CAPÍTULO 10
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10.1 OBJETIVO
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Expresiones radicales
Introducción a las expresiones radicales Simplificar expresiones radicales numéricas La raíz cuadrada de un número positivo x es un número cuyo cuadrado es x.
Punto de interés
9
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El símbolo radical se utilizó por primera vez en 1525, cuando se escribió como . Algunos historiadores sugieren que éste también evolucionó en los símbolos “menor que” y mayor que”. Como los tipógrafos de la época no querían elaborar símbolos adicionales, el radical cambió a la posición y se utilizó como “mayor que” y la posición 9 y se utilizó como “menor que”. Sin embargo, otras evidencias sugieren que estos últimos se desarrollaron de forma independiente del símbolo radical.
La raíz cuadrada de 16 es 4 porque 42 5 16. La raíz cuadrada de 16 es 24 porque 1242 2 5 16. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una es un número positivo y la otra uno negativo. El símbolo ! , conocido como signo radical, se utiliza para indicar el positivo o la raíz cuadrada principal de un número. Por ejemplo, !16 5 4 y !25 5 5. El número de la expresión algebraica debajo del signo radical se conoce como radicando. Cuando es necesario calcular la raíz cuadrada de un número negativo, se coloca un signo negativo frente al radical. Por ejemplo, 2!16 5 24 y 2!25 5 25. El cuadrado de un número entero es un cuadrado perfecto. 49, 81 y 144 son ejemplos de cuadrados perfectos. La raíz cuadrada principal de un número entero cuadrado perfecto es un número entero positivo.
72 5 49 92 5 81 122 5 144 !49 5 7 !81 5 9 !144 5 12
La tabla siguiente muestra las raíces cuadradas de algunos cuadrados perfectos. Raíces cuadradas de cuadrados perfectos !1 5 1 !4 5 2 !9 5 3
Toma nota Recuerda que un factor de un número lo divide exactamente. Por ejemplo, 6 es un factor de 18 y 9 también es un factor de 18. Observa que 9 es un factor cuadrado perfecto de 18, mientras que 6 no es un factor cuadrado perfecto de 18.
!16 5 4 !25 5 5 !36 5 6
!49 5 7 !64 5 8 !81 5 9
!100 5 10 !121 5 11 !144 5 12
Si un entero no es un cuadrado perfecto, sólo es posible aproximar su raíz cuadrada. Por ejemplo, 2 y 7 no son cuadrados perfectos. Por tanto, su raíz cuadrada sólo puede aproximarse. Estos números son números irracionales. Sus representaciones decimales no son finitas ni se repiten. !2 < 1.4142135 . . . !7 < 2.6457513 . . . Con ayuda de una calculadora es posible determinar las raíces cuadradas aproximadas de los números que no son cuadrados perfectos. Las raíces cuadradas pueden redondearse a cualquier valor determinado. Las expresiones radicales que contienen radicandos que no son cuadrados perfectos casi siempre se escriben en la forma más simple. Una expresión radical se encuentra en su forma más simple cuando el radicando no contiene ningún factor mayor que 1 que sea un cuadrado perfecto. Por ejemplo, "50 no está en su forma más simple, porque 25 es un factor cuadrado perfecto de 50. La expresión radical "15 se encuentra en su forma más simple porque no hay un factor cuadrado perfecto de 15 que sea mayor que 1. La propiedad del producto de las raíces cuadradas se utiliza para simplificar expresiones radicales. PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE LAS RAÍCES CUADRADAS
Si a y b son números reales positivos, entonces "ab 5 "a ? "b.