ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - ВАРНА Кандидатстудентски изпит по математика – 14.07.2006
Тема 3
Задача 1. Да се намерят: а) първият член и разликата на аритметична прогресия, за която
a3 + a 5 − a1 = 25 a 4 + a 6 − a 2 = 29; б) решенията на системата 1 − log 3 x + log 32 x = 1 1 + log 3 x 4 x − 2 x +3 + 8 < 2 x. Задача 2. Дадено е квадратното уравнение x 2 − (a + 1)x + a 2 = 0, където a е реален параметър. а) За кои стойности на а числото 1 е корен на уравнението. б) Ако x1 и x 2 са реални корени на уравнението, за кои стойности на а, сумата x13 + x 23 е най-голяма? Задача 3. Даден е триъгълник ABC със страни CA = 5, BC = 97 и медиана CM = 6 . а) Да се определи дължината на страната AB .
б) Нека N принадлежи на отсечката ВС, CN =
97 и D е пресечна точка на AN 3
и CM. Да се определи разстоянието от центъра на вписаната окръжност в триъгълника ADM до средата на отсечката АМ. Задача 4. Даден е куб ABCDA1 B1C1 D1 с дължина на ръба 4. През точките A, C и средата M на B1C1 минава равнина α . Да се намерят: а) лицето на сечението на равнината α с куба; б) обемите на двете тела, на които равнината α разделя куба.