ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ -СОФИЯ Писмен конкурсен изпит по МАТЕМАТИКА - 8 юли 2006г. Задача 1. Решете уравненията: а)
(
)
52 x + 5 x − 5 5 x + 1 = 0 ; 3x − x 2 − 6 x + 5
б)
2x + 5
= 1.
Задача 2. Даден е ромб ABCD, със страна АВ=а и ∠BAD = α . Двете прави p и l минават през точката А, като р пресича ВС в точката М, а l пресича CD в точката N. a) Ako MN e успоредна на ВD и АС пресича MN в точката Е, като АЕ:АС=2:3, да се намери дължината на MN; б) Ако S ABM = S ADN =
2 S ABCD , да се намерят дължините на АN и ВN. 5
Задача 3. Дадено е уравнението x + (k − 3)x + k = 0 2
а) За коя стойност на параметъра уравнението има различни реални корени? б) Да се намерят локалните екстремуми на функцията f (k ) =
x1 x 2 + . x 2 x1
Задача 4. Основата на пирамидата ABCDМ е произволен четириъгълник, за който АВ=9см, ВС=10см, ∠ABC =
π 3
сключват с основата ъгли с големина
, ∠ADC =
2π и всички околни стени 3
π
. 3 а) Да се докаже, че в ABCD може да се впише окръжност. б) Да се намери обема на пирамидата. 1 2
Отговори: 1а) x = ; 1б) x = 5 ; 2а) MN =
a 4a α sin ; 2б) AN = 41 + 40 cos α , 3 2 5
a 26 − 10 cos α ; 3а) k ∈ (− ∞;1) ∪ (9;+∞ ) ; 3б) f min = f (3) = −2; f max = f (−3) = −14 ; 5 4б) V = 60 3 BN =