y Alexander Flemming por el descubrimiento de la penicilina. En 1954 funda el Instituto Venezolano de Investigaciones Neurológicas y Cerebrales (IVNIC), actualmente Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC).

Existe un esquema de la evolución de un cáncer humano suponiendo que el tiempo de duplicación es aproximadamente tres meses, caso observado con frecuencia en el cáncer del seno. Estamos admitiendo que el ritmo de la división celular es constante. Considerando una célula cancerosa que se multiplica exponencialmente al cabo de tres meses son 2, al cabo de 6 son 4, y al cabo de 7 años y medio estará por el orden del millardo. En esta etapa el volumen del tumor alcanza un tamaño que se puede detectar. Es decir, se tarda de 7 a 8 años, para que clínicamente o radiológicamente sea detectable.

5E6

Crecimiento Celular

Nº de Células x 10e3

Células nerviosas del cerebro Las células oscuras son las de Purkinje y están entre las células nerviosas más grandes del cuerpo.

Axón Dendrita

Cono axomal Protuberancia sináptica Núcleo

0E0 20

40

60

80

100

Tiempo (meses)

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195

Confiabilidad .... Por las estadísticas de construcción de una vivienda se sabe que en los primeros cincos años pueden aparecer algunos defectos o fallas, tales como pequeñas grietas u otros pequeños detalles, después suele venir un período de unos 15 años (vida útil) donde se estabilizan relativamente las fallas y posterior a este período es cuando aparecen fallas de mayor envergadura, las cuales conducen a hacer mejoras a la vivienda. Graficando los datos estadísticos de las fallas en el tiempo se obtiene una gráfica de una función de riesgo muy peculiar llamada curva de la bañera.

Región de falla (%)

Cotidianidad

Vida útil

Tiempo (años)

Gráfico de la bañera

Nuestras reservas probadas de petróleo (aquellas de cuya existencia hay pocas dudas pues el estimado está basado en un conocimiento directo de los yacimientos) para 1990 se tenían en 60 054 millones de barriles y para 1996 alcanzaron 72 667 millones de barriles. Este incremento proviene de disponer de mejor y mayor información de los yacimientos.

e industria En muchas situaciones de la industria interesa la confiabilidad (duración de funcionamiento o de vida). A las grandes potencias les interesa la confiabilidad de los cohetes, del sistema VHF (Very High Frecuency = muy elevada frecuencia). También interesa la confiabilidad de los sistemas mecánicos, de artículos, de piezas, para tener una mejor calidad de vida. Una manera de ver esto es mediante la función de supervivencia también llamada función de confiabilidad, y se define como la probabilidad de no tener falla antes del tiempo t.

“El precio no tiene sentido sin una medida de la calidad de lo que se compra” Walter A. Shewhart

Función de Supervivencia Probabilidad de funcionamiento

Un fabricante produce bombillos donde él afirma que tienen una vida promedio de aproximadamente 20 000 horas, es decir, 5 años y medio (con un uso promedio de 10 horas diarias). Se ha visto que ellas tienen una función de supervivencia como lo indica la figura (ley exponencial). Aún a los 10 años tienen una probabilidad de funcionar del 17%.

1

0,75

0,50

0,25

Matemático americano (1891-1967)

0 2

4

6 8 Años

10

12

Cuando no hay suficientes datos recolectados y los eventos no están claramente definidos es posible aplicar a los problemas de confiabilidad un modelo borroso. La borrosidad se distingue de otras teorías matemáticas porque utiliza una lógica polivalente en lugar de una lógica bivalente (verdad o falsedad).

196

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¡A jugar! Instrucciones (Para 2 jugadores) •

Cada jugador elabora en un papel dos cuadrículas de 25 cuadraditos de 2 cm x 2 cm.

En la intersección de la línea horizontal más baja y la vertical más a la izquierda, coloca un cero.

Identifica de izquierda a derecha las líneas verticales A, B, C, D y E.

Identifica de abajo hacia arriba las líneas horizontales con los números 1 al 5.

Tus cuadrículas quedan como se ven en la gráfica.

Mi cuadrícula

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

A

B

La cuadrícula de mi oponente

5

C

D

0

E

A

B

C

D

E

A cada punto de la cuadrícula se le asigna un par de elementos, el primer elemento del par pertenece a la letra colocada en la línea horizontal y el segundo al número colocado en la línea vertical. Así, por ejemplo, el par (A,3) está ubicado en la intersección de las líneas A y 3.

