5a laerer blaibok red by Cappelen Damm

Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET

4000 300 Fire tusen tre hundre og tjueen

BOKMÅL/NYNORSK

20 1

LÆRERENS BOK

'ƵůďƌĂŶĚƐĞŶ ͻ >ƆĐŚƐĞŶ ͻ DĊůĞŶŐ ͻ ^ĂůƚŶĞƐ KůƐĞŶ

D d D d/<< &KZ ZE dZ/EE d

ϱ > Z Z E^ K<

© Cappelen Damm AS 2015 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Radius dekker alle målene i Kunnskapsløftet etter revidert plan 2013 i faget matematikk og er laget til bruk på grunnskolens barnetrinn. Illustratør: Magnus Værness Prinsippdesign: AIT Oslo AS Sats/ombrekking: AIT Oslo AS Omslagsdesign: Tank Omslagsillustrasjon: Magnus Værness Forlagsredaktør: Marianne Haanæs Trykk og innbinding: AIT Oslo AS Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-40507-6 www.radius.cdu.no

&ŽƌŽƌĚ dŝů >čƌĞƌĞŶ Lærerens bok har først en generell del med innføring i hvilke matematikkdidaktiske prinsipper Radius bygger på og hvordan verket er bygget opp. I denne delen er det også generell teori om utvikling av regnestrategier, de visuelle modellene vi benytter, og metoder for gjennomføring av gode klasseromssamtaler. Videre følger Lærerens bok grunnboka side for side. Sidene er delt med en strek. Under streken er det faksimiler av elevboksidene, utfyllende forklaringer til oppgavene og tips til differensiering. Det er også veiledning til gjennomføring av den lærerstyrte klasseromssamtalen og tips til organisering av samarbeidsoppgaver for elevene. Over streken presenteres målene for kapitlene og hvilke begreper det er hensiktsmessig å innføre. Hvert kapittel har utfyllende matematisk og didaktisk teori til temaer som omhandles i kapitlet. Det er også mange forslag til aktiviteter og spill som hjelper elevene til forståelse. Til slutt i hvert kapittel er det en test, «Dette har jeg lært i kapittel ...». Denne testen er rask å kopiere og dele ut til elvene og gir et godt bilde av hva elevene har fått med seg i kapittelet. Uavhengig av kapitlets tema ﬁnner du øvingsoppgaver og hoderegningsoppgaver. Disse har som hensikt å opprettholde tabellkunnskaper og ferdigheter i regnestrategier. Bakerst i boka er det fasiter til alle komponentene og kopieringsoriginaler på nynorsk til «Dette har jeg lært i kapittel ...». De resterende kopieringsoriginalene er på radius.cdu.no. Vi som er forfattere av Radius 5–7, ønsker at Lærerens bok skal være en god håndbok som gir deg det du trenger for å gjennomføre gode matematikktimer med elevene dine. Lykke til! Jan Erik Gulbrandsen, Randi Løchsen, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen

Forord

/ŶŶŚŽůĚ Kŵ ZĂĚŝƵƐ Matematikkdidaktiske prinsipper . . . . I Oppbygningen av Radius . . . . . . . . . . . II Grunnleggende ferdigheter . . . . . . . . IV Utvikling av regnstrategier . . . . . . . . VI Visuelle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . VII Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker . . IX Mål for 5. trinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI

<ĂƉŝƩĞů ϭ ,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

Repetere hoderegning . . . . . . . . . . . . . 8 Hoderegning – dobling og halvering 12 Hoderegning – bruke «tiervennene» 14 Hoderegning – differanse . . . . . . . . . 16 Hoderegning – tenke via hel tier . . . 17 Kongen og det magiske kvadratet . . 21 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Dette har jeg lært i kapittel 1 . . . . . . 23

<ĂƉŝƩĞů Ϯ dĂůů

Ϯϰ

Titallsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Negative tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Addisjon og subtraksjon med 10, 100 og 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Oppstilling – addisjon . . . . . . . . . . . . 36 Oppstilling – subtraksjon . . . . . . . . . 40 Tekstoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Dette har jeg lært i kapittel 2 . . . . . . 48

Innhold

<ĂƉŝƩĞů ϯ DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

ϱϬ

Repetere multiplikasjon . . . . . . . . . . 52 Multiplisere med 10, 100 og 1000 . . . 57 Multiplikasjon – sammenlikning . . . 60 Multiplikasjon ved hjelp av rutenett . 62 Multiplikasjon ved hjelp av «tomt» rutenett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Regneark – digitale verktøy . . . . . . . 70 Multiplikasjon i regneark . . . . . . . . . 71 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Dette har jeg lært i kapittel 3 . . . . . . 75

<ĂƉŝƩĞů ϰ ^ƚĂƟƐƟŬŬ

ϳϲ

Undersøkelse, tabell og søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . 78 Digitale diagrammer og tabeller . . . 85 Typetall og median . . . . . . . . . . . . . . 88 Linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Flere typer tabeller . . . . . . . . . . . . . . 94 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Dette har jeg lært i kapittel 4 . . . . . . 99

<ĂƉŝƩĞů ϱ ŝǀŝƐũŽŶ

ϭϬϬ

Repetere divisjon . . . . . . . . . . . . . . . 102 Multiplikasjon og divisjon . . . . . . . . 104 Målings- og delingsdivisjon . . . . . . 108 Divisjon med 10, 100 og 1000 . . . . . 111 Divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Dette har jeg lært i kapittel 5 . . . . . 119

<ĂƉŝƩĞů ϲ 'ĞŽŵĞƚƌŝ

ϭϮϬ

Firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Parallellogram og trapes . . . . . . . . 123 Trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Geometriske ﬁgurer i GeoGebra . . 128 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Vi undersøker vinkler . . . . . . . . . . . 132 Vinkelsummen i trekanter og ﬁrkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Dette har jeg lært i kapittel 6 . . . . . 140

<ŽƉŝĞƌŝŶŐƐŽƌŝŐŝŶĂůĞƌ Dette har jeg lært i kapittel 1 til og med 6 (nynorsk) . . . . . . . . . 141

&ĂƐŝƚĞƌ Fasit Grunnbok 5A . . . . . . . . . . . . . . 148 Fasit Oppgavebok 5 (kapittel 1 til 6) 160 Fasit til elevoppgavene i Lærerens bok 5A . . . . . . . . . . . . . 169

<ŽƉŝĞƌŝŶŐƐŽƌŝŐŝŶĂů ϭͲϯϰ

radius.cdu.no

Innhold

DĂƚĞŵĂƟŬŬĚŝĚĂŬƟƐŬĞ ƉƌŝŶƐŝƉƉĞƌ Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle god tallforståelse og tilegne seg solide, grunnleggende ferdigheter i matematikk. Radius legger vekt på at elevene: r utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene r oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger r løser utforskende og sammensatte oppgaver r samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

Tallforståelse Vi ønsker at Radius skal bidra til at elevene utvikler god tallforståelse gjennom å: r rekketelle forlengs og baklengs med ulike sprang r dele opp tall på ulike måter r utvikle forståelse for plassverdisystemet r automatisere tabellene for addisjon og subtraksjon mellom 0 og 20 r automatisere multiplikasjonstabellen r utforske egenskaper ved tall

Regnestrategier I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og ﬂeksible regnestrategier i de ﬁre regneartene. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og gjøre erfaringer med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder.

Sammenhenger i matematikk Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle evne til å se sammenhenger i matematikk. Vi ønsker at de skal bruke sine kunnskaper om tallvenner til å se sammenheng med andre tall, for eksempel når 4 + 6 = 10, er 24 + 6 = 30 og 240 + 60 = 300. Når de har lært doblinger, er det lett å se sammenhenger som for eksempel at når 25 + 25 = 50, er 25 + 26 = 50 + 1 = 51 og 25 + 24 = 50 – 1 = 49. Når de har automatisert multiplikasjonstabellen, kan de se sammenhenger som at når 3 · 4 = 12, er 30 · 4 = 120 osv.

DĂƚĞŵĂƟŬŬĚŝĚĂŬƟƐŬĞ ƉƌŝŶƐŝƉƉĞƌ

Utforskende og sammensatte oppgaver Utforsking og undring er viktig for å bli interessert i og forstå matematikk. Radius legger opp til at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker, og til å dele dette med hverandre. Slik kan de sammen utvikle matematisk forståelse og gode strategier for å arbeide med faget.

Konkret – Visuelt – Abstrakt I Radius legger vi til rette for at elevene skal kunne arbeide med matematikken på ulike nivåer. Ved innlæring av nytt stoff kan det ofte være hensiktsmessig å arbeide med konkreter eller visuell støtte i form av halvkonkreter eller halvabstrakter. Målet er at elevene gjennom mange erfaringer med dette skal bli i stand til å løse oppgavene på abstrakt nivå. Med konkreter mener vi for eksempel tellemateriell og penger. Med halvkonkreter mener vi bilder eller tegninger av konkretene. Med halvabstrakter mener vi symboler eller modeller som for eksempel tallinje, number bonds og thinking blocks. Med abstrakter mener vi tallsymbolene. Det er stor forskjell på i hvilken grad elever trenger visuell støtte. Radius legger hele veien opp til at elevene får bruke den visuelle støtten de trenger. Reﬂeksjon og kommunikasjon Radius tar på alvor at matematikk også er et språk. Som andre språk læres og utvikles også det matematiske språket best muntlig. Elevene må få rik anledning til å utvikle dette språket gjennom muntlige aktiviteter, derfor står både den lærerstyrte klassesamtalen og elevsamtalene sentralt gjennom hele verket.

KƉƉďǇŐŶŝŶŐĞŶ Ăǀ ZĂĚŝƵƐ Ulike oppgaver Radius har et bredt spekter av oppgaver, oppgaver som egner seg for ferdighetstrening, oppgaver med modeller, oppgaver i kontekst hvor elevene får anvende sine ferdigheter i praktiske situasjoner, oppgaver for løsning med digitale verktøy og ulike typer problemløsningsoppgaver.

Komponentene i Radius 5, 6 og 7 Grunnbok A og B Oppgavebok Lærerens bok A og B Radius digital med tavlebok

Radius Grunnbok Radius gir i praksis r tydelige mål for hvert kapittel r oppgaver for refleksjon og klassesamtale r differensierte oppgaver til hvert tema r problemløsningsoppgaver r visuell støtte til oppgaver Mål Alle kapitlene starter med tydelige mål som er forståelige for elevene. På den siste siden i hvert kapittel er det en oppsummering hvor læreren samtaler med elevene om hva de har lært. I tillegg finnes kapittelprøver i Radius digital. Refleksjon og klassesamtale Hvert kapittel innledes med et samtalebilde og tilhørende spørsmål. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, de får øvelse i å bruke det matematiske språket, og de får innsikt i hvordan andre elever tenker. Alle kapitlene har samtaleruter med blått raster. På disse rastrene presenteres nye emner som samtalestoff med forslag til spørsmål som læreren kan bruke for å få engasjement rundt det nye temaet som klassen skal i gang med. På gult raster presenterer Radius varierte sammenoppgaver. Dette er oppgaver som elevene skal arbeide med i læringspar eller små grupper. Elevene skal samtale og diskutere framgangsmåter og løsningsstrategier og finne sine egne måter å løse oppgavene på. Etterpå er det meningen at elevene skal presentere og begrunne sine løsninger.

Differensierte oppgaver Hvert kapittel starter med enkle oppgaver som ligner på dem de har løst gjennom klassesamtalen. Videre fins oppgaver på ulikt nivå. Mange av emnene har også oppgaver med visuell støtte, en modell som de elevene som trenger det, kan bruke videre på flere av oppgavene. Noen oppgaver er merket med smilefjes. Dette er ekstra utfordrende oppgaver som det ikke er meningen at alle elevene skal løse. Oppgaver med digitale verktøy Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excell) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). Vi ønsker at elevene i løpet av mellomtrinnet skal bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene. Aktiviteter Alle kapitlene avsluttes med ulike aktiviteter som er knyttet til kapitlets matematiske tema. Det kan enten være spill eller finn-ut-oppgaver som elevene skal samarbeide om i læringspar eller i små grupper. Gjennom disse aktivitetene får elevene videre øvelse i, eller erfaring med å anvende, den kunnskapen de har tilegnet seg i kapitlet. Sant eller usant Alle kapitlene har også en samling utsagn, sant eller usant, som elevene skal vurdere og ta stilling til om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Å samtale om disse utsagnene med utgangspunk i elevenes svar kan gi deg som lærer innsikt i om noen elever har misoppfatninger knyttet til tema.

KƉƉďǇŐŶŝŶŐĞŶ Ăǀ ZĂĚŝƵƐ

Radius Oppgavebok Radius Oppgavebok følger de samme temaene som i Radius Grunnbok. Oppgaveboka inneholder ulike oppgavetyper. Den har enkle øvingsoppgaver, mer utfordrende smilefjesoppgaver og egne sider som heter veien videre. I veien videre ﬁnner du oppgaver som krever kompetanse ut over målene i kapitlet, og mer krevende problemløsningsoppgaver. Oppgaveboka har også gode eksempler til alle tema og egner seg derfor også godt til hjemmebok.

Radius Lærerens bok Radius Lærerens bok følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her ﬁnner du veiledning til klassesamtalene, forklaringer til alle oppgavene, enkelte løsningsforslag og tips til differensiering. Lærerens bok har også stoff for faglig påfyll, metodiske tips og forslag til aktiviteter. Den har også elevoppgaver for å vedlikeholde tabellkunnskap og hoderegningsstrategier, også i kapitler hvor det ikke jobbes direkte med tall. Til slutt i hvert kapittel er det en kapitteltest. Bak i boka er det fasit til Grunnbok 5A, Oppgavebok 5 (kapittel 1 til 6) og elevoppgavene i Lærerens bok. Øvrige kopieringsoriginaler er på radius.cdu.no.

Radius Digital 5–7 Øvingsoppgaver Nettstedet inneholder interaktive oppgavesett til alle delemner i hvert kapittel. Når elevene arbeider med oppgavene, får de umiddelbar respons på om de har løst oppgavene riktig. Kan du dette? Kan du dette? er en digital kapittelkartlegger som viser elevenes ferdigheter med hensyn til delmålene i kapitlet. Når elevene leverer testen, får de en rapport med forslag til videre arbeid. Rapporten kan skrives ut, og testen kan gjennomføres så mange ganger eleven selv ønsker.

III

KƉƉďǇŐŶŝŶŐĞŶ Ăǀ ZĂĚŝƵƐ

Halvårs- og helårskartlegging med Vokal Prøvene ligger klare i Vokal og åpnes for elevene av læreren. Resultatene er knyttet til delmålene i bøkene og dekker hele lærestoffet for hvert halvår og helår. Prøvene gir læreren god oversikt over elevenes grunnleggende ferdigheter, og verktøyet egner seg godt for samtaler med de foresatte og planlegging av elevenes videre arbeid. Elevene får tilgang til prøvene ved å logge seg inn fra nettstedet til Radius. Resultatene sendes direkte til Vokal når de leverer prøven. Resultatene lagres, og læreren får oversikt over ferdighetene til den enkelte elev og klassen samlet. For å få tilgang til prøvene må skolen være tilknyttet Vokal. Radius Regnemester Med Radius Regnemester øver elevene først og fremst på ulike regnestrategier. Men her ﬁnner de også øvingsoppgaver til alle grunnleggende emner i læreplanen. Radius Regnemester egner seg for øving av grunnleggende ferdigheter, til stasjonsundervisning og til differensiering. Radius Pokal Radius Pokal er utviklet med støtte fra Utdanningsdirektoratet for grunnleggende ferdighetstrening i matematikk. Her trener elevene på alle sentrale emner og samler pokaler i sin egen premiehylle. Progresjonen er rolig og systematisk. Resultatene blir lagret. Radius Pokal har også verksteder for bruk på interaktiv tavle og motiverende spill. Via lærerlisensen får læreren oversikt over resultatene til alle sine elever. Leksehjelp og omvendt undervisning Nettstedet inneholder videoer til alle eksemplene i Radius 5–7. Videoene egner seg for leksehjelp og repetisjon. Elevene trenger ikke å registrere seg for å se videoene. Hvis videoene skal brukes til omvendt undervisning, må læreren først registrere seg på Campus Inkrement (via snarvei fra Radius Digital) og opprette en klasse. Nå kan læreren følge progresjonen til elevene ved at de svarer på kontrollspørsmål underveis i videoene.

Tavlebøker Alle grunnbøkene ﬁns tilgjengelig som digitale versjoner for visning på interaktiv tavle og inneholder verktøy som stillbar klokke og tallinje. Læreren kan legge til egne kommentarer og lenker selv. Tavlebøkene egner seg for å samle klassen om sidene i bøkene, for dialog og for gjennomgang av lærestoffet.

Ressurser for interaktiv tavle Ressursene er utviklet for bruk på interaktiv tavle og egner seg blant annet for arbeid med regnefortellinger, trening på klokka og visualisering av regneoperasjoner langs tallinja. Prøver og kopieringsoriginaler Nettstedet inneholder skriftlige halvårs- og helårsprøver og kopieringsoriginaler for utskrift.

KƉƉďǇŐŶŝŶŐĞŶ Ăǀ ZĂĚŝƵƐ

'ƌƵŶŶůĞŐŐĞŶĚĞ ĨĞƌĚŝŐŚĞƚĞƌ Radius ivaretar de grunnleggende ferdighetene i matematikk fra revidert læreplan – 2013. «Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk. Det inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål og argumentere ved hjelp av både eit uformelt språk, presis fagterminologi og omgrepsbruk. Det vil seie å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre. Utvikling i munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å delta i samtalar om matematikk til å presentere og drøfte komplekse faglege emne. Vidare går utviklinga frå å bruke eit enkelt matematisk språk til å bruke presis fagterminologi og uttrykksmåte og presise omgrep.» I Radius innledes hvert kapittel med et samtalebilde og hvert delkapittel med en samtaleoppgave. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og reﬂeksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema og en innføring i det de skal lære. I disse samtalene introduseres også elevene for matematisk fagterminologi og begreper og får øvelse i selv å ta disse begrepene i bruk. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, og de får øvelse i å bruke det matematiske språket. Hvert kapittel inneholder sammen-oppgaver på farget bakgrunn. Disse oppgavene er ofte åpne problemløsingsoppgaver. Elevene skal arbeide med disse oppgavene i læringspar eller små grupper. Radius oppfordrer elevene til å diskutere ulike framgangsmåter og regnestrategier med hverandre, løse problemløsingsoppgavene på sine egne måter og forklare og presentere det de er kommet fram til. «Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Det inneber å bruke matematiske symbol og det formelle matematiske språket til å løyse problem og presentere løysingar. Vidare vil det seie å lage teikningar, skisser, ﬁgurar, grafar, tabellar og diagram som er tilpassa mottakaren og situasjonen. Skriving i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Utvikling i å skrive i matematikk går frå å bruke enkle uttrykksformer

'ƌƵŶŶůĞŐŐĞŶĚĞ ĨĞƌĚŝŐŚĞƚĞƌ

til gradvis å ta i bruk eit formelt symbolspråk og ein presis fagterminologi. Vidare går utviklinga frå å beskrive og systematisere enkle situasjonar med matematikkfagleg innhald til å byggje opp ein heilskapleg argumentasjon omkring komplekse samanhengar.» Radius legger opp til at elevene hele veien skal skrive oppgaver og løsningsforslag i egen kladdebok. I grunnboka oppfordres elevene til å vise sine løsninger på ulike måter: tegne modeller, figurer, lage tabeller, grafer og diagrammer i tillegg til å finne hensiktsmessige måter å presentere løsninger skriftlig med tall og matematiske symboler på. I tillegg har verket flere oppgaver hvor elevene skal lage tekstoppgaver til hverandre i en gitt kontekst. Da må elvene øve seg på presise problemformuleringer, slik at andre elever forstår og kan løse oppgavene. «Å kunne lese i matematikk inneber å forstå og bruke symbolspråk og uttrykksformer for å skape meining i tekstar frå daglegliv og yrkesliv så vel som matematikkfaglege tekstar. Matematikkfaget er prega av samansette tekstar som inneheld matematiske uttrykk, grafar, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Lesing i matematikk inneber å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon frå ulike element i tekstar. Utvikling i å lese i matematikk går frå å finne og bruke informasjon i tekstar med enkelt symbolspråk til å finne meining og reflektere over komplekse fagtekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.» Radius har oppgaver i kontekst av ulik vanskegrad slik at elevene får øvelse i å lese, tolke og forstå både enkle og sammensatte matematiske problemstillinger. Bøkene har også mange oppgaver hvor elevene lærer å lese av, tolke og forstå ulike tabeller, grafer og diagram. Radius legger dessuten vekt på å innføre korrekt fagspråk for elevene i løpet av mellomtrinnet. Gjennom sant-eller-usant-oppgavene, som fins mot slutten av hvert kapittel, får eleven øvelse i å se kritisk på en matematisk tekst og vurdere og ta stilling til om det som står har gyldighet eller ikke. «Å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk, matematiske omgrep,

framgangsmåtar og varierte strategiar til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem. Dette inneber å kjenne att og beskrive situasjonar der matematikk inngår, og bruke matematiske metodar til å behandle problemstillingar. Eleven må òg kommunisere og vurdere kor gyldige løysingane er. Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit variert utval av strategiar og metodar. Vidare inneber dette i aukande grad å bruke ulike hjelpemiddel i berekningar, modellering og kommunikasjon.» I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og ﬂeksible regnestrategier i de ﬁre regneartene og utvikle evne til å se matematiske sammenhenger. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og får erfaring med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Radius legger til rette for at eleven skal kunne framstille og presentere løsningene sine både ved hjelp av tegnede modeller og ved presis bruk av matematisk symbolspråk.

Radius vektlegger at elevene skal vurdere gyldigheten av sine løsninger gjennom utvikling av gode hoderegningsstrategier og overslagsregning. Elevene lærer også å ta i bruke ulike digitale verktøy for å beregne og presentere løsninger på ulike oppgaver både i praktiske dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer. «Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å bruke digitale verktøy til læring gjennom spel, utforsking, visualisering og presentasjon. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale verktøy til berekningar, problemløysing, simulering og modellering. Vidare vil det seie å ﬁnne informasjon, analysere, behandle og presentere data med formålstenlege verktøy, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat. Utvikling i digitale ferdigheiter inneber å arbeide med samansette digitale tekstar med aukande grad av kompleksitet. Vidare inneber det å bli stadig meir merksam på den nytten digitale verktøy har for læring i matematikkfaget.» Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). I løpet av mellomtrinnet skal elevene bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene og bruke dem til bergninger, presentasjoner og simuleringer.

'ƌƵŶŶůĞŐŐĞŶĚĞ ĨĞƌĚŝŐŚĞƚĞƌ

hƚǀŝŬůŝŶŐ Ăǀ ƌĞŐŶĞƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det ﬁns ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I Radius jobber vi derfor med ﬂere ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre og kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem.

Tellestrategier De aller ﬂeste elever behersker telling som strategi. I Radius jobber vi hele tiden med å utvikle denne strategien. Å kunne telle forlengs og baklengs med ulike sprang er, sammen med forståelsen av plassverdisystemet, nyttig kompetanse når elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon av store tall.

Automatisering For å kunne regne raskt og sikkert, og for å kunne nyttegjøre seg gode hoderegningsstrategier, er det nødvendig at en del tabellkunnskap er automatisert. Det vil si at elevene kan det så godt at de ikke behøver å telle seg fram til svaret. I Radius vektlegger vi nødvendigheten av å fortsette å jobbe med automatisering av tallvennene opp til 20, doblinger og multiplikasjonstabellen.

Strategier i addisjon og subtraksjon N10 I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) mye brukt i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57. Brukt som subtraksjon med samme tall blir det: 32 – 25; 32 – 20 = 12; 12 – 5 = 7.

s//

hƚǀŝŬůŝŶŐ Ăǀ ƌĞŐŶĞƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

1010 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18, 20 – 10, og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar. Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan eleven bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å ﬁnne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24 Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser en strategi som vi i Radius kaller regning via tiere. Strategien regning via tiere kan også være hensiktsmessig i subtraksjon. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 I Radius vektlegger vi at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten er den lett å ﬁnne i hodet. Dette kan du lese mer om på side 16.

sŝƐƵĞůůĞ ŵŽĚĞůůĞƌ Når elevene etter hvert skal regne med store tall, og når de skal forholde seg til kompliserte og sammensatte tekstoppgaver, kan det være nyttig å kunne nyttegjøre seg gode visualiseringsmodeller. I Radius viser vi eksempler på dette og oppfordrer elevene til å ta disse i bruk når de trenger det.

Tom tallinje Ideen om den tomme tallinjen kommer fra Freudenthal-instituttet i Nederland. Dette er en lineær regnemåte hvor elevene bruker den kunnskapen de har om tall og telling. En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. En tom tallinje skal være ﬂeksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg ad gangen. Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Number bonds Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. Radius bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Radius bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker. Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner. Eksempel:

10 7

Eksempel:

Etter hvert bruker vi number bonds til å dele opp vilkårlige tall. Elevene kan ha stor nytte av raskt å se hensiktsmessige oppdelinger av tall, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

450 – 302 = 148

Eksempel 1

+ 40

302 310

+ 100

350

450

54 · 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele 54 opp i tier og enere, 50 og 4. Da får vi 50 · 3 = 150 og 4 · 3 = 12; 150 + 12 = 162

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. –8

– 40

– 100

Eksempel 2 302 310

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend. – 50

– 100

300 302

350

54 : 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele opp 54 i 30 og 24. Da får vi 30 : 3 = 10 og 24 : 3 = 8; 10 + 8 = 18

450

sŝƐƵĞůůĞ ŵŽĚĞůůĞƌ

54 30

Thinking blocks Thinking blocks er et visualiseringsverktøy som brukes for å systematisere problemstillingen i tekstoppgaver. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever. Når vi bruker thinking blocks i Radius, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres. Størrelsen på blokkene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på blokkene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpeﬁgurer i konstruksjonsoppgaver, de er til hjelp for å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal ﬁnne ut. Thinking blocks har et større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Når elevene etter hvert møter på større tall som skal multipliseres, kan de dele opp rutenettet i kjente multiplikasjoner. Når elevene møter oppgaver der et tosifret tall skal multipliseres med et annet tosifret tall, kan det være nødvendig å dele opp rutenettet i ﬂere deler for å kunne bruke den kjente delen av multiplikasjonstabellen. 17 · 12 = 10 · 10 + 10 · 7 + 2 · 10 + 2 · 7 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 10

Eksempel Tor og Atman har til sammen 250 kr i lommepenger, Atman har 30 kr mer enn Tor. Hvor mye har hver av guttene i lommepenger? Tor

? kr

Atman

? kr

30 kr

}

250 kr

Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett bygger på arealforståelsen av multiplikasjon. Det er nødvendig å være godt kjent med denne modellen av multiplikasjon for å forstå bruken av rutenett og tomt rutenett i multiplikasjoner som går ut over den lille gangetabellen. Eksempel: Et rutenett med ﬁre rader og seks kolonner består av 24 ruter. Rutenettet er en modell av multiplikasjonene 4 · 6 = 24 og 6 · 4 = 24. Dette rutenettet illustrerer den kommutative loven, a · b = b · a. 6

Etter hvert som elevene forstår hvordan multiplikasjon og areal henger sammen, kan de frigjøre seg fra det oppdelte rutenettet og gå over til tomt rutenett. Dette er også mer hensiktsmessig etter hvert som elevene møter større tall. Samme eksempel som over kan se slik ut i tomt rutenett: 10 7

100

Ved å erstatte rutenettet med tomt rutenett kan det tegnes i mer hensiktsmessig størrelse. Elevene kan multiplisere i det kjente området av multiplikasjonstabellen og addere delproduktene for å ﬁnne sluttproduktet. Det er ingen regel for hvordan man deler opp multiplikasjonene. Det er viktig at elevene får dele opp slik at de kan bruke multiplikasjoner som de behersker.

sŝƐƵĞůůĞ ŵŽĚĞůůĞƌ

>ĂƉƉĞŵĞƚŽĚĞŶ͕ ĞŶ ŵĞƚŽĚĞ ĨŽƌ Ċ ĨĊ ƚĂŬ ŝ ŚǀŽƌĚĂŶ ĞůĞǀĞƌ ƚĞŶŬĞƌ I Radius legger vi stor vekt på den matematiske samtalen. Både den lærerstyrte klasseromssamtalen og samtale elevene i mellom står sentralt gjennom hele verket. I klasseromssamtalene er det ofte de samme elevene som tar ordet, gjerne de som av de andre elevene blir sett på som «ﬂinke». For å få fram alles tanker og oppklare misoppfatninger anbefaler vi en metode som vi kaller «Lappemetoden», også kjent som «My favorite NO answer». Med denne metoden er det læreren som styrer hvem som snakker, men allikevel kan en annerledes tanke fra en annen elev være det samtalen dreier seg om. Denne eleven får da prøvd sin tanke opp mot de andres og får mulighet til å utvide sin kunnskap eller kanskje til og med oppklare en misoppfatning. Metoden Sørg for alltid å ha nok oppkuttede lapper tilgjengelig i kasserommet. For eksempel et A4-ark delt i 4 eller 8, alt etter hvor mye som skal skrives på lappen. Da kan du alltid ty til denne metoden når du oppdager at det er forvirring eller uklarheter rundt et problem. Spørsmålsstillingen utover i metoden blir litt forskjellig alt etter hva slags problem som belyses. Men det kan foregå omtrent som i punktene under. Vi vil også komme med et par eksempler. r Del ut en lapp til hver elev. r Be eleven skrive navnet sitt på lappen. r Skriv det du vil ha elevens tanker om på tavla. r Be elevene skrive svar eller løsning på lappen sin og legge den opp ned på pulten. r Samle inn lappene. r Sorter svarene i «riktig» og «galt» eller i ulike svaralternativer. r Ta tak i et svar eller løsningsforslag som innholder en feil eller misoppfatning som du har lyst til å få oppklart. r Skriv løsningsforslaget på tavla. r Fortell hva du er glad for å se ved løsningen (det som er riktig), eller spør elevene hva de ser som er riktig. r Spør så hvordan de tror de elevene som har svart feil, har tenkt.

Det er viktig å understreke at ikke alt er feil. Noe er riktig, og det kan brukes til å oppklare det som ikke er riktig (eller mangler). Etter hvert som du og elevene blir trygge på metoden, kan den brukes både i forbindelse med samtalebildene, enkeltoppgaver i bøkene og til sant-eller-usant-oppgavene. For å venne elevene til metoden kan det være lurt å starte med en åpen oppgave som har mange svar. Da er nok de aller fleste svarene riktige men det illustrer godt for elevene at det er mange måter å tenke på, og at det andre tenker ikke nødvendigvis er feil. Eksempel: Det står mange sykler utenfor parken. Syklene har til sammen 11 hjul. Hvor mange sykler tror du det står utenfor parken? Dette er en oppgave som kan gi mange svar. Det finnes tohjulssykler, trehjulssykler, etthjulssykler og sykler med støttehjul. Sjansen for å få mange svar er absolutt til stede. Sorter lappene i bunker med like svar i hver bunke. Begynn med det svaret det er flest av, skriv det på tavla. Si for eksempel: «Jeg ser at mange tror det er seks sykler utenfor parken, og det er fullt mulig.» Spør videre for eksempel: «Hvordan kan det være 6 sykler utenfor parken når de har 11 hjul til sammen?» Selv dette svaret kan ha flere forklaringer. Det kan være fem vanlige sykler og en etthjulssykkel, eller det kan være fem hele sykler og en som mangler et hjul. Gjør det samme med de andre svaralternativene som er kommet fram. I sant-eller-usant-oppgavene på side 48 er et av utsagnene: Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Hvis en eller flere av elevene har skrevet dette som sant i sin besvarelse, kan du bruke denne metoden for å oppklare misoppfatningen. Be eleven skrive det største femsifrede tallet vi kan lage på lappen. Du vil da få mange lapper med 99 999 og antageligvis én eller flere med 90 000, og kanskje 99 000.

>ĂƉƉĞŵĞƚŽĚĞŶ

Velg for eksempel svaret 90 000. Si at du er glad for å se at tallet har fem siffer, det er helt riktig. Spør så elevene om det er noe mer som er riktig ved dette svaret. Da er det bare lov å svare hva som er riktig, ikke hva som er feil! Svaret vil bli at det er 9 på titusenerplassen. Spør om noen kan forklare hvorfor det er riktig. Svaret er for eksempel at 9 er

det største sifferet som kan stå på titusenerplassen. Bekreft svaret.

Spill som metode / pedagogisk virkemiddel I løpet av skoletiden regner elevene en stor mengde matematikkoppgaver fra lærebøkene. Mange elever får en opplevelse av at matematikkfaget er ensbetydende med å ﬁnne løsning på problemer andre har satt opp.

