Ευκλειδης Β 36 by demi de

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ΠΑΤΑΚΗ

αξιολόγησης στη

Γεωμετρία

Λουκάς Μάρκος

άλγε�ρα

� .ΠΑΤΑΚΗ

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

μαθηματικά -ό�

t'.

θf!IKH

fι' τόμος Ι"

Κ,ι..ΗΥΘΗΗΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ETAIPEIA Τεύχοc;

Υπεύθυνοι 'Εκδοσης

Ευσταθίου Ευάγγελος Σπανδάγος Ευάγγελος

Γραμματεία σύνταξτις:

Δούναβης Αντώνης Δράκος Γιάννης Ευσταθίου Ευάγγελος Κυριαζόπουλος Δημήτρης Σπανδάγος Ευάγγελος

Συντακτική Ομάδα: Αρβανιτογεώργος Ανδρέας

Βακαλόπουλό� Κώστας Καλίκας Σταματης Καρκάνης Βασίλης Κερασαρίδης Γιάννης Κ�πουρόςΧρήστος Κοντζιας Νίκος Κυeιακόπουλοs Αντώνης Λαc,αρ,ίδη�Χρηστος Λουρίδας ΣωJήρης Μαλαφέκας Θανάσης Μαρουλη Βιολέτα Μπούκας Λάμπρος Σαϊτη_Εύα Σπανδάγου Ρούλα Τασσόπουλος Γιώργος Τσικαλουδάιcηs Γιώργος Τσιούμας Θανα�ς Χαραλαμποπούλου Λίνα

Συνει>γάτες: Βλάμος Τάκης

Βλαχούτσικος Γιώργος Γιδαράκος Θωμάς Ζέρβας Δημήτρης Καλομιτσίνη Αλεξάνδρα Καλομιτσίνης Σπύρος Καρκούλιας Γιώργος Κοντογεώργος Δημήτρης Κοντογιάννη� Δημήτρης Ντζιώρας Ηλιας Πανδής Αλέκος Πούλος Ανδρέας Σάλαρης Γ. Κων/νοs Τσιμπουράιcης Δημητρης

ΕΚΔΟΣΙΙ 'ΊΊΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ

l\1ΑΘΗΜΑΊΊΚΗΣ .ΕΆΙ'ΑΙΙ�ΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΙΗΜΙΟΥ 34-

106 79 ΑθΗΝΑ Τηλ.:36 17 784 36 16 532 Fax: 36 41 025 Εκδότης: Αλεξανδρής Νικόλαος Διε,>C}υντής: Τυρλής Ιωάννης •

ISSN: 1105

7998

Επιμέλι-:ια Έκδοmις:

Μαραγκάκης Στέλιος

ΣΥΝΔΡΟΜΕΣ:

Τεύχος: Ετήσια συνδρομή:

500 δρχ 2.000 δρχ 4.000 δρχ

Οργανισμοί: TU"..(. Επιταγές Τ. Γραφείο Αθήνα 54, Τ.Θ. 30044

•

Απρί�ιοc; Μάιοc; Ιούνιοc;

•

e-mail: info@hms.gr www.hms.gr

2000

•

δρχ. 500

MAΘHMAllKO Π�IΟΔΙΚΟ ΠΑ 10 ΛΥΚΕIΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2 Έvα yράμμα από ιηv Ελληνική Μαθηιιαηκή Ειαιρεία

3 Διεθvcς Έιος Μαθημαηκώv

14 Αρχαία Ελληνικά Μαθημαηκά 19 Τα vcα ιου Ευκλείδη

20 Το Βήμα ιου Ευκλείδη 22 Τα μαθημαηκά δεv είvαι μόvο ασκήσεις

28 Μαθημαηκά παράδοξα και Μαθημαιικά Παιχνίδια

31 Ρωιώvιας πας ... σιηv πόλη

32 Μαθημαηκοί Διαyωvισμοί Μαθημαιικcς Ολυμπιάδες 35 Ο 'Ευκλείδης' προιείvcι ... Ευκλείδη ·

38 Η σιήλη ιου μαθηιή

40 ΗΟΜΟ MATHEMAτiCUS

42 Το πρόσημο ιωv ημώv ιου φιωvύμου y

αχ2 + 6χ + y, α� Ο

Μαf1ιιιΙΙηικά για rηv Β' Τιlξ,ιι ωu Λυκr�ίου

45 Επαvαληπηκcς Ασκήσεις Β' Λυκείου

47 Θcμαια με λύσεις και μεθοδολοyίες ytα ιη Γ Λυκείου 49 Ευκλείδεια Γεωμεφία Β' Λυκείου (Μcφηση Κύκλου) 51 Ασκήσεις και προ6λήμαια Κωvικώv Τομώv 53 Β'Λυκείου Τεχvολοyική Καιεύθυvση

�ΙαflιιμιιηκιΊ για τ ψ 1" ΤιΊξιι

58 Προ6λήμαια

ιου

Λυκr�ί ου

60 Η μcθοδος ιης ολοκλήρωσης καιά παράΎοvιες

61 Όμοια Τρίyωvα και Σιαιισιικής Επακόλουθα

64 Θcμαια cισαΎωyικώv εξειάσεωv

71 Γεvικcς Ασκήσεις Αvάλυσης

79 Η σιήλη ιης Αλληλοyραφίας

80 Βι6λιοπαρουσίαση

ι-------1 Ειctί:mωση: IJ'Ii'IEPIIPEΣ Λ.Ε., Ιφάοδά; 81 • 83 Στοιχειοθεσία- Σελιδοποί11ση Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία

Υπαι:!. Τυποyραφείσu: Ν. Αδάιαuλος·Τηλ:3474654

�ra ιypάμμα αcπ6 cnr

�.JΙlilnrLRn JJlal-nμacLRn

δcαιp,�iα

Φίλε μαθητή,

ο τεύχος αυτό που κρατάς στα χέρια σου είναι το τελευταίο της Σχολικής Χρονιάς 1999- 2000. Όπως θα έχεις διαmστώσει ο «Ευκλείδης Β'>> ήταν συνεπής στις ημερομηνίες κυκλοφορίας του. Βέ βαια, παρατηρήθηκαν μερικές καθυστερήσεις όσον αφορά την παράδοση τευχών, αυτό όμως δεν οφείλεται στην διεύθυνση του περωδικού, αλλά σε διάφορους άλλους παράγοντες.

Είναι γεγονός όμως ότι ο «Ευκλείδης Β'>> κατά το οκτάμηνο αυτό ανταποκρίθηκε από άποψη πε ριεχομένου στις προσδοκίες σου ως μαθηματικό περιοδικό. Αυτό οφείλεται στο μεγάλο φάσμα που κα λύπτει η ύλη του, από την ιστορία των μαθηματικών μέχρι τα θέματα των μαθηματικών Ολυμπιάδων. Εκείνο όμως που μας χαροποίησε ιδιαίτερα είναι το γεγονός ότι εκατοντάδες μαθητές έστειλαν τη συνεργασία τους στον «Ευκλείδη Β'». Συγκεκριμένα έστειλαν λύσεις προτεινομένων ασκήσεων, έστει λαν ασκήσεις για δημοσίευση και διατύπωσαν �ιάφορες μαθηματικές απορίες. Αυτό σημαίνει σύμφωνα με τις παραμέτρους της δημοσιογραφίας ότι το περιοδικό «αρέσευ>, γεγονός που δίνει στη συντακτική του εmτροπή τη δύναμη να επανέλθει τον Σεπτέμβριο με νέες ιδέες και με ριζικές βελτιώσεις. Η επόμενη σεφά του περωδικού θα έχει ακόμα μια μόνιμη στήλη που θα αφορά την αστρονομία και μια στήλη με οδηγίες μελέτης των μαθηματικών. Η εφαρμογή νέων ιδεών κρίνεται απαραίτητη διότι έτσι ανανεώνεται συνεχώς και θα προλαβαίνει τις απαιτήσεις των αναγνωστών του.

Δεν πρέπει να ξεχνούμε άλλωστε ότι ο «Ευκλείδης Β'>) (όπως και ο «Ευιύ.eiδης Α'))) δεν είναι ένα κερδοσκοmκό περιοδικό. Γράφεται επομένως από ανθρώπους που τους διακρίνει το μαθηματικό «μερά κι», η αγάπη προς τα μαθηματικά και η αγάπη προς τη μαθηματική διαπαιδαγώγηση των μαθητών.

Σε λίγες μέρες θα αρχίσουν και οι κάθε είδους εξετάσεις σου. Είναι επόμενο να διακατέχεσαι από έ να σχετικό άγχος. Η συντακτική εmτροπή του περωδικού σε συμβουλεύει να παίρνεις μέρος στις εξετά σεις αυτές με απόλυτη ηρεμία. Παράλληλα σου κάνουμε γνωστό ότι κάθε είδους απορίες που θα σου δη μιουργηθούν κατά την μελέτη των μαθηματικών μπορείς να απευθύνεσαι στο περωδικό και θα παίρνεις άμεση απάντηση. χία.

Το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε., η συντακτική εmτροπή του «Ευιύ.eίδη Β'» και εγώ σου ευχόμαστε καλή εmτυ

Φιλικά Ο Πρόεδρος του Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε.

Καθηγητής Νικόλαος Αλεξανδ ρής

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/2

2000 Διεθνές έτος μαθηματικών

Συνάδελφε, Συναδέλφισα •

σκέψης. Πραγματοποίηση σχετικών εκδηλώσε ων στα σχολεία κατά το μήνα Απρίλιο του τρέχο ντος σχολικού έτους. Πραγματοποίηση ημερiδων στα παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. με σχετικά θέματα.

Ήδη βαδίζουμε τον τέταρτο μήνα του έτους 2000. Έτος που, όπως iσως γνωρίζετε, έχει ανακηρυχθεί σε «Παγκόσμιο έτος των Μαθηματucών». Η Διεθνής Μα Φίλοι Συνάδελφοt, θηματucή Ένωση θέλησε, με την ευκαφία της νέας 'Ί} Η Ελληνική Μαθηματucή Εταφεία σας προσκα λιετίας, να προβάλει σε παγκόσμια κλίμακα το ρόλο λεί στα πλαίσια του εορτασμού του Παγκόσμωυ έτους της επιστήμης των Μαθηματucών. Αντiστοιχα με το πολυσήμαντο 2° Διεθνές Μαθηματucό Συνέδριο του Μαθηματucών, να συμβάλλετε απαρασιστικά και όπως 1900 στο Παρίσι, κατά το οποiο ο μεγάλος Γερμανός μόνο εσείς μπορείτε στην υ'Μ>ποiηση των στόχων που μαθηματucός D. Hilbert παρουσίασε τον περiφημο κα τέθηκαν στη Διακήρυξη της 6ης Μαfuυ 1999 και που περιγράφονται στο κύριο θέμα μας. τά).nγο με τα ανοιχrά προβλήματα που επηρέασαν την Στη σύγχρονη εποχή, όπου η ραγδαία εξέλιξη ό εξέλιξη των Μαθηματucών στον 20ο αιώνα, έτσι και τώρα εκατό χρόνια μετά, με την ενέρyεια αυτή σημα λων των επιστημών στηρίζεται σε μέγιστο βαθμό στα τοδοτείται η σπουδαιότητα της επιστήμης των Μαθη . Μαθηματικά, χρειάζεται περισσότερο από ποτέ να υ ματucών στη σύγχρονη κοινωνία και καθορίζεται η πογραμμιστεί ο ρόλος τους και να προβληθεί η χρησι μότητά τους. Να πάψουν να είναι ο αφανής ήρωας των σημασία τους στη 2η 'Ί}λιετία. εξελiξεων, να απομυθοποιηθεί η δυσκολία τους και να Η Διακήρυξη του Pio ντε Τζανέϊρο, της 6rr; Μαί ανατραπεί η αντίληψη ότι τα Μαθηματucά είναι απο ου του 1992, θέτει ως στόχο, για το Παγκόσμιο έτος κομμένα από την καθημερινή πραγματucότητα. Αν αυ των Μαθηματucών, τη μελέτη των ακόλουθων θεμά τός ο στόχος επιτευχθει τότε υπάρχει ελπίδα να αγα πηθούν από το ευρύ κοινό και φυσικά πρώτα και κύρια των: από τους μαθητές μας. Επισημαίνουμε ότι οι βασικές ιδέες με τις οποiες • Οι μεγάλες προκλήσεις του 2100 αιώνα. έχουν υφανθεί τα σύγχρονα Μαθηματικά είναι απλές • Τα Μαθηματucά, κλειδί ανάπτυξης. και μέσα στις δυνατότητες κατανόησης κάθε ανθρώ • Η εu<:όνα των Μαθηματucών στην κοινωνία. που, που διαθέτει μια μέση νοημοσύνη, κατά συνέπεια από εμάς εξαρτάται να καταστήσουμε αυτό το γεγονός Σε όλΑ> τον κόσμο, οι Μαθηματικές Ενώσεις, υπό σαφές προς κάθε πλευρά. την αιγίδα της UNESCO, έχουν πρσyραμματiσει σειρά Γενικά, θα πρέπει να περάσει το μήνυμα, ότι τα εορταστικών εκδηλώσεων σύμφωνα με τα παραπάνω Μαθηματικά είναι ένας κλάδος ζωτucής σημασiας για θέματα. την πρόοδο, να γίνει κατανοητό ότι στις ημέρες μας τα Μαθηματικά αποτελούν μιαν αναγκαιότητα, αφού όλο Η Ελληνική Μαθημ[ιτucή Εταφεία στα πλαίσια και περισσότερο διαφορετικοί κλάδοι των επιστημών αυτού του εορτασμού έχει πρσyραμματiσει με κύρωυς επηρεάζονται από την πρόοδο της μαθηματucής γνώ άξονες σης. «Τα Μαθημαπι'ά Κλειδί Αvάπrοξης. Η ΕJ.λάΗ Ελλάδα του σήμερα έχει κάθε δικαiαιμα.ναυ περηφανεύεται για το επιστημονικό δυVαμικό που δια δα κοιτίδα της μαθημαπιaίς σκέψης» θέτεt, σε εθνικό και διεθνές επίπεδο, στο χώρο των τις εξής δραστηριότητες: μαθηματucών και ό'Ί} μόνο, γεγονός που της επιτρέπεt, • 1 'f Πανελλήνιο Συνέδριο με θέμα «Τα Μαθη σε συνδυασμό με τους πολλά υποσχόμενους με πα μαπκά Κλειδί Αvάπrοξης» γκόσμιες επιτυχίες σε αγώνες Μαθηματucών μαθητές • Κυκλαρορία έντυπου υλικού και αφίσας στα μας, να διατηρεί επάξια τη θέση της και την παράδοσή σχολεία για την προβολή του ρόλου των Μαθη της μέσα στη παγκόσμια κοινότητα, ως κοιτίδας της ματucών στην ανάπrυξη και τη συμβολή της Αρ μαθηματucής σκέψης. χαίας Ελλάδας στην ανάπrυξη της μαθηματucής · ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.y. τ.4/3

2000 Διεθνές έτος Μαθηματικών

ΤΑ ΜΑθΗΜΑΠΚΑ ΚΛΕΙΔΙ ΑΝΑΙΠΥΞΙΙΣ

Η κοινωνία ανttλα.μβάνεται την αξiα των Μαθη ματικών &xJ. καθεαυτή, σJ..λά μέσα από τις εφαρμογές τους. Δεν είναι παράξενο γεγονός ότι τα Μαθηματικά χαρακτηρίσθηκαν ως <<υπηρέτραι των επιστημών>>. Τα Μαθηματικά βρίσκονται σε άμεση επικοινωνία με τις δημωυρyούμενες ανάγκες, είναι η δεξαμενή γνώσης που τροφοδοτεί τις άλλες επιστήμες, σJ..λά και τραρο δοτείται απ' αυτές. Δεν θα ήταν υπερβολή να λέγαμε ότι η Φυσική αποτέλεσε και αποτελεί κίνητρο και αιτiα γαι την ανά πτυξη των μαθηματικών θεωρtών. Σχεδόν όλα τα φυ σικά φαινόμενα έχουν περιγραφεί με κάποιο μαθημα τικό μοντέλο, του οποίου η ανάλυση αποτελεί το μόνο θεωρητικό μέσο μελέτης του φαινομένου. Η ιστορiα των Μαθηματικών είναι γεμάτη με παραδείγματα πε ρtπtώσεων, όπου κάποιο φυσικό πρόβλημα έγινε α φορμή ανάπτυξης μαις μαθηματικής θεωρίας και αντί στροφα, η μαθηματική ανάλυση ενός προτύπου εξή γησε κάποιο φυσικό φαινόμενο. Η θεωρητική Χημεία προσφέρει ένα όJJ.JJ παρά δειγμα αλληλεπίδρασης με τα Μαθηματικά. Πολλές χημικές δαιδuαισίες αναλύονται με μαθηματικά μοvtέ λα. Το γεγονός αυτό παρουσιάζεται tδιαίτερα στη Φυ σικοχημεία και την Κβαντική Χημεία. Στη Βωλογία αναλύονται μαθηματικά μοντέλα γαι τη μελέτη των πληθυσμαικών μεταβολών των μι κροορyανισμών, τη δυναμucή του πολλαπλασιασμού των καρκινοπαθών 1CΙ>Πάρων, τον βιολογικό αvrαγω νισμό των ει&ον κ.λπ. Στην Ιατρική και εtδικότερα στη Φυσιολογία, οι δαιφορικές εξισώσεtς χρησψοποιούνται γαι τον έλεγχο της γλυκόζης στο αίμα και τη διάγνωση του διαβήτη, γαι τη μελέτη της διάδοσης των σημάτων μέσα στο νευρικό σύστημα του ανθρώπου, γαι την ενερyεαική δαιπερατότητα του κερατοεtδούς χιτώνα, γαι τη ρευ στοδυναμική της αρτηραικής και φλεβucής κυκλοφο ρίας του αίματος (δημιουρyiα θρόμβων), γαι την επι δημική δαισπορά των ασθενεtών, γαι τη μεταφορά των οπτικών ερεθtσμάτων στον εγκέφαλο κ.λπ. Επiσης θα θέλαμε να υπενθυμίσουμε τη χρήση των Μαθηματι κών γαι την κατανόηση της ανοσολοyucής δυναμucής του ιού mv, καθώς και να παρουσιάσουμε κάποιες α ναφορές μαθηματικού μοντέλου γαι το AJDS. Τα Μαθηματικά είναι αναγκαία και στην Κοινω νιολογία. Τυπικές εφαρμογές εδώ αποτελούν τα προ βλήματα μείξης και αλληλεπίδρασης των πληθυσμών με δαιφορετικό κοινωνικό υπόβαθρο, η θεωρiα της μάθησης, η διάδοση φημών, η βελτίωση της στρατηγι κής κατά τη διεξαγωγή ενός αθλητικού αγώνα, οι πολι τικές αλληλεπιδράσεtς των κοινωνικών ομ.ά&ον, η δυ ναμική ευστάθεαι των εξοπλωμών των διάφορων χω ρών, κ.λπ.

Η προστασiα του Περιβ άλλοντος και η δαιχεiρι ση οικοσυστημάτων απαιτούν Μαθηματικά. Υπάρ χουν μοντέλα γαι την ασφάλεαι κατά την αποθήκευση υπολειμμάτων ατομικών ερyοστασiων, γαι τη μελέτη του ατμοσφαφικού και υγρού περιβόJJ.JJντος, γαι την ανάλυση των προτύπων οδικής κυκλοφορίας, κ.πλ. Στην Οικονο μία αντιπροσωπευτικά προβλήματα αποτελούν η ανάλυση των οικονομικών θεωρtών, η μελέτη συγχρόνων μεθόδων καλλιέρyεαις στη Γεωρ γία και οι τεχνολογικές εφαρμογές στη .Βωμηχανία. Κάτι λιγότερο γνωστό είναι ότι ο καινούρyιος κλάδος των κυματοδηγών (waνelets) έδωσε ένα και νούρyιο εργαλείο το οποίο υιοθέτησε το F.B.I. γαι την αρχειοθέτηση των δακτυλικών αποτυπωμάτων. Τέλος θα ήταν μεγάλη παράλειψη να μην αναφέ ρουμε την τεράσται σχέση που υπάρχει μεταξύ των Μαθηματικών και της Πληροφορικής, που και οι δύο μαζί θεωρούνται πλέον το αναγκαίο λειτουργικό υπό βαθρο όλων των επιστημών. Ενδειιcrικά αναφέρουμε ότι η Άλγεβρα Boole αποτελεί τη βάση πάνω στην ο ποiα έχει χτιστεί όλΑ> το οικοδόμημα λειτουρyiας του υλικού (hardware) των υπο'Μ>γιστών, τα Γραφικά των υπο'Μ>γιστών, δηλαδή η δημωυρyiα, επεξερyασiα και αποθήκευση μοντέλων αντικειμένων, όπως και των ει κόνων τους χρησψοποιούν γεωμετρικούς μετασχημα τωμούς, συντεταγμένες σημεiων, γραμμών, και πολυ γώνων, σε συνδυασμό με τις σχέσεις των ομοiων τρι γώνων και με πίνακες. Ακόμη γαι την αναπαράσταση τρισδιάστατων επιφανεtών χρησψοποιούνται μοντέλα όπως π.χ. παραμετρικές συναρτήσεtς από πολυώνυμα τρίτης τάξης, ή πλέγματα πολυγώνων (κατασκευή μο ντέλων αυτοκινήτων, παιχνίδαι). Επiσης ένας σημα vtικός κλάδος της Πληροφορικής, αυτός των Σχεσαι κών Βάσεων Δεδομένων στηρίζεται στη Relation Al gebra. Επίσης δύο μεγάλες κατηγορίες γλωσσών προ γραμματωμού αυτές του λογικού προγραμματωμού και του συναρτησαικού προγραμματωμού έχουν ευ θεiα σχέση με τους αvrίστοιχους κλάδους των Μαθη ματικών. AJJ..R.c, περιοχές αναφέρονται στον αυτόματο έ λεγχο συσκευών και μηχανημάτων, στον έλεγχο της παλαιότητας των αντικειμένων (αρχαiα αγάλματα, ζω γραφικοί πίνακες) κ.λπ. Ακόμα θα πρέπει να τονισθεί η αλληλεπίδρασή τους με την Τέχνη π.χ. Μαθηματικά και Χορογραφία, Γεωμετρία, Προοπτική και Ζωγραφucή, Μαθηματικά και Μουσική, στη Γλωσσο'Μ>γiα και αλ'Μ>ύ. Τέλος, θα μπορούσε κανείς να απαριθμήσει και πολλές άλλες εφαρμογές των μαθηματικών που άπtο νται σε προβλήματα της καθημερινής ζωής. Θα ήταν όμως σφάλμα να απαvrήσουμε ότι η α ποκλειστucή αποστολή των μαθηματικών - της υπηρέ τραις όπως χαρακτηρίστηκε των επιστημών - είναι να

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.y. τ.4/4

2000 Διεθνές έτος Μαθη ματικών

υπηρετεί τις άλλες επιστήμες. Στα Μαθηματικά έχει

δοθεί επίσης η ονομασία <<Βασίλισσα των επιστημώV)). Αν σε ορισμένες περurrώσεtς η «βασiλισσω) μοtάζει με ικέτη των επιστημών, τότε σίγουρα πρόκειται γtα πολύ περήφανο ικέτη, που δεν ζητά ούτε δέχεται χάρες από καμtά από τις πλουσιότερες αδελφές της επιστή μες. Αυτό που παίρνει το πληρώνει.

Τα Μαθηματικά έχουν ένα δικό τους φως και μαι δική τους σοφία, πάνω και πέρα από κάθε mθανή ε φαρμογή τους στην επιστήμη και θα είναι πλούσtα η ανταμοtβή κάθε ευφυούς ανθρώπου που θα συλλάβει κάτι από το εσωτερικό τους νόημα. Δεν πρόκειται γtα το παλtό δόyμα «η τέχνη γtα την τέχνη)) αλλά τα Μα θηματικά είναι τέχνη γtα την Ανθρωπότητα. Ο καθηγητής T. Tutte του Πανεπιστημiου του Waterloo απαντώντας στο ερώτημα τι είναι τα μαθη ματικά τονίζει: Φαίνεται ότι έχουμε τρεtς επιλογές. Τα ΜαΒημα πκά είναι η Ανθρωπισπκή Επισrήμη που υμνεί την αιώ νια λογική, είναι η Φυσική Επισrήμη η οποία μελετά το φαινόμενο που λέγεται λογική, είναι η Τέχνη που πλάθει δομές αιθερικής ομορφιάς από την πρωταρχική ύλη που ονομάζεται λογική, είναι όλα αυτά κι ά.Uα. Αλλά πάνω απ' όλα, μπορώ να σας βεβαιώσω, ότι τα ΜαΟημαπιίά

είναι Ευχαρίστηση.

Κάτι που πρέπει να επισημανθεί είναι ότι αντίθε τα με τις άλλες επιστήμες Φυσική, Χημεία, Ιατρική, Αρχαωλογία κ.α., τα Μαθηματικά από τη φύση τους αποτελούν ένα κλειστό σύνολο έτσι οι επαναστάσεtς τους, οι ανακαλύψεtς τους και γενικότερα η έρευνά τους, δεν δαιπερνούν το κοινωνικό σύνολο, ακόμα και αν οι εφαρμοyές τους έχουν άμεση ή έμμεση επίδραση στην καθημερινότητα, έστω και με μεγάλη δαιφορά φάσης. Κάποtα εντελώς ξεχωριστά θέματα ή προβλήμα τα φορτωμένα με κάποια μυθολογία είναι δυνατόν να αγγίξουν κάποτε και γtα πολύ λίγο τον κόσμο, που βρiσκεται έξω από τη μαθηματική κοινότητα. Γtα πα ράδειγμα η Θεωρία Συνόλων, όταν άρχισε να διδάσκε ται στην Δειπεροβάθμια Εκπαiδwση ή πρόσφατα «Το

τελειπαiο πρόβλημα του Fermab) από τον Α. που έγινε μάλιστα πρωτοσέλtδο στις εφημερίδες Le Monde και New York τimes.

Wiles,

Φiλοι συνάδελφοt, Για να ενδ ιαφερθούν οι μαθητές μας για τα Μαθηματικά, εκτός από την προσπάθεια που κά νουμε για να τους μεταδώσουμε την αγάπη που ε μείς αισθανόμαστε για την επιστήμη μας, θα πρέπει, συμβαδίζοντας με τις σίΥyχρονες απαιτήσεις, να τους δείξουμε τον σημαντικό και καθοριστικό ρόλο των μαθηματικών σε κάθε τομέα της ζωής. Να επι σημάνουμε τη χρησιμό τητά τους για την κατανόη ση και την επίλυση των προβλημάτων της σίΥyχρο νης επιστήμης και τεχνολοyίας. Στην τυποποιη μένη ερώτηση των μαθητών «tι χρειάζεται να μάθο υμε αυτό ή εκείνο•••» πρέπει να είμαστε έτοψοι να δώσουμε σαφή και πλή ρη απά ντηση. Αυτό θα αποτελέσει σοβαρό κίνητρο και θα σταθεί αιτία για τον προβληματισμό τους. Έτσι ο δρόμος για να κινήσουμε το ενδιαφέρον των μαθη τών μας θα είναι ανοιχτός, θα τους προσφέρουμε κίνητρα να ασχοληθούν με τα Μαθηματικά και θα τους βοηθήσουμε να αναγνω ρίσουν ότι η κινητήρια δύναμη της μαθηματικής σκέψης δεν είναι μόνο η λοyική αλλά και η φαντασία. Η ΕΛΛΑΔΑ ΚΟΠΙΔΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ

Η Ελλάδα είναι η κοιτίδα των Μαθηματικών ως θεωρητικής επιστήμης. Εδώ γεννήθηκαν τον 6ο π.Χ. αtώνα <<η μαΒημαιι κή απόδειξη», καθώς και τα πρώτα «αποδεδειγμένα α ποτελέσματω) χωρίς περιθώρtα αμφισβήτησης, aπο σπασμένα από κάθε άμεσο πρακτικό σκοπό. Ακόμα και το όνομα της μαθηματικής επιστήμης γεννήθηκε στην Ελλάδα. Χαρακrηριστική είναι η «ομολογirο) του sir Thomas Heath στον πρό'ΜΥyο του δίτομου έργου <d στορία των ελληνικών μαθηματικώV)): "Τα ελληνικά μαΒημαιικά αποκαλύπrουν μία σπουδαία πkυρά της ελ},ηνικής μεγαλοφυίας που ο μα θητής του ελληνικού πολιτισμού τείνει να παραβλέψει . . . Τι ειδικές ικανότητες είχαν οι Έλληνες μαθηματικοί; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι ότι η μαΒημαιική τους μεγαλοφυία ήταν μία πkυρά της μεyαλοφυίας τους στη φιλοσοφία.. Οι Έλληνες σε αντίθεση με οποιονδή ποτε ά.Uο λαό της αρχαιότητας καrείχοντο από τον έρω τα της γνώσης για χάρη της γνώσης... Με την aσυννέ φιαστη διαύγεια του μυαλού τους και την ελευθερία της σκέψης ήταν σε μοναδική θέση να δημwυργήσουν τις ε πισrήμες με τον τρόπο που το έκαναν... Σε μαι χρονολογucή περιήγηση θα μπορούσε κανείς να αναφερθεί στους μαθηματικούς που έπα1ξαν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/5

2000 Διεθνές έτος Μαθηματικών

σημαντικό ρόλο στα αρχαiα σJJfJ. και τα νεότερα Μα θηματtκά. Ανάμεσα στους επτά Έλληνες σοφούς η παράδο ση δω.σώζει το Θαλή το Μιλ1Ίσιο, 6ος π.Χ. αιώνας, στον οποίο αποδiδοvtαι οι αποδείξεις των πρώτων γε ωμετρtκών προτάσεων. Το πρώτο πρόγραμμα της κα τασκευής των Μαθηματtκών σε αριθμητική βάση α ποδίδεται στον Πυθαγόρα και στη δραστηριότητα της Σχολής του. Σε αυτήν τη Σχολή ανήκει η πρώτη προ σπάθεω. μαθηματtκοποίησης της γνώσης, "το πάν α ριθμάν", ενώ κληροδότησε τη μουσtκή κλίμακα. Ο Ζήνων ο Ελεάτης, με τα παράδοξά του (το βέ λος που ποτέ δε φθάνει στο στόχο του κ.λπ.) εμβάθυνε στις δυσκολίες που ανακύπτουν στην έρευνα της έν νοιας του απείρου. Η θεωρiα των αναλσyιών του Ευδόξου (370 π.Χ.) θα ξεπερασθεί 13 αιώνες αργότερα, μόλις τον 17ο αι. μ.Χ., απο τη μεγαλοφυiα του Newton και του Leibniz. Ο Ευκλείδης στο τέλος του 4ου αιώνα π.Χ., συ νέταξε τα μνημειώδη «Στοιχεiα» του, έργο που ακο λουθεί την Βίβλο σε αριθμό εκδόσεων. Τα Στοιχεiα του Ευκλείδη και η αυθεvtiα του Πλάτωνα και του Α ριστοτέλη οριοθετούν τον καθοριστtκό ρόλο των Μα θηματtκών στην ιστορiα της εmστημονtκής σκέψης.

Η ελληνιστtκή εποχή, κατά την οποiα έζησε και δημιούργησε ο Ευκλείδης, προσέφερε στον κόσμο μω. σειρά καταπληΚttκών μορφών. Μεταξύ αυτών ήταν ο Ερατοσθένης (δεύτερο μισό του 2ου αι. π.Χ.), στον ο ποίο ανήκουν μερtκά μαθηματtκά αποτελέσματα, όπως το περίφημο <<κόσκινο του Ερατοσθένους», καθώς και οι γίγαντες της μαθηματικής σκέψης, ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) και ο Απολλώνιος (260-170 π.Χ.). Στον πρώτο ανήκει η ονομαστή μέθοδος της ολοκλήρωσης και δω.φόρισης, προάγγελμα της ανακάλυψης (κατά τον 17ο αι.) του απειροστtκού λσyισμού και οι πασί γνωστες εφαρμογές των Μαθηματtκών στη Φυσtκή. Στον δεύτερο οφεiλονtαι οι κωνικές τομές. Δηλαδή σε σύγχρονη μαθηματική γλώσσα - η θεωρiα των αλ γεβρtκών καμπυλών 2ου βαθμού, που χωρίς αυτή δεν θα μπορούσε να δημιουργηθεί τον 1 6ο και 17ο αιώνα

η καινούρyω. αστρονομiα και μηχανtκή, οι νόμοι του Keppler και η μηχανική του Newton. Ακόμα και το σύστημα του Κοπέρνucου είχε τον πρόδρομό του στην Ελλάδα, τον Αρίσταρχο το Σάμιο, που τον 3ο αι. π.Χ. δω.τύπωσε το ηλιοκεντρtκό σύστη μα του κόσμου. Τα αποτελέσματα του Αρχψήδη και του Απολλώνιου θεωρούντο μέχιπ το 16ο αι. τα μεγα λύτερα εmτεύyματα της μαθηματικής σκέψης, η δε γνώση τους ήταν γνώρισμα ύψιστης μαθηματικής παι δεiας. Τα δύο ανεπανάληπτα αρχιτεκτονtκά αριστουρ γήματα, ο Παρθενώνας και η Αγία Σαρiα, κατασκευά σθηκαν με βάση τα Μαθηματικά. Το πρώτο με τις προευκλείδιες μαθηματtκές γνώσεις και το δεύτερο με τη συμβολή των έργων του Αρχψήδη και του Απολ λωνiου.

Ο Δtόφαvtος (μέσα 3ου μ.Χ αι.) με το έργο του ''Αριθμητικά", γίνεται πρόδρομος του μαθηματtκού συμβολισμού, συμβάλλει στην ανάπτυξη της Άλγεβρας και θέτει τις βάσεις στην πιο σημαντική πτυχή των συγχρόνων μαθηματικών, τη Διοφανttκή Ανάλυση. Μω. από τις τελευταίες μεγάλες παρουσiες ήταν και η εmστημονική δραστηρώτητα της Υπατiας της Αλεξανδρινής (στο τέλος του 4ου αι), της πρώτης στην Ιστορiα διάσημης γυναiκας μαθηματtκού. Η παρακμή του αρχαίου πολιτισμού σημαίνει και τη δύση των αρ χαiων ελληνtκών Μαθηματtκών. Γω. περισσότερα από χίλω. χρόνω. τα αποτελέσματα των αρχαiων Μαθημα τtκών γίνονται τα πρότυπα, τα οποiα κανεiς δεν μπορεί να πλησιάσει. Στους επόμενους αιώνες, τα ιστορtκά εμπόδω. έ βγαλαν την Ελλάδα από την πορεiα των χωρών, που ε νεργά συμμετέχουν στην πρόοδο της Επιστήμης γενι κότερα και ιδω.ίτερα των Μαθηματtκών. Μόνο προς τα τέλη του 19ου αιώνα, αυτή η κατάσταση αρχίζει να μεταβάλλεταt, όταν ο ελληνισμός δίνει το παρόν του στη διεθνή μαθηματική έρευνα με την παρουσiα τόσο των Ελλήνων του ελλαδtκού χώρου όσο και των Ελ λήνων του εξωτερtκού. Το Φανάρι θα προσφέρει το διάσημο έλληνα μαθηματtκό Κωνσταvtίνο Καραθεο δωρή (1873-1 950), με σημαντικό έργο σε πολλούς κλάδους των Μαθηματtκών (καθαρά και εφαρμοσμέ να). Υπενθυμiζεται ότι στον Κωνσταντίνο Καραθεο δωρή, σε αναγνώριση της αξiας του και παρόλο το νε αρό της ηλtκiας του, είχε ανατεθεί η οργάνωση και δι εύθυνση του Ιωνiου Πανεmστημίου της Σμύρνης, το οποίο βεβαiως ουδέποτε λειτούργησε, αφού κατα στράφηκε ολοσχερώς, μαζί με την υπόλοmη πόλη, το 1922, από τους Τούρκους. Το ελληνtκό πνεύμα θα κά νει πάλι αισθητή την παρουσiα του στο διεθνή ερευνη τtκό στίβο με τις έξι μεγάλες μορφές, του: Κυπάρισσο Στέφανο (1857- 1 9 1 7), Νtκόλαο Νtκολα"iδη (18261889), Ιωάννη Χατζηδάκη (1884- 1921 ), Παναγιώτη

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β" λ.γ. τ.4/6

2000

Διεθνές έτος Μαθη ματικών

Ζερβό (1878-1952), Γεώρyιο Ρεμούνδο (1878-1926) και ΝU<όλα I. Χατζηδάκη (1872-1942). Οι τρεις τελευ ταiοι, tδριmκά στελέχη της Ελληνικής Μαθηματικής Εταφείας (1918), αποτελούν και το πρώτο προεδρεiο του διοucητU<ού συμβουλiου.

εκπαiδευσης, η ενασχόληση της ΕΜΕ με όλες τις βαθ μiδες της μαθηματικής εισrαiδευσης είναι συνεχώς ε νεργή και εκφράζετάι με: • την εκδοτική της δραστηριότητα που αποτελείται από ερευνητU<ά περιοδU<ά, επιστημοVU<ά βιβλία, πρακτικά συνεδρίων και εtδU<ά περιοδU<ά Α'βάθμιας, Β'βάθμιας Εκπαiδευσης, Πληροφο ρικής και Δtδακτικής. • τ ους ετήσwυς Πανελλήνwυς Μαθηματικούς Διαγωνισμούς που δωρyανώνει και τη συμμε τοχή της σε Διεθνείς Μαθηματικούς Διαγωνι σμούς. • τη διοργάνωση εmμορφωτU<ών σεμιναρίων και συνεδρίων. • τη συμμετοχή της στη δαιμόρφωση Προγραμμά των Σπουδών και σχολU<ών βιβλίων. • τη συνεργασία της με Διεθνεiς ΜαθηματU<ές Ε ταφεiες και άλλους συναφεiς επιστημοVU<ούς φορεiς. Κο ρω νίδα τω ν δ ραστη ριοτήτω ν αυτών α λε ποτε ί η ανάληψη της διο ρyάνω σης της Μα θηματικής Ολυ μπιάδας του 2004, σαν επιστέ γασμα των επί σειρά ετών διακρίσεω ν τω ν Ελ λή νω ν μαθητών μας σε διεθνείς και παγκό σμιους διαγωνισμούς μαθηματικών. ·

Ο εορτασμός του Παγκόσμιου έτους των Μαθη ματU<ών προσφέρει στην ΕΜΕ μαι μοναδική ευκαφία για να δραστηριοποιήσει τα χιλιάδες μέλη της στην υ πηρεσία των σκοπών που υπηρετεί εδώ και 82 χρόναι από την iδρυσή της. Η ΕΜΕ καλεί όλους τους συνάδελφους μαθημα τU<ούς να συμβάλλουν ενεργά στην επίτευξη των στό χων της, όπως αυτοί περιγράφονται παρακάτω: • Ενθάρρυνση και ανάπτυξη της σπουδής και έ ρευνας της Μαθηματικής Επιστήμης και των πο λυδιάστατων εφαρμογών της, καθώς και την α ναβάθμιση της Μαθηματικής Παtδείας. • Πρόοδο και δώδοση της Μαθηματικής Επιστή μης • Προαγωγή και ενίσχυση της διάχυσης των νέων εξελίξεων στα ΜαθηματU<ά • Ανάπrοξη της επιστημονικής U<ανότητας των με λώντης • Ουσαιστική συνεισφορά στη συνεχή βελτίωση της μαθηματικής εισrαiδευσης και την πρόοδο της γενικής παtδείας. • Προσέγγιση του Έλληνα μαθηματU<ού κάθε βαθ μiδας και την παροχή πρα1Ct1Κής βοήθειας για τα tδιόμορφα προβλήματα που αντιμετωπίζει στο εισrαtδευτU<ό και δtδακτικό έργο του • Ανάδεtξη του ρόλου της μαθηματικής επιστήμης ως βασU<ού στοιχεiου μιας ελεύθερης παtδείας.

Γαι την επίτευξη των παραπάνω στόχων η ΕΜΕ ενθαρρύνει κάθε εiδους επιστημοVU<ές δραστηριότη τες, στις οποiες σας καλούμε να συμμετέχετε. Με την πεποίθηση ότι τα ΜαθηματU<ά αποτελούν αναπόσπα στο κομμάτι της Γενικής Παtδείας των νέων ανθρώ πων και είναι ο θεμέλιος λίθος οποαισδήποτε βαθμiδας

Η δώδοση και γνωστοποίηση σε όλη τη μαθητική κοινότητα των δραστηριοτήτων της ΕΜΕ είναι ένας ακόμη τρόπος για να κινηθεί το ενδαιφέρον των μαθη τών για τα μαθηματU<ά. Τέλος, σας καλούμε με την ευκαφία του Παγκό σμιου έτους των ΜαθηματU<ών να συμβάλλετε στην προσπάθεαι όλων μας, ώστε τα μαθηματU<ά αποκτή σουν τη θέση που τους αξίζει και να γίνουν «ευχαρί στηση>> όχJ. μόνο για τους λfyους, σJJiJ. για τους πολ

λούς.

ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Ο Γενικός Γραμματέας Καθηγητής Νικόλαος Αλεξανδρής Ιωάννης Τυρλής

ΤΑ ΜΑiιιμιιιτιΚΑ Η Διεθνής Μαθηματική Ένωση , θέλησε

στην αλλαγή του αιώνα και της χιλιετίας να π ρο βάλλει σε παγκόσμια κλίμακα τα Μαθημα τικά. Σε όλο τον κόσμο οι Μαθηματικές ενώσεις έχου ν προγραμματίσει υπό την αιγίδ α της UNESCO σειρά εκδηλώσεων για να εορτάσου ν το Παγκόσμιο Έτος τω ν Μαθηματικών.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4Π

2000 Διεθνές έτος Μαθηματικών

Σκοπός των εκδηλώσεων αυτών είναι να ε πισημανθεί η σπουδαιότητα των Μαθηματικών στη σύγχρονη κοινωνία για την ερχόμενη χιλιε τία.. Η χώρα μας συμμετέχοντας στον εορτασμό αυτό, με πρωτεργάτη την Ελληνική Μαθηματι κή Εταιρία, επιθυμεί να δώσει ένα έναυσμα για προβληματισμό γύρω από τα Μαθηματικά και να επαναπροσδιορίσει τη σημαντική συμβολή της χώρας μας στη γέννηση της επιστήμης αυ τής. Τι είναι τα Μαθηματικά, πόσο και πώς ε πιδρούν στη ζωή μας; Πότε πρωτοεμφανίστηκαν; Πώς και γιατί εξελίχτηκαν; Ποια είναι η κινητήρια δύναμη των • Μαθηματικών; Είναι η λο·ιική στην ο ποία βασίζονται οι συλλογισμοί μιας μαθηματικής απόδειξης, που διατυπώ νονται με «αυστηρότητα» και «ακρί βεια)) ή μήπως είναι η διαίσθηση και η φαντασία; υποψιαζόμαστε ότι τα Μαθηματι Όλοι • κά κρύβονται πίσω από κάθε υψηλής τεχνολογίας συσκευή που χρησιμο ποιούμε. Υπάρχει λοιπόν άμεση σχέση των Μαθηματικών με τα καθημερινά προβλήματα ή είναι μια επιστήμη που ασχολείται μόνο με «αφηρημένε9) έν νοιες και θεωρήματα, που διαβάζουμε στα βιβλία μας; Είναι τα Μαθηματικά μια επιστήμη που • απλά υπηρετεί τις υπόλοιπες δίνοντας λύσεις στα προβλήματά τους ή είναι μια κλειστή επιστήμη που έχει μικρή μόνο σχέση με την πραγματικότητα; Είναι η Βασίλισσα των επιστημών κλεισμένη στον πύργο της τελειότητας ή είναι η Υ πηρέτης τους; Τέλος πώς άρχισε η περιπέτεια των • Μαθηματικών και ποια ήταν η συνει σφορά των Ελλήνων σ' αυτήν; Από το ξεκίνημά τους τα Μαθηματικά εί χαν πάντα το ρόλο του αρωγού. Ο άνθρωπος τα χρησιμοποίησε στις καθημερινές του δραστη ριότητες (εμπορικές συναλλαγές, μετρήσεις γης κ.λ.π.), αφού πολλές από αυτές εμπεριέχουν, α κόμα και σε λανθάνουσα μορφή, μαθηματικές λειτουργίες. Με την ανάπτυξή τους τα Μαθη ματικά βοήθησαν στην ανάπτυξη άλλων επι στημών επιλύνοντας προβλήματά τους. Όμως

πολλά από τα πραγματικά προβλήματα συχνά πυροδότησαν το ξεκίνημα νέων κατευθύνσεων και κλάδων στα Μαθηματικά. Ένα πρόβλημα (π.χ. η μελέτη της κατανο μής της θερμοκρασίας σε μια πτέρυγα αεροπλά νου ή η μελέτη ενός οικοσυστήματος) έχει σαν αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός Μαθηματικού προτύπου, που η επίλυσή του μπορεί να δώσει απάντηση στο πραγματικό πρόβλημα. Παράλ ληλα αυτό το μαθηματικό πρότυπο για να δοθεί προϋποθέτει τη δημιουργία νέων μεθόδων στα Μαθηματικά. Δημιουργείται δηλαδή ένας συνε χής φαύλος κύκλος και είναι πραγματικά πολύ ενδιαφέρον για ένα Μαθηματικό να βλέπει ότι το μαθηματικό πρότυπο που μελέτησε δίνει α πάντηση σε πραγματικά προβλήματα, αλλά και γενικεύοντας τις μεθόδους που χρησιμοποίησε να τις εφαρμόζει σε προβλήματα διαφορετικής φύσης από το αρχικό. Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι τα καθημερινά προβλήματα και η ανάγκη επίλυσής τους είναι μία από τις κινητήριες δυνάμεις ανάπτυξης της Μαθηματικής επιστήμης. Συνεπώς δεν είναι με κανένα τρόπο ξεκομμένα από την καθημερινή πραγματικότητα. Όμως πέρα από τη σχέση τους με τις άλλες επιστήμες τα Μαθηματικά έχουν το δικό τους φως και μια δική τους κινητήρια δύναμη ανε ξάρτητα από τις πιθανές εφαρμογές τους. Πολ λοί μαθηματικοί ασχολούνται με προβλήματα που θέτουν τα ίδια τα Μαθηματικά και είναι πλούσια η ανταμοιβή τους από την ενασχόληση με τις αιθέριας ομορφιάς δομές τους. Ενώ όμως η λογική δίνει το πρωτογενές υλικό των δομών αυτών και χρησιμοποιείται για τον έλεγχο σε μια διαδικασία συλλογισμών, η πραγματική κι νητήρια δύναμη των Μαθηματικών είναι η διαίσθηση και η φαντασία. Είναι ιδιαίτερα εν διαφέρον ότι νέοι κλάδοι που δημιουργήθηκαν έτσι, μολονότι φάνηκαν να είναι μακριά από πραγματικά προβλήματα, απετέλεσαν στη συνέ χεια το έτοιμο πλαίσιο στο οποίο βρήκαν λύση ή περιγραφή προβλήματα ή θεωρίες άλλων επι στημών που παρουσιάστηκαν χρονικά πολύ αρ γότερα. Αναφέρουμε δύο παραδείγματα στη κα τεύθυνση αυτή. Οι φανταστικοί αριθμοί γεννή θηκαν μέσα στην άλγεβρα και για πολλά χρόνια η σχέση τους με πραγματικά προβλήματα δεν διέψευδε το όνομά τους. Η ανάπτυξή τους όμως έδωσε αργότερα άμεσες λύσεις σε πρακτικά προβλήματα της τεχνολογίας όπως για παρά δειγμα στη μελέτη της αεροτομής Jukowski με άμεσα οφέλη στην κατασκευή πτερύγων αερο πλάνων. Ακόμα πιο ηχηρό παράδειγμα αποτε-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/8

2000 Διεθνές έτος Μαθηματικών

λούν η μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Γεννήθηκαν από μια προσπάθεια κυριολεκτικά 2000 ετών για την απόδειξη του αξιώματος των παραλλή λων του Ευκλείδη. Η καθαρά θεωρητική αυτή ενασχόληση οδήγησε στη κατασκευή Γεωμε τριών ανεξαρτήτων από το αξίωμα αυτό. Τα πρώτα αποτελέσματα από τον Lobaceνskii, μολονότι λογικά, φαίνονταν εξωπραγματικά και αδιανόητα ακόμα και από μαθηματικούς της ε ποχής του. Όμως οι ιδέες αυτές έθεσαν τα θεμέ λια για τη δημιουργία των μη Ευκλείδειων Γε ωμετριών, που απετέλεσαν λίγο αργότερα το έ τοιμο πλαίσιο για τη θεωρία της Σχετικότητας του Einstein, όπου ο χώρος που ζούμε και ο χρόνος περιγράφονται μαζί από ένα γεωμετρικό χώρο τεσσάρων διαστάσεων με μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

τικά και, αντίστροφα μερικούς αιώνες αργότερα, η ήδη υπάρχουσα Γεωμετρία Riemann που έδωσε το πλαίσω για τις Θεωρίες της Σχετικότητας του Ein stein.

