Teoria da Relatividade Especial - 2ª Edição by Editora Blucher

Teoria da Relatividade Especial 2a Edic;ao Ramayana Gazzinelli Lan~amento 2009

ISBN: 9788521204886 Paginas: 160 Formato: 20,5x25,5 em Peso: 0,350 kg

Teoria da relatividade especial

teoria da relatividade especial

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Teoria da relatividade especial

conteúdo

Prefácio da 2ª edição.......................................................................................... VII

Siglas.................................................................................................................... IX

Em busca do espaço absoluto...............................................................................1 1.1. Referências inerciais...................................................................................1 1.2. Princípio da relatividade de Galileu...........................................................4 1.3. Aceleração absoluta e princípio de Mach..................................................7 1.4. Teoria eletromagnética de Maxwell...........................................................8 1.5. A velocidade da luz...................................................................................11 1.6. A experiência de Michelson e Morley......................................................12 1.7. Aberração da luz das estrelas e experiência de Fizeau...........................16 Notas..........................................................................................................18 Problemas..................................................................................................23

Postulados da teoria da relatividade especial....................................................25 2.1. Postulados de Einstein.............................................................................25 2.2. Simultaneidade..........................................................................................27 2.3. Relatividade da simultaneidade................................................................28 2.4. Dilatação do tempo...................................................................................28 2.5. Contração do comprimento......................................................................33 Notas..........................................................................................................36 Problemas..................................................................................................37

A transformação de Lorentz...............................................................................39 3.1. A transformação de Lorentz.....................................................................40 3.2. Dilatação do tempo...................................................................................43 3.3. Contração do comprimento......................................................................43 3.4. Diferença de sincronização de relógios....................................................45 3.5. Transformação das velocidades................................................................47 3.6 Efeito Doppler...........................................................................................49 3.7 O modelo do Big Bang...............................................................................53 Notas..........................................................................................................55 Problemas..................................................................................................58

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Mecânica relativística..........................................................................................61 4.1. Conservação do momento........................................................................61 4.2. Energia.......................................................................................................64 4.3. O efeito Compton......................................................................................70 4.4. Produção e aniquilação de pares elétron-pósitron..................................72

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Teoria da relatividade especial

4.5. 4.6. 4.7.

Movimento de uma partícula em campo magnético................................73 Reações nucleares e estabilidade nuclear...............................................74 O efeito Cherenkov...................................................................................77 Notas..........................................................................................................78 Problemas..................................................................................................79

Formalismo no espaço-tempo.............................................................................81 5.1. Vetores.......................................................................................................81 5.2. Eventos e intervalos..................................................................................82 5.3. Cone de luz................................................................................................84 5.4. O modelo do Big Bang e o cone de luz.....................................................86 5.5. Quadrivetores............................................................................................87 5.6. Quadrivetor velocidade.............................................................................89 5.7. Quadrivetor momento...............................................................................90 5.8. A lei de conservação de momento-energia e decaimento nuclear.........92 5.9. Quadrivetor força......................................................................................94 5.10. Interpretação geométgrica da transformação de Lorentz......................95 Notas..........................................................................................................97 Problemas..................................................................................................98

Relatividade e eletrodinâmica...........................................................................101 6.1 Formulação covariante...........................................................................101 6.2. Forma diferencial das equações de Maxwell.........................................102 6.3. Equação de continuidade.......................................................................102 6.4 Potenciais do campo eletromagnético...................................................105 6.5. Tensores...................................................................................................106 6.6. O campo eletromagnético.......................................................................109 6.7. Transformação do campo eletromagnético sob uma TL.......................111 6.8. Campo de uma partícula carregada em movimento uniforme..............113 Problemas................................................................................................116

Teoria da relatividade geral..............................................................................119 7.1. Princípio da equivalência........................................................................120 7.2. Curvatura da luz num campo gravitacional...........................................124 7.3. Dilatação gravitacional do tempo...........................................................126 7.4. O “peso” da luz........................................................................................127 7.5 Curvatura do espaço-tempo...................................................................130 7.6. Avanço do periélio de Mercúrio..............................................................133 7.7. Os buracos negros e o tempo.................................................................134 Notas........................................................................................................136 Problemas................................................................................................139

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Constantes úteis................................................................................................141

Bibliografia.........................................................................................................143