La elevene selv oppdage strategier Det er viktig at elevene selv får oppdage strategier. Ved å lære/fortelle elevene strategier kan de kanskje ta disse i bruk i den enkelte situasjonen, men når de ikke har oppdaget/utviklet strategien selv, vil de sannsynligvis ikke være i stand til å overføre den til andre situasjoner. De strategiene som elevene selv oppdager/utvikler, vil de lettere kunne hente fram igjen og forsøke å bruke i liknende situasjoner. Slik vil de også bli i stand til å utvide strategiene sine.

Spill og lek i matematikkundervisningen, bidrar til r at tallmaterialet som elevene arbeider med, ikke er døde tall fra en bok, men opplysninger og resultater som stammer fra elevens egen arena r at elevene utvikler strategisk tenking, og de erfarer at matematikk er en oppdagelse og ikke en oppﬁnnelse r at elevene forstår poenget med å automatisere behandling av små tall I spill og lek skjer læringen i en sosial sammenheng. Variasjon i metoder skaper engasjement i faget. Spill og lek skaper fellesskapsopplevelser også i matematikkfaget.

>ĂƉƉĞŵĞƚŽĚĞŶ

Spør videre hva det er som gjør at dette ikke er det aller største tallet vi kan lage med fem siffer. Svaret blir kanskje at det kan stå 9 på alle plassene. Bekreft dette, og skriv 99 999 på tavla.

Eksempel fra dette spillet: Strategi 1: For å komme først til 100 er det om å gjøre å få størst mulig differanse i hver omgang. Strategi 2: Ved å velge et stort eller lite siffer som tier i det første kastet er sannsynligheten for å få en stor differanse større. Dette er slike ting som elevene selv bør få oppdage. På den måten utvikles også tallforståelsen.

<ĂƉŝƩĞů Ϯ

<ĂƉŝƩĞů ϭ

Grunnbok 5 A DĊů ĨŽƌ ŬĂƉŝƚůĞƚ

KǀĞƌƐŬƌŝŌĞƌ ŝ ŬĂƉŝƚůĞƚ

<ŽŵƉĞƚĂŶƐĞŵĊů

KƉƉŐĂǀĞďŽŬ

r Repetere addisjon og subtraksjon til 20. r Kunne regnestrategiene – dobling og halvering – bruke tiervenner – differanse – regning via tiere – regning via hundrere

r Repetere hoderegning r Hoderegning – Dobling og halvering r Hoderegning – Bruke tiervennene r Hoderegning – Differanse r Hoderegning – Tenke via hel tier

r utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar

r Hoderegningsstrategier r Hoderegning – Dobling og halvering r Hoderegning – Bruke tiervennene r Hoderegning – Vi trekker fra nesten alt r Hoderegning – Tenke via tiere r Veien videre: Problem-løsning, større tallområde, tallfølger

r Lære mer om titallsystemet r Kunne plassere positive og negative tall på tallinja r Kunne addere og subtrahere med 10, 100 og 1000 r Kunne skriftlige metoder for addisjon og subtraksjon

r Titallsystemet r Negative tall r Addisjon og subtraksjon med 10, 100, 1000 r Oppstilling addisjon r Oppstilling subtraksjon r Tekstoppgaver

r beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina r utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar r ﬁnne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

r r r r

DĊů ĨŽƌ ϱ͘ ƚƌŝŶŶ

r r r r

Titallsystemet Tall på utvidet form Negative tall Addisjon og subtraksjon med 10, 100, 1000 Oppstilling addisjon Oppstilling subtraksjon Tekstoppgaver Veien videre: Problemløsning, jobbe videre med tall med høyere verdi

y//

Kapittel 3 <ĂƉŝƩĞů ϰ XIII

DĊů ĨŽƌ ŬĂƉŝƚůĞƚ

KǀĞƌƐŬƌŝŌĞƌ ŝ ŬĂƉŝƚůĞƚ

<ŽŵƉĞƚĂŶƐĞŵĊů

KƉƉŐĂǀĞďŽŬ

r Øve på gangetabellen. r Kunne multiplikasjon som gjentatt addisjon, på tallinje, og rutenett. r Kunne multiplisere med 10, 100 og 1000. r Kunne multiplisere med tosifrede tall.

r Repetere multiplikasjon r Multiplisere med 10, 100 og 1000 r Multiplikasjon sammenlikning r Multiplikasjon ved hjelp av rutenett r Multiplikasjon ved hjelp av «tomt rutenett» r Regneark – digitale verktøy r Multiplikasjon i regneark

r utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar r ﬁnne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga r beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar

r Repetere multiplikasjon r Multiplisere med 10, 100 og 1000 r Multiplikasjon – rutenett / «tomt» rutenett r Veien videre: Hva skjer når du dobler en faktor og halverer den andre? Problemløsningsoppgaver, hoderegningsstrategier i et større tallområde, tekstoppgaver med modeller.

r Kunne gjennomføre en undersøkelse og samtale om resultatene r Kunne lese av, tolke og lage en tabell r Kunne lese av, tolke og lage et søylediagram r Kunne lese av og tolke et linjediagram r Kunne ﬁnne typetall og median r Kunne bruke regneark til å lage tabeller og søylediagram r Kunne lese av og forstå en tidstabell

r Undersøkelse, tabell og søylediagram r Digitale diagrammer og tabeller r Typetall og median r Linjediagram r Flere typer tabeller

r planleggje og samle inn data i samband med observasjonar, spørjeundersøkingar og eksperiment r representere data i tabellar og diagram som er framstilte med og utan digitale verktøy, lese og tolke framstillingane og vurdere kor nyttige dei er r ﬁnne median, typetal og gjennomsnitt i enkle datasett og vurdere dei ulike sentralmåla i forhold til kvarandre

r Undersøkelse, tabell og søylediagram r Typetall og median r Linjediagram r Flere typer tabeller r Veien videre: Gjennomsnitt og sektordiagram

DĊů ĨŽƌ ϱ͘ ƚƌŝŶŶ

<ĂƉŝƩĞů ϱ <ĂƉŝƩĞů ϲ

DĊů ĨŽƌ ŬĂƉŝƚůĞƚ

KǀĞƌƐŬƌŝŌĞƌ ŝ ŬĂƉŝƚůĞƚ

<ŽŵƉĞƚĂŶƐĞŵĊů

KƉƉŐĂǀĞďŽŬ

r Repetere divisjon. r Lære om sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon r Kunne divider med 10, 100 og 1000 r Lære om målingsog delingsdivisjon. r Regne divisjon med store tall på utvidet form

r Repetere divisjon r Multiplikasjon og divisjon r Målings- og delingsdivisjon r Divisjon med 10, 100 og 1000 r Divisjon (utvidet form)

r Divisjon r Målings- og delingsdivisjon r Divisjon med 10, 100 og 1000 r Divisjon på utvidet form r Veien videre: Problemløsningsoppgaver, dividere i et større tallområde, doble og halvere dividend og divisor, dele på 0,5

r Kunne beskrive egenskaper ved ulike firkanter, trekanter og andre todimensjonale figurer r Kunne tegne todimensjonale figurer med bestemte lengder og vinkler r Kunne forklare forskjellen mellom spiss, stump og rett vinkel r Kunne måle vinkler r Lære om vinkelsummen til trekanter og firkanter

r Firkanter r Parallellogram og trapes r Trekanter r Geometriske ﬁgurer i Geogebra r Vinkler r Vi undersøker vinkler r Vinkelsummen i trekanter og ﬁrkanter

r analysere eigenskapar ved to- og tredimensjonale ﬁgurar og beskrive fysiske gjenstandar innanfor daglegliv og teknologi ved hjelp av geometriske omgrep

r r r r r

DĊů ĨŽƌ ϱ͘ ƚƌŝŶŶ

Firkanter Trekanter Vinkler Vi undersøker vinkler Vinkelsummer i trekanter og ﬁrkanter r Veien videre: Målestokk

y/s

DĊů

/ŶƚƌŽĚƵŬƐũŽŶ Ɵů ŬĂƉŝƩĞů ϭ

r Repetere addisjon og subtraksjon til 20 r Kunne regnestrategiene: dobling og halvering; 25 + 25 og 30 – 15 tiervenner; 34 + 26 differanse; 100 – 97 regning via tiere; 35 + 19 = 35 + 20 – 1 regning via hundrere; 235 + 199 = 235 + 200 – 1

Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det ﬁns ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev.

ĞŐƌĞƉĞƌ r r r r

Addisjon Subtraksjon Sum Differanse

Vi anbefaler derfor å jobbe med, og utvikle, noen ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem. I dette kapitlet tar vi for oss noen av de mest kjente hoderegningsstrategiene. Flere av strategiene vil være kjente for elevene. Vi anbefaler likevel å bruke tid på dette, for å sikre at alle får et bevisst forhold til valg av regnestrategi i ulike situasjoner.

Ulike strategier i addisjon I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) den mest brukte i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne

Forklaring På dette oppslaget ﬁnner du eksempler på addisjons- og subtraksjonsoppgaver der det er hensiktsmessig å bruke ulike hoderegningsstrategier. Ballonger med lik farge har lik regnestrategi. Elevene skal regne i hodet. La gjerne elevene regne i læringspar eller i grupper.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ ϭϮ

ϰϴ н

ϭϯϲ н ϵϵ

ϭϬϬ ͳ ϵϵ

Oppsummer i klassen Skriv opp de ulike strategiene: Dobling: 25 + 25, det dobbelte av 25, 15 + 16, det dobbelte av 15 + 1. Tiervenner: 62 + 18 = 60 + 10 + 10, 48 + 12 = 40 + 10 + 10. Differanse: 100 – 99 og 17 – 16 Se på tallene. Når forskjellen er veldig liten, er det lett å regne i hodet Regning via tiere og hundrere: 33 + 19 = 33 + 20 – 1, 136 + 99 = 136 + 100 – 1 La elevene fortelle hvilke strategier de brukte på de ulike oppgavene. Bruker alle den samme strategien på alle oppgavene?

<ĂƉŝƩĞů ϭമമ,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ϯϯ н ϭ

ϭϲ

н ϭϱ

ZĞŐŶ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ͘ &ŽƌŬůĂƌ ĚĞ ĂŶĚƌĞ ŝ ŬůĂƐƐĞŶ ŚǀŽƌĚĂŶ ĚƵ ƚĞŶŬƚĞ͘ >ƆƐƚĞ ĚƵ ĂůůĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ƉĊ ƐĂŵŵĞ ŵĊƚĞ͍

fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20= 52; 52 + 5 = 57. I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18; 20 – 10 og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar.

Andre nyttige strategier Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det er ikke meningen at elevene skal skrive denne oppstillingen, men tenke den.

Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65

Begge eksemplene viser den strategien som vi her i kapitlet har kalt regning via tiere.

Strategier for subtraksjon I dette kapitlet har vi vektlagt at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24. Strategien regning via tiere kan også brukes i noen tilfeller. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 Når man jobber med hoderegning generelt, er det nødvendig at elevene får forklare hvordan de kom fram til svaret. Denne matematiske samtalen vil hjelpe elevene til å sette ord på matematikken, de vil lære av hverandre, og de vil også erfare at det fins mange måter å komme fram til rett svar på. Et feil svar kan også være til god hjelp i undervisningen for å avdekke vanlige misoppfatninger. Se «En metode for å få tak i hvordan elevene tenker» på side X.

Forklaring DĊů ĨŽƌ ŬĂƉŝƚůĞƚ ͻ ͻ

ZĞƉĞƚĞƌĞ ĂĚĚŝƐũŽŶ ŽŐ ƐƵďƚƌĂŬƐũŽŶ Ɵů ϮϬ <ƵŶŶĞ ƌĞŐŶĞƐƚƌĂƚĞŐŝĞŶĞ͗ ĚŽďůŝŶŐ ŽŐ ŚĂůǀĞƌŝŶŐ͖ Ϯϱ н Ϯϱ ŽŐ ϯϬ ͳ ϭϱ ƟĞƌǀĞŶŶĞƌ͖ ϯϰ н ϭϲ ĚŝīĞƌĂŶƐĞ͖ ϭϬϬ ͳ ϵϳ ƌĞŐŶŝŶŐ ǀŝĂ ƟĞƌĞ͖ ϯϱ н ϭϵ с ϯϱ н ϮϬ ͳ ϭ ƌĞŐŶŝŶŐ ǀŝĂ ŚƵŶĚƌĞƌĞ͖ Ϯϯϱ н ϭϵϵ с Ϯϯϱ н ϮϬϬ ͳ ϭ

ϲϮ

н ϭ

ϭϳ ͳ

Ϯϱ н Ϯ

ϭϲ

Skriv på tavla de ulike hoderegningsstrategiene som elevene brukte på de ulike oppgavene. La elevene lage oppgaver til hverandre der de kan bruke de ulike hoderegningsstrategiene. Oppsummering av timen Se på målene for kapitlet. Hvilke mål har dere jobbet med? Hvilke av regnestrategiene i målene tok dere i bruk? Jobb jevnlig med hoderegning gjennom hele året, også når dere jobber med andre tema i matematikken.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

Automatisering av tallvenner Elever som har automatisert alle oppdelingene av tallene (tallvennene) fra 1 til 10, har bedre forutsetning for å lykkes og trives med matematikken. Å automatisere tallvennene til for eksempel tallet 8 innebærer å kunne alle tallpar som til sammen blir 8. Når denne kunnskapen er automatisert, går det mye raskere å regne i hodet. Når elevene for eksempel vet at 5 + 3 = 8, vil de videre se sammenhengen til subtraksjon, 8 – 3 = 5 og 8 – 5 = 3. De vil også være i stand til å overføre dette til 50 + 30 = 80 osv. Automatisering av tallvennene er derfor grunnleggende for effektive strategier i addisjon og subtraksjon. De elevene som i tillegg klarer å automatisere tallvennene opp til 20, vil får det mye lettere når de skal addere og subtrahere tall med tieroverganger. Når de for eksempel har automatisert at 5 + 8 = 13, kan de bruke den kunnskapen til å regne ut 45 + 8 = 40 + 13 = 53.

Metoder for automatisering av tallvenner. Tallvenner på ukeplanen Gjennom hele mellomtrinnet bør tallvennene opp til

20 i perioder stå på ukeplanen på samme måte som øveord. For eksempel 1 + 10 = 11, 2 + 9 =11, 3 + 8 = 11 osv. Spill som metode I arbeid med automatisering av tallvenner er hoderegning og ulike spill ofte mer effektivt enn regning på papir. Det ﬁns mange terning- og kortspill som er gode å bruke til dette. Vi gir her eksempel på et kortspill som kan brukes til automatisering av alle tallvennene opp til 13. Eksemplet viser spillet brukt på tiervenner.

Bruk alle kortene fra 1 (ess) til 10 i en vanlig kortstokk. To elever spiller sammen. r Spillerne deler kortbunken mellom seg i to like

Forklaring 1 ͻ Hoderegningsstrategier

Samtale Repetisjon av hoderegning 0–20. Dette er det første av hovedmålene i dette kapitlet. Når elevene kan dette godt, blir det lettere for dem å regne med tall med høyere verdier. La elevene øve sammen i læringspar på oppgavene. Samtal deretter med elevene om hvordan de kan bruke dette når de regner med større tall. Vi vet at 5 + 8 = 13. Hvordan kan vi bruke det når vi skal regne ut 15 + 8? Hvordan kan vi bruke det når vi skal regne ut 45 + 8? La elevene komme med forslag, kanskje kommer det fram ﬂere måter å tenke på?

ZĞƉĞƚĞƌĞ ŚŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐ ^ĂŵƚĂůĞ <ůĂƌĞƌ ĚƵ Ċ ůƆƐĞ ĚŝƐƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ǀĞĚ Ċ ďƌƵŬĞ ŚŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐ͍ Tǀ ƚŽ ŽŐ ƚŽ ƐĂŵŵĞŶ͊ ϵ ʹ ϰ ϱ н ϴ

8 ͳ ϱ

ϴ н ϵ

ϵ н ϯ

ϭ͘ϭ

ϭ͘Ϯ

Oppgave 1.1 og 1.2 Dette er hoderegningsoppgaver der elevene skal se de samme sammenhengene som dere har samtalt om.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ϴ н ϳ

ϰ н ϳ

ϳ н ϰ

ϱ н ϵ

ϴ н ϴ

ϵ н ϳ

Đ Ϳ ϰ н ϳ с Ϯϰ н ϳ с ϱϰ н ϳ с

ReŐŶ Ƶƚ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ƚĞŶŬĞƌ ĚƵ͍ ďͿ ϭϭ ͳ ϲ с ĂͿ ϭϬ ͳ ϳ с ϮϬ ͳ ϳ с ϯϭ ͳ ϲ с ϰϬ ͳ ϳ с ϱϭ ͳ ϲ с

Đ Ϳ ϭϲ ͳ ϴ с ϱϲ ͳ ϴ с ϵϲ ͳ ϴ с

^ĂŵŵĞŶ ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ƚĞŶŬĞƌ ĚĞƌĞ͍

ϲϮ н Ϯϯ

ϯϰ н ϰϳ

Ϯϱ н Ϯϲ

ϭϬϭ ͳ ϵϳ

8 ͳ Ϯ 8 ͳ ϳ

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ƚĞŶŬĞƌ ĚƵ͍ ĂͿ ϴ н ϯ с ďͿ ϱ н ϴ с ϭϴ н ϯ с ϭϱ н ϴ с ϳϴ н ϯ с ϰϱ н ϴ с

ϲ н ϰ ϳ н ϯ

Ϯϯ н ϯϵ

ϱϰ ͳ Ϯ

r r

store deler. Enkortbunken legges på bordet foran hver spiller. Spiller A snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet mellom spillerne. Spiller B snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet ved siden av kortet til spiller A. Hvis summen av de to kortene er 10, slår den eleven som først ser det, hånden over kortene og legger begge kortene underst i sin bunke. Hvis summen ikke er 10, blir kortene liggende. Spiller A legger så sitt øverste kort oppå sitt forrige kort. De to synlige kortene er nå spiller B sitt kort og spiller A sitt nye kort. Hvis disse kortene danner 10, kan raskeste spiller slå hånden sin over begge kortbunkene og vinne dem. Hvis ikke, går spillet videre ved at spillerne etter tur legger opp kort til de to synlige kortene danner summen 10 og en av spillerne «snapper» disse. Hvis en spiller ute i spillet legger opp en tier, kan den som er raskest, slå på denne. Da vinner han hele den bunken som tieren ligger på, mens den andre bunken blir liggende. Hvis en spiller klarer å kjempe til seg alle kortene fra motspilleren, har han vunnet.

Automatisering og stress Ifølge en undersøkelse gjort av Steve Chinn med 2000 elever fra 11–17 år skåret «utføre matematikkoppgaver raskt» veldig høyt på hva som framkalte angst. Dette er det viktig å ta hensyn til ved gjennomføring av regnekonkurranser som krever hurtighet. Hvis du oppdager at elever faller ut av dette spillet fordi de ikke takler stress, er det mulig å endre reglene for disse elevene: r Elevene legger ut hvert sitt kort etter tur, som i spillereglene over, men den spilleren som legger ut det kortet som gjør at summen av de to kortene som vises blir 10, vinner begge bunkene og legger kortene underst i sin bunke.

Forklaring ϭ͘ϯ

HŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐ͘ Ƶ ƚƌĞŶŐĞƌ ŝŬŬĞ ƐŬƌŝǀĞ ƐǀĂƌĞƚ͘ dĂ ƟĚĞŶ ŽŐ ůƆƐ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ƐĊ ƌĂƐŬƚ ĚƵ ŬůĂƌĞƌ͘ 'ũĞŶƚĂ ŇĞƌĞ ŐĂŶŐĞƌ͘ ĂͿ

Sammen Elevene jobber i læringspar eller grupper. De skal regne i hodet. Her får de nytte av strategiene som dere har snakket om og jobbet med, i et høyere tallområde. Denne oppgaven egner seg godt for oppsummering i samlet klasse. Bruk tavla, og få fram hvilke strategier elevene har brukt.

Ϯϰ н ϯ с ϲϳ н Ϯ с ϴϭ н ϳ с ϱϯ н ϱ с ϰϮ н ϲ с

&ŽƌƐƆŬ Ċ ůƆƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ƌĂƐŬĞƌĞ ĞƩĞƌ ŚǀĞƌƚ ƐŽŵ ĚƵ ƆǀĞƌ͘

ϳϱ н ϰ с ϲϯ н ϴ с ďͿ

ĐͿ

Oppgave1.3 Hensikten med oppgaven er automatisering. Ikke alle elever takler tidspress på en positiv måte, men det kan være ekstra motiverende for noen elever. Vurder elevgruppa og ta hensyn til dette. La de elevene som ønsker det, ta tiden på hverandre og løse oppgaven ﬂere ganger. De elvene som ikke takler tidspress, kan løse oppgavene på vanlig måte og skrive svarene. Les om «Automatisering og stress» over.

ĚͿ

ϳ ͳ Ϯ с ϰϳ ͳ Ϯ с

ϮϬ н ϯϬ с ϮϬ н ϯϮ с

Ϯϳ н ϭϬ н Ϯ с Ϯϳ н ϭϮ с

ϲ ͳ ϯ с ϱϲ ͳ ϯ с

ϱϬ н ϭϬ с ϱϳ н ϭϬ с

Ϯϱ н ϯϬ н ϳ с Ϯϱ н ϯϳ с

ϭϮ ͳ ϴ с ϰϮ ͳ ϴ с

ϳϬ н ϮϬ с ϳϯ н ϮϬ с

ϰϮ н ϯϬ н ϲ с ϰϮ н ϯϲ с

ϭϭ ͳ ϳ с ϲϭ ͳ ϳ с

ϰϬ н ϱϬ с ϰϬ н ϱϴ с

Ϯϴ н ϰϬ н ϴ с Ϯϴ н ϰϴ с

ϭϱ ͳ ϴ с ϴϱ ͳ ϴ с

ϲϬ н ϮϬ с ϲϬ н Ϯϵ с

ϲϵ н ϯϬ н ϭ с ϲϵ н ϯϭ с

ϭϯ ͳ ϲ с ϱϯ ͳ ϲ с

ϰϬ н ϯϬ с ϰϱ н ϯϬ с

ϯϰ н ϮϬ н ϱ с ϯϰ н Ϯϱ с

ϭϮ ͳ ϱ с ϯϮ ͳ ϱ с

ϭϬ н ϳϬ с ϭϮ н ϳϬ с

Ϯϰ н ϮϬ н ϱ с Ϯϰ н Ϯϱ с

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

Likhetstegnet Mange elever strever med oppgaver både av typen 62 + = 100 og av typen 91 = 100 . Noen ganger ser vi at elever regner sammen de tallene de ser, og setter svaret på den åpne plassen. Ofte bunner problemet i en forståelse av likhetstegnet som «nå kommer svaret». Det er viktig at elevene får forståelsen av at likhetstegnet betyr «har samme verdi som», dvs. at det som står på høyre og venstre side av likhetstegnet, alltid må ha samme verdi. Denne forståelsen er grunnleggende når elevene senere møter for eksempel likninger og forkorting av brøker.

Number bonds Vi bruker number bonds for å visualisere tallvenner (oppdeling av tall). Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. På dette oppslaget bruker vi number bonds for å visualisere tall som til sammen blir hele hundrere. Number bonds består av tre ruter, der for eksempel 100 står i den øverste ruten og de to tilhørende tallene skal stå under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker.

Hensikten med oppgavene på side 10 er å skape bevissthet om betydningen av likhetstegnet. Det er viktig at elevene skriver hele regnestykket, ikke bare svaret. Dette for å skape bevissthet om at det som står på begge sider av likhetstegnet, har samme verdi.

Forklaring ϭ ͻ ,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

Oppgave 1.4 Elevene jobber med hundrevenner, de skal ﬁnne hvilke tiere som til sammen blir hundre.

ϭ͘ϰ

ϭ͘ϱ

ϭϬϬ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͘ ^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ Ă Ϳ ϯϬ н

с ϭϬϬ

ď Ϳ ϰϬ н

с ϭϬϬ

Đ Ϳ ϱϬ н

Ě Ϳ ϭϬϬ с

н ϭϬ

Ğ Ϳ ϭϬϬ с

н ϴϬ

Ĩ Ϳ ϭϬϬ с

ϭϬϬ

ϵϴ

ϭ͘ϲ

ϭϬϬ с

ϭϬϬ ͳ

Oppgave 1.6, 1.7 og 1.8 Disse oppgavene følger samme prinsipp som 1.4. Her er både addisjons- og subtraksjonsoppgaver, men elevene kan bruke samme prinsipp for å løse dem. Snakk med elevene om hvordan de tenker når de kommer fram til svaret.

ϭ͘ϴ

ϭ͘ϵ

ϭϬϬ с

ϭϬ

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

н с ϭϬϬ

ϭϬϬ ͳ

ϭϬϬ Ͳ с

с ϵϴ

ϭϬϬ ͳ

н с ϭϬϬ

^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ ĂͿ ϲϮ н

с ϭϬϬ

ďͿ ϭϬϬ с ϴϳ н

Đ Ϳ ϭϬϬ с ϳϲ н

ĚͿ ϱϱ н

с ϭϬϬ

Ğ Ϳ ϭϬϬ с ϯϭ н

Ĩ Ϳ ϭϬϬ с ϰϰ н

^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ ĂͿ ϭϬϬ ͳ

с ϵϭ

ď Ϳ ϭϬϬ ͳ

с ϴϵ

Đ Ϳ ϳϲ н

ĚͿ ϭϬϬ ͳ

с ϱϱ

Ğ Ϳ ϭϬϬ ͳ

с ϳϱ

Ĩ Ϳ ϭ н

с ϭϬϬ с ϭϬϬ

^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘

ϲϰ

ϭϬ

ϲϰ

ϭϬϬ

Differensiering La de elevene som trenger det, bruke tom tallinje og telle oppover eller nedover.

н ϵϴ

ϭϬϬ ͳ ϵϴ с

ϭ͘ϳ

ϳϱ

ϭϬϬ

^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ ϭϬϬ с ϵϴ н

Utvid oppgaven La elevene tegne ﬂere number bonds i bøkene sine og selv ﬁnne to tall som til sammen blir 100. De kan også lage oppgaver til hverandre.

н ϲϬ

ϭϬϬ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͘ ^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ϭϬϬ

Oppgave 1.5 Elvene skal ﬁnne tall som til sammen blir 100. Les om number bonds øverst på siden.

с ϭϬϬ

ϮϬϬ ͍

ϯϬϬ ϭϮϬ

ϭϱϮ

Smilefjesoppgaver Oppgaver som er merket . Dette er oppgaver som er litt mer utfordrende. Dette er en del av differensieringen, det er ikke meningen at alle elvene skal løse disse oppgavene.

Sammenoppgave, løsningsforslag Dette er en problemløsningsoppgave, som det er viktig at elevene får jobbe med og prøve å ﬁnne egne strategier for å løse. Ikke presenter en løsning, men prøv å få fram hvilke strategier elevene brukte når de løste oppgaven. En mulig strategi er å bruke 7-gangen, svaret i 7-gangen må være et partall, ellers går det ikke opp i 2-gangen. Eksempel: 2 marihøner med 7 prikker = 14 prikker. Da er det 86 prikker igjen. To på hver marihøne gir 43 marihøner med 2 prikker. Tenk på samme måte når det gjelder 3 og 6 prikker.

Utvid oppgaven Utfordre ﬂinke og raske elever til å prøve å lage liknende oppgaver. Oppgavene må ha en løsning.

Tǀ ŵĞƌ ϭϳϬ н ϳϬ н

с ϮϬϬ с ϮϬϬ

ϯϬϬ с ϮϵϮ н ϯϬϬ с ϵϮ н ϮϱϬ н

с ϱϬϬ

ϯϱϬ н

с ϱϬϬ

ϮϬϬ ʹ

с ϭϮϱ

ϮϬϬ ʹ

= 25

ϰϬϬ ʹ

с ϯϵϬ

ϰϬϬ ʹ

с ϵϬ

Forklaring ϭ͘ϭϬ

Ƶ ŚĂƌ ϭϬϬ ŬƌŽŶĞƌ͘

Oppgave 1.9 Som 1.5 ϭϮ Ŭƌ

ϭϱ Ŭƌ

ϭϯ Ŭ

ϭϬ Ŭƌ

ϭϰ Ŭ

ĂͿ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƵůĞŝƐ ŬĂŶ ĚƵ ŬũƆƉĞ͍ ď Ϳ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŝŶŶĞŝƐ ŬĂŶ ĚƵ ŬũƆƉĞ͍ Đ Ϳ sĞůŐ ƐĞůǀ ŚǀĂ ĚƵ ǀŝů ŬũƆƉĞ͘ ^Ŭƌŝǀ ŵŝŶƐƚ ĨĞŵ ĨŽƌƐŬũĞůůŝŐĞ ůƆƐŶŝŶŐĞƌ ƐŽŵ ǀŝƐĞƌ ŚǀĂ ĚƵ ǀĞůŐĞƌ͕ ŽŐ ŚǀŽƌ ŵǇĞ ĚĞƚ ŬŽƐƚĞƌ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͘ Ě Ϳ Ƶ ŬũƆƉĞƌ ƚŽ ƉŝŶŶĞŝƐ ŽŐ ďĞƚĂůĞƌ ŵĞĚ ĞŶ ϭϬϬͲŬƌŽŶĞƐĞĚĚĞů͘ ,ǀŝůŬĞƚ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ ǀŝƐĞƌ ŚǀŽƌ ŵǇĞ ĚƵ ƐŬĂů ŚĂ ŝŐũĞŶ͍ ϭϬϬ Ŭƌ ͳ Ϯϲ Ŭƌ

ϭϬϬ Ŭƌ н Ϯϲ Ŭƌ

Ϯϲ Ŭƌ ͳ ϭϬϬ Ŭƌ

Ϯϲ Ŭƌ н ϭϬϬ Ŭƌ

Ğ Ϳ ĞƐƚĞĨĂƌ ŬũƆƉĞƌ ϭϮ ůŝŬĞ ŝƐ͘ ,ĂŶ ďĞƚĂůĞƌ ŵĞĚ ĞŶ ϱϬϬͲŬƌŽŶĞƐĞĚĚĞů ŽŐ ĨĊƌ ŝŐũĞŶ ϯϰϰ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ǀŝůŬĞŶ ŝƐ ŬũƆƉĞƌ ŚĂŶ͍

^ĂŵŵĞŶ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵĂƌŝŚƆŶĞƌ ŵĞĚ Ϯ ƉƌŝŬŬĞƌ͕ ŽŐ ŚǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵŵ ŵĞĚ ϳ ƉƌŝŬŬĞƌ ŬĂŶ ĚĞƚ ďůŝ ŚǀŝƐ ĚĞƚ Ğƌ ϭϬϬ ƉƌŝŬŬĞƌ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͍

Oppgave 1.10 Elevene jobber med hoderegning opp til 100 i en kontekst. c) Oppgaven har flere løsninger. Elevene skal komme med fem ulike forslag, så dette er en arbeidskrevende oppgave. Differensiering Noen kan velge å kjøpe kun to ting i hvert forslag, mens andre bør velge å kjøpe for mest mulig. d) Elevene skal identifisere det regneuttrykket som samsvarer med oppgaven. e) Denne oppgaven er utfordrende fordi den inneholder flere regneoperasjoner.

<ĂŶ ĚĞƌĞ ĮŶŶĞ ŇĞƌĞ ůƆƐŶŝŶŐĞƌ͍ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬĂŶ ĚĞƚ ǀčƌĞ Ăǀ ŚǀĞƌ ŚǀŝƐ ŵĂƌŝŚƆŶĞŶĞ ŚĂƌ ϯ ƉƌŝŬŬĞƌ ŽŐ ϲ ƉƌŝŬŬĞƌ͍

ϭϭ

Sammen Dette er en problemløsningsoppgave med ﬂere løsninger. Det er viktig at elevene får bruke sine strategier og ikke får presentert en «rask» løsning. Elevene bør også få lov til å presentere og forklare sin løsning. Prosessen er viktigere enn svaret.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ϭϭ

Dobbelt av 4 er 8

Dobling/halvering Elevene har fra de første årene på skolen regnet mye med dobling og halvering og har derfor automatisert kunnskap om doble verdier av mange tall. Ved å utvide bruken av denne kunnskapen til å gjelde ﬂere tall, vil de lettere kunne regne raskt i hodet. Poenget er at hvis du vet at 8 + 8 = 16, vet du også at 8 + 9 = 17, og med forståelse for plassverdisystemet vet du også at 80 + 90 = 170. Eksempel fra oppgave 1.11 b) 70, 700 og 170. For å løse denne oppgaven hjelper det eleven å ha automatisert at 7 + 7 = 14. Med forståelse for plassverdisystemet vil eleven raskt kunne se at 70 + 70 = 140. Ved å kombinere to kjente doblinger vil eleven også raskt kunne regne ut 170 + 170 som 100 + 100 + 70 + 70 = 200 + 140 = 340. Symmetrilinje En metode for å hjelpe elevene til en bedre forståelse for halvparten og dobbelt er å jobbe med symmetrilinje. Dobling blir ofte undervist som at man adderer tallet med seg selv eller ganger tallet med 2. Det gjør det enkelt med dobbelt, men vanskeligere å ﬁnne halvparten av et tall. Ved å vise dobling/halvering med symmetrilinje, som vist på illustrasjonen, blir dobling /halvering visualisert for elevene.