Η Βιολογία: Τα Μαθηματικά πρότυπα που α ναπτύσσονται και μελετώνται αφορούν πληθυ σμιακές μεταβολές μικροοργανισμών, δυναμική πολλαπλασιασμού καρκινοπαθών κύτταρων, δυ ναμική βιολογικού ανταγωνισμού, κ.λ.π. Η Ιατρική:

Πρότυπα μελέτης διάδοσης ση μάτων στο νευρικό σύστημα του ανθρώπου, ρευ στοδυναμικής της αρτηριακής και φλεβικής κυ κλοφορίας του αίματος, έλεγχος της γλυκόζης στο αίμα, κατανόηση της δυναμικής των ασθενειών (π.χ. ανοσολογική δυναμική του AIDS) επιδημική διάδοση ασθενειών, κ.λ.π.

Σήμερα, ο όγκος της διαθέσιμης Μαθηματι κής γνώσης είναι τεράστως. Όμως η αυξανόμενη ανάγκη για εμβάθυνση στην κατανόηση του φυσι Η Κοινωνιολογία: Τυπικές εφαρμογές εδώ α κού, αλλά και του συνεχώς και πιο πολύπλοκου ποτελούν τα προβλήματα μείξης και αλληλεπί κοινωνικού και οικονομικού περιβάλλοντος θέ δρασης πληθυσμών με διαφορετικό, κοινωνικό υ τουν νέα προβλήματα στα Μαθηματικά και δη πόβαθρο, η δυναμική ευστάθεια των εξοπλισμών, μιουργούν νέους και ενισχύουν παλαωύς ρόλους κ.λ.π. γι' αυτά. Ένας τέτοιος ρόλος, για παράδειγμα, εί ναι ο καθαρά εκπαιδευτικός αφού είναι γνωστό ότι Η προστασία του περιβάλλοντος: Υπάρχουν τα Μαθηματικά προσφέρουν στον αποδέκτη, πέρα Μαθηματικά πρότυπα για την μελέτη της ατμό από τις γνώσεις αυτές καθ' αυτές μια νοητική ορ σφαιρας, για την ανάλυση της οδικής κυκλοφορί γάνωση που βοηθά στην αφομοίωση άλλων γνώ ας, την αποθήκευση υπολειμμάτων ατομικών ερ σεων («μας μαθαίνουν πως να μαθαίνουμε», από γοστασίων, κ.λ.π. εκεί ακριβώς προέρχεται και η κυριολεξία της λέ ξης "μαθηματικά" δηλαδή η επιστήμη που ασχο Η Οικονομία: Αντιπροσωπευτικά προβλήμα λείται με τη μάθηση), αλλά και στην ανταπόκριση τα αποτελούν η ανάλυση των οικονομικών θεω στις σημερινές αυξημένες ανάγκες της σύγχρονης ριών, η μελέτη της δυναμικής των χρηματιστηρί πολύπλοκης οικονομικοκοινωνικής οργάνωσης. ων, η χάραξη πολιτικής των ασφαλιστικών εται Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι εκτός α ριών, κ.λ.π. πό τα καθημερινά προβλήματα είναι η φαντασία και η διαίσθηση που ευθύνονται επίσης σε μεγάλο Η Βιομηχανιιcή σχεδίαση: Προβλήματα σχε βαθμό για την εξέλιξη των Μαθηματικών και χω τικά με την σχεδίαση αυτοκινήτων, αεροσκαφών, ρίς αυτές ίσως να μην είχαν τη σημερινή τους κ.λ.π. Προβλήματα αυτομάτου ελέγχου μηχανημά μορφή. των και συσκευών, προβλήματα Ρομποτικής, κ.λ.π Βασίλισσα λοιπόν ή Υπηρέτης των επιστη μών; Μάλλον και τα δύο, γεγονός που αποδεικνύ Υπάρχει ακόμα μια πληθώρα πεδίων, ίσως λι εται από την έντονη αλληλεπίδρασή της με τις άλ γότερο γνωστών, με έντονη την μαθηματική πα λες επιστήμες; Ας δούμε μερικά παραδείγματα: ρουσία όπως η κρυπτογραφία, η γλωσσολογία, η τέ χνη κ.λ.π. Η Φ υσιιcή : Αποτέλεσε και αποτελεί το πλη σιέστερο πεδίο αλληλεπίδρασης με τα Μαθηματι Πως άρχισε όμως η περιπέτεια των Μαθημα κά. Μεγάλες Μαθηματικές περωχές έχουν ξεπη τικών? δήσει από φυσικά προβλήματα και αντίστροφα πολλές Μαθηματικές θεωρίες έχουν δικαιωθεί στη Τα αρχαιότερα καταγεγραμμένα οργανωμένα Φυσική. Σημαντικά παραδείγματα: Οι νόμοι της Μαθηματικά τα συναντά κανείς στην Μεσοποτα Μηχανικής του Νεύτωνα που πυροδότησαν την α μία (Βαβυλωνία) και στην Αίγυπτο τη τρίτη χιλιε νάπτυξη του Διαφορικού Λογισμού στα Μαθημα- τία π.χ. Το κυρίαρχο στοιχείο στα Μαθηματικά ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/9

2000

Διεθνές έτος Μαθηματικών

αυτά ήταν η απαρίθμηση και οι γεωμετρικές με τρήσεις. Η έμφαση δινόταν στην κατασκευή m νάκων, πολλές φορές πολύπλοκων, για την επίλυ ση καθημερινών προβλημάτων. Χρησιμοποιούσαν δηλαδή διάφορες μεθόδους υπολογισμού μηχανι κά, σαν τυφλοσούρτη, χωρίς να γνωρίζουν γιατί ι σχύουν αυτοί οι κανόνες. Οι Έλληνες υιοθέτησαν στοιχεία από τα Μα θηματικά των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων. Ό μως γύρω στον 6° π.χ. αιώνα έδωσαν στα Μαθη ματικά νέα υπόσταση και μορφή, από απλό υπο λογιστικό μέσο τα μετέτρεψαν σε εmστήμη, με την εισαγωγή της έννοιας της «Μαθηματικής από δειξης>>. Από τη στιγμή εκείνη η ενασχόληση με τα Μαθηματικά παύει να έχει άμεσο πρακτικό σκοπό και σηματοδοτείται το ξεκίνημα της νέας αυτής ε πιστήμης. Οι αριθμοί (π.χ. ο αριθμός 23) και τα σχήματα (π.χ ο κύβος) ως έννοιες και όχι ως αναπαραστά σεις ή περιγραφές συγκεκριμένων πραγμάτων (π.χ. ο αριθμός των αγελάδων, το σχήμα ενός κουτιού), γίνονται το αντικείμενο της μελέτης. Ανάμεσα στους επτά Έλληνες σοφούς η ιστορία αναφέρει το Θαλή το Μιλήσιο στον οποίο αποδίδονται οι απο δείξεις των πρώτων Γεωμετρικών προτάσεων. Στον Πυθαγόρα και τη σχολή του, τον 5° π. χ. αιώ να, αποδίδεται το πρώτο πρόγραμμα θεμελίωσης των Μαθηματικών σε αριθμητική βάση. Κατά την ελληνιστική εποχή ο Ευκλείδης συνέταξε τα μνη μειώδη «Στοιχεία» του, ένα έργο του οποίου ο α ριθμός των εκδόσεων ακολουθεί αυτόν της Βί βλου. Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη και η αυθεντία του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη οριοθετούν τον καθοριστικό ρόλο των Μαθηματικών στην ιστορία της επιστημονικής σκέψης. Η ίδια εποχή έδωσε μια σεφά καταπληκτικών μορφών. Ανάμεσα τους οι γίγαντες της Μαθηματικής σκέψης Αρχιμήδης (267-212 π.χ.) με τις πρώτες μεθόδους ολοκλήρω σης και διαφόρισης καθώς και πλήθος γνωστών ε φαρμογών στη Φυσική, και ο Απολλώνιος (260170 π.χ.), με την μελέτη των κωνικών τομών. Έχουμε άραγε το δικαίωμα να θεωρούμε καθοριστική τη συνεισφορά των Ελλήνων στην επιστήμη των Μαθηματικών; Τα γεγονότα μιλούν από μόνα τους:

Είναι πραγματικά εντυπωσιακό και δείγμα υψηλού πολιτισμού, το γqονός ότι σ' αυτήν τη γωνιά της Γης κάποιοι άνθρωποι αισθάνθηκαν την ανάγκη της απόδειξης μαθηματικών στοι χείων που ήδη χρησιμοποιούσαν στην καθημε ρινή ζωή και δεν επαναπαύτηκαν απλά στη χρήση τους. Μετά τη παρακμή του αρχαίου πολιτισμού και για περισσότερα από χίλια χρόνια

τα αποτελέσματα των αρχαίων Μαθηματικών είναι τα πρότυπα που δεν μπορούν να ξεπερα σθούν. Όταν τον 16° και 17° αιώνα ξεκινά η νέα Αστρονομία και Μηχανική με τους νόμους του Κέπλερ και του Νεύτωνα αυτή στηρίζεται στις κωνικές τομές του Απολλώνιου και στο ηλιοκε ντρικό σύστημα του Αρίσταρχου του Σάμιου (3° π.χ. αιώνας). Παρόλο που σημαντικά ιστορικά γqονότα έβγαλαν την Ελλάδα από την πορεία των χωρών που συμμετείχαν ενεργά στην πρόοδο όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και γενικότερα της ε πιστήμης,. όταν όμως στα τέλη του 19°" αιώνα ο Ελληνισμός αναπνέει πάλι ελεύθερος γρήγορα αρχίζει πάλι να δίνει το παρόν στη διεθνή Μα θηματική Κοινότητα με σημαντικούς Μαθημα τικούς όπως τους Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή (1873-1950), Στέφανο Κυπάρισσο, Νικόλαο Νι κολαϊδη, Παναγιώτη Ζερβό (1878-1952), Γεώρ γιο Ρεμούνδο (1878-1926) και Νικόλαο Χατζη δάκη (1872-1942). Το 1918 ιδρύεται από τους τρεις τελευταίους το επιστημονικό σωματείο της Ε.Μ.Ε που από τότε και αδιάλειπτα δίνει ε νεργά το παρόν στο χώρο της Μαθηματικής Ε πιστήμης.. Καλούμε λοιπόν όλους εσάς, τους μαθητές μας, με τη βοήθεια και συμπαράσταση τη δική μας και όλης της εκπαιδευτικής κοινότητας, αλλά προπαντός συμμετέχοντας στις δραστη ριότητες του πλέον αξιόλογου επιστημονικού σωματείου της χώρας μας, της Ελληνικής Μα θηματικής Εταιρείας, να ασχοληθείτε με αγάπη και ενδιαφέρον για την επιστήμη των μαθημα τικών, γιατί μέσα από αυτή δεν θα πάρετε μόνο γνώσεις, δεν θα εκπαιδευτείτε μόνο στη μάθη ση, όπως λέει η λέξη, δεν θα σας λυθούν μόνο οι όποιες απορίες έχετε για τις βάσεις όλων των άλλων επιστημονικών οικοδομημάτων, αλλά θα έχετε την εξαιρετική τύχη να νιώσετε τη χαρά που μόνο η λύση ενός μαθηματικού προβλήμα τος δίνει. Δεν είναι τυχαίο που οι Αρχαίοι Έλληνες ασχολούνταν με τα Μαθηματικά για τα Μαθη ματικά αφού ήταν για αυτούς παιχνίδι, απόλαυ ση, γνώση, χαρά, ξεκούραση, φαντασία, και τέ λος δημιουργία. Ας τους μιμηθούμε αφού σε αυτή τη γωνιά της γης εξακολουθεί να ανθεί, όπως είναι εμφα νές στα πρόσωπά σας το ανήσυχο πνεύμα των προγόνων μας.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ s· λ.γ. τ.4/10

2000

Διέθνές έτος Μαθη ματικών

Αρχύτας. Αναλσyίες. Πλάτων. Θεμελίωση Μαθηματι κών'. Θεαίτητος. Γεωμετρία. Εύδοξος. Αναλσyίες. Μέναιχμος. Κωνικές. Δεινόστρατος. Τετραγωνίζουσα. Αριστοτέλης. Λσyική. Ευκλείδης. Στόιχεία, Δεδομένα, Φαινόμενα.

Σογοπτικ6s ΠίΥΙλ ΚΙλs rιιs ΑΥΑΠrοlιιs rωγ ΜΙλlιιμlλrικtfιγ της Χρ ιστίνας Φ ίλη •

3000 - 2000 π.Χ.

Εμφάνιση ιερσyλυφικών αριθμών. Κατασκευή πυραμίδων. Κίνα : Πραγματεία Μετάθέσεων (yang ying). Πραγματεία αριθμητικής σε 9 κεφάλαια (υπολσyισμοί εμβα δών). Προσέγγιση της τιμής του π. Μεσοποταμία : Εμφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθμών.

300 π.Χ - 0

Αίγυπτος:

Ελλάδα:

2000 - 1000 π.Χ.

Πάπυροι Rhind και Μόσχας. Υπο λογισμοί όγκων και εμβαδών. Μεσοποτα μία: πολσyισμοί εμβαδών και «επίλυ σψ> εξισώσεων 200 βαθμού. Αίγυπτος:

Κίνα :

1000 - 500 π .Χ. Ελλάδα:

Ινδία:

Θαλής. Έννοια απόδειξης, Απο δεικτική Γεωμετρία. Πυθαγόρας - ΠυθαγόρειοL Θεω ρία Αριθμών, γεωμετρία, μουσική κλίμακα. Υπολσyισμός τετραγωνικών ρι ζών.

0 - 200 Ελλάδα:

500 - 300 π .Χ. Ελλάδα:

•

Οινοπίδης ο Χίος. Γεωμετρία. Ιπποκράτης ο Χίος. Τετραγωνι σ μός. Ζήνωγ _ ο Ελεάτης. Παράδοξα κί νησης (που περικλείουν έννοιες συνέχειας και ορίου) Λεύκιππος. Ατομική θεωρία. Αντιφών. Μέθοδος εξάντλησης. Ιππίας ο Ηλείος. Τετραγωνισμός. Θεόδωρος ο Κηρυναίος. Ασύμμε τρους αριθμούς. Δημόκριτος. ΑτομιΚ11 Θεωρία, Γεωμετρία.

Η κ. Χριστίνα Φiλη είναι Επίκουρη Καθηγήτρια του

Ε.Μ.Π.

Αρίσταρχος. Πρώτη διατύπωση της θεωρίας του ηλιοκεντρικού συστήματος. Ερατοσθένης. Πρώτοι αριθμοί. Γεωδαισία. Απολλώνιος. Κωνικές. Αρχιμήδης. Γεωμετρία, Αρχές α πεφοστικού λσyισμού, Θεωρητική φυσική, Εφαρμσyές. Ίππαρχος. Αστρονομία, Τριγωνο μετρία. Σωσιγένης. Δημιουργία Ιουλιανού ημερολσyίου. Τετραγωνικές, κυβικές ρίζες. Γραμμικές εξισώσεις.

Κίνα :

Ήρων ο Αλεξανδρεύς. Γεωδαισία, Μαθηματικά, Εφαρμογές. Σερήνος. Κυλινδρικές τομές. Νικόμαχος. Θεωρία Αριθμών. Θέων ο Σμυρναίος. Θεωρία Αριθ μών. Κλαύδιος Πτολεμαίος. Αστρονο μία, Τριγωνομετρία, Γεωδαισία. Αστρονομία, Γεωμετρία. 200 - 400

Ελλάδα:

Κίνα :

Διόφαντος. Άλγεβρα, Θεωρία Α ριθμών. Πάππος. Γεωμετρία. Ιαμβλίχος. Θεωρία Αριθμών. Θέων ο Αλεξαyδρεύς. Γεωμετρία. Liu Hui . Τεχνικές μέτρησης. Α ριθμητική. 400 -800

Ελλάδα: Μεξι κό :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/11

Υπατία. Γεωμετρία, Αστρονομία. Πρόκλος. Γεωμετρία. Ανάπτυξη της αρίθμησης και α-

2000 Διεθνές έτος Μαθηματικών

στρονομίας των Maya. Με τοντωνΧαρούν αλ Ρασίντ,(βασί προ στάτη Μαθηματικών, λευσε αρχίζει η αραβι κή εποχή, αμάλγαμα δύο κόσμων (ελληνικού -αραβικού) Aιyabhata και Τριγωνομετρία. Brahmagupta και απροσδιόριστη ανάλυση, ανάπτυξη του ινδοαρα βικού συστήματος αρίθμησης. Boethius. Γεωμετρία και Θεωρία Αριθμών. Αριθμητική, Μέτρηση κύκλου, Ε ξισώσεις βαθμού, Αστρονομία.

Μέση Ανατολή :

786 - 808)

Ινδία:

Ιταλία: Κίνα:

3ou

Γαλλία: Ιταλία:

Κίνα: Περού : Περσία:

800 - 1000

ai Khowarismi. Άλγεβρα. Honein ibn Ishaq. Ελληνικά Μα θηματικά Tabit ibn Qurra. Κωνικές, Ελληνι κά Μαθηματικά. Abu Kamil. Γεωμετρία, Άλγεβρα. ΑΙΑβικέννας. Nairizi. Γεωμετρία. Γεωμετρία, Αριθμητική. Mahaνϊra. ΑριθμητικήΑριθμητική. Άλγεβρα. Gerbert (Syiνester Π)

Μέση Ανατολή :

Ινδία: Ισπανία:

1000 -1200 Βυζάντιο : Περσία:

Ινδία:

Ισπανία:

Ιταλία:

Κίνα:

Μιχαήλ Ψελλός. Αστρονομία. Ομάρ Καγιάμ. Γεωμετρική λύση κυβικών εξισώσεων, αίτημα των παραλλήλων, θεωρία αναλογιών. ΑΙ Biruni και σφαιρική τριγωνο μετρία Bhaskara. Άλγεβρα. Αραβικά έργα μεταφράζονται σε λατινικά. Abraham ben Ezra. Συνδυαστική. Μεταφράσεις αραβικών έργων στα λατινικά (Πλάτων του Tivoli, Gherardo της Cremorna) Αριθμητική.

Βυζάντιο:

Μελέτη κίνησης, επιτάχυνσης. Caiculatores. Ιωάννης Παχυμέρης. Περί των τεσσάρων μαθημάτων Παχυμε ρούς μεγάλου διδασκάλου (Αριθ μητική, Μουσική, Γεωμετρία, Α στρονομία).

για

1400 - 1600 Αγγλία: Γαλλία: Γερμανία: Ιταλία:

Ινδία: Κάτω Χώρες: Πορτογαλία:

τριγωνομετρία Ο Vieta και ο αλγεβρικόs συμβο λισμός. Reichenmeisters. Προοπτική (Dϋrer) Αλγεβρική επίλυση εξισώσεων βαθμού (Feπari, Tartaglia, Car dano). Γεωμετρία, Γεωμετρική προοπτική. Υπολογισμοί ημχ, συνχ Steνin και τα δεκαδικά κλάσματα Nufiez (Άλγεβρα, γεωμετρία, Ν.ναυσιπλοία)

3ou

1600 - 1700 Ευρώπη :

1200 - 1400 Αγγλία:

Μάξιμος Πλανούδης. Θε ωρία Αριθμών. Εμμανουήλ Μοσχόπου λος. Μαγικά τετράγωνα. Νικόλαος Ραβδάς. Αριθ μητική, Γεωμετρία. Ο Jordanus και η προχωρημένη Άλγεβρα. Leonardo της Πίζας (Fibonacci), Άλγεβρα, Γεωμετρία (εισαγωγήΑριθμητική, αραβικών γνώσεων). Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσε ων. Κίπους* μέτρηση Nasir ai Din Tusi και τριγωνομε τρία.

•

Kepier, Newton. Ουράνια μηχανική. Descartes -Fermat. Δημιουργία Αναλυτικής Γεωμετρίας Napier, Briggs. Ανακάλυψη λογα ρίθμων. Girard - Descartes. Θεωρία εξι σώσεων.-Fermat. Θεωρία Πιθανο Pascal τήτων. Fermat -Pascal. Θεωρία Αριθμών Pascai -Desargues. Προβολική Γεωμετρία.L Newton - eibniz. Δημιουργία απειροστικού λογισμού. Γαλιλαίος. Γεωμετρία, Αστρονο μία, Μηχανική.

κόμβοι σε σχοινιά

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/12

2000 Διεθνές έτος Μαθηματικών

Γεωμετρία, Φυσική, Α στρονομία, Θεωρία Πιθανοτήτων. Ο Mateo Ricci μεταφράζει τα Στοιχεία του Ευκλείδη στα κινέζι κα. Huygens.

Κίνα:

1700 - 1 800

Ανάπτυξη τεχνικής για επίλυση διαφορικών εξι (Euler, D' Alembert, Clairaύt, Bernoulli, σώσεων Lagrange) Προσπάθεια αυστηρής θεμελiωσης του απεφοστι κού λογισμού (D' Alembert, Euler, Lagrange) Θεωρία Πιθανοτήτων (Bernoulli, de Moivre, Bayes, Laplace) Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων (Lagrange, Ruffini) Γεωμετρία: Μελέτη Καμπυλών (Euler, Clairaut. Monge, Dupin) Λογισμός Μεταβολών (Euler, Lagrange) _

1 800 - 1 900

Αλγεβρική Θεωρία αριθμών. Θεωρία Galois. Ομάδες και Σώματα. Quaternions και οι μη-μεταθετικές άλγεβρες. Θεωρία πινάκων. Ε ΚΔΟΣ Ε Ι Σ ΑΡΜΕΝΟΠΟΥΛΟΥ 27

τηλ.:(Ο3 1 )203.720 Fax:(031)21 1 .305 θΕΣΣΑΛΟ ΝΙΚΗ 546 35 e-mail: lnfo@ziti.gr • www.zitl.gr

ZΗιΗ

ΝΕΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΝ/Α/Ο Λ ΥΚΕ/0

αριθμητικοποίηση της ανάλυσης. Διαφορική Γεωμετρία. Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Προβολική Γεωμετρία. Διανυσματική Ανάλυση. Θεμελiωση της Γεωμετρίας. Μαθηματική Λογική. Θεωρία Πιθανοτήτων. Θεωρία Συναρτήσεων. Η

1900 - 1 999

Θεωρία Συνόλων. Ανάπτυξη της Τοπολογίας. ν'. Αυστηρή θεμελiωση της Θεωρίας Πιθανοτήτω Επίδραση των τωνσταΜαθηματικών. Μαθηματικά. Αλγεβροποίηση Επίλυση ανοιχτών προβλημάτων (το τελευτάίο θεώρημα του Fermaι: το πρόβλημα των χρωμάτων ,. γένεση της ομάδας Ν. Bourbaki. δημιουργία καινούριων κλάδων και θεωριών ό πως (συναρτησιακή ανάλυση, τανυστική ανάλυση, ολική διαφορική γεωμετρία, κυβερνητική, θεωρία γραφημάτων, κατηγοριών, θεωρία κατα νοjιών, θεωρίαθεωρίd solitons κ. α . ) ΗΝ

Η Η

•'

2000

. .

Γ. θωμοίδη - Α. Παύλου

• .::.::=--

Κ. Γισύριι · Τσσχιπζ4 ΔWΚΠΚΗ ΠΕΙΡΛΜΑτDΝ ΧΙΙΜΕΙΛΣ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛYKEIO (ΓΕΝ/ΚΟ - ΚΑΤΕΥΘΥΝΕΕΩΝ)

ΓΙΑ ΤΟ

ΝΕΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥ1ΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Αντώνη ...._ ΚΡιτΉΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΕ Η/Υ ΧΗΜΕΙΑ Α' ΛΥΙΙΕΙΟΥ

• • .

'8\ -, :�

ΔΙΔΑκτJΚΗ τΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΟΜΕ1ΡΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΑ - ΕΠΙΣtΗΜΟ ΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΕΙ, ΤΕΙ, IEK

. . DBII'AMAτoJI XIIMEIAJ:

---

·----

θονόση Ξtνου ΥΡΑΠΕΖΑ θΕΜΑΤΟΝ ΠΑ ΜΑθΗΜΑΥΙΚΑ Για την Λ' Λυιυ:Ισυ

ΠΡΟΙΛΗΜΛΤΛ ΜΛ811ΜΛΠΙΙΩΝ θσνόση Ξtνου

Για ιιι Β' Λυιιι:rου

-� Σύνιομα ΊΟ 9ο TcVxoς 10U ιιφοδκού μας

6:,,r. τ ιι ι ι) ι Ι ' Τ t % ιι ( ΊίΡΙJΗ Ι /1 1/ Ι I/� 1/11 / -

θσ ιο ρρά!c:

IIIIΛIOIIΩΛEIO θΒΣΜΟΝΙΟΟIΣ•

Φοά ιου ιιμJcυ), �·Fσιt 1011 32 1 1 rιn

IIIIΛIOIIΩΛEIO ΑθΙΙΝΩΝ•

λ/10 ΟΜ ΤΑ Ιε'ΜΑ IIIΛIOMΛBA•

Ο Ο Ο

Οι τίτλοι των βιβλίων μας είνα ι ταξινομημένοι θ εματικό και κατό βαθμίδα εκπαίδευσης ή τόξης. Οι «διασταυρώσεις» είναι πολλές, ώστε να μπορείτε εύκολα να πηγαίνετε σε τίτλους συναφείς με αυτόν που εκόστοτε έχετε μπροστό σας.

Μπ ορείτε εύκολα να δείτε την εργογραφία κόθε συγγρα φέα, ακόμη και την ιδιότητα που συμμετέχει σε κό θ ε τίτλο του.

Ακόμα δείτε πλη ρ ο φ ο ρ ίες για το περι οδι κό μας « Ε κπ α ι δευτι κοί Προ βληματισμοί» κα ι γ ι α τις

δραστηριότητες του εκδοτικού μας οίκου.

λΡΧλ.Ιλ θλλΗΝΙ Ι<λ. ΜλθΗΜλΤΙ Ι<λ.

Υπεύθυνοι στήλης:

Κηπουρός Χ. - Σπανδάγος Β. - Τσιμπουράκης Δ.

του στη Ο διαφούσε τα μαθηματικά σε κλάδους: στην στη και στην Σκοπός των μαθηματικών, κατά το μεγάλο φιλόσοφο, είναι να οδηγήσουν την ψυχή προς την αλήθεια, να δημιουργήσουν την καλλιέργεια του πνεύματος, ώστε να γίνει κατανοη τός ο τελικός σκοπός της φιλοσοφίας, που είναι η ιδέα του αγαθού. Από την προσεκτική μελέτη των πλατωνικών διαλόγων προκύπτουν οι μαθηματικές γνώσεις του τόσο στη θεωρία αριθμών, όσο και στη γεωμετρία. Στους του ο δίνει τον ορισμό του άρτωυ αριθμού: ·Στον χωρίζει τους ακέραιους σε κατηγορίες που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό άρτιων και περιττών αριθμών. Γράφει συγκεκριμένα στον ο ά (Κάθε αριθμός είναι γινόμενο αρτίων ή γινόμενο περιττών ή γινόμενο αρτίων επί περιττών ή γινόμενο περιττών επί αρτίων). Στον ο διατυπώνει την πρόταση ότι στο σύνολο των ακεραίων αριθμών οι μισοί είναι αριθμοί άρτιοι και οι μισοί3 αριθμοί περιττοί. Ο γράφει σχετικά με τις γνώσεις του στη θεωρία των αριθμών: Βαγγέλη Σπανδάγου

Πλάτων λσyία aστρονομία.

γεωμετρία,

στερεο

"Νόμους" 1 Πλάτων "άρτιος είναι ο αριθμός που διαιρείται σε δύο ίσα μέρη" .

Πλάτωνος,

"Παρμενίδη "

aριθμητική,

"Παρμενίδη" Πλάτων: " 'Άρτιά τε aρα aρτιάκις hν εiη καί περιττα περ ιττ κις καί aρτια περιττάκις κα ι περιττα hρτιάκις " .

"Θεαίτητο"

Πλάτων

Κ. Γεωργούλης Πλάτωνος " Ό Πλάτων l:χει εμβαθύνει προσέτι εtς το πρόβλημα τί)ς διαιρετότητος καί της hναλύσεως των hριθμrον εις παράγοντας. Εις τους "Νόμους" (σελ. 738) καθορίζει τον hριθμον τού πληθυσμού τί)ς πόλεως εις 5040, ί'ιστις iσοϋται με το γινόμενον των tπτα πρώτων hριθμrον ι χ 2 χ 3 χ 4 χ 5 χ 6 χ 7 = 5040. Ό h· ριθμΟς των πολιτών των hπαρτιζόντων την εbνομουμένην πόλιν, λέγει b Πλάτων, πρέπει να εiναι τοιούτος fuστε να εiναι έπιδεκτικος πολλίον διαιρέσεων δια να εbκολύνπ τους lιρχοντας κατα τας διανο μάς. 'Ως πρΟς τον ρηθέντα hριθμον 5040 λέγει ο ΙΙJ.ό.των "μιάς δεουσαιν έξήκοντα δύναιτ' hν τέμνεσθαι τομαιν, ξυνεχείς δε hπο μιάς μέχρι δέκα" (εiναι έπιδεκτικΟς 59 διαιρέσεων μη hφινουσαιν ύπόλοιπον, καί διαιρείται hπο bλους τους hριθμους hπο το ι 00>ς το ιο". "Θεαίτητος"4 Πλάτων "τετραγώνους" "προμήκεις".

Στο δtάλσyο χωρiζει τους αριθμούς σε και σε Τε τράγωνοι λέyονται οι αριθμοί πουο παράγονται τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με τον εαυτό του, π.χ. ο αριθμός είναι τετράγωνος, δώτι 5 5 5 52 • Προμήκεις λέyονται οι αριθμοί παράγονται από τον πολλαπλασιασμό δύο άνισων ακεραίων. Έτσι, π.χ., ο αριθμός είναι προμήκης, δώτι 4 7 και 4 -::;: 7 . με Στον θίγει την έννοια των αριθμητικών σεφών, ενώ στο όγδοο βιβλίο της αριθμητικές σχέσεις, που δείχνουν βαθιές γνώσεις της θεωρίας των αριθμών, καθορίζει την περίοδο της γεννήσεως τόσο των ανθρωπίνων, όσο και των θείων όντων. Στο έργο του περιέχονται και οι εκ (πολλαπλασιασμοί ριζών και τετραγώνων). φράσεις Ο ιδρυτής της Ακαδημίας είχε ασχοληθεί με τους άρρητους αριθμούς και γενικά με τα άρρητα μεγέ θη,"Θεωρείται μάλιστα έγκλημα στην κατά τηςτουΠολιτείας γράφει:το να μη γνωρίζει η νεολαία τη διαφορά μεταξύ συμμέτρων και 25

από

που

28 =

"τίμαιο" s

"Πολιτείας",

"αύξήσεις δυνάμεναι καί δυναστευόμεναι"

***

"Πολιτεία"

Πλάτωνος: "Νόμοι", 895, Ε. Πλάτωνος: "Παρμενίδης", 1 44, Α.

Γεωρyοολη Κ.: "Τα μαθηματικά της Ακαδημίας τοu Πλάτωνος" (ανάτυπο), Αθήνα 1 952. ; Πλάτωνος: "Θεαίτητος ', 147, Ε. s Πλάτωνος: "Ημαιος", 35 α. 3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λγ. τ.4/14

ίδω

Α ρχαία Ελληνικά Μαθηματικά

ασυμμέτρων μεγεθών" . ( τα των μετ ρητων και α μέτρων π ρο ς llλληλα Ή τιν ι φύσει γέγονε •••

***

•.•

)

Πλάτων δεν ικανοποιήθηκε από τους ρητούς αριθμούς, εφόσον δεν μπορούσε μέσα από αυτούς να εκφράσει τους ασύμμετρους. Κατασκεύασε, λοιπόν, ένα ευρύτερο αριθμητικό σύστημα 1, τους "ιδ εατου ς αρ ιθμούς " . Για τους αριθμούς αυτούς δεν υπάρχουν σαφείς και πλήρεις πληροφορίες. Είναι γνωστό μό νο ότι δίπλα από τον αριθμό "�α " τοποθετούσε τον ιδεατό αριθμό "'Ένα ", με την ιδιότητα "διαιρούμε νος επ' άπειρον με το δύο, να μένει αναλλοίωτος". Με τον ίδιο τρόπο όριζε ο Πλάτων και τον ιδεατό αριθμό "δύο " . Μία ωραία ερμηνεία των ιδεατών αριθμών έδωσε, το 1 939, ο Γάλλος ιστορικός των μα θητικών Β. Rey: " Ο ι συνεχείς διαιρέσεις του "'Ένα " δια του δύο αντιστοιχούν στα διαδοχικά πη λίι ι 1 1 1 , , κα ... το οτι ο ιδ εατος αρ ιθ μος "'Ένα " με. νει αναλλο ι' ωτος σημαινει οτι

2 , 22 , 23 , 24 , ... , lv

•

I I -+ 2 2

το άθροισ μα των όρων τη ς φθ ίνουσας γεωμετρ ική ς προόδου

Ι Ι ι , 3 +4 + . . . + - +. . . εχει 2

2ν

όριο τον αρ ιθμό 1 " . Έτσι, λοιπόν, ο Πλάτων άγγιξε ένα από τους τρόπους με τους οποίους η μαθηματική ανάλυση ορίζει τους ασύμμετρους αριθμούς (ως όριο αθροίσματος των όρων συγκλίνουσας αριθμητικής σειράς με ρη τούς όρους). ***

Στην "Πολιτεία " (546c) μνημονεύονται οι ακέραιες λύσεις της διοφαντικής εξισώσεως y 2 = 2χ 2 - I . Γράφει συγκεκριμένα στην "Πολιτεία " : " απο διαμέτρων ρητων πεμπάδος, δ εο μένων ένο ς εκάστ ων αρρήτων δ ε δυοίν", = 2 · 52 , οπότε είναι δηλαδή από το τετράγωνο με πλευρά 5 προκύπτει η διαγώνιος του δ από τη •••

..[i":52 = J50 . Η διαγώνιος αυτή γίνεται ρητή, αν αφαιρεθεί το 1 . Πράγματι

δ = .J50 - I = .J49 = 7 .

έχουμε:

δ = .J50 - 2 = J48 που είναι αριθμός άρρητος.

Ενώ

αν

***

σχέση δ2

αφαιρέσουμε

τον

θα

έχουμε :

και με τις δηλαδή τις τριάδες Πλάτων αριθμών που επαληθεύουν τη σχέση χ 2 + y2 = z2 του πυθαγορείου θεωρήματος δίνει ' ' της εξωώσεαις χ ' + y2 = z2 τ1ς τρu\δες: -I, +I,

Ήρων αναφέρει ότι

ασχολήθηκε

πυθαγόρειες τριάδες,

(�) α, ( �)

αντiσtοιχα,

( �)'

όταν

α είναι αριθμός

άρτως.

"Ετσι,

π.χ., αν

=6, έ

χο

και ότι

υμε την τριάδα 6,

με

(% )

+ I = IΟ ,

- I = 8 . Ισχύει δε ότι 1 02 = 62 + 82 • ***

π.Χ. αιώνα ήταν το πρόβλημα των α μεγάλη δυσχέρεια κατά την εφαρμο πολύχρονων μελετών στην προκύπτουν ότι ο είχε ασχοληθεί

Ένα από τα κεντρικά θέματα της μαθηματικής έρευνας του 4ou ναλογιών. Με την ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών προέκυψε των αναλογιών αυτά τα μεγέθη. Το πρόβλημα αυτό έγινε αντικείμενο "τ ίμαιός"2 ενδείξεις με

γή σε Ακαδημία. Από τον πλατωνικό διάλογο τη θεωρία των αναλογιών. Στα πλατωνικά και έργα "Μένων"

Πλάτων

***

"Παρμενίδης "

παρουσιάζονται διάφοροι γεωμετρικοί ορισμοί. Α-

1 Ζερβο(ι Παν.: "ΑΙ μαθημαnκα\ fννοιαι παρlχ Πλάτωνι" (πραιcnκά Ακαδημίας Αθηνών, έτος ι 950, τόμος 25�, Αθήνα ι 952.

ως λύση

Πλάτωνος: •τιμαιος", 359.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/15

Α ρχαία Ελληνικά Μαθηματικά

ξιοπρόσεκτος είναι ο ορισμός της ευθείας που δίνει ο Πλάτων: "ευθεία είναι η γραμμή που το μέσον της καλύπτει τα άκρα" . Στον "Μένωνα", ειδικότερα, παρουσιάζει διερεύνηση και λύση ενός γεωμετρικού προβλήματος, α ντιπροσωπευτικού δείγματος των γεωμετρικών εργασιών που γινόντουσαν στην Ακαδημία. Πρόκειται για την κατασκευή ενός τετραγώνου που έχει διπλάσιο εμβαδόν από ένα δοσμένο τετράγωνο με πλευρά

α = 2 . Αποδεικνύεται ότι β2 (../8) 2 8 2 · 22 2α2 ). =

πλευρά του

μεγάλου

τετραγώνου

είναι

β .J8 2..fi =

(είναι

***

Πλάτων είναι ο θεμελιωτής της στερεομετρίας. Τα πέντε κανονικά πολύεδρα που χρησιμοποιεί για να εξηγήσει την συγκρότηση του υλικού σύμπαντος ονομάσθηκαν από τους μεταγενέστερους πλατωνικά 1 στερεά. Τα ,reντε κανονικά πολύεδρα που κατασκευάσθηκαν από τον Πλάτωνα και τους συνεργάτες το'? στην Ακαδημία, είναι: Το κανονικό τετράεδρο με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα. Το κανονικό εξάεδρο με έδρες τετράγωνα (κύ βος). Το κανονικό οκτάεδρο με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα. Το κανονικό δωδεκάεδρο με έδρες κανονικά πεντάγωνα. Το κανονικό εικοσάεδρο με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα. Πλάτων κα� οι μαθητές του επινόησ�� και την περιγραφή σφαίρας περί τα 5 αυτά στερεά.

Οκτάεδρο

εξάεδρο

Τετράεδρο

Εικοσάεδρο

Δωδεκάεδρο

Στους ''Νόμους" του γράφει για τη στερεομετρία: "τέχνη, iιν δη στερεομετρ ίαν έκάλεσαν ο ι π ροστυχείς αύτfι γεγονότες " . (τέχνη την οποία ονόμασαν στερεομετρία αυτοί που ασχολήθηκαν με αυτήν). ***

Πλάτων φαίνεται ότι προχώρησε και στο πρόβλημα της χρυσής τομής, με το οποίο ζητείται, όπως είναι γνωστό, η διαίρεση μίας ευθείας σε άκρο και μέσο λόγο. Πρό κλος μαρτυρεί ότι το πρόβλημα αυτό τέθηκε αρχικά από τον Πλάτωνα, μελετήθηκε, όμως, ευρύτατα από τον Εύ δοξο . "Εδδοξος δε ό Κνίδιος και τα περι την τομην hρχην λαβόντα παρ« τού Πλάτωνος εις πλή θος πρ ο ήΎαΎεν και ταίς hναλύσεσιν έπ' αυτων �η σάμενος".

•••

***

Ευτόκιος, στο έργο του " Σχόλια στο Περι σφαίρας και Κυλίνδρ ου τού Άpχιμήδους", αναφέρει μία λύση του προβλήματος του διπλασιασμού του κύ βου την οποία αποδίδει στον Πλάτωνα. Η λύση που αναφέρει ο Ευτό κιος δεν επιτυγχάνεται με τον κανόνα και το διαβήτη, αλλά απαιτεί "μηχανική" κατασκευή η οποία χρησιμοποιεί περιστροφή και μετατόπιση. Η λύση αυτή έχει ως εξής: Δίνεται ορθή γωνία ΑΒΓ, με ΑΒ 2ΒΓ . Προεκτείνουμε τη ΒΓ και την ΑΒ προς τις αντίθετες κατευ=

1 Εiναι ιαιρτά πολύεδρα, με έδρες ίσα κανονικά πο'λirγωνα. Τα στερεά αυτά είχαν ήδη μελετηθεί από τους Πuθιryορεfσυς στη Σχολή τοu Κρότωνος.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/16

Α pχαiα Ελληνικά Μαθηματικά

θύνσεις. Έστω ΒΕ και ΒΔ οι αντίστοιχες προεκτάσεις. Κατασκευάζουμε, με μηχανικό τρόπο (νεύση), τις ορθές γωνίες ΑΕΔ και ΕΔΓ. Τότε η ΒΔ είναι η πλευρά του ζητούμενου κύ βου. Πράγματt, από τα ορθο γώνια τρίγωνα ΑΕΔ και ΕΔΓ έχουμε: ΑΒ

ΒΕ

ΒΔ

ΒΓ

β 1._ = � (1). y χ α χ 2 = αy (2).

ή (βλέπε σχήμα)

y2 = βχ β= 2α y 2 = 2αχ χ 2 = αy και χ 4 = 2αχ Η (3), λόγω της (4), δίνει: α2 1 ΒΕ

1 και Από την ( ) προκύπτει: . Ά ρα οι (2) γράφονται: Είναι, όμως

(3)

(4 ) . ή

χ3 = 2α3

χ =ifiα.

Νικόλαος Χατζηδά κη ς γράφει για τη λύση αυτή: "Σχετικίι>ς με την λύσιν ταύτην εδημιούργει εις τους iστορικους της αρχαίας έπιστήμης μέyα ζήτη· μα. Εις την προς τον βασιλέα Πτολεμαιον επιστολην τού Έpατοσθένους δεν αναφέρεται ί'nι ανήκει εις τον Πλάτωνα η αναφερθείσα λύσις. Τουναντίον b Πλούταρχος αφηγείται εις τον βίον Μαρκέλ λου ί'nι b Πλάτων απέκρουε τας ύπο τού "Λpχύτου κα\ τού Μεvαίχμου επινοηθείσας δι« μηχανικίι>ν μέσων λύσεις τού προβλήματος. 'Επίσης Θέων δ Σμυpναιος δστις αντλεί απο τον ύπο τού Έp ατοσθένους γραφέντα διάλογον ύπο τον τίτλον "Πλατωνικός" αναφέρει μεν την εις τους Δηλί ου ς δοθείσαν ύπο τού "Λπόλλωνος προσταγήν, χωρ\ς να λέr'Π ί'nι b Πλάτων παρουσίασε σχετικην λύσιν. 'Επειδή, i>μως, b ΕiJτόκιος φαίνεται να εiχεν ύπ ' bψιν τον "Πλατωνικόν" τού Έpατοσθένο υς, δυνάμεθα να εικάσωμεν ί'nι εις αύτον θα ύπήρχεν η εiδησις η σχετικη με την λύσιν τού Πλάτωνος. Δεν εiναι απίθανον b Πλάτων να εiχε καθορίσει μόνον τας θεωρητικας προϋποθέσεις ύφ ' iι.ς θα qτο δυνατον να λυθ'fi το πρόβλημα επ\ τη βάσει τίι>ν σχέσεων τίι>ν πλευρίι>ν bρθσyωνίων τριγώνων, ίος εξετέθη ανωτέρω. Φυσικον δε qτο οι εν τη Άκαδημψ εργαζόμενοι μαθηματικο\ να προσπαθή· σουν να wρουν δια μηχανικίι>ν μέσων την λύσιν τού προβλήματος. Το κύριον ενδιαφέρον τού Πλά τωνος συνεκεντρούτο εις την διασαφήνισιν της μεθόδου την bποίαν ίονόμαζεν "εξ ύποθέσεως σκο πείσθαι", κα\ την bποίαν b iδιος bμολογεί i>τι εiχε παραλάβει εκ τίι>ν γεωμετρίι>ν". Επίσης ο Πλούταρχος, στο όγδοο βιβλίο των "Συμποσιακών προβλημάτων" γράφει: "Διο κα\ Πλάτων αύτος εμέμψατο τους περ\ ΕiJδοξον κα\ "Λpχύταν κα\ Μέναιχμον εις bργανικας κα\ μηχανικας κατάσκευας τον τού στερεού διπλασιασμον απάγειν επιχειρούντας, lι>σπερ πειρωμένους δι' αλόγου δύο μέσας αναλόγους η παρείκοι λαβείν' απόλλυσθαι γαρ ο{)τω κα\ διαφθείρεσθαι το γεωμετρίας αγαθον αύθις επ\ τα αισθητα παλινδρομούσης κα\ μη φερομένης hνω μηδ ' ανιλαμβανο μένης τίι>ν αϊδίων κα\ ασωμάτων εικόνων, προς αισπερ tον b Θεος «ε\ Θεός εστιν". (Για τούτο και ο Πλάτων ο ίδως μέμφθηκε τον Εύδοξο και τον Αρχύτα και τον Μέναιχμο, επειδή επιχει ρούσαν να μετατρέψουν το πρόβλημα του διπλασιασμού του στερεού σε πρόβλημα που μπορούσε να λυθεί με μηχανικές με εργαλεία κατασκευές. Τη λύση αυτή θεωρούσε ότι έμοιαζε με προσπάθεια να βρούμε με μέσα που δεν έχουν καμία σχέση με το λόγο, δύο μέσες αναλόγους στρεφόμενοι προς την κα τεύθυνση η οποία δε θα μας έφερνε αντίσταση. Διότι κατά τον τρόπο αυτό εξαφανίζεται και καταστρέ φεται το εξαφετικό προνόμιο το οποίο έχει η γεωμετρία, διότι οπισθοδρομεί πάλι προς τα αισθητά και δεν προχωρά προς τα Πάνω ούτε προσπαθεί να έρθει σε επαφή με τις αιώνιες και ασώματες εικόνες, κο ντά στις οποίες ο Θεός διαρκώς ασχολούμενος είναι Θεός). ***

Πάλι ο Πλούταρχος στα "Πλατωνικά ερωτήματα" αναφέρει την επόμενη πρόταση που αποδίδει στον Πλάτωνα: "Πας γαρ τρίγωνος αριθμος οκτάκις γενόμενος κα\ μονάδα προσλαβrον γίνεται τετράγωνος" . (Κάθε τρίγωνος αριθμός αν πολλαπλασιασθεί με τ ο 8 και του προστεθεί το 1 , γίνεται τετράγωνος). , ν(ν + 1 ) ' , , , , . Εχουμε: πραγματt, θεωρουμε τον τυχαιο τριγωνο αριθ μου

1 Νικολάου Χατζηδάκη: 'Ta μαθημαnιca της 'Ακαδημίας 'Αθηνών", ανάτυπο, Αθήνα 1 928.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.y. τ.4/17

Αρχα ία ΕUηv ικά Μαθηματικά

8 ν (ν

I) + Ι = 4ν 2 + 4ν + Ι = (2ν + 1)2 ,

δηλαδή προκύπτει τετράγωνος αριθμός. ***

Στον "Μένωνα" 1 ο Πλάτων θέτει το πρόβλημα της εγγραφής σε κύκλο δοσμένης διαμέτρου, τριγώ νου με δοσμένη πλευρά. Το πρόβλημα αυτό ανάγεται σε κατασκευ11 παραλληλογράμμου που το εμβαδόν του ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες. Πολλοί ιστορικοί των μαθηματικών ισχυρίζονται ότι πρόκειται για

χ 2 (2αχ - χ 2) = β4 .