Índice remissivo.................................................................................................145

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em busca do espaço absoluto Albert Einstein criou duas teorias da relatividade. A primeira, publicada em 1905, denominada teoria da relatividade especial (TRE), ou teoria da relatividade restrita, trata da invariância das leis físicas sob uma transformação entre referenciais que se deslocam com velocidades relativas uniformes. Sua estrutura matemática é simples e pode ser dominada com a matemática estudada nos primeiros anos da universidade. Seus postulados físicos levam a resultados à primeira vista estranhos, mas que aceitamos como verdadeiros, porque obedecem a uma lógica implacável e são verificados por um número imenso de experiências. A segunda – a teoria da relatividade geral (TRG), publicada em 1916 – generaliza os resultados da primeira para referenciais acelerados e incorpora a gravitação. Essa teoria exige um bom conhecimento de geometria diferencial e cálculo tensorial e não será exposta neste texto – dela discutiremos brevemente apenas os fundamentos, para dar ao leitor uma ideia de seu conteúdo físico. Começaremos pela discussão do conceito de referencial inercial, essencial para a formulação da TRE.

1.1 reFerênCiais inerCiais A mecânica clássica foi construída nos séculos XVI a XVIII por vários cientistas, mas seus fundamentos são devidos principalmente a Galileu Galilei e Isaac Newton. Coube a este dar-lhe a formulação definitiva em seus Principia mathematica(1). Ela tem como pressupostos as seguintes ideias: 1. O tempo é absoluto, homogêneo e isotrópico. Newton exprimiu essa ideia assim: “O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e por sua própria natureza, flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa”. A ideia de tempo absoluto implica independência em relação ao observador e ao objeto ou fenômeno observados; ao dizer que “o tempo flui uniformemente”, Newton estava afirmando sua homogeneidade. Só na física quântica, a questão da isotropia do tempo, isto é, a equivalência ou não dos sentidos passadofuturo e futuropassado, passou a ter significado e por isso a isotropia do tempo não é

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Capítulo 1 — Em busca do espaço absoluto



z (a)

(b)

R (inercial)

x z, z9

(c)

x x9

Figura 1.3 Na experiência do balde, de Newton, o referencial R da Terra é tomado como (aproximadamente) inercial. (a) Balde em repouso no referencial R e observador em R. (b) Balde em rotação no referencial R e observador em R. (c) Balde em rotação em R e observador no referencial R9 do balde.

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Newton propôs a seguinte experiência: tomamos um balde com água suspenso por uma corda e o giramos várias vezes em torno de seu eixo, de modo a torcer a corda. Se soltarmos o balde, ele terá um movimento de rotação em torno do eixo. Inicialmente a superfície da água permanecerá plana [Figura 1.3(a)], mas o atrito da água com o balde comunicará o movimento do balde à água e sua superfície tomará uma forma côncava [(Figura 1.3(b)]. De acordo com Newton, um observador no eixo do balde, girando com ele e, portanto, em repouso no referencial do balde [Figura 1.3 (c)], ao observar a forma côncava da superfície da água, poderá afirmar que o balde tem uma aceleração absoluta. Para Newton, as forças fictícias ou inerciais, que aparecem em um referencial R9 em rotação uniforme (força centrífuga, força de Coriolis), que provocam a curvatura da superfície da água, resultam de rotações absolutas, isto é, de rotações em relação ao espaço absoluto.

No final do século XIX, Mach fez uma crítica aos fundamentos da mecânica de Newton que teve grande influência nas concepções de Einstein sobre a relatividade. Para Mach, só existem movimentos relativos; não R9 (não-inercial) importa se concebemos a Terra em rotação em torno de seu eixo, ou em repouso, enquanto as estrelas giy9 ram em torno dela. Na experiência do balde, segundo Mach, o que o observador está detectando de fato não y é a aceleração do balde em relação ao espaço absoluto, mas, sim, em relação a todas as massas do universo, ou seja, em relação a um referencial ligado às estrelas – a concavidade seria observada igualmente se deixássemos o balde fixo e fizéssemos o conjunto das estrelas girar em torno da Terra. De acordo com Mach, a lei de inércia não se refere ao repouso ou movimento uniforme, em relação ao espaço absoluto, mas em relação ao centro de massa de todas as massas do universo (referencial das estrelas). O que hoje denominamos princípio de Mach é uma conjetura que enfeixa o conjunto de ideias expostas acima, difícil de ser traduzida numa única proposição. A formulação de Einstein para essa conjetura é a seguinte: “A inércia mede a resistência de um ponto material à aceleração com respeito às massas de todos corpos do universo, sendo, portanto, afetada por elas”.

