Issuu on Google+

Sevgili örenci! Bu kitap sekizinci sınıfta öngörülen malzemeyi örenmen için yardımında bulunacaktır. Benzer ekiller için yeni ve ilginç bilgiler öreneceksin. Lineer denklemlerin ve lineer eitsizliklerin çözülmeleri için yeni teknikleri, aynı zamanda bazı lineer denklem sistemlerinin çözülmelerini öreneceksin. Lineer fonksiyonlar geometri cisimleri ve onların alan ve hacımları için bilgilerini geniletireceksin. Kitap dört balıktan olumakta ve her biri alt balıklara ayrılmıtır. Her konu içindekilerle balar, ders birimleri ise numaralanmıtır. Ders birimlerinde mesajlar, tavsiyeler, etkinlikler ve dier uyarılar renkli iaretler ile verilmitir, bunlar: Ders birimleri bildiklerin bazı bilgilerle balamaktadır. stenilenlerin Anımsa! çözümü için hatırlamalısın. Yeni ders birimini örenmen için yardımıcı olacaktır.

A

B

,

...

1.

Bu iaretler ile kendi baına veya öretmenin yardımı ile çözebilecein etkinlikler, sorular ve ödevler iaretlenmitir. Bu bölümde dersteki yeni bilgileri öreneceksin, bu yüzden örenmen ve anlaman için dikkatli ve aktif olmalısın. En önemlileri sarı renkle, teoremlerin formulasyonu turuncu renkle boyalanmıtır.

2. 3.

Bu iaretler ile ders birimleri yeni kavramlara ait olan bölümlere ayrılmıtır.

...

Bilmen gerekenler: Dersin en önemlisi soru, ödev veya iddia gibi ayrılmıtır. Bunları hatırlamalısın, ödevlerin ve örneklerin çözümünde kullanmalısın.

Kendini yokla:

Bu bölümde bulunan sorular ve ödevler ile bilgilerini kontrol edebilir ve örendiklerinin çounu hergünkü yaamda kullanabilirsin. Ödevleri sıralı ve kendin çözmelisin. Bununla okuduklarını daha iyi anlayıp büyük yararlar kazanacaksın.

Ödevler: Dene!...

BLDKLERN KONTROL ET:

Bu bölümde ödev ve problemleri çözmeye çalı (bu, mecburi deildir). Bununla daha bilgili ve fikirlerle daha zengin olacaksın.

Herbir konunun sonunda soru ve ödevlerle test vardır. Testi kendin çöz ve okuduun konu ile bildiklerini kontrol et.

Matematii okuduunda zorluklarla karılatıın zaman cayma, yeniden dene, direncin sonuç ve mutluluk getirecektir. Bu kitapla matematii daha çok seversen ve en iyi baarılar elde edersen, bizleri çok sevindireceksin. Yazarlardan

KONU 1.

BENZERLK

ORANTILI DORU PARÇALAR 1. ki doru parçasının oranı 2. Orantılı doru parçalar 3. Doru parçanın eit kısımlara ayrılması 4. Orantılı doru parçalara ait Tales Teoremi 5. Tales Teoreminden yararlanarak çözülebilen ödevler BENZER ÜÇGENLER 6. Benzer ekiller. Benzer üçgenler 7. Benzer üçgenlerde birinci kural

4 8 12 16 20 24 27

8. Benzer üçgenlerin ikinci ve üçüncü kural 9. ki benzer üçgenin çevrelerin ve alanların oranı PTAGORA TEOREM 10. Dik açılı üçgende benzerlik 11. Pitagora Teoremi 12. Pitagora Teoreminin uygulanmasıyla ödevler 13. Örnekleme uzay, örnekleme nokta Bilgini kontrol et

31 33 37 41 44 48 53

ORANTILI DORU PARÇALAR

1

K DORU PARÇASININ ORANI Anımsa!

a ve b (b  0) sayılarının oranı a ve b sayılarının bölümüne denir, yani a : b veya a b a bölü b okunur; a sayısı birinci terim, b sayısı ise oranın ikinci terimidir. a’nın b’ye bölünmesiyle elde edilen sayıya a : b oranın deeri denir ve k ile iaret edilir. Bu durumda a : b = k, yani a = bk Oranın deerini bul: a) 28 : 4; b) 35 : 5; c) 12 : 16 ; ç) 1,8 : 2,4 Hangi oranlar eittir? a)–ç) ıklarındaki oranlardan hangileri eittir? Oranın bilinmeyen terimini bul: a) x : 8, eer ki deeri 4 ise; b) 18 : y, eer ki deeri 12 ise.

A 1. 1.

ekilde iki doru parçası verilmitir:

A

B D

C

bu durumda AB = 6 , CD = 4 . AB doru parçasının uzunluu ile CD doru parçasının uzunluuyla oranını yazınız. 6 : 4 bölümünü AB doru parçasının CD doru parçasına oranı olarak sayacaız.

Genel olarak ki doru parçasının oranı veya bölümü aynı ölçü birimiyle ifade edilmi uzunlukların bölümüdür. Bir AB doru parçasının dier bir CD doru parçasına oranını bu ekilde gösterilmitir:

kinci terim CD sıfıra eit olabilir mi?

3 Ödev 1 de AB : CD oranı 6 : 4 ‘tür, onun deeri ise 2 ’dir. 2.

A doru parçasının b doru parçasına göre oranını belirt, eer ki: a) a = 12 cm, b = 4 cm, b) a = 30 cm, b = 6 dm.

Dikkat et! Orandaki doru parçalarının uzunlukları aynı ölçü birimiyle ifade edilmelidir. ki doru parçasının oranı adsız sayıdır.

4

Konu 1. Benzerlik

AB

AB : CD veya CD

3.

0,5 : 0,25 oranının her terimini a) 20 ile çarpınız; b) 5 ile bölünüz. Ondan sonra verilen oranın deerini a) ve b)’de elde edilen oranların deerleri ile karılatır. Ne farkediyorsun?

4.

a = 6 cm doru parçasının b = 3 cm doru parçasına oranını yaz ve onun deerini belirt. Ondan sonar, doru parçalarının uzunluklarını a) mm; b) dm ; c) m ile ifade ederek a : b oranının deerini belirt. Bu oranlardan nasıl bir sonuca varıyorsun?

a b

Önceki iki ödevden hatırladın ki: a : b oranının iki terimi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse oran deimez, yani a : b = k ve m 0, ise (am) : ( bm) = k ve (a :m) : (b : m) = k’dir. ki sayının oranı a : b = k ise, o zaman a sayısı neye eittir? k sayısı a ve b sayıları için neyi gösterir?

Eer a : b = k, o zaman a = kb’dir. k sayısı b'nin a sayısında kaç defa bulunduunu gösterir.

Hatırla! AB ve CD gibi iki doru parçasının oranı k ise, yani AB : CD = k, o zaman AB = k, CD ’dir. Ölçü birimi CD doru parçası olduu durumda, k oranı CD doru parçasının AB doru parçasında kaç defa bulunduunu, yani CD doru parçası AB’nin kaç katı olduunu göstermektedir.

B

5.

a = 1,2 dm, b = 18 cm doru parçaları verilmitir. a : b oranını yaz ve deerini hesapla. b : a oranını yaz ve deerini hesapla.

b : a oranına a : b oranının tersidir denir. Öyle ki 18 : 12 oranının tersi 12 : 18 ‘dir. 6.

Arzu 5 yaında, Canan 10 yaında ve Hülya 35 yaındadır. Aralarındaki ya oranını yaz: a) Arzu ve Canan; b) Canan ve Hülya; c) Arzu ve Hülya. Orantılı doru parçalar

5

5 : 10 , 10 : 35 oranlarını incele ve her ikisinin ortak noktası olduunu gözlemle. Birinci oranın ikinci terimi, ikinci oranın birinci terimi ile aynıdır.

Unutma! a:b:c a : b ve b : c oranları genellikle kısacasına yazılır ve böyle yazılıa a, b, c’ nin bileik orantısı denir. Öyle ki , 5 : 10 : 35 ifadesi 5 : 10 ve 10 : 35 oranlarının bileik orantısıdır. Bu iki orandan madda verilen bileik orantı 5 : 35 oranını da ifade eder.

7.

A, B, C kentleri arasındaki hava uzaklıkları : AB = 40 km, BC = 100 m,CA = 120 km. Bu uzaklıkları 800 000 defa küçültülmü bir çizimle göster. CA : AB : BC Bileik orantısını en basit ekilde yaz.

C

8. ekilde AB,CD ve PQ üç doru parçası verilmitir, öyle ki AB = 5 PQ , CD = 3 PQ PQ doru parçası: a) AB ; b) CD doru parçasında kaç defa bulunur?

B

A C P

D Q

Gördüünüz gibi, PQ doru parçası AB ve CD doru parçalarının birer katıdır. PQ doru parçasına AB ve CD doru parçasının ortak ölçü birimidir denir.

Genel olarak Eer üçüncü bir doru parça onların her birinin katı ise, iki doru parçası ölçülebilen doru parça olabilir. ki ölçülebilen doru parçanın oranı rasyonel sayıdır (tam veya kesir). Ödev 8 ‘de AB ve CD doru parçaları ölçülebilen doru parçalardır. Ödev 7 ‘deki AB, BC ve BC, CA doru parça çiftleri de ölçülebilen doru parçalardır (onların ortak ölçüsü örnein 1 km uzunluunda doru parçası olabilir). 9. ekilde kenarı a ve köegeni d olan bir kare verilmitir. d Köegeni d’yi a kenarının yardımı ile ifade et. d : a oranının

2 irasyonel sayısı olduunu göster.

a

Fark et Ortak ölçüsü olmayan doru parçalar çiftleri de vardır. Yani her ikisinde tam sayıda bulunan doru parçası yoktur. Öyle doru parçalara ölçülemeyen doru parçalar denir ve onların oranı daima irasyonel sayıdır.

6

Konu 1. Benzerlik

Örnein, j karenin a kenarı ve d köegeni ölçülemez büyüklüklerdir ve onların oranı d : a sayısı 2 'dir.

Bilmen gerekenler: ki sayı ve iki doru parça oranını adlandırmasın ı ve belirtesini, Verilen oranın deerini ve eit oranların belirtesin; Ters ve bileik oranı yazılıını; Oranda bilinmeyen terimi belirtilmesini

Kendini yokla! AB = 8cm ve AC = 2cm doru parçaları verilmitir (ekilde).

A

B

C

Verilen oranın deerini belirt: a) AB : AC; b) AC : CB; v) CB : AC; d) CS : AB. a : b oranını en basit ekilde ifade ediniz: a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1kg, b = 800g. Verilen oranların deerini belirt: a) 6:8; b) 150:200; c) 80:60; ç) 0,18 : 0,24. Onlardan hangileri birbirine eittir? x : 4 oranının deeri 5 ise x kaçtır? 4.

Üsküp – Valandovo uzaklıı 150 km, Üsküp – Eri Palanka 100 km, ve Üsküp – Kalkandelen 50 km’dir. a) Bu uzaklıkların bileik orantısını yaz. b) Bu bileik orantıyı en basit ekilde yaz.

5.

Oranın deeri verilmi ise, bilinmeyen terimi hesapla: a) x : 5 = 3 b) 6,5 : y = 13

Ödevler 1.

a:b oranının deerini en basit ekilde yaz, eer: a) a = 15 cm, b = 2dm b) a = 6x, b = 4x; c) a = 2litre, b = 800ml

2. Önceki ödevde verilen her oranın tersini yaz. 3.

Verilen oranların terimlerini tam sayılar olmak üzere yaz: 2 4 a) 0,3 : 0,6 b) 0,35: 0,7 c) 5 : 3 ; 3 ç) 2 : 5,2; d) 5 1 : 35 . 5 4 2

c) x : 1,3 = 6 6.

1 ç) 4 2 : y = 3 . 3 3

Kenar ve çevre arasındaki oranı bul: a) ekenar üçgen b) ekenar begen c) ekenar altigen.

Onlardan hangileri birbirine eittir? Orantılı doru parçalar

7

7. AB = 24 cm doru parçası verilmitir ve onun üzerinde C noktası olmak üzere, AC = 18 cm doru parçası elde edilmitir. unu belirt: a) AC : CB b) En kısa ve en uzun doru parçaların oranı.

9.

Bir dik üçgenin açılarından biri 60 derecedir. Bunun hipotenüzünün ve küçük katetinin oranı neye eittir?

10.

ki doru parçanın uzunlukların toplamı 35, farkı ise 7’dir. Bu doru parçaların oranını bul.

Deneyiniz! …

8. Küçük doru parçası büyüünde 7 defa bulunmakta, küçüünden 2 defa küçük olan doru parçası kalır. Küçük doru parçasının uzunluu 1 cm olduuna göre, büyük doru parçasının uzunluu ne kadardır?

2

Üç tavuk üç günde üç yumurta yumurtlar. a) Altı tavuk altı günde kaç yumurta yumurtlar? b) 100 günde 100 yumurtayı kaç tavuk yumurtlar?

ORANTILI DORU PARÇALAR

Anımsa! 12 : 8 ve 6 : 4 oranları aralarında nasıldır? 12 : 8 = 6 : 4 eit oranların eitlii nedir? a : b ve c : d oranları birbirine eit ise, o zaman bu eitlie c a a : b = c : d, veya + d b orantı denir; a, b, c, d sayılarına ise orantının terimleri denir. Bu sayılardan hangisi oranın birinci, hangisi üçüncü terimidir? Hangileri iç, hangileri ise dı terimlerdir? 12 : 8 = 6 : 4 orantının iç ve dı terimlerinin çarpımını bul. Bu çarpımlar birbiriyle nasıldır?

A 1.

Uzunlukları AB = 40cm, PQ = 7cm, CD = 8cm, RS = 35cm olan 4 doru parçası verilmitir. Onlardan orantı oluturabilir misin? Onlardan herhangi bir orantı olutur.

Örnein, unu farkedebilirsin: 40cm : 8cm = 35cm : 7cm yani verilen doru parçaların uzunluklarıyla 40 : 8 = 35 : 7 orantısını oluturabilrsin. Bu nedenle AB, CD ve RS, PQ doru parçaları çiftlerine orantılı doru parçalar denir.

Genel oralak ki çift doru parçaların uzunluklarından bir orantı meydana geliyorsa a, b ve c, d doru parçaları çiftlerine orantılı doru parçaları denir. a : b = c : d, veya

8

Konu 1. Benzerlik

a c + b d

Eit oranların deeri olan k sayısına a : b ve c : d orantılı doru parçalar çiftlerinin orantı katsayısı denir. Ödev 1’de AB, CD ve RS, PQ doru parçaların çiftlerinin orantı katsayısı hangisidir? Doru parçaların orantı katsayısını nasıl belirteceksin?

AB:CD oranının deerini belirteceim, 40cm : 8cm = 40 : 8 = 5 yani k = 5. a

2.

a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm doru parçaları verilmitir.

b

a, b ve c, d doru parçalarının orantılı olduunu göster. Orantı katsayısı ne kadardır?

c d

a, b ve c, d doru parçalarının orantısını yaz. Dı terimlerin çarpımını ve iç terimlerin çarpımını bul. Bu çarpımlar aralarında nasıldır?

Genel ve geçerli! Bir orantının dı terimlerinin çarpımı iç terimlerinin çarpımına eittir, yani eer a:b = c:d, o zaman a · d = b · c Bu kurala orantıların temel özellii denir. a, b, c, d orantılı doru parçalardan herbirine dier üçünün dördüncü geometrik orantısıdır denir. a:b = c:d orantısında örnein, d = bc , a, b, c doru parçalarının dördüncü geometrik orana tısıdır. 3.

a = 6 cm, b = 8cm, c = 12cm doru parçalarında oluan orantılarda dördüncü geometrik orantısı olan x doru parçasını bul. a) a: b = c : x b) x : c = a : b c) a : x = b: c a) ıkı için elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır:

a : b = c : x;

6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 · 12; x = 16 cm

Anımsa! 5 ve 20 sayıları için 5 : x = x : 20 orantısını salayacak x sayısını bul. 5 ¸ 20 ( 10) sayısı 5 ve 20 sayılarının

neyidir? 2 ve 32 sayılarının geometrik ortasını bul.

B 4.

a = 9 cm ve b = 4 cm doru parçaları verilmitir. a : x eit x : b olmak üzere x doru parçasını hesapla.

2 ve 32 sayılarının geometrik ortasını bul. ) Elde ettiin çözümü verilenlerle karılatır. 9 : x = x : 4 orantısı temel özellik gereince x2 = 9 · 4 = 36 yani x = 36  6 ; elde edilir. 9 Orantılı doru parçalar

6 sayısının 4 ve 9 sayılarının geometrik ortasının olduunu kefet.

Unutma! a ve b gibi iki doru parçasının geometrik ortası (veya orta geometrik orantısı) a : x = x : b eitliini salayan x doru parçasına denir. x a = b x

)

x2 = ab

) x

ab

5. Verilen doru parçaların geometrik ortasını bul: a) a = 12cm, b = 27 cm;

6.

b) a = 5 cm, b = 12 cm a

Yandaki ekilde verilen b doru parçası, a ve c doru parçalarının geometrik ortası olup olmadıını ölçerek belirt.

b c

C

7.

8 10 orantısı verilmitir. 8 + 4 10 + 5 eitliin de orantı olduunu göster. = = 4 4 5 5

Genel olarak da geçerlidir! Eer a = c , o zaman a + b = c + d b d b d

Bunu ispatlamaya çalı.

a + b c + d olduundan a + 1 = c + 1 geçerlidir, ondan sonra a + b = c + d , = d d b b b d b d a+b c+d = yani b d 8. Bunun tersinin de geçerli olduunu öster. a c Eer a+b = c+d , o zaman = ‘dir. b d d b Anımsa! Üç veya daha çok oran birbirine eit ise, onları bileik orantı eklinde yazabiliriz. c b a = Örnein: = a 1 b 1 c1 Burada u eitlik geçerlidir:

10

Konu 1. Benzerlik

c b a a+b+c = = = b 1 c1 a1 + b1 + c1 a1

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

OrantĹ kavramĹnĹ tanĹmlayasĹn; OrantĹda bilinmeyen terimi bulasĹn; Hangi doru parçalar çiftleri orantĹlĹ doru parçalardĹr; ki doru parçasĹnĹn geometrik ortasĹnĹ belirt.

10 : a = 15 : 6 orantĹsĹnda bilinmeyen terimi bul. a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm doru parçalarĹndan oluan a : b = c : x orantĹsĹnda bilinmeyen x doru parçasĹnĹn uzunluunu hesapla. a = 2 cm ve b = 8 cm doru parçalarĹnĹn geometrik ortasĹnĹ bul.

Ă–devler 1.

Eittliin doru olmasĹ için a hangi sayĹ olmalĹdĹr? a) 5 = a , b) a = 3 14 7 2 8

2.

Verilen dÜrt doru parçasĹnĹn uzunluklarĹyla orantĹ kur: 28 cm; 16 cm; 1,2 dm; 2,1 dm

3.

a, b, c doru parçalarĹndan oluan a : b = x : c orantĹsĹnda dÜrdßncß geometrik orantĹsĹ olan x doru parçasĹnĹ belirt, eer: 2 a) a = 1 dm, b = 3 dm, c = dm 3 2 4

6. ekildeki ABC ßçgeninde CD doru parçasĹ AB hipotenßzßne karĹlĹk gelen yßksekliktir. C

A

B

Ölçerek unlarĹ dorulayĹnĹz: a) CD doru parçasĹ AD ve DB doru parçalarĹnĹn geometrik ortasĹdĹr; b) AC doru parçasĹ AD ve AB doru parçalarĹnĹn geometrik ortasĹdĹr.

b) a = 2m, b = 3m, c = 4m.

ekildeki ABC’de CM : MA = CN : NB orantĹsĹ verilmitir. Tablonun her satĹrĹnda bazĹ uzunluklar verilmitir. Eksik olan uzunluklarĹ belirt. 7. x ve y belirt, eer: C a) x = y = 3 ; b) 7 = y = 1 4 x 6 5 2 4 CM MA CN NB

4.

M

A

D

N

B

a)

8

6

b)

6

4

c)

8

4 5 8

4

5. a ve b doru parçalarĹnĹn geometrik ortasĹnĹ bul, eer: a) a = 2 cm, b = 8cm; 1 b) a = 4 dm, b = 12 cm; 2 c) a = 7cm, b = 14 cm.

8.

a c orantÄąsÄąndan aaÄądakilerinden elde = b d edildiini gĂśster:

d a b b d c = . = , = , b b d a c a 9. spatla ki: eer

a c  , ise, o zaman a  b  c  d .‘dir. b d b d

OrantĹlĹ doru parçalar

11

3

DORU PARÇASININ ET KISIMLARA AYRILII

A 1.

Anımsa! Bir doru parçasını eit kısımlara nasıl ayıracaksın: a) iki kıma; b) dört kıma. ekildeki FGH ve PQR üçgenlerinde

ekilde SOT açısı gösterilmi ve OS kenarı üzerinde OA = AB = BC olmak üzere doru parçaları alınmıtır.

α = α1, β = β1, FG = PQ . verilmitir. H R α F

α1

β G

β1

P

Q

A, B ve C noktalarından p, q ve r paralel doruları çizilerek OT kenarını sırasıyla A1, B1 ve C1 noktalarında keser.

Bu üçgenler birbirine göre nasıldır? E üçgenlerde karılıklı kenarlar birbirine göre nasıldır?

OA1 , A1B1 ve B1C1 doru parçaları için (sırasıyla) OA, AB ve BC doru parçalarıyla karılıklı olduu denilir. OA1 , A1B! ve B1C1 doru parçalarını ölç. Ne fark edersin?

2.

Ödev 1’deki ekilde ispatla ki O A 1 = A 1B 1 = B 1.C 1 ‘dir.

Yandaki ekli inceleyiniz. OS kenarına paralel olarak A1B2 ve B1C2 doruları çizilmi ve birkaç açı rakamlarla iaret edilmitir.

OAA1 ve A1B2B1 incele ve fark et ki:

) ‡1 = ‡3, ‡2 = ‡4 (Neden?) ) OA  A B ) OAA1 # A1B2B1, OA  A B (Neden?) 1

1

2

(Neden?)

1 1

OAA1 ve A1B2B1 incele. Onların e olduklarını ve A1B1 = B1C1 olduunu göster. Bir açının kenarlarındaki doru parçalarının eitliine ait u teoremi incele ve unutma: Bir açının bir kenarı üzerinde e doru parçaları alarak, onların uç noktalarından açının dier kenarını kesmek üzere paralel dorular çizilirse, bu dorular açının dier kenarından da e doru parçalar kesecektir.

12

Konu 1. Benzerlik

Bu teorem gereince verilen bir doru parçasını istediin kadar eit kısımlara ayırabilirsin.

3.

ekildeki AB doru parçasını 5 eit kısıma ayırınız. A

AB doru parçasını 5 eit kısıma ayırmak için, önceki teoremden nasıl yararlanacaksın?

B

Balangıcı A noktasında olmak üzere bir yarı doru çizdikten sonra, A noktasından balayarak 5 eit doru parçası çizeceim. Ondan sonra, teorem gereince, paralel dorular çizeceim.

Çözümü izle ve doru parçasının eit kısımlara nasıl ayrıldıını göreceksin.

) )

Gelii güzel bir AS yarı dorusu çiz – ekildeki gibi. AS yarı dorusu üzerinde, A noktasından balayarak AE gibi tahminen seçtiiniz bir doru parçasını 5 defa uygulayınız. Bununla 5 nokta elde edeceksin; beincisini C ile iaret et.

) Önce CB dorusunu çiz, ondan sonra elde edilen her noktadan CB dorusuna paralel olarak dorular çiz. Bu ekilde AB doru parçası 5 eit kısıma ayrılmı olacaktır. Bu be parçanın neden birbiriyle eit olduunu açıkla.

4.

Uzunluu 7cm olan bir doru parçasını çiz ve 6 eit kısıma ayır.

5.

Bir doru parçası çiz ve eit doru parçası teoreminden yararlanarak onun orta noktasını belirt.

Anımsa!

B 6.

AB doru parçası üzerinde M noktası iaret edilmitir. Öyle ki, AM = 4 cm ve MB = 3 cm’dir. A

M

Uzunluu 6cm olan AB doru parçasını çiz. a) 5 eit kısıma ayır b) AM : MB = 3:2 olmak üzere, M noktasını iaret et.

B

M noktası AB doru parçasını hangi oranda böler? Orantılı doru parçalar

13

Elde ettiin çözümü yandaki ekilde verilen çözümle karılatır.

7. AB doru parçası çiz ve onu 3:4 oranında iki kısıma ayır. Önce AC doru parçasını 3 + 4 = 7 eit kısıma ayır.

Elde ettiin çözümü, yanda AK = 3 ˜AE ve KM || CB alınmı olan çözümle karılatır. Bu ekilde AM = BM = 3 : 4 elde edilmitir.

Neden AM = BM = 3 : 4 olduunu açıkla.

Bu çizime, verilen doru parçasını verilen oranda bölme denir.

8. ekildeki AB doru parçası M noktasıyla 3:2 oranında bölünmütür. CD doru parçası da N noktasıyla aynı 3:2 oranında bölünmütür. AB ve CD doru parçalarının kısımlarıyla ilgili orantı kur.

A C

M N

B D

Olanaklardan biri: AM : MB = CN : ND‘dir. Demek ki AM, MB doru parçaları CN ve ND doru parçalarıyla orantılıdır. Bu nedenle AB ve CD doru parçaları aynı orantıda ayrılmıtır demektir.

Genel olarak Eer ki, birinin kısımlarının oranı dierinin kısımlarının oranıyla eit ise iki doru parçası aynı orantıda ayrılmıtır.

9. Uzunlukları 7cm ve 4cm olan iki doru parçası çiz ve onları orantılı ekilde 1:2 kısımlara ayır.

14

Konu 1. Benzerlik

Bilmen gerekenler:

Kendini kontrol et! 5 cm uzunlukta bir AB doru parçasını çiz ve 3 eit kısıma ayır. Ondan sonra, AB doru parçasını 2:1 oranında bölecek bir M noktasını iaret et. ekilde H ve K noktalarıyla orantılı olarak bölünmü olan PQ ve RS doru parçalarından oluan bir orantı yaz.

Bir doru parçası eit kısımlara nasıl ayrılması ve ayırma ilemini yapasın; Doru parçasını verilen bir orantıda bölesin; ki doru parçasınnın, hangi durumda aynı orantıda bölündüünü açıklamalısın.

2

6

P

H 3

R

Q 1 K S

Ödevler 1. Uzunluu 6 cm olan bir doru parçası çiz ve onu eit kısımlara ayır: a) üç; b) yedi.

6.

M noktası, AB doru parçasını AB : MB = 5 : 3 oranında böler. AM doru parçasının uzunluu 4,8 dm olduuna göre MB ve AB doru parçaların uzunluunu belirt.

7.

AB = 12 cm doru parçasını ne kadar uzatmalıyız ki, AC : BC = 5 : 2 orantısını salayacak AC doru parçası elde edilsin?

8.

M noktası AB doru parçasını AM : MB = 3 : 2 oranında böler. AM : MB = 3 : 2 oranlarını belirt.

2. Bir AB doru parçası çiz ve onu a) 2 : 1 ; b) 5 : 2 oranında ayır. 3. Uzunluu 10 cm olan bir doru parçası çiz ve onu a) 7 eit kısıma; b) 4 : 3 oranında iki kısıma; c) 1 : 2 : 4 oranında ayır. 4.

ABC çiz ve kenarlarını üçer eit kısıma ayır.

5.

ABC ve onun AA1 kenarortayını çiz. Ondan sonra AA1 kenarortayını AT : TA = 2 : 1 oranında bölerek T noktasını belirt.

Orantılı doru parçalar

15

4

ORANTILI DORU PARÇALARINA AT TALES TEOREM

A 1.

Anımsa! Verilen bir doru parçası a) eit kısımlara b) verilen m : n oranında nasıl bölünür. Onu çizimle açıkla.

ekilde SOT dar açısı verilmitir. OS kenarı üzerinde B noktası, OT kenarı üzerinde ise D noktası seçilmitir. B ve D noktalarından da p dorusu çizilmitir. T p. D

p O

B

OB doru parçası üzerinde OA : AB = 3 : 2 olmak üzere A noktasını seçiniz. A noktasından q || p olmak üzere q dorusunu çiz. q dorusu OT dorusunu C noktasında kesin. OC : CD = 3 : 2olduunu gösteriniz. OC : CD = 3 : 2 olduunu göster-

mek için nereden yararlanacaksın?

Doru parçasının verilen orantıda bölünme kuralından yararlanacaım.

ekilde ödevin çözümü verilmitir. u soruları cevapla. OB doru parçası 5 eit kısıma nasıl bölündü? OA : AB = 3 : 2 olmak üzere A noktası nasıl bulundu?

Neden, OC : CD = OA : AB = 3 : 2 ‘dir? Tales Teoremi denilen u iddiayı incele ve unutma. Bir açının kenarları iki farklı paralel doruyla kesilirse, bir kenar üzerinde elde edilen doru parçalar ve dier kenar üzerinde kesilen karılıklı pdoru parçalarla orantılıdır. j D C

AC || BD O

2.

A

)

OA : AB = OC : CD

B

ekilde AC || BD alınmıtır. Eer OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm , ise CD belirt;

OA : OB = OC : OD .olduunu göster.

16

Konu 1. Benzerlik

S

Genel olarak geçerlidir ki: OA : AB = OC : CD eitliinden (Tales Teoremi gereince) OB : OA = OD : OC eitlii elde edilir, veya:

OA :OB = OC:OD Orantıların bu özelliinden yararlanarak AB : OA = CD : OC aaıdaki eitlii elde ederiz: (AB + OA) : OA = (CD + OC) : OC . OB : OA = OD : OC olduunu ispatla.

C

3. ekilde ABC ve AC ve BC kenarlarını kesen MN || AB dorusu verilmitir. M

AC ve BC dorularının MN dorusuyla orantılı olarak kesildiklerini göster, yani CM : MA = CN : NB .

Eer yardıma ihtiyacın varsa...

N

A

B

Önce,‡ACB açısının kenarlarının MN ve AB paralel dorularıyla kesilmi olduunu tespit et. Ondan sonra, Tales Teoremi’ni uygula.

B 4.

SOT açısını çiz ve ekilde görüldüü gibi OA = 4 cm ,

C

D

T

OB = 6 cm , OC = 3 cm , OD = 4,5 cm ,. doru parçalarını

iaret et.

O

A

B

S

OA, OB ve OC, OD doru parçalarının orantılı olduklarını, yani OA : OB = OC : OD olduunu görebilirsin. AC ve BD dorularını çiz. Ondan sonra, iki çizgilik üçgenle onların paralel olup olmadıını yokla. Çizimde ve ölçmede yeterince isabetli olmusan, AC || BD.

Genel olarak geçerlidir! ki doru bir açının kenarlarından orantılı doru parçalar keserse, o dorular birbirine paraleldir. C

D

T

OA : OB = OC : OD O

A

B

)

AC || BD

S

Orantılı doru parçaların bu özelliine Tales Teoremi’nin tersi denilir. Orantılı doru parçalar

17

5.

R

ekile göre, aaıdaki verilerden hangi durumda MN || PQ.

Q:

a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18; M

b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6;

N

c) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14. P

Q

Bilmen gerekenler : Tales teoremini ifade edesinve onu basit ödevlerde uygulayasın; Tales teoreminin tersini ifade edesin ve onu basit ödevlerde uygulayasın.

Kendini yokla! C

ekilde PQ || BC verilmitir. Aaıdaki iddiaların doru olması için onları tamamla: a) AP : AB =

:

;

c) b)

c) AP : PB =

:

;

c) ]) AC : AQ =

:

Q

= AQ : QC ; :

.

A

P

B E

28 C

ekilde iaretlenen doru parçalar için BC || DE?

35 20 A

16 B

D

Ödevler alınmıtır. 1. ekilde AC ||t[BD marr[ AC || BD.

D

2.

ekildeki ABC ‘ de MN || AB ‘dir. C

a) Eer CM = 12 ; CA = 18 ; C

O

A

BN = 8 ; CN , ne kadardır

B

Aaıdaki verilere göre OB ,‘yi belirt, eer: OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm .

18

Konu 1. Benzerlik

b) Eer CM = NB , MA = 4 ve CN = 9 ise, CM ne kadardır.

M

A

N

B

3. ekilde gösterilen her üçgende, tabana paralel doru çizilmi ve birkaç doru parçası iaret edilmitir.

6. OA : AB = OC : CD orantısından u orantıların elde edildiini göster:

O 1

a b

x c x

1

n

1

m

k

x

d

2

a) a) AB : OA = CD : OC ;

2

C

D

A

c) c) OB : AB = OD : CD ;

b) ]) OA : OB = OC : OD . b) OB : OA = OD : OC ; d) x

Her dört durum için x sayısını belirt, dierlerinin harflerle verilmi olduunu tahmin ederek. 4. ekildeki ‡SOT açısının kenarları AA1, BB1 ve CC1 dorularıyla, OA : AB : BC = 2 : 3 : 1 olmak üzere kesilmitir. OA1 = 6 cm

olduuna göre A1B1 ve B1C1 doru parça-larının uzunluklarını belirt.

5. ekilde a); b), ıklarında iaretlenen doru parçalar için BC || DE olup olmae. yokla. Cevabını açıkla. dıını

Dene! ... Mecburi deildir 7. ekilde C köesine ait açı ortayı CD olan ABC verilmitir. Ondan sonra AC kenarı uzatılmı ve BE || DC dorusu çizilmitir. a) Eer yan kenarları BC = CE, o zaman BEC ikiz kenar üçgen olduunu ispatla. b) ABC üçgeninde ‡ACB açısının açı ortayı, karıki AB kenarını dier iki kenarla orantılı olacak iki kısıma ayırdıını göster, yani AD : DB = CA : CB , ya da (c – x) : x = b : a.

18

a)

B

24

b)

Orantılı doru parçalar

19

5

TALES TEOREMNDEN YARARLANARAK ÇÖZÜLEBLEN ÖDEVLER

A 1.

Anımsa! Orantılı doru parçalara ait Tales Teoremi nasıl ifade edilir? a : b = c : x orantısında a, b, c’nin yardımı ile x büyüklüünü ifade et.

ABC sonra ekilde olduu gibi BC kenarıyla paralel olan ve ‡A açısının kenarlarını kesen B1C1 dorusunu çiz. C

C1

AB : AB1 ve AC : AC1 birbirine göre nasıldır? AB, AB1; BC, B1C1 doru parçalarını dikkatle ölç, ondan sonra AB : AB1 ve BC : B1C1 oranlarını hesapla.

A

B1

B

Ne fark edersin? Eer çizimi ve ölçmeleri doru yapmısan, AB, AB1doru parçalarının BC,B1C1 doru parçalarıyla orantılı olduunu göreceksin, yani;

AB : AB1 = BC : B1C1 = AC : AC1

Genel olarak geçerlidir! Bir üçgende kenarlarından birine paralel doru çizilerek dier iki kenar kesilirse, elde edilen yeni üçgenin kenarları verilen üçgenin kenarlarıyla orantılıdır. C

2. Ödev 1 de Tales Teoremi’ni uygulayarak bu iddiayı ispatlamaya çalı. C1

Verilenler: ABC, B1C1 || BC (ekilde olduu gibi).

a a1

spatla:

BC AC AB = = , B1C1 AC1 AB1

yani

a b c   , a1 b1 c1

A

B1

B C

burada: BC = a , AC = b , AB = c , B1C1 = a1 , AC1 = b1 , AB1 = c1 . Verilen ekil, AC’ye paralel olmak üzere B1F dorusunun çizimiyle tamamlanmıtır. Verilen eitlii ispatlamak için Tales Teoremi’ni nasıl uygulayacaksın?

C1 F A

B1

‡ABC ve ‡ ABC açıları için elde edilen orantılı doru parçalarından oluan orantıları yazacaım. Ondan sonra karılatıracaım.

Yaptıın inceleme ve elde ettiin çözümü verilenle karılatır.

20

Konu 1. Benzerlik

B

) ‡BAC B1C1 || BC ile kesilmitir. Tales Teoremi gereince: ABC B1F || AC ile kesilmitir. Tales Teoremi gereince: ) ‡A

AB AC = AB1 AC1

(1)

AB BC = AB1 FC

(2)

B1FCC1 dörtgeni paralelkenardır (neden?), FC = B1C1 bunu (2) de deitirmekle ) Ka elde edilir.

AB BC = . AB1 B1C1

(3)

)

BC AB AC a c b   . = = , yani d.m.th. a1 c1 b1 B1C1 AB1 AC1

Prej dhe (3): in (1) ve

Bu iddiaya üçgene ait Tales Teoremi denir.

Ters iddia geçerlidir! Bir doru, bir üçgenin iki kenarını kestii durumda, kenarları orantılı parçalara ayırıyorsa, o halde doru, üçgenin üçüncü kenarıyla paraleldir.

C m F n

m:n=p:q

p G

A

)

q

FG || AB

B C

3. ekildeki ABC de, MN || BC’dir. N

BC : MN, deerini bul, eer AM = 15, AB = 18 AB = 15, BC = 10 ve M noktası AB’nin orta noktası ise MN belirt.

A

B

M

) Üçgenin orta tabanı özelliinden yararlanarak MN uzunluunu yokla! p A a

4. ekildeki p ve q doruları üç paralel doru ile kesilmitir. a, a’ karılıklı doru parçalar, b, b’ karılıklı doru parçalarıyla orantılı olduunu göster. Yani: a : a’ = b : b’.

b

b'

C

Ödevin çözümünü izle.

)

q B a'

D p A a

ekilde yapıldıı gibi AD doru parçasını çiz, görüldüü gibi ‡CAD ve ‡ADB açılarının kenarları ikier paralel doru ile kesilmitir. a : b = x : y ve a’ : b’= x : y

b

) Eitliklerin sa tarafları birbirine eit olduuna göre a : b = a’ : b’ yani

x y

q B a' b'

a : a’ = b : b’ elde edilir. C D e segmentit a'. Önceki ekile göre, a = 3, b = 5 ve b’ = 7 ise a’ doru parçasının uzunD C luunu hesapla. 5. ekildeki ABCD yamuunda MN || AB, AD = 18cm, BC = 24 cm M N ve DM = 3 cm. BN ve NC belirtilsin. A

Orantılı doru parçalar

B

21

B

a

ekilde a, b, c doru parçaları verilmitir.

6.

a : b = c : x olmak üzere x doru parçasını bulunuz, yani, a, b, c, doru parçalarının dördüncü geometrik orantısını bul.

b c

Eer ödevi kendi baına çözemezsen, u tavsiyeler sana yardımcı olabilir:

) )

Tales Teoremini hatırla. SOT açısını çiz ve ekilde olduu gibi a = OA, b = AB ve c = OC çiz.

) B noktasından AC ye paralel doru çiz ve OT ile kesiimini D ile iaret et.

) x = CD istenilen doru parçasıdır (Neden?). a, b, c doru parçalarının dördüncü geometrik orantısı olan x doru parçası ikinci ekilde olduu gibi de elde edilebilir. ekli incele ve yöntemi açıkla.

7. a = 4 cm, b = 6 cm ve c = 5 cm doru parçaları için, dördüncü geometrik orantısını çiz: a) x =

bc ac , b) x = . a b

Önce x =

8.

bc fadesinden x : c = b : a orantısının elde edildiini görebilirsin. a

ki doru parçası a = 3 cm ve b = 2 cm çiz. x = ab olacak ekilde x doru parçasını çiz. Önce, x = ab eitliinden 1 : a = b : x orantısı elde edilebildiini görebilirsin. Buna göre çizimi yap.

Bilmen gerekenler: Üçgene ait Tales eoremi’ni ifade edesin ve onu daha basit ödevlerde uygulayasın; Üç doru parçasının dördüncü geometrik orantısını çiz.

22

Konu 1. Benzerlik

Kendini yokla!

ABC’de MN || AB verilmitir. ekildeki verilere göre onun kenarlarının uzunluklarını bul. Üç doru parçası a, b, c, verildiinde, onların dördüncü geometrik orantısının nasıl çizildiini açıkla.

Üç doru parçası a, b, c çizdikten sonra aaıdakileri salayacak x doru parçasını çiz: a) x : a = b : c; b) a : x = b : c; c) a : b = x : c. 7. a ve b doru parçalarını çizdikten sonra x = a2 doru parçasını çiziniz. 6.

Ödevler 1. ekildeki ABCD yamuunda, tabanlar AB = 12, CD = 5 ve yan kenar AD = 7’dir. AD ve BC kenarları S noktasında kesiinceye kadar devam edilmitir. SD belirtilsin.

8. a ve b doru parçalarını çizdikten sonra aaıdaki doru parçaları da çiz. a) x 

a2 ; b

b) x 

b2 . a

C Tabanları AD = 8 ve BC = 20 olan ABCD yamuunun BC kenarı üç D eit kısıma ayrılmıtır ve y x (ekilde görüldüü gibi) bölüm noktalarından ta- A B banlara paralel dorular çizilmitir. Yamuk içinde kalan x ve y doru parçalarının uzunluklarını belirt.

9.

2. Bir aacın gölgesi BC (ekilde) 20 m’dir. Aynı anda 1 m uzunlukta olan bir sopanın (PQ) gölgesi 1,4 m’dir. Aacın AB yüksekliini belirt.

3. ekildeki ABCD D yamuunda MN 6 || PQII AB’dir. ekilP deki verilere göre AD ve BC yan ke- M narlarının uzunlukla- 3 rını bul. A 4. ekildeki ABC de BC kenarı üç eit kısıma ayrılmıtır ve bölüm noktalarından uzunluu 15cm olan AB kenarına paralel dorular çizilmitir. Üçgende kalan her doru parçanın uzunluunu bul.

Yardım. AB ye paralel olan DM dorusunu çiz. DMCincele (ödev 4’ün çözümünü anımsa).

C 8 6

Q N

10. ekilde, A noktası ulaılmaz ve B noktası ulaılabilir olan doadan bir durum gösterilmitir.

B

a) Ulaılmaz olan BA uzaklıını belirt. b) u verilere göre BC = 100m, CE = 250m, CD = 80m. BA uzunluunu hesapla.

C x

c) u verilere göre CE = 250m, CD = 80m ve DB = 96m, EA uzunluunu hesapla.

k

y

k k

A

15

B

5. a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm doru parçalarının dördüncü geometrik orantısını çiz (a : x = b : c). Orantılı doru parçalar

23

BENZER ÜÇGENLER

6

BENZER EKLLER. BENZER ÜÇGENLER Anımsa!

Hergünkü yaamda çou kez ekilN leri aynı ve büyüklükleri farklı ya da aynı olan nesnelere rastlamaktayız: otomobil ve onun modeli; iki bardak; iki sandalye v.b.

A

SOT açısının kenarları AC ve BD paralel dorularıyla kesilmitir. T D C

A

O

S

B

ekilden yararlanarak verilen oranlara eit olan oranları yaz: a) OA : AB;

ekilleri aynı ve büyüklükleri farklı veya eit olan iki geometri ekile benzer geometri ekiller denir.

b)b) OC : OD .

Hangi teoreme göre oranları yazdın? 1. ekilde doru parçaların u orantısı geçerlidir: OA : AB  OD : DC .

iki kare; iki daire; kare ve daire?

C D

2. O

A

B

AD ve BC dorularının durumu nasıldır? Açılar büyüklüklerine göre nasıldır: ve ‡OBC; b) a) ve ‡OCB? a) ‡OAD dhe b) ‡ODA dhe

Aaıdaki ekillerden hangilerine benzer ekiller diyebiliriz:

Makedonya’nın iki corafya haritası verilmitir. Birincisinin oranı 1 : 1000000, ikincisinin oranı ise 1: 500000 ‘dir. Bu haritalar benzer midir? Birinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklıı 4’cm dir. kinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklıı ne kadardır?

Birinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklıı ve ikinci haritadaki Üsküp - Kumanova uzaklıının oranı nedir? Birinci haritada herhangi iki nokta arasındaki uzaklık ve ikinci haritada karılıklı aynı noktalar arasındaki uzaklıın oranı nasıldır? Konu 1. Benzerlik

Yandaki ekli incele. ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin köelerinin balangıç noktaları O olan yarıdorular üzerinde bulunuyor ve u orantılı doru parçaları oluturuyorlar:

ABC ve A1B1C1 üçgenleri için, karılıklı köeler, karılıklı açılar ve karılıklı kenarlar farkedeceiz, yani: karılıklı köeler: A ve A1; B ve B1; C ve C1 dir. karılıklı açılar: A ve A1; B ve B1; C ve C1 ‘dir. karılıklı kenarlar: AB ve A1B1; BC ve B1C1; AC ve A1C1 ‘dir. ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin karılıklı kenarlarının birbirine paralel olduunu gösteriniz, yani ‘dir. ve Üçgenlerde

olduunu göster.

Üçgenlerde karılıklı kenarların birbiriyle orantılı olduunu göster, yani ‘dir. Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. olduundan, Tales teoreminin tersinden AB || A1B1 gerekir. Benzer ekilde BC || B1C1 ve AC || A1C1 olduunu gösterebiliriz. AB || A1B1 ve AC || A1C1 olduundan, paralelkenar açılar gibi A = A1 gerekir. Benzer ekilde ve Tales teoremini hatırla: SOT açısının kenarları AB ve A1B1 paralel dorularıyla kesiliyorsa AB ve A1B1 doru parçaları OA ve OA1 doru parçalarıyla orantılıdır, yani dir. Üçgenin dier karılıklı kenarlarının da aynı orantıda olduunu gösterebilirsin, yani: ABC ve A1B1C1 üçgenleri için karılıklı açıların birbirine eit ve karılıklı kenarların birbiriyle orantılı olduunu gösterdin. Onlar sadaki ekilde olduu gibi baka durumda da gösterebilirler. ABC üçgenini saydam bir kaıtta çiziyorsan, (ekilde olduu gibi) A1B1C1 bölgesinin içine olacak ekilde götürebilirsin. ABC ve A1B1C1 ekli aynı fakat büyüklükleri farklı olduunu görebilirsin, yani onlar benzer üçgenlerdir.

Benzer üçgenler

Unutma! ki üçgenin karılıklı açıları eit ve karılıklı kenarları orantılı ise onlar benzer üçgenlerdir. ABC ve A1B1C1 benzer üçgenleri ABC ~ A1B1C1 eklinde yazıyoruz. ABC benzerdir

A1B1C1 diye okunur. Ödev 3’te ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin kenarlarının orantı katsayısı ne kadardır? Ödev 3’te ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin kenarlarının orantı katsayısı 1:2 yani 1 olduunu gördün. 2 ki benzer üçgenin ( ABC ~ A1B1C1) karılıklı kenarlarının orantı katsayısına, benzerlik katsayısı denir.

ABC ~ MNP yazıldıı durumda, bu üçgenlerin karılıklı köeleri: A ve M, B ve N, C ve P’dir. Ödev 3’te ABC ~ A1B1C1 olduunu ve benzerlik katsayısı 1 olduunu gördün. 2 Neden A1B1C1 ~ ABC dir ve onların benzerlik katsayısı ne kadardır?

Bilmen gerekenler: ise

ve

‘dir.

ki üçgenin benzerlik katsayısını belirtesin.

Bilmen gerekenler: ekilde ABC ~ MNP ‘dir. Onların karılıklı: a) kenarlarını; b) açılarını yaz. Benzerlik katsayısını belirt. x ve y kenarlarını belirt.

Ödevler

ABC ~ RST verilmitir. Onların karılıklı: a) kenarlarını, b) açılarını yaz. Birincisinin kenarı a = 3 cm ve ikincisin kenarı 4 cm olmak üzere iki ekenar üçgen çiz. Onların benzer olduklarını göster. Benzerlik katsayısını belirt. Konu 1. Benzerlik

3. 3. ekilde ABC ~ PQR ‘dir ve kenarlarının uzunlukları iaret edilmitir. x ve y belirtilsin.

5. ABC # A1B1C1 olduuna göre,

ABC ~ A1B1C1 gerekir mi? Açıkla.

4. ekilde ABC ~ MNC ‘dir. , ve olduuna göre, CB ve MN neye eittir?

6. M ve N noktaları ABC üçgeninde AC ve BC kenarlarının orta noktaları olsun.

MNC ~ ABC olduunu göster.

ÜÇGENLERN BRNC BENZERLK KURALI Anımsa! ABC ve A1B1C1 üçgenlerin benzer olup olmadıını tespit etmek için onların karılıklı açılarının eit ve karılıklı kenarlarının orantılı olup olmadıını yoklamak gerekir. Yani, ve 1 MON açısının kenarları a ve b paralel dorularıyla olmak üzere kesilmitir. OAD ve OBC üçgenlerini incele, ondan sonra: BC ve AD kenarlarının oranını belirt. Üçgenlerin karılıklı açılarının birbiriyle nasıl olduunu belirt.

OBC ~ OAD?

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. ekilde,

ABC çiz ve AB kenarından üç defa büyük olan A1B1 doru parçasını çiz. Ondan sonra, kenarı A1B1, B1A1C1 = A ve A1B1C1 = B olacak ekilde A1B1C1 üçgenini çiz. ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin karılıklı iç açıları birbirine eit midir? Neden? Karılıklı açılar eittir: A = A1 ve B = B2 , çizim gereince; çünkü

A1B1C1 üçgeninin karılıklı kenarları ABC’nin karılıklı kenarlarıyla orantılı olup olmadıını ölçme ile yokla. Orantı katsayısını belirt.

A1B1C1 ve ABC üçgenlerinin karılıklı kenarlarının orantılı olduunu ve A1B1C1 ~ ABC olduunu açıklamaya çalı.

ve

olmak üzere, ABC ve A1B1C1 verilmitir.

A1B1C1 ~ ABC olduunu göstermek için benzer üçgenlerin altı koulunun geçerli olup olmadıını yoklamalısın, yani,

Benzer üçgenler

Üçgenlerin karılıklı açılarının birbirine eit olduunu gösterdin. A köesi A1 ile, B köesi B2 ve C köesi C2 ile çakıık olmak üzere, ABC kaydırılarak

A1B1C1 üzerine götürülmü olsun. Bu durumda açı A, açı A1 ile; açı B, açı A1B2C2 ile; ve açı C, açı B2C2A1 ile çakıacaktır. A1B2C2 olduundan, B2C2||B1C1 gerekir. ekilden ve orantılı doru parçalara ait Tales Teoremi gereince yani, Buna göre, A1B1C1 ~ ABC sonucuna varılır.

A1B1C1 ~ ABC olduunu gördün. Buna göre iki üçgenin benzer olup olmadıını tespit etmek için bu üçgenlerin karılıklı ikier açısının eit olup olmadıını yoklamak yeterli olacaktır.

Unutma! Bir üçgenin iki açısı, dier bir üçgenin iki açısıyla eit ise, onlar benzer üçgenlerdir. Bu iddia üçgenlerin birinci benzerlik kuralı gibi adlandırılmıtır.

ekilde A = D = 30˚ verilmi ve C noktası AE ve BD doru parçalarının kesiim noktasıdır. ABC ~ DEC olduunu göster.