Η την επίλυση της εξισώσεως άποψη αυτή οδηγεί στην αναλυτική μέθοδο που απο δίδεται στον Πλάτωνα. Πράγματι ο Πρόκλος γράφει σχετικά: "Μέθοδοι δ ' bμως παραδίδονται καλλίστη μεν η δώ τής αναλύσεως επ' iι.ρχί)ν bμολογουμένην iι.νά γουσα το ζητούμενον, ytν και b Πλάτω ν, ίος φασίν, Λεωδάμανπ παραδέδωκεν , iι.φ ' ής και εκείνος πολλων κατα γεωμετρίαν εύρετί)ς tστόρηται Ύενέσθαι" . (Από τις μεθόδους που μας έχουν παραδοθεί η καλύτερη είναι η αναλυτική, η οποία από την αποδεικτέα πρόταση φτάνει σε μία παραδεκτή ήδη αρχή. Αυτή, όπως λέει η παράδοση , την δίδαξε ό Πλάτων στον Λεωδάμαντα, ο οποίος χρησιμοποιώντας την πραγματοποίησε πολλές γεωμετρικές ανακαλύψεις). ***

Στον "τίμαιο"2 ο Πλάτων διατυπώνει την πρόταση ότι μεταξύ δύο εmφανειών a2 και

πάντα μία μέση ανάλογος, η αβ, που τις συνδέει. Δηλαδή είναι

α� !!!. ._ = αβ β

και μεταξύ δύο στερεών σχη

α3 και β3 υπάρχουν δύο μέσες ανάλογες, οι α2β και αβ2 , που α3 = β3. αβ2 α2β

μάτων

β2 υπάρχει

τις συνδέουν, δηλαδή είναι

"Ει μεν ούν επίπεδον μεν, β άθος δε μηδεν tχον �δει Ύί-yνεσθαι το τού παντος σίι>μα, μία μεσότης hν έξήρκει τά τε μεθ' έαυτής ξυνδείν και έαυτήν· νύν δε στερεοειδή Ύαρ αύτον προσήκεν εiναι, τα δε στερεα μία μεν ούδέποτε, δύο δε αει μεσότητες ξυναρμόττουσιν". ***

Δεν είναι υπερβολή να λεχθεί ότι η θεωρία των Συνόλων είναι δημιούργημα του Πλάτωνος. Στον πλατωνικό διάλογο "Παρμενίδης" ο μελετητής, μέσα από μία θεολογική συζήτηση, θα βρει πολλά στοι χεία της θεωρίας αυτής. ***

Εκτός, όμως, από τις άμεσες μαθηματικές σχέσεις που βρίσκει κανείς μελετώντας τους πλατωνικούς διαλόγους, οι τελευταίοι περιέχουν και έμμεσες αριθμητικές και γεωμετρικές σχέσεις και προτάσεις (α νισότητες, ισότητες, ανισότητες με συνθήκη, κ.ά.). Έτσι μία προσεκτική μελέτη των στίχων 1 54b - 1 5 4d του "Παρμενίδη " οδηΎεί στη συνεπαγωγή: αν

α < 1 , τότε α < α + Ύ < ! . β β+δ δ β δ ***

αείμνηστος μαθηματικός Νικόλαος Σωτηράκης Ύράφει σχετικά με τις μαθηματοπαιδαγωΎtκές α ντιλήψεις του με-yάλου φιλοσόφου: "Εiς τον Πλάτω να aνήκει η τιμί) δτι διέ-yνωσε την παιδαΎω-yικί)ν aξίαν τής μαθηματικής μεθόδου και τής εν Ύένει ενασχολήσεως με τα μαθηματικά. Έθεώρει ταύτα ίι>ς Ύενικον προπαιδευτικον μά θημα, bπερ ασκεί την σκέψιν και την καθιστά ικανί)ν να επιλαμβάνεται τής εξετάσεως παντοειδίι>ν προ βλημάτων. Δώ πρώτην φοραν διαΎι-yνώσκεται δτι η aσχολία με τα μαθηματικα προάΎει την εiδολογικί)ν μόρφωσιν, bξύνει δηλαδή το πνεύμα και το καθιστά ικανον να επιλύπ δύσκολα προ βλήματα οιασδήποτε φύσεως. Δώ τούτο εις το πρόθυρον τής 'Ακαδημίας εiχε Ύραφή το ρητόν: "ΜηδεLς iι.Ύεωμέτρητος εiσίτω" " . 1 86.Ε.

Πλάτωνος: "τlμαιος", νu, 32.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ:y. τ.4/18

rda fH�a

qdd- �0-R Hι!;LrYR Το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. συνεχίζει τις προσπάθειές του

ώστε οι μαθητές που δαικρίνονrαι στους δαιγωνισμσύς

της Βαλκανικής ή της Δtεθνούς Ολυμπιάδας να εγγρά φονται ανεξάρrητα βαθμού (εφ' όσον φυσικά είναι κά τοχοι απολυτηρίου του Λυκεiου) στα ΜαθηματtΚά τμήματα των Πανεπιστημίων της χώρας. ***

Από τη Ρουμανική Μαθηματική Εταιρεία κυ κλοφόρησε (Μάιος 2000) μαι ωραία συλλογή θε μάτων μαθηματικών Ολυμπιάδων. ***

Πολλές εκδηλώσεις έγιναν και γίνονται στα πλαίσαι του χαρακτηρισμού του έτους 2000 ως παγκόσμιου έτους των μαθηματικών. Πολλά δη μόσαι και ιδιωτικά σχολεία διοργάνωσαν και διορ γανώνουν ομιλίες και εκθέσεις, με κεντρικό θέμα τα «μαθηματικά». ***

Το Πανεπιστήμιο Αθηνών είχε μία ακόμη με γάλη επιτυχία στη δαιστημική, έναν ερευνητικό τομέα στον οποίο έχει πολύχρονη και επιτυχημένη παράδοση, συνεχίζοντας τις χιλtετίες της ελληνι κής αστρονομικής έρευνας. Τα Τμήματα Πληρο φορικής και Φυσικής συμμετέχουν σε δύο σημα ντικότατες δαιστημικές αποστολές που θα μελετή σουν γαι πρώτη φορά τον Ήλιο στερεοσκοπικά. Γαι αυτό άλλωστε το διαστημικό πρόγραμμα που περιλαμβάνει δύο διαστημόπλοια ονομάσθηκε STEREO. Τα διαστημόπλοια θα εκτοξευτούν το έ τος 2004 και θα παρατηρούν τον Ήλιο μακριά από τη Γη, από δύο διαφορετικές γωνίες, ώστε να έ χουν στερεοσκοπική εικόνα. Δεν είναι τυχαίο το ελληνικό όνομα που δόθηκε στην αποστολή. Ο κ. Κ. Καρούμπαλος, ομότιμος καθηγητής του Τμ. Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Αθηνών, έχει σχεδιάσει και πραγματοποιήσει με επιτυχία παρό μοια διαστημικά πειράματα πάνω σε σοβιετικά δαιστημόπλοια. Το Πανεπιστήμιο Αθηνών συμμετέχει σε ένα νέο πεiραμα που ονομάζεται SτEREO/WΑVES (SWΑVES) και θα μελετάει την εκπομπή ραδιοκυ·

μάτων από τον Ήλιο και από κρουστικά κύματα που δαιδίδοvtαι στον δαιπλανητucό χώρο ως αποτέλεσμα εκρηκτικών φαινομένων που συμβαίνουν στο κοντι νό μας αστέρι και επηρεάζουν τη ζωή μας. Ο κύριος ερευνητής του πεφάματος SτEREO/WΑVES (SWAVES) είναι ο Dr. Jean Loώs Η. Bougeret, παλιός μαθητής του κ. Καρούμπαλου, ερευνητής του Τμήματος Δαιστημucής του Αστεροσκοπείου των Παρισίων. Η ελληνική ομάδα έχει επικεφαλής τον κ. Καρού μπαλο (co-inνesti gator) και μέλος τον Ξ. Δ. Μουσά (team member) από το Τμήμα Φυσι κής. Η ελληνική ομάδα έχει την υπευθυνότητα της παρατήρησης του Ηλίου με επίγειο ραδιοτηλεσκόπιο που καταγράφει τη ραδιοφωνική εκπομπή του Ηλίου σε μερικές εκατονrάδες κανάλαι πολλές φορές κάθε δευτερόλεπτο. Τα δύο δαιστημόπλοια STEREO είναι η πιο σημαvtucή δαιστημική αποστολή των αρχών του 21ou αιώνα και αποτελεί ιδαιίτερη τιμή στη χώρα μας και στο Πανεπιστήμιο Αθηνών το γεγονός ότι συμμετέ χουμε σε αυτήν. Ασφαλώς δεν είναι η πρώτη φορά που η Ελλάδα συμμετέχει σε διαστημικά πειράματα. Το Πανεπιστήμιο Αθηνών όπως και άλλα ιδρύματα έχουν πολυετή όσο και επιτυχέστατη συμμετοχή σε πολλές σημαντικές δαιστημικές αποστολές. ***

Στις 5-3 -2000 έγινε η ετήσια γενική συνέλευ ση της Ε.Μ.Ε. τα πεπραγμένα της οποία εγκρίθη καν με μεγάλη πλειοψηφία. ***

Στις 15-3-2000 στην «Ελληνική Εστία» έγινε η παρουσίαση του βιβλi.ου του Βαπέλη ΣπανδάΎου «Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων». Την πα ρουσίαση έκαναν ο πρόεδρος της Ελληνικής Μαθη ματικής Εταιρείας καθηγητής Νικόλαος Αλεξαν δρής και ο καθηγητής του Οικονομικού Πανεπιστη μίου Αθηνών, μαθηματucός Επαμεινώνδας Πανάς, πρόεδρος του Ομίλου γαι την προβολή των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματucών. Δευτερολόγησε ο λέκτο ρας του Πανεπιστημίου Αθηνών και πρόεδρος της Ε.Ε. της Ε.Μ.Ε. ΓιώΡΎος Δημάκος.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/19

Βή μα του Ευκλείδη

Το

Υπεύθυνοι στήλης : Ευ σταθίου Β . - Καρκούλιας Γ. - Τυ ρλής Ι .

::�

Μία λεπτομερειακή και Ύενική λύση άσκησης που πρότεινε στο προηΎούμενο τεύχος του Ευκλείδη Β ' ο καθη-γητής και πρόεδρος της Ακαδημίας Αθηνών κ. Νικόλαος Κ. Αρτεμιάδης.

, , Να λυθει ως προς χ η εξισωση:

� -- � #

3 + b3 3 + αs + = χ+b χ+α Βρείτε τη λύση με τις λιΎότερες πράξεις).

(Σημείωση :

ι. Τρόπος Από την

με χ :;t-α και χ :;t -b.

του Μανώλη I. ΔαμίΎου

s - b3 -«-b

(1) όπου Ο < α <b

( 1 ) παίρνουμε ισοδύναμα: νχ2 - αχ + αΖ + νχ2 - bx + b2 = ναΖ + αb + b2

(2)

Έστω ότι το Χι Ε IR. είναι μια λύση της εξισώσεως (2). Τότε επειδή να2 + αb + b2 > Ο, χι2 ν - αχι + α2 > Ο και νχι2 - bχι + b2 > Ο, θα υπάρχουν ένας και μόνο ένας θετικός αριθμός Κ και ένας και μόνο ένας θεnκός αριθμός L ώστε να έχουμε αντίστοιχα: ...jχ 1 2 - αχ1 + α2 = Κ· να2 + αb + b2 (3) και ...)χ 1 2 - bχ 1 + b2 = L να2 + αb + b2 (4). Από τις (2), (3 ) και (4) παίρνουμε: Κ + L = 1 ( 5 ). Από τις (3 ) και (4) παίρνουμε αντίστοιχα ισοδύναμα: (χ 1 2 - αχ1 + α2 K2· CZ και Χι2 - bχι + b2 = L2·CZ ) (6) (όπου = να2 + αb + b2). από τις (6) έχουμε ισοδύναμα:

{

Κ -L=

�

(b - α)χι (b2 - α2)

, (επειδή έχουμε και Κ + L = 1 )

και 2χι2 - (a + b)χι + α2 + b2 = C2 (Κ2 + LZ)

και επειδή έχουμε: Κ2 + υ =

(Κ

}

; L)2 + (Κ ;L)2 = ! + (Κ ;L)2, η δεύτερη από

(7) τις

εξισώσεις (7)

Ύράφεται ισοδύναμα: 4χ 1 2 - 2(α + b}x1 + 2α2 +2b2 = CZ + C2(K - L)2 ( 8 ). Η ( 8 ) τώρα γράφεται (αν πάρουμε την τιμή του Κ L, από την πρώτη εξίσωση από τις (7), και τη βάλουμε σ ' αυτήν) 4CZ Χι2 - 2(α + b) C2χι + (α2 + b2 - αb)C2 - [(b - α)χι - (b2 - α2))2 = ο Από την έχουμε ισοδύναμα: 3(α + b)2x 1 2 - 6(α + b)αbx 1 + 3 α2b2 = Ο ή ακόμη ισοδύναμα: αb [(α + b)x 1 - αb]2 = Ο ή τέλος ισοδύναμα: Χι = ( 10), (Ύιατί α + b :;t Ο) α+b

(9)

Συμπέρασμα: Από την ( 1 0) και την όλη διαδικασία βλέπουμε ότι η εξίσωση ( 1 ) επιδέχεται στο IR. μία αb , ' και μονο μια λυση την Χι = . α+b __k_ Εύκολα τώρα υπολογίζονται οι αριθμοί Κ, L. Αυτοί είναι οι εξής: Κ = _!!_' L = Σημείωση : α+b a+b

11. Τρόπος

Ο Κλασικός τρόπος επιλύσεως της (1 ) Από την ( 1 ) παίρνουμε ισοδύναμα: νχ2 - αχ + αΖ + νχ2 - bx + b2 = ναΖ + αb + b2 ( 1 1 ) χ :;t -α και χ :;t -b). Από την ( 1 1 ) έχουμε ισοδύναμα (γιατί;;) χ2 - αχ + α2 + χ2 - bx + b2 + 2 (xz - αχ + α2)(χ2 - bx + b2) = α2 + αb + b2 ή επίσης ισοδύναμα: (χ2 - αχ + αz)(xz - bx + b2) = [αb + (α + b)x - 2χ2] ή ισοδύναμα: 2 4(χ2 - αχ + α2)(χ2 - bx + b2 ) = [αb + (α + b)x - 2χ2] 2 ( 1 2), (με αb + (α + b)x - 2χ2 > Ο)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.y. τ.4/20

(με

---- Το βήμα του Ευκλεiδη

Μετά από αρκετές πράξεις στο πρώτο και δεύτερο μέλος της εξισώσεως (12) παίρνουμε ισοδύναμα: 4 4χ -4(α+ b)χ3+4(α2+αb+ b2)χ2-4αb(α+ b)x + 4α2b2 =4χ4-+(α+ b)\.Z+α2b2-4αbχ2 2x2 - 6αb(α-4(α++b)xb)x3++3α2b2α b)xή (13) Από (13) μετά από μερικές πράξεις παίρνουμε ισοδύναμα: 3(α + b) ισοδύναμα [(α+ b)x - αb]2 και τέλος, ισοδύναμα: χ = αbb (14), (Γιατί α + b 0). συμπεραίνουμε Επειδή τώρα η τιμή του ικανοποιεί την , ( 1 ) εχει , ρiζα τον αρt:θμο: και μονον αυτον. εξισωση 2αb( +

τη

χ,

αb α+b αb α+b

ότι η

αb + (α + b)x - 2χ2 > Ο,

χ=

ΠΙ. Τρόπος ενδιαφέρον.

:;t

α+

Ο τρόπος αυτός είναι αρκετά δύσκολος, έχει όμως, όπως νομίζω, αρκετό

Λήμμα: Αναγκαία και Ικανή συνθήκη για να έχουν τα τριώνυμα: αιχ2 + β 1χ + γ 1 , α2χ2 + β2χ + γ2 , (αι , αz :;t 0) μία και μόνο μια ρίζα κοινή, είναι η εξής: (αιγz - αzγιγ + (αι βz - αzβι)(βzγ ι - β ιγz) = Ο (15) , (με αι βz - αzβι :;t Ο) "

(15) ονομάζεται την ονόμασε: και νομiζω ότι η ονομασiα αυτή είναι πιο Παίρνουμε τώρα τα τριώνυμα: χ2 - αχ + α2 - K2C2 και χ2 - bx b2 - L2C2 (όπου C = "-iα2 αb Επειδή αυτά έχουν: -b + α Θα έχουν κοινή μόνο τη ρiζα χ1• Έτσι λοιπόν θα έχουμε σύμφωνα με τον τύπο ( 1 5), (b2 - L2 C2)] ή (b2b - L2C2 - α2 + K2C2)2 (-b + α) · [-b (α2 C- Κ2 C2) UC2) (16) (γιατί έχουμε και = 1) [ 2 - α2 + C2 (Κ - L))2 - (b - α) (-bα2 + bK2 2 + αb2 - α ( 16) μετά από αρκετές πράξεις και aπλοποιήσεις και αφού λάβουμε πάλι υπόψη την + = 1 μας δίνει -b (b - α)Κ2 + α(b - α)L2 - 4C2· ΚL + α2)Κ - 2(b2 - α2)L + 2α2 αb (17). Αν τώρα θέσουμε στην (17) 1 - μετά βεβαίως από αρκετές πράξεις παίρνουμε: 3(α + b)2K2 - 6α(α + b)K + 3 α2 ή ισοδύναμα: [(α+ b)K - α]2 δηλαδή ισοδύναμα: (18), (γιατί α+ b και έτσι θα έχουμε και (19). Έχουμε όμως από τις: (6), (b - α)χ 1 - (b + α)(b - α) + C2 (L Αυτή όμως με τη βοήθεια των (18), ( 19) και της Κ + 1 γίνεται χι - (b + α) + czb = ( 0) Από την (20) τελικά παίρνουμε ισοδύναμα: Σε απαντητική του επιστολή (σε επιστολή μου)-πάνω στις τρεις λύσεις (που προανέφερα) της ασκήσεώς του - μου έστεtλε την παρακάτω σχέση (1) γράφεται: \)(χ -�Τ ( � J (χ-�γ ( � J (i-�T (� � J τα τρiα ρtζικά παριστάνουν τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων (χ, 0), (�· fα) και (�. -�b) που f3 (b - ... f3 , (2•α ..."fo. , να κειται , επι, του τμηματος , μεταξύ των σημειων: σημαινει οτι το χ, πρεπει ) 2• 2h). ρα Σημείωση : Η απαλοίφουσα. Ο μεγάλος Έλληνας Μαθηματικός Κυπάρισσος Στέφανος, δόκιμος. (το λήμμα συναρμόζουσα αυτό το θεωρούμε γνωστό) + + + b2) :;t

Ο.

δηλαδή με τη συναρμόζουσα των παραπάνω τρ ιωνύμων: =Ο +α + = Ο

Κ+L

2(b2 -

:;t

Κ = _!!_ α+b

L =

+ 2b2 -

Κ,

Ο, ___!_ L= α+b

Ο)

+ K)(L - Κ) = Ο.

χ1

αb ' α+b

ο κ. Νικόλαος Σημείωση του συγγραφέα του άρθρου: Κ. Αρτεμιάδης, Καθηγητής Πανεπιστημίου και Πρόεδρος της Ακαδημίας Αθηνών πρωτότυπη, σύντομη, απλή και κομψή λύση:

+ -

(

α +

b =

Ο)

b α α b αb - + -- . - - -. χ-α+b 2 α+b 2 - α + b'

α+

·Ε άν έχουμε: (αι'Υ2 - α2'Υι)1 + (αιβ2 - α2βι)(β2'Υι - Ρι'Υ2) = Ο και αιβ2·αzβι α2χ1 +β2χ + γ2, (α1, αz ;t: 0) έχουν και τις δύο ρ(ζες τους κοινές (γιατί; ;) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' j.,_y, τ.4/21

Ο,. Τότε τα τριώνυμα αιΧ1 +βιχ + 'Υι ,

Τα Μιιθημιιτιιιιi δev εivα ι μόιιο Υ πείιΗυνοι

ιιιιuήοει'

ση1λης: Αρ βα\'ιτογf:ώργος Λ. - Π οίιλος Α . - Σπηλιώτης Γ.

του Βασίλη Λ ιόση Μ ποροίιν τα Μ α0 η ματικ6 να προβλέπουν το

μέλλον: Άραγε η απάντηση σε τούτο το ερ6>τη μα

i) ίνcται μοvοσ1'j μαντα: Α ν ί)χι

ποια

η δυναμικι'j της

δ ιαδ ικασ ίας κατά την οπο ία προβλi:πετω το μέλ λον; Α υτά και μερικά ακίψη ερωηΊ ματα θα επιχε ι

α ιιηΊ Οα 'ναι I /6 .

Με αυτό το παρ6δε ιγμα μποροίι με \'α «συλ

λ<i β ου με>ι τον ο ρ ισ μό της ποσοτ ικι'jς μέτρησης των

πιθαvοη'jτων: Α ν για κι'ι πο ια <Ί ιαδ ικασ ία υπάρχουν

ε ξ ίσου πιθανές δ υνατι1τητες και οι μ από αυτές

ευνοούν την πραγματοποίηση ενιΊς σ υγκε κρ ιμένου

ρ ll σ ο υμε να προσεγγ ίσουμε σ το άρθρο μα ς . Δεν

γεγονότος. τότε η πιθανότητα

σεις. Ωστ6σο.

ξέρου με αν Οα δcί)σουμε ικανοποιητικές απανηΊ

να

συμβεί το γεγο

νός αυτό ι: ίναι μ I v . Δ ιαφορετ ικά : Η πιΟανόηιτα

αντί απω't1)σεων πολλαπλασιά

ε\•ός ε\•δεχο μένου είναι το πηλίκο του πλή θους

σουμε τα ερωη'j ματα. αυτι) δε θα το Οεωρ l1σουμε

των ευ,•οϊκών περ ιπτώσεων προς το πλή Ηος των

απαραίτητα αρνητ ικό . . .

δυνατιί>ν περιπτιi>σt-:ων.

Α.

αν

Ένα μ ι κρό ιστ ορικό

Ο Φερμά και ο Π α σ κάλ 1)ταν αυτοί που υ

πι'lρξ αν Οεμε λιωτ έ ς της μαθη ματικ1i ς θ εωρίας των

πιθανοη)των . Α ν και η βαθμιαία ανάπτυξη του εν

διαφέροντος γύρω απ6 τ ις πι0αν6τητες οφε ίλεται πρωταρχικά στην εξάπλωση των ασφαλίσεων. το

Β.

σαμι: μας βοη θάνε στην εξαγωγ1) μερ ικό>ν συ μπε ρασμάτων : •

πρόβλη μα πιθανοη)των το έστcιλc στον Μπί.αιζ Πασκάλ.

Πασκάλ

«επιτί:θ11ΚC))

στο πρόβλ11μα.

άνοιξc αλληλογραφία με τον Φ ερμά, μελετούσε

αδιάκοπα και τελικά το 1 65 4 μαζί με το Φερμά

δ ιατύπωσαν μερ ικές απ· τ ις πιο Οεμελιό)δεις αρχές της θεωρίας των πιΟανοη)των.

Ας ακολουθ1)σουμε λο ιπόν

λίγα απ6 τα μονο

πι'.ιτ ια της σκέψης τους. ξcκινό>Vτας μ · ένα απλιΊ

και

κλασικό πιφι'.ιδειγμα : το ζάρι.

Ο Π ασ κάλ

και ο Φερμά σ κέφθη καν πως 11

κάθε έδρα ενός ζαριού έχει την ίδια πιθανότητα να εμφανιστε ί κατά μία ρίψη, εφόσον το ζάρι δεν εί ναι «πε ιραγμένο»

6πως λέμε πιο σωστά το ζάρι

είναι α�ιερ6ληπτο. Έχοντας λοιπιΊν έξι πιΟα\•ές δυ νατότητες (να φέρου με

I 11 2

1) 3 1) 4

1'] 5 1'] 6 ).

αν

ζηη'jσουμε την πιθανότητα εμφάνισης π.χ. του 2

απ6 Ο έω ς I .

Με άλλα λίφα η κίψανσι1

ε ίναι απ · την α δ υ ν ατ ότητ α ( το 0 ) ω ς τη fJ ε

δ ιάφορων ι:υγενό)\' μι: τα τυχφ6 πα ιχνίδια .

κτης, ο Ιππόηι ς ντε Μεραί. συνα\'tόη•τας ένα

ΊΌ αριθμη τικι'> μi:φο μιας πιθανότφας κ ιψαί

νεται

πριίJτο-πρι.ίηο κίνητρο αποτέλεσε η ενασχόλ11ση Κ άπου λο ιπόν στο 1 7" αιι.ίη·α, ένας χαρτοπαί

Κάπο ι α πρ(ί)τα συ μπεράσματα.

Ο ο ρισ μι'>ς και το παρr.ιδειγμα που δ ιατυπό)

•

βαιόηι τ α ( το Ι ) .

πι0αν6τητα να φέρο υ με το 2 που προαναφι:

ραμε στο παράδειγμά μας. κατά μια δεύτερι1 ρίψ ι1 . δεν αλλάζε ι. όπως πιθανά θα σκεφθούμε .

Ο Μγος: Το ζάρ ι δεν έχει

ο ύτε

μ'•ή μιι ,

οi>τε

κρ ίσιι . Π ρ(ι κειται γ ια κάτι χωρίς συνείδηση .

ΊΌ τι έχει συμβεί στο παρελθόν δι:ν ι:πη ρεάζει

ούτε το μέλλον. Δηλαδι'j και στη δεiιτερι1 ρίψη

η πιθανότητα να φέρουμε 2 ε ίνα ι πάλι ίσι1

1 /6 .

μι:

Ασφαλό)ς τα πράγματα δεν είναι πάντα τιΊσο

απλ 6 ό σο το παρ (.ι δειγ μα τι1ς ρίψης του ζ αριού . Ό

μως m'j ραμε ίσως μια «αχν1) » ιδέα για το αν υφί

σταται πρόβλεψη μέσω των πιθανοη)των. πρόβλεψης - πι θ ανοη)των μπορεί

να

σχέση

γ ίνει αντιλη

πη'j και μέσω τη ς δεσμευμένι1ς πιθανιΊτψας, ειδ ι κότερα. Να γίνου με πιο συγκε κρ ιμένοι: Υ π<1ρχουν

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ J Ι Σ Β ' λ.γ. τ.4/22

ενδεχόμενα η π ραγματοποίηση τιu\' οποίων επι1ρε απ· την πραγ μα τοποίη σι1 ενός άλλου ενδε χομένου (τα ενδ εχόμενα είναι του ίδιου δειγματι ιωύ χciJρου ). ΊΞνα χαρακτη ρισ τ ικι) παρά δ ε ιγ μα εί ναι αυτι) του καιρού . Αν δηλαΜ1 μάθουμε πω ς σε μια περιοχl1 κινείται ένα μέτωπο κακοκαιρίας. τ6τε αυτό αυξάνει την πι0αν6τητα βροχόπτωσης ι) χιο νόπτωσης σ· αυτι)ν τψ περιοχ1) . Ά ρα μας δίνεται η δυνατότι1τα μιας έστω κατc1 π ρ ο σ έγγισ η πρόγνω ά ζ ετα ι

σης.

Γ.

Π ιΟιινόηιτες και Στατιστικι1 : Σχέσεις συγ γένειας Τ όσ ο οι πιθανότητες. όσο και η στατιστικιΊ έ χουν τον ίδιο σκοπι'> : να προβλέπουν. Ο στό χο ς τους προ σ εγγ ίζετ α ι απι'> διαφορετικούς δρόμους. �τη μεν Οεωρία των πιθανοη)των οι προσ δ ι ορισ τ ι κοί παρ(Ίγοντες είναι γνωστ οί και aποτολμάται η πρι'>βλεψη ενός πιθανού αποτελέσματος. Σηι δε στατιστική τ' αποτελέσματα είναι γ'•ιοστά και καταγεγρfιμ μένα. Όμως οι αιτίες που τα προκα λούν δ ε ν είναι π{ιντα ι) εντελιl>ς aποκωδικοποιημέ νες. Όπως και να " χε ι ι'>μως πρι'>κειται γ ια δύο «α δέλφ ια » που συνεργάζονται μά λ ισ τα στενά. Τι είναι ι'>μως η � τα τιστικι) . Ο' ανα ρω τη θούν κάποιοι. Παραθέτουμε κατ · α ρ χ1) ν έναν ο ρ ισ μι'>: « Στατ ισ τ ι ι-.ι) είναι η ε π ισ η) μ η που ασχο λε ίτ α ι με τις ε π ιστιΗιο νικέ ς μεθδδους σ υ λλογι) ς . ο ργάνω ση ς. πα ρο υ σ ία σ η ς και ανάλυ σ ι 1ς τ ω ν αρ ιΟ μητ ικ <)> ν εκεί νων στο ιχε ίω ν πο υ ανα φ έ ροντα ι σε χαρακη1ριστι κι:ς ιδ ιότη τε ς διαφ6ρων οικο νο μ ι κ6>ν . κο ινωνικιiη·. δημογραφικών. φυσικ<IJν κ.λπ. φα ινο μέ νω ν και έ χε ι ως σκοπό τη σ υ στη μα τ ιιο) μελέτι1 αυη))\' των στο ιχείων για τφ• κατάλι1ξη σε γενικά συμπερά

σματα. που είναι χριΊσιμα στη διαδικασία τι1ς λιΊ ψης

ορ θ<IΝ

χος� σελ

2 I ).

απο φ άσεω ν >> ( «Στατιστικl1». ΓΙ. Κ ιι'>

Α ς δούμε στη συνέχεια μερικά παραδείγματα χρησιμοποίησης της σtατιστιι-.ιΊς :

βαιι'>τητα γ ια τους ασφαλισμένους πελάτες κάποια

μέρα θα πεθάνουν. Το

το γιατί δεν μπορούν να το

στατιστικόΝ συ μπερασ μάτων και τέλος στη δ ιατύ

πωση

προβλέψεων για έναν αρ ιθ μι) ομο ίων ειδιίη• (π.χ. τυχαία δ ε ιγ ματολη ψία λ α μπηΊ ρ ω ν . φ ρού των κ.α. ).

και Πρ ό βλεψη Η Θε ω ρ ί α του Χάους γ ε νν ιΊ θ η κε απ ' τ ην ανά γ"-'1 πρόβλεψης του καιρ ο ύ . Είναι γ νω στό πως ο καιρι)ς δεν μπορεί να πρ ο βλεφ θ ε ί πέ ρα απι) τις 4 5 ημέρες. Οι μετεωρολογικές υπ ι1ρ εσ ίε ς μπορο ύ ν να μας πουν με ικανοποιψι"-•Ί προσ έγγιση τι καιρό Οα κάνει α ύ ρ ιο ιΊ με θαύ ριο . 6χι ό μως σε 20 η μ έ ρες. Γιατί υπάρχε ι αυηΊ η α δυν αμ ία : Ας ξετυλίξουμε το κο υβάρ ι . . . Στη δεκαετία του ' 60 i;νας Μ α θ ιΗια τ ικός Μ ετεωρολ6γος. ο Έ ντουαρ\'Τ Λό ρ ε ντ ζ είχε φ τιά ξε ι στον προσωπικό του υ πο λογ ισ τ ιΊ ένα μοντ έ λο κ αιρ ού μέ σω του οποίου μελετ ού σε τη συμπε ρι φο ρά του κα ιρ ού κα ι ε ρευ νο ύ σ ε τη δυνατότητα μα κροπρόθεσμης π ρ ιψ λε ψ η ς. Μ ια η μέρα, ενόJ ε ισl) γαγε τα δεδομένα στον υπο λt)γιστιi στρογγυλοποί11σε μια παράμετρο aπειροελάχιστα. Αντί του α �ΗΟμού 0 . 5 0 6 1 2 7 «έδωσε» 0 . 5 0 6 . Το αποτέλεσμα ιΊταv καταπλ ηκτικό ! Ενώ με τον αρχικι) α ρ ιθ μό εί χε μια συγκεκριμένη γρ α φ ι κ ιΊ πα ρ άστασ η , με το δ ε ύ τ ε ρ ο αριθμό π ρ ο έι-.-υ πτ ε μια γραφικιΊ πα ρ άσ τα ση που δ ιέ φερ ε αρ χ ι κά ελά χισ τα με την πρώ τ ι 1 . 6μως στη συνέχεια διαφο ρ ο π ο ιι'> τ αν δραματικά, Αυ

Δ.

Χάος

τι) πρακτικά σι) μαινε πως μια αμελητέα αλλαγι) μιας

εκ

τ ων αρχικών σ υνθ η κόJV .

βε

θα

δη μιο υ ργο ύσ ε

έν α ε ντε λώ ς δ ιαφορετικι'> καφι'> . Ο «σπόρος» του

Χάους είχε

Οι ασφαλιστικές εταιρείι.:ς έχουν μι'>νο μια

Πως

ρεί να 'ναι 11 πρόβλεψη στι1ν πραγματικι'>τητα: Όσο ευρύτερη κι ακριβέστερη είναι η δ ε ιγματολη ψία είναι η απάvη1 σ η . " Ε να άλλο πα ρ άδ ειγ μ α αφορά στι1ν τυχαία δειγματοληψία. Η μέθοδος αυηΊ στ η ρίζετα ι σtιl\' τυχαία επιλογl1 μερ ικώ ν δ ε ιγ μάτων. στην κατα γραφιΊ των χαρακτη ρ ιστ ι κό)\' τ ου ς . στην εξαγωγ ι)

Ι1δη

πέσει.

Το Χάος λο ιπ όν εξετάζει

πώς μέσα απ' την

τους.

τάξη διι μ ιο υ ργ είται αταξία και αντίστροφα. Αν

πότε, το που.

ο ντετερμ ινιστικός χαρα κτι1 ρας των φαινομένων

γνω ρίζουν. Σ'

αυτό το

οδη γ εί στην πρ(»βλεψη. Π<σς συνδέονται το τυ

σ η με ίο «πιάνουν δουλεία» οι αναλογιστές. Οι ανα

χα ίο και το α ιτιοκρατικ ό . Και μάλιστά να

λογιστές των εταιρε ιόJν καταρτίζουν πίνακες μέσα

μειω θε ί πως «αγκαλιάζει»

από στατιστικές θανάτων και χωρίζούν τους πελά

τες κατά κατηγορία ( π.χ. ηλικία. φύ λο . ε πάγγ ε λ

μα). Έτσι ξε κιν ο ύν α πό γνω στά στατιστικά στοι χεία και απι) αυτά σ υ μπε ρα ίνο υν τις πι θ ανότη τες. Β ε βα ίως γενν ιέται το ερ<Ι>tημα : Ιlι1σο κοντά μπο-

οτ ιδ

Ι1 ποτε

κάπ ο ι ος : τη ν ο ικο νο μί α , τον καιρό. τη

την καρδιολογία. τη νευ ροφυ σιο λογία .

νο μία , tιl\' κοινωνία κ.λπ.

ση φ αντ αστε ί

β ιο λογία , τη ν α σ τ ρο

Ας μείνουμε ι)μως στο βασικό μας ερώτη μα :

Ί Ξ χi:ι το χά ο ς

Ε \ " Κ:\ Ι: Ι Δ Ι-Ι Σ Β ' λ.γ. τ.4/23

κάποια

ιδιαίτ ε ρη σ υμ β ο λ ιi στην πρό-

Τα μuΟημuτι κι:ι δι:\' ι:ί\'UΙ μίΙ\'Η ασι.:ίισι:ις

βλεψη; Πριν δώσουμε απάντηση θα «ανοίξουμε» μια «Παρένθεση» προκειμένου να δούμε πως λειτουρ γεί '1 κλασική στατιστική. Αρχικά συλλέγεται ένας μεγάλος αριθμός στοιχείων από μετρι'] σεις πολλ<i>ν μεταβλητών οι οποίες συνδέονται με το συγκεκριμένο φαινόμενο που μελετάμε. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι μέ σοι όροι αυτών των τιμών, τυπικές αποκλίσεις τους απ' το μέσο όρο κ.λπ. Κατόπιν εξετάζεται ο συσχετισμός τους και καταγρ(ιφονται τ' αποτελέ σματα που δίνει ο συσχετισμός αυτ6ς. Τέλος. έχο ντας όλα τα στοιχεία και τα συμπεράσματα. επι χειρείται μια βραχυπρόθεσμη πρόβλεψη της μελ λοντιι-.1)ς εξέλιξης του φαινομένου βάσει μετρι)σε ων που προέι-.--υψαν από παρόμοιες συνθι)κες στο παρελθόν. Υπάρχουν κι άλλες στατιστικές μέθοδοι, η παρουσίασι) τους ό�w>ς ξεφεύγει απ' το στ6χο του άρθρου μας. Μειονεκτήματα αυτών των μεθόδων είναι:

(i) (ίί)

(ίίί)

Το γεγονός ότι απαιτείται ιδιαίτερα επίπονη προσπάθεια. Το γεγονός ότι απαιτείται μεγάλος όγκος εξό δων. Το γεγονός ότι δεν επιχειρείται μια ιεράρχηση και αξιολόγηση της διαθέσιμης πληροφορίας ανάλογα με τη συμβολι) της στη δυναμικι'J του εξεταζομένου φαινομένου.

Εδ<ί> ακριβ<ί>ς παρεμβαίνει η Χαοτικι'] Δυνα μιι-.1) . Προτείνει έναν νέο τρόπο θε<ί>ρι]σης και α νάλυσης χρονοσειρών φυσικών φαινομένων: Η βασιΚΊ) αρχι1 είναι πως το φαινόμενο που εξετά ζουμε διέπεται από ένα μικρό αριθμό συζευγμένων μεταβλητ<ί>ν οι οποίες παίζουν τον ι-.--υ ρίαρχο ρόλο στον προσδιορισμό της χρονιι-.1)ς εξέλιξης του φαι νομένου. Αν αυτό ισχύει. τότε λi;με πως η διαστα τικότητα του συση)ματος είναι χαμηλι), και οι μέ θοδοι της Χαοτιι-.1)ς ΔυναμιΚΊ)ς μπορούν να εφαρ μοσθούν. Διαφορετικά μιλάμε για συση)ματα υ ψηλι)ς διαστατικότητας όπου καταφεύγουμε πάλι στις κλασικές μεθόδους στατιστιι-.1)ς. Τα προτερι)ματα της ανάλυσης της ΧαοτιΚΊ)ς Δυναμιι-.1)ς είναι τα εξι)ς: (i)

Κατά τη μελέη] του φαινομένου κατασκευά ζεται κάτι σα γραφιι-.1) παρ(ισταση. Α ναφερό μαστε στον ελκυστι) της κίνησης. Η γεωμε-

τρω) δομι) του ελιωστι) της κίνησι]ς είναι γνωση) . Αυτι) σημαίνει πρακτικά πως μπο ρούμε να προβλέψουμε τις επι'ψενες τιμές μιας παραμέτρου Ύνωρίζο\:τας τις προηΎούμε νες. ( ί ί ) Η ΎV<�ση της διάστασης παρέχει ένα χρι'] σιμο προσδιοριστικό στοιχείο Ύια τη χρονοσεφ(.ι μας. Α ν. Ύια παράδειγμα, συΎκριθούν τα καρ διοΎραφι)ματα ενός υΎιοίις ατόμου και ε\·ός που 'χει κιφδιαι-.1) αρρυθμία, ενδέχεται η δια στατικότη τα των δύο αυτ<ίη· χρονοσειρ<ί)\' να 'ναι διαφορετικι), οπ6η: Οα μπορεί να αποτε λέσει και κριτι)ριο διάΎ\'(J>σης παΟολογικ<ίη· περιπτώσεων. · ( i i i ) Η Χαοτω) Δύναμη έχει τη δυνατότητα όχι μόνο να επισημαίνει τον αρι0μ6 των βασικ<ίη· μεταβλητ<ί)ν που προσδιορίζουν tι] δυναμικι) ενός φαινομένου. αλλά και να εκτιμά τη «βα ρύτητα» εκείνων που παρα λείπονται. ( i v ) τέλος, οι μέθοδοι της χαοτιια)ς δύναμης είναι υπολοΎιστικά οικονομικές. Βέβαια Ύε\νιέται ένα εριίηημα μετά απ' όλα αυτά: Έχουν τα όσα αναφέραμε κάποια πρακτικι'] εφαρμογι) ι1 είναι θεωρίες στα χαρτιά; Η απάντηση είναι θετικι) . Σαν παράδειΎμα θ' αναφέρουμε την ερευνητιι-.1) δουλειά που 'χει γίνει στο Πανεπιστι)μιο της Πάτρας σχετικά με την πρόβλεψη της θερμοκρασίας. Σύμφωνα με τη με λέτη αυτι), Ι] τυπιι-.1) απόκλιση των τιμιί)ν από τις πραΎματικές ι1ταν ένας βαθμι'>ς Κελσίου κατά μέσο όρο ! (Απ' την Ε . Μ . Υ . μάλιστα υπι'] pξαν ευνοϊκά σχόλ ια Ύια τις προ βλέψεις τι1ς ερευν ητικι1 ς ο μάδας σε σχέση με τις δικές η]ς. ) I .

ιω μ π iιί.η - S

Από τις αρχές κιόλας του αι<ί)να μας. υπι)ρχε μία θεωρία μελέ της της βιολοΎιι-.1)ς εξελικτιι-.1)ς διαδικασίας. Ύνωστι1ς ως Οεωρίιις των «καμπυλ(ί>ν S » . Πρόκειται Ύια μια Ύραφικι'J παράσταση μα θηματικών εξισύ)σεων όπου, στη θέση των αφη ριηιένων παραμέτρων μπορεί να βάλει κάποιος κουνέλια και λύκους, και να βρει πότε ο ένας πλη θυσμός θα ξεπεράσει τον άλλο. Το ΎεΎονός ότι αυ τι1 η καμπύλη ονομάστηκε S δεν είναι τυχαίο. Οι γραφικές παραστάσεις εμφάνιζαν μια κα μπίΙλη που ' χε το σχι1μα S . υm1 ρχαν δηλαδι'] �ιέΎι στα και ελάχιστα στη συνάρτησι], 6πως λέΎεται στη Ύλιί>σσα των μαθι]ματικ<ί)ν. Το I 992, ένας Έλληνας, ο Θόδωρος Μ όδιις -

Ε: Υ ΚΛΕΙΔΒΣ Β ' λ.γ.

τ.4/24

Τα μαΟηματιl\ά ίiι:\'

δημοσίευσε ένα βιβλίο που έφερε τον τίτλο «Προ βλέψεις>> . Ο έλληνας επιστιiμονας που ζει και ερ γάζεται στη Γενεί>η. θέλησε μ' αυη)ν τι1 δημοσί ευση να γενικεύσει τψ εφαρμογιi των καμπυλcί>ν S σε όλους τους τομείς της ζωι)ς μας. ΊΊ ακριβιίις έχει συμπερ{ινει ο Θ. Μόδης: Υ ποστηρίζει πως κάθε ανθρcί>πινι1 δραση1ριότητα μπορεί να προβλεφθεί αν πάρουμε υπόψη μας 4 παράγοντες: (ί)

τις καμπύλες

(ii)

το μηχανισμό της φυσικι'1 ς επιλογι)ς

(iii)

τις σταθερές εξελίξεις και

( i ν)

την ύπαρξη ενt'ις γενικού κύκλου που κάνουν τα γεγονι'>τα κάθε 56 χρόνια

Έτσι. με βάση όλα τα παραπάνω, ο Θ. Μόδιις μπορεί να συμπεράνει πως ο Γκαμπριέλ Γκαρσία Μαρκές. πρέπει το ' 9 5 να 'φτασε το μέγιστο των δυνατοη)των του και από 'δω και πέρα να περιμέ νουμε λίγα. Ακόμα, πως ο Φελίνι Οα παρΙηαγε έρ γο μέχρι το 2003 αν δεν πέθαινε. ' Η πως το AIDS έχει φτι'lσει στο μέγιστο της ανάπτυξι)ς του και α πό 'δω και πέρα αναμένεται «φρένο» ση1ν εξά πλωσil του μέσω ενός βιολογικοί> μηχανισμού α ντιμετώπισης. Οι εφαρμογές είναι άπειρες. Όμως κάποιος εύλογα ο· αναρωτηθεί όπως και στην περίπτωση του Χάους: Π ρόκειται για θεωρίες •i υπάρχουν ε φαρμογές και επαλι)Οευση της θεωρίας; Ο Θ. Μόδιις απωτά: «Ακούμε συχνά ότι το

μέλλον δεν προβλέπεται. Η σωστή φράση είναι ότι το μέλλΟ\' δεν προβλέπεται με απόλυτη α κρίβεια». Επομένως μπορούμε περίπου να προ βλέψουμε το μέλλον, δηλαδιί κατά προσέyγ ισιι. 'Ομως αυτό το «περ ίπου)) είναι τόσο <<περ ίπου)), ώστε να μπορούμε να στη ριχθούμε «πάνω)) του. �ΊΌ

Εξισ<;>σ1:ι:; Π ολi:μου Είναι δυνατό μαθηματικά μοντέλα και μαθη ματικές εξισώσεις να κάνουν πρόβλεψη ξεσπά σματος πολέμων: Η C I A απαντά θετικά. Ας δούμε το γιατί απα ντά θετικά. Κατόπιν εντολ1)ς της αμερικάνικι1ς κυ βέρνησης. ομάδα επιστημόνων, πολιτικών. πανε πιστημιακόΝ. στρατιωτικών αναλυτών και επαγ γελματιόη· κατασκόπων. δούλεψε συσηηιατικά επί ένα χρόνο σε μυστικι) βι'1σι1 της C I A. χρι1σιμο ποιόη:τας υπερσύγχρονα υπολογιστικά μηχανι)μα-

ι:ί \'cιι

μίl\•ο ιισl\ήσι:ις

τα. Επιδίω ξη η πριΊγνωση συγκρούσεων. πολέμων. πραξικοπη μάτων. εξεγέρσεων κ.λπ. σ' όλες τις γω νιές του κόσμου. Η μελέτη θα παρείχε επίσης προ τάσ ε ις ε ξωτερικιi ς πολιτικι)ς για την πρόλη ψ η 11 α ντιμετώπιση αυτών των κρίσεων. Τα δεδομένα που αναλύθηκαν προέρχο\ται απ· όλες τις χόψες με πληθυσμό άνω του μισού ε κατομμυρίου και αφορούσαν στο διάστημα 1 9 5 5 1 994 . Οι ερευ\11τές τροφοδοτούσαν τους υπολογι στές τους με πλ1)θος στοιχείων για την κάθε χόψα. Ο όγκος των στοιχείων ι)ταν τόσο μεγάλος ό>στε χωρίς τη βοι)θεια των ιιπολογιστόΝ η δουλειά του ενός έτους θα γινόταν δουλειά δέκα ετόΝ. Η μελέτη κατέληξε σ' ένα βασικό συμπέρα σμα. Οι χώρες χωρίζονται σε τρεις μεγάλες κατη γορίες ανάλογα με το βαθμό επικινδυνότητας για το ξέσπασμα μιας κρίσης: σε χό>ρες περιορισμέ νου, μέσου και υψηλοί> κινδύνου. Οι ειδικοί είπαν πως η αξιοπιστία αυτού του εγχειρι)ματος ι)ταν υψηλι) . Μ ίλησαν για πιθανότη τες επιτυχίας της πρι'>βλεψι1ς στο επίπεδο του 70%. Ωστόσο ακούστηκαν και κριτικές φωνές που εξέ φρασαν επιφυλάξεις για την εγκυρότητα των προ βλέψεων της CIA. Εκφράζοντας μια σκέψη, θα λέγαμε πως ειδι κά στο ζι)τημα της πρόβλεψης τι1ς κοινωνικ:1)ς συ μπεριφοράς τα πράγματα είναι ιδιαίτερα ρευστά. Κι αυτό που κάνει τα πράγματα ρευστά είναι ο a στάθμητος παράγοντας της ανθρώπινη ς συνείδη σης. Πέρα απ' τα πιθανό>ς «σκοτεινά» σημεία που δι1μιούργησε το άρθρο μας, ευελπιστούμε να γέν νησε έναν ευρύτερο προβληματισμό πάνω στο θέ μα « Μαθηματικά και Πρόβλεψη» . Το σίγουρο εί ναι πως πρόκειται για ένα θέμα με εξαιρετικό εν διαφέρον. Επίσης σίγουρο είναι πως η ανθρωπότη τα βαδ ίζει σ ' όλους τους τομείς της ζω ι)ς χριl σιμο ποιώ\τας τα μαθηματικά για να 'χει δυνατότητα πρόβλεψης. Α υτό που μένει, είναι να ευχηθούμε να · ναι α υ τι) η εξέλιξη για το καλό τι1ς aνθρωπό τητας . . . J.