1.4 Teoria eletromagnética de Maxwell Em meados do século XIX, Maxwell formulou uma teoria capaz de explicar todos os fenômenos elétricos e magnéticos conhecidos na época. Essa teoria está contida nas quatro equações para o campo elétrico E e o campo magnético B escritas a seguir em sua forma integral:

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postulados da teoria da relatividade especial 2.1 poStuladoS de einStein Para conhecer a motivação de Einstein em criar a teoria da relatividade, nada melhor do que ler a introdução de seu artigo, publicado no periódico científico Annalen der Physik(1), que reproduzimos aqui. “Como se sabe, a eletrodinâmica de Maxwell – tal como entendida atualmente –, quando aplicada a corpos em movimento, conduz a assimetrias que não parecem ser inerentes aos fenômenos. Consideremos, por exemplo, as ações eletrodinâmicas recíprocas entre um ímã e um condutor. O fenômeno observável depende apenas do movimento relativo entre condutor e ímã, enquanto o entendimento habitual faz uma distinção perfeita entre os casos em que um ou outro desses corpos se move. Se o ímã se movimenta e o condutor fica em repouso, será criado em torno do ímã um campo elétrico, com uma certa energia definida, que criará uma corrente elétrica nas regiões onde estiverem partes do condutor. Mas, se for o ímã que está em repouso e o condutor em movimento, não surgirá um campo elétrico na vizinhança do ímã. Encontraremos, no entanto, uma força eletromotriz no condutor à qual, em si mesma, não corresponde nenhuma energia, mas que dá origem a correntes elétricas com trajetória e grandezas iguais às produzidas por forças elétricas no primeiro caso – desde que os movimentos relativos sejam iguais nos dois casos considerados. Exemplos desse gênero, assim como o insucesso das experiências feitas para detectar qualquer movimento da Terra em relação ao éter, sugerem que os fenômenos da eletrodinâmica, tal como os da mecânica, não apresentam nenhuma propriedade que corresponda à ideia de repouso absoluto. Ao contrário, eles sugerem que em todos os sistemas de coordenadas em que são válidas as equações da mecânica também são válidas as leis ópticas e eletrodinâmicas – o que até a primeira ordem de grandeza já está demonstrado. Vamos elevar à categoria de postulado essa conjetura (que chamaremos daqui em diante princípio da relatividade); vamos, além disso, introduzir o postulado –

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2.4 — Dilatação do tempo

desloca-se ao longo do eixo x do referencial R com velocidade uniforme u (Figura 2.4a). O observador em R9 tem um relógio de luz colocado verticalmente em relação a u. Os dois eventos que consideraremos são a partida do pulso de luz da fonte F e sua chegada ao detetor C. O observador em R9 aciona o relógio e verifica que o tempo medido pelo osciloscópio entre os dois eventos é Dt9 = 2d/c. Para o observador em R, no entanto, o relógio deslocou-se do ponto x1, quando o pulso de luz foi emitido, até o ponto x2, quando o pulso foi recebido.

Chamando de Dt o intervalo de tempo medido, teremos: 2

⎛ cΔt ⎞ 2 ⎛ uΔt ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = d + ⎜⎝ 2 ⎟⎠

Δt 2 =

4d 2

c − u2

Então Δt =

2d c

1 1−

Δt ′

1−

= γ Δt ′,

onde

γ =

1−

u2 c2

(2.1)

≥ 1.

Figura 2.3 Relógio de luz. Um pulso de luz é emitido pela fonte F e, depois de refletido no espelho E, vai ao receptor C. Um osciloscópio registra a emissão e recepção do pulso.

Portanto, o observador em R medirá um intervalo de tempo entre os dois eventos maior do que o medido pelo observador em R9 e concluirá que o relógio em R’ é mais lento, ou seja, atrasa-se. Esse é o fenômeno que denominamos dilatação do tempo. a)

O b)

t/2

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uDt

Figura 2.4 Um relógio de luz está parado no referencial R9 que se desloca com velocidade u em relação ao referencial R. O observador em R9(a) e o observador em R (b) medem tempos diferentes.