Cada jugador marca siete pares y el otro jugador debe adivinar dónde están ubicados. Esto se ejecutará enunciando un par y el otro jugador contestará si hay o no dicho par en esa ubicació n. Luego le tocará al siguiente jugador enunciar el par.

Gana quien logre adivinar la totalidad de los pares del adversario.

Es recomendable llevar un registro de los pares señalados en cada turno.

5

5

5

5

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

A

B

C

D

E

0

A

B

C

D

E

0

A

B

C

D

E

0

Puntos escogidos Par enunciado Par acertado

¿Puedes señalar los pares enunciados por cada jugador? A

B

C

D

E

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197

Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

¿Cómo extraer información de un gráfico? Analizaremos mediante un gráfico, construido a partir de una tabla numérica, el crecimiento de la población de Venezuela. Comenzamos dando una tabla de censos de Venezuela, donde redondeamos con dos decimales para facilitar los cálculos.

Año

Población dada por los censos (en millones)

1941

3,85

1950

5,04

1961

7,52

1971

10,72

1981

14,52

1990

18,11

2001*

23,54

Construcción del gráfico: Paso 1: Sobre un papel se construye un diagrama cartesiano mediante un par de ejes perpendiculares. Se puede utilizar papel cuadriculado o milimetrado. Paso 2. Representamos sobre el eje de las abscisas (horizontalmente) los años, y sobre el eje de ordenadas (verticalmente) los valores de la población dados por la tabla. EIegimos escalas distintas en los ejes de coordenadas. Marcamos los puntos obtenidos en color negro. Cada uno de esos puntos representa un par de números (año, población). Por ejemplo, el punto A representa el par (1941; 3 850 000). Paso 3. Ahora puedes unir los puntos en negro mediante segmentos con el fin de obtener un gráfico continuo, resultando la línea poligonal ABCDEFG.

¿Qué información extraer de ese gráfico?

* Según publicaciones del Instituto Nacional de Estadísticas. Año 2002.

Crecimiento de la población (Venezuela) I 25

G 23 H 21

19 F 17

15

Población

E

13

11

D

9 C 7

5

B

A 3

Años

198

2006

2001

1990 1991

1981

1971

1961

1950 1951

1941

1

La información acerca del crecimiento de la población de Venezuela y sus variaciones se pueden estimar en un gráfico como el dibujado. a) ¿Cómo puedes estimar, a partir de ese gráfico, la población de los años 1951 y 1991? ¿Cómo lo harías para cualquier año comprendido entre 1941 y 2001? ¿En qué año alcanzó la población de Venezuela, aproximadamente, 12 millones de habitantes? b) Si estuvieras en el año 2000, cuando no se había realizado el censo del 2001, ¿de qué manera hubieses predecido un valor aproximado de la población del país para ese año 2001? c) ¿Cómo puedes estimar la población que tendrá Venezuela el año 2006? Las respuestas a estas preguntas o algunas semejantes a ellas puedes obtenerlas de la siguiente manera: * Ubiquemos el año 1951 y en él levantamos una perpendicular al eje de abscisas que corte al gráfico (en color naranja) y desde ese punto de corte trazamos una perpendicular al eje de ordenadas. El corte de la misma con dicho eje nos proporciona un valor aproximado de la población, en este caso 5,20 millones, es decir, en el año 1951 Venezuela contaba con 5 200 000 habitantes. Análogamente lo puedes hacer con cualquier otro año en el lapso 1941-2001. Si quieres determinar en qué año se alcanzó una población de 12 millones, realiza un proceso análogo al anterior pero partiendo del eje de las ordenadas. * Si estuvieras en el año 2000 (no dispondrías del segmento FG), y quisieras estimar la población para el año 2001, bastaría prolongar el segmento EF hasta que corte a la vertical levantada en el año 2001 y luego calcular la ordenada correspondiente a ese punto H. * Es análogo, pero ahora prolongarías el segmento FG hasta que corte a la vertical levantada en el año 2006 y luego buscar la ordenada que corresponde a ese punto de corte. Tanto del gráfico como de la tabla se pueden extraer otras informaciones, por ejemplo: si quieres calcular la tasa media anual de crecimiento de la población en un determinado período, por ejemplo, en el lapso 1941-1950, correspondiente al segmento AB, se tiene (5 040 000 - 3 850 000) : (1950 - 1941) = 132 222,22 lo cual indica que en promedio la población de Venezuela aumentó 132 222 habitantes por cada año transcurrido desde 1941 hasta 1950. Ese cálculo se puede hacer en los otros períodos, utilizando la tabla de los censos mediante: (diferencia de habitantes en los años considerados)/(numero de años transcurridos). De la misma manera como respondimos a las preguntas relacionadas con el gráfico considerado, podrás hacerlo con un gráfico cualquiera.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 13 - El mundo de los GRÁFICOS

