Intervalle FBD MAT-3052 by Les Éditions CEC

Mathématique

1re année du 2e cycle du secondaire

Inter va ll e MAT-3052-2

Collecte de données

Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes SAÉ-SÉ Tests et examen formatif

Claude Boivin Dominique Boivin Caroline Martin Jean-Michel Panet Dominic Paul Vincent Roy Annie Dupré Antoine Ledoux Étienne Meyer

CONFORME AU PROGRAMME DE LA FORMATION DE BASE DIVERSIFIÉE

PRÉSENTATION DU CAHIER ....................................................................................................... V TEST DIAGNOSTIQUE ...................................................................................................................... 1

CHAPITRE 1 DISTRIBUTION STATISTIQUE À UN CARACTÈRE ........................................................ 5 RAPPEL 1 Étude statistique et diagrammes ................................................................................................................... 7 SECTION 1.1 Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme ........................................................................... 16 1.1.1 Échantillon représentatif et méthodes d’échantillonnage ...................................................................... 16 1.1.2 Tableaux de données ............................................................................................................................. 23 1.1.3 Histogramme .......................................................................................................................................... 29 Consolidation 1.1 ............................................................................................................................................ 32 SECTION 1.2 Mesures de tendance centrale..................................................................................................................... 37 1.2.1 Mode et médiane ................................................................................................................................... 37 1.2.2 Moyenne pondérée ................................................................................................................................ 44 Consolidation 1.2 ............................................................................................................................................ 51 SECTION 1.3 Diagramme de quartiles .............................................................................................................................. 55 1.3.1 Quartiles et étendue interquartile ........................................................................................................... 55 1.3.2 Diagramme de quartiles ......................................................................................................................... 59 Consolidation 1.3 ............................................................................................................................................ 66 SYNTHÈSE 1 .................................................................................................................................................. 70 BANQUE DE SA 1 .......................................................................................................................................... 79 SAÉ 1 : La lecture ........................................................................................................................................... 85 TEST 1 ............................................................................................................................................................ 88 Évaluation explicite des connaissances .......................................................................................................... 88 Évaluation des compétences .......................................................................................................................... 92

TABLE DES MATIÈRES

III

CHAPITRE 2 PROBABILITÉS .................................................................................................................................. 95 RAPPEL 2 Expérience aléatoire, événement et probabilité ......................................................................................... 97 SECTION 2.1 Dénombrement et représentation d’événements..................................................................................... 108 2.1.1 Dénombrement..................................................................................................................................... 108 2.1.2 Permutation .......................................................................................................................................... 112 2.1.3 Arrangement ......................................................................................................................................... 117 2.1.4 Combinaison ........................................................................................................................................ 123 Consolidation 2.1 .......................................................................................................................................... 128 SECTION 2.2 Calcul de probabilités ................................................................................................................................. 132 2.2.1 Types de variables aléatoires ............................................................................................................... 132 2.2.2 Probabilité d’un événement ................................................................................................................. 135 2.2.3 Probabilité géométrique ....................................................................................................................... 144 Consolidation 2.2 .......................................................................................................................................... 152 SYNTHÈSE 2 ................................................................................................................................................ 157 BANQUE DE SA 2 ........................................................................................................................................ 165 SAÉ 2 : Le soccer d’élite.............................................................................................................................. 171 TEST 2 .......................................................................................................................................................... 174 Évaluation explicite des connaissances ........................................................................................................ 174 Évaluation des compétences ........................................................................................................................ 178

GARDER LE CAP – CHAPITRES 1 ET 2 ........................................................................... 181 RÉVISION ............................................................................................................................................ 185 BANQUE DE SA .............................................................................................................................. 195 SÉ 1 : La fête foraine ................................................................................................................. 205 SÉ 2 : Le recrutement ............................................................................................................. 208 EXAMEN FORMATIF ..................................................................................................................... 211 GLOSSAIRE ....................................................................................................................................... 221 ANNEXES .......................................................................................................................................... 225 CORRIGÉ ........................................................................................................................................... 231

TABLE DES MATIÈRES

Le cahier Intervalle, MAT-3052-2 : Collecte de données s’adresse aux élèves de la 1re année du 2e cycle du secondaire en mathématique de la Formation de base diversiﬁée (FBD). Il comporte un Test diagnostique suivi de deux chapitres. À la fin du cahier, on trouve, dans l’ordre, une rubrique Garder le cap, une rubrique Révision, une rubrique Banque de SA, deux situations d’évaluation (SÉ ), un Examen formatif, un glossaire, des annexes et un corrigé du cahier.

TEST DIAGNOSTIQUE

Le Test diagnostique vous permet de vérifier la maîtrise des connaissances préalables à la poursuite de votre parcours en 1re année du 2e cycle du secondaire pour le cours MAT-3052-2. Il comprend quatre pages comportant des questions à choix multiple et des questions à réponse courte.

CHAPITRES

Chacun des deux chapitres du cahier débute par une page d’introduction où figure une mise en situation qui met en rapport les savoirs à acquérir et leur utilité dans la vie de tous les jours. Une rubrique Programme d’études présente ensuite la liste des énoncés du programme qui sont à l’étude dans le chapitre. Enfin, un sommaire du chapitre est présenté pour faciliter le repérage. Au verso de la page d’introduction se trouve une table des matières détaillée du chapitre. Chaque chapitre commence par une rubrique Rappel de neuf ou onze pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre. On y trouve un ou des encadrés théoriques suivis de quelques exercices et problèmes.

PRÉSENTATION DU CAHIER

Chaque chapitre est divisé en deux ou trois sections, chacune étant subdivisée en sous-sections de trois à neuf pages présentant la ou les notions à l’étude, étape par étape. Chaque sous-section est composée d’un encadré théorique ou plus comportant cette ou ces notions accompagnées d’un exemple et d’une démarche, s’il y a lieu. Lorsque nécessaire, on trouve également une rubrique En pratique qui permet de modéliser un exercice à effectuer ou un problème à résoudre. Chaque encadré théorique est suivi d’exercices destinés à l’application des nouvelles notions. Dans le texte courant, le gras est utilisé pour mettre en évidence les termes importants. Les mots en bleu et en gras sont définis dans le glossaire situé à la fin du cahier. Des exercices et des problèmes vous permettent ensuite de vérifier et de consolider votre compréhension des notions fraîchement acquises. Chaque section se termine par une rubrique Consolidation de quatre ou cinq pages qui propose des exercices et des problèmes en contexte visant à réinvestir l’ensemble des notions traitées dans les sous-sections. Une récapitulation en huit ou neuf pages, appelée Synthèse, vient à la suite de la dernière section d’un chapitre. On y trouve des exercices et des problèmes en contexte portant sur l’ensemble des notions présentées dans le chapitre. À la suite de la Synthèse se trouve la Banque de SA. Il s’agit d’une rubrique de six pages qui comporte de courtes situations d’apprentissage (SA) permettant d’intégrer l’ensemble des connaissances acquises au cours du chapitre. Vient ensuite une situation d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ ) sur trois pages dans laquelle vous devez effectuer deux ou trois tâches en lien avec le thème de la SAÉ. Un pictogramme indique le numéro de page où se trouve le corrigé.

PRÉSENTATION DU CAHIER

Finalement, un Test de sept pages clôt le chapitre. Celui-ci est divisé en deux parties : la partie Évaluation explicite des connaissances, sur un total de 20 points, et la partie Évaluation des compétences, sur un total de 80 points. Ce test, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-3052-2, vous permet d’avoir une rétroaction rapide sur l’état de vos apprentissages et du développement de vos compétences. Le corrigé des tests n’est pas disponible dans le corrigé du cahier.

GARDER LE CAP

Une rubrique Garder le cap vous permet de garder à jour les connaissances acquises tout au long de votre parcours. On y trouve notamment des exercices et des problèmes en contexte qui portent sur les notions étudiées dans le chapitre que vous venez de terminer et sur celles du chapitre précédent.

RÉVISION

La rubrique Garder le cap est suivie d’une rubrique Révision de dix pages qui permet de survoler l’ensemble des notions vues dans le cours MAT-3052-2. Cette rubrique propose des questions à choix multiple, des questions à réponse courte et des questions à développement, et se veut un retour sur l’ensemble des connaissances, dites explicites, acquises dans le cadre du cours.

BANQUE DE SA

À la suite de la rubrique Révision est proposée une rubrique Banque de SA, comme celles qu’on trouve à la fin de chacun des chapitres. Présentée sur dix pages, elle propose de courtes situations d’apprentissage (SA) en lien avec l’ensemble des notions du cahier.

SITUATIONS D’ÉVALUATION (SÉ)

Deux situations d’évaluation (SÉ ) sont offertes, chacune comportant trois tâches réparties sur trois pages. Les SÉ vous permettent d’évaluer l’état du développement des compétences à acquérir dans le cadre du cours MAT-3052-2 en plus de vous préparer à la partie Évaluation des compétences telle qu’on la trouve dans l’épreuve édictée pour ce cours. Contrairement aux SAÉ de fin de chapitre, les corrigés des SÉ ne sont pas disponibles dans le corrigé du cahier. © 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

PRÉSENTATION DU CAHIER

VII

EXAMEN FORMATIF

Un Examen formatif de dix pages, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-3052-2, est offert à la fin du cahier. Il comporte deux parties distinctes. La partie Évaluation explicite des connaissances comprend cinq questions de connaissances et représente 20 % de la note de l’examen. La partie Évaluation des compétences comporte trois tâches, la dernière demandant de confirmer ou de réfuter une affirmation. Cette partie représente 80 % de la note de l’examen. Ici non plus, le corrigé de l’examen formatif n’est pas disponible dans le corrigé du cahier. GLOSSAIRE

Un glossaire de quatre pages se trouve à la suite de l’examen formatif. Chaque mot en bleu et en gras dans le texte courant du cahier y est défini. ANNEXES

À la suite du glossaire sont proposées six pages d’annexes, des fiches utiles dans votre apprentissage des mathématiques. CORRIGÉ

Le corrigé des exercices, des problèmes, des SA et des SAÉ est présenté à la fin du cahier, à la suite des annexes. On y trouve les réponses ainsi que les principaux calculs et démarches permettant d’effectuer les exercices et de résoudre les problèmes en contexte, les SA et les SAÉ. VERSION NUMÉRIQUE

Un code à gratter donnant accès à la version numérique du cahier est disponible au tout début du cahier. Accessible à partir du site MaZoneCEC, cette version vous permet : • de feuilleter et d’annoter chaque page ; • d’écrire vos réponses dans votre cahier ; • de travailler dans votre cahier sans connexion Internet ; • d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic.

VIII

PRÉSENTATION DU CAHIER

p. 231

Questions à choix multiple

Parmi les énoncés suivants, lequel décrit adéquatement un recensement ? a) Pour connaître les préférences alimentaires des élèves d’une polyvalente, on interroge un groupe de chaque niveau. b) Pour connaître les intentions de vote des électeurs, on interroge 5000 personnes choisies au hasard dans le bottin. c) Pour connaître le moment le plus propice pour effectuer des travaux dans une rue, on interroge tous les habitants de cette rue. d) Pour évaluer le degré de satisfaction de la clientèle d’un restaurant, on interroge un client ou une cliente sur trois.