Β ι j\i.ιογριιφ ίιι «Συνοπτιια) Ιστορία των ΜαθηματικόΜ>. D i rk J . Stnι i k, Εκδ . Δαίδαλος I Ζαχαρόπουλος. «Τα Μαθηματικά στο Δυτικό Πολιτισμό». Moπi s K l i ne. Εκδ. Κcί)δικας. « Μαθηματικιi». L i fe .

ΕΥΚ:\ Ε Ι ΔΙ-ΙΣ Β ' λ.γ. τ.4/25

7. 8.

Τα. μα0ημuτιι.:ιί δι;\• ι:ί \'ιtι μu\'0

«Στατιστική». Πέτρος Α. Κ ι6χος. Εκδ<'>σεις l n tel'books.

«Η απάτη της Στατιστικι)ς», Oaιτe l Huf'tΌ Εκ

δόσεις Οξύ.

«Άλγεβρα Β ' Λυκείου». ΟΕΔ Β . «Χάος, μια νέα Επισ η) μψ> , J u ιηes Cleick, Ε κ δόσεις Κ άτοπτ ρο . «Chuos >), περιοδικό, τ εύχος 3. Εκδόσεις Κω σταρά κη ς . « Εξισ<ί)σεις πολέ μο υ » , Κα Οημε ρ ινι) 1 1 /2/96 .

uσι.:ήιrι;ις

10. « 1-1 CΊΑ

προβλέπει τους πο λέμο\) ς του έτους

2000». Καθη μερινι) 5/5/9 6 . « Μ ια εξίσωση β λέ πε ι το μέλλον>>. L λευΟφο τυ πία , 22-2 3/4/9 5 . 1 2. «Χάους, Θεω ρ ία». λι) μμα απ' τ η ν εγ κ--υ κλο παίδεια « Π άπυρος - Λ αρ ούς - Μπριτάνικω> . Β. « Προβλέψεις». Θ. Μόδης , Π αν/ κε ς ε κδ ό σε ις Κρι)της. 1 -&. «0 Ταραγμένος Κ α θ ρ έφτη ς » . J. B ι·iggs & F. Peat. Εκδόσεις Κάτοπτρο. 1 1.

Η μΑiιιμΑτικiι τέχΥιι του

EscJιer

Μ. C.

Χρ ιστίνα Μπενέκη

ια τους περισσότερους ανθρώπους τέχνη και μαθη ματικά είναι δί>ο πράγματα διαφορετικά μεταξί) τους. τ ο ένα θεω ρείται ως προϊόν της φαντασίας απαλλαγμένο από τους φραγμο-1>ς της πραγματικότητας, ενιί> το άλλο είναι αναγκασμένο να ακολουθεί προσεχτικούς υπολογισμούς και vα υπακούει στην πορεία της λογικιΊς σκέψης. Τελικά, ό μως, μήπωi; είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομί σματος; Μ ιΊπως τέχνη και · μαθη ματικά θυ μί ζουν την ταινία του Mobi u s ; Κανένας καλλιτέχνης δεν γνώρισε μεγαλύ τερη επιτυχία από τον Ολλανδό Μ :.ιuι·i ι s C . EscheΓ στο είδος αυτό της «μαθη ματική τέ χνης». Ο M:.ιuΓi ts C . EscheΓ γεννι1 θηκε στο Leeu w :.ιΓde n της Ολλανδίας το 1 89 8 και σπούδασε στη Σχολι1 ΑρχιτεκτονικιΊς και ΔιακοσμητικιΊς του HaaΓi e m . Έζησε στη Ρώμη δέκα χρόνια. Φεύγοντας από την Ιταλία, το 1 93 4 , πέρασε δύο χρόνια στην Ελβετία και πέντε χρόνια στις Βρυξέλλες. Στη συνέχεια εγκαταστάθηκε στην Ολλανδική πόλη Β:.ι:.ιm , όπου έζησε με τη σύ ζυγό του μέχρι το τέλος της ζωι1ς του . Πέθανε το 1 97 2 σε ηλικία 7 3 χρόνων. Ο Esc heι· είναι περισσότερο γνωστός στους κρυσταλλογράφους για την πετυχη μένη ψηφι δωτή τεχνικιΊ , με την οποία χωρίζει το επίπε δο. Επη ρεασμένος από τη δεξιοτεχνία των Α ράβων, μετά από ένα ταξίδι του στην Αλά μπρα το 1 93 6 , ο Esc heι· χωρίζει το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών, ερπετών, θηλαστικών και ανθρώπων, και καταφέρνει να

τα ενσωματιί)σι:ι σε πολλά από τα ψηφ ιδωτil του σχi:δια και να δημιου ργι1σει μεγι'lλη ποικΊ λία καταπλη κτικιί>ν ει κόνων. Σε ένa από τα έργα του , την κυ κλικιΊ ξυλο γραφία ' · Π αράδεισος και Κόλαση" ( Heι.ιven and Hel l ) ( εικόνα I ) , άγγελοι και δαίμονες ταιριάζουν έτσι μεταξύ τους, ιί>στέ να μικραί νουν τα όμοια σχι1 ματα, απομακρυνόμενα απ6 το κέντρο, μέχρι που να σβιΊσουν στα άκρα της εικόνας, δη μιουργιί>ντας έτσι άπειρα σχι1ματα, τόσο μικρά που μόλις διακρίνονται. Μ ε τον τρόπο αυτό ίσως ν α υποδηλώνει · ο Escl1 e ι· ότι το Καλό αποτελεί το αναγκαίο περίβλημα του Κακοί) και το αντίθετο . Αυτό το αξιοση μείωτο ψηφιδωτό σχέδιο βασίζεται σε ένα αρ κετά γνωστό Ευκλείδειο μοντέλο, που επινο ι1 θηκε από τον HenΓi Poi nc:πe για το μη Ευ κλείδειο υπερβολικό επίΠεδο.

Ε Υ ΚΛ Ε ΙΔ Η Σ Β ' λ. γ. τ.4/26

Εικόνα 1

Ί"cι μuΟηματικιί όι:\' ::ί \'ΙΗ μtΙ\'ιι ασκίtσι: ις

Α ν κ6ποιος νομίζι:ι ότι είναι εύκολο να ε

πινωiσει σχέδια τέτοιου είδους, αφιiστε τον να δοκιμάσει. ''Μερικές φορές, όταν σχεδιάζω, αισθάνομαι σαν μέντιου μ που ελέγχεται από τα πλάσματα, τα οποία εξορκίζει" είπε κάποτε ο Esc heιΌ " Ε ίναι σαν να αποφασίζουν αυτά τα ίδια για το σχιiμα με το οποίο Οα Οελιiσουν να εμφανιστοί>ν . . . Ο σχεδ ιασμός μιας οριακιiς γραμμιi ς είναι πολύ δύσκολη εργασία, γιατί ζωγραφίζονται μ' αυτήν δύο διαφορετικά σχέ δια την ίδια στιγμιi . Το μάτι όμως και ο νους δεν μπορούν να απασχολούνται ταυτό�Jονα με δύο πράγματα. Γ ι ' αυτό πρέπει να γίνεται έ να αδιάκοπο πήδη μα του ματιού από τη μια μεριά στην άλλη . Ίσως όμως αυτιi η δυσκολία να είναι και η κινητιi ρια δύναμη της επιμονής μου" . Θα χρειαζόταν ένα βιβλίο, για να αναφερ θούμε σ ' όλους τους τρόπους, με τους οποίους τα φανταστικά ψηφιδωτά σχέδια του Escher εικονογραφούν νόμους της συμμετρίας, της θεωρίας των συνόλων ή της κρυσταλλογραφί ας. Ένα τέτοιο βιβλίο πράγματι έχει γραφεί α πό την Caro l i n e Η. MacGi l l aνΓy τόυ Πανεπι στη μίου του Ά μστερνταμ με τίτλο " S y m mctΓy

A spec ts o t· Μ . C . Esc heΓ' s PeΓi odi c D nιw i n gs " .

Η γοητεία που ασκεί η τοπολογία και τα παι

χνίδια της πάνω στον EscheΓ, εκφράζεται σε αρκετά έργα του . Σ το πάνω μi:ρος της ξυλο γραφίας "Κόμβοι" (εικόνα 2 ) , βλέπουμε δύο συμμετρικές μεταξύ τους μορφές του κόμβου, που σχη ματίζει τριφύλλι. Ο κόμβος πάνω αρι στερά κατασκευάστηκε από δύο μακριές επί πεδες ταινίες. που τέμνονται κατά ορθιi γωνία. Αυτιi η διπλιi πλέον ταινία, περιστράφηκε μια φορά πριν ενωθεί στα δύο της άκρα. Είναι μια μονιi ταινία που διατρέχει δύο φορές τον κόμ βο ή αποτελείται από διακριτές μεν, αλλά τε μνό μενες ταινίες του· Mδbi us. Ο μεγάλος κόμ βος, που βρίσκεται στο κάτω μέρος της εικό νας 2 αποτελείται από ένα σωλtiνα τεσσάρων εδριον, ο οποίος έχει στραφέί κατά ένα τέταρ το του κύκλου, ώστε ένα μυρμιiγκι που περπα τά στο εσωτερικό του σε έναν από τους κε ντρικούς διαδρόμους, να διατρέξει τέσσερεις φορές όλο τον κόμβο, πριν επιστρέψει στο σημείο, από το οποίο ξεκίνησε.

Ε ικό\•α 2

Ο Escher τους τελευταίους μήνες της ζωιi ς του άρχισε να γίνεται γνωστός μεταξύ των μαθη ματικών και των επιστη μόνων της ε ποχιiς (που ήταν οι πρώτοι που τον εκτίμη σαν). Στο ευρύτερο κοινό και πιο ειδικά στους νέους έγινε γνωστός αργότερα. Μπορεί να δει κανείς πλέον τα έργα του οπουδήποτε, σε ε ξώφυλλα μαθη ματικών περιοδικών, σε εξώ φυλλα δίσκων μουσικής Roc k , ψυχεδελικά πόστερς ακόμα και σε μπλουζάκια.

Ι. 2.

Βιβλιογραφία

Μ . Gardner: Το πανηγύρι των μαθηματικcό ν, (σ. 90- 1 0 1 ), εκδ. Τροχαλία, Αθήνα

1 986.

Β. Ci pra :

Wlιat 'Δ·

lιappen ίιιg

ίη

ηιαt/ιeηιαtίcιι/ .ιιcίeηι-eΔ·, νοl . 4 (pp.

1 1 3), 1 999.

Ameri c an

Mathemat i c al

tlι e

1 03-

Soc i ety

Ε. Καμπάνη : Η αξιοποίη ση του έργου του Μ. C. Esc her στη διδασκαλία των με τασχη ματισμών στην Ευκλείδεια, υπερ βολική και σφαιρική γεωμετρία, Πρακτι κά (υπό έκδοση) του 4ου Πανελλιiνιου Συ νεδρίου Γεωμετρίας, Ρίο Μάιος 1 999.

Ε\' Κ Λ Ε ΙΔΗΣ Β ' λ.γ . τ.4/27

ΑΙΑΘΙΙΑΙΑΤΙ«Α ΠAPAJJOSA ltA Ι ΑΙΑΘ 11 AIAT Ι Ι( Α Π ΑΙ Χ 11 Ι JJI Α 1Jrw ΑfΥΙΙόJΙe

Υπεύθυνοι στήλης: Κατραμάδος Σ. - Σπανδάγος Β. - Τζιάμος Χ.

ΕοκJeίleιΙ Αίrιιιι• του Βαγγέλη Σπανδάγου

Θα υπολογίσουμε το άθροισμα των γωvtών ε νός τριγώνου ΑΒΓ αγνοώντας το ευκλείδειο αίτη μα. Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε από το Α ευθεία τυχαία που τέμνει την ΒΓ στο Δ. Έστω α το άθροισμα των γωvtών του τριγώνου ΑΒΔ. Έχουμε α = χ + ω + φ ( I )� Για το τρίγφνο ΑΔΓ έχουμε πάλι α = ψ + σ + τ Α

(2).

χ 5-5 χ-7 ' χ 5χ- -57(χ - 7) ' 40 4χ 4χ -40 (1). χ - 7 13 - χ χ -7 -(13 -χ) � -7 -13. +

' ' η εξισωση Δινεται

γραφεται ισοδυναμα

4χ -40 13 - χ 4χ - 40 ' 13 - χ

που

Επειδή οι αριθμητές είναι αντίθετοι, θα έχουμε = = Να βρεθεί το λάθος.

Απάντη ση Ο έχει λύση Η εξίσωση για χ = Ο. Η λύση αυτή κάνει τους αριθμητές ίσους με μηδέν και τους παρανομαστές διάφορους του μηδενός. Επομένως, το παράδοξο οφείλεται στην εξίσωση των παρανομαστών.

(1) (χ - 7)(13 - χ) *

Ενlλ πp68λιιμΑ lιΑιpετ6τιιτΑs

( 1)

Από και (2) προκύπτει με πρόσθεση 2α = χ + ω + φ + ψ + σ + τ Για το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε α=ω+χ+ψ+τ Οι και με αφαίρεση δίνουν α = φ + σ. Είναι όμως φ + σ = Άρα είναι α = Είναι σωστή ή λανθασμένη η προηγούμενη πορεία;

(3).

(3) (4)

(4).

180°.

Απάντηση Είναι λανθασμένη διότι δεχθήκαμε ότι το ά θροισμα των γωvtών και των τριών τριγώνων είναι το iδω α.

ΕΥΑ ΠΑιχνίlι κι ένΑ ΠΑpίλlο[ο

της Ρούλας Σπανδάγου Ένας μαθηματικός έθεσε το εξής πρόβλημα στους μαθητές του: ''Να βρεθεί ένας αριθμός που αποτελείται από τρία 2 και που να διαιρείται από τον Ένας μαθητής του έγραψε ότι αυτό είναι αδύνα το, διότι ο αριθμός 222 δεν είναι δυνατόν να διαφεί ται από τον αριθμό Φυσικά ο βαθμός που πή ρε ήταν ανάλογος στη λύση που έδωσε. Γιατί;

16384. "

16384.

Απάντηση 2 Από τρία 2 προκύπτουν οι αριθμοί 222 ή 22 ή 2 ή 222 • Είναι 222 < 22 < 222 < 22 και 2 = = Άρα ο αριθμός 222 (που αποτελείται από τρία δύο) διαιρείται από τον αριθμό

222 16384

16384, 16384, 4194304 16384 ·256. 16384.

του Χρόνη Αντωνιάδη

ΤέιηιεpΑ ΜΑiιιμΑτικίλ 1fΑιχνίlιΑ

Να γραφτεί ο αριθμός με μορφή ενός α θροίσματος που να εμφανίζεται ο πέντε φορές.

Απάντη ση Είναι

31 27 3 1 33 3 + � =

* * *

του Δημήτρη Γ. Φαλιέρου

α)

Ψίθυροι 1

•••

ι Από το "Διαφορικός και Ολοκλη ρωτικός Λογι σμός. Μια εισαγωγή στην Ανάλυση " του Μ. Spi νak, Π. Ε .Κ. (Ελληνική μετάφραση), Ηράκλειο, 1 995.

ΕΥΚ ΛΕΙΔΗΣ Β' λ . γ. τ .3/28

Μαθηματικά Παράδοξα και Παιχνίδια

Ας φανταστούμε ένα πλήθος ανθρώπων σε μια σειρά: άνθρωπος ο 1, άνθρωπος ο 2, άν θρωπος ο 3, ... Ψιθυρiζουμε στο αυτί του ανθρώπου, ο οποίος στέκεται πρώτος στη σειρά ένα μυστικό. Επιπλέον, ο καθένας από αυτούς τους ανθρώπους έχει λάβει την οδηγία να ψιθυρiζει κάθε μυστικό που ακούει στον αμέσως επόμενό του (τον μπροστινό του). Να εξετάσετε αν τελικά όλοι αυτοί οι άνθρωποι, όσοι και αν είναι, θα μάθουν ή όχι το μυστικό (με την προϋπόθεση ότι οι συνομιλίες γίνονται ψιθυριστά στο αυτί και μόνο προς τα εμπρός και οι άν θρωποι αυτοί δεν παiζουν το «χαλασμένο τηλέφω νο») δικαιολογώντας την άποψή σας. Ν

ότι

Απάντηση

Αν ονομάσουμε Ρ(ν) τον ισχυρισμό ότι «ο ν οστός στη σειρά άνθρωπος θα μάθει το μυστικό>>, τότε το ότι ψιθυρίσαμε το μυστικό στον 1 ° άνθρω πο σημαίνει ακριβώς ότι ο Ρ( 1) είναι αληθής. Από την άλλη, οι οδηγίες που έχουν δοθεί (ο καθένας να ψιθυρiζει ό,τι ακούει στον μπροστινό του) μας εξασφαλiζουν σαφέστατα ότι, ο Ρ(ν + Ι) αληθεύει, όποτε αληθεύει ο Ρ(ν), δηλαδή, η αλήθεια του Ρ(ν) συνεπάγεται κάθε φορά και την αλήθεια του Ρ(ν + Ι). Άρα, σύμφω�α με την Α.τ.Μ.Ε (Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής) όλοι οι άνθρωποι, όσοι και αν είναι, θα μάθουν τελικά το μυστικό. β)

διότι επειδή αφού εξ υποθέσεως Ακόμη η ισότητα οδηγεί στο άτοπο γ)

2χ - 2Υ = Ο, 2χ = 2Υ, x = y. 2χ + 2y = 2y 2χ = Ο.

Μαντέψτε ποιό ς ...

Σκεφτείτε έναν τριψήφιο αριθμό. Επαναλάβε τε τον αριθμό που σκεφτήκατε δίπλα στον εαυτό του, ώστε να προκύψει ένας εξαψήφιος αριθμός. Διαιρέστε αυτόν τον εξαψήφιο αριθμό το 7. Τον αριθμό που βρήκατε διαιρέστε τον με το 13. α ριθμός που προκύπτει είναι αυτός που είχατε σκε φτεί. ν π.χ. είχατε σκεφτεί τον 1 23 ο αντίστοιχος εξαψήφιος θα ήταν ο 123123 και οι διαδοχικές διαιρέσεις με τους 7, 1 1 και 13 θα έδιναν: 1 231 23 53 Ι �7589 65 9 41 � 3 29 Hh62 108 99 39 63 Γιατί συμβαίνει αυτό; με

Απάντηση

Ένα ίσον κανένα ...

Πού είναι το λάθος στην «Απόδειξη» που α Έστω φχψ ο τριψήφιος αριθμός. Άρα ο εξα κολουθεί; ψήφιος που σχηματiζεται σύμφωνα με οδηγίες Έστω x = y. Τότε συμπεραίνουμε διαδοχικά με την «μέθο θα είναι της μορφής φχψφχψ. Όμως είναι δο του άρα» ότι φχψφχψ =4 3 2χ = x + y, 5 zx x + = 10 φ + 10 χ + 10 ψ + ΙΟΖφ + 10χ + Ψ = 2 = 2 y, z zx _ x + 2 = 102φ(103 +1) + 10x( I Q3 + Ι) + ψ (103 + 1 ) = 2 2 y = 2 y 2 y, (2χ + 2Υ) (2χ : 2Υ) = 2y (2χ - 22Υ), (103 + 1)(102φ + 10χ + ψ) = 1 00 1· φχψ. 2x + 2y = 2Υ· 2χ + = 2χ, Όμως η ανάλυση του 1001 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων έχει ως εξής: x + l = x, 1 = 0. 1001 7 143 11 Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα 13 13 της διαγραφής στην ισότητα 1 x x (2χ + 2y)(2 - 2y) = 2y(2 - 2Υ) και διαγράφουμε τους παράγοντες 2χ - 2Υ εκατέ δηλαδή 1001 = 7·11·13. ρωθεν του «=», Άρα φχψφχψ = 7·11·13·φχψ. τις

Απάντηση.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ .γ . τ.4/29

Μαθηματικά Παράδοξα και Παιχνίδια

δ ) Μια «σπαζοκεφαλιά» με κρίκους και πασ σα' λουςι

Διαθέτουμε τρεις πασσάλους με μερικούς ο μόκεντρους κρίκους τοποθετημένους ο ένας πάνω στον άλλο κατά φθίνουσα διάμετρο, περασμένους μέσα σε ένα πάσσαλο, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.

τούνται τουλάχιστον κινήσεις. Ομοίως αν διαθέ τουμε κρίκους απαιτούνται τουλάχιστον + κινήσεις (ποιες;). Άραγε πόσες τουλάχιστον κινήσεις απαιτούνται, αν διαθέτουμε έναν οποιον δήποτε αριθμό, έστω ν, κρίκων και πώς συνδέεται αυτός ο αριθμός με το πλήθος των κινήσεων; Παρατηρούμε ότι, κίνηση, απαιτείται τουλάχιστον απαιτούνται τουλάχιστον κινήσεις, απαιτούνται τουλάχιστον κινήσεις, απαιτούνται τουλάχιστον κινήσεις, Ισχυριζόμαστε ότι, για ν το πλήθος κρίκους απαιτούνται τουλάχιστον 1 κινήσεις. Θα αποδείξουμε τον ισχυρισμό στηριζό μενοι στην Α.τ.Μ.Ε. (Αρχή της Μαθηματικής Ε παγωγής). Ήδη έχουμε αποδείξει ότι ο ισχυρισμός μας αληθεύει ν (όπως βέβαια και για ν 4). Υποθέτουμε ότι ο ισχυρισμός μας αληθεύει για κάποιον θετικό ακέραιο, έστω ν (επαγωγική υ πόθεση). Θα αποδείξουμε ότι ο ισχυρισμός μας αλη θεύει και για τον επόμενό του, τον ν 1. Πράγματι αν διαθέτουμε ν το πλήθος κρί κους, τότε σύμφωνα με την επαγωγική μας υπόθε ση, μπορούμε να μετακινήσουμε τους ν μικρότε ρους κρίκους της στοίβας στον δεύτερο πάσσαλο με τουλάχιστον 1 κινήσεις, κατόmν να τοπο θετήσουμε τον ν Ι-στό μεγαλύτερο και εναπο μείναντα στον πρώτο πάσσαλο κρίκο, από τον πρώτο στον τρίτο πάσσαλο και τέλος, σύμφωνα και πάλι με την επαγωγική μας υπόθεση, να μετα κινήσουμε τους ν κρίκους από τον δεύτερο στον τρίτο πάσσαλο με τουλάχιστον 1 κινήσεις. Σύ νολο κινήσεων: 7

7+ 1

για ν=1

για ν=2

για ν=3

2 1-1

22-1

23-1

για ν=4

Ένας κρίκος εmτρέπεται, από την κορυφή της στοίβας να περάσει σε άλλο πάσσαλο, υπό τον όρο να μην τοποθετηθεί πάνω σε μικρότερο (δηλαδή μικρότερης διαμέτρου) κρίκο. Για παράδειγμα, αν ο μικρότ?ρος κρίκος μετακινηθεί από την κορυφή της στοίβας στον δεύτερο πάσσαλο και ο αμέσως επόμενος στον τρίτο, τότε ο κρίκος μπορεί από τον δεύτερο να τοποθετηθεί επίσης στον τρίτο πάσσα λο πάνω από τον άλλο κρίκο. Το ερώτημα είναι το εξής: Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που απαιτούνται για να μετακινηθεί η όλη στοίβα των κρίκων στον τρίτο πάσσαλο;

24-1

2ν -

μας

για

2, 3 ,

· Απά ντηση

+ 1

Προφανώς ο αριθμός των κινήσεων εξαρτάται από το πλήθος των κρίκων. Έτσι, αν διαθέτουμε κρίκο προφανώς απαιτείται 1 κίνηση, ενώ αν δια θέτουμε κρίκους απαιτούνται κινήσεις και όχι λιγότερες (οι κινήσεις που περιγράφονται στην εκ φώνηση του προβλήματος). Αν διαθέτουμε 3 κρί κους, τότε μπορούμε να τους μετακινήσουμε στον τρίτο πάσσαλο ως εξής: Με κινήσεις μετακινού με τους μικρότερους κρίκους (που βρίσκονται πάνω-πάνω στη στοίβα των τριών) στον δεύτερο πάσσαλο (πώς και γιατί;). Στη συνέχεια μετακι νούμε με 1 κίνηση τον μεγαλύτερο κρίκο (που έχει = + + = απομείνει στον πρώτο πάσσαλο) από τον πρώτο στον τρίτο πάσσαλο. Τέλος μετακινούμε τους Αποδείξαμε λοιπόν ότι, ο ισχυρισμός μας α κρίκους από τον δεύτερο στον τρίτο πάσσαλο με ληθεύει τον ελάχιστο θετικό ακέραιο τον κινήσεις και όχι λιγότερες (πώς και γιατί;), σύνολο οποίο έχει νόημα, δηλαδή τον 1, και ότι κάθε φορά κινήσεις. Δηλαδή αν διαθέτουμε κρίκους απαι- που ο ισχυρισμός μας αληθεύει για κάποιον θετικό ακέραιο, αυτομάτως αληθεύει και για τον επόμενό του. Άρα ισχόει όλους τους θετικούς ακεραίους (όσους κρίκους και αν διαθέσουμε), 1

2ν +

2ν -

(2ν - 1)

2 3

(2ν - 1)

2ν + ι

για

1 Πρό βλη μα διασκευασμένο από το περίφη μο βι βλίο " Διαφορικός και Ολοκλη ρωτικός Λογισμός. Μια εισαγωγή στην Ανάλυση " του Μ . Spivak , Π . Ε.Κ. (Ελληνική μετάφραση), Η ράκλειο, 1 995.

2·2ν - 1

για

intερ Μει

δείξαι.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.y. τ.4130

ο•• �

Ρωτώντας

99 9 9

πας . . . στην πόλη

Υπεύθυνοι στήλης: Καλο μιτσίνη ς Σ. - Ντζιώ ρας Η . - Σπανδάγου Ρ.

μαθητής Λάμπρος Ντούσιας από την Κα λαμάτα μας γράφει: Ισχύει ότι Ο + Ο ί Ο (συνΟ + ίημΟ). Άρα ο α ριθμός Ο + Οί παίρνει την τριγωνομετρική μορφή Ο (συνΟ + iημΟ) με όρισμα το Ο και μέτρο το Ο. Δυστυχώς ο καθηγητής μου δεν συμφωνεί. Έχει δίκαιο;

Απαντά η Νάντια Παπαθεοφάνη :

Έχει δίκαιο εφ' όσον για τον αριθμό Ο + Οί δεν ορίζεται τριγωνομετρική μορφή.

* * *

φiλος της στήλης Γιώργος Φιλίππου από την Πάτρα γράφει: Είναι λάθος ή σωστός ο επόμενος συλλογι σμός; 3 > 2 <=> 3Ιοgιπ 100 > 2 Ιοg ι π100 ( 1) <=> Ιοgιπ1()()3 > logιιz1()()2 <=> 1()()3 > 1()()2

Αν η ευθεία που ορίζεται από το κέντρο βά ρους G ενός τριγώνου και το κέντρο του εγγεγραμμένου σ' αυτό κύκλου είναι κάθετη στην ΒΓ, τότε το τρίγωνο μπορεί να είναι ισοσκελές.

ΑΒΓ

* * *

Συνάδελφε Αντώνη Ολύμπιε σε καλοσωρί ζουμε στην οικογένεια των μαθηματικών με την προτροπή να γίνεις μέλος της Ε.Μ.Ε. Ερχόμαστε τώρα στο ερώτημα σου πού ομολογουμένως η α πάντηση μας ταλαιπώρησε. Σύμφωνα με τον πρώην πρόεδρο της Ε.Μ.Ε. αριθμός του Mersenne καθηγητή Θ. Μπόλη ο (της μορφής 2Ρ - I όπου ρ είναι αριθμός πρώτος) βρέθηκε την Ι η Ιουνίου και είναι ο αριθμός ψηφία ( ! !). 26972593- 1 που έχει

38ος 1999 2. 098.960

(2)

Διόα κt ι κή

Απάντηση από τον Σταύρο Κατραμάδο: Είναι λάθος, διόn lοgιπ100 < Ο . Άρα η αλλάζει φορά. Επίσης η συνάρτηση log ι12x είναι γνησίως φθίνουσα, άρα για Ιοgιπ χι < Ιοgιπ xz είναι Χ ι > xz.

(1)

μαθητής της Α' τάξης του Λυκείου Λε σθονίτης Πάνος από τη Θεσσαλονίκη θέλει να μάθει τι σημαίνει ο συμβολισμός

Μεθοδολοyικtς οδηyίες και πλούσιο εκπαιδευτικό υλικό yια τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Λ' και Β' Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόyραμμα του Π α ιδαyωyικού Ινστιτούτου και το

( 1 ):

* * *

Αγαπητέ Θωμά Κατσαϊτη: Διαφωνούμε στη διατύπωση του θεωρήματος. Η ορθή δuιτUπιοση είναι:

ΓΙΑΝΝΗ θΩΜΑίΔΗ ΑΝΔΡΕΑ ΠΟΥΛΟΥ

Απάντηση από τον Θωμά Μουγιάκο: Ο συμβολισμός ( I ) ισχύει σε κάθε τρίγωνο και σημαίνει ότι το γινόμενο των μέτρων των υ ψών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι μικρότερο ή ίσο από το γινόμενο των μέτρων των ακτίνων των παρεγ γεγραμμένων κύκλων του τριγώνου. Το ίσον ισχύ ει όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευ ρο.

tns

Ευκλeίόeιαs ΓΕ QμΕ tpίαs

* * *

υ ι υ2 υ3 � ρ ι ρz ρ3

ΝΕΟ σχολικό βιβλίο

Κάθε κεφάλαια περιλαμβάνει:

•

« ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

Επισκόπηση της ύλης

•

Ανάλυση θεωρητικών ζητημάτων

•

Ασκήσεις και προβλήματα

• •

•

θtματα δραστηριοτήτων στην τάξη Μελtτη ειδικών σχημάτων Ιστορικά προβλήματα και προβλήματα εφαρμοyών

•

Ερωτήσεις προφορικής εξtτασης και αξιολόyησης

•

Εκτενή βιβλιοyραφία

•

θtματα συνθετικών δημιουρyικών ερyασιών

Ε ΚΔΟΣΕΙΣ

ΖΗΤΗ

Η ad.,.. p ιι:ι -ι4ιt1-1. Δ-ιαr ωtt-ιd fLt1-1. Η ad� μ ιιτιιιιέ ι; Ο J.ιι μ�ιιΑ.�ε ι;

Υπεύθυνοι στήλης: Δούναβης Α. - Σκοτίδας Σ. - Τυρλής L

Πpοrειvόμ εvα Ρέματα yια rιι 6rιί:Jιι rωv IJ Jvμ πιάl ωv

του 1.

'Εστω αο, α1 ,

•••

{ �) { �) «ο -

αι -

+ε

+ ... + ε

{ �) «π -

Λύ ση

Απο δ εικνυουμε ' πρωτα πως αν Χο,

ΧοΧι ... Χο

�n

n +l

(Ο,�)

«π αριθ μοί του δια στή ματο ς

Σωτήρη Σκοτίδα

ώστε

π � n - 1. Δείξτε ότι εφαο εφα1 • ... • εφαπ � n • ι . ·

χ ι , . . . ,Χn

ετικοι

1 + -- + + -- :::;; 1 , τοτε' " 1 -αριθμοιωστε+ Χο + Χι + 1

.. .

Απόδειξη

ί- ι

βί + ι· . . .

Θέτου ιιΡ 1 +1 - = β· α'ρα χ· = .!....:...fu {Ο 1 } οποτε Χο Χι . . .Χn (1 βο)(lβο β ιβ.ι). . βD(l βn) βn) από 1 βί � βο βn � n · (βο βι . β ανισότητα αρι μ β ·βη) · (β β · βn-ι) βn) · Άρα π Α-· β 1 +. . .+ εφαηεφαη -1 δοθείσα ανισότητα γράφεται 1εφ+αοεφαο- 1 1 �n (n + 1 ) \1 + 1εφαο + 1 1εφαι +. . .+ 1 + 1εφαn) 1 1 1εφαο + 1 + 1εφαι + .+ 1 + 1εφαn Θέτοντας = εφ<Χϊ .. ι-

I '

βί

ν 1• \-1

,..., n

+ β ι + . . . + βί - ι + βί + ι + . . . + Όμως παρατηρούμε ότι θ ητικού γεωμετρικού μέσου . n

i=O

> n

Xi -

(β ι · �z . .

Ι�

n·(βο· z· . . . . t-'\1 I . . . · β 0 +

,...., ,....,

+ > Ο, ί = Ο, 1 , 2, . ,

η,

ι�

εφ α ι 1 + ε ψαι

� η

ο ι ... ·

<=>

ι�

=η

1/n

- 1 <=> ..

Έστω Ρ εσωτερικό σημείο του πα ρ αλληλογράμμου ABCD ώ στε ΑΒΡ

:::;;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

παραλληλόγραμμο => PFB φ.

Β ' λ.γ. τ.4/32

ADP. Δείξτε ότι

Λύση

Φέρνουμε PF ισο παράλληλη της BC, δηλαδ1Ί PFB C

η + ι

+ 1 · . . . · εφαη � η η + . εφαο·εφαι παίρνουμε

PAB = PCB.

...

Μαθηματικο ί Διαγωνισ μο ί - Μαθηματικές Ολυμπιάδ ες F

....... ....... ....... .......

Όμως προφανώς και ADPF παραλληλό-γραμμο, οπότε κύκλο οπότε ω = ΡΑΒ = PFB = φ. 3.

AFP

χ=

ΑΒΡ

AFBP

εγγράψιμο

σε

Οι δ ιχοτόμοι ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τριγώνου ΑΒΓ τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Ρ, Q , , ΑΔ ΒΕ ΓΖ R αντιστοιχα. Να απο δ ει'ξετε οτι ΔΡ + + R�9 EQ Z •

[Μαθηματικές Ολυμπιάδ ες Πολωνίας - Ν. Κορέας 1996]

Λύση

α !:L ΔΓ .J!{L α + γ2 ·ΔΓ = α·ΑΔ2 + α · ΔΒ ·ΔΓ. Αλλά ΔΒ = ...! β + γ, = β + γ. ' ΑΔ _ ΑΔ2 _ ΑΔ2 _ (β + γ)2 - α2 _ 4τ(τ - α) 'Ετσι ΑΔ2 = βγ [(β + γ)2 - α2] · Τοτε - α2 . ΔΡ - ΑΔ·ΔΡ - ΒΔ·ΔΓ (β + γγ α2 Από Θ.

Stewart b2 ·ΔΒ

Ανάλογα παίρνουμε και τις δύο άλλες σχέσεις οπότε προς απόδειξη ανισότητα γίνεται 4τ(τ - α) + 4τ(τ - β) + 4τ(τ - γ) > 9 ( 1 ). β2 γ2 α2 4τ (τ - χ 'Εστω τώρα συνάρτηση > Ο, άρα f κυρτή οπότε από = 2 ), (Ο < < 3τ) με f α+ + ανισότητα Jensen έχουμε f(α) + f(β) + f(γ) � ( 1 ).

f(x)

3f ( � γ)<=>

"(χ)

ι;

Σημείωση :

τότε ισχύει Αν f κυρτή στο διάστημα Δ και α 1 , α2, , απ ε Δ και λ1 , λ2, , λπ > + αz + + λ λ α « ... π (γενικευμένες ανισότητες λ ι f(α ι ) + λz f(αz) + .. .+ λπ f(«π) � (λι + λz + . . . + λπ) / ι { � + L\ I + 2 ... + •• •

Jensen). 4.

)

•••

6 Έστω οι μη-αρνητικοί αριθμοί α, b ώστε b2 + b ::; α1 - α6• Δείξτε ότι (ί) α ::; 1 , (ii) b < ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/33

�·

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολvμπ ιάδες

Λύση (i) (ii)

Έστω αντίθετα ότι α > 1 , τότε Ο � α2 - α6 α2 ( 1 - α4) < Ο, άτοπο Παρατηρούμε ότι α2 - α6 α2( 1 - α2)( 1 + α2) � 2 διότι =

i·

i - (α2 - �γ � i με το ίσον αν α2 (�γ + (�γ � b2 b6 � α2 - α6 � �· άτοπο. α2( 1 - α2)

�- Ας είναι � �· τότε

� α �

1 => α2 �

και

Βρείτε τους θετικούς ακεραίους η, m ώστε (η + m)m = nm + 1413. Λύση ν =

Δεν είναι άγνωστο ότι (α + β)

Σ (:) α

ν . Κ'

κ=Ο

β" οπότε

η + m = η m· n m + ·η m +. .+ m = η + => => m (η + m(m - 1) η + . . . m ) . Α'λλά, καθώς 1 57 πρώτος, κατ' ανάγκη = οπότε n2 + 3n + = => η = (

)

m- t

m- 1

Έστω η ακολqυθία («ο) με «ο = 1, Λύ ση

Είναι εύκολο να δούμε ότι ακ ε

«ι =

m m m(m - 1) m - 2 2 14 1 3 · 2 m-2 m 2 - - 14 1 3 + - 3 2 · 157

2, «n

==.

«n . ι· «n _ 2

157

11.

(η � 2) . Υπολογίστε τον «ο.

για κάθε. κ .ε IN' οπότε 1og2 αη ιοg2 αη . ι

IN'*

+ ιοg2 αη .

Ο , ιοg α1 2 με ιοg2 1, δηλαδή αν bn ιοg2 αη, τότε η ακολουθία (bn) είναι η γνωστή ακολουθία 2 n Ο, Fι 2 F , όπου 1, Fn Fn . ι Fibonacci, δηλαδή bn Fn . 2 οπότε αη Fn αφού Fo 1 1 ..J5 με Fn ε IN' για καθε η . Fη 2 2

η�

αο=

= -{51 {( +

)ι )

(

- Ρ )n}

Φυσικομαθηματικές Εκδόσεις - Βιβλιοπωλείο "ΑΙΘΡΑ"

Fibonacci

Κυ κλο φ ορεί τον Απρ ίλιο : Ευαγγέλου Σπανδάγου

" Ο ι χαμένες πραγματείες του Ευκλείδ ου " •

Ψευ δ άρια • Κωνικά (στοιχεία) • Πο ρίσ ματα • τόποι π ρ ος επιφανεία • Περί διαιρ έσεων Μηχανικά • Εισαγωγή - Αρχαίο Κείμενο - Μετάφραση Σχόλια

Μερικές χρήσιμες ισότητες στην ακολουθία

Μεσολογγίου ι - Αθήνα ι 06 Τηλ.: 0 1 269 - 02 622

για κάθε

(Fn , Fn + ι )

Fm l Fmη

για κάθε m,

(Fm, Fn)

= (m, η)

Fm I Fn <=> m I

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/34

η�1

για m � 2

Ο Εuιtλείδnς προτ είνει Ευκλείδη και Διόφαvτο ...

...

Υπεύθυνες στήλης: Μαρούλη Β .

Ο καθηγητής και πρόεδρος της Ακαδημίας Αθηνών κ. Νικόλαος Αρτεμιάδης προτείνει προς λύση την εξής άσκηση: Δίνεται σημείο με συντεταγμένες (α, b ) όπου b < α. Να υπολογισθεί η ελάχιστη περίμετρος ενός τριγώνου του οποίου η μια κορυφή είναι στο σημείο (α, b ), μια άλλη κορυφή βρίσκεται στον άξονα χ ' χ (των τετμημένων) και η τρίτη κορυφή βρίσκεται στην ευθεία χ = y. (Μπορείτε να υποθέσετε ότι ένα τέτοω τρίγωνο ελάχιστης περιμέτρου υπάρχει).

.Λ.

Ο <

***

Εμείς από την μεριά μας προτείνουμε τις επόμενες ασκήσεις: 1.

Θεωρούμε κύκλο κέντρου Κ και ένα τυχαίο σ ' αυτό εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Ο το σημείο τομής · των διαγωνίων του. Έστω (Κι, ρι) και (Kz, ρz) οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΟΑΒ και ΟΓΔ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι ΚΚz :::: ρι και ΚΚι :::: ρz. Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΒΕ σταθερό κατά θέση και μέγεθος. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Α, των ισοσκελών τριγώνων ΑΒΓ, που έχουν το ευθύγραμμο τμήμα ΒΕ ως διάμεσο. Αν οι ακτίνες ρι, ρz , ρ3 των κύκλων των

Σαίτη Ε . - Χαραλαμποπούλου Λ.

εγγεγραμμένων αντίστοιχα στα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΓΔ όπου ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, συνδέοντ.αι με την σχέση ρ 12 = ρz2 + ρ32, να εξετασθεί αν η γωνία ΒΑΓ είναι ορθή.

Α Πp οτειvό μ εvεs ΑΙFΚίιΙFειs

Ε11τει.λαv Αύ11ειs

Ο μαθητής Νίκος Αλεξάκης από τα Χανιά μας έστειλε μια σωστή λύση της δεύτερης άσκησης που πρότεινε από τη στήλη μας (του προηγούμενου τεύχους) ο καθηγητής και Πρόεδρος της Ακαδημίας Αθηνών κ. Νικόλαος Αρτεμιάδης. Η

λύση του Νίκου Αλε�άκη είναι η επόμενη:

Αν α, b , c είναι αριθμοί πραγματικοί τέτοιοι ώστε α � b � c � Ο και α + b + c = 3 να

αποδειχθεί ότι αb2 + bCZ + cα2 ::;;

2;.

Λύση

Θεωρούμε ότι F (α, b, c) = αb2 + bc2 + cα2 Τότε έχουμε F(α, b, c) + F(α, c, b) = (αb + bc + cα - αbc )

= =

3 3

[( 1 - α)( 1 - b)( l - c) + (α + b + c) - 1 ] [( l - α)( l - b)( l - c) + 2] . Επειδή c ::;; 1 ::;; α θα έχουμε: ( l - α)( l - b)( l - c) $; 0 αν b ::;;

Αν 1 < b, τότε θα έχουμε:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/35

•

Ο Ευκλε ίδη ς π ροτείνει . . . Ευκλείδη κα ι . . . Δ ιόφαντο

( ; 1)2 (� 1τ Ο) i

( 1 - α)( l - b)( 1 - c) � s

= ·

Ά ρα F(α, b, c) + F(α,

�

αντίστοιχο τόξο της. Να εξετάσετε αν συμβαίνει το ίδιο και με τη διχοτόμο μιας εσωτερικής ή εξωτερικής γωνίας κύκλου.

�

F( α, c, b) - F(α, b, c) = (α - b)(b - c)(α - c) � Ο θα 2 2 είναι F(α, b, c) � , δηλαδή αb2 + bc2 cα2 � .

;

***

Από δ ειξη.

Επειδή

Δημοσιεύουμε τη λύση της πρώτης άσκησης που πρότεινε πάλι ο κ. Αρτεμιάδης. Η λύση δόθηκε από τον φοιτητή του Μαθηματικού τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών Γιώργο Δέδ ε:

Ας υποθέσουμε ότι η διχοτόμος ΕΗ της .....,_

εσωτερικής γωνίας ΑΕΒ του κύκλου Ο,,.-.,διχοτομεί ,.-., το αντίστοιχο τόξο της δηλαδή, ΑΗ = ΗΒ => χορ. ΑΗ = χορ. ΗΒ .

Να λυθεί ως προς χ η εξίσωση :

�+- � =- � ν � ν Χ+b ν α+b

α>

όπου Ο < α <b (να βρεθεί η λύση με τις λιγότερες πράξεις). Λύση Η δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

�( �Τ ( �! �( �) (� J �(� �τ (� � r (� αf} 1�( σp) � � � ) 1 -r ) + -

χ-

(2).

Το πρώτο ριζικό της (2 ) εκφράζει την

απόσταση των σημείων Α(χ, Ο) και Β

Το

δεύτερο ριζικό της (2) ,εκφράζει την απόσταση των σημείων Α(χ, Ο) και

απόσταση των σημείων Β

και το τρίτο την

·-

α και

Ά ρα το σημείο Α(χ, Ο) βρίσκεται στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία Β και Επομένως είναι α α αb b b , · - η χ = --. χ = -- · - + α+b α+b 2 α+b 2

Eva πpωτότvπο yεωμετpικό

Ρέμα ή

Γ.

Αν από το Η φέρουμε τις κάθετες ΗΖ και ΗΘ στις πλευρές της γωνίας, τότε είναι ΗΖ = ΗΘ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΗΖΑ και ΗΘΒ προφανώς είναι ίσα (έχουν μία κάθετη πλευρά τους ίση και τις υποτείνουσές τους ίσες) άρα .....,_

.....,_

ΗΒΘ = ΗΑΖ . Αυτό σημαίνει ότι το τετράπλευρο ΕΑΗΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Δηλαδή, ο κύκλος Ο που περνά από τα σημεία Α, Η, Β πρέπει να περάσει και από το Ε. Πράγμα όμως άτοπο, διότι θεωρήσαμε ότι η γωνία ΑΕΒ είναι εσωτερική στον κύ κλο. Συμπέρασμα: Η διχοτόμος της εσωτερικής γωνίας ενός κύκλου δεν διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο της. Το ίδιο συμβαίνει και με την εξωτερική γωνία του κύκλου. Παρατήρηση : Εξαίρεση έχουμε βέβαια στην περίπτωση που η διχοτόμος της γωνίας διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, δηλαδή όταν οι αποστάσεις του κέντρου του κύκλου από τις πλευρές της γωνίας είναι ίσες.