Halvparten av 8 er 4

Viktige doblinger I likhet med å automatisere tallvenner er det viktig å ha automatisert en del viktige doblinger. De doblingene som vi viser her, kan settes på ukeplanen på samme måte som øveord. Dobling av alle tallene fra 0 – 10. Hele tier som 10 + 10 = 20, 20 + 20 = 40, osv. Femmere som 15 + 15 = 30, 25 + 25 = 50, 75 + 75 = 150 osv.

Forklaring 1 ͻ Hoderegningsstrategier

Samtale Elevene skal lære å bruke strategien dobling og halvering. Med utgangspunkt i de doblingene som elevene kan, skal de kunne regne i hodet med tall som har høyere og lavere verdi. La elevene få komme med de doblingene de kan. Skriv på tavla. Hvor mange kan dere til sammen? Ta tak i noen av doblingene som elevene har kommet med, og bruk dem som i eksemplet. Husk å gi nyttige doblinger som øvingsoppgaver på ukeplanen. Les om «Viktige doblinger» over.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ZĞŐŶ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ͘ ^Ğƌ ĚĞƌĞ ƐĂŵŵĞŶŚĞŶŐĞŶ͍

ϭ͘ϭϭ

ϭ͘ϭϮ

Oppgave 1.11 Elevene skal trene på dobling og halvering av tall og å se sammenhengen mellom tallene. Eksempel: 70, 700 og 170. Eksemplet er vist i teksten øverst på siden.

ϭϮ

^ĂŵƚĂůĞ EĊƌ ǀŝ ƐŬĂů ƌĞŐŶĞ Ƶƚ ϭϱ н ϭϲ͕ ŬĂŶ ĚĞƚ ǀčƌĞ ĞŶ ĨŽƌĚĞů Ċ ǀŝƚĞ Ăƚ ϭϱ н ϭϱ с ϯϬ͘

ϭϱ н ϭϱ с Ϯϱ ϭϱ н ϭϰ с

Eksempel: Når du vet at 15 + 15 = 30, blir det lettere å regne ut at 15 + 16 = 31 eller 15 + 14 = 29.

Oppgave 1.12 Elevene løser et oppgavesett der første oppgave er å ﬁnne det dobbelte av et tall.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐ ʹ ĚŽďůŝŶŐ ŽŐ ŚĂůǀĞƌŝŶŐ

ϭ͘ϭϯ

ϭϮ

ϯϬ ͳ ϭϱ с ϭϱ ϯϬ ͳ ϭϰ с

ŽďůĞ ŽŐ ŚĂůǀĞƌĞ ŚǀĞƌƚ ƚĂůů͘ ĂͿ 8 ďͿ ϳϬ ϴϬ ϳϬϬ ϴϬϬ ϭϳϬ

Ϯϱ н Ϯϱ с ϱϬ Ϯϱ н Ϯϲ с

ĐͿ ϭϴ ϭϴϬ ϭϴϴ

ϱϬ ͳ Ϯϱ с Ϯϱ ϱϬ ͳ Ϯϲ с

ĚͿ ϱϬϬ ϯϬϬ ϯϱϬ

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ĂͿ ϳ н ϳ с ϳ н ϴ с ϳ н ϲ с

ď Ϳ ϱϬ н ϱϬ с ϱϬ н ϱϭ с ϱϬ н ϰϵ с

Đ Ϳ Ϯϱ н Ϯϱ с Ϯϱ н Ϯϲ с Ϯϱ н Ϯϰ с

ĚͿ Ϯϰ ͳ ϭϮ с Ϯϰ ͳ ϭϯ с Ϯϰ ͳ ϭϭ с

Ğ Ϳ ϯϬ ͳ ϭϱ с ϯϬ ͳ ϭϲ с ϯϬ ͳ ϭϰ с

Ĩ Ϳ ϮϬϬ ͳ ϭϬϬ с ϮϬϬ ͳ ϭϬϭ с ϮϬϬ ͳ ϵϵ с

^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ Ă Ϳ ϭϲ с ϴ н

ď Ϳ ϯϬ с

Ě Ϳ ϰϴ с Ϯϰ н

Ğ Ϳ ϭϬϬ с

н ϭϱ н ϱϬ

Đ Ϳ ϱϭ с Ϯϱ н Ĩ Ϳ ϯϯ с ϭϲ н

Spill om dobling, halvering Passer for 2–4 elever. Bruk en terning, helst en 0–9-terning, eller en kortstokk. Elevene kaster terning eller trekker kort etter tur. Hvis de får et partall, noterer de halvparten av verdien, hvis de får et oddetall, noterer de den doble verdien. Den som har høyest poengsum etter for eksempel 10 kast/trekk, har vunnet.

ŽďůŝŶŐĞƌ ƐŽŵ ŚũĞŵŵĞůĞŬƐĞ ƉĊ ƵŬĞƉůĂŶĞŶ

Et mer utfordrende spill om dobling/halvering To elever spiller sammen. Bruk to terninger, helst 0–9-terninger, eller kort. Elev A kaster to terninger eller trekker to kort og velger hvilket tosifret tall han vil doble eller halvere. Velger han et partall, skal det halveres, velger han et oddetall, skal det dobles. Den som har høyest sum etter for eksempel fem kast/ trekk, har vunnet.

ϰϬ н ϰϬ с

Dette er et meget strategisk spill. Alt etter hvilke tall terningene/kortene viser, må elvene for eksempel ﬁnne ut hva som vil gi mest poeng av å halvere et stort tall eller doble et lite tall. Sammen Nær dobling og nær halvering av tall med høyere verdi. Lag gjerne ﬂere liknende oppgaver til raske elever.

ϭϬ н ϭϬ с ϮϬ ϮϬ н ϮϬ с ϰϬ ϯϬ н ϯϬ с

&ŽƌƚƐĞƩ Ċ ĚŽďůĞ ĂůůĞ ƟĞƌŶĞ Ɵů ϭϬϬ н ϭϬϬ с ϭϱ н ϭϱ с ϯϬ Ϯϱ н Ϯϱ с ϱϬ ϯϱ н ϯϱ с ϰϱ н ϰϱ с &ŽƌƚƐĞƩ Ċ ĚŽďůĞ ĂůůĞ ĨĞŵŵĞƌŶĞ Ɵů ϭϮϱ н ϭϮϱ с Forklaring

ϭ͘ϭϰ

<Ăƌŝ ŚĂƌ Ϯϰ ŬƌŽŶĞƌ͘ KĚĂ ŚĂƌ ĚŽďďĞůƚ ƐĊ ŵǇĞ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŚĂƌ ĚĞ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͍

De neste oppgavene er å ﬁnne det dobbelte eller halvparten av tallet +1 eller –1.

? ϭ͘ϭϱ

Oppgave 1.13 Elevene kan løse oppgavene ved å bruke hoderegningsstrategien dobling og halvering +1, eller –1. Denne oppgaven er litt vanskeligere enn de forrige da den ikke følger tradisjonelt oppsett med svaret til slutt.

:ĂŶ ůĂŐĞƌ ǀĂŇĞƌ͘ ,ĂŶ ďƌƵŬĞƌ ĚĞŶŶĞ ŽƉƉƐŬƌŝŌĞŶ͗ ϭ > с ϭϬ Ě> ϭ ŬŐ с ϭϬ ϬϬ Ő

l eme v et Lh lk 5d -me LH d 6 g 2 eg er su kk 1, 5 dL r uk ke n ilj es 1 ts va

Oppgave 1.14 Dobling i kontekst. Elevene får visuell støtte gjennom tegningen.

sm ør 75 g

Ă Ϳ dŝů ďƵƌƐĚĂŐĞŶ ƐŝŶ ĚŽďůĞƌ :ĂŶ ŽƉƉƐŬƌŝŌĞŶ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ďůŝƌ ŽƉƉƐŬƌŝŌĞŶ ŶĊ͍ ďͿ /ŶŐĞƌ ŽŐ ůŝůůĞďƌŽƌĞŶ ŚĞŶŶĞƐ ůĂŐĞƌ ŽŐƐĊ ǀĂŇĞƌ͘ Ğ ŚĂůǀĞƌĞƌ ŽƉƉƐŬƌŝŌĞŶ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ďůŝƌ ŽƉƉƐŬƌŝŌĞŶ ŶĊ͍

^ĂŵŵĞŶ ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ƚĞŶŬĞƌ ĚĞƌĞ͍

ϲϱ н ϲϲ

Differensiering Oppskriften sier 1,5 dL sukker, dette er vanskelig for de ﬂeste å halvere. Si at det er greit at de halverer 1 dL.

ϱϯ н ϱϰ

ϮϬϬ ͳ ϭϵϵ Ϭ ϯϬϬ ͳϭϱ

Oppgave 1.15 Elevene skal doble og halvere oppskriften. De får hjelp av gul lapp til å huske måleenhetene.

ϮϬϬ ͳ ϵϵ

ϭϰϬ ϭϯϬ н

ϭϯ

Sammen – se over

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ϭϯ

Automatisering av tiervenner På side 8 har vi skrevet litt om viktigheten av at tallvennene er automatisert. Det aller viktigste er å kunne tiervennene da det å gå veien om tiere er en strategi som kan brukes i mange sammenhenger. For å repetere tiervennene kan du bruke ulike terningspill og kortspill. Vi har et eksempel på side 8. Her har vi to tips til, et enkelt spill for 3–4 elever og en vaskelig kabal (kortspill for en elev).

Tiersvarteper Spillet passer best for elevgrupper på 3–4 elever. Regler: r Bruk kortene fra 1 (ess) til 9 og svart konge (som er Svarteper). r Legg ned tiervenner i samme farge som «par» i stedet for to like. r Reglene ellers er som for vanlig Svarteper.

Tierkabal Kabalen går ut på at tre og tre kort til sammen skal danne 10, 20 eller 30. Kortene teller egen verdi, esset teller én, og alle bildekortene teller ti.

Spillets gang: r Begynn med å legge ut fire kolonner med kort, tre kort i hver kolonne (se illustrasjon). r Hvis én eller flere av disse kolonnene består av kort som til sammen danner 10, 20 eller 30 (for eksempel en treer, en sjuer og en knekt), kan denne kolonnen fjernes. De andre kolonnene blir liggende. r Fra håndbunken legges nå ut ett nytt kort på hver kolonne. (I dette eksemplet er det nå tre kolonner med fire kort og en kolonne med bare ett kort.) r Hvis det siste kortet som ble lagt på kolonnen, kan danne 10, 20 eller 30 sammen med to av de andre kortene som ligger i kolonnen fra før, kan disse kortene fjernes fra kolonnen.

Forklaring ϭ ͻ ,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

Samtale Repetisjon av tiervennene og videreføring av strategien til tall med høyere verdi. Eksempel 1: Vi vet at 3 + 7 = 10. Hvordan kan vi bruke det når vi skal regne ut 43 + 7? Hvordan kan vi bruke det når vi skal regne ut 43 + 27? Eksempel 2: Når vi vet at 6 + 4 = 10 og at 16 + 4 = 20, vet vi også at 16 + 7 = 16 + 4 + 3 = 23, og at 160 + 70 = 230. Be elevene komme med ﬂere eksempler. Skriv eksemplene på tavla slik at de blir synlige for alle elevene.

ϭϰ

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

^ĂŵƚĂůĞ <ũĞŶŶĞƌ ĚƵ ĂůůĞ ƟĞƌǀĞŶŶĞŶĞ͍ <ĂŶ ĚƵ ďƌƵŬĞ ĚŝƐƐĞ ŶĊƌ ĚƵ ƌĞŐŶĞƌ ŵĞĚ ƚĂůů ƐŽŵ ŚĂƌ ƐƚŽƌ ǀĞƌĚŝ͍

ϵ н ϭ

ϴ н Ϯ

ϭ͘ϭϲ

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ĂͿ ϰϳ н ϯ с ϰϳ н ϭϯ с ϭϰϳ н ϭϯ с

ϲ н ϰ

ϳ н ϯ

Ϯϴ н Ϯ

ϱ н ϱ

Ϯϴ н ϭϮ

ď Ϳ ϱϲ н ϰ с ϱϲ н Ϯϰ с ϭϱϲ н Ϯϰ с

Đ Ϳ ϳϱ н ϱ с ϳϱ н Ϯϱ с ϭϳϱ н Ϯϱ с

ŬƐĞŵƉĞů ,ǀŝƐ ǀŝ ƐŬĂů ƌĞŐŶĞ Ƶƚ Ϯϴ н ϱ͕ ŬĂŶ ǀŝ ďƌƵŬĞ ƚŽŵ ƚĂůůŝŶũĞ ŽŐ ƌĞŐŶĞ ǀŝĂ ŚĞů ƟĞƌ ƉĊ ĚĞŶŶĞ ŵĊƚĞŶ͗

Oppgave 1.16 Elevene skal regne ut svaret på oppgavesettene i hodet ved å bruke strategien med tiervenner. De kan bruke svaret på første oppgave i hvert sett til å løse de neste. c) I denne oppgaven kan elevene bruke hundrervenner. Eksempel Eksempelet viser hvordan man kan bruke tiervenner, fylle opp tier, ved å dele opp tallet. Dette er visualisert ved hjelp av tom tallinje.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐ ʹ ďƌƵŬĞ ƟĞƌǀĞŶŶĞŶĞ

н Ϯ

Ϯϴ н ϱ Ϯϴ н Ϯ н ϯ

ϭ͘ϭϳ

ϭϰ

Ϯϴ

н ϯ ϯϬ

ϯϯ

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ Ă Ϳ Ϯϴ н Ϯ с ϭϮϴ н ϱ с ϭϮϴ н ϱ с

ď Ϳ ϯϲ н ϰ с ϯϲ н ϳ с Ϯϯϲ н ϳ с

Đ Ϳ ϲϵ н ϭ с ϭϲϵ н ϯ с ϰϲϵ н ϯ с

Ě Ϳ ϳ н ϯ с ϭϮϳ н ϯ с Ϯϳ н ϱ с

Ğ Ϳ ϱϮϮ н ϴ с ϮϮ н ϭϴ с Ϯϯ н ϴ с

Ĩ Ϳ ϯϳ н ϱ с ϱϴ н ϰ с ϯϲ н ϴ с

r Slik fortsetter spillet til alle håndkortene er brukt opp. Husk at for hvert utlegg kan siste kort brukes sammen med hvilke som helst av de andre kortene i kolonnen for å danne 10, 20 eller 30, men det må alltid være tre kort.

Eleven starter ofte på den første addenden og deler opp den andre addenden i hensiktsmessige størrelser. For eksempel 77 + 56, her kan eleven starte på 77. Avstanden mellom hoppene betyr ikke noe. Det viktigste er utregningen. 77 + 56

Tom tallinje Mange elever opplever addisjon og subtraksjon av tosifrede tall som vanskelig. Å beherske hoderegningsstrategier og ha automatisert tallvenner opp til 20 er til god hjelp. Mange elever vil også ha god hjelp av å bruke en tom tallinje som støtte. Ved å bruke tom tallinje kan elevene bruke de addisjons- og subtraksjonssprangene som de behersker. Ved den visualiseringen som den tomme tallinjen gir blir det også lettere for elevene å ﬁnne sprang som er hensiktsmessige. En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. Tom tallinje skal være ﬂeksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg av gangen.

+ 20

+ 33

100

133

Sammenoppgaven, løsningsforslag Dette er en problemløsningsoppgave som det er viktig at elevene får jobbe med og prøve å ﬁnne egne strategier for å løse. Ikke presenter en løsning, men prøv å få fram hvilke strategier elevene brukte når de løste oppgaven. Gul trekant = 5, blått kvadrat = 6, rød sirkel = 10, grønt kvadrat = 8 Rødt kvadrat = 10, grønn sirkel = 2, rosa kvadrat = 22, blå trekant = 3

Forklaring ϭ͘ϭϴ

ǀĂ ƐǇŬůĞƌ ƚƌĞ ŐĂŶŐĞƌ ŝ ƵŬĂ ŝ ϯ ƵŬĞƌ͘ dĂďĞůůĞŶ ǀŝƐĞƌ ŚǀŽƌ ůĂŶŐƚ ǀĂ ƐǇŬůĞƌ ŚǀĞƌ ĚĂŐ͗ h<

ŵĂŶĚĂŐ

ƟƌƐĚĂŐ

ϱ Ŭŵ

ϲ Ŭŵ

ϭϮ Ŭŵ

ϰ Ŭŵ

ϵ Ŭŵ

ϭϬ Ŭŵ

ϭϱ Ŭŵ

ϳ Ŭŵ

Ϯϵ Ŭŵ

ĂͿ ,ǀŽƌ ůĂŶŐƚ ƐǇŬůĞƌ ǀĂ ŽŶƐĚĂŐ ŝ ƵŬĞ ϭ͍ ďͿ ,ǀĂ Ğƌ ĚĞƚ ůĞŶŐƐƚĞ ŚƵŶ ƐǇŬůĞƌ ŝ ůƆƉĞƚ Ăǀ ĞŶ ĚĂŐ͍

Oppgave 1.17 Elevene skal regne ut svaret på oppgavesettene i hodet ved å bruke strategien med tiervenner, fylle opp tier. La de elevene som trenger det, bruke tom tallinje.

ŽŶƐĚĂŐ

Oppgave 1.18 Elevene skal øve seg i å ﬁnne informasjon i en tabell. a) og b) er avlesningsoppgaver. c) Elevene skal bruke informasjon fra tabellen til utregning. d) Smilefjesoppgave med omgjøring til mil.

ϭ ŵŝů с ϭϬ Ŭŵ

Đ Ϳ ,ǀŽƌ ůĂŶŐƚ ƐǇŬůĞƌ ǀĂ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ ŝ ƵŬĞ Ϯ͍ Ě Ϳ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵŝů ƐǇŬůĞƌ ǀĂ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ ŝ ůƆƉĞƚ Ăǀ ĚĞ ϯ ƵŬĞŶĞ͍

Sammen Presiser at samme ﬁgur alltid representerer samme tall i en oppgave. Den første oppgaven er relativt grei, mens den siste er svært utfordrende.

^ĂŵŵĞŶ ,ǀŝůŬĞ ƚĂůů ƐŬũƵůĞƌ ƐĞŐ ďĂŬ ĮŐƵƌĞŶĞ͍ V н V с ϭϬ V н V н Q с ϭϲ O н O н Q с Ϯϲ н н O с Ϯϲ

>ŝŬĞ ĮŐƵƌĞƌ ďĞƚǇƌ ůŝŬĞ ƚĂůů͘

,ǀŝůŬĞ ƚĂůů ƐŬũƵůĞƌ ƐĞŐ ďĂŬ ĚŝƐƐĞ ĮŐƵƌĞŶĞ͍

Utvid oppgaven La elevene lage ﬂere oppgaver hvor de bruker sine egne symboler for tall.

Q ͳ O ͳ O с ϲ ͳ Q ͳ Q с O ͳ V ͳ O с ϭϳ Q ͳ V ͳ V ͳ O ͳ O с Ϭ

ϭϱ

Å løse og lage slike oppgaver er god trening med tanke på algebraoppgaver med variabler, som de vil møte senere.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ϭϱ

Et spill om å ﬁnne differansen Til dette spillet trenger dere hobbystikker, tannpirkere, centicubes eller annet smått plukkmateriale som dere har for hånden. To elever spiller sammen. r Hver av spillerne starter med et antall stikker, for eksempel 10, som skjules under pulten. r Elev A tar et antall stikker, for eksempel 5, i hånden og lukker den slik at stikkene er skjult, holder den lukkede hånden fram og spør elev B om hvor mange det er. r Elev B gjetter for eksempel 3. r Elev A åpner hånden og viser at det er 5. r Elev B må da gi elev A differansen, i dette tilfellet 2 stikker. r Hvis elev B gjetter riktig, i dette tilfellet 5, må elev A gi ham de stikkene som han har i hånden (her 5). r Elevene gjør dette annenhver gang til en av dem er tom for stikker.

sammenlikne to mengder. Når en elev for eksempel skal ﬁnne ut hvor mye eldre Jens er enn Lina, er det fortsatt regnearten subtraksjon som skal anvendes, men det er ikke noe som skal tas bort. Tvert imot assosierer begrepet «eldre enn» til en økning. Det er derfor viktig å vektlegge subtraksjon som det å ﬁnne forskjellen eller differansen framfor det å ta bort eller trekke fra. Eksempel Jens er 24 år, Lina er 17 år, hvor mye eldre er Jens enn Lina? Ved bruk av tom tallinje spiller det ingen rolle om du teller oppover fra 17 til 24 eller nedover fra 24 til 17. Noen elever foretrekker å telle oppover fordi de er tryggere på å telle forlenges enn baklengs. +3

17 Subtraksjon som å ﬁnne differanse/forskjell Ofte blir subtraksjon forklart for elevene som å trekke fra eller å ta bort. For mange elever er det vanskelig når de etter hvert skal løse tekstoppgaver der det spørres etter forskjellen eller differansen. Strategien «ta bort» holder ikke når vi skal

–3

–4

Forklaring 1 ͻ Hoderegningsstrategier

Formålet med denne samtalen er å innføre begrepet differanse. Bruk begrepet når du stiller spørsmål til elevene. 11 – 11 = 0 Hva er differansen mellom 11 og 11? Det er ingen forskjell, differansen er 0. 11 – 10 = 1 Hva er differansen mellom 11 og 10? Differansen er 1. Spør elevene hvordan de tenker når de skal finne differansen mellom to tall som har nesten lik verdi? For eksempel 11 og 9. Samtal også om begrepet færre enn. Finn eksempler i klassen. Hvor mange gutter/jenter er det i klassen. Hva er differansen? Hvor mange flere gutter enn jenter? Hvor mange færre jenter enn gutter. Finn flere eksempler i klassen, for eksempel langt hår, kort hår, ett fornavn, flere fornavn ...

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐ ʹ ĚŝīĞƌĂŶƐĞ ^ĂŵƚĂůĞ ,ǀŝůŬĞŶ ŚŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƐƚƌĂƚĞŐŝ ďƌƵŬĞƌ ďĂƌŶĂ͍

ϭϭ ͳ ϭϭ с Ϭ ϭϭ ͳ ϭϬ с ϭ ϭϭ ͳ ϵ с Ϯ ZĞŐŶ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ͕ ŽŐ ĚŝƐŬƵƚĞƌ ƐƚƌĂƚĞŐŝĞŶĞ ĚĞƌĞ ďƌƵŬĞƌ ŵĞĚ ŚǀĞƌĂŶĚƌĞ͘ 88 ͳ 88 88 ͳ ϴϳ

ϭ͘ϭϵ

ĂͿ

ďͿ ϰϭ

ϭϲ

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ϭ͘ϮϬ

ϭϲ

ϭϮϳ ͳ ϭϮϳ ϭϮϳ ͳ ϭϮϲ

ĐͿ ϱϬ

ϯϵ

ϰϵ

ĞͿ ϴϳ

Oppgave 1.19 Bruk gjerne denne oppgaven til å la elevene øve seg i å bruke ordet differanse.

ϯϭ ͳ ϯϭ ϯϭ ͳ ϯϬ

HǀĂ Ğƌ ĚŝīĞƌĂŶƐĞŶ ŵĞůůŽŵ ƚĂůůĞƚ ŵĞĚ ƐƚƆƌƐƚ ǀĞƌĚŝ ŽŐ ƚĂůůĞƚ ŵĞĚ ŵŝŶƐƚ ǀĞƌĚŝ͍

ĚͿ

Oppgave 1.20 Elevene skal regne i hodet. Ved å tenke differanse vil elevene kunne bruke resultatet fra de første oppgavene i hvert oppgavesett til å løse de neste.

ŝīĞƌĂŶƐĞ ďĞƚǇƌ ĨŽƌƐŬũĞůů͘

:ĞŐ ƚƌĞŬŬĞƌ ĨƌĂ ŶĞƐƚĞŶ Ăůƚ͘

ϴϲ

RĞŐŶ Ƶƚ͘ Ă Ϳ ϭϬϬ ͳ ϵϵ с ϭϬϬ ͳ ϵϳ с ϭϬϭ ͳ ϵϴ с

ϱϭ

ϰϳ

ϳϯ

ϲϵ

ĨͿ ϱϭ

ϰϵ

ď Ϳ ϮϬϭ ͳ ϭϵϵ с ϮϬϮ ͳ ϭϵϴ с ϮϬϱ ͳ ϭϵϱ с

Đ Ϳ ϰϬϬ ͳ ϯϳϱ с ϰϬϱ ͳ ϯϳϱ с ϰϬϭ ͳ ϯϳϱ с

At elevene har en ensidig forståelse av subtraksjon som å ta bort eller trekke fra, kan være årsaken til at elevene spør om det er pluss eller minus når de møter tekstoppgaver som spør etter en forskjell. Regnearten subtraksjon brukes også når vi skal finne ut hvor mye vi mangler, da er det heller ikke noe som skal tas bort, tvert imot, vi må ha mer. Det vi skal finne ut, er differansen mellom det vi skal ha og det vi faktisk har. Eksempel Vi er 19 elever som skal ha en blyant hver. Vi har 13 blyanter. Hvor mange blyanter mangler vi? I hodet bruker vi subtraksjon for å finne differansen mellom det vi skal ha og det vi har. Men problemstillingen i oppgaven kan det være naturlig å = 19 sette opp som et addisjonsstykke: 13 + Dette er i praksis en likning hvor den ukjente mengden illustreres med firkant i stedet for x. På sjette trinn vil elevene møte x som symbol for ukjent mengde. Å ha erfaringer med slike oppstillinger som i eksemplet over vil gjøre det lettere for elevene å forstå hva x er.

Begrepene flere enn og færre enn De fleste elevene behersker begrepet «flere enn», for eksempel at det er flere gutter enn jenter i klassen. Men begrepet «færre enn» er lite i bruk blant barn. Oftest vil de si at det er mindre jenter enn gutter i klassen, i stedet for å bruke det korrekte begrepet, det er færre jenter enn gutter i klassen. Det er viktig at du som lærer er konsekvent i bruken av begrepet færre enn når det er snakk om antall. I en samtale om differanse kan det være lurt å lage eksempler hvor dette begrepet inngår. Se eksempler i samtale på side 16.

Sammen I denne sammenoppgaven har elevene mulighet til å ta i bruk mange ulike hoderegningsstrategier. Oppfordre elevene til å kommunisere hvordan de tenker når de løser oppgaven. Ta en oppsummering i klassen til slutt. Kom det fram mange ulike strategier? Løsningsforslag: r 10 piller r Hvis hun tar 12 piller, blir hun 12 år, hvis hun tar 13 piller, blir hun 8 år. Var det noen elever som foreslo 12 ½ pille?

Forklaring ,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐ ʹ ƚĞŶŬĞ ǀŝĂ ŚĞů ƟĞƌ

Samtale Elevene skal lære hoderegningsstrategien å tenke via hel tier. Strategien er her visualisert ved hjelp av tom tallinje. Bruk tom tallinje på tavla, og la elevene komme med eksempler på andre regnestykker hvor det er rasjonelt på tenke via hel tier.

^ĂŵƚĂůĞ ,ǀŝůŬĞ ŚŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ ďƌƵŬĞƌ ďĂƌŶĂ͍ :ĞŐ ƚĞŶŬĞƌ ƉůƵƐƐ ϭϬ ŶĊƌ ũĞŐ ƌĞŐŶĞƌ Ƶƚ ϲϱ н ϵ͘

:ĞŐ ƚĞŶŬĞƌ ŵŝŶƵƐ ϭϬ ŶĊƌ ũĞŐ ƌĞŐŶĞƌ Ƶƚ ϴϰ ͳ ϵ͘

ϲϱ н ϵ с ϲϱ н ϭϬ ͳ ϭ

ϴϰ ͳ ϵ с ϴϰ ͳ ϭϬ н ϭ

н ϭϬ ʹ ϭ ϲϱ

ϭ͘Ϯϭ

ϳϰ

Oppgave 1.21 Elevene skal regne i hodet. Elevene kan bruke resultatet fra de første oppgavene i hvert oppgavesett til å løse de neste. De elevene som treger det, kan bruke tom tallinje.

ʹ ϭϬ н ϭ ϳϱ

ϳϰ

ϳϱ

ϴϰ

ZĞŐŶ Ƶƚ ŵĞĚ ŚĞůĞ ƟĞƌĞ͘ dĞŐŶ ƚŽŵ ƚĂůůŝŶũĞ ŚǀŝƐ ĚƵ ǀŝů͘ Đ Ϳ ϯϳϲ ͳ ϵ с ĂͿ ϯϳ н ϵ с ď Ϳ ϰϯ ͳ ϵ с ϰϯ ͳ Ϯϵ с ϯϳϲ ͳ ϭϴ с ϯϳ н ϭϵ с ϰϯ ͳ Ϯϴ с ϯϳϵ ͳ ϭϵ с ϯϳ н ϭϴ с

Sammen – se over

^ĂŵŵĞŶ ,ĞŬƐĂ dƌǇůůŝƚƌĂůů Ğƌ ϲϬ Ċƌ͘ ,ƵŶ ƐƉŝƐĞƌ ͨtŝůůǇ WŽůŬĂͲƉŝůůĞƌͩ ĨŽƌ Ċ ďůŝ ǇŶŐƌĞ͘ Ŷ ƉŝůůĞ ŐũƆƌ ŚĞŶŶĞ ϱ Ċƌ ǇŶŐƌĞ͘ ͻ ,ƵŶ ƆŶƐŬĞƌ Ċ ďůŝ ϭϬ Ċƌ ŝŐũĞŶ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŝůůĞƌ ŵĊ ŚƵŶ ƐƉŝƐĞ ĚĂ͍ ͻ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŝůůĞƌ ŵĊ ŚƵŶ ƐƉŝƐĞ ŚǀŝƐ ŚǀĞƌ ƉŝůůĞ ŐũƆƌ ŚĞŶŶĞ ϰ Ċƌ ǇŶŐƌĞ͍ ͻ >ĂŐ ĞŐŶĞ ŽƉƉŐĂǀĞƌ Žŵ ŚĞŬƐĂ dƌǇůůŝƚƌĂůů ŽŐ ƉŝůůĞŶĞ ƐŽŵ ŐũƆƌ ŚĞŶŶĞ ǇŶŐƌĞ͘

ϭϳ

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ϭϳ

Å skrive svarsetning (å kommunisere svaret) Et av kompetansemålene etter sjuende trinn er: «Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga.» Det er viktig at elevene øver seg i å kommunisere svaret de kommer fram til i tekstoppgaver. Da får de øvelse i å se på problemstillingen og gi svar på denne. Dette kan også hjelpe elevene til å se om svaret de har kommet fram til, er sannsynlig. Flere rapporter fra internasjonale undersøkelser viser at norske elever er for dårlige til å vurdere svaret sitt. Når en elev for eksempel har regnet ut oppgave 1.22, er svaret: Han har igjen 35 sider å lese, eller i det minste 35 sider. Tallet 35 alene er ikke et fullgodt svar på problemstillingen. Oppgavene på denne siden er enkle hoderegningsoppgaver som egentlig ikke krever noen oppstilling, de er derfor godt egnet til å la elevene øve seg i å skrive gode svarsetninger.

KƉƉŐĂǀĞƌ Ɵů ƚŽŵ ƚĂůůŝŶũĞ Ϳ dŽƌ Ğƌ ϭϮ Ċƌ͘ dĂŶƚĞ ŶŶĞ Ğƌ ϰϬ Ċƌ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ĞůĚƌĞ Ğƌ ƚĂŶƚĞ ŶŶĞ ĞŶŶ dŽƌ͍ Ϳ >ŝǀ ŚĂƌ Ϯϱ ďƆŬĞƌ͘ >ĂƌƐ ŚĂƌ ϳϭ ďƆŬĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŇĞƌĞ ďƆŬĞƌ ŚĂƌ >ĂƌƐ ĞŶŶ >ŝǀ͍ Ϳ DĂƌƟŶ ŚĂƌ ϳϱ Ŭƌ͘ <ƌŝƐƟŶ ŚĂƌ ϰϴ Ŭƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ŵĂŶŐůĞƌ <ƌŝƐƟŶ ĨŽƌ Ċ ŚĂ ůŝŬĞ ŵǇĞ ƐŽŵ DĂƌƟŶ͍ Ϳ ĂŶŝĞů ŬũƆƉĞƌ Ğƚ ďůĂĚ Ɵů ϰϴ Ŭƌ͘ ,ĂŶ ďĞƚĂůĞƌ ŵĞĚ ϭϬϬ Ŭƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ĨĊƌ ŚĂŶ ŝŐũĞŶ͍

Forklaring 1 ͻ Hoderegningsstrategier

Samtale Eksempelet viser hvordan Sara ﬁnner differansen ved å tenke addisjon via tier. Bruk en tom tallinje, og spør elevene om det går an å tenke på samme måte, men subtraksjon via tier. Lag tilsvarende oppgaver, og løs dem sammen med tom tallinje, både med addisjon og subtraksjon via tier. Hvis elevene tenker ulikt, kan det være ﬁnt å løse samme oppgave med tom tallinje og ulike sprang.