2 Lors d’un sondage, on a demandé à un échantillon de personnes

Saison préférée

quelle était leur saison préférée. Le diagramme circulaire ci-contre illustre les résultats obtenus. a) Si 132 personnes ont répondu qu’elles préféraient l’automne, quelle est la taille de l’échantillon ? 1) 360

2) 1056

40°

3) 1188

b) De quel type est le caractère étudié ? 1) Quantitatif continu.

Légende Automne Printemps

2) Qualitatif. 3) Quantitatif discret.

Été Hiver

3 Une expérience aléatoire consiste à tirer successivement et sans remise deux billes d’une boîte contenant quatre billes rouges, cinq billes bleues et trois billes vertes. Quelle est la probabilité d’obtenir : a) deux billes de la même couleur ? 1)

1 3

1 6

25 66

19 66

5 33

10 33

b) une bille rouge suivie d’une bille bleue ? 1)

1 3

1 6

4 On lance une pièce de monnaie à trois reprises. Si on s’intéresse au résultat du lancer, peu importe l’ordre, quelle est la probabilité d’obtenir pile au moins deux fois ? a)

3 8

1 4

1 2

3 4

5 Dans un diagramme circulaire qui représente les résultats d’une étude dont l’effectif total est de 240 répondants, quelle est la mesure de l’angle au centre du secteur correspondant à la modalité dont l’effectif est 72 ? a) 30°

b) 168°

c) 72°

d) 108°

TEST DIAGNOSTIQUE

p. 231

6 Le tableau ci-dessous montre les résultats d’un sondage mené auprès des élèves d’une école secondaire comptant 1225 élèves. Menus préférés à la cafétéria Menu

Fréquence (%)

Mini pizzas

40 %

Poulet sauce aigre-douce

36 %

Végéburgers

16 %

Ne mange pas à la cafétéria.

8 %

Quel énoncé est vrai ? a) On ne peut pas calculer précisément combien d’élèves préfèrent le poulet sauce aigre-douce. b) On dénombre 98 élèves qui ne mangent pas à la cafétéria. c) Plus de la moitié des élèves préfèrent les mini pizzas ou ne mangent pas à la cafétéria. d) Un ou une élève qui préfère les végéburgers n’aime pas les mini pizzas.

7 Un sondage concernant l’utilisation d’Internet a été effectué auprès de 128 familles d’un quartier de la ville. Le tableau ci-dessous montre les résultats de ce sondage. Utilisation d’Internet par les familles d’un quartier Utilisation principale d’Internet

Fréquence (nombre de familles)

Réseaux sociaux

Nouvelles

Musique en ligne

Films et télévision en ligne

N’a pas de connexion Internet.

Quel énoncé est vrai ? a) Ce quartier compte 128 familles. b) Le caractère de ce sondage est quantitatif discret. c) Environ 22 % des familles utilisent principalement Internet pour l’écoute de musique en ligne. d) Environ 16 % des familles n’ont pas de connexion Internet.

8 On tire une bille d’un sac contenant quatre billes noires et cinq billes rouges. Si on ne remet pas cette bille dans le sac et qu’on tire de nouveau une bille, quelle est la probabilité de tirer deux billes de couleur différente ? a) 55,56 %

b) 49,38 %

c) 50,62 %

d) 44,44 %

9 On prélève l’eau d’une rivière sur trois sites différents. Sachant que la probabilité qu’un échantillon d’eau soit contaminé est de 18 %, peu importe l’endroit où il a été prélevé, quelle est la probabilité qu’au moins un échantillon parmi les trois soit contaminé ? a) 18 %

b) 36,31 %

TEST DIAGNOSTIQUE

c) 7,97 %

d) 44,86 %

p. 231

Questions à réponse courte

10 Les données ci-dessous donnent la taille (en cm) des élèves d’un groupe de 3e secondaire. Taille des élèves de 3e secondaire 176

153

160

164

168

152

157

149

155

169

173

141

138

Quelle est la moyenne de ces données ?

11 Sur l’illustration ci-contre, quelle est l’aire du secteur : a) BOC ? b) AOB ?

11 cm

53° C

140° O 106°

c) AOD ? d) COD ?

61°

12 La roue de fortune ci-dessous est divisée en secteurs formant chacun un angle au centre de 45°. Lorsqu’une personne fait tourner cette roue, elle gagne le prix sur lequel la roue s’arrête. Quelle est la probabilité de gagner :

Meilleure chance la prochaine fois !

a) un prix ?

Gagnez 10 $ !

b) 5 $ ? c) 10 $ ? d) au moins 5 $ ? e) au moins 10 $ ?

Meilleure chance la prochaine fois ! Gagnez 5 $ ! Meilleure chance la prochaine fois ! Gagnez 5 $ ! Meilleure chance la prochaine fois ! Gagnez 10 $ !

13 Au cours d’une opération de surveillance routière, on intercepte 121 automobilistes. Parmi ceux-ci, 36 automobilistes roulaient à une vitesse supérieure à 123 km/h. Quel pourcentage des automobilistes interceptés roulaient à une vitesse inférieure ou égale à 123 km/h ?

Réponse :

14 De 2000 à 2015, la population mondiale est passée d’environ 6 126 622 000 personnes à environ 7 349 472 000 personnes. Déterminez l’augmentation (en %) de la population mondiale de 2000 à 2015.

TEST DIAGNOSTIQUE

p. 231-232

15 Une personne prend au hasard trois pièces dans sa poche, qui contient trois pièces de 5 ¢, deux pièces de 10 ¢ et quatre pièces de 25 ¢. Quelle est la probabilité qu’elle obtienne une somme supérieure à 50 ¢ ?

Réponse :

16 Un club cycliste compte 48 membres, dont la moitié utilise un nouveau type de pneu renforcé, alors que l’autre moitié utilise des pneus conventionnels. Si 31 membres du club ont eu une crevaison pendant le mois de juillet et que 10 membres utilisant les pneus renforcés n’ont pas eu de crevaison, quel pourcentage des cyclistes ayant eu une crevaison utilisait les pneus conventionnels ?

Réponse :

TEST DIAGNOSTIQUE

Distribution statistique à un caractère Dans ce chapitre, vous découvrirez divers concepts en lien avec les études statistiques. Ainsi, vous construirez des échantillons représentatifs à l’aide de la méthode d’échantillonnage stratifié et de la méthode d’échantillonnage par grappes. Vous étudierez également des mesures de tendance centrale telles que le mode, la médiane et la moyenne pondérée. Finalement, vous présenterez les résultats d’études statistiques à l’aide de divers modes de représentation tels des tableaux, des histogrammes et des diagrammes de quartiles. Ces notions vous permettront de comprendre la façon dont les données sont recueillies, représentées et analysées au cours d’études statistiques. Dans la vie de tous les jours, de telles notions sont utiles dans de multiples domaines, par exemple en météorologie, en marketing ou encore en démographie.

Programme d’études DISTRIBUTIONS STATISTIQUES À UN CARACTÈRE

• Organisation et interprétation de données statistiques • Construction et interprétation de tableaux de distribution • Représentation et interprétation de graphiques • Calcul de mesures de tendance centrale et de dispersion

RAPPEL 1 Étude statistique et diagrammes........................... 7

SECTION 1.1 Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme......... 16 SECTION 1.2 Mesures de tendance centrale.................................... 37 SECTION 1.3 Diagramme de quartiles.......... 55

SYNTHÈSE 1.............. 70 BANQUE DE SA 1.... 79 SAÉ 1.............................. 85 TEST 1........................... 88

CHAPITRE 1

DISTRIBUTION STATISTIQUE À UN CARACTÈRE ........................................................ 5

RAPPEL 1 Étude statistique et diagrammes .............................................................................................

SECTION 1.1 Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme ....................................................... 16 1.1.1 Échantillon représentatif et méthodes d’échantillonnage .................................................. 16 1.1.2 Tableaux de données ......................................................................................................... 23 1.1.3 Histogramme ...................................................................................................................... 29 Consolidation 1.1 ........................................................................................................................ 32 SECTION 1.2 Mesures de tendance centrale ................................................................................................ 37 1.2.1 Mode et médiane ............................................................................................................... 37 1.2.2 Moyenne pondérée ............................................................................................................ 44 Consolidation 1.2 ........................................................................................................................ 51 SECTION 1.3 Diagramme de quartiles ........................................................................................................... 55 1.3.1 Quartiles et étendue interquartile ....................................................................................... 55 1.3.2 Diagramme de quartiles ..................................................................................................... 59 Consolidation 1.3 ........................................................................................................................ 66 SYNTHÈSE 1 .............................................................................................................................. 70 BANQUE DE SA 1 ...................................................................................................................... 79 SAÉ 1 : La lecture ....................................................................................................................... 85 TEST 1 ........................................................................................................................................ 88 Évaluation explicite des connaissances ...................................................................................... 88 Évaluation des compétences ...................................................................................................... 92

CHAPITRE 1

TABLE DES MATIÈRES

Étude statistique et diagrammes • On procède à une étude statistique lorsqu’on collecte, qu’on classe, qu’on analyse et qu’on interprète des données statistiques en vue d’en tirer des conclusions ou de faire des prévisions. • Une étude statistique doit tenir compte de la population ou de l’échantillon, du caractère étudié et du type d’étude effectué. POPULATION ET ÉCHANTILLON

• Dans une étude statistique, la population est l’ensemble des êtres, des choses ou des faits qui font l’objet de l’étude statistique. • Un échantillon est un sous-ensemble d’une population. • La taille d’une population ou d’un échantillon est le nombre d’éléments qu’elle ou il comporte. Exemple : Dans une école comptant 850 élèves, on en interroge 225 afin de connaître leur choix de cours pour l’année prochaine. • La population correspond à tous les élèves de l’école. Sa taille est de 850. • L’échantillon correspond à la partie des élèves qui sont interrogés. Sa taille est de 225. CARACTÈRE

• Un caractère est ce sur quoi porte l’étude statistique. Le tableau ci-dessous montre les différents types de caractères. Caractère qualitatif

Caractère quantitatif

• Les données recueillies sont des mots ou des codes. • Les différentes formes que peuvent prendre les données sont appelées modalités.

• Les données recueillies sont des nombres. • Les données de type quantitatif sont appelées valeurs. Les données recueillies ne peuvent pas prendre toutes les valeurs possibles d’un intervalle de nombres réels.

Les données recueillies peuvent prendre toutes les valeurs possibles d’un intervalle de nombres réels.

Exemple : La couleur des yeux est un caractère qualitatif. Les couleurs bleu, brun et vert sont des modalités.

Exemple : Le nombre de télévisions dans une maison est un caractère quantitatif discret. Les valeurs possibles des données sont 0, 1, 2, 3, ...

Exemple : La taille des élèves d’une classe de 3e secondaire est un caractère quantitatif continu. Les valeurs possibles des données pourraient être tous les nombres variant de 150 cm à 185 cm.

Caractère quantitatif discret

Caractère quantitatif continu

Caractère

Qualitatif

Quantitatif

Discret

Continu

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

p. 232

TYPES D’ÉTUDES

Voici deux types d’études statistiques. Recensement On recueille de l’information sur tous les éléments d’une population. Sondage On recueille de l’information sur un échantillon de la population afin de tirer des conclusions sur l’ensemble d’une population. Exemples :

1) On interroge tous les élèves d’une école secondaire pour connaître leur choix de sortie de fin d’année.