του Θωμά Μουγιάκου

Είναι γνωστό ότι η διχοτόμος μιας επίκεντρης μιας εγγεγραμμένης γωνίας, διχοτομεί το ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β' λ.γ. τ.4/36

ΤΟ ΤΕΛΕΥΊΑΙΟ θΕΩΡΗΜΛ rQ}' ΦΕΡΜΛ SimQn, Sin.gh Το βtβλία----σαν ένα μαθηματικό

"νοvάρ "....: εξιΊQορεi τα μαθημαi'//"ά αn,rf ταυς [Jυθaγόριους μέΧJ>ι τον

�Υ'fρtου Ουάιλζ στο πλαίσιο μιας ' aγωνtώδους αναζήτησης για επfλυση του πιο διάσημου μαθηpmικού προ

βλήματος της εποχής μας.

το ΠΟΤΑΜΙ τοΥ ΧΡΟΝΟΥ RttitrJρί(l της μελέτης του ΧΡόνου, από τους IF"""""'"'""'""""91

αpχαί()'ΙJ� Ίi.λλην�ς μέχpt σήpεpα. Επiοης η,ερι,(pάφονταz πρrJ;τότυπα και με σαψήνεια

αrfz�� Λ,ε �πε/f(α όμως

σε

η &pνατότητα κατασκεvής

��ς σύr.rρονων θεωpuιlν

ΧfJΟνομηχανών, η::ανωμαλη ροή του χpόνου (σε

μαyρες ή λεVjfς,ψιJπες) Κ(lt η πzθ((νή πηγή rου Ποτ«Ρ,ού του. Χρόνου .

Ο ΜΥΣτJΚΟΣ ΔΕΙΠΝΟΣ John. L. Casti

Ο Ά. Τι ούρzνγκ, ο Λ. Βiτγκενσταϊν, ο Τ . Χαλντέzν και ο Έ. Σρέντινγκερ

. ΑΜΟΙΙΑΡΜΕΝΕΣ :ΜΕΓΑΛΟΦΥΙΕΣ Ηακαδημα'i7'ή κοινότη τα

πρόσκληση σε δείπνο από τον Τ. Σνόοv, με σχοnό να συζητηθεί το κατά πόσον m υnολοyι

μiστρια προς τους ερευνητές

που προσπαθούν να σκεφτο ύν με αντiθετο τprJno απ' αυτήν. Το βι /Jλiο παρ�υσιάζει πολ

mικiς μηχανές θα αnιnαήοουιι ΠΖ

λούς διάσημους

δυνατότητα να σκέnιοντm όπως οι Ξετυλiyοντας το vήμα της φυσικής από ιον Πυθαγόρα

"εκ iων υστέ

fJων " επιστήμονες,

άνθρωπm.

ΊΌΥΠΥθΑΙΌΡΛ Μ. Wertheim

F. DiTrocchio

εiναz συχνά aνόητα κομφορ

δiχονται μzα

� ... .�.:.z.�...,nι.

p;'f'l

ΚΛΩΝΟΣ Gin.a Kolata

(lφη�drzk�Άn(lρoυ" '

σίαση της προσπάθiιaί; τliJ'ν επιστημόνων για κλωνqποiηση,

Το βifJλio

μέχpt σήμερα, η συγγραφέας

μελετά το ρόλο της γvναiκας

γραμμένο με δημοσιογραψική αnόΧJ>ωση:

στην ιστορία της επzστήμης.καz επwημαίνει τα εμπόδια που εγέρθη:ιcαν από την iδza iην

'Ανι:i#τύσσετατ·r( .,. . . . ιdτοpi(l τ,ης !jτόλι, το μεΛiον της κ,. . ιωνι)ποιrισrJ'ς.

επιστημονική κοινότητα.

ISABELLE STENGERS ·

άναζηπJνiι:ις iήν ταυτότητά της αγωνW μιας επιστήμης να λύσει τizς θέσης της στο εσωτερικό εvκυκλοπαiδειαc Ποόκε:ιται μια κολοσσuιία τοι'ΧΟγρα-

Από τις αποκρυψιστικές πpα1στικές των α):χημzσ:tών ώς τη σ γχpονη υποταγή της στη φυσική, στη '{hολογία • και οτη βιομηχανική παραγωγή, η ιστορία της Χ1Ζμεuiς αποτεΧεi μιά περιπέτεια εξαψετικά εύγλωπη γw · την fιoptίa · της δυτικής επιστημονικής σκέψης. Στο βιβλiο αυτό εμ:φι:ινiζοvμp ολα ta

ΕΠΙΣΚΕΥθΕΙΤΕ τΗ ΣΕΛΙΔΑ ΜΑΣ - ΔΙΑΒΑΣΤΕ www.

. /an .Stewart

Πα{ζει ο Θεός ζάρια ?

boρk.cώture.ιπ/tra,νιo�lil

Από τις eκοόσeις μιι5 κt!t(λοφοροV:Jι:

DaviιHluelle

Τύχη και χάος

John Polkinghorne

Επtσ'tήμη ή θεό Τι είναι η ζωή; Eruιi1J:..$chrodinger ο Κοντά Ο't ν άνθρ Eruιi71 Sehroάinger Σκέψεις Ή , ' ,:Weri,et J!eisenberg Είναι ο θεός Γεωμέτρης; · ι an Stewart

Χάος και κοσμολογία

•

Μια 'Ιrαtάτα Dιade

Η εικονική πραyματικότητα Cώuάe Cιuloz ·

Ο ι γνωσιακές

Το

επισ'tήμες J-G. Ganasda

τυχαίο σύμπαν

Paul C W.

hatlies

ΚtJλλfβpομWυ 54a,

•·

t.Πtκός ()(κος Π. Ί'ΡΑΥΛΟi Αθήνα ΤηλιWνα: 18 14 410 J8 1J 591 . Fax: J8 28 174 •

η�

Barry Parker

f.teem.an Dyson Etienne Κlein

Robin Hernum

Υπεύθυνοι στήλης : Βλαχούτσικος Γ. - Ευσταθίου Β . - Κυ ριαζόπουλος Δ.

Σπανδάγος Β.

Β'

Ο Ηλίας Καρβούνης, μαθητής της Λυκείου από τη Λάρισα, μας έστειλε την εξής άσκηση:

+ ν + 1) + ν(- l)ν

Δίνεται το πολυώνυμο:

Δίνεται ο ακέραιος αριθμός α = ν(ν - l)(Ψ

* * *

Να δειχθεί ότι ν - ι I α. (ν Ε Ν*).

+ (·l)ν.

Ρ (χ) = (αz - βγ) χz γz - αβ με (βz - γα)χ Α r = 3αβγ και α, β, γ Ε JR.. ν α3 β3 α β γ 'Φ Ο, να δείξετε ότι το Ρ(χ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

+ +

(Αθανασίου Κων/να 2° ενιαίο Λύκειο Τρικάλων)

Λύση

Προφανώς είναι ν - Ι I ν(ν - I )(VZ + ν + 1 ). Άρα αρκεί να δείξουμε ότι ν - Ι / ν(- Ι Γ 1 + (-l)v (1) Έστω ότι ν είναι περιττός. Τότε ο ν 1 είναι άρnος. Άρα είναι ν(- Ι )ν- Ι + - 1 )ν = ν - Ι . Άρα η (1) ισχύει. Έστω όn ο ν είναι άρτιος. Τότε ο ν - 1 είναι περιττός. Άρα έχουμε ν(- Ι )ν - Ι + (-Ι)ν = -ν + Ι = -(ν - Ι ). Άρα η 1) ισχύει. -

(

* * *

Ο Ανδρέας Μπίκος, μαθητής της Γ' Λυκείου από την Λάρισα, μας έστειλε την επόμενη άσκηση. εξίσωση δ ειχθεί η ότι ί α μόνο ρίζα μ ln(x 1) + xi + χ 6 = Ο (1) έχει στο IR.. Να -

Πρέπει να είναι χ 1 > Ο <=> χ > 1 . Προφανής ρiζα είναι η χ = 2 . Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλη ρiζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση = 1) + χ2 + χ - με Α = ( Ι , +οο) . χ 1) ο = _1_ 'Εχουμε χ - 1 + 2χ + 1 = χ(2χ - � > . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (1, +α:>). Επομένως, η γραφική της παράσταση συναντά τον άξονα χ'χ σ ' ένα το πολύ σημείο. Η εξίσωση ( 1 ) επομένως έχει μια μόνο ρiζα. Λύση

f(x) In(x f'(x)

Λύση

Από τη γνωστή ταυτότητα του Euler έχουμε 1 α3 + β3 + γ3 - 3αβγ = 2< α + β + γ) · · [(α - βγ + (β - γγ + (γ - αγ]. Από τη στιγμή που ισχύει α3 + β3 + γ3 = 3αβγ, θα πρέπει 2<1 α + β + γ) [(α - βγ + (β - γγ + (γ - αγ] = Ο.

Όμως α + β + γ 'Φ Ο, επομένως προκύπτει ότι βγ + (β - γγ + (γ - αγ = Ο. (α Οπότε, υποχρεωτικά θα έχουμε:

{ ;��=�= ;:� }

α = β = γ = κ (1) γ - α = Ο <=> γ = α Άρα Ρ(χ) = (α2 - βγ)χ2 + (β2 - γα)χ + γ2 - αβ � Ρ(χ) = (κ2 - κ ·κ)χ2 + (κ2 - κ · κ)χ + κ2 - κ · κ <=> Ρ(χ) = (κ2 - κ2)χ2 + (κ2 - κ2)χ + κ2 - κ2 <=> Ρ(χ) = Ο· χ2 + Ο · χ + Ο <=> Ρ(χ) = Ο Συνεπώς, το Ρ(χ) είναι το μηδενικό πολυώνυ μο. * * *

Να προσδιορίσετε πολυώνυμο Ρ(χ) τρίτου βαθμού όταν ισχύουν Ρ(Ο) = Ο και Ρ(χ) - Ρ(χ - 1) = χ1 για κάθε χ Ε IR.. Κατόπιν να δείξετε ότι ιz 21 3z Ψ = Ρ(ν) .

+ + + + •.•

(Χαντζιάρα Μαρία Λύκειο Φαρκαδόνας)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/38

______ Η Στή λη

του μαθητή

5+1

Λύση

<=> ι - -- <=> - 6

Το πολυώνυμο Ρ(χ) είναι τρίτου βαθμού, οπότε θα έχει τη μορφή: Ρ(χ) = αχ3 + βχ2 + γχ + δ (1), αλλά Ρ(Ο) = Ο (2) οπότε έχουμε: (2) β ' βήμα: Υποθέτω ότι η (9) ισχύει ν = κ, Ρ(Ο) = α · 03 + β·02 + γ ·Ο + δ <=> δηλαδή; α · 03 + β·Ο2 + γ ·Ο + δ = Ο <=> 1 ο + ο + ο + δ = ο <=> δ = ο. 2""- + � 3"-- + 1 1 2 + 22 + 3 2 + ...+ - 1 (10) . Ά ρα: Ρ(χ) = αχ3 + βχ2 + yx, (3 ) αλλά Ρ(χ) - Ρ(χ - Ι ) = χ2 γ ' βή μα: Θα δεiξω ότι η (9) ισχύει για ν = κ + 1 , Έχω: Ρ(χ) = αχ3 + βχ2 + γχ (4) δηλαδή : και Ρ(χ - Ι ) = α(χ - Ι )3 + β(χ - Ι )2 + γ(χ - Ι ) (5 ) (5) γίνεται: Η (3) λόγω αχ3 + βχ2 + γχ - [α(χ - ι γ + β(χ - ι γ + γ(χ - 1 )] = χ2 <=> <=> αχ3 + βχ:z + γχ - [α(χ3 - 3x:z + 3χ - 1 ) + Από το Α' μέλος έχω: 2 1 2 + 22 + 32 + ... + ιc2 + (κ + ιγ +β(χ2 - 2χ + Ι ) + γ(χ - Ι )] = χ <=> 1 2 + 1 + (κ + 1 \2 (�) 3"" 1...3- + � <=> αχ3 + βχ:z + yx _ (αχ3 _ 3αχ:z + 3αχ α + J � + βχ:z - 2βχ + β + yx - Ύ) = x:z <=> 1 = 6 [2κ:3 + 3ιc2 + κ +6(κ + 1 )2] <=> αχ3 + βχ:z + yx _ αχ3 + 3αχ:z 3αχ + α _ = [2κ:3 + 3ιc2 + κ + 6 (κ2 + 2κ + 1 )] - βχ2 + 2 βχ - β - ΎΧ + Ύ) = Χ2 <=> <=> ffiίl - eκl + � - � + Υ* - Υ* + = (2κ3 + 3ιc2 + κ + 6ιc2 + 1 2κ + 6) + 3αχ2 - χ2 - 3αχ + 2βχ + α - β + γ = Ο <=> = (2κ:3 + 3ιc2 + κ + 6ιc2 + 6κ + 6κ + 2 + 3 + Ι ) <=> 3αχ2 - χ2 - 3αχ + 2βχ + α - β + γ = Ο <=> <=> χ2 (3α - 1 ) + χ (-3α + 2β) + α - β + γ = Ο <=>(6). = (2κ:3 + 6ιc2 + 6κ + 2 + 3ιc2 + 6κ + 3 + κ + 1 ) Για να είναι η (6) ίqη με (Ο) θα πρέπει: -3 α + 2β = Ο <=> α _ β + Υ = 0 <=> = [2 (κ:3 + 3ιc2 + 3κ + 1 ) + 3 (ιc2 + 2κ + 1 ) + (κ + 1 )] 2β = 3 α <=> (7), (8) γ = β - α <=> 3α (7) = [2 (κ + 1 )3 + 3(κ + Ι )2 + (κ + 1)] 3α - 1 = 0 <=> <=> β =1 - 1 <=> 2 γ =2 3 3α = 1 <=> 1 1 1 = 6 2(κ + 1 )3 + 6 3(κ + 1 )2 + 6<κ + 1 ) και 1 και 3 _3-2 2 α -- -3 (7) <=> β = τ <=> r- 6 = (κ + ι γ + κ + ι γ + κ + 1 ) . 1 Άρα: 12 + 22 + 3 2 + . ..+ ιc2 + (κ + 1 )2 = γ =6 β= 1 1 1 3 (κ + 1 )3 + 2 (κ + 1 )2 + 6<κ + 1 ) 1 1 1 , 'Εχουμε: α = 3 β = 2 και = γ 6 οποτε το αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί. • πολυώνυ μο Ρ(χ) θα είναι: * * * 1 1 P(χ) - 13 χ3 + 12 χ2 + 6"-• αρα Ρ(ν) -- 13 1 Ο Μαθητής της Γ Λυκείου Μπενετάτος Υ + y- + � Αλέξανδρος από την Θεσσαλονίκη έστειλε για οπότε έχουμε: λύση την εξής άσκηση: Να υπολογισθεί ο α eiR όταν + + (9). 1 2 + 22 + 3 2 + . . .+ v2 =

για

."..2 - -

...3

..:z

(4),

i i

�

4 (8)

•

� r iv

α ' βήμα: Θα δεiξω ότι η δηλαδή:

�

(9 )

ισχύει για ν

J J ο

(3 χ + 7)dx = α - ι

ii.

2 x

2xdx = e4 -e

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/39

�

ι ... t�""�· � .cιιr., '"'ιtιΙ �-��, Jι . -

�

�� "

� fl

Η'Ν' NιiTHeNAT/CVf

Υπεύθυνοι στήλης: Homo Mathematicus είναιπάνωμια στα στήληεξήςστοθέματα: περιοδικό μας,είναιμε·τασκοπό την ανταλλαγήΠρέπει απόψεων καινα Μαθηματικά, ή όχι την ανάπτυξη προβληματισμού τι διδάσκονται, 3) Ποιοι είναι οι κλάδοι των Μαθηματικών και ποιο το αντικείμενο του καθενός, Ποιες είναιγιαοι ναεφαρμογές 5) Ποιες εmστήμες ή κλάδοι εmστημών απαιτούν καλή γνώση των Μαθηματι κών μπορέσειτους, κά�οιος να τους σπουδάcrει. Κανόνας:

Καλίκας Σ.- Κερασαρίδης Γ.- Πανδής Α.

Η στήλη Homo Mathematicus απευθύνεται μόνο σε μαθητές.

Β. Παρακάτω παρουσιάζουμε μια εργασία του Θοδωρή Ξενάκη. Ο Θ. Ξενάκης είναι ένας πολύπειρος -

κλασικός φιλόλογος, με ξεχωριστές γνώσεις στην γλωσσολογία. Εκείνο που τον κάνει «δικό μας» είναι η βαθειά γνώση της Ευκλείδιας Γεωμετρίας και η πολύχρονη ερασιτεχνική ενασχόλησή του μ 'αυτήν. Το δο κίμιο του αυτό, με γενικό τίτλο «Μαθηματικά και "θεωρητικά μαθήματα"» , αναφέρεται στην σχέση των Μαθηματικών με την Έκθεση και τα Αρχαία Ελληνικά Το έγραψε ειδικά για τους αναγνώστες τη ς στήλης Homo Mathematicus. Στο προηγούμενο τεύχο ς (αριθ. 35) δημοσιεύτηκε το πρdJτο μέρος του δοκιμίου του με θέμα "Μαθηματικά και Έκθεση ". Στο τεύχο ς αυτό δημοσιεύουμε το δεύτερο και τελευταίο μέρος του δοκιμίου του με θέμα "Μαθηματικά και Αρχαία Ελληνικά " του Θοδ ωρή Ξενάκη-φιλόλογου

Αφορμή(που για τηνήτανσύνδεση τωνκριτήριο δύο «ακραίων» μαθημάτων πάντα Ποιος μια από για δύονα ακολουθήσει κά παραδοσιακές κατευθύνσεις των παρατήρηση επιστημών) υπήρξε μια γενική (όχι στατιστική) που έμεινε στην εντύπωση του γράφοντος κατά την διάρκεια των χρόνων που πέρασε στην "μάχιμη" εκπαίδευση, όπως συνηθίσαμε νασε αποκαλούμε την υπηρεσία σε Σχολείο και όχι γραφείοπαρατήρηση ή οπουδήποτελοιπόν αλλού.είναι στο μάθημα των Αρχαίων Ελληνικών πολλά παιδιά ήξεραν πολύ καλά τους κανόνες του Συντακτικού, ακόμη και μεγραμματικούς παραδείγματα,τύπους επίσηςστιςνα βασικές κλίνουν μορφές σωστά τους τους πουτηνέχεισημασία το σχολικόπολλών τους βιβλίο, γνό}ριζαv επί πλέον λέξεων, ίσως και εκφράσεων, της αρχαίας ελληνικής (αυτές μπορεί και να δίνονταν), γνώσεις αλλά δεντουςμπορούσαν . νασε εφαρμόσουν αυτές συγκεκριμένο αδίδακτο κείμενο(οι μεγνώσεις) εmτυχία,αρωγοί έτσι δηλαδή ώστε να έρχονται στην προσπάθειά τους τονααρχαίο κατανοήσουν πρώτα καιτις μετά να μεταφράσουν κείμενο χωρίς βοηθητικές ερωτήσεις του δασκάλου. Αυτήπαιδιά η αδυναμία παραδόξως δενμπορεί εμφανιζόταν σευστερούσαν παρά το γεγονός ότι και να των προηγουμένων σε «θεωρητικές τις

ότι

τις

άλλα

βάσεις» λοιπόν Γραμματικής και στη Συντακτικού: προχω ρούσαν ευκολότερα σύλληψη του νοή ματος και ποτέ δεν έπεφταν σε ανεπανόρθωτα σφάλματα λογικής. Πολύ λίγγλωσσικά οι μαθητέςεργαλεία πάλι εκτόςεί από πρόσβαση στα τυπικά χαν και το χάρισμα της ... μαντικής: 'Όταν δηλαδή αντιμετώπιζαν το αρχαίο κείμενο (διδαγμένο και ' αδίδακτο γι μάντευαν αυτούς ήταν το ίδιο),τουτοαρχαίου καταλάβαι ναν σαν να τη σκέψη συγτο γραφέα. Οι συγκεκριμένοι όμως μαθητές είχαν ίδιο ταλέντο και στηνχωρία κατανόηση της Νέαςέννοιες Ελλη νικής σε δυσνόητα με αφηρημένες και περίπλοκες αναλύσεις, έτσι ώστε να πιστεύει ' κανείς ότι α) εmβεβαιωνόταν σ αυτούς το γνωστό δόγμα «γλώσσα και διάνοια συμπορεύονταυ> β) οι ικανότητες aποκωδικοποίησης και εmκοινωνίας δεν στηρίζονται μόνο στα τυmκά εφόδια-γ)εργαλεία της Γραμματικής και του Συντακτικού, πρω τοβουλία στηναυτοίανακάλυψη τηςτο γνώσης πουπουείχανί οισχυεμαθητές ήταν κάτι γενικότερο καικαιισχύειδ) όποια για τουςεπιστήμη σκαπανείςανόλωνδιάλεγαν των εmτα στημών παιδιά αυτάΠοιαθα μπορούσαν ναη αιτία την υπηρετούσαν εmτυχία. όμως ήταν της αδυναμίας των άλλων μαθητών να εφαρμόσουν γνώσεις τους Τοστηνπρόβλημα πράξη; πρέπει να είναι γενικότερο και να μην αντιμετωπίζεται μόνο με την εύκολη λύση

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/40

κι

τις

με

ΗΟΜΟ MATHEMAτiCUS

εφαρμο και αξία πολλές ασκήσεις γιαγνωρίζουμε προτροπής της της μεγάλη την βέβαια Όλοι γές. πρωτεύο στα ιδίως άσκησης της και επανάληψης ντα μαθήματα, καθώς και τηνη λύση αξία τηςπολλών εμπειρίας και της πείρας που χαρίζει προη βλημάτων σε όλα τα μαθήματα. Ίσως όμως αυτή συνεχής τριβή με το στο γνωστικό αντικείμενο, ειδικά αυτό της διείσδ:υσης αρχαίο ελληνικό κείμενο, ενεργοποιεί κάποιες διανοητικές μεθόδους και ι κανότητες που είναι, 'πωςβασικά πιστεύω, όχι άσχετεςmcyύμε κείνες που θεωρούνται κλειδιά μνασηΟπως της σκέψης τωνοι μαθητές παιδιών και σταασχολούνται Μαθημα τικά. δηλαδή που με πολλές ασκήσεις 'Άλγεβρας και Γεωμετρίας αποκτούν πείρα που τους διευκολύνει πλέον ικανοποιητικά στις των εξετάσεις , κλάδων και οι αντί στοιχοι ύποψήφιοι θεωρητικών που αποκτούν πλούσια πείρα από την μελέτη πολλών «θεμάτων» της αττικής διαλέκτου,θέματος διευκολύνονται στην αντιμετώmση του επίμαχου των εξε τάσεων. Αυτή όμως η πείρα δεν μπορεί να είναι μόνο γνώση άριστη τωντουθεωρημάτων τηςκαιΓεωμε τρίας ή των κανόνων Συντακτικού των τυπολογικών μεταβολών της Γραμματικής ή του Λεξιλογίου της Αττικής διαλέκτου. Οι ικανότητες που ενεργοποιούνται και στις δύοβάσηπεριπτώσεις πρέπει να έχουν λογική-μαθηματική και αφε ' τηρία. Ας παρακολουθήσουμε κάποιες απ αυτές. ετυμολογική ανάλυσηπροσβάσεις μιας άγνωστης λέξης απαιτεί βέβαια κάποιες στις ρίζεςκαyτωνναελληνικών λέξεωνγια(χωρίς αυτό δενκείμενο πρέ πει γί ν εται λόγος αδίδακτο αττικής διαλέκτου) αλλά ακόμηκαιπερισσότερο χρεια άζεται διεισδυτική ικανότητα δυνατότητες ναγνώρισης ομοιοτήτων πουτωνταιριάζουν (οι δυνα τότητες)και στους τύπους Μαθηματικών. Π.χ. αναγ ν ωρίζουν τα παιδιά στο επίθετο «διηνεκή9) μια από τιςή δυσκολία ρίζες τουμερήματος «φέρ@) ευκολία την οποία διαβλέπουν ίδια στο πολυωνυμο το τετραγωνο της διαφοράς Β)μόνοΤο κανόνες. ΣυντακτικόΕίναιτηςκυρίως Αρχαίαςεργαλείο Ελληνικής δεν είναι λογικής διάταξης της γλώσσας που λειτουργούσε ασυνεί δητα στηνπροςδιάνοια των αρχαίων συγγραφέων σαν πλοηγός την σαφήνεια και την ακριβή ή κα λαίσθητη ή πειστική διατύπωση. Τους κανόνες τους έβγαλαν μεταγενέστεροι. Μιαδενοξυμμένη λοι πόν λογικομαθηματική διάνοια θα επέτρεπε ποτέ συντακτικές ανακολουθίες, έστω και με ά γνοια της ειδικήςΠ.χορολογίας τωνπουσυντακτικών χα ρακτηρισμών. . ο μαθητής διαθέτει λογική δεν γράφει ποτέ στη μετάφρασή του αντιφάσεις στην

μια

έτσι

Α) Η

x-y.

4 2 3 - χ y +

με την '

και ασυναρτησίες. Ενδόμυχα αναγνωρίζει ότι ο αρχαίος συγγραφέας γράφει σωστά πράγματα, διακρίνει επομένως αμέσως την περίπτωση που ο ίδιος δενστηαποδίδει σωστάπουταπροσπαθεί λεγόμενα νατουκάνει. συγ γραφέα μετάφραση Προτιμά λοιπόνβγαίνευ) να μη ήγράψει καθόλου το τμήμα που δεν «του να ξαναπροσπαθήσει. τι άλλο είναι αυτό, παρά η γνωστι) μέθοδος της «εις άτοπον απαγωγή9); Οι φιλόλογοι γνωρίζουμε δυ στυχώςμετάφρασή ότι λίγοι τους. μαθητές αναγνωρίζουν το άτοπο στην Γ) Χαρακτηριστικό βασικό των αρχαίων Ελ λ1επαναλαμβάνουν )νων συγγραφέωνκάποια είναι λέξη η βραχυλογία. Ποτένα δεν που μπορεί πα ραλειφθεί ως ευκόλως εννοούμενη. Πολλά λοιπόν είναι τα σημεία λέξεις, των κειμένων που χρειάζονται συ μπληρωματικές απαραίτητες στους μαθητές για την κατανόηση. εύρεση της λέξης που εννο είται δενχωρίςείναιαυτήν πάνταοι εύκολη υπόθεση καιναπολλές φορές μαθητές αδυνατούν προ χωρ1)σουν. Είναι και εδώ οι ίδιες συνθήκες που σκόπιμα δημιουργούνται σε ορισμένες ασκήσεις Γεωμετρίας, όπου δεν υπάρχει διέξοδος εκτόςευθεία από μια «μαγική) ) βοηθητική ευθεία. Βοηθητική λοιπόν και εννοούμενη λέξη είναι κοινά ζητούμενα σε προβλήματα Αρχαίων και Μαθηματικών. Η

Σαν συμπέρασμα ας μας επιτραπεί να επα ναλάβουμε α) ότι η σχέση Μαθηματικών και {iρ χαίων ΕΛληνικών βρίσκεται στο επίπεδο των μαθη τικών κυρίως προσπαθειών, όχι στο επίπεδο των επιστημών και β) ότι η σχέση αυτή σε καμιά περί πτωση δεν σημαίνει ότι οπωσδήποτε ο ικανός στο αδίδακτο απικό κείμενο είναι καλός και στα Μαθη ματικά ή και το αντίστροφο. Επί πλέον είναι απα ραίτητο να διευκρινιστεί εδώ ότι η παραπάνω σχέση δεν ισχύει απόλυτα για το διδaγμένο κέίμενο όπου η εμβάθυνση και ο προβληματισμός δεν είναι πλέον κατά κύριο λόγο γλωσσικός. Λόγω του αναλυτικού προγράμματος και των ζητουμένων στις εξετάσεις οι μαθητές στρέφονται περισσότερο σε γνώσεις Ι στορίας, Μυθολογίας, Αρχαιογνωσίας και Αρχαιο λογίας ή στην καλύτερη περίπτωση σε σημαντικά φιλοσοφικά προβλήματα. 'Όμως όλα αυτά δίνονται μάΛλον έτοιμα. Η όξυνση του νου που πετυχαίνει η Θεματογραφία δεν υπάρχει δυστυχώς στο διδαγμένο με εξαίρεση βέβαια την διείσδυση σε φιλοσοφικά προβλήματα, αΑλά αυτά είναι περιοχές άΛλου μαθή ματος. Και το "δυστυχώς" γίνεται ακόμη μεγαλύτερο αν δει κανείς ότι στο αναλυτικό πρόγραμμα της Θε ωρητικής κατεύθυνσης της Γ' Λ υκείου η Θεματο γραφία καταλαμβάνει μόνο μία (1 !) ώρα από το εβδομαδιαίο πρόγραμμα, αν και κρίνονται οι μαθη τές από αυτή κατά 40% της βαθμολογίας τους στο τελικό γραπτό των Αρχαίων ΕΛληνικών. . .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/41

Μαθnμα-ιικά yιa τnv Α'

τάξη

του Λυι�ι:ίου

Υπεύθυνο ι στήλης: Καλiκας Σ. - Καμπούκος Γ. - Μαρούλη Β. - Σαϊτη

Ε.

Γιδαράκος Θ. - Λαζαρίδης Χ. - Χαραλαμποπούλου Λ.

Το πp 66Hpo τωγ τιμώγ του τp ιωγύμου !J ΙλΧ 2 + 8χ + y, =

Ιλ

"# Ο

του Βασίλη Σακελλάρη Ας θεωρήσουμε το δευτεροβάθμιο τριώνυμο y = αχ2 + βχ + γ. Προκειμένου να εξετάσουμε το πρόσημο των τιμών του για τις πραγματικές τιμές του χ διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

ι. I Δ < O I Το τριώνυμο γράφεται y = α

[(χ + fαγ +! J.

παράσταση που είναι μέσα στην αγκύλη είναι

θετική για κάθε πραγματική τιμή του χ. Άρα το τριώνυμο έχει το πρόσημο του α. Δηλαδή:

I I

Γ I I I

y>o :

I I I ι.

ΠαραδείΎματα: Η

Αν Δ < Ο το τnιώνυμο αχ1 + px + γ είναι ομόσημο του α για κάθε πραΎματική τιμή του χ.

α<Ο

y< o :

I I

+ ανίσωση -2χ2 + χ 1 > Ο είναι ο αδύνατη στο IR γιατί το τριώνυμο του πρώτου μέλους της έχει α = -2 < Ο και Δ = 7 < Ο οπότε οι τιμές του είναι αρνητικές ( ομόσημες του α) για κάθε χ Ε IR. ii) Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης 2 3 > Ο είναι το IR γιατί το τριώνυμο του πρώτου μέλους της έχει α = 1 > Ο και Δ = < Ο οπότε οι τιμές του είναι θετικές (ομόσημες του α) για κάθε χ Ε IR. i)

χ 2χ + -

ιι. I Δ = ο l Το τριώνυ μο γράφεται

y = α (χ

όπου

χσ)2,

μηδενίζεται, ενώ όταν χ :�; Χο έχει το πρόσημο του α.

χο

fα η διπλή ρίζα. 'Οταν χ = ο

Δηλαδή:

Αν Δ = Ο το τριώνυμο αχ1 + Ρχ + Ύ είναι ομόσημο του α Ύtα κάθε χ

•

μηδενίζεται.

f;;, ενώ με χ

!;;

Χο

+ I I

y>O :

I I I

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.3/42

I I I

y<O : I I

α<Ο

το τριώνυμο

------- Το πρόσημο των

τιμών του τριωνύμου y =

2 αχ

βχ + γ, α ,ι: Ο

Παράδειγμα: Η ανίσωση χ2 - 4χ + 4 :::;; Ο επαληθεύεται μόνο για χ = 2 γιατί το τριώνυμο του πρώτου μέλους της έχει Δ = Ο και διπλή ρίζα το 2 οπότε οι τιμές του είναι θετικές ( ομόσημες του α = I > Ο) για κάθε χ 7; 2 και είναι ίσο με το μηδέν όταν χ = 2. πι.

Δ>Ο

Το τριώνυμο γράφεται y = α (χ Χι )(χ - xz), όπου Χι < χ2 οι πραγματικές ρίζες του. Για κάθε τιμή τού χ με χ < χι < Xz ή χ > Xz > χι το γινόμενο (χ - χι)(χ - xz) είναι θετικό, οπότε το τριώνυμο έχει το πρόσημο του α. Για κάθε τιμή τού χ με Χι < χ < χ2 το γινόμενο (χ - χ ι)(χ - χ2) είναι αρνητικό, οπότε το τριώνυμο έχει το αντίθετο πρόσημο του α. Δηλαδή: Αν Δ > Ο το τριώνυμο αχ1 + βχ + γ είναι ομόσημο του α για τις τιμές του χ που βρίσκονται εκτός του διαστήματος των ριζών και ετερόσημο του α για τις τιμές του χ εντός του βρίσκονται που διαστήματος των ριζών.

•

�

I I I

y> Ο IΙ

y>O :

I I I

y< 0 1

y <o:

+ 1

Παραδείγματα:

Επειδή το τριώνυμο χ2 - 3χ + 2 έχει α = 1 , i) χι = 1 , χ2 = 2 οι λύσεις της ανίσωσης χ2 - 3χ + 2 <

που βρίσκονται εντός του διαστήματος των ριζών.

Δ = 1 και ρίζες Ο είναι οι αριθμοί

ii) Οι λύσεις της ανίσωσης (χ + 1 ) ( χ - 3) > Ο είναι όλοι οι αριθμοί χ με χ < - 1 ή χ > 3 , γιατί το πρώτο μέλος της είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο του χ με α = 1 και ρίζες -1 και 3 . Από τα προηγούμενα διαπιστώνουμε ότι:

� ,, " , ..,.,, ,' }

χ<- 1

1 <χ<2

-1

χ>3

Το δευτεροβάθμιο τριώνυμο αχ1 + βχ + γ παίρνει τιμές ετερόσημες του α μόνο στην περίπτωση που έχει δύο ρίζες πραγματικές ι<αι άνισες και με τιμές του χ που βρίσκονται εντός του διαστήματος των ριζών. Σε κάθε άλλη περίπτωση το τριώνυμο γίνεται ομόσημο του α ή μηδενίζεται.

Ασκή σεις

Να βρείτε τις τιμές του λ Ε IR. για τις οποίες οι ρίζες της εξίσωσης (λ - 2)χ2 + (λ + λ = Ο είναι πραγματικοί αριθμοί.

Αν λ = 2, η εξίσωση είναι πρωτοβάθμια και έχει πραγματική ρίζα. Αν λ 7; 2, η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια και πρέπει να έχει Δ � Ο. Να βρείτε τις τιμές του λ Ε IR. για τις οποίες η ανίσωση (λ + 6)χ2 - λχ + 2 > Ο αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του χ. Υπόδειξη :

Υπόδειξη :

l)x -

Πρέπει να ισχ6ει λ + 6 > Ο και Δ < Ο.

Να βρείτε τις τιμές του Α = ...JΙ2χ2 + χ + 1 1 2 . Υπόδειξη : Πρέπει,

2 l2x + χ + 1 1 - 2 � ο <=>

ή 2χ2 + χ - 1 � ο.

• • •

IR.

για τις οποίες έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση

<=> 2χ2 + χ + 3 :::;; ο

ΕΥΚΛΕΙ ΔΗΣ Β '

λ.γ. τ .3/43

------- Το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου

βχ + γ, α :# Ο

-------

iιε την (λχ2 - 2χ + λ) χ > Ο.

Στο διπλανό σχήμα να εκφράσετε το ΚΛ ως συνάρτηση του χ. Για ποιες τιμές του χ το μήκος του ΚΛ δεν ξεπερνά τις 3 μονάδες;

�χ �) ( � �} ,

και Λ -

να είναι (ΚΛ) :::;; 3 .

ΚΛ

2 y =χ

�

= ... = χ + · Θέλουμε

χ μαθητές ενός σχολείου πρόκειται να πάνε εκδρομή με λεωφορεία. Το κέρδος του γραφείου των τουριστικών λεωφορείων είναι Κ(χ) = - 5χ2 + 1 200χ δρχ. α) Αν το εmζητούμενο συνολικό κέρδος του γραφείου είναι τουλάχιστον 54000 δρχ., πόσοι μαθητές πρέπει να πάνε εκδρομή; β) Με πόσους μαθητές το γραφείο έχει μέγιστο κέρδος και ποιο είναι αυτό; Υπό δ ειξη : α) Θέλουμε να είναι Κ(χ) �

Υπόδ ειξη : Είναι

. ' λ(χ2 + 1 ) ' Αν λ < - Ι να λυσετε την ανισωση : > .2 . Υπό δ ειξη : Με χ ;t. Ο η δοθείσα είναι ισοδύναμη

y = αχ

54000

β) το μέγιστο της συνάρτησης Κ(χ)

Από ύψος 2 μέτρα πάνω από το έδαφος ρίχνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω ένα σώμα. Το ύψος h του σώματος από το έδαφος σε κάθε χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση h(t) = 24t - 3t2 + 2, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το χρονικό διάστημα για το οποίο το σώμα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο των 1 1 μέτρων από το έδαφος.

2m Π

1 1m

ιιUπmιmπmJπιπι

Υπό δ ειξη : Θέλουμε να είναι h(t) > 1 1 .

Κυκλοφόρησε από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Ε.Μ.Ε.) (Απρίλιος 2000)

θΕRΡ/,4 ΑΡΙθΜRΝ Των Π. Βλάμου, Ε. Ράππου, Π. Ψαρράκου (Σελίδες 264) Περ ιέχει: Θεωρία και Ασκήσεις Λιανική Τιμή δ ρχ. 5.000 (Λόγω της ενιαίας τιμής του βιβλίου στους συν αδέλφους γίνεται έκπτωση 1 0%)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ .3/44

yιa

Μαθnμαsικά sn Β' sάιn sοσ Λuκι:ίοσ

Γιδαράκος Θ. - Ευσταθίου Β. - Καλίκας Σ. - Καρκάνης Β.- Κό

Υπεύθυνοι στήλης:

ντζuις Ν. - Λαζαρίδης Χ. - Μαρούλη Β. - Τσwύμας Θ.

ΕπΑνΑJιιπτικts ι41'Kiιl'eιs Β' ιloκeίtJo του Γιάννη Στρατήγη

ι.

Θεωρούμε τις παραστάσεις εφ4 ! + ι 2 + εφχ)Ζ - (1 + σφχ)Ζ (1 Α= Β= ' χ (ι + εφχγ + ( 1 + σφχγ εφ4 - ι 2 i) Να γραφεί σε απλούστερη μορφή η Α. ii) Να μετατραπεί ως συνάρτηση του συνχ η Β. iii) Να επιλυθεί η εξίσωση Α = Β. -

Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. 2.

Δίνεται η συνάρτηση

f(x)

ii)

Λύση

(α - 2β)χ2 + (α + 3)χ - α - β . χ3 - ι Να βρείτε τις τιμές των α, β Ε IR για τις οποίες η αριθμητική τιμή της συνάρ τη ση ς για χ = -ι και για χ = Ο είναι 3 και -ι, αντίστοιχα. Γι' αυτές τις. τιμές των α,β να λύσετε την ανίσωση f(x) ;;?: 3. =

χ �' κπ - �' κ (γιατί;) είναι i) συνάρτηση ι. ορίζεται αν χ3 - ι + εφχ)2 - (ι �Τ α 3β = 3 { f(-ι) = 3 { + Α= Πρέπει f(O) = 2 ι α+β= _ _ 2 ) + εφχ) + ( ι + β = 2 και α = -3. 1 ii) Με α = και β = 2 , είναι f(χ) = -Ί�'Ζοπότε � � + εφχ)2 (ι - + χ εφ - εφ2 ι Α= == - συν2χ. 7χ32 - ι + 3 � 3χ3 +3 7χ2 -4 � Ο f(x) 3 (ι + εφχ)2.-(ι + εφι2χj) 1 + εφ2χ 3 + 3χχ2) - (4χ2 - 4) � χ - ι (3χ ίί) Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ι - συν2α χ32- ι εφ2α ι συν2 α, οταν χ + 2, (3χ 1 -4 (χ 4χ + ) 3- ι ) χ ::t.π(2κ ), κ - έχουμε χ συνχ)2 (1 + συνχ)2 χ +2 2)(3)( - 2) (χ(χ+Ι)( = - συ�γ + συνχ)2 1)(χ + χ + ι) "' συv2χ) ι + συv2χ + 2 = (1 <=> (χ +ι)(χ + 2)(3χ - 2)(χ - ι) � Ο (1) 2 συνχ · με χ ι, αφού χ2 + χ + > Ο π π σχυει με χ ::t. , κπ 4, � ίίί ) για κάθε IR (Δ = -3 0). 2χ + συν .:. � ...; ;..:; Στον άξονα τα πρόσημα του Α= -συν2χ = - .=...2συ ί)

ΕΖ

::f.

Με

Λύση Η

εφχ

::f.

(1 (1

Ζ,

κπ

�

;;?:

ΚΕ

( 1 ),

νχ (2συv2χ - 1 ) 2συνχ - ( 1 + συv2χ) = Ο 4συv3χ - συv2χ - 2 συνχ - 1 = Ο (2 ). 2 ) συνχ = y, οπότε Θέτουμε στην ( 1) 1 Ο <=> + δηλαδή συνχ = 1 <=> χ = 2κπ, κ Ε Ζ, που απορρίπτεται 'λ&γω περωρισμού ( Ι ). <=>

<=>

-1

Ο <=>

-1 +

<=>

�

<=>

::f.

(y - ι) (4y2 3y + = Ο

χΕ

�

<=>

χ 'χ

ση�ιώνpυμε

πρώτου μέλους της ανίσ.ωσης ( 1 ).

<=>

4y3y- =yzι,- 2y - =

<=>

4-συvχ

<=>

- (1

<=>Χ ::f.

-3

-1

<=>

::f.

χ' +

-2 - ι

· ..

··2 3ι

• +

Άρα ' . αληθεύει όταν . η ανίσωση

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/45

-2 � χ � -1 η' 32 � χ ,<

----- Μαθηματικά για τη Β ' τάξη τοu Λu κείοu

Ένα κουτί συσκευασίας σχήματος ορθογω νίου παραλληλεπιπέδου έχει βάση τετρά γωνο και ύψος μεγαλύτερο κατά 1m των πλευρών της βάσης του. Αν ο όγκος του εί ναι 0,125m3 να προσδwρίσετε τις διαστά σεις του.

ΑΒ, ΑΓ. iii) Να βρείτε τις εξισώσεις των υψών ΒΔ, ΓΕ. iv) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του ορθοκέντρου Η. Να υπολογίσετε την απόσταση του ση μείου Η από την πλευρά ΑΓ.

Λύση

Έστω χ > Ο το μήκος των πλευρών του τετρα γώνου. Για τον όγκο του σχήματος ισχύει = ο. =8=4-8= =

χ · χ <χ + 1) 125 χ3 + χ2 1 1 1 <=> (χ3 + �) + (χ2 - i) = ο <=> (χ + !χχ2 - ! χ + i) + (χ + 1χχ - k) = ο <=> (χ + 12Χχ2 + 12 χ l4) = ο χ2 + 12 χ l4 = ο' επειδή χ + t > t > Ο 4χ2 + 2χ - 1 = Ο +15 0,3 (αφου. χ > ). -1 = <=> χ = -2 +2 .215 4 4 ::::: Ο Ά

1. )

ii)

<=>

ρα οι διαστάσεις χ, χ, χ + ι θα έχουν μήκη 0,3m, 0,3m, ι ,3m ή 30cm, 30cm, 1 3 0cm. 4.

Θεωρούμε την ανισότητα :

log2(x2 + 1) - 21ogzχ � 3 - 2log2(x + 1).

Να βρείτε τις τιμές του χ ε IR για τις ο ποίες ορίζεται. Να αποδειχθεί.

ii)

Ο 3 = -3 και vz = -Χz Χι -1 1 2 -2 - 3 5 3 λΑr = 3:-τ = - 2 -:�; 2• επειδή -:�; Xz. Άρα οι

'Εχουμε λΑΒ =

- νι

.ι...::....

Χι

<=>

Λύση

ευθείες ΑΒ, ΑΓ δεν είναι παράλληλες, με κοινό σημείο το Α και τα Α, Β, Γ, ως μη συ νευθειακά δημιουργούν τρίγωνο ΑΒΓ. Η εξίσωση της πλευράς ΑΒ είναι Υ - ΥΒ = λΑΒ ΧΒ) ή Υ ή Η

(χ ο = �χ + 1) 3χ - 2y + 3 = ο. εξίσωση της πλευράς είναι Yr = λΑΓ (χ - xr) y + 2 = - �χ - 3) ή 5 χ + 2y - 11 = ο.

Υ-

iii)

ΑΓ

%, ο συντελεστής διεύθυνσης του ύψους ΒΔ θα είναι λ = � και η εξίσωσή Επειδή λΑΓ =

y λ (χ - ΧΒ) ή y - Ο = �χ + 1) ή 2χ - 5y + 2 = ο.

του

- ΥΒ =

Επειδή λΑΒ = �· ο συντελεστής διεύθυνσης 2+ 1>Ο χ>Ο χ χ + 1 >χΟ,> Ο (1). του ύψους ΓΕ θα είναι λ' - � και η εξίσωσή του y - Yr (χ - xr) ή y + 2 = - �χ - 3) ή Με χ > αρκεί να δείξουμε ότι logz (χχ22++ 11) - Iogzx2 �8 logz23 -χ2logz+ 1(χ + 1)82 <=> 2χ + 3y = 0. Iogz -τ � Iogz (χ + 1)2 <=> -τ � (χ + 1)2' ίν) Από τη λύση του συστήματος: { 2χ2χ- 5y+ Jy+ 2= = ο , βρίσκουμε επειδή l o g2x γνησίως αύξουσα συνάρτηση, δηλαδή 2 + 1)(χ 2 �8χ2 (2). 2 (χ + 1) y = i και χ = - l· Οπότε "(-1. i} 2 Αλλά είναι χ + � 2χ, αφού (χ - 1) � Ο και με χ > χ + � 2Ψ, αφού <Ψ - 1)2 � ο, οπότε ν) Είναι 14 - 11 1 99 έχουμε (χ2 + 1)(χ + 1)2 � 2χ (2Ψ)2 = 8χ2 . ισότη 1 5 ( + 2 -11 ) 8 τα αληθεύει όταν χ d(H ' .V52 + 22 = 232-{29μ. μ. i)

Λύση

Πρέπει να ισχύει και και δηλαδή η ανισοϊσότητα ορiζεται εφόσον

ii)

= λ'

ο,

=Ι .

