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INSTITUTO TÉCNICO Y TÉCNOLÓGICO SAN JOSÉ TALLER No. 1: LÓGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS 1. Una encuesta entre 100 estudiantes arrojó las siguientes estadísticas: 32 estudian matemáticas 20 estudian física 45 estudian biología 15 estudian matemática y biología 7 estudian matemática y física 10 estudian física y biología 30 no estudian alguna de las tres asignaturas. a. Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres asignaturas. b. Encuentre el número de estudiantes que cursan una y sólo una de las tres asignaturas. 2. En una encuesta sobre los medios de transporte urbano más comunes, a cada persona se le pregunta si el taxi, la buseta o el carro particular es el medio más utilizado para ir al trabajo. Se permite más de una respuesta. El resultado de la encuesta es el siguiente: 30 personas opinaron a favor del taxi 35 personas opinaron a favor de la buseta 100 personas opinaron a favor del carro privado 15 personas opinaron a favor del taxi y la buseta 15 personas opinaron a favor del taxi y el carro particular 20 personas opinaron a favor de la buseta y el carro privado 5 personas opinaron a favor de los tres medios de transporte. a. ¿Cuántas personas respondieron la encuesta? 3. En una encuesta de 60 personas se encontró que 25 leen revistas políticas, 26 leen revistas científicas y 26 leen revistas de entretenimiento. Se determinó además, que 9 personas leen revistas políticas y de entretenimiento, 11 leen revistas científicas y políticas, 8 leen revistas científicas y de entretenimiento y 8 no leen revista alguna. a. Determine el número de personas que leen los tres tipos de revistas. b. Determine el número de personas que leen exactamente un tipo de revistas. 4. Una encuesta a 100 músicos populares mostró que 40 de ellos usaban guantes en la mano izquierda y 39 usaban guantes en la mano derecha. Si 60 de ellos no usaban guantes, ¿cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente?, ¿cuántos usaban guantes en ambas manos? 5. En la clase de educación física se inscribieron 200 estudiantes; se les preguntó si querían trotar o nadar como únicas dos alternativas. Decidieron trotar 85 de ellos, 60 también aceptaron nadar. En total, ¿cuántos tomaron natación?, ¿cuántos tomaron natación pero no aceptaron trotar? 6. Un archivo de datos de tamaño igual a 96 K debe ser copiado en un minidisco de capacidad 143 K. Si 100 K del disco está ocupado con otros archivos, ¿cuál es la mínima cantidad del disco que debe ser borrada para poder almacenar el nuevo archivo? 7. De 30 estudiantes de una clase de matemáticas, 26 aprobaron el primer examen parcial y 21 aprobaron el segundo examen parcial. Si dos estudiantes reprobaron ambos exámenes, ¿cuántos aprobaron ambos exámenes? 8. Un total de 60 clientes potenciales visitaron una tienda de artículos de computadores. De éstos, 52 compraron algún artículo; 20 compraron papel, 36 compraron disquetes y 12 compraron cintas para impresoras. Si 6 compraron papel y disquetes, 9 compraron disquetes y cintas y 5 compraron papel y cintas, ¿cuántos compraron los tres artículos? 9. Un total de 35 sastres fueron entrevistados para un trabajo; 25 sabían hacer trajes, 25 sabían hacer camisas, y dos no sabían hacer ninguna de las dos cosas, ¿cuántos sabían hacer trajes y camisas? 10. A principios de los años setenta se hizo una encuesta a 120 residentes de una ciudad latinoamericana sobre su interés en los tres equipos del área más cercana de la ciudad. De éstos, 40 seguían al equipo A, 28 seguían al equipo B y 31 al equipo C; 23 seguían al A y a al B; 23 seguían al B y al C, 25 seguían al equipo A y al equipo C y 18 personas seguían a los tres equipos. ¿Cuántas de estas personas no seguían a equipo alguno?, ¿cuántas personas seguían al equipo A y al equipo C, pero no al equipo B? 11. De 1200 estudiantes de primer año en una universidad, 582 tomaron educación física, 627 tomaron castellano, 543 tomaron matemáticas, 217 tomaron educación física y castellano, 307 tomaron educación física y matemáticas, 250 tomaron matemáticas y castellano, 122 tomaron los tres cursos. ¿Cuántos no tomaron ninguno de los tres cursos? 12. En una encuesta aplicada a 260 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos: 64 toman un curso de matemáticas, 94 toman un curso de computación, 58 toman un curso de administración, 28 toman cursos de matemáticas y administración, 26 toman cursos de matemáticas y computación, 22 toman cursos de administración y computación, y 14 toman los 3 cursos. a. ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta no toman ninguno de los tres cursos? b. ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta toman sólo el curso de computación? 13. 14. Compruebe la validez o no de los siguientes argumentos: a.

b.

c.

Si los libros son importantes, entonces vale la pena leerlos Los libros no son importantes Luego no vale la pena leerlos. Si apruebas el curso de matemáticas o el de español, entonces podrás viajar fuera del país o aprender a nadar. Apruebas el curso de matemáticas Por lo tanto, podrás viajar fuera del país. Si el equipo A gana el partido al equipo B, entonces los estudiantes de noveno se disgustarán Los estudiantes de noveno grado no están

disgustados Por tanto, el equipo A no le ganó al equipo B.

