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Capítulo 3 — Características geométricas das seções transversais
Exemplo: ●
y1
y
Calcular os momentos de inércia Ix1 e Iy1 que passam pelo centro de gravidade da seção composta por dois perfis canal laminados (Fig 3.20). x = x1
Das características geométricas do perfil (Tabela E.3), tem-se (Figs. 3.21 e 3.22):
A= Ix = Iy = x=
7,78 cm2 68,90 cm4 8,20 cm4 1,11 cm
8
Figura 3.20 35,8
Tabela 3.3 Figura
C 76,2 x 6,11 kg/m
Ai (cm2) xCGi (cm) dix = xCGi – xCG (cm)
Iyi (cm4) Ai dx2i (cm4) Ixi (cm4)
1
7,78
1,11
–1,51
8,2
17,74
68,9
2
7,78
1,11
1,51
8,2
17,74
68.9
total
15,56
——
——
16,40
35,48
137,80
A = 7,78 cm 2 Ix = 68,9 cm 4 Iy = 8,2 cm 4
y CG
76,2
x
4,32 6,9 11,1
Figura 3.21
Ix1 = ⌺ Ixi = 137,80 cm4
y1
Iy1 = ⌺ Iyi + ⌺ Aidx2i = 16,40 + 35,48 = 51,88 cm4 1
y
2
3.4 — Produto de inércia de área plana (Ixy)
x = x1 d
É definido como sendo:
I xy =
∫
yx dA
d = 8– + 11,1 = 15,1 2
8 11,1
(3.17)
A
Figura 3.22
Se a área possuir um eixo de simetria, o produto de inércia é nulo, pois para qualquer elemento de área dA com abscissa e/ou ordenada positiva, sempre existe um outro elemento de área dA, igual e simétrico, com abscissa e/ou ordenada negativa (Fig. 3.23).
y dA
dA
No caso geral, é sempre possível determinar dois eixos ortogonais, tais que o produto de inércia seja nulo. Caso os eixos y e x da Fig. 3.24 girarem em torno de 0 em 90° no sentido horário, as novas posições desses eixos serão y1 e x1. As relações entre as antigas coordenadas de um elemento de área (dA) e suas novas coordenadas serão:
y1 = x x1 = –y
–x
1y1
=
∫
A
x 1 y 1dA = −
∫
(3.18) (3.19)
A
yx dA = −I xy
y 0
y1
x
(3.20) x1
Então verifica-se que, durante a rotação, o produto de inércia troca de sinal. O produto de inércia varia de modo contínuo com o ângulo de rotação. Devem existir determinadas direções para as quais o produto de inércia se anula. Os eixos nessas direções são denominados “eixos principais de inércia”. Portanto, se a área plana tem um eixo de simetria e um eixo normal a esse eixo pelo centro de gravidade, eles serão os eixos principais de inércia dessa área plana, pois o produto de inércia em relação a tais eixos será nulo. Se o produto de inércia de uma área plana é conhecido para os eixos x e y, que passam pelo seu centro de gravidade, o produto de inércia para os eixos paralelos x1 e y1 pode ser calculado como na Fig. 3.25.
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x
Figura 3.23
Portanto, o produto de inércia para as novas coordenadas será:
Ix
+x CG
Figura 3.24 y
y1
dA
a
A CG
x b x1
Figura 3.25
11.10.05 17:40:47