2) On mesure la taille de 1000 Québécois pour tirer des conclusions sur l’ensemble de la population québécoise.

Type d’étude

Recensement

Sondage

Caractère étudié

Sortie de fin d’année

Taille

Type de caractère

Qualitatif

Quantitatif continu

Exemples de données

Cinéma, musée, canot

155 cm, 168 cm, 173,3 cm

Indiquez si le caractère étudié est de type qualitatif ou quantitatif. S’il est de type quantitatif, indiquez s’il est discret ou continu. a) Le nombre de frères et sœurs des joueurs d’une équipe de soccer. b) Le prix d’un cornet de crème glacée. c) La couleur des yeux des personnes attendant à un arrêt d’autobus. d) La masse d’un rôti de bœuf. e) Le solde d’un compte en banque. f) Le restaurant préféré des habitants de Chicoutimi. g) Le nombre de visites chez le coiffeur par année.

2 Dans chaque cas, indiquez s’il s’agit d’une population ou d’un échantillon.

Population

Échantillon

a) Les habitants d’un quartier d’une ville. b) Les 100 premiers clients d’un magasin. c) Tous les participants d’un concours de chant. d) Tous les oiseaux d’un zoo. e) Certaines des pièces produites sur une chaîne de montage.

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

p. 234

15 On a demandé à certains clients d’une agence de voyages quelle ou quelles îles ils ont visitées au cours de leur voyage à Hawaï. Les réponses obtenues sont présentées dans le tableau ci-dessous. Îles visitées à Hawaï a) S’agit-il d’un sondage ou d’un recensement ? Île Effectif Pourquoi ?

b) Sur quel type de caractère porte cette étude ?

Oahu

Big Island

Maui

Kauai

Lanai

Total

c) Construisez un diagramme à bandes qui représente cette situation. Îles visitées à Hawaï

Effectif

Île

d) On a également demandé aux clients quelle a été leur île préférée. Les réponses obtenues sont présentées dans le tableau ci-desous. Représentez cette situation dans le diagramme circulaire. Île préférée à Hawaï

Île préférée à Hawaï

Légende

Île

Effectif

Oahu

Big Island

Maui

Kauai

Lanai

Total

Maui Kauai Lanai

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme 1.1.1

Échantillon représentatif et méthodes d’échantillonnage

• Un échantillon est représentatif d’une population s’il a les mêmes caractéristiques que cette population. • Pour former un échantillon représentatif, on utilise une méthode d’échantillonnage. En voici deux : – l’échantillonnage par grappes ; – l’échantillonnage stratifié. Échantillonnage par grappes Description : • Méthode qui consiste à diviser la population en groupes que l’on appelle grappes. • On choisit au hasard un certain nombre de grappes et on forme un échantillon qui comporte tous les éléments contenus dans ces grappes. Avantage : Permet de réduire les coûts de sondage si la population est trop dispersée. Contextes d’utilisation : Usines, établissements d’enseignement, régions géographiques, etc. Exemple : On veut savoir combien d’employés de 18 à 25 ans qui travaillent dans les entreprises du Québec ont terminé leurs études secondaires. On choisit donc au hasard 70 entreprises réparties sur le territoire de la province et on interroge tous les employés âgés de 18 à 25 ans qui travaillent dans ces 70 entreprises. Échantillonnage stratifié Description : • Méthode qui consiste à diviser la population en groupes homogènes ayant des caractéristiques propres que l’on appelle strates. • Chaque strate est représentée dans l’échantillon selon le rapport suivant. Taille de la strate Taille de la population

Ensuite, on choisit au hasard des éléments de chaque strate. Avantages : • Rend la stratégie d’échantillonnage plus efficace et l’estimation plus exacte. • Assure une meilleure représentativité de la population. Contextes d’utilisation : Dans les situations où les caractères utilisés pour former les strates sont : • faciles à observer ; • étroitement liés au thème du sondage (ou du recensement). Exemple : On cherche à connaître les activités de fin d’année préférées des élèves d’une école en réalisant un sondage auprès d’un échantillon représentatif de 60 de ces élèves. Pour ce faire, on divise les élèves en strates selon leur sexe et leur niveau scolaire. Par exemple, la 1re strate regroupe les élèves de sexe féminin de 1re secondaire, la 2e strate regroupe les élèves de sexe masculin de 1re secondaire, et ainsi de suite. Ensuite, on choisit au hasard des élèves de chaque strate selon le rapport

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

taille de la strate taille de l’échantillon. taille de la population

p.234

Voici un problème à résoudre.

Population étudiante

Dans une école, on souhaite former un comité consultatif composé de 20 élèves représentatifs de la population étudiante décrite ci-contre en procédant à un échantillonnage stratifié.

Niveau

Effectif

3 secondaire

135

4e secondaire

5 secondaire

Voici un exemple de démarche possible. Calculez le nombre total d’élèves formant la population étudiante.

135 + 75 + 90 = 300 élèves

Déterminez le nombre d’élèves qu’il faut sélectionner dans chaque groupe pour former l’échantillon.

3e secondaire :

taille de la strate taille de la population

× 20 =

135 300

× 20 = 9 élèves

× 20 =

75 300

× 20 = 5 élèves

× 20 =

90 300

× 20 = 6 élèves

4e secondaire :

taille de la strate taille de la population

5e secondaire :

taille de la strate taille de la population

Total = 9 + 5 + 6 = 20 élèves Le comité sera composé de 9 élèves de 3e secondaire, de 5 élèves de 4e secondaire et de 6 élèves de 5e secondaire.

Dans chaque cas, déterminez quelle méthode d’échantillonnage a été utilisée. a) Pour connaître l’opinion des citoyens d’une ville au sujet de l’état des parcs municipaux, on interroge l’ensemble des citoyens habitant l’une des 10 rues sélectionnées parmi les 122 rues de la ville. b) Un tournoi de soccer masculin regroupe 50 équipes de joueurs du même âge. Pour connaître le degré de satisfaction des joueurs quant à l’organisation du tournoi, on forme un échantillon en choisissant cinq équipes au hasard. c) Dans une usine, on fabrique deux fois plus d’échelles de 2 m que d’échelles de 3 m. Afin de vérifier la qualité de celles-ci, on choisit un échantillon de 12 échelles de 2 m et six échelles de 3 m pour les soumettre à des tests de résistance. d) Dans une communauté constituée de 70 % de francophones, de 20 % d’anglophones et de 10 % d’allophones, on forme un échantillon comprenant également 70 % de francophones, 20 % d’anglophones et 10 % d’allophones. e) Pour déterminer le degré de pollution des lacs, on teste l’eau de tous les lacs de quatre régions choisies au hasard parmi les 40 régions administratives d’un pays.

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 234-235

2 Un camp de vacances compte cinq groupes d’enfants composés de la façon suivante. Groupes d’un camp de vacances Groupe

Total

Nombre d’enfants

130

On souhaite constituer un échantillon de 40 à 50 enfants représentatif de la population pour leur soumettre un questionnaire. Déterminez la composition de l’échantillon si on utilise la méthode : a) d’échantillonnage stratifié ;

Réponse :

b) d’échantillonnage par grappes.

Réponse :

3 Le diagramme à bandes ci-dessous illustre la répartition d’une population de papillons par espèce. Espèces de papillons

Espèce Papillon lune Papillon tigré Cécropia 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000 Effectif

On veut former un échantillon de 200 individus représentatif de cette population en procédant à un échantillonnage stratifié. Décrivez la composition de cet échantillon.

Réponse :

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 235

4 Parmi les diagrammes à bandes ci-dessous, lequel est

Répartition des personnes en trois groupes

associé à un échantillon représentatif de la population décrite dans le diagramme circulaire ci-contre ?

112,5° 157,5° 3

Répartition des personnes en trois groupes

Effectif

0 1

Groupe

Répartition des personnes en trois groupes

Groupe

Répartition des personnes en trois groupes

Effectif

0 1

Groupe

5 On a réparti la population ciblée pour une étude statistique selon les strates indiquées dans le tableau ci-contre. a) Expliquez pourquoi cette façon de stratifier ne pourrait pas être utilisée pour étudier l’intérêt pour l’actualité politique des personnes formant cette population selon leur catégorie d’âge.

Groupe

Répartition de la population ciblée Taille des personnes (cm)

Effectif

[130, 150[

3578

[150, 170[

15 480

[170, 190[

2911

b) Que faudrait-il faire pour former un échantillon stratifié qui soit pertinent pour une telle étude ?

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 235

6 1 Le tableau ci-dessous montre la composition de la population active d’un village. On désire former un échantillon de 200 personnes représentatif de cette population en vue d’un sondage. a) Quelle méthode d’échantillonnage est-il préférable d’utiliser ? Expliquez votre réponse.

Population active d’un village Langue maternelle

Sexe

Français Masculin Autre

Français Féminin Autre

Âge

Effectif

[18, 35[

405

[35, 45[

802

[45, 65[

543

[18, 35[

[35, 45[

120

[45, 65[

[18, 35[

465

[35, 45[

782

[45, 65[

500

[18, 35[

[35, 45[

[45, 65[

Total

3960

b) Si on utilise cette méthode, combien cet échantillon devrait-il compter : 1) d’hommes ?

2) de femmes ?

Réponse :

c) Remplissez le tableau ci-dessous en utilisant cette méthode. Échantillon Sexe

Langue maternelle

Âge

Effectif

[18, 35[ Français

[35, 45[ [45, 65[

Masculin

[18, 35[ Autre

[35, 45[ [45, 65[ [18, 35[

Français

[35, 45[ [45, 65[

Féminin

[18, 35[ Autre

[35, 45[ [45, 65[

Total

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 235-236

7 Une usine fabrique deux modèles de pièces

Production quotidienne

provenant de la même chaîne de production. Le tableau ci-contre fournit des renseignements sur la production quotidienne de ces pièces.

Modèle X

Modèle Y

Total

Lot 1

236

475

711

Lot 2

325

115

440

Lot 3

110

120

230

Total

671

710

1381

a) La responsable du contrôle de la qualité doit former un échantillon de 200 pièces représentatif de la population pour en tester la qualité. Sachant qu’elle utilise la méthode d’échantillonnage stratifié, indiquez la composition de cet échantillon dans le tableau suivant. Échantillon Modèle X

Modèle Y

Lot 1 Lot 2 Lot 3

b) Expliquez comment il serait possible de créer un échantillon représentatif de la population à partir de la méthode d’échantillonnage par grappes.

8 Le tableau ci-contre montre la composition

Population étudiante d’un cégep

de la population étudiante d’un cégep.

Sexe

En utilisant l’échantillonnage stratifié, décrivez la composition d’un échantillon représentatif comptant 100 personnes si l’on tient compte : a) uniquement du sexe des personnes interrogées ;

Langue maternelle

Effectif

Français

250

Autre

125

Français

300

Autre

200

Masculin Féminin Total

875

Réponse : b) uniquement de la langue maternelle des personnes interrogées ;

Réponse :

c) du sexe et de la langue maternelle des personnes interrogées.