3. ABC üçgeninde AB kenarına paralel olmak üzere MN doru parçası çizilmitir. D DveE Eolduunu göster.

ABC ~ MNC olduunu göster. u iddiayı fark et. Bir üçgende bir kenara paralel olan ve dier iki kenarı kesen bir doru çizildiinde, verilene benzer olan üçgen elde edilir. Bu iddiayı, üçgen için Tales Teoremi ile karılatır. ekildeki ABC üçgeninde MN||AB ve NP||AC doru parçaları çizilmitir. Kaç üçgen fark ediyorsun? Üçgenlerden hangilerinin birbirine benzer olduunu yaz. Konu 1. Benzerlik

unları fark et: Her üçgen kendi kendisine benzerdir. ki e üçgen birbirine benzerdir. Onların benzerlik katsayısı ne kadardır? 5. ekilde A = P = Dolmak üzere, ABC ve PQR dik üçgenleri verilmitir.

ABC ~ PQR olduunu göster. Üçgenlerin karılıklı ikier açılarının eit olduunu göster: B = Q = 90˚.

A=

P ve

Üçgenlerin birinci benzerlik kuralına göre: ki dik üçgenin benzer olması için, birinin bir dar açısı, dierinin bir dar açısıyla eit olması gerekmektedir . 6.

ekildeki ABC üçgeninde CD yükseklii ve MN||AB doru parçası çizilmitir. Orada kaç dik üçgen fark edebilirsin ve onlardan hangileri benzerdir?

7.

ekilde C = R = Dolmak üzere, iki ikizkenar üçgen ABC ve PQR verilmitir. A = P olduunu göster.

ABC ~ PQR olduunu göster.

Genel olarak Bir üçgenin ucu dier üçgenin ucuyla aynı ise iki ikizkenar üçgenler benzerdir.

8.

A=

A1 olarak AB ve A1B1 esaslarla A1B1C1 iki ikizkenar üçgen çiz.

ABC ~ A1B1C1 olduunu göster. ki ikizkenar üçgenlerin benzerlii için baka bir ispatlama ifade et. Benzer üçgenler

Bilmen gerekenler: Üçgenlerin birinci benzerlik kuralını ifade et; ki dik, ya da iki ikizkenar üçgenin benzer olmaları için yeterli artlar hangileridir; ki üçgeni benzer olup olmadıını tespit et; Benzer üçgenlerde bilinmeyen kenarı belirt.

Kendini yokla! AB doru parçasının uç noktalarından AB’ye dik olmak üzere AC = 3 cm ve BD = 5 cm doru parçaları çizilmitir. s dorusu AB doru parçasını hangi oranda böler?

Ödevler ekilde ABC üçgeni ve MN||AB verilmitir.

u oranları belirt: a) Eer CM : MA = 3 : 2 ise, o zaman CM : CA = b) Eer CM : MA = 7 : 3 ise, o zaman CN : NB = c) Eer CM : CA = 3 : 4 ise, o zaman AB : MN =

Konu 1. Benzerlik

2. Kenarları AB = 20, BC = 12 ve CA = 16 olan ABC verilmitir. BC kenarı üzerinde olan M noktasından AB’ye paralel olan bir doru çiziliyor. Bu doru AC kenarını N noktasında keser. CM = 3 olduuna göre, MN belirtilsin. 3. Tabanları AB ve CD olan ABCD yamuunda, AC be BD köegenleri, S noktasında kesiiyorlar. a) ABS ~ CDS olduunu ispatla. b) AB = 12, AS = 6 ve SC = 3 olduuna göre, CD ’yı belirt. 4. Kenarları 4, 5, 6 olan A1B1C1 benzer öyle bir A1B1C1 üçgeni çiz ki: a) En küçük kenarı 5 olsun; 3 b) Orantı katsayısı olsun. 4 5. Bir aacın gölgesi 10 m olduu anda; 1,7 m yükseklikte olan bir kiinin gölgesi 1 m’dir. Aacın yüksekliini belirt.

ÜÇGENLERN KNC VE ÜÇÜNCÜ BENZERLK KURALI Kenarları AB = 3cm ve AC = 2cm ve A= 60˚ olan ABC çiz. Ondan sonra A1 = 60˚ ve kenarları A1B1 = 3AB, A1C1 = 3AC, olan

A1B1C1 çiz.

Anımsa! ki üçgen ABC ve A1B1C1 benzer olması için altı kouldan hangilerinin salanması gerekir? Üçgenlerin birinci benzerlik kuralı gereince ABC ~ A1B1C1 olması için, hangi koullar yeterlidir?

ve ve ve ölç ve karılatır. Ne farkediyorsun?

ekilde ödevin koullarına göre üçgenler çizilmitir. ABC üçgenini A A1 ile çakıacak durumda kaydıralım. Bu durumda ABC üçgeni A1B2C2 ile çakıacaktır. u oranları belirt:

ve

ve Göster ki Neden ABC ~ A1B1C1 ki üçgenin hangi karılıklı elemanları verilmitir ve bunlar, iki üçgenin benzer olduklarını tespit etmek için yeterli midir?

Orantılı olan iki karılıklı kenar ve onların oluturdukları birer eit açı verilmitir. Bu koullar üçgenlerin benzer olduklarını tespit etmek için yeterli koullardır.

Buna göre, üçgenlerin benzerliine ait kural ifade edilebilir. Bu kural benzer üçgenlerin ikinci benzerlik kuralı olarak adlandırılmıtır. ki üçgenin karılıklı ikier kenarı orantılı ve o kenarların oluturdukları karılıklı açıları eit ise, üçgenler benzerdir. 2.

ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzer olup olmadıklarını yokla, eer:

3.

ekilde verilen ABC‘de M noktası AB kenarının orta noktasıdır, N noktası ise AC’nin ortasıdır.

ABC ~ AMN olduunu ispatla.

ABC ‘nin MN orta tabanının, karılıklı BC kenarının yarısına eit olduunu göster. Benzer üçgenler

4.

Kenarları AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm, olan ABC üçgenini çizdikten sonra, kenarları ABC üçgeninin kenarlarından iki defa daha küçük olan A1B1C1 üçgenini çiz. A ve A1, B ve B1, C ve C1 açılarını ölç ve karılatır. Ne farkediyorsun?

ABC ~ A1B1C1 midir? ki üçgenin karılıklı kenarları orantılıdır. Buna göre bu iki üçgenin benzer olduunu tespit etmek için koul yeterli midir?

ki üçgenin benzer olması için, onların karılıklı kenarlarının orantılı olması yeterlidir. Çünkü o durumda karılıklı açıları da birbirine eit olur.

Farkettiin gibi, üçgenlerin benzerliine ait bir kural daha ifade edilebilir. Bu kural benzer üçgenlerde üçüncü benzerlik kuralı gibi adlandırılmıtır. Bir üçgenin üç kenarı, dier bir üçgenin üç kenarı ile orantılı ise, üçgenler birbirine benzerdir. Kenarları verilmi olan u üçgenler benzer midir? a) 3, 4, 5 ve 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 ve 4, 3, 5; c) 2, 2, 3 ve 6, 6, 8; ç) 2;3;4 ve 3;6;4,5?

Bilmen gerekenler: Bilmen gerekenler: Benzer üçgenlerin ikinci ve üçüncü benzerlik kuralını ifade edebilmelisin; kinci ve üçüncü benzerlik kuralını uygulayarak iki üçgenin benzer olup olmadıını tespit etmelisin; Benzer üçgenlerde bilinmeyen kenarı belirtmelisin.

ABC üçgeninin kenarları: a = 6 cm, b = 4 cm ve c = 3 cm ‘dir. ABC’ye benzer olan A1B1C1’in en küçük kenarı 6 cm olduuna göre çevresini hesapla.

ABC ve PQR benzer olduklarını kontrol et, eer: A = 55°, AB = 12 cm, AC = 8 cm, P = 55°, PR = 12 cm, PQ = 18 cm.

Ödevler ki üçgen ABC ve PQR çiz, ondan sonra

ABC ~ PQR olması için hangi koulların gerektiini yaz. a) ikinci kurala göre; b) üçüncü kurala göre. ABC ve EDC üçgenlerinin benzer olduklarını göster. Hangi kurala göre?

3. Bir üçgenin kenarları 6, 5 ve 4’tür. Bu üçgene benzer olan dier bir üçgenin en büyük kenarı 9 ise ikinci üçgenin çevresini hesapla. 4. Bir üçgenin iki açısı 60° ve 70° ,dier bir üçgenin iki açısı 50° ve 80° olduu durumda iki üçgen benzer üçgenler midir? 5. Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı 70° ‘dir. Dier bir ikizkenar üçgenin taban açısı 55°’tir. Bu üçgenlerin benzer olduklarını ispatla.

Konu 1. Benzerlik

ABC ~ A1B1C1 . Neden?

BAC = 50°, AB = 4 cm, AC = 6 cm; NMR = 50°, MN = 30 cm, MR = 45 cm olduu durumda ABC ~ MNR olup olmadıını açıkla.

6.

7.

Kenarları verilmi olan ABC ve A1B1C1 benzer olduklarını yokla: a) 15,17,24 ve 4,5 ; 5,1; 7,2. b) 22; 8,2; 20 ve 55; 20,5; 50.

8. A noktası ulaılmaz olduu durumda, A noktasından B noktasına kadar uzaklıı nasıl belirteceksin? ekile bak Doada BC = m˜CB1 olmak üzere B ile aynı doruda olacak C ve B1 noktalarını seçiyoruz. Ölçme aletiyle B1 B eit olmasını salarız. B1’in kenarı üzerinde A, C ve A1 aynı doru üzerinde olmak üzere A1 noktasını seçiyoruz.

A’dan B’ye kadar uzaklıı belirt, eer BC = 40m, CB1 = 5m, B1A1 = 6,5m.

9.

Ölçülmesi gereken A ve B noktaları arasında ulaılmaz bir bölüm olduu durumda, A ve B arasındaki uzaklıı nasıl belirteceksin? ekile bak

C noktasını seçtikten sonra AC ve BC’nin uzantılarında AC = n CA1 ve BC = n ˜ CB1 olmak üzere A1 ve B1 noktaları alınmıtır.

ABC ~ A1B1C. Neden? A ‘dan B ‘ye kadar uzaklıı belirt, eer AC = 10 m, CA1 = 2 m ve A1B1 = 3,5 m.

K BENZER ÜÇGEN ÇEVRELERNN VE ALANLARININ ORANI Anımsa! Kenarları a = 15 cm, b = 9 cm ve c = 8 cm olan üçgenin çevresini hesapla. Kenarı a = 10 cm ve ona karılık gelen yükseklii h = 6 cm olan üçgenin alanını hesapla. Üç veya fazla oran birbirine eit olduu durumda, onlar bileik orantı gibi yazılabilir, örnein: veya a : b : c = a1 : b1 : c1.

Bir ABC üçgenin kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 12 cm’dir. Buna benzer olan bir dier A1B1C1 üçgenin en küçük kenarı a1 = 3 cm’dir. Üçgenlerin benzerlik katsayısını belirt.

A1B1C1’ in b1 ve c1 kenarlarını belirt.

ABC ve A1B1C1 ‘ in çevrelerini belirt. Üçgenlerin çevrelerinin oranını, ikier karılıklı kenarların oranıyla karılatır. Sonuç nedir?

Orantı için aaıdaki durum geçerlidir: Benzer üçgenler

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. Benzer üçgenlerin iki karılıklı kenarı a ve a1 biliniyor. Buna göre yani

ABC üçgeninin çevresi L = 6 + 8 + 12 yani L = 26 cm. A1B1C1 ‘in çevresi L1 = 3 + 4 + 6 yani L1 = 13 cm olduunu farkedersin. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı, karılıklı kenarların oranına eit olduunu görüyorsun.

Genel olarak geçerlidir Eer ABC ~ A1B1C1 o zaman

P P1

spat. ABC ~ A1B1C1 benzer olduklarından gerekir. Bileik orantıların özelliine göre

yani

P P1

bulunur.

Unutma! ki benzer üçgenin çevrelerinin oranı, onların ikier karılıklı kenarlarının oranına eittir.

ABC ‘nin kenarları a = 6, b = 15 ve c = 18’dir. Verilen üçgeneA1B1C1 orantı katsayısı

k=

1 olmak üzere benzerdir. A1B1C1 ‘in L1 çevresini hesapla. 3

3.

ekilde ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzerdir. Onların karılıklı yükseklikleri CD ve C1D1 çizilmitir.

ADC ~ A1D1C1 olduunu göster. Karılıklı yüksekliklerin CD ve C1D1 üçgenin karılıklı kenarlarıyla orantılı olduunu göster.

Konu 1. Benzerlik

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. ADC ve A1D1C1 üçgenlerinin birer dar açılarının eit olduunu fark ediyorsun, yani ( çünkü ABC ~ A1B1C1) ‘dir.

ADC ~ A1D1C1 sonucuna varabilirsin. Oradan da

ABC ~ A1B1C1’in benzerliinden: Benzer üçgenlerde, karılıklı yüksekliklerin oranı, karılıklı kenarların oranına eittir.

Genel olarak ki benzer üçgende, karılıklı yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar, çevrel ve içten teet çemberlerin yarıçaplarının oranı, karılıklı kenarların oranına eittir. ki benzer üçgenin çevreleri 16 cm ve 24 cm’dir. Birinci üçgenin bir yükseklii 9 cm’dir. kinci üçgenin karılıklı yüksekliini belirt.

C

ekilde ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzerdir. Onların alanları P ve P1 ‘dir. Üçgenlerin P ve P1 alanlarının formüllerini, verilen kenarlar ve karılıklı yükseklikler ile yaz. h : h1 oranını yaz. Üçgenlerin alanlarının oranı P : P1 neye eit olduunu ispatlamaya çalı.

Elde ettiin çözümü, verilenle karılatır. P

P1

ABC ~ A1B1C1 olduundan Benzer ekilde

P P1

P : P1 gerekir.

yani

P P1

Buna göre P P1

olduunu gösterebilirsin.

Unutma! ki benzer üçgenin alanlarının oranı, onların karılıklı kenarlarının karelerinin oranına eittir. ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin alanları 49 cm2 ve 36 cm2’dir. ABC’nin bir kenarı a = 7 cm olduuna göre, dier üçgenin a1 kenarını ve h ve h1 karılıklı yüksekliklerini belirt. Benzer üçgenler

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. P : P1 P

A1B1C1’de P1 ve a1 bilindiine göre, h1 yüksekliini belirt.

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

ki benzer üçgende çevrelerinin oranı nasıl ve alanlarının oranı nasıl olduunu ifade etmelsinin; ki benzer üçgenin karılıklı yüksekliklerin, kenarortayların, açıortayların oranı ile iddiaları ifade etmelsinin;

ABC kenarları a = 8, b = 6 ve c = 4, ona benzer olan A1B1C1 ‘in çevresi 45’tir. A1B1C1’in kenarlarını belirt.

ki benzer üçgenin çevrelerinin ve alanlarının oranlarını ödevlerin çözümünde kullanasın.

Üçgen biçiminde bir tarla 1 : 200 oranında çizilmitir. Çizimdeki üçgenin alanı ve tarlanın gerçek alanının oranı nedir?

Ödevler Bir üçgenin çevresi ona benzer bir üçgenin çevresinden üç defa büyüktür. Birinci üçgenin en büyük kenarı 24 cm ise, dier üçgenin en büyük kenarı ne kadardır? Bir üçgenin kenarları 8 cm, 15 cm, 9 cm’dir. Ona benzer dier bir üçgenin çevresi L1 = 96 cm’dir. kinci üçgenin kenarlarını belirtiniz. ki benzer üçgenin çevrelerinin oranı 5 : 2 , en büyük kenarlarının toplamı ise 42 cm’dir. En büyük kenarlarının uzunluklarını hesapla. Bir ABC üçgeninin a,b,c kenarlarının oranı 3 : 4 : 6 ‘dir. Ona benzer A1B1C1 üçgeninin çevresi L1 = 52 cm olduuna göre a1, b1, c1 kenarlarını belirt.

ABC’de AC kenarından 2 cm uzaklıkta MN||AC dorusu çizilmitir. AB : MB = 13 : 9 olduuna göre

ABC’nin AC kenarına karılık gelen yükseklii belirt. Konu 1. Benzerlk

ABC ve A1B1C1 iki benzer üçgenlerin alanları 81 ve 25’dir. ABC’nin b kenarı 9 olduuna göre A1B1C1’in b1 kenarını ve ona karılık gelen h1 yüksekliini belirt. Bir ABC üçgeni çiz. Ondan sonra bu üçgenin alanının dörtte birine eit alanlı dier bir A1B1C1 çiz.

ABC’nin a kenarı 10, bu kenara karılık gelen yükseklii ise 5 ‘tir. Bu üçgene benzer olan A1B1C1’in alanı 81 olduuna göre, a1 kenarını ve h1 yüksekliini belirt. ki benzer üçgenin alanlarının oranı 9 : 25’tir. Bu üçgenlerin benzerlik katsayısını belirt. Üçgen biçiminde bir tarla 1 : 500 oranında çizilmitir. Çizimdeki üçgenin alanı 2,76 dm2 olduuna göre, tarlanın alanını hektar ile ifade et.

PTAGOR TEOREM DK ÜÇGENDE BENZERLK Anımsa! ekilde gösterilen ABC dik üçgeninde AB hipotenüzüne karılık gelen CD yükseklii çizilmitir.  ve 2 açılarının kenarları nasıl durumdadır? aretlenen açılardan hangi çiftlerin kenarları birbirine diktir? aretlenen açılardan hangileri birbirine eittir? a = 3 cm, c = 12 cm olan doru parçaları verilmitir. Onların geometrik ortasını hesapla.

ekilde ABC dik üçgeni, AB hipotenüzüne çizilen CD yüksekliiyle iki dik üçgene ayrılmıtır: ADC ve CDB.

Verilen üçgenlerin (hangi kurala göre) benzer olduklarını açıkla:

ekilde ABC’de AD doru parçasını incele. Ona AC katetinin AB hipotenüzündeki izdüümü denir. Onun uzunluunu q ile iaret edeceiz. Benzer ekilde, DB doru parçasına BC katetinin hipotenüzdeki izdüümü denir. Onun uzunluu p ile iaret edilmitir. Yandaki ekilde ABC ve CBD dik üçgenlerini ve onların iaretlenen kenarlarını incele.

ABC’nin c ve a kenarlarına CBD’nin hangi kenarları karılık gelir?

c kenarı ABC’nin hipotenüzüdür, a kenarı ise

CBD’nin hipotenüzüdür. Buna göre: c kenarı a kenarına karılık gelir; ABC’nin a kenarı

CBD’nin p kenarına karılık gelir.

, yani c : a = a : p’dir. Nedenini açıkla. c : a = a : p orantısından a2 = cp gerekir. a kenarı c hipotenüzünün ve p izdüümünün nesidir? Ödev 2’deki ekilde ABC ve ACD benzer dik üçgenlere dikkat et. Oradaki karılıklı kenar çiftlerini yaz. Neden, c : b = b : q , yani b2 = cq eitlikleri dorudur, açıkla. b katetinin c hipotenüzüyle olan baıntıyı ve b katetinin c hipotenüzüne olan izdüümü q arasındaki balantıyı sözlerle ifade et. 37 Pitagora teoremi

Unutma! Teorem 10. Dik üçgende her katet, hipotenüz ve o katetin hipotenüzündeki izdüümünün geometrik ortasıdır.

Katetleri a = 12 ve b = 5 ve hipotenüzü c = 13, olan ABC dik üçgeninde a ve b katetlerinin c hipotenüzündeki izdüümünü belirt.

ABC dik üçgeninde, hipotenüze karılık gelen CD yükseklii çizilmitir. Neden CAD açısı BCD ile eittir? ekilde, ACD ve CBD’yi incele ve onların benzer üçgenler olduklarını göster.

CBD’de hangi kenarlar, ACD üçgenindeki q ve h kenarlarının karılııdır? Neden: q : h = h : p, yani h2 = pq, açıkla. h yüksekliinin p ve q izdüümleriyle ve a ve b’nin c ile baıntısını sözlerle ifade et.

Unutma! Teorem 20. Bir üçgende c hipotenüzüne indirilen h yükseklii, katetlerin hipotenüz üzerindeki p ve q izdüümlerinin geometrik ortasıdır.

q = 4 ve h = 6 olduuna göre p’yi bul. 10 ve 20 iddiaları, yani, a2=cp , b2=cq , h2=pq, baıntılarını eski Yunan matematikçisi Euklit (M.Ö. 365-310) ispatlamıtır. Bu nedenle onlara Euklid Teoremi denir.

Konu 1. Benzerlk

Anımsa!

ekilde olduu gibi, m ve n doru parçaları çiz.

ekilde yarıçapı AB olan bir yarıçember verilmitir. Yarıçember üzerinde C noktası seçilmitir. ACB açısı hangi cinstendir? Bir çapı gören çevre açısı için Tales teoremi nasıl ifade edilir?

Ondan sonra, o doru parçaların geometrik ortasını çiz (yani, x2 = m • n olacak olan x doru parçasının çizimi). Aaıdaki adımları izle. AT yarıdorusunu çiz ve üzerinde ekilde gösterildii gibi ve doru parçalarını uygula.

AB doru parçasının orta noktasını çizimle belirt ve AB çaplı yarıçember çiz. D noktasından AB çapına dikme çiz ve bu dikmenin yarıçemberi kestii noktayı C ile iaret et. doru parçası, Teorem 20 gereince, elde edilen neden m ve n doru parçalarının geometrik ortası olduunu açıkla. m = 2 cm ve n = 3 cm doru parçalarının x geometrik ortasını çiz.

Bilmen gerekenler: Euklit teoremini ifade et ve ödevlerin çözümünde uygula; ki doru parçasının geometrik ortasını çizesin.

Kendini yokla!

ABC dik üçgeninde p ve q doru parçaları, a ve b katetlerinin c hipotenüzü üzerinde karılıklı izdüümlerdir. a) c = 12 ve p = 3 ise, a = ? c) q = 2 ve p = 8 ise, h = ? b) b = 13 ise, cq = ? ki doru parçasının geometrik ortası nasıl çizilir? (Yöntemi açıkla).

Pitagora teoremi

Ödevler ekil gereince, verilen orantılarda eksik olan terimleri doldur.

4. Verilen doru parçaların geometrik ortasını bul. a) m = 2.5 cm ve n = 3,5 cm; b) n = 1.5 cm ve n = 3 cm.

5. ABC dik üçgeninde kateti a = 8 ve onun izdüümü p = 6,4 verilmitir. c hipotenüzünü ve b katetini hesapla.

6. ABCD dikdörtgeninde dik açısı M noktasında olmak üzere ABM dik üçgeni çizilmitir (ekilde olduu gibi).

ABC dik üçgeninde p ve q doru parçaları a ve b’nin c hipotenüzü üzerinde karılıklı izdüümlerdir. Bilinmeyen büyüklükleri belirt: a) p = 12, q = 3, h = ? b) a = 11, cp = ? c) c = 18, p = 8, b = ?, a = ? ve olduuna göre, dikdörtgenin boyalı kısmının alanını hesapla.

ABC dik üçgeninde hipotenüze indirilen yükseklik h = 2,4 ve b katetinin izdüümü q = 1,8 verilmitir. unları bul: a) p doru parçasını; b) hipotenüz c; c) katet b; ç) katet a;

Konu 1. Benzerlk

7. Öyle bir kare çiz ki alanı, boyutları a = 4 cm ve b = 3 cm olan dikdörtgenin alanına eit olsun.

PTAGOR TEOREM Anımsa! Pitagor teoremini geçen okuma yılından biliyorsun. Bu teorem öyle ifade edilir: Dik üçgende c hipotenüzün karesi a ve b katetlerin karelerinin toplamına eittir.

ekilde a ve b katetleri ve c hipotenüzü ile bir ABC dik üçgen verilmitir. Her kenarın üzerinde birer kare çizilmitir ve onların alanları Pa, Pb ve Pc ile iaret edilmitir.

Kenarı a = 5 cm olan karenin P alanı ne kadardır? Pa, Pb ve Pc arasındaki balantıyı yaz. Pa= a2 , Pb= b2 ve Pc = c2 , görebiliriz ki c2 = a2 + b2’den Pc = Pa+Pb sonuçlandırılır. Buna göre Pitagor teoremi böyle de ifade edilebilir: Herhangi dik üçgende hip otenüzün üzerindeki karenin alanı, katetlerin üzerindeki karelerin alanlarının toplamına eittir. Yani, Pc = Pa + Pb . 2. Verilen u tavsiyelere göre Pitagor teoremini ispatlamaya çalı. C = 90° olmak üzere ABC dik üçgenini çiz ve hipotenüzüne CD yüksekliini indir. Her katetin hipotenüz ile karılıklı izdüümlerle balantıyı yaz, yani Euklid teoremine göre balantıyı göster. Eitlikleri taraf tarafa topla,yani sol ve sa tarafların toplamını belirt. Düündüklerini aaıda verilen ispatla karılatır.

spat

ddia

Açıklama

Üçgenin yükseklii, karılık olduu kenara diktir. Bir katet, hipotenüzün ve hipotenüz üzerinde izdüümünün geometrik ortasıdır. Eitliklerin taraf tarafa toplanma özellii. Çarpma ileminin toplamaya göre daılma özellii. yani

Yerine koyma metodu (c = p + q).

Pitagora teoremi

c hipotenüzünü a ve b katetleriyle nasıl ifade edebilirsin? Bir kateti, hipotenüz ve dier katetle nasıl ifade edebilirsin?

c2 = a2 + b2 eitliinden

elde edilir.

Eer katetleri a = 15 ve b = 20 ise dik üçgenin c hipotenüzünü belirt. Bir dik üçgenin hipotenüzü c = 29 ve bir kateti a = 20 ise, dier katetini hesapla. Kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 10 cm olan bir ABC üçgeni verilmitir. a2 + b2 = c2 eitliinin geçerli olduunu göster. ABC üçgeni çiz ve ölçerek bu üçgenin dik olduuna ıspatla.

Genel ve geçerli Kenarları a, b, c olan bir üçgende a2 + b2 = c2 eitlii geçerli ise, o üçgenin hipotenüzü c olan bir dik üçgendir. Bu iddia ispatı, Pitagor teoremine terstir. ABC üçgenin kenarları verilmitir: a) a = 7, b = 24, c = 25;

b) a = 8, b = 10, c = 15.

ABC üçgenin dik olup olmadıını yokla. 7. Kenarları a = 6 dm ve b = 11 cm olan dikdörtgenin d köegenini hesapla. Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır

D

ABCD dikdörtgenini çiz ve ekilde olduu gibi kenarlarını ve açılarını iaret et. ABC üçgeninin dik üçgen olduunu görebilirsin. Onun katetleri dikdörtgenin kenarları a ve b, hipotenüzü dikdörtgenin köe- A geni d’dir. ABC üçgeninde Pitagor teoremini uygula:

C d

b

a

B

Tabanı a = 18 cm ve yan kenarı b = 41 cm olan ABC ikizkenar üçgenin h yüksekliini hesapla. C

Aaıdaki tavsiyeyi takip et ve elde ettiin çözümü verilenle karılatır: kizkenar ABC üçgeni çiz ve ekilde olduu gibi tabanına karılık gelen CD yüksekliini çiz. ADC dik üçgen fark edebilirsin. Onun hipotenüzü b ve kateti

h

ve h dir. A

Konu 1. Benzerlk

D

B

ADC üçgeninde Pitagor Teoremini uygula:

oradan :

Tabanı 10 ve yükseklii 12 olan ikizkenar üçgenin çevresini hesapla.

Bilmen gerekenler: Pitagora teoreminin ifade edesin ve ispatlanmasını bilesin. Bir dik üçgende iki kenar verildiinde üçüncü kenarın nasıl hesaplandıını bilesin.

Kendini yokla! Bir dik üçgenin katetleri a = 8 ve b = 15 onun c hipotenüzünü hesapla. kizkenar üçgenin yüksekliini hesapla, eer tabanı 20 cm ve yan kenarı 26 cm ise.

Ödevler Katetleri a ve b ve hipotenüzü c olan dik üçgenin bilinmeyen kenarını hesapla, eer: a) a = 12, b = 35, c = ? b) b = 56, c = 65, a = ? c) a = 25, b = 31, c = ? Kenarları verilmi ABC üçgeninin dik olup olmadıını yokla: c) 5,6; 3,3; 6,5; a) 14, 48, 50; ç) 100, 60, 80? b) 9, 12, 17; Kenarları 0,28 dm ve 0,96 dm olan dikdörtgenin köegenini hesapla. Köegeni 8,5 dm ve bir kenarı 1,3 dm olan dikdörtgenin çevresini hesapla. Tabanı 14 ve yükseklii 24 olan ikizkenar üçgenin çevresini hesapla Kenarı a = 12 olan ekenar üçgenin h yüksekliini yaklaık olarak hesapla.

Bir dik üçgenin katei a = 35 cm’dir. Hipotenüzü ve dier katetinin toplamı 49’dur. c hipotenüzünü ve dier kateti b'yi hesapla. Bir dik üçgenin hipotenüzü 35 cm’dir. Katetlerinin oranı 3 : 4 'tür. Katetlerini bul. Bir ABC dik üçgeninin a ve b katetleri üzerinde ve hipotenüzü c üzerinde olan ekenar üçgenlerin alanları Pa , Pb ve Pc gibi iaretlenmitir. Göster ki Pc = Pa + Pb. Eer düzgün üçgenler yerinde düzgün altıgenler elde edilirse, bu baıntının geçerli olduunu yokla.

Pitagora teoremi

Pitagor üçleri. Bu mecburi deildir! Pitagor Teoremi’ni salayan a, b, c doal sayılarından oluan üçlüler sorunu ilginçtir, yani a2 + b2 = c2 eitlii salar. Örnein böyle üçlüler: 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13 v.b. O sayılara Pitagor üçleri denir. Aaıdaki ifadelerden Pitagor üçleri elde edildiini yokla.

2mn, m2 – n2, m2 + n2,. . Her n N için birer üçlü elde edilir. 2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1; her n  N için birer üçlü elde edilir.

her n  N tek sayı ise n 3

her n  N çift sayı ise 4.

PTAGOR TEOREMNN UYGULANMASIYLA LGL ÖDEVLER Anımsa! Yandaki ekilde ABCD ikizkenar yamuun tabanları ve ile yükseklii DE‘dir. doru parçasını hesapla. ekilde gösterilen EFGH ekenar dörtgeninin köegenlerinin kesiim noktası S ile iaret edilmitir. hangi türdendir? Cevabını açıkla. ekilde gösterilen O merkezli çemberde MN kirii çizilmitir. MNO üçgeninde ise MN kenarına OS yükseklii indirilmitir. ve nasıl üçgenlerdir? Neden?

Konu 1. Benzerlk

Tabanları 16 cm ve 30 cm ve yan kenarı 25 cm olan ikizkenar yamuun h yüksekliini hesapla. Ödevi kendin çözemezsen, aaıdaki tavsiyeleri izle. ABCD ikizkenar yamuunu ve onun DE ve CF köegenlerini çiz.

hipotenüzün c = 25 cm ve kateleri x ve h olan dik üçgen olduunu farkedebilirsin. ekilden a = b + 2x olduunu da görebilirsin; oradan da

için Pitagor teoremini uygula:

c, a ve b deerlerini yerlerine deitirmekle:

Bir ikizkenar yamuun tabanları 30 ve 20, yan kenarı ise 13. Yamuun alanını hesapla. Köegenleri

ve

olan ABCD ekenar dörtgenin çevresini hesapla.

Kenarı a olan ekenar dörtgenin L çevresi neye eittir? Köegenleri bilinen ekenar dörtgenin a kenarını nasıl hesaplayacaksın? ekilde gösterilen ABCD ekenar dörtgeninin köegenlerinin kesiim noktası S ile iaret edilmitir. üçgenini incele. Gördüün gibi o üçgen diktir (Neden?), hipotenüzü a ve katetleri ve Pitagora Teoremi’ne göre : LL

Yarıçapı r = 2 dm olan bir çemberde t = 2,4 dm olmak üzere MN kirii çizilmitir. Bu kiriin merkezden uzaklıı d ne kadardır? Yardım gerekirse, yandaki ekili incele. Hipotenüzü r ve katetleri d ve olan 'MSO dik üçgenine dikkat et, ondan sonra Pitagor teoremi gereince unları elde edersin:

122

144

256

256

16;

16

a

ekilde olduu gibi a ve b (a > b) doru parçaları verilmitir. b

x doru parçasını çiz, öyle ki:

Elde ettiin çözümü, yandaki ekilde verilen çözümle karılatır: a) ıkkında katetleri a ve b olan dik üçgen çizilmitir; b) ıkkında hipotenüz a ve katet b olan dik üçgen çizilmitir.

a)

b)

Pitagora teoremi

n = 2 , 3, 4, 5, 6, 7... olmak üzere

doru parçasını çiz.

Çizim yöntemi yandaki ekilde gösterilmitir. Uzunluu olan doru parçasını çizmek için katetleri = 1 (cm, dm, ..) olan ikizkenar dik üçgen çizilir. OB hipotenüzünün uzunluu ’dir (Neden?). doru parçası dik üçgeninin bir kateti, olan doru parçası ise, ikinci kateti olarak alınırsa, OBC üçgeninin hipotenüzünün uzunluu olur (Neden?). Uzunlukları

v.b. olan doru parçaların nasıl çizilmi olduklarını açıkla.

x = ’in çizimi, dorudan doruya da çizilebilir. Bunu yapmak için, ekilde olduu gibi, uzunluu n ve 1 olan doru parçalarının geometrik ortası çizilir

Uzunluu

olan doru parçasını çiz.

Uzunluu a ve a + b olan doru parçalarının geometrik ortasını çiz.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla! Tabanları 30 ve 14, yükseklii 15 olan ikizkenar yamuun çevresini hesapla.

Düzlemsel geometrik ekillerde Pitagor teoreminin uygulamasını bil;

Bir ekenar dörtgenin (romb’un) kenarı a = 13 cm ve bir köegeni 10 cm’dir. Dier köegeni ne kadardır?

Pitagor teoreminden yararlanarak bazı çizim ödevlerinin çözümünü elde et.

Uzunluu olan doru parçasının nasıl çizildiini açıkla.

Ödevler Uzunluu 7,4 m olan bir merdivenin dibi duvardan 2,4 m uzaklıkta olmak üzere duvara dayalıdır. Bu ekilde merdiven hangi yükseklie çıkar? (taslak çiz)

Konu 1. Benzerlk

2.

Bir ikizkenar yamuun tabanları a = 42 cm, b = 24 cm ve yan kenarı c = 41 cm olduuna göre; a) yüksekliini; b) alanını; c) köegenini hesapla.

3.

Bir ekenar dörtgenin köegenleri d1 = 40 ve d2 = 50’dir. Onun kenarı a (yaklaık olarak) ne kadardır?

4.

Bir ikizkenar yamuun alanı P = 72 cm2, tabanları ise 20 cm ve 4 cm’dir. Yamuun çevresini hesapla.

5.

Bir deltoidin kenarları 25 cm ve 52 cm’dir, açıortay olamayan köegeni ise 40 cm’dir. Deltoidin alanını hesapla.

6.

Yarıçapı 3,4 cm olan bir çemberde, merkezinden 1,8 cm uzaklıkta olan bir kiri çizilmitir. Kiriin uzunluunu bul.

7.

a ve b verilen doru parçaları olmak üzere, uzunluu:

8.

Alanları, verilen iki karenin alanlarının; a) toplamına; b) farkına eit olan kareyi çiz.

9.

Yarıçapı 17 cm olan bir çemberde, köeleri çemberin üzerinde olmak üzere dikdörtgen çizilmitir. Dikdörtgenin kenarları 15 : 8 oranında olduuna göre çevresini hesapla.

10. Bir kaynaktan 8 m uzaklıkta bulunan bir aaç üzerinde iki maymun bulunuyor. Maymunlardan biri aacın tepesinde, dieri ise yerden 2 m yüksekliktedir. Susadıkları zaman aacın tepesinde bulunan maymun sıçrayarak dorudan doruya kaynaa inmi, dieri ise aaçtan inerek kaynaa gelmitir. Bu durumda her iki maymun aynı yolu geçmitir. Aacın yükseklii ne kadardır?

a > b , olan doru parçasını çiz.

Dene... Mecburi deildir! Birbirine dıtan deen iki çember üçüncü bir çemberin içinde bulunuyorlar. Çemberlerden herbiri dier her ikisine deer ve merkezleri O, O1, O2 ekilde gösterildii gibi aynı bir AB dorusu üzerinde bulunuyorlar. Küçük çemberlere teet olan büyük çemberin CD kiriinin uzunluu t verilmitir (örnein t = 6 cm).

Küçük çemberlerin dıında bulunan, büyük çember kısmının alanını yani boyalı kısmın alanını hesapla.

Pitagora teoremi

VERLERLE   LE M L E R

POPULASYON. ÖRNEKLEME NOKTA 1.

Çikolata fabrikasında, yapılan çikolataların tadına bakan içi vardır. Onun ödevi çikolataların tadına bakmak ve kalitesini tespit etmektir. Düün ve cevapla, bu içi üretilen her çikolatanın tadına bakmalı mıdır?

Tabii ki hayır. O içi, tadlarına bakmak için belli bir sayıda çikolata seçer. ncelemesi söz konusu olan tüm bu elemanların, örneimizde çikolataların çokluuna populasyon (örnekleme uzay) denir. ncelemesi yapılacak elemanların seçilen kısmına örnekleme nokta denir. Populasyon ve örnekleme nokta ile ilgili örneklere dikkat et. Populasyon

Örnekleme nokta

Bir okulda I’den VIII. sınıfa kadar örenciler

Aynı okluda I’den VIII. sınıfa kadar birer sınıf

Fudbol takımları

Her takımdan üçer oyuncu

ngilizce’yi örenmek için özel okullara giden tüm örenciler Makedonya Cumhuriyeti’nde VII. sınıfta matematikten notu 5 olan tüm örenciler

Her yabancı dil özel okulundan birer örenci Makedonya Cumhuriyeti’nde her okuldan matematikten notu 5 olan birer VII. sınıf örencisi

Populasyon ile ilgili üç örnek ve örnekleme nokta ile ilgili üç örnek yaz. Düün ve cevapla. Örencilerin büyük teneffüs esnasında müzik dinlemeyi tercih edip etmediklerini anlamak için, tüm örencilerin sorulması mı gerekir, yoksa her sınıftan birer örenci seçerek onlara mı sorulmalıdır? Cevabını açıkla. Bir aratırma, test veya yoklama yapılırken çou defa bütün populasyona soruturma yapılması mümkün deildir. Neden? Çünkü bu: - çok pahallı olabilir; - çok zaman gerekebilir; - populasyonun her elemanına ulamak mümkün deildir (Örnein, Ohri Gölü’nün balık sayısı) . Konu 1. Benzerlk

Aaıdaki aratırmaların yapılması için, neden tüm populasyonu inceleyecek yerde, örnekleme noktası seçilmelidir? Birer sebep yaz. Nüfusu 50.000 olan bir kentte en çok seyredilen televizyon programı. Bir meyve suyu fabrikasında, meyve suyunun kalitesinin tespiti. Makedonya Cumhuriyeti’nde geçen yıl insan baına ortalama kaç kitap okundu. Bütün populasyon hakkında yapılacak aratırmalar için bir sonuca varmak için seçilecek örnekleme nokta temsil edici (populasyona karılıklı) olmalıdır. u örnee dikkat et. Okuluna kaç örenci gelmek için ehir içi otobüslerinden faydalandıını anlamak için, Erdal bir otobüs duraında bir otobüsten inen yolcuları sorarak veriler toplamıtır. Erdal’ın topladıı veriler doru deildir, çünkü seçtii örnekleme noktası temsil edici deildir. Erdal kendi okulunda örencilere sorsaydı, örnekleme noktası doru olur muydu? Cevabını açıkla. Arzu küçük yaprakları büyüklerinden iki kat daha çok olan bir bitkinin yapraklarının ortalama uzunluunu anlamak istemitir. Örnekleme noktası olarak hangi yaprak örnekleri temsil edicidir? a) Yalnız büyük yapraklar; c) Eit sayıda küçük ve büyük yapraklar; b) Yalnız küçük yapraklar; ç) Büyük yaprakların sayısı küçüklerin iki katı olsun. Cevabını açıkla! Temsil edici örnekleme noktayı rastgele seçim ya da sistematik yöntemiyle seçebiliriz. Rastgele seçim, populasyonda her nesnenin ya da elemanın aynı seçim ansı vardır, demektir. 30 örenci olan bir sınıfta rastgele 5 örenciyi u ekilde seçebiliriz: onların sınıf gündemindeki kayıt numaralarını kaıtlara yazarak bir kutuya koyarız. Kaıtları kutuda karıtırarak onlardan 5 tanesini çekeriz. Ya da tesadüf bir sayı seçelim (mesela 7), ondan sonra da o sayıdan her beinci örenciyi seçelim. 7.

Caner, okulunda örencilerin okul forması giymeleri hakkında verileri toplamak için örnekleme nokta seçmelidir. Aaıdaki yöntemlerden neden hiçbiri iyi deildir? Açıkla. a) okul kapısından ilk giren 20 örenciyi sorsun; b) kendi sınıfındaki örencileri sorsun; c) matematik grubundaki örencileri sorsun.

Verilerle ilemler

Caner, örnekleme noktasını nasıl seçmelidir ki, bu seçim temsil edici olsun?

Fark et! Doru sonuca varmak için, örnekleme noktası rastgele olmalıdır ve her sınıftan örenci (I. sınıftan VIII. sınıfa kadar) olmalıdır.

Yandaki tabloda Caner, okul formasının istenilip istenilmedii hakkında yaptıı aratırmanın sonucunda topladıı verileri düzenlemitir.

Örnekleme nokta

Cevap sayısı Evet

Hayır

Birinci

12

3

Caner’in seçtii örnekleme noktasında kaç örenci vardır?

kinci

10

5

Örnekleme noktasındaki örenci sayısı, populasyondaki sayının %10’u ise okulda toplam kaç örenci vardır? Okul forması hakkında Caner’in elde ettii sonuç nedir?

Üçüncü

10

5

Dördüncü

9

6

Beinci

7

8

Tablodaki verilerden yararlanarak elde edilebilen daha bir sonucu yaz.

Altıncı

7

8

Yedinci

2

13

Sekizinci

0

15

Örnekleme

Temsilci örnekleme noktasından toplanan verilerden ve cevaplardan elde edilen sonuçlar, bütün populasyon için genelletirilerek sonuçların elde edilmesine imkan salar.

Örnei incele: Toplanan veriler Bir yılda film sayısı

Sorulanların cevapları

0 1’ den 4’e kadar 5’ ten 8’ e kadar 9’den 12’e kadar 13 ve daha çok

Konu 1. Benzerlk

Bir yerleim yerinde 15 yatan büyük 5000 nüfusu varmı. Kaya o kiilerin yıl boyunca sinemaya kaç defa gittiklerini örenmek istemitir. O, örnekleme nokta gibi 50 kii seçmi ve telefonla veriler toplamı. Elde ettii verileri tabloda seyredilen film sayısına göre düzenlemi. Kaya, tabloyu deerlerle (her kategorideki cevap sayısını) tamamlamı. Ondan sonra cevap sayısının yüzdesini toplam 50 kiinin cevabıyla her kategori için hesaplamı.

Yılda film sayısı

Sorulanların cevapları

Fonksiyonun deeri

Yüzde

0 1’den 4’ e kadar

Kaya örnekleme noktanın elde ettii yüzdelerini bütün populasyona kullanmı.

5’ten 8’e kadar 9’den 12’e kadar 13 ve daha çok

5 000’in %42’ si 2 100

eder. Örnekleme noktanın %42‘ si sinemaya gitmiyorsa kentte yaayan ahalinin de %42’sinin sinemaya gitmemi olduunu tahmin edebiliriz. Bu ise 2 100 kiidir.

Populasyonun kalan kategorileri (sinemada görülen film sayısı-yılda) için de genelleme yap. Seyhan, büyük teneffüs esnasında okul avlusuna atılan plastik çöplerle çevrenin ne kadar kirlendiini örenmek istemi. Örnekleme nokta olarak okuma yılının bir ayını rastgele seçmi a) Bir günde her cins çöpten ne kadar atıldıını hesapla. Sayı Çöp cinsi b) Eer okuma yılı 180 gün sürerse, a) ıkkındaki cevaplar137 Plastik poet dan yararlanarak okuma yılı esnasında her cins çöpten neYourt iesi 59 kadar atıldıını hesaplayarak tahmin et. Meyve suyu iesi

72

Puding bardaı

16

Bilmen gerekenler: Populasyon nedir, örnekleme nokta ise nedir? Verilen örneklem, verilen populasyon için temsil olup olmadıını kavrayasın; Verilen aratırma için uygun örnekleme noktanın seçimini tayin edilmesi; Örneklemden elde ettiin sonucun bütün populasyon için nasıl genelletirildiini bilmelisin.

Kendini yokla! Düün ve örnein uygun olup olmadıı cevabını ver: Bir kentin kent içi ulaımı hakkında düünce aratırmasını yapmak için, kent ahalisinin %5’i telefon kitabından rastgele seçilirse, örnekleme nokta iyi seçilmi midir? Cevabını açıkla.

Verilerle ilemler

Ödevler Aaıdaki üç durumda: Örneklemi belirt; Seçilen örnekleme temsil edici midir? Örneklemin belirtilmesi için baka bir yöntem teklif et. Yüksel, üniversite örencilerinin organizasyonunda çalıan örencilerin ne kadar kazandıklarını örenmek istemi. O, yurt kütüphanesine gidip 40 kız örenciye sormu. Corafya dersi için, Erkin’in kendi bahçesinden 5 numune toprak getirmesi gerekir: O bahçenin ortasına durmu ve bir para atarak paranın dütüü yerden 5 numune almı.

6. Aratırma: Ba arısı için yeni bir ilacın etkisi. Örneklem: Pek sık ba arısından ikayetçi olan bir doktorun tüm hastaları. 7. Aratırma: Bir fırının ekmeklerinin kalitesi. Örneklem: Bu fırının ekmeklerinin satıldıı dükkanda her yirminci müterinin sorulması. 8. Bir kentte 6.000 aile vardır. Aratırma için 100 aile seçilmitir ve onlara ‘’hangi gün pazarlama yapmayı en çok seviyorsunuz’’, sorusunun cevapları aaıdaki tabloda verilmitir. Pazarlama için sevilen gün

Canan, Manastır kentinde kadınların erkeklerden daha çok yaadıkları doru olup olmadıını örenmek istemi. O, geçen yılın verilerini statistik kurumundan istemi. Aaıdaki be durumda: Örneklemlerden hangiler populasyon ve aratırma için temsilcidir? Cevapların her birini açıkla. Aratırma: yeni kahvenin yapılıp yapılmaması için düünce: Örnekleme nokta: pek sık kent kütüphanesine giden kiilerden rastgele seçim. Aratırma: ‘’Smoki’’ için paketleme makinesi, her paketi aynı aırlıkta yapar mı? Örneklem: Seçilen bir günde ilk 50 paket ‘’Smoki’’ alınmı ve aırlıkları ölçülmütür.

Konu 1. Benzerlk

Gün

Yüzde

Sıklık

Pazartesi

8

Salı

10

Çaramba

14

Perembe

2

Cuma

16

Cumartesi

30

Pazar

12

Sevilen günü yok Toplam

8 100

a) Her günün yüzdesini belirt. b) Örneklemin yüzdesinden faydalanarak, bütün populasyonun ailelerin kaçının cuma günü pazarlama yapmayı sevdiini tahmin et. c) Kentte kaç ailenin pazarlama için sevdii günü yoktur?

BENZERLK ÇN OKUDUN BLDKLERN KONTROL ET ki kare verilmitir: birinin kenarı a = 12 cm, dierinin ise b = 8 cm. Onların: a) kenarlarının; b) çevrelerinin; c) alanlarının oranını belirt.

AB doru parçasının uzunluu 12 cm’dir. Doru parçasının S merkez noktası ve aynı doru parçayı 3 : 5 oranında bölen M noktası arasındaki uzaklıı bul. Orantıda bilinmeyen terimi hesapla: a) x : 4 = 5 : 2; b) 3 : 2x = 1 : 6; c) 7 : 3 = 14 : (x + 2). Uzunlukları 8 cm ve 18 cm olan doru parçaların geometrik ortası olan doru parçasının uzunluunu bul. Tahminen bir doru parça çiz ve onu: a) 4; b) 5; c) 7 eit kısıma ayır.

Bir ABC ve AC kenarını M ‘de, BC kenarını ise N’de kesen MN||AB dorusu verilmitir. a) ‘yi hesapla, eer = 6, =3 ve = 4. b) ’yi hesapla, eer =5:2 ve = 14. SOT açısını çiz. OS kenarı üzerinde = 3 cm ve = 5 cm doru parçalarını, OT kenarı üzerinde ise = 4,5 cm ve = 7,5 cm doru parçalarını uygula. Ondan sonra AC ve BD dorularını çiz. a) ekilde çizilen doruların paralel olup olmadıklarını yokla. b) Verdiin cevabın neden doru olduunu açıkla.

Uzunluu 12 cm olan doru parçası verilmitir. Çevresi 12 cm ve kenarları 3 : 5 : 6 olan bir üçgeni çiz. Bir üçgenin iki açısı 40° ve 60°, dierinin iki açısı ise 60° ve 80° olan iki üçgen birbirine benzer midir? Açıkla. Bir elektrik direinin gölgesi 10 m’dir. Aynı anda 1,5 m yüksek olan bir kiinin gölgesi 1,5m‘dir. Direin yüksekliini belirt. ki benzer üçgenin bir çift karılıklı kenarları a = 15 dm ve a1 = 6 dm’dir. a kenarına karılık gelen yükseklik ise 8 cm’dir. a1 kenarına karılık gelen yükseklii hesapla. ki benzer üçgenin karılıklı iki kenarı 7,5 cm ve 10 cm’dir. Büyük üçgenin çevresi 60 cm ve alanı 80 cm2 olduuna göre, küçük üçgenin çevresini ve alanını belirt. Bir dik üçgenin katetlerinin hipotenüz üzerinde izdüümleri p = 2 ve q = 8 verilmitir. c, a, b, h belirtilsin. Bir kenarı 300 ve köegeni 340 olan dikdörtgenin çevresini hesapla. Kenarları verilmi olan üçgen dik midir? a) 32, 24, 40; b) 20, 40, 50; c) 0,7; 2,4; 2,5 ?. Tabanı 28 ve yükseklii 48 olan ikizkenar üçgenin çevresini hesapla Köegenleri 9 cm ve 5,6 cm olan ekenar dörtgenin kenarını hesapla. Bildiklerini kontrol et

KONU 2.

