DEMOSTRACIÓN Sea + œ y † y y , œ x † y. Si + œ ! el teorema es claramente válido, pues entonces y œ ! y ambos lados de la desigualdad se reducen a !. Asi, podemos suponer que + Á !. Por el teorema 2 tenemos ! Ÿ a+x ,yb † a+x ,yb œ +# x † x #+,x † y ,# y † y œ ay † yb# x † x ay † ybax † yb# Þ Al dividir entre y † y se tiene
! Ÿ ax † xbay † yb ax † yb#
ax † yb# Ÿ ax † xbay † yb œ mxm# mym#
o
Al extraer raíz cuadrada en ambos lados de esta desigualdad se obtiene la regla deseada. Hay una consecuencia muy útil de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en términos de longitudes. La desigualdad del triángulo es geométricamente clara en V $ . En la figura 1.5.1, mSUm œ mx ym, mST m œ mxm œ mVUm y mSVm œ mym. Como la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor o igual que la longitud del tercero, tenemos mSUm Ÿ mSVm mVUm, esto es mx ym Ÿ mxm mym. El caso para V 8 no es tan obvio, de modo que daremos la demostración analítica.
Figura 1.5.1 Esta situación geométrica muestra que mSUm Ÿ mSVm mVUm, o, en notación vectorial, que mx ym Ÿ mxm mym, lo cual es la desigualdad del triángulo. COROLARIO
Sean x y y vectores en V 8 . Entonces mx ym Ÿ mxm mym
DEMOSTRACIÓN
adesigualdad del triángulobÞ
Por el teorema $, x † y Ÿ lx † yl Ÿ mxmmym, de modo que
mx ym# œ mxm# #x † y mym# Ÿ mxm# #mxmmym mym# Þ De aquí obtenemos mx ym# Ÿ amxm mymb# ; al extraer raíz cuadrada se tiene el resultado.