Réponse :

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 236

9 1 Dans une forêt du nord, des biologistes ont remarqué que certains orignaux développaient une maladie de la peau. Pour connaître l’étendue du problème, ils décident d’étudier 250 orignaux de la population décrite ci-contre. Décrivez la composition de l’échantillon si les biologistes utilisent la méthode d’échantillonnage stratifié.

Population d’orignaux

Effectif 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

Mâles adultes

Femelles adultes

Jeunes Jeunes mâles femelles Catégories d’orignaux

Réponse :

10 Le tableau ci-dessous classe les employés d’une entreprise selon leur sexe, leur scolarité et leur salaire. Employés d’une entreprise Sexe

Scolarité Diplôme d’études secondaires

Féminin

Diplôme d’études collégiales

Diplôme universitaire

Diplôme d’études secondaires

Masculin

Diplôme d’études collégiales

Diplôme universitaire

Salaire annuel

Effectif

Moins de 65 000 $

106

65 000 $ et plus

Moins de 65 000 $

125

65 000 $ et plus

145

Moins de 65 000 $

65 000 $ et plus

220

Moins de 65 000 $

138

65 000 $ et plus

Moins de 65 000 $

204

65 000 $ et plus

180

Moins de 65 000 $

65 000 $ et plus

209

Effectif de l’échantillon

Total

a) En vue d’un sondage, on souhaite former un échantillon de 250 personnes représentatif de la population. Complétez les deux dernières colonnes du tableau ci-dessus à l’aide de la méthode d’échantillonnage stratifié. b) Aurait-il été préférable de choisir la méthode d’échantillonnage par grappes ? Justifiez votre réponse.

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

1.1.2

Tableaux de données

TABLEAU DE DONNÉES CONDENSÉES

• On peut utiliser le tableau de données condensées lorsqu’une distribution comporte un grand nombre de données qui ont tendance à se répéter. • L’effectif d’une donnée correspond au nombre de fois que cette donnée apparaît dans la distribution. Distribution

Exemple : Le tableau de données condensées ci-contre correspond à la distribution ci-dessous. Distribution 11

Donnée

Effectif

Total

TABLEAU DE DONNÉES GROUPÉES EN CLASSES

• On peut utiliser le tableau de données groupées en classes lorsqu’une distribution comporte un grand nombre de données qui ont tendance à ne pas se répéter. • Chaque classe correspond à un intervalle de la forme [borne inférieure, borne supérieure[. Parfois, la dernière classe peut être formée de deux bornes fermées, ceci pour éviter l’ajout d’une autre classe pour une seule valeur. Exemple : Dans le tableau présenté ci-dessous, il y a sept classes. La première classe, [40, 50[, a 40 comme borne inférieure et 50 comme borne supérieure. Les valeurs variant de 40 (inclus) à 50 (exclu) sont comprises dans cette classe. • L’effectif d’une classe correspond au nombre de données que compte cette classe. • Un tel tableau compte habituellement de 5 à 15 classes de même amplitude. • La formule suivante permet d’obtenir une estimation de l’amplitude de chaque classe, c’est-à-dire de l’écart entre les bornes de chaque classe. Amplitude

donnée la plus élevée e donnée la moins élevée nombre de classes

• À l’aide du résultat obtenu, on choisit une amplitude qui facilite le calcul des bornes inférieures et supérieures. Exemple : On veut grouper les données suivantes en cinq classes. Distribution

Distribution

Classe

Effectif

[40, 50[

[50, 60[

[60, 70[

[70, 80[

[80, 90[

Total

Amplitude

89 41 9,6 5

On choisit une amplitude 10.

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

Voici un exercice à effectuer. Construisez un tableau de données groupées en six classes pour représenter les données de la distribution suivante.

Distribution 20

Voici un exemple de démarche possible. Estimez l’amplitude de chaque classe sachant que la plus grande donnée est 49 et la plus petite, 20.

Amplitude ≈ ≈

49 - 20 6 29 6

≈ 4,83 On choisit une amplitude de 5. Construisez un tableau où chaque classe correspond à un intervalle de la forme [borne inférieure, borne supérieure[ dont l’amplitude est de 5. Notez que la borne inférieure de la première classe correspond souvent à la donnée la moins élevée.

Remplissez la colonne des effectifs à l’aide des données de la distribution.

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

Distribution Classe [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ Total

Effectif

Distribution Classe [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ Total

Effectif 4 2 5 4 2 8 25

p. 237

Construisez un tableau de données condensées pour chacune des distributions suivantes. a)

Distribution

10,5

11,5

Distribution

Donnée

Effectif

2 Construisez un tableau de données groupées en cinq classes pour la distribution suivante. Distribution

Distribution

0,1

0,3

0,5

0,6

0,9

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,1

2,2

2,3

2,4

Classe

Effectif

3 Voici les données d’une distribution statistique. Distribution 41

101

102

106

108

111

119

125

126

128

132

139

a) Est-il préférable de représenter ces données à l’aide d’un tableau de données condensées ou d’un tableau de données groupées en classes ? Justifiez votre réponse.

b) Représentez les données de cette distribution dans un tableau approprié.

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 237

4 1 Le tableau de données condensées suivant représente les données de la distribution statistique située à sa droite. Distribution

Distribution

Donnée

Effectif

Total

Quelles sont les cinq données manquantes dans cette distribution statistique ?

5 Remplissez le tableau suivant, qui indique le montant moyen dépensé par les 150 personnes ayant fréquenté un festival. Note : Pour le calcul de la fréquence, voir les annexes, page 228. Montant moyen dépensé par personne Montant ($)

Effectif

Fréquence (%)

[0, 10[

[10, 20[

[20, 30[

[30, 40[ [40, 50[

[50, 60[

Total

6 Les données de la distribution statistique suivante représentent les précipitations annuelles de neige (en cm) d’une région du Québec. Précipitations annuelles de neige 187

198

151

205

216

174

199

247

204

193

160

235

231

220

186

165

231

239

162

197

158

140

159

222

243

180

260

143

205

185

Construisez un tableau de données groupées en six classes représentant les données de cette distribution.

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 237-238

7 1 Les données de la distribution suivante correspondent au montant d’argent annuel (en $) consacré aux voyages par 24 familles. Montant annuel consacré aux voyages 2000

1100

2400

500

3400

200

4500

7100

600

6200

900

1000

800

5300

400

3300

4000

800

2700

3600

4800

3000

700

5100

Construisez un tableau de données groupées en huit classes représentant les données de cette distribution.

8 Les données de la distribution suivante correspondent à la pointure des chaussures vendues pendant une journée dans un magasin de chaussures. Pointure des chaussures vendues 8

Représentez les données de cette distribution à l’aide du tableau de données approprié. Justifiez votre choix.

Réponse :

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 238

9 Les données de la distribution ci-dessous représentent le score de chacun des participants à un tournoi de golf.

Scores à un tournoi de golf

103

113

105

110

120

107

100

108

101

106

102

111

114

104

100

124

103

Représentez les données de cette distribution à l’aide du tableau de données approprié. Justifiez votre choix.

Réponse :

10 Dans le cadre d’une campagne de sensibilisation sur l’importance de l’épargne chez les adultes de 18 à 25 ans, on effectue un sondage pour connaître le montant moyen (en $) qu’ils épargnent chaque mois. Les données recueillies sont présentées ci-contre. a) Construisez un tableau de données groupées en sept classes qui représente les données de cette distribution.

Épargnes mensuelles 180

200

300

100

140

270

320

340

205

210

115

130

120

110

220

b) Sachant que les professionnels de la finance suggèrent que les jeunes adultes épargnent au moins 150 $ par mois, déterminez le pourcentage des répondants qui vont dans le sens de cette recommandation.

Réponse :

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

1.1.3

Histogramme

L’histogramme est un diagramme constitué de bandes verticales qui permet de représenter graphiquement une distribution dont les données sont groupées en classes. Dans un histogramme : • les bandes verticales sont accolées les unes aux autres ; • la base de chaque bande correspond à l’amplitude d’une classe et la hauteur, à l’effectif de cette classe. Exemple :

Taille des élèves

Effectif

Taille (cm)

Effectif

[140, 145[

[145, 150[

[150, 155[

[155, 160[

[160, 165[

[165, 170[

Total

12 10 8 6

135 140 145 150 155 160 165 170 Taille (cm)

Voici un exercice à effectuer.

Distribution

Construisez un histogramme à partir du tableau de données groupées en classes suivant.

Classe

Effectif

[50, 60[

[60, 70[

[70, 80[

[80, 90[

[90, 100[

Total

Voici un exemple de démarche possible. Graduez l’axe horizontal de l’histogramme en tenant compte de la borne inférieure de la première classe, ici 50, de la borne supérieure de la dernière classe, ici 100, et de l’amplitude de chacune des classes, ici 10. Au besoin, tracez une coupure d’axe entre le zéro et la première graduation.

Effectif 6 5 4 3

Graduez l’axe vertical en tenant compte de l’effectif de chacune des classes.

2 1

Tracez la bande associée à chacune des classes en tenant compte de son effectif pour en déterminer la hauteur.

Distribution

CHAPITRE 1

50 60 70 80 90 100 Classe

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 238-239

Construisez l’histogramme associé à chacune des distributions suivantes. a)

Classe

Effectif

[0, 2[

[2, 4[

[4, 6[

[6, 8[

[8, 10[

[10, 12[

Total

Distribution

Effectif 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Effectif

[100, 150[

[150, 200[

[200, 250[

[250, 300[

[300, 350[

Total

246

Classe

30 20 10 0

100

150

200

250

300

350

400 Classe

60 Classe

Distribution Effectif

Classe

Effectif

[25, 30[

[30, 35[

[35, 40[

[40, 45[

[45, 50[

[50, 55[

[55, 60[

Total

Distribution

Classe

Effectif

[1, 1,5[

[1,5, 2[

[2, 2,5[

[2,5, 3[

[3, 3,5[

Total

CHAPITRE 1

Distribution

Effectif

Classe

Distribution

Effectif 30 25 20 15 10

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

5 0

1,5

2,5

3,5

Classe

p. 239

2 1 Parmi les études statistiques décrites ci-dessous, quelle est celle dont les résultats peuvent être représentés par un histogramme ? a) On s’intéresse à la couleur préférée des élèves d’une classe de 3e secondaire. b) On s’intéresse à la taille des élèves d’une classe de 3e secondaire. c) On s’intéresse au genre de film apprécié par les élèves d’une classe de 3e secondaire. d) On s’intéresse à la saison préférée des élèves d’une classe de 3e secondaire.

3 À quelle condition les résultats d’une étude statistique peuvent-ils être représentés par un histogramme ? a) À la condition que le caractère étudié soit qualitatif. b) À la condition que le caractère étudié soit quantitatif discret. c) À la condition que le caractère étudié soit quantitatif continu. d) À la condition qu’on étudie simultanément deux caractères.

4 On s’intéresse à l’âge des personnes qui composent deux groupes de touristes présents sur un site touristique. Voici les résultats de cette étude statistique. Âge des touristes du groupe 1

Âge des touristes du groupe 2

Âge

Effectif

Âge

Effectif

[10, 20[

[20, 30[

[30, 40[

[40, 50[

[50, 60[

[60, 70[

Total

Représentez chacune de ces distributions à l’aide d’un histogramme.