LNEER DENKLEMLER, ETSZLKLER VE LNEER FONKSYON

LNEER DENKLEMLER 1. Eitlik, denklem, özdelik 2. Denklem çeitleri 3. Denklemin çözümü. Denk denklemler 4. Denk denklemlere ait teoremler – 1 5. Denk denklemlere ait teoremler – 2 6. Bir bilinmeyenli lineer denklemin genel ekli 7. Bir bilinmeyenli lineer denklemlerin uygulanması BR BLNMEYENL LNEER ETSZLKLER 8. Eitsizlik kavramı 9. Eitsizliin çözümü. Aralıklar 10. Denk eitsizlikler teoremi 11. Bir bilinmeyenli lineer eitsizliklerin çözümü

56 59 62 66 70 74 78

83 87 92 98

BR BLNMEYENL LNEER ETSZLKLER SSTEM 12. Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler sistemlerinin çözümü LNEER FONKSYONLAR 13. Lineer fonksiyon 14. Lineer fonksiyonun grafiksel gösterii 15. Bazı lineer fonksiyonlar arasındaki durumlar 16. Lineer fonksiyonun artması ve eksilmesi 17. Bir bilinmeyenli lineer denklemlerin grafiksel çözümü 18. Rastgele olay. Olayın olasıllıı Bildiklerini kontrol et

100 104 107 111 114 117 120 125

LNEER DENKLEMLER ETLK, DENKLEM, ÖZDELK Anımsa!

u eitlikler verilmitir: a) 3 · 2 – 11 = 2 – 7; b) 3x – 1 = 2x + 5; c) x + 2y= 8; ç) 15 – 6 : 2 = 4 · 2 – 5; d) 3 · 4 + 2 = 12.

‘’ = ‘’ (eit) iaretiyle balı olan iki ifade bir eitlik meydana getiriyorlar. 8 + 5 = 5 + 8; 7 + 5 · 2 = 7 + 10; 2x – 3 = x + 1; x2 – y2 = ( x – y)(x + y). Aaıdakileri ifade eden eitlii yaz: a) Q kümesinde toplama ileminin deime özellii; b) Q kümesinde çarpma ileminin toplama ilemine göre daılma özellii; 4x2 – 4x sol, x – 6 ise sa taraf olmak üzere bir eitlik yaz.

Verilen eitliklerden hangisinin sol ve sa taraf sayı ifadelerdir. Verilen eitliklerden hangisinde sol ve sa taraf ya da taraflardan biri deikenli ifadedir?

ncele ve unutma a) ve d) eitliklerinde sol ve sa taraflar sayı ifadelerdir. Sol ve sa tarafları sayı ifadesi olan eitliklere sayı eitlikleri denir. b) ve c) eitliklerinde sol ve sa taraflar ya da taraflardan biri deikenli ifadedir. Sol ve sa taraflar ya da taraflardan biri deikenli ifadede olduu durumda, ifadeye deikenli eitlik (denklem) denir. Deikenlerin aldıı deerler R kümesi ya da onun herhangi bir altkümesi olabilir. Sayı eitliinde sol taraftaki ifadenin deeri, sa taraftaki ifadenin deeriyle eit ise, ona doru eitlik denir. a) , ç) ve d) eitliklerinden hangisi dorudur? Sol tarafı : a) 3 + 2 · 7;

b) 5 – ( 9 + 2); olan doru sayı eitlii yaz.

u eitliklerden hangisi deikenli eitliklerdir: a) 7 – 10 : 2 = 4 · 3 – 10; b) 3x + 2 – x = 8; c) 3x – 5 = x + 3; ç) 5 · 2 + 1 = 9 : 3 + 8. Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Deikenlerin aldıkları deerler kümesine tanım kümesi denir ve D ile iaret edilir. Bir deikenli eitlii, genel olarak A(x) = B(x), x ‫ א‬D ile iaret edeceiz; burada A(x) ve B(x), D kümesinde tanımlı x deikenli ifadelerdir. lerde, tanım kümesi verilmi olmadıı durumda, tanım kümesi R reel sayılar kümesi olduunu sayacaız. u deikenli eitlikler verilmitir: a) 3x – 7 = x + 1, x ‫ א‬N ; b) x + y = 2 + 3y; c) 5x – 2 = x - 6, x ‫ א‬Z; ç) x2 – 4x = x – 5. Her eitlikte deikenleri ve tanım kümesini adlandırınız. Verilen eitliklerden hangilerinde tanım kümesi R olduunu anlıyoruz?

Unutma Deikenli eitliklere denklemler denir. Denklemdeki deikenlere bilinmeyenler denir. Verilen eitliklerden hangileri denklemlerdir? Onların bilinmeyenlerini belirtiniz; a) 4 · 5 – 11 = 3 · 3; b) x – y = 5; c) 3x – 8 = x + 2; ç) 12 : 2 = 2 · 3 – 1. Her birinin tanım kümesi D = { -2, -1, 0, 1, 2, 3} olan 2x – 3 = x – 1, x2 + 3 = 4x, 3(x + 2) = 3x + 6 ve x + 4 = x – 3 denklemleri verilmitir. x deikeninin tablodaki hangi deeri için denklem, doru sayı H H H H H D eitliine dönüebilir. ncele. D H D H H H Her denklem için x bilinmeyeD D D D D D ninin verilen üç deeri için tabH H H H H H lo doru doldurulmu mudur? Yokla. D- doru ; H – hayır. Tablodan unları fark edebilirsin: 2x – 3 = x – 1 eitlii x = 2 için doru sayı eitliine dönüür. x2 + 3 = 4x eitlii x =1 ve x = 3 için doru sayı eitliine dönüür. 3(x + 2) = 3x + 6 eitlii x bilinmeyeninin D’deki her deeri için doru sayı eitliine dönüür. x + 4 = x - 3 eitlii x bilinmeyeninin D’deki her deeri için doru sayı eitliine dönümez. Lineer denklemler

Unutma! x ‫ א‬D’nin her deeri için doru sayı eitliine dönüen denkleme özdelik denir. Tanım kümesinin her deeri için doru sayı eitlii olmayan denklemlere imkansız denklemler ya da çeliki denir. Hangi özellik gereince 3(x + 2) = 3x + 6, x ‫ א‬R denklemi, özdelik olduunu diyebiliriz? u denklemlerden hangileri özdeliktir:

a) x + 5 = 5 + x, x ‫ א‬R; b) ( x – 1)(x + 1) = x2 – 1, x ‫ א‬Z ; c) 2x – 3 = x – 1? u denklemlerden hangilerinin çeliki olduunu belirt; a) 2x – 1 = x + 2; b) 3 – x = 5 – x; c)

Bilmen gerekenler: Kendini yokla:

Denklem ve tanım kümesinin tanımını yapasın;

5x – 3 = x + 2, x  Z ?

Özdeliin tanımını yapasın; Hangi özellik gereince x + 8 = 8 + x denklemi bir özdelik olduunu.

Çeliki olan denklemin tanımını yapasın.

Ödevler u eitliklerden hangilerinin doru olduunu tespit et: a) 3 + 2 ˜ 4 = 20 : 5 + 7; b) 3x + 1 = 2x – 1, x = 2; c) x – 3 = 2x + 1 , x = -4.

4.

Tanım kümesi D = { -1, 0, 1, 2, 3} olmak üzere x2 + 6 = 5x ve 5(x – 1 ) = 5x – 5, denklemlerinden herhangi birinin, özdelik olup olmadıını yokla.

5.

Verilen denklemlerden hangilerinin çeliki olduunu yokla: a) 2x – 3 = 2x + 5, x ‫ { א‬0, 1, 2, 3 }; b) x2 -1 = x2 + 4, x ‫ { א‬-1, 0, 1, 2,}; c) 3x – 4 = x + 2, x ‫ { א‬2, 3, 4, 5 }.

6.

a’nın deerini o ekilde belirt ki, x = 3 için ax – 2 = 2x + 1 denklemi doru sayı eitliine dönüsün.

u eitliklerden hangileri denklemdir: a) 15 · 1 – 4 = 8 + 3; b) 4x – 5 = 3x – 2; c) x2 -3 = 4x. x ‫ { א‬-2, -1, 0, 1, 2,} olmak üzere, x’in hangi deeri için 2x – 3 = x -1 doru sayı eitliine dönüür?

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

DENKLEM ÇETLER Anımsa!

u denklemler verilmitir:

3x – 2 = 2x + 1; 3x – y = y + 2; 5x - 2y = 3z – 4.

Denklemin ne olduunu okudun. Örnein, aaıdakiler denklemlerdir:

3x – 2 = x + 4;

x + 2y + 1 = x + y; Her birinde bilinmeyenlerin sayısını belirt.

x + 2y – z = 4. Herbirinde bilinmeyenleri adlandır.

unları fark edebilirsin: 3x – 2 = 2x + 1 denkleminin yalnız bir x bilinmeyeni vardır. 3x – y = y + 2 denkleminin x ve y gibi iki bilinmeyeni vardır. 5x - 2y = 3z – 4 denkleminin x , y ve z gibi üç bilinmeyeni vardır. Bazı denklemlerin bir, bazılarının iki, bazılarının ise üç vb. bilinmeyeni olduunu fark ettin. Bilinmeyenlerin sayısına göre, denklemler bir bilinmeyenli, iki bilinmeyenli, üç bilinmeyenli vb. olabilir. u denklemlerden herbiri kaç bilinmeyenlidir: 2x – 3y = 5 – 2x; 3x – 7 + 2x = 1 + x+ 3x? Bilinmeyenleri x ve y olan bir denklem yaz.

Anımsa!

Verilen denklemlerden hangisinin sol ve sa tarafındaki her monomun derecesi en yüksektir: a) 2x + 3 = 5x – 2; b) x2 – 2x = 5x + 8; c) 2x3 – x2 = 5 + x.

Bir polinomda, deikenlerin en yüksek derecesine polinomun derecesi denir. Verilen her polinomun derecesini belirt: b) x3 + x2y2 – x2. a) x2 – 2x + 3;

2x + 3 = 5x – 2 denklemi 2x , 3 , 5x , -2 monomlarından meydana gelmitir. Onlara denklemin terimleri denir. Tabloda en yüksek dereceli terimleri fark et.

Denklem

En yüksek dereceli terim

Terimin derecesi

1

2x + 3 = 5x – 2

2x ve 5x

Birinci derece

2

x2 – 2x = 5x + 8

x2

kinci derece

3

2x3 – x2 = 5 + x

2x3

Üçüncü derece

Lineer denklemler

Bazı denklemlerde bilinmeyeni içeren terimler birinci derece, bazılarında ise bilinmeyeni ikinci derece olan en az bir terim, bazılarında bilinmeyeni üçüncü derece olan en az bir terim fark ediyorsun.

Unutma! Bilinmeyenin en yüksek derecesine göre, denklemler birinci derece ya da lineer denklemler, ikinci derece denklemler, üçüncü derece denklemler vb. diye adlandırılır.

Verilen her denklemin dercesini belirt: 2x + y – 7 = 5;

x3 – 2x2 = 5x + 8;

x2 + 7 = 2x;

x2y – 3x = 5y – 2.

6. u denklemler verilmitir: a) 2x – 1 = 3; b) 3x + 5y = 4;

c) 3x2 -1 = 6x;

ç) 8x – 3 = x + 2.

Onlardan hangilerinin bir bilinmeyenli ve birinci derece olduunu belirt. 2x – 1 = 3, ve 8x – 3 = x + 2 denklemlerinin bir bilinmeyenli birinci derece olduunu gördün. Genel olarak, bir bilinmeyenli birinci derece olan denklemlere bir bilinmeyenli lineer denklemler denir. Verilen denklemlerden hangisi bir bilinmeyenli lineer denklemdir? a) 5x2 – 2 = 3x; b) 2x – 3 = 5 – x; c) 5x + y = 7 ? Bir bilinmeyenli lineer denklemler verilmitir: a) 8 – 2x = x +

b) ax + 5 = x; c) ax + b = 0;

ç) x – 1 = 3x.

a) ve ç) ıklarındaki denklemler b) ve c) ıklarındaki denklemlerden ne ile farklanıyorlar? Fark ettiin gibi bilinmeyeni göz önüne almazsak a) ve ç) ıklarındaki denklemlerde tüm terimler reel sayılardır, b) ve c) ıklarındaki denklemlerde ise genel (soyut) sayılar yani harfler vardır ki bunlar belli sayıları deitiriyorlar. Genel olarak, bir denklemin terimlerinde genel sayılar (parametreler) varsa , onlara parametreli denklemler denir.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Bilinmeyeni x olan u denklemlerden hangileri parametreli denklemlerdir: a) ax + 2 = 5x;

b)

+ 3 = 0;

c) x – 6 = p?

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Denklemleri fark etmeli ve adlandırasın; Verilen 5x – xy = 2x – 3 denklem hangi cinstendir: Bilinmeyenlerin sayısına göre;

Bilinmeyenlerin sayısına göre; Bilinmeyenlerin derecesine göre;

Derecesine göre?

Parametreli ya da parametresiz bir bilinmeyenli lineer denklemi tanı.

Ödevler 1. Verilen denklemlerden herbirinin kaç bilinmeyenli olduunu belirt:

4.

u denklemlerden hangisi lineer denklemdir?

a) x + y + z = 2x + 8;

a) x + 2y = 7 + 2x;

b) 3x – 15 = 7 – 2x;

b) xy2 + y = 3 + 5x;

c) 10xy – 12y = 10 + x.

c) 3x – 1 = x + 5.

2. Verilen denklemlerden herbirinin hangi derece olduunu belirt:

5.

Verilen denklemlerden hangisi bir bilinmeyenli lineer denklemdir?

a) x3 + x2 = 5 – x;

a) 2x – 1 + y = 5x + 3;

b) 3xy – 5 = 2x + y;

b) x2 – 2x + 1 = 0;

c) x + 3 = 3x – 5.

c) 3x – 2 = 5 + x; ç) 3x – 7 + 2x = 11 – x.

3. x ya da y deikenli u denklemlerden hangileri parametreli denklemlerdir: a) ax + 2y = 5 – x; c) ax + c = by + 3;

b) 3x2 + 1 = 2x; ç) 5x – 7 = 2x – 5?

Lineer denklemler

DENKLEMN ÇÖZÜMÜ. DENK DENKLEMLER Anımsa! Deikenli bir ifadede, deiken belli bir sayıyla deitirildiinde, sayı ifadesi elde edilir. x = 2 için, x2 + 2x – 1 deikenli ifadesini sayı ifadesine dönütür. a = -3 için a2 -2a + 5 ifadesinin sayı deerini hesapla.

Tanım kümesi D = { -3, -2, 2, 3} olan 3x – 2 = 2x + 1 denklemi verilmitir. Her x ‫ א‬D için, eitlii sayı eitliine dönütür. Hangi x ‫ א‬D deeri için, denklem doru sayı eitliine dönüür?

Elde ettiin çözümü tablodaki verilerle karılatır. Denklem

x

Sayı eitlii

Doru –D Yanlı - Y Y Y Y D

Tablodan görüldüü gibi 3x – 2 = 2x + 1 denklemi yalnız x = 3 için doru sayı eitliine dönüür, yani sa ve sol tarafların eit sayı deerleri olur.

Unutma! Denklemin doru sayı eitliine dönütüü bilinmeyenin her deerine, denklemin çözümü ya da kökü denir. x ‫ {א‬3, 5, 7} olmak üzere 12 – 2x = x – 3 denkleminin tüm çözümlerini bul. x ‫ {א‬0, 1, 2, 3} olmak üzere x2 + 6 = 5x, denkleminin tüm çözümlerini bul. 2 ve 3 ödevlerinde görüldüü gibi 12 – 2x = x – 3 denkleminin çözümü 5, x2 + 6 = 5x denkleminin çözümü ise 2 ve 3’tür.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

ncele ve unutma! Bir denklemi çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak demektir. Bir denklemin tüm çözümlerinin oluturduu kümeye, denklemin çözüm kümesi denir. Bir denklemin çözüm kümesi genellikle M ile iaret edilir. Örnein, 12 – 2x = x – 3 denkleminin çözüm kümesi x ‫ {א‬3, 5, 7} için M = {5}'dir. x2 + 6 = 5x denkleminin çözüm kümesi x ‫ {א‬0, 1, 2, 3 } için M = {2, 3}’tür. x ‫ {א‬0, 1, 2, 3} olmak üzere verilen denklemin çözüm kümesini belirt: a) 4x – 1 = x + 5; b) x2 + 3 = 4x. D = { -2, -1, 0, 1, 2 } olduuna göre 3(x – 2) = 3x – 6 denkleminin çözüm kümesini belirt. Verilen tabloda 3(x – 2) = 3x – 6 denkleminin çözüm kümesini incele. x Sayı eitlii Doru – D Yanlı - Y

-2

-1

3(-2 -2) = 3(-2) -6

3(-1 -2) = 3(-1) -6

D

D

0

1

2

3(0-2) = 3(0)-6 3(1 -2) =3(1) -6 3(2 -2) = 3·2 -6

D

D

Fark ettiin gibi her x ‫ א‬D için verilen denklem doru sayı eitliine dönüür.

D

Bu eitlie özdelik denir.

Genel olarak, D tanım kümesinin her deeri için denklem doru sayı eitliine dönüen denkleme özdelik denir, yani M = D’ dir. 2x – 2 = 2(x – 1) denklemi x ‫ {א‬0, 1, 2, 3 } için özdelik olup olmadıını yokla. x + 5 = x – 4 ve D = { -2, -1, 0, 1, 2 } denklemi verilmitir. x ‫ א‬D’nin hangi deeri için, bu denklem doru sayı eitliine dönüür? Nasıl sonuca varıyorsun? Elde ettiin çözümü tablodakilerle karılatır. x

-2

Sayı eitlii

-2 + 5 = -2 - 4

Doru – D Yanlı - Y

Y

-1 -1 + 5 = -1 - 4 Y

0

1

2

0+5=0-4 1+5=1-4 2+5=2-4 Y

Y

Lineer denklemler

Y

Demek ki, x + 5 = x – 4 denkleminin çÜzĂźmĂź olacak x ‍ ×?‏D sayÄąsÄą yoktur, yani M = Ă˜ dir. Genel olarak, çÜzĂźm kĂźmesi bo kĂźme olan denkleme imkansÄąz denklem ya da çeliki denir. u denklemlerden hangileri D = { 1, 2, 3, 4 } tanÄąm kĂźmesinde imkansÄązdÄąr: a) x + 3 = 7 + x; b) 2x + 1 = 7; c) 3 + 2x = 2x – 5; ç) 3x – 1 = 2x + 1? x + 7 = 4 denkleminin a) N ; b) Q kĂźmesinde çÜzĂźmĂź olup olmadĹĹnÄą yokla. N kĂźmesinde 7 sayÄąsÄąyla toplamÄą 4 olan bir sayÄą var mÄądÄąr? Q kĂźmesinde ise bĂśyle sayÄą var mÄądÄąr? N kĂźmesinde 7 sayÄąsÄąyla toplamÄą 4 olan bir sayÄą yoktur, yani x + 7 = 4 denkleminin N kĂźmesinde çÜzĂźmĂź yoktur. Q kĂźmesinde ise x + 7 = 4 denkleminin çÜzĂźmĂź x = - 3’tĂźr. ÇßnkĂź -3 + 7 = 4 doru eitliktir.

Unutma Bir kßmede çÜzßmß olan, baka bir kßmede ise çÜzßmß olmayan yani imkansĹz olan denklemler vardĹr.

Herbirinin tanĹm kßmesi D = {0, 1, 2, 3} olmak ßzere verilen denklemlerin çÜzßm kßmesini belirt: 2x – 1 = x + 1; x2 + 2 = 3x ve 4x – 3 = 2x + 1

Elde ettiin çÜzßmß tablodaki verilerle karĹlatĹr. x’in hangi deerleri denklemlerin çÜzßmß olduunu incele. x

0

1

2

3

2x – 1 = x + 1

2¡0 – 1  0 + 1

2¡1– 1  1 + 1

2¡2 – 1  2+ 1

2¡3 –1  3 + 1

x2 + 2 = 3x

02 + 2  3 ¡ 0

12+ 2  3 ¡ 1

2 2+ 2  3 ¡ 2

32+ 2  3 ¡ 3

4 ¡1 –3 2¡1 +1

4 ¡2 –3 2¡2 +1

4 ¡3–3 2¡3+1

Denklem

4x – 3 = 2x + 1 4 ¡ 0 – 3 2¡0 + 1

Verilen denklemlerden hangilerinin çÜzßm kßmeleri aynĹdĹr?

2x – 1 = x + 1 denkleminin çÜzßm kßmesi {2}, x2 + 2 = 3x denkleminin {1,2} ve 4x – 3 = 2x + 1 denkleminin çÜzßm kßmesi {2}’dir. Demek ki , 2x – 1 = x + 1 ve 4x – 3 = 2x + 1 denklemlerinin çÜzßm kßmeleri aynĹdĹr.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Aynı tanım kümesinde çözüm kümeleri aynı olan iki denkleme denk denklemler denir.

A = { 0, 1, 2, 3 } kümesinde tanımlı olan u denklemlerden hangileri denktir: a) 3x – 1 = x + 1; b) x2 – 2 = x; c) (x – 1)(x – 2) = 0; ç) 4x – 2 = x + 1

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Verilen bir sayı, verilen denklemin çözümü olup olmadıını kontrol et;

x + 1 = 3x – 1 ve x + 5 = 3x + 1 denklemleri verilmitir.

Hangi denklemler denk denklemler oduunu tespit edesin.

Bu denklemlerden herhangi biri A = {1, 2, 3, 4 } kümesinde 3x + 2 = 4x denklemiyle denk olup olmadıını yokla.

Ödevler u iddialardan hangileri dorudur: a) -2 sayısı 3x – 1 = x + 2 denklemin çözümüdür. b) 4 sayısı 2y – 1 + y + 3 denklemin çözümüdür. c) 0 sayısı 2x – 3 = x – 3 denklemin çözümüdür.

a parametresinin hangi deeri için 3 sayısı 2x – 1 = a, denkleminin çözümüdür? Verilen denklemlerin A = { 2, 3, 4 } tanım kümesinde çözüm kümelerini belirt. a) 4x – 1 = 3x + 1; c) 2 – 3 = x + 1.

b) x + 3 = 2x;

(x – 1)(x – 2) = 0 , x ‫{א‬0, 1, 2, 3}, denkleminin çözüm kümesi {1, 2}’ dir. u denklemlerden a) 3x – 2 = 2x – 1;

b) x2 + 1 + 3x – 1;

c) 2x + 1 = 3x – 1, hangisi verilen denklemle denktir?

u denklemlerden hangisi Z kümesinde imkansızdır; a) 2x + 7 = 3;

b) x + 5 = x – 2;

c) x – 4 = -x. u denklemlerden hangisi, N kümesinde imkansız, Z kümesinde ise çözümü vardır? a) x + 5 = 2;

b) 2x – 1 = 3;

c) 8 – x = 9?

Lineer denklemler

DENKLEMLERN DENKLK TEOREMLER – 1 Anımsa! ki denklemin çözümler kümesi aynı olduu durumda onlar denk denklemlerdir. D = {1, 2, 3, 4} tanım kümesinde verilen denklemler denk midir? 2x – 1 = x + 2 ve x + 4 = 2x + 1.

Çözümü 3 sayısı, yani M = {3} olan 3x – 1 = x + 5 , x ‫{א‬1, 2, 3, 4} = D, denklem verilmitir. Denklemin sa ve sol tarafına a) 4; b) -2; c) 2x kat. Elde edilen denklemlerin verilenle denk olup olmadıını yokla.

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. Denklem

x = 3 için sayı eitlii

Denklemin çözümü

3x - 1 = x + 5

3·3 – 1 = 3 + 5; 8 = 8

3 sayısı

3x – 1 + 4 = x + 5 +4

3·3 – 1 + 4=3 + 5 + 4;12=12

3 sayısı

3x – 1 - 2 = x + 5 - 2

3·3 – 1 - 2=3 + 5 – 2; 6 = 6

3 sayısı

3x – 1 + 2x =x + 5 +2x

3·3 – 1 +2·3 =3 + 5 + 2·3;14=14

3 sayısı

a), b) ve c) ıklarındaki denklemlerin 3 sayısından baka çözümü olmadıını tespit et.

Tablodan görüldüü gibi 3x – 1 = x + 5 denkleminin her iki tarafına (4 ya da – 2) deikenli ifade (2x) katmakla verilene denk olan denklem elde edilir. Bu özellik genel olarak tüm denklemlere geçerlidir. Denklemin her iki tarafına aynı sayı veya ifade katma teoremi diye adlandırarak u ekilde ifade edebiliriz.

Teorem 1 A(x) = B(x) denkleminin sol ve sa tarafına c ‫ א‬R sayısı ya da tanım kümesinde her x için belli olan C(x) deikenli ifadesi katılıyorsa, verilene denk olan denklem elde edilir.

iaretini ‘’denktir’ diye okuyoruz.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Mecburi deildir.... Teoremin ispatını incele. Tanım kümesi D olan A(x) = B(x) denklemi ve her x için belli olan C(x) ifadesi verilmi olsun. unu ispatlamalıyız: Bu teoremi ispatlamak için A(x) = B(x) ve A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denklemlerinin çözüm kümelerinin aynı olduunu ispatlamak gerekir, yani a) A(x) = B(x) denkleminin her çözümü A(x) + C(x) = B(x) + C(x)’inde çözümü olduunu ve b) A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin her çözümü A(x) = B(x) çözümüdür. a) x0 ‫ א‬D, A(x) = B(x) denkleminin çözümü olsun, yani A(x0) = B(x0) doru sayı eitliidir. C( x0) reel sayı olduuna göre A(x0) + C( x0) = B (x0) + C( x0) doru sayı eitliidir (Neden?). Buna göre x0 sayısı A(x) + C( x) = B(x) + C(x) denkleminin çözümüdür, yani A(x) = B(x) denkleminin her çözümü A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin de çözümüdür. b) x1 ‫ א‬D sayısı A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin çözümü olsun, yani A(x) + C(x) = B(x) + C (x) doru sayı eitliidir. Eitliin her iki tarafına C(x1) ifadesinin tersini katarsan A(x1) = B(x1) doru sayı eitliini elde edeceksin. Buna göre x1 sayısı A(x) = B(x) denkleminin de çözümüdür, yani A(x) + C( x) = B(x) + C( x) denkleminin her çözümü A(x) = B(x) çözümüdür. T1 gereince, verilen denklemlerin denk olup olmadıını yokla: a) 3x + 1 = 5x – 3 ve 3x + 1 + 7 = 5x – 3 + 7; b) 5y – 2 = 3y + 4 ve 5y – 2 - 5 = 3y + 4 + 5; c) 4x – 1 = 3x – 2 ve 4x + 5x – 1 = 3x + 5x – 2. Teorem T1’in uygulanmasıyla denklemlere denk dönüümler uygulayabilirsin, yani bir denklemi kendine denk olan denklemlere dönütürebilirsin.

3x – 5 = 2x + 1 denklemi verilmitir. Denklemin her iki tarafına 5 – 2x ifadesini kat. Denklemin her iki tarafındaki ifadeleri normal ekile getir. 2x ve -5 ile ne olduunu fark et. Ters sayıların yani ters monomların toplamı neye eittir?

Ters sayıların, aynı zamanda ters monomların toplamı sıfırdır.

Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır.

Lineer denklemler

T1 gereince, dönüümler yaparak 3x – 5 = 2x + 1 denklemi kendine denk olan x = 6 denklemine dönüür. x = 6 eitliinden verilen denklemin çözümü okunabilir. Çözümü okunabilen x = a (a ‫ א‬R) denklemine çözülmü biçimde denklem denir. Fark ettiin gibi, 3x – 2x = 1+ 5 denkleminde 2x monomu, denklemin sa tarafından ters iaretle, yani (-2x ) olarak denklemin sol tarafına geçmitir. -5 sayısı ise sol taraftan ters iaretle, yani (+5) olarak sa tarafa geçmitir. 3x – 5 = 2x + 1 ve 3x – 2x = 1+ 5 denk denklemler için elde ettikleriniz, genel olarak tüm denklemlerde geçerlidir ve T1 teoreminin sonucu olarak tanınır: Denklemin her terimi ters iaretle bir taraftan dier tarafa geçebilir. S1 4x – 1 + x = 7 + 3x – 2 denkleminde bilinmeyeni kapsayan terimleri denklemin sol tarafına, bilinen terimleri denklemin sa tarafına alınız. Verilen denklemlerden hangileri denktir: a) x + 3 = 2x – 1 ve x – 2x = -1 -3;

b) 2x + 5 = 4x + 1 ve 2x – 4x = 1 – 5;

c) 3x + 1 =2x + 3 ve 3x + 2x = 3 + 1? 4x – 8 = 3x – 10 denklemini çöz ve ondan sonra çözümü yokla. Denklemi çözerken balangıcta nasıl hareket edeceksin?

Önce teorem 1’in sonuç 1’ni uygulayacaım.

Elde ettiin çözümü, verilenle karılatır. 4x – 8 = 3x – 10 ֞ 4x – 3x = -10 + 8 ֞ x = -2; M = { -2 }. Yoklama: 4 ·(-2) – 8 = 3 · (-2) -10; -8 -8 = -6 -10; -16 = -16 Verilen denklemi çöz:

4x – 1 + 2x – 2 = 2x – 1 + 3x – 5 denklemi verilmitir. Denklemin sol ve sa tarafında eit terimlerin olup olmadıını incele. Sol ve sa tarafında olan eit terimleri sil. Elde edilen denklemin verilenle denk olup olmadıını yokla. Çözümünü verilenle karılatır. Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Elde edilen denklem

Elde edilen denklem

Fark ettiin gibi, bir denklemin iki tarafında eit terimler varsa (2x ve -1) onları silebiliriz ve bu durumda verilene denk olan denklem elde edebiliriz. Yukarıda fark ettiklerin, tüm denklemlerde geçerlidir ve teorem 1’in ikinci sonucu olarak tanınır. Bunu u ekilde ifade edebiliriz:

P2

Bir denklemin farklı taraflarında eit terimler varsa, onları silebiliriz (yok edebiliriz).

Elde edilecek denklemin verilenle denk olması için 3x – 2 + 4x + 3 = 3 + 2x + 4x denkleminde mümkün olan terimleri sil.

Bilmen gerekeler: Kendini yokla! Denk denklemlere ait teorem 1’in ifade etmeni bilmelisin; Teorem 1’in birinci sonucunun ifade ediliini ve onun ödevlerde uygulaması bilmelisin;

7x – 3 + 5x = 5 + 2x – 3 denkleminde bilinmeyen içeren terimleri sol tarafa, dier terimleri ise denklemin sa tarafına gruplatır.

Teorem 1’in ikinci sonucunun ifade ediliini ve onun ödevlerde uygulamasını bilmelisin.

Denk dönüümler yaparak

Ödevler 2x – 3 = x + 1 denklemi verilmitir. Onun her iki tarafına 3x kat. Elde edilen deklemin verilenle denk olup olmadıını yokla.

olduunu göster. Verilen denkliin doru olması için m belirtilsin: Verilen denklemlerin denk olup olmadıını yokla: ve ve ve

Denklii açıkla: 2x - 5 - 3x - 4 = 4 - 3x - 5 denkleminde mümkün olduu kadar terimleri sil ve elde edecein denklemin verilenle denk olmasını sala.

Cevabını açıkla Denklemi çöz:

Denk dönüümler yaparak unu göster Lineer denklemler

DENK DENKLEMLERE AT TEOREMLER – 2 Anımsa!

2x – 3 = x - 1 denklemi veriliyor. Verilen denklemi çöz.

Verilen bir çarpımda, bilinmeyen çarpanı belirtmek için, çarpım bilinen çarpanla bölünür. Denklemleri çöz:

Verilen denklemin her iki tarafını : a) 2 ; b) -4 ile çarp. Elde edilen denklemler verilen denklemle denk midir? Yokla.

3 c) _ = 3x 4

Verilen denklemin, elde edilen denklemle denk olup olmadıını nasıl yoklayacaksın?

EKOK(4, 5, 10) belirtilsin. Hesapla:

Denklemleri T1’in sonuç 1’i gereince çözdükten sonra, onların çözümlerini karılatıracaım. Elde edilen çözümü verilenle karılatır.

Elde edilen denklem

Elde edilen denklem a

Elde edilen denklem b

Verilen denklemin ve elde edilen denklemin çözüm kümelerinin aynı olduunu fark edebilirsin. 2x – 3 = x – 1 denkle- Denklemin her iki tarafını 2 ve -4 ile çarptım minde nasıl dönüümler ve verilen denklemlere denk olan denklemyaptın ve nasıl denklem- ler elde ettim. ler elde ettin? Bu özellik genel olarak her denklemde geçerlidir. Buna göre, denklemleri sıfırdan farklı bir sayıyla çarpma ya da bölme teoremini ifade edebiliriz. Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Teorem 2 A(x) = B(x) denkleminin her iki tarafĹnĹ aynĹ bir a  0 sayĹsĹyla çarpar veya bÜlersek, verilene denk olan denklem elde edilecektir.

T2 yardÄąmÄąyla verilen denklemlerin denk olduklarÄąnÄą gĂśster: ve

ve

ve

ve Denklemleri çÜz:

a) ÄąkkÄąndaki yĂśntemi incele T1 P1 gereince T2 gereince

5x – 2 = 3x + 4 denklemi verilmitir. Denklemi çÜz. Denklemin her iki tarafĹnĹ -1 ile çarp. Neden elde edilen denklem, verilen denklemle denktir? Elde edilen denklem x = -3 ile denk olduunu gÜster. Elde ettiin ve verilen denklem arasĹndaki baĹntĹyĹ incele Verilen denklem T2 Elde edilen denklem

5x – 2 = 3x + 4 denklemin her iki tarafĹnĹ -1 ile çarptĹn. Elde ettiin -5x + 2 = -3x – 4 denklemde ne fark ettin?

Elde edilen denklem T2 gereince verilene denktir Verilen ve elde edilen denklemlerin terimleri ters iaretlidir.

Lineer denklemler

Bu özellik her denklem için geçerlidir. Buna göre, T2’nin u sonucunu ifade edebiliriz. Bir denklemin tüm terimleri – 1 ile çarpılırsa, verilene denk olan denklem elde edilir,yani bir denklemin tüm terimleri, kendilerine ters olan terimlerle deitirilirse, verilene denk olan denklem elde edilir.

S1

Denklemleri çöz: a) 2x – 1 = 3x – 5;

b) 4x + 2 = 5x – 1 ;

a) ıkkındaki elde ettiin çözümü verilenle karılatır.

denklemini paydasız olan denkleme dönütür. EKOK(2, 4, 3) ne kadardır? Denklemdeki paydalardan nasıl kurtulacaksın?

EKOK(2, 4, 3) = 12 denklemin her iki tarafını 12 ile çarparak paydasız denklem elde edilir.

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. EKOK(2,3,4) = 2 ˜ 2 ˜ 3 = 12 Denklemin her iki tarafı EKOK(2, 4, 3) yani 12 ile çarpılır. Paydaları 12 ile kısaltma Parantezlerden kurtulma denkleminin x = - 3 ile denk olduunu göster. Gördüün gibi

denkleminin her terimi paydaların en küçük ortak ka-

tıyla çarpılırsa, paydasız denklem elde edilir. 6x – 6 + 9x + 3 = 4x – 36 denklemi, verilene denktir. denklemi için fark ettiin, genel olarak tüm denklemler için geçerlidir. Buna göre, Teorem 2’nin u S2 sonucunu ifade edebiliriz..

S2

Bir denklemin bazı terimlerinin paydaları varsa, paydalardan kurtulmak için, denklemin tüm terimleri paydaların en küçük ortak katıyla çarpılır.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

denkleminde paydalardan kurtul, ondan sonra çöz.

Bilmen gerekenler: Denk denklemlere ait teorem 2’yi ifade edesin;

Kendini yokla! Denklemi çöz:

Teorem 2’den sonuçları ifade edesin; Teorem 2’den sonuçları ödevlerin çözümü için uygulayasın.

denkleminde

pay-

dalardan kurtul. Bu denklemin x = 5 denklemiyle denk olduunu göster.

Ödevler 3 – x = 7 – 3x denklemin iki tarafını -2 ile çarp.

Verilen denklemlerde paydalardan kurtul.

Çözümlerine göre, elde edilen denklemin, verilenle denk olduunu göster. 12x - 9 + 3x = 9x + 3 denklemin iki tarafını 3 ile böl. Elde edilen denklemin, verilenle denk olduunu göster(Onların çözümlerini karılatır).

Denk denklemler teoremlerinden ve onların sonuçlarından yararlanarak verilen denklemlerde denklii göster:

kier ikier verilen denklemler denk midir? Cevabını açıkla. ve ve ve 2x – 3 = 3x – 5 denkleminde, tüm terimleri kendilerine ters olan terimlerle deitir ve çözümlerine göre elde edilen denklemin verilenle denk olduunu göster.

Dene.... Kapaklı ie 11 denar, sadece ie (kapaksız) ise 10 denar fiyatındadır. ienin fiyatı ne kadar, kapaın fiyatı ise ne kadardır?

Lineer denklemler

BLNMEYENL LNEER DENKLEMN GENEL EKL AnÄąmsa!

4x – 5 = 2x – 1 denklemi verilmitir.

ax + b ifadesinde x deiken, a ve b ise katsayÄąlardÄąr.

Denklemin her terimini sa tarafa geçirdikten sonra ilemleri yap.

u x deikenli ifadenin katsayÄąlarÄąnÄą belirt:

Elde edilen denklem, verilenle denk midir? Neden?

Denk denklemlere ait T1’in S1 sonucuna gÜre, denklemin her terimi bir taraftan dier tarafa ters iaretle geçebilir.

Bu Üdevin çÜzßmßnde, denk denklemlere ait teoremlerin hangi sonucundan yararlanabilirsin?

u denklemler denk midir: Denk denklemlere ait T1’in S1 sonucuna gÜre, denklemin sol tarafĹndaki terimleri ters iaretle sa tarafa geçireceim.

CevabĹ açĹkla.

Elde ettiin çÜzßmß verilenle karĹlatĹr. 2x – 4 = 0 denklemi 4x – 5 = 2x – 1 denklemiyle denktir. 2x – 4 = 0 denklemine 4x – 5 = 2x – 1 denkleminin normal eklidir denir.

Unutma! ax + b = 0 denklemine bir bilinmeyenli lineer denklemlerin genel (normal) ekli denir, burada a bilinmeyen Ünßndeki katsayĹ, b ise serbest terimdir. 2x – 3 = x – 1 denklemini normal ekilde yaz.

AnÄąmsa!

Bilinmeyeni x ve katsayĹlarĹ a ve b, a  0 olan ax + b = 0 denklemi veriliyor. Denklemin çÜzßmßnß belirt.

u ifadelerden hangisinin deeri yoktur:

CevabĹnĹ açĹkla. a’nĹn hangi deeri için

Elde ettiin çÜzßmß verilenle karĹlatĹr ifadesinin

deeri yoktur? denkleminin çÜzßmßnß belirt.

yani

sayĹsĹ a  0 için ax + b = 0 denkleminin çÜzßmßdßr.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

kesri ax + b = 0 denklemine gĂśre daima tek olarak bellidir, yani bunun bir

a  0 için

tek çÜzßmß vardĹr;

yani

u denklemlerin çÜzßmßnß belirt:

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 4 ( b  0 ) olsun. Denklemin çÜzßmßnß belirt.

Denklemi hangi sayÄąyla bĂślmelisin?

a = 0 ve b = 4 olduuna gÜre denklem 0¡x + 4 = 0 ekline dÜnßßr. Oradan da 0¡x = -4 elde edilir. SĹfĹr ile bÜlme mßmkßn olmadĹĹna gÜre,

ifade-

sinin anlamĹ yoktur ve denklemin de çÜzßmß yoktur.

Fark et ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b  0 olduu durumda denklemin çÜzĂźmĂź yoktur, yani M = Ă˜. BĂśyle denklemlere imkansÄąz denklemler ya da çeliki denir. u denklemlerden hangisi çelikidir:

a) 3x + 1 = 0;

b) 0¡x – 2 = 0;

c) 3x = 0?

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 0 olsun. Denklemi yaz. Elde edilen denklemi ax = - b eklinde yaz. -2; 5;

; x = 3,5 sayĹlarĹ 0¡x = 0 eklinde yazĹlan denklemin çÜzßmß olup olmadĹ-

ÄąnÄą yokla. Fark ettiin gibi -2; 5;

; ve 3,5 sayĹlar 0¡x = 0 denklemin çÜzßmßdßr.

Bu denklem için baka çÜzßm belirt. SĹfĹr ve herhangi bir sayĹnĹn çarpĹmĹ neye eittir? Neden her reel sayĹ 0¡x = 0 denklemin çÜzßmßdßr?

Fark et ki ax + b = 0 denkleminin a = 0 ve b = 0 için sonsuz çok çÜzĂźmleri vardÄąr, yani M = R‘dir.

Lineer denklemler

Unutma! ax + b = 0 lineer denklemi için: a) a  0 ise denklemin bir tek çÜzßmß vardĹr

ve

b) a = 0 ve b  0 için çÜzĂźmĂź yoktur. M = Ă˜ c) a = 0 ve b = 0 ise sonsuz çok çÜzĂźmleri vardÄąr, yani M = R 'dir. a ve b için Ăśyle deerler yaz ki ax + b = 0 denkleminin: a) bir tek çÜzĂźmĂź olsun;

b) çÜzßmß yok;

c) sonsuz çok çÜzßmleri olsun.

5x – 7 + x = 1 + 2x denklemini çÜz.

Verilen denklemi çÜzmek için nasĹl hareket edeceksin?

Önce bilinmeyen içeren tßm terimleri sol tarafa, bilinmeyen içermeyen terimleri ise sa tarafa geçireceim. Ondan sonra denklemi ax = -b biçiminde getirerek çÜzßmß belirtiyorum.

Elde ettiin çÜzßmß verilen çÜzßmle karĹlatĹr.

T1’in S1 gereince; Denklemde her iki taraftaki ifadelerin sadeletirilmesi; T2 uygulanarak denklemin her iki tarafÄą 4 ile bĂślĂźnĂźr. Demek ki 5x – 7 + x = 1 + 2x denkleminin çÜzĂźmĂź 2‘dir, yani M = {2}. 5x -1 –x = x + 4 – 2x denklemini çÜz.

3(x – 1) + x = 2x – 2- (x - 5) denklemini çÜz. Parantezlerden kurtul Ödev 9’da olduu gibi hareket et. denklemini çÜz.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Denklemin her iki tarafĹnĹ EKOK (5, 3, 15) = 15 ile çarpacaĹm. Ondan sonra Ünceki Üdevde olduu gibi hareket edeceim.

Verilen denklemi, kendine denk olacak paydasÄąz denkleme nasÄąl dĂśnĂźtĂźreceksin?

Elde ettiin çÜzßmß verilen çÜzßmle karĹlatĹr.

T2’nin S2 gereince. Parantezlerden kurtulma. T1’in S1 gereince. Her iki tarafĹnĹ sadeletirmek. T2 gereince.

Demek ki verilen denklemin çÜzßmß -2’dir, yani M = { -2 }.

Bilmen gerekenler: Lineer denklemi genel (normal) ekile dĂśnĂźtĂźresin;

Kendini yokla! 3x + 1 = 2x – 2 –x denklemini normal ekile dÜnßtßr.

Bir bilinmeyenli lineer denklemi çÜzesin; denklemini çÜz.

ax + b = 0 denklemini çÜzesin a) a  0; b) a = 0 , b  0; c) a = 0 , b = 0.

Ă–devler u denklemleri normal ekile dĂśnĂźtĂźr:

Denklemleri çÜz:

Verilen denklemlerden hangisi imkansĹzdĹr: x deikeninin hangi deeri için 2x – 8 ve 1- x ifadelerinin sayĹ deeri aynĹdĹr?

Lineer denklemler

Denklemleri çöz

Denklemleri çöz:

Domino sırrı... Arkadaına bir domino seçmesini (ya da çizmesini) iste. Ondan sonra, hangi dominoyu seçtiini anlamak için birkaç ilem yapmasını iste: Sayılardan birini 2 ile çarp.

6 kat. Denklemleri çöz:

5 ile çarp.

a parametresinin hangi deeri için 8x – 3a – 5 = 2a + 5x – 16 denkleminin çözümü x = 3’tür.

Dominonun ikinci sayısını kat. 30 çıkar. Elde ettiin sayıyı söyle. sabet ediyorsun! Elde edilen sonucun rakamları, seçilen dominonun sayılarıdır. Sırrı, matematik açısından açıkla.

BR BLNMEYENL LNEER DENKLEMLERN UYGULANMASI Anne kızından üç defa büyüktür. 10 yıl sonra anne kızından iki defa büyük olacaktır. Anne ve kızın imdiki yaı ne kadardır?

Anımsa! Matematii incelerken, büyüklükler arasındaki baıntılar çok kez “konuma diliyle” sözlü olarak verilmi olduu durumlara rastlıyorsun. Bu baıntıların “matematik diline” çevrilmesi çok kez denklemler vasıtasıyla yapılır. Bunu, aaıdaki ödevde incele: Anne ve olunun yaları berabere 32’dir. Anne olundan 20 ya büyüktür. Annenin ve olunun yaları ne kadardır?

Hangi büyüklükler ve baıntıların bilinen, hangilerinin ise bilinmeyen olduunu incele. Bilinenler: Anne imdi kızından üç defa büyük, 10 yıl sonra ise iki defa büyük olacaktır. Bilinmeyenler: Anne ve kızın yaları.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Eer kızın yaını x ile iaret ediyorsan, annenin yalarını nasıl iaret edeceksin? 10 yıl sonra herbiri kaç yaında olacaktır?

Eer kızın yaı x ise, o zaman annenin imdiki yaı 3x olur. 10 yıl sonra kızın yaı (x + 10), annenin ise (3x + 10) olur.

Büyüklükler arasındaki baıntıları tabloda görebilir ve denklemin nasıl olutuunu inceleyebilirsin. imdi kaç yaındadır

10 yıl sonra kaç yaında olacak

Kız

x

x + 10

Anne

3x

3x + 10

Denklemr

3x + 10 = 2(x+10)

3x + 10 = 2(x + 10) denklemini çöz. Kızın yaı ne kadardır? Annenin yaı ne kadardır? Denklemin çözümü 10’dur. Annenin yaı 36, kızı ise 10 yaı vardır. Kaç yıl sonra anne kızından üç defa büyük olacaktır? Metinli ödevleri çözmek için, belli bir plan yapılırsa, çözüme daha kolay ulaabilirsin. Bunu u ödevde görebilirsin. Bir kontrol yazılı yoklamasında, öretmen örencelerine 15 ödev vermitir. Doru çözülen her ödev için örenci 5 puan kazanır, yanlı çözülen her ödev için örenci ise 2 puan kaybeder. Sonunda 54 puan kazanan örenci kaç ödev çözmütür? 1.

Ödevin anlaılması

Ödevde neler bilinir, neler bilinmez?

2.

Örenci, 15 ödev çözüyor ve her doru çözülen ödev için örenci 5 puan kazanır, yanlı çözülen her ödev için örenci ise 2 puan kaybeder ve sonunda 54 puan kazandıı bilinir. Örencinin kaç doru ödev çözdüü bilinmiyor.

Bilinmeyen büyüklüklerin iaretlenmesi Doru çözülen ödevlerin sayısını x ile iaret et. Çözülmemi ödevlerin sayısını nasıl iaret edeceksin?

Doru çözülen ödevlerin sayısı

x ile iaret edilirse, çözülmemi ödevlerin sayısı 15 – x ile iaret edilir. Lineer denklemler

Büyüklükler arasındaki balantıların bulunması Örenci ne kadar kazanmı ve ne kadar kaybetmi?

Örenci 5x puan kazanmı (x ödevde 5’er puan) ve (15 – x) puan kaybetmitir (15 – x ödev 2’er puan) ve toplam 54 puan kazanmıtır.

Denklemin oluturulması Büyüklükler arasındaki baıntıdan u denklem elde edilir: 5x – 2( 15 – x ) = 54.

Belirtilen balantılardan hangi denklem elde edilir? Yapılan ilemleri tabloda görebilirsiniz. Ödevler Toplam

Ödevler Ödevlere göre sayısı puan sayısı

Denklem

15

Doru x çözülenler Yanlı 15 - x çözülenler

5x

5x - 2(15 - x) = 54

2(15-x)

Denklemin çözülmesi Denklemin çözümünü incele: 5x – 2(15 – x ) = 54. d.o.k

Sorulan sorunun cevabı ve onun yoklaması Denklemin çözümü neyi göstermektedir?

Çözümün yoklamasını yap

Eer x = 12 ise, örenci 12 ödevi doru çözmütür. Yanlı çözdüü ödev sayısı ise 15 – 12 = 3’tür.

12 ödeve 5’er puan 60 puan eder. 3 ödev 2’er puan 6 puan eder. 60 – 6 = 54 puan. Demek ki ödevin çözümü dorudur.

Bir araba satı dükkanında 22 otomobil ve motosiklet vardır. Onların toplam 74 tekerlei vardır. Dükkanda kaç otomobil ve kaç motosiklet vardır? Bir ikizkenar üçgende yan kenar tabanından 2 cm daha büyüktür, çevresi ise 25 cm. Üçgenin tabanını ve yan kenarını belirt.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Ödevin çözümü için yapılan planın kısa yazılıını incele. 1. 2. 3. 4.

Yan kenarı b tabanı a’dan 2 cm daha büyük, çevresi ise 25 cm’dir. Tabanı a = x ile iaret edersek , o zaman b = x + 2 a + 2b = L. x + 2(x + 2) = 25

5. Demek ki tabanı a = 7 cm , yan kenarı b = 7 + 2 = 9 cm. 6. Yoklama: L = a + 2b; L = 7 + 2 · 9 ; L = 25 cm. Ödevdeki büyüklük- Büyüklükler ler arasındaki baTaban ıntıyı verilen tabloda görebilirsin Yan kenar

Büyüklüklerin iareti

Denklem

Çevre Bir dikdörtgenin a uzunluu, b geniliinden 3 cm büyüktür, çevresi ise 34cm’dir. Dikdörtgenin uzunluunu ve geniliini belirt. A yerinden B yerine gitmek için aynı anda yola çıkan iki bisikletçiden birincisi saatte 16 km, ikincisi de saatte 12 km hızla gidiyor. Birinci bisikletçi B yerine 1 saat önce vardıına göre A ve b arasındaki uzaklıı belirt.

Ödevdeki büyüklükler arasındaki baıntıyı verilen tabloda görebilirsin.

Birinci bisikletçi kinci bisikletçi

Hız

Zaman

Saatte 16 km Saatte 12 km

x saat

Yol

Yoklama

x +1 saat

Denklemi çöz ve A ve B arasındaki uzaklıı belirt. Ödev çözümünün doru olup olmadıına dair yoklama yap.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Metinli soruların çözümünde denklemleri uygulayasın;

Bir üçgende kenarlardan biri dierinden 2 cm büyük, üçüncüsünden ise 1 cm küçüktür.

Elde edilen çözümü yoklayasın.

Üçgenin çevresi 43 cm olduuna göre, kenarlarını belirt. Lineer denklemler

Ödevler Bir içi bir ii kendi baına çalıarak 6 saatte, dieri ise aynı ii 12 saatte bitirebilir. Her ikisi beraber çalıarak aynı ii kaç saatte bitirebilirler?

