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2.4

PROPIEDADES DE LA DERIVADA

En cálculo elemental aprendimos como diferenciar sumas, productos, cocientes y funciones compuestas. Ahora generalizamos estas ideas a funciones de varias variables, prestando particular atención a la diferenciación de funciones compuestas. La regla para diferenciación de composiciones, llamada regla de la cadena, adquiere una forma más profunda en el caso de funciones de varias variables que en las de una variable. Así, por ejemplo, si 0 es una función con valores reales en una variable, escrita como D œ 0 aCb, y C es una función de B, que escribimos C œ 1aBb, entonces D resulta una función de B mediante la sustitución, a saber, D œ 0 a1aBbb, y tenemos la conocida fórmula .D .B

œ

.D .C .C .B

œ 0 w a1aBbb1w aBbÞ

Si 0 es una función con valores reales en tres variables ?, @ y A, escrita en la forma D œ 0 a?ß @ß Ab, y las variables ?, @ y A son cada una funciones de B, ? œ 1aBb, @ œ 2aBb, y A œ 5 aBb, entonces al sustituir 1aBb, 2aBb y 5 aBb por ?, @ y A, expresamos D como función de B À D œ 0 a1aBbß 2aBbß 5 aBbb. En este caso la regla de la cadena es: .D .B

œ

`D .? `? .B

`D .@ `@ .B

`D .A `A .B Þ

Uno de los objetivos de esta sección es explicar dichas formulas en detalle. Comenzamos con las reglas de diferenciación para sumas, productos y cocientes.

TEOREMA 10 (i) Regla del múltiplo constante. Sea 0 À Y § V 8 Ä V 7 diferenciable en x! y sea - un número real. Entonces 2axb œ -0 axb es diferenciable en x! y H2ax! b œ -H0 ax! b

(igualdad de matrices).

(ii) Regla de la suma. Sean 0 À Y § V 8 Ä V 7 y 1 À Y § V8 Ä V7 diferenciables en x! . Entonces 2axb œ 0 axb  1axb es diferenciable en x! y H2ax! b œ H0 ax! b  H1ax! b

(suma de matrices).

(iii) Regla del producto. Sean 0 À Y § V 8 Ä V 7 y 1 À Y § V8 Ä V7 8 diferenciables en x! y sea 2axb œ 1axb0 axb. Entonces 2 À Y § V Ä V es diferenciable en x! y H2ax! b œ 1ax! bH0 ax! b  0 ax! bH1ax! bÞ

(Notar que cada lado de esta ecuación es una matriz de " x 8) (iv) Regla del cociente. Con las mismas hipótesis que en la regla (iii), sea 2axb œ 0 axbÎ1axb y suponer que 1 nunca es cero en Y . Entonces 2 es diferenciable en x! y H2ax! b œ 1ax! bH0 ax! b0 ax#! bH1ax! b Þ ’1ax! b“

EJEMPLO 1 Verificar la fórmula para H2 en la regla (iv) del teorema 10 con # 0 aBß Cß D b œ B  C#  D # y 1aBß Cß D b œ B#  ". SOLUCIÓN

Aquí

2aBß Cß D b œ

B# C# D # B# " ß

de modo que por diferenciación directa `2 `2 H2aBß Cß D b œ ’ `2 `B ß `C ß `D “ aB C œ ’ aB "b#B aB# "b# #

#

# D # b#B

ß B##C" ß B##D" “

D b œ ’ #Baa"C ß B##C" ß B##D" “Þ B# "b# #

#

Por la regla (iv), obtenemos H2 œ

1H00H1 1#

œ

aB# "b[#Bß#Cß#D ] aB# C# D # b[#Bß!ß!D ] Þ aB# "b#

que es lo mismo que obtuvimos directamente. Como ya mencionamos anteriormente, es en la diferenciación de funciones compuestas que encontraremos aparentes alteraciones substanciales de la fórmula del cálculo de una variable. Sin embargo, si usamos la notación D, esto es, notación matricial, la regla de la cadena para funciones de varias variables se parece a la regla para una variable.

TEOREMA 11: REGLA DE LA CADENA. Sean Y § V 8 y Z § V 7 abiertos. Sean 1 À Y § V 8 Ä V 7 y 0 À Y § V 7 Ä V : funciones dadas tales que 1 manda a Y en Z , de modo que está definida 0 ‰ 1. Suponer que 1 es diferenciable en x! y que 0 es diferenciable en y! œ 1ax! b. Entonces 0 ‰ 1 es diferenciable en x! y

Ha0 ‰ 1bax! b œ H0 ay! bH1ax! b.

(1)

El lado derecho es una matriz producto.

EJEMPLO 2 SOLUCIÓN a"ß !ß "b.

Calcular un vector tangente a la curva - a>b œ a>ß ># ß /> b en > œ !. Aquí - w a>b œ a"ß #>ß /> b, de modo que en > œ ! un vector tangente es

La regla de la cadena nos puede ayudar a comprender la relación entre la geometría de una función 0 À V # Ä V # y la geometría de curvas en V # . (Se pueden enunciar afirmaciones similares acerca de V $ o, en general, V 8 .) Si - a>b es una curva en el plano, entonces - w a>b representa el vector tangente (o velocidad) de la curva - a>b, este vector tangente (o velocidad) se puede considerar como si comenzara en - a>b. Ahora bien, sea 5a>b œ 0 a- a>bb, donde 0 À V # Ä V # . La curva 5 representa la imagen de la curva - a>b bajo la función 0 . El vector tangente a 5 esta dado por la regla de la cadena: 5w a>b œ H0 a- a>bb - w a>b En otras palabras, la matriz derivada de 0 manda al vector tangente (o velocidad) a una curva, al vector tangente (o velocidad) de la correspondiente curva imagen (ver la figura 2.4.1). Así, los puntos son transportados por 0 , mientras que los vectores tangentes a curvas son transportados por la derivada de 0 , evaluada en el punto base del vector tangente en el dominio.

Figura 2.4.1

Los vectores tangentes son transportados por la matriz derivada.

EJEMPLO 3 Dada 1aBß Cb œ aB#  "ß C# b y 0 a?ß @b œ a?  @ß ?ß @# b, calcular la derivada de 0 ‰ 1 en a"ß "b usando la regla de la cadena. SOLUCIÓN

Las matrices de derivadas parciales son

Ô `? H0 a?ß @b œ Ö `0# `0"

Õ

`? `0$ `?

`0" `@ `0# `@ `0$ `@

× Ô" Ùœ " Ø Õ!

" × ! #@ Ø

y

H1aBß Cb œ ”

#B ! Þ ! #C •

Cuando aBß Cb œ a"ß "b, 1aBß Cb œ a?ß @b œ a#ß "b. Por lo tanto Ô" Ha0 ‰ 1ba"ß "b œ H0 a#ß "bH1a"ß "b œ " Õ!

"× # ! ” ! #Ø

Ô# ! Þœ # #• Õ!

#× ! %Ø

es la derivada requerida. EJEMPLO % Sea 0 aBß Cb dada y hacer la sustitución B œ < -9= ), C œ < =/8 ) (coordenadas polares). Escribir una fórmula para `0 Î`). SOLUCIÓN

Por la regla de la cadena, `0 `)

œ

`0 `B `B ` )

`0 `C `C ` )

esto es, `0 `)

`0 œ  < =/8 ) `B  < -9= ) `0 `C Þ


Propiedades de la Derivada