CHAPITRE 1

Méthodes d’échantillonnage, tableaux et histogramme

p. 239

Dans chaque cas, remplissez le tableau de données groupées en classe associé à l’histogramme. a)

Distribution

Effectif

Classe

Effectif

8 6 4 2 0

Classe

Distribution

Effectif

Classe

Effectif

20 16 12 8 4 0

80,5

81,5

82,5

83,5 Classe

2 On procède à un sondage sur les intentions de vote des habitants d’une région. Dans chaque cas décrit ci-dessous, déterminez la méthode d’échantillonnage utilisée. a) On classe les habitants selon leur âge, leur sexe et leur nationalité, puis on interroge au hasard 1 % de chacune des classes formées.

b) La région étant divisée en 36 quartiers, on en choisit quatre et on interroge toutes les personnes de ces quartiers.

c) Sur la liste alphabétique des habitants de cette région, on interroge toutes les personnes dont le nom de famille commence par la lettre C, M, T ou W.

d) On divise les habitants en différentes classes selon leur revenu familial. Par la suite, on interroge 2 % des habitants appartenant à chaque classe.

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

p. 239-240

3 Dans chaque cas, construisez l’histogramme associé au tableau de données groupées en classes. a)

Distribution Classe

Effectif

[70, 80[

[80, 90[

[90, 100[

[100, 110[

[110, 120[

[120, 130[

[130, 140[

Total

291

Distribution Classe

Effectif

[205, 210[

[210, 215[

[215, 220[

[220, 225[

[225, 230[

[230, 235[

Total

117

4 Reliez chacun des histogrammes ci-dessous au tableau qui lui correspond. Distribution

Distribution

Effectif

5 10 15 20 25

Classe

5 10 15 20 25

A •

B •

C •

• 1

• 2

• 3

Distribution

Classe

Effectif

Classe

Effectif

Classe

Effectif

[0, 5[

[0, 1[

[0, 5[

[5, 10[

[1, 2[

[5, 10[

[10, 15[

[2, 3[

[10, 15[

[15, 20[

[3, 4[

[15, 20[

[20, 25[

[4, 5[

[20, 25[

Total

CHAPITRE 1

Classe

CONSOLIDATION 1.1

p. 240

5 1 Au cours d’une compétition d’escalade,

Temps d’escalade

les participants sont invités à monter le plus rapidement possible un mur d’escalade. Le temps (en s) de chacun des participants est présenté ci-contre. a) Représentez les données de cette distribution à l’aide d’un tableau de données groupées en six classes.

102

110

100

b) Construisez un histogramme associé à cette situation.

6 À la sortie d’une station de métro, on demande à 50 personnes combien de frères et sœurs elles ont. Voici les résultats obtenus.

Nombre de frères et sœurs

a) Est-il préférable de représenter ces données sous la forme d’un tableau de données condensées ou d’un tableau de données groupées en classes ? Expliquez votre réponse.

b) Construisez un tableau de données permettant de représenter adéquatement les données de cette distribution.

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

p. 240

Abonnés d’un magazine de cuisine

7 On souhaite former un échantillon de 50 personnes parmi les abonnés d’un magazine de cuisine afin de connaître leur opinion sur les recettes proposées. À l’aide de la méthode d’échantillonnage stratifié, remplissez le tableau ci-contre pour former un échantillon représentatif.

8 On veut connaître l’appréciation des clients d’un mont de ski sur les diverses pistes de ce mont. Le diagramme à bandes ci-contre illustre la répartition des clients au cours d’un samedi du mois de janvier. a) Décrivez la composition possible d’un échantillon de 30 personnes formé à l’aide de la méthode d’échantillonnage par grappes.

Âge

Nombre d’abonnés

[15, 25[

452

[25, 35[

791

[35, 45[

1469

[45, 55[

904

[55, 65[

1017

[65, 75[

678

[75, 85[

339

Total

5650

Effectif de l’échantillon

Nombre de clients d’un mont de ski

Effectif 320 280 240 200 160 120 80 40 0

b) Dans ce contexte, expliquez pourquoi cette méthode d’échantillonnage ne permet pas de former un échantillon représentatif.

Ski

CHAPITRE 1

Planche à neige

Miniski

Sport pratiqué

CONSOLIDATION 1.1

p. 241

9 L’ancienneté de tous les employés d’une entreprise et leur salaire annuel sont présentés ci-dessous. Ancienneté et salaire des employés Employé

Ancienneté (années)

Salaire (k$)

Employé

Ancienneté (années)

Salaire (k$)

a) Construisez un tableau de données groupées en cinq classes ainsi qu’un histogramme représentant l’ancienneté des employés.

b) Construisez un tableau de données groupées en six classes ainsi qu’un histogramme représentant le salaire annuel des employés.

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

Mesures de tendance centrale 1.2.1

Mode et médiane

Les mesures de tendance centrale, telles que le mode et la médiane, permettent de décrire le centre d’une distribution ordonnée, c’est-à-dire dont les données sont classées par ordre croissant. MODE

• Le mode est une mesure qui indique le centre de concentration d’une distribution. • Pour déterminer le mode d’une distribution, il suffit de choisir la donnée qui est la plus populaire, c’est-à-dire qui revient le plus fréquemment dans une distribution. Exemple : Les résultats obtenus à la suite d’un sondage effectué auprès de 16 personnes à propos de leur saison préférée sont présentés ci-dessous. Saison préférée Printemps Été

Été

Printemps

Été

Hiver

Automne

Printemps

Été

Hiver

Automne Printemps

Été Été

Hiver Automne

Le mode de cette distribution est l’été puisque c’est la réponse qui revient le plus souvent, soit six fois. • La façon de déterminer le mode peut varier selon le type de distribution. Données condensées Le mode est la valeur (ou la modalité) dont l’effectif est le plus élevé. Exemple : On a sondé 80 travailleurs afin de connaître le nombre de jours de congé de maladie qu’ils prenaient dans une année. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-contre. Le mode est 3, c’est-à-dire 3 congés de maladie par année, car c’est cette donnée qui a le plus grand effectif, soit 37.

Congés de maladie par année Congé de maladie (jours) 0 1 2 3 4 ou plus Total

Effectif 3 10 14 37 16 80

Données groupées en classes • On repère la classe dont l’effectif est le plus élevé. On appelle cette classe la classe modale. • On détermine le milieu de cette classe en additionnant les deux bornes et en divisant cette somme par 2. • Le résultat obtenu correspond alors à une estimation du mode de la distribution. Exemple : On a mesuré 30 élèves d’une classe de 3e secondaire. Les résultats sont présentés ci-contre. La classe modale est la classe [155, 160[, puisque son effectif est le plus élevé, soit 13. 155 160 157,5 cm 2

Le mode est d’environ 157,5 cm.

Taille des élèves Taille (cm) [150, 155[ [155, 160[ [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ Total

CHAPITRE 1

Effectif 5 13 7 4 1 30

Mesures de tendance centrale

p. 250

Pour chacune des distributions suivantes, déterminez : 1) le mode ;

2) la médiane.

Distribution

Donnée

Effectif

Classe

Effectif

[0, 20[

[20, 40[

135

[40, 60[

[60, 80[

102

[80, 100[

113

Total

121

Total

121

2 Chacun des histogrammes ci-dessous est associé à une distribution statistique. Distribution A

Effectif

Distribution C

Distribution B

Classe

Dans chaque cas, indiquez la distribution qui a la caractéristique énoncée. a) La moyenne, le mode et la médiane sont égaux. b) Le mode est inférieur à la médiane. c) La moyenne est inférieure au mode.

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

p. 250

3 1 Pour chacune des distributions suivantes, construisez : 1) un tableau de données groupées en cinq classes ;

2) un diagramme de quartiles.

Distribution

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

p. 252

b) Quelle est l’étendue de chacun des quarts de cette distribution ?

Réponse : c) Déterminez l’étendue interquartile de cette distribution.

Réponse : d) Quel est le mode de cette distribution ?

e) Construisez un tableau de données groupées en sept classes représentant cette distribution.

12 Le tableau suivant montre les résultats de deux élèves à des examens de français ainsi que la pondération de chacun des examens. Résultats aux examens de français Examen

Note de Marcia (%)

Note de David (%)

Pondération (%)

Examen 1

Examen 2

Examen 3

Examen 4

40 Total :

100

Lequel des deux a le meilleur résultat moyen ?

Réponse :

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

p. 252

13 1 Dans un parc national, on décompte 320 cerfs, 482 chevreuils et 125 caribous. Des scientifiques souhaitent constituer un échantillon représentatif constitué de 50 cervidés afin d’étudier la présence d’un gêne porteur d’une maladie. Déterminez la composition de cet échantillon.

Réponse :

14 Le tableau suivant montre les distances parcourues (en m) par un javelot à la suite de 20 lancers de deux athlètes. Distance parcourue par un javelot Athlète A 60,5

75,2

Athlète B 64,1

71,8

75,8

71,2

72,3

82,8

79,1

60,9

66,3

68,1

86,9

65,6

68,4

81,6

72,1

77,8

67,4

65,7

68,5

74,7

61,4

69,8

70,2

81,2

66,7

85,3

78,8

63,6

65,8

72,4

70,9

68,4

69,2

80,6

a) Représentez les résultats de chacun des athlètes à l’aide d’un tableau de données groupées en cinq classes.

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

p. 253

b) Construisez un histogramme qui représente les résultats de chacun des athlètes.

c) Quelle est la classe médiane de la distribution associée à : 1) l’athlète A ;

Réponse : 2) l’athlète B.

Réponse : d) Quelle est la classe modale de la distribution associée à : 1) l’athlète A ;

Réponse : 2) l’athlète B.

Réponse :

15 Hugo participe à une compétition de gymnastique. Voici les résultats qu’il a obtenus pour chacun des critères d’évaluation ainsi que les pondérations de ceux-ci. Résultat à une compétition de gymnastique Catégorie

Note (/10)

Pondération

Originalité

8,5

Exécution

7,8

Technique

9,1

4 Total :

Quelle est la note finale d’Hugo ?

Réponse :

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

p. 253

La note manquante Une élève remarque qu’il manque la note de son examen 3 sur son relevé de notes. Relevé de notes Examen ou travail

Note (%)

Pondération (%)

Examen 1

Examen 2

Examen 3

Travail 1

Travail 2

25 Total :

100

Sachant que la note globale de cette élève pour ce cours est de 81,35 %, déterminez son résultat à l’examen 3 .

CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

p. 253

La collecte de déchets On réalise un sondage auprès de plusieurs citoyens d’une municipalité pour connaître la note (en %) qu’ils attribuent au service de collecte des déchets. Voici les résultats obtenus. Qualité du service de collecte des déchets 80

a) Construisez un tableau de données groupées en classes et un histogramme représentant les données de cette distribution.

b) Indiquez si la qualité du service de collecte des déchets devrait être améliorée. Justifiez votre réponse.

CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

p. 256

La lecture, tout en étant un moyen de se distraire et de se détendre, constitue un excellent outil d’apprentissage et de réflexion. Elle est également utile dans de multiples activités quotidiennes. Ainsi, de nombreux chercheurs se penchent sur le niveau de maîtrise de la lecture des gens. Dans cette situation d’apprentissage et d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches en lien avec l’importance de la lecture. TÂCHE 1 :

L’admissibilité des groupes

Pour vérifier si un groupe d’élèves peut participer à une étude sur leur niveau de compréhension de textes lus, des chercheurs analysent les mesures de tendance centrale liées à leurs résultats en français. Les résultats en français (en %) de deux groupes d’élèves désirant participer à cette étude sont présentés ci-dessous. Résultats en français Groupe A

Groupe B

Voici les critères d’éligibilité à cette étude. • La moyenne doit être supérieure à 75 %. • La médiane doit être supérieure à 75 %.