н ϭϬ

:ĞŐ ƚĞŶŬĞƌ͗ ϯ н ϭϬ н ϱ

н ϱ år ϯϬ

ϯϱ

ƌƵŬ ƚŽŵ ƚĂůůŝŶũĞ ƉĊ ĚŝƐƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ŚǀŝƐ ĚƵ ǀŝů͗

ϭ͘ϮϮ

:ĂŶ ůĞƐĞƌ ϰϴ ƐŝĚĞƌ͘ ŽŬĂ ŚĂŶ ůĞƐĞƌ ŚĂƌ ϴϯ ƐŝĚĞƌ͘ ƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƐŝĚĞƌ ŚĂƌ ŚĂŶ ŝŐũĞŶ Ċ ůĞƐĞ͍

ϭ͘Ϯϯ

KůĞ ŚĂƌ ϵϰ ƐĂŶŐĞƌ ƉĊ ŵŽďŝůƚĞůĞĨŽŶĞŶ ƐŝŶ͘ Ğƌ :ĞŶŶǇ ŚĂƌ ϲϴ ƐĂŶŐĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŇĞƌĞ ƐĂŶŐĞƌ ŚĂƌ KůĞ ƉĊ ŵŽďŝůƚĞůĞĨŽŶĞŶ ƐŝŶ ĞŶŶ ĚĞƚ :ĞŶŶǇ ŚĂƌ͍

ϭ͘Ϯϰ

ĞŶĚŝŬ ŚĂƌ ϯϲ ŬƌŽŶĞƌ ŝ ůŽŵŵĞďŽŬĂ Ɛŝ͕ ŽŐ ǀĂ ŚĂƌ ϲϮ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ƚƌĞŶŐĞƌ ĞŶĚŝŬ Ċ ƐƉĂƌĞ ĨŽƌ Ċ ĨĊ ůŝŬĞ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ƐŽŵ ǀĂ͍

ϭ͘Ϯϱ

KŵĂƌ Ğƌ ϭϯϲ ĐĞŶƟŵĞƚĞƌ ŚƆǇ͘ >ŝůůĞƐƆƐƚĞƌĞŶ Ɵů KŵĂƌ Ğƌ ϰϴ ĐĞŶƟŵĞƚĞƌ ůĂǀĞƌĞ͘ ,ǀŽƌ ŚƆǇ Ğƌ ůŝůůĞƐƆƐƚĞƌĞŶ͍

^ĂŵŵĞŶ ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ƚĞŶŬĞƌ ĚĞƌĞ͍ ϭϲϬ ͳ ϳϵ

Oppgave 1.25 Denne oppgaven er litt annerledes, her er differansen oppgitt.

Ϯϳϯ ͳ Ϯϳ

ϭϳϴ ͳ ϲϵ

ϭϲϯ ͳϵ

ϭϴϮ ͳ ϰϴ

ϭϴ

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

н ϯ ϭϳ ϮϬ

Oppgave 1.22, 1.23 og 1.24 Elevene skal løse oppgaver i kontekst, alle oppgavene går ut på å ﬁnne differansen. Oppgavene er ikke vanskelige. Elevene kan regne i hodet eller bruke tom tallinje hvis de ønsker det.

ϭϴ

ŬƐĞŵƉĞů ^ĂƌĂ Ğƌ ϭϳ Ċƌ ŽŐ ƌŶĞ Ğƌ ϯϱ Ċƌ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ĞůĚƌĞ Ğƌ ƌŶĞ ĞŶŶ ^ĂƌĂ͍

ϱ ϭϱϬ ͳ ϳ

KƉƉŐĂǀĞƌ Ɵů ƚŽŵ ƚĂůůŝŶũĞ Ϳ / ƐŽŵŵĞƌĨĞƌŝĞŶ ƐƚƵƉĞƌ >ŝŶĂ ϮϯϬ ŐĂŶŐĞƌ͕ ŵĞŶƐ :ŽŚŶ ƐƚƵƉĞƌ ϭϳϲ ŐĂŶŐĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ĨčƌƌĞ ŐĂŶŐĞƌ ƐƚƵƉĞƌ :ŽŚŶ ĞŶŶ >ŝŶĂ͍ Ϳ Ŷ ƐŽŵŵĞƌ ĨĂůůĞƌ ĚĞƚ ϰϬϮ ŵŵ ŶĞĚďƆƌ ŝ ĞƌŐĞŶ͘ / <ƌĂŐĞƌƆ ĨĂůůĞƌ ĚĞƚ ϭϵϮ ŵŵ ŵŝŶĚƌĞ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵŵ ŶĞĚďƆƌ ĨĂůůĞƌ ĚĞƚ ŝ <ƌĂŐĞƌƆ͍

Sammen side 19 Denne teksten kan være litt vanskelig å analysere for elevene, det kan derfor være en fordel å lese oppgaven sammen med elevene før de tar fatt på den. Presiser at de har lov til å bevege seg vannrett og loddrett, men ikke diagonalt (på skrå), og at det siste tallet de subtraherer derfor må være det som står i frisbeen rett over den hvite med 0. I denne oppgaven kan elevene ta i bruk mange ulike strategier. Elevene bør lære seg å se på tallene for å vurdere sannsynlige veier. De kan bruke overslagsregning, og et annet tips kan være å se på enerne, addere disse og se om tallene kan brukes. Noen elever vil nok foretrekke å starte med tallet ovenfor 0 og addere seg opp til tallet i den grønne frisbeen øverst til venstre.

Ϳ DĂƌŬƵƐ ŚĂƌ ϭϬϬ Ŭƌ͘ ,ĂŶ ŬũƆƉĞƌ ŬũƆƩĚĞŝŐ ĨŽƌ ϲϮ Ŭƌ ŽŐ ƐŵƆƌ ĨŽƌ Ϯϳ Ŭƌ͘

Løsningsforslag: Oppgaven til venstre: 500 – 299 – 175 – 26 = 0

,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ŚĂƌ ŚĂŶ ŝŐũĞŶ͍

Oppgaven til høyre har to løsninger: 999 – 349 – 250 – 400 = 0 og 999 – 295 – 304 – 400 = 0

Ϳ ,ĞŶƌŝŬ /ďƐĞŶ Ğƌ ĞŶ ŬũĞŶƚ ŶŽƌƐŬ ĨŽƌĨĂƩĞƌ͘ ,Ăƌ ůĞǀĚĞ ĨƌĂ ϭϴϮϴ Ɵů ϭϵϬϲ͘ ,ǀŽƌ ŐĂŵŵĞů ďůĞ ŚĂŶ͍ Forklaring ϭϭϴ Ŭƌ

ϭ͘Ϯϲ

ϭϳϵ Ŭƌ

Ϯϰϵ Ŭƌ

ϭϵ Ŭƌ

Sammen Elevene drøfter med hverandre hvilke strategier de bruker for å ﬁnne differansen mellom to tall.

ϲϴ Ŭ ϯϯϳ

ϭϮϵ Ŭƌ

Ŭƌ

Oppgave 1.26 Elevene løser oppgavene ved å hente informasjon fra illustrasjonen. a) Sorteringsoppgave b), c) og d) Finne differansen i kontekst e) Smilefjesoppgave. Denne oppgaven er mer krevende fordi den har en sammensatt problemstilling.

ĂͿ ^ŽƌƚĞƌ ƐƉŽƌƚƐƵƚƐƚǇƌĞƚ ĞƩĞƌ ƉƌŝƐ͘ ^ƚĂƌƚ ŵĞĚ ĚĞŶ ďŝůůŝŐƐƚĞ͘ ď Ϳ ZĞŐŶ Ƶƚ ĚŝīĞƌĂŶƐĞŶ ŵĞůůŽŵ ĚĞŶ ĚǇƌĞƐƚĞ ŽŐ ĚĞŶ ďŝůůŝŐƐƚĞ͘ Đ Ϳ KůĂ ŬũƆƉĞƌ ĞŶ ƚĞŶŶŝƐƌĂĐŬĞƚ͘ ,ĂŶ ďĞƚĂůĞƌ ŵĞĚ ϮϬϬ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŚĂƌ ŚĂŶ ŝŐũĞŶ͍ Ě Ϳ :ĂƐŵŝŶ ŚĂƌ ϯϵ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŵĂŶŐůĞƌ ŚƵŶ ĨŽƌ Ċ ŬũƆƉĞ ďĂĚŵŝŶƚŽŶƌĂĐŬĞƚĞŶ͍ ĞͿ WĞƌ ŚĂƌ ϱϬϬ ŬƌŽŶĞƌ ŽŐ ŬũƆƉĞƌ ĞŶ ƚĞŶŶŝƐƌĂĐŬĞƚ͘ ZĞƐƚĞŶ Ăǀ ƉĞŶŐĞŶĞ ďƌƵŬĞƌ ŚĂŶ ƉĊ ƚĞŶŶŝƐďĂůůĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƚĞŶŶŝƐďĂůůĞƌ ŬĂŶ ŚĂŶ ŬũƆƉĞ͍

^ĂŵŵĞŶ Ğƚ Ğƌ Žŵ Ċ ŐũƆƌĞ Ċ ĮŶŶĞ ǀĞŝĞŶ Ɵů Ϭ ǀĞĚ Ċ ƐƵďƚƌĂŚĞƌĞ ŝŐũĞŶ ŽŐ ŝŐũĞŶ͘ ^ƚĂƌƚ ŵĞĚ ƚĂůůĞƚ ŝ ĚĞŶ ŐƌƆŶŶĞ ĨƌŝƐďĞĞŶ ƆǀĞƌƐƚ Ɵů ǀĞŶƐƚƌĞ ŽŐ ƐƵďƚƌĂŚĞƌ Ğƚ Ăǀ ĚĞ ŶčƌŵĞƐƚĞ ƚĂůůĞŶĞ ǀĂŶŶƌĞƩ ĞůůĞƌ ůŽĚĚƌĞƩ͘ ,ǀŝƐ ĚĞŶ ƐŝƐƚĞ ĚŝīĞƌĂŶƐĞŶ ĚƵ ĨĊƌ ŝ ĚĞŶ ŶĞĚĞƌƐƚĞ ƌŽƐĂ ĨƌŝƐďĞĞŶ Ğƌ Ϭ͕ ŚĂƌ ĚƵ ǀĂůŐƚ ƌŝŬƟŐ ǀĞŝ͘ ϱϬϬ

Ϯϵϵ

ϭϱϬ

ϵϵϵ

ϯϰϵ

ϵϵ

ϭϳϱ

Ϯϰ

Ϯϵϱ

ϮϱϬ

ϰϵ

ϭϱϬ

Ϯϲ

ϭϳϲ

ϯϬϰ

ϰϬϬ

ϭϬϭ

Utvid oppgaven f) Kjøp så mye du kan for 1000 kr. Hvem klarer å komme nærmest 1000? g) Hva koster mest, 4 par skøyter eller 9 basketballer?

ϭϬϬ

ϭϵ

Sammen Elevene skal samarbeide om å ﬁnne differanse med store tall. Flere ulike strategier fører fram. Den første oppgaven har én vei og den andre oppgaven har to veier som fører til riktig svar.

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ϭϵ

Å lage tekstoppgaver Det er viktig at elvene får øve seg på å lage tekstoppgaver. Da må de ta i bruk sitt eget matematikkspråk, og de øver seg i å kommunisere matematikk. Det å skulle lage en problemstilling til et oppgitt svar eller ut fra et oppgitt tallmateriale kan også være med på å utvikle matematikkspråket slik at det blir lettere for elevene å forstå tekstoppgaver. Når elevene får lage oppgaver selv, jobber alle elevene ut fra sitt ståsted og nivå, dette er med på å skape større engasjement hos en del elever.

På side 21 presenterer vi et magisk kvadrat på 3 x 3 ruter, og det er tallene fra 1 til 9 som skal plasseres i de små kvadratene. Her er den magiske summen 15. Det ﬁns 8 løsninger, men alle løsningene er de samme, bare rotert eller speilet.

Magiske kvadrater Historien til magiske kvadrater er rundt 3000 år gammel og stammer fra Kina. Et magisk kvadrat er et kvadrat som er delt opp i ﬂere små kvadrater. I hvert av de små kvadratene plasseres tallene fra 1 og opp til antallet små kvadrater i et bestemt mønster, slik at summen i alle rader, kolonner og diagonaler blir den samme.

Forklaring 1 ͻ Hoderegningsstrategier

Oppgave 1.27 og 1.28 For noen elever er det kanskje nok å lage en eller to tekstoppgaver, mens det for andre kan være spennende å se hvor mange ulike oppgaver de klarer å lage til hver kontekst. La gjerne elevene løse hverandres tekstoppgaver. Presiser for elevene at de skal lage korte tekstoppgaver som spør etter et svar, ikke regnefortellinger. Gi gjerne et eksempel.

ϮϬ

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

>ĂŐ ƚĞŬƐƚŽƉƉŐĂǀĞƌ Žŵ ĂůĚĞƌĞŶ Ɵů ƉĞƌƐŽŶĞŶĞ͘

ϯ Ċƌ

ϭ͘Ϯϴ

Sammen Gjør elevene oppmerksom på at beløpene som står ved punktmarkeringene, er alle pengene som Janne hadde i hvert av eksemplene, og i hvert tilfelle kjøper hun godteri for 28 kroner først. Løsningsforslag r 1 muffins r 2 muffins r 6 muffins Kongen og det magiske kvadratet Det kan være en idé å la elevene lage seg brikker med sifrene 1 til 9 slik at de kan flytte sifrene rundt mens de prøver å løse oppgaven.

ϭ͘Ϯϳ

Ϯϰ Ċƌ

ϭϲ Ċƌ

8 år

>ĂŐ ƚĞŬƐƚŽƉƉŐĂǀĞƌ Žŵ ŚƆǇĚĞŶ Ɵů ƚƌčƌŶĞ͘

ϭϯ ŵ

ϵ ŵ

ϭϱ ŵ

ϳ ŵ

^ĂŵŵĞŶ :ĂŶŶĞ ŬũƆƉĞƌ ŐŽĚƚĞƌŝ ĨŽƌ Ϯϴ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵƵĸŶƐ ŬĂŶ ŚƵŶ ŬũƆƉĞ ŝ ƟůůĞŐŐ ĚĞƌƐŽŵ ŚƵŶ ŚĂƌ͗ ͻ ϰϯ ŬƌŽŶĞƌ ͻ ϱϰ ŬƌŽŶĞƌ ϭϮ Ŭƌ ͻ ϭϬϬ ŬƌŽŶĞƌ >ĂŐ ŇĞƌĞ ŽƉƉŐĂǀĞƌ Ɵů ŚǀĞƌĂŶĚƌĞ͘

ϮϬ

Eksempel på et annet magisk kvadrat (4 x 4 ruter) kan brukes som differensiering til sterke elever. Da blir det tallene fra 1 til 16 som skal fylles inn, og summen i alle rader, kolonner og diagonaler blir 34. Et løsningsforlag

15 10

14 11

13 12

Forklaring <ŽŶŐĞŶ ŽŐ ĚĞƚ ŵĂŐŝƐŬĞ ŬǀĂĚƌĂƚĞƚ

Se på et ferdig utfylt magisk kvadrat sammen med elevene. Spør hvorfor de tror at tallet 5 må stå i midten? Be så elevene se på de ferdig utfylte magiske kvadratene og sette ring rundt de tallene som ved subtraksjon gir tallet i sentrum. Elevene vil oppdage at det alltid er to tall som står ved siden av hverandre.

Ğƚ ǀĂƌ ĞŶ ŐĂŶŐ ĞŶ ŬŽŶŐĞ ƐŽŵ ŝŬŬĞ ŬƵŶŶĞ ƌĞŐŶĞ ĂĚĚŝƐũŽŶ͘ ,ŽīŶĂƌƌĞŶ ƚĞŐŶĞƚ ĚĂ Ğƚ ŵĂŐŝƐŬ ŬǀĂĚƌĂƚ ŵĞĚ Ŷŝ ƌƵƚĞƌ͗

ϭϱ

/ ŬǀĂĚƌĂƚĞƚ ƐŬƵůůĞ ŬŽŶŐĞŶ ĨǇůůĞ ŝŶŶ ƐŝĨƌĞŶĞ ĨƌĂ ϭ Ɵů ϵ ŽŐ ƉůĂƐƐĞƌĞ ƐŝĨƌĞŶĞ ƐůŝŬ Ăƚ ƐƵŵŵĞŶ Ăǀ ƚƌĞ ƐŝĨƌĞ ďůĞ ϭϱ͕ ďĊĚĞ ŚŽƌŝƐŽŶƚĂůƚ͕ ǀĞƌƟŬĂůƚ ŽŐ ĚŝĂŐŽŶĂůƚ͘ ,ǀĞƌƚ ƐŝīĞƌ ŬƵŶŶĞ ďƌƵŬĞƐ ďĂƌĞ ĞŶ ŐĂŶŐ͘

I teksten om magiske kvadrater over ser du alle de åtte mulige måtene å plassere tallene på i et magisk kvadrat. Hvor mange av disse løsningene ﬁkk dere i klassen?

<ůĂƌĞƌ ĚƵ Ċ ĮŶŶĞ Ƶƚ ŚǀŽƌĚĂŶ ŬŽŶŐĞŶ ƐŬƵůůĞ ƉůĂƐƐĞƌĞ ƐŝĨƌĞŶĞ͍

Ϯϭ

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

Ϯϭ

Forklaring ^Ɖŝůů

Spill I dette spillet skal elevene ﬁnne differansen mellom resultatene av sine to kast i hver runde. Disse differansene adderes fortløpende til en av spillerne kommer til hundre.

hƚƐƚǇƌ͗ dŽ ƚĞƌŶŝŶŐĞƌ͘ ŶƚĂůů ƐƉŝůůĞƌĞ͗ DŝŶŝŵƵŵ ƚŽ͘ ,ǀĂ ƐƉŝůůĞƚ ŐĊƌ Ƶƚ ƉĊ͗ ĞŶ ĞŶĞ ƐƉŝůůĞƌĞŶ ŬĂƐƚĞƌ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ ŽŐ ďĞƐƚĞŵŵĞƌ ŚǀŝůŬĞŶ ƐŽŵ ƐŬĂů ǀŝƐĞ ƟĞƌĞ͕ ŽŐ ŚǀŝůŬĞŶ ƐŽŵ ƐŬĂů ǀŝƐĞ ĞŶĞƌĞ͘ ,ǀŝƐ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ ǀŝƐĞƌ ŚĞŶŚŽůĚƐǀŝƐ ƚƌĞ ƆǇŶĞ ŽŐ ĮƌĞ ƆǇŶĞ͕ ŬĂŶ ŬĂƐƚĞƚ Őŝ ϯϰ ƉŽĞŶŐ ĞůůĞƌ ϰϯ ƉŽĞŶŐ͘

Elevene bør ha notatark og blyant, det bli mange tall å holde styr på.

^Ċ ŬĂƐƚĞƌ ƐƉŝůůĞƌĞŶ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ ĞŶ ŐĂŶŐ Ɵů͕ ďĞƐƚĞŵŵĞƌ ǀĞƌĚŝĞŶ Ɵů ƆǇŶĞŶĞ ŽŐ ĨĊƌ Ğƚ ŶǇƩ ƚĂůů͘ ^ƉŝůůĞƌĞŶ ĮŶŶĞƌ ƐĊ ĚŝīĞƌĂŶƐĞŶ ŵĞůůŽŵ ƚĂůůĞŶĞ ŝ ĚĞ ƚŽ ŬĂƐƚĞŶĞ͕ ŽŐ ĚĞƌĞƩĞƌ ŐĊƌ ƚƵƌĞŶ Ɵů ĚĞŶ ĂŶĚƌĞ ƐƉŝůůĞƌĞŶ͘ ^ůŝŬ ĨŽƌƚƐĞƩĞƌ ĚĞ ŵĞĚ ƚŽ ŬĂƐƚ ŚǀĞƌ͘

La gjerne elevene spille ﬂere ganger, la dem selv oppdage at det er en god strategi å velge tall som gir størst mulig differanse i hver runde.

sŝŶŶĞƌ͗ ĞŶ ƐƉŝůůĞƌĞŶ ƐŽŵ ŬŽŵŵĞƌ ĨƆƌƐƚ Ɵů ϭϬϬ͘

Sant eller usant Sant-eller-usant-oppgavene består av påstander som elevene skal vurdere og ta stilling til om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Når elevene har skrevet de sanne utsagnene i boka si, bør dere samtale rundt påstandene. Hvorfor mener du at det er sant eller usant? Påstanden: 13 + 9 = 13 + 10 – 1 kan vise om eleven har forståelse for likhetstegnet. Påstanden: 201 og 199 har omtrent samme verdi, kan nok noen mene er sann, mens andre mener er usann. Få fram hvordan de har tenkt. Kanskje noen tenker at det ikke er sant fordi det ikke holder å ha 200 kr hvis du skal kjøpe noe som koster 201 kr.

^ĂŶƚ ĞůůĞƌ ƵƐĂŶƚ ^Ŭƌŝǀ ƐĞƚŶŝŶŐĞŶĞ ƐŽŵ Ğƌ ƌŝŬƟŐĞ ŝ ŬůĂĚĚĞďŽŬĂ͘ ͻ Ğƚ ĚŽďďĞůƚĞ Ăǀ Ϯϰ Ğƌ ϱϬ͘ ͻ ϭϯ н ϵ с ϭϯ н ϭϬ ͳ ϭ ͻ ŝīĞƌĂŶƐĞ ďĞƚǇƌ ĨŽƌƐŬũĞůů͘ ͻ ^ƵďƚƌĂŬƐũŽŶ Ğƌ ĚĞƚ ƐĂŵŵĞ ƐŽŵ ĂĚĚŝƐũŽŶ͘ ͻ dĂůůĞŶĞ ϮϬϭ ŽŐ ϭϵϵ ŚĂƌ ŽŵƚƌĞŶƚ ƐĂŵŵĞ ǀĞƌĚŝ͘

ϮϮ

KƉƉƐƵŵŵĞƌŝŶŐ

Oppsummering Denne siden er en oppsummering av de hoderegningsstrategiene som dere har jobbet med i dette kapitlet. Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

ŽďůŝŶŐ ŽŐ ŚĂůǀĞƌŝŶŐ

Ğƚ Ğƌ ůƵƌƚ Ċ ůčƌĞ ƉůƵƐƐ ŽŐ ŵŝŶƵƐ ŝ ƚĂůůŽŵƌĊĚĞƚ ĨƌĂ Ϭ Ɵů ϮϬ ƵƚĞŶĂƚ͘

ŽďůŝŶŐ

ŽďůŝŶŐ н ϭ

,ĂůǀĞƌŝŶŐ

,ĂůǀĞƌŝŶŐ ͳ ϭ

ϭϱ н ϭϱ с ϯϬ Ϯϱ н Ϯϱ с ϱϬ

ϭϱ н ϭϲ с ϯϭ Ϯϱ н Ϯϲ с ϱϭ

ϯϬ ͳ ϭϱ с ϭϱ ϱϬ ͳ Ϯϱ с Ϯϱ

ϯϬ ͳ ϭϲ с ϭϰ ϱϬ ͳ Ϯϲ с Ϯϰ

ƌƵŬĞ ƟĞƌǀĞŶŶĞŶĞ ϯϲ н ϳ ϯϲ н ϰ н ϯ ϯϲ н ϳ с ϰϯ н ϰ н ϯ ϯϲ

ϰϬ ϰϯ

ŬƵŶŶĞ ƟĞƌǀĞŶŶĞŶĞ Ğƌ Ɵů ŚũĞůƉ ŶĊƌ ũĞŐ ƐŬĂů ƌĞŐŶĞ ƚĂůů ŵĞĚ ŚƆǇĞ ǀĞƌĚŝĞƌ͘

ZĞŐŶĞ ǀŝĂ ƟĞƌĞ ϯϲ н ϭϵ ϯϲ н ϮϬ ͳ ϭ ϯϲ н ϭϵ с ϱϱ ʹ ϭ ϯϲ

н ϮϬ

ϱϱ ϱϲ

ŝīĞƌĂŶƐĞ ϴϳ ͳ ϴϳ ϴϳ ͳ ϴϲ

ϮϬϭ ͳ ϮϬϬ ϮϬϭ ͳ ϭϵϵ

Ϯϯ

,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

ĞƩĞ ŚĂƌ ũĞŐ ůčƌƚ ŝ ŬĂƉŝƩĞů ϭ

EĂǀŶ͗

ϭ ŽďůŝŶŐ ŽŐ ŚĂůǀĞƌŝŶŐ

Ϯ dĂůůǀĞŶŶĞƌ

^Ŭƌŝǀ ĚĞƚ ĚŽďďĞůƚĞ ŽŐ ŚĂůǀƉĂƌƚĞŶ Ăǀ ŚǀĞƌƚ Ăǀ ƚĂůůĞŶĞ͘

^ƵŵŵĞŶ Ăǀ ƚĂůůĞŶĞ ŝ ŚǀĞƌƚ ĨĞůƚ ƐŬĂů ǀčƌĞ ůŝŬ ƚĂůůĞƚ ŝ ŵŝĚƚĞŶ͘ ^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ

,ĂůǀƉĂƌƚĞŶ

Ğƚ ĚŽďďĞůƚĞ

ŵĂŶŐůĞƌ͘

ϰϬ 7

8 ϴϬϬ

9 ϭ ϭϰ

ϭϮ

ϱϬ

ϭϱ 5

ϯ ƌƵŬĞ ƟĞƌǀĞŶŶĞƌ ϴ н Ϯ с ϭϬ

ϭϯ ϭϬ

Ϯϴ н Ϯ с ϯϬ

ϭϰ

Ϯϴ н ϭϮ с ϰϬ

ϰ н ϲ с

ϯϰ н ϲ с

ϯϰ н ϭϲ с

ϭ н ϵ с

ϱϭ н ϵ с

ϲϭ н ϭϵ с

ϭϭ

8 4

ϭϬ ϭϴ

ϰ ŝīĞƌĂŶƐĞ ʹ ƚƌĞŬŬĞ ĨƌĂ ŶĞƐƚĞŶ Ăůƚ 5 ϯϯ ʹ ϯϮ с

ϭϬϬ ʹ ϵϴ с

ϰϱ ʹ ϰϯ с

ϭϬϮ ʹ ϵϵ с

ϲϮ ʹ ϱϬ с

ϭϱϬ ʹ ϭϰϱ с

ϭϮ ϭϲ

ϱ dĞŶŬĞ ǀŝĂ ŚĞů ƟĞƌ ϲϱ н ϵ с ϲϱ н ϭϬ ʹ ϭ с ϳϰ

ϴϰ ʹ ϵ с ϴϰ ʹ ϭϬ н ϭ с ϳϱ

ϰϳ н ϵ с

ϱϯ ʹ ϵ с

ϰϳ н ϭϵ с

ϱϯ ʹ Ϯϵ с

<ĂƉŝƩĞů ϭമമ,ŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐƐƚƌĂƚĞŐŝĞƌ

Ξ ĂƉƉĞůĞŶ Ăŵŵ ^

DĊů r Lære mer om titallsystemet r Kunne plassere positive og negative tall på tallinja r Kunne addere og subtrahere med 10, 100 og 1000 r Kunne skriftlige metoder for addisjon og subtraksjon

ĞŐƌĞƉĞƌ r r r r r

Titallsystemet Plassverdisystemet Siffer Negative tall Utvidet form

/ŶƚƌŽĚƵŬƐũŽŶ Ɵů ŬĂƉŝƩĞů Ϯ Siffer og tall I dette kapitlet bruker vi begrepet siffer. Elevene bør lære å ta i bruk dette begrepet. Titallsystemet har sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Når disse står alene, er de også tall. Alle ﬂersifrede tall består av en kombinasjon av disse sifrene. Det er da sifrene og deres plassering som utgjør tallet. Når vi snakker om ﬂersifrede tall, bør vi være konsekvente og si: «Sifferet på hundrerplassen er ...», og unngå formuleringen «tallet på hundrerplassen er ...». Hvis en elev sier: «Tallet på hundrerplassen er ...», så gjenta gjerne: «Ja, sifferet på hundrerplassen er ...»

Titallsystemet er et plassverdisystem Å forstå plassverdisystemet (posisjonssystemet) er grunnleggende i arbeid med matematikk. Undersøkelser viser at elever på mellomtrinnet som strever med matematikk, ofte mangler denne grunnleggende forståelsen (Neumann 1989). Disse elevene får også problemer med måleenhetene som er bygd opp rundt titallsystemet, og de får problemer med desimaltallene.

Forklaring På dette oppslaget ﬁnner du tallmateriale som elevene kan bruke til å lage seg tresifrede tall. Elevene skal velge seg tre ballonger hver, en «enerballong», en «tierballong» og en «hundrerballong». Elevene skriver ned det tallet de får.

Tall 10

100 ĂŐĞŶƐ tall

587

1000

Samtal med elevene om deres tall. La alle elevene få gjøre rede for sitt tall.

70 800

Hvilket tall ﬁkk du? Hvor mange hele hundrere, hele tiere og enere har tallet ditt? Hvilket siffer står på enerplassen, tierplassen og hudrerplassen i tallet ditt? Hvordan kan du skrive tallet ditt som addisjonsstykke med hele hundrere, hele tiere og enere? Undersøk tallmaterialet og ﬁnn ut hva som er det største tallet dere kan lage, og hva som er det minste tallet dere kan lage.

<ĂƉŝƩĞů ϮമമdĂůů

Velg tre og tre tall fra ballongene, en hundrer, ĞŶ ƟĞƌ ŽŐ ĞŶ ĞŶĞƌ͘ ĚĚĞƌ ƚĂůůĞŶĞ͘ ,ǀŝůŬĞŶ ƐƵŵ ĨĊƌ ĚƵ͍ Eksempel

500 + 80 + 7 = 587

Titallsystemet har ﬁre karakteristiske trekk som det er viktig at elevene utvikler en forståelse for: r Plassen et siffer står på, avgjør verdien. r Vi har en gruppering av tiere. r Vi bruker 0 som plassholder. (Den markerer en mengdeangivelse. Når sifferet 0 står på for eksempel tierplassen, markerer det at vi ikke har noen tiere.) r Vi kan ﬁnne et talls verdi ved å addere alle plassverdiene.

Hjelpemidler som illustrerer enere, tiere, hundrere er for eksempel: r base 10-materiale (omtales på side 26) r pinner som er buntet i tiere r hundrerark som kan klippes i tiere og enere r kort med tallnavn for hele hundrere, tiere og enere som kan legges oppå hverandre r centikuber r abakus

Det er utviklet ulike typer konkretiseringsmateriell som kan være til hjelp for å utvikle forståelsen av plassverdisystemet. Slikt materiell kan brukes både til å illustrere tall og som hjelpemiddel ved løsning av oppgaver. Disse hjelpemidlene vil oftest være lettest å bruke for de elevene som allerede har en idé om plassverdisystemet. For mange elever vil det å arbeide med penger være et godt konkretiseringsmateriell. Å veksle enkroner i tikroner og tikroner i hundrekroner er situasjoner som de kjenner fra dagliglivet.

Forklaring Mål for kapitlet ͻ ͻ ͻ ͻ

>čƌĞ ŵĞƌ Žŵ ƟƚĂůůƐǇƐƚĞŵĞƚ <ƵŶŶĞ ƉůĂƐƐĞƌĞ ƉŽƐŝƟǀĞ ŽŐ ŶĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů ƉĊ ƚĂůůŝŶũĂ <ƵŶŶĞ ĂĚĚĞƌĞ ŽŐ ƐƵďƚƌĂŚĞƌĞ ŵĞĚ ϭϬ͕ ϭϬϬ ŽŐ ϭϬϬϬ <ƵŶŶĞ ƐŬƌŝŌůŝŐĞ ŵĞƚŽĚĞƌ ĨŽƌ ĂĚĚŝƐũŽŶ ŽŐ ƐƵďƚƌĂŬƐũŽŶ

100

500

8 50 600 200

Tall

Stige med 8 trinn Spillet går ut på å lage og plassere tosifrede tall i stigende rekkefølge. Spillerne må gjøre strategiske valg ut fra sannsynlighet. Spillet bør spilles ﬂere ganger. Elevene spiller sammen to og to.