Eer bir sayıya 12 katılırsa ve elde edilen toplam 5 ile çarpılırsa 200 elde edilir. Bu sayı hangisidir? ki sayının toplamı 180’dir. Birincisi ikincisinden 36 için daha küçük olduuna göre o sayıları belirt?

Bir havuz iki borudan dolar. Birinci boru kendi baına havuzu 4 saatte, ikinci boru ise 6 saatte doldurabilir. Her iki boru açık olduu durumda, bo havuz kaç saatte dolar?

ki sayının farkı 46’dır. Sayılardan büyüü küçüüyle bölünürse, bölüm 4 ve kalan 7 elde edilir. Bu sayılar hangileridir?

ki boru beraber bir havuzu 12 saatte doldurabilir. Borulardan biri havuzu kendi baına 20 saatte doldurduuna göre, ikinci boru havuzu kaç saatte doldurabilir?

Bir ikizkenar üçgenin tabanı yankenarından 2 cm küçüktür. Üçgenin çevresi 43 cm olduuna göre, tabanını ve yankenarını belirt.

Hakan’ın toplam 80 denarı olmak üzere 2’er ve 5’er denarlık 25 demir parası vardır. Bu paralardan kaç tanesi 2 denarlık, kaç tanesi ise 5 denarlıktır? Eski Çin ödevi. Bir kafeste evcil tavanlar ve güvercinler vardır. Onların toplam 35 baı ve 94 ayaı vardır. Tavanların ve güvercinlerin sayısını bul?

Bir kurye, A ve B yerleri arasındaki mesafeyi belli bir zamanda geçer. Saatte 35 km geçerse, 2 saat geç yetiecek, saatte 50 km geçerse, 1 saat önce ulaacaktır. A ve B arasındaki uzaklıı belirt.

Dene... Diofantın mezar yazıtı Eski Yunan matematikçisi Diofant’ın mezar taında unlar yazılıdır: “Yolcu, burada Diofant’ın naaı yatmaktadır. Rakamlar, onun ömrü ne kadar uzun olduunu anlatacaktır. Harika çocukluu ömrünün altıda birini almıtır, ömrünün daha on ikide biri geçtikten sonra yüzünü sakal örttü. Ömrünün daha yedide biri geçtikten sonra, Diofant mutlu bir evlilik yaptı. Evlilik 5 yıl geçtikten sonra, onları mutlu edecek biricik oulları oldu. Halbuki kader ona ancak babasının ömrünün yarısı kadar ömür verdi. Büyük bir üzüntü içinde ihtiyar daha 4 yıl yaayarak dünya hayatına veda etti”. Diofant kaç yıl yaamıtır?

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

BR BLNMEYENL LNEER ETSZLKLER ETSZLK KAVRAMI VE ETSZLK Anımsa! Sayı ifadeleri unlardır: 5 + 8, 9 : 3 – 2, 4,6 · 3,5 * 1, 8 : 0,2 ve baka.

Verilen sayı ifadelerin sayı deerlerinin karılatırılmasının doru olması için dairecikte hangi iaret yazılmalıdır:

fadedeki tüm ilemler yapıldıktan sonra elde edilen sayıya, ifadenin sayı deeri denir. Verilen ifadenin sayı deerini hesapla: 15 – 22 · 3 – 6,4 : 0,4. Rasyonel sayıları karılatırırken u iaretlerden yararlanılır: =, < ve >. Verilen sayıların karılatırılmasının doru olması için dairecikte > ya da < iaretlerinden hangisi yazılmalıdır? 5 -1

-12 -5

0 -4

Verilen sayı ifadelerin karılatırılması için önce hangi ilemleri yapmalısın? Çnce verilen sayı ifadelerin sayı deerlerini hesaplamalıyım, ondan sonra dairecikte hangi iaretin geleceini belirtmem gerekir.

3,5 0?

u eitsizliklerden hangileri dorudur: a) 7 > 5; b) -5 > -4; c) -3,2 < -2,3?

Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır. yani yani

Ödev 1’i çözerken, her iki sayı ifadeyi: 3 · (5 – 2) ve 8 – 4 · 3 ya da 8 · 2,5 – 10,8 ve (-4)2 + 1 > ya da < iaretlerinden biriyle baladın ve unu elde ettin: 3 · (5 – 2) > 8 – 4 · 3 ya da 8 · 2,5 – 10,8 < (-4)2 + 1 3 · (5 – 2) > 8 – 4 · 3 ve 8 · 2,5 – 10,8 < (-4)2 + 1 ifadeleri sayı eitsizlikleridir. 8 · 5 – 62 ve 3 · 4 + 5. ifadelerinden doru sayı eitsizlikleri olutur. u sayı eitsizliklerden doru olanları belirt: 28 – 8 · 3 > -9 · 2 + 20;

7 < 3 · 12 – 52;

-9 + 6 > 8 · 3 – 35.

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

Anımsa! u ifadeler deikenli ifadelerdir: x – 1; 2y – 3, x2 – 2x + 1. 2y – 3 ifadesinde y deikeni yerine 2 deitirilirse nasıl ifade elde edilir?

Deikenli ifadenin karılatırılmasını doru yapmak için daire cikte > ya da < iaretlerin den hangisi yazılmalıdır: 2x + 3, x = -2 için? x2 – 2x + 1

x2 – 2x + 1 sayı ifadesinin deerini x = 3 için hesapla.

Verilen x deikenli ifadede, x yerine -2 yazılırsa nasıl ifadeler elde edilecektir? Ondan sonra ne yapmalısın?

x deikeninin -2 ile deitirilmesiyle karılatırılabilen sayı ifadeleri elde edeceim. Ondan sonra dairecikte gereken iareti yazabilirim. Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır. x2 – 2x + 1 = (-2)2 -2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9; 2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = - 1. 2 9 > - 1 olduuna göre, x = -2 için x – 2x + 1 > 2x + 3. 2x + 1 > 2x + 3 eitsizliine deikenli eitsizlik denir. Sol ve sa tarafı ya da en az biri deikenli ifade olan eitsizlie, deikenli eitsizlik ya da yalnız eitsizlik denir. u ifadelerden hangileri eitsizliktir: a) c) b) ç)

Unutma! Eitsizlikteki deikenler genellikle x, y, z,... harfleriyle iaret ediliyor. Onlar kümesinden ya da herhangi bir kümeden deerler alabilirler. Eitsizliin verilmesiyle, deikenlerin ait olduu küme de veriliyor, yani eitsizliin tanım kümesi veriliyor. Tanım kümesi verilmemi durumda, onu R kümesi olarak sayacaız. Bir bilinmeyenli eitsizlik, genel olarak f(x) < g(x), x ‫ א‬D biçiminde yazılır. Bu durumda f(x) ve g(x), ifadeleri D kümesinde tanımlı x deikenli ifadelerdir.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Anımsa!

u eitsizlikler verilmitir:

Bilinmeyenlerin sayısına göre denklemler nasıl adlandırılır? Bilinmeyenlerin derecesine göre, denklemler lineer (birinci derece), ikinci derece, üçüncü derece vb. olabilir.

2

2x – 3 = x + 1 ; x – 3x = 2 denklemi hangi derecedendir?

Hangi eitsizlikler bir, hangileri ise iki bilinmeyenlidir?

Her eitsizlik kaç bilinmeyenlidir? Bilinmeyenlerin sayısına göre 2x - 1 < 3x + 1 ve x2 – 1 > 2x eitsizliklerini nasıl adlandırıyorsun? 2x – y > 5- x ve x2y -2 < 3x eitsizliklerini ise nasıl ?

2x - 1 < 3x + 1 ve x2 – 1 > 2x eitsizlikleri bir bilinmeyenli, 2x – y > 5- x ve x2y -2 < 3x eitsizlikleri ise iki bilinmeyenlidir.

Unutma! Bilinmeyenlerin sayısına göre eitsizlikler bir bilinmeyenli eitsizlikler, iki bilinmeyenli eitsizlikler, üç bilinmeyenli eitsizlikler vb. olabilir. u eitsizliklerden herbirinin kaç bilinmeyenli olduunu belirt: a) 2x - 1 < x + 2;

b) x + y < 7 – z;

c) x +2 y < x – y + 1;

ç) 2x > x + 2.

u eitsizlikler verilmitir:

Her eitsizlikte bilinmeyenin en yüksek derecesini belirt. Bilinmeyenlerin derecesine göre eitsizlikler hangi derecedir? Bilinmeyenlerin derecesine göre, eitsizliklerin derecesini denklemlerde olduu gibi belirt.

x – 2 < 2x + 3 ve x – y < y + 3. eitsizlikleri birinci derece, x2 + 2 > 2x eitsizlii ikinci derece ve x2y -2 > 3x eitsizlii üçüncü derecedir.

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

Unutma! Sol ve sa tarafı tam rasyonel ifade olan f(x) < g(x), ya da f(x) > g(x), eitsizlii bilinmeyenin derecesine göre, birinci derece (lineer) eitsizlik, ikinci derece eitsizlik, üçüncü derece eitsizlik vb. olabilir.

u eitsizliklerin herbirinin hangi derece olduunu belirt: a) 5x – 2 < x + 4;

b) x2 – 2x < 6;

c) x2y – 5 > 2x;

Bilmen gerekenler:

ç) 2x + y < 7.

Kendini yokla!

< ya da > iaretiyle balı olan iki ifade, bir eitsizlik meydana getiriyorlar.

u eitsizlikler hangi cinstendir:

Eitsizlik kavramını tanımlayasın;

c) 3x + y < y + 2;

Bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilinmeyenin derecesine göre eitsizliklerin hangi cinsten olduunu tespit edesin.

u eitsizliklerden hangileri bir bilinmeyenli lineer eitsizliklerdir: b) x + 2y < 5x + 1; a) x2 + 6 > 5x; c) y – 2 < 3y; ç) x + 2 > 2x – 5.

a) 5 · 8 – 3 > 17 – 22; b) x2 – 1 < 5x; ç) 5 – 2·3 > 3 – 4 · 2

Ödevler u eitsizliklerden hangilerinin doru olduunu belirt:

x ‫{ א‬-2, 0, 2} deerlerinden hangisi için x2 – 2x < x + 5 eitsizlii dorudur?

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Bilinmeyenlerin sayısına göre aaıdaki eitsizliklerden herbirinin cinsini belirt:

Bilinmeyenlerin derecesine göre aaıdaki eitsizliklerden herbirinin cinsini belirt:

ETSZLN ÇÖZÜMÜ. ARALIKLAR Anımsa! Bir denklemin doru eitlie dönütüü bilinmeyenin deerine denklemin çözümü (kökü) denir. 2 sayısının verilen denklemin çözümü olup olmadıını yokla: a) 2x – 1 = x + 1; b) 3x – 5 = x + 3. Denklemin çözümünü belirt: a) 3x – 1 = 2x + 3; b) 2x + 1 = 2x + 5.

x ‫{ א‬-2, -1, 0, 1, 2} = D olmak üzere x bilinmeyeninin hangi deerleri için verilen eitsizliklerden herbiri doru sayı eitsizliine dönüür. a) 3x + 1 > x – 1; b) 2x – 2 < x + 4; c) 2x – 3 > x + 2 Eitsizliklerden, sayı eitsizlikleri nasıl elde edilir? Ödevin çözümünü tablo ile göstermeye çalı.

x bilinmeyeninin deerini D tanım kümesinde deerler alarak deitirmekle eitsizlii sayı eitsizliine dönütüreceim. Ondan sonra elde edilen eitsizliin doru (T) veya yanlı (A) olduunu tespit edebilirim. Elde ettiin çözümü verilenle karılatır.

x’in deeri Eitsizlik

Tablodan farkettin: 3x + 1 > x – 1 eitsizlii x = 0, x = 1 ve x = 2 için doru sayı eitsizliine dönüür. 2x – 2 < x + 4 eitsizlii, D tanım kümesinin her x deeri için doru sayı eitsizliine dönüür. 2x – 3 > x + 2 eitsizlii D kümesinin hiçbir x deeri için doru sayı eitsizliine dönümez. Eitsizliin doru sayı eitsizliine dönütüü her sayı deerine, eitsizliin çözümü denir. - f (x) < g (x) eitsizliin tüm çözümleri, eitsizliin çözüm kümesi denilen bir küme oluturuyor ve o genellikle R(f(x) < g(x)) biçiminde iaret edilir. Önceki ödevde 3x + 1 >x–1 eitsizliinin çözüm kümesi R(3x + 1 > x – 1) = {0, 1, 2}. Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

Ödev 1’de olan 2x – 2 < x + 4 ve 2x – 3 > x + 2 eitsizliklerin çözüm kümesini yaz. x ‫{א‬-3, -1, 1, 2, 3} olmak üzere 2x – 3 < 3x – 2 eitsizliinin çözüm kümesini yaz. Herhalde eitsizliinin çözüm kümesinin R(2x–3 < 3x – 2) = {1, 2, 3} olduunu bulmusun. Bununla 2x – 3 < 3x – 2 eitsizlii çözülmütür.

Unutma! Bir eitsizlii çözmek, onun çözüm kümesini belirtmek demektir.

Anımsa! ki denklemin çözüm kümeleri aynı olduu durumda onlara denk denklemler denir. u denklemlerin denk olup olmadıklarını yokla: 3x – 4 = 2x – 1 ve x – 5 = x – 2.

Tanım kümesi D = {-1, 0, 1, 2} olan 3x + 2 > 2x + 1 ve 2x – 3 > x – 4 eitsizlikleri veriliyor.

Her iki eitsizliin çözümler kümesini belirt. Her iki eitsizliin çözümler kümesini karılatır. Ne farkediyorsun?

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır.

Eitsizlik

R(3x +2 >2x +1) = {0, 1, 2}, R(2x – 3 > x - 4) = {0, 1, 2}, olduunu farkediyorsun, yani R(3x +2 >2x +1) = R(2x – 3 > x - 4) olur. Böyle eitsizliklere D tanım kümesinde denk eitsizlikler denir ve 3x +2 >2x +1֞ 2x – 3 > x – 4, x ‫ א‬D yazıyoruz.

Unutma! Tanım kümesi aynı olan iki eitsizliin çözüm kümeleri aynı ise, onlara denk eitsizlikler denir. Tanım kümesi D = {1, 2, 3, 4} olan 3x – 1 > 2x + 1 ve 2x + 3 < 3x +1, eitsizliklerin denk olup olmadıklarını yokla.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Bir sayÄą dorusu verilmitir ve ĂźzeA B rinde A ve B noktalarÄą iaret edil-1 0 1 2 3 4 5 mitir. A ve B noktalarÄąna sÄąrasÄąyla 1 ve 4 sayÄąlarÄą karÄąlÄąk gelir. A noktasÄą Bâ&#x20AC;&#x2122;nin solunda bulunduuna gĂśre, onlara karÄąlÄąk gelen sayÄąlar için: 1 < 4 geçerlidir. Hangi doal sayÄąlar 1 ve 4 arasÄąnda bulunur. sayÄąlarÄąndan hangileri 1 ve 4 arasÄąndadÄąr. Neden 1 ve 4 arasÄąnda bulunur?

Ă&#x2021;ĂźnkĂź  1,41 sayÄąsÄą 1â&#x20AC;&#x2122;in saÄąnda 4â&#x20AC;&#x2122;Ăźn solunda dÄąr.

1 ve 4 arasĹnda bulunan bßtßn reel sayĹlar, uç noktalarĹ 1 ve 4 olan ve ona aralĹk denilen bir kßme oluturuyorlar.

Genel olarak a ve b verilen reel sayÄąlar ve a < b ise, a ve b arasÄąnda bulunan bĂźtĂźn reel sayÄąlar kĂźmesine aralÄąk denir. a ve b aralĹĹn â&#x20AC;&#x201C; uç noktalardÄąr. a ve b uç noktalarÄą aralÄąa ait olmadĹĹ durumda, ona açĹk aralÄąk denir. (a; b) biçiminde iaret edilir. SayÄą dorusu Ăźzerinde gĂśsterilir: a ve b uç noktalarÄą aralÄąa ait olduklarÄą durumda, ona kapalÄą aralÄąk denir. [ ;b] biçiminde iaret edilir. SayÄą dorusu Ăźzerinde gĂśsterilir: UçlarÄą 3 ve 5 olan aralĹĹ yaz ve sayÄą ekseninde gĂśster: a) kapalÄą aralÄąk;

b) açĹk aralĹk;

c) sol uç noktasĹnĹ içermeyen aralĹk;

ç) sa uç noktasĹnĹ içermeyen aralĹk.

c) ve ç) için elde ettiin çÜzßmß verilenle karĹlatĹr.

AralÄąk, aaÄądaki reel sayÄąlardan oluan kĂźmeler gibi de gĂśsterilebilr: aâ&#x20AC;&#x2122;dan bĂźyĂźk (a; + )

aâ&#x20AC;&#x2122;dan kßçßk (- ; a)

aâ&#x20AC;&#x2122;dan bĂźyĂźk ya da eit [a; + ]

aâ&#x20AC;&#x2122;dan kßçßk ya da eit (- ; a]

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

Aralıın bir ucunda + ve - olduunu farkediyorsun. (a; + ) aralıı “a’dan artı sonsuza kadar” diye okunur. (- ; a) aralıı “eksi sonsuzdan a’ya kadar” diye okunur. R kümesi (- ; + ) diye yazılabilir. (3; - ); [1; + ]; (+ ; 4) aralıkların anlamı olmadıını fark ediyorsun. Reel sayılardan oluan kümeleri önce aralık biçiminde yaz, ondan sonra sayı ekseninde göster: a) 2‘den büyük

b) 1‘den büyük ya da eit

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır.

u eitsizlikler verilmitir:

Verilen her eitsizliin çözüm kümesini belirt. Elde edilen her kümeyi sayı dorusu üzerinde göster. Doru sayı eitsizlikleri elde etmek için, x deikeni x > -1 eitsizliinde hangi sayılarla deitirilmelidir, x < 2 eitsizliinde ise hangi sayılarla deitirilmelidir?

Doru sayı eitsizlii elde etmek için x > -1 eitsizliinde x deikeni -1 den büyük olan herhangi reel sayıyla deitirilmelidir, x < 2 eitsizliinde ise 2 den küçük herhangi reel sayıyla deitirilmelidir.

x > -1 eitsizliin çözüm kümesi -1 den + , bütün reel sayılardır, yani (-1, + ) aralıı olduunu görüyorsun. Verilen eitsizliklerin çözüm kümelerinin, sayı dorusu üzerinde nasıl gösterildiini görünüz.

x > -1 ve x < 2 eitsizlikleri çözülmü biçimdedir ve onların çözümleri dorudan doruya okunabilir.

Unutma! a verilen bir reel sayı olmak üzere, x > a, x < a ve 0 · x < a, eitsizlikleri çözülmü biçimde yazılmıtır ve onlara temel eitsizlikler denir.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

0 · x < - 5 eitsizliini çöz. Sıfır ile çarpıldıında -5’ten küçük olacak sayı var mıdır?

Herhangi bir sayının sıfır ile çarpımı sıfır olduuna göre, 0 · x < - 5 eitsizliin çözümü yoktur.

0 · x < 5 eitsizliini çöz. 0 · x < a eitsizliinin çözümünü kavra: R(0 · x < a, eer a < 0) = Ø ve R(0 · x < a, eer a > 0) = R. x > - 5 ; x < 4; 0 · x < -1 ; 0 · x < 3, eitsizliin çözüm kümesini aralıklar yardımıyla yaz.

x a eklinden eitsizliklerin çözümü [ a; + ) 'dır. x  a eitsizliin çözüm kümesi ise ( - , a]' dır. eitsizliklerin çözüm kümelerini aralık ile ve sayı ekseninde göster. a) x  3; b) x -2. Bu ekilde verilen ödevin nasıl çözüldüünü inceleyiniz. a) x  3 ise, x ‫א‬ሺ- ; 3] elde edilir. b) x -2 ise x ‫ [א‬-2 ; + ) elde edilir

x  - 1 eitsizliin çözüm kümesini aralık biçiminde yaz.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Verilen eitsizliklerin çözümlerinin hangi deerler olduunu kontrol edesin; ki eitsizliin denk olup olmadıını tespit et. ki eitsizlik ne zaman denk olabildiini açıkla; Verilen eitsizliin çözümler kümesini aralık biçiminde ve sayı dorusu üzerinde göster.

x ‫א‬ሼ0, 1, 2, 3, 4}olmak üzere, R(2x – 1 > x + 1) = {2, 3, 4} yokla. x ‫א‬ሼ0, 1, 2, 3, 4} = D olmak üzere, 3x – 1 > x + 1 eitsizlii 4x – 1 > 3x eitsizliiyle denk olup olmadıını yokla. x < - 3, eitsizliin çözümünü aralıkla göster.

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

Ödevler ൌሼ-1, 0, 1, 2, 3} kümesinde u eitsizlikler verilmitir: a) 3x + 1 > 2x + 1;

Verilen eitsizliin çözüm kümesini aralık ile ve sayı dorusu üzerinde göster. a) x > -3; b) ) x < 2.

b) 2x + 3 > x + 3.

Verilen eitsizliklerden her birinin çözümler kümesini belirt.

Verilen eitsizliin çözüm kümesini aralık ile ve sayı dorusu üzerinde göster.

Aaıdaki eitsizliklerden hangileri ൌ ሼ-2, -1ǡ0, 1, 2} kümesinde denktir: a) 3x – 2 > 2x – 3; c) 2x + 5 > x + 4.

a) x  -2 ;

b) x 1.

b) 2x – 1 > x – 2; u eitsizliklerden hangisinin çözümü yoktur? Cevabını açıkla.

Verilen eitsizliin çözümler kümesini aralıkla göster:

a) x > 0;

b) 0 · x > - 2 ;

a) x > -2; b) x < 0; c) x  1; ç) x -3.

c) 0 · x < -1;

ç) x < -5.

DENK ETSZLKLERE AT TEOREMLER Anımsa!

ൌሼ-2, -1ǡ0, 1, 2} kümesinde 3x – 2 > 2x - 3 .

Hangi iki denkleme denktirler denilir? 3x – 1 > x + 3 ve 2x – 1 > x + 1 eitsizlikleri ൌሼ1, 2, 3, 4} kümesinde denk olup olmadıklarını yokla. Denk denklemlere ait teorem 1, nasıl ifade edilir?

Verilen eitsizliin elde edilen eitsizlikle denk olup olmadıını nasıl yoklayacaksın?

Verilen eitsizliin çözümler kümesini belirt. Eitsizliin iki tarafına x – 1 ifadesini kat ve elde edilen eitsizliin verilene denk olup olmadıını yokla.

Her iki eitsizliin çözüm kümelerini bulduktan sonra çözümleri karılatırıyorum.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. x için deer

Verilen eitsizlik

Doru Yanlı

Elde edilen eitsizlik

Doru Yanlı

Tablodan kavra ki: R(3x – 2 > 2x – 3) = ሼ0, 1, 2} ve R(3x – 2 + x - 1> 2x – 3 + x – 1) = ሼ0, 1, 2}, yani 3x – 2 > 2x – 3 iki tarafına x – 1 ifadesini katmakla, verilene denk olan 3x – 2 + x - 1> 2x – 3 + x – 1 eitsizlii elde edilir. Bu özellik genel olarak tüm eitsizlikler için geçerlidir ve eitsizliin iki tarafına sayı ya da ifadenin katılması teoremi diye adlandırılır.

Teorem 1 f(x) > g(x), eitsizliin iki tarafına aynı sayı veya tanım kümesinde her x için tanımlı olan bir h(x) ifadesi katılırsa verilene denk olan eitsizlik elde edilir, yani f(x) > g(x) ֞ f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

Verilen ikier eitsizlik birbirine denk midir: a) 5x + 1 > 4x + 3 ve 5x + 1 + 3x > 4x + 3 + 3x; b) 2x - 5 > x – 2 ve 2x – 5 + 5x - 1 > x – 2 + 5x – 1; c) 3x - 1 < x + 2 ve 3x – 1 – 4x < x + 2 – 4x? Cevabını açıkla.

4x - 1 < 3x + 2 eitsizliini çözülmü biçimde eitsizlik ekline dönütür.

Eitsizlii çözülmü biçimde dönütürmek için, onun iki tarafına hangi ifadeyi katabilirsin?

Eitsizliin iki tarafına -3x + 1 ifadesini katabilirim.

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. Teorem 1 gereince unları yazabiliriz: 4x - 1 < 3x + 2 ֞ 4x - 1 -3x + 1 < 3x + 2 -3x + 1 ֞ 4x – 3x < 2 + 1֞ x < 3. 4x - 1 < 3x + 2 ֞ 4x -3x < 2 + 1 ifadesinde 3x terimi sol taraftan sa tarafa ters iaretle geçmi, 1 sayısı ise sol taraftan sa tarafa yine ters iaretle geçmi olduunu fark edebilirsin. Bu özellik genel olarak bütün eitsizliklerde geçerlidir. Buna göre, teorem 1’in u sonucunu ifade edebiliriz:

S1

Eitsizliin her terimi bir taraftan dier tarafa geçebilir. Böyle durumda terimin iareti ters olarak deiir.

Teorem 1’in uygulanmasıyla eitsizliklere denk dönüümler yapalabilirsin. Böylece verilen denkten daha basit yani sadelemi eitsizlikler elde edilir. Bunu u ödevde fark edeceksin. Verilen 4x - 1 > 3x + 2 eitsizlii çözülmü biçimde eitsizlie dönütür. Eitsizliin çözüm kümesini aralıklarla göster. Sonuç 1’i uygula ve bilinmeyenleri sol tarafa, bilinenleri ise sa tarafa gruplatır.

Sonuç 1 gereince unun geçerli olduunu belirtebiliriz: 4x - 1 > 3x + 2 ֞ 4x -3x > 2 + 1 ֞ x > 3 ve R (4x - 1 > 3x + 2 ) = ( 3; + ).

3x - 5 > x - 3 eitsizlii verilmitir. Eitsizlii çözülmü biçime dönütür. Eitsizliin çözümünü aralıklarla göster. D = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı 3x – 2 + 4x < x + 1+ 4x ve 3x – 2 < x + 1 eitsizliklerin denk olup olmadıını yokla. ki eitsizliin çözüm kümesini belirt ve denk olup olmadıını yokla.

R(3x – 2 + 4x < x + 1+ 4x )= ሼ0, 1, 2}; R(3x – 2 < x + 1) = ሼ0, 1, 2} olduuna göre eitsizlikler denktir.

Birinci eitsizliin iki tarafında 4x terimi bulunduunu fark edebildin. Eitsizliin her iki tarafından 4x teriminin silinmesiyle verilene denk olan 3x – 2 < x + 1 eitsizlii elde edilir. Eitsizliin her iki tarafında bulunan 4x teriminin silinmesini, teorem 1’in nasıl uygulandıını ve denk eitsizliin nasıl elde edildiini açıkla.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Bu özellik genel olarak bütün eitsizliklerde geçerlidir. Buna göre, teorem 1’in daha bir sonucunu ifade edebiliriz:

S2

Eitsizliin farklı taraflarında aynı terimler varsa, onlar silinebilir.

4x – 2 - 5x < 3x – 1 - 5x eitsizliini çözülmü biçime dönütür. 3x - 1 > 2x + 1 ve ൌሼ1, 2, 3, 4, 5} eitsizlii verilmitir. Eitsizliin her iki tarafını 2 ile çarp. Elde edilen eitsizliin, verilenle denk olup olmadıını yokla. Ödevin çözümünü tabloda görebilirsin. x’in deeri Eitsizlik

Tablodan görebilirsin ki: R(3x - 1 > 2x + 1) = ሼ3, 4, 5} ve R(6x – 2 > 4x + 2) = ሼ3, 4, 5}, yani 3x - 1 > 2x + 1 ֞ 6x – 2 > 4x + 2 'dir. Bu özellik genel olarak bütün eitsizliklerde geçerlidir, ama eitsizliin iki tarafı pozitif sayıyla çarpıldıı durumda geçerlidir. Buna göre, eitsizliin iki tarafını pozitif sayıyla çarpma teoremi ile ifade edebiliriz.

Teorem 2. f(x) > g(x), eitsizliin iki tarafı aynı bir a > 0 sayısıyla çarpıldıında verilene denk olan eitsizlik elde edilir, yani f(x) > g(x) ֞ a · f(x) > a · g(x) , a > 0 u eitsizlikler neden birbirine denk olduunu açıkla: 3x – 2 < 2x – 3 ve 9x – 6 < 6x – 9. 4x – 8 < 12 – 8x eitsizlii veriliyor. Ona u denk dönüümler yapılmıtır:

4x – 8 < 12 – 8x eitsizliine hangi denk dönüümler yapılmıtır? Elde edilen eitsizlikleri karılatırınız. Ne fark ediyorsun? Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

1 4x – 8 < 12 – 8x eitsizliin iki tarafı 4 ile çarpıldıında ve aynı eitsizliin iki tarafı 4 ile bölündüünde aynı dönüümün yapıldıını görüyorsun. Buna göre, teorem 2’den teorem 1’in u sonucu ifade edilebilir:

S1

Bir eitsizliin iki tarafının ortak pozitif çarpanı varsa, onunla eitsizliin iki tarafı bölünebilir ve elde edilen eitsizlik verilene denk olur.

10x – 25 < 5x + 15 eitsizlii verilmitir. Sonuç 1’den yararlanarak bu eitsizlii sadelemi biçimde dönütür. eitsizlii verilmitir. Elde edilecek eitsizliin paydasız olması için eitsizliin iki tarafını hangi sayıyla çarpmalıyız? Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. EKOK(4, 2, 8) eitsizliin dönüümü teorem 2 gereince yapılmıtır. Bu durumda T2’nin u sonucu ifade edilebilir:

S1

Katsayıları kesirler olan eitsizlikleri, tam sayılı katsayılarla eitsizliklere dönütürmek için, eitsizliin iki tarafı paydaların bir ortak katıyla çarpılır (genellikle en küçük ortak katla çarpılır).

Verilen eitsizlii, katsayıları tam sayı olan eitsizlie dönütür.

u doru sayı eitsizlikleri verilmitir: 7 > 4, -5 < -3 ve 1 > - 4. Verilen eitsizliklerin iki tarafını – 2 ile çarpınız. Elde edilen sayı eitsizlikleri doru olup olmadıklarını yokla. Ne fark ediyorsun? Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. yanlı sayı eitsizlii. yanlı sayı eitsizlii. yanlı sayı eitsizlii.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Doru sayı eitsizlii elde etmek için, eitsizliin iareti deimelidir, yani -14 > - 8 ifadesi -14 < - 8 ile 10 < 6 ifadesi 10 > 6 ile ve - 2 > 8 ifadesi - 2 < 8 ile deitirilmelidir. Bu özellik her reel sayı a, b, c için geçerlidir. a > b ve c < 0 ise, a · c < b · c ve a < b ve c < 0 ise, a · c > b · c olur. ddianın ispatını incele. Verilenler: a > b ve c < 0 spatlanması gereken: a · c < b · c a·c - b·c = ( a – b ) · c; c < 0 ve a – b >0 ( çünkü a > b olduuna göre (a – b ) · c negatif sayıdır, yani a · c - b · c < 0; a · c < b · c elde edilir. < 5 ve 2 > - 1 eitsizliklerin iaretlerine ters yönler denir. Buna göre, eitsizliin negatif sayıyla çarpımı ile ilgili u teoremi ifade edebiliriz.

Teorem 3 Bir eitsizliin f(x) > g(x), iki tarafını aynı bir c negatif sayısıyla çarpar ya da bölersek ve eitsizlik iaretinin yönünü deitirirsek, verilene denk olan eitsizlik elde edilir, yani c < 0 ise f(x) > g(x) ֞ c · f(x) < c · g(x). -2x -7 > 5x - 1 eitsizliini çözülmü ekile dönütür. Teorem 1’in sonuç 1’ini, teorem 2’nin sonuç 1’ini ve teorem 3’ü uygula.

yani

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Denk eitsizliklere ait teoremleri ve onların sonuçlarının ifade edesin; Denk eitsizliklere ait teoremleri ve onların sonuçlarını ödevlerin çözümünde uygulayasın.

u eitsizliklerin neden denk olduklarını açıkla: ve ve ve

Ödevler u eitsizlikleri çözülmü ekilde eitsizliklere dönütür: a) 3x – 1 < 2x + 1;

b) 4x – 3 > 3x – 1.

2x – 3 – 5x < x – 1 – 5x eitsizliinde iki terimi öyle bir ekilde sil ki elde edilen eitsizlik verilene denk olsun.

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

u eitsizlii kendine denk olan paydasız eitsizlie dönütür:

eitsizliini çözülmü ekilde eitsizlie dönütür. Eitsizliin çözümünü aralık ile göster.

eitsizliini çözülmü

u denklikleri açıkla:

ekilde eitsizlie dönütür.

BR BLNMEYENL LNEER ETSKZLKLERN ÇÖZÜMÜ Anımsa!

4x – 3 > 2x + 1 eitsizliini çözünüz. Çözümü sayı ekseninde aralık biçiminde göster.

u eitsizliklerden hangileri bir bilinmeyenli lineer eitsizliklerdir:

Verilen eitsizlii çözülmü ekile nasıl getireceksin? 5x-3>3x+1 eitsizliini, çözülmü biçimde eitsizlik olarak dönütür.

Teorem 1’in S1 ‘i ve teorem 2’nin S1’i uygulayacaım.

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. (T1 ‘in S1.) (eitsizliin iki tarafının sadeletirilmesi). (T2’nin S1’e göre eitsizlii bölme). R

u eitsizlikleri çöz: f(x)  g(x);

a) x – 4 > 8 – 3x;

b) 3x – 5 < - x + 3.

f(x) g(x), de eitsizliklerdir.

3(2x – 1)  -( 9 – 8x) eitsizliinin çözüm kaidesi verilmitir. Çözüm esnasında yapılan tüm denk dönüümlerini açıkla. R

R

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Eitsizlii çöz: 2x – (3 – x) 5x – 1. Eitsizlii çöz : Eitsizliin her iki tarafını EKOK (3, 2, 6) ile çarpacaım.

Verilen eitsizliin paydalarından nasıl kurtulacaksın? Elde ettiin çözümü verilenle karılatır.

R

R

yani

Eitsizlii çöz

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlii çözülebilmes;

Verilen eitsizlii çöz: 2(x – 3)  -(9 – 5x).

Verilen aralık, verilen bir eitsizliin çözümü olup olmadıını yokla;

x’in hangi deeri için 2x – 4 ifadesi pozitifdir?

Verilen metinli bir ödeve ait eitsizlie kurulması.

Eitsizlii çöz:

Ödevler u eitsizlikleri çöz: u eitsizlikleri çöz:

u eitsizlikleri çöz: x’in hangi deerleri için ifadesinin deeri pozitiftir? (-3; + ) aralıı eitsizliin çözümü olup olmadıını yokla.

Bir dikdörtgenin uzunluu geniliinden 3 cm büyüktür. Onun çevresi 54 cm’den küçük olması için uzunluu ne kadar olmalıdır?

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler

BR BLNMEYENL LNEER ETSZLKLER SSTEM BR BLNMEYENL LNEER ETSZLKLER SSTEMNN ÇÖZÜMÜ Anımsa!

u eitsizlikler verilmitir: 3x + 1 > 2x – 1 ve 4x – 1 < 3x + 2.

Bir eitsizlii doru sayı eitsizliine dönütüren bilinmeyenin her deerine eitsizliin çözümü denir.

Verilen eitsizlikleri çöz. Verilen eitsizliklerin çözüm kümelerini aralık biçiminde ve o aralıkları aynı sayı dorusu üzerinde göster. Verilen eitsizliklerin ortak çözümleri olup olmadıını tespit et.

x = 3 deeri 3x – 1 > 2x – 3 eitsizliin çözümü olup olmadıını yokla. Bir eitsizliin bütün çözümlerinin oluturduu kümeye, eitsizliin çözüm kümesi denir. 5x – 2 < 3x + 4 eitsizliin çözüm kümesini belirt.

Verilen eitsizliklerin orta çözümü olup olmadıını nasıl tespit edebilirsin?

Verilen eitsizlikleri çözülmü biçime dönütürerek çözümlerini aralık biçiminde ve aynı sayı dorusu üzerinde göstereceim. Orada verilen eitsizliklerin çözüm kümelerinin kesiimi olup olmadıını görebilirim. Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır

R

R

R

R

Sayı dorusunda görüldüü gibi (-2, 3) aralıına ait olan sayılar her iki eitsizliin çözümüdür. Verilen iki eitsizlie bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler sistemi oluturuyorlar denir.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Unutma! ki veya daha çok bir bilinmeyenli lineer eitsizlikten oluan ve ortak çözümü istenilen ifadeye bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler sistemi denir. Bir bilinmeyenli her iki lineer eitsizlik sistemi aaıda gösterildii gibi normal ekile dönütürebilir, örnein.

2.

u eitsizlik sistemi verilmitir: Verilen sistemi normal ekile dönütür. Sistemdeki eitsizliklerin ortak çözümlerini sayı ekseninde göster. Sistemdeki eitsizliklerin ortak çözümleri olan x bilinmeyeninin tüm deerlerine, yani her iki eitsizliin çözüm kümelerinin kesiimine, eitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir ve Rs ile iaret edilir. Demek ki: Rs = R(ax > b) R(a1x > b1).

Verilen sistemin çözümler kümesini aralık biçiminde yaz. Aynı kümede tanımlı olan iki sistemin çözüm kümeleri aynı ise onlara denk eitsizlik sistemi denir.

3.

lineer eitsizlikler sistemi ve ax > b eitsizliine denk olan a2x > b2 lineer eitsizlii verilmitir. sistemi

sistemiyle denk olduunu göster.

spatlamada yürütülen kaideye dikkat et. eitsizlik sisteminin çözümü Rs = R(ax > b) ˆ R(a1x > b1)’dir. ax > b ֞ a2x > b2 olduuna göre R(ax > b) = R(a2x > b2) gerekir. eitsizlik sistemin çözümü Rs = R(a2x > b2) ˆ R(a1x > b1)’dir. R(ax > b) = R(a2x > b2) olduuna göre R(a2x > b2) ˆ R(a1x > b1) = R(ax > b) ˆ R(11x b1)’dir, yani, Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler sistemi

101

Bu ekilde gelen u teoremin geçerli olduunu ispatladık:

Teorem 1 Bir sistemde eitsizliklerden biri, kendine denk bir eitsizlikle deitiriliyorsa, verilene denk olan eitsizlik sistemi elde edilir.

u eitsizlik sistemini çöz Sistemin çözümünü aralık biçiminde ve sayı ekseninde göster. Sistemdeki eitsizlikleri hangi ekile dönütüreceksin ve çözümünü nasıl belirteceksin?

Önce sistemdeki eitsizlikleri çözülmü ekile dönütüreceim, ondan sonra her iki eitsizliin çözümler kümesinin kesiimini belirteceim.

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır.

Sistemin çözümünü aralık biçiminde ve sayı ekseninde göster.

u eitsizlik sistemini çöz

Hangi durumda iki eitsizlikten oluan sistemin çözümü olmayabilir?

Sistemdeki iki eitsizliin çözümler kümelerinin kesiimi bo olduu durumda, sistemin çözümü yoktur.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır.

Unutma! Sistemdeki eitsizliklerin çözüm kümelerinin kesiimi bo ise, sistemin çözümü yoktur ya da sistem çelikidir.

6.

u eitsizlikler sistemini çöz.

Bilmen gerekenler: Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler sistemini çözesin; Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler sisteminin çözümünü, sayı dorusu üzerinde ve aralık biçiminde gösteresin.

Kendini yokla! Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler sistemini çöz:

R(ax > b) = (- ; - 1) ve

R(a1x > b1) = (0; + ) olduuna göre

eitsizlik

sisteminin çözümü nedir?

Bir bilinmeyenli lineer eitsizlikler sistemi

103

Ödevler Sistemi çöz:

3.

Sistemi çöz:

4.

Sistemi çöz:

Sistemi çöz:

LNEER FONKSYONLAR LNEER FONKSYON Anımsa!

35 litrelik bir kabda 5 litre su vardır. Bir borudan kaba dakikada 3 litre su dolar.

Doru ve ters orantılar aslında fonksiyonlardır. Onlar genellikle formüllerle veriliyorlar. y = 2x formülüyle hangi orantı gösterilmitir? Hangi orantı = formülüyle gösterilmitir?

Kabda x = 1 dakika sonra ve x = 2 dakika sonra ne kadar su olacaını nasıl hesaplayacaksın?

Kabda 1 dakika; 2 dakika; 2,5 dakika; 5 dakika; 10 dakika sonra kaç litre su olacaktır? (x) dakika sonra kaç litre (y) su olacaktır? Verilere göre tablo yapınız.

x = 1 dakikada, y = 3 · 1 + 5 = 8 litre; x = 2 dakikada, y = 3 · 2 + 5 = 11 litre.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Farkettiin gibi, gibi, xx dakika dakika sonra sonra kabda kabda 3x 3x ++ 55 su, su, yani yani yy == 3x 3x ++ 5. 5. Farkettiin Kabın su ile dolusu f(x) = 3x + 5 formülüyle verilmi f fonksiyonu gibi incelenmesinin mümkün olduunu görüyorsun. Formüle göre, x zamanının dier deerleri için de tablo yapabilirsin. Kaç dakika sonra kab su ile dolacaktır?

Problemin hassasiyeti gereince, x zamanının 0’dan 10’a kadar deiebildiini görüyorsun. Yanlız f(x) = 3x + 5 formülünü incelersen, x deikeni her reel sayı olabilir. Her reel sayı x için y = f(x) olacak yanlız bir y deeri karılık gelir. f(x) = 3x + 5 formülüyle R kümesinde f fonksiyonu verilmitir ve lineer fonksiyon için bir örnektir.

ncele ve unutma! k ve n verilen herhangi reel sayılar olmak üzere f(x) = kx + n formülüyle verilmi olan f fonksiyonuna lineer fonksiyon denir. k sayısına x deikeni önündeki katsayı, n sayısına ise serbest terim denir. Bir lineer fonksiyon formül ile verildiinde ve tanım kümesi için hiçbir ey denilmemise, fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesinin R olduunu sayacaız. Aaıdaki verilere göre lineer fonksiyonu yaz: ve

ve

ve

ve

Ödev 2’de k = 5 ve n = 0 ile verilmi olan fonksiyonun ekli nasıldır? Fonksiyon nasıl orantıyı göstermektedir?

Eer k = 5 ve n = 0 olduu durumda, o zaman f(x) = 5x eklini alır. Bu fonksiyon düz orantıdır.

Aaıdakilere göre lineer fonksiyonu yaz. Deiken önündeki katsayı 4, serbest terimde 2’dir. Deiken önündeki katsayı -3, serbest terimde 1’dir. Deiken önündeki katsayı -2, serbest terimde 0’dır. Lineer Fonksiyonlar

105

4.

f(x) = x â&#x20AC;&#x201C; 2 lineer fonksiyonu verilmitir. AaÄądakileri belirt: f (-2);

f (0);

f (2).

x deikeninin hangi deeri için f(x) fonksiyonunun deeri 0â&#x20AC;&#x2122;dÄąr?

x = 2 için, f(x) = 2 â&#x20AC;&#x201C; 2, yani x = 2 için f(x) = 0 olur.

Unutma! y fonksiyonunun deerini sÄąfÄąr yapan, x deikeninin deerine fonksiyonun sÄąfÄąrÄą denir.

-3 sayĹsĹ f(x) = x + 3 fonksiyonunun sĹfĹrĹ olup olmadĹĹnĹ yokla. Fonksiyonun sĹfĹrĹnĹ belirt: a) y = -3x + 6;

b) y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 1.

Farkettiin gibi verilen fonksiyonlarda, f(x) yerine y yazĹlmĹtĹr. leride lineer fonksiyonlarĹ bu ekilde yazacaĹz. y = kx + n fonksiyonunda y = 0 olmak için x deerini nasĹl belirteceksin?

y = 0 olmak için kx + n = 0 olmalÄądÄąr. n Oradan kx = -n ve x = â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x201C; , k  0 k a) ÄąkkÄąnda fonksiyon için elde ettiin çÜzĂźmĂź karÄąlatÄąr. a) y = -3x + 6 fonksiyonun deeri sÄąfÄąr olmak için: -3x + 6 = 0; -3x = -6; 3x = 6; x = 2, yani 2 sayÄąsÄą y = -3x + 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄądÄąr. Verilen her fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt:

Bilmen gerekenler: Lineer fonksiyonu tanÄąmlanmasÄą;

Kendini yokla! Verilen fonksiyonlardan hangisi lineer fonksiyondur?

Lineer fonksiyonun katsayÄąsÄąnÄą ve serbest terimi ayÄąrt edilsin; Lineer fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirtilsin. y = -2x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Ödevler Verilen fonksiyonlardan hangisi lineer fonksiyondur:

Fonksiyonun sıfırını belirt

Verilenlere göre lineer fonksiyonu yaz:

y = kx + n fonksiyonunun sıfırı x = 2 ve n = -3’dir. Deiken önündeki katsayısını belirt.

Fonksiyonun deiken önündeki katsayısını ve serbest terimini belirt:

y = kx + n fonksiyonunun sıfırı x = -2 ve serbest terimi deiken önündeki katsayıdan 3 için daha büyüktür. k ve n belirtilsin.

LNEER FONKSYONUN GRAFKSEL GÖSTERL Anımsa! ekilde Oxy dik açılı koordinat sistemi verilmitir.

ekilde O ve A noktalarından geçen bir doru çizilmitir. Bu dorunun y = 2x fonksiyonunun grafii olduunu göster. O(0, 0) ve A(1, 2) noktaları y = 2x fonksiyonun grafiine ait olup olmadıını yokla.

x ve y eksenleri nasıl adlandırılır? O noktasına ne denir? A noktasının koordinatlarını belirt. ki noktadan kaç doru geçer?

(2, 4) noktası y = 2x fonksiyonunun grafiine ait midir?

Lineer Fonksiyonlar

107

O(0, 0) ve A(1, 2) noktaları, fonksiyonun grafiine ait olduunu nasıl göstereceksin?

x = 0 için, y = 2 · 0, y = 0. x = 1 için, y = 2 · 1, y = 2. Buna göre O ve A noktaları fonksiyonun grafiine aittir.

ekilde, gördüün gibi, y = 2x fonksiyonuna ait olan O ve A noktalarından geçen doru çizilmitir. OA dorusunun her noktası y = 2x koulunu saladıını ve OA dorusuna ait olmayan her nokta y = 2x koulunu salamadıını gösteren açıklamayı izle. OA dorusu üzerinde bulunan tahminen bir B(x1, y1) noktasını seçelim (sayfa 107’de ekile bak). ONB ~  olduunu görüyorsun. Üçgenlerin benzerliinden gerekir, yani y1 : x1 = 2 : 1; y1 = 2x1 ‘dir. Demek ki, B(x1, y1) noktası y = 2x fonksiyonun grafiine aittir. OA dorusuna ait olmayan ve B noktasıyla eit apsisli olan C noktasını seçelim (ekile bak). gerekir. olduuna göre yani C noktası y = 2x y1 = 2x1 olduundan koulunu salamaz. Demek ki C noktası fonksiyonun grafiine ait deildir. y = 2x fonksiyonunun grafii, koordinat balangıcından geçen bir dorudur diyebiliriz. Genel olarak u özellik geçerlidir.

Teorem 1 y = kx lineer fonksiyonunun grafii, her k ‫ א‬R için, koordinat balangıcından geçen bir dorudur. y = -3x fonksiyonu veriliyor. A(1, -3) ve B(-1, 3) noktaları fonksiyonun grafiine ait olup olmadıını yokla. Fonksiyonu grafiksel ekilde göster. 3.

ekilde y = 2x fonksiyonunun grafii verilmi ve P ve B noktalarından bir doru çizilmitir. PB dorusu y = 2x + 3 fonksiyonunun grafii olduunu göster. y = 2x + 3 fonksiyonun grafiinin y eksenini kestii P noktasının koordinatlarını belirt. ekilde, y = 2x + 3 fonksiyonun grafiine ait olan B noktasının koordinatlarını belirt. ve belirtilsin. Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. x = 0 için, y = 2 · 0 + 3; y = 3 elde edilir. y = 2x + 3 fonksiyonun grafii y ekseni P noktasında koordinatları olan P(0, 3) keser, x = 1 için, y = 2 · 1 + 3; y = 5 elde edilir. B(1, 5) noktası y = 2x + 3 fonksiyonun grafiine aittir, x deikenine a deerini koyarsak, y = 2x fonksiyonu 2a deerini alır, y = 2x + 3 fonksiyonun deeri de 2a + 3 olur. Farkettiin gibi, y = 2x + 3 fonksiyonun grafiine ait her noktanın ordinatı, 3 kadar (serbest terim olduu kadar) y = 2x fonksiyonun ordinatından aynı apsise göre büyüktür. OP ve AB doru parçaları paraleldir, ve ’dir. O halde OABP dörtgeni paralelkenardır, oradan da OA ve PB doruları paraleldir. y = 2x + 3 lineer fonksiyonunun grafii y = 2x lineer fonksiyonun grafiiyle paralel olduunu ve ordinat ekseninin (0, 3) noktasından kestiini görüyorsun. Genel olarak u teorem geçerlidir:

Teorem 2 y = kx + n fonksiyonunun grafii y + kx fonksiyonun grafiiyle paralel olan ve y eksenini (0, n) noktasında kesen bir dorudur. y = 2x – 3 fonksiyonunun grafii, y eksenini kestii noktanın koordinatlarını belirt.

5.

y = 3x – 2 fonksiyonunu grafiksel ekilde göster. Bir doru kaç nokta ile bellidir? Bu özellii ödevin çözümünde kullanabilir misin?

Doru, kendine ait olan iki nokta ile tamamen bellidir. Demek ki doruya ait olan iki noktanın koordinatlarını belirtmem gerekir.

Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır.

Lineer Fonksiyonlar

109

ncele ve unutma! Lineer fonksiyonu grafiksel ekilde göstermek için, kendine ait en az 2 noktanın koordinatları belirtilir, ondan sonra noktalar koordinat sisteminde gösterilir ve onlardan geçen doru çizilir. Elde edilen doru verilen fonksiyonun grafiidir. y = -2x + 1 fonksiyonunu grafiksel ekilde göster. ekilde y = x – 2 fonksiyonun grafii gösterilmitir. Grafiin apsis ekseniyle kesiimi olan A noktasının koordinatlarını belirt. Fonksiyonun sıfırını belirt. Fonksiyonun sıfırını ve kesiim noktasının apsisini karılatır. Ne farkediyorsun? Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır. y = 0 ise, 0 = x – 2, x = 2 yani A(2, 0) fonksiyonun sıfırı 2’dir.

Unutma! Lineer fonksiyonun grafiini gösteren dorunun x ekseniyle kesiip noktasının apsisi, fonksiyonun sıfırıdır.

