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Modelado de la ecuación de calor de una barra de longitud finita con condiciones iniciales y de borde, en función del tiempo y longitud utilizando el método de separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales.

Ing. Bustos Gaibor Arcesio Instituto de Ciencias Físicas, Escuela Superior Politécnica del Litoral, Campus Gustavo Galindo Km 30.5 Vía Perimetral, Apartado 09-01-5863, Guayaquil, Ecuador E-mail:afbustos@espol.edu.ec o ing.arcesiobustos@yahoo.com

Resumen El objetivo del presente trabajo es determinar la ecuación de temperatura en función del tiempo y la longitud de una barra finita que se encuentra sometida a condiciones de frontera o borde y condiciones iniciales. Para la resolución del problema es necesario establecer una estrategia específica que dependerá de las condiciones antes anotadas y cuya metodología de solución se basa o enmarca en las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, que pueden ser resueltas a través del método de separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales, con la ayuda de las series de Fourier, que generan integrales para la deducción de los coeficientes de Fourier, como metodología para el cálculo de la solución al problema, que generara una función en forma de series o sumatorias en función del tiempo y longitud

Palabras claves: Función, condiciones de borde, condiciones iniciales, método de separación de variables, serie de Fourier, integrales, ecuaciones diferenciales parciales

Abstract The objective of this study is to determine the equation of temperature versus time and the finite length of a bar which is subjected to conditions border or edge and initial conditions. To solve the problem it is necessary to establish a specific strategy that depends on the conditions listed above and whose methodology is based solution or part of the solutions of parabolic partial differential equations, which can be solved by the method of separation of variables for equations partial differential with the help of Fourier series, integrals generated for the deduction of the Fourier coefficients, as a methodology for calculating the solution to the problem, generate a function as a series or summative function of time and length.

Keywords: function, boundary conditions, initial conditions, method of separation of variables, Fourier series, integrals, partial differential equations

1

INTRODUCCIÓN.

Uno de los fenómenos físicos que mayor diversidad de condiciones es la transferencia y flujo de calor que atraviesa una sección o superficie son muchas es la posible establecer un sin número de ecuaciones. Debido a que cada sustancia o cuerpo tiene características especiales y específicas que pueden particularizar un problema. Ya que el flujo de calor es de carácter tridimensional cada problema especifica las condiciones para establecer condiciones de movimiento unidimensionales, bidimensiones o tridimensionales y que las características de la sección por el cual fluye el calor determina un sistema de ejes cartesiano, cilíndrico o esférico. Es por esto que es necesario estrategias y metodología especifica que se adapte a cada problema pero bajo la base de las series de Fourier y el método de separación de variable para la solución de ecuaciones diferenciales.

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Por otra parte, la ecuación de calor demuestra la forma en que se distribuye el calor en función de cada una de las variables de movimiento del flujo de calor y del tiempo durante el cual ocurre dicho desplazamiento .

La ecuación de calor y su regla de correspondencia se basa en el laplaciano de la función de calor y en coordenadas cartesianas se escribe como [ ].

OBJETO DE ESTUDIO.

El objeto del presente estudio es determinar la ecuación del flujo de calor en función de la longitud y tiempo de acuerdo a las condiciones existentes del problema haciendo uso del cálculo integral y de soluciones de ecuaciones diferenciales y en especial el método de separación de variables y series de Fourier

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 El flujo de calor dentro de la varilla solo tiene una dirección  La superficie lateral o curva de la varilla está aislada, esto indica que no fluye o escapa calor por estas superficies  No se genera calor dentro de la varilla.  La varilla es homogénea, esto indica que su densidad es constante  El calor específico, la conductividad térmica del material son constantes.

FUNDAMENTACION TEÓRICA.