Base 10-materiale Base 10-materiale er konkretiseringsmateriell som kan brukes til å illustrere ﬂersifrede tall. Det består av tusenkube, hundrebrett, tierstaver og enerterninger.

Hvert elevpar trenger: To terninger og hver sin søyle med 8 ruter.

Hvis elevene ikke er godt kjent med dette materialet fra før, er det viktig å bruke tid på å analysere de ulike komponentene.

Regler r Spiller A slår to terninger og velger hvilken terning som representerer tierverdi, og hvilken som representerer enerverdi. r Hvis spilleren for eksempel slår 2 og 5, velger han om slaget skal telle 25 eller 52. r Det tallet som spilleren velger, skrives inn på ett av trinnene i stigen. r Spiller B gjør det samme. r Spillerne skifter tur, slår terning, velger tall og skriver tallet inn i stigen. r Hvis en spiller ikke får dannet et tall som det er plass til i stigen, er det den andre spillerens tur. r Den som først får fylt sin stige med tall i stigende rekkefølge, har vunnet.

Forklaring 2 ͻ Tall

Titallsystemet

Samtale Hva trenger vi av base 10-materiale for å kunne bygge dette tallet? Bygg tallet og bruk dette når dere analyserer tallet.

Samtale dĂůůĞƚ ϲϳϮϯ ŚĂƌ ĮƌĞ ƐŝīĞƌ͘ ^ŝīĞƌĞƚ Ϯ ŚĂƌ ǀĞƌĚŝĞŶ ϮϬ͕ ŽŐ ƐŝīĞƌĞƚ ϲ ǀĞƌĚŝĞŶ ϲϬϬϬ͘

2.1

Spør videre hvor mange sifre tallet har. (4)

2.2

Analyser nå tallet ut fra sifferverdi. Hvilken verdi har sifferet 6 i dette tallet? (6000) Vis til at dette er representert med de 6 tusenblokkene. Hvilken verdi har sifferet 7 i dette tallet? (700) De sju hundrebrettene. Hvilken verdi har tallet 2 i dette tallet? (20) De to tierstavene. Hvilken verdi har tallet 3 i dette tallet? (3) De tre enerkubene.

2.3

͍ 6 0 0 0

,ǀŝůŬĞŶ ǀĞƌĚŝ ŚĂƌ ƐŝīĞƌĞƚ ƐŽŵ Ğƌ ƵŶĚĞƌƐƚƌĞŬĞƚ͍ a) 118 b) 349 c) 2103 d) 68 e) 301 f ) 1984

,ǀŝůŬĞŶ ǀĞƌĚŝ ŚĂƌ ƐŝīĞƌĞƚ ϯ ŝ ŚǀĞƌƚ Ăǀ ĚŝƐƐĞ ƚĂůůĞŶĞ͍ a) 135 b) 1312 c) 3175 d) 4093 e) 3054 f ) 6345

^Ŭƌŝǀ ƐŽŵ ƚĂůů͘ ĞƩ ƚƵƐĞŶ Ŷŝ ŚƵŶĚƌĞ ŽŐ ƚŽůǀ

ƚƌĞ

ŽŐ ŶĚƌĞ

Ƶ ƩĞ Ś ƐĞŶ Ċ

ƚƵƐĞ

Ŷ ŽŐ

ƐĞŬƐƟƐũƵ

ƚƌĞƫ

ĊƩĞ

ƚŽ ŚƵŶĚƌĞ ŽŐ ĨĞŵƟƐĞŬƐ

Ɵ ƚƵ

Tall

͍ 2 0

,ǀŝůŬĞŶ ǀĞƌĚŝ ŚĂƌ ƐŝīĞƌĞƚ ϳ͍ ,ǀŝůŬĞŶ ǀĞƌĚŝ ŚĂƌ ƐŝīĞƌĞƚ ϯ͍ DĞĚ ƐŝĨƌĞŶĞ Ϭ͕ ϭ͕ Ϯ͕ ϯ͕ ϰ͕ ϱ͕ ϲ͕ ϳ͕ ϴ ŽŐ ϵ ŬĂŶ ĚƵ ůĂŐĞ ĂůůĞ ƚĂůů ĚƵ ƆŶƐŬĞƌ͘

Hvor mange enere er det i tallet? (6 723 enere) Hvor mange tiere? (672 tiere) Hvor mange hundrere? (67 hundrere) Hvor mange tusenere? (6 tusener)

6 7 2 3

ŶŝƩĞŶ ŚƵ

ŶĚƌĞ

Vis elevene en 1000-kube og spør: Hvor mange enere er det i 1000? Vis en enerterning. Hvor mange tiere er det i 1000? Vis tierstav. Hvor mange hundrere er det i 1000? Vis hundrerbrett. Lag et tall med materialet. For eksempel 1 539. Skriv tallet. Hva skjer når du legger til en tierstav? Skriv det nye tallet. Hva er forandret? Og hva er likt? Gå tilbake til det opprinnelige tallet. Hva skjer når du tar bort en tierstav? Gjenta det samme med hundrebrett.

Sammen En øvelse i å lese store tall. Elevene leser høyt for hverandre. Oppsummer i samlet klasse. Ta utgangspunkt i noen av tallene og tell forlengs og baklengs med ulike intervall. Spør hvordan vi kan skrive øker og minker med matematiske symboler (+ og –).

Hvis du, som her, velger et tall med for eksempel 9 enere, kommer dere i den situasjonen at de ti enerterningene kan veksles inn i en tierstav. Telle forlengs/baklengs I forståelsen av addisjon og subtraksjon er det viktig å kunne telle forlengs og baklengs. Et viktig ledd i utviklingen av forståelsen for plassverdisystemer er å kunne telle forlengs og baklengs med 10 av gangen, 100 av gangen, 1000 av gangen osv. Å ha utviklet en slik tellestrategi vil gjøre det lettere for elevene å addere og subtrahere ﬂersifrede tall, gjøre raske overslag og kunne vurdere om svaret på et regnestykke er sannsynlig.

Forklaring Eksempel 423 56 7

2.4 2.5

^ŝĨƌĞŶĞ ĨĊƌ ǀĞƌĚŝ ĞƩĞƌ enere ŚǀŝůŬĞŶ ƉůĂƐƐ ĚĞ ƐƚĊƌ ƉĊ͘ ƟĞƌĞ hundrere ƚƵƐĞŶĞƌĞ ƟƚƵƐĞŶĞƌĞ ŚƵŶĚƌĞƚƵƐĞŶĞƌĞ

Tell videre med tallet. En ad gangen, 10 ad gangen, 100 ad gangen og 1000 ad gangen, forlengs og baklengs. Det å telle forlengs og baklengs er viktig å ha med seg videre til addisjon og subtraksjon.

,ǀŝůŬĞ ƐŝīĞƌ ƐƚĊƌ ƉĊ ƟƚƵƐĞŶĞƌͲ ŽŐ ŚƵŶĚƌĞƚƵƐĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ͍ a) 140 438 b) 190 212 c) 963 898 d) 14 508

Kan dere skrive et tall som har 200 høyere verdi enn 6 723? Hvordan kan vi skrive et tall som har 300 høyere verdi enn 6 723?

ƌƵŬ ĂůůĞ ƐŝĨƌĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ͘ 0 1 4 9 8 a) ^Ŭƌŝǀ ĨĞŵ ƵůŝŬĞ ƚĂůů ŵĞĚ ĂůůĞ ƐŝĨƌĞŶĞ͘ b) ^Ŭƌŝǀ ĚĞƚ ƐƚƆƌƐƚĞ ƚĂůůĞƚ ƐŽŵ Ğƌ ŵƵůŝŐ ŵĞĚ ĚŝƐƐĞ ƐŝĨƌĞŶĞ͘

Oppgave 2.1 og 2.2 Øveoppgaver i å ﬁnne sifferverdi.

c) ^Ŭƌŝǀ ĚĞƚ ŵŝŶƐƚĞ ƚĂůůĞƚ ƐŽŵ Ğƌ ŵƵůŝŐ ŵĞĚ ĚŝƐƐĞ ƐŝĨƌĞŶĞ͘ d) ZĞŐŶ Ƶƚ ĚŝīĞƌĂŶƐĞŶ ŵĞůůŽŵ ƚĂůůĞŶĞ ŵĞĚ ŚƆǇĞƐƚ ŽŐ ůĂǀĞƐƚ ǀĞƌĚŝ ĨƌĂ ŽƉƉŐĂǀĞ ď ŽŐ Đ͘

2.6

,ǀŽƌ ŵǇĞ ƆŬĞƌ ƚĂůůĞƚƐ ǀĞƌĚŝ ŶĊƌ ƐŝīĞƌĞƚ Ϯ ĨŽƌĂŶĚƌĞƐ Ɵů ϴ͍ a) 251 b) 75 429 c) 1520 d) 120 363

Sammen 6423

10 653

1063

2012

507 421 Tǀ Ċ ƌĞ͘ Tǀ ƉĊ Ċ ůĞƐĞ ƚĂůůĞŶĞ ŚƆǇƚ ĨŽƌ ŚǀĞƌĂŶĚƌĞ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ŚƵŶĚƌĞƌƉůĂƐƐĞŶ ƆŬĞƌ ŵĞĚ ϭ͘ ,ǀĂ ďůŝƌ ĚĞƚ ŶǇĞ ƚĂůůĞƚ͍ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ƚƵƐĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ ŵŝŶŬĞƌ ŵĞĚ ϭ͘ ,ǀĂ ďůŝƌ ĚĞƚ ŶǇĞ ƚĂůůĞƚ͍

31 942

Oppgave 2.3 Utvid oppgaven Elever som er raskt ferdig med denne oppgaven, kan lage sine egne tall som de skriver med sifre og bokstaver. Eksempel Eksemplet er en støtte for elevene i å huske navnene på sifferplassene i større tall.

Sammen – se over

Tall

Å skrive tall på utvidet form Et tall som skrives på utvidet form, deles opp slik at vi skiller fra hverandre enere, tiere, hundrere, tusener osv. På mellomtrinnet sier vi gjerne at vi skriver et flersifret tall på utvidet form når vi skriver det som et addisjonsstykke av for eksempel hele tusenere, hele hundrere, hele tiere og enere. Eksempel: 6 723 = 6 000 + 700 + 20 + 3. Når man skriver et flersifret tall som et addisjonsstykke der leddene er produktene av de enkelte sifrene og deres plassverdi, ser man tydelig hvordan et flersifret tall er bygd opp av sifre og plassverdier. Eksempel: 6 723 = 6 · 1 000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1 I enkelte tilfeller skrives også et tall på utvidet form ved bruk av tierpotenser for plassverdiene. Eksempel: 6 723 = 6 · 10³ + 7 · 10² + 2 · 10 + 3· 100

Aktivitet: Hvilket tall? Læreren skriver et ﬁresifret tall på en post-it-lapp. En elev får lappen på ryggen og stiller seg med ryggen mot klassen. Eleven skal prøve å gjette hvilket tall som står på lappen, og kan stille spørsmål. Klassen har bare lov til å svare JA eller NEI. Eleven kan for eksempel spørre: «Er sifferet på tusenerplassen større enn 5»? Klassen svarer «JA». Eleven: «Er det mindre enn 8»? Svar: «JA». Elevene vet da at sifferet er enten 6 eller 7, og kan gjette. Gjetter han riktig – for eksempel 6 – skriver han dette sifferet på tavla. Andre typer spørsmål kan være: «Er sifferet på hundrerplassen et partall»? Klassen svarer, NEI, altså er det et oddetall. Læreren kan notere hvor mange spørsmål som må til før eleven kan si hvilket tall det er. Så kan en annen elev prøve seg på samme måten.

Forklaring 2 ͻ Tall

Eksempel EĊƌ ǀŝ ƐŬƌŝǀĞƌ Ğƚ ƚĂůů ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͕ ǀŝƐĞƌ ǀŝ ŚǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ĞŶĞƌĞ͕ ƟĞƌĞ͕ ŚƵŶĚƌĞƌĞ ŽƐǀ͘ ƚĂůůĞƚ ďĞƐƚĊƌ Ăǀ͗

Eksempel Formålet med dette eksemplet er å forstå hva det vil si å skrive et tall på utvidet form. Samtal med elevene om dette slik at de blir fortrolig med begrepet.

4385 = 4000 + 300 + 80 + 5 4 3 8 5 6413 = 6000 + 400 + 10 + 3 12 907 = 10 000 + 2000 + 900 + 7

2.7

Oppgave 2.7 Øveoppgaver i å dele tall opp og skrive dem på utvidet form.

2.8

Oppgave 2.8 Øveoppgave i å ﬁnne hvilket tall som står skrevet på utvidet form.

2.9

Oppgave 2.9 Denne oppgaven egner seg også godt som samtaleoppgave hvor elevene kan få øvelse i å begrunne hvorfor for eksempel 175 har høyere verdi en 157. Oppgave 2.11 Vær oppmerksom dersom noen elever for eksempel skriver 9 i stedet for 900 i den tomme ruta i oppgave

Tall

^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞƚ ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͘ a) 435 b) 18 d) 10 450 e) 21 034

c) f)

4507 10 917

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 200 + 40 + 5 = d) 1000 + 4 = g) 400 + 40 =

c) f) i)

400 + 30 = 3000 + 30 + 4 = 8000 + 400 + 4 =

157

175

488

884

7040

7400

251

521

1042

1024

251 8010

8100

^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ŝ ƐƟŐĞŶĚĞ ƌĞŬŬĞĨƆůŐĞ͘ a) b)

251 324 28

b) 900 + 60 + 2 = e) 7000 + 80 = h) 7000 + 8 =

,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ŚĂƌ ŚƆǇĞƐƚ ǀĞƌĚŝ͍

2.10

4 0 0 0 3 0 0 8 0 5

298

315 270

1034 1043

1120 1090

,ǀĂ ŚĂƌ ƚĂůůĞŶĞ ŝ ŚǀĞƌ ďŽŬƐ Ɵů ĨĞůůĞƐ͍

Tǀ ŵĞƌ ϯ н ϱϬϬ н ϰϬ н ϴϬϬϬ с

4325

ϭϬ н ϱ н ϲϬϬ н ϮϬϬϬ с

3227

5428

ϰϬϬ н ϮϬϬϬ н ϴ н ϯϬ с ϱ н ϳϬ н ϯϬϬϬ с ϯ н ϯϬ н ϯϬϬ н ϯϬϬϬ с

ϮϱϬϵ ϲϮϯϭ

ϳϬϬϬ н ϰ н ϱϬϬ с

ϴϭϰϯ

ϱϬ н ϵ н ϲϬϬϬ н ϭϬϬ с ϵϬϬϬ н ϭ н ϳϬϬ с

4753 3574 7345

Forklaring 2.11

^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ hƩƌǇŬŬĞŶĞ ƐŬĂů ƐƚĊ ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͘ a) 3000 + 500 + 80 +1 =

b) 5000 +

+ 9 = 1639

+ 600 + 10 + 4 = 4614

= 7502

+ 40 +

1000 +

e) 7000 + 500 +

2.12

2.13

+ 20 + 7 = 5927

= 3043

,ǀŽƌ ŵǇĞ ƆŬĞƌ ƚĂůůĞƚƐ ǀĞƌĚŝ ŶĊƌ ƐŝīĞƌĞƚ Ϯ ĨŽƌĂŶĚƌĞƐ Ɵů ϴ͍ a) 236 b) 75 429 c) 2135 251 d) 1520 e) 20 362 f) 222 851 dĂůůĞƚƐ ǀ ĞƌĚŝ ƆŬĞ ƌ ŵĞĚ ϲϬ Ϭ͘ KůĚĞĨĂƌĞŶ Ɵů ^ƟĂŶ ďůĞ ĨƆĚƚ ŝ ϭϵϭϱ͘ 1900

2000

b) ^ƟĂŶ ďůĞ ĨƆĚƚ ŝ ϮϬϬϯ͘ / ŚǀŝůŬĞƚ Ċƌ Ğƌ ŚĂŶ ϭϬϬ Ċƌ͍ c) / ŚǀŝůŬĞƚ Ċƌ Ğƌ ^ƟĂŶ ϱϬ Ċƌ͍

Sammen Løsningen på denne oppgaven er 7 043. La elevene lage ﬂere slike oppgaver. La dem skrive oppgavene sine på lapper, samle inn lappene og sett av litt tid hver dag, eller hver uke, i en periode, hvor elevene kan løse disse oppgavene i hel klasse eller i grupper.

Sammen 5000

Oppgave 2.12 Denne oppgaven viser hvilke elever som har forstått plassverdisystemet, og hvem som ikke har forstått det. Eksemplet på gul lapp viser hva de skal gjøre. Oppgave 2.13 Elevene kan bruke tallinja som støtte når de skal løse denne oppgaven.

2100

a) / ŚǀŝůŬĞƚ Ċƌ Ğƌ ŚĂŶ ϭϬϬ Ċƌ͍

b). Sannsynlig vis strever disse elevene fortsatt med å forstå plassverdisystemet fullt ut.

10 000

'ũĞƩ ƚĂůůĞƚ ŵŝƩ͊ ͻ dĂůůĞƚ ũĞŐ ƚĞŶŬĞƌ ƉĊ͕ Ğƌ Ğƚ ĮƌĞƐŝĨƌĞƚ ƚĂůů ƐŽŵ Ğƌ ŶčƌŵĞƌĞ ϭϬ ϬϬϬ ĞŶŶ Ϭ ƉĊ ƚĂůůŝŶũĂ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ƚƵƐĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ŚĂůǀƉĂƌƚĞŶ Ăǀ ϭϰ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ŚƵŶĚƌĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ Ϭ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ůŝŬ ĂŶƚĂůůĞƚ ŚũƆƌŶĞƌ ŝ ĞŶ ƚƌĞŬĂŶƚ͘ ͻ Ğƚ ĚŽďďĞůƚĞ Ăǀ ƚĂůůĞƚ Ğƌ ϭϰ Ϭϴϲ͘ >ĂŐ ƟůƐǀĂƌĞŶĚĞ ŽƉƉŐĂǀĞƌ Ɵů ŚǀĞƌĂŶĚƌĞ͘

Tall

Hemmelig tall La elevene sitte i grupper på 2–4 elever. Elevene skal ﬁnne ut hvilket ﬁresifret tall de skal fram til. For å sikre at alle elevene i gruppa blir aktive deltakere i løsningsprosessen, kan aktiviteten gjennomføres på følgende måte:

r Tallet har dobbelt så mange enere som tusenere. (Tallet er 4 258.)

ar Tallet h . ere 4 tusen

De ﬁre opplysningene i oppgaven skrives på ﬁre lapper, med én opplysning på hver lapp. Gruppa fordeler lappene seg imellom, og hver elev leser sin opplysning høyt for de andre. Gruppa skal være enig om at de har kommet fram til rett tall.

Tallet har halvparten så mange hundrere som tusenere.

Tallet har en tier mer enn det har tusen ere.

Dette kan arrangeres som en stafett. Når gruppa er enig om at de har riktig svar, kommer de fram og får en ny oppgave hvis de har riktig svar. Eksempler på oppgaver:

Tallet har dobbelt så mange enere som tusenere.

Oppgave A r Tallet har 4 tusenere. r Tallet har halvparten så mange hundrere som tusenere. r Tallet har en tier mer enn det har tusenere.

Forklaring 2 ͻ Tall

2.14

Oppgave 2.14 Tallinja er merket med enere, elevene kan telle seg fram og bør gi nøyaktig svar.

950

2.15

Oppgave 2.15 Tallinja er merket med femmere. a) Eleven bør svare 163 eller 164. b) Eleven bør svare 177 eller 178. c) Eleven bør svare 195.

2.16

2.17

2.18

Oppgave 2.19 Eksemplet viser hvordan elevene kan tegne tallinjene sine.

970

980

990

,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ƐŬĂů ƐƚĊ ŽŵƚƌĞŶƚ ĚĞƌ ƉŝůĂ ƉĞŬĞƌ͍ b) a) 160

170

1000

180

,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ƐŬĂů ƐƚĊ ŽŵƚƌĞŶƚ ĚĞƌ ƉŝůĂ ƉĞŬĞƌ͍ a) 200

Oppgave 2.17 og 2.18 Presiser for elevene at de skal telle med 1.

Tall

960

150

Oppgave 2.16 Tallinja er merket med hele hundrere, og elevene må i større grad vurdere svarene sine. Denne oppgaven er utfordrende og er merket med smilefjes.

ϯϬ

,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ƐŬĂů ƐƚĊ ĚĞƌ ƉŝůĂ ƉĞŬĞƌ͍ a)

190

400

200

c) 600

,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ŬŽŵŵĞƌ ƌĞƩ ĞƩĞƌ͍ a)

849849 ͍ ͍

409

399

5099

7009

9990

,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ŬŽŵŵĞƌ ƌĞƩ ĨƆƌ͍ a)

540

410

400

5200

8000

4010

Oppgave B r Tallet har 3 tiere. r Tallet har dobbelt så mange hundrere som tiere. r Tallet har like mange tusenere som tiere og hundrere til sammen. r Tallet har ingen enere. (Tallet er 9 630.) Oppgave C r Sifferet på tierplassen er det samme som antall dager i en uke. r Sifferet på tusenerplassen er det dobbelte av 3.

KƉƉŐĂǀĞ

dƵƐĞŶĞƌĞ

Hundrere

r Sifferet på enerplassen er tre mindre enn sifferet på tierplassen. r Sifferet på hundrerplassen er halvparten av sifferet på tusenplassen. (Tallet er 6 374.) Denne aktiviteten gir god trening i plassverdisystemet. Lag ﬂere oppgaver på samme måte. La elevene lage oppgaver til hverandre. Noen elever kan ha nytte av å bruke en tabell til å løse oppgavene. Hvis elevene ikke er vant med oppgavetypen, kan den også være en hjelp i starten.

dŝĞƌĞ

ŶĞƌĞ

dĂůůĞƚ Ğƌ

A B C

Forklaring Eksempel ͨ,ŽƉƉͩ ŵĞĚ ϭϬ Žŵ ŐĂŶŐĞŶ͘ + 10 + 10 460

2.19

2.20

470

+ 10

480

Oppgave 2.20 Øveoppgaver i å telle forlengs og baklengs med 10 og 100.

+ 10 490

500

ͨ,ŽƉƉͩ ŵĞĚ ϭϬ Žŵ ŐĂŶŐĞŶ͘ dĞŐŶ ƚŽŵ ƚĂůůŝŶũĞ͘ a)

270

280

960

970

1008

1018

Sammen Elevene skal ta utgangspunkt i tallet som står i midten og sammen med tallene rundt skal de lage addisjons- og subtraksjonsoppgaver. Eksempel på oppgaver: 36 500 + 30 000 =, 36 500 – 500 =, osv.

&ŝŶŶ ƌŝŬƟŐ ƚĂůů͘ a) ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů Ğƌ ϭϬ ŵĞƌ ĞŶŶ ϰϲϯ͍ b) ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů Ğƌ ϭϬ ŵŝŶĚƌĞ ĞŶŶ ϲϳϯ͍ c ) ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů Ğƌ ϭϬϬ ŵĞƌ ĞŶŶ ϲϬϯ͍

De elvene som ønsker det og behersker det, kan bruke ﬂere ledd i oppgavene, for eksempel: 36 500 – 30 000 – 500 =

605 + 100 = 705

d) ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů Ğƌ ϭϬϬ ŵŝŶĚƌĞ ĞŶŶ ϵϱϲ͍ e) ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů Ğƌ ϭϬϬ ŵĞƌ ĞŶŶ ϵϵϮ͍

Elevene kan lage og løse oppgaver sammen i gruppa, eller de kan lage oppgaver til hverandre som de løser.

f ) ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů Ğƌ ϭϬϬ ŵŝŶĚƌĞ ĞŶŶ ϭϬϲϭ͍

Sammen ƌƵŬ ƚĂůůĞŶĞ ŽŐ ůĂŐ 30 000 ĂĚĚŝƐũŽŶƐͲ ĞůůĞƌ ƐƵďƚƌĂŬƐũŽŶƐƐƚǇŬŬĞƌ͘ 300 ^ǀĂƌĞŶĞ ƉĊ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ƐŬĂů ǀčƌĞ ƚĂůůĞƚ ƐŽŵ ƐƚĊƌ ŝ ŵŝĚƚĞŶ͘

10 800 36 500 2000 500

Tall

ϯϭ

Om negative tall At et tall kan ha mindre verdi enn null, kan være vanskelig å forstå for en del elever. Null er jo det samme som ingen ting, hva kan være mindre enn ingen ting? Når man skal angi verdier som er mindre enn null, er det vanlig å vise til det å ha gjeld, eller overtrekke bankkonto. De færreste femtetrinnselever har noe forhold til dette. Å vise til å låne penger blir også abstrakt og virker forvirrende for en del elever. Har man lånt penger, har man jo penger, og når disse betales tilbake, er man tilbake på null.

Fortsett med 5 – 2, 5 – 3, 5 – 4, 5 – 5, 5 – 6 ... Elevene vil oppleve at når de subtraherer et tall med større verdi enn utgangspunktet (subtrahenden er større enn minuenden), får de bruk for å oppgi svaret som en negativ verdi.

Den mest nærliggende praktiske sammenhengen hvor man bruker negative verdier, handler om temperatur. På Celsius’ temperaturskala, som vi bruker, deﬁnerer vi temperaturen ved vannets frysepunkt som 0 grader. Er det varmere, angir vi temperaturen med tall som har positiv verdi, og er det kaldere, angir vi temperaturen med tall som har negativ verdi. Dette kan vi direkte overføre til tallinja og er lett å forholde seg til for elevene.

Den som først stanser med sin brikke på 0, har tapt.

Hittil på femte trinn har elevene bare jobbet med den positive delen av tallinja. Tegn opp en tom tallinje på tavla. Start for eksempel på 5. Hva skjer hvis vi subtraherer 1?

Terningspill på tallinje fra –12 til 12 Spillbrettet er ei tallinje som går fra –12 til 12. Elevene spiller sammen to og to, de beveger seg på tallinja etter regler og terningkast.

Hvert elevpar trenger: r Ei tallinje fra –12 til 12. (Kopieringsoriginal 1). r En vanlig terning og en +/–-terning. (Ev. to kort, ett med + og ett med –). r Hver sin spillbrikke. (For eksempel en centicube i hver sin farge). Regler: r Spillerne starter i hver sin ende av tallinja, den ene på –12, den andre på 12. r Første spiller kaster begge terningene, ev. kaster terning og trekker et kort.

Forklaring 2 ͻ Tall

Samtale Se på denne tallinja sammen. På den ene siden av 0 har den tall med positive verdier, men vi skriver vanligvis ikke pluss foran disse tallene. På den andre siden av null har den tall med negativ verdi. Vi skriver alltid – foran disse for å markere at disse tallene har negativ verdi. De har lavere verdi enn 0. Er det noen som vet om noe som er mindre enn 0? Snakk med elevene om tall med negativ verdi. I hvilke sammenhenger bruker vi negative tall? (Temperatur, meter under havet) Kanskje dere kan finne ut hva som er den laveste temperaturen som er målt i Norge? (Per dd: –51,4 °C, målt i Karasjokk 1. januar 1886). Kanskje dere kan finne ut hva som er den laveste temperaturen som er målt i verden? (Per dd: –93,2°C, målt av en satellitt midt i innlandet av Antarktis i 2013) Kanskje dere kan finne ut hva som er det laveste punktet på jordkloden? (11033 m under havoverflaten, Marianergropa ved Guam i Stillehavet) Snakk om at noe kan være minus i meter.

Tall

EĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů

Samtale dĂůů ƐŽŵ ŚĂƌ ůĂǀĞƌĞ ǀĞƌĚŝ ĞŶŶ Ϭ͕ ŬĂůůĞƐ ŶĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů͘ sŝ ƐŬƌŝǀĞƌ ŵŝŶƵƐƚĞŐŶ ĨŽƌĂŶ ŶĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů͘ EĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů

ͳ5

2.21

2.22

ͳ4

ͳ3

WŽƐŝƟǀĞ ƚĂůů

ͳ2

dĞŐŶ ƚĂůůŝŶũĞƌ ƐŽŵ ƉĂƐƐĞƌ Ɵů ƚĂůůĞŶĞ͘ a)

ͳ3

ͳ6

ͳ20

ͳ30

ͳ15

^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ŝ ƐƟŐĞŶĚĞ ƌĞŬŬĞĨƆůŐĞ͘ a) b)

7 13

ͳ8

213 ͳ127

ͳ4

ͳ1

ͳ1 ͳ98

ͳ156

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

-2 -1

r Spillerne beveger seg i positiv eller negativ retning på tallinja og ﬂytter antall plasser som de slår. r Hvis spilleren slår eller trekker minus og står på –12, eller pluss og står på 12, kommer han/hun ingen vei. Ingen kommer lenger bakover enn til 12/–12, men blir stående der til neste kast. r Den som først stanser akkurat på 0, har tapt.

10 11 12

Sammen Dette er et spill som det tar kort tid å gjennomføre. Spillet er strategisk, og vi anbefaler at elevene får prøve seg flere ganger, slik at de får mulighet til å finne en effektiv strategi for å vinne. Spill for eksempel fem ganger, hvem fikk beste resultat?

Dette spillet gir elevene mange erfaringer med hva som skjer ved addisjon og subtraksjon på positiv og negativ side av tallinja.

Forklaring 2.23

<Ăƌŝ ŵĊůĞƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ͘ 30

ͳ10

ͳ20

ͳ10 ͳ20

ŵĂŶĚĂŐ

ƟƌƐĚĂŐ

ŽŶƐĚĂŐ

ƚŽƌƐĚĂŐ

Oppgave 2.21 Øveoppgave i å tegne tallinje og plassere negative og positive tall på denne. Oppgave 2.22 Denne oppgaven viser om eleven har forståelsen av at negative tall har mindre verdi når de har større tallverdi.

fredag

a) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŐƌĂĚĞƌ ǀŝƐĞƌ ƚĞƌŵŽŵĞƚƌĞŶĞ͍ b) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŐƌĂĚĞƌ Ğƌ ĚĞƚ ĚĞŶ ŬĂůĚĞƐƚĞ ĚĂŐĞŶ͍ c ) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŐƌĂĚĞƌ Ğƌ ĚĞƚ ĚĞŶ ǀĂƌŵĞƐƚĞ ĚĂŐĞŶ͍ d) ^ĂŵŵĞŶůŝŬŶ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ƉĊ ƟƌƐĚĂŐ ŽŐ ĨƌĞĚĂŐ͘ ,ǀŽƌ ƐƚŽƌ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůůĞŶ͍

2.24

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ƌƵŬ ƚĂůůŝŶũĞŶ ŚǀŝƐ ĚƵ ǀŝů͘ ͳ10

ͳ5

a) 10 ͳ 3 = 18 ͳ 2 = 13 ͳ 4 =

0 b) ͳ5 + 2 = ͳ4 ͳ 8 = ͳ8 + 4 =

5 c)

13 ͳ 3 = ͳ6 + 6 = 10 ͳ 9 =

10 d) ͳ3 ͳ 4 = ͳ4 + 3 = ͳ12 ͳ 4 =

Sammen ^Ɖŝůů ƐĂŵŵĞŶ ƚŽ ŽŐ ƚŽ͘ ͻ <ĂƐƚ ĞŶ ƚĞƌŶŝŶŐ ĨĞŵ ŐĂŶŐĞƌ͕ ŽŐ ƐŬƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ĚĞƌĞ ĨĊƌ ƉĊ ĞŶ ƌĞŬŬĞ͘ ͻ sĞůŐ Žŵ ĚĞƌĞ ǀŝů ƐŬƌŝǀĞ н ĞůůĞƌ ͳ ŵĞůůŽŵ ƚĂůůĞŶĞ͕ ĨŽƌ ĞŬƐĞŵƉĞů ϰ н ϯ ͳ 1 ͳ 2 ͳ Ϯ͕ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ ͻ ĞŶ ƐŽŵ ŬŽŵŵĞƌ ŶčƌŵĞƐƚ Ϭ͕ ǀŝŶŶĞƌ͘

Oppgave 2.23 a), b) og c) Øveoppgaver i å lese av et termometer og skrive temperaturen med riktig fortegn. d) Elevene skal ﬁnne ut av temperaturforskjellen mellom en positiv og en negativ temperatur. Forskjellen skal oppgis i antall grader uten fortegn. Oppgave 2.24 Før dere regner denne oppgaven, er det en fordel å ha spilt spillet som vi forslår øverst på sida. Minn elevene på at de må ha riktig fortegn i svaret.