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

Verilen bir nokta fonksiyonun grafiine ait olduunu ifade edesin; Fonksiyonun grafii ordinat eksenini kestii noktanın koordinatlarını belirtesin;

A(0, 0), B(2, 6) ve C(-1, 3) noktalarından hangisi y = -3x fonksiyonun grafiine aittir? y = 2x – 1 fonksiyonunu grafiksel ekilde göster.

Lineer fonksiyonu grafiksel gösteresin;

Grafikten, fonksiyonun sıfırını belirt ve ondan sonra yoklamasını yap.

Fonksiyonun grafiinden fonksiyonun sıfırını belirtesin.

Ödevler A(-2, -5), B(-1, -2), C(0, 3) ve D(2, -1) noktalarından hangisi y = x – 3 fonksiyonun grafiine aittir.

2. x’in hangi deeri için A(x, 2) noktası

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

y = 3x – 1 fonksiyonun grafiine aittir?

Verilen fonksiyonları grafiksel ekilde göster: y = 3x; y = 3x + 2; y = 3x – 2. y = 2x – 4 fonksiyonunun apsis eksenini kestii noktanın koordinatlarını belirt.

y = -2x + n fonksiyonunda n o ekilde belirtilsin ki P(1, 3) noktası onun grafiine ait olsun. y = kx – 2 fonksiyonunda k’yı o ekilde belirt ki A(1, 0) noktası onun grafiine ait olsun.

BAZI LNEER FONKSYONLARIN GRAFKLER ARASINDAK DURUMLAR Anımsa! y = kx fonksiyonun grafii koordinat balangıcından geçer. u fonksiyonlardan hangisini grafiin koordinat balangıcından geçer: ? u fonksiyonlardan hangilerinin:

u fonksiyonların grafiklerini aynı koordinat sisteminde göster: Verilen fonksiyonların neleri ortaktır, incele. y = 2x – 3 ve y = 2x + 3 fonksiyonların grafikleri y = 2x fonksiyonunun grafiiyle nasıl durumdadır?

deiken önündeki katsayıları aynıdır?

ekilde, lineer fonksiyonların grafikleri verilmitir. Onların deiken önündeki katsayıları nasıldır? Grafiklerin durumu birbirine göre nasıldır? Verilen lineer fonksiyonların deiken önündeki katsayıları aynıdır ve grafikleri biribirine paralel olan dorulardır. Deiken önündeki katsayıları aynı olan her fonksiyon için geçerlidir.

Unutma! Deiken önündeki katsayıları aynı olan lineer fonksiyonların grafikleri paralel dorulardır. 2.

fonksiyonu veriliyor.

fonksiyonlarından

hangisinin grafii verilen fonksiyonun grafiine paralel olan dorudur? Lineer Fonksiyonlar

111

y = kx – 3 fonksiyonunda k o ekilde belirtilsin ki, elde edilecek fonksiyonun grafii y = 5x – 2 fonksiyonun grafiine paralel olacak bir doru olsun. 4.

u fonksiyonları aynı koordinat sisteminde grafiksel ekilde göster: y = x +3; y = -x + 3. y = -2x + 3; Fonksiyonların herbirinin y eksenini kestii noktanın koordinatlarını belirt. Verilen fonksiyonların neyi ortaktır gözetle.

Fonksiyonların serbest terimlerine bakınız. Onlar birbirine göre nasıldır?

Verilen fonksiyonların serbest terimi +3 olarak hepsinin aynıdır, bilinmeyen önündeki katsayıları ise farklıdır. Onlar ordinat eksenini koordinatları (0,3) noktada kesiyorlar.

Bu özellik n serbest terimleri aynı olan bütün lineer fonksiyonlar için geçerlidir.

Unutma! Serbest terimleri aynı olan lineer fonksiyonların grafikleri, ordinat eksenini koordinatları (0, n) olan noktada kesen bir dorudur. u fonksiyonlar verilimitir:

ve

Bu fonksiyonların hangilerinin grafikleri y ekseninde bir noktada kesiiyorlar? Elde edilen noktanın koordinatlarını belirt. fonksiyonun grafii, y eksenini kestii noktanın koordinatlarını belirt.

a) k = 0, n = 3; b) k = 0, n = 1; ve c) k = 0, n = -2 verilmi olan fonksiyonu yaz. Elde edilen fonksiyonları grafiksel ekilde göster. Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. 7.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Verilen fonksiyonlarda deiken önündeki katsayıların 0 olduunu ve onların grafiklerinin apsis eksenine paralel dorular olduunu görüyorsun. y = 0 · x + n , y = n fonksiyonunda , x’in her deeri için fonksiyonun deeri n’dir. O halde y = n fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.

ncele ve unutma! y = n sabit fonksiyonun grafii x eksenine paralel olan dorudur. Onun grafii y eksenini ( 0, n) noktasında keser.

Bilmen gerekenler: Lineer fonksiyonların grafiklerinin hangi durumda paralel dorular olduununu açıklayasın; Hangi durumda lineer fonksiyonların grafikleri y ekseninde aynı noktada kesitiini açıklayasın; Sabit fonksiyonu grafiksel ekilde gösteresin.

Kendini yokla! y = 2x – 3 fonksiyonu verilmitir. u fonksiyonlardan y = -2x + 3, y = 2x – 1 ve hangisinin grafiinde olan doru: a) verilenlen fonksiyonun grafiiyle paralel dorudur; b) ordinat eksenini, verilen fonksiyonun grafii ile aynı noktada keser?

Ödevler u fonksiyonlardan hangisinin grafii:

y = 2x + n fonksiyonunda n o ekilde belirtilsin ki, M(0, -1) noktası fonksiyonunun grafiine ait olsun.

y = 3x fonksiyonun grafiiyle paralel olan dorudur? k o ekilde belirtilsin ki y = kx + 2 fonksiyonun grafii, fonksiyonun grafiiyle paralel olan bir doru olsun. k ve n o ekilde belirtilsin ki, y = kx + n fonksiyonun grafii y = 2x – 1 fonksiyonun grafiiyle paralel olsun ve ordinat eksenini M(0, -3) noktasında kessin.

k ve n o ekilde belirtilsin ki, y = kx + n fonksiyonun grafii y = -2x – 1 fonksiyonun grafiiyle paralel olsun ve P(-2, 6) noktası fonksiyonun grafiine ait olsun.

y = -3; y = 2 ve y = 4 fonksiyonlarını grafiksel ekilde aynı koordinat sisteminde göster.

Lineer Fonksiyonlar

113

LNEER FONKSYONUN ARTMASI VE EKSLMES y = 3x – 2 lineer fonksiyonu verilmitir. x ‫{א‬-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere fonksiyonu tablo ile göster. Fonksiyonu grafiksel ekilde göster. x deikenin artmasıyla fonksiyonun deerleri nasıl deiir?

Anımsa! ekilde Oxy koordinat sistemi gösterilmitir.

Çözümünüzü verilen çözümle karılatır. y = 3x - 2

x ekseninde gösterilen sayılar soldan saa doru büyüklüklerine göre nasıl deiiyorlar? y ekseninde gösterilen sayılar yukardan aaıya doru büyüklüklerine göre nasıl deiiyorlar?

Tablodan farkedebilirsin ki: eer deikenin deeri artarsa fonksiyonun da deeri artar.

Bu nedenle y = 3x – 2 fonksiyonuna artandır denir.

Genel olarak y = kx + n lineer fonksiyonunda deikenin deerlerinin artmasıyla y fonksiyonunun da deeri artarsa, lineer fonksiyon artandır denir. y = 4x – 1 fonksiyonu verilmitir x ‫{א‬0, 1, 2, 3} olmak üzere fonksiyonu tablo ile göster. Fonksiyon artan mıdır? Salamasını yap.

3.

y = -2x + 1 fonksiyonu verilmitir. x ‫{א‬-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere fonksiyonu tablo ile ve grafiksel ekilde göster.

Deikenin deerinin artmasıyla fonksiyonun deerleri nasıl deiir?

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Çözümünü verilen çözümle karılatır

Tablodan görüldüü gibi: x deikeninin artmasıyla y fonksiyonunun deeri azalır. Bu nedenle y = -2x + 1 fonksiyonuna eksilendir denir.

Genel olarak y = kx + n lineer fonksiyonunda, x deikenin artmasıyla fonksiyonun deeri azalırsa, lineer fonksiyona eksilendir denir.

4.

y = -3x + 2 fonksiyonu verilmitir. x ‫{א‬0, 1, 2, 3} olmak üzere fonksiyonu tablo ile göster. Fonksiyon eksilen midir? Salamasını yap.

5.

u fonksiyonların deiken önündeki katsayısı nasıl sayıdır (pozitif veya negatif): y = 3x – 2 ve y = 4x – 1 (ödev 1 ve 2’den). u fonksiyonların deiken önündeki katsayısı nasıl sayıdır: y = -2x + 1 ve y = 3x + 2 (ödev 3 ve 4’ten). Fonksiyonlardan hangileri artan, hangileri ise eksilendir? Verilen fonksiyonlar için nasıl sonuca vardın: onlar ne zaman artan, ne zaman ise eksilendirler?

y = 3x – 2 ve y = 4x – 1 fonksiyonlarında deiken önündeki katsayı pozitif sayıdır, dolayısıyla onlar artan fonksiyonlardır. y = -2x + 1 ve y = -3x + 2 fonksiyonlarında deiken önündeki katsayı negatif sayıdır, dolayısıyla onlar eksilen fonksiyonlardır.

y = 3x – 2 ve y = 4x – 1, ya da y = -2x + 1 ve y = -3x + 2 fonksiyonları için farkettiklerin genel olarak bütün lineer fonksiyonlar için geçerlidir.

Unutma! y = kx + n fonksiyonunda k sayısı pozitif ise fonksiyon artandır, eer k < 0 ise fonksiyon eksilendir. Eer k = 0, o zaman fonksiyon y = n ne artan ne de eksilendir.

6.

u fonksiyonlardan hangileri artan hangileri ise eksilendir:

Lineer Fonksiyonlar

115

Bilmen gerekenler: Bir fonksiyonun artan veya eksilen olduunu tespit et; Bir fonksiyonun artan ya da eksilen olduunu belirtmek için uygulanan teebbüsü açıklayasın.

Kendini yokla! Tablodan verilen fonksiyonun artan veya eksilen olduunu belirt.

Verilenlere göre y = kx + n fonksiyonu artan veya eksilendir, eer:

Ödevler Verilen fonksiyonlardan hangileri artandır:

y = 2px – 1 fonksiyonunu grafiksel ekilde göster, ondan sonra artan veya eksilen olduunu belirt.

Verilen fonksiyonlardan hangileri eksilendir:

y = ( a – 3)x + 1 fonksiyonunu grafiksel

olmak üzere k’nın hangi deeri için y = kx + n fonksiyonu: a) artan;

b) eksilendir.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

ekilde göster, ondan sonra artan veya eksilen olduunu belirt.

y = kx + n fonksiyonu y eksenini P(0, 2)

noktasında keser ve A(1, -1) noktasından geçer. Fonksiyonun artan mı yoksa eksilen mi olduunu tespit et.

BR BLNMEYENL LNEER DENKLEMLERN GRAFKSEL Ă&#x2021;Ă&#x2013;ZĂ&#x153;MĂ&#x153; AnÄąmsa!

y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonu verilmitir.

Fonksiyonun sÄąfÄąrÄą deikenin deeridir ve ona gĂśre fonksiyonun deeri sÄąfÄąra eit olur. y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt. y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 fonksiyonun x eksenini kesti-

i noktanÄąn koordinatlarÄąnÄą belirt.

3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin çÜzĂźmĂźnĂź y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄą yardÄąmÄąyla nasÄąl belirteceksin?

Fonksiyonu graďŹ ksel ekilde gĂśster. GraďŹ kten fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt. 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin çÜzĂźmĂźnĂź belirt. y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą ve 3xâ&#x20AC;&#x201C;6 = 0 denklemin çÜzĂźmĂźnĂź karÄąlatÄąr.

y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonunu graďŹ ksel ekil-

de gĂśsterdikten sonra graďŹ in x ekseniyle kesiim noktasÄąnÄąn koordinatlarÄąnÄą belirteceim. Ă&#x2013;yle ki, bu ekilde fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirteceim, ki bu sayÄą 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin çÜzĂźmĂźdĂźr.

Elde ettiin çÜzĂźmĂź verilenle karÄąlatÄąr. GraďŹ in ve x - ekseninin kesiimi M(2, 0) noktasÄądÄąr. y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄą x = 2 â&#x20AC;&#x2DC;dir.

3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin çÜzĂźmĂźnĂź

3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin çÜzĂźmĂźnĂź, y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun graďŹ i ve x ekseninin kestii noktanÄąn apsisidir, yani x = 2. Bu Ăśzellik genel olarak bĂźtĂźn lineer denklemler için geçerlidir.

ncele ve unutma! ax + b = 0 denkleminin çÜzßmß, a  0 için, yani y = ax + b fonksiyonunun x - ekseninin kestii noktanĹn apsisidir.

2.

x + 2 = 0 denklemini graďŹ ksel ekilde çÜz.

Lineer Fonksiyonlar

117

3.

2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = - x + 3 denklemini graďŹ ksel ekilde gĂśster.

2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = - x + 3 denklemini graďŹ ksel ekilde çÜzmek için, Ăśnce onu ax + b = 0 genel ekilde dĂśnĂźtĂźrmelisin. AaÄąda gĂśsterildii gibi hareket et, bununla bu gibi denklemlerin graďŹ ksel ekilde çÜzĂźmĂź için ikinci bir yĂśntem kefet. 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = - x + 3 denklemini çÜz. Denklemin sa ve sol tarafÄąndaki ifadelerle y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 ve y = - x + 3 fonksiyonlarÄąnÄą yaz ve graďŹ ksel ekilde gĂśster. Denklemin çÜzĂźmĂźnĂź, bu iki graďŹ in kesiim noktasÄąnÄąn apsisiyle karÄąlatÄąr. Elde ettiin çÜzĂźmĂź verilenle karÄąlatÄąr.

Farkettiin gibi, fonksiyonlarÄąn graďŹ kleri M(2, 1) noktasÄąnda kesiiyorlar. M noktasÄąnÄąn apsisi x = 2â&#x20AC;&#x2122;dir. Bu ise 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = -x + 3 denkleminin çÜzĂźmĂźdĂźr. Her iki fonksiyonun bilinmeyen ĂśnĂźndeki katsayÄąlarÄą birbirinden farklÄądÄąr (2  -1). GraďŹ klerin bir ortak noktalarÄą vardÄąr, buna gĂśre de denklemin bir tek çÜzĂźmĂź vardÄąr. 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = x + 1 denklemini graďŹ ksel ekilde çÜz. 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 = 2x + 3 denklemini graďŹ ksel ekilde çÜz. Elde edecein fonksiyonlarÄąn bilinmeyen ĂśnĂźndeki katsayÄąlarÄąnÄą karÄąlatÄąr. Ne farkediyorsun? GraďŹ klerin birbirine gĂśre durumu nasÄąldÄąr?

y = 2x -1 ve y = 2x + 3 fonksiyonlarÄąn bi-

linmeyen ĂśnĂźndeki katsayÄąlarÄą eit, serbest terimleri ise farklÄądÄąr. Bu fonksiyonlarÄąn graďŹ kleri paralel dorulardÄąr, yani onlarÄąn ortak noktasÄą yoktur.

Elde ettiin çÜzßmß verilenle karĹlatĹr.

y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 ve y = 2x + 3 fonksiyonlarÄąn graďŹ kleri paralel do-

rulardĹr. OnlarĹn ortak noktasĹ yoktur. Buna gÜre denklemin de çÜzßmß yoktur. Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Verilen denklemlerden hangisinin çözümü yoktur?

2x + 1 = 2x + 1 denklemini grafiksel ekilde çöz. Denklemin sol ve sa taraflarındaki elde ettiin fonksiyonların katsayılarını ve serbest terimlerini karılatır. Ne farkediyorsun?

y = 2x + 1 ve y = 2x + 1 fonksiyon-

larının bilinmeyen önündeki katsayıları ve serbest terimleri birbirine eittir. Buna göre onların grafikleri çakııktır.

Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. 2x + 1 = 2x + 1 denklemi özdeliktir.

Farkettiin gibi, fonksiyonların grafikleri çakıan dorulardır ve denklemin sonsuz çok çözümleri vardır. Verilen denklemlerden 3x – 1 = 2x + 1; 3x – 2 = 3x + 1; 5x – 1 = 5x – 1 hangisinin a) bir tek çözümü vardır; b) çözümü yoktur; c) sonsuz çok çözümleri vardır.

Bilmen gerekenler: Bir bilinmeyenli lineer denklemi grafiksel ekilde çözmen; Grafikten denklemin bir çözümü olduunu, hiçbir çözümü olmadıını, yoksa sonsuz çok çözümün olduunu tespit etmen.

Kendini yokla! ekilden yararlanarak 2x – 1 = x + 1 denkleminin çözümünü belirt. Verilen her denklemin kaç çözümü olduunu belirt:

Ödevler Denklemi grafiksel ekilde çöz:

2x – 3 = kx + 1 denkleminde k öyle bir ekilde belirtilsin ki denklemin çözümü olmasın.

Denklemi grafiksel ekilde çöz: Lineer Fonksiyonlar

119

y = kx + n fonksiyonunda k ve n o ekilde belirtilsin ki, kx + n = 2x + 3 denkleminin sonsuz çok çözümleri olsun.

Dene... Tolstoy biçicileri Bir grup biçici 2 çayırı biçmeliymi. Biri dierinden iki defa daha büyüktür. Tüm biçiciler yarım gün büyük çayırda beraber biçtikten sonra iki eit gruba ayrılmılar. Birinci grup büyük çayırı biçmeye devam ederek akama kadar bütün çayırı biçmiler. kinci grup ise küçük çayırı giderek biçmeye devam etmiler, fakat günün sonunda çayırın bir kısmı biçilmemi kalmı. Kalan kısmı bir biçici ertesi gün bütün gün çalıarak bitirmitir. Grupta kaç biçici varmı?

V E R  L E R L E   L E M L E R RASTGELE OLAY. OLAYIN OLASILII Anımsa! Bir futbol takımı bir maç oynuyor. Sonuç ile ilgili olarak: zafer, yenilgi ya da berabere çıkabilir. Bir kutuda beyaz, siyah ve kırmızı topçaızlar var. Bir topçaız çıkartılır. Çekiliin sonuçları hangileri? Bir oyun zarı masaya atıldıında ve onun durulmasından sonra bır tarafı yukarıdadır. O tarafta bulunan noktaların sayısı ile hangi sonuçlar mümkündür?

Caner bir demir parayı havaya atmı. Bu atıta paranın yere dümesiyle onun yukarıki tarafında iki mümkün olay olabilir: “yazı” ya da ”tura”. Kaç mümkün sonuç var? Caner “yazı”nın çıkmasını ister, yani onun için güzel sonuç “yazı”dır. “yazı”nın “tura”ya göre dümesinin ansları ne? Demir paranın havada atılması kaç defa tekrarlanabilir? Demir paranın havaya atılması bir deneme‘dir. 52 karttan oluan bir desteden bir kartın çekilii deneme için baka bir örnektir. Her sonuç verilen deneme E ile olay gibi adlandırılır, ki bu her denemeye balıdır.

Demir paranın havaya atılması deneyinde “yazı” veya “tura”nın çıkmasının eit ansları vardır. Böyle olaylar eit mümkünlü olaylardır. “Demir paranın havaya atılıı” yani E denemesi aynı artlar üzerinde tekrarlanabilir, yani bizim istediimiz kadar. Buna göre n denemeler dizisi yapılabilir. Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

Bu denemelerden A olayını gözetleyelim: “tura dütü”. p(A) ile denemede A olayının n deneme dibisinde sayısını iaret edelim. Aslında, tabloda A olayının 100’er denemeden oluan 5 dizide “tura dütü” sonucunun gözetlenmesi verilmitir.

yani

her bir dizi

için olan bölümü incele. sütununda sayıların 0,5 sayısına yakın olduklarını göre-

Seri

bilirsin. Eer dizideki denemeleri büyütürürsek, o zaman bölümün sayısı 0,5’e daha yakın olacaktır. Bu sayı A olayının istatistik deeridir. Gerçekletirilen dizilerden

bölümüne yakınlaan sa-

yılara A olayının istatistik olasılıı denir. V(A) ile iaret edilir. Eer n denemeden bir diziyi gözetlersek, o zaman p(A) sayısı A olayında en az 0 veya en çok n olabilir, yani 0  p(A)  n. Eer bunu n ile bölersek

yani

elde edeceiz. n denemesinin her bir dizisi için

sayısı 0 ve 1 arasında olduunu gördün. Buna göre

A olayının istatistik olasılıı 0 ve 1 arasındadır, yani 0  V(A)  1. A olayı: “tura dütü” “demir paranın havaya atılıı” denemesinde rastgele olay gibi adlandırılır.

Genel olarak Aaıda verilen iki koul geçerli ise, bir A olayı E denemesinde rastgele olaydır. E denemesi aynı artlar üzerinde istediimiz kadar tekraranabilir. E denemesinin birçok gerçekletirilen dizilerinde

’nin yaklaık eit bölümleri

vardır. Ceyda’nın çarkıfelek denilen yeni oyuncaı vardır. Eer oku döndürürse, üç olay mümkündür: ok ya kırmızı, ya sarı ya mavi bölgeyi gösterecektir. Her bölgenin büyüklüüne dikkat et. Her olayın eit olasılıı var mıdır? Hayır ise, hangi olay en çok mümkündür? Lineer Fonksiyonlar

121

Olayların eit olasılıı yoktur, çünkü boyalı olan üç bölge aynı büyüklükte deildir. Okun kırmızı bölgeyi gösterme ansı en büyüktür, çünkü kırmı bölgenin en büyük alanı vardır. Demek ki okun kırmızı bölgede durulması en mümkün veya en ihtimalli olaydır. Denemelerle ilgili ekilleri incele. Her deneme için unları yaz: Mümkün olaylar; Olay eit olasıklı mıdır; Olaylar eit olasıklı deilse hangisin ihtimali en çoktur.

Çarkıfelekte okun dönmesi

Yüzleri A, B, C, Ç, D, E harfleriyle iaretlenen zarın atılıı

Basket topunun atılıı

Çarkıfelekte okun dönmesi

Aynı anda atılan kırmızı ve mavi zar (olaylar düzenli çiftlerdir)

ki denarlık demir paranın atılıı

Bir denemenin sonucu, kesin olay, imkansız olay veya mümkün (ihtimalli) olay olabilir. u örnekleri incele: Renkli topçaızlarla dolu üç kutu verilmitir. Topçaızlara bakmadan çekilen topçaızların sayısı her kutu altında yazılıdır.

ÇNDE

Siyah topçaızın çekilii mümkündür. Kırmızı topçaızın çekilii imkansızdır.

ÇNDE

Kırmızı ya da siyah topçaızın çekilii mümkündür. Beyaz topçaızın çekilii imkansızdır.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

ÇNDE

Kırmızı ya da siyah topçaızın çekilii mümkündür. Kırmızı topçaızın kara topçaıza göre çekilii daha çok mümkündür.

Bir olayın meydana gelii kesin ise, onun olasılıı 1’dir, veya 100%’dür deriz. Örnek, birinci kutudan siyah topcaızın çıkması. Bir olayın meydana gelii imkansız ise, onun olasılıı 0’dır deriz. Örnek, ikinci kutudan beyaz topçaızın çıkması. Bütün dier olasılıklar 0 ile 1 arasındadır. Örnek, üçüncü kutudan çekilen kırmızı bilye gibi.

5.

Olasılık basamaını gözet. imkansız

kesin

eit mümkünlü

az ihtimalli

çok olasılıklı

Olasılık basamaından faydalanarak, aaıdaki listede her bir olay ile ilgili cevabı yaz:

1

Yarın Mars’a yolcusun.

2

Bu akam matematikten ev ödevini yazacaksın.

3

Senin tüm arkadaların yarın okula gidecekler.

4

Bugün yamur yaacak.

5

Bu yıl bir yanarda aktif olacak.

6

Austos'ta kar yaacak.

7 8

Bu yıl yamur yaacak. Plastik ieyi fırlatırsan, kırılacaktır.

9

Vapurla Üsküp’ten Manastır’a gideceksin.

eit mümkünlü

az ihtimalli

Olay

kesin

çok olasıklı

a) Olayın gerçeklemesi için olasılıın ne kadar olduunu u sözlerle ifade et: imkansız, az ihtimalli, eit mümkünlü, çok olasılıklı, kesin; b) Verilen basamak gibi sen de bir basamak çiz ve olayın olasılık derecesine göre üzerinde 1, 2, 3, ... 10, ile olayları iaret et; c) Herbir cevabı açıkla.

10 Bir zar atarsan 5 düecektir imkansız

Lineer Fonksiyonlar

123

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Mümkün ve mümkün olmayan olayları farketmeni; Rastgele olay hangi olay olduunu açıklamayı; Olasılık deeri 0, 0 ve 1 arası ve 1 olan olaylar için örnekler sunmayı; Daha basit denemelerde olayın olasılık deerini belirtmelisin.

Birer örnek yaz: Olasılık deeri 0 olan olay; Olasılık deeri 0,5 olan olay; Olasılık deeri 1 olan olay.

Ödevler 3. ANANAS sözünün her harfini birer

Çarkıfeleklere dikkat et:

a)

b)

c)

kartta yaz. Kartları karıtır ve bakmadan bir kart çek. u çekili olasılıklarını açıkla: a) N harfı; b) A harfı; c) A ya da N harfı; ç) S harfı. ANA adını kesinlikle elde etmek için en az kaç kart çekmelisin?

ç)

Okun mavi bölgede durması olayının doru olasılık sırası aaıdakilerden hangisi olabilir? a ç a c

b c c b

c b b ç

ç; a; ç; a.

Bir torbada 2 mavi ve 3 turuncu küp vardır. Çekiliin olasılıını yaz:

Dene: Bir çekmecede siyah ve kırmızı çoraplar var. Sedat, bakmadan kesinlikle aynı renkte bir çift çorap çekmek için çekmeceden kaç defa birer çorap çekmelidir ?

Mavi küp; Turuncu küp; Ya mavi ya da turuncu küp; Sarı küp.

Konu 2. Lineer denklemler eitsizlikler ve lineer fonksiyon

LNEER DENKLEM, LNEER ETSZLK VE LNEER FONKSYON ÇN OKUDUN. BLDKLERN KONTROL ET x = 3 deeri 3x – 2 = x + 4 denkleminin çözümü olup olmadıını yokla.

Eitsizlii çöz:

5x – 3 = 2x + 3 denkleminin çözümü x = 2 ‘dir. u denklemlerden hangisinin verilene denk olduunu yokla: Çözümü aralıkla ve grafiksel biçimde göster. Verilen eitsizlikler sistemini çöz:

Denklemi çöz:

ax + 4 = 5x – a + 11 denkleminde a öyle bir ekilde belirtilsin ki, x = -2 denkleminin çözümü olsun. Ardıık üç doal sayının toplamı 84’tür. Onlar hangi sayılardır? A yerinden B yerine gitmek için saatte 50 km hızla bir kamyon hareket etmi. ki saat sonra A yerinden saatte 75 km hızla bir otomobil hareket etmitir. Otomobil, kamyonu B yerinde yetitirmi. A ve B yerleri arasındaki uzaklıı belirt.

Sistemin çözümünü aralıkla ve grafiksel ekilde göster. y = 2x – 3 lineer fonksiyonu verilmitir. Fonksiyonu grafiksel ekilde göster. Fonksiyonun sıfırını belirt. y = 2x – 3 fonksiyonu verilmitir. A(0, -3), B(1, 1) ve C(2, 1) noktalarından hangisi fonksiyonun grafiine ait olduunu belirt. y = 2x + n fonksiyonunda n öyle bir ekilde belirtilsin ki M(1, -1) noktası fonksiyonun grafiine ait olsun.

x = -1 deeri 3x2 – 2x > x + 3 eitsizliinin çözümü olup olmadıını yokla.

u fonksiyonlardan hangileri artan, hangileri ise eksilendir:

D = {0, 1, 2, 3} kümesinde 2x – 1 > x – 2; 3x + 1 > 2x – 3 eitsizlikleri verilmitir. Verilen eitsizliklerin denk olup olmadıklarını kontrol et.

Verilen denklemi grafiksel ekilde çöz 3x – 1 = x + 3.

Bildiklerini kontrol et

125

KONU 3.

LNEER DENKLEMLER SSTEM

K BLNMEYENL LNEER DENKLEMLER 1. ki bilinmeyenli lineer denklermler 128 2. Denk iki bilinmeyenli lineer denklemler 131 K BLNMEYENL LNEER DENKLEMLER SSTEM 3.ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi 4.ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin grafiksel çözümü

134 138

5. ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin yerine koyma metoduyla çözümü 6. ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin ters katsayılar metoduyla çözümü 7. ki bilinmeyenli iki lineer sisteminin uygulanması 8.Dirihle prensibine göre problemlerin çözümü Bildiklerini kontrol et

141

145 148 153 157

K BLNMEYENL LNEER DENKLEMLER K BLNMEYENL LNEER DENKLEM Anımsa! Bilinmeyenlerin sayısına göre bir denklem: - Bir bilinmeyenli; - ki bilinmeyenli vb. olabilir Bilinmeyenin derecesine göre denklem: - Lineer (birinci derece denklem); - Kareli (ikinci derece denklem); - Küplü (üçüncü derece denklem) vb. olabilir. Bir denklemin parametreleri olup olmadıına göre: - Parametreli denklem; - Özel katsayılı denklem olabilir. Denklemleri incele: Verilen her denklemin bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilinmeyenlerin derecesine göre cinsini belirt. Onlardan hangisi parametreli denklemdir?

Hasan ve Mustafa’nın beraber 9 tane ekeri var. Hasan’ın kaç tane, Mustafa’nın ise kaç tane ekeri var? Ödevin kaç çözümü olabilir? Ödevin u çözümlerini gözetle: Hasan Mustafa

(0, 9) sıralı çifti Hasan’ın 0 ekeri, Mustafa’nın 9 ekeri olduu çözüm olsun. Birinci eleman Hasan’ın eker sayısı, ikinci eleman ise Mustafa’nın eker sayısını gösterecek ekilde dier çözümlere ait tüm sıralı çiftleri yaz. x sayısı Hasan’ın eker sayısı, y ise Mustafa’nın eker sayısı olsun. Hasan’ın ve Mustafa’nın beraber 9 ekeri vardır tümcesi x + y = 9 formülü gibi yazılabilir.

x + y = 9 denkleminde x ve y bilinmeyenlerin deerleri, toplamı 9 hangi deerleri x, hangi- olan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesilerini de y alabilir? nin elemanıdır. A = {0, 1, 2, 3, ..., 9} kümesinin elemanlarına x + y = 9 denkleminin tanım kümesi denir. R = {(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)} sıralı çiftlerin kümesine ise x + y = 9 denkleminin çözümler kümesi denir. x + y = 9 denklemi, bilinmeyenlerin sayısına göre 2 bilinmeyenli, bilinmeyenlerin derecesine göre ise lineer olduunu gözetle. Bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilinmeyenlerin derecesine göre 2x – y = 5 denkleminin cinsini belirt. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Bir denklemin tanım kümesi verilmemi olduu durumda, onun tanım kümesi R reel sayılar kümesi olduunu sayacaız.

Unutma! a, b ve c reel sayılar (katsayılar)- x ve y ise reel bilinmeyenler olmak üzere, ax + by = c eklinden denklemine iki bilinmeyenli lineer denklem denir. 4x + 3y = 9 denklemini gözetle. Bu denklem birinci derece iki bilinmeyenli denklemdir; bilinmeyenleri x ve y ve katsayıları 4, 3 ve 9 sayılarıdır.

2. 3x + y = 7 denklemi verilmitir. Denklemi doru sayı eitliine dönütürecek x ve y için birkaç deer bul. u örnei gözetle: x = 1 ve y = 4 deerleri ile 3x + y = 7; 3 · 1 + 4 = 7; 7 = 7 elde edilir. (x, y) = (1, 4) sıralı çifti denklemin bir çözümü olduunu gör.

(x, y) sıralı çifti verilen denklemin çözümü olup olmadıını yokla, eer: a) x = 2 ve y = 1; c) x = 4 ve y = –5; b) x = 1 ve y = 3; ç) x = –1 ve y = 10.

ki bilinmeyenli lineer denklemin çözümü, denklemi doru sayı eitliine dönütüren her reel sayı çiftidir. M = {(x, y) | x, y ‫ א‬R ve 3x + y = 7} kümesi 3x + y = 7 denkleminin çözümler kümesidir.

3.

(x, y) = (4, -6) sıralı çifti

denkleminin çözümü olup olmadıını yokla.

3(u – 2) = 2(1 – v) denklemi, u = 0 ve v = -5 için doru sayı eitliine dönüür mü?

4. x – 2y = 4 denklemi verilmitir. Onun üç tane çözümünü belirt. Çözüm kaidesini takip et. x için tahminen bir reel sayı seçilir. Örnein, x = 3 olsun. x’in deeri 3 – 2y = 4 denkleminde deitirilir. Elde edilen bir bilinmeyenli lineer denklem çözülür; yani:

Demek ki,

sıralı çifti verilen denklemin bir çözümüdür.

Gösterilen yönteme göre, verilen denklemin daha 2 çözümünü belirt. ki bilinmeyenli lineer denklemler

129

Bilmen gerekenler: Hangi denklemin 2 bilinmeyenli lineer denklemdir; ki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümünü belirtesin.

Kendini yokla! x + 5 = y – 3; y – 7x = 10 ve 9 = 2y denklemlerinden hangisi 2 bilinmeyenli lineer denklemdir? (1, 6) sıralı çifti 3x – y = -3 denkleminin çözümü müdür?

Ödevler Verilen her denklemin bilinmeyenlerini ve katsayılarını yaz:

ki bilinmeyenli lineer denklemde bilinmeyenlerden biri, verilen bir sayı deeriyle deitirildikten sonra, denklem: a) doru sayı eitsizliine dönüür; b) bir bilinmeyenli lineer denkleme dönüür; c) iki bilinmeyenli lineer denkleme dönüür;

a) (4, -6) sıralı çifti denkleminin çözümü mü-

ç) lineer eitsizlie dönüür. Bu iddialardan hangisi dorudur?

dür? b) (0, ,5) sıralı çifti 3(u – 2) = 2(1 – v) denklemin çözümü müdür? (x, y) sıralı çiftinde bilinmeyen elemanı o ekilde belirt ki, karılık gelen denklem doru sayı eitliine dönüsün. a) b) c)

Konu 3.

denklem denklem denklem

Lineer denklemler sistemi

2x + y = -1, x ‫{ א‬-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere, denklemin çözümlerini belirtiniz. 3(x + y) = 2x – 3 denkleminde verilen sıraya göre istenilen ilemleri yap. 1o denklemdeki parantezlerden kurtul; 2o bilinmeyen terimleri eitlik iaretinin sol tarafına, bilinmeyeni olmayan terimleri ise sa tarafta yaz. 3o sol taraftaki ifadeyi normal ekile dönütür. Hangi denklem elde edilecek?

K BLNMEYENL DENK LNEER DENKLEMLER Anımsa! ki bilinmeyenli lineer denklemin çözümü hangi sıralı çifttir?

u denklemlerin y = 4 için çözümünü belirt: ve

(x, y) = (-1, 2) sıralı çifti 2x – y = -4 ve 3x – y = x – 4 denklemlerin çözümü müdür?

için Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır. Çözüm:

Çözüm: (

, 4) sıralı çifti, hem A hem de B denkleminin çözümüdür.

x için bir deer seç ve o deer için A ve B denklemlerinin çözümünü belirt. Ne farkediyorsun?

2.

3(x + 2y) = 5y + 1 ve 3x + y = 1 denklemlerin x ‫{ א‬-1, 0, 1, 2} için çözümlerinin aynı olup olmadıını yokla: x = -1 için yapılan ilemi gözetle:

ncele ve unutma ki bilinmeyenli iki denklemin çözümleri aynı ise, onlar denk denklemlerdir. Bir bilinmeyenli lineer denklemlerde olduu gibi, iki bilinmeyenli lineer denklemlerde de dönüümler yaparak denklem ax + by = c en sade ekilde dönütürülebilir. Denklemlere yapılan dönüümleri incele. P1

ve P2 ki bilinmeyenli lineer denklemler

131

(T) Dönüümü

Denklem D2;

Denklem D1;

T1: Denklemin bir tarafı kendine denk bir ifadeyle deitirilir T2: Denklemin her terimi bir taraftan dier tarafa ters iaretle geçebilir: bilinmeyenler sol tarafa, bilinenler ise sa tarafa

T3: Denklemin iki tarafı sıfırdan farklı aynı bir sayıyla çarpılır. Fark ettiin gibi çeitli dönüümlerden yararlanarak D1 ve D2 denklemleri: x + 2y = 5 ve 7x + 6y = 15 ekline dönüür, yani ax + by = c. Artık bu ekilde olan denklemlerin çözümünü daha kolay bulabilirsin. x = k, k ‫ א‬R, için denklemin çözümler kümesi belirtilir:

a) k = 0; b) k = 2; c) k = 4 için D1 ve D2 denklemlerin çözümünü belirt. Denklemin çözümler kümesini belirt:

a) y = 3x – 5;

b) x – 1 = 3x – y.

4. – 2x + y = 1 denkleminin çözümler kümesini belirt, ondan sonra dik açılı koordinat sisteminde grafiksel bir ekilde göster. Yapılan ilemi incele ve elde ettiin çözümü verilenle karılatır. – 2x + y = 1 ֞ y = 2x + 1; x = k, k ‫ א‬R, y = 2k + 1. Denklemin çözümler kümesi {(k, 2k + 1) l k ‫א‬R} ‘dir. R(– 2x + y = 1) = {(k, 2k + 1) l k ‫ א‬R} eklinde yazıyoruz. a) k = -1; b) k = 0; c) k = 1 için denklemin çözümünü belirt. R kümesinde – 2x + y = 1 denklemiyle y = 2x + 1 lineer fonksiyonun belirtildiini görebilirsin. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

ekilde y = 2x + 1 lineer fonksiyonu grafiksel ekilde gösterilmitir. Lineer fonksiyonun grafiine ait (x, y ) sıralı çiftleri y = 2x + 1 denkleminin de çözümleridir. Bu çiftler – 2x + y = 1 denklemin nesidir?

– 2x + y = 1 ֞ y = 2x + 1 olduuna göre, y = 2x + 1 fonksiyonuna ait herhangi noktanın koordinatlarının sıralı çifti – 2x + y = 1 denkleminin de çözümüdür.

Farkettiin gibi, y = 2x + 1 lineer fonksiyonun grafiiyle – 2x + y = 1 denkleminin çözümler kümesi gösterilmitir. Buna denklemin grafii denir. A(-1, -1); B(0, 1); C(1, 3) ve D(2, 5) noktaların koordinatları olan sıralı çiftler – 2x + y = 1 denkleminin çözümü olup olmadıını yokla.

5. 3x – y = 1 denkleminin çözümler kümesini belirt. (- 1, - 4) sıralı çifti denkleminin çözümü olup olmadıını yokla. Denklemin çözümler kümesini grafiksel ekilde göster. Denklemin grafiinden S (2, ) noktasının ikinci koordinatını bul. Elde edilen sıralı çift 3x – y = 1 denkleminin de çözümü olduunu görebilirsin.

Bilmen gerekenler: Hangi iki bilinmeyenli lineer denklemler denktir; Verilen iki bilinmeyenli lineer denkleme denk denklem elde edilmesi için dönüümlerden yararlanasın; Denklemin çözümler kümesini belirtesin; Denklemin çözümler kümesini grafiksel gösteresin.

Ödevler

Kendini yokla! Dönüümlerden yararlanarak x + 2y = 6 denklemi denklemiyle denk olup olmadıını kontrol et. ki bilinmeyenli lineer denklemin {(k, k - 1) l k ‫ א‬R} çözümler kümesini grafiksel göster. Verilen her denklemin çözümler kümesini belirt ve grafiksel ekilde göster:

Denklemin çözümler kümesini belirt:

Denk dönüümler uygulayarak verilen her denklemi ax + by = c biçiminde dönütür;

p parametresinin deerini o ekilde belirt ki (0, 1) sıralı çifti (p – 5)x – 3p – 1)y = 5 – p denklemin çözümü olsun.

ki bilinmeyenli lineer denklemler

K BLNMEYENL LNEER DENKLEMLER SSTEM K BLNMEYENL K LNEER DENKLEM SSTEM Anımsa! Hangi denklem iki bilinmeyenli lineer denklem denir? Verilen iki bilinmeyenli lineer denklemin çözümler kümesini belirt. Denklemin kaç çözümü var?

nci ve Merve’nin birer balık akvaryumu vardır. ki akvaryumdaki balıkların toplamı 10’dur. nci’nin ve Merve’nin akvaryumlarındaki balık sayısının farkı 4’tür. nci’nin ve Merve’nin akvaryumlarında kaçar balık vardır?

Çözümü incele: nci’nin akvaryumunda x balık, Merve’nin akvaryumunda ise y balık olsun. Ödevin birinci kouluna göre: x ve y deikenleri A = {1, 2, 3, ..., 9} kümesinden deerler alıyorlar, neden? Tabloda denklemin çözümleri verilmitir. kinci koula göre: Tabloyu gözetle ve çözümleri gör. Bir akvaryumda 7 balık (nci’nin), dierinde ise (Merve’nin) 3 balık var. Onların toplamı 7 + 3 = 10, farkı ise 7 – 3 = 4 tür. Elde edilen (x, y) sıralı çiftlerinden hangisi iki denklemin ortak çözümü olduunu belirt. (x, y) = (7, 3) sıralı çifti x + y = 10 ve x – y = 4 denklemlerinin ortak çözümüdür. Demek ki, bu ödevi çözerken her iki bilinmeyenli lineer denklemin ortak çözümünü belirttin, yani onların çözümler kümelerinin kesiimini belirttin.

Unutma! ki bilinmeyenli iki lineer denklemin ortak çözümü arandıı zaman, yani onların çözüm kümelerinin kesiimine iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi denir. biçiminde yazılır; burada x ve y bilinmeyenler, a1, a2, b1, b2, c1, c2 reel sayılardır (katsayılardır).

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Ödev 1’deki denklemleri sistem biçiminde yaz ve sistemin bilinmeyenlerini ve katsayılarını belirt. Sistemi incele: Bilinmeyenleri adlandır.

Sistemin katsayılarını belirt.

(x, y) = (2, -1) sıralı çiftin 3x + 2y = 4 denkleminin çözümü olduunu yokla. (x, y) = (2, -1) sıralı çiftin x – y = 3 denkleminin çözümün olduunu yokla. (2, -1) sıralı çifti sistemin iki denkleminin ortak çözümü olduunu gözetle, yani (x, y) = (2, -1) sıralı çifti sistemin çözümüdür. Genel olarak, iki bilinmeyenli iki lineer denklemin çözümü, her iki denklemin ortak çözümü olan sıralı çifttir. (-2, 3) sıralı çifti verilen sistemlerden hangisinin çözümü olduunu yokla:

u sistemler verilmitir:

Anımsa! Verilen bir sistemde, eitsizliklerden biri, kendine denk olan bir eitsizlikle deitiriliyorsa, verilene denk olan eitsizlik sistemi elde edilir. Neden sistemi

3

sistemiyle denktir?

ki bilinmeyenli iki lineer denklemin çözümler kümeleri eit ise, onlara denk denklemler denir. 3(x + 2y) = 5y + 1 ve 3x + y = 1 denklemlerin denk olduklarını yokla.

A:

B:

A sisteminin çözümler kümesi, x + y = 5 denkleminin {(k, 5 – k) | k ‫ א‬R} çözümleri ve 3x – y = 3 denkleminin {(k, 3(k – 1) | k ‫ א‬R} çözümlerinin kesiimidir. Çözüm kümelerinin kesiimini sıralı çiftlerin elemanlarının eitlenmesiyle belli edeceksin. Birinci elemanlar eittir, yani k = k. kinci elemanların k’yı belirt yani 5 – k = 3(k – 1) denklemini çöz. (x, y) = (2, 3) sıralı çifti A sisteminin çözümü olup olmadıını yokla. B sisteminin çözümler kümesi: y = 5 – x {(k, 5 – k} | k ‫ א‬R} denkleminin çözümleri ve 3x – y = 3 {(k, 3k – 3) | k ‫א‬ R} denkleminin çözümlerinin kesiimidir.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

B sisteminin denklemlerinin çözüm kümelerinin kesiimi hangisidir? (x, y) = (2, 3) sıralı çiftin B sisteminin çözümü olup olmadıına yokla. B sistemindeki denklemlerin A sistemindeki denklemlerle aynı çözümler kümesi olduunu farkedebilirsin. Bu iki sistemin çözüm kümeleri eittir. (x, y) = (2, 3) sıralı çifti hem A hem de B sisteminin çözümüdür. Eer iki sistemin çözüm kümeleri eitse, o zaman onlar denktir. A sistemi

ve B sistemi

denktirler

B sistemindeki denklemlerden hangisi A sistemindeki x + y = 5 denklemine denktir ve hangi dönüüm yapılarak elde edilmitir? Verilen bir sistemin denklemlerinden herhangi biri, kendine denk bir denklemle deitiriliyorsa, verilene denk olan sistem elde edilir. Aaıdaki denklemler sisteminin denk olduklarını gör ve nedenini açıkla:

Denk dönüümler uygulayarak verilen her sistem kendine denk olan ve çözümü dorudan doruya okunabilen

eklinde sisteme dönüebilir.

(x, y) = (a, b) sıralı çifti verilen sistemin çözümüdür.

Sistemin çözümüne dikkat et: Birinci denklemin sol tarafı kendine denk ifadeyle deitirilmitir. 2y terimi denklemin sol tarafına (ters iaretle) geçmitir. Birinci denklemin sol tarafındaki ifade normal ekile getirilmitir Birinci denklem x bilinmeyenine göre çözülmütür, yani sol ve sa tarafı 2 ile bölünmütür. (x,y) = (3, 5) sıralı çifti denklemler sisteminin çözümüdür. Sistemi çöz: Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Bilmen gerekenler: ki bilinmeyenli iki denklem sistemi nedir ve nasıl yazılır; Verilen bir sıralı çift denklemler sisteminin çözümü olup olmadıını yoklanması; Verilene denk olan sistemi belirtilsin; Bir sistemi yani çözümü dorudan okunabilecek ekilde dönütürerek çözümü belirtilsin.

Kendini yokla! Verilen sistemin her iki denklemini ax + by = c biçimine dönütürerek kendine denk olan denkleme dönütür:

(x, y) = (3, 2) sıralı çifti denklemler sisteminin çözümünün olup olmadıını yokla.

Ödevler Verilen her sistemin bilinmeyenlerini ve katsayılarını belirt:

Aaıdaki tümceleri iki bilinmeyenli iki denklem sistemi olarak yaz: ki sayının toplamı 64, farkı ise 17’dir.

Verilen sisteme denk olan bir sistemi belirt:

Verilen sisteme denk olan ve denklemlerden herbiri ax + by = c eklinde olacak bir sistem belirt.

Bir ABC üçgeninin bir iç açısı 52o’dir. Dier iki açısının farkı 18°’dir. ki kumbarada toplam 440 denar var. Birincisinden 180 denar alarak ikincisine koyarsak, her iki kumbarada para miktarı eit olur. a) (2, 10) sıralı çifti verilen sistemin çözümü olup olmadıını yokla.

b) (2, 2) sıralı çifti sistemin çözümü müdür:

c) (1, 1) sıralı çifti sistemin çözümü müdür:

Verilen sistemi çöz:

Ertan ve Berkant iki kardetir. Onların yalarının toplamı 16‘dır. Ertan’ın yaı ve Berkant’ın yaının yarısıyla toplamı 12’dir. Ödevin koulu gereince iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemini yaz. Ertan ve Berkant ikizler midir? Cevabını açıkla.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

137

K BLNMEYENL LNEER DENKLEM SSTEMNN GRAFKSEL ÇÖZÜMÜ Anımsa! 2x – 3 = y denklemin grafiini incele.

Aynı koordinat düzleminde ( aynı ekilde) x + y = 5 ve 3x – y = 3 denklemlerin grafiklerini çiz. Verilen denklemlerle y = 5 – x ve y = 3x – 3 fonksiyonların belli olduunu farkedebilirsin. Çözümünü verilenle karılatır.

A, B, C ve D noktaların her birinin koordinatlarını belirt. Bu noktaların koordinatları verilen denklemin nesidir?

Denklemlerin grafiklerinin kesitikleri nokta M olsun. M noktasının koordinatlarını belirt. ki denklemin çözümlerinin kesiimi M(2, 3) sıralı çiftidir.

(x, y) = (2,3) sıralı çifti

sisteminin biricik çözümüdür.

denklemler sistemini grafiksel ekilde çöz.

Anımsa! Düzlemde iki doru: - Bir noktada kesiebilir, - Çakıabilir; - Birbirine paralel olabilirler. Denklemlerin grafikleri dorular olduuna göre, grafiklerin ortak noktaları olduu kadar sistemin de o kadar çözümleri vardır. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

ki bilinmeyenli iki lineer denklem sisteminin: Denklemlerin grafikleri bir noktada kesiiyorlarsa, sistemin bir tek çözümü vardır; Denklemlerin grafikleri çakııyorsa, sonsuz çok çözümleri vardır; Denklemlerin grafikleri farklı iki paralel doru olduuna göre çözüm yoktur.

Sistemin grafiksel çözümünü incele:

A, B, C, D ve M noktalarının koordinatlarını yaz. Noktalardan hangisi grafiklerin kesiimidir? Sistemin bir çözümü olduunu görüyorsun Rs = {( 1, 2)}, yani (x, y) = (1, 2).

Sistemin grafiksel çözümünü incele:

A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını yaz. Grafiklerin bütün noktaları ortak olduunu gözetleyin ve sonsuz çok çözümleri vardır.

Sistemin grafiksel çözümünü incele:

A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını yaz. Grafiklerin ortak noktaları var mıdır? Grafikler iki farklı parallel doru olduklarına göre, sistemin çözümü yoktur, yani Rs = Ø. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Lineer denklem sisteminin her iki denklemi için aynı koordinat düzleminde grafiklerini çizesin;

Hangi durumlarda iki bilinmeyenli lineer denklem sisteminin:

ki bilinmeyenli lineer denklem sistemin grafiksel çözümünü yapasın;

b) sonsuz çözümleri var;

Denklemlerin grafiklerine göre sistemin çözümler kümesini deer belirtilmesi.

Cevabını açıkla.

Ödevler

a) bir tek çözümü var; c) çözümü yoktur.

Anımsa!

Herbir sistemi grafiksel ekilde çöz:

y = ax fonksiyonunun grafii koordinat balangıcından geçen bir dorudur. y = ax + b fonksiyonunun grafii y = ax ile paralel bir dorudur.

Herbir sistemi grafiksel ekilde çöz. Herbirinin kaçar çözümü vardır?

y = a fonksiyonunun grafii x eksenine paralel olan dorudur; x = a fonksiyonunun grafii y eksenine paralel olan dorudur. Aaıdaki sistemlerde verilen her denklemi fonksiyon eklinde yaz:

Her sistemin fonksiyonlarının grafikleri arasındaki durumları inceleyerek sistemin çözümlerini tahmin et. Her sistemi grafiksel ekilde çöz ve elde ettiin çözümleri tahmin ettiklerinle karılatır.

