MATEMÁTICAS PARA PROFESORES El artículo propone que aunque las matemáticas son únicas, su presentación para un buen aprendizaje de la misma, varía mucho según los alumnos a quien va dirigida (ingenieros, biólogos, químicos, arquitectos, etc. En cambio echa en falta que se mencionen las “matemáticas para profesores”. El artículo critica que en muchas ocasiones se olvide que cada especialidad tiene su matemática, con mucha base común, pero también con facetas diferentes que es conveniente tener en cuenta, tanto para una mayor motivación, como para una mayor preparación para las actividades futuras de los alumnos. No necesitan la misma preparación quienes piensen dedicarse a "investigar" en matemáticas, que los que piensen "enseñar" matemáticas. El artículo propone que la mejor manera de enseñar matemáticas es a partir de la realización de una tesis (profesorado, licenciatura, maestría o doctorado), ya que de ésta manera el que la realiza deberá adquirir madurez en la práctica de planear y resolver problemas nuevos, buscar bibliografía, formular conjetura, presentar generalizaciones y conocer la existencia de revistas especializadas. También expone que la cultura matemática se adquiere con exposiciones en seminarios sobre temas actuales o asistiendo a reuniones científicas o conferencias sobre la historia de las ideas matemáticas. Incide en que se debe diferenciar entre profesor (misión de enseñar) e investigador (misión de construir novedades en el campo matemático), diferencia que aparece en la información y en la resolución de problemas. 1. Información Deja claro que la información que requieren los profesores es más amplia pero menos profunda que la de los investigadores. Por tanto un profesor debe tener mucha información para poder dar respuesta a las inquietudes, preguntas y problemas de sus alumnos. Da mucha importancia a que el profesor sepa buscar la información fidedigna (revistas especializadas, correo electrónico, Internet etc.). No se pretende que el profesor pueda aclarar todos los problemas, pero sí que tenga una idea de los mismos. Se plantean varios ejemplos: El problema de los cuatro colores Este problema afirma que bastan cuatro colores para colorear cualquier mapa del plano de manera que cada país tenga un solo color y que no pueda haber dos países con una frontera común que tenga el mismo color. La demostración de la resolución del problema, obligó a considerar muchos casos y horas de ordenador. Fue el primer problema largamente buscado que se resolvió con el uso de ordenadores. El artículo no propone que los profesores sigan los pasos de la demostración, pero sí que tengan idea del trabajo que conlleva y de haberlo ojeado alguna vez. (Durante los años 1976-77 el hecho fue noticia en todo el mundo). El problema de Fermat Este teorema afirma que la ecuación: xn + yn = zn para n > 2, no puede tener soluciones enteras distintas de cero. Este teorema preocupó a los matemáticos durante más de tres siglos hasta que finalmente fue resuelto a finales del siglo XX, utilizando los recursos más sofisticados de la matemática actual. Dada la difusión de la solución que hicieron todos los medios de información, fue necesario que todos los profesores estuvieran al tanto de las alternativas de ella. No se trataba de entender la demostración del teorema, sino que el profesor supiera cómo y dónde informarse para contestar las preguntas que al respecto le formulen los alumnos. 2. Problemas Problemas difíciles El artículo plantea que es conveniente que durante sus estudios terciarios los futuros profesores se vayan acostumbrando a coleccionar problemas o conjeturas "difíciles" y que no hayan podido ser resueltos hasta la fecha. De ellos hay muchos en la teoría de números y da algunos ejemplos. Curiosidades Aconseja a quienes vayan a dedicarse a enseñar matemáticas a tomar nota y coleccionar curiosidades que presentan conjeturas no resueltas, pero atractivas, dando algunos ejemplos: 1) Toma un número natural cualquiera. Si es impar multiplícalo por 3 y añádele 1. Si es par, toma la mitad. Repitiendo la operación sucesivamente se llega siempre al número 1. 2) A partir de una cita en el evangelio, al número 153 se le consideró mágico con distintas propiedades (numero triangular). Más tarde se han encontrado otras propiedades, llegando a decir que el número 153 es un agujero negro (respecto de la suma de los cubos de sus cifras). El artículo da importancia a éste tipo de curiosidades ya que se presta mucho para practicar los cálculos necesarios y también para hacer estadísticas, proponiendo a los futuros profesores a que comenten algunos de los libros que contienen éstas curiosidades (recreaciones matemáticas), cuyo conocimiento forma parte de la cultura general de todo docente en matemática.
Problemas geométricos Comenta que hasta mediados del siglo XX, los problemas que se practicaban en las escuelas formadoras de profesores o en los ingresos a las escuelas técnicas tradicionales, eran casi exclusivamente construcciones con regla y compás (construcciones de triángulos dados 3 de sus elementos, construcción de circunferencias dadas tres condiciones). Hoy en día ya no se usan la regla y el compás. El dibujo técnico y las matemáticas se han desvinculado en las enseñanzas obligatorias. Hoy día se han sustituido las construcciones geométricas por desigualdades geométricas (en lugar de construir un triángulo dado tres elementos: alturas, medianas, bisectrices, radio del círculo inscrito, etc., se piden las desigualdades que deben cumplir estos elementos para que la construcción sea posible). Problemas sobre convexos y análogos Cita algunos problemas que no habían sido resueltos hasta la fecha, debido a la escasa divulgación de los mismos, como por ejemplo: 1) Encontrar la mayor de las mínimas distancias entre n puntos que están en un cuadrado de lado 1. El resultado se conoce para n < 9 y para n=: 14, 16, 25 y 36 pero no para otros valores. 2) El problema del gusano: Hallar el dominio convexo de área mínima dentro del cual se puede colocar cualquier curva de longitud 1. Se ha propuesto que el área mínima sea 0,286 pero sin demostrarlo. 3) Dados n puntos en un cuadrado de lado 1, se desea saber la longitud más corta L que los une. Para n=2 es L= √2; para n=3 es L = 1+√5/2, pero no se sabe el valor de L para n>3. Mosaicos Otro tipo de problemas que recomienda que los profesores tengan a mano, sobre todo para motivar a los alumnos con vocación artística. Se propone que, los alumnos futuros profesores de matemática, dibujen distintos modelos de mosaico, así como mostrarles algunos cuadros del pintor Escher inspirados en los mosaicos de la Alhambra. Rectángulos Por último propone que los profesores de matemáticas deben acostumbrar a sus alumnos a medir el tamaño y la forma de los objetos que aparecen con más frecuencia en su entorno. De ésta forma podrán comprobar que las medidas obtenidas no difieren demasiado entre sí, ni en el tamaño ni en la forma (rectángulo). La figura del rectángulo es una de las más frecuentes en todos los órdenes: en arquitectura (puertas, ventanas, habitaciones), en las bibliotecas (libros y revistas), en los escritorios (hojas, tarjetas, sobres). De ahí que se preste a ver todos los tipos de rectángulos, ordenándolos y comparando los de uso más frecuente. Por último plantea, para los alumnos futuros profesores, una tarea consistente en medir las razones entre los lados de unos cuantos libros, sobres o cuadros y construir el gráfico de barras correspondiente. Por último quiero decir que, aunque éste artículo es un poco antiguo y algunas referencias o comentarios que se realizan en el mismo ya no tienen sentido hoy día al estar inmersos en una sociedad de la información, gracias a las nuevas tecnologías, me parece un artículo muy interesante.