Jan Erik Gulbrandsen . Arve Melhus . Randi Løchsen
Matematikk for ungdomstrinnet Engangsbok
Randi L酶chsen 路 Jan Erik Gulbrandsen 路 Arve Melhus
Matematikk Matematikkfor forungdomstrinnet ungdomstrinnet Engangsbok 8B Bokm氓l
© N.W. Damm & Søn, 2007 1. utgave 2. opplag Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med N.W. Damm & Søn AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Redaktør: Nils Henrik Gran Omslag og illustrasjoner: Øyvind Tingleff Grafisk tilrettelegging og sats: RenessanseMedia AS v/ Trude Gabrielsen Skrift: Helvetica 13/15 Papir: 115 g Arctic Volum Trykk: Narayana Press, Danmark, 2007 ISBN 978-82-04-12000-7
KJÆRE ELEV Velkommen til læreverket Nye Mega!
Generell del I denne delen lærer du det grunnleggende innenfor det emnet kapittelet tar opp. Her finner du:
!!+!!!=? TENK OG SNAKK
– problemstillinger som dere kan diskutere i elevgruppa.
EKSEMPEL – eksempler på hvordan du kan løse oppgaver.
KOPIERINGSORIGINAL
AKTIVITET
REGEL
Internett Søk:
– disse må du få av læreren din når du har bruk for dem.
– praktiske oppgaver som du kan løse sammen med andre elever.
– regler som det er nyttig å kunne når du skal løse oppgaver.
– aktuelle søkeord som du kan bruke for å finne aktuelt stoff på Internett.
Nye Mega
3
Fargedel
FARGEDELEN
Denne delen består av treningsoppgaver. Når du arbeider med disse oppgavene får du se hvor mye du har lært av det du har jobbet med så langt i kapittelet. I noen av oppgavene jobber du på en litt annen måte, kanskje det hjelper deg til å forstå det du ikke fikk med deg i generell del.
PRØV DEG SELV
Dette er en liten prøve på hva du kan etter å ha jobbet med kapittelet.
Jan Erik Gulbrandsen
4
Arve Melhus
Randi Løchsen
Kapittel D Regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Vi kjøper på postordre og bruker regneark . . . . . . . . . . . 10 Å kjøpe med rabatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kapittel E Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å løse regneuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å lage regneuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikasjonstegnet blir «usynlig» . . . . . . . . . . . . . . . . . Uttrykk med flere variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fargedelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneuttrykk med variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneuttrykk med flere variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 20 21 24 27 28 30 32 33 34
5
Kapittel F Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi løser en ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi undersøker om løsningen er rett . . . . . . . . . . . . . . . . . Å løse et problem som ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fargedelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x+2
6
5
38 43 46 51 55 60
Kapittel G Funksjoner og grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å lese av et diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjon på tabellform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjon, fra tabell til graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fargedelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 63 66 68 72 76 80
Kapittel H Sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sannsynlighetsskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82 84 93
7
38
LIGNINGER
KAPITTEL
!!+!!!=? TENK OG SNAKK
KOPIERINGSORIGINAL
F1
F
På side 38 er det tegning av matematikkdetektiv Lig Ning. Han er ekspert på å finne matematiske tegn og symboler som har forsvunnet, og få dem på rett plass igjen. Denne gangen er han på leting etter tegnene +, –, · og : . Disse tegnene må han få på rett plass på oppslagstavla som er vist nedenfor. Alle regnetegnene forsvant fra tavla under mystiske omstendigheter. Lig Ning må få rett tegn på rett plass slik at alle regneuttrykkene stemmer. Det vil si at det som står på venstresiden av likhetstegnet, blir lik det som står på høyresiden av likhetstegnet. Hjelp Lig Ning med å få dette til.
39
!!+!!!=? TENK OG SNAKK
+3
9
F1 Sett rett tall i rett rute. 3
6
7
8
9
+3=9 – 5 = 10
40
15
+ 21 = 28 2·
= 18
16 + 15 :
+ = 24 =5
F2 Undersøk hvilket av tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 0 som passer i rutene slik at regneuttrykkene stemmer. a)
+4=7
b) 6 +
= 10
c) 2 +
=9
d) 5 +
= 13
e) 9 –
=8
f)
8–
=2
g) 7 ·
= 14
h) 4 ·
= 20
i) 3 ·
= 27
j)
=0
8·
F3 Hvilke tall må stå i rutene for at regneuttrykkene skal stemme? a)
c) 6 +
e)
g) 3 ·
+7=9
= 15
–2=4
=9
b) 4 +
= 12
d) 8 –
=6
f)
6–
h) 4 ·
=5
= 16
41
EKSEMPEL Ellen sier: «Hvis jeg legger 3 til et tall, får jeg 8. Hvilket tall tenker jeg på?» Tallet Ellen tenker på er ukjent. I ligninger bruker vi en bokstav for det ukjente tallet. Ofte bruker vi bokstaven x.