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A transformação de Lorentz

Vimos no Capítulo 1 que a mecânica newtoniana, a transformação de Galileu (TG) e o princípio da relatividade de Galileu (PRG) são compatíveis, isto é, se aplicarmos a TG a uma das equações da mecânica clássica, a equação preservará sua forma, satisfazendo assim o PRG. Vimos também que quando juntamos a esse conjunto de leis as equações de Maxwell, a consistência é perdida, porque essas equações não são invariantes sob a TG. No Capítulo 1, apontamos três caminhos que poderiam ser tomados para sanar esse conflito: a) O princípio da relatividade (PR) não pode ser estendido ao eletromagnetismo. Nesse caso, existe um referencial absoluto para o eletromagnetismo. b) A mecânica de Newton e a TG são corretas e o PR pode ser estendido ao eletromagnetismo. Nesse caso, a formulação de Maxwell do eletromagnetismo não é correta (porque não é invariante sob a TG) e exige modificação. c) O PR pode ser estendido ao eletromagnetismo e a formulação de Maxwell do eletromagnetismo é correta. Nesse caso, a TG e a mecânica de Newton não são corretas e exigem modificações. Mostramos que a experiência de Michelson-Morley, combinada com as experiências de aberração das estrelas e de Fizeau, constitui evidência forte contra a existência de um éter eletromagnético, que poderia servir como referencial absoluto. Isso significa que o PR deve ser estendido ao eletromagnetismo. Por outro lado, não tinha sido feita nenhuma experiência que pudesse ser considerada como teste negativo para as equações de Maxwell; pelo contrário, essas equações não só tinham sido capazes de explicar todos os fenômenos eletromagnéticos conhecidos, como também tinham se mostrado fecundas na previsão de novos fenômenos e, sobretudo, tinham incorporado a óptica como fenômeno eletromagnético. As tentativas de substituir a teoria eletromagnética de Maxwell por outra compatível com a TG não resistiram a verificações experimentais. Somos, então, induzidos a adotar o terceiro caminho, entre os apontados acima.

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3.5 — Transformação das velocidades

valo de tempo entre a saída do pulso de luz de C e sua chegada em A é Dt = 5 min. Podemos usar a TL para transformá-lo do referencial R para o referencial R9: ⎛ uΔx ⎞ Δt ′ = γ ⎜ Δt − 2 ⎟ = 1,25 ⎝ c ⎠

⎛ 0,6 c(−5 c min) ⎞ ⎜⎝ 5 min − ⎟⎠ = 10 min. c2

O leitor poderá calcular o intervalo de tempo no referencial R9 entre a saída do pulso de luz de C e sua chegada a B e achará 2,5 min. Observe que C9 se afasta de A e se aproxima de B depois que o pulso de luz é emitido, por isso Dt9CA > Dt > Dt9CB .

c) Para C, o intervalo de tempo entre a recepção dos dois clarões é Dt = 0, porque são simultâneos para ele. De acordo com C9, o intervalo de tempo é, no entanto, ⎛ ⎛ uΔx ⎞ 0,6 c ⋅10 c min ⎞ Δt ′ = γ ⎜ Δt − 2 ⎟ = 1,25 ⎜ 0 − ⎟⎠ = −7,5 min. ⎝ ⎝ c ⎠ c2

O sinal negativo indica a ordem em que C9 percebe os clarões. Assim, Dt9 = t9B – t9A = – 7,5 min < 0,

então t9A > t9B (para C9, o clarão de B precede o de A).

d) Os relógios A e B estão sincronizados em R, mas não em R9. A diferença de sincronização é dada no relógio C9 por Δt ′ =

uL0 c

0,6 c ⋅10 c min c2

= 6 min.

De acordo com C9, o relógio B está adiantado 6 min em relação ao relógio A.

