UNIDAD 4 (156-193)C
:Maquetación 1
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Volumen de conos Así como se puede relacionar el volumen de un prisma con el de un cilindro de igual altura, también podemos relacionar el volumen de una pirámide con el de un cono de igual altura. Observa.
h
Analicemos... • • •
Recuerda que... Los conos son cuerpos generados por rotación de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus catetos. C C
Generatriz (g)
Si la base de la pirámide y la del cono tienen igual área, ¿se puede afirmar que estos cuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué? ¿En este caso también se aplica el principio de Cavalieri? Justifica. Si se conoce el radio de la base y la altura del cono, ¿qué expresión se puede utilizar para calcular su volumen? Explica.
La pirámide y el cono de la imagen anterior tienen la misma altura y sus bases tienen igual área. Según el principio de Cavalieri, si sus secciones planas a la misma altura son iguales, los volúmenes también lo son; por tanto, se puede calcular el volumen a partir del volumen de la pirámide. 1 Vpirámide = Vcono = h · B (B: área de la base) 3 Luego,
A
B
B r
Vcono =
1 h · π · r2 3
Del mismo modo que en otros cuerpos, la expresión para calcular el volumen del cono no cambia si se trata de un cono recto u oblicuo; de hecho, no depende de su inclinación, sino de su altura. Esto también se explica por el principio de Cavalieri. En el caso de un tronco de cono, el volumen se puede calcular como la diferencia entre el volumen del H cono, si estuviera completo, y el cono menor que lo complementa, es decir: 1 1 VTronco de cono = πHR 2 – πar 2 3 3
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a r h R
R