ΑΓ) =

Δίνονται τα σημεία Α(1, 3), Β(-1, Ο) και Γ (3 , -2). i) Να δείξετε ότι ορίζουν τρίγωνο ΑΒΓ. ii) Να β ρείτε τις εξισώσεις των πλευρών

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/46

------- Μαθη μ ατικά yια τη Β ' τάξη του Λυκε[ου

θέματα με ΛύΙ"ειs και μεlοlολοyίεs yια

Αυκείου (θετικiι και Τεχvολοyικiι κατεύlυvΙ"n) του

Σπύρου Καλομιτσίνη

Γ"

και της Αλεξάνδρας Καλομιτσίνη

α)

Θέμα 1°

Αν σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α2 > β2 + γ2, δείξτε ότι συν2Β i ημ2Β)(l συν2Γ i ημ2Γ) συν2Α - i ημ2Α

(i) Έστω ότι έχει μία πραγματική ρίζα ρ. Άρα 4ρ4 + 5ρ2 + 6ρ + 2 = Ο. Προσπαθούμε να μετασχη ματίσουμε την εξίσωση ώστε να φτάσουμε σε ένα άτοπο π.χ. Είναι ρ4 + 5ρ2 + 6ρ + 2 = ρ4 - ρ2 ι + 9ρ2 + 6ρ + ι Ι γ + (3ρ + ι γ = ο = (2ρ2 Λύση - μέθοδος 2 - Ι )2 = (3ρ + 1 )2, άτοπο (εκτός και αν εί (2ρ (Στις παραστάσεις που δίνονται συν2Β, ι , ναι ταυτόχρονα 2ρ2 - 1 = Ο και 3ρ + 1 = Ο, που ημ2Β, . . . συνήθως εφαρμόζουμε τον τύπο προφανώς είναι αδύνατο). συν2Β = 2συ�Β ... Ι ή συν2Β = Ι - 2ημ2Β και (ii) Η προηγούμενη μέθΌδος είναι δύσκολη για ημ2Β = 2ημΒσυνΒ, έτσι ώστε να απλοποιείται η την περίπτωση αυτή. Δοκιμάζουμε τη μέθοδο των μορφή ... ) παραγώJων, δηλαδή: θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι Ι συν2Β + ίημ2Β = ι + 2συv2Β - Ι ί2ημΒσυνΒ Παραγωγίζουμε: = 2συνΒ(συνΒ + ίημΒ) Ομοίως προκύπτει ότι: Από μονοτονία έχουμε Ι + συν2Γ + ίημ2Γ = 2συνΓ (συνΓ + ί ημΓ) και 2 Ι + συν2Α - ίημ2Α = 2συνΑ (συνΑ - i ημΑ) Επομένως έχουμε: Άρα υπάρχει ολικό ελάχιστο 2συνΒ (συνΒ ίημΒ) 2συνΓ(συν ίημΓ) = (από 2συνΑ (συνΑ - ίημΑ) Άρα f(x) f(2) > Ο, δηλαδή f(ρ) > Ο για κάθε θεωρία) ρ Ε IR, είναι δηλαδή η αδύνατη στο IR. 2συνΒ συνΓ (συν(Β + Γ) ίημ(Β Q) β) Όπως στο α (ii) έχουμε συνΑ (συνΑ - ίημΑ) 2 Επειδή η γραφική παράσταση 2συνΒ συνΓ (-συνΑ ίημΑ) _ 2συνΒσυνΓ · συνΑ συνΑ (συνΑ - ίημΑ) είναι περίπου + Υ "' Αλλά, αφού α2 > β2 γ2 είναι (από Ι)ω):!Ζτρία) Α αμβλεία, άρα συνΑ < Ο. Οι γωνίες Β, Γ είναι οξεiες, επομένως συνΒ > Ο, συνΓ > Ο. Τελικά είναι 2συνΒσυνΓ Ο . συνΑ

(1 +

+ 1+

(...)24 =4 +- (...)2.

<=>

Γ+

= =

f(x) = χ - 32χ + 100. f '(χ) = 4χ3 - 32 = 4(χ3 - 8) = 4(χ - 2)(χ2 + 2χ + 4). f(2) = Ι6 - 64 + 100 > ο. � f(x) =Ο f(x)lim� f(f(x)) ==16+οο,- 64 - 10 = -58.

Χ-+±«>

Θέμα 2°

α) Δείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες καθαρές μιγαδικές (δηλαδή της μορφής α + βί, με α Ε IR, β Ε IR*). (i) 24 + 2 Ο ... z4 - 32z =Ο � β) Δείξτε ότι η εξίσωση z4 Ο έχει δύο ρίζες πραγματικές και δύο καθαρές μιγα δικές.

5 2 + 6z + 2 = 4 (ii) + 100 - 32z + 100

Λύση - μέθοδος

Ακολουθούμε την εις άτοπο απαγωγή

· ·· ··

(2, -58)

Άρα έχουμε ακριβώς μία ρίζα ρι και ακρι βώς μία ρίζα ρ2 (ή πιο αυστηρά χρησιμοποιού με θεώρημα και μονοτονία). Οι ρίζες ρι, ρ2 είναι απλές, δώτι: 'Εστω ότι η ρ 1 είναι διπλή. Τότε f(x) = (χ - ρ ι )2 π(χ). Άρα f '(χ) = 2(χ - ρ ι )π(χ) + (χ - ρ ι ) π' (χ), δη λαδή f '(ρι) Ο . Όμως f '(ρι) = Ο ρ1 άτοπο.

>2 Bolzano

<=>

= = 2,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.y. τ.4/47

4ρι3 - 32 =

------- Μαθη ματικά για τη Β' τάξη του Λυκείου

Απόοι ρίζες το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, ε πειδή είναι ακριβώς 4, οι άλλες δύο είνια καθαρές μιγαδικές. Έστω η συνάρτηση f: IR -> IR για την οποία μ(πχ) + -JX2+5 = . α βρειτε. ισχυει χ-2 το

Βγάζουμεείναισυμπεράσματα παρατη· ρώντας το σχήμα: ΑΓ = 2t ((ταχύτητα) (χρόνος)),

Βήμα 1°:

Θέμα 3°

· f(x) η ι ιm

χ-2

lim f(x)

ΓΒ = ΑΒ - ΑΓ = 20 - 2t συνθ(t) = �\ ημθ(t) = Δ{ (από τρίγωνο ΑΓΔ). Όταν νααπόδοκιμάζουμε «όριο ζητείταιμέθοδο να βρεθεί όριο» εφθ( ) ΔΓ Ε . . ' ΑΔΒ εχουμε: ' μπορούμε «ΘΕΤΩ t = τι· πισης απο τριγωνο ΛΥΝΩ- ΣΠΑΩ», δηλαδή: συνθ(t) = fo. ημθ(t) = 2�. εφθ(t) = �· μ(πχ) + -JX2+5 Πρέπει να βρούμε έναν τύπο να πα χ-2 ραγωγίσουμε . Ο τύπος πρέπει να περιέχει θ(t) και rος προς f(x): και t,Στοή συνθ(t) t κλπ. μερικούς. Κανένας δεν κά Βήμα γράψαμε -JX2+5 + (χ νει. Όλοι οιΑπαλείφουμε τύποι έχουν παραπάνω μεταβλητές . .. ημ(- πχ) από κάποιες ισότητες τη μεταβλητή που δεν χρειάζεται. Παρατηρώντας τις - 2)g(x (χ προηγούμενες, βλέπω ότι: ημ(πχ) ) -JX2+5 ημ(πχ)�t . -JX2+5 . το ημ(πχ) (χρησιμοποιουμε τη συζυγη -� - 20 2 9 5 χ + . παρασταση) = ημ(πχ) (ν χ2 + 5 + αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τότε 2t συν2θ(t) = 20. (χ - 2)(χ + 2) . './ ημ(πχ)(είναιχ2 + 5 +3) - 2συνθ(t) ημθ(t) θ' (t) = � Όμως χ-2 π (χ - 2) ι χ-2 -ημ(πχ) ημ(πχ- 2π) π ημπ(χ - 2) π Όμως, αφού ΒΔ = �Β, η γωνία θ = 30°. Άρα (ή (χαλλιώς,' με κανόνα1 -2συν30° ημ30° θ '(t) = 1�. Τελικά θ '(t) = 5�. 2) ιm (ημπχ)' πσυνπχ . π. παραπάνωγιαδιαδικασία, μπορεί να αποτελεί χ - 2 (χ) - -JX2+5 - 3] Άρα [ημπχ μια μεθοδολογία προβλήματα ρυθμού μεταβο ημ(πχ) . λής. .. 17 4 5 + 2 17 = - · +- ·- = Κατασκευάζω σύστημα με που με π π 3π 3π' δηλαδη 3π ταβλητές που χρειάζομαι και κάποιες άλλες δεν μπορώ να αποφύγω. Εργάζομαι γιαΕδώτυχαία θέ ση, όχι για την τελική, τη ζητούμενη. χρειάζε ται καλή ανάπτυξη και καλός συμβολισμός. Δίνεται ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ = 20m. Έ ναστηνσημείο ΓΑΒκινείται από τοταχύτητα Α προςυτο= 2Β,mπάνω λλη Προσπαθώ να βρω έναν κατά ευθεία με σταθερή βρίσκω, τότε Α---ν η κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Γ τέμνει το τόξο λο τύπο... Αν δενΑπαλείφω ΑΒ το Δ, .να βρείτε τοΑΒρυθμό μεταβολής της γωνί- χρειάζονται, στο βήμα τις μεταβλητές που δεν "' οταν ΒΔ = Τ· Ένα δοχείοταπεριέχει αρχικά 200 ας ΔΑΒ, κιλά αλατόνερο στο οποίο 4 κιλά είναι αλάτι. Ρίχνουμε στο δοχείο με σταθερό ρυθμό 40 κιλά το Απάντηση (μέθο δ ος)

θ�ω

τη

f(x) η

�

- g( x )

Ι0

- 2)g(x)

για

Βήμα 2°:

λύνω

f(x) =

Βήμα 3 ° :

σπάω

f(x) =

υπολογ ίζουμε . ι ιm

χ-2

•

χ-2

lιm

π .χ.

�

{

συνθ(t)

}

χ-2

= lim

Ι.ιm

. = 1 ιm

χ-2

= 1ιm

χ-2

Ι.

χ-2

ιι·m

χ-2

lim

1 .

Παραγωγίζουμε:

χ-2

Hospital:

Σχόλιο : Η

χ-2

lιm f(x) = -

τις

Βήμα 1°:

Θέμα 4°

/sec.

Βήμα 2°:

Βήμα 3°:

Θέμα 4° :

Λύση - Μ εθο δολογία

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/48

Ι 0•

------'- Μαθηματικά για τη Β ' τάξή του Λυκείου

είναι ένα

ενότητα, γράφουμε που απλούςβασικό λεπτό αλατόνερο που περιέχει κιλό αλάτι ανά Ο κάθε νοηματικήεκφφ:νησης, συμ κiλά μίγματος. Από το δοχείο αντλούμε αλατόνερο στοιχείο μεμα σταθερό ρυθμόσυνεχώς 2 ώστε το λεπτό. Αν ομογενές, το διάλυ λουθούμε βολισμούς.καιΜπ9ρούμε, αν έχουμε την εξής στρατηγική: ανακατεύεται αν είναι βρείτε πόσο θα περιέχεται στο δοχείο σε 25 Αριστερά γράφουμε τα βασικά στοιχεία της λεπτά. εκφώ:νησης συμβολίζουμε τα άγνωστα μεγέθη, Δεξιά ζοντας συνεχώς συμπεράσματα Αν τοκίνδυνος πρόβλημάνα μαςπελαγοδρομήσουμε, έχει «πολλά λόγια»τότε: και Κάνουμε αναγωγή στη μονάδα, όπου χρειάζε υπάρχει ται. Διαβάζρυμε δυο τρεις φορές την εκφώ:νηση, έως ότου διακρίνουμε μικρές νοηματικές ενότητες. Πόσο αλάτι περιέχεται σε 25 όπως η επόμενη: Για ρυθμούς μεταβολής μπορούμε να αρχίζουμε και μία πορεία . λεπτά; σε λεπτά κιλά αλάτι στο αλατόνερο (δηλαδή θα μιλάμε γενιΈστω κά) Ρίχνουμε 4 κιλά λεπτό πέσει μέσα στο δοχείο 40t κιλάαλάτι) αλατόνερο με 4t Τα κιλά 1 ό αλάτι... αλάτιΣε(αφού έχουν 1 Ο κιλά αλατόνερο έχουμε Αρχικά 2 άλατόνερο σrη μονάδα: Αναγωγή Αρχικά 4 κιλά Σε λεπτά έχουμε + - = + 2 κιλά αλατόνερο. Σε (t ) ο αλατονερο, εχ' ουμε 200y+ 20t α αλάτι 200 + 20t αλατόνερο } αρα , (από την κατάταξη { (t) αλάτι 1 κιλό τι t ( ) χ -- y 20t ) Αδειάζουμε λεπτό . 20 200y(+t)20t ..J1!L . τι «φευγεt>): 10 + t σε λεπτο' Άρα: ρυθμός μεταβολής αλατιού = (ρυθμός μεταβολής εισερχομένου, 4) ..,... (ρt>θμός μεταβολής εξερ, χομενου, ___:i_ 10 + t_ ) Δηλαδή: y = 4 - uf+t Λύνουμε τη διαφορucή εξίσωση y + 101+ t · y = 4. A(t) = + t), = 10 + t, άρα: (lO+ t)·y y 4(10 + t) ή [(10 + t) y] = 4(10 + t) ή (10 + t) y = 4 (�+ 10t + c} Θέτουμε = Ο, y = 4 καιπροκό�ειc = Άραy. (25) 2. ·(25210+ 40+ 25� 25 + 20) - 42 έχουμε πολύκαιχρόνογράφουμε διάθεσή να μην γρά;ψουμε την αριστερή στήλη, αλλάνα Ανλέμεδεν«μέΟ"α μόνο τους συμβολιgμούς. 1

της

0 κιλά

αλάτι

χρόνο,

Ύα

ακο

•

βγά

Λύση - Μέθοδος

•

Για

Βήμα 1°

κιλ

0 0 1Ctλά

Βήμα 2° κιλά

y(t)

t λεπτά

ανά

Βήμα 3 °

αλάτι

200

. Βημα 4° Αλά .

Σημείωση :

τα

eΑ(ι)

ln( 1 0

Είναι

μαρ)

να

200

20t

'·.

κιλ '

αλά

που

40t

σύνολο 200

1 κιλ '

20 κιλά I

1 κιλό

στη

I +

1 0.

μας, μπ<ψσ6με

rΕοκJeίleιΙιΙ. ΓetιιμεrpίΙιΙ. 6 ιfοχeίιιο (Mi:rtJII611 ΚfικJιιο}

(Συνέχεια α�ό το προηΎούμενο τεύχος (3 4))

IV) Στη

του κύκλου που

επι πρέπει θα σημάνουμε τον τύπο συνδέει το εμβαδό (α rad) ενός κυκλικού τομέα 1cαι ενός τόξου που εί ναι: μέτρηση

να Ea

του ;

1 2

�

Ea = S R

Θανάση Τσιούμα

ι 5 R) ι R R =(γιατι Εα = ::-αR- = ::-α

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4/49

----- Μαθη ματικά για τη Β"τάξη τον Λuκεiου

Στο σχήμα έχουμε ένα τετα�οκύ--.. ώ κλιο, ακτίνας R και το σημείο Σ του τόξου ΑΒ, στε (ΟΒΚ) ...... = (ΚΑΣ). Να δειχτεί ότι το μήκος του τόξου ισούται με R. Παράδειγμα ΑΣ

--τ- ) = Επίση ς, y = πR2- = πR2 - (-πR3-2 - �

- (8π - 3:J3)R2 12

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Λύση

......

χ.

Έστω (ΣΑ) = Είναι (ΟΚΒ) = (ΚΣΑ) ( I ) οπότε (ΟΒΑ) = (ΟΣΑ) ή R2R = kxR ή I χ = R I

1 . Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α = 6. Με κέντρα τις κορυφές του γράφουμε ε σωτερικά του τετραγώνου τέσσερα τεταρτο κύκλια, που τέμνονται στα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν. Να υπολογίσετε το εμβαδό του καμπυλό γραμμου τετραγώνου ΚΛΜΝ. Λύση

Είναι ΛΑΜ = 30° (γιατί;). Οτσι, η χορ ο τμήμα του κυκλικού δίσκου που περιέχε δή ΜΑ = λι 2 κανονικού δωδεκαγώνου, ακτίται μεταξύ ενός τόξου και της χορδής του, λέγεται νας α = 6, άρα I ΜΑ = 6 � I ( I) και έχει εμβαδό Τ = Εο� - ( ΟΑΒ ) τ

Παρατηρήσεις

�

κυκλικό τμήμα,

Το σχήμακύκλων που περικλείεται από τους τα τόξα δύο τεμνόμενων που τα κέντρα βρίσκο νται προς το ίδιο μέρος της κοινής χορδής λέγεται

και ΑΗ = αι2 = � � ή (2) I ΑΗ = 3 .V2 + :JJ I (από τον τύπο του Αρχιμήδη) Δ

μηνίσκος.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγε γραμμένο σε κύκλο (0, R). Αν γ = -.Jα2 + β2 - αβ , να υπολογιστεί το εμβαδό των κυκλικών τμημάτων y που η χορδή ΑΒ χωρίζει τον κύκλο. Άρα τ = ΕΑ.� - (ΑΜΑ) = Λύση 2 · 30° -Ι6I -ν2 -� 6- � Έχουμε: γ2 + α2 + β2 - αβ και από το Θ. των π· 6360ο - ν3 2'J 2 + ν3 = 3π - 9 (3) συνημιτόνων είναι: συνΓ = ! ή Γ = 60° οπότε Το εμβαδό του τετραγώνου ΚΛΜΝ είναι: ι AB = λ3 = R:JJ ι . (ΚΑΜΝ) = ΜΑ2 = ( 6ν2 - -Jj) 2 = 36 · (2 - -Jj)(4) Επομένως, το εμβαδό του καμπυλόγραμΕίναι: ΑΟΒ = 120°, άρα μου τετραγώνου ΚΛΜΝ θα είναι Ε = (ΚΑΜΝ) + 4τ και από (3), (4) έχουμε: Ε = (3π - 9) · 4 + 36(2 - -J3) = 1 2 (3 + π - 3-Jj). Παράδειγμα

χ,

Δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, 3R) εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Φέρνουμε την κοινή εξω tερική εφαπτομένη ΡΣ. Να βρεθούν : i) Το εμβαδό του μικτόγραμμου τριγώνου ΡΑΣ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/SΟ

Μαθηματικά -yια τη Β 'τάξη τοu Λuκε ίοu

ii) Η ακτίνα

γραμμένου τρίγωνο ίίί) ΡΑΣ.

και το εμβαδόν του εγγε κύκλου στο μικτόγραμμο

, γραμμου χωριου

χ =

(Sπ - 6\13)

R1•

Λύση

ί) Έ στω Ε το εμβαδό του ζητούμενου καμπυ λόγραμμου τριγώνου ΡΑΣ. Είναι Ε = (ΚΛΣΡ) - Εκ.Αf. - ΕΛ.� ( 1 ). Ρ

Είναι τ = ΕΑ1.Α�ο - ( ΟΑιΑ2) 2 · 60° R2 13 = Β:ι2π 3- '3) = πR360° Ι 2\ V .:J Επειδή Α3Αι = λ3 = R..,f3 ο τομέας Α3.ΑιΑs θα έχει εμβαδά _

Ε υ .-.

,...., -

_.., -

-: R

3 � - 60°

�6

(1)

ιαιιcλικός

πR2

= 2 (2)

3R Λ

Υπολογίζουμε του κοινό εξωτερικό εφα πτόμενο τμή μα Από το Κ φέ ρνουμε ΚΒ//ΡΣ. Τότε ΚΒ = ΠΣ (αφού ΡΚΒΣ ορθογώνιο). Από το ο ρθογώνιο τ ρ ίγωνο έχουμε:

ΡΣ.

ΚΒΛ ΚΛ (4R)2 (2R)2 = Β2 2 ΛΒ2 Κ = = 1 2R2• Το εμβαδό του τ ρ ιγώ ο υ ΟΑιΑ1 είναι Οπότε: ΚΒ = {12 R = 2..,[3 R άρα και Ι R R2 \ .., 1 (ΟΑιΑ3) = 2 Αι Α3 ·ΟΗ = 2 R ....{3 · 2 = 4 (3) ΡΣ = 3{3 R. Ρ + �)- ΡΣ = Επομένως το εμβαδό Ετσ ι , (ΚΛΣΡ) = (Κ χ = ΕΑ3 .Αλ - (0ΑιΑ3) - (OA3As) - 2τ ή 2 = (R + 3�) 13 R = 4..,[3 R2 χ = ΕΑ3.Α;λ5 - 2(0ΑιΑ3) - 2τ και από (1), (2), (3) (2) δ 5π Επε ι ή ΛΒ = 2R = �Λ , άρα η γωνία προκύπτει ότι I χ = ( 6W) R2 1 Κ ι = 30° στο ορθογώνιο ΚΛΒ . Οτσι, ΛΚΡ = 1 20° κα Λ = 60°, οπότε: ΑΙ'Κίιl'eιs ΚΑΙ ΠpΙ6JίιpΙΑτΙΑ κ(ι) π R 2 1 0° 2 Εκ.Α Ρ = 360οπR2 = -3(3) ΥΙΚiΙΥ TΙpiJγ 60° π(3R)2 = 3πR2 Γ. Σιάχος - θ. Τσun)μας ΕΛ.ΑΣ = 360ο (4) 2Από (1), (2) , (3), (4) έχουμε : Πρόβλημα ραδιοσταθμός CONIC FM εγκατέστησε μια 2 2 3πR 1 πR 1 π 2413 ' Ε = 4"V'3.:J R2 3 2 η Ε = 6 R2 κεραίαΟ στην τοποθεσία Τ και εκπέμπει το σήμα του προς όλες τις κατευθ6νσεις. Η ακτίνα εκπο ii) Να λυθεί ως άσκηση. μπής είναι SOkm. Στη θέση Ο βρίσκεται ένα σπίτι, Θα βρεθεί ότι: η σχέση που που το θεωρούμε ως αρχή ενός συστήματος συντε Απάντηση. συνδέει τις ακτίνες R, 3R και χ είναι ταγμένων, ως προς το οποίο είναι Τ( Ι Ο, -30). α) Να ελέγξετε αν το Ο είναι μέσα στην εμβέλεια •_ ι = -•- + του σταθμού . ν

""'

ψ. νR {JR' 3.

Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑιΑ2 . . . Α6 εγγε γραμμένο σε κύκλο (0, R). Με κέντρα Α2,

β) Στην περιοχή υπάρχει ένας αυτοκινητόδρομος που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(Ο, Ο) και δ 13°, Ένας οδηγός που κινείται στον ρόμο

A30As αντίστοιχα. Επίσης, με κέντρο Α3 και ακτίνα A3As γράφουμε το τόξο ΑιΑs. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του καμπυλό-

αυτό, θα μπορεί να ακούει τον ραδιοσταθμό; (όλες οι αποστάσεις είναι σε km). γ) Στη θέση Κ πρόκειται να αρχίσει δοκιμαστι-

,-..

Α4 και ακτίνα

,...., �- Ο}

γράφουμε τα τόξα Α30Αι,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.y. τ.4/5 1

Μαθη ματικά yια τη Β'τάξη του Λυκείου

CONIC FM .

κές εκπομπέςΑνένας άλλος ραδωσταθμός στηνεκπο ίδια δημιουργούνται «παράσιτα» στον συχνότητα. είναι Κ(20, 30 και η ακτίνα ) μπήςστον του ραδιοσταθμό είναι Okm, θα δημωυργηθούν «παράσι Ένα πλοίο Π κινείται γύρω από ένα μικρό τα» νη σίσειςΒ και= η θέση του προσδιορίζεται από εξισώ IR . 2ημθ,την =εξίσωση 3 2συνθ,τηςθγραμμής Να βρείτε την ο Αφού τα ηχητικά σήματα κι ν ούνται προς όλες ατις) κατευθύνσεις, ποία ακολουθεί το πλοίο.και ποια είναι η μέγι μπορούντο νασημείο φτάσουν μέχρι τον Ποια κύκλο που έχει κέντρο Τ και ακτίνα είναι η ελάχιστη στη απόσταση τουνησιού; πλοίου από το λιμάνι κάποιου κοντινού ως50km.προςΘατονπροσδωρίσουμε κύκλο αυτό. Είναιλοιπόν τη θέση του Ο Στο μέσοαπότηςτο Β,απόστα�ς της πορείας του (Οτ) = "./ο ο - ογ + <-3ο - ογ = "./ 100 πλοίου κινείται συνεχώς μια βενζι = ν 1000 = 10\[ϊδkm sokm νάκατος γιαη ναεξίσωση ελέγχειτηςκαλύτερα τοτηςνησίβενζιΒ. Άρα ο ραδωσταθμός «ακούγεταυ> στο σπίτι Ο. Ποια είναι τροχιάς Θα βρούμε τηντηεξίσωση τηςτηςευθείας ΑΒπρος και νάκατου; β) προσδωρίσουμε θατον σχετική θέση ως κύκλο (χ - 10)2 + + 30)2 = 502. Η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης 10 ο λ= = 3 οπότε 10 = 3 - Ο) Προτεινόμενο Πρόβλημα

CONIC FM;

Λύση

τις

ii)

Λ,

900

iii)

1Ο

ΑΒ : y -

(χ

- 30 - ο <=> y = 3χ 10 <=> 3χ - y 10 = Ο. 13 · 10 - ( -30) 101 d(τ, "./32 ( -1)2 - {ΪΟ 70 - 7oJϊQ - 7-νr.;; 10 !u km. 10

Τότε ΑΒ) = -

d(τ, ΑΒ) 50km, η ευθεία ΑΒ τέμνει Επειδή που τον κύκλο, σημαίνει ότι υπάρχει τμήμα του δρόμου στο οποίο «ακούγεταυ> ο ραδωσταθμός. Δηλαδή μέχρι τον κύκλο (χ - 20)2 + - 30)2 = 102. γ)περίπτωση «Παράσιτα» θακύκλοι δημιουργούνται μόνο στηνΕ που οι έχουν κοινά σημεία. πομένως δύο κύκλων.θα προσδωρίσουμε διάκεντρος είναιτη σχετική θέση των

ΑΣΚΙΙΣΕΙΣ 1.

Δίνεται κύκλος C: χ2 + y2 = 12 (1) και το κινητό του σημείο Ρ (χ1 , y1). Ενώνουμε το Ρ με το σημείο Σ(7, 0). Να αποδειχτεί ότι το μέσο Μ του τμήματος ΣΡ διαγράφει κύκλο, που να βρεθούν η ακτίνα και το κέντρο του, όταν το Ρ κινείται στον C. Υ

Λύ ση

Έστω το μέσο του ΡΣ τότε χ = ; 7 ' η , χι = 2χ - 7και Υ = 2 οποτε και = YL±.Q 2 αρα (1) γίνεται (2χ - 7)2 + (2y)2 = 12 {χ �)2 + = 1 2 (χ _�τ + = 3. Επομένως το κινείται σε κύκλο κέντρου (Κτ) = "./( 10 - 20)2 + (-30 -30)2 = "./ 100 + 3600 ��' Ο) και ακτίνας ρ = -{3. Αν Κ το γνωρίζουμε μέσο του ΟΣότιτότε από την Ευ = '\}3700 = 10\[37 10 + so = 60km. κλείδεια Γεωμετρία Άρα οι κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία, οπότε δεν Χι

Μ(χ, y)

χ'

<=>

4y2

<=>

β ' τρόπος

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.y. τ.4/52

------ Μαθηματικά για τη Β 'τάξη 1'01> Avκεiov

ιΚΜι = Ι �Ρ Ι = --+

ψ ή ικΜι

V3.

δηλαδή το Μ απiχει από το σταθερό V3 επομένως θα ανήκει σε κύκλο (Κ, V3).

σημεiο Κ από

σταση

Δίνεται κύκλος C: χ2 + y2 = 9 και το ση μείο

�

2t,

� + �} t

οπότε οι συντεταγμένες των σημείωy Α, Β θα επα ληθεύουν την εξίσωση �t· x + (� t + �) = 9 άρα I ΑΒ: 2t·x + (� t + η y = 9 1 y

(1)

IR.. Από το Ρ φέρνουμε τις ε

φαπτόμενες ΡΑ και ΡΒ του κύκλου C αφού πρώτα αποδειχτεί ότι Ρ εξωτερικό του C για κάθε t Ε IR.. Στη συνέχεια να δειχτεί ότι το

ση μείο

�- �' )

2 ανήκει στην ευθεία ΑΒ.

Έχουμε IOPI2 = 4t2 [23 (t + 3)J 2 με I OPI2 9 Οι συντεταγμένες �-� 2) διότι είναι 25t 2 + 54t + 45 (Δ , 0). Άρα το Ρ ( είναι εξωτ. του κύκλου. Έστω Α(χ ι), ι Υ την διότι 2t �) + (� t +�) 2 τότε οι εξισώσεις των ΡΑ, ΡΒ είναι για κάθε t Άρα το Σ ανήκει ΡΑ: + Υτου 9. Οι συντε Υι = 9ΡκαιθαΡΒ: +επαληθεύουν ταγμένες άρα 9t·χι + (23t + 29�J Υι = 9 και 2t· x + (23 t + 29) = 9 Λύση

--+

>Ο

χχι

ΧΧ2

B(xz, yz)

Α.

Β'

(1)

YYz =

τις

τοu

εmληθεύουν 9

ισχύει

στην εuθεία ΑΒ.

IR.

ιfυκείου Τεχvο.λοyικiι Κα τ εύΡυ v ι-ιι

θέματα Επαvά.λιιιf ns

του Βασίλη Καρκάνη

Ε ρ ωτήσ εις του τύ π ου Σωστό - Λ άθ ος Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις

όταν

Ησυμπλήρωσε Δήμητρα όταν γεννήθηκε ζύγιζε0,3,19 kg,kg.οπότε: Όταν συμπλήρωσε τον 6° μήνα ζύγιζε 8,1 kg και τον μήνα ζύγιζε α) (συμπληρωμένο) Το ποσοστό αύξησης του161,βάρους της Δήμητρας από τη μέρα που γεννήθηκε μέχρι τον 6° μήνα είναι: 3 % (περίπου) ° μήνα μέχρι και τον 11 ° (συμπληρωβ) Τομένο)ποσοστό αύξησης του βάρους της Δήμητρας από τον 6 είναι: 38,6% (περίπου) 2. Ένα κουστούμι στα καταστήματα «ZARA» πουλιέται σε τιμή δραχμές. Στη περίοδο των εκπτώ σεων ηεπιπλέον τιμή του20%μειώνεται κατά 20%.τουΣτη«ξεπουλήματος» περίοδο των «προσφορών» η τιμή των εκπτώσεων μειώ νεται και στη περίοδο η τιμή των προσφορών μειώνεται ακόμη πουλιέται στηναπότιμήτηνπ.τιμή Τότε: στην τιμή π είναι 0,4. α)β) Τοκαιδείκτης εξέλιξης (μείωσης)60%απόη τιμή την τιμή στην τιμή είναι π είναι:η π.48,8%. που θα προκύψει γίνει έκπτωση γ) Αν συνολικό τιμή εξέλιξης στην αρχικήποσοστό 3. Αν γνωρίζ<?υμε τις προσεγγιστικές τιμές με έλλειψη και υπέρβαση των μεγεθών και τότε: α) μπορούμε πάντοτε να βρούμε προσεγγιστικές τιμές για το μέγεθος: .!χ β) μπορούμε πάντοτε να βρούμε προσεγγιστικές τιμές για το μέγεθος: Υ 1.

1 1°

·· · ·

αο

20% Ο

αο

1 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/53

Μαθηματικά για τη Β 'τάξη του Λυκειου

, παντοτε , να βρου' με προσεγγιστικες, τιμες, για το μ.εγε' θος: 3"1 - 21 y - 7 . γ) μπορουμε 4. Έστω οι ευθείες ει, εz με διανυσματικές εξισώσεις: 3 j +λ( j ), λ -2 - 3 j + μ (5 - 5 j ), μ αντίστοιχα. Τότε: γωνία 45°. α)β) ηη ειει είναι σχηματίζει τονστηνάξοναε κάθετη 2 , - 1� 1� . , στο διανυσμα - 7 1 7 γ) η ε2 ειναι παράλληλη 5. Δίνεται η εξίσωση: (3y 36 τότε: α)β) εξίσωση εξίσωση παριστάνει κύκλο μεμε κέντρο το=σημείο Κ(Ο, -3) παριστάνει κύκλο ακτίνα ρ 4 γ) εξίσωση παριστάνει κύκλο και το σημείο Μ( 1, -1) είναι εσωτερικό του σηj.ιείο. _..,.

�

r =

i +

_..,.

...__..

i +

--+

.......

χ'χ

IR,

--+

......

r =

Β.

.......

u =

Η Η Η

--+

+ 3 )2 =

9χ2 +

Ερ ωτή σ εις Πολλαπλ1ίς Ε πιλογής Στις ερωτήσεις που ακολουθούν να επιλεyεί η σωστή απάντηση από τις προτεινόμενες.

' τις οποίες το 4% είναι ελαττωματι εργοστάσω παράγει οθόνες ηλεκτρονικώνκαιυπολογιστών αππαράγει 1. Ένα κές. Πόσες ακριβώς οθόνες ( ελλατωματικές μη) πρέπει να το εργοστάσω ώστε να δια θέσει στηνΑ.αγορά 19200 μη ελαττωματικές οθόνες; 21000 Β. 20000 Γ. 22000 Δ. 23000 Ε. 22600 κάποιος στην τράπεζαπροβλέπει κεφάλαωναΚεισπράξει δραχμών ταμε χρήματά επιτόκιο του 7% και με συμφωνία να ανατοκί 2. Κατάθεσε ζετε ανά έτος. Αν η συμφωνία (κεφάλαω και τόκος) ύστερα από πέντε χρόνια τότε θα πάρει: Α. ( 1 1�} Β. ( 1 1�0}5 Γ. (1,07Κ)5 Δ. Ο,75 Κ Ε 1,075 Κ του σχετικού σφάλματος ενός μεγέθους είναι ε = 5%. Αν έχει προσεγγιστική τιμή 3. Τοα =άνω 20,5φράγμα τότε η ακρίβεια της προσέγγισης είναι: Α. σ = 1,25 Β. σ = Ο,Ο25- Γ. σ = 1,15 Δ. σ = Ι,Ο25 Ε. σ = -1,025 4. τιμή της παράστασης π = -2 (3 5 j ) είναι ίση με: Δ. Ο Ε. 16 Γ. 4 Α. 10 5. Αν η ευθεία ε: = β εφάπτεται του κύκλου 4 τότε η τιμή του β είναι: Δ.- --[2. Ε. -2 Γ. ±2 Α. ±2...[2. Β. --[2. +

Γ.

i +

-6

Β.

c: χ2 + y2 =

χ+

Θέματα Πλ1ίρους Ανάπτυξης

.Άσκηση ι Μία κάρτα σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις χ, y έχει βάρος Β0 με: 13,8 < Β0 < 14,5

α) β)

•

θα έχουμε μεγαλύτερο απόλυτο σφάλμα του βάρους της κάρτας όταν πάρουμε προσεγγι στική τιμή : i) το 14,1 ή ii) το μέσο όρο των ορίων του Μετρώντας τις διαστάσεις της κάρτας δυο φορές πήραμε τα εξής αποτελέσματα σε cm: χ = 7,6 ± 0,1 και y = 10,2 ± 0,2 (lη φορά) και χ = 7,2 ± 0,15 και y = 10,5 ± 0,1 (2η φορά). Για την ημιπερίμετρο της κάρτας με ποια μέτρηση έχουμε το μικρότερο σχετικό σφάλμα;

Βο;

Λύση

<=>

α) Με προσεγγιστική τιμή το 14,1 έχουμε: 13,8 Β0 14,5 13,8 - 14,1 Β0 - 14,1 14,5 - 14,1 -0,3 Βο - 14,1 0,4 -0,4 Βο - 14,1 13•80,4 14•5IBo - 14,11 0,4. , ορο , δηλαδη, 2 14, 15 ομοια , , εχουμε: Με προσεγγιστικη, τιμη, το μεσο 13,8 -φανερό 14,15 ότιΒ0μεγαλύτερο 0,3 5έχουμε Β0 - 14,1 5 0, 3 5 I Βο - 14,151 0, 3 5 0,4 και - 14,15 14, 5 - 14, είναι απόλυτο σφάλμα στην πρώτη περίπτωση. <=>

<=>

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4/54

<=>

Μαθηματικά Ύι« τη Β·τάξη τοv Λvκειοv

β)

Η ημιπερίμετρος της κάρτας είναι: Ρ

= + = (7,6 ± 0,1)+ (10,2 ± 0,2) = 17,8 ± 0,3 ει = �7�8 ::: 0,0 168. Επί= (7,2 ± 0,15)·+ (10,5 ± 0,1) = 17,7 ± 0,25 = ��;::: 0,0 141.Είναι 2η χ

·Ετσι την 1η φορά έχουμε: Ρ 1

2η

σης, τη

φορά είναι: Ρ2

και

και ε2

φανερό ότι ε2 < ε1, οπότε μικρότερο σχετικό σφάλμα της ημιπεριμέτρου έχουμε στην .Άσκηση 2

--+

--+ --+

--+

μέτρηση .

--+

Δίνονται τα διανύσματα: α = i - 2 j , Ρ = 2 i - 5 j και γ = (7, 3). -+

β)

Να δειΥθεί ότι: ( α + p ) .i γ

γ)

-+ 4 -+ u , v , w είναι

τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα ; ως προς την αρχή --+ --+ --+ --+ --+ --+ -+ -+ Ο των αξόνων με u = α + (κ - l) p , ν = 2κ α + (3 - κ) p , w = γ - 7α και τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, να βρεθεί ο κ ε IR. Αν

δ)

Λύση

.....

= (1, -2),- = (2, -5), γ = (7, 3). 1 Χα Υ α tt β. α -1 άρα = 4 Ο, + = -5 = I :;t - 2 _25 I Χβ Υβ I � -: I = 6 + 35 = 41 :;t Ο, άρα: β tt 7 I � -: I = 3 + 14 = 17 :;t -; tt 7. χ , y iR γ = χα + yβ τότε: (7, 3) = χ (1, -2) + y(2, -5) <=> { -χ2χ+-2y5Υ=-_73 } <=> Υχ -_= -4117 γ =41α - 17β . γ. γ = 21 -21 = Ο, α + β = (3, -7), ΟΑ = ΟΒ = ν,. ΟΓ = Α, Β, Γ ΑΒ 1 ΒΓ (1) ΑΒ = ΟΒ - ΟΑ = - + (7+ + 2 ) 2 -5) + + -20 = <=> I 7 -6- 32 - 18 I = ο ΒΓ = ΟΓ - ΟΒ = ν = ... = 32 <=> 3 + <=> = 35 ±ιm ζητούμενες . β

Έχω: α α)

---

Να δειχθεί ότι τα διανύσματα α , p , γ είναι μη συγγραμικά ανά δύο. -+ -+ -Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των α και p .

α)

Είναι:

Ό μοια: β)

γ) δ)

Έστω Άρα

Ο, άρα

και

__.

Επίσης:

Ακόμη,

--+

Είναι: (2κ - 1 , -4κ

2κ2 - Sκ

--+

w -

--+

α + β)· οπότε : (--+ --+ -+

--+

.......

__.

--+

ν (8 - 4κ,

--+

1 16 = Ο

Αν

--+

άρα ( α + � β ) .i --+

συνευθειακά τότε: --+

= (2κ - 1 ) α Ι Οκ) =

(4 - 2κ) β = (2κ - 1 ) ( 1 , -2) (4 - κ ( , 2κ, 6κ - 1 8) και 2κ 6κ κ) οπότε, από ( 1 ) κ

(-6,

τιμές

οι

.Άσκη ση 3 α)

α)

--+

ΟΒ = 3 i + 5 j , ΟΓ = - 6 i - 3 j . Αν στις κορυφές Α, Β, Γ έχουν τοποθετηθεί βάρη 8kp, Skp, 7kp αντίστοιχα τότε να βρεθεί το διάνυσμα θέση ς του pαρυκεντρου του συστήματος. --+

Ομογενής μεταλλική πλάκα ΑΒΓΔ έχει σχήμα ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις ΑΒ = 12cm, ΓΔ = 6cm και ΑΔ = ΒΓ · = 6cm. Αν Ε το μέσο της ΑΒ να βρεθεί το κέντρο βάρους G του σχήματος που απομένει αν αφαιρέσουμε από το τραπέζιο το τρίγωνο ΕΓΔ. Στη συνέχεια αν Θ το μέσο του ΓΔ, να δειχθεί ότι τα Ε, G, Θ είναι συνευθειακά.

Λύση Έχω α = 8kp, β = Skp,

0 -+ α G_ -

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με διανύσματα θέσης των κορυφών του τα: ΟΑ = 2 i - j ,

7kp, οπότε αν G το βαρύκεντρο του συστήματος τότε:

γ= ΟΑ + β ΟΒ +γ ΟΓ -_ 8 (2 - j ) 5(3 + 5 7(6 - 3 -11 - 4 -_ - !! � l � ζ . 20 20 - 5 8+5+7 + +γ -+

-+ -+

j)+

α β μενο διάνυσμα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ s· λ.Ύ. τ.4/55

το ητου

Μαθη ματικά Ύια τη Β 'τάξη τοv Λuκείοv

β) Τοποθετούμε το τραπέζω στο επίπεδό των αξόνων, όπως στο σχήμα. Δηλαδή, η κορυφή Α στο κέντρο του συστήματος και η βάση ΑΒ να συ μπίπτει με τον άξονα χ ' χ. Τότε από τα δεδομένα έχουμε Α(Ο, Β( 12, Επίσης τα τρίγωνα ΑΕΔ, ΕΓΔ, ΒΓΕ είναι ισόπλευρα με πλευρές

Ε(6, 0).

6cm, ύψος υ =

0), 0), ψ. = � και εμβαδό: Ε =� = ψ = 9\{3 cm2• cm

Αν G1, G2 τα βαρύκεντρα των τριγώνων ΑΕΔ και ΒΓΕ (που απομένουν μετά την αφαίρεση του τρι γώνου ΕΓΔ) τότε το G1 σημείο της διαμέσου ΔΖ (είναι και ύψος) και το G2 σημείο της διαμέσου ΓΗ (εί-

�z = � = 3f = �

�) και G2 (9, �). Εφόσον G τούμενο βαρύκεντρο τότε: 9· W = ι o8..J3· Υ = ..JJ ·W + ....t3·W = 2L =� . W + 9\{3 = ·9\{3 18� ' σ 9\{3 + 9\{3 18� +

ναι και ύψος). 'Ετσι, GιΖ χ

G� οπότε: G 1 (3,

το

ζη

Δηλαδή, G(6, � ). Ακόμη, Δ(3, 3� ) και Γ(6, 3� ) οπότε το μέσον του ΓΔ είναι το Θ(6, 3� ). Ε φόσον Ε, G, Θ έχουν την ίδια τετμημένη τα σημεία Ε, G, Θ είναι συνευθειακά. Άσκηση 4 -+

Έστω r = 3 ί j + λ ( ί + 2 j ) , λ Ε IR η διανυσματική εξίσωση μιας ευθείας. α) Να βρείτε τις παραμετρικές εξισώσεις της ε. •

β) Να δειχθεί ότι το σημείο

με διάνυσμα θέσης το 2 ί + j είναι ση μείο της ευθείας ε.

γ) Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου

ως προς την ευθεία η : r

--+

i + 4j

•

�

κ( ί + j ).

- - - { χ = 3 - λ , λ οι ζητούμενες παραμετρικές εξισώσεις. Υ-= 2λ- 1 - - { 3 - λ = 2 <=> λ = 1 Είναι ΟΑ = 2 + j οπότε αν Α = <=> 2 ί + j = (3 - λ) i + (2λ - 1) j <=>

Λύση

α) Είναι: ε: r = (3 - λ) i + (2λ - 1 ) j , οπότε

i Ο r β) 2λ και εφόσον ορίζεται λ το Α είναι σημείο της ε. γ) Η ευθεία η είναι παράλληλη στο διάνυσμα u i � ο_e!σουμε την εξίσω�� είας ζ που είναι κάθετη στην η και διέρχεται από το Α. Εφόσον το ν ί j είναι κάθετο στο u ( ν u η ευθεία ζ θα είναι παράλληλη στο ν οπότε για μ Ε IR , ζ: r 2 i j + μ( i j ) η ζητούμενη. _

1=1

- = - +j . = = Ο) = + - { κ- =2+μ Από τις η, ζ έχουμε: (κ - 4) + (4 + κ) j = (2 + μ) ί + ( 1 - μ) j <=> + Κ= 1 - μ - - - 9- 9 Έτσι, αν σημείο τομής της ζ με την η από την ζ μ = - 2 παίρνουμε: = 2 + j - 2< i - j ), δηλαδή . (- 2•5 211). τσι, αν Α ' το συμμετρικο, του Α προς η τοτε, το μεσο, του = - 25 --:+ι + 211 --:+J , αρα 2 + ΧΑ · ΧΑ = = Χ Μ 2 <=> ΧΑ - 7 ΑΑ ' δηλαδή: �+ΥΑ' <=> 1�1 - 1 Υ .. _: 10 ΥΑ Α ΥΜ -_ 2 2 2 Δηλαδή: Α ' (-7, 1 0) το συμμετρικό του ως προς την η. -+

--+

0Μ

{

ΧΑ·

--+

{

για

--+

την

- -

�

Άσκηση 5 Δίνονται οι εξισώσεις : C1: χ2 + y2 2χ + 4y + 1 •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

Ο , C2: χ2 + y2 10χ 2y + 17 = Ο •

λ.y.

τ.4/56

•

Μαθη ματικά Ύια τη Β ·τάξη του Λι>κεiου

α) β) γ) δ)

Να δειχθεί ότι οι Cι, C2 εκφράζουν κύκλους στους οποίους να βρεθεί το κέντρο και η ακτί να τους. Να εξεταστεί η θέση των δύο κύκλων. Να εξεταστεί η θέση του σημείο M(l, 2) ως προς τον κύκλο C ι και του Ν(6, Ο) ως προς τον κύκλο Cz. Αν Κι, Kz τα κέντρα των κύ κλων Cι, Cz να βρεθούν τα μ, ν ώστε το Κι να είναι σημείο της ευθείας ει : y = μχ - 2 και το Kz ση μείο της εz : (ν - 7)y = - χ - ν αντίστοιχα.

α)φράζειΜεκύκλο τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου οι εξισώσεις γράφονται: C 1 : (χ - 1 )2 + (y + 2 )2 = 4 που εκ το Κι (1, -2) και ακτίνα = 2. Επίσης: Czμε :κέντρο (χ - 5 )2 + (y - 1)2 = 9, άρα κύκλος με κέντρο το Κ2(5, 1) και ακτίνα ρz = 3. β) Είναι: (Κι Kz) = ....}(5 - 1)2 + (1 + 2)2 ={ϊ6+9 5 2 + 3 ρι άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξω τερικά. Εί ν αι: (Κι κύκλου Cι. Μ) ....}( 1 1)2 + (2 + 2)2= ...J16 = 4 2, δηλαδή (Κι Μ) > ρι άρα το Μ στο εξωτερικό του ς: (Kz Cz.Ν) = ....}(6 - 5)2 + (Ο - 1 )2 = ....{ϊ+1 = ...[2 3, δηλαδή (Kz Μ) < ρz, άρα το Ν στο εσωτε Ετουπίσηκύκλου ρικό δ)(ν - 7Αν) 1 το-5Κι- ν <=>σημείο της - 2 <=> τιμές. μ Αν το Kz σημείο της εz τότε: ν Άραει,μ τότε: Ο και-2 1 οιμ·1ζητούμενες · Λύση

ρι

γ)

+ ρz

Ο.