• Le mode doit être supérieur à 80 %.

Lequel de ces groupes recommanderiez-vous ? Appuyez votre réponse sur des arguments mathématiques.

Réponse :

CHAPITRE 1

SAÉ 1

QUESTION 1

Pour chacune des distributions suivantes, déterminez : 1) le mode ;

2) la médiane.

Distribution

151

180

151

118

123

129

170

120

173

192

195

142

188

140

190

142

150

115

119

148

151

168

131

139

154

175

187

142

148

136

142

Réponse : 2)

Réponse : b)

Distribution

Donnée

Effectif

12,1

12,2

12,3

12,4

12,5

Total

136

Réponse : 2)

Réponse : c)

Distribution

Classe

Effectif

[18, 22[

[22, 26[

[26, 30[

[30, 34[

[34, 38[

[38, 42[

Total

347

Réponse : 2)

Réponse :

CHAPITRE 1

TEST 1

QUESTION 2

Le tableau suivant fournit des renseignements concernant la répartition des personnes dans quatre groupes. Répartition des personnes dans quatre groupes Groupe

Total

Nombre de personnes

208

Quelle pourrait être la composition d’un échantillon représentatif composé d’au moins 50 personnes si on utilise la méthode d’échantillonnage : a) par grappes ?

Réponse :

b) stratifié ?

Réponse :

CHAPITRE 1

TEST 1

Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtude de marchĂŠ Avant de dĂŠmarrer une entreprise, on rĂŠalise gĂŠnĂŠralement une ĂŠtude de marchĂŠ. Celle-ci permet de dĂŠterminer le profil de la future clientĂ¨le et dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvaluer ses besoins pour ĂŞtre en mesure de lui offrir des produits et services dont elleÂ aÂ besoin. Dans cette section, vous rĂŠaliserez diffĂŠrentes tĂ˘ches en lien avec les ĂŠtudes deÂ marchĂŠ.

TĂ&#x201A;CHE 1 :

La crĂŠation de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠchantillon

Une firme doit rĂŠaliser un sondage auprĂ¨s des citoyens dâ&#x20AC;&#x2122;une municipalitĂŠ afin de connaĂŽtre leur avis sur la construction dâ&#x20AC;&#x2122;un nouveau centre sportif. Le tableau suivant prĂŠsente la composition de la population activeÂ de cette municipalitĂŠ. Sachant quâ&#x20AC;&#x2122;on souhaite crĂŠer un ĂŠchantillon reprĂŠsentatif comportant au moins 5 %, mais au plus 7,5 % de la population, choisissez une mĂŠthode dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠchantillonnage et prĂŠsentez la composition deÂ cet ĂŠchantillon.

/20

Composition de la population active dâ&#x20AC;&#x2122;une municipalitĂŠ Sexe

FĂŠminin

Masculin

Total

584 250 39 3791 329 250 22 3791

CHAPITRE 1

Ă&#x201A;ge

Effectif

[15, 25[

230

[25, 35[

462

[35, 45[

584

[45, 55[

329

[55, 65[

247

[15, 25[

286

[25, 35[

458

[35, 45[

612

[45, 55[

371

[55, 65[

212 3791

612 250 40 3791

TEST 1

ÂŠ 2016, Les Ă&#x2030;ditions CEC inc. â&#x20AC;˘ Reproduction interdite

Probabilités Dans ce chapitre, vous étudierez et représenterez différents types de dénombrement, soit les permutations, les arrangements et les combinaisons. Ces types de dénombrement vous permettront de bien comprendre les calculs statistiques en lien avec diverses situations relevant du hasard, et ainsi d’être mieux outillés pour prendre des décisions. Les jeux de hasard, bien qu’il puissent être attrayants, comportent des risques. Pour pouvoir évaluer ses chances de gagner à un jeu de hasard, le calcul des probabilités prend toute son importance et s’avère un excellent outil pour mesurer les risques de perdre. Vous apprendrez ainsi à résoudre des problèmes impliquant des probabilités composées de plusieurs événements élémentaires. Finalement, vous calculerez la probabilité de certains événements à partir d’un contexte géométrique.

Programme d’études PROBABILITÉS

• Dénombrement et calcul de probabilités • Représentation d’événements

RAPPEL 2 Expérience aléatoire, événement et probabilité ........ 97

SECTION 2.1 Dénombrement et représentation d’événements.........................108 SECTION 2.2 Calcul de probabilités.............132

SYNTHÈSE 2............157 BANQUE DE SA 2...165 SAÉ 2............................171 TEST 2.........................174

CHAPITRE 2

PROBABILITÉS ...................................................................................................................... 95

RAPPEL 2 Expérience aléatoire, événement et probabilité .................................................................... 97 SECTION 2.1 Dénombrement et représentation d’événements.................................................................. 108 2.1.1 Dénombrement.................................................................................................................. 108 2.1.2 Permutation ....................................................................................................................... 112 2.1.3 Arrangement ...................................................................................................................... 117 2.1.4 Combinaison ..................................................................................................................... 123 Consolidation 2.1 ....................................................................................................................... 128 SECTION 2.2 Calcul de probabilités ............................................................................................................. 132 2.2.1 Types de variables aléatoires ............................................................................................ 132 2.2.2 Probabilité d’un événement .............................................................................................. 135 2.2.3 Probabilité géométrique .................................................................................................... 144 Consolidation 2.2 ....................................................................................................................... 152 SYNTHÈSE 2 ............................................................................................................................. 157 BANQUE DE SA 2 ..................................................................................................................... 165 SAÉ 2 : Le soccer d’élite........................................................................................................... 171 TEST 2 ....................................................................................................................................... 174 Évaluation explicite des connaissances .................................................................................... 174 Évaluation des compétences ..................................................................................................... 178

CHAPITRE 2

TABLE DES MATIÈRES

p. 279

1 Une institution financière A émet des cartes bancaires ayant un numéro d’identification personnel (NIP) à quatre chiffres, tandis qu’une institution financière B émet des cartes bancaires ayant un NIP à cinq chiffres.

Combien de fois la probabilité de deviner le NIP d’un client de l’institution A est-elle plus grande que la probabilité de deviner le NIP d’un client de l’institution B ?

Réponse :

2 Nommez la méthode d’échantillonnage utilisée dans chacun des cas décrits ci-dessous. a) On souhaite connaître les besoins des habitants d’un quartier quant à l’aménagement urbain ; la ville choisit dix immeubles au hasard dans ce quartier et questionne tous les résidants de ces immeubles.

b) Afin de sonder les préférences des élèves de la 1re à la 5e secondaire d’une école quant aux activités parascolaires, la direction choisit cinq élèves de chaque niveau.

3 Dans le but d’améliorer son site Internet, une entreprise l’évalue selon quatre critères. Les résultats obtenus sont présentés ci-dessous.

Évaluation d’un site Internet Critère

Note obtenue (%)

Pondération des critères (%)

Facilité d’utilisation

Qualité du contenu

Esthétique

Sécurité

25 Total :

100

Quelle est la moyenne pondérée des notes obtenues par ce site ?

GARDER LE CAP

Chapitres 1 et 2

181

p. 279

4 Une personne ayant les yeux bandés lance une fléchette sur

la cible carrée illustrée ci-contre. En supposant que la fléchette touche la cible, quelle est la probabilité qu’elle atteigne : a) la région rouge ?

Réponse : b) la région verte ?

Réponse : c) la région rouge ou la région bleue ?

Réponse :

d) la région blanche ?

Réponse :

5 À l’aide du tableau ci-contre :

Employés d’une entreprise

a) représentez la distribution à l’aide d’un diagramme approprié ;

Ancienneté (années)

Effectif

[0, 5[

[5, 10[

[10, 15[

[15, 20[

[20, 25[

[25, 30[

[30, 35[

[35, 40[

Total

b) déterminez la médiane ;

Réponse : c) déterminez la classe modale ;

Réponse : d) indiquez le type du caractère étudié.

182

GARDER LE CAP

Chapitres 1 et 2

p. 280

Questions à choix multiple

Parmi les termes ci-dessous, lequel ne représente pas une méthode d’échantillonnage ? a) Par grappes

b) Aléatoire simple

c) Stratifié

d) Par branches

2 On lance simultanément trois dés équilibrés dont les six faces sont numérotées de 1 à 6 et on obtient trois fois un nombre pair. On lance ensuite un dé. Lequel des énoncés ci-dessous est vrai ? a) La probabilité d’obtenir un nombre impair est plus grande que la probabilité d’obtenir un nombre pair. b) La probabilité d’obtenir un nombre impair est égale à la probabilité d’obtenir un nombre pair. c) La probabilité d’obtenir un nombre impair est plus petite que la probabilité d’obtenir un nombre pair. d) La probabilité d’obtenir un nombre pair est de 1. 6

3 Parmi les énoncés suivants concernant un diagramme de quartiles, indiquez celui qui est faux. a) Chaque quart contient le même nombre de données. b) Chaque quartile correspond toujours à une donnée de la distribution. c) Le 2e quartile correspond à la médiane de la distribution. d) Les quartiles sont les trois valeurs qui partagent la distribution ordonnée en quatre sous-ensembles appelés « quarts ».

4 Laquelle des mesures statistiques suivantes n’est pas une mesure de tendance centrale ? a) L’étendue

b) La médiane

c) Le mode

d) La moyenne

5 Sachant que les énoncés ci-dessous font référence à une distribution comportant 26 données, déterminez celui qui est nécessairement vrai. a) Le 1er quart contient 13 données. b) Tous les quarts contiennent 6,5 données. c) Le 3e quartile correspond à une donnée de la distribution. d) La médiane correspond à une donnée de la distribution.

6 Parmi les mesures statistiques ci-dessous, laquelle ne peut pas être déterminée à l’aide d’un diagramme de quartiles ? a) L’étendue

b) La médiane

c) Le 1er quartile

d) La moyenne

RÉVISION

185

p. 280

Questions à réponse courte

20 Combien de groupes de quatre lettres est-il possible de former avec les 26 lettres de l’alphabet si on n’utilise : a) que les voyelles sans répétition ?

Réponse :

b) que les consonnes avec répétition ?

Réponse :

Résultats aux évaluations

21 Le tableau ci-contre présente les résultats d’un élève et leur pondération respective. Quelle est la moyenne pondérée de ces résultats ?

Évaluation

Résultat (%)

Total :

Pondération (%)

100

Réponse :

22 Au Canada, les numéros de téléphone ont dix chiffres, soit deux groupes de trois chiffres suivis d’un groupe de quatre chiffres. a) Combien existe-t-il de numéros de téléphone dont les deux groupes de trois chiffres sont identiques et dont le groupe de quatre chiffres est formé des chiffres 3, 6, 7 et 9 ?

Réponse :

b) Si le groupe de quatre chiffres était formé des chiffres 8, 4, 8 et 9, la réponse donnée en a) serait-elle différente ? Expliquez votre réponse.