Para coordenadas cilíndricas se escribirá como: (

)

Y para coordenadas esféricas tendremos [ ]: (

)

(

)

El método de separación de variables Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales parciales nuestro objetivo es buscar una solución de una ecuación diferencial parcial expresándola como una combinación lineal de componentes simples donde n tendrá los valores que deben satisfacer dicha ecuación con ciertas condiciones de borde lo cual nos indica debe ser de carácter lineal y homogénea y que pueda escribirse como como funciones separadas de la siguiente forma [ ]

Cabe indicar que para cumplir estos requisitos debe tener las siguientes características [ ]:

Para el problema que resolveremos en el presente trabajo analizaremos la ecuación de calor unidimensional es decir cuando el calor fluye que es un modelo matemático que describe el flujo del calor a través de un sólido que para este caso en particular es a lo largo de un eje que podría ser x, y o z.[ ] Ante lo cual la ecuación de calor será en coordenadas cartesianas y con el laplaciano reducido a una sola dimensión que escogeremos como x

A partir de esta ecuación, las condiciones de frontera y condición inicial se podrán establecer la ecuación de calor en función del tiempo y longitud, expresada en una serie de Fourier que deberá ser resuelta. Una serie de Fourier es una serie infinita de una función periódica que se descompone en una suma infinita de funciones seno y coseno ya que lo que se desea es representar una función periódica como una suma de funciones de onda como lo son el caso de las funciones seno y coseno y cuya forma es[ ]. ∑[

]

Así también el método de Fourier se simplifica de acuerdo al tipo de función sobre la cual se trabaja y las clasifica en funciones pares e impares[ ]. Si la función es par es decir cumple que para cualquier solo se calcula y si la función es impar es decir cumple que para cualquier solo se calcula El problema a resolver se trata de una barra metálica de sección transversal circular aislada térmicamente en su sección lateral, la temperatura en el final de la barra es el opuesto de la temperatura a inicio de esta. El valor de la constante es de 0,5 y la temperatura [ ] inicial es

4

Realizamos un cambio de variable, la variable de la función se reemplaza por la variable para establecer una mejor aproximación al fenómeno a estudiar

Determinamos la longitud de la barra a partir de los límites o dominio de la función y establecemos el tiempo como positivo

A partir de las expresiones del problema establecemos las condiciones de frontera como:

Y las condiciones iniciales en función de x

FORMULACION DEL PROBLEMA

Determinar la ecuación del flujo de calor en función del tiempo y posición para una barra metálica de longitud finita con constate aislada lateralmente, cuyos extremos se encuentran a temperaturas opuestas y cuyo flujo de calor inicial es la función .

{

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en función del tiempo y la longitud y su respectivo laplaciano unidimensional en el eje x

RESOLUCION DEL PROBLEMA

Con las características del problema se establecerán estrategias y métodos de solución más convenientes para . Desarrollo: Para resolver el problema primero establecemos el modelo matemático adecuado para el flujo de calor

{ Se establece el método de separación de variables para resolver el problema. (1) Derivamos parcialmente la función de temperatura con respecto a las variables x y t de acuerdo a la ecuación de flujo de calor, es decir determinaremos la segunda derivada de T con respecto a x y la primera derivada de T con respecto a t

Reemplazamos las derivadas parciales (2) y (3) en la ecuación de flujo de calor unidimensional tenemos que:

( ) Recordemos que

Reescribimos la ecuación como: Por lo que la ecuación anterior se puede escribir como: Igualamos la ecuación anterior a la constante Con este resultado podemos determinar que:

Separamos las ecuaciones y resolvemos para cada una de ellas.

Matemáticamente por igualación podemos establecer que:

Se resuelve para la primera relación.

Ante estos resultados podemos afirmar que ya que el valor de .

Desarrollamos la ecuación

Establecido el valor de N entonces calculamos el valor de usando la ecuación que se convierte en una identidad cuando

La solución de la ecuación diferencial anterior es:

Por lo cual

de

términos

(4) Utilizamos las condiciones de borde o frontera para determinar los valores de M y N de la ecuación (4)

Para Simplificando el valor de tendremos que:

Recordemos que las condiciones de frontera son los valores de x los que se evalúan al inicio y final de la barra para cualquier tiempo en la ecuación 1

de la ecuación

(6) Con el resultado de la ecuación (6) y reemplazado en (4) podemos afirmar que: [

]

(7)

Resolvemos para la segunda relación. Por lo tanto: Ante lo cual simplificamos

y obtenemos: (5)

Evaluando en la ecuación (4) y (5) tendremos que:

Desarrollando la establecer que:

relación

anterior

podemos

Con las condiciones iniciales del problema evaluadas en la ecuación (13) tendremos: La solución a la ecuación diferencial anterior es:

[

]

(9) Por lo tanto:

Donde

Reemplazamos (9) y (10) en la ecuación (8) para determinar el valor de r.