3.5 Transformação das velocidades

Conhecemos a velocidade v de uma partícula P no referencial inercial R e queremos achar sua velocidade no referencial R9, que se desloca com velocidade uniforme u em relação a R. Como já vimos, é sempre possível girar os referenciais de modo que u fique paralela ao eixo Ox sem perder a generalidade. A partícula tem um deslocamento (Dx, Dy, Dz) no tempo Dt. Utilizamos a TL para transformar os deslocamentos e o intervalo de tempo de um referencial para o outro. As componentes da velocidade no referencial R9 são:

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^ vyy

v vxx^

u O9 O

x9 x

Figura 3.6 Os referenciais inerciais R e R9 têm velocidade relativa u. A velocidade da partícula P no referencial R é v(vx, vy) e no referencial R9 é v9(v9x, v9y ).

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mecânica relativística 4.1 COnsERvAçãO DO mOmEnTO Vimos que para que o princípio da relatividade fosse estendido ao eletromagnetismo era necessário substituir a transformação de Galileu (TG) pela nova transformação de Lorentz (TL). No entanto, as leis da mecânica clássica não são invariantes para essa nova transformação, como mostraremos a seguir, tomando como exemplo o princípio de conservação do momento na colisão de dois corpos (por simplicidade, usaremos a palavra momento em lugar de momento linear ou quantidade de movimento). Consideremos no referencial R do laboratório a colisão de duas esferas de massa m e velocidades v e –v, iguais em módulo e opostas. É fácil observar na Figura 4.1 que, nesse referencial, as somas das componentes das velocidades nas direções x e y são nulas antes e depois do choque e que, portanto, o momento total é conservado no choque das esferas.

vy v

Depois

–vx

Antes v –vx

–vy

–mvy(1)

mvy(1) 1 2

v vy 2 vx Antes

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2 Depois

vx v –vy

mvy(2) 2 Antes

–mvy(2)

Depois

Figura 4.1 Choque de partículas no referencial R do laboratório.

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Capítulo 4 — Mecânica relativística

•

Conservação do momento: p1 = p2 +

•

hν . c

(a)

Conservação da energia: E1 = E2 + hn

E12 = E22 + h2n 2 + 2E2 hn.

Substituindo E1 e E2 pelas expressões dadas pela Equação 4.6, obtemos: (p12 c2 + m2 c4)1/2 = (p22 c2 + m2 c4)1/2 + hn.

(b)

Substituindo na Equação (b) a expressão de p1 dada pela equação (a), com alguma manipulação algébrica, obtemos: m2c4 = 0, que indica uma massa de repouso nula para o elétron, resultado inaceitável. Deixamos a resposta da segunda parte deste exemplo para o leitor (se encontrar dificuldade, procure uma sugestão estudando a nota 6 do Capítulo 7)

4.3 O efeito Compton

ét

ro n

No estudo do espalhamento de raios X pela matéria, observa-se uma modalidade de espalhamento em que E,, Pe o comprimento de onda da radiação espalhada é relacionado ao da radiação incidente e independe do material do alvo. Arthur H. Compton, em 1922, prou Elétron pôs que esse tipo de espalhamento resultava da colisão dos fótons com elétrons livres (ou quase livres) do m w alvo e calculou os resultados experimentais aplicando hn9 Fót hn9, — as leis de conservação da energia e do momento, em c on sua forma relativística. Ele próprio realizou experiências maravilhosamente precisas que confirmaram a teoria e, por isso, o efeito recebeu seu nome.

Fóton hn hn, — c

Figura 4.5 Efeito Compton. O fóton colide com elétron de massa m, em repouso, e é espalhado na direção que forma um ângulo w com a direção de incidência; o elétron recua na direção que forma um ângulo u com a direção de incidência.

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Essa experiência é particularmente notável, porque o comprimento de onda da radiação espalhada é medido pela observação da difração do feixe espalhado num cristal, utilizando, portanto, o conceito de onda, ao passo que a colisão é explicada em termos de partículas. A experiência expõe, assim, de maneira clara, a dualidade onda-partícula do fóton. Sem entrar em detalhes experimentais, a experiência pode ser descrita assim: um feixe de raios X de comprimento de onda l, incide numa lâmina de grafite; o feixe espalhado é então observado em diferentes ângulos. São observados dois picos: um do mesmo comprimento de onda l do feixe incidente – não espalhado, portanto – e outro de comprimento de onda l9 > l. De acordo com Compton, o segundo feixe

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Formalismo no espaço-tempo Neste capítulo vamos reexaminar a teoria da relatividade especial (TRE) de um ponto de vista em que as três dimensões do espaço e o tempo são considerados dimensões de um contínuo em quatro dimensões – o espaço-tempo. Para isso, vamos introduzir um novo formalismo, baseado em quadrivetores, que se mostrará muito útil.