Vi setter opp en ligning. Det ukjente tallet er x.
Vi vet: Det ukjente tallet + 3 = 8. I matematisk språk kan vi skrive dette slik:
x+3=8
Vi har nå satt opp det vi kaller en ligning.
En ligning består av: En venstre side
x+3
Et likhetstegn
En høyre side
=
8
En ligning inneholder altså et likhetstegn. Det som står på venstre side av likhetstegnet, må være lik det som står på høyre side av likhetstegnet. I denne ligningen stemmer det hvis Vi sier da at
42
x = 5.
x = 5 er løsningen av ligningen.
VI LØSER EN LIGNING
EKSEMPEL Vi skal løse ligningen
x+2=5 Vi kan godt sammenligne en ligning med en skålvekt.
x+2
5
Når det er lik vekt i begge skålene, er vekta i likevekt. Den er fortsatt i likevekt om vi tar bort eller legger til like mye på hver vektskål. Når vi legger til, adderer vi. Når vi tar bort, subtraherer vi.
Vi velger å subtrahere så mye på hver side at vi får x igjen alene i den venstre vektskåla.
x+2=5 x+2–2=5–2 x=3
x+2–2
5–2
REGEL Vi kan addere eller subtrahere like mye på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner. 43
EKSEMPEL Vi kan addere like mye på hver side i en ligning.
x–3 =5
x–3+3 =5+3 x =8 F4 Løs ligningene. a) x – 5 = 3
b) x – 11 = 10
c) x – 4 = 14
d) x – 7 = 19
e) x – 3 = 9
44
EKSEMPEL Vi kan subtrahere like mye på hver side i en ligning.
x+2=7
x+2–2=7–2 x=5 F5 Løs ligningene. a) x + 5 = 15
b) x + 6 = 10
c) x + 4 = 14
d) x + 7 = 19
e) x + 13 = 29
45
VI UNDERSØKER OM LØSNINGEN ER RETT Når vi skal undersøke om løsningen er rett, sier vi at vi setter prøve på svaret.
EKSEMPEL Vi har løst ligningen:
x+2=5 x+2–2=5–2 x=3 Vi vil undersøke om x = 3 er rett løsning av ligningen. Det kan gjøre vi slik: Prøve Venstre side av ligningen:
x+2= 3 + 2 = 5
Vi setter inn verdien x = 3 for x i den opprinnelige ligningen.
Høyre side av ligningen: 5 Venstre side av ligningen er lik høyre side av ligningen når x = 3. Da er x = 3 løsningen av ligningen. Hvis vi forkorter venstre side av ligningen til VS og høyre side av ligningen til HS, kan vi skrive dette kortere slik: Prøve VS = x+2= 3 + 2 = 5
HS = 5
VS = HS = 5 for x = 3 x = 3 er løsningen av ligningen.
46
EKSEMPEL Løs ligningen og sett prøve. x+2=8 Løsning:
x+2=8
x+2–2=8–2 x=6 Prøve: VS = x+2= 6 + 2 = 8
HS = 8
VS = HS = 8 for x = 6 x = 6 er løsningen av ligningen.
F6 Løs ligningen og sett prøve på svaret. a) x + 4 = 12
b) x + 10 = 25
47
EKSEMPEL Løs ligningen og sett prøve. x – 11 = 14 Løsning: x – 11 = 14 x – 11 + 11 = 14 + 11 x = 25 Prøve: VS = 25 – 11 = 14
HS = 14
VS = HS = 14 for x = 25 x = 25 er løsningen av ligningen
F7 Løs ligningen og sett prøve på svaret. a) x – 4 = 6
48
b) x – 2 = 10
F8 Løs ligningen og sett prøve på svaret. a) x + 3 = 9
b) x + 10 = 27
c) x – 8 = 11
d) x – 12 = 13
49
F9 Løs ligningen og sett prøve på svaret.
50
a) x + 13 = 47
b) 24 + x = 56
c) x – 15 = 23
d) x – 100 = 245
Å LØSE ET PROBLEM SOM LIGNING
EKSEMPEL Knut har 4 hunder. En av hundene får valper. Da har han 9 hunder. Hvor mange valper fikk hunden? Vi kaller det ukjente antallet valper for x. Vi skriver: 4 + x= 9 4 – 4 + x= 9 – 4 x=5 Svar: Hunden fikk 5 valper.