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

K BLNMEYENL LNEER DENKLEMLER SSTEMNN YERNE KOYMA METODUYLA ÇÖZÜM Anımsa! Hangi iki denklem sistemleri denktirler? (x, y) = ( 5, 1) sıralı çiftin verilen sistemin çözümü olup olmadıını yokla.

ki bilinmeyenli iki lineer denklemler sistemleri A ve B’yi incele: ve

ve

Her iki denklem sistemin aralarında neyi fark edebilirsin?

kinci sistemdeki denklemler, birinci sistemin denklemlerinden yararlanarak nasıl elde edilmitir?

A ve B sistemlerinin birinci denklemleri denktir: B sistemindeki ikinci denklemde ise y bilinmeyeni birinci denklemden denk bir ifadeyle deitirilmitir. (x, y) = (2, -3) sıralı çifti, sistemin çözümü olduunu göster. Sistemdeki denklemlerden birinde, bilinmeyenlerden biri dier denklemden denk bir ifadeyle deitirilerek verilen denklemde yerine koyulursa, elde edilen yeni sistem verilene denktir. Bu ileme yerine koyma metodu denir.

Sistemin çözümü, yerine koyma metoduyla nasıl çözüldüünü incele Birinci denklemde y’nin deeri ikinci denklemden y’nin deeriyle deitirilmitir. Önceki sisteme denk olan sistem elde edilir. Denk dönüümler kullanılır (10 sayısı eitliin “=“ dier tarafına ters iaretle geçer).

Elde edilen sistem y = b eklindedir.Oradan da dorudan doruya sistemin çözümü olan ( x, y) = (1, 5) sıralı çifti okunur. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Denklemleri sistemini yerine koyma metodunun yardımı ile çöz: Sistemin çözümü olan sıralı çifti belirt:

Fark et Yerine koyma özelliinden yararlanabilirsin, öyle ki, ikinci denklemde x bilinmeyenini birinci denklemden elde edilen x – 5 ifadesiyle deitirebilirsin:

Doru çözmeye devam edersen, denk sistem elde edeceksin:

Birinci denklemde x bilinmeyeni, ikinci denklemden elde edilen 2 deeriyle deitirilirse, çözümü okunabilecek denklem sistemi elde edilecektir.

(x, y) = (2, -3)sıralı çifti için, sistemdeki denklemlerin doru sayı eitliine dönütüklerini yokla. Benzer ekilde

sistemi çöz. denklemler sisteminin verilen çözümünü incele: kinci denklemde x bilinmeyeni y ile ifade edilmitir. Ondan sonra, birinci denklemde x bilinmeyeni, ikinci denklemden x için elde edilen ifadeyle deitirilmitir ve gereken dönüümler yapılmıtır.

veya

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

(x, y) = ( -1, 4) sıralı çiftinin denklemler sisteminin çözümü olduunu yokla. Verilen denklemler sistemini çöz: ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin bu gibi çözümüne yerine koyma metoduyla çözüm denir. Verilen denklemler sisteminde, denklemlerden hiçbiri ax + by = c eklinde yazılı deildir.

Böyle bir sistemi çözmek için ilkönce denklemleri ax + by = c ekline dönütürmek gerekir.

sisteminin verilen çözümünü incele.

lemle devam et. Ödevi doru çözmüsen

sistemini elde etmisindir, yani

(x, y) = (18, 6), sıralı çifti verilen denklemler sisteminin çözümüdür.

Verilen denklemler sistemini çöz:

Denklemler sistemini çözerken, yapılan denk dönüümlerden sonra denklemlerden birinin çözümü olmayan bir sistem (örnein 0 · x = - 1) elde ediliyorsa, verilen sistemin de çözümü yoktur. Denklemlerden birinin çözümü her reel sayı olan (örnein 0 · y = - 0) bir sistem elde edildiinde sistemin sonsuz çök çözümü vardır.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

A:

ve

B:

sistemlerini çöz.

A sisteminde çözüm olmadıını, B sisteminde ise sonsuz çok çözümler olduunu görebilirsin.

Bilmen gerekenler: ki bilinmeyenli iki lineer denklem sisteminin yerine koyma metoduyla çözümünü belirtesin;

Kendini yokla! Yerine koyma metodundan yararlanarak verilen denklemler sisteminin nasıl çözüldüünü açıkla:

Denklem sistemlerinin çözümünde, denk dönüümlerini doru yapasın.

Ödevler Verilen denklem sistemlerini yerine koyma metoduyla çöz:

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

K BLNMEYENL LNEER DENKLEMLER SSTEMNN TERS KATSAYILAR METODUYLA ÇÖZÜMÜ u denklem sistemleri verilmitir

ve

(x, y) = (3, - 2) sıralı çiftin iki sistemin çözümü olup olmadıını göster. Sistemlerin denk olduklarını görebilirsin. kinci sistemdeki denklemler, birinci sistemin denklemlerinden nasıl elde edilmitir?

Birinci denklemler her iki sistemde aynıdır, B sisteminin ikinci denklemi ise, A sistemindeki birinci ve ikinci denklemlerin taraf tarafa toplanmasıyla elde edilmitir. ki denklemin karılıklı taraflarını toplar, ya da çıkarırsak , denklemler toplanmı ya da çıkarılmıtır deriz. Verilen bir sistemde denklemlerden herhangi biri, denklemlerin toplamıyla ya da farkıyla deitirilirse, verilene denk olan yeni bir sistem elde edilir. Buna sistemdeki denklemlerin toplama özellii denir. Toplama özelliinden yararlanarak verilen sistemin çözümünü incele:

Sistemin ikinci denklemine sistemin birinci denklemi katılmıtır. Birinci sisteme denk olan sistem elde edilir ve ikinci denklem bir bilinmeyenliye dönütürülür.

Sistem yerine koyma metoduyla çözülür. Denklemler

ekline dönüür.

(x, y) = (3, 5) sıralı çifti verilen sistemin çözümü müdür, kontrol et. Verilen denklemler sistemini çöz ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Önemli olan unu fark etmelisin: x veya y önündeki katsayılar, her iki denklemde ters sayılar olmalıdır. Denklemlerin karılıklı tarafları toplandıında, bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Elde edilen yeni denk sistemde bir denklem bir bilinmeyenlidir ve ödevin devamında sistemin çözümü yerine koyma metodu ile çözülür. Verilen denklem sistemini çöz: x ve y önünde bulunan katsayılar ters iaretli sayılar deildir ve bu denklemleri taraf tarafa toplarsak, denklemlerden biri bir bilinmeyenli olacak denk sistem elde edilemez. Sistemin ikinci denklemine hangi dönüümü yapmalısın ki, x veya y’un önündeki katsayılar ters olsun? kinci denklemin iki tarafı – 5 ile çarpılırsa, x önündeki katsayılar ters sayılar olacaktır. Bu denklemin iki tarafı – 2 ile çarpılırsa y önündeki katsayılar ters sayılar olacaktır. Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. kinci denklemi (-5) ile çarpmakla, x önündeki katsayıları ters olan yeni bir denk sistem elde edilir. Denklemler taraf tarafa toplanır ve ikinci denklemi bir bilinmeyenli olan denk sistem elde edilir. Ondan sonra sistem, yerine koyma metoduyla çözülür. Sistemin çözümünü tamamla. (x, y) = (-1, 4) sıralı çifti verilen sistemin çözümü müdür yokla. y önündeki katsayılar ters olacak ekilde aynı sistemi çöz. Verilen sistemi çöz: Denklemler sistemini çöz: Bu sistemde m ya da n’in önündeki katsayılar ters olmak için, birinci denklem 3 ile, ikinci denklem ise (-2) ile çarpılmalıdır; ya da birinci denklem 2 ile ve ikinci denklem (-7) ile çarpılmalıdır. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Sistemin çözümünü tamamla:

(m, n) = (1, 1) sıralı çifti verilen sistemin çözümü olabilir mi yokla. Aynı sistemi çöz, fakat n önündeki katsayılar ters sayılar olsun.. Denklemler sisteminin bu ekilde çözümüne ters katsayılar metodu denir. Ters katsayılar metodunun yardımıyla verilen denklemler sistemini çöz:

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Ters katsayılar metodu, genellikle bilinmeyenlerden birinin önündeki katsayılar ters olduu durumda ya da bir sayıyla çarparak ters katsayılar elde edildii durumda uygundur. Ters katsayılar metoduyla denklemler sistemini çözesin.

Verilen sistemlerden hangisinin, ters katsayılar metoduyla çözümü daha uygun metod olduunu tespit et: veya Cevabını açıkla.

Ödevler u sistemleri ters katsayılar metoduyla çöz:

Verilen sistemin çözümünü grafiksel ekilde belirttikten sonra ters katsayılar metoduyla çözerek yoklamasını yap.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

K BLNMEYENL LNEER DENKLEMLER SSTEMLERNN UYGULANMASI Anımsa! u tümceyi, iki bilinmeyenli denklemler sistemi eklinde yaz: “ki sayının toplamı 6, birincisinin yarısıyla ikinci sayı arasındaki fark 0’ dır”. Elde edilmesi gereken sistem:

Matematikten, dier bilimlerden veya günlük hayattan çeitli ödevlerin çözümünde çou kez bilinmeyen deerlerin belirtilmesi gerekir. Bu gibi durumlarda problemler (ödevler) sözlerle ifade edilmitir ve bunları çözmek için matematiksel yolla denklemler olarak gösterilmelidir.

‘dir. Bu sistemi çözerek aranılan sayıları belirteceksin. (x, y) = (4, 2) sıralı çifti sistemin çözümü müdür yokla, yani aranılan iki sayı 4 ve 2 midir?

Balangıç Ödev dikkatle okunur ve orada bilinmeyen ve bilinenin ne olduu belirlenir.

Örnek:

Büyüklüklerin iaretlenmesi Bilinmeyenler (x, y, a, b vb.) ile iaret edilir ve onların özellikleri incelenir.

Bu gibi ödevlerin çözümünde sırasına göre yapılan ilemleri ve tavsiyeleri incele.

Aralarındaki baıntıların incelenmesi Bilinmeyenler ve bilinenler arasındaki baıntılar bulunur.

Sistemin kurulması Denklemler meydana getirilir, sistem kurulur ve çözülür.

lker’in 2 denarlık ve 5 denarlık olmak üzere toplam 67 denar eden 17 demir parası var. lker’in kaç tane 2 denarı ve kaç tane 5 denarı vardır?

Balangıç

aretleme

Bilinenler: demir para sayısı toplam deeri

5 denarlık paralar sayısını x ile, 2 denarlık paralar sayısını y ile.

paraların cinsi Bilinmeyenler: her cinsten kaçar para vardır.

Aralarındaki baıntılar

Sistem

demir para sayısı 17’dir; toplam deeri 67 denar.

Sistemi çöz. Sistemin çözümü (x, y) = (11, 6)’dir. imdi bu deerlerin ödevdeki koullara uygun olup olmadıını yokla, yani lker’in 5 denarlık 11 parası ve 2 denarlık 6 parası olduu doru mudur? Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

ki rafta 124 kitap var. Birinci rafta, ikincisinden 3 defa daha çok kitap olduuna göre, her rafta kaçar kitap vardır? K ve A yerleri arasındaki uzaklık 190 km’dir. K yerinden A yerine doru bir kamyon hareket etmi, yarım saat sonra A yerinden K yerine doru bir otobüs hareket etmi. Kamyonun hareket ettii andan 2 saat sonra buluuyorlar ve yollarına devam ediyorlar. Karılatıktan bir saat sonra otobüs ve kamyon arasındaki mesafe 110 km olmutur. Otobüs ve kamyonun hızı ne kadardır? Bu ödev bir hareket problemidir. Çözülmesi için büyüklükler arasındaki baıntıları daha kolay farketmek için çizim yapılır. Çizime bak: B  L  N E

K yerinden kamyon, A’dan ise otobüs hareket ediyor kamyon (k) Bulutukları yer C noktasıdır. K’dan C’ye kamyon 2 saat hareket etmitir. A’dan C’ye otobüs 1,5 saat hareket etmitir. C’den D’ye kamyon 1 saat hareket etmitir. C’den B’ye otobüs 1 saat hareket etmitir. B’den D’ye uzaklık 110 kilometredir.

N

otobüs (a)

  A R E T L E M E Kamyonun hızı x’dir. Otobüsün hızı y’dir.

ARALARINDAK BAINTILAR

Kamyonun ve otobüsün hareketleri düzgün olduuna göre, düzgün dorusal hareket formülü s = v · t yararlı olacak, yani u durumda v x ya da y’dir. K yerinden C yerine kamyon (2 saatte) 2x yolunu geçmitir. Otobüs A yerinden C yerine (1,5 saatte) 1,5 y yol geçmitir. 1 saatte C’den D’ye kamyon 1 · x yol geçmitir. 1 saatte C’den B’ye otobüs 1 · y yol geçmitir. Çizime göre

ya da 2x + 1,5 y = 190;

ya da 1x + 1y = 110.

DENKLEMLER SSTEM

Sistemi çöz. Kamyon saatte 50 km ile, otobüs ise saatte 60 km hızla hareket ettiinin doru olduu yokla. Bir vapur ırmaın akı yönünde saatte 25 km hızla hareket eder, ırmaın akıının ters yönünde ise saatte 20 km hızla hareket etmektedir. Vapurun hızını ve ırmaın akı hızını belirt. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

K1 ve K2 asit karıımları verilmitir. K1 karıımı %36, K2 ise %96’dır. 120 litre %80 karıım elde etmek için her birinden kaçar litre alınmalıdır?

Yüzdeleri hatırlamalısın. Unutma ki m litre ve % k olan bir karıımda

litre asit vardır.

BLNENLER

K1 karıımı %36 K2 karıımı %96 Elde edilecek yeni karıım %80 olmalıdır. ARETLEME

K1 karıımından alınacak litre sayısı x olsun. K2 karıımından alınacak litre sayısı y olsun. ARALARINDAK BAINTILAR

K1‘deki x litre karıımda

litre asit var.

K2‘deki y litre karıımda

litre asit var.

120 litrelik yeni karıımda x litre K1’den ve y litre K2’den var, veya: x + y = 120’dir. 120 litrelik yeni karıımda

litre asit veya:

DENKLEMLER SSTEM

y

y y

Sistemi çöz. (x, y) = (32, 88) sıralı çifti ödevin koullarına uygun olup olmadıını yokla. 60 litre %75’lik ispirto elde edilebilmesi için kaç litre su ve kaç litre %90’lık ispirto karıtırılmalıdır? Bir dik üçgenin 2 katetinin uzunlukların toplamı 20 cm’dir. Küçük katet 2 cm uzatılırsa, büyük katet ise 4 cm kısaltılırsa, üçgenin alanı 8 cm2 için azalacaktır. Üçgenin katetlerinin uzunluklarını belirt.

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Bu gibi ödevleri çözmek için, düzlemsel geometrik ekillerinin formüllerinden ve özelliklerinden yararlanmayı hatırlamalısın.

BLNENLER

Katetlerin uzunluklarının toplamı 20 cm’dir. Dik üçgende katet aynı zamanda üçgenin yüksekliidir. a tabanı ve h tabana karılık gelen yükseklik olmak üzere, üçgenin alanı lüyle hesaplanır.

formü-

ARETLEME

Küçük katetin uzunluu x olsun. Büyük katetin uzunluu y olsun. ARALARINDAK BAINTILAR

Katetlerin uzunluklarının toplamı x + y = 20’dir. Küçük katetin uzatılmasıyla, uzunluu x + 2 olur. Büyük katetin kısaltılmasıyla, uzunluu y – 4 olur. Balangıçtaki üçgenin alanı

‘dir.

Karılıklı katetlerin uzatılmasıyla ve kısaltılmasıyla üçgenin alanı

olur.

DENKLEMLER SSTEM

Sistemi çöz. (x, y) = (8, 12) sıralı çiftin aranılan üçgenin katetlerinin uzunlukları olduunu yokla. Bir yamuun yükseklii 6 cm, alanı ise 96 cm2’dir. Onun paralel kenarlarının uzunluklarının farkı 4 cm’dir. Yamuun paralel kenarlarının (tabanlarının) uzunluklarını belirt.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Bilmen gerekenler: ki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemine dönüen problem ödevini çözmek için, yöntemini ve çözüm kaidesini ifade etmelisin.

Kendini yokla! “Toplamı 100 olan öyle iki sayı belirt ki onların bölümü 4 olsun”, ödevinde u yöntemleri uygula: Bilinmeyenleri iaret et ve bilinmeyen ve bilinen büyüklükler arasında olan baıntıları yaz. Denklem sistemi kur ve çöz. Çözümü kontrol et.

Ödevler ki sayının toplamı 72, farkı ise 2'dir. Bu sayılar hangilerdir?

Bir sınıfta toplam 28 örenci var. Erkeklerin sayısı kızlar sayısından 4 için büyüktür. Sınıfta örencilerden kaç kii erkek, kaç kii kızdır?

Bir vapur ırmak akıının ters yönünde hareket ederek 5 saatte 63 km yol geçmitir. Irmaın akıı yönünde hareket ettii zaman, aynı yolu 3 saatte geçmi. Vapurun hızını ve ırmaın akı hızı ne kadardı?

Eer 8 litre sıcak suya 2 litre daha souk su katılırsa, elde edilen suyun sıcaklıı 66o'dir. Eer 7 litre sıcak suya 3 litre daha souk su katılırsa,elde edilen suyun sıcaklıı 59o'dir. Sıcak ve souk suyun dereceleri ne kadarmı?

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Sinan 8 defter (büyük ve küçük) satın alarak 250 denar ödemi. Büyük defterlerin fiyatı 50 denar, küçüklerin ise 20 denarmı. Sinan kaç büyük ve kaç küçük defter satın almıtır?

Anne ve kızın yaları berabere 37 yıldır. 2 yıl önce anne kızından 10 defa büyükmü. Annenin ve kızının yaları ne kadardır?

Paralel kenarlı bir dar ve bir geni açının ölçülerinin farkı 36o'dir. Açıların büyüklüü ne kadardır? Bir ikizkenar üçgenin çevresi 36 cm'dir. Yan kenarı ve tabanın uzunlukların farkı 3 cm'dir. Üçgenin alanını belirt.

Bir kafeste tavanlar ve güvercinler vardır. Osman 35 ba ve 94 ayak olduunu saymı. Kafeste kaç tavan ve kaç güvercin varmı?

V E R  L E R L E   L E M L E R DRHLE PRENSBNE GÖRE PROBLEMLERN ÇÖZÜMÜ Örnek: Özel olarak iaretlenmemi olan üç kutuda 7 topcaızı yerletir. Bunu 8 deiik ekilde yapabilirsin. ekilde görüldüü gibi.

lerde, ödevin mümkün çözümlerinin sayısını belirtmek bizim amacımız olmayacaktır. Amacımız bir prensibin saygılanması olacaktır.

Fark et 7 topçaızı nasıl yerletirirsek yerletirelim, bir kutuda en az üç topçaız olacaktır. ncelenen örnek Dirihle prensibi denilen önemli bir prensibin basitlemi eklidir.

Prensibin ifadesi: n kutuda n’den çok nesne yerletirilirse, kutulardan en az birinde birden çok nesne bulunacaktır.

1.

Petar Gustav Lejen Dirihle (1805 – 1859) Alman matematikçisi

a) 34 kiilik bir sınıfta, soyadları aynı harf ile balayan en az iki örencinin var olduu iddia edilebilir mi? b) Bu iddia 28 kiilik sınıf için geçerli olabilir mi? Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. a) Burada Dirihle prensibine göre alfabenin harfleri “kutular”dır. Onların sayısı 29’dur. En olumsuz tahminde, 29 örencinin soyadları tüm 29 farklı harf ile “balayabilir”. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Kalan 5 örencinin soyadları hangi harflerle balayabilir? Onlar artık “kullanılmı” olan harflerle balayacaktır. En az kaç örencinin soyadı aynı harf ile balar? Sınıfta en az iki örencinin soyadı aynı harf ile balar. b) Sınıfta örenci sayısı 29’dan az olduu durumda, iddia neden geçerli deildir?

Bir matematik okulunda 372 örenci varmı. Onlar arasında doum gününü aynı günde kutlayan en az iki örencinin var olduunu ispatla. Bir okulda V’ten VIII. sınıfa kadar toplam 16 sınıf vardır. “Genç matematikçiler” bölümüne 18 örenci üyedir. Bu örenciler arasında aynı sınıftan en az iki örenci olduunu ispatla.

Fark et En olumsuz tahmin üyelerin her sınıftan birer kii olduu durumdur. Fakat o toplam 16 örencidir. Kalan daha iki örenci için nasıl sonuca varıyorsun? Sınıfta 30 örenci var. Matematik dersinde yazılı ödevde bazı örenciler 8 hata, bazıları ise daha az hata yapmıtır. Yazılı ödevde en az 4 örencinin aynı sayıda hata yapmı olduunu ispatla.

En büyük hata sayısı kaçtır? Senin çözümünü verilenle karılatır. Yapılan hata sayısı en çok 8'dir. Demek ki, bazı örenciler 8 hata yapmı; fakat 7 hatalı; 6 hatalı;...; 1 hatalı örencilerin olması mümkünmü, fakat, hiçbir hata yapmayan örenci de olabilir (yani 0 hata yapmılar). Tüm örencileri 9 gruba ayıralım: 1) 8 hata yapan örenciler; 2) 7 hata yapan örenciler ve baka. Dokuzuncu grup ise hiçbir hata yapmamı olan örencilerdir. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

En olumsuz tahmin, 3 orencinin 8 hata, 3 örencinin 7 hata vb. ve üç örencinin hiçbir hata yapmamı olması durumdur. Onlar toplam 3 · 9 = 27 'dir (9 grupta 3’er örenci vardır). Halbuki 30 = 3 · 9 + 3 olduuna göre daha 3 örenci kalır. Bunlar 8, 7, ..., 2, 1 ya da 0 hata yapan örencilerdir. Dirihle prensibine göre en az 4 örenci aynı sayıda hata yapmıtır veya hata yapmamıtır. 5.

Sınıfta 34 örenci var. Aynı bir metini bilgisayara yazarken Mert13 hata, dierleri ise daha az hata yapmıtır. Aynı sayıda hata yapan en az üç örencinin var olduunu ispatla.

Dirihle prensibi matematiin birçok bölgelerinde kullanılıdır. Sayıların bölünmesinde ve geometride birkaç örnek incele.

6.

Tahminen 5 sayı veriliyor. Onların arası en az iki sayı var ki onların farkı 4 ile bölünür.

Tavsiyeye göre ilemi yap: 4 ile bölünmede kalanların sayısı kaçtır ve hangi sayılardır?

4 kalan elde edilir: 0, 1, 2 veya 3.

Seçilen be sayıyı 4 ile bölersek 5 kalan elde edilir. Demek ki, kalanlardan en az ikisi aynıdır (Dirihle prensibine göre). a ve b sayılarının 4 ile bölümünde aynı kalan p olsun. Burada p  {0, 1, 2, 3}

a = 4m + p; b = 4n + p

a – b = (4m + p) – (4n + p) = 4(m – n) = 4k. Demek ki fark 4k biçimindedir, yani o sayı 4 ile bölünür. Bunu 4 | (a – b) biçiminde yazıyoruz. 7.

ki sayı arasındaki farkın 7 ile bölünebilmesi için en az kaç doal sayı alınmalıdır?

8.

Boyutları (20 cm x 30 cm) olan bir beyaz kaıt sayfası üzerinde mürekkep dökülmütür. Bu kaıt üzerinde birbirinden 10 cm uzaklıkta aynı renkte iki nokta olduunu ispatla.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Açıklamayı izle. Bu kaıt üzerinde kenara 10 cm olan bir ekenar üçgen çiz. Bu üçgenin üç köesinden ikisinin beyaz, üçüncüsünün ise mavi olduunu, veya ikisi mavi biri beyaz, veya üçünü mavi olduunu gör. Aynı renkte olan iki köe aranılan noktalardır.

Düzlemde 5 doru veriliyor, bunlar ikier ikier paralel olmayandır. Onların arasında 37o küçük açı yapan iki dorunun var olduunu ispatla. u ekilde devam ediniz. Düzlem üzerinde bir M noktasını seç ve bu doruların hepsinin M noktasından geçeçek halde paralel olarak uygula. M noktasından geçen doruların düzlemini 10 açıya ayırdıklarını gözetle.

Açılar birbirine eit ise, onların herbiri 360 : 10 = 36°’dir, 36° < 37°, demek ki 37°’den küçük olacak açı daima vardır. Açılar birbirinden farklı ise, onlardan herbiri 37o’den büyük olamaz, çünkü 10 · 37° = 370° > 360°’dir. Demek ki, bu açılar arası 37o’den küçük olan açı vardır.

M

Ödevler Bir okulda 1 200 örenci vardır. a) bu okulda en az 4 örencinin doum gününün aynı günde olduunu ispatla; b) en az iki örencinin inisiyallerinin aynı olduunu ispatla. Üsküp kentinde en az üç kiinin baındaki saç sayısının aynı olduunu ispatla. (Bir insanın baındaki saç sayısı 200 000’den çok deildir)

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

3.

Bir sınıfta 37 örenci var. Yılın bir ayında en az 4 örencinin domu olduunu ispatla.

4.

Bir sandıkta yalnız bir cins elma olmak üzere, 25 sandıkta 3 cins elma vardır. Onlar arasında aynı cinsten 9 sandık elma olduunu ispatla.

LNEER DENKLEMLER SSTEMN OKUDUN BLDIKLERINI KONTROL ET

1.

ki bilinmeyenli lineer denklemin çözümü nedir?

2.

k parametresini o ekilde belirt ki, (2, 6) sıralı çifti (4x – 2)k – 1 = y – k denkleminin çözümü olsun.

3.

Verilen denklemin çözümler kümesini grafiksel ekilde göster:

4.

ki bilinmeyenli lineer denklem sisteminin çözümü nedir?

5.

Verilen denklemler sistemine denk ve her iki denklemi ax + by = c biçiminde olacak denklemler sistemini yaz.

6.

Sistemi grafiksel ekilde çöz:

7.

Verilen denklemler sistemini yerine koyma metoduyla çöz.

8.

Verilen denklemler sistemini ters katsayılar metoduyla çöz:

9.

Lineer denklemler sistemini grafiksel çözümüne göre sistemin kaç çözümü olduunu tahmin et:

10.

Baba ve olunun yalarının toplamı 46’dır. 10 yıl sonra, baba olundan iki defa daha yalı olacaktır. imdi, onların yaları ne kadardır?

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

KONU 4. GEOMETRK CSMLER

UZAYDA NOKTALAR, DORULAR VE DÜZLEMLER 1. Nokta, doru ve düzlem 2. ki doru 3. ki düzlem 4. Paralel projeksiyon. Dik projeksiyon 5. Geometrik cisimin çizimle gösterilii

160 163 165 168 171

PRZMA 6. Prizma. Prizma çeitleri. Köegen kesitler. 174

7. Paralelyüz. Prizmanın açılımı ve alanı. 177 8. Çokyüzlünün hacmı. Dikdörtgenler prizmasının ve küpün hacmı. 183 9 Dik prizmanın hacmı. 187 PRAMT 10. Piramit. Piramidin alanı 190 11. Piramidin hacmı 194 SLNDR, KON, KÜRE 12. Silindir; alanı ve hacmı 197 13. Koni; alanı ve hacmı 200 14. Küre; alanı ve hacmı 203 15. Olasılık 206 Bilgini kontrol et 208

UZAYDA NOKTALAR, DORULAR VE DÜZLEMLER NOKTA, DORU VE DÜZLEM Anımsa! Doru, açı, yamuk ve çember düzlemsel ekillerdir. Baka düzlem ekilleri de vardır.

ekilde bir küp ve bir dikdörtgenler prizması gösterilmitir.

Düzlemsel ekillerini inceleyen geometrinin bölümüne düzlem geometrisi veya planimetri denir. Dorunun bazı özellikleri, temel özellikler (aksiyomlar) olarak kabul edilmitir. Birinci aksiyom (A1) gibi u özellii kabul ediyoruz: her dorunun üzerinde sonsuz noktalar yatar, fakat dorunun üzerinde olmayan noktalar da vardır.

Dikdörtgenler prizması düzlemsel ekil midir? Neden? Küpün her noktası aynı düzleme ait midir? Uzaydaki geometrik ekilleri inceleyen geometri bölümüne uzay geometrisi veya stereometri denir.

Noktalar, dorular ve düzlemler uzayın temel geometrik ekilleridir. Düzlemi düz bir cam gibi, sakin suyun yüzeyi gibi vb. ekil gibi düünebiliriz. O sınırsız düz bir yüzeydir ve onunla ilgili u aksiyom kabul edilmitir. Her düzene ait sonsuz çok noktalar vardır, fakat düzleme ait olmayan noktalar da 1 vardır. ekilde,  düzlemi ve A, B, C, D, M noktaları verilmitir. A noktası  düzlemine aittir, yani A ‫א‬. A noktası  düzlemi üzerindedir ya da  düzlemi A noktasından geçer de diyebiliriz.

aretlenen noktalardan daha hangileri  düzlemine aittir? Bir düzleme ait olan üç ya da daha fazla noktaya düzlemde – komplaner noktalar denir. Örnein, ekilde A, B, C, D, ‫ א‬, M ‫  ב‬olduuna göre A, B, C, D düzlemde, B, C, D, M ise düzlemde deildirler.

Anımsa! Doruyla ilgili u aksiyomu biliyorsun: herhangi iki farklı noktadan tam bir doru geçer. Bu aksiyom uzaydaki noktalar için de geçerlidir.

Konu 4. Geometrik cisimler

Düzleme ait, u temel özellik (aksiyom) kabul edilmitir.

A2 2.

Bir doruya ait olmayan herhangi üç noktadan tam bir düzlem geçer.

Ayakları eit uzunlukta olmazsa bile neden üç ayaklı bir tabure “sallanmıyor”? Dört ayaklı taburede böyle bir durum var mıdır?

3.

ekildeki dikdörtgenler prizmasını incele ve u soruları cevapla: Dikdörtgenler prizmasının hangi köesi A, B ve B1 ile belirlenen düzleme aittir? C köesi o düzleme ait midir? u noktalar komplaner midirler: a) A, B, C, D; b) A, B, C1, D1; c) A, B, C, C1? Dier dört köeyi bul ve onlar: a) aynı düzlem üzerinde olsunlar; b) aynı düzlem üzerinde olmasınlar. Bir dikdörtgenler prizmasını çiz ve ekilde olduu gibi iaret et. Ondan sonra dikdörtgenler prizmasına ait olan B, C, D1, A1 düzlem kısmını tara. Bir dorunun her noktası verilen bir düzleme ait ise, doru düzlem üzerindedir ya da doru düzleme aittir, düzlem ise o dorudan geçer denilmektedir. Bir düzlem üzerinde sonsuz çok dorular vardır.

4.

ekilde  düzlemi ve ona ait olan iki nokta A ve B gösterilmitir. A ve B noktalarından kaç doru geçer? AB dorusuna ait olan dier noktalar  düzlemine de ait midir?

Düzlemin u genel özellii (aksiyomu) doru olarak kabul edilmitir. Bir dorunun iki noktası bir düzleme ait olduu durumda, doru da düzleme aittir, yani doru düzlem üzerindedir. Bu aksiyomdan yararlanarak, uzayda doru ve düzlem arasındaki durumları inceleyebileceksin. Verilen ekilleri incele ve bir doru ile bir düzlem arasında mümkün olan durumların açıklamasını izle. Uzayda noktalar, dorular ve düzlemler

 düzlemi ve a dorusu arasında u üç durum mümkündür. Doru ve düzlemin ortak noktaları yoktur. Bu durumda onlar paraleldirler denir ve a ||  biçimde yazılır. Doru ve düzlemin bir ortak noktası vardır. Bu durumda onlara kesiirler denir, yani a dorusu  düzlemini P noktası keser denir. P noktasına kesiim noktası denir.

a dorusu  düzlemi üzerindedir. Bu durumda da onlara paraleldirler denir.

ekildeki dikdörtgenler prizmasını ve A, B, C köeleriyle belirlenen  düzlemini incele. a)  düzlemine paralel olan; c)  düzlemine ait olan,

b)  düzlemini kesen;

Bilmen gerekenler: Uzayda temel geometrik ekillerini ifade edesin; Doru ve düzlem arasındaki durumları belirtesin.

Kendini yokla! a) nokta ve düzlem; b) doru ve düzlem; arasındaki durumlar nasıldır? A, B, C, M, D noktaları yukarıdaki ekilde olan dikdörtgenler prizmasının köeleridir. Bu noktalardan hangi dördü: a) komplanerdirler; b) komplaner deildirler? Kaç düzlem geçebilir, eer: a) bir A noktası verilmi ise; b) iki B ve C noktaları verilmi ise; c) üç A, B ve C noktaları verilmi ise?

Ödevler Bir küp ABCDA1B1C1D1 çiz ve dört köe adlandır ki onlar: a) komplaner olsun; b) komplaner olmasın.

3. Ödev 1’deki kübün AB ayrıtı yanlız iki yüzüyle paraleldir ve onlarla ortak noktaları yoktur. Bu yüzleri adlandır.

Kübün üst tabanına ait bir köe ve alt tabanına ait bir köeyle kaç doru belirtilebilir?

4. Ödev 1’deki kübün AC köegeni, kübün yanlız bir yüzü ile ortak noktası yoktur. O hangi yüzdür?

Konu 4. Geometrik cisimler

K DORU Uzayda iki dorunun:

AnĹmsa! Dßzleme ait aksiyomlarĹ ifade et. Kaç nokta bir doruyu belirtir; a) dßzlemde, b) uzayda? Uzayda, iki ortak noktasĹ olan iki dorunun aralarĹndaki durum nasĹldĹr? Bir dßzlemi kaç nokta belirtir? a dorusunun  dßzlemi ile iki ortak noktasĹ vardĹr, a ve  nasĹl durumdadĹr?

1.

ya yanlĹz bir ortaklarĹ olabilir (kesiiyorlar); ya ortak noktalarĹ yoktur; ya da çakĹĹyorlar (iki ortak noktalarĹ varsa). ekilde, a ve b dorularĹ kesiiyorlar, yani bir ortak P noktalarĹ vardĹr. ekli incele ve u sorularĹ cevapla: a A P b B

Tahminen seçilen A â&#x20AC;Ť ×?â&#x20AC;ŹaÇĄBâ&#x20AC;Ť×?â&#x20AC;Źb ve P kesiim noktalarÄą ( A  P ve B  P) doruda olabilir mi? Neden? A, B ve P noktalarÄą tam bir dĂźzlem belirtiyorlar. Neden? a ve b dorularÄą bu dĂźzleme aittir. Neden? 2.

ekilde bir dikdĂśrtgenler prizmasÄą gĂśsterilmitir. ekli incele ve u sorularÄą cevapla. AB ayrÄątÄą aynÄą dĂźzleme ait midir eer: a) BB1; b) A1B1; c) B1C1 CB ve C1B1 ayrÄątlarÄą aynÄą dĂźzleme aittir. Neden? AB ve A1B1 ayrÄątlarÄą aynÄą dĂźzleme aittir, fakat ortak noktalarÄą yoktur; AB ve A1B1 dorularÄą paraleldir, ortak noktalarÄą yoktur yani AB || A1B1.

D1 A1

C1 B1

D A

C B

Dikkat et! ki paralel doru daima bir dĂźzleme aittir. AB ve B1C1 dorularÄąnÄąn da ortak noktalarÄą yoktur, fakat aynÄą dĂźzlem Ăźzerinde deildirler. Onlara aykÄąrÄą dorular denir.

3.

DikdĂśrtgen prizmasÄą eklinden yararlanarak aynÄą dĂźzleme ait olan baka paralel doru çiftlerini de gĂśzetle. Ă&#x153;ç doru her zaman aynÄą bir dĂźzlem Ăźzerinde bulunurlar mÄą?

Uzayda noktalar, dorular ve dĂźzlemler

ekilleri incele ve unutma! Uzayda iki doru: Bir düzlem üzerinde olabilir; o durumda ya kesiir ya da paralel olabilir (ya da çakıabilirler), ekil 1’de olduu gibi; Bir düzleme ait olmayabilirler, yani ekil 2’de a ve c doruları olduu gibi aykırı dorular olabilirler.

ekil 1

ekil 2’ye göre birkaç çift:

ekil 2

a) aykırı doruları;

b) paralel doruları yaz.

ekil 2’deki doruların kesiim noktaları bir dikdörtgen prizmasının köeleridir. u ifadelerden hangileri dorudur? a) b ve m doruları kesimez ve paralel deildirler, yani aykırı dorulardır b) m ve d doruları bir düzleme ait ve kesimiyorlar, yani paraleldirler. c) a ve d doruları kesiir ve bir düzleme ait deildirler. ç) b ve m aykrıdırlar ve bir düzlem üzerinde bulunuyorlar.

Anımsa! A2 aksiyomuna göre bir düzlem doruda olmayan üç noktayla tamamen bellidir. Uzayda iki dorunun birkaç durumu da bir düzlem belirtiyor. Bu durumlar hangileridir?

ekilleri incele ve uzayda bir düzlem neden aaıdaki durumlarda tamamen bellidir açıkla: ) Doruda olmayan üç noktayla; b) Bir doru ve dıında bir nokta ile; c) ki paralel doru ile; ç) Kesien iki doru ile; Konu 4. Geometrik cisimler

a)

b)

c)

ç)

7.

Bir dikdörtgenler prizmasının ikier ikier yan ayrıtlarından kaç düzlem belirtiyorlar? (Dikkat et: dört düzlemden daha çok var.)

Bilmen gerekenler: Uzayda iki doru arasında nasıl durumlar var olduunu açıkla.

Kendini yokla! Hangi dorulara: a) paraleldir,

b) aykırıdır denir?

Bir küp ABCDA1B1C1D1 çizdikten sonra onun tabanlarının köegenlerini çiz. AC, BD, A1C1, B1D1 dorularından hangi çiftler: a) kesiiyorlar; b) paraleldirler; c) aykırıdırlar?

Ödevler 1.

Uzayda üç farklı doru bir noktadan geçiyorlar. Bu dorular kaç düzlem belirtiyor?

3. a ve b uzayda iki doru olsun. Onlardan kaç düzlem geçebilir?

2.

Bir dikdörtgenler prizması ABCDA1B1C1D1 çizdikten sonra iki komu yüzünün, örnein, ABB1A1 ve BCC1B1 yüzlerinin köegenlerini çiz. AB1, BA1, CB1, BC1 doru çiftlerinden hangileri: a) kesiir; b) paraleldir; c) aykırıdırlar?

4. Bir düzleme ait olmayan dört noktayı kaç düzlem belirtir? 5.

u iddiayı açıkla: “Eer AB ve CD doruları kesiiyorsa, o zaman A, B, C ve D noktaları komplanerdir”.

K DÜZLEM Anımsa! Uzayda bir düzlemin tamamen belli olduunu açıklayan aksiyom nasıl ifade edilir? Uzayda bir doru ve bir düzlem arasında nasıl durumlar olabilir?

Düün ve cevapla: ki düzlemin yanlız bir tek ortak noktası olabilir mi? ki düzlemin yanlız iki tek ortak noktaları olabilir mi? Bu sorunun cevabını (A4 aksiyomu) temel özellii vermektedir:

ki düzlemin bir noktası varsa, onların o noktadan geçen bir ortak dorusu da vardır. Aksiyom gereince, iki farklı düzlem 1 ve 2: a) ya ortak noktaları yoktur; b) ya da ortak doruları vardır. ki düzlemin doruda olmayan üç farklı ortak noktaları varsa, onlar birbiriyle çakııyorlar. Uzayda noktalar, dorular ve düzlemler

Unutma ki farklı düzlem 1 ve 2’nin ortak doruları varsa, düzlemler kesiiyorlar. Ortak doruya ise düzlemlerin ara kesit dorusu denir. ki düzlem 1 ve 2’nin ortak noktaları yoksa ya da çakıık durumda bulunuyorlarsa, onlara birbiriyle paraleldir ve 1 || 2 eklinde iaret edilir. u iddiaların doru olduunu gör (ekil yap). a) Eer 1 || 2 ve a dorusu 1’i keserse, o zaman a dorusu 2’i de keser. b) Eer 1 || 2 ve a || 1 ise, o zaman a || 2. c) Eer 1 || 2 ve 3 düzlemi 1 düzlemini keserse, o zaman 3 düzlemi 2 düzlemini de keser. ekili incele ve açıklamayı izle. 1 ve 2 düzlemler kesiiyorlar ve s onların ara kesiti dorusudur. M noktası s üzerinde tahminen bir nokta olsun. M noktasından biri 1 düzlemine ait, dieri ise 2 düzlemine ait, s dorusuna dik halde iki yarıdoru çizilmitir. Yarıdorular  açısını meydana getiriyorlar. Bu yarıdorulardan oluan  açısına 1 ve 2 düzlemleri arasındaki açı denir. Onun paralel açısı da iki düzlem arasıda bulunan bir açıdır. Düzlemler arasındaki açı dik ise, düzlemler de birbirine dik'tir, yani 1 A 2. Sınıfınızın tabanı ve bir duvarı arasında nasıl açı oluur? Duvarlar ve tavan birbirine göre dik durumda mıdır? Tavan ve taban ise birbirine göre nasıl durumdadırlar? Dikdörtgenler prizmasının tabanı ve bir yan yüzü nasıl açı oluturuyorlar? Konu 4. Geometrik cisimler

ekilleri gÜzetle ve açĹklamayĹ izle. a dorusu  dßzlemini P noktasĹnda keser. P kesiim noktasĹndan  dßzlemine ait olan b ve c dorularĹ çizilmitir. Bu dorular a dorusuyla  ve  açĹlarĹnĹ meydana getirirler. P noktasĹndan bÜyle birçok doru çizilebilir; hepsi a dorusuyla farklĹ açĹlar meydana getirebilirler. Farkettiin gibi, bu açĹlar ancak dik açĹlar olduklarĹ durumda birbirine ait olabilirler. BÜyle durumda a dorusu dßzleme diktir denir, yani a dorusu  dßzlemine diktir denir. Bunu a  eklinde iaret edilir. T

Unutma a dorusu,  dßzlemini kestii noktadan geçen her doruya dik olduu durumda, a dorusuna  dßzlemine diktir denir.

1, 2 dĂźzlemleri ve a, b dorularÄą için u iddialarÄąn doru olduunu incele. Ă&#x2021;izim yap! T

1 o zaman b

 1.

b) Eer 1 || 2 ve a

T

T

a) Eer a || b ve a

1 o zaman a

T

5.

2 .

ekilde M noktasÄą  dĂźzlemine ait deildir. M noktasÄąndan  dĂźzlemine bir dikme çizilebilir. Mâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄą bu dikmenin dikme ayaÄą olsun. ekli incele ve u sorular hakkÄąnda dßßn ve cevapla. Bu ekilde M noktasÄąndan  dĂźzleme kaç dikme çizilebilir? M noktasÄąndan  dĂźzlemini N  Mâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄąnda kesen b dorusu çizilmitir. b dorusu  dĂźzlemine dik midir? MMâ&#x20AC;&#x2122;N nasÄąl ßçgendir? MMâ&#x20AC;&#x2122; dorusunun  dĂźzleminin M noktasÄąndan geçen biricik dikmesi olduunu açĹkla. DĂźzlemin dĹĹnda bir noktadan çizilen dikmenin ne olduunu açĹkla. ekildeki MMâ&#x20AC;&#x2122; doru parçasÄą  dĂźzlemine dikmedir, dier doru parçalardan herbiri (MN gibi) â&#x20AC;&#x201C; dĂźzleme eik durumdadÄąr. MMâ&#x20AC;&#x2122; uzaklĹĹna M noktasÄąndan  dĂźzlemine uzaklÄąk denir. Bir noktadan dĂźzleme uzaklÄąk tanÄąmÄąnÄą ifade et. ekilden MMâ&#x20AC;&#x2122; < MN olduunu gĂśster. Uzayda noktalar, dorular ve dĂźzlemler

Bilmen gerekenler:

ki düzlem arasındaki açı ve noktadan doruya uzaklıı ekille açıklamasını.

Kendini yokla! ki düzlemin, a) bir; b) iki; c) üç noktası varsa onların birbirine göre durumları nasıldır? a, b doruların  düzlemi için aaıdaki iddialar doru mudur (ekil yap): a) Eer a || b ve a dorusu  düzlemini kesiyorsa, b dorusu da  düzlemini keser. b) Eer a  ve b  o zaman a || b dir. T

Ödevler Hangi iki düzleme: a) paraleldir; b) diktir denir? Verilen bir noktadan verilen bir düzleme kaç dikme çizilebilir? a ve b doruları ve 1, 2, 3 düzlemleri için u iddialar doru mudur? (ekil yap.)

T

ki düzlemin kesitinin ne olduunu açıklamasını; ki düzlemin ortaklaa durumlarını ekille açıklamasını;

4. M noktasından  düzlemine uzaklık d'dir. M noktasından  düzlemine ait herhangi x noktasına uzaklık için MX d geçerli olduunu açıkla. 5. A, B, C noktalarından geçen 1 düzlemi ve A, B, D noktalarından geçen 2 düzlemi birbirine göre nasıl durumdadır?

a) Eer a || b ve a || 1 o zaman b || 1. T

T

1 ve a 2 o zaman 1 || 2. c) Eer 1 || 2 ve 1 || 3 o zaman 2 || 3.

b) Eer a

PARALEL PROJEKSYON. DK PROJEKSYON  düzlemi ve ona paralel olmayan s dorusu verilmitir. Bir A noktası seç ve o noktadan geçen s dorusuna paralel olan a dorusunu çiz. a dorusu  düzlemini keser. Neden? Bu kesiimi çiz ve A ile iaret et. Yaptıın çizimi verilen çizimle karılatır. A’ noktası  düzlemi üzerindeki s yönüne A noktasının projeksiyonu denir. s dorusu için projeksiyon yön denir. a dorusuna A noktasının projeksiyon dorusu denir.  düzlemine projeksiyon düzlemi denir. Bununla, uzaydaki noktalar ve  düzleminin noktaları arasında bir eleme belirtilmitir. Bu elemeye, s yönünde paralel projeksiyon denir. Konu 4. Geometrik cisimler

2.

ekilde Aâ&#x20AC;&#x2122;, Bâ&#x20AC;&#x2122; ve Câ&#x20AC;&#x2122; noktalarÄą sÄąrasÄąyla A, B ve C noktalarÄąnÄąn projeksiyonlarÄądÄąr. Neden , Aâ&#x20AC;&#x2122;  Bâ&#x20AC;&#x2122; ve Câ&#x20AC;&#x2122;  C 'dir?

3.

ekilde, Xâ&#x20AC;&#x2122; ve Yâ&#x20AC;&#x2122; noktalarÄą s dorultusunda  dĂźzlemi Ăźzerinde bazÄą noktalarÄąn projeksiyonudur. Uzayda hangi noktalarÄąn projeksiyonlarÄą Xâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄądÄąr?  dĂźzleminin hangi noktalarÄą projeksiyonun Yâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄądÄąr?

ncele ve unutma! Aâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄą A noktasÄąnÄąn projeksiyonu ise, Aâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄą Aâ&#x20AC;&#x2122;nÄąn projeksiyonu dorusuna ait her noktanÄąn projeksiyonudur. Projeksiyon dĂźzlemine ait her nokta, kendi projeksiyonuyla çakĹĹr. Bir  dĂźzlemi ve projeksiyon dorultusu s seçtikten sonra p, p || s olmak Ăźzere p do4. rusunu çiz. P Ăźzerinde iç nokta A, B, C iaret et. OnlarÄąn Aâ&#x20AC;&#x2122;, Bâ&#x20AC;&#x2122;, Câ&#x20AC;&#x2122; projeksiyonlarÄąnÄą çiz (dikkat et Aâ&#x20AC;&#x2122;, Bâ&#x20AC;&#x2122;, Câ&#x20AC;&#x2122; doruda olacaklar).

AnÄąmsa! Paralel projeksiyon nedir? Geometrik ekil (dĂźzlemsel veya uzay) bir noktalar kĂźmesidir. O noktalarÄąn herbirinin verilen bir paralel projeksiyona gĂśre,kendi projeksiyonu vardÄąr.

Ă&#x2013;yle ki, bir dorunun  dĂźzlemi Ăźzerindeki projeksiyonu genel durumda dorudur, doru parçasÄąnÄąn â&#x20AC;&#x201C; projeksiyonu doru parçasÄądÄąr, ßçgenin â&#x20AC;&#x201C; ßçgendir v.b.

 dĂźzlemi, s  ve A â&#x20AC;Ť ×&#x2018;â&#x20AC;Ź, B â&#x20AC;Ť  ×?â&#x20AC;ŹnoktalarÄą verilmitir. A ve B noktalarÄąnÄąn s dorultusuna gĂśre  dĂźzlemi Ăźzerindeki projeksiyonlarÄąnÄą bul. ncele ve açĹklamayÄą izle. T

5.

Bir eklin verilen bir  dĂźzlemine projeksiyonu, bu eklin noktalarÄąnÄąn projeksiyonlarÄąnÄąn kĂźmesidir.

Projeksiyon dorultusu verilen  dĂźzlemine dik olduu durumda elde edilen paralel projeksiyona dik projeksiyon denir. Ă&#x2013;yleki, Aâ&#x20AC;&#x2122; ve Bâ&#x20AC;&#x2122; noktalarÄą A ve B noktalarÄąnÄąn  dĂźzlemi Ăźzerinde dik projeksiyonlardÄąr. 6.

ekili incele ve a dorusunun  dĂźzlemi Ăźzerinde aâ&#x20AC;&#x2122; dorusu projeksiyonunun nasÄąl çizildiini açĹkla.

Uzayda noktalar, dorular ve dĂźzlemler

ekilde gösterildii gibi, defterinde bir çizim yap ve a dorusunun  düzlemi üzerinde projeksiyonunu belirt. AB doru parçasını verilen bir  düzlemi üzerindeki dik projeksiyonu aaıdaki durumlarda nedir: a) AB doru parçası  düzlemine dik deilse; b) eer AB ||  ekilleri incele ve açıklamaları izle. a) Eer A’ ve B’ noktaları AB doru parçasının A ve B uç noktalarının  düzleminin üzerinde projeksiyonlar ise, o zaman AB doru parçasının projeksiyonu  düzlem üzerinde A’B’ doru parçasıdır. b) Eer AB doru parçası  projeksiyon düzlemine paralel ise, onun projeksiyonu A’B’ verilen doru parçaya paralel ve eit olacaktır, yani A’B’ || AB, A’B’ = AB, çünkü ABB’A’ dörtgeni paralelkenardır (Neden?).

 düzlemine dik olan doru parçasının dik projeksiyonu nedir?