5.1 vEtorEs É bem conhecida a simplificação que se obtém no tratamento matemático das leis da física com a introdução da representação vetorial. Essa simplificação resulta em parte da concisão: três equações, correspondentes às projeções nos três eixos de coordenadas, são substituídas por apenas uma equação vetorial. A principal vantagem, no entanto, é que a formulação de uma lei física em termos de vetores é independente da escolha do sistema de coordenadas. A homogeneidade e a isotropia do espaço, que, como vimos no Capítulo 1, constituem fundamentos da física clássica, são, dessa forma, incorporadas pelo formalismo vetorial. Vamos tomar o deslocamento Dr = (Dx, Dy, Dz) que liga dois pontos no espaço euclidiano como protótipo. Sob uma operação de translação do sistema de eixos de coordenadas, as componentes de Dr permanecem as mesmas e, sob uma operação de rotação, elas se transformam como as próprias coordenadas: Dx9 = a11Dx + a12Dy + a13Dz, Dy9 = a21Dx + a22Dy + a23Dz, Dz9 = a31Dx + a32Dy + a33Dz,

(5.1)

sendo os a funções dos ângulos que especificam a rotação. Por exemplo, para uma rotação de um ângulo w em torno do eixo Oz a transformação é dada por: Dx9 = Dx cos w + Dy sen w, Dy9 = Dy cos w – Dx sen w, Dz9 = Dz.

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(5.2)

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5.5 — Quadrivetores

Se, de nossa posição atual, construímos o cone de luz, uma determinada seção dele, no passado, mostrará a radiação de fundo remanescente do estado inicial. Quando observamos regiões cada vez mais remotas do universo, a seção reta observada do cone, que representa o universo num certo instante de tempo, deverá diminuir e tender para zero – tender para uma singularidade. O que faz que isso ocorra é a alta densidade de matéria e radiação, que encurva os raios de luz que formam a superfície do cone (veja o Capítulo 7) e os faz convergir na singularidade, como mostra a Figura 5.9. O estado inicial marca o início do espaço e do tempo e não há sentido em falar em espaço e tempo antes dele. Nessa singularidade, que seria o protouniverso, a TRG não tem validade. Há, porém, esperança de que seja criada uma teoria quântica da gravitação, que unificará a mecânica quântica e a TRG e evitará as singularidades previstas por esta última.

Observador olhando o passado

Galáxias em passado recente

Galáxias há 5 bilhões de anos Radiação de fundo

Alta densidade de matéria encurva os raios de luz

Singularidade do big bang

5.5 Quadrivetores Vamos introduzir agora o conceito de quadrivetor, que permitirá criar o formalismo para o espaço-tempo. Inicialmente faremos a substituição da variável ct pela variável imaginária t = ict, onde i = ! –1. Não procure dar um significado físico ao fato de ser a variável correspondente ao tempo um número imaginário – trata-se apenas de formalismo matemático. O vetor posição, que liga o evento (0, 0, 0, 0) ao evento (x, y, z, t), será representado por suas quatro componentes ra (a = 1, 2, 3, 4).

Figura 5.9 Quando observamos o passado do universo, a folha do passado do cone de luz deve se encurvar no passado remoto, por causa da alta densidade de matéria e de radiação, para fechar em um ponto que é a singularidade que gerou o universo.

Utilizaremos uma letra grega como subíndice para indicar uma variação de 1 a 4 e evitar confusão com os vetores que terão subíndice latino, com variação de 1 a 3. O quadrado do módulo do quadrivetor é:

S41ra2 = x2 + y2 + z2 + t 2.

(5.5)

Para evitar o uso frequente do símbolo de somatório no formalismo, introduziremos a convenção de que um subíndice repetido indica um somatório sobre ele (o subíndice, nesse caso, é denominado índice mudo):

S41ra2 = rara .

(5.6)

Se o leitor tiver dificuldade em entender as fórmulas escritas com esse formalismo mais compacto, basta, toda vez que houver subíndice repetido, introduzir o símbolo somatório que soma sobre esse subíndice. Uma expressão com subíndice elevada ao quadrado deve ser interpretada como contendo um subíndice repetido e subentende, portanto, o símbolo somatório: xa2 = xa xa = Sa xa2.