188

RÉVISION

p. 280-281

23 Représentez le diagramme de quartiles associé à la distribution suivante qui montre les salaires hebdomadaires (en $) d’un élève au cours des 13 dernières semaines. Salaires hebdomadaires 108

109

105

110

112

110

111

106

124

24 On lance quatre fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on obtient pile chaque fois. Voici l’affirmation d’une élève quant à la probabilité d’obtenir face au lancer suivant. « Puisqu’on a obtenu pile quatre fois de suite, la probabilité d’obtenir face est beaucoup plus élevée pour le lancer suivant. » Cette affirmation est-elle vraie ? Expliquez votre réponse.

25 On a classé les données d’un sondage sur l’âge des résidants d’un immeuble à l’aide du tableau ci-contre.

Âge des résidants Âge Effectif

[15, 25[ [25, 35[ [35, 45[ [45, 55[ [55, 65[ [65, 75[ 22

Total 74

a) Tracez l’histogramme associé à cette distribution. b) Quelle est la classe médiane de cette distribution ?

c) Quelle est la classe modale de cette distribution ?

RÉVISION

189

p. 282

Questions à développement

31 Les diagrammes de quartiles ci-dessous ont été construits à partir des résultats en mathématique obtenus par deux élèves au cours d’une année scolaire. Résultats en mathématique pour une année scolaire Marc-André Marianne 0 70

100 Résultat (%)

Qui a connu la meilleure année ? Expliquez votre réponse.

32 Un terrain carré est couvert de terre noire à l’exception d’un espace circulaire inscrit dans le terrain qui est couvert de terre argileuse, tel que représenté ci-dessous.

Légende : Terre noire Terre argileuse

Si on choisit un échantillon de terre au hasard sur le terrain, quelle est la probabilité d’obtenir un échantillon de terre argileuse ?

Réponse :

192

RÉVISION

p. 283

Les ingrédients Durant une émission de cuisine, des concurrents doivent choisir au hasard trois ingrédients, soit un ingrédient parmi chacun des groupes ci-dessous. Groupe A Persil Tomate Courgette

Groupe B Ciboulette Oignon Piment

Groupe C Estragon Céleri

Sachant que le persil, la ciboulette et l’estragon sont des fines herbes, quelle est la probabilité qu’il y ait au moins deux fines herbes parmi les trois ingrédients choisis ?

Réponse :

BANQUE DE SA

195

p. 283

Le hasard Le diagramme de quartiles ci-dessous représente une distribution comportant 72 données différentes. Si on choisit une donnée au hasard dans cette distribution, quelle est la probabilité d’obtenir une donnée correspondant à l’un des trois quartiles ? Expliquez votre réponse. Distribution

60 61

Réponse :

La même valeur Donnez un exemple de distribution statistique comportant au moins 14 données dont l’étendue, la médiane, le mode et la moyenne ont tous la même valeur.

Réponse :

196

BANQUE DE SA

Durant la saison estivale, plusieurs fêtes foraines itinérantes vont un peu partout en province, au grand bonheur des plus petits. Elles offrent une multitude d’activités : jeux de hasard et d’adresse, manèges, etc. Dans cette situation d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches en lien avec une fête foraine.

TÂCHE 1 :

Un horaire bien planifié

Parmi les huit manèges que l’on trouve à une fête foraine, Elizabeth a établi une liste de cinq manèges différents qu’elle veut essayer, mais sans ordre précis. En arrivant à la fête, elle constate que deux des huit manèges sont fermés pour entretien. Quelle est la probabilité qu’elle puisse essayer les cinq manèges de sa liste ?

SÉ 1

205

Afin de pourvoir un poste vacant, les grandes entreprises ont souvent recours à des tests pour sélectionner des candidats. Ainsi, les candidats convoqués pour l’entretien ultime présentent certaines aptitudes et qualités recherchées par l’entreprise. Dans cette situation d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches concernant le recrutement de candidats.

TÂCHE 1 :

La première sélection

Pour la première sélection des candidats, on effectue un entretien téléphonique durant lequel on pose huit questions. Chacune est cotée et possède une valeur propre. Voici les résultats obtenus par un candidat à l’entretien téléphonique. Résultats d’un candidat à l’entretien téléphonique Question

Cote

Ne répond pas du tout aux attentes Répond plus ou moins aux attentes Répond plutôt bien aux attentes

✔ ✔

Répond très bien aux attentes

✔ ✔

✔

Dépasse les attentes Valeur

✔ ✔

Total :

✔ 1

1,6

0,4

0,8

2,4

1,2

0,6

Lorsqu’un crochet est placé entre deux cases, on attribue la valeur moyenne des deux cotes.

Déterminez si ce candidat sera sélectionné pour l’étape suivante, sachant que son résultat moyen doit être au moins « Répond très bien aux attentes ».

Réponse :

208

SÉ 2

QUESTION 1

a) 1) Représentez la distribution suivante à l’aide d’un tableau de données groupées en cinq classes. Distribution 18

Distribution Classe

Effectif

2) À partir du tableau de données groupées, déterminez

le mode de cette distribution.

Réponse : b) 1) Construisez un histogramme qui représente les données de la distribution suivante. Distribution Classe

Effectif

[0, 8[

[8, 16[

[16, 24[

[24, 32[

[32, 40[

Total

2) Quelle est la médiane de cette distribution ?

EXAMEN FORMATIF

211

L’aquaculture L’aquaculture consiste principalement à élever certaines espèces de poissons dans un milieu aquatique contrôlé. L’aquaculture en eau douce permet notamment la production de la truite arc-en-ciel, de l’omble de fontaine, de l’omble chevalier, de la truite brune et du doré. Au Québec, la production est écoulée sur les marchés de la table, de l’ensemencement et des étangs de pêche sportive. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches en lien avec l’aquaculture. TÂCHE 1 :

La pêche sportive en étang

/30

La propriétaire d’une entreprise spécialisée dans la pêche sportive en étang fait l’achat de 80 truites brunes (B) et de 60 truites arc-en-ciel (A) chez un aquaculteur. Ces poissons sont ensuite ensemencés dans un nouvel étang où les visiteurs pourront pêcher trois poissons. Un pêcheur affirme que la probabilité de pêcher deux truites arc-en-ciel est supérieure à celle de pêcher trois poissons d’une même espèce dans ce nouvel étang. Confirmez ou réfutez les dires de ce pêcheur.

216

EXAMEN FORMATIF

aire

concentration

Mesure de la surface délimitée par une figure ou une courbe. L’aire, A, se mesure en unités carrées.

En statistique, intensité du groupement des données autour de la moyenne. Plus la dispersion des données est petite, plus les données sont dites concentrées.

Exemple : L’aire de ce rectangle est de 8 unités carrées. A 4 2 8 u2

diagramme

Schéma représentant les données recueillies lors d’une étude statistique.

4 angle au centre

L’un ou l’autre des deux angles formés par deux rayons d’un cercle. Le sommet de l’angle se situe au centre du cercle. Exemple :

Angles au centre

Diagramme en arbre auquel une probabilité est ajoutée à chaque branche. Exemple : On tire successivement et sans remise deux billes d’une urne contenant quatre billes rouges (R) et une bille jaune (J).

4 5

1 5

2e tirage

3 4

Résultat

Probabilité

• Un solide a trois dimensions, la longueur, la largeur et la hauteur. On peut aussi parler de profondeur plutôt que de largeur pour un objet en trois dimensions. dispersion

Caractéristique des données étalées non condensées. Plus les données sont dispersées, moins leur densité est forte et inversement.

(R, R)

disque

Région fermée du plan délimitée par un cercle.

1 4

(R, J)

4 1 4 1 5 4 20 5

4 4

(J, R)

1 4 4 1 5 4 20 5

0 4

(J, J)

1 0 0 0 5 4 20

2 1 0 1 2 3 4 5

Exemple :

Disque

distribution

Droite graduée orientée.

• Une ligne a seulement une dimension, la longueur.

4 3 12 3 5 4 20 5

axe

Exemple :

Longueur, largeur et hauteur d’un objet.

• Une surface a deux dimensions, la longueur et la largeur.

arbre de probabilités

1er tirage

dimension

Ensemble des données recueillies au cours d’une étude statistique.

borne

diviseur

Limite inférieure ou limite supérieure d’une classe ou d’un intervalle.

Un nombre entier est un diviseur d’un autre nombre entier si le quotient est un nombre entier.

Exemple : La borne inférieure de la classe [0, 25[ est 0, alors que la borne supérieure est 25.

Exemple : 4 est un diviseur de 28, car 28 4 7. Par contre, 5 n’est pas un diviseur de 28, car 28 5 5,6.

GLOSSAIRE

221

donnée

factorielle

Élément d’information fourni, connu et servant de base à un raisonnement ou servant à découvrir ce qui est inconnu.

La factorielle d’un nombre naturel n se note n ! et elle se définit par n ! n (n 1) (n 2) (n 3) … 3 2 1, lorsque n 0. Par convention, 0 ! 1.

effectif

En statistique, nombre d’apparitions d’une modalité ou d’une valeur. Exemple :

Couleur préférée des 30 élèves de la classe Couleur Bleu Rouge Jaune Vert Rose Total

Effectif 11 6 2 8 3 30

élément

Objet faisant partie d’un ensemble. Exemple : Soit l’ensemble A {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les éléments de l’ensemble A sont les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Exemple : La factorielle de 6 se note 6 ! 6! 6 5 4 3 2 1 720 fréquence relative

Souvent nommée seulement fréquence. Rapport de l’effectif d’une valeur à un effectif total. Ce rapport est généralement exprimé sous forme de pourcentage. Fréquence exprimée effectif d’une valeur 100 en pourcentage effectif total Couleur préférée des 30 élèves de la classe

Exemple :

Couleur

Effectif

Fréquence (%)

Bleu Rouge Jaune Vert Rose Total

11 6 2 8 3 30

33,3 20 6,7 30 10 100

ensemble

Regroupement d’objets, appelés éléments, ayant une caractéristique commune, quelle qu’elle soit. Exemple : L’ensemble A est l’ensemble des nombres diviseurs de 12. A 2 4 1 A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 12 3 6

hasard

Phénomène imprévisible. intervalle [ [ ], [ [, ] [, ] ] ]

ensemble vide [ ]

Ensemble ne contenant aucun élément. estimation

Approximation d’une quantité dont la valeur exacte n’est pas nécessaire ou est difficile, voire impossible à obtenir. étendue

Un crochet tourné vers l’intérieur ou l’extérieur de l’intervalle indique si la borne est incluse ou exclue. Exemple : L’intervalle des nombres réels allant de 4 inclus à 13 exclu est noté [ 4, 13[. 4

Mesure de dispersion égale à la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série statistique. Soit xmax la valeur maximale de la série statistique et xmin la valeur minimale de la série statistique. E xmax xmin Exemple : Les résultats d’un examen de mathématique varient de 54 % à 93 %. L’étendue est donc 93 % 54 % 39 %.

222

Ensemble de nombres compris entre deux nombres appelés bornes.