INSTITUTO TÉCNICO Y TÉCNOLÓGICO SAN JOSÉ d. Los procesos físicos son continuos o discontinuos Si un proceso físico es continuo, entonces puede ser reversible Si un proceso físico es discontinuo, entonces puede no ser reversible Luego, los procesos físicos pueden no ser reversibles. 15. En cada uno de los problemas siguientes, tómense las proposiciones dadas como premisas, y, empleando reglas de inferencia, establézcanse conclusiones de ellas. En cada caso especifique la regla de inferencia utilizada. a. Si hoy es sábado, entonces mañana es domingo. Hoy es sábado. b. si X > 15, entonces X2 > 225; X2 ≤ 225. c. Si voy de compras, compraré un sofá. Si compro un sofá, entonces compraré dos sillones. Voy de compras efectivamente. d. O Jorge es culpable o Juan está diciendo la verdad. Juan está diciendo la verdad. 16. Entre las afirmaciones de este problema hay tres errores, ¿Cuáles? a. 2 + 2 = 4. b. 4/(1/2) = 2. c. (-2)10 = 1024. d. 7 – (- 4) = 11. e. – 10(6-6) = -10. 17. Un lógico tenía por necesidad que esperar un rato en un pequeño pueblo, y para no perder el tiempo optó por hacerse cortar el pelo. Había en la villa solamente dos barberos, cada uno con su propia peluquería. El lógico echó un vistazo a una de ellas, y la vio extraordinariamente descuidada, además a su dueño le hacía falta una afeitada, sus ropas daban lástima y llevaba el pelo trasquilado. La otra barbería era un modelo de aseo y pulcritud, su barbero estaba recién rasurado, su vestimenta era impecable y su peinado perfecto. El lógico decidió ir a cortarse el pelo en la primera. ¿Por qué? 18. Cada uno de los socios del club Los Nogales, o es bien veraz, y dirá siempre la verdad al ser preguntado, o bien mentiroso, y entonces responderá siempre una mentira. En mi primera visita al club encontré a todos sus miembros, exclusivamente hombres, sentados en torno a una gran mesa circular tomando el almuerzo. No había forma de distinguir a veraces de mentirosos por su aspecto externo, así que fui preguntándoles por turno si eran una u otra cosa. De nada me sirvió, pues como era de esperar, todos aseguraron ser veraces. Volví a probar, esta vez preguntando a cada uno si su vecino de la izquierda era veraz o mentiroso. Para sorpresa mía, todos contestaron que el hombre sentado a su izquierda era mentiroso. Más tarde, de vuelta a casa, al pasar a máquina mis notas sobre el almuerzo descubrí que había olvidado tomar nota del número de personas sentadas en la mesa. Telefoneé entonces al presidente del club, quien me informó que eran 37. Después de colgar me di cuenta que no podía confiar en esta cifra, porque no sabía si el presidente era veraz o mentiroso. Decidí pues llamar esta vez al secretario del club quien me contestó “No, no, por desgracia, nuestro presidente es un mentiroso empedernido. La verdad es que estábamos 40 comensales”. ¿A cuál de estos dos hombres debería yo creer? , ¿Cuántos habían sentados en la mesa? 19. Un grupo de 700 mujeres realiza trabajos manuales. Para ello utilizan tres tipos de materiales: madera, cerámica e hilo. Se sabe que todas utilizan cerámica, 400 utilizan madera y 500 utilizan hilo. ¿Cuántas mujeres utilizan los tres materiales? 20. Si Andrea es menor que Lina, entonces Pedro es menor que Lina Si Pedro es menor que Lina entonces Pedro es menor que Eduardo Andrea es menor que Lina ¿Quién es menor, Eduardo o Pedro? 21. En un bus van las personas representadas en el conjunto B. B = {m, t, p, q, l, f, g, h, i, j, b} Sabiendo que: T, q, l: Son hombres m: Es un vendedor ambulante p, q: Pareja de esposos cuyos hijos son b y j de diferente sexo f, g, h, i: son dos matrimonios obreros de una empresa. Indicar quiénes son: a. Los hombres Los ingenieros

b. c.

Los hombres obreros La mujer que estudia.

g, h: Son mujeres p, q, l: Son profesionales t, j: Son estudiantes

Las mujeres obreras

22. En cierto pueblo, el único barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. Por tanto, cada hombre o se afeita a sí mismo o es afeitado por el barbero, pero ninguno hace las dos cosas. Entonces, ¿Quién afeita al barbero? 23. A un joven estudiante de derecho le prestó $200.000.oo su suegro con la condición de pagárselos cuando ganara el primer pleito. Después de graduarse, el joven abogado no tenía mucho éxito en su profesión. Un día, su suegro se presentó con este argumento a cobrarle el dinero: Págame lo que me debes, porque si llevamos este caso a la corte y tu ganas, como me ganaste el primer pleito, me tienes que pagar. Si yo gano, como la justicia está de mi parte, me tienes también que pagar. El joven ni corto ni perezoso le replicó: No te pago, porque si la corte me favorece, por ley no te puedo pagar, y si te da la razón, entonces no estoy ganando el primer pleito, y por tanto, tampoco te puedo pagar. ¿Cuál de los dos tiene la razón? Consultar que es una paradoja y explicar las siguientes: Paradoja de Epiménides o paradoja del mentiroso: Epiménides es Cretense y afirma: “Todos los cretenses son mentirosos”. “Estoy mintiendo” ó “Esta aseveración es falsa”. La afirmación que sigue es falsa La afirmación que antecede es verdadera.

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24. Pregunta tipo Ecaes

25. La viejecita en el mercado: Una viejecita llevaba huevos al mercado cuando se le cayó la cesta. - ¿Cuantos huevos llevabas? - le preguntaron, - No lo se, recuerdo que al contarlos en grupos de 2, 3, 4 y 5, sobraban 1, 2, 3 y 4 respectivamente. ¿Cuantos huevos tenía la viejecita?

JOHN JAIRO ESCOBAR Docente área de matemáticas 2010


Taller lógica y conjuntos