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relatividade e eletrodinâmica 6.1 Formulação Covariante Antes da formulação da teoria da relatividade especial (TRE) por Einstein, em 1905, Voigt, Larmor e Lorentz haviam, sucessiva e independentemente, descoberto a transformação – denominada posteriormente transformação de Lorentz (TL) – sob a qual as equações da eletrodinâmica são formalmente invariantes. Como a transformação entre diferentes referenciais inerciais aceita na física clássica é a transformação de Galileu (TG), sob a qual as equações da eletrodinâmica não são invariantes, a suposição vigente na época era de que as equações da eletrodinâmica eram válidas apenas no referencial do éter, em repouso no espaço absoluto. Não estava claro então, para Lorentz, ainda convencido da existência do éter, que a nova transformação tinha um significado físico, isto é, que ela relacionava medidas físicas reais feitas em diferentes referenciais inerciais. Como vimos no Capítulo 3, Einstein examinou a questão de outro ponto de vista. Partindo dos dois postulados de sua teoria, deduziu a transformação matemática aplicável à transição entre referenciais inerciais que mantivesse invariantes as equações da eletrodinâmica de Maxwell. É claro que encontrou de novo e independentemente a transformação já conhecida por Lorentz, mas agora ela tinha significado físico claro: era a transformação correta para relacionar medidas feitas em diferentes referenciais inerciais. É óbvio, então, que a eletrodinâmica de Maxwell é uma teoria relativisticamente correta, por serem suas equações fundamentais invariantes sob a TL. Ela não exige modificações, como acontece com a mecânica de Newton, para satisfazer os postulados da TRE. Não é adequado falar em “dar um tratamento relativístico à eletrodinâmica”, porque, como apontamos antes, ela já tem, de fato, uma formulação relativística. Pretendemos apenas dar-lhe uma formulação no espaço-tempo de modo que o tempo e as coordenadas espaciais sejam tratadas da mesma forma. Uma formulação das leis da física que trata as coordenadas espaciais e o tempo da mesma forma é denominada covariante; procuramos, então, uma formulação covariante da eletrodinâmica de Maxwell.

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6.5 — Tensores

três ou quatro vetores. No texto que segue, trataremos apenas de tensores de segunda ordem e omitiremos, por isso, a ordem.

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Num referencial particular, um tensor T (em maT33 nuscrito represente o tensor como T ) é representado univocamente por um conjunto de nove funções que T31 são suas componentes, porém, para que um conjunT32 T13 to qualquer de nove funções represente um tensor, T23 T11 é necessário que elas se transformem, numa rotação T do sistema de coordenadas, de acordo com a regra 12 T21 x1 dada acima (Equação 6.1). É a lei de transformação T22 das componentes que contém a essência da ideia de tensor – a situação é idêntica à que encontramos na definição de vetores. Em um sistema de coordenadas particular, um vetor A é determinado univocamente x2 por suas três componentes ax, ay, az. Se um novo sistema de coordenadas é introduzido por uma rotação, o mesmo vetor A é determinado por um novo conjunto de componentes e essas novas componentes são relacionadas com as velhas por uma Figura 6.2 As nove regra bem definida, que é a forma de transformação das próprias coordenadas. Na componentes Tik da regra de transformação das componentes, está a essência da ideia de vetor. tensão num cubo A independência de vetores e tensores em relação à escolha do referencial é o que faz deles ferramentas matemáticas importantes para o estudo das leis da natureza, porque esperamos que estas sejam independentes dos sistemas de coordenadas. Um tensor é simétrico se Tik = Tki e antissimétrico se Tik = –Tki. Num tensor antissimétrico, as componentes diagonais T11, T22 e T33 são nulas, porque devemos ter, por exemplo, T11 = – T11; existirão, portanto, apenas seis componentes independentes. Qualquer tensor pode ser decomposto na soma de um tensor simétrico e um antissimétrico na seguinte forma:

elementar do corpo são representadas na figura. Na face normal ao eixo x1: T11, T12, T13; na face normal a x2: T21, T22, T23 e na face normal a x3: T31, T32, T33.