Tall

Sammen – se over

Telle forlengs og baklengs Vi har tidligere skrevet om det å kunne telle forlengs og baklengs med 10, 100 og 1000 med tanke på forståelsen av plassverdisystemet. Dette er det viktig å øve på gjentatte ganger. I forbindelse med den innledende samtalen på dette oppslaget anbefaler vi at dere også teller sammen med 20, 200 og 2000. Øv også på å telle forlengs og baklengs med 30, 300 og 3000. Å ha utviklet slike tellestrategier vil gjøre det lettere for elevene å addere og subtrahere ﬂersifrede tall, gjøre raske overslag og kunne vurdere om svaret på et regnestykke er sannsynlig.

Sammen Denne sammen-oppgaven er en øvelse i å bruke hundrervenner som hoderegningsstrategi.

hŶĚĞƌƐƆŬ ƚĂůůĞŶĞ 678

ϭϮϯϰ ϯϮϭϬ

ϱϭ

ϱϵϬ

ϳϮϬϯ

,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ŚĂƌ ŇĞƐƚ ĞŶĞƌĞ͍ ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ŚĂƌ ŇĞƐƚ ƟĞƌĞ͍ ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ŚĂƌ ŇĞƐƚ ŚƵŶĚƌĞƌĞ͍ ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ŚĂƌ ŇĞƐƚ ƚƵƐĞŶĞƌĞ͍

Forklaring 2 ͻ Tall

Addisjon og subtraksjon med 10, 100 og 1000

Samtale Illustrasjonen viser addisjon og subtraksjon med 2, 20 og 200. La elevene selv sette ord på hvilke sammenhenger de ser. La ﬂere elever få forsøke.

Samtale ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ^Ğƌ ĚĞƌĞ ƐĂŵŵĞŶŚĞŶŐĞŶ͍ 3+2=

30 + 20 =

300 + 200 =

6 ͳ 2 =

60 ͳ 20 =

600 ͳ 200 =

Lag ﬂere eksempler på tavla sammen med elevene. Oppgave 2.25 Oppgaver hvor elevene bruker strategien fra samtalen over.

2.25

Oppgave 2.26 Dette er en meget praktisk oppgave. De ﬂinkeste elevene vil klare den ut fra illustrasjonen.

2.26

WĞƌ͕ WĊů ŽŐ ƐƉĞŶ Ğƌ ƉĊ ƟǀŽůŝ͘ Ğ ŬĂƐƚĞƌ ďĂůů ƉĊ ďŽŬƐĞƌ͘

b) WĊů ĨĊƌ ϮϮϮϭ ƉŽĞŶŐ͘ dĞŐŶ WĊůƐ ƉǇƌĂŵŝĚĞ ĞƩĞƌ Ăƚ ŚĂŶ ŚĂƌ ŬĂƐƚĞƚ͘ c) EĞĚĞŶĨŽƌ ƐĞƌ ĚƵ WĞƌƐ ƉǇƌĂŵŝĚĞ ĞƩĞƌ Ăƚ ŚĂŶ ŚĂƌ ŬĂƐƚĞƚ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽĞŶŐ ĨĊƌ ŚĂŶ͍

Tall

a ) ƐƉĞŶ ƌŝǀĞƌ ŶĞĚ ĞŶ ŚĞů ƉǇƌĂŵŝĚĞ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽĞŶŐ ĨĊƌ ŚĂŶ͍

Differensiering De elevene som strever med å få til denne oppgaven, vil ha god nytte av enten å tegne opp pyramiden og krysse ut bokser, eller ha lapper med tallene på som de kan legge opp og ta bort.

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ^Ğƌ ĚƵ ƐĂŵŵĞŶŚĞŶŐĞŶ͍ a) 8 + 2 = b) 10 ͳ 7 = 100 ͳ 70 = 80 + 20 = 1000 ͳ 700 = 800 + 200 =

12 ͳ 6 = 120 ͳ 60 = 1200 ͳ 600 =

^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ϭϬ ƐƚƆƌƌĞ

ϭϬϬ ƐƚƆƌƌĞ

ϭϬϬϬ ƐƚƆƌƌĞ

462 379 ϱϵϭ 75 2534 ϲϵϱϬ ϯϱϵϬ ϭϵϵϬ ϵϬϬϬ

Forklaring 2.27

2.28

2.29

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 278 + 20 = d) 4358 + 500 =

b) 462 + 300 = e) 3478 + 4000 =

c ) 621 + 70 = f ) 4004 + 800 =

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 300 + 20 + 2 = c ) 7000 + 500 + 90 + 3 = e) 4000 + 50 =

b) 900 + 80 + 2 = d) 2000 + 400 + 30 +1 = f ) 9000 + 90 + 9 =

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 600 + 120 + 7 = c ) 690 + 30 + 50 = e) 490 + 30 + 18 =

b) 950 + 60 + 19 = d) 2900 + 400 + 35 = f ) 8000 + 700 + 180 + 13 =

Oppgave 2.27 Addisjon med hele tiere, hundrere og tusenere. Oppgave 2.28 Tall skrevet på utvidet form

6800 kr

2.30

WĞƌ ƐƉĂƌĞƌ Ɵů ŶǇ ƉĐ ƐŽŵ ŬŽƐƚĞƌ ϲϴϬϬ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ĂŶ ŚĂƌ ƐƉĂƌƚ ϱ ƚƵƐĞŶůĂƉƉĞƌ͕ ϵ ŚƵŶĚƌĞůĂƉƉĞƌ͕ ϭϮ ĨĞŵƟůĂƉƉĞƌ͕ ϭϱ ƟĞƌĞ ŽŐ ϱ ŬƌŽŶĞƐƚǇŬŬĞƌ͘

Oppgave 2.30 a) De ﬂinkeste elevene vil klare denne oppgaven ut fra opplysningene i teksten.

a) ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŚĂƌ WĞƌ ƐƉĂƌƚ͍ b) ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŵĂŶŐůĞƌ ŚĂŶ ĨƆƌ ŚĂŶ ŬĂŶ ŬũƆƉĞ ŶǇ ƉĐ͍ 70 + 30 Sammen ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ^ƚĂƌƚ ŵĞĚ Ċ ůĞŐŐĞ ƐĂŵŵĞŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ďůŝƌ ϭϬϬ͘ 40 60 + 20 + 30 + 80 40 + 50 + 60 10 + 50 + 90 85 + 90 + 15

10 + 30 + 90 + 70 30 + 140 + 70 + 60 75 + 30 + 25 + 60 65 + 35 + 36 + 14 50 + 50

Oppgave 2.29 Denne oppgaven er litt mer krevende. Noen elever vil ha god nytte av å bruke tom tallinje.

80 + 20 90 +

Differensiering Noen elever vil ha hjelp av å tegne pengene som Per har spart. Andre elever bør få bruke lekepenger i denne oppgaven. b) For å løse denne oppgaven vil det være god hjelp å bruke tom tallinje, eventuelt tegne pengene som mangler, eller legge til lekepenger til man har nok. Sammen – se over

Tall

Ulike metoder for addisjon av flersifrede tall Vi har tidligere skrevet litt om ulike metoder for addisjon i forbindelse med hoderegningsstrategier (kapittel 1 side 6 og 7). Når elevene nå skal addere flersifrede tall, kan det være nødvendig å ta i bruk andre strategier, det blir mye å holde styr på. Algoritmer som bygger på hoderegning og sifrenes verdi, som for eksempel N10 og 1010, bygger på forståelsen av plassvedisystemet, men kan bli tungvinte å bruke når tallene får mange sifre. De regnemetodene som vi kjenner som standardalgoritmer, bygger på samme prinsipper, men kan være litt vanskeligere å forstå. Disse er først og fremst utviklet for å kunne regne raskt og effektivt med flersifrede tall. Dette var nødvendig før i tiden da det meste av regneoperasjonene foregikk med papir og blyant. Vi mener det er viktig og riktig at elevene blir kjent med flere forskjellige algoritmer slik at de kan velge det som er mest hensiktsmessig. Det er også forskjellig hva som passer best for den enkelte elev.

Selv om vi her vektlegger standardalgoritmen, så betyr ikke det at vi går over til den og legger alt det andre bak oss. Tvert imot bør vi fortsatt oppfordre elevene til å se på tallene og velge den metoden de syns passer best. Barns forståelse av ﬂersifrede tall bygger mer på forståelse av mengde enn av kolonneverdi. Dette syns spesielt godt i muntlig matematikk, og det har blitt avslørt i diverse tester (Thompson). For mange elever vil det derfor være lettere å forstå hva som foregår i for eksempel 1010-metoden, hvor tallene deles i hundrermengder, tiermengder osv og adderes fra venstre mot høyre, enn i en standardalgoritme hvor tallene stilles opp under hverandre og kolonnene adderes fra venstre mot høyre. Det kan være lurt at du som lærer skiller mellom situasjoner når elevene skal øve på en bestemt algoritme for å lære denne, og når elevene kan få velge den metoden som de syns fungerer best for seg. Tom tallinje Elevene velger de sprangene på tallinja som er naturlig for dem ut fra de hoderegningsstrategiene som de behersker. For eksempel fylle opp tier, dobling, telle med hundre osv.

Forklaring 2 ͻ Tall

Eksempel Dette eksemplet er en samtale. Utfordre elevene til å komme med hvilken løsningsmetode de vil bruke på denne oppgaven. I tillegg til de to som er satt opp i eksemplet, kan det være elever som har helt andre tanker om hvordan de vil angripe oppgaven. Vær lydhør for disse forslagene, følg elevens tanker og skriv på tavla.

ŵǇĞ ŽŐ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŬŽƐƚĞƌ ĨŽƚďĂůůĞŶ ŽŐ ďŽŬĂ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͍ 1)

3 5 8 + 1 3 4 = 4 0 0 + 8 0 + 1 2 = 4 9 2

3 5 8 + 1 3 4 = 4 9 2

,ǀŝůŬĞŶ ƌĞŐŶĞŵĊƚĞ ůŝŬĞƌ ĚƵ ďĞƐƚ͍

^ǀĂƌ͗ &ŽƚďĂůůĞŶ ŽŐ ďŽŬĂ ŬŽƐƚĞƌ ϰϵϮ Ŭƌ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͘

2.31

2.32

Oppgave 2.32 Elevene skal stille opp og bruke standardalgoritmen. Kanskje noen vil oppdage at de kunne løst noen av oppgavene enklere og raskere uten å bruke denne algoritmen.

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ sĞůŐ ƌĞŐŶĞŵĊƚĞ͘ a) 34 + 128 = b) 59 + 241 = d) 132 + 471 = e) 602 + 154 = g) 804 + 133 = h) 523 + 337 =

^Ɵůů ŽƉƉ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ a)

1 3 4 + 6 1 9

7 0 5 + 2 9 3

2 5 5 + 6 7 8

1 8 + 2 1 3

3 1 4 9 5

Tall

134

358 kr

Oppgave 2.31 Elevene skal velge om de vil bruke 1010-metoden eller standardalgoritmen. De behøver ikke bruke samme metode på alle oppgavene. Viktig at de lærer seg å se på tallene og velge det som er mest hensiktsmessig.

KƉƉƐƟůůŝŶŐ ʹ ĂĚĚŝƐũŽŶ

Eksempel

7 8 2 5 9

c) f) i)

316 + 80 = 399 + 235 = 718 + 263 =

4 + 9 = 13

358 + 134 =

Eksempel:

+ 100

+ 30

358

458

358 + 134 = 492

488 490 492

N10 Først adderer elevene første ledd med hundrerne fra andre ledd, deretter med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 358 + 134; 358 + 100 = 458; 458 + 30 = 488; 488 + 4 = 492 1010 Addere hundrere, tiere og enere hver for seg. Eksempel: 358 + 134; 300 + 100 = 400; 50 + 30 = 80; 8 + 4 = 12; 400 + 80 + 12 = 492. Standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, enere, tiere og hundrere adderes hver for seg med minnetall.

Når vi, som i dette kapitlet, skal regne med opp til firesifrede tall, er det de to siste metodene som er naturlig å vektlegge. Men fortsatt kan den tomme tallinja være god å bruke for en del elever. Sammen Den første er uten minnetall, de andre to er mer utfordrende. Differensiering Lag flere oppgaver uten minnetall til de svakeste elevene. De flinke elevene kan lage flere oppgaver til hverandre. Snakk med elevene om hvilke strategier de brukte når de løste oppgavene.

Forklaring Ğƚ Ğƌ ůĞƐĞŬŽŶŬƵƌƌĂŶƐĞ ƉĊ ƐŬŽůĞŶ͘ /ĚĂ͕ WĞƌ ŽŐ dŽŶĞ ŬũƆƉĞƌ ŶǇĞ ďƆŬĞƌ͘ 9k r

348

175

18 r

2.33

a) dŽŶĞ ŬũƆƉĞƌ ďƆŬĞŶĞ Hester og Sjekk͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ďĞƚĂůĞƌ ŚƵŶ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͍ b) WĞƌ ŬũƆƉĞƌ ƚƌĞ ďƆŬĞƌ͕ ŵĞŶ ŚĂƌ ďĂƌĞ ϱϬϬ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ǀŝůŬĞ ďƆŬĞƌ ŬĂŶ ŚĂŶ ŬũƆƉĞ͍ c)

Differensiering b) og c) I stedet for å løse disse oppgavene kan svake elever få bruke lekepenger og ﬁnne ut hvilke ulike sedler og mynter de kan bruke når de betaler.

/ĚĂ ŚĂƌ ϭϬϬϬ ŬƌŽŶĞƌ͘ <ĂŶ ŚƵŶ ŬũƆƉĞ ĂůůĞ ďƆŬĞŶĞ͍

d) Ŷ ĚĂŐ Ğƌ ĚĞƚ ƐĂůŐ͘ ƆŬĞŶĞ ƐĞůŐĞƐ ĨŽƌ ŚĂůǀĞ ƉƌŝƐĞŶ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŬŽƐƚĞƌ ĚĞƚ Ċ ŬũƆƉĞ ĂůůĞ ďƆŬĞŶĞ ŶĊ͍

Utvid oppgaven Elevene kan lage ﬂere oppgaver i konteksten og løse hverandres oppgaver.

Sammen >ŝůůĞƐƆƐƚĞƌĞŶ Ɵů :ĂƐŵŝŶ ŚĂƌ ƐƆůƚ ŬĂŬĂŽ ŝ ŬůĂĚĚĞďŽŬĂ͘ <ĂŶ ĚĞƌĞ ŚũĞůƉĞ ŚĞŶŶĞ ŵĞĚ Ċ ĮŶŶĞ ƐŝĨƌĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͍ 1 2 3 + 2 8 5 = 3 6 9 8

4 0 9 + 3 2 7 = 8 1 6 6

Oppgave 2.33 Addisjon og subtraksjon i kontekst, elevene velger regnemåte selv. d) En utfordrende oppgave. Elevene vil møte på desimal hvis de halverer prisen på én og én bok. Hvis de først adderer alle prisene, vil summen bli et tall som er lett å dele på to ved å tenke halveringer.

2 4 + 9 8 = 3 4 2

Sammen – se over

>ĂŐ ŇĞƌĞ ůŝŬŶĞŶĚĞ ŽƉƉŐĂǀĞƌ Ɵů ŚǀĞƌĂŶĚƌĞ͘

Tall

Spill, tenk til tusen Dette er et spill som hjelper elever til å oppdage forskjellen på enere, tiere og hundrere i plassverdisystemet. Elevene trenes i å addere tresifrede tall og utvikle strategisk tenking. Hver elev trenger et rutenett 3 x 3 ruter og en blyant. r Lærer kaster terning og sier hva den viser. r Elevene fører sifferet inn i sitt rutenett i den ruten de selv velger. r Dette gjentas i alt ni ganger. r Det er ikke lov til å bruke viskelær, når et siffer er plassert, kan det ikke bytte plass. r Når alle ni sifrene er plassert, summerer elevene de tre tresifrede tallene som framkommer i rutenettet. r Den av elevene som har sum nærmest 1000, har vunnet. (Det er likeverdig om svaret er mindre eller større enn 1000).

Et ferdig utfylt spillebrett kan se slik ut.

+ =

Læreren hører opp resultater i klassen og skriver resultatene på tavla. Elevene sorterer resultatene etter hvilke tall som er nærmest 1000. Elevene får se sitt resultat i forhold til de andres. De kan for eksempel støte på problemet med at et tall under tusen kan blande seg inn i rekkefølgen blant tallene over tusen. F. eks 1056, 1048, mellom de resultatene kommer 949. Når elevene har spilt spillet noen ganger, kan læreren gi i oppgave at hver spiller får bytte om to tall som gjør at resultatet blir nærmere 1000. I eksemplet kan for eksempel 4 og 3 i siste rad bytte plass. Da vil summen bli 995.

Forklaring 2 ͻ Tall

Oppagave 2.34 I disse oppgavene er tre tall stilt opp under hverandre. Minn elevene på hoderegningsstrategiene som de kan bruke når de addere sifrene i hver kolonne.

Tall

^Ɵůů ŽƉƉ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ 3 1 2 5 8 + 1 1 6

2.35

Oppgave 2.35 Som lærer kan du velge om elevene skal styres til å trene videre på å stille opp under hverandre og regne ut, eller om de får velge utregningsmetode. Hvis elevene stiller opp undre hverandre, vær spesielt oppmerksom på om elevene får tallene på riktig plass i oppstillingen. De elvene som velger andre metoder, bør oppfordres til å skrive hvordan de tenker. Oppgave 2.36 Denne tekstoppgaven har en litt annen problemformulering enn talloppgavene. Elevene må stoppe opp og tenke. Legg merke til hvilke regnestrategier elevene bruker når de løser oppgaven. Stiller de opp under hverandre og adderer, bruker de gjentatt dobling, bruker de tom tallinje? Snakk med elevene om hvordan de løste oppgaven.

2.34

2.36

b) +

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 10 + 318 + 43 = c) 205 + 34 + 109 = e) 775 + 23 + 318 =

7 0 9 8 9 5 3

2 1 8 1 1 9 + 2 1 6

b) 603 + 239 + 416 = d) 612 + 45 + 309 = f) 74 + 109 + 16 =

<Ăƌŝ ƐƉĂƌĞƌ Ɵů ŵŽďŝůƚĞůĞĨŽŶ ŽŐ ŬŽŶƚĂŶƚŬŽƌƚ͘ &Žƌ Ċ ƚũĞŶĞ ƉĞŶŐĞƌ ƐŝƩĞƌ ŚƵŶ ďĂƌŶĞǀĂŬƚ͘ ,ǀĞƌ ƵŬĞ ƐƉĂƌĞƌ ŚƵŶ ϭϱϬ ŬƌŽŶĞƌ Ăǀ ĚĞ ϮϬϬ ŬƌŽŶĞŶĞ ŚƵŶ ƚũĞŶĞƌ͘

895

a) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ďƌƵŬĞƌ <Ăƌŝ ŝ ůƆƉĞƚ Ăǀ ϲ ƵŬĞƌ͍

175 kr

b) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ƐƉĂƌĞƌ ŚƵŶ ŝ ůƆƉĞƚ Ăǀ ϱ ƵŬĞƌ͍ c) ,ǀŽƌ ůĞŶŐĞ ŵĊ ŚƵŶ ƐƉĂƌĞ ĨƆƌ ŚƵŶ ŬĂŶ ŬũƆƉĞ ŵŽďŝůƚĞůĞĨŽŶ ŽŐ ŬŽŶƚĂŶƚŬŽƌƚ͍

2.37

dĞŐŶ ƉǇƌĂŵŝĚĞŶĞ ŝ ŬůĂĚĚĞďŽŬĂ͘ >ĞŐŐ ƐĂŵŵĞŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ƐƚĊƌ ŝ ƌƵƚĞŶĞ ǀĞĚ ƐŝĚĞŶ Ăǀ ŚǀĞƌĂŶĚƌĞ͘ ^Ŭƌŝǀ ƐƵŵŵĞŶ ŝ ƌƵƚĂ ŽǀĞƌ͘ a)

24 35 6

Oppgave 2.40 Elevene velger selv hvor store tall de bruker, og hvor mange ledd de bruker i addisjonene. Denne oppgaven har naturlig differensiering. Sammen Bruk kopieringsoriginal 2 til denne oppgaven. Differensiering La de svakeste elevene få bruke kalkulator på denne oppgaven.

,ĞŵŵĞůŝŐ ƚĂůů Oppgave A ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ƚƵƐĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ŚĂůǀƉĂƌƚĞŶ Ăǀ ĮƌĞ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ƟĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ĚŽďďĞůƚ ƐĊ ƐƚŽƌƚ ƐŽŵ ƐŝīĞƌĞƚ ƉĊ ƚƵƐĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ŚƵŶĚƌĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ŚĂůǀƉĂƌƚĞŶ Ăǀ ƐŝīĞƌĞƚ ƉĊ ƚƵƐĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ůŝŬ ƐƵŵŵĞŶ Ăǀ ƐŝīĞƌĞƚ ƉĊ ƚƵƐĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ ŽŐ ƐŝīĞƌĞƚ ƉĊ ŚƵŶĚƌĞƌƉůĂƐƐĞŶ͘ Oppgave B ͻ dĂůůĞƚ Ğƌ ŵŝŶĚƌĞ ĞŶŶ ϮϬϬϬ͘ ͻ dĂůůĞƚ ŚĂƌ ĮƌĞ ƐŝīĞƌ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ŝ ƚƌĞŐĂŶŐĞŶ͘ ͻ ŝīĞƌĂŶƐĞŶ ŵĞůůŽŵ ƐŝĨƌĞŶĞ ƉĊ ĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ ŽŐ ƟĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ĊƩĞ͘ ͻ ^ŝīĞƌĞƚ ƉĊ ŚƵŶĚƌĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ĚĞƚ ĚŽďďĞůƚĞ Ăǀ ƐŝīĞƌĞƚ ƉĊ ƟĞƌƉůĂƐƐĞŶ͘ Forklaring

2.38

2.39

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 4501 + 2904 = c) 8005 + 3492 = e) 421 + 88 + 916 =

Differensiering De elevene som strever med talloppgavene og bruker lang tid på disse, kan hoppe over denne oppgaven.

^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ a)

+ 206 = 646

+ 516 = 816

ͳ 350 = 350

ͳ 850 = 200

= 700

e) 316 +

2.40

b) 315 + 267 + 1907 = d) 34 + 672 + 4053 = f) 3140 + 23 + 618 =

130 + 67 +

Oppgave 2.37 Når elevene skal løse slike tallpyramider, kan de ha nytte av å tenke number bonds.

= 500

sĞůŐ ĨƌĂ ƚĂůůĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ ŽŐ ůĂŐ ŵŝŶƐƚ ĨĞŵ ĂĚĚŝƐũŽŶƐŽƉƉŐĂǀĞƌ͘ ZĞŐŶ Ƶƚ ƐǀĂƌĞƚ ƉĊ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ͘

300 543 326

1982 18 531

1040 10

672 800

Oppgave 2.38 Her møter elevene ﬁresifrede tall, se ellers oppgave 2.35.

230

10 023

KOPI

Sammen sĞůŐ ĞŶ ǀĞŝ ŝ ůĂďǇƌŝŶƚĞŶ͘ WĊ ǀĞŝĞŶ ŬĂŶ ĚĞƌĞ ǀčƌĞ ŝŶŶŽŵ ŚǀĞƌƚ ƚĂůů ďĂƌĞ ĠŶ ŐĂŶŐ͘ >ĞŐŐ ƐĂŵŵĞŶ ƚĂůůĞŶĞ ŝ ƌŽŵŵĞŶĞ ĚĞƌĞ Ğƌ ŝŶŶŽŵ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽĞŶŐ ŬůĂƌĞƌ ĚĞƌĞ Ċ ƐĂŵůĞ͍ Start 213 405

560 3

1000 26

13 365

908 22

250

1012

311

13 281

100

189

743

Mål

Oppgave 2.39 Elevene må ha forståelsen av at verdiene på hver side av likhetstegnet skal være like. Elevene har ennå ikke jobbet med algoritmen for subtraksjon. a) og b) Hvis de tenker plassverdi, er det relativt lett å se hvilket tall som mangler. c) Nyttig strategi er dobling d) Plassverdi e) og f) Oppfylling av enere, tiere og hundrere Oppgave 2.40 og Sammen – se over

Tall

Ulike metoder for subtraksjon av flersifrede tall Det er viktig at elevene får forståelsen av at subtraksjon er motsatt regneart av addisjon. (Addisjon og subtraksjon er inverse regnearter). Addisjonen 5 + 9 = 14 gir følgende subtraksjoner: 14 – 9 = 5 og 14 – 5 = 9. Disse sammenhengene bør presiseres ofte. De har også overføringsverdi til algebra og annen logisk tenkning. Mange elever fortsetter å bruke addisjon i sin tenkemåte selv om det er subtraksjon det handler om. Disse elevene vil sannsynligvis få problemer med å forstå hva som foregår når vi regner med standardalgoritmen for subtraksjon, hvor vi stiller tallene opp under hverandre og subtraherer kolonnevis fra høyre mot venstre. De regnemetodene som vi kjenner som standardalgoritmer, er først og fremst utviklet for å kunne regne raskt og effektivt med flersifrede tall. Dette var nødvendig før i tiden da det meste av regneoperasjonene forgikk med papir og blyant. Vi mener det er viktig og riktig at elevene blir kjent med flere forskjellige algoritmer slik at de kan velge det som er mest hensiktsmessig. Det er også forskjellig hva som passer best for den enkelte elev.

Selv om vi her vektlegger standardalgoritmen, så betyr ikke det at vi går over til den og legger alt det andre bak oss. Tvert imot bør vi fortsatt oppfordre elevene til å se på tallene og velge den metoden de syns passer best. Tom tallinje Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningsstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler. Eksempel: 450 – 302 = 148 +8

+ 40

302 310

+ 100

350

450

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. –8

– 40

302 310

– 100

350

450

Forklaring 2 ͻ Tall

KƉƉƐƟůůŝŶŐ ʹ ƐƵďƚƌĂŬƐũŽŶ

Eksempel Repeter hva som skjer når vi låner/veksler sammen med elevene. Bruk gjerne lekepenger, og la de elevene som trenger det få bruke lekepenger og veksle når de løser oppgavene.

ϰϬ

Tall

r 312 k

4 5 0 ͳ 3 0 2 = 1 4 8

Oppgave 2.41 og 2.42 Elevene bør stille opp under hverandre som i eksemplet når de skal løse disse oppgavene, for å øve seg på metoden. Oppgave 2.43 a) Dette er en utfordrende oppgave med subtraksjon i kontekst. Den er krevende fordi det er to regneoperasjoner for hver person. Snakk med elevene, få dem til å sette ord på hvordan de har tenkt å løse oppgaven. Vis på tavla hvordan tankene blir til regnestykker. Prøv å få fram begge disse løsningsstrategiene: 850 – 258 – 448. Eller: 850 – (258 + 448). For elevene vil det i begge tilfellene være nødvendig å sette det opp som to regnestykker. Eksempel 1: 850 – 258 = 592 og 592 – 448 = 144.

302 k

Eksempel KůĞ ŚĂƌ ϰϱϬ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ĂŶ ŬũƆƉĞƌ ĞŶ ŐĞŶƐĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ŚĂƌ ŚĂŶ ŝŐũĞŶ͍

^ǀĂƌ͗ KůĞ ŚĂƌ ϭϰϴ ŬƌŽŶĞƌ ŝŐũĞŶ͘

2.41 2.42

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 953 ͳ 637 =

b) 723 ͳ 116 =

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 243 ͳ 128 = d) 173 ͳ 37 =

b) 457 ͳ 239 = e) 261 ͳ 53 =

c) 206 ͳ 177 = f) 572 ͳ 248 =

708 ͳ 239 =

Sammen ŬƐĞŵƉĞů ƚ ŵĂŐŝƐŬ ƚƌŝŬƐ͍ ͻ ^Ŭƌŝǀ ŶĞĚ ƚƌĞ ĨŽƌƐŬũĞůůŝŐĞ ƐŝīĞƌ͕ ĨŽƌ ĞŬƐĞŵƉĞů ϭ͕ ϳ ŽŐ ϱ͘ 10 10 ͻ KƌĚŶĞ ƐŝĨƌĞŶĞ ŝ ƐƟŐĞŶĚĞ ŽŐ ƐǇŶŬĞŶĚĞ 7 5 1 ƌĞŬŬĞĨƆůŐĞ͘ ͳ 1 5 7 ͻ dƌĞŬŬ ĚĞƚ ĨƆƌƐƚĞ ƚĂůůĞƚ ĨƌĂ ĚĞƚ ƐŝƐƚĞ͘ = 5 9 4 ͻ &ŝŶŶ ĚĞƚ ŽŵǀĞŶĚƚĞ ƚĂůůĞƚ Ăǀ ƐǀĂƌĞƚ ĚĞƌĞ ĨĊƌ͘ 5 9 4 ͻ ĚĚĞƌ ƚĂůůĞŶĞ͘ + 4 9 5 ͻ WƌƆǀ ŵĞĚ ŇĞƌĞ ƚƌĞƐŝĨƌĞĚĞ ƚĂůů͘ = ͍ ͻ ,ǀĂ ƐĞƌ ĚĞƌĞ͍

Eleven teller nedover fra minuend til subtraend. – 50

– 100

+2 300 302

350

450

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, enere, tiere og hundrere subtraheres hver for seg. Det har vært vanlig å si at vi låner for eksempel en tier. Dette er et diffust begrep for elevene. Det er bedre å si at vi tar en tier og veksler i enere. Dette er kjent for elevene fra jobbing både med konkreter og med veksling av penger. 450 – 302 = 10

N10 Først subtraherer elevene første ledd med hundrerne fra andre ledd, deretter med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. I dette eksemplet er det ingen tiere å subtrahere. Eksempel: 450 – 302; 450 – 300 = 150; 150 – 2 = 148. 1010 Subtrahere hundrere, tiere og enere hver for seg. Eksempel: 450 – 302; 400 – 300 = 100; 50 – 0 = 50; 0 – 2 = –2; 100 + 50 – 2 = 148 Som vi ser, blir det her negativt fortegn foran enerne. I slike tilfeller har elevene på dette stadiet lett for å snu subtraksjonen og få 2.

450 – 302 = 148 Sammen Stigende rekkefølge: 157. Synkende rekkefølge: 751 751 – 157 = 594. Det omvendte tallet: 495. Addisjon: 594 + 495 = 1089 Sett eksemplet opp på tavla og gjør hele utregningsprosessen sammen med elevene før de får prøve med sine egne sifre. La elevene velge sine egne sifre og lage tilsvarende regnestykke. Hvis de regner riktig, vil alle får 1089 som svar.

Forklaring :ŽŚĂŶŶĞ͕ KůĞ ŽŐ ^ĂƌĂŚ ŚĂƌ ϴϱϬ ŬƌŽŶĞƌ ŚǀĞƌ ŽŐ ƐŬĂů ŬũƆƉĞ Ŭůčƌ͘ EĞĚĞŶĨŽƌ ƐĞƌ ĚƵ ŚǀĂ ĚĞ ŬũƆƉĞƌ͘

299 k

2.43

258 kr

448

44 9k

Svar: Johanne har igjen 144 kr. Eksempel 2: 258 + 448 = 706 og 850 – 706 = 144. Svar: Johanne har igjen 144 kr.

Med løsningsstrategien i eksempel 1 er det lett for eleven å bruke en forenklet oppstilling som fører til misbruk av likhetstegnet (850 – 258 = 592 – 448 = 144). b) Elevene må vise ved utregning om de har nok penger, det er ikke nok å svare ja eller nei. c) Elevene kan velge om de regner ut for én og én av barna, eller om de regner ut for alle tre til sammen. d) og e) er ekstra utfordrende oppgaver, merket med smilefjes. Elevene skal regne med halv pris og kommer i tillegg borti problemet med desimaltall i prisene.