Άσ κη ση 6 α) β) γ)

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(2, Ο), έχει ακτίνα ρ =

'NJO

και η τεταγμένη του κέντρου του είναι τριπλάσια της τετμημένης. Αν Κ το κέντρο του προηγούμενου κύκλου τότε το Κ είναι σημείο της ευθείας ε: Sx 5y = 14 Σωστό , ή Λάθος; Η ευθεία η : y = χ κ εφάπτεται του κύκλου που βρέθηκε στο α ερώτημα όταν το Κ ισούΓ 2 Δ 8 , 4 ο Ε 8 , 4 Β 3 ται με: Α . η. - ' . - η5 • '

. '

Λύση

α) Έστω C: (χ - χο)2 + (y - Υο)2 = p2 όπου Κ(χο, yo) το κέντρο του ζητούμενου κύκλου και ρ 3"'? η ακτίνα του. Επίσης: Υο = 3χο ( 1). Έτσt, η εξίσωση του κύκλου γράφεται: C: (χ - χο)2 + (y - 3χο) ;�. Α κόμη, το Α(2, Ο) σημείο του κύκλου οπότε: (2 - χο)2 + (Ο - 3χο)2 9025 <=> ... <=> (5χο - 1 ) = ο <=> χο = 51 και από (1): Υο = �. Άρα: C: (χ -k) + (y -�J = ;� η ζητούμενη εξίσωση. β) Λάθος γ) το Ε. =

ι.

α,Σ β, Λ α, Λ β,Σ γ, Λ 2.

ι.

Απανη) σεις σωστού λάθους 3. 4.

α, Λ β, Λ γ,Σ

α, Λ β,Σ γ, Σ

Απαντήσεις Ε ρωτήσεων Ποl)..απλής Επιλογής

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.Ύ. τ.4/S7

α, Λ β, Λ γ, Σ S. Α

------- Μαθηματικά 'Υ'α τη Γ' τάξη του Λυκείου

yιa

Μαθnμα-ιικά -ιn r' -ιά�n -ιοu Λuκι:ίοu

Βακαlόποuλος Κ. - Δράκος Γ. - Καλομιτσίνη Α. - Καρκάνης Β. - Κόντζιας Ν. - Τσικαλιrοδάκης Γ. - Τσιούμας Θ. - Χαραλα μποπο6λοu Λ.

Υπεύθυνοι στήλης:

του Ανδρέα Αρβανιτογεώργου 1.

Ένα σακί περιέχει άμμο η οποία διαφεύγει από μία τρύπα του, έτσι ώστε μετά από t δευτερόλεπτα η ποσότητα που βρίσκεται

( - :�J

στο σακί είναι s(t) = 50 1

χυδρομικών τελών. Ο ρυθμός κατά τον ο ποίο ο πληθυσμός ενημερώνεται για την αύξηση αυτή, είναι ανάλογος με τον αριθμό των ανθρώπων οι οποίοι δεν έχουν ακού σει σχετικά με την αύ ξηση των τελών. Εκφράστε τον αριθμό των πολιτών οι οποί οι έχουν ενημερωθεί σχετικά με την αύ ξηση ως συνάρτηση του χρόνου. Δίνεται: Β ο συνολικός πληθυσμός της χώρας.

κιλά.

(α) Πόσα κιλά άμμου υπήρχαν αρχικά στο σακί; (β) Με τι ρυCμό διαφεύγει η άμμος μετά από 1 δευτερόλεπτο;

(γ) Σε πόσο χρόνο θα αδειάσει το σακί; Με τι ρυθμό διαφεύγει η άμμος τη χρονική στιγμή που αδειάζει; [Λύ ση: (α) Αρχικά υπfι ρχαν στο σακί s(O) = 50 kgr άμμου. ( β) Ο ρυθμός με τον οποίο διαφεύγει η άμμος μετά από t δευτερόλεπτα είναι

15� 1 - :�τ (- :�}

s' (t) =

2<{��τ 17,42 � -

όταν 5

δηλαδή

απ' όπου προκύπτει ότι

t2 = άρα t = � δευτερόλεπτα. Τη χρονική στιγμή που το σακί αδειάζει (δηλ. σε δευτερόλεπτα περίπου) η ρυθμό διαφεύγει άμμος με s' (t) = kgr I sec.

..Jl5

15,

kgr/sec.

(γ) Το σακί θα αδειάσει όταν s(t) =

�1 - :�) Ο

ρυθμό

με

διαφεύγει

τερόλεπτο s ' (t) = -

άρα σε 1 δευ-

3,87

Η κυβέρνηση αποφασίζει αύ ξηση των τα-

Λύ ση Έστω E(t) ο αριθμός των πολιτών που έχουν ενημερωθεί για την αύξηση των τελών κατά τη χρονική στιγμή t. Τότε οι πολίτες οι οποίοι δεν θα έχουν ενημερωθεί κατά την ίδια χρονι E(t). Από τη διατύπω κή στιγμή θα είναι ση του προβλήματος προκύπτει ότι

Β-

�� = κ(Β - Ε) (κ = σταθερά) Άρα έχουμε ότι:

Β�

E = κ dt => Ed

- lni B

- ΕΙ

J Β�

E= Ed

= κt + c => ln(B E(t) =

Β-

κ dt =>

- Ε) -

Ae·κt

κt

c =>

Σημείωση: Η παραπάνω συνάρτηση είναι γνωστή και ως καμπύλη μάθησης το γράφημα της οποίας είναι το παρακάτω:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.Ύ. τ.4/S8

------- Μαθηματικά ΎLΩ τη Γ ' τάξη του Λυ κείου

5000 = χ + --. 10000 (χ) χ + 2-χ χ Θέλουμε να χιστοποιήσουμε τη10000 συνάρτηση ' (0, +οο). χ) = χ + -- στο διαστημα

E(t)

- - - - - - - - - - - - ·

Α(

ελα-

Χώρος στάθμευσης

Το όνομα της καμπύλης αυτής προέρχεται α πό την ψυχολογία και παριστάνει τη σχέση μεταξύ εκπαίδευσης ή εμπειρίας ενός ατόμου και αποτε λεσματικότητας του να εκτελεί μια εργασία.

Ε θνική οδός Α'

(χ) 1 - 100χ200 η οποία μηδενίζεται όταν 100. τιμή χ = -100 απορρίπτεται, άρα το κρίσιμο σημείο στο (0, +οο) είναι το χ = Ι 00. Για να ελέγξουμε ότι στο σημείο αυτό η συ + 6\{χ. νάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο χρησιμοποωύμε το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου. Είναι 2000 ' παvtα ' θεnκη' οταν ' χ Α"(χ) = 7 η οποια' ειναι Έστω Π(χ) ο πληθυσμός της πόλης μετά από (0, +οοΆρα). (επειδή επιπλέον lim Α(χ) = οο) η Α(χ) χ μήνες από σήμερα. τότε ο ρυθμός μεταβολής ολικό ελάχιστο στο χ = 100, συνεπώς θα χρει του πληθυσμού προς το χρόνο είναι έχει αστούν A(l OO) = 200 τουλάχιστον μέτρα περίφρα dΠ = 2 + _ ,-;6 χ αρα ' ' ' εχουμε ηρωνοvtας ο οτι ξης. dx Π(χ) = f (2 + &\{χ) dx = 2χ + 4χ312 + c. Στους ε πόμενους 4 μήνες από σήμερα η αύξηση του πλη θυσμού θα είναι -t3 9t2 lOt Π(4) - Π(Ο) = [2·4 + 4(4)312 + c] - [2· 0 + 4·0 c] = 40 άτομα. 3)

Είναι

Σύμφωνα με μία μελέτη, σε διάστημα χ μη νών από σήμερα ο πληθυσμός σε μία πόλη θα αυξάνεται με ρυθμό 2 άτομα ανά μήνα. Ποια η αύξηση του πληθυσμού στους επόμενους 4 μήνες;

χ=±

Λύση

ως

-v o

χ-σο

λοκλ

Το ταμείο διαχείρισης εθνικών οδών θέλει να κατασκευάσει έναν χώρο στάθμευσης αναψυχής σχήματος ορθογωνίου, εμβαδού SΟΟΟτ.μ. κατά μήκος της εθνικής οδού. Οι υπεύθυνοι του έΡΎου θέλουν να περιφρά ξουν το χώρο κατά μήκος των πλευρών του ορθογωνίου, αλλά όχι κατά μήκος της εθνι κής οδού. Ποιο το ελάχιστο μήκος περί φραξης που απαιτείται;

Μία μελέτη στην πρωινή βάρδια ενός ερ'Υο στασίου έδειξε ότι ένας μέσος ερ'Υάτης ο ο ποίος ξεκινά εf>Ύασία στις 8:00 π.μ., θα έχει + + αντικείμενα παράγει Q(t) = μετά την παρέλευση t ωρών. Σε ποια χρονι κή στιγμή ο ερ'Υάτης θα είναι πιο αποτελε σματικός; [Δίνεται: πρωινή βάρδια: 8:00 π.μ. - 12 μεσημέρι) Λύ ση

Ο Ο ρυθμός παραγωγής του εργάτη είναι R(t) = Q' (t) = -3t2 + 1St + 12. Θέλω να μεγιστοποιήσω την R(t) στο κλειστό διάστημα [0, 4]. Είναι: R'(t) = -6t + 18 = Ο όταν t 3. Έστω χ και y το μήκος και το πλάτος αvtί στοιχα του ορθογωνίου και Α το συνολικό μήκος R(O) = 12, R(3) = 39, R(4) = 3 6 . Άρα R(t) έχει μέ γιστο όταν = 3 δηλ. στις 11 : 00 π. μ. περίφραξης. Σε αυτή τη χρονική στιγμή ο εργάτης παράγει Τότε Α = χ 2y και επειδή xy = 5000 τότε με ρυθμό 39 αvtικείμενα/ώρα. εργάτης είναι πιο αποτελεσμαnκός όταν μεγιστοποιεί τον ρυθμό παραγωγής του.

Λύση

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.Ύ. τ.4/59

------- Μαθηματικά -yια τη

�I) Η μέlιiιs

τάξη τοv Λvκειοv

rιrs ιλιιιλίιpω6ιιs κιιτΑ πιιpΑyιvτεs

του και της Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν το ολο όπου φ(χ) είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση. Με την ίδια μέθοδο υπολογίζονται και ολοκληρώματα κλήρωμα είναι της μορφής: J: f(x) g(x) dx, με F ' (χ) = f(x) για κάθε χ [α, β] της μορφής: J: F(x) Ιησ(χ) dx, όπου F(x), σ(χ) είκαι' ακόμα η g είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και η ναι ρητές συναρτήσεις. g είναι συνεχής στο [α, β]. Υπενθυμίζουμε ότι ο τύπος της κατά παράγο ντες ολοκλήρωσης είναι ο: Jοπ J:F ' (χ) g(x) dx [ F(x) g(x)]� - J:F(x) g ' (χ) Είναι π πr χσυνχ π r χ(ημχ)' dx = [χημχ] 0-. r (ημχ) χ' dx = Jo Jo Jo 12 χ ex = Ο - fσπημχ dx = [συνχ]ο = -συνΟ = -1 - Ι = -2 Αρκετές φορές τον υπολο γισμό ενός ολοκληρώματος γίνεται όπως είπαμε ε Είναι J12 χ ex dx 12 χ (ex)' dx = [xex] f πανειλημμένη χρησιμοποίηση του τύπου της πα -Jl2 ex χ' dx = [χ ex] f - Jl2 ex dx = [xex] f - [ex] f = ραγοντικής ολοκλήρωσης. κ.λπ. J0 1 eι: χ2 Παραγοντική ολοκλήρωση ε φαρμόζουμε στα ολοκληρώματα της μορφής: Είναι fσl ex χ2 dx = fσ (ex) χ2 dx α) J:φ(χ) ημ(uχ + λ)dχ, = ( χΖ ex) � - Jro ex (χ2)' dx β) J:φ(χ) συν(uχ + λ) dx, = e - 2 11 ex xdx = e - 2 11 (ex)' dx = γ) J:eμχ ημ(uχ + λ)dχ, = e - 2 [ex x] � + 2 Iex x' dx δ) J:eμχ συν(uχ + λ) dx, = e - 2e + 2 Jor ex dx = - e + 2(ex] �. ε) J: φ(χ) eμχ dx, = - e + 2(e - 1) = e - 2. στ) J:φ(χ) eμχ ημ(uχ + λ)dχ, ζ) J:φ(χ)eμχ συν(uχ +λ) Jοπ/2 Βαyyέλη Ευσταθίου

Ρούλας Σπανδάγου

Παράδειγ μα:

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

χσυνχ dx (δεύτερη μορφή).

Παρ άδειγ μα:

Λύση

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

συνπ

dx.

για

Παρατή ρηση 2 :

Λύση

Παρα δείγματα: 1.

Παρ ατή ρη ση 1 :

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Λύση

dx.

dx ,

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.y. τ.4/60

χ! ημχ dx.

------- Μαθηματικά Ύtα τη Γ τάξη του Λυκε{ου

Λύση

fσπ/2 fοπ/2Χ2 (-συνχ)' dx = [ συνχ] {? r π/2 r Jo (χ2)' συνχ dx = Ο + 2 J o χ συνχ dx 2Jroπ/2 χ (ημχ)' dx = 2 [χημχ] {? - 2 Jroπ/2 χ' ημχ dx 2� - Ο - 2 fσπ/2 ημχ dx

Είναι

-χ2

π12

Παρατήρηση 3: Με παραγοντική ολοκλήρωση υπολογίζονται πολλές φορές και ολοκληρώματα

νάρτηση).

1β α

Παράδειγμα:

[χ

= π - 2[-συνχ] {? = π + 2[συνχ] {? = π - 2.

�(χ) dx

(όπου g(x) κατάλληλη συ-

χ'

της μορφής

12 lnx dx J12 lnx dx = [χ lnx]� -12 (lnx)' dx [χ lnx]� - f 2 -1 dx = [χ lnx]� - J 2 1 dx lnx] 2 [ χ] 2 2 ln2 - 1 1 - (2 - 1) 2 ln2 -1.

Λύση

Είναι Χ2 ημχ dx =

Ιη

Σημείωση:

Στο άρθρο μας του τεύχους σελίδα 70, παρ' αναφέρεται στις γενικές οδηγίες, παραλήφθη κε, από παραδρομή, ο υπολογισμός του l:in f (κ ) - f (κ ο ) (οπου χ 0 ε JR ειναι ακρο δια

όn

χ--+χο

χ- χο

-=-

·,

στήματος του πεδίου ορισμού της συνάρτησης).

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

lnx dx.

IJ HIJ/ιl τ Ρ/fΟΛ"ιl

il ΑιΙιΙ/.J2�

...

ΚΑΙ

• • •

ΣτιΙΤ/�Τ/.Κ#� Ε ?rιiKIJιiiJ)'IIιl

Ε ?r/.rPι�τΙJyu τ /,1/#

από τους:

•

Ευσταθόπουλο Ο.Πέλη

•

κΑι

Δ/ιΙΝ&��

Καββαδία Κώστα

•

Μέτη Στέφανο

Προλογικό σχόλιο

Στην ύλη της Γενικής Παιδείας της ΓΛυκείου στο 2° κεφάλαω, διδάσκεται η Στατιστική . Ένας κλάδος με πολύ ενδιαφέρον και πολλές εφαρμογές στη καθημερινή ζωή. Στην εpyασία που ακολουθεί έ- . γινε μία προσπάθεια να χρησιμοποιηθούν «παλωότεpες» γνώσεις των μαθητών, ώστε να διαπραγματευ τούν δύο από τις συχνότερες έννοιες της Στατιστικής, την «επικρατούσα τιμή» και τη «διάμεσο» μίας ομαδοποιημένης κατανομής με διαφορετικό τρόπο απ' αυτόν που προτείνει το σχολικό βιβλίο. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε σαν προαπαιτούμενες γνώσεις όσα τα παιδιά έχουν διδαχθεί για τα όμοια τρίγω να. Με την προσέγγιση αυτή, έχουμε δύο οφέλη. α) την ακρίβεια του υπολογισμού των παραμέτρων αυ τών και β) την αποφυγή λανθασμένων απαντήσεων από το σχεδιαστικό τρόπο υπολογισ μού τους που προτείνει το σχολικό βιβλίο. Πιστεύουμε ότι οι τρόποι αυτοί , είναι διδακτικά πρόσφοροι, έτσι που να μη χρειάζεται αδικαιολόγητη απομνημόνευση τύπων για τον υπολογισμό τους. L

Επικρατούσα τιμή ( Μ0 )

, σε

ο μαδοποιη μένα δεδομένα

ΠΡΌΒΛΗΜΑ 1 °

Χρησιμοποωύμε ως Ι 0 πρόβλημα , το πρόβλημα του σχολικού βιβλίου του πίνακα της σελίδας 72, που αφορά «το ύψος (σε cm 40 μαθητών της ΓΛυκείου», με αντίστοιχο πίνακα κατανομής συχνοτήτων

)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.Ύ. τ.4/61

--------'-- Μαθηματικά για τη Γ τάξη του Λυ κείου

τον επόμενο πίνακα , που στο σχολικό βιβλίο, είναι ο πίνακας της σελίδας 73, τον οποίο αντιγράψαμε και τον παρουσιάζουμε όπως είναι παρακάτω. Κλά σεις

[. . . .

Σχετ ική

κεντ ρ ικές

. )

' . ..

Συχνότ.

τιμές Χι

1 56- 1 62

1 62- 1 68

1 59

1 77

20,0

1 83

1 2,5

Σύνολο

171

1 74- 1 80

1 80- 1 86 1 86- 192

fι%

1 65

1 68- 174

συχνότητα

5,0

νι

5,0

25,0

95,0

5,0

σχετ.

Fι %

100

Αθ ρ.

συχνότητα

Ν;

30,0

27,5

1 89

Αθρ. συχν.

55,0

82,5

1 00,0

Προτεινόμενη μέθοδος εύ ρεσης επ ικρατού σ ας τιμής ( Μο )

Προσδιορίζουμε την επικρατούσα κλαση i. 2. Σχεδιάζουμε , όχι απαρ αίτητα σε σωστή κλίμακα , το ορθογώνιο της επικρατούσας κλάσης , καθώς και τα εκετέρωθεν αυτού ορθογώνια . Δηλαδή τα ευρισκόμενα αριστερά του και δεξιά του ορθογώνια ( βλέπε παρακάτω σχήμα ). �- -:�διάζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ (δηλαδή τις διαγώνιες του τραπεζίου ΑΒΓΔ), τα οποία τέμνονται στο σημείο Ρ. Η τετμημένη του Ρ είναι η ζητουμένη επικρατούσα τιμή Σχεδιάζουμε τα ύψη ΡΕ και ΡΖ των τριγώνων ΡΑΒ και ΡΓΔ αντιστοίχως. · 5 . Θέτουμε ΡΕ=χ, οπότε PZ=c-x , όπου c το πλάτος της αντίστοιχης κλάσης. Από τα όμοια τρίγωνα ΡΑΒ και ΡΓΖ, σχηματίζουμε την αντίστοιχη αναλογία και υπολογίζουμε το l.

Μ0•

4. 6.

χ.

Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε : α) επικρατούσα κλάση: [ 1 68, 1 74) β) πλάτος c δ) ΓΔ = 1 2- 1 1 = 1 γ) ΑΒ = 1 2-8 = 4 ε) ΡΕ = στ) ΡΖ = 6

= 174-168 = 6

Από τα όμοια τρίγωνα ΡΑΒ και Ρ ΔΓ, προκύπτει η αναλογία: χ ΡΕ ΡΖ 6-χ - = - <=> -- = --ΑΒ ΓΔ 12-8 12- 1 1 <=>

<=> . . . <=>

Α c

χ= 4(6-χ) 4,8 οπότε Μσ = 16 8 + 4 8 = 172, 8 173 ,

χ=

Οπως είναι ολοφάνερο, με τον απλό αυτό υπολογισμό, αποφεύγεται το μπορεί να συμβεί «διαβάζοντας»

σης>> που

Μ0

1 74

1 80

«πιθανό σφάλμα ανάγνω

το ιστόγραμμα (αφού ο προσδιορισμός του κατά το σχολικό βιβλίο εξαρτάται από τέλεια κατασκευή του ιστογράμματος και σωστή « ανάγνωση >> της τετμημένης του σημείου Ρ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.y. τ.4/62

ικ: -yια τη r· τάξη τcw Λ1ικεiοο ---- ΜαQιι μ.ατιά IL διάμεσος ( δ)

σε

ο μαδοποιημένα δεδομένα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 °

Στο σχολικό βιβλίο, προκειμένου να βρεθεί η διάμεσος (δ), σε ομαδοποιημένα δεδομένα, προτείνεται (σελ. 88) βασικά η �ατασκεuή του tστογράμματος των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων (ύψος 40 μαθητών λυκείου - ,Ρ.νακας 8 και 9 της σελ. 72) και στη συνέχεια ο υπολογισμός της τετμημένης του σημείου του πολυyώνοu με τεmyμένη το 50. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται εξ ' ολοκλήρου α) στη καλή κατασκευή του 1σt0fράμματος των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, β) στο ακριβή προσδιορισμό του σημείου με τεmyμένη το 5Ο mι Ύ) στη ιαιλή "ανά'yνωση" της τετμημέμης του σημείου αυτού. Στα επόμενα προτείνεται μία μεθοδολσyiα xou στηρίζεται στην χρήση των αναλογιών που προκύπτουν από τα όμοια τρίΎωνα 1WU μχορούν να εμφανιστούν στο ιστόγραμμα αυτό. ( σχόλιο: η διάμεσος μπορεί εzάσ1tς παρόμοιο τρόπο ) .

να

βρεθεί και από το ιστόγραμμα των αθροιστικών συχνοτήτων με

Προτε ινόμενη μέθοδος εύρεση ς δ ιαμέσου ( δ )

3. 4. 5.

7. 8. 9.

Σχεδιάζουμε ένα ορθσyώνιο τρtyωνο ΑΒΓ (Α=90°) . υποτείνουσα του ΒΓ, χαριστάνει το τμήμα του πολυγώνου των αθροιστικών σχετικών συχνοτή-

(

των,στο οποίο υπάρχει. σημείο Ρ με τεταγμένη το 50 δηλαδήtο

(qχόλιο : αν πρόκειτε για το πο-

λύγώνο των σχετικών οvχνοτήτων αναζητείται σημείο Ρ με τεταγμένη τον αριθμό

( �i )

)

Το άκρο Β της υποτείνουσας, έχει τετμημένη το αρtστερό άκρο της αντίστοιχης κλάσης, ενώ το άκρο Γ, έχει τετμημένη το δεξιό άκρο της ίδιας κλάσης. Το άκρο Β, έχει τεταyμένη τη σχετική αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης κλάσης, ενώ το άκρο Γ, έχει τεταγμένη τη σχετική αθροιστική συχνότητα της επόμενης κλάσης. Ονομάζουμε Ρ το σημείο της ΒΓ, στο οποίο αντιστοιχεί τεταγμένη 50. Ονομάζουμε Κ την ορθή προβολή του Ρ πάνω στη ΑΒ. Ονομάζουμε χ το μήκος του ΒΚ ( χ= ΒΚ ). Από τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΒΡ, υπολογίζουμε το χ. Οπότε η δ = τετμημένηΒ + χ

Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε: α) ΡΚ = 50 - 25 = 25 β) ΑΓ = 55 - 25 = 30 γ) ΒΚ = χ δ) ΑΒ = 6 Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΒΡ, είναι όμοια, θα έχουμε : χ 6 ΒΚ ΒΑ = <=> - = - <=> ... <=> χ = 5 ΡΚ ΑΓ 25 30 οπότε : δ = 1 68 + 5 = 173

1. 2.

�)

Γ( 1 7 4 55) Ρ

Β( Ι 68 , 25 )

A( l 7 4 , 25)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ για λύση

άσκηση Α 1 2, σχολικού

βιβλίου, σελ. 1 0 1 άσκηση Β 1 , σχολικού βιβλίΟυ, σελ. 1 02

άσκηση Β5, σχολικού βιβλίου, σελ. 1 05 Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι συχνότητες

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.-y. τ.4/63

μiας ομαδοποιημένης κατανομής.

α)

Να κατασΚευάσετε to ιcn&γ�αμj.ια · των συχνοτήτων και να βρείτε τηv- · εmκρατούσα τιμή Μ0 • ·

κλάσεις

νί

[40,70)

[70. 1 00)

[ 1 00, 1 30)

[ 1 30, 1 60)

[ 1 60. 1 90)

β)

Νά . κατασκεuιiσετε . το

διάyj:><iμj.ια των αθροιστικών σχετqcών · .συχνοτήτων και

να

βρεθεί η διάμεσος δ .

. :6. .Σε μία καταγραφή των ηλικιών 70 υπαλλήλων η

Να συμπληρώσετε τον πίνακα με ·τις στήλες α)τη ς σχετικής συχνότητας , β) σχετική ς συχνότητας , γ) σχετική ς αθροιστικής συχνότητας ·F; · % . ii) Να βρείτε την εmκρατούσα τιμή Μ0 • iii) Να βρείτε τη διάμεσο δ . i)

f; %

Σε μία τάξη από 29 μαθητές έγινε ένα γκ:άλοπ . με το ερώτη μα : «Πόσ.ες ώρες τηλεόρασης πα ρακολουθείiε την ημέρα;». Τα αποτελέσματα που προέJCVψαν καταγράφοvτ'<Ιι στην παρακάτω ομαδοποιημένη κατανομή. ·

χρόνος (min)

γ.I "

[0,30)

[30,60 ) .

[60 , 90) [90, 1 20)

·'

[ 1 20, 1 50)

ι.ιΑ .� AHI

10 '

4 2

μiας εταιρεinς προέnψε . ομαδοποιημένη κατανομή. κλάσεις Lηλικία)

•.

νί

20 - 30

25c

30 - 40

40 - 50

50 - 60

α) Ν� υπολογίσετε

., Μο ·· ·

• ·

την

' ·

παρακάτω

εmκρατούσα .τιμή .

•β) Να υπολcΥyίσετε την διάμεσο δ.

eι61λf6JftXDJν· ες,z.erlλl'eωv θeμlλrlλ , &I'� Α,/;/Α ΚU,'ίι;ιs AJI�:}ι,J,Iι�ιJ Σiιμepα από τιιv Τοvpκία και τιfι;, l6παvία . . .

. . .

Την επιλοΊή και την επιμέλεια των θεμάτω ν έκαναν οι Μαθημαπκοί :

Βαγγέλη ς Ευσταθόπουλος , Κώστας Καβ βαδίας .Ι(αι Στέφανος Μέτης.

Α. ΤΟΥΡΚΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ,από Λυκείου την ενότητα «Πολυώνυμα» - επίπε δο Β'

I. Ερωτήσεις Ανάπτυξη ς

2 Για το πολυώνυμο Ρ(χ) , γνωρίζουμε ότι Ρ(χ-5) = 6χ - 2χ - 1 . Να βρεθεί τό υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) : (χ+1). Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) για το οποίο ισχύει: Ρ(χ+5) = x2 ·,Q(x) ' + 4χ - 1 . (1), · όπου Q(χ) ακέραιο πολυώνυμο. Αν το Q(x) , διαιρούμενο με το χ+2 , δίνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το uπόλpιπο της διαίρεση ς Ρ(χ): (χ-3 ) .

------- Μαθηματικά -yια τη

Γ' τάξη

του Λυκείου

3. Για τα πολυώνυ μα Ρ(χ), Q(x) ωχUει : 2 i) Ρ(χ+4) = Q(x+2) (χ - 6) ii) Το uχόλοιπο της διαίρεσης Q(x) : (χ-4) , είναι 12. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ) : (χ-6). ·

Για τα πολυώνυμα Ρ(χ) , Q(x) γνωρίζουμε ότι : χ-2 ii) i) Ρ( ) = χ2 - χ - 2 το uχόλοσο της δuιίρεσης Q(x) : (χ-3) , είναι 3 Q(x)

Να βρεθεί το mιόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) : (x-l) 5. Για τα πολυώνυμα Ρ(χ) , Q(x) είναι γνωστό ότι : 2 ii) το υπόλοιπο της διαίρεσης Q(x): {χ-4) , είναι 4. i) Ρ(χ +2) = Q(x+2)·(x3+2) Να βρεθεί το uχόλοιχο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-6) 6. Δίνεται το πολuώwμο Ρ(χ) = (χ-7)2μ+Ι + (χ-ι)μ + 4ν-1 μ,ν θετικοί αιcέραισι ιcιιι ν> Ι . Αν το Ρ(χ) έχει παράγοντα τον χ-5, τότε να δειχτεί ότι ν = μ+ 1 . 7. Για τα πολυώνυμα Ρ(χ) , Q(x) είναι γνωστό ότι: (i) Ρ(χ) = ( χ3 + 2χ2 - 3χ + ι )·Q(x) + χ+ ι Να βρεθεί το υχόλοιχο της διαίρεσης Ρ(χ): (χ-ι). 8. 9.

(ii)

Το υπόλοιπο της δ1αίρεσης Ρ(χ) : x-l ε

Έστω

το χολυώνυμο Ρ(χ) για το οποίο ισχύει Ρ(χ2+ ι ) = χ 16 �· 3χ 12 + 4χ8 - 6χ4 + 8. Να αχοδεqθεί ότι ·το mιόλοuw της διαίρεσης Ρ( χ): (χ-3) , είναι ίσο με 96. Αν το χολυώνυμο Ρ(χ) = χ21 α+β .

χ 3 + βχ8 - 6χ - ι2 , διαφείται με το (χ2-ι) , να βρεθεί το άθροισμα

+ α

10. Το πολυώνυμο Ρ(χ) διαφούμενο με (χ-2) δίνει υπόλοιπο 12 , ενώ2 διαιρούμενο υπόλοιχο 1 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) δια του χ -5χ+6.

11. Ερωτήσεις τύπου «Σωστ ό-Λάθος»

με

( χ-3) δίνει

(Σ Λ) Να χαρακτηρίσετε σωστό (Σ) ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις αφού δικαιQλογίσετε το χαρακτη ρισμό κάθε μ.ως. ι . Αν Ρ(2χ+3) = χ4 - 3χ3 - 6χ2 + ι5χ + 2ι , τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης : Ρ(χ) : ;(χ-7) ; είναι ι9.

(Λ)

2. Αν το πολυώνυ μο Ρ(χ) = (χ-5)ν + (χ-4)ν - ι διαιρείται από το (χ-5)(χ-4), τότε ό

είναι περιπός. Σ

3. Αν το πολυώνυ μο Ρ(χ) (χ+3)ν + (χ+ι)ν - 272 διαφείται από το (χ-ι) τότε ο ν είναι ίσος με 2. =

ΙΠ. Ερωτήσεις π ολλαπλής επιλογής

Στις παρα�άτω ασκήσεις σωστή είναι μία μόνο απάντηση. Να την βρείτε «tαικλώνrοντας» το αντί στοιχο γράμμα αφού δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 3 2 l . Αν το πολυώνυ μο Ρ(χ) = χ + αχ + βχ - 24 διαφείται από το (χ-2)(χ+3) τότε το ζεύγος (α,β) είναι ίσο με : Α. (-2,-5), Β. (5,2), Γ. (-5,-2), Δ. (5,-2), (2,5)

Ε.

2. Το πολυώνυ μο Ρ(χ) = χ3 + αχ2 +βχ +γ , διαφείται από το χ2-25 , τότε ο β είναι ίσος με : Α. 5, Β. -5, Γ. -25, Δ. J5 ,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.-y. τ.4/65

Ε.

------- Μαθηματικά Ύια τη Γ ' τάξη του Λυκείου

3 . Το υπόλοιπο της διαίρεσης (3χ36 - 5χ 18 - 4) : ( χ .J3 ) , είναι ίσο με : Α. -2, Β. 2, Γ. 8, Δ. 1 2, Ε. κανένα από τα προηγούμενα 4. Αν το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ21 + αχ13 + βχ8 - 6χ - 12 , διαιρείται με το (χ2+1) , το άθροισμα +β , είναι ίσο με : Α. 1 1 , Β. 1 3, Γ. 1 5, Δ. 1 7, Ε. 2 1 5. Έστω το πολυώνυμο Ρ(χ2+1) = χ1 6 - 3χ12 + 4χ8 - 8χ4 - 8. Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ) : (χ-3), είναι ίσο με: Α. 96, Β. 84, Γ. -26, Δ. 60, Ε. 48 6. Το πολυώνυμο Ρ(χ) , διαιπούμενο με το (χ-4) , δίνει πηλίκο Q(x) και υπόλοιπο 6 . Το Q(x) διαιρούμε νο με το (χ+3) , δίνει πηλίκο S(x) και υπόλοιπο -1 . Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ): (χ-4)(χ+3) , είναι Α. 6χ+4, Β. 4χ-10, Γ. 4χ+6, Δ. 8χ+4, Ε. χ+2 7. Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ) : (χ-3) , είναι 1 8 , ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ) : ( χ+2) ,είναι -12. Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ) : (χ-3)(χ+2) , είναι ίσο με: Α. 5χ-4, Β. 6χ+1, Γ. 3χ-5, Δ. 6χ-1, Ε. 6χ α

Σύντομες λύσ εις στα θέματα των πολυων ύμων.

Ι . Ε ρ ωτήσεις αν άπτυ ξης

χ-5 = -1 � χ = 4. 'Ετσι για χ = 4, έχουμε Ρ(4-5)=6·42-2·4-1= ... =87 . Άρα υ=Ρ(-1 )=87. Q(-2) = 5. Θέλουμε χ+5 = 3 �2 χ = -2. χ = -2 , είναι Ρ(-2+5) = (-2) ·Q(-2)+4·(-2)-1= ... = 11. Q(4) = 12. Θέλουμε χ+4 = 6 � χ = 2.2 Έτσι για χ = 2 , έχουμε : Ρ(2+4) = Q(2+2)·(2 -6) = Q(4)·(-2) = 12· (-2) = -24 Ισχύει Q(3) = Θέλουμε χ-2 = 1 � χ = 3. Έτσι για χ = 3 , έχουμε: Ρ(3 - 2) = 3 2 - 3 - 2 = 4 � P(l ) = 4 P(l) = 12. Άρα υ = 12. �3) 3 2 2 5. Ισχύει Q(4) = 4. Θέλουμε χ +2 2 = 6 � χ = 4. Έ2τσι για χ = 2 , έχουμε : Ρ(2 + 2) = Q(2+2)·(2 +2) = Q(4)·10 = 4· 10 = 40. 6. Ισχύει Ρ(5) = Ο . Είναι Ρ(5) = (5-7)2μ+Ι + (5-1)μ + 4v· l = (-2)2μ · (-2) + 4μ + 4ν· Ι = -2· 4μ + 4μ + 4ν· Ι = 4ν·Ι 4μ . Έτσι Ρ(5) = Ο � 4ν·Ι -4μ = Ο �3 4ν-2ι = 4μ . Άρα ν - 1 = μ � ν = μ + 1. 7. Ισχύει Ρ(12) = 5 . 'Ε2χουμε Ρ( 1) = (1 +2·1 -3·1+1) · Q(1)+1+1 � Q(l) = 3. Άρα υ=3 . 8 8. Είναι Ρ(χ +1) = (χ ) - 3(χ2)6 + 4(χ2)4 8- 6(χ2)62 - 8 . Για χ22= 2, έχουμε : 4 Ρ(2+1) = 2 - 3·2 + 4·2 - 6·2 - 8 = ... = 96. 9. Ισχύε Ρ( Ι) = και Ρ(-1 ) = Ο . Είναι Ρ( 1) = + α + β - 6 - 12 = α + β - 1 7 και Ρ(- 1 ) = -1 - α + β + 6 - 12 = -α + β = 7 . {α+β-17=0 {α=5 � ... � , συνεπως α + β = 17 . Άρα - α+ β 7 = β = 12 10. Ισχύει Ρ(2) = 12 και Ρ(3) = 17. Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ) (χ2-5χ+6) , θα είναι πρωτου βαθμού, άρατης μορφής αχ+β και θα tσχι)ει Ε ίδια ταυτότητα : 2 Ρ(χ) = (χ -5χ+6)-π(χ) + αχ + β . Οπότε : Ρ(2) = 2α +β και Ρ(3) = 3α +β . Από το σύστημα : 2α+β=12 , 3α+β= 1 7 , έχουμε α = 5 , β = 2 .

1. 2. 3. 4.

Θέλουμε Ισχύει Έτσι για Ισχύει

�

υκλε

Π. Ερωτήσ ε ις Σ(ωστού) - Λ(λάθους)

Σ . Διότι: Ρ(2·2+3) = Ρ(7) = 1 7 Σ . Ρ(5) = Ο � (5-4)νν =1 � 1ν -v 1 = Ο � 1ν = 1.ν (1) Ρ(4) = Ο� (4-5) =1 � (-l) - 1 = Ο � (-1) = 1. (2) Για να tσχι)ουν οι (1) και (2), πρέπει ν = περιττός

α) Απάντηση : β) Απάντηση :

Διότι:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.Ύ. τ.4/66

------- Μαθη ματικά για τη Γ ' τάξη του Λυκε (ου

γ) Απάντηση: Λ . Δώτι: Ρ( 1 )=0 � 4ν+2ν-272=0. Θέτουμε t=2v οπότε προκύπτει: t2+t-272=0 � t 1 6 ή t = - 1 7 . Δεκτή η t= l 6 � 2ν= 1 6 , άρα ν=4. =

111. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

α) Απάντηση: Δ. Διότι: Ρ(2)=0 και Ρ(-3 )=0 � 2α+β= 8 και 3α-β= 1 7 � α=5 , β= -2 β) Απάντηση: Δώτι: Ρ(5)=0 και Ρ(-5 )=0 <::::> 125+25α+5β+γ=Ο και -125+25α-5β+y=Ο <::::> 250+1 0β=Ο <::::> β=-25. γ) Απάντηση: Ρ(χ)=3(χ�4-6(χ�2-4 θέτουμε t=x9 και έχουμε ισοδύναμα :

Γ. Γ. Διότι:

•

P(t)=3t4-5t2-4 mι Ρ( J3 )= . . . =8. Ρ(χ 2+ 1 )=(χ2) 10χ+α(χ2)6χ+β(χ2)4-6χ-12 . για χ2=-1

δ) Απάντηση: Δ. Διότι: έχουμε: χ+αχ+β-6χ- 1 2=0 <::::> ( α-β)χ+ β- 1 2=0 . Για να ισχύει η τελευταία ισότητα 1φέχει; α-β=Ο και β-:- 12=0 <::::> α=5 και β= 12, άρα α+β=1 7. ε) Απάντηση: Α. Διότι: P(x2+ l )=(x2) 8 -3 (x2)6+4(x2)4-8(x2)2-8 , χ2=2 . έχουμε: 4 Ρ(3)=28 -3· 26+4· 2 -8· 22- 8= . . . =96 στ) Απάντηση: Ε. Διότι: αφού υ(χ)=αχ+β , θα είναι υ(4)=6 και υ(-3)= -1 <::::> 4α+β=6 , 3α+β= - 1 <::::> α=1 , β=2 , οπότε υ(χ)=χ+2 . ζ) Απάντηση: Δ. Δώτι: αφού υ(χ)=αχ+β , θα είναι υ(3)= 1 8 και υ(-2)= -12 <::::> 3α+β=1 8 , -2α+β= -12 <::::> α=6 , β=Ο , οπότε υ(χ)=6χ . •

Βιβλιογραφία : 1 . Σχολικά τουρκικά εγχειρίδια των ετών : 1 986 - 1 995 2. ASAMA SAYISAL ( OYS ) - Aritas/yayinlari - Κωσταντινούπολη ι 988 3 . OSS-OYS Matematik testeleή, Serhat - Κωσταντινούπολη 1 990 4. OSS - OYS GEOMETRI - Birkan Dundar - Ankara 1 9 87 5. OSS - OYS SAYSAL ΜΑΤΕΜΑτΙΚ - Ankara 1 992e

Β. ΙΣΠΑΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ, από την ενότητα <<Ανάλυση - επίπεδο ΓΆυκείου » 1.

Δίνεται η οικογένεια ευθειών (ελ ) :

2λχ - y

+λ2

, λε R.

kαι το σημείο

(�,2}

α) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί λ ώστε οι ευθείες (ελ) να διέρχονται από το σημείο Ρ. β)Να βρεθεί ποιές ευθείες της οικογένειας απέχουν από το σημείο Ρ απόσταση μεγαλύτερη του 1000. Λύση :

α) Θα πρέπει β)

2 = 2λ.!.. + λ2 <=>λ= ι λ 12λ.J�λ.!.. - 2+λ2ι 1 lλ.J24+λ-21ι 2 + λ2 + ��4+λλ +- � � 4 + λ. 2 2x 2

<::::>

Είναι d(Ρ, ελ ) =

Παpατηρσόμε ότι :

• • •

= -2

λ� ..-

lim

= lim

λ� ..-

; Ζητούμε d(P,εj) > 1000 (1 ) .

= +οο .

•

Συμπεραiνσuμ. ε λοuών όn yαι πολύ με-

γάλες τιμές του λ ισχύει η ( 1 ). Παράδειγμα για λ=2000 , θα ισχύει d(Ρ,ε2000) > 1000 . 2. Να δείξετε ότι η εξίσωση χ e = ι (1) , έχει στο R μία μόνο λύση. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β' λ.γ. τ.4/67

------- Μαθηματικά Ύια τη Γ ' τάξη του Λυκείου

Λύση :

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x 2e x - 1 , xe R . Είναι: f'(χ) = e χ χ(χ + 2) . Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί -

f '(x)

f(x)

-2

™

ΤΕ

�

Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-οο, -2] και [Ο,+οο) και γνησίως φθίνουσα στο διά στημα [-2,0]. Για χ = Ο η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(O) = -1 και για χ = -2 , τοπικό μέγιστο το f(-2) =

μία

�

e λύση.

-I

< Ο . Το

3. Έστω η συνάρτηση α)

β)

lim

Χ-Ηοο

f (x )

f(x) = +οο , επομένως η εξίσωση f(x) = Ο , έχει στο διάστημα (Ο,+οο) ακριβώς

χ 3 - κχ2 λχ .

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ , ώστε η f να παρουσιάζει για χ 1 μέγιστο. Να δικαιολογήσετε το είδος των ακροτάτων. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί χ ώστε να ισχύει f(x) � Ο.

Λύση :

{�

{

-1 ελάχιστο ενώ για χ =

3 + 2κ + λ = 0 κ=Ο f' - l) = 0 � � λ = -3 3 - 2κ + λ = Ο f (l) = O Οπότε είναι : f(x) = χ3 - 3χ , f'(x) = 3χ 2 - 3 , f'(x) = 6χ με f'(- 1) = -6 < Ο και f'(l) = 6 > Ο και έτσι δικαιολογείται το είδος των ακροτάτων. β) Είναι f(x) = χ3-3χ = χ(χ2-3 ) = x(x+ Ji )(x- Ji ) � Ο � χ ε (-oo,-J3) u [O, Ji) .

f' α)Έχουμε ( x )

λ 3 χ2 - 2 κχ + , πρέπει

4. Δίνεται η συνάρτηση f : R

-7

R , με

α) Να βρεθεί μία παράγουσα της f.

f(x) = Ι χ - ι ι - ι .

β) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : Λύση :

{

foir(x)dx

2-χ χ � I ' . 'Εστω F(x) = Jorf (t)dt μία παράγουσα της f . χ ,x >l x Χ2 Αν χ � 1 τότε F(x) = (2 - t)dt = 2χ - ο 2 χ χ Αν χ > ι , τότε F(x) = <2 - t)dt + ίdt = 2 - =ι+

α) Είναι f(x) =

l J:

( �Η ; �) ;

Τελικά η ζητούμενη παράγουσα, είναι: F(x) =

{

2χ - � . χ � 1 χ 'f 1 +- , x > l 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.Ύ. τ.4/68

----- Μαθηματικά yια τη

β) Είναι

Γ'

τάξη του Λυκεiου

!'χ · f(x)dx = f,x · f(x)dx + f,' χ · f(x)dx = f. χ · (2 - x)dx + f,'x · xdx =

[ :Ι [ :Ι χ' -

= ... - 3

5. Έστω η συνάρτηση f(x) = χ · συνχ . Θεωρούμε τα χωρία Μι , Μ2 του επιπέδου , που ορίζονται ως ακο

λούθως Μι : το χωρίο που περιέχεται από την κλε '

•

ιεται απο• την

χωριο που περι

• τις ευυειες Ω

τις ευθείες χ = Ο , χ =

και τον άξονα χ · χ , Μ2: το

..ζ._r J\T • αποδειχτει• οτι , χ = 2π και τον ...,..ονα χ χ . JΥα

Π 2

•

τα εμβαδά Ει , Ε2 των χωρίων αυτών επαληθεύουν τη σχέση : Ει + Ez = 2π . Λύ ση:

Είναι προφανές ότι η χουμε:

+Ε

Ει

[ �J [� .2π]. Οπότε

f(x) � Ο στο Ο,

2 = J:/2 χ · συνχdχ+ !3πJ2πχ2· συνχdχ= [χημχ + συνχ.ιο

")κ / 2

{

xe x 2

6. Δίνεται η συνάρτηση f : R --? R , με f(x) = αχ + β Ι + xlnx

Να βρεθούν οι πραγματικοί α ,

ί i) Λύση :

(με ολοκλήρωση κατά παράγοντες)

]2ππ 2

3π [ π -ι++ ι = 2π . .+ χημχ + συ νχ 3 1 = = Ο

χ$ Ο<χ<

χ�ι

β ώστε η f να είναι συνεχής.

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι =

fσl (x)dx .

Χ-+0+ χ -+1+ χ -+0χ-+Γ α + β = ι + ln( l) � α + β = (2) . Από (l) και (2) , έχουμε α = χ χ

Άρα :

f(x) =

I + xlnx

' ��<ι ,

I ,

β=Ο .

χ�I

χ2 x 2 -f.2 χ 2 · -Ι dx = χ 2 + f.2dx + J.2x tn xdx = - + (2 - ι) + -ln 2 f(x)dx = r xdx + J.2 (l + x ln x)dx = Jo Jo 2 Ι 2 Χ 2 2 2 I I I χ2 3 = - + Ι + (2 l n 2 - Ο) - - - = - + Ι + 2 1n 2 - - (2 - -) = - + 2 Ιη 2

iii)

Διαδοχικά έχουμε (με ολοκλήρωση κατά παράγοντες) : ι

Η f είναι συνεχής στα διαστήματα (-co, Ο) , (Ο, ι ) και ( l ,+co). Θα πρέπει lίm f(x) = lίm f(x) = f(O) � Ο = β (1) και lίm f(x) = lim f(x) �

έ-

I ] [ ] [ ο

α) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I= = ημt ιε [Ο,π/2] .

[ ]

J.11/2�ι - χ 2 dx , με τη βοήθεια της επόμενης αλλαγής μεταβλητής χ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ί..-r. τ.4169

------:-�-

Μαθηματι�ά Ύια τη Γ ' τάξη τοv Λvκείοv

β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την έλλειψη και την ευθεία χ =

χ 2 + 9y 2 = ι , με χ � ..!.. 2

Λύ ση :

ι ι π και για χ = 1 , ειναι · t=· ι ημt = - , οποτεt dχ = συνt dt . Για χ = - , εινα α) Αν χ = ημt , τοτε · · ειναι 2 2 6 π. ' t= 2 ημt = 1 , οποτε ·

• 1Οποτε

(Η συνάρτηση g (t) = ημt στο

( ' 2 συν2 dt - (' 2ι + σ2υv2t d π/6

π/6

[Ο,π/2] είναι γνησίως αύξουσα (φα 1-1 ). t ημ2t π' 2 4π - 3/3 - + -= 2 24 4 π/6

]

[

2 β) Η εξίσωση χ2 + 9y2= 1 <=> y 2 = 1 - χ .Το ζητούμενο 9 εμβαδό θα είναι ίσο με Ε=2

1/2

�1 - χ 2 dx =2· -1 1 1 3

1/2

. 2 4π - 3/3 24

8. Δίνεται η συνάρτηση

� v χ - dx

4π - 3J3 . 36

2 f(x) = Jrox e-ι 2 dt.

1 =-

α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

X= l

β) Να βρεθούν τα σημεία καμπή ς της

Cr .