GLOSSAIRE

12 13

multiple

Résultat de la multiplication d’un nombre naturel par un nombre entier. Le multiple d’un nombre contient donc exactement une ou plusieurs fois ce nombre. Exemple : Les multiples de 3 sont …, 12, 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, 12, …

NOTATIONS ET SYMBOLES MATHĂ&#x2030;MATIQUES

Notation et symbole

Signification

Notation et symbole

Signification

Ensemble des nombres naturels

â&#x20AC;Ś nâ&#x20AC;&#x2122;est pas ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś ou â&#x20AC;Ś est diffĂŠrent deâ&#x20AC;Ś

Ensemble des nombres entiers

â&#x20AC;Ś est approximativement ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś ou â&#x20AC;Ś est Ă peu prĂ¨s ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś

Ensemble des nombres rationnels

â&#x20AC;Ś est supĂŠrieur Ă â&#x20AC;Ś

Ensemble des nombres irrationnels

â&#x20AC;Ś est infĂŠrieur Ă â&#x20AC;Ś

Ensemble des nombres rĂŠels

â&#x20AC;Ś est supĂŠrieur ou ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś

â&#x2C6;Ş

Union ou rĂŠunion dâ&#x20AC;&#x2122;ensembles

â&#x20AC;Ś est infĂŠrieur ou ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś

â&#x2C6;Š

Intersection dâ&#x20AC;&#x2122;ensembles

[a, b]

Intervalle incluant a et b

â&#x20AC;Ś est ĂŠlĂŠment deâ&#x20AC;Ś

[a, b[

Intervalle incluant a et excluant b

â&#x20AC;Ś nâ&#x20AC;&#x2122;est pas ĂŠlĂŠment deâ&#x20AC;Ś

]a, b]

Intervalle excluant a et incluant b

]a, b[

Intervalle excluant a et b

P(E)

â&#x20AC;Ś est un sous-ensemble deâ&#x20AC;Ś ou â&#x20AC;Ś est inclus dansâ&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś nâ&#x20AC;&#x2122;est pas un sous-ensemble deâ&#x20AC;Ś ou â&#x20AC;Ś nâ&#x20AC;&#x2122;est pas inclus dansâ&#x20AC;Ś Univers des rĂŠsultats possibles dâ&#x20AC;&#x2122;une expĂŠrience alĂŠatoire. Se lit ÂŤ omĂŠga Âť. ProbabilitĂŠ de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvĂŠnement E

Infini

OpposĂŠ de a

a 1 ou 1a

Inverse de a

Ă&#x2030;vĂŠnement complĂŠmentaire de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠvĂŠnement A. Se lit ÂŤ A complĂŠment Âť.

Factorielle de a

ou { }

Ensemble vide

Pourcentage. Se lit ÂŤ pour cent Âť.

â&#x20AC;Ś est ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś

ENSEMBLES DE NOMBRES

N : Ensemble des nombres naturels.

z : Ensemble des nombres entiers. Exemples : 157, 1, 0 et 21.

Exemples : 0, 4 et 341.

q' : Ensemble des nombres irrationnels.

q : Ensemble des nombres rationnels. 1 3

2 3

Exemples : 2 2 , e, et

Exemples : , 0,3, 17,9 et 5 .

r : Ensemble des nombres rĂŠels. Exemples : Tous les nombres appartenant Ă lâ&#x20AC;&#x2122;un ou lâ&#x20AC;&#x2122;autre des ensembles dĂŠcrits ci-dessus.

r q'

q z

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ANNEXES

225

FORMULES D’AIRE DES FIGURES PLANES ET CIRCONFÉRENCE D’UN CERCLE

Principales figures planes Aire d’un carré

Aire d’un losange

Aire d’un parallélogramme d

h b

A c2

D d A 2

A b h

Aire d’un rectangle

Aire d’un trapèze

Aire d’un triangle

b h

A b h

(B b) h A 2

Aire d’un polygone régulier à n côtés

Aire d’un disque

Circonférence d’un cercle

r a

b h 2

A r 2

Périmètre a n c a A 2 2

C 2 r ou C d et d 2r

FORMULES DE VOLUME DES SOLIDES

Principaux solides Volume d’un prisme droit

Volume d’une pyramide droite

Volume d’un cylindre circulaire droit r

h h

V aire de la base hauteur AB h

aire de la base hauteur 3 AB h 3

Volume d’un cône circulaire droit V h

226

ANNEXES

aire de la base hauteur 3 AB h 3 r 2 h 3 r 2 h 3

V aire de la base hauteur AB h r 2 h r 2h Volume d’une boule

4 r 3 3

TEST DIAGNOSTIQUE p. 1

1. c)

2. a) 3)

3. a) 4)

b) 3)

b) 2)

4. c)

5. d)

85 121 0,7025

p. 2

6. b)

13. Si 36 automobilistes sur 121 roulaient Ă une vitesse supĂŠrieure Ă 123 km/h, le reste, soit 121 36 85 automobilistes, roulait Ă une vitesse infĂŠrieure ou ĂŠgale Ă 123 km/h.

7. c)

8. a)

9. d)

p. 3

RĂŠponse : Environ 70,25 % des automobilistes interceptĂŠs roulaient Ă une vitesse infĂŠrieure ou ĂŠgale Ă 123Â km/h. 14. 7Â 349Â 472Â 000Â Â 6Â 126Â 622Â 000Â Â 1Â 222Â 850Â 000

10. 158,08 cm 11. a) 55,96 cm2

1Â 222Â 850Â 000Â Â 6 126 622 000 Â 0,1996

b) 64,41 cm2

c) 147,83 cm2

RĂŠponse : De 2000 Ă 2015, la population mondiale a augmentĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;environ 19,96Â %.

d) 111,93 cm2

12. a) 50Â %

b) 25Â %

d) 50Â %

e) 25Â %

c) 25Â %

p. 4

1er lancer

15.

2e lancer 5Â˘

2 8 2 8

5Â˘ 4 8

3 9

25 Â˘

5Â˘

3 8 2 9

1 8

10 Â˘ 4 8

4 9

5Â˘ 2 8

3 8

10 Â˘

25 Â˘

3 8

25 Â˘

10 Â˘

25 Â˘

1 7

2 7

3 7

2 7

3 7

4 7

3 7

4 7

3 7

2 7

1 7

2 7 1 7

0 7

1 7

2 7

1 7

2 7

3e lancer

RĂŠsultat

5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘ 5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘ 5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘ 5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘ 5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘ 5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘ 5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘ 5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘ 5Â˘ 10 Â˘ 25 Â˘

(5 Â˘, 5 Â˘, 5 Â˘) (5 Â˘, 5 Â˘, 10 Â˘) (5 Â˘, 5 Â˘, 25 Â˘) (5 Â˘, 10 Â˘, 5 Â˘) (5 Â˘, 10 Â˘, 10 Â˘) (5 Â˘, 10 Â˘, 25 Â˘) (5 Â˘, 25 Â˘, 5 Â˘) (5 Â˘, 25 Â˘, 10 Â˘) (5 Â˘, 25 Â˘, 25 Â˘) (10 Â˘, 5 Â˘, 5 Â˘) (10 Â˘, 5 Â˘, 10 Â˘) (10 Â˘, 5 Â˘, 25 Â˘) (10 Â˘, 10 Â˘, 5 Â˘) (10 Â˘, 10 Â˘, 10 Â˘) (10 Â˘, 10 Â˘, 25 Â˘) (10 Â˘, 25 Â˘, 5 Â˘) (10 Â˘, 25 Â˘, 10 Â˘) (10 Â˘, 25 Â˘, 25 Â˘) (25 Â˘, 5 Â˘, 5 Â˘) (25 Â˘, 5 Â˘, 10 Â˘) (25 Â˘, 5 Â˘, 25 Â˘) (25 Â˘, 10 Â˘, 5 Â˘) (25 Â˘, 10 Â˘, 10 Â˘) (25 Â˘, 10 Â˘, 25 Â˘) (25 Â˘, 25 Â˘, 5 Â˘) (25 Â˘, 25 Â˘, 10 Â˘) (25 Â˘, 25 Â˘, 25 Â˘)

Somme (Â˘) ProbabilitĂŠ (%) 15 20 35 20 25 40 35 40 55 20 25 40 25 30 45 40 45 60 35 40 55 40 45 60 55 60 75

1,19 2,38 4,76 2,38 1,19 4,76 4,76 4,76 7,14 2,38 1,19 4,76 1,19 0 1,59 4,76 1,59 4,76 4,76 4,76 7,14 4,76 1,59 4,76 7,14 4,76 4,76

â&#x153;&#x201D;

â&#x153;&#x201D; â&#x153;&#x201D; â&#x153;&#x201D; â&#x153;&#x201D;

ProbabilitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir une somme supĂŠrieure Ă 50Â Â˘ : 7,14Â %Â Â 4,76Â %Â 7,14Â %Â Â 4,76Â % 7,14 % 4,76 %Â Â 4,76Â %Â 40,48Â % RĂŠponse : La probabilitĂŠ quâ&#x20AC;&#x2122;elle obtienne une somme supĂŠrieure Ă 50Â Â˘ est dâ&#x20AC;&#x2122;environ 40,48Â %.

ÂŠ 2016, Les Ă&#x2030;ditions CEC inc. â&#x20AC;˘ Reproduction interdite

CORRIGĂ&#x2030;

231

Inter va ll e Les cahiers d’apprentissage de la collection Intervalle couvrent les éléments prescrits par le Programme de la formation de base diversifiée (FBD) pour chacun des trois cours de 3e secondaire. De plus, la collection Intervalle innove en offrant, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au cahier numérique aux utilisateurs élèves et, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au guide d’enseignement numérique aux utilisateurs enseignants.

STRUCTURE D’UN CAHIER • Un Test diagnostique ; • Deux ou trois chapitres comprenant chacun : – un Rappel (8 pages), – deux ou trois sections divisées en sous-sections comportant chacune un encadré théorique, des rubriques En pratique, des exercices et problèmes en contexte, chaque section se terminant par une Consolidation portant sur l’ensemble de la section, – une Synthèse (8 pages), – une Banque de SA (6 pages), – une situation d’évaluation et d’apprentissage (SAÉ), – un test divisé en deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ;

• Une ou deux rubriques Garder le cap où figurent des exercices et problèmes en contexte ; • Une Révision (10 pages) ; • Une Banque de SA (10 pages) ; • Deux situations d’évaluation (SÉ) ; • Un examen formatif comportant deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ; • Un glossaire ; • Des annexes ; • Le corrigé du cahier.

STRUCTURE D’UN GUIDE D’ENSEIGNEMENT En plus de tout le contenu proposé aux élèves dans chacun des cahiers d’apprentissage, les enseignants disposent, à leur usage exclusif, des éléments suivants : • Plus de 50 fiches reproductibles et leur corrigé (une banque de situations d’apprentissage et un test supplémentaire par chapitre, en plus d’un bilan, de deux SÉ et d’un examen préparatoire à celui du MEES) ; • Les corrigés des tests, des SÉ et de l’examen formatif présents dans le cahier d’apprentissage.

VERSIONS NUMÉRIQUES Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet :

• La version numérique du cahier permet à l’élève :

– de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ;

– de feuilleter et d’annoter chaque page ;

– d’accéder à tout le matériel reproductible ;

– d’écrire ses réponses dans son cahier ;

– de partager des notes et des documents avec vos élèves ;

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ;

– de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

– de travailler dans son cahier sans connexion Internet.