Genel durumda üçgenin projeksiyonu üçgendir. Üçgenin ait olduu düzlemin projeksiyon düzlemiyle hangi durumda üçgenin projeksiyonu üçgen deildir?

10.

Üçgenin ait olduu düzlem, projeksiyon düzlemiyle dik olduu durumda, üçgenin projeksiyonu doru parçasıdır. ekilde, PQR üçgenin projeksiyonu P’R’ doru parçasıdır.

Bilmen gerekenler: Bir düzlem üzerinde paralel ve dik projeksiyonu açıklayasın; Nokta, doru, doru parçası ve üçgenin bir düzlem üzerinde dik projeksiyonunun belirtesin.

Konu 4. Geometrik cisimler

Kendini yokla! B dorusu  düzlemini P noktasında keser. b dorusunun b’ dik projeksiyonunu belirt. Dik projeksiyonda, projeksiyon doruları ve projeksiyon düzlemi arasındaki durum nasıldır?

Ödevler 1. AB doru parçasının uç noktaları, projeksiyon düzleminin farklı taraflarında bulunuyor. Doru parçasının dik projeksiyonunu belirt. ekil çiz. 2. AB ve CD doru parçalarının dik projeksiyonları A’B’ ve C’D’dir. u iddialardan hangileri dorudur? a) Eer AB = CD, o zaman A’B’ = C’D’ b) Eer AB || CD, o zaman A’B’ = C’D’ c) Eer AB || CD ve AB = CD, o zaman A’B’ = C’D’.

3. a ve b doruları kesiiyor. Onların projeksiyonları iki farklı paralel doru olabilir mi? A, B, C noktalarının projeksiyonları A’, B’, C’ 4. doruda noktalardır. A, B ve C noktaların doruda olmaları mecburi midir? C noktası AB doru parçasının orta 5. noktasıdır. C noktasının projeksiyonu olan C’ noktasının A’B’ doru parçasının ortası olduunu açıkla. 6. M noktası a dorusu üzerinde deildir. M’ noktası projeksiyonu a’ üzerinde bulunabilir mi?

GEOMETRK CSMN ÇZMLE GÖSTERL Anımsa! Küp ve dikdörtgenler prizmasını daha evvelki öreniminde tanıdın. Onları alanı ve hacmının nasıl hesaplandıını da biliyorsun. Bu iki geometrik cisminden baka dierlerini de tanıdın: silindir, koni ve küre biçiminde cisimleri tanıyorsun. Yandaki ekilde gösterilen geometrik cisimlerden hangileri ayrıtlı, hangileri ise yuvarlaktır?

küp dikdörtgen prizma silindir

küre

Defterinde bir dikdörtgenler prizması çiz. Çizim yaparken unlara dikkat et 1o Dikdörtgenler prizmasının durduu düzlem üzerindeki yüzü ve onun karısında duran yüzüne tabanlar (üst ve alt taban) denir; onlar daima birbirine paralel ve e olan paralelkenarlardır. Bu özellik her prizma için geçerlidir. 2o Dikdörtgenler prizmasının (ve bütün dik prizmaların) yan yüzleri ve yan ayrıtları tabanlara dik olmalıdır.

Uzayda noktalar, dorular ve düzlemler

koni

3o Dikdörtgenler prizmasının (ve herhangi prizmanın) paralel ayrıtları çizimde de paralel olmalıdır. 4o Dikdörtgenler prizmasının (paralel yüzün) eklinde bütün 12 ayrıtının tümü görülemez. Çizimde görülen ayrıtlar dolu çizgi ile, görünmeyenler ise çizgi ile gösterilir. Ayrıtlardan hangisinin “görünen”, hangisinin ise “görünmeyen” olduu, paralel yüzün hangi açıdan görüldüüne balıdır: a) üstten (kuların gördüü gibi – “ku bakıı”) ya da alttan (kurbaaların gördüü gibi – “kurbaa bakıı”), veya b) sadan ya da soldan bakı.

4 5 3 6 2 1 ayrıtlar

sa, üst bakı

sol, alt bakı

5o eklin görünen altı ayrıtı (1, 2, ..., 6) dier iki çizimde de “görülür”. Çizimde 1’den 6’ya kadar sayılarla iaretlenen ayrıtlardır. 6o Kalan 6 ayrıttan, görülmeyen ortak köeli üç ayrıtı belirtmelisin. O ayrıtlar görülmeyen ayrıtlardır. Genellikle (tavsiye edilir), geometrik cisimlerinin çizimi için sa ve üst görünü alınır. Ayrıtları: (a, b, c) olan bir dikdörtgenler prizmasının çizimini görelim. a) 'dan ç) 'ye kadar basamakları izleyerek çizimi defterde yapalım: a) Kenarları a ve c olan bir dikdörta gen çiz (önceki yan yüz); b b b) Üst tabanı çiz; c c a c) Üst tabanın köelerinden c uzunc c c luunda ve c’ye paralel iki yan ayrıa tı çiz. a a a a ç) imdi alt taban da çizilebilir, hangi a) b) c) ç) ayrıtların görülmedii tespit edilebilir.

Bir küp çiz ki: a) sa taraftan ve üstten görünülü; b) sol taraftan ve üstten görünülü olsun. Yaptıın çizimi verilen çizimle karılatır a)

Konu 4. Geometrik cisimler

b)

Bir küp çiz ki: a) sa alt taraftan;

b) sol alt taraftan görünsün.

Yaptıın çizimi verilen çizimle karılatır. a)

b)

Yandaki ekilleri incele. Orada bir altıgen dik prizma ve iki piramit (biri üçgen, dieri ise dörtgen tabanlı) verilmitir. Bu ayrıtlı cisimlere ilerdeki derslerde rastlayacaksın. Bir dik üçgen prizma çiz. Tabanı begen olan piramit çiz.

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Geometrik cismi çizimle gösteresin. Bakıı sol üst taraf olmak üzere bir dikdörtgenler prizmasını çiz.

Ödevler 1.

Ayrıtı a = 2,5 cm olan bir küp çiz.

2.

Tabanı kare olan, üstten ve: a) sa taraf; b) sol taraf bakılı bir dikdörtgenler prizması çiz.

3.

Tabanı kare olan, alttan ve: a) sol taraf; b) sa taraf bakılı bir dikdörtgenler prizması çiz.

4. Bir dikdörtgenler prizmasını dört bakı açısına göre çiz.

Saymayı dene... Ayrıtı 3 dm olan odundan bir kübün tüm altı yüzü kırmızı renkle boyanmıtır. Marangoz efki Amca bu kübü keserek ayrıtı 1 dm olmak üzere 27 tane küp yapmıtır. a) Kaç kübün hiçbir yüzeyi kırmızı boyalı deildir? b) Kaç kübün tam birer yüzü kırmızı boyalıdır? c) Kaç kübün tam ikier yüzü kırmızı boyalıdır? ç) Kaç kübün tam üçer yüzü kırmızı boyalıdır? d) Kaç kübün tam dört yüzü kırmızı boyalıdır?

Uzayda noktalar, dorular ve düzlemler

PRZMA PRZMA. PRZMA ÇETLER. KÖEGEN KESTLER Bir prizmanın nasıl elde edildii açıklamayı izle.

Anımsa! Küp ve dikdörtgenler prizması uzay geometrik cisimleridir. Onların yüzleri, nasıl geometrik ekillerdir? Onlardan birinde tüm yüzler e ekillerdir. Hangisinde? Bir küp ve bir dikdörtgenler prizması çiz ve neyle farklatıklarını açıkla.

ekilde gösterildii gibi, iki farklı paralel düzlem  ve 1 alınır.

 üzerinde olan daha bir begen ABCDE alınır. Ondan sonra, düzlemleri kesen bir p dorusu çizilir. Seçilen çokgenin köelerinden geçen ve p dorusuna paralel olacak dorular çizilir. ekilde onların 1 düzleminin kestikleri noktaları sırasıyla A1, B1, C1, D1, E1 ile iaret edilmitir. ekille ilgili u önermelerden hangilerinin doru olduunu açıkla. AA1 || BB1 ve AB || A1B1 ve Her üç önermenin doru olduunu görüyorsun. Buna göre u sonuca varabilirsin: a) ABB1A1, BCC1B1 v.b. dörtgenleri paralelkenarlardır. b) A1B1C1D1E1 begeni ABCDE begeni ile etir. ki begenden ve be paralelkenardan oluan geometrik ekil çizimle gösterilmitir. O ekil bir yüzeydir ve uzaydaki noktalar kümesini, iç bölge ve dı bölge olmak üzere iki alt kümeye ayırıyor. Konu 4. Geometrik cisimler

Bu yüzey ve onunla sınırlanan iç bölge ile beraber begen prizma denilen bir geometrik cisim meydana gelmitir. Benzer ekilde üçgen prizma, dörtgen prizma vb. elde edilebilir. Prizmanın eklini (cinsini) belirten üçgenlere, dörtgenlere, begenlere vb. prizmanın tabanları denir. Dier yüzler ise paralelkenarlardır – onlar prizmanın yan yüzleridir ve onların birleimine prizmanın yanal alanı denir. Her prizmanın iki tabanı ve bir yanal yüzeyi vardır. Tabanların köeleri prizmanın köeleridir, tabanların ve yan yüzlerin kenarlarına (doru parçalarına) ise prizmanın ayrıtları denir, onlar taban ayrıtları ve yanal ayrıtlar diye adlandırılıyorlar. ekilde, iki üçgen prizma ve bir dikdörtgenler prizması (dörtgen prizma) gösterilimtir. Her üç prizmanın tabanlarını adlandır. ki üçgen prizmanın yan yüzlerini adlandır. Bir dörtgen prizmanın kaç köesi ve kaç ayrıtı vardır? Önceki örnekte verilen begen prizmanın hangi ayrıtları taban ayrıtlar, hangileri ise yan ayrıtlardır? Yukarıdaki ekilde verilen begen prizmanın, köelerini(t), yan yüzlerini (s) ve ayrıtlarını (r) say ve u eitliin doru olup olmadıını yokla: s + t = r + 2. Yan ayrıtları tabanlarına dik olan prizmaya dik prizma denir. ekildeki I ve II prizmalar bu cinstendir. Yan ayrıtları tabanlarına dik olmayan prizmalara eik prizma denir. ekilde III ve IV prizmalar bu cinstendir. Tabanı paralelkenar olan prizmaya paralelyüz denir.

I

II

III

IV

ekilde, I - IV iaretlenen prizmaları adlandır: Tabanına göre; Yan ayrıtların tabanlarla durumuna göre; Taban ve yan ayrıtların tabanlarla durumuna göre. Tabanı düzgün çokgen olan her dik prizmaya düzgün prizma denir. Üyle ki, tabanı kare olan dik prizmaya düzgün dörtgen prizma denir. Prizma

a) dörtgen prizmanın; b) dikdörtgen prizmanın; prizmanın; düzgün altıgen prizmanın kaç tane ve nasıl yüzleri vardır?

c)

düzgün

dörtgen

Unutma Bir prizmanın paralel tabanları arasındaki uzaklıa, prizmanın yükseklii denir. ekil IV’teki prizmada yükseklik MM’ doru parçasının uzunluudur, II‘deki prizmada ise AA1 doru parçasının uzunluudur. ekilleri incele ve unları kaydet: Bir prizma verilen bir düzlemle kesilirse, prizmanın kesiti denilen bir çokgen elde edilir. Prizmanın komu olmayan iki yan ayrıtından geçen düzlemle kesitine prizmanın köegen kesiti denir. Bir prizmanın son noktaları iki köe aynı yüze yatarsa, cisim kesiti denir ya da sadece prizmanın kesiti. ekildeki prizmanın cisim köegeni DB1 doru parçasıdır. Yukarıdaki ekilde ABCDEA1B1C1D1E1 begen prizmanın ACC1A1 köegen kesiti (taralı) olarak gösterilmitir. Onun en az daha iki köegen kesitini adlandırınız. Her köegen kesit, paralelkenardır ve bu paralelkenarın bir çift karılıklı kenarları tabanın köegenleridir; iddiasını nasıl açıklayacaksın? Dik prizmanın köegen kesiti nasıl paralelkenardır? a) begen prizmanın; b) altıgen prizmanın; c) sekizgen prizmanın kaç köegen kesiti vardır? Yukarıdaki çekilde verilen prizmalarla ilgili u soruları cevapla: ABCDA1B1C1D1 dörtgen prizmanın tüm cisim köegenlerini adlandır. (Dikkatli ol 4 köegeni vardır). ekildeki begen prizmanın kaç köegeni vardır? Bir köegen kesitte kaç köegen vardır? Onlar köegen kesitinin nesidir?

Konu 4. Geometrik cisimler

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

Prizma çeitlerini tanımalısın ve adlandırmalısın;

Bir prizmanın tabanları, kenarlarına göre farklı olabilir mi? Bir prizmanın ayrıtlarının sayısı: a) 6; b) 9; c) 12; ç) 15 olabilir mi?

Prizmanın elemanlarını adlandırmalısın (tabanları, yan ayrıtları, yüzleri...) Prizmanın kesitinlerini, köegen kesitini ve cisim köegenini tanımlamalısın ve çizmelisin.

Dik prizma nedir? Düzgün prizma nedir?

Ödevler 1. Düzgün yedigen prizmanın kaç yan yüzü vardır? Onlar nasıl çokgenlerdir?

4.

Eik prizmanın tabanları düzgün çokgenler olabilir mi?

5.

a) 4; b) 8; c) 13 yüzlü prizma var mıdır?

6.

a) üçgen; b) begen; c) altıgen tabanlı prizmanın üst tabanının bir köesinden kaç cisim köegeni çizilebilir?

2. n-gen prizmanın kaç yan yüzü vardır? 3. Yan yüzlerin sayısı s ve taban ayrıtlar sayısı r arasında nasıl baıntı vardır?

PARALELYÜZ. PRZMANIN AÇILIMI VE PRZMANIN ALANI Anımsa! Bir prizmanın yan yüzleri nasıl çokgenlerdir? a) dik; b) eik prizma nedir? Hangi prizmaya düzgündür denir? Dikdörtgenler prizması düzgün prizma mıdır? Küp, düzgün prizma mıdır?

Paralelyüzün tüm altı yüzü paralelkenarlardır. Onlardan (yani ortak ayrıtları olmayan) üç çift karıt yüzler oluturabilinir.

ekilde verilen paralelyüzün ADD1A1 ve BCC1B1 karıt yüzler çiftini incele ve u soruları cevapla: Dier iki karıt yüzleri adlandır? Birbirine göre ve uzunluklarına göre: AD ve BC; AA1 ve BB1; AB ve A1B1ayrıtları nasıldır? Neden? ADD1A1 ve BCC1B1 yüzlerinin e paralelkenarlar olduklarını göster. Prizma

Genel ve geçerli Paralelyüzde herhangi iki karıt yüz paralel ve etir. Hangi paralelyüze dik paralelyüz, hangisine ise eik paralelyüz diyebilirsin?

Paralelyüz bir prizma olduuna göre, yan ayrıtları tabanla dik oldukları durumda paralelyüz diktir. Aksi halde yan ayrıtları dik olmadıı durumda paralelyüz eiktir.

Tabanı dikdörtgen olan dik paralelyüze, dikdörtgenler prizması denir. Bir köesinden çıkan üç ayrıtının uzunluklarına (örnein, ekildeki AB, BC, BB1) dikdörtgenler prizmasının boyutları denir. Boyutları eit olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. ekildeki paralelyüzün BDD1B1 köegen kesitini incele ve u soruları cevapla: Paralelyüzün köegen kesitleri nasıl dörtgenlerdir? BD1 ve DB1 cisim köegenleri büyüklüklerine göre ve aralarındaki duruma göre nasıldır? Dikdörtgenler prizmasının kaç cisim köegeni vardır ve onlar büyüklüklerine göre ile aralarındaki duruma göre nasıldır? ekildeki BCD1A1 dörtgeni incele. O bir dikdörtgendir (Neden?). Onun köegenleri BD1 ve CA1 birbirine eittir. Buna göre : CA1 = BD1 = DB1 (= AC1) 'dir.

Unutma Dikdörtgenler prizmasında , tüm cisim köegenler birbirine eittir. Onlar biribirini yarıya bölen bir noktada kesiiyorlar. ekilde, boyutları a,b,c olan bir dikdörtgenler prizması çizilmitir. Onun BD1 cisim köegenini incele ve d = BD1 uzunluu için u formülün geçerli olduunu düün ve sonuç getir:

Konu 4. Geometrik cisimler

Verilen sonucu elde etmek için unları gözetlemelisin: a) 'BAD dik üçgendir ve BD2 = a2 + b2 (Neden?); b) 'BDD1 dik üçgendir d2 = BD2 + c2 (Neden?) Demek ki: d2 = a2 + b2 + c2. 4.

Boyutları 8 cm, 6 cm ve 24 cm olan dikdörtgenler prizmasının köegenini hesapla.

Bir dörtgen tabanlı dik prizma verilmi olsun. ekilde gösterildii gibi bir yan ayrıtı ve üçer taban ayrıtı üzerinde “kesilmi” olduunu düün. Ondan sonra onun tüm yüzlerini ve bir düzlem üzerinde yayarsak, prizmanın açılımı denilen bir ekil elde edilecektir.

Unutma Her dik prizmanın birer açılımı vardır. Açılım iki çokgenden (prizmanın tabanları) ve boyutları L (taban çevresi) ve H (yan ayrıtın uzunluu) olan bir dikdörtgenden olumaktadır.

5.

Yandaki ekil, bir dikdörtgenden ve dikdörtgene “eklenen” iki e üçgenden olumutur. O ekil bir dik üçgen prizmanın açılımı olduunu açıkla. O, düzgün prizma mıdır? Neden?

6.

Yandaki ekillerden hepsi birer prizmanın açılımı mıdır? Düünerek hafızanızda bir küp oluturmaya veya bir model yapmaya çalı. a)

b)

Prizma

c)

ekilde gösterilen bir çokgen prizmayı incele ve yüzlerinin hangi çokgenler olduunu tespit et.

Anımsa! Bir çokgen prizmasının alanı (e çokgenler olan) iki tabandan ve (paralelkenarlardan oluan) yanal yüzeyden meydana gelir.

Prizmanın tüm yüzlerinin alanlarının toplamına prizmanın alanı denir.

Bir prizmanın alanı P için u geçerlidir:

P = 2B + M B – bir tabanın alanı; M – yanal yüzeyin alanı.

Bir üçgen tabanlı dik prizmanın taban ayrıtları a = 6 cm, b = 25cm, c = 29 cm ve yükseklii H = 35 cm 'dir. Alanını hesapla. Elde ettiin çözümü verilen çözümle karılatır. Tabanın alanı B Heron formülüyle hesaplanabilir:

d.o.k Yanal alanı M üç dikdörtgenden olumutur ve bu yüzden onun yanal alanı: M = a · H + b · H + c · H = (a + b + c) · H = L · H = 60 · 35, yani M = 2100 cm2'dir. Buna göre, prizmanın alanı P: P = 2B + M = 2 · 60 + 2100 = 2220, yani P = 2220 cm2.

Genel olarak! Dik prizmanın yanal yüzeyinin alanı M, u formülle hesaplanır:

M = L · H, burada L taban çevresi, H ise prizmanın yüksekliidir. Taban ayrıtı a = 5 cm ve yükseklii H = 7 cm olan düzgün altıgen prizmanın yanal alanı M hesaplansın. Dikdörtgenler prizmasının ve kübün alanını önceden de hesapladın. Konu 4. Geometrik cisimler

Gözetle ve açıkla: Boyutları a, b, c olan (aynı ölçü birimiyle ifade edilmi) bir dikdörtgenler prizmasının alanı u formülle hesaplanır:

P = 2(ab + ac + bc). Ayrıtı a olan kübün alanı u formülle hesaplanır:

P = 6a2 P = 61,44 cm2 olan kübün ayrıtını hesapla. 10.

Alanı hesaplamak için formülleri açıkla: a) düzgün üçgen prizma b) düzgün dörtgen prizma: c) düzgün altıgen prizma: Taban ayrıtı a ve H yükseklii ile

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla! Ayrıtı a olan kübün d köegeni için formül belirt. Düzgün dörtgen prizmanın açılımını çiz.

Paralelyüzü tanıyasın, çizimini yapasın ve özelliklerini ifade edesin; Dikdörtgenler prizması ve kübün çizimini ve çeitli prizmaların açılımlarının çizesin;

Taban ayrıtı 5 cm ve yükseklii 10 cm olan düzgün dörtgen prizmanın alanını hesapla.

Çeitli prizmaların alanı için genel bir kuralın ifade ediliini ve prizmaların alanını hesaplayasın.

Ödevler 1.

a) boyutları 2,4 dm; 2 dm; 8,5 cm olan dikdörtgenler prizmasının; b) ayrıtı 2,5 cm olan kübün alanınlarını hesapla

2.

Bir kübün alanı 294 cm2'dir. Kübün ayrıtını ve cisim köegenini hesapla.

3.

Yanal alanı M = 160 cm2 ve bütün alanı P = 210 cm2 olan bir düzgün dörtgen prizmanın yüksekliini hesapla.

Prizma

Düzgün dörtgen prizmanın a, H, B, M, P elemanlarından bazıları verilmitir. Bilinmeyen büyüklükleri belirt: a) a = 4,5 cm, H = 8,4 cm; b) a = 12 cm, M = 432 cm2; c) a = 8 cm, P = 480 cm2 ç) B = 49 cm2, H = 12 cm; d) B = 81 dm2; P = 342 dm2; e) H = 8 dm, M = 208 dm2; f) M = 120 dm2, B = 36 dm2 g) M = 180 cm2, P = 342 cm2

.

Yan ayrıtı 12 cm bir dik prizmanın tabanı: köegenleri 6 cm ve 8 cm olan bir ekenar dörtgendir. Prizmanın alanını hesapla.

.

Çizimle gösterilen 1 – 8 ekillerinden hangileri bir kübün açılımıdır?

1

2 3

Bir kübün ayrıtı 3 defa büyürse, alanı kaç defa büyür?

5 4

Bir düzgün üçgen prizmanın a, H, B, M, P santimetre olarak verilmi olan elemanları arasında bilinmeyen olanları belirt. a)

b)

c)

ç)

d)

e)

6

7

8

Örümcek sinee eriebilir mi? ekilde, taban ayrıtı 1 cm ve yükseklii 3 cm olan düzgün dörtgen prizma gösterilmitir. Bir örümcek (P) ve bir sinek (M) ekilde gösterildii durumda bulunuyorlar. Örümcek sinee: “Sana geliyorum, beni bekleyecek misin?” diye sormu. “Bekliyorum, fakat iki artım var.” diye sinek cevap vermi ve artlarınının gerçeklemesini söylemi: 1) Yan yüzlerin hepsinden geçmelisin ve 2) Geçilen yol 5 cm’den büyük olmamalıdır. Sinek kurtulacak mıdır, yoksa örümcek sinee ulamanın bir yolunu bulacak mıdır?

Konu 4. Geometrik cisimler

P

AYRITLI CSMLERN HACMI. DKDÖRTGENLER PRZMASININ VE KÜBÜN HACMI

Anımsa! Küp, dikdörtgenler prizması ve dier prizmalar uzay geometrik ekilleridir. Onlar “uzayda belli bir yer kapıyorlar” ve geometrik cisimler olarak adlandırılıyorlar. Onlardan baka geometrik cisimler de vardır.

ekilde geometrik cisimlerinin modelleri çizilmitir. Onların herbirini adlandır. Onlardan hangileri ayrıtlı, hangileri ise yuvarlaktır? 3 1

4

Genel olarak

2

6

5

Geometrik cisim (ya da kısaca: cisim), uzayın sınırlı ve kapalı bir kısmıdır diyebiliriz. Cismin kapalı olduu yüzey, yanlız çokgenlerden meydana gelmise, elde edilen cisme ayrıtlı cisim veya çok yüzlü cisim (örnek olarak: prizma, piramit) denir. Cismin sınırlanmı olduu yüzey kısımlarından herhangi biri eri yüzey ise, ona yuvarlak cisim denir (örnein: silindir, koni, küre gibi). Çevrenizde: a) ayrıtlı cisim; b) yuvarlak cisim olan üçer nesne say. Tabanları e üçgenler olan ('ABC 'MNP) ve yan ayrıtları eit olan AA1 = MM1 ekilde verilmitir. Herhangi bir öteleme yaparak A, B, C köeleri sırasıyla M, N, P köeleriyle ve dier tabanın A1, B1, C1 köeleri karılıklı olarak M1, N1, P1 köeleriyle çakıtıı durumda, prizmalarla ne olur? Farkettiin gibi böyle bir ötelemeyle prizmalar tamamen birbiriyle çakıacaktır. Bu yüzden onlara birbiriyle etir denir.

Unutma Belli bir öteleme yaparak (hareketle) onları çakıık duruma getirebilirsek iki geometrik ekline (özellikle iki geometrik cismine) etirler denir.

Prizma

Yandaki ekilde a) ıkkında gösterilen dikdörtgenler prizması EFF1E1 düzlemiyle kesilerek ortak iç noktaları olmayan iki dikdörtgenler prizmasını ayrılmıtır. Onlara, verilen dikdörtgenler prizmasının parçalarıdır (elemanlarıdır) denir. b) ıkkında verilen prizma kaç kısıma ayrılmıtır? Onları adlandır. a)

b)

Anımsa! Boyutları a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmını hesapla; Bu durumda elde ettiin (45 cm3) sayısı dikdörtgenler prizmasının iç kısmının büyüklüünü göstermektedir. (45 cm3) sayısı ne gösterir? O sayı verilen dikdörtgenler prizmasında ayrıtı 1 cm olan 45 tane küp sıdıını göstermektedir, yani hacmı 1 cm3 olan 45 tane küp yerletirebiliriz. Bu nedenle dikdörtgenler prizmasının hacmı 45 cm3’'tür deriz.

Her cisim uzayda belli bir yer alır. Cismin iç kısmının “büyüklüüne”, yani uzaydan ayrılan bu kısıma cismin hacmı denir. Bir cismin hacmını belirtmek, yani hacmını ölçmek genel olarak, düzlem ekillerin alanlarınının belirtilmesi ile aynıdır. Bir geometrik cismin iç kısmının büyüklüü, özellikle çok yüzlünün büyüklüü bir reel sayıyla ifade edilebilir ve bu sayıya cismin hacmı denir.

Unutma Herhangi geometrik cismine onun hacmı denilen bir V reel sayısı karılık gelebilir ve çok yüzlünün hacmı gibi adlandırılır, öyleki bu durumda u koulların salanması gerekir (hacim için aksiyomlar) Herhangi çok yüzlünün hacmı V, daima pozitif sayıdır, yani V > 0. Eer iki çok yüzlü birbirine e ise, onların hacımları V1 ve V2 birbirine eittir, yani V1 = V2 Birçok yüzlü iki kısıma ayrıldıında, onun hacmı V kısımlarının V1 ve V2 hacımlarının toplamına eittir, yani V = V1 + V2. Konu 4. Geometrik cisimler

Ayrıtı 1 cm (1 dm, ya da 1 m, v.b.) olan kübün hacmı 1 cm3 (1 dm3, yani 1 m3 v.b.) olarak alınır. 5. Ödev 4’ün a) ıkkındaki dikdörtgenler prizmasında kendisinin ve kısımlarının boyutları iaret edilmitir. Dikdörtgenler prizmasının V hacmını hesapla, ondan sonra onun kısımlarının V1 ve V2 hacımlarını hesapla. Bu durum için (1o ve 3o) aksiyomlarını yokla. 6.

Aksiyom 3o ten yararlanarak, bir cismin hacmının, kendi parçalarının herhangı birinin hacminden büyük olduunu nasıl gösterebiliriz?

Dikkat et ve unutma Koul 4o ile ilgili hacmın temel ölçü biriminin belirtilmesi çok önemlidir. Ölçü birimi olarak herhangi bir kübün hacmi alınabilir. Halbuki uluslararası ölçü birimi sistemine (S) göre, bu küp ayrıtı 1m olan küp olarak alınmıtır ve ona metre küp denilmitir; iareti m3 .

7.

Metreküpten elde edilen ve ondan küçük ölçü birimleri hangileridir? 1 m3 ‘te kaç: a) desimetreküp (dm3); b) santimetreküp (cm3); c) milimetreküp ( mm3) vardır? m3lerle hesapla:

a) 2 350 dm3,

b) 625 000cm3,

c) 55 · 106mm3

Hacımları ölçerken (genellikle sıvılarda) litre denilen ölçü birimi de kullanılmaktadır. Bu durumda: 8.

a) 35dm3;

b) 2 500cm3;

c) 2m3 ‘te kaç litre küp vardır?

Hacim aksiyomu gereince, boyutları a, b, c olan dikdörtgenlerprizmasının hacmi:

formülüyle, kübün ise, (a = b = c) olan dikdörtgenler prizmasının hacmi formülüyle hesaplanır. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplamak için formül: eklinde de yazılabilir. Bu durumda B = a ·b dikdörtgenler prizmasının taban alanıdır, a H = c ise yüksekliidir.

Prizma

Dikdörtgenler prizması biçiminde bir kabın taban ayrıtları a = b = 25 cm’dir ve 25 litre su sıar. Kabın yükseklii ne kadardır?

Bilmen gerekenler: Çeitli pratik örneklerde dikdörtgenler prizmasının ve kübün hacmi nasıl hesaplanır; Hacim ölçü birimlerinin kullanılması.

Kendini yokla! Ayrıtı: a) 2cm ; b) 3cm; c ) 1dm olan küpte, ayrıtı 1cm olan kaç tane küp yerletirilebilir? Dikdörtgenler prizması biçiminde bir kabın taban ayrıtları a = b = 30 cm ve yükseklii H = 40 cm’dir. Kabda kaç litre su sıar?

Ödevler Alanı 54 cm2 olan kübün hacmini hesapla. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları: 16cm, 4dm, 1m’dir. Bu prizmanın hacmine eit olan kübün ayrıtını hesapla. Bir kübün alanı cm2 olarak ve hacmi cm3 olarak ifade edilmitir. Bu kübün ayrıtı ne kadardır? Bir dikdörtgenler prizmasının tabanı karedir. Onun taban ayrıtı 4 cm ve yanal alanı M = 112 cm2 ’dir. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesapla. Bir dikdörtgenler prizmasının taban ayrıtları 6 cm ve 8 cm, cisim köegeni ise 26 cm’dir. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesapla.

Konu 4. Geometrik cisimler

6. Bir kübün hacmi boyutları: 8 cm, 4 cm, 2 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmine eittir. Kübün alanını hesapla.

7. Yükseklii 2,80 m ve kalınlıı 40 cm olan bir duvarın yapılması için 2 600 tula gerekir. 1 m3 duvar için 400 tula harcandıına göre duvarın uzunluu nekadardır? 8. Bir dik prizmanın yükseklii 8 cm’dir. Onun tabanı katetleri a = 3 cm ve b = 4 cm olan bir dik üçgen olduuna göre hacmini hesapla. Hacmi hesaplamak için prizmayı boyutları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının yarısı gibi düün.

DK PRZMANIN HACM Anımsa! Boyutları a, b, c olan dikdörtgenler prizmasının hacmi V = abc formülüyle hesaplanır. Dikdörtgenler prizmasının hacmine ait V = BH formülü nasıl elde edilir? Kübün hacim formülü V = a3 olduunu biliyorsun. Küpte V = BH formülü geçerli midir? Katetleri a ve b olan dik üçgenin alanı nasıl hesaplanır?

Tabanı dik üçgen olan prizmanın hacmini hesaplamak için dikdörtgenler prizmasının hacmine ait olan formül geçerlidir. V = BH, Burada B taban alanı, H ise prizmanın yüksekliidir. Bu iddianın açıklamasını izle:

a) ıkkındaki ekilde, katetleri a ve b olan dik üçgen prizmanın tabanıdır, yükseklii ise H’dir. b) ıkkındaki ekilde ise verilen prizma kendine e olan dier bir prizmayla, dikdörtgenler prizmasına tamamlanmıtır. Dikdörtgenler prizmasının hacmi Vk verilen üçgen tabanlı prizmanın V hacminden iki defa büyüktür, yani Vk = 2V’dir. Neden?

Bildiimiz gibi ’ dir. Buna göre elde edilir.

yani a)

verilen prizmanın taban alanı olduuna göre (Neden?) Buna göre her prizmanın hacmini hesaplamak için

b)

yazılır. formülü elde edilir.

Tabanı dik üçgen olan dik prizmanın hacim formülünü sözlerle ifade et. Katetleri 6 dm ve 8 dm olan dik üçgen bir dik prizmanın tabanıdır. Prizmanın yükseklii 1,5 m olduuna göre hacmini hesapla. Geliigüzel tahminen bir üçgen çiz ve onu bir yüksekliiyle iki dik üçgene ayır. ekilde görüldüü gibi, en büyük kenara karılık gelen yükseklik çizilerek onu daima yapabilirsin. ekilde tabanı herhangi bir üçgen olan dik prizma gösterilmitir Bu dik prizmanın tabanları dik üçgenler olan iki dik üçgen prizmaya ayrılması için hangi düzlemle kesilmitir? Açıkla. Prizma

Bundan yararlanarak, verilen üçgen tabanlı prizmanın hacminin V = B · H formülüyle hesaplandıını ispatla (B – taban alanı, H yüksekliktir). V1 = B1 · H ve V2 = B · H prizmanın olutuu iki prizmanın hacimleri olduunu gördün, o halde aksiyom 3o gereince verilen prizmanın hacmi V için unu yazabiliriz: Verilen prizmanın taban alanını B ile iaret edersek B = B1 + B2 olduuna göre,

formülü elde edilir. Demek ki, tabanı üçgen olan dik prizmanın hacmi, taban alanı ve yüksekliinin çarpımına eittir. Kenarları a = 13 cm , b = 14 cm, c = 15 cm olan bir üçgen, yükseklii H = 20 cm olan bir dik prizmanın tabanıdır. Prizmanın hacmini hesapla. Taban ayrıtı 6 cm ve yükseklii 8 cm olan bir düzgün üçgen dik prizmanın hacmini hesapla. 7.

ekilde bir begen dik prizma gösterilmitir. Onun bir köesinden tabanının iki köegeni çizilmitir. ekli incele ve soruları cevapla:

Tabanın bir köesinden kaç köegen kesiti yapılabilir? Bu köegen kesitlerle kaç dik üçgen prizma elde edilebilir? Elde edilen I, II, III dik üçgen prizmaların hacimleri sırasıyla V1, V2, V3 ile iaret edilirse, verilen begen prizmanın hacmi nasıl ifade edilebilir? Verilen begen prizmanın taban alanı B ve yükseklii H ile iaret edilirse, begen prizmanın hacmine ait formülü nasıl yazabilirsin? Begen prizma hacminin, ayrıldıı üçgen prizmaların hacimlerinin toplamına eit olduunu her halde cevapladın. Böyle sonuç her prizma için de geçerlidir. Buna göre: Dik prizmanın hacmi V, tabanı B 'nin ve yükseklii H'nin çarpımına eittir, yani

Taban ayrıtı a = 10 cm ve yükseklii H = 60 cm olan düzgün dörtgen dik prizma biçiminde bir kabın hacmini hesapla. Bu kabda kaç litre sıvı sıar? Yükseklii 12 cm olan bir dik prizmanın tabanı, kateti 8 cm olan ikizkenar dik üçgendir. Prizmanın hacmini hesapla. Konu 4. Geometrik cisimler

Sonuçları aaıdakilerle karılatır:

Taban ayrıtı a ve yükseklii H olan ; a) düzgün üçgen prizmanın; b) düzgün dörtgen prizmanın; c) düzgün altıgen prizmanın hacmini hesaplamak için formül bul.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla! Taban ayrıtı a = 4c ve yükseklii H = 13 cm düzgün altıgen prizmanın hacmini hesapla.

Genel formülle prizmanın hacmini hesaplayasın; Düzgün üçgen, düzgün dörtgen ve düzgün altıgen prizmanın hacmini hesaplamak için formülü belirtesin;

ki üçgen prizmanın yükseklikleri ve hacimleri eittir. Onların tabanları: a) e üçgenler; b) eit alanlı üçgenler olması art mıdır?

Pratik örneklerde prizmanın alanını ve hacmini hesaplarken hacim ölçü birimlerinden yararlanılmasını.

Ödevler 1.

Uzunluu 2 m ve genilii 1 m olan bir sandık 16 hl pirinç sıar. Sandıın yükseklii ne kadardır?

2.

Tabanın çevresi 24 cm ve yükseklii 10 cm olan düzgün altıgen prizmanın hacmini hesapla.

3.

Köegenleri 24 cm ve 10 cm olan bir ekenar dörtgen bir prizmanın tabanıdır: Prizmanın yükseklii 20 cm olduuna göre, alanını ve hacmini hesapla. Bir düzgün dörtgen prizmanın alanı P = 448 dm2 ve yanal alanı M = 320 dm2’dir. Prizmanın hacmini hesapla.

4.

5.

Verilere göre düzgün üçgen tabanlı prizmanın hacmini hesapla; a) taban ayrıtı 6 cm ve yükseklii 8 cm; b) taban ayrıtı a ve yükseklii 4a.

6.

Taban ayrıtı a = 6 cm ve hacmi V = 1260 cm3 olan düzgün altıgen prizmanın yükseklii ne kadardır?

7.

2 km uzunluunda bir kanalın enine kesiti, tabanları 6 m ve 10 m ve yan kenarı 2,9 m olan bir ikizkenar yamuktur. Bu kanalın kazılmasında kaç m3 toprak çıkarılmıtır? Düzgün dörtgen prizmanın a, H, B, M, P, V büyüklükleri arasında verilenlere göre (cm; cm2; cm3 ), bilinmeyenleri belirt: a) a = 5, M = 160; ç) H = 14, V = 1694; b) a = 3, P = 66; d) H = 15, M = 780; c) B = 36, M = 168; e) M = 160, V = 200.

8.

Prizma

PRAMT PRAMT. PRAMDN ALANI Anımsa! Çokyüzlü veya ayrıtlı cisim nedir? Prizma, neden ayrıtlı cisimdir? Bir prizma neye göre, üçgen prizma, dörtgen prizma vb. diye adlandırılır? Neye göre ise prizma düzgün veya dik diye adlandırılır? Mısır piramitlerinden herhangi birini sözlerle açıkla.

Aaıdaki ödevde verilen çizimleri incele ve açıklamayı izle. Böylece daha bir ayrıtlı cisimle tanıacaksın. Verilenler: bir düzlem ; onun üzerinde bir n-gen, örnek: ABCDE;  düzlemine ait olmayan bir S noktası; Bir ucu S noktasında dieri ise begenin köelerinde olmak üzere doru parçalar çiziliyor. Bu ekilde kaç üçgen elde edilmitir? O üçgenleri adlandır. Tüm be üçgenin neleri ortaktır? Verilen begen ve elde edilen be üçgenin alanını incele.

Verilen begenin alanı ve elde edilen be üçgenin alanları, uzay noktalarının kümesini iç bölge ve dı bölge olmak üzere iki alt kümeyi ayırıyorlar. ç bölge ve adı geçen alanlar beraber begen piramit denilen bir geometrik cismi meydana getirirler. Bu piramit ayrı olarak yandaki ekilde gösterilmitir. Verilen begene piramidin tabanı, elde edilen üçgenlere ise ABS, BCS,... – piramidin yan yüzleri denir, S noktası ise piramidin tepesidir. S tepesi ve tabanın köeleri, piramidin köeleridir, yan yüzleri piramidin yanal alanını oluturuyorlar. Piramitte de taban ve yanal ayrıtlar vardır. Aynı yöntemle üçgen piramit, dörtgen piramit ve baka piramitler elde edilebilir. Onlardan herbirine kısaca, piramit denir. Konu 4. Geometrik cisimler

2.

ekilde üçgen piramit SABC ve dörtgen piramit SABCD gösterilmitir. Onları adlandır: a) taban ayrıtlarını; c) tabanını; b) yan ayrıtlarını; ç) yan yüzlerini; 1) SABC; 2) SABCD piramitlerinin adlandır. ekildeki SABCD piramidinde SS’ doru parçasına dikkat et. S noktası piramidin tepesi ve S’ ise onun taban üzerinde dik projeksiyonu olmak üzere SS’ doru parçasına piramidin yükseklii denir.

S’ noktası yüksekliin dikme ayaıdır. Genellikle SS’ doru parçasının uzunluuna da piramidin yükseklii denir. 3. Verilenlere göre piramidin hangi cinsten olduunu belirt: 1. a) 4, b) 6, c) 9 köesi; 2. a) 6, b) 10, c) 12 ayrıtı; 3. a) 4, b) 7, c) 10 yüzü. Piramidin tepesinden ve tabanının herhangi köegeninden geçen düzlemle kesitine piramidin köegen kesiti denir.

ekilde, piramidin ACS köegen kesiti gösterilmitir. Böyle daha iki kesiti bul ve adlandır. Bu piramidin kaç köegen kesiti var? Herhangi piramidin kaç köegen kesiti vardır? Bu piramitte BDS ve ECS üçgenlerin de köegen kesitler olduunu farkettim. Bu piramidin 5 köegen kesiti vardır. Her piramidin tabanında köegen sayısı olduu kadar köegen kesitleri da vardır. ekilde, tabanı kare ve yüksekliinin dikme ayaı tabanının köegenlerinin O kesiim noktasıyla çakıan SABCD piramidi gösterilmitir. ekili gözetle ve açıklamaları incele. O noktası karenin (tabanın) köegenlerini yarıya böler. AOS, BOS, COS, DOS dik üçgenlerinin birer ortak katetleri vardır (OS yükseklii), dier katetleri ise karenin köegeninin yarısına eittir. KAK kuralına göre onlar birbiriyle etir. Böyle piramitte u sonuca varabiliriz: a) tüm yan ayrıtlar birbirine eittir; b) yan yüzler birbirine e olan ikizkenar üçgenlerdir; c) yan yüzlerin yükseklikleri birbirine eittir. Piramit

Bu piramide ve tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekliinin dikme ayaı tabanın merkezine düen her piramide düzgün piramit denir. Düzgün piramidin herhangi yan yüzünün h yüksekliine piramidin apotemi denir. Taban ayrıtı a = 14 cm ve yan ayrıtı s = 25 cm olan düzgün üçgen piramidin h apotemini hesapla. ekilde gösterilen AES üçgenini incele. Kaıttan yapılmı bir piramit düün ve onu tüm taban ayrıtları (bir hariç) ve bir yan ayrıtı üzerinden kesersek, piramidin alanını bir düzlem üzerinde “serebiliriz”. Bu ekilde piramidin açılımı elde edilir. ekilde, taban ayrıtı a ve yan ayrıtı s olan bir düzgün üçgen piramidin iki açılımı çizilmitir. Her iki çizim yöntemini incele ve sözlerle açıkla. Bir düzgün dörtgen piramidin açılımını çiz ve açıkla. Prizmada olduu gibi, bütün yüzlerin alanlarının toplamına piramidin alanı denir. Buna göre: Taban alanını B ile, yanal alanı da M ile iaret edersek, piramidin alanı u ekilde yazılabilir. Taban ayrıtı 14 cm ve yanal ayrıtı s = 25 cm olan düzgün dörtgen piramidin alanını hesapla. Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. Tabanı için:

yani B = 196 cm2 elde edilir;

Yanal alanı için

burada h apotemdir.

Apotemi hesaplamak için AES dik üçgeninde Pitagor Teoremi’ni uygulayacaız:

Demek ki, M = 2ah = 2 · 14 · 24 = 672, yani M = 672 cm2 Buna göre, P = B + M = 196 + 672 = 868, yani P = 868 cm2 olduunu buluyoruz. Konu 4. Geometrik cisimler

8.

Taban ayrıtı a = 10 cm ve yükseklii H = 12 cm olan düzgün dörtgen piramidin alanını hesapla. H apotemini belirtmek için ödev 7’de gösterilen ekilde SOE üçgeninden yararlan. Üçgen piramit tetraeder gibi adlandırılır. Tüm ayrıtları eit olan üçgen piramide düzgün tetraeder denir.

9.

Ayrıtı a = 12 cm düzgün tetraederin alanını hesapla.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Piramit ve elemanlarını tanıyasın ve adlandırasın;

Bir piramidin tabanı düzgün çokgen ise, piramidin düzgün olması mecburi midir?

Düzgün piramit tanıyasın ve tanımını yapasın.

Yanal ayrıtı s = 17 cm ve apotemi h = 15 cm olan düzgün dörtgen piramidin alanını hesapla.

Piramid alanını hesaplayasın.

Ödevler 1.

Bir piramidin en az kaç yüzü olabilir? O piramit hangi cinstendir?

5.

Bir düzgün üçgen piramidin taban ayrıtı 6 cm ve yan ayrıtı 10 cm ise, alanını hesapla.

2.

Taban ayrıtı 10 cm ve apotemi 13 cm olan düzgün altıgen piramidin alanını hesapla.

6.

Yükseklii H = 6 dm ve apotemi h = 6,5 dm olan düzgün dörtgen piramidin taban alanını hesapla.

3.

Yanal alanı 20 dm2 ve taban alanı 16 dm2 olan düzgün dörtgen piramidin apotemini hesapla.

7.

Düzgün dörtgen piramidin a, H, h, B, M, P büyüklükleri arasında verilenlere göre bilinmeyen büyüklükleri belirt (eer santimetrelerle verilmi iseler):

4.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı a = 8 cm ve alanı 144 cm2 'dir. Piramidin H yüksekliini bul.

a) a = 12, h = 10: ç) H = 21, h = 29; b) a = 14, H = 24; d) P = 819, B = 81; c) B = 256, M = 544; e) P = 3584, M = 2800.

Piramit

PRAMDN HACM Anımsa! Düzgün prizmanın hacmi B taban ve H yükseklik olmak üzere, V=B·H formülüyle hesaplanır. Piramit nasıl elde edilir? Bu durumda: a) taban; b) tepe; c) yanal alan; ç) piramidin yükseklii nedir?

Bir cismin hacmini ölçerken, ölçü birimini dorudan doruya göçürerek cismin hacmi belirtilemez, o amaçla formülle yazdıımız bazı kurallar buluyoruz. Bu formüllere göre, gereken veriler verildikten sonra, hesaplama yaparak cismin hacmi elde edilir. Piramidin hacmini hesaplamak için bir kural nasıl bulmalıyız? Bu nedenle (evde) u deneyi yapabilirsin: ekilde olduu gibi, tabanlarının alanları eit ve yükseklikleri eit olan içi bo, örnein: kartondan bir prizma ve piramit modeli yap: Piramidi kuru kum ile veya baka bir malzemeyle: pirinç, eker vb. doldur. Ondan sonra piramitteki kumu prizmaya boalt. Prizmanın tamamen dolması için bu ilemi daha iki defa yapmak zorunda olduunu göreceksin. Bu gösteriyor ki, piramidin hacmi, prizmanın hacminden üç defa küçüktür. Deneyle gösterilen bu gerçek, aslında ispatlanabilir, (halbuki biz bu ispatı imdilik bırakacaız.)

Genel olarak geçerli olduunu unutma Bir piramidin hacmi V, tabanı B'nin ve yükseklii H’nin çarpımının üçte birine eittir. Yani

Taban ayrıtı a = 12 cm ve yükseklii H = 20 cm olan düzgün dörtgen piramidin hacmını hesapla.

Konu 4. Geometrik cisimler

Yandaki ekilde verilen piramitleri incele ve taban ayrıtı a ve yükseklik olmak üzere a) üçgen piramidin ; b) dörtgen piramidin; c) altıgen piramidin hacmini hesaplamayı dene. Elde ettiin çözümü verilenle karılatır. Piramidin genel hacim formülünde formülle deitirilmelidir:

yalnız B kendine karılık gelen

a) ekenar üçgen:

b) kare : B = a2

c) düzgün altıgen:

O ekilde u formüller elde edilecektir: 3.

Mısırda bulunan Keops piramidin yükseklii 149m‘dir, tabanının kenarı ise 232 m olan bir karedir. Onun hacmini hesapla.

4.

Düzgün altıgen piramidin yanal ayrıtı 14cm ve taban ayrıtı a = 2 cm’dir. Piramidin hacmini hesapla. Boyutları a = 32cm ve b = 10 cm olan bir dikdörtgen bir piramidin tabanıdır. Onun yükseklii H = 12 cm olarak dikme ayaı taban köegenlerinin kesiim noktasındadır (çevrel çemberin merkezindedir). ekili incele ve tavsiyelere göre hareket et. ve Yanal alanı dört üçgenden olumutur. görüldüü gibi 'dir.

ve

. ekilde

ha ve hb yan yüzlerin yüksekliklerini hesapla: ekilde : yani ha = 13 cm , hb = 20 cm ve M = 32 · 13 + 10 · 20 = 616 cm2; P = 320 + 616 = 936 ; P = 936 cm2. Piramit

B ve H deerlerini piramidin genel hacim formülünde deitir.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla! Taban ayrıtı 5 cm ve yükseklii 9 cm olan bir düzgün üçgen piramidin hacmini hesapla.

Genel formüle göre piramidin hacmini hesaplay; Özellikle bir örnekle hacim hesaplamak için formülü belirtesin.

Bir düzgün dörtgen piramidin yükseklii 12 cm ve taban köegeni 8 cm’dir. Piramidin hacmi ne kadardır?

Ödevler Bir düzgün dörtgen piramidin tabanı B = 144 cm2 ve yükseklii H = 40 cm’dir. Piramidin hacmini hesapla.

5.

Bir piramidin tabanı, boyutları 90 cm ve 1,20 m olan bir dikdörtgendir. Tüm yan ayrıtları ise 1,25 m'dir. Hacmini hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin hacmi 48 cm3 , taban alanı ise 36 cm2’dir. Piramidin alanını hesapla.

6.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı a = 8 cm ve hacmi V = 567 cm3'tür. Piramidin yüksekliini ve alanını hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı a = 24 cm ve yanal alanı M = 960 cm2 olarak verilmitir. Piramidin P alanını ve V hacmini hesapla.

7.

Bir düzgün altıgen piramidin a, H, s, B, M, P, V büyüklükleri arasında verilmeyenleri belirt (ölçüleri cm olarak al):

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı 20 cm ve hacmi 3 200 cm3 olarak verilmitir. Piramidin yüksekliini ve alanını hesapla.

(s yan ayrıttır)

ç)

Dene... a) Elde edilen piramidin yan ayrıtlarının birbirine eit olması için piramidin tabanı ne çeit bir çokgen olmalıdır ? b) Elde edilen piramidin apotemlerinin eit olması için tabanı nasıl bir çokgen olmalıdır?

Konu 4. Geometrik cisimler

SLNDR, KON, KÜRE SLNDR; ALANI VE HACM Silindir diye adlandırdıımız geometrik eklinin nasıl elde edildiini görelim.

Anımsa! Prizma nedir ve nasıl elde edilir? Prizmanın: a) tabanları; b) yan yüzleri; c) yanal alanı; ç) yükseklii nedir?

Yapılan ilemi dikkatle izle. Bir  düzlemi, üzerinde bir k çemberi ve ekilde a ıkkında gösterildii gibi, çemberin bir T noktasından geçen ve düzleme dik olan bir p dorusu verilmi olsun.