SUPERLØRDAG Halv pris av utsalgspris

:ŽŚĂŶŶĞ

Ole

Sarah 299 kr

50%

a) ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŚĂƌ ŚǀĞƌ Ăǀ ĚĞŵ ŝŐũĞŶ ĞƩĞƌ Ăƚ ĚĞ ŚĂƌ ŚĂŶĚůĞƚ͍

b) ,Ăƌ ^ĂƌĂŚ ŶŽŬ ƉĞŶŐĞƌ Ɵů Ċ ŬũƆƉĞ ƚŽ ůŝŬĞ ďƵŬƐĞƌ͍ ^ŝƐƚĞ ůƆƌĚĂŐ ŝ ŚǀĞƌ ŵĊŶĞĚ Ğƌ ĚĞƚ ƐƵƉĞƌůƆƌĚĂŐ͘ Ă ŬĂŶ ĂůůĞ ǀĂƌĞŶĞ ŬũƆƉĞƐ Ɵů ŚĂůǀ ƉƌŝƐ͘ c) ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŬŽƐƚĞƌ ŬůčƌŶĞ Ɵů :ŽŚĂŶŶĞ͕ KůĞ ŽŐ ^ĂƌĂŚ ĚĂ͍ d) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ĨĊƌ ĚĞ ŝ ƌĂďĂƩ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͍ e) ,Ăƌ :ŽŚĂŶŶĞ ŶŽŬ ƉĞŶŐĞƌ Ɵů Ċ ŬũƆƉĞ ƚŽ ďƵŬƐĞƌ ŽŐ ƚŽ ŐĞŶƐĞƌĞ ƉĊ ƐƵƉĞƌůƆƌĚĂŐ͍

2.44

^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůů ƐŽŵ ƉĂƐƐĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ a) 45 + c)

e) 89 + g)

= 88 ͳ 33

37 + 68 = 320 ͳ

= 245 ͳ 145 f)

ͳ 37 = 78 + 82

ͳ 48 = 55 ͳ 45

d) 100 ͳ 13 =

Oppgave 2.44 Elevene må ha forståelsen av at verdiene på hver side av likhetstegnet skal være like, og skal ﬁnne ut hvilket tall som skal stå på den tomme plassen.

+ 47

= 189 ͳ 111

ͳ 72 = 200 ͳ

Tall

ϰϭ

Hvorfor svaret alltid blir 1089 i sammenoppgaven Vi har sifrene 1,7 og 5. Ordnet i synkende rekkefølge blir dette tallet 751. Skrevet på utvidet form blir dette: 7 [ 100 + 5 [ 10 + 1 [ 1 Et vilkårlig tresifret tall abc hvor a, b, c er tre ulike sifre mellom 0 og 9, kan vi da skrive som a [ 100 + b [ 10 + c [ 1 Ordnet i stigende rekkefølge blir dette tallet cba, som på utvidet form blir: c [ 100 + b [ 10 + c [ 1

vi må veksle en hundrer. Det vil si at sifferet på hundrerplassen (a − c) blir én mindre, altså (a – c − 1). Hundreren veksler vi i 9 tiere og 10 enere. På tierplassen blir sifferet 9, og på enerplassen blir sifferet (10 + c − a). Hele tallet kan skrives på følgende måte: (a – c − 1) [ 100 + 9 [ 10 + (10 + c − a) [ 1 Det omvendte tallet blir: (10 + c − a) [ 100 + 9 [ 10 + (a – c − 1) [ 1

Vi forutsetter at a er større enn c slik at vi får et positivt svar når vi subtraherer, og at differansen mellom a og c er større enn 1.

Vi adderer tallene: (a – c − 1) [ 100 + 9 [ 10 + (10 + c − a) [ 1 + (10 + c − a) [ 100 + 9 [ 10 + (a – c − 1) [ 1 = (a – c – 1 + 10 + c − a) [ 100 + 18 [ 10 + (10 + c – a + a – c − 1) [ 1 = 9 [ 100 + 18 [ 10 + 9 = 1 089

Vi subtraherer tallene: a [ 100 + b [ 10 + c [ 1− (c [ 100 + b [ 10 + a [ 1) = (a − c) [ 100 + 0 [ 10 + (c−a) [ 1

Siden alle a-ene, b-ene og c-ene forsvant, vil dette gjelde for alle valg av abc og derfor for alle tresifrede tall der sifrene ikke er like.

Vi har forutsatt at a er større enn c. Da blir c − a negativt. Sifrene i et tall må være mellom 0 og 9, vi må veksle (låne). På tierplassen er det 0,

Forklaring 2 2ͻ ͻTall Tall

Oppgave 2.45 Som lærer kan du velge om elevene skal styres til å trene videre på å stille opp under hverandre og regne ut, eller om de får velge utregningsmetode.

2.46

Tall

b) 501 ͳ 246 = e ) 438 ͳ 377 = h) 802 ͳ 569 =

c) f) i)

378 ͳ 163 = 491 ͳ 72 = 647 ͳ 65 =

ŶĞ ŚĂƌ ƐŽŵ ŵĊů Ċ ůƆƉĞ ϱϬϬϬ ŵĞƚĞƌ ŚǀĞƌ ĚĂŐ͘ ,Ğƌ Ğƌ ĞŶ ŽǀĞƌƐŝŬƚ ŽǀĞƌ ŚǀŽƌ ůĂŶŐƚ ŚƵŶ ůƆƉ ŝ ĨŽƌƌŝŐĞ ƵŬĞ͗

ϰϮϬϬ ŵ

lørdag

søndag

ϯϮϵϬ ŵ ϰϴϳϱ ŵ ϭϯϬϬ ŵ ϯϴϲϬ ŵ ϱϬϬϬ ŵ

onsdag torsdag

fredag

ϰϭϭϬ ŵ

a) ,ǀŝůŬĞŶ ĚĂŐ ůƆƉ ŚƵŶ ŬŽƌƚĞƐƚ͍ b) ,ǀŝůŬĞŶ ĚĂŐ ůƆƉ ŚƵŶ ůĞŶŐƐƚ͍ c ) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵĞƚĞƌ ǀĂƌ ŶĞ ĨƌĂ Ċ ŶĊ ŵĊůĞƚ ƐŝƩ ƉĊ ƟƌƐĚĂŐ͍ d) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵĞƚĞƌ ǀĂƌ ŶĞ ĨƌĂ Ċ ŶĊ ŵĊůĞƚ ƐŝƩ ĚĞŶ ĚĂŐĞŶ ŚƵŶ ůƆƉ ŬŽƌƚĞƐƚ͍ e) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵĞƚĞƌ ǀĂƌ ŶĞ ĨƌĂ Ċ ŶĊ ƵŬĞŵĊůĞƚ ƐŝƩ͍

Differensiering De svakeste elevene kan får i oppgave å regne ﬂere oppgaver som a) og b). For eksempel hvor langt Ane var fra å nå målet sitt på 5000 m hver av dagene.

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 249 ͳ 165 = d) 524 ͳ 496 = g) 468 ͳ 179 =

mandag ƟƌƐĚĂŐ

Oppgave 2.46 a) og b) er avlesningsoppgaver. c) og d) Subtraksjonsoppgaver i kontekst. Husk svarsetning i tekstoppgaver. e) og f) Utfordrende oppgaver, gul lapp hjelper elevene i omgjøring til mil.

Sammen Dette er oppgaver hvor elevene kan bruke ulike hoderegningsstrategier for å ﬁnne svarene. De kan bruke strategiene: trekke fra nesten alt, nesten hele hundrere, halvering, osv.

2.45

ϭϬϬϬ ŵ с ϭ Ŭ ŵ ϭϬ Ŭŵ с ϭ ŵŝů

f ) KŵƚƌĞŶƚ ŚǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵŝů ůƆƉ ŶĞ ŝ ĨŽƌƌŝŐĞ ƵŬĞ͍

Sammen ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ƚĞŶŬĞƌ ĚĞƌĞ͍ 2000 ͳ 1998

2000 ͳ

999

3000 ͳ 199 2000 ͳ 1100

5000 ͳ 25

3000 ͳ

1500

5000 ͳ

1999

Misbruk av likhetstegnet I matematikken har likhetstegnet en absolutt betydning, det som står på hver side av likhetstegnet, skal ha lik verdi. Når elever skal løse ﬂerleddede oppgaver, kan det se ut som at mange har en oppfatning av likhetstegnet som: «Når vi har utført en beregning, kan vi skrive likhetstegnet og regne videre».

Etter hvert som matematikken blir mer avansert og beregningene blir lengre og mer kompliserte, er det viktig å ha lært seg å bruke likhetstegnet korrekt. Elever som misbruker likhetstegnet, er ikke klar over at de gjør noe galt så lenge svaret blir riktig. Det er derfor nødvendig å være oppmerksom på slik misbruk av likhestegnet og snakke om dette med elevene så tidlig som mulig.

Vi har oppgaven: 350 – 36 + 150 =

Det kan være lurt å bruke lappemetoden (side X) og gi elevene en slik oppgave og be dem regne ut. Da vil du med en gang se hvem som misbruker likhetstegnet, og dere har en ﬁn metode til å arbeide med dette på.

Vi kan for eksempel se slik føring som dette: 350 – 36 = 314 + 150 = 464 Denne føringen er høyst ukorrekt, for her misbrukes likhetstegnet. Korrekt føring kan se slik ut: 350 – 36 + 150 = 314 + 150 = 464 Eller med mellomregning: 350 – 36 = 314, 314 + 150 = 464 Eller med omgruppering: 350 – 36 + 150 = 500 – 36 = 464

Forklaring 2.47

<Ăƌŝ Ğƌ ƉĊ ƐǇŬŬĞůƚƵƌ͘ ^ǇŬŬĞůĐŽŵƉƵƚĞƌĞŶ ǀŝƐĞƌ Ϯϰ ϱϳϴ ŵĞƚĞƌ ƉĊ ƐƚĂƌƚĞŶ Ăǀ ƚƵƌĞŶ͕ ŽŐ ϯϮ Ϭϲϯ ŵĞƚĞƌ ŶĊƌ ƚƵƌĞŶ Ğƌ ĨĞƌĚŝŐ͘

Snakk med elevene om hvilke strategier de brukte på de ulike oppgavene. Minn om at det kan være lurt å se på tallene om de enkelt kan løses med hoderegning, før de stiller opp og regner ut ved hjelp av algoritmen. Lag ﬂere eksempler.

a) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŵĞƚĞƌ ŚĂƌ <Ăƌŝ ƐǇŬůĞƚ͍ b) KŵƚƌĞŶƚ ŚǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬŝůŽŵĞƚĞƌ ŚĂƌ ŚƵŶ ƐǇŬůĞƚ͍ c ) ,ǀŽƌ ŵǇĞ ůĞŶŐĞƌ ŵĊƩĞ <Ăƌŝ ŚĂ ƐǇŬůĞƚ ĨŽƌ Ăƚ ƚƵƌĞŶ ƐŬƵůůĞ ŚĂ ďůŝƩ ϭ ŵŝů͍

2.48

ZĞŐŶ Ƶƚ ŽŐ ƐũĞŬŬ Žŵ ƐǀĂƌĞŶĞ Ğƌ ƌŝŬƟŐĞ͘ ŽŬƐƚĂǀĞŶĞ ƐŽŵ ŚƆƌĞƌ Ɵů ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ŵĞĚ ƌŝŬƟŐĞ ƐǀĂƌ͕ Őŝƌ ĚĞŐ ůƆƐŶŝŶŐƐŽƌĚĞŶĞ͘ a) 969 ͳ 312 = 657

2.49

b) 419 ͳ 263 = 176

c ) 854 ͳ 237 = 617

d) 765 ͳ 597 = 168

e) 1005 ͳ 362 = 644

1654 ͳ 965 = 689

Oppgave 2.47 a) Subtraksjonsoppgave i kontekst. b) og c) Minn elevene om at de kan bruke den gule lappen på side 42 når de skal gjøre om til km og mil. I oppgave b) bør både svarene omtrent 7 km og omtrent 7 ½ km godtas.

g) 12 005 ͳ 98 = 11 907

h) 405 ͳ 328 = 80

i ) 718 ͳ 101 = 617

1895 ͳ 998 = 897

O S

k) 873 ͳ 529 = 345

1312 ͳ 752 = 560

Oppgave 2.48 Denne oppgaven har ferdig utregnede subtraksjonsstykker. Elevene skal ved utregning ﬁnne ut om svarene stemmer. Bokstavene ved de riktige svarene noteres i den rekkefølgen de kommer.

,ǀŝůŬĞ Ăǀ ĚĞ ĮƌĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ Őŝƌ ƐǀĂƌĞƚ ŝ ŵŝĚƚĞŶ͍ a)

985 ͳ 550

726 ͳ 267

437

643 ͳ 206

264

588 ͳ 155

726 ͳ 289

730 ͳ 266

462 ͳ 198

510 ͳ 246

Tall

Thinking blocks Thinking blocks er et visualiseringsverktøy som opprinnelig ble utviklet som et hjelpemiddel for elever som har problemer med å forstå tekstoppgaver. Blokkene eller boksene hjelper elevene med å visualisere problemstillingen. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever. Når vi bruker thinking blocks i grunnbøkene, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres. Størrelsen på boksene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på boksene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpeﬁgurer i konstruksjonsoppgaver, de hjelper oss til å få en oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal ﬁnne ut.

Tǀ ŵĞƌ Ϳമ ŝŶĂ ŽŐ ĂŶŝĞů ŚĂƌ ϯϰϬ ŬƌŽŶĞƌ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͘ ĂŶŝĞů ŚĂƌ ϰϬ Ŭƌ ŵĞƌ ĞŶŶ ŝŶĂ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ŚĂƌ ĚĞ ŚǀĞƌ͍ dĞŐŶ ŵŽĚĞůůĞƌ͕ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ ͍ Ŭƌ

ŝŶĂ

͍ Ŭƌ

ĂŶŝĞů

ϰϬ Ŭƌ

}

ϯϰϬ Ŭƌ

Etter hvert har thinking blocks får ett større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Forklaring 2 ͻ Tall

dĞŬƐƚŽƉƉŐĂǀĞƌ

Samtale Snakk sammen om oppgaveteksten. Den kan være vanskelig å forstå for en del elever. Innfør thinking blocks, og la elevene ﬁnne ut hva som skal stå i boksene. Finn ut sammen hvor mye hver av genserne koster, og skriv svarsetningene på tavla. Svar: Gul genser koster 120 kr. Svar: Rød genser koster 100 kr.

Samtale /ĚĂ ŬũƆƉĞƌ ĞŶ ŐƵů ŽŐ ĞŶ ƌƆĚ ŐĞŶƐĞƌ͘ dŝů ƐĂŵŵĞŶ ďĞƚĂůĞƌ ŚƵŶ ϮϮϬ ŬƌŽŶĞƌ͘ ĞŶ ŐƵůĞ ŐĞŶƐĞƌĞŶ ŬŽƐƚĞƌ ϮϬ ŬƌŽŶĞƌ ŵĞƌ ĞŶŶ ĚĞŶ ƌƆĚĞ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŬŽƐƚĞƌ ĚĞŶ ŐƵůĞ ŐĞŶƐĞƌĞŶ͍ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŬŽƐƚĞƌ ĚĞŶ ƌƆĚĞ ŐĞŶƐĞƌĞŶ͍ KƉƉŐĂǀĞŶ ďůŝƌ ĞŶŬůĞƌĞ Ċ ůƆƐĞ ŚǀŝƐ ĚĞƌĞ ƚĞŐŶĞƌ ŵŽĚĞůůĞƌ͗

͍ Ŭƌ

ϮϬ Ŭƌ

ϮϮϬ Ŭƌ

͍ Ŭƌ

Lag ﬂere oppgaver med liknende problemstilling, og la elevene foreslå hvordan de kan løses ved å tegne modeller. Husk svarsetninger.

2.50

^ƟŶĞ ŽŐ /ĚĂ ƐĞůŐĞƌ ďůŽŵƐƚĞƌ͘ Ğ ƚũĞŶĞƌ ϮϱϬ ŬƌŽŶĞƌ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͘ ^ƟŶĞ ƚũĞŶĞƌ ϯϬ ŬƌŽŶĞƌ ŵĞƌ ĞŶŶ /ĚĂ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ƚũĞŶĞƌ ĚĞ ŚǀĞƌ͍ dĞŐŶ ŵŽĚĞůůĞƌ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ Ida

͍ Ŭƌ

^ƟŶĞ

͍ Ŭƌ

ϮϱϬ Ŭƌ

Oppgave 2.50 og 2.51 Elevene skal tegne modeller og løse oppgavene. Elevene må skrive svarsetninger.

2.51

ϯϬ Ŭƌ

&ĂŵŝůŝĞŶ ,ĂŶƐĞŶ ŬũƆƌĞƌ ϱϮϬ ŬŝůŽŵĞƚĞƌ ƉĊ ƚŽ ĚĂŐĞƌ͘ ĞŶ ĨƆƌƐƚĞ ĚĂŐĞŶ ŬũƆƌĞƌ ĚĞ ϴϴ ŬŝůŽŵĞƚĞƌ ŵĞƌ ĞŶŶ ĚĞŶ ĂŶĚƌĞ ĚĂŐĞŶ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬŝůŽŵĞƚĞƌ ŬũƆƌĞƌ ĨĂŵŝůŝĞŶ ĚĞŶ ĨƆƌƐƚĞ ĚĂŐĞŶ͍ dĞŐŶ ŵŽĚĞůůĞƌ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ Dag 1

͍ Ŭŵ

Dag 2

͍ Ŭŵ

ϴϴ Ŭŵ ϱϮϬ Ŭŵ

Tall

B) ŵŝŶ ŚĂƌ ŬŝůŽŵĞƚĞƌƚĞůůĞƌ ƉĊ ƐǇŬŬĞůĞŶ ƐŝŶ͘ / ŵĂŝ ŽŐ ũƵŶŝ ƐǇŬůĞƌ ŚĂŶ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ Ϯϱϯ Ŭŵ͘ / ŵĂŝ ƐǇŬůĞƌ ŚĂŶ ϯϯ Ŭŵ ůĞŶŐĞƌ ĞŶŶ ŝ ũƵŶŝ͘ ,ǀŽƌ ůĂŶŐƚ ƐǇŬůĞƌ ŵŝŶ ŝ ŚǀĞƌ Ăǀ ĚĞ ƚŽ ŵĊŶĞĚĞŶĞ͍ dĞŐŶ ŵŽĚĞůůĞƌ͕ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ ͍ Ŭŵ

DĂŝ

ϯϯ Ŭŵ

͍ Ŭŵ

:ƵŶŝ

}

C) ůůĞŶ͕ ,ĂƌƌǇ ŽŐ :ĞŶŶǇ Ğƌ ƐƆƐŬĞŶ͘ dŝů ƐĂŵŵĞŶ Ğƌ ĚĞ ϲϭ Ċƌ͘ ůůĞŶ Ğƌ Ϯϳ Ċƌ͘ ,ĂƌƌǇ ŽŐ :ĞŶŶǇ Ğƌ ƚǀŝůůŝŶŐĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŐĂŵůĞ Ğƌ ƚǀŝůůŝŶŐĞŶĞ͍ Ellen

27 år

,ĂƌƌǇ

͍ Ċƌ

:ĞŶŶǇ

͍ Ċƌ

Ϯϱϯ Ŭŵ

}

ϲϭ Ċƌ

Forklaring 2.52

WŝĂ ŬũƆƉĞƌ ƚŽ ďůǇĂŶƚĞƌ ŽŐ ĠŶ ƉĞŶŶ͘ dŝů ƐĂŵŵĞŶ ďĞƚĂůĞƌ ŚƵŶ ϭϭϬ ŬƌŽŶĞƌ͘ WĞŶŶĞŶ ŬŽƐƚĞƌ ϰϬ ŬƌŽŶĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŬŽƐƚĞƌ ďůǇĂŶƚĞŶĞ ƉĞƌ ƐƚǇŬŬ͍ 40

Oppgave 2.52 De ﬂeste elevene vil gå ut fra at de to blyantene koster det samme. Oppgaveteksten sier ingen ting om dette, og blyantene er heller ikke like på illustrasjonen. Selv om de to tomme boksene for prisen på blyantene på illustrasjonen er like store, bør vi også godta svar der blyantene har ulik pris, men til sammen koster 70 kr.

Penn

2.53

͍ Ŭƌ

ůǇĂŶƚ

͍ Ŭƌ

ϭϭϬ Ŭƌ

/ĚĂ͕ KŵĞƌ ŽŐ :ŽŚŶ ŚĂƌ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ ϴϳϵ ŬƌŽŶĞƌ͘ /ĚĂ ŚĂƌ ϯϳϱ ŬƌŽŶĞƌ͘ KŵĞƌ ŚĂƌ ϴϬ ŬƌŽŶĞƌ ŵŝŶĚƌĞ ĞŶŶ /ĚĂ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ŚĂƌ :ŽŚŶ͍ Ida

ϯϳϱ Ŭƌ

KŵĞƌ

͍ Ŭƌ

:ŽŚŶ

2.54

ϰϬ Ŭƌ

ůǇĂŶƚ

Oppgave 2.53 og 2.54 Elevene skal tegne modeller og løse oppgavene. Elevene må skrive svarsetninger.

ϴϳϵ Ŭƌ

͍ Ŭƌ

^ĂƌĂ ŚĂƌ ĚŽďďĞůƚ ƐĊ ŵĂŶŐĞ ǀŝƐŬĞůčƌ ƐŽŵ zŽƐƌĂ͘ /ĚĂ ŚĂƌ ϮϬ ŇĞƌĞ ǀŝƐŬĞůčƌ ĞŶŶ zŽƐƌĂ͘ dŝů ƐĂŵŵĞŶ ŚĂƌ ĚĞ ϭϴϬ ǀŝƐŬĞůčƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ǀŝƐŬĞůčƌ ŚĂƌ ^ĂƌĂ͍ Sara ϭϴϬ ǀŝƐŬĞůčƌ

zŽƐƌĂ Ida

Tall

Forklaring Spill

Spillet øverst på siden Dette spillet kan brukes på ﬂere måter. Elevene kan spille sammen som enkeltspillere. Spillet egner seg også godt til å dele mindre elevgrupper inn i lag som spille sammen. Da kan elevene på samme lag drøfte hvilke tall det lønner seg å lage for å komme nærmest 2000 på fem kast. Dette er ﬁnt for å utvikle strategisk tenkning og tallforståelse hos elevene.

Utstyr: WĂƉŝƌ͕ ďůǇĂŶƚ ŽŐ ƚƌĞ ƚĞƌŶŝŶŐĞƌ͘ Antall spillere: sĂůŐĨƌŝƩ͘ ĞƌĞ ŬĂŶ ŽŐƐĊ ƐƉŝůůĞ ŚĞůĞ ŬůĂƐƐĞŶ ŵŽƚ ŚǀĞƌĂŶĚƌĞ͘ ,ǀĂ ƐƉŝůůĞƚ ŐĊƌ Ƶƚ ƉĊ͗ <ĂƐƚ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ͘ >ĂŐ Ğƚ ƚƌĞƐŝĨƌĞƚ ƚĂůů Ăǀ ĚĞƚ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ ǀŝƐĞƌ͘ ,ǀŝƐ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ ǀŝƐĞƌ ĞŶ ƚƌĞĞƌ͕ ĞŶ ĞŶĞƌ ŽŐ ĞŶ ƐĞŬƐĞƌ͕ ŬĂŶ ĚĞƌĞ ĨŽƌ ĞŬƐĞŵƉĞů ůĂŐĞ ƚĂůůĞƚ ϯϲϭ͘ ƌƵŬ ĂůůĞ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ͘ >ĂŐ Ğƚ ŶǇƩ ƚƌĞƐŝĨƌĞƚ ƚĂůů ŚǀĞƌ ŐĂŶŐ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ ŬĂƐƚĞƐ͕ ŽŐ ůĞŐŐ ƐĂŵŵĞŶ ƚĂůůĞŶĞ͘ Vinner: ĞŶ ƐƉŝůůĞƌĞŶ ƐŽŵ Ğƌ ŶčƌŵĞƐƚ ϮϬϬϬ ĞƩĞƌ Ăƚ ƚĞƌŶŝŶŐĞŶĞ Ğƌ ŬĂƐƚĞƚ ĨĞŵ ŐĂŶŐĞƌ͘

Spillet nederst på siden Dette spillet gir god øvelse i å lese store tall. Elevene kan benytte tabellen på side 47 som hjelp.

Ekstra: <ĂƐƚ ĮƌĞ ƚĞƌŶŝŶŐĞƌ͘ ĞŶ ǀŝŶŶĞƌ ƐŽŵ Ğƌ ŶčƌŵĞƐƚ ϮϬ ϬϬϬ ĞƩĞƌ ĨĞŵ ŬĂƐƚ͘

Spill

Finn ut Mange elever fascineres av store tall. Ofte fantaserer de om store tall og lager seg sine egne navn på disse tallene. I denne ﬁnn-ut-oppgaven har vi lagd en tabell over noen av de store tallene. Tabellen fortsetter videre. Hver gang et tall får tre nye nuller bak, får det et nytt navn. Finn gjerne en tabell som viser tallene som kommer etter kvadrillion.

'Ċ ƐĂŵŵĞŶ ƚŽ ŽŐ ƚŽ͘ <ĂƐƚ ĞŶ ƚĞƌŶŝŶŐ ĂŶŶĞŶŚǀĞƌ ŐĂŶŐ͘ ^ŝ ŚƆǇƚ ƚĂůůĞƚ ĚƵ ĨĊƌ͕ ŽŐ ƐŬƌŝǀ ĚĞƚ ŶĞĚ͘ EĞƐƚĞ ŐĂŶŐ ĚĞƚ Ğƌ ĚŝŶ ƚƵƌ͕ ƐŬƌŝǀĞƌ ĚƵ ĚĞƚ ŶǇĞ ƚĂůůĞƚ ǀĞĚ ƐŝĚĞŶ Ăǀ ĚĞƚ ĨŽƌƌŝŐĞ͕ ŽŐ ƐŝĞƌ ĚĞƚ ŶǇĞ ƚĂůůĞƚ ŚƆǇƚ͘ ĞŶ ĨƆƌƐƚĞ ƐŽŵ ŝŬŬĞ ŬĂŶ Ɛŝ ƚĂůůĞƚ͕ ŚĂƌ ƚĂƉƚ͘ Eksempel Kast nummer 1: dĞƌŶŝŶŐĞŶ ǀŝƐĞƌ ϯ͘ Ƶ ƐŬƌŝǀĞƌ ϯ ƉĊ ĂƌŬĞƚ ŽŐ ƐŝĞƌ ϯ ŚƆǇƚ͘ Kast nummer 2: dĞƌŶŝŶŐĞŶ ǀŝƐĞƌ ϲ͘ Ƶ ƐŬƌŝǀĞƌ ϲ Ɵů ŚƆǇƌĞ ĨŽƌ ϯ ŽŐ ƐŝĞƌ ϯϲ ŚƆǇƚ͘ Kast nummer 3: dĞƌŶŝŶŐĞŶ ǀŝƐĞƌ ϰ͘ Ƶ ƐŬƌŝǀĞƌ ϰ Ɵů ŚƆǇƌĞ ĨŽƌ ϲ ŽŐ ƐŝĞƌ ϯϲϰ ŚƆǇƚ͕ ŽƐǀ͘

Snakk med elevene om store tall. I hvilke sammenhenger har vi bruk for store tall? Er det noe som heter verdens største tall? Er det noen som kan navn på ﬂere tall enn det vi ser her?

Finn ut ƌƵŬ ƚĂďĞůůĞŶ Ɵů Ċ ůƆƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ͘

La elevene jobbe sammen i læringspar eller små grupper når de jobber med store tall. Det går an å utfordre ett eller ﬂere læringspar med at den ene teller høyt til 1000 mens den andre tar tiden. Videre kan de utfordres på å ﬁnne ut hvor lang tid det tar å telle til for eksempel en million.

ŬǀĂĚƌŝůůŝŽŶ

1 000 000 000 000 000 000 000 000

trilliard

1 000 000 000 000 000 000 000

trillion

1 000 000 000 000 000 000

billiard

1 000 000 000 000 000

billion

1 000 000 000 000

milliard

1 000 000 000

million

1 000 000

tusen

1 000

hundre

100

1) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŶƵůůĞƌ Ğƌ ĚĞƚ ŝ ĞŶ ƚƌŝůůŝĂƌĚ͍

(Hvis man teller ett tall for hvert sekund, tar det ca 16 minutter å telle til 1000, og ca 11 døgn å telle til en million).

Ğƚ ƐƚƆƌƐƚĞ ƚĂůůĞƚ ŝ ĚĞŶŶĞ ƚĂďĞůůĞŶ ŚĞƚĞƌ ĞŶ ŬǀĂĚƌŝůůŝŽŶ͕ ŽŐ ƐŬƌŝǀĞƐ ƐůŝŬ͗ ϭ ϬϬϬ ϬϬϬ ϬϬϬ ϬϬϬ ϬϬϬ ϬϬϬ ϬϬϬ ϬϬϬ <ĂŶ ĚĞƌĞ ĮŶŶĞ ĞƩ ƚĂůů ƐŽŵ Ğƌ ƐƚƆƌƌĞ ĞŶŶ ĞŶ ŬǀĂĚƌŝůůŝŽŶ ŽŐ ƐŬƌŝǀĞ ŶĂǀŶĞƚ ƉĊ ƚĂůůĞƚ͍

3) ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ŚĂƌ Ŷŝ ŶƵůůĞƌ͍ 4) >ĂŐ ŽƉƉŐĂǀĞƌ Ɵů ŚǀĞƌĂŶĚƌĞ͘

Tall

Forklaring Sant eller usant

Sant eller usant Når elevene har skrevet de sanne utsagnene i boka si, bør dere samtale rundt påstandene. Hvorfor mener du at det er sant eller usant? Det eneste utsagnet her som det kan være ulik mening om er sant eller usant, er: Tallet rett etter 1999 er 2000. Spør de elevene som mener at dette ikke er sant, om hvordan de har tenkt. Elevene har tidligere år lært litt om desimaltall, og de elevene som husker noe av det, kan vite at det er mange desimaltall mellom 1999 og 2000. Men 2000 er det hele tallet som kommer rett etter 1999.