Simplificando el término se reduce a:

[

(10)

]

Insertamos el termino de y k se reemplaza por para establecer la serie de Fourier para funciones pares que es la función a resolver en el problema [

la expresion anterior

]

Calculamos utilizando las series de Fourier para encontrar la función de flujo de calor. [

Por lo que se puede establecer que:

]

Por ser una función particionada la integral de la ecuación anterior se convierte en: Reemplazando las expresiones (6) y (11) en la ecuación (9) tendremos:

[∫

[

] [

∫ ]

Con las relaciones (7) y (12) reemplazadas en (1) tendremos. [

]

Fusionamos las variables para convertirla en k y reescribimos la ecuación anterior como: [

]

Para los valores de podemos escribir la ecuación como una sumatoria y aproximamos a una serie de Fourier y por tratarse de una función par escribiremos como: ∑

[ ]

]

Calculamos las integrales por separado utilizando las técnicas adecuados de integración Para la primera integral tenemos que utilizar la técnica de integración por partes [ ] donde: ∫

∫ [

] [

]

Aplicando la anteriormente descrito se establece que:

[

]

[

∫ [

]

]| [

]

Recordemos las integrales trigonométricas y en especial la integral del seno de una función de esta manera sabremos que [ ]:

[

]

[

]

∫ Por lo que: ∫

[

] [

]| [

]|

Evaluando para los límites de integración tenemos que:

Para el cálculo de la segunda integral usaremos la integral del coseno [ ]: ∫

[

]

Por lo cual * [

+

[ [

] [

+ ]

]|

Evaluando para los límites de integración tenemos que:

] ∫

*

+

*

+

[

[

] *

Donde

]

Remplazamos estos valores en la ecuación y tendremos que:

Donde

[

]

[

]

*

+

[

]

*

+

Reemplazando estos valores en la ecuación de la integral tendremos que:

[

] ∑ (

[

)

]

[

] [

∑ ∫

[

[

]

]

] 6

Por lo tanto reemplazando (16) y (17) en la ecuación (15) tendremos [

]

[

CONCLUSIONES

Se ha podido establecer que el modelo matemático resultante como solución de un problema es especifico de las condiciones iniciales y finales del problema por tal motivo no es posible implantar un mecanismo especifico de solución. Es posible establecer ciertos pasos, que seria un procedimiento o guía de solución a un problema de este tipo, pero no un algoritmo de solución.

]

Estos pasos podrían ser: Calculamos también el valor de ∫

[∫

]

Resolviendo la integral tendremos que: [

|

| ]

Evaluando en los límites de la integral se obtendrá: [

[

(

a.

Formulación del modelo matemático acuerdo al fenómeno estudiado.

b.

Deducción de las condiciones iniciales y de frontera que existan en el problema.

c.

Establecer la ecuación para la separación de variables de acuerdo al número de variables relacionadas al problema.

d.

Derivar de acuerdo a la variable de estudio.

e.

Utilizar las condiciones de frontera y la ecuación de posición para establecer valores de constantes de la solución.

f.

Utilizar las condiciones iniciales y la ecuación del tiempo para determinar los valores de las constantes de dicha solución.

g.

Utilizar la ecuación del tiempo, posición y series de Fourier para establecer una ecuación en función del tiempo y posición.

)]

]

de

Para el caso de estudio de este documento la ecuación encontrada fue: Con los valores de podemos determinar la ecuación de calor en función del tiempo y distancia

[

]

Lo que señala que se trata de una función par para n impares 7

REFERENCES.

[1].Kent Nagle. Fundamentos de ecuaciones diferenciales pag 529, 2005 [2].Dennis Zill. Ecuaciones diferenciales pag 438, 2009 [3].Kreyszig. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Volumen II pag84, 1994 [4].Willian Hayt, Teoría electromagnética pag 174, 2006 [5].Paper. La ecuación del calor, Profesor Luis Caffarelli Departamento de Matemáticas Universidad de Texas 2003 [6]. http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier [7].Espol, Fundamentos matemáticos, pag 266 2007 [8].Paper Ricardo Adra Solución de problemas de ingeniería software libre: octave, 2003 [9].Louis Leithold, El cálculo pag 547, 1998 [10].Edwin Purcell, Calculo, pag 199, 2007


Ecuacion del calor