Hangi geometrik cisimlere yuvarlak cisimler denir? Günlük hayatımızda birçok nesnelerin ekli silindir biçimindedir (örnein: konserve kutusu, soba borusu v.b.). Silindir eklinde olan daha birkaç nesneyi say.

a)

b) c)

ekilin b) ıkkında görüldüü gibi, T noktasının çember üzerinde hareket ettiini ve p dorusunun balangıç durumla paralel kaldıını düünelim. Bu ekilde hareket eden p dorusu bir yüzey oluturur; ekil c) – bu yüzey silindrik yüzeydir. p dorusuna generatris ya da ana dorusu, çembere ise silindirin direktrisi ya da dayanaı denir. Bu silindrik yüzeyi  düzlemiyle paralel olan daha bir 1 düzlemiyle keselim; ekil ç)’de olduu gibi. d)

Unutma

ç)

Silindrik yüzeyin  ve 1 paralel düzlemlerinden kestii daireler ve düzlemler arasında kalan uzay kısmı dik dairesel silindir denilen bir geometrik cismi oluturuyorlar. Biz ileride ona sadece silindir diyeceiz. Onu ekil d)’de ayrı olarak görüyorsun.

Silindir, koni, küre

Görsel olarak bir dikdörtgen bir kenarı etrafında döndürüldüünde de silindir elde edilir (ekilde ABCD dikdörtgeni BC kenarı etrafında döndürülmütür). ekli incele ve silindirin elemanlarını gör. Dairelere tabanlar denir, onlar arasındaki kısıma ise – yanal yüzey denir. Tabanın R yarıçapına silindirin yarıçapı denir. OO1 doru parçasına (uç noktaları tabanların merkezleri olan doru parçasına) silindirin ekseni denir, o ise aynı zamanda silindirin yüksekliidir. Silindir, ekseniden geçen bir düzlemle kesiliyorsa, kesit eksen kesiti denilen bir dikdörtgendir (ekilde taralı olan dikdörtgen). Bir silindirin iki eksen kesiti birbirine e olmayabilir mi? Neden? Yarıçapı R = 5 cm ve yükseklii H = 7 cm olan bir silindirin eksen kesitinin alanını hesapla. Eksen kesiti kare, yani H = 2R olan silindire ekenar silindir denir. Bir ekenar silindirin eksen kesitinin alanı 100 cm2’dir. Silindirin yarıçapını ve yüksekliini bul. Eer bir silindir, ekilde gösterildii gibi, bir ana dorusu ve tabanları üzerinde kesilirse (a ıkkında gibi), silindirin açılımının iki e daireden (tabanları) ve bir dikdörtgenden (yanal yüzeyi – b) ıkkında gibi) olutuunu görebilirsin.

ekilde b) ıkkında silindirin açılımını incele. Yarıçapı R ve yükseklii H olan silindirin alanı P için unları görebilirsin:

a)

(B – taban alanı, M – yanal yüzeyin alanı);

Konu 4. Geometrik cisimler

b)

Yarıçapı R = 8 cm ve yükseklii H = 2,5 dm bir silindirin alanını hesapla. Yarıçapı R ( yani tabanı B = R2 ) ve yükseklii H olan silindirin hacmi prizmaya benzer olarak:

Anımsa! Silindir ve dik prizma arasında büyük benzerlik var.

V = B · H yani V = R2 · H. sayısı alınır. Demek ki, silindirin de hacmi, tabanının alanı ve yüksekliinin çarpımına eittir. Yarıçapı R = 10 cm ve yükseklii H = 15 cm olan silindirin hacmini hesapla.

- paralel düzlemlere ait olan iki e taban; - yanal yüzeyler, tabana dik olan ana dorusuyla ya da ayrıtlarla.

Yarıçapı R olan ekenar silindirin alanını ve hacmini hesaplamak için formülleri yaz. Cevap:

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Silindirin elemanlarını tanımasını;

a) silindrik yüzey; b) silindir; Nasıl elde edilir? R = 1,2 dm ve H = 15 cm olan silindirin alanı P ve hacmini V hesaplayasın.

Silindirin alanını ve hacmini formüle göre hesaplamasını.

Hangi silindire, ekenar silindir denir?

Ödevler 1.

R = 6 cm ve eksen kesitinin alanı Q = 240 cm2 olan silindirin alanı P ve hacmi V hesaplansın.

2.

a) R = 10 cm ve b) H = 2dm ekenar silindirin alanı P ve hacmi V hesaplansın.

3.

Yarıçapı 5 cm ve hacmi V = 1570 cm3 olan silindirin yüksekliini belirt.

4.

Yükseklii 8 cm olan bir silindirin eksen kesitinin köegeni 10 cm'dir. Silindirin alanı P ve hacmi V hesaplansın.

5.

Bir ekenar silindirin alanı 1350 cm2'dir. Onun hacmini belirt.

6. Bir dikdörtgen, sırasıyla a ve b kenarları etrafında döndürülerek iki silindir elde edilir. Bu silindirlerin hacımlarının oranını bul. Silindir, koni, küre

KON; ALANI VE HACM Anımsa! Günlük hayatta koni biçiminde olan nesnelere pek sık rastlıyorsun.

Koni biçiminde bir geometrik cismi, silindirde de yapıldıı gibi benzer ekilde elde edilir. Yapılan ilemi izle.

Koni eklinde olan birkaç nesneyi say.

Bir düzlem  ve merkezi O noktasında olan bir daire k verilmitir. O noktasından  düzlemine dik olan OS simetrali çizilmitir. S noktasından SX yarı dorusu çizilmitir ve bu yarıdoru k çemberinin bir noktasından geçer. T noktası çember üzerinde hareket ederken SX yarıdorusu çember üzerinde “kayacaktır”. Bu ekilde hareket eden ıın, konik yüzey denilen bir yüzey meydana getirir. SX yarıdorusuna generatris (anadoru), çembere ise direktris denir. S noktasına koninin tepesi denir.

Unutma Konik yüzeyin  yüzeyinden kestii daire ve tepe arasında sınırlanan uzay kısmı, dik dairesel koni denilen bir geometrik cismi oluturuyor. Biz ilerde ona sadece koni diyeceiz. ekilde bu koni ayrı olarak gösterilmitir.

Bir ikizkenar üçgen, tabanına karılık gelen yükseklii etrafında döndürüldüünde, nasıl bir geometrik cisim elde edilir?

Konu 4. Geometrik cisimler

Bir dik üçgen, bir kateti etrafında döndürüldüünde de koni elde edilir.

ekli incele ve koninin elemanlarını tespit et. Daireye koninin tabanı, konik yüzey kısmına ise koninin – yanal alanı denir. Tabanın R yarıçapına, koninin yarıçapı denir. Koninin tepesini tabanın merkeziyle birletiren doru parçasına, koninin ekseni denir; o aynı zamanda koninin yüksekliidir. Uç noktaları, koninin tepesi S ve taban çevresinin herhangi bir T noktası olan doru parçasına ST = s koninin ana dorusu – generatrisi denir. Koniyi ekseninden geçen bir düzlemle kesersek, kesit daima ikizkenar üçgendir. Bu üçgene koni'nin eksen kesiti denir (ekilde taralı olan üçgen). Eksen kesiti ekenar üçgen, yani s = 2R olan koniye ekenar koni denir. 2.

R = 10 cm olan ekenar koninin eksen kesitinin Q alanını hesapla.

3.

ekli incele ve verilen eitliin neden doru olduunu cevapla. bu eitlik, koninin generatrisi s, yükseklii H ve yarıçapı R arasındaki baıntıyı göstermektedir.

4.

Bir koninin s = 25 cm ve R = 7 cm ise yükseklii hesapla. Bir koniyi düünerek bir generatrisi üzerinden ve tabanını sınırlayan çember üzerinden kesersek, koninin açılımı elde edilecektir. Bu açılım (ekilde görüldüü gibi) bir daire (tabanı) ve bir daire kesmesinden (yanal yüzeyi) meydana gelmektedir.

5.

ekilde gösterilen açılımı incele. Koninin P alanı, R yarıçapı ve s generatrisi için unları gözetle: (B – taban alanı; M – yanal yüzeyin alanı) (dairenin alanı) (daire kesmesinin alanı);

6.

Yarıçapı R = 5 cm ve yükseklii H = 1,5 dm olan koninin alanını hesapla. Silindir, koni, küre

Koninin hacmini belirtmek için, piramitte yapılan deneye benzer bir deney yapabiliriz. Eit tabanlı ve eit yükseklikte bir koni ve bir silindir modeli yap. Konideki kumu (tuz vb.) silindire boalttıında, silindirin üçte biri dolacaını göreceksin. Yarıçapı R ve yükseklii H olan koninin V hacmi: Yarıçapı R = 10 cm ve yükseklii H = 3 dm olan koninin hacmini hesapla. Ekenar koninin alanı ve hacmini hesaplamak için formül ifade et.

Çözümünü karılatır:

Bilmen gerekenler: Koninin elemanlarını ifade edesin; Genel formülle koninin alanını ve hacmini hesaplayasın;

Ödevler Yarıçapı R = 5cm ve yanal alanı M = 65 cm2 olan koninin P alanını ve V hacmini hesapla. Bie koninin B = 314 cm2 ve s = 26 cm’dir. Onun P ve V' yi hesapla. Bir koninin eksen kesitinin alanı Q = 18,48 cm2 ve yükseklii H = 5,6 cm’dir. Hesapla. a) B; b) V; c) M. Bir ekenar koninin eksen kesitinin çevresi 18 cm’dir. Koninin alanını ve hacmini bul. Konu 4. Geometrik cisimler

Kendini yokla! a) konik yüzey; b) koni nasıl elde edilir? R = 5 cm ve s = 13 cm verilmi olan koninin P ve V hesapla. Hangi koniye ekenar koni denir? 5. Yükseklii H = 20 cm olan bir koninin hacmi 1 500 cm3’tür. Koninin alanını hesapla.

Dene!... Mecburi deildir! 6. Bir koninin açılımında tepe açısı 120o, koninin generatrisi ise 15 cm’dir. Koninin çapını bul.

KÜRE; ALAN VE HACM Anımsa! Çemberin tanımını ifade et. Çemberin merkezi ve yarıçapı nedir? Bir çember ne ile bellidir?

Uzayda verilen bir noktadan eit uzaklıkta bulunan noktalar, küresel yüzey denilen bir geometrik cismi oluturuyorlar. Verilen O noktasına küresel yüzeyin merkezi denir.

Küresel yüzeyin merkezinden yüzey üzerinde bulunan herhangi bir noktaya olan uzaklıa küresel yüzeyin yarıçapı denir ve genellikle R ile iaret edilir. T küresel yüzeyin herhangi noktası olmak üzere, her OT doru parçasına da yarıçap denir. ekilde merkezi O olan bir küresel yüzey gösterilmitir. Küresel yüzeyin yarıçapları olan ( en az iki) doru parçayı adlandır. Bir küresel yüzey ne ile bellidir?

Anımsa! Bir çemberin iç bölgesi nedir? Daire nedir? Dairenin kirii ve çapı nedir? Günlük hayatta küre biçiminde rastladıınız birkaç nesneyi say.

Küresel yüzey, iç ve dı bölge olmak üzere, uzayı iki bölgeye ayırmaktadır. ç bölgeye ait noktaların kümesi (yani, merkezden uzaklıkları küresel yüzeyin yarıçapından küçük olan noktalar kümesi) küre denilen bir geometrik cismi meydana getiriyorlar. Küresel yüzeyin merkezi ve yarıçapı, kürenin de merkezi ve yarıçapıdır.

Merkezi O noktasında olan bir kürenin yarıçapı R = 5 cm’dir. A, B ve C noktaları merkezden: OA = 1,5 cm, OB = 5,1 cm ve OC = 5 cm uzaklıktadır. Bunlardan hangileri küreye aittir? Daire çapının ne olduunu hatırla. Benzer ekilde kürenin de çapını tanımlamaya çalı.

Silindir, koni, küre

ekilde, a) ıkkında, çapı AB olan bir daire gösterilmitir. Daire AB çapı etrafında döndürülürse, nasıl bir cisim elde edilecektir? Bir dairenin (ya da yarım dairenin) bir çapı etrafında döndürülmesiyle (ekil b) de olduu gibi, bir küre elde edilir diyebiliriz.

Fark et ki: Bir kürenin düzlemle kesiti daima dairedir. Düzlem, kürenin O merkezinden geçtii durumda, kesit dairesinin yarıçapı kürenin R yarıçapına eittir ve ona büyük daire denir. Bir kürenin kaç büyük dairesi vardır? Onların yarıçapları birbirine göre nasıldır? Yerküreyi temsil eden bir küre (dünya) düün. Ekvator, dünyanın bir büyük dairesidir. Dier büyük daireleri hangi çizgiler belirtiyorlar? Dünyada bazı küçük daireleri göster. Her küre yüzeyinin (yani, karılık gelen küresel yüzeyin) kürenin alanı denilen bir alanı vardır. Yarıçapı R olan kürenin alanı u formülle hesaplanır:

Fark et: Kürenin alanı: a) kendi büyük dairesinin alanından dört defa büyüktür . b) 2R çapının ve 2R çevresinin çarpımına eittir, yani P = 2R · 2R = 4R2 . Her küreye, kürenin hacmini gösteren bir V sayısı elenir ve onu u formülle belirtiriz:

burada, R – kürenin yarıçapı, P ise kürenin alanıdır.

Konu 4. Geometrik cisimler

6.

Yarıçapı R = 5 cm olan kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

7.

Bir kürenin büyük dairesinin alanı Q = 2 826 cm2 'dir. Kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Küresel yüzey,küreyi ve onun temel elemanlarını tanıyasın

Küresel yüzey ve küre ne olduunu ve nasıl elde edildiklerini açıkla.

Formüle göre, kürenin alanını ve hacmini hesaplayasın.

Yarıçapı R = 1dm olan kürenin P alanı ve V hacmi ne kadardır?

Ödevler 1.

Çapı 12 cm olan bir kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

2.

Bir kürenin büyük dairesinin alanı 314 cm2 olan kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

3.

Yarıçapı R = 6cm olan bir kuruni küreden R = 6 cm yarıçaplı silindir yapılmalıdır. Silindirin yükseklii ne kadardır?

4.

Alanı P = 100 cm2 olan kürenin hacmini ve bir büyük dairesinin alanını hesapla.

Ayrıtı a olan bir küp verilmitir. Küp et6. rafında küpün köelerinden geçen bir küre çizilmi ve bu kürenin içinde köeleri çember üzerinde olmak üzere yeni bir küp çizilmitir. Bu iki kürenin a) alanlarının ve b) hacimlerinin oranlarını bul. ( Bütün köeleri kürenin yüzeyinde bulunursa bir küp bir kürenin içinde bulunuyor demektir. Bu durumda diyebiliriz ki, küre küpün çevrelçemberidir) 7. Ayrıtı 4 cm olan bir odun küpten, en büyük küre yonulmalıdır. Atılan odun kısmının hacmini hesapla. Kübün hacminin yüzde kaçı atılan odun kısmının hacmidir? 8.

5.

Ayrıtı 6 cm olan küp içinde, içten teet olan her yüzüne deen bir küre yerletirilmitir. Kürenin alanı ne kadardır? Çizim yap.

Yerkürenin çapı 12 733 km, Ayın çapı ise 3 482 km’dir. a) Yerkürenin alanı, Ay alanından kaç defa daha büyüktür? b) Yerkürenin hacmi, Ay hacminden kaç defa daha büyüktür?

Silindir, koni, küre

V E R  LE R LE   LE M LE R OLASILIK Anımsa! Bir olayın kesinlikle gerçekletii durumunun olasıllıı 1 ya da %100'dür. Örnein, bo bir plastik ie yere düerse - kırılmayacaktır. Bir olayın gerçeklemesi mümkün olmadıı durumda olasılık 0'dır. Örnein, yalnız kırmızı topçaızlarla dolu olan kutudan, beyaz topçaızın çekilii. Tüm dier olayların olasıllıı 0 ve 1 arasındadır. Örnein, havaya bir demir para atıldıında, tura düme olasıllıı

ekilde gösterilen bir çarkıfelein altı eit bölgesi vardır. Okun döndürülmesiyle 4 numaralı bölgede durma olasıllıı ne kadardır? 6 olay farkedebilirsin: Ok 1, 2, 3, 4, 5 ya da 6 numaralı bölgelerden herhangi birinde durabilir. Bu olaylardan herbirinin olasılıı eit mümkündür. stediimiz olay, okun 4 numaralı bölgede durmasıdır. Okun 4 numaralı bölgede durması olasılıı

'dir. Bu durumda V ( 4 ) =

'dir deriz.

Okun 1 numaralı bölgede durması olasılıı ne kadardır? 6 mümkün olaydan okun 2 ya da 3 numaralı bölgede durması olasılıı V (2 ya da 3) =

'dir.

Okun, 1, 5 ya da 6 numaralı bölgede durması olasılıı ne kadardır? Çarkıfelei incele. 5 mümkün olay var. Ok 1, 2, 3, 4 ya da 5 ile iaretlenen bölgede durabilir. stenilen olay, okun 7 numaralı bölgede durması ise, onun olasılık deeri 0’dır ya da V(7) Bu olay imkansızdır. Konu 4. Geometrik cisimler

, veya

Genel olarak: Verilen bir deney ile ilgili n sayısı “bütün mümkün olaylar” içindir ve bütün olaylar eit imkanlıdır. Eer A o deney ile ilgili bir olay ise, o zaman m “bütün imkanlı olaylar” için sayı olacaktır, öyleki

bölümüne A olayının matematiksel olasılıı denir ve V(A) ile iaret edilir.

Demek ki:

2.

Kartlardan herbirinde birer harf yazılıdır.

M A T E M A T I K A Can, bakmadan kart çekiyor. u olayların olasılık deerini belirt: a) V(M); b) V(A); c) V(T veya K) 3.

Okun döndürülmesiyle, meydana gelen aaıdaki olayların olasılıını belirt. a) 3 sayısı; d) 11 sayısı b) çift sayı; e) 7’den büyük sayı c) tek sayı; f) 1’den 10’a kadar sayı ç) 5 ya da 6; Elde edilen olasılık deerlerini yüzdelerle ifade et. a)’dan f)’ya kadar olaylardan hangisi kesin olay, hangisi ise imkansız olaydır? a)’dan f)’ya kadar olaylardan hangi iki tanesinin olasılık deeri eittir. Öyle iki olay belirt ki biri gerçekleirse dieri imkansız olsun.

Bilmen gerekenler: Verilen bir deneyle ilgili olaylar için tahmin edebilesin ve onun olasılıını belirtesin.

Kendini yokla! Oyun için bir zar atılır. Hangi olaylar mümkündür? En az üç tane olay say. Zarın atılmasında yukardaki kenarda verilenlerden: a) 2 sayısı; b) 3 veya 4 sayısı; c) 3 ve 4 sayısı; ç) çift sayı; d) 7 sayısı; e) 1 den 6’ya bir sayı çıkma olasılıı ne kadardır? Silindir, koni, küre

GEOMETR CSMLER ÇN OKUDUN BLGN KONTROL ET

ekilde verilen dikdörtgenler prizmasında hangi köe: a) A,B,C1; b) A,C,C1 ile komplanerdir (düzlemdetir)?

9.

10. Bir düzgün üçgen prizmanın yanal alanı M = 180 cm2'dir. Onun taban ayrıtı a = 10 cm olduuna göre, P alanını ve V hacmını hesapla.

Aaıdaki dorular kesiir mi: c) A1C ve AC1 a) DB1 ve D1C; b) BB1 ve D1C; ekile bak. Verilen dorularla bir düzlem belli midir: a) AD ve B1C1; b) DC ve DB1; c) BC ve AA1 ekile bak. Uzayda paralel olmayan ve kesimeyen iki doru nasıl adlandırılmıtır. ekilde böyle iki çift doruyu belirt.

11. Köegenleri 24 cm ve 10 cm olan bir ekenar dörtgen, bir dik prizmanın tabanıdır. Prizmanın yükseklii 5 cm ise, P ve V’yi hesapla. 12. Bir düzgün altıgen piramidin taban ayrıtı 3 cm, yan ayrıtı ise 4 cm'dir. Piramidin V hacmını hesapla.

13.

Taban ayrıtı a = 10 cm ve apotemi h = 13 cm olan düzgün dörtgen piramidin P alanını ve V hacmını hesapla.

14.

Silindir biçiminde bir fıçının taban alanı 30 dm2 ve yükseklii 1 m’dir. Fıçıda kaç litre su sıar.

15.

Taban yarıçapı R = 0,5 dm ve yükseklii H = 1,2 dm olan bir koninin P ve V'yi hesaplansın.

16.

Büyük dairesinin alanı 56,25 cm2 olan kürenin P alanını ve V hacmını hesapla.

Verilen bir p dorusu 1 ve 2 düzlemlerine diktir. 1 ve 2 düzlemlerin birbirine göre durumu nasıldır? Bir doru parçasının verilen bir düzleme dik projeksiyonu nedir? a) üçgen prizmanın; c) altıgen prizmanın;

Boyutları 9 cm, 6 cm ve 2 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim köegenini hesapla.

b)dörtgen prizmanın; ç) n – gen prizmanın,

Kaç ayrıtı vardır?

Bir kübün köegen kesitinin alanı 64 cm2'dir. Kübün ayrıtını bul.

Konu 4. Geometrik cisimler

ÖDEVLERN CEVAPLARI VE

çözümleri

KONU 1.

BENZERLK a) AB ve RS, AC ve RT, BC ve ST;

a) 3 : 4; b) 3 : 2; c) 5 : 2. 2. a) 4 : 3;

ve

R,

3. B ve S, C ve T. 2. b) 2 : 3; c) 2 : 5. 3. a) 1 : 2; b) 1 : 2; c) 3 : 10 Birbirine eittir: a), b) ve ç); c) ve d). 4. 18 ve 4. 5. Evet. E üçgenlerin karılıklı açıla4. a) 150 : 100 : 50; b) 3 : 2 : 1. 5. a) 15; b) 7,8; rı da birbirine eittir, karılıklı kenarları da birbirine eittir. Buna göre onlar birbirine göre orantılıdır. 6. a) 1 : 3; b) 1 : 5; c) 1 : 6. c) 0,5; ç) 6. MN || AB ( ABC’nin orta tabanı gibi), demek 7. a) 3 : 1; b) 1 : 4. 8. 7,5 cm. 9. 2 : 1. ki karılıklı açıları birbirine eittir; 10. 3:2 Dene… a) 12 yumurta , b) 3 tavuk ve demek ki karılıklı

a) 20; b) 6. 2. Örnein, 28 : 16 = 2,1 : 1,2. kenarlar orantılıdır. 4. a) 3; b) 7,5;

3.

c) 16. 5. a) 4 cm; b) 24 cm; c)

a) 3 : 5; b) 7 : 3; c) 4 : 3. 2. 5. 3. b) 6.

cm.

5. 17 m.

7. a) x = 6, y = 7,5; b) x = 28, y = 1,5.

22,5 4. Hayır. 6. Evet, ikinci elik kuralına 6.

= 7,2 dm;

= 12 dm. 7. 8 cm için.

göre. 7. a) Evet; b) Evet. 8. 52 m. 9. 17,5 m.

8.

8 cm. 2. 24 cm, 45 cm, 27 cm. 3. 30 cm 1. 6 cm. 2. a) 16; b) 6. 3. 5.

4. 1.

2. 4.

3. 7. Yardım: 1 : a = a : x

ve 12 cm. 4. a1 = 12 cm, b1 = 16 cm,c1 =24cm 5. 6,5 cm. 6. b1 = 5, h1 = 10. 7. Yardım. ABC üçgeninde A1B1 || AB orta tabanını çiz ve A1B1C’yi incele. 8. a1 – 18, h1 = 9. 9. 10. 0,69 ha.

a) z; z; b) n; c) z; ç) m. 2. a) 6; b) 121; olduunu farketmelisin. 8. Yardım: a) b : a = a : x; c) a = 12, b = ൎ 13,4. 3. a) 3,2; b) 5; c) 3; ç) 4. b) a : b = b : x. 9. x = 12; y = 16. 10. Çözüm: 5. c = 10, q = 3,6; b = 6. 6. 150 cm2. ekilde AB (tahminen) BC uzunluunda A noktasının görülebildii ulaılır bir E noktasına ka- 7. Yardım. a ve b doru parçalarının x geometrik dar devam edilmi ve C noktasıyla birletirilmi- ortasını çiz. Bu durumda x2 = a · b dir, buna göre tir. Ondan sonra BD || AE çizilmitir. Tales teore- aranan karenin kenarı x olur. mine göre 212,5 m.

yani

b)

a) 37; b) 33; c) c ൎ 40. 2. a), c), ç) Evet; b) Hayır. 3. 1. 4. 19,4 dm. 5. 64. 6. ൎ 10,4.

c) 300 m

Ödevlerin cevapları

c = 37, b = 12. Çözüm. a2 + b2 = c2, a = 35 ve b = 49 – c için 352 + (49 – c)2 = c2 elde edilir, yani 1225 + 2401 – 98 c + c2 = c2 elde edilir, oradan da 3626 = 98c ve c = 37 bulunur; ondan sonra b = 49 – c – 12. 21 ve 28 1. 7 m. 2. a) 40 cm; b) 1320 cm2; c) ൎ 51,9 cm.

a ൎ 32 cm. 4. 44 cm. 5. 1260 cm2. 6. 6 cm. Yardım. Ödev 5’teki çizimden yararlan. 5.

9. 92 cm (= 2 · (30 + 16) cm).

6 m. Yardım. Aacın yükseklii (x + 2)m olsun. O zaman (x + 2)2 + 8 = 102, (x + 2)2 = 36ö x + 2 = 6 dir.

Test: 1. a) 3 : 2; b) 3 : 2; c) 9 : 4. a ve b ıkkında eittirler. 2. 1,5 cm. 3. a) 10; b) 9; c) 4. 4. 12. 6. a) 12; b) 35. 7. AC || BD, çünkü . 8. Yardım. 12 cm doru parçasını 3 : 5 : 6 orantısında üç kısıma ayır. 9. Evet, birinci elik kuralına göre (birinci üçgenin

açıları: 40o, 60o ve 80o dir, ikincisinin ise: 60o, 80o ve 40o dir=. 10. 10 m. 11. 3,2 cm. 12. L = 45 cm;

için

Dene...

P = 45 cm2. 13.

Çözüm:

14. 920. 15. a)ve c)Evet; b)Hayır. 16. 128. 17. 5,3 cm.

KONU 2. 1.

a) ve c) ıkkında.

LNEER DENKLEM, ETSZLK VE LNEER FONKSYON b) ve c) 2. ıkkında.

Eitlik 5(x – 1) = 5x – 5 dir.

3. x = 2 için. a) ve b) 5. ıkkında.

6. a = 3 için.

5. m = 5x. 6. a). b). 7. a) -1; b) 4. 1. M = {2} eit çözümer kümesidir.

1. a) 3 bilinmeyenle; b) bir bilinmeyenle; c)

2. M = {2}. 3. a)Hayır; b)Evet; c)Hayır. 4. x = 2.

2 bilinmeyenle. 2. a) üçüncü derece; b) ikinci ve c) derece; c) birinci derece. 3. a) ıkkında.

5. a) M = {-1}; b) M = R. 6.

4. a) ve c) ıkkında. 5. c) ve ç) ıkkında. 1. b) ve c) ıkkında. 2. a = 5 için.

b) ıkkındaki denklem. 5. b) ıkkındaki denklem.

1. Denklemler denktir.

2. c) ıkkında.

1.

a) M = {2}; b) M = {3}; c) M = {4}. a) ve c) ıkkındaki denklemler.

Dene... Kapaı 0,5 denar ve ie 10,5 denar.

3. a) x = 2; b) x = 2; c) x =

4. 2x – 8 =1-x; x = 3.

5. a) x = -3; b) x = 0; c) x = 6. 6. a) x = 3; 2. Denklemin b) x = 3. 7. a) x = 3; b) x = 8; c) x = 3.

8. a = 4 için. her iki tarafına 2x ifadesi katılmıtır. -3x; -5 terimleri silinebilir ve 2x – 4 = 4 denklemi Domino sırrı... Yardım. x ve y ile domino “sayılarını” iaret edelim ve x sayısı seçilen sayı olsun. O elde edilir. 4. 3x – 2 + x = zaman: (2x + 6) · 5 + y – 30 = 10x + y dir.

Ödevlerin cevapları

1. 28. 2. 108 ve 72. 3. x = (x – 46) · 4 + 7;

6. b) ıkkında.

b) [1, +).

aranılan sayılar 59 ve 13’tür. 4. a = b – 2; b – 2 + 2b = 43; a = 13 cm, b = 15 cm.

1. a) x < 2; b) x > 2. 2. 2x – 3 < x – 1 ֞

5. 2 denarlık paraları x ile iaret edersek, 5 denarlık

2x – 3 – 5x < x – 1 – 5x. 3. a) 2x + 2 < x + 4; paraların sayısı 25 – x olur. Buna göre: 2 · x + (25 – x) · 5 = 80 elde edilir. Buna göre 15 demir para 2 denarlık ve b) 3x + 2 > 2x – 2 – 6. 4. x < 12. 5. x > -2. 10 demir paranın 5 denarlık olduunu buluyoruz. 6. a) ve b). Her iki taraf -1 ile çarpılmıtır. 6. Tavanların sayısını x ile iaret edersek, güvercinlerin sayısı 35 – x olur. Buna göre, 4 · x + (35 – x) · 2 1. a) x > 3; b) x > -3. 2. a) x 4; b) x  3. = 94 elde edilir. Yani 12 tavan ve 23 güvercin varmı. 3. Hayır. Çözüm (-, -4) aralııdır. 7. (x + 2) · 35 = (x – 1) · 50; x = 8 saat. = 350 km. ; b) x > -3. 5. x < 5. 4. a) x < 8. Birinci içi 1 saatte iin 'ini, ikinci içi 6. 2a + 2(a – 3) < 54, a < 15. ise iin 'sini bitirecektir. x ile gereken zamanı iaret edersek,

,

1. a) (-3, 6); b) (-3, -1).

2.

denklemi elde edilir yani x = 4. b) (-3, 4). 3. a) [4, 8]; b) [-3, 4). 4. 9.

saat için. Dene... 84 ya. 1. c), ç) ve d) ıklarında lineer fonksiyonlardır.

ikinci boru bo havuzu 30

10.

saatte dolduracaktır.

2. a) y = -2x + 3; b) y = -x + 2; c) y = -2x; ç) y =

1. a) ve b) ıkkında. 2. x = 0 ve x = 2 için. 3. Bir bilinmeyenli eitsizlikler a) ve c) ıklarında, iki bilinmeyenli eitsizlikler ise b) ve ç) ıklarıdır. 4. a) ıkkında ikinci derece, b) ve c) ıklarındaki eitsizlikler birinci derece ve ç) ıkkındaki eitsizlik üçüncü derecedir. 1. a) R(3x + 1 > 2x + 1) = {1, 2, 3} ve

b) R(2x + 3 > x + 3) = {1, 2, 3}. 2. Her üç eitsizlik denktir, çünkü her birinin çözümü x > -1 dir. 3. a) (-2, +); b) (-, 0); c) (-, 1]; ç) [-3, +); 4. a) (-3, +)

3. a) k = 2 ve n = -3; b) k = 2 ve

n = 0; c) k =

ve n = 3; ç) k =

4. a) x = 2; b) x =

ve n = 0.

; c) x = ; ç) x = 0.

6. k = 3 ve n = 6

5.

1. A ve D noktaları. 2. x = 1 için. 3. y = 3x

y = 3x + 2 y = 3x – 2

x y

0

1

0

3

x y

0

-1

2

-1

x 0 1 y -2 1

b) (-, +2). 4. (2, 0).

5. n = 5.

6. k = 2

5. a) (-, -2].

Ödevlerin cevapları

1. y = 3x – 2

6. P(0, 2)’den, n = 2 dir. A(1, -1) den -1 =

6.

1 · k + 2 dir, oradan da k = -3 elde edilir; fonksiyon eksilendir.

fonksiyonu. k = -3.

1.

k = 2 ve n = -3.

a) y = x – 2

b) y = 2x – 6

x=2

x=3

n = -1. k = -2 ve n = 2.

1. ) ve ç)

a)

2. b) ve ç) ıklarında. ıklarında. ve k = 3 için artandır;

b) k = -2 ve k = eksilendir. a) y = 4x – 1

y = 4x – 1 fonksiyonu artandır

için b) y = -2x – 1

2.

a) y = x + 1 y = 2x – 1

y = -2x – 1

x=2

fonksiyonu eksilendir.

b) y = 3x – 1

y = -x + 3

x=1 ) y = -3x + 1

b) y = 2x + 1

y = -3x + 1

y = 2x + 1

fonksiyonu eksilendir.

fonksiyonu artandır.

3. k = 2.

4. k = 2 ve n = 3

Dene... 8 biçici. Yardım. Büyük çayırın alanı A ile iaret edilmi ise, küçüü B ile, o zaman A = 2B. Biçicilerin sayısı k olsun. A çayırının biçilmesi için i günleri gerekir, B için ise gerekir. A = 2B ise o zaman u denklem eklini alır:

Oradan x = 8

1. ç, c, b, a. 2.

b)

Ödevlerin cevapları

; c)

ç)

3.

5 kart; 3 defa tekrarla.

Test: 1. Evet. 2. b)

3. a) x = 2,1; b) x = 1;

11.

c) x = 3. 4. a = 3. 5. O sayılar x, x + 1 ve x + 2 olsun. Buna gore; x + x + 1 + x + 2 = 84, yani x = 27. Aranılan sayılar: 27, 28 ve 29. 6. Kamyonun hareket zamanı x ile iaret edersek, arabanın hızı x – 2 olur. Her iki araba aynı yolu geçtiklerine gore: 50x = 75(x – 2), yani x = 6 saat. = 6 · 50 = 300 km. 7. Evet. 12. A ve C. 13. n = -3. 14. y = 2x – 3 ve 8. D kümesinde 2x – 1 > x – 2 ֞ 3x + 1 > 2x – 3. y = 3x – 2 fonksiyonları artandır; y = -3x + 1 ve y = -x –1 fonksiyonları ise eksilendir. 9. 15.

10.

KONU 3.

LNEER DENKLEMLER SSTEM

1. a) Katsayıları: 2, -1, 3; bilinmeyenler: x,y. b) Katsayıları: 2, 6, 1; bilinmeyenler: x,y. c) Katsayıları: 1, -2, -1; bilinmeyenler: y, z. ç) Katsayıları: 5, 3, 16; bilinmeyenler: u,v.

c) dorudur.

2. a)evet; b)hayır. 3.

bilinmeyenler: x,y. b) Katsayıları:

4.

5. (-2,3); (-1,1); ( 0, -1); (1,-3); (2,-5). 6.

grafii y - ekseni ile paralel bir 4. p = - 2.

1. Katsayıları: 2,0,6 ve 0,1, 2;

bilinmeyenler x, y; c) Katsayıları: 0,25; 0,04; 0; 4; 25; 641; bilinmeyenler: x,y. 2.

1. 2. a) x + 3y = - 3; b) 2x + 3y = 5; c) -13x + 5y = 24; ç) 19x + 33y = 124. 3.

3. a)evet; b)evet; c)hayır. 4. örnein:

5.

6.

Ödevlerin cevapları

7.

6. (x, y) = (-2, -2); (x, y) = (-4, -3).

Ertanâ&#x20AC;&#x2122;Äąn yalarÄą x, Berkantâ&#x20AC;&#x2122;Äąn ise y olduuna gĂśre;

7. a) (x, y) = (3, 1);

Ertan ve Berkant ikizlerdir.

4

7

1.

£ x y  72 Œ 1. Œ¤ ; birincisi 37 sayĹsĹ, ikincisi Œ Œ ¼x  y  2

ise 35. 2. aretler E-erkekler, K-kĹzlar, £ Œ ŒE + K = 28 3. Vapurun hĹzĹ ¤ Œ E = K + 4 R = { 16,12}. Œ ¼

16,8km/h, ĹrmaĹn ise 4,2km/h. 4. SĹcak su 80oC, souk su 10oC. 5. Sinan 3 bßyßk ve 5 kßçßk defter satĹn almĹ. 6. Annenin 32 yaĹ, kĹzĹn ise 5 yaĹ vardĹr. 7. Dar açĹ 72o, geni açĹ ise 108o.

Â?2 2. Bir çÜzĂźm: x, y  Â&#x17E;Â&#x17E;Â&#x17E; , Â&#x;3

1­ ­ ; b) sonsuz çok; 3 Ž­

8. Bir sistem kur ve kenar uzunluklarÄąnÄą belirt. Pitagor teoreminden yararlanarak yĂźksekliini belirt. P = 60 cm2.

c) bir çÜzßm: (x,y) = (2,2); ç) bir çÜzßm: (x,y) =

9. GĂźvercin sayÄąsÄą 23, tavan sayÄąsÄą 12â&#x20AC;&#x2122;dir.

3. a) GraďŹ kler paralel ( -2, 1). dorulardÄąr; b) GraďŹ kler kesien dorulardÄąr; c) GraďŹ kler kesien dorulardÄąr; ç) GraďŹ kler çakÄąan dorulardÄąr.

Test: 1. Denklemin doru sayĹ eitliine dÜnßtßß her reel sĹralĹ çifti.

5

graďŹ k çiz.

1.

c) (x

2.

c) (x

3.

c) (x

4.

OnlarÄąn kesiiminin koordinatlarÄąnÄą belirt. R={(1, 3 )}. 1.

(x, y) = (2, 3).

7. 8. (x, y) = (-7, 1).

3.

9. a) bir; b) sonsuz çok;

10. BabanÄąn 34 yaÄą var, olunun ise 12 yaÄą

4.

var.

5.

KONU 4.

ve CDD1C1. 4. 1. Bir veya ßç.

214

GEOMETRK CSMLER 2.

1.

3.

2

6. Denklemlerin graďŹ klerini çiz.

5.

2.

1

4. Her iki denklemin çÜ-

zßmß olan reel sayĹlarĹn sĹralĹ çiftleri.

5.

6

3. Verilen tabloya gĂśre

2.

BA1 ve BC1, BC1,ve CB1.; b) hiç biri; c) AB1 ve BC1, BA1

ve CB1, 3. AykĹrĹ olduklarĹ durumda hiçbir; paralel 2. a)AB1 ve BA1, AB1 ve CB1, olduklarĹ veya kesitikleri durumda yalnĹz bir.

Ă&#x2013;devlerin cevaplarÄą

4. Komplaner olmayan A,B,C,D dĂśrt dĂźzlemi P = 210, V = 200. b) B = 9, H = 4, M = 48, V = 36. c) P =

240, a = 6, H = 7, V = 252. ç) a = 11, B = 121, M = 616, P = 858. d) a = 13, B = 169, P = 1118, V = 2535. e) H = 5. AB ve AC kesiirler, ona gĂśre onlar bir tek dĂźz- 8, a = 5, B = 25, P = 210. lem  meydana getiriyorlar ve onun Ăźzerinde AB 1. 4; tetraeder. 2. (1503 + 390) cm2. dorusu ve CD dorusunun bĂźtĂźn noktalarÄą bulunur. 3. 2,5 dm. 4. 3 cm. 5.  101,1cm2. 6. 25 dm2. 2. YalnÄąz bir. 3. a) evet; b) evet; c) evet. 7. a) B = 144; M = 240; P = 384; H = 8. b) B = 5. 1 ve 2 dĂźzlemleri ya çakĹĹk ya da AB do- 196; h = 25; M = 700; P = 896. c) P = 800; a = 16; rusu Ăźzerinde kesiiyorlar. h = 17; H = 15, ç) a = 40; B = 1600; M = 2320; P = 3920. d) M = 738; a = 9; h = 41; H  40,75. e) B 2. c). 3. HayÄąr. 4. HayÄąr. Aâ&#x20AC;&#x2122;,Bâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122; dorudatÄąr = 784; a = 28; h = 50; H = 48. eer doruda olmayan A,B,C noktalarÄąyla belirlenen 1. 1920 cm3. 2. 96 cm 2. 3. 1536cm2; dĂźzlem , s projeksiyon dorultusuyla paralel ise. meydana getirirler: ABC, ABD, ACD ve BCD.

10

3 4

5. çizim yap ve ABBâ&#x20AC;&#x2122;Aâ&#x20AC;&#x2122; yamuunu ince-

le.CCâ&#x20AC;&#x2122; yamuun orta tabanÄądÄąr. Neden? 6. Evet, eer M noktasÄąyla ve a dorusuyla belirlenen dĂźzlem s ile paralel ise.

5 6

Dene... a) 1; b) 6; c) 12; ç) 8; d) 0. 1. 7; dikdÜrtgenler.

2. n + 2. 3. 2s = r.

4. Evet. 5. a)HayĹr; b) Evet, altĹgen; c) evet, onbirgen. 6. a) Hiçbiri; b) 2, c) 3.

7

1. a) 17,08 dm2; b) 37,5 cm2.

2. a = 7 cm,

d= 73 cm. 3. 8 cm. 4. a) B = 20,25dm2; M = 151,2dm2; P = 191,7 dm2. b) B = 144 cm2; H = 9 cm; P = 720 cm2. c) B = 64 cm2; M = 352 cm2;; H = 11cm. ç) a = 7cm; M = 336 cm2; P = 434 cm2. d) a = 9 cm; M = 180 dm2 H = 5 dm. e) a = 6,5dm; B= 42,25 dm2; P = 292,5 dm2, f) P = 192 dm2; a = 6 dm; H = 5 dm. g) B= 81 cm2; a = 9 cm; H = 5 cm. 5. Dokuz defa. 6. b) B = 43 cm; H

11

3072 cm3. 4. 24 cm; 1440 cm2. 5. 360 dm3. 6. 27 cm;  491,2 cm2. 7. a) s = 26, V = 12003 . b) a = 7; H = 24. c) h  24,8; V = 5883. ç) a = 7, s = 25. 1. 312Scm2; 720Scm3. 2. a) 600Scm2;

12

2000Scm3. b) 6Sdm2; 2Sdm2; 3.  20 cm. 4. 66Scm2; 72Scm3.

13

5. 6750Scm3.

6. b : a.

1. 90Scm2; 100Scm3. 2.  1130,4 cm2;

 2512 cm3. 3. a)  34,2 cm2; b) 63,8 cm3; c)  67,36 cm2. 4. 27Scm2; 9S3 cm3. 5. 600Scm2; 6. 10 cm.

14

1. 144Scm2; 288Scm3; 2.  1256 cm2;

4186,7 cm3. 3. 8 cm. 4. (500 : 3) 5. R = 3 cm; P = 36Scm2; 6. R1 

Scm3; 25Scm2;

a 3 , 2

R2 

a ; 2

S1 : S2 = 3 : 1, V1 :V2  3 3 :1 . 7. AtÄąlan kÄąsmÄą hacmi: 4 S V = VK - VT =43 â&#x2039;&#x2026; 23Ď&#x20AC; = 64 - 32 â&#x2039;&#x2026; â&#x2030;&#x2C6; 3 3

= 9; P= 83 cm + 108  121,84. c) B = 363; M = 1443; H = 43;. d) a = 6; H= 15; P= 183 + 30,5; V  30,5 cm3 48%. 8. a)  13 defa, 270  301,14. e) a  10; H  8. b)  49 defa. 7. 288cm2. 8. 1,3,6 ve 7. Test: 1. a) D1; b)A1. 2. a)hayÄąr; b) hayÄąr; c) evet. Dene... Ă&#x2013;rĂźmce sinee kadar yol bulacaktÄąr. Priz3. a) evet b) evet; c) hayÄąr. 5. 1 || 2. 7. a) 9; manÄąn açĹlÄąmÄąnda MP doru parçasÄąnÄą çiz. b) 12; c) 18; ç) 3n. 8. 8 cm. 9. 11 cm. 1. 27 cm3. 2. 4 dm. 3. 6 cm. 4. 112 cm3.

8

5. 1152 cm3. 6. 96 cm2. 7.  5,8 m. 8. 48cm3

9

1. 8 dm. 2. 240 3 cm3. 3. 2400 cm3;

1280cm2. 4. 640 dm3. 5. a) 723 cm3; b) a33 6.  13,5cm. 7. 33 600 m3. 8. a) B= 25, H = 8,

10. 10(53 +18) cm2, 1503 cm3. 11. 500 cm2,

600 cm3. 12. 183 cm2. 13. 360 m2, 400 cm2. 14. 300 litre. 15. 90S cm2, 100S cm3. 16. 225S cm2,, 562,5S cm3.

Ă&#x2013;devlerin cevaplarÄą

215

KAVRAMLAR AÇIKLANMASI A Alan - koni alanı 200 - silindir alanı 197 Ana dorusu (Direktrisi) - koninin 200 - silindirin 197 Aralık 89 - kapalı 89 - açık 89 Argüman (deiken) 105 - katsayısı 105 B Benzerlik 26 - katsayısı 26 Bir bilinmeyenli lineer denklemler sistemi 60 - çözümler kümesi 63 - imkansız 58, 64, 75 C Cisim geometrik - ayrıtlı - yuvarlak -hacim

183 183 183 184

D Düzgün dörtyüzlü 193 Düzlem geometrisi 160 Düzlem 161 - dik düzlem 167 - iki düzlem arasındaki açı 166 - noktadan uzaklık 167 Deiken 56 Denklem 57 - imkansız (aykırı) 58,64,75 - grafii 133 - ikinci derece 128 - lineer 60 Ç Çokyüzlü 183 - hacmi 184 - iki bilinmeyenli 128 - genel ekli 74 - bir bilinmeyenli 60 - birinci derece 60 - parametreli 60 - çözüm ( kök) 62 - çözümler kümesi 63 - denk denklemler 65,131

216

Doru parçası - ölçülemeyen - ölçülebilen - orantılı - eit Doru - paralel - aykırı - projeksiyon dorusu - kesien Dikdörtgen prizması - hacmi - açılımı Direktris - silindirin - koninin Deneme E Eitlik - sayı - deikenli Eitsizlik - sayı eitsizlii - deikenli - temel - bir bilinmeyenli - iki bilinmeyenli sistem - ikinci derece - lineer - çözülmü ekilde - üçücü derece - çözümü - çözümler kümesi - denk - teoremler F Fonksiyon - lineer - grafiksel gösterilii - sıfırı - sabit - lineer artan - lineer eksilen G Geometrik orantı - orta - dördüncü  ki bilinm.iki denk.sistem - çözümü - grafiksel çözümü

Kavramlar açıklanması

6 6 6 8 12 163 163 164 168 163 178 183 179 200 200 197 120

56 83 84 84 84 84 90 85 86 86 86 90 86 87 89 92 104 105 107 106 113 114 115

10 10 9

134 135 138

- uygulanması

148

K Küme - tanım kümesi Küp - hacmi - açılım Küre - merkezi - yarıçapı - büyük dairesi - alanı - hacmi Küresel yüzey Kesit Koni - yükseklii - hacmi - tepesi - alanı - dik dairesel - tabanı - açılımı - ekseni - ekenar

55 57 178 183 179 203 208 203 204 204 204 203 191 200 201 202 200 202 201 201 201 202 201

N Nokta - doruda

160 160

O Olasılık - olayın Oran - alanların - çevrelerin Orantı - deeri - ters - devamlı Ortalama - geometrik

206 121 4 34 35 8 8 9 10 10 9

Ö Örnekleme uzay Örneklem Özdelik

48 48 58

P Paralelyüz - Dik paralelyüz Prizma - tabanı - çeitleri

175 177 174 175 176

- yan yüzleri 175 - yan ayrıtları 175 - yanal alanı 175 - köeleri 175 - ayrıtları 175 - dik prizma 175 - hacmi 187 - düzgün 177 - eik 177 - yükseklik 176 - kesitleri 176 - köegen kesitleri 176 - açılımı 179 - alanı 180 Piramit 190 - tabanı 190 - yüzleri 190 - tepesi 190 - köeleri 190 - yanal alanı 190 - ayrıtları( taban, yan) 190 - yükseklii 191 - yüksek. dik.ayaı 191 - köegen kesit 191 - düzgün 192 - apotem 192 - alan 191 - hacim 194 Pitagor üçlüsü 43 Projeksiyon 37,168,169 - paralel 168 - dik 169 - projeksiyon dorultusu 168 Planimetri 160 R Rastgele olay - olasılık

121 121

S Serbest terim Silindir - dik dairesel - tabanları - yanal alanı - yarıçapı - ekseni - yükseklii - eksen kesiti - ekenar - hacmi - açılımı - alanı Stereometri

105 197 197 198 198 198 198 198 198 198 198 198 198 160

T Teorem - Tales - Pitagor - Euklit Ters katsayılar metodu

16 16 41 38 145

U Uzay geometrisi Ü Üçgenler - benzer - birinci elik kuralı - ikinci elik kuralı - üçüncü elik kuralı

160

25 25 27 31 32

Y Yön - ters Yerine koyma metodu

97 97 143

KONU 1.

BENZERLK

3

KONU 2.

LNEER DENKLEM, LNEER ETSZLK VE LNEER FONKSYON

55

KONU 3.

LNEER DENKLEMLER SSTEM

127

KONU 4.

GEOMETRK CSMLER

159

ÖDEVLERN CEVAPLARI VE ÇÖZÜMLER KAVRAMLAR AÇIKLANMASI

209 216

Ödevlerin cevapları

217

Yovo Stefanovski, D-r Naum Tselakoski DĂźzenleyen: D-r Yordanka Mitevska, Ă&#x153;niversite hocasÄą - Ă&#x153;skĂźp Janeta umkoska, Ă&#x153;skĂźp " Aya Kiril ve Metodiy " Ă&#x2013;O'unda prĂśfĂśsĂśr Agim Bukla, Grupçin " Pako Vasa " Ă&#x2013;O'unda prĂśfĂśsĂśr YapÄąmcÄą: Yovo Stefanovski LektĂśr: Suzana Stoykovska Makedonca'dan TĂźrkçe'ye çeviri: Server ako Dil redaksiyonu: Dr. Aktan Ago LektĂśr: Demet Hamza Bilgisayar tasarÄąmÄą: Dragan opkoski DĂźzelten: Yazarlar BasÄąna hazÄąrlÄąk: Yovo Stefanovski, Dragan opkoski YayÄąncÄą: Makedonya Cumhuriyeti Eitim ve bilim bakanlĹĹ BaskÄą: Ă&#x153;skĂźp Dooel GraďŹ k merkezi Tiraj: 700 Makedonya Cumhuriyeti Eitim ve bilim bakanlĹĹ'nÄąn 21.04.2010 tarihli 22-2321 sayÄąlÄą kararÄąyla bu kÄątabÄąn kullanÄąlmasÄąna izin verilmitir.

CIP -                â&#x20AC;&#x153; .    â&#x20AC;? ,   373.3.016:51 (075.2)=163.3 !", #  $      :  %       / #  &  ,  ' . -   : $           *  $ , 2010. - 219 . : . ; 25  ISBN 978-608-4575-88-7 1. ' ,  [ ] COBISS.MK-ID 84078858

218


Matematika_8_tur