Tengo que pensarlo Una persona colocada en el punto cero, inicia un paseo seleccionando su dirección al azar mediante el siguiente juego: lanza una moneda y si sale cara (C) avanza una dirección marcada con una flecha X, y si sale sello (S) avanza una casilla en la dirección con la flecha Y. Se lanza la moneda cuatro veces. Halle los caminos (combinaciones de caras y sellos) que lo llevarán a la plaza y represente esos caminos en el gráfico.

3 Plaza 2

1 Y

X

1

2

3

20

Piensa en algún procedimiento que permita medir el largo de tu sombra en diferentes horas del día, por ejemplo a las 7:00 a.m. y a partir de esta hora, mide cada media hora hasta las 12:30. Al finalizar elabora una gráfica que permita visualizar cómo varía la longitud de la sombra. Luego, analiza los resultados que se obtuvieron y compáralos con el resto de tus compañeros.

15

10

Se presenta el gráfico del crecimiento de la población de Venezuela • ¿Qué información extraes del gráfico entre 1891 y 1920? • Según el gráfico ¿en qué año se duplicó la población de Venezuela en relación a la que existía en 1950?

Estimaciones Censo 5

1991

1981

1936 1941 1950 1961 1971

1920 1923

1891

1873

1850

1836

1823

1800 1810

Proyecciones

1790

Millones de habitantes

0

0

Información actualizada Páginas web relacionadas Instituto Nacional de Estadística (OCEI) http://www.ine.gov.ve Banco Central de Venezuela (BCV) http://www.bcv.org.ve Plataforma de Información Oficial del Estado Venezolano http://www.platino.gov.ve Universidad Central de Venezuela, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales (UCV-Faces) http://www.faces.ucv.ve Instituto Nacional de Estadística (INE) España: http://www.ine.es Buró de Censo, Estados Unidos. http://www.census.gov Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) http://www.unesco.org

Revistas International Association for Statistical Education. http://www.swin.edu.au/maths/iase Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 13 - El mundo de los GRÁFICOS

199

Leonardo Mora

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1962. Obtuvo su licenciatura en Matemáticas en la Universidad Simón Bolívar en 1985 y posteriormente, en 1991, el PhD en matemáticas en el Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas, en Brasil. Trabaja en el área de sistemas dinámicos y algunas de sus investigaciones han producido resultados de un notable impacto en la comunidad matemática internacional. Es de mencionar particularmente su contribución al estudio de la abundancia de atractores extraños, publicado en 1993 junto a M. Viana. Mora ha sido profesor visitante en reconocidas instituciones académicas de Brasil, España, Portugal y Suecia. Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1993. Fue investigador en el IVIC y actualmente es profesor de la Universidad de Los Andes en Mérida.

El doctor Leonardo Mora trabaja actualmente en sistemas dinámicos caóticos y en sistemas dinámicos que presentan fenómenos homoclínicos. Los sistemas caóticos son aquellos donde la predicción de la evolución de los diferentes estados es imposible en el largo plazo. Algunas de sus investigaciones han producido resultados de un notable impacto en la comunidad matemática internacional. Los sistemas dinámicos que presentan trayectorias homoclínicas son aquellos donde existen estados que nacen y mueren. Un ejemplo de sistema dinámico caótico es el sistema de tres cuerpos actuando entre ellos por la interacción gravitacional. Por ejemplo, el sistema formado por la Tierra, la Luna y un satélite. Esta propiedad ha sido usada para mover la trayectoria de satélites puestos en órbita para estudiar movimientos de vientos solares, de manera que persigan la cola de cometas que pasan muy cerca de la trayectoria de la Tierra, sin gastar mucho combustible. La comprobación de la caoticidad de estos sistemas ha sido asociada a la existencia de trayectorias homoclínicas. Dos ejemplos clásicos de este tipo de sistemas son el Atractor de Lorenz y el Atractor de Henon, los cuales se muestran en las figuras siguientes:

Fotografía: Sandra Bracho

Atractor de Lorenz

Atractor de Henon

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.


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