4 4 Προφανώς έχουμε : f'(x) = e-<x 2 > 2 · (x 2 ) ' = 2x · e -x και f '(χ) = 2e -χ (1 - 4χ 4 )

Λύ ση :

α) Είναι f'(x) > Ο <=> χ > Ο και f'(x) < 0 <=> χ < Ο , συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο [Ο,+οο) και γνησίως φθίνουσα στο (-οο,Ο] , ενώ στο χ = Ο η f παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με f(O) = Ο.

( }ϊ, }ϊ)

β) Ο μοiως : f'(x) > 0 � χ ε μεια . ' Μ , Ν με τετμημενες

f '(x) < Ο � χ ε

( }ϊ)u( )ϊ.-} - � .-

ι 1 αντιστοιχως σημεια ειναι • καμπη. ς της c . • .fi και .fi

9. Δίνεται η συνάρτηση f (x ) = χ · eλχ

ται από την

ενώ

και τις ευθείες

άρα τα ση-

•

Ναβρεθεί ο λe R έτσί ώστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείε

χ = Ο , χ = 1 και y = ι να είναι ίσο με

Λύση:

-;.. λ .

Αφού η συνάρτηση f (x) = χ · eλχ στο [Ο, ι ] είναι θετική , θα είναι :

ΕΥΚΛΕJΔΗΣ Β' λ.Ύ. τ.4ΠΟ

------- Μαθηματικά: Ύια τη Γ τά:ξη του Λ1> κε f.οtι

οπότε Ε=

� λ � . . . �λ = 1

Βιβλιογρ αφία : ι ι . SELECτiVIDAD Matematicas

Ι - C.O.U. , ΑΝΑΥΑ , Madήd ι 990 -

ι 99 8

ι2. SELECΠVIDAD Matematicas Ι - C.O.U. , ΑΝΑΥΑ ,

Madήd ι 999 13. SELECΓIVIDAD Matematicas Π - C.O.U. , ΑΝΑΥΑ , Madrid ι 999 ι4. MATEMAτiCAS - C.O.U. , S.A. Libreήa , Madήd 1991

rεvικέs AlfKHtfειs ,4vά.ιlυt1ιιs

Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις f: IR -> IR., για τις οποίες, για κάθε χ σχύει: xf(x) + 3 = t\x) + χ2 + νχ2 + 3. ( 1 )

IR, ι

Έστω ότι μία συνάρτηση f πληροί τις δοσμένες συνθήκες. Από την ( 1 ) έχουμε για κάθε Λύση.

IR:

<χ

ι >r<χ>

=νχ2 + 3 + χ2 - 3.

= -JX2'+3χ -+ χ2 - 3 ι

Εξάλλου, επειδή η f είναι συνεχής στο χουμε:

Ι, έ

f(x) <J1 = limι -JX2'+3 - + xz - 1 = f(l) = lim ι χ-1 χ χ= lim [-JXϊ'+J1 - + (χ - 1)(χ1 + 1)] = χ2 + 3 - 4 = χ-ι lι·� +χ+ 1 = (χ - 1)(...jx2 + 3 + 2) J = liχ:.Ίnf\νχ2χ++31+ 2 + χ + ) = �4 + 2 = 1.2 2

χ- Ι

Χ-

Άρα τότε:

χ-

_ ·

χ αν χ =

3 , αν

2·

-:F-

(3) ι

Μία συνάρτηση f: IR-> IR είναι συνεχής στο α ε IR και για κάθε χ, y ε IR ισχύει: f(x

(2)

-JX2'+3 + χ2

Αντιστρόφως. Όπως βρίσκουμε εύκολα, η συ νάρτηση (3) πληροί τις δοσμένες συνθήκες και άρα είναι η μοναδική ζητούμενη. 2.

Έτσt, για κάθε χ * 1, έχουμε:

f(x)

του Αντώνη Κυριακόπουλου

f(x) συνy + f(y) συνχ.

(1)

Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο IR.. Λύση .

Έχουμε:

lim f(x) = f(α). χ-α

(2)

Έστω ένας αριθμός Χο Ε IR . Έχουμε: lim f(x) limf(x - Χο + α + Χο - α) =

χ-χσ χ-χσ � lim [f(x - Χο + α) συν(χο - α) + f(χο - α) συν(χ - χο + α)]. χ-χσ Θέτουμε: ω = χ - Χο + α, οπότε: limω = lim(x Χο + α) = α.

χ-χο

Έχουμε:

χ-χο

limf(x - Χο + α) = lim f(ω) <J1 f(α) και ω-α χ -χ σ lim συν(χ - Χο + α) = lim συνω = συνα.

χ-χσ

Έτσι, έχουμε: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.Ύ. τ.4Π 1

ω-α

------- Μαθηματικά Ύια τη Γ τάξη του Λυκείου

l imf(x) = f(α) συν(Χο - α) + f(Xo - α) συνα =

χ- χο

(I=)

f(α + Χο -α) = f(χο).

Άρα η f είναι συνεχής στο χ Συνεπώς, η f εί ναι συνεχής στο IR .

Μία συνάρτηση f: IR -> IR, είναι συνεχής και υπάρχει α Ε IR με f(f(α)) = α. Να δείξετε ότι η εξίσωση : f(x) = χ έχει μία τουλάχιστο (πραγματική) ρίζα.

Λύση. Έστω ότι αυτό δε συμβαίνει, οπότε, δηλαδή για κάθε χ Ε IR θα έχουμε: f(x) 'Φ f(x) 'Φ Και επειδή η συνάρτηση με τύπο: f(x) - είναι (ορισμένη και) συνεχής στο IR , έπεται για ότι: f(x) για κάθε χ Ε IR ή f(x) κάθε χ Ε IR (γιατί;).

χ,

χ Ο. χ χ > Ο,

χ < Ο,

Έστω ότι: f(x) για κάθε χ Ε IR. Θεωρούμε ένα αριθμό χ Ε IR . Τότε f(x) Ε IR και συνεπώς f(f(x)) - f(x) δηλαδή f(f(x)) f(x). Και επειδή f(x) έπεται ότι: f(f(x)) Συμπεραίνουμε f(f(x)) > χ, για κάθε χ Ε IR . Αυτό όμως είναι άτοπο, λόγω της υπόθεσης: f(f(α)) = α.

χ > Ο,

•

> Ο, > χ, ότι: .

> >χ.

•

Όμοια φθάνουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι: f(x) για κάθε χ Ε IR.

χ < Ο,

Άρα, υπάρχει Χο Ε IR με f(xo) δηλαδή η εξίσωση: f(x) έχει μία τουλάχιστο ρiζα.

= χο,

=χ

Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνε χής στο διάστημα [Ο, 1) και ισχύει f(O) = f(l). Να δείξετε ότι η εξίσωση : f(x) =

{ *) x+

(1)

έχει μία τουλάχιστο (πραγματική) ρίζα. Λύση.

Θεωρούμε τη συνάρτηση: g (x) = f(x) -

t(χ + 1}

'Ετσι, η g είναι ορισμένη στο διάστημα

Επίσης, η g είναι συνεχής στο διάστημα αυτό (γιατί;). 'Εχουμε: f(O) και

{�) <η =

{1} {1) = {1)-{�)

g(O) =

- f( 1 ) .

Και επειδή

f(O) = f( l ),

χουμε:

g(O) + {t) + {�) = Ο. Αν g(O) = Ο, τότε η εξίσωση ( έχει τη ρiζα Όμοια, αν {t) = Ο έχει τη ρiζα χ = t και αν {�) = Ο έχει τη ρiζα χ =�· (2 )

χ = Ο.

•

'Εστω τώρα ότι οι αριθμοί g(O),

�t) και ��)

είναι 'Φ Ο. Τότε, λόγω της (2), δύο τουλάχιστο από αυτούς είναι ετερόσημοι (γιατί;). Έστω π.χ. ότι Τότε, από το θεώρημα του Bo lzano,

g(O)· {t) < Ο.

έπεται ότι η g έχει μία τουλάχιστο ρiζα στο

(Ο, t}

Άρα , τότε, η εξίσωση ( 1) έχει μία τουλάχιστο ρίζα. Όμοια, αν ή (O)

�t) {�) < Ο g {�) < Ο.

Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνε χής στο IR με f(lO) = 9 και για κάθε χ Ε IR, ισχύει: f(x) f(f(x)) = 1 ( 1 ) . ·

Να β ρείτε το f(S). Λύση:

Από την ( 1 ) με

f( 10) . f(f( 10))

= 10, έχουμε:

1 � 9 f(9)

1 � f(9)

= 9· 1

Εξάλλου, επειδή η f στο διάστημα [9, 1 Ο] εί ναι συνεχής και f(9) 5 f( lO), από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, έπεται ότι υπάρχει ξ Ε (9, 10) με f(ξ) = 5. Από την ( 1 ) με χ = ξ, έχουμε:

< <

f(ξ) . f(f(ξ)) = 1 � 5 f(5)

Η g είναι ορισμένη για κάθε χ Ε IR με:

[Ο, �J.

1 � f(5)

= 5· 1

6. α) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σ' ένα σύνολο Α και για κάθε χ Ε Α ισχύει: Ρ(χ) = c , όπου c Ε IR. Τότε κατ' ανάγκη η f είναι σταθε ρή στο Α. Σ Λ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 'λ.Ύ. τ.4Π2

------- Μαθηματικά για τη Γ τάξη τοtι Λtι κείοtι

Έχουμε: E"(t) = -e·' - ( 1

α) Σωστό ('yια.τί;). β) Λάθος. Π.χ. θεωρήστε τη συνάρτηση: - 1 αν ι.' αν < ο γ) Σωστό (Ύια.τί;).

Λύ ση.

f(x) { =

δ)

χ�Ο χ

Λάθος. Π.χ. θεωρήστε τη συνάρτηση:

f(x) = - .!..χ

Θεωρού με τη συνάρτηση f(x) = e·:ι:. 'Ενα σημείο Α κινείται στον ημιάξονα Οχ με τα χύτητα υ = 2 cm/sec, ξεκινώντας από το Ο. Σε κάθε χρονική στι'Υμή t > Ο θεωρού με το ισοσκελές τρίΎωνο ΟΜΑ με κορυφή το ση μείο Μ, το οποίο ανήκει στη Cr. Να βρείτε τη χρονική στιΎμή, κατά την οποία ο ρυθ μός μεταβολής του εμβαδού Ε του τριΎώ νου ΟΜΑ είναι ελάχιστος. Ποια είναι η ε λάχιστη αυτή τιμή; Λύ ση.

Σε κάθε χρονική στιγμή t, έχουμε: (ΟΑ) = υt = 2t.

Άρα, οι συντεταγμένες του Α, είναι (2t, 0). Έ στω ΜΔ το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΟΜΑ, οπότε το Δ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήμα τος ΟΑ και άρα οι συντεταγμένες του Δ , είναι (t, 0). Επειδή το Μ ανήκει στη έχουμε: (ΔΜ) = lf(t)l = le"11 e·1•

Cr,

Έτσι έχουμε:

t e-ι.

Ο ρυθμός μεταβολής του Ε, είναι: E'(t) = e·1 - te·1 ( 1 - t) e·1•

Ύ) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη και συ νεχής σ' ένα διάστημα Α και Ύια κάθε χ e ι σχύει: fl(x) = c, όπου c e IR. με c � Ο. Τότε κατ' α νάΎκη η f είναι σταθερή στο Α. Σ Λ δ) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραΎω-yίσιμη σ' ένα σύνολο Α και Ύια κάθε χ e ισχύει: f ' (χ) >0. Τότε κατ' ανάΎκη η f εί ναι -γνησίως αύ ξουσα στο Α. Σ Λ

E(t) = 2 (ΟΑ)(ΔΜ) = 22t e-ι

β) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σ' ένα σύνολο Α και Ύια κάθε χ e Α ισχύ ει: fl(x) = c, ό που c e IR. με c > Ο. Τότε κατ' ανάΎκη η f είναι σταθερή στο Α. Σ Λ

Ε"

- t) e·ι

Ε' �

= (t - 2)e·1• + οο

�

ελαχ.

Συμπεραίνουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής Ε' του Ε γίνεται ελάχιστος τη χρονική στιγμή t 2 και είναι iσος με: Ε'(2) = e·2 cm2/sec.

'Εστω η συνάρτηση : f(x) =

t ψ + �) .

1) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το σόνολο ορισμού της f -ι . 2) Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 1 α) Γ1(χ) = 64. β) f(x)f " (χ) = 6 f "1 (f " (6)) .

Λύ ση. 1)

Το σύνολο ορισμού της f είναι Α = [0, +οο) Η f εiναι συνεχής στο [0, +οο) και παρα γωγiσιμη στο (0, +οο) με: f '(x)

=.!2 (-12ψ- +.!x 3 t) > Ο.

Άρα: f ! [0, -too). Έτσι, η f είναι 1 - 1 και άρα αντιστρέφεται. Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξου σα στο [0, +οο) και και lim +α:>, έχ-+οο

f f(O) = Ο f(x)= χουμε: f(A) = [0, +α:>). Αυτό είναι το σύνολο ορι 1 σμού της r .

χ -too), έχουμε: (χ) = <=> f(64) = χ <=> χ = � ...j64 +:φΑ) <=> χ = 6. β) Από την προηγούμενη εξiσωση, έχουμε f "1 (6) = και συνεπώς f(64) = 6. Έτσι, με χ -too) έχουμε: f(x) · f "1 (χ) = 6· 1(f "1(6)) <=> f(x)·f1 (x) = f(64) · f 1 (64). Θεωρούμε τη συνάρτηση: g(x) = f(x) · 1 (x) . 2) α) Με !1 64

e [0,

(1)

Το σύνολο ορισμού αυτής προφανώς είναι το ΕΥΚΛ ΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4Π3

------- Μ αθη ματικά για τη

). Επειδή f! [0, +οο), έπεται ότι f 1 [0, +οο). Και επειδή οι τιμές των και f είναι θετικές ή μεότι τον ορισμό της μονοτονίας, βρίσκουμε εύκολα g 1 [0, +οο) (πώς;). Άρα η g είναι 1-1 στο [0, +οο). Έτσι, έχουμε: (1) <=> g(x) = g(64) <=> χ = [0, +οο

τάξη του Λυ κείου

-Ι

Ο,

64.

Να βρείτε τις συναρτήσεις f, οι οποίες είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο IR. και για τις οποίες, για κάθε χ Ε IR. ισχύει:

(1 - x)f (χ) = f(x) - χ2 •

(1)

στη

Όταν φτάσαμε ισότητα ίσως να μπήκατε στον πεφασμό να πείτε: χχ-2 +1 =χ Ο,+ 1 χ ή f(x) = 3 , χ Αυτό όμως είναι λάθος, γιατί: Σημείωση.

(3)

IR. Ε

IR..

"Αν δύο συναρτήσεις f και g είναι ορι σμένες σ' ένα σύνολο Α και ισχύει: V

χ Ε

Α, f(x) g(x) = Ο

(1)

δεν έπεται κατ' ανάγκη ότι : [V χ Ε Α, f(x) = Ο] ή [V χ Ε Α , g(x) = 0] " .

Έστω ότι μία συνάρτηση πληροί τις Για παράδειγμα, θεωρήστε συναρτήσεις: δοσμένες συνθήκες. χ� Ο καιg(χ)= { Ο, αν χ� Ο . Από την ( 1 ) έχουμε για κάθε f(x)= { Ο,χ, ανανχ<Ο 2χ, ανχ<Ο 2 f '(χ) - xf '(χ) = f(x) - χ Όπως βρίσκουμε εύκολα, ισχύει: � f(x) + xf '(χ) = f '(χ) + χ2 f(x) · g(x) = Ο χ Αλλά δεν είναι f(x) = Ο, χ ούτε �(χ f(x))' = (f(x) + � χ3) g(x) = Ο, χ - Σημειώνουμε ακόμα ότι, η παραπάνω � xf(x) = f(x) + 31 χ3 + c (c πρόταση είναι ισοδύναμη με την πρόταση: � (χ - 1)f(x) = ?1 3 + c. Αλλά αυτή δεν είναι ισοδύναμη με την: Από τη με χ = 1 έχουμε: Ο = � + c και άρα έχουμε για κάθε c = - �· 'Ετσι, από τη (χ - 1)f(x) = J<1 x3 - 1) � (χ - 1) [f(x) - χ2 + 3χ + 1] = Ο (3). Ν'*, Από αυτή, με 1 , έχουμε: Λύση.

χΕ

τις

IR.:

IR.)

IR..

IR.. V

IR.,

(Ι)

V χ Ε Α, [f(x) = Ο ή g(x) = 0] .

(2)

χ Ε IR.:

(2),

[V χ Ε Α, f(x) = Ο] ή [V χ Ε Α , g(x) = 0] .

10 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης: ! χ

f(x) = χ , χ Ε (Ο, +οο). Μετά, να δείξετε ότι, για κάθε ν Ε

χ -:ι:.

ει:

(4)

{{ν � �.

1) Για κάθε χ +οο), έχουμε: Εξάλλου, επειδή η είναι συνεχής στο 1 , έ f(x) = eιn•• = e !χ1nx � f ' (χ)= e !χιηχ (�1 lnx)' χουμε: { > Ο, αν χ < e f(1) = limf(x) � lim χ2 + 3χ + 1 = 1. 1 � f; (χ) = χχ . -(1 - lnx) = Ο, αν χ = e χ2 < 0, αν x > e ' fi(χ) = χ2 + 3χ + 1 Ά κα'θε , εχουμε: + οο συνάρτηση αυτή, όπως βρίσκουμε εύκολα, πληροί δοσμένες συνθήκες και άρα είναι η μο λ...._. � ναδική ζητούμενη. f

Χ-+ !

ρα, για

τις

Λύση.

.!.

Χ-+ !

χΕ

IR.

(0,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4174

Ο 1

μεy.

ισχύ-

----- Μαθηματικά Ύια τη

Γ'

τάξη του Λυκεiου

Συμπεραίνουμε ότι: f! (0, e] και f Υ [e, +ω). dθ = 3(συν2θ) 42 - χ2 2 { >= 0,0, αναν χχ =< 22 (χ + 4) < 0, αν χ > 2 dx Επίσης, ότι η f στο e έχει μέγιστο, ίσο με f(e) = e 2) Έχουμε f(ν) = \[ν, ν = 1 , 2 . Λόγω των παρα πάνω, έχουμε: f(l) f(2) θ / και f(3) > f(4) > f(5) > ... (2) Εξάλλου, έχουμε: Συμπεραίνουμε ότι η γωνία θ, δηλαδή η γωνία f(3) - f(2) = � - -{2 = � - � > υπό την οποία φαίνεται το άγαλμα από την f(3) > f(2) ( 3). Από τις ( 1 ), (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι, κάμερα. γίνεται μέγιστη όταν = για κάθε ν ισχύει: f(ν) f(3) \[ν � 1

θ'

(1)

+ω

μεγ.

IN' *,

�

11. 'Ενα άγαλμα ύψους 3m είναι τοποθετημένο σε μία κολώνα ύψους 2m. Έχουμε μία κά μερα, που στηρίζεται σ' ένα τρίποδο και α πέχει από το έδαφος 1m. Σε ποια οριζόντια απόσταση από την κολώνα πρέπει να τοπο θετήσουμε την κάμερα, ώστε το άγαλμα να φαίνεται από αυτή υπό τη μεγαλύτερη δυ νατή γωνία.

Λύση.

κάμερα

Έστω χ η οριζόντια απόσταση της κάμερας από την κολώνα (χ > 0). Οι γωνίες α, β και θ του σχήματος προφανώς είναι συναρτήσεις του χ και ανήκουν στο διάστημα (Ο, �} 'Εχουμε: εφα = � και εφβ = !.χ Επίσης, έχουμε θ = α - β και άρα: 41 ε α εφβ εφθ - εφ(α - β) - 1 +φ εφαεφβ - �4 - � 2 + 4· χ 1 +χ2 Έτσι, έχουμε:� .:.:.χ_2 +.:.4_...:.. -.:.:χ...;; χ ·2� dx = 3 (χ2 + 4)2 � dθ = 3 42 -+χ4)2 2 dθ dx (χ _

12. Πρόκειται να κατασκευαστεί μία αίθουσα με τετραγωνικό δάπεδο και όγκο 600m3• Η κατασκευή προβλέπει ότι η απώλεια της θερμότητας από την οροφή θα είναι το 1,2 z απο εκεινης των τοιχων, ανα m και οτι απο το δάπεδο δεν θα υπάρχει απώλεια. Να βρείτε τις διαστάσεις της αίθουσας ώστε να έχουμε την ελάχιστη δυνατή απώλεια θερ μότητας. ,

Έστω m η πλευρά του τετραγωνικού δαπέδου και y το ύψος της αίθουσας, οπότε 2x y = 600 και άρα: 600χ2 · (1) Υ = -Έστω κ το (σταθερό) ποσό απώλειας της θερ μότητας (σε μονάδες θερμότητας) ανά m2 των τοί χων (κ > 0). Έτσι, η ολική απώλεια θερμότητας θα είναι: θ(χ) =κ(εμβαδόν τοίχων) + 1,2κ (εμβαδόν οροφής) 600 = κ(4χy + 1 ,2χ2) = κ( 1 ,2χ2 + 4χ 7) 2400 => θ(χ) = κ(1,2χ2 + --) , χ (0, +οο). χ Στο (0, +ω) έχουμε: θ' (χ) = {2,4χ - 2��0) = { > 0, αν χ > 10 χ3 1000 ... χ2� ...;;. = 0 , αν χ = 10 = 2'4κ .;.;;... < 0 , αν χ < 10 Λύση.

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Β' λ.Ύ. τ.4Π5

(1 )

θ' θ

�

ελαχ.

+ οο

------- Μαθηματικά Ύια τη Γ' τάξη του Λυ κείου

Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση θ έχει ελάχι στο στο χ =10. Άρα, η πλευρά του τετραγωνικού δαπέδου πρέπει να είναι 10m και το ύψος: Υ = 600 1oo = 6m. 13. Για έναν αριθμό α > Ο, ισχύει : αχ 2 � ·

� χ2,

για κάθε αριθμός χ > Ο. Να δείξετε ότι: α = e.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f: (0,-+oo)->IR f(x) = αχ· ?2• f στο (0, +α:>) είναι παραγωγίσιμη με: f '(χ) = αχ· Ιηα - 'kx· 'Εχουμε f(2) = Ο. Από την υπόθεση, έχουμε κάθε χ Ε (0, +α:>): f(x) � Ο και συνεπώς f(x) � f(2). Άρα, η f στο 2 έχει ελάχιστο. Έτσt, σύμφωνα με το θεώρημα του έχουμε: f (2) = Ο =lnα - 1 = = Ιηα = 1 = α = Λύση.

με

-για

Fermat,

14. Να δείξετε ότι, για κάθε α > Ο, η εξίσωση :

1) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής. 2) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f. 3) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

1) Με χ Ο, έχουμε: f(x) = χ + �. συνεχής. Επίσης, έχουμε: limf(x) = li.J �{\ χ + � χ ) = 1 = f(O). Έτσι, η f είναι συνεχής και στο Ο. Άρα, η f εί ναι συνεχής στο IR. 2) Με χ Ο, έχουμε: f '(χ) = (χ + �χ ) = 1 + χσυνχχ2 2 - (1) = f '(χ) = χ + χσυνχ χ2 Θεωρούμε τη συνάρτηση: = χ2 χσυνχ - ημχ, χ Ε Στο έχουμε: '(χ) = 2χ συνχ - χημχ - συνχ = { > 0, αν χ > 0 = χ(2 -ημχ) = Ο, αν χ = Ο < 0, αν χ < Ο *

ημχ

g(x) g

χ- Ι

χ-+«>

x- i ·

x-+co

(ex lnx -

f(A)

+α:>.

f(A),

ότι η

(1,

f(x) =

χ + !11!,! χ

ότι

αν χ :;ι!: Ο αν χ = Ο

IR.

�

+ οο

�

Συμπεραίνουμε ότι g(x) > Ο, για κάθε χ Ο. Έτσι, από την (1) έχουμε για κάθε χ 0: f '(χ) .&;2 χ > Ο. Και επειδή η f είναι συνεχής στο Ο, έπεται ότι f ! 3) Για κάθε χ Ο, έχουμε: Ι �χ ι = � Ιχl � ι!ιχ . , οτι, αι επειδη, ιm χ1 = , επεται lim �χ = Ο. Έτσι, έχουμε: lim f(x) = lim (χ + �) = και lim f(x) = lim�(χ + �) = χ Και επειδή f ! έπεται ότι f(IR) = * *

IR..

ι·

χ-±οο

x--co

χ--+<χ:>

15. Έσται η συνάρτηση :

{

- 00

ημχ

Λύση.

ex lnx -

IR..

Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης (1) είναι το� (0, +ω). Για κάθε χ Ε (0, 1], έχουμε lnx Ο. Άρα, η εξίσωση (1) δεν έχει ρiζα στο διάστημα (0, 1], αφού α > Ο. Θεωρούμε τη συνάρ τηση: f(x) = α, χ (1, +ω) = Α. Στο (1, +ω), έχουμε: f (χ) = lnx + �χχ > Ο. Άρα: f ! (1, +ω). Εξάλλου έχουμε: lim f(x) = lim α)= -α και lim f(x) lim α) = Άρα = (-α, +co). Επειδή Ο Ε έπεται η 1f έχει μία τουλάχιστον ρiζα στο ( 1 ,+ω) και επειδή f +ω), έπεται ρiζα αυτή είναι μοναδική. Συνεπώς, η εξίσωση ( 1) έχει μία μοναδική ρiζα.

έχει μία μοναδική ρίζα.

χ-ο

(1)

ex lnx = α

Λύση.

x--co

IR.,

χ-

-οο

+οο.

IR..

16. Να βρείτε τους αριθ μούς α, β, γ Ε IR. με ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4Π6

------ Μαθηματικά για τη Γ ' τάξη το\) Λ\) κείο\)

= - 3ι χσυγ3χ + 3ι J συν2χ συνχdχ = - 3Ι χσυγ3χ + 3Ι f ( 1 - ημ2χ) συνχ dx

α > Ο και β >0, Ύια τους οποίους η C r της συνάρτησης : f(x) = α χ

"./

βχ1 + ΎΧ

•

έχει aσύ μπτωτη στο +οο μία ευθεία πα ράλληλη προς την ευθεία : y = 2χ + ι και στο -οο την ευθεία y = - ι .

διακρίνουσα του τριωνύ μου: βχ2 + γχ - 1 , είναι γ2 + β > Ο. Άρα το τριώνυμο αυτό έχει ρiζες πραγματικές και άνισες ρι και ρ2 και έστω ότι ρ ι < ρ2. Ετσι, το σύνολο ορισμού της είναι: Α = ( ρ U [ρ2, +00 . Για να συμβαίνουν τα ζητούμενα, πρέπει και αρκεί: Iim ( Ι ), lim Λύση.

= - k χσυΨχ + � f συνχ - � f ημ2χ συνχ dx = - 31 χσυγ3χ + �1 μχ - 3ι f ημ2χ (ημχ)' dx n ιι3χ ::....; + = - -Ι χσυγ3χ + �Ι μχ Ι .:.ι..ι: = - )ΧΙ συ χ + �Ι μχ - 9'11 μ χ + c.

_ _

) ι] fx fx Ι (ι χ--+«> (Χ ) = 2 χ--«> (Χ ) = Ο (2) ιs. και lim f(x) = -ι χ--«> Έχουμε: ι_ + .2L. ι (ι +ι +ι χ2 αχ ι .Ι ιm t<x> = ιm + ..Jβ + χ--+«> Χ . χ--+«> Χ Με ν 2, έχουμε: =}�α + \)β + � - tz ) = α + Vβ . lv = (χ)' (1-x3)v dx = Χ (1 - x3)v - Χ [(1 - χ3)ν] ' dx f f lim f(x) = lim αχ + Vβχ2 + - = = x(l - x3)v - 3ν f (-χ3) ( Ι - χ3)ν-ι dχ = χ χ--«> χ χ--«> x3)v 3ν (- Ι + Ι - χ3)(1 - x3)v- ι dx = = Ιίm (α - \) β + l. - � ) = α - Vβ . = χ-� χχ f Έτσι έχουμε: = χ3)ν 3vJ χ3)ν- dx - 3ν f (1 - χ3)ν dx { (1) { α + Vβ = 2 { α = ι β= Ι (2) α .Vβ = 0 = x(l - x3)v + 3ν lv - - 3ν lv (1). Συνεπώς: Ιίm ("./χ2 +γχ - ι + χ) = χ-li� χ--«> χ2 + - ι - χ = -οο,

(3).

χ3)ν dx, για κάθε ν ε IN*.

θέτουμε: Ιν =

Να δείξετε ότι, για κάθε ν � 2, ισχύει :

•

3ν

�

Λύση .

(1)

ν- ι

•

3ν

ν • χ3)

_ _

χ( 1 -

x( l -

<=>

�

(γιατί;). Έτσι, έχουμε:

γχ

(1 -

ι9. Ν α λυθεί η διαφορική εξίσωση :

� = - Ι <=> γ = 2.

(ι + ex) y '

yex ( l ) , Υ > Ο.

Η διαφορική εξίσωση (1) γράφεται: Συνεπώς: α = 1 , β = 1 και γ = 2. Ι y' = 1 + (2) Ύ ι7. Η (2) είναι μία διαφορική εξίσωση με χωρι ζόμενες μεταβλητές. Με y = f(x) μία λύση της (2), Ι ' f(x)1 f '(χ) = Ι + και συνεπως: εχουμε: Έχουμε: Ι Ι(χ) = - J χσυv2χ (συνχ)' dx = - k J χ(συΨχ)' dx f , (χ) dx = f 1 + dx. f(x) f = - .!. χσυΨχ + .!. J συν\dχ Επειδή dy = f ' ( χ) dx, η (3) γίνεται: (3)<=> -

Λύση.

Να βρείτε το ολοκλήρωμα : l(x) =

χσυrχ ημχ d x

Λύση.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.γ. τ.4Π7

x·

(3)

J .! d = J Υ

<=> lnylny= ln(= ln(l l <=> <=> lny = ln( l ) +

ex)

ex ec

Μαθηματ ικά για τη Γ τάξη του Λu κεiοu

ex)' dx ex

ex)

<=>

c (c Ε IR ) +

+ !χ y = ex.

xex

(1 ) , y( l) = Ο.

διαφορική εξίσωση ( 1 ) είναι γραμ μική πρώτης τάξης, δηλαδή της μορφής: y' p( ) Υ = q(x), με p(x) = .! και q(x) = Η συνάρτηση q(x) = είναι ορισμένη και συνεχής στο συνάρτηση p(x) = � είναι ορισμένη και συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (-οο, Ο) και (0, +οο). Λόγω της συνθήκης y( l) = Ο, και ε πειδή 1 (0, +οο), θα λύσουμε την εξίσωση ( 1 ) Λύση.

IR. Η

xy'

20. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση : y'

eιnx

lnec

y (1 + ex) ec .

(0, +οο) . Μία παράγουσα της p(x) = .! είναι lnx. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης = και βρίσκουμε: ( 1 ) με: y= (xy)' = <=> dx (2) xy = J Έχουμε: J dx = J ( ) dx = J dx = c (-c- ε-IR ). = Έτσt, έχουμε: c <=> y = ( 1 �) (2) <=> xy = � Εξάλλου, έχουμε: y(1) = Ο <=> c = Ο. Έτσt, από την (3), βρίσκουμε: Ο +οο. Υ = ( 1 �) χ

ex.

με

xex

χ ex '

xex

xex - ex

� εκδόσεις V ΒΑΚΑΛΗ XOIVTP/KH-AL4NlKH:

ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 17 Τ.Κ. 546 24 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ιηλ.: 232.585, 232.586 fax: 263.405

k. ΑΧΠΜΩ1ΙΑΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙ ΚΑ

Διατiθενται σε όλα τα βifJλιοπωλεiα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.γ. τ.4Π8

<=>

xex -

(χ)' ex

xex

eX,

<χ<

(3).

��;)

'τtAt

� ��ΨD

IJJ,

"λ

πεύθυνοισtήλης:

τιr 'AAtAopp•φi•r

Ευσταθίου Βαyyέ).ης - Σπανδάyος Βαyyfλης - Μαλαφέκας Θανάσης

Ο συνάδελφοςτων (πρώην επιστολή με Επιθεωρητής Γεν. μαθηματικών) του συγχαiρει τηντηνσυντακτική επιτροπήτουτουπεριο αισθητή βελτiιοση δικού. Τον ευχαριστούμε για τα καλά του λάyια. Αγαπητέ μαθητή (Κου φάλια Θεσ/νίκης) οισωστές λύσεις των. Σ 'ασκήσεων που και έστειλες είναι όλες ευχαριστούμε περιμένουμε την αποστολή άλλων λύσεων. Συνάδελφε ο «Ευκλείδης Β ' )) δεν δημοσιεύει κριτικές βιβλiων. Συνάδελφε οι ασκή�εις στα γενικευμένα ολοκληρώματα που μαςναέστειλες είναι πρωτότυπες αλλά δεν είναι δυνατόν δημοσιευτούν. Συνάδελφε κανένα σχολικό βιβλίοδιάτα παράλληλο βοήθημα δεν ορίζει και κανένα ξη στο σύνολο Αγαπητέ από Αστρονομίας. το προσεχές τεύχος θα καθιερωθεί μόνιμη στήλη Ευχαριστούμε για υποδείξεις σου. Συνάδελφε έχεις δίκιο. Το προς δημοσίευση χεφόγραφο έγραφε: «έστειλε (με απαραίτητες λύσεις των ασκήσεων και παρατηρήσεις) την παράλειψη. του τεύχους Λυπούμαστε για Αγαπητές φίλες (μαθήτριες Λυκεiων 2°u και Τρικάλων Φαρκαδόνας) δημοσιεύουμεγιαευχα ρίστως τηνκαιεπιστολή σας. Ευχαριστούμε την αποστολή των ασκήσεων: «Αγαπητοί κύριοι υπεύθυνοι του περιοδικού Είμαστε δύο μαθήτριες της Β ' Λυκείου και συνάμα συνδρομήτριες του περιοδικού σας εδώ και χρόνια. Από τη στιγμή αυτή επιθυμούμε να γίμε νουμε και συνεργάτες σας. Είναι γεγονός πως την κατεύθυνση που επιλέξαμε, τη κόσμο θετική,τωνέχουμε εισχωρήσει καλύτερα στο μαγικό μα θηματικών. Για το λόγο αυτό και θα προτιμούσαμε τοματαπεριοδικό ναδεξιοτήτων. περιέχει καιΠάντως κάποιαμαςπρότυπα θέι των τεστ αρέσει διαίτερα που το περιοδικό σας •

Μανώλης Ι. Δαμίγος

«Ευ

κλείδη Β'>> για

•

κι

•

Κ.Π.

•

Λ.Σ.

•

αλλά

Μ.Β.

C \ IR..

•

Γιώργο Τσάκο τις

•

τις

Δημ. Γιαβρίδη Δ3

•

μας

Θάνο Παπαϊωάννου

Δ4

3 1 ))

Κωνσταντίνα Αθανασίου Μαρία Χαντζιάρα -

Ευκλείδης Β',

δεν έχει μόνο α σκήσεις αλλά και πολλά ενδιαφέροντα άρθρα

γύρω από τα μαθηματικά.

Με σεβασμό Κωνσταντίνα Αθανασίου και Μαρία Χαντζιάρα Συνάδελφε συναδέλφων τωνδενεπαρχιών υποτιμούμε συνεργασ των ίες ναντίας έχουν την δέουσα προτεραιότητα. απε ευχαριστούμε για τα καλάΦίλε λόγια. Περιμέν.ουμε συνεργασία. Από μαθήτριες της Α' τάξης τουκαιΛυκείου του ΛυκείουκαιΛοbτρών Αιδηψού πήραμε σωστές απαντήσεις λύσεις Ασκήσεων του τεύχους Αγαπητέ φίλε ενδιαφέρουσα η εργασία (Αστακός Αιτωλοακαρνανίας) σου αλλά δυστυχώς λόγω πολύ μεγάλης έκτασης δεν είναι δυνατό να δημοσιευθεί. Φίλε ασκήσεις σου θα δημοσιευθούν στο τεύχος του Σεπτεμβρίου 2000 γιατί η ύλη το τεύχος έχει κλείσει τον δασολόγο ραμεΑπόωραίες ασκήσειςκ.γεωμετρίας. Αγαπητή Μηχα νιώνα) στο τεύχος θα δημοσιεύσουμε ασκήσεις σου. Αγαπητέ ευχαριστούμε για τη συνεργασία. Οι ασκήσεις είναι νες. Θα δημοσιευθούν στο τεύχος σωστά λυμέ Μαθητή Β ' Λυκείου (Βόλος). Αγαπητέ Χρήστο, όλες οι λύσεις είναι σωστές. Μπράβο!! Συνάδελφε Θα δημοσιευθεί. η εργασία σου ενδιαφέρουσα. Αγαπητέ συνάδελφε ευχατο ριστούμε για το μεταφρασμένο άρθρο, δεν θεωρούμε δημοσιεύσιμο. Αγαπητέ συνάδελφε ω ραία η εργασία σου, μη δημοσιέυσιμη. Τις πόψεις σου τις μεταφέραμε στο Δ.Σ. της Ε.Μ.Εα. Ευχαριστούμε κύριεεκτός των πλαισiων του περιοη Αγαπητέ είναι σας εργασία δικού. •

Πέτρο Γεωργίου

τις •

Γιώργο Μαυρίκη

τις

•

Άννα Παρλάντζα, Μαρία Ζαχαρίου φία Αρβανίτη

Ευμορ

34.

•

Λάμπρο Αποστόλου

•

Χρήστο Οικονόμου, 37 για 36 Ιωάννη Ταρασίδη πή-

•

1Ο

•

Διαμαντουλάκη Ιωάννα (Ν. 37

Παπαϊωάννου Θάνο

37.

•

Χαριτωνίδη Γιώργο

Γιαβρίδη Δημήτριο,

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β" λ.γ. τ.4Π9

Αντώνη Λεβάκο, αλλά

αλλά

Χρήστο Ηρακλείδη,

Χρήστο Παπαδη μητρίου,

Υπεύθυνοι στήλη ς : Ευ σταθίου Β αγγέλης - Σπανδάγο ς Β αγγέλη ς

Τυ ρλής Γιάννη ς

πό τη στή λη αυτή γίνεται πα ρ ουσίαση πρόσφατων βιβλίων μαθηματικών, δηλαδή βιβλίων που έχουν εκδο θ εί από το 1 998 και μετ ά . Όποιος συγγραφ έας ή εκδότης εmθυ μεί να παρου σιαστεί το βι βλίο του μπο ρεί να στέλνει στα γρ αφεία της Ε .Μ. Ε . , , με συστημένο δέμα, δύ ο αντίτυπα με την ένδειξη "Για τη Βιβλιοπιφουσίαση ".Σ πανδάγου Βαγγέλη - Σπανδάγου Ρούλας: «Μαθηματικά Γ' Λυκείου (τεχνολογικής Κατεύθυνσης) τόμος Β'» (σελίδες 552), Εκδόσεις Αίθρα, Αθήνα 2000. Σπανδάγου Ευαγγέλου :

Αθήνα 2000.

«Οι χαμένες πραγματείες του Ευκλείδου» (σελίδες 1 80), Εκδόσεις Αίθρα,

Στεργίου Χ. - Νάκη Χ. - Στεργίου 1. : «Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Θετική κατεύθυνση) τεύχος 3ο, Παράγωγος - Ολοκλήρωμα» (σελίδες 384), εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα 2000.

Rucker Rudy: «Το άπειρο και ο νους»

Ηράκλειο 1 999.

Westfall Richard:

537),

Π.Ε;Κ., Ηράκλειο

(Μετάφραση Κώστας Χατζηκυριάκου) (σέλίδες 370),

«11 ζωή του Ισσάκ Νεύτωνα» 1 999.

(Μετάφραση

Διονύσης Γιαννίμπας)

Π.Ε.Κ. , (σελίδες

Παπαϊω άννου Γεωργίου : «Χαοτικές χρονοσειρές» (σελίδες 344), Leader Books, Αθήνα 2000.

Rotman Joseplι: «Θεωρία Galoίs»

2000.

(σελίδες 1 85) (Μετάφραση Ν. Μαρμαρίδη), Leader Books, Αθήνα

Streefland L.: <<Ρεαλιστικά Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση» Μαργαρίτα Μανσόλα - Ευγενία Κολέζα) (σελίδες 230), Leader Books, Αθήνα 2000.

(Μετάφραση

Van der Waerden Β.: <<11 αφύπνιση της Επιστήμης» (σελίδες 370),

Bell Ε.

«Οι μαθηματικοί » (Μετάφραση ΠΕΚ Ηρακλείου 2000. Sardelis D. - Valahas Τ.:

Ν.

Σταματάκης) (τόμοι Ι - Π

Π.Ε.Κ., Ηράκλειο 2000. ) έκδοση Β ' (σελίδες 472 και

<<Pythagorean Hypersolids» (Ameήcan College of Greece')'Athens 2000.

«Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά» (Μετάφραση Ανδρομάχη Σπανού) (σελίδες 384) Π. Τραυλός, Αθήνα

Singh Simon.:

Εκδόσης

495)

Ταμπάκη Νίκου :

1 999.

«Από την ποίηση στη λογική » (σελίδες 1 84) Εκδόσεις Γκοβόστη, Αθήνα 1 999.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.y.

τ.4/80

Εκδόσεις της ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ'ΠΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ �ι

L VJ(J. HJOJjς "

}l ιιι:υ fΙΙ'\

4�-- J;; ��;, ... �u

---· - - -

LOUIS BRAND ΜΑθΗΜΑτJΚΗ λΝΑΛΥΣΗ

,,,..,�Η ••C-,... -.._, ,...�.,, ..,, ,� -.-..... .....tu...ιw, . ............ . _......

[JC

1"1'1 f;oAf'> Τ<•

2()()()"

Ιii!ΙΙΙ. ιι14JΙΙΙΙ! ιrιιιι� • \\fi'IKII 1\�!l'ιi\ IIKtΙ Rlti.\H)f t• \ΦI \ 11 1: ι ι. t>· , ι r Ε t' Η Ο ι• ι• a •. .� l ι ιι r ιι a �·

Μ ιι·ιιι�Μ. ιrιrs

ΣJ"ΟΠf:ΙΩΙ\ΙfΣ ΓRΩMEYI'J,\ \- ΠΟ ΑΝΩ:rι:Ι'ιr Σιι:οrιιΑ

\=111\111 11�11 Ι a. Ι t \ 1 \ l \ ! Ιiο.Ο\ 1 1 ! 11\ � ' "' ""'" '" " .. ' "

' ·'

,\·f .ι ι tι Ι' \Ι ι ι Ι t'<'i. , , ,, I

' F rι H Η

ι τιι

'94

. .. .....

' ' "'""' ''''"'"' '''.''''''"!' _.,.. '"•'""•

ΕυκλείδηςΑ': Τεύχος 400δρχ.

Συνδρομή 1 .900 δρχ. (4 Ίtύχη + 300 δρχ. ΊΟ)(Uδρομικά) Σχολεία: 1 .600 δρχ. (4 τεύχη) ΕυκλείδηςΒ': ΤεύχQς 500δρχJ; Συνδρομή 2.300 δρχ. ..,. .F.ιν. -"')"" (4 mΊvn '"'Λ""t"''" ·-Λ· ι + 300 δρχ. .... Σχολεία: 2.000 δρχ. (4 τεύχη) Ε υ κλει'δ ηςΓ' : ΤευχQς 1 300δ ρχ. 2.500 δρχ. (2 τεύχη)

Μαθημ. Επιθεώρηση:

Τεύχος 1 .300 δρχ. Συνδρομή 2.500 δρχ. (2 τεύχη ) Αστρολάβος: Τεύχος 1 .000 δρχ. Συνδρομή 2.0ΟΟ δρχ. (2 τεύχη) Δελτίο (Bulletin): Τεύχος 1 .500 δρχ. Θέματα εξετάσεων στα A.E.I 1 .300 δρχ. 1 976 • 1 989: Πρακτικά:

1 ου Πανελληνίου Συνεδρίου 2.000 δρχ 2ου Πανελληνίου Συνεδρίου 2.000 δρχ 3ου Πανελληνίου Συνεδρίου 2.000 δρχ 4ου-5ου Πανελληνίου Συνεδρίου 3.000 δρχ βου Πανελληνίου Συνεδρίου 2.000 δρχ 7ου Πανελληνίου Συνεδρίου 2.500 δρχ βου Πανελληνίου Συνεδρίου 2 000 δρχ 9ου Πανελληνίου Συνεδρίου 2.500 δρχ ·

1 0ου Πανελληνίου Συνεδρίου 5.000 δρχ 1 1 ου Πανελληνίου Συνεδρίου 5.000 δρχ 1 4ου Πανελληνίου Συνεδρίου 5.000 δρχ Συνεδρίου 1 5ου Πανελληνίου 5.000 δρχ Συνέδριο

Συνέδριο

Hermis

τόμοι 0 τόμος

G r. Μ uncres

'92 (Αγγλικά)

7.000 δρχ.

'94 (Αγγλικά)

4.500 δρχ.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ)

5.000 δρχ.

Διαλέξεις: Ο τόμος

1 .300 δρχ.

Louis Brand

6.000 δρχ.

Μαθηματική Ανάλυση

Stephenson

Διαφορικές Εξισώσεις

(4 τόμοι) Α,

Ιστορία Μαθηματικών

Β, ΓΑ• ΓΒ ο τόμος

70 Χρόνια Ε.Μ.Ε. ; ·

1 . 300 δρχ.

ΗΡΩΝΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ

(Ονόματα Γεω μετρικών όρων

2·000 δρχ. 1 .000 δρχ.

Ελληνική Μαθηματική Βιβλιογραφία

Γραμμική Άλγεβρα

Loria

2.000 δρχ.

1 .000 δρχ.

Στοι χειώδης Γεωμετρία από Ανώτερη Σκοπιά

Τα παλαιότερα τεύχη όλων των εκδόσεων πωλούνται με τις τρέχουσες τιμές του 1 999

2.000 δρχ.

Ρά φ ι α γε μ άτα

β ι βλία , μ υρωδιά

ζεστο ύ

καφέ, μ ελωδ ι κές νότες ,

χώ ρ ο c; φ ι λό ξενο ς , ε ι δ ι κά δ ι α μ ο ρ φ ω μ ένος σε δ ύ ο ο ρ ό φ ο u c; γ ι α ε uχά ρ ι στn κα ι n ρ ε μ n ανάγ�ω σ n . Στο β ι β λ ι οπωλείο όλες τ ι c; π α λ ι έ ς

ΚΟ I

νέ εc; ε κδ όσε ι ς

ΒΙΒΛΙΟ f υθ� όt;

ΣΑ Β ΒΑΛΑ θ α β ρ ε ίτε

όλων των ε Κδ0τ1 Κών 0 ί Κω ν γ ι α όλα

τα θ έ μ ατα : π α ι δ ι κά , λογοτεχνία , ι στο ρ ία , ψ υχολογία , κο ινωνι ολογία , ε κπα ί δ ε u σ n , μ ετα φ u σ ι κn , φ ι λοσοφ ία , δ ι δ α κτ ι κ n , ο ι κολογία , δ ο κ ίμ ι α , π ο ί n σ n κ . ά . . . . κα ι κά θ ε μ έ ρα ανάγνωσ n μ ε τι c;

μ ελωδίες του πι άνο υ

σ τ ο κ ί ν τ ρ ο τ n ς Αθ ή ν α < Ζ . Π nγ n ς 1 8 , 1 0 6 8 1 A θ n va Τn λ . 33 . 0 1 . 25 1 - Fax : 3 8 . 1 0 . 9 0 7