CONDICIONES DE EQUILIBRIO Cuando todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son concurrentes y la suma vectorial es cero, se dice que el cuerpo se encuentra en equilibrio, tal y como lo muestra la siguiente figura, donde una piñata se sujeta por un lazo el cual forma dos tramos de cuerda al colgarla en un punto medio.
F1
F2
W
En el estudio de los cuerpos rígidos en equilibrio bajo la acción de fuerzas coplanares no paralelas, se aplica la primera condición de equilibrio. La cual establece que: FR = ∑F = 0
Para el caso de fuerzas coplanares, una representación equivalente de esta condición se cumple con la suma vectorial de sus componentes, que es igual a cero; es decir:
∑Fx = 0 ∑Fy = 0
Fx = F cos Fy sen θ
EQUILIBRIO BAJO LA ACCIÓN DE TRES FUERZAS NO PARALELAS (CONCURRENTES) Para resolver ejercicios de sólidos rígidos en equilibrio con fuerzas coplanares no paralelas, es conveniente considerar los siguientes puntos: • Leer y comprender la situación presentada ∑Fx = 0 ∑Fy = 0 • Elaborar un diagrama de cuerpo libre • Descomponer las fuerzas que participan • Aplicar la primera condición de equilibrio:
Recordando que:
Ejercicios resueltos:
1.- Un objeto de 10 N, está suspendido por medio de dos cuerdas tal y como se muestra en la figura, ¿Cuál es la tensión en cada una de las cuerdas que lo sostienen?
30ª
T2
T2 T1 T1
θ=60°
W= 10 N
W figura
Diagrama de C. libre
La tensión es una fuerza y se presenta en la cuerda. Datos: W = 10 N T1 =? T2 =? Desarrollo: ∑Fx =0; T1 - T2cos 60° = 0; ∑Fy = 0;
T2 sen 60° - W = 0;
sustituyendo en (1)
Fórmulas: Fx = F cos θ Fy = F sen θ ∑Fx =0 ∑Fy = 0 T1 = 0.5 T2 . . . . . . (1) (0.866)T2 = W. . . . (2) T1 = (0.5) 11.55 N
Respuesta: Resolviendo para la Ec. (2), se tiene. T2 =
10 N = 11.547 N 0.866
sustituyendo T2 en Ec. (1)
T1 = 0.5 T2 = ( 0.5)(11.547 N ) = 5.774 N T1 = 5.774 N T2 = 11.547 N 2.- Un cuadro está sostenido por medio de dos cuerdas, tal y como se muestra en la figura, Si la tensión máxima de la cuerda 2, es de10 lb. ¿Cuál debe ser el peso máximo del cuadro para que lo sostengan las cuerdas? 60°
45°
T2
T1
T2
T1
60°
45°
W figura
Diagrama de Cuerpo Libre
Datos:
Fórmulas:
T2 = 10 lb T1 =? W =?
Fx = F cos θ Fy = F sen θ ∑Fx = 0 ∑Fy = 0
Desarrollo: ∑Fx = 0;
T1cos 45 - T2 cos 60° = 0 T1(0.7071) - T2(0.5) = 0 . . . . (1)
∑Fy = 0;
T1sen 45° + T2 sen 60° - W = 0 T1(0.7071) + T2(0.866) = W. . . . . (2)
despejando T2 en función de T1 0.7071 T2 =T1 0.5 = T1 (1.4142)
T1 =
T2 10 lb = = 7.071 lb 1.4142 1.4142
Sustituyendo valores en (2) se obtiene el peso máximo del cuadro. W = (7.071 lb)(0.7071) + (10 lb)(0.8660) Respuesta: W = 13.660 lb. 3.- Se aplican dos fuerzas a una partícula tal y como se muestra en la siguiente figura, ¿Dé qué magnitud es la fuerza equilibrante necesaria y en que dirección debe actuar, para mantener el sistema en equilibrio?
Figura
Diagrama de Cuerpo libre
Datos:
Formulas:
F1 = 4 lb; θ1 = 30º
Fx = F cos θ
F2 = 6 lb; θ2 = 120º
Fy = F sen θ
FE =?
FE = - FR FR2 = Fx2 + Fy2 ∑Fy θ = tan −1 ∑Fx
∑Fx = Fx1 + Fx2 ∑Fx = F1 cos θ1 + F2 cos θ2 = (4 lb)(cos 30º) + (6 lb)(cos 120º) ∑Fx = (4 lb)(0.866) + (6 lb)(-0.5) = 3.4641 lb - 3.00 lb = 0.464 lb ∑Fy = Fy1 + Fy2 ∑Fy = F1 sen θ1 + F2 sen θ2 = (4 lb)(sen 30º) + (6 lb)(sen 120º) ∑Fy = (4 lb)(0.5) + (6 lb)(0.866) = 2 lb + 5.196 lb = 7.196 lb
FR =
(0.464 lb)2 + (7.196 lb)2
=
0.215 lb2 + 51.782 lb2 FR = 7.211 lb
Fy 7.196lb −1 θ = tan −1 = tan −1 = tan (15.509) = 86.311° = 86°18'38" 0.464lb Fx
Respuesta:
FR = 7.211 lb; θ = 86.31º = 86º18’38” FE = 7.211 lb; θ = - 86.31º = 266º 18’ 38”
4.- Las vigas A y B de la figura, se usan para soportar un peso de 400 N. Sin considerar sus pesos, encuentra el valor de las fuerzas que actúan en cada una de las vigas e indica si se encuentran sometidas a tensión o compresión.
W
Datos : W = 400 N. A=? B=?
B A 60°
30° Figura Formulas: Fx = F cos θ Fy = F sen θ ∑Fx = 0 ∑Fy = 0
A
60° 30° B W= 400 N. Diagrama de Cuerpo Libre Desarrollo:
∑Fx = 0;
∑Fx = B cos 30° - A cos 60° = 0 ∑Fx = B (0.866) - A (0.5) = 0; ∑Fx = 0.866 B - 0.500 A = 0 A = 0.866 B / 0.50 = 1.732 B . . . (1)
∑Fy = 0;
∑Fy = A sen 60° - B sen 30° -W = 0; sustituyendo valores: ∑Fy = 1.732(0.866)B - (0.5) B - 400 N = 0 B = [1.732 ( 0.866 ) −0.5] − 400 N =0 Respuesta: Sustituyendo en. .(1)
B = 400.0 N (Tensión) A = 692.8 N (Compresión)
5.- Si el peso del bloque mostrado en la siguiente figura, es de 80 N; ¿Cuales son las tensiones que se presentan en cada una de las cuerdas A y B?
40°
B
B
40° A
A w = 80 N
W figura
Diagrama de Cuerpo libre
Datos:
Fórmulas:
W = 80 N
Fx = F cos θ
A=?
Fy = F sen θ
B=?
∑Fx = 0 ∑Fy = 0
Desarrollo: a) Suma de componentes : ∑Fx = 0;
∑Fx = B cos 40° - A cos 0° = 0;
B(0.766) = A . . . . (1)
∑Fy = 0;
∑Fy = B sen 40 - W = 0;
B(0.6428) = 80 N
Despejando B de (2) y sustituyendo en (1) se tiene: B=
80 N =124.458 N 0.6428
Respuesta: A = 124.458 N (0.766)
B = 124.458 N A = 95.335 N.