Cap´ıtulo 5
Estimadores do tipo raz˜ ao Neste cap´ıtulo, ser˜ao consideradas situa¸c˜oes em que ao elemento i da popula¸c˜ao finita U, tem-se associado o par (Xi , Yi ), i = 1, . . . , N . A vari´avel X ´e introduzida no problema para melhorar a previs˜ao de quantidades (parˆametros) como a m´edia ou o total populacional. Na teoria de regress˜ao, esta vari´avel ´e usualmente conhecida como vari´avel auxiliar ou preditora e ´e em geral controlada pelo experimentador. Assume-se que as quantidades Xi , i = 1, . . . , N , s˜ao conhecidas. O exemplo a seguir ilustra uma situa¸c˜ao t´ıpica onde a inferˆencia ´e facilitada pela utiliza¸c˜ao de uma vari´avel auxiliar X. Exemplo 5.1 Suponha que seja de interesse estimar a quantidade de a¸cu ´car que pode ser extra´ıda de um caminh˜ao carregado de laranjas. As unidades populacionais s˜ao laranjas. Seja ent˜ao Yi a quantidade de a¸cu ´car extra´ıda da laranja i, i = 1, . . . , N . PN Tem-se interesse na estima¸c˜ao de τY = i=1 Yi , a quantidade total de a¸cu ´car no carregamento. O estimador natural seria o estimador expans˜ao, τˆY = TY = N y. Mas tal estimador n˜ao pode ser utilizado, pois n˜ao se conhece o n´ umero de laranjas no caminh˜ao. Por outro lado, sabe-se que o peso da laranja i, Xi , ´e fortemente correlacionado com Yi , i = 1, . . . , N . Pode-se ent˜ao definir a raz˜ao, quantidade m´edia de a¸cu ´car por unidade de peso (5.1)
R=
µY τY = , τX µX
de onde se tira que τY = RτX =
µY τX , µX
onde τX = N e o peso total do carregamento. Com uma amostra de n larani=1 Xi ´ jas, encontram-se os estimadores x e y e, conhecendo-se o peso total, produz-se o P