1 1 Tik = (Tik + Tki ) + (Tik – Tki ). 2 2

Problema 2 Mostre que (Tik +Tki) e (Tik – Tki) são tensores simétrico e antissimétrico, respectivamente. Podemos associar a qualquer tensor o escalar traço do tensor: tr T = T11 + T22 + T33. O tensor unidade 1 é definido como o tensor cujas componentes são dik = 1 se i = k e dik = 0 se i  k. É fácil ver que para qualquer vetor A, cujas componentes são ai, dik ai = ak, ou seja, 1 A = A. As ideias desenvolvidas até agora para tensores no espaço de três dimensões podem ser estendidas imediatamente para quadritensores no espaço-tempo.

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teoria da relatividade geral Não é proposta deste texto tratar a teoria da relatividade geral (TRG). Ao contrário da teoria da relatividade especial (TRE), que, como vimos, pode ser estudada com conhecimento matemático relativamente simples, essa teoria requer um bom domínio da geometria diferencial. Quem estudou a TRE, terá, no entanto, uma natural curiosidade a respeito da teoria geral, que pretendemos satisfazer parcialmente. É nossa intenção expor brevemente neste capítulo os fundamentos físicos da teoria e discutir alguns testes experimentais (que não são muitos!) que auxiliam a compreensão dos fundamentos. Como o principal campo de aplicação da teoria geral é a cosmologia, faremos também uma apresentação rápida de um objeto cosmológico que, por suas propriedades estranhas, tem despertado em anos recentes grande interesse entre físicos e astrofísicos: os buracos negros. Quando publicou sua TRE, em julho de 1905, Einstein era analista do Escritório de Patentes da Suíça, em Berna, e completamente desconhecido no meio científico. Ele esperava que seu artigo, por suas características revolucionárias, provocasse uma enxurrada de comentários dos físicos. Tal, porém, não aconteceu. Alguns meses passados, ele recebeu, no entanto, uma carta de Planck, o mais respeitado físico na época, que pedia alguns esclarecimentos. A partir daí, a reputação de Einstein começou a crescer no meio científico europeu. Dois anos depois já era convidado a escrever um artigo de resenha (“artigo de revisão”, no jargão dos cientistas) sobre a TRE para o Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, publicação anual dedicada a desenvolvimentos recentes da física. Em um relato escrito em 1920, ele explica como a preparação desse artigo levou-o a uma das ideias básicas que permitiria a incorporação da gravitação à TRE: “Quando, em 1907, estava preparando um artigo de revisão sobre a teoria da relatividade para o Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, tentava modificar a teoria newtoniana da gravitação de modo que se ajustasse à teoria (da relatividade especial)… Ocorreu-me então um dos pensamentos mais felizes de minha vida, na seguinte forma. O campo gravitacional tem apenas

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7.2 — Curvatura da luz num campo gravitacional

(a)

Figura 7.6 Trajetórias de partícula (ou de pulso de luz) lançadas no interior da cabine de um elevador em queda livre, vistas por observador no interior da cabine (a) e no solo (b).

(b)

t=0 t=1 g

g t=2

t=3

Como o PE é aplicável a todos os fenômenos físicos, podemos imaginar a mesma experiência feita com um pulso de luz. A mesma análise mostra que o movimento do pulso de luz em relação ao solo é semelhante ao movimento da partícula. É claro que o desvio do pulso de luz nessa experiência é imperceptível, porque a velocidade horizontal c é imensamente mais alta do que o valor que a componente vertical pode ganhar; Einstein sugeriu, no entanto, uma observação astronômica, descrita a seguir, capaz de verificar o desvio da luz num campo gravitacional. Ele propôs que durante um eclipse solar total fossem observadas estrelas cujos raios de luz passassem rasantes ao Sol. Pela TRG, os raios de luz provenientes dessas estrelas deveriam ser defletidos de 1,75” de arco pela gravidade do Sol. A Figura 7.7 mostra como, por causa desse efeito, elas seriam vistas com pequeno deslocamento angular para fora, em relação à posição prevista no caso em que não houvesse efeito da gravidade. O astrofísico inglês A. S. Eddington organizou duas expedições astronômicas para observar o eclipse solar de 1919: na cidade de Sobral, no Ceará,

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Estrela

Posição aparente da estrela

Sol

Terra Figura 7.7 A deflexão do raio de luz de uma estrela pelo campo gravitacional do Sol faz que ela seja observada deslocada de sua posição real.

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