^Ŭƌŝǀ ƐĞƚŶŝŶŐĞŶĞ ƐŽŵ Ğƌ ƌŝŬƟŐĞ ŝ ŬůĂĚĚĞďŽŬĂ͘ ͻ dŝƚĂůůƐǇƐƚĞŵĞƚ ŚĂƌ Ɵ ƐŝĨƌĞ͗ Ϭ͕ ϭ͕ Ϯ͕ ϯ͕ ϰ͕ ϱ͕ ϲ͕ ϳ͕ ϴ͕ ϵ ͻ EĊƌ ƐŝĨƌĞŶĞ ƐĞƩĞƐ ƐĂŵŵĞŶ͕ ŬĂŶ ǀŝ ůĂŐĞ ƵĞŶĚĞůŝŐ ŵĂŶŐĞ ƚĂůů͘ ͻ Ğƚ ƐƚƆƌƐƚĞ ĨĞŵƐŝĨƌĞĚĞ ƚĂůůĞƚ ǀŝ ŬĂŶ ůĂŐĞ͕ Ğƌ ϵϬ ϬϬϬ͘ ͻ dƵƐĞŶ ƐŬƌŝǀĞƐ ŵĞĚ ĮƌĞ ŶƵůůĞƌ͘ ͻ dĂůůĞƚ ƌĞƩ ĞƩĞƌ ϭϵϵϵ Ğƌ ϮϬϬϬ͘ ͻ 36 500 + 1000 = 36 600

Oppsummering Titallsystemet / ƟƚĂůůƐǇƐƚĞŵĞƚ Ğƌ ĚĞƚ Ɵ ƐŝĨƌĞ͗ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 0

WůĂƐƐǀĞƌĚŝƐǇƐƚĞŵĞƚ 4 2 3 5 6 7 enere ƟĞƌĞ hundrere ƚƵƐĞŶĞƌĞ ƟƚƵƐĞŶĞƌĞ ŚƵŶĚƌĞƚƵƐĞŶĞƌĞ

dĂůůĞŶĞ ŚĞƌ Ğƌ ƐŬƌĞǀĞƚ ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͗ 452 = 400 + 50 + 2 6403 = 6000 + 400 + 0 + 3 10 917 = 10 000 + 0 + 900 + 10 + 7

Oppsummering Denne siden er en oppsummering av det som dere har jobbet med i dette kapitlet. Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

dĂůů ŵĞĚ ŵŝŶĚƌĞ ǀĞƌĚŝ ĞŶŶ Ϭ ŬĂůůĞƐ ŶĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů EĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů

Ͳϱ

Ͳϰ

Ͳϯ

WŽƐŝƟǀĞ ƚĂůů

ͲϮ

KƉƉƐƟůůŝŶŐ ĂĚĚŝƐũŽŶ 1

Ͳϭ

KƉƉƐƟůůŝŶŐ ƐƵďƚƌĂŬƐũŽŶ 10

4 6 7 + 3 3 9 = 8 0 6

5 0 0 ͳ 3 1 8 = 1 8 2

dĞŬƐƚŽƉƉŐĂǀĞƌ ŵĞĚ ŵŽĚĞůůĞƌ dŽ ŬĂƐƐĞƌ ǀĞŝĞƌ ϭϲϬ ŬŝůŽŐƌĂŵ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͘ ĞŶ ĞŶĞ ŬĂƐƐĞŶ ǀĞŝĞƌ ϴ ŬŝůŽŐƌĂŵ ŵĞƌ ĞŶŶ ĚĞŶ ĂŶĚƌĞ ŬĂƐƐĞŶ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ǀĞŝĞƌ ŚǀĞƌ Ăǀ ĚĞ ƚŽ ŬĂƐƐĞŶĞ͍ ͍

ϴ ŬŐ

ϭϲϬ ŬŐ

͍ EĊƌ ǀŝ ůƆƐĞƌ ƚĞŬƐƚŽƉƉŐĂǀĞƌ͕ ŬĂŶ ĚĞƚ ǀčƌĞ ůƵƌƚ Ċ ůĂŐĞ ĞŶ ƚĞŐŶŝŶŐ ƐŽŵ ƐƚƆƩĞ Ɵů ĚĞƚ ƐŽŵ ƐƚĊƌ ŝ ƚĞŬƐƚĞŶ͘ ŽŬƐĞŶĞ ŚũĞůƉĞƌ ŽƐƐ Ɵů Ċ ƐŽƌƚĞƌĞ ŽƉƉůǇƐŶŝŶŐĞŶĞ ŝ ƚĞŬƐƚĞŶ͘

Tall

ĞƩĞ ŚĂƌ ũĞŐ ůčƌƚ ŝ ŬĂƉŝƩĞů Ϯ

EĂǀŶ͗

ϭ ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ϰϬϬϬ н ϳϬϬ н ϱϬ н Ϯ с ϮϬϬϬ н Ϭ н ϭϬ н ϵ с

Ϯ ^Ŭƌŝǀ ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͘ ϱϲϭϰ с

ϴϬϰϳ с

ϯ ^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞƚ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ϰϬϬϬ н

н ϯϬ н Ϯ с ϰϱϯϮ

ϱϬϬϬ н ϭϬϬ н

н ϯ с ϱϭϰϯ

ϰ ^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ͘ 10 større

100 større

1000 større

5312 92 990

<ĂƉŝƩĞů ϮമമdĂůů

Ξ ĂƉƉĞůĞŶ Ăŵŵ ^

ϱ WůĂƐƐĞƌ ƚĂůůĞŶĞ ϭ͕ ϳ͕ ʹϮ͕ ʹϭϯ ƉĊ ƚĂůůŝŶũĂ͘

ʹϭϱ

ʹϭϬ

ʹϱ

ϭϬ

ϭϱ

ϲ ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ϭϭ ʹ ϱ с

ʹϳ н Ϯ с

ʹϯ ʹ ϴ с

ʹϱ н ϳ с

ϳ ^Ɵůů ŽƉƉ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ ϯϲϳ н Ϯϱϰ с

ϱϯϲ ʹ ϮϮϴ с

ϴ ZĞŐŶ Ƶƚ͘ Ƶ ŬũƆƉĞƌ ĞŶ ŬŝŶŽďŝůůĞƩ Ɵů ϴϱ Ŭƌ ŽŐ Ğƚ ďĞŐĞƌ ƉŽƉŬŽƌŶ Ɵů ϰϱ Ŭƌ͘ Ƶ ďĞƚĂůĞƌ ŵĞĚ ĞŶ ϮϬϬͲŬƌŽŶĞƐĞĚĚĞů͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ĨĊƌ ĚƵ ŝŐũĞŶ͍

<ĂƉŝƩĞů ϮമമdĂůů

Ξ ĂƉƉĞůĞŶ Ăŵŵ ^

DĊů r Øve på gangetabellen r Kunne multiplikasjon som gjentatt addisjon på tallinja og rutenett r Kunne multiplisere med 10, 100 og 1 000 r Kunne multiplisere med tosifrede tall

ĞŐƌĞƉĞƌ r r r r

Multiplikasjon Multiplisere Faktor Produkt

/ŶƚƌŽĚƵŬƐũŽŶ Ɵů ŬĂƉŝƩĞů ϯ Regnearten multiplikasjon Multiplikasjon er en regneart som må forstås, og multiplikasjonstabellen må automatiseres. Det viktigste er å forstå hva begrepet multiplikasjon innebærer. Det hjelper lite å kunne multiplikasjonstabellen på rams hvis man ikke vet når man skal bruke den. Multiplikasjon kan forstås og anvendes på flere måter: r som gjentatt addisjon, vi tar samme mengde flere ganger, eller vi gjør like lange hopp på tallinjen. r som proporsjonalitet, vi vet for eksempel prisen for én og skal finne ut hva flere koster, eller vi har et visst antall av noe og skal ha for eksempel fire ganger så mange. r som areal, produktet 3 · 2 kan forstås som et rektangel med sidelengder henholdsvis 3 og 2, dette rektangelet har et areal på 6 enheter. Arealmodellen illustreres ofte med et rutenett som har for eksempel to rader og tre kolonner, det er da seks ruter i rutenettet. r som kombinasjoner, vi har for eksempel to bukser og tre gensere, da har vi to ganger tre antrekk, og for hver type bukse har vi tre gensere.

Forklaring Samtale Denne samtalen er ment som en oppfriskning av det elevene allerede har lært av multiplikasjonstabellen. Multiplikasjon er en regneart som må forstås, og multiplikasjonstabellen må automatiseres. Det er viktig ikke å ta for gitt at elevene på femte trinn har automatisert multiplikasjonstabellen. På dette oppslaget er hele multiplikasjonstabellen presentert. Se på den, ﬁnn sammenhenger, og reﬂekter sammen med elevene. Vi har satt inn eksempler på spørsmål man kan stille for at elevene skal lære seg å se mønster og sammenhenger i multiplikasjonstabellen. Vær lydhør for elevenes forslag. Det er ingen fasitløsning på disse spørsmålene. Hva er sammenhengen mellom 2-, 4- og 8-gangen? Det er for eksempel mulig å se tallene i 4-gangen som en dobling av tallene i 2-gangen og tallene i 8-gangen som en dobling av tallene i 4-gangen.

ϱϬ

<ĂƉŝƩĞů ϯമമDƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ X

4 12 5

12 16 20 24 28 32 36 40

48 +

10 12 14 16 18 20

12 15 18 21 24 27 30

10 15 20 25 30 35 40 45 50

12 18 24 30 36 42 48 54 60 100 14 21 28 35 42 49 56 ͳ6399 70

16 24 32 40 48 56 64 72 80

18 27 36 45 54 63 72 81 90

Kan du gangetabellen utenat? 136 + 99

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

33 +

19 15

Bruk gangetabellen Hva er sammenhengen mellom 2-, 4- og 8-gangen? Hva er sammenhengen mellom 3-, 6- og 9-gangen? Ser du noe spesielt med 9-gangen? ,ǀŝůŬĞ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞƌ ƐǇŶĞƐ ĚƵ Ğƌ ŵĞƐƚ ƵƞŽƌĚƌĞŶĚĞ og spennende å lære? ,ǀŝůŬĞ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞƌ ƐǇŶĞƐ ĚƵ Ğƌ ůĞƩ Ċ ůčƌĞ͍

Det er viktig at elevene får arbeide med alle disse sidene av multiplikasjonsbegrepet.

Fortsette med automatiseringstrening av multiplikasjonstabellen Med automatisering av multiplikasjonstabellen mener vi at elevene umiddelbart skal kunne svaret på en multiplikasjon uten å måtte rekketelle seg fram til svaret. Selv om elevene har jobbet mye med multiplikasjonstabellen på småtrinnet, er det viktig at man ikke tar for gitt at elevene har automatisert den en gang for alle. Fortsett å øve på tabellen. Gi som lekse på ukeplanen å øve på én og én tabell. Bruk noen minutter av hver matematikktime til øvelser, spill eller aktiviteter hvor elevene må multiplisere. Utover i kapitlet kommer vi til å gi eksempler på dette.

Ukas tabell På småtrinnet har elevene øvd mye på multiplikasjonstabellen som rekker. Nå er det på tide at de frigjør seg fra rekketellingen og automatiserer multiplikasjonene. Gi tabellene som ukelekser som de skal øve på, men i endret rekkefølge. Eksempel på en ukelekse med 3-gangen kan være:

ϯ ͼ ϯ с ϵ

ϯ ͼ ϭϬ с ϯϬ

ϯ ͼ ϳ с Ϯϭ

ϯ ͼ Ϯ с ϲ

ϯ ͼ ϭ с ϯ

ϯ ͼ ϵ с Ϯϳ

ϯ ͼ ϱ с ϭϱ

ϯ ͼ ϰ с ϭϮ

ϯ ͼ ϴ с Ϯϰ

ϯ ͼ ϲ с ϭϴ

Forklaring DĊů ĨŽƌ ŬĂƉŝƚůĞƚ ͻ ͻ ͻ ͻ

Øve på gangetabellen <ƵŶŶĞ ŵƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ ƐŽŵ ŐũĞŶƚĂƩ ĂĚĚŝƐũŽŶ͕ ƉĊ ƚĂůůŝŶũĂ͕ ŽŐ ƌƵƚĞŶĞƩ <ƵŶŶĞ ŵƵůƟƉůŝƐĞƌĞ ŵĞĚ ϭϬ͕ ϭϬϬ ŽŐ ϭϬϬϬ <ƵŶŶĞ ŵƵůƟƉůŝƐĞƌĞ ŵĞĚ ƚŽƐŝĨƌĞĚĞ ƚĂůů

Hva er sammenhengen mellom 3-, 6- og 9-gangen? Kanskje noen elever vil forslå at tallene i 6-gangen er det dobbelte av tallene i 3-gangen, og at tallene i 9-gangen er summen av tallene i 3-gangen og 6-gangen.

17 ͳ

Kanskje vil noen da se at tallene i 2-gangen multiplisert med 4 blir tallene i 8-gangen.

6·6= 36

25 + 2

Ser du noe spesielt med 9-gangen? Noen elever har sikkert merket seg, eller lært, at i 9-gangen minker enerne med én og tierne øker med én for hver gang man multipliserer. Den kan også sees som at tierne er alle sifrene fra 0–9 i stigende rekkefølge, mens enerne er sifrene i synkende rekkefølge. Andre sammenhenger som dere kan se på, er at det spesielle ved 5-gangen er at annet hvert tall slutter på 5 og 0. Når man multipliserer med et oddetall, får produktet 5 på enerplassen, og når man multipliserer med et partall, får det 0 på enerplassen.

DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

ϱϭ

Multiplikasjon og faktorenes orden Multiplikasjon er kommutativ, (a · b = b · a). Det vil si at faktorenes orden er likegyldig: 3 · 5 = 15 og 5 · 3 = 15. Begge multiplikasjonene gir samme produkt. Tre ganger fem, eller fem ganger tre? Eksempel: Et lodd koster 5 kr. Hvor mye koster 3 lodd? Vi skriver 3 · 5. Noen elever vil skrive 5 · 3. Disse elevene tenker ofte 5 tatt 3 ganger. Det er uenighet om hvor nøye man skal være på rekkefølgen av faktorene. Svaret blir det samme, men innholdsmessig er det forskjell på for eksempel om tre lodd koster fem kroner hver, eller om fem lodd koster tre kroner hver. Det er vanlig hos oss å skrive et multiplikasjonsstykke slik at er at den første faktoren gir antallet grupper (multiplikator) og den andre antall elementer i hver gruppe (multiplikand). Eller sagt på en annen måte: Det første tallet angir det antall ganger vi skal ta det andre tallet. La ikke dette bli en stor sak, men legg merke til om elevene er konsekvente når de setter opp multiplikasjonsstykkene.

Denne rekkefølgen korresponderer også med vanlig notasjon i algebra, for eksempel 3a = 3 · a = a + a + a

Spill med ringer og kryss Dette er et spill hvor elevene får god øvelse i å skrive et multiplikasjonsstykke slik at den første faktoren gir antallet grupper (multiplikator) og den andre antall elementer i hver gruppe (multiplikand). To (eller tre) elever spiller sammen. De trenger tallkortene fra en vanlig kortstokk, papir og blyant. Spilleregler Spiller A trekker et kort og tegner så mange ringer på et ark som kortet viser, f.eks. 4. Elevene noterer 4 · Spiller B gjør det samme, og ev. spiller C. Spiller A trekker et nytt kort og tegner like mange kryss i hver ring som kortet viser, f.eks. 6. Eleven fullfører multiplikasjonen 4 · 6 = 24. Spiller B gjør det samme, og ev. spiller C. Hvem fikk flest kryss? Spill flere ganger. Dere kan for eksempel se hvem som har flest kryss etter fem omganger.

Forklaring 3 ͻ Multiplikasjon

Samtale Eksemplene her viser ulike måter å forstå multiplikasjon på: gjentatt addisjon, areal og like hopp på tallinje. Alle tre forståelsesmodellene skal være godt kjent for elevene. Repeter hvordan de ulike eksemplene kan skrives som gangestykker. Skriv på tavla.

5+5+5+5

DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

,Ğƌ ƚĞŶŬĞƌ ũĞŐ 3 · 5 eller 5 · 3

5 +4 Ϭ

3.1

Hvis en elev foreslår 5 · 4, så er dette en multiplikasjon som gir samme svar, men som illustrert vil bli 5 terninger som hver viser 4 øyne. Spør hvordan eleven tenker, og godta svaret uten å gjøre noe mer vesen ut av det. Men la 4 · 5 = 20 være det som står på tavla ved eksemplet. (Se teori øverst på siden.)

^ĂŵƚĂůĞ >ĂŐ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞƌ ƐŽŵ ƉĂƐƐĞƌ Ɵů ĚĞ ƚƌĞ ŝůůƵƐƚƌĂƐũŽŶĞŶĞ͘ 3

Eksempel 1 viser gjentatt addisjon, ﬁre terninger som hver viser fem øyne: 5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5 = 20

Eksempel 2 viser arealmodellen, et rutenett med 3 rader og 5 kolonner: 3 · 5 = 15 eller 5 · 3 = 15

ZĞƉĞƚĞƌĞ ŵƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

3.2

+4 8

+4 ?

,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ďŽůůĞƌ͍ ^Ŭƌŝǀ ƐŽŵ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ a) b)

Hvor mange øyne er det på terningene? ^Ŭƌŝǀ ƐŽŵ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ a)

3.3

^Ŭƌŝǀ ƐŽŵ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

7+7+7=

c ) ϭϬ н ϭϬ н ϭϬ н ϭϬ с

d )

9+9+9+9+9+9=

e) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 =

6+6+6+6+6=

Eksempel Eleven trekker en ﬁrer og tegner ﬁre ringer. Neste gang trekker han en sekser og tegner seks kryss i hver ring. 叩叩叩叩叩叩

叩叩叩叩叩叩

á [ ã ßá

Oppgave 3.4 Elevene skal bruke rutenett som metode for multiplikasjon, arealmodellen. Elevene teller antall ruter i en rad og antall ruter i en kolonne og multipliserer disse sammen. Elevene kan telle ruter for å kontrollere at de har regnet riktig. Oppgave 3.5 Elevene skal tegne rutenett som passer til oppgaven. Oppgave 3.6 De elevene som trenger det, oppfordres til å tegne tallinja i boka si og skrive på tallene som visuell støtte. Oppgave 3.7 Elevene skal tegne tallinjer som passer til oppgavene. Oppgave 3.8 De elevene som trenger det, kan bruke tallinje eller rutenett som visuell støtte.

Forklaring 3.4

3.5 3.6

,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƌƵƚĞƌ͍ ^Ŭƌŝǀ ƐŽŵ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ a) b)

dĞŐŶ ƌƵƚĞŶĞƩ ƐŽŵ ƉĂƐƐĞƌ Ɵů ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ͘ a) 7 · 3 = b) 5 · 4 =

Eksempel 3 viser like hopp på tallinje. 4 · 4 = 16 Oppgave 3.1 Oppgavene illustrer multiplikasjonene 3 · 8 og 4 · 8.

c) 4 · 4 =

Som vi har skrevet i teoridelen over, blir det riktig å bruke 8 som multiplikand (andre faktor) ettersom det er antall boller vi skal ﬁnne ut. Husk at elever som skriver omvent, nødvendigvis ikke tenker feil, bare annerledes. Det viktigste er at de forstår at de skal multiplisere.

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ^Ğ ƉĊ ƚĂůůŝŶũĂ͘ +6

3.7

a) 2 · 6 =

3·6=

c) ϭ ͼ ϲ с

d) 4 · 6 =

6·6=

Oppgave 3.2 Som oppgave 3.1, her er det antall øyne vi skal ﬁnne ut.

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ dĞŐŶ ƚĂůůŝŶũĞƌ ƐŽŵ ƉĂƐƐĞƌ Ɵů ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ͘ a) 5 · 7 =

3.8

6·5=

b) 8 · 3 =

c) 7 · 7 =

Oppgave 3.3 Multiplikasjon som gjentatt addisjon.

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) 4 · 8 =

b) 3 · 7 =

c) 8 · 7 =

d) 9 · 6 =

e) 8 · 9 =

f) 6 · 4 =

g) ϱ ͼ ϭϬ с

h) 9 · 9 =

ŝ Ϳ 6 · 6 =

Oppgave 3.4–3.8 – se over

DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

Å lage tekstoppgaver og illustrasjoner til multiplikasjonsstykker Når elevene skal lage tekstoppgaver og illustrasjoner til ferdige multiplikasjoner, er det med på å utvikle deres forståelse av multiplikasjon som regneart, og som lærer får du innblikk i elevenes forståelse. Eksempel: 8 · 7 Tekstoppgave: I en hage er det 8 trær med 7 epler på hvert tre. Hvor mange epler er det i hagen? Illustrasjon: Eleven tegner 8 trær med 7 epler på hvert tre. Hvis elevene har mangelfull forståelse av multiplikasjon som regneart, kan det hende at de bare tegner 8 trær og 7 epler ved siden av. (Ikke sju epler på hvert tre.) Hvis du som lærer ser dette, er det viktig at du går inn og spør hva eleven har tenkt. Det kan også hende at vedkommende bare har rasjonert fordi det blir mye å tegne. Da kan du for eksempel foreslå at han/hun tegner en pil fra gruppa med 7 epler til hver av de 8 trærne.

Spill: Hvem får størst rektangel? Dette er et spill hvor elevene får mange erfaringer med å arbeide med multiplikasjon i rutenett. Dette er erfaringer som er viktig å ha med seg for å forstå bruken av rutenett, og siden tomt rutenett, i multiplikasjon med ﬂersifrede tall. Spilleregler To eller tre elever spiller sammen. De trenger ruteark, blyant og tallkort eller terning. Spillet går ut på å tegne rektangler på rutearket. Kortene/terningkastene avgjør rektanglenes lengde og bredde. Minn om at et kvadrat også er et rektangel, et spesialtilfelle der sidekantene er like. Spiller A trekker et kort / kaster terning og tegner en strek langs like mange ruter som terningens øyne / tallet på kortet viser. Spiller B gjør det samme, og eventuelt spiller C. Spiller A trekker kort / kaster terning på nytt og tegner rektangelets andre sidekant. Spiller B gjør det samme, og eventuelt spiller C. Nå kan spillerne tegne ferdig rektangelet og ﬁnne ut hvor stort det er (antall ruter).

Forklaring 3 ͻ Multiplikasjon

Oppgave 3.9–3.11 Multiplikasjon i tabellform. Elevene fyller ut tabellene. Husk svarsetninger i oppgave 3.10 b) og c). Sammen Snakk med elevene om hvilke sammenhenger de ser i tabellen (3.11), og hva som er spesielt med tallene i 5-gangen. (Se kommentarer til s. 50 og 52.)

3.10

ŶƚĂůů ƐǇŬůĞƌ

ŶƚĂůů ŚũƵů

Hvor mange kroner koster kakene? a) 'ũƆƌ ĨĞƌĚŝŐ ƚĂďĞůůĞŶ͘ 1

6 kr

WƌŝƐ b) Hvor mange kroner koster tre kaker? c ) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƌŽŶĞƌ ŬŽƐƚĞƌ ĊƩĞ ŬĂŬĞƌ͍

3.11

'ũƆƌ ĨĞƌĚŝŐ ƚĂďĞůůĞŶ͘ 2

Oppgave 3.13 b) Legg merke til hvilken strategi elevene velger, dobling, multiplikasjon med 2 eller om de lager et nytt multiplikasjonsstykke med 10 · 7 eller 7 · 10.

·4

·8

ϭϲ

^ĂŵŵĞŶ ͻ ^Ğ ƉĊ ƚĂůůĞŶĞ ŝ ƚĂďĞůůĞŶ ŝ ŽƉƉŐĂǀĞ ϯ͘ϭϭ͘ ,ǀŽƌ ƐƚŽƌ ǀĞƌĚŝ ŚĂƌ ƐǀĂƌĞŶĞ ŝ ϴͲŐĂŶŐĞŶ ŝ ĨŽƌŚŽůĚ Ɵů svarene i 4-gangen? ͻ ^Ŭƌŝǀ ƐǀĂƌĞŶĞ ŝ ϱͲŐĂŶŐĞŶ͘ ^Ğƌ ĚĞƌĞ ŶŽĞ ƐƉĞƐŝĞůƚ͍

DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŚũƵů Ğƌ ĚĞƚ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ ƉĊ ƚƌĞŚũƵůƐǇŬůĞŶĞ͍ 'ũƆƌ ĨĞƌĚŝŐ ƚĂďĞůůĞŶ͘

Antall kaker

Oppgave 3.12 a) Tallfølgene tilsvarer tallene i den kjente delen av 4-gangen. b) Tallfølgene tilsvarer den kjente delen av 6-gangen. c) Tallfølgene går ut over den kjente delen av 6-gangen.

3.9

Variant Hvem har fått det største rektangelet etter 5 kast på hver? Hvem har rektangler som dekker størst ﬂate til sammen?

Spiller A kaster på nytt og får 2, spiller B får 4.

Spiller A kaster terning og får 5, spiller B får 4.

Spiller A får 5 · 2 = 10 ruter, spiller B får 4 · 4 = 16 ruter.

Forklaring 3.12

3.13

&ŽƌƚƐĞƩ ƚĂůůĨƆůŐĞŶĞ͘ a)

ϭϮ

ϯϬ

Oppgave 3.14 Denne oppgaven kan ﬁnt brukes som muntlig oppgave hvor man reﬂekterer over hvordan svarene forandrer seg i forhold til tilhørende oppgave.

KŵĂƌ ƉůĂŶƚĞƌ ďůŽŵƐƚĞƌ͘

Sammen Elevene lager tekstoppgaver og illustrasjoner som svarer til multiplikasjonene. Se teori øverst på siden.

a) Hvor mange blomster har Omar plantet? Skriv som gangestykke ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘ b) :ĞŶƐ ďĞƐƚĞŵŵĞƌ ƐĞŐ ĨŽƌ Ċ ƉůĂŶƚĞ dobbelt så mange blomster som KŵĂƌ ŚĂƌ ƉůĂŶƚĞƚ͘ Hvor mange blomster vil Jens plante? ^Ŭƌŝǀ ƐŽŵ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞ ŽŐ ƌĞŐŶ Ƶƚ͘

3.14

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) ϯ ͼ ϳ с Ϯϭ b) 9 · 8 = 72 c ) 7 · 6 = 42 d) 3 · 9 = 27 e) ϭϬ ͼ ϰ с ϰϬ

2·7= 8·8= 8·6= 4·9= 9·4=

Ser du sammenhengen?

^ĂŵŵĞŶ >ĂŐ ƚĞŬƐƚŽƉƉŐĂǀĞƌ ŽŐ ƚĞŐŶŝŶŐĞƌ ƐŽŵ ƉĂƐƐĞƌ Ɵů ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ 8·7

ϭϬ ͼ ϲ

9·3

DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

Multiplikasjon med 10, 100 og 1000 Det er vanlig å si: «Når vi multipliserer med 10, legger vi til en null». En slik forståelse fører lett til misoppfatninger, for dersom elevene bruker dette når de møter desimaltall, blir det feil. Vi ønsker at dere skal presisere at når vi multipliserer et tall med 10, flytter sifferet på enerplassen til tierplassen, og det blir null på enerplassen. Skriv på tavla og vis hva som skjer. Spør elevene: «Hva tror dere skjer når vi multipliserer et tall med 100»? Skriv på tavla, og vis at sifferet på enerplassen flytter til hundrerplassen og det blir null både på enerplassen og tierplassen. Hvis elevene sier for eksempel: «Det blir to nuller bak», kan du spørre videre hvilke to plasser de to nullene står på. Vis med et tosifret tall, for eksempel 16 · 100 = 1600. Sifferet på enerplassen flytter til hundrerplassen, og sifferet på tierplassen flytter til tusenerplassen, det blir null på enerplassen og tierplassen.

Spill: Multiplikasjon med 10, 100 og 1000 Spillet passer for 2–4 elever. Bruk en vanlig kortstokk og del kortene i to bunker, én med bare tallkort og én med bare bildekort. Knekt betyr multiplisert med 10, dame betyr multiplisert med 100, og konge betyr multiplisert med 1000. Etter tur trekker elevene to kort fra tallkortbunken og ett kort fra bildekortbunken, lager et multiplikasjonsstykke og skriver opp produktet. Eksempel: Eleven trekker en treer, en åtter og en dame. Han kan da velge om han vil si 83 · 100 eller 38 · 100. Eleven velger for eksempel 38 · 100 og skriver opp 3800. De gjør dette tre ganger hver og adderer de tre produktene. Den som kom nærmest 50 000 i sum, har vunnet. Husk ukas tabell til ukeplanen!

Forklaring 3 ͻ Multiplikasjon

Oppgave 3.15 Tallfølger i det kjente området av multiplikasjonstabellen.

3.15

a) b)

3.16

ϭϮ

^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘

3.17

DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ

ϭϴ

a) 3 ·

Oppgave 3.17 a), b) og c) er enkle multiplikasjoner. Husk svarsetning med poeng som benevning. d), e) og f) er sammensatte oppgaver merket med smilefjes.

Oppgave 3.16 Denne oppgavetypen er viktig for å forstå sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon, og for å forstå likhetstegnet.

Differensiering Bytt poeng på bøttene og la elevene regne med andre tall. Til de svake elevene kan du velge enklere tall, for eksempel: gul bøtte 3 poeng, rød bøtte 4 poeng og blå bøtte 5 poeng. For elever som trenger ekstra utfordring, kan du bytte poeng til for eksempel: gul bøtte 11 poeng, rød bøtte 12 poeng og blå bøtte 13 poeng.

^Ŭƌŝǀ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ ŝ ƚĂůůĨƆůŐĞŶĞ͘

с ϭϮ

ͼ Ϯ с ϮϬ

c) 5 · 6 =

· 9 = 63

= 24

ͼ ϵ с ϴϭ

ůĞǀĞŶĞ ŝ ŬůĂƐƐĞ ϱĂ ŬĂƐƚĞƌ ͨ Ăůů ŝ ďƆƩĂͩ͘ ,ǀĞƌ ĞůĞǀ ŬĂƐƚĞƌ ϵ ďĂůůĞƌ͘ 9 8 poeng poeng

7 poeng

a) <Ăƌŝ ƚƌĞīĞƌ ŵĞĚ ϯ ďĂůůĞƌ ŝ ĚĞŶ ƌƆĚĞ ďƆƩĂ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽĞŶŐ ĨĊƌ <Ăƌŝ͍ b) WĞƌ ƚƌĞīĞƌ ŵĞĚ ϲ ďĂůůĞƌ ŝ ĚĞŶ ďůĊ ďƆƩĂ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽĞŶŐ ĨĊƌ WĞƌ͍ c) EŽŽƌ ƚƌĞīĞƌ ŵĞĚ ϱ ďĂůůĞƌ ŝ ĚĞŶ ŐƵůĞ ďƆƩĂ ŽŐ ϯ ďĂůůĞƌ ŝ ĚĞŶ ďůĊ ďƆƩĂ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽĞŶŐ ĨĊƌ EŽŽƌ͍ d) Ěŝů ƚƌĞīĞƌ ŵĞĚ ϯ ďĂůůĞƌ ŝ ĚĞŶ ŐƵůĞ ďƆƩĂ͕ ϰ ďĂůůĞƌ ŝ ĚĞŶ ďůĊ ďƆƩĂ ŽŐ Ϯ ďĂůůĞƌ ŝ ĚĞŶ ƌƆĚĞ ďƆƩĂ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽĞŶŐ ĨĊƌ Ěŝů͍ e)

Hvor stor er den største poengsummen en elev kan oppnå?

f ) >ĞŐŐ ƐĂŵŵĞŶ ƉŽĞŶŐƐƵŵŵĞŶĞ Ɵů <Ăƌŝ͕ WĞƌ͕ EŽŽƌ ŽŐ Ěŝů͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽĞŶŐ ĨĊƌ ĚĞ Ɵů ƐĂŵŵĞŶ͍

hŬĂƐ ƚĂďĞůů Ɵů ŚũĞŵŵĞůĞŬƐĞ ƉĊ ƵŬĞƉůĂŶĞŶ 5·6=

2·7=

3·8=

4·9=

2·6=

5·7=

5·8=

7·9=

ϴ ͼ ϲ с

ϭ ͼ ϳ с

ϴ ͼ ϴ с

ϯ ͼ ϵ с

3·6=

6·7=

9·8=

9·9=

ϳ ͼ ϲ с

ϵ ͼ ϳ с

ϭ ͼ ϴ с

ϲ ͼ ϵ с

ϭ ͼ ϲ с

ϳ ͼ ϳ с

ϲ ͼ ϴ с

ϭ ͼ ϵ с

ϵ ͼ ϲ с

ϭϬ ͼ ϳ с

ϭϬ ͼ ϴ с

ϱ ͼ ϵ с

ϰ ͼ ϲ с

ϰ ͼ ϳ с

ϰ ͼ ϴ с

ϭϬ ͼ ϵ с

ϭϬ ͼ ϲ с

ϯ ͼ ϳ с

Ϯ ͼ ϴ с

Ϯ ͼ ϵ с

6·6=

8·7=

7·8=

8·9=

Forklaring DƵůƟƉůŝƐĞƌĞ ŵĞĚ ϭϬ͕ ϭϬϬ ŽŐ ϭϬϬϬ

Du kan også la elevene selv velge hvilke tall som skal stå på bøttene.

SĂŵtale ,ǀĂ ƐŬũĞƌ ŵĞĚ ƐǀĂƌĞƚ ŶĊƌ ĚƵ ŵƵůƟƉůŝƐĞƌĞƌ ŵĞĚ ϭϬ͕ ϭϬϬ ŽŐ ϭϬϬϬ͍ ϯ ͼ ϭϬ с ϯϬ

Utvid oppgaven Som introduksjon til det som kommer på neste side, kan dere snakke sammen om hva som må ha skjedd hvis man får 70 poeng, 80 poeng og 90 poeng når man kaster i bøttene.

ϯ ͼ ϭϬϬ с ϯϬϬ ϯ ͼ ϭϬϬϬ с ϯϬϬϬ

3.18

3.19

3.20

ZĞŐŶ Ƶƚ͘ a) Ϯ ͼ ϭϬ с Ϯ ͼ ϭϬϬ с Ϯ ͼ ϭϬϬϬ с

c) ϵ ͼ ϭϬ с ϵ ͼ ϭϬϬ с ϵ ͼ ϭϬϬϬ с

Samtale Veiledning til samtalen, se øverst på siden.

DƵůƟƉůŝƐĞƌ ƚĂůůĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ ŵĞĚ ϭϬ͕ ϭϬϬ ŽŐ ϭϬϬϬ͘ a) 5 b) 9 c) ϭϲ d) ϰϬ e) 37 f ) 99 g) ϭϬϭ h) ϯϬϴ

Oppgave 3.18 og 3.19 Elevene skal bruke det dere nettopp har snakket om. Måten oppgave 3.18 er stilt opp på, gjør at elevene skal se sammenheng og mønster.

^ĞƩ ŝŶŶ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ ^Ŭƌŝǀ ƌĞŐŶĞƐƚǇŬŬĞŶĞ͘ a) 24 · d)

с ϮϰϬ

ͼ ϭϬ с ϱϲϬ

g) ϭϬϬ ͼ ϭϬ с

3.21

b) ϰ ͼ ϭϬ с ϰ ͼ ϭϬϬ с ϰ ͼ ϭϬϬϬ с

b) 24 ·

с ϮϰϬϬ

c) 24 ·

e) ϭϬϬ ͼ

с ϰϱϬϬ f )

h) ϭϮϬ ͼ

с ϭϮϬϬ ŝ Ϳ ϯϱϬ ͼ

с Ϯϰ ϬϬϬ

ͼ ϭϬϬϬ с ϯϮ ϬϬϬ с ϯϱ ϬϬϬ

Oppgave 3.20 Oppgaven handler om multiplikasjon med 10, 100 og 1000 og er viktig for forståelse av likhetstegnet.

>ĂŐ ĮƌĞ ŐĂŶŐĞƐƚǇŬŬĞƌ Ɵů ŚǀĞƌƚ Ăǀ ƐǀĂƌĞŶĞ͘ с ϭϬϬ

с ϰϬϬ

с ϭϬϬϬ

Oppgave 3.21 Dette er en vanskelig oppgave som er merket med smilefjes, men kanskje de ﬂeste klarer å lage en oppgave til hvert produkt.

DƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