Β΄ Τοσίτσειο – Αρσάκειο Λύκειο Εκάλης
x |x| = , x, y ∈ , y ≠ 0 y |y| Απόδειξη:
Γ.
Ανάλογη µε το Β.
∆. Για κάθε x, y ∈» ισχύει: | x + y |≤| x | + | y | (λέγεται και τριγωνική ανισότητα ή ιδιότητα)
(1)
Απόδειξη: Παρατηρούµε ότι για x = y = 0 η (1) ισχύει ως ισότητα. Τώρα αν ένα από τα x και y δεν είναι µηδέν, θα έχουµε και τα δύο µέλη θετικά (αφού έχουµε απόλυτες τιµές), οπότε µπορούµε να υψώσουµε στο τετράγωνο και τα δύο µέλη χωρίς να αλλάξει η φορά της ανίσωσης. Πάµε λοιπόν: Αρκεί να αποδείξουµε: | x + y |2 ≤ (| x | + | y |) ⇔ (x + y)2 ≤| x |2 +2 | x || y | + | y |2 ⇔ 2
x 2 + +2xy + y 2 ≤ x 2 + 2 | xy | + y 2 ⇔ 2 xy ≤ 2 | xy |
και τελικά αρκεί: xy ≤| xy | που αυτό ισχύει µε βάση την ιδιότητα Α1.
Σχόλια: Α. Είναι φανερό ότι για να ισχύει ως ισότητα η (1), αρκεί η τελική να ισχύει ως ισότητα, δηλαδή να είναι: | xy |= xy που αυτό ισχύει όταν xy ≥ 0 δηλαδή όταν τα x και y είναι οµόσηµα. Β. Ανάλογα µε την (1) µπορούµε να αποδείξουµε και ότι: | x − y |≤| x | + | y | 1. Γ. Ολοκληρωµένη η τριγωνική ανισότητα είναι: | x | − | y | ≤| x ± y |≤| x | + | y |, x, y ∈
Το αριστερό µέλος αποδεικνύεται ανάλογα.
2η Κατηγορία: Απόλυτη τιµή και εξισώσεις - ανισώσεις
Οι παρακάτω ιδιότητες χρησιµοποιούνται για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν απόλυτα και για το λόγο αυτό απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή.
Ε. Αν α ≥ 0 τότε για κάθε x∈» ισχύει: | x |= α ⇔ x = α ή x = −α Απόδειξη: Υψώνουµε και τα δύο µέλη στο τετράγωνο και θα έχουµε:
1
Προσοχή: Και πάλι έχουµε (+) στο δεύτερο µέλος.
Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης
16