UNIDAD 3 (98-155)C
:Maquetación 1
4/11/10
16:50
Página 137
Unidad 3
Ejemplo 1 Dado un plano Π que pasa por los puntos P (1, 1, 1), Q (2, 1, 2) y R (0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano?, ¿cuál es su ecuación cartesiana? Para obtener la ecuación vectorial pedida, primero se determinan los vectores directores. →
→
→
QP = p – q = 1 – 2, 1 – 1, 1 – 2 = –1, 0, –1 → → → RP = p – r = 1 – 0, 1 – 2, 1 + 1 = 1, –1, 2
Recuerda que...
Luego, la ecuación vectorial del plano es: Π : x, y, z = 1, 1, 1 + λ –1, 0, –1 + μ 1, –1, 2 Igualando componente a componente, se obtienen las ecuaciones:
x = 1 + –1 · λ + 1 · μ y = 1 + 0 · λ + –1 · μ z = 1 + –1 · λ + 2 · μ
x – z = –μ y=1–μ
x – y – z = –1
• Si P y Q son puntos que pertenecen a una recta o plano, un → vector director posible es QP . • Cualquier punto de un plano o recta se puede utilizar como vector posición.
se elimina μ se elimina λ
Z
Por lo tanto, la correspondiente ecuación cartesiana es: x – y – z = –1. Observa que P, Q y R satisfacen esta ecuación. Ejemplo 2 Dados tres puntos, P (0, 0, –1), Q (2, 1, 1) y R (4, 1, 4), no colineales. • •
Determina la ecuación vectorial del plano Π que pasa por los puntos P, Q y R. Determina un punto T, tal que el cuadrilátero PQRT sea un paralelogramo. ¿El punto T pertenece al plano Π? Justifica.
La ecuación del plano que pasa por los puntos P, Q y R es: →
→
→
x, y, z = p + λ PQ + μ PR , con λ, μ 僆 IR. x, y, z = 0, 0, –1 + λ 2, 1, 2 + μ 4, 1, 5 Se obtiene T de la siguiente manera: →
→
→
→
→
→
R Q Y P
X
Pon atención Ya que PQRT debe ser un paralelo→ gramo, t se obtiene de sumar el → → vector posición p y el vector QR , que representa la dirección y me→ dida del lado QR . Observa.
→ → →
Z
t = p + QR = p + (r – q ) = p + r – q → t = 0 + 4 – 2, 0 + 1 – 1, –1 + 4 – 1 = 2, 0, 2
R T
X
Q P
Y
Vectores
| 137