F 10 Løs som ligning. Elin har 50 kr. Hun får penger til jul. Da har hun 300 kr. Hvor mange kr (x) fikk hun til jul?
F 11 Løs som ligning. Asmir sier: Om 5 år er jeg 18 og kan ta førerkort. Hvor mange år (x) er Asmir?
51
Å LØSE ET PROBLEM SOM LIGNING
EKSEMPEL Tone har noen fisker. En dag finner hun 3 av dem døde. Da har hun 15 fisker igjen. Hvor mange fisker hadde hun? Vi kaller det ukjente antall fisker for x. Vi skriver: x – 3 = 15 x – 3 + 3 = 15 + 3 x = 18 Svar: Hun hadde 18 fisker.
F 12 Løs som ligning. Ibrar kjøper en film til 179 kr. Da har han 321 kr igjen. Hvor mange kr (x) hadde han?
52
F 13 Løs som ligning. Miriam selger lodd. Naboene kjøper 37 lodd. Da har hun igjen 63 lodd. Hvor mange lodd (x) hadde hun?
F 14 Løs som ligning. Irina har spist 7 biter konfekt, da er det 29 biter igjen. Hvor mange biter konfekt (x) var det i esken?
53
F 15 Løs som ligning. Arne samlet tomflasker. Han hadde 45 flasker før han gikk ut. Da han kom inn igjen, hadde han 58 flasker. Hvor mange flasker (x) fant han?
F 16 Løs som ligning. Malin samler på hårstrikker. Før bursdagen sin har hun 223 strikker. Etter bursdagen har hun 342 strikker. Hvor mange hårstrikker (x) fikk hun til bursdagen?
54
FARGEDELEN F 17 Hvilke tall må stå i rutene for at regneuttrykkene skal stemme? a)
+3=9
c) 8 + e)
= 13 –3=2
b) 4 +
=8
d) 5 –
=3
f)
=5
9–
g) 3 ·
= 12
h) 5 ·
i) 9 :
=3
j)
25 :
= 20 =5
F 18 Sett inn tallene 1, 2, 3 og 4 slik at summen stemmer både vannrett og loddrett.
4
2
=9
=9
=9
5
3
3
=9
=9
=9
55
Husk: Vi kan addere like mye på hver side i en ligning. x –3=5 x – 3 + 3=5 + 3 x=8
F 19 Løs ligningen. a) x – 4 = 5
b) x – 7 = 10
c) x – 3 = 12
d) x – 18 = 41
e) x – 33 = 66
56
Husk: Vi kan subtrahere like mye på hver side i en ligning. x+2 =7 x+2–2 =7–2 x =5
F 20 Løs ligningen. a) x + 3 = 8
b) x + 7 = 17
c) x + 6 = 14
d) x + 11 = 55
e) x + 42 = 98
57
Husker du: Å sette prøve på en ligning: x+2 =7 x+2–2 =7–2 x =5
VS = x+2= 5+2= 7
HS = 7
VS = HS = 7 for x = 5
F 21 Løs ligningen og sett prøve på svaret.
58
a) x + 3 = 17
b) 22 + x = 66
c) x – 5 = 12
d) x – 50 = 300
Å LØSE ET PROBLEM SOM LIGNING
F 22 Løs som ligning. Dani hadde 19 dataspill før jul. Etter jul har han 23 dataspill. Hvor mange dataspill (x) fikk han til jul?
F 23 Løs som ligning. Rita samler på sommerfugler. Før sommerferien hadde hun 32 sommerfugler. Etter sommerferien har hun 41 sommerfugler. Hvor mange sommerfugler (x) samlet hun den sommeren?
F 24 Løs som ligning. Rolf bakte boller. Familien spiste 7 boller. Da er det 25 boller igjen. Hvor mange boller (x) bakte Rolf?
59
PRØV DEG SELV
PF 1 Sett rett tall i rett rute. 2
4
6
8
10
12
+ 4 = 14
–3=5
+ 21 = 33
2·
=8
16 +
16 :
= 22
=8
PF 2 Løs ligningen og sett prøve på svaret. a) x + 12 = 28
60
b) 11 + x = 31
PF 3 Løs ligningen og sett prøve på svaret. a) x – 4 = 11
b) x – 15 = 23
PF 4 Løs som ligning. Erik baker sandkaker. 8 kaker blir knust. Da har han 16 sandkaker igjen. Hvor mange sandkaker (x) bakte Erik?
PF 5 Løs som ligning. Nora sier: Jeg er 13 år. Jeg har en lillesøster. Vi er til sammen 21 år. Hvor mange år (x) er Noras lillesøster?
61