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1.5

ESPACIO EUCLIDIANO n-DIMENSIONAL

En las secciones 1.1 y 1.2 estudiamos los espacios V œ V " , V # y V $ y dimos sus interpretaciones geométricas. Por ejemplo, un punto aBß Cß D b en V $ se puede pensar como un objeto geométrico, a saber, el segmento de recta dirigido, o vector, que sale del origen y termina en el punto aBß Cß D b. Entonces podemos pensar V $ de cualquiera de estas dos maneras: (i) Algebraicamente, como un conjunto de ternas aBß Cß D b donde B, C y D son números reales (ii) Geométricamente, como an conjunto de segmentos dirigidos Estas dos maneras de considerar V $ son equivalentes. La definición (i) es más conveniente. Para generalizar. Específicamente, podemos definir V 8 , donde 8 es un entero positivo (quizá mayor que $), como el conjunto de todas las 8-adas ordenadas aB" ß B# ß ÞÞÞß B8 b donde los B3 son números reales. Por ejemplo, Š"ß È&ß #ß È$‹ − V % .

El conjunto V 8 definido anteriormente se conoce como 8-espacio euclidiano, y sus elementos x œ aB" ß B# ß ÞÞÞß B8 b se conocen como vectores o 8-vectores. Al hacer 8 œ "ß # o $, recuperamos la recta, el plano y el espacio tridimensional, respectivamente. Comenzamos nuestro estudio del 8-espacio euclidiano introduciendo varias operaciones algebraicas. Éstas son análogas a las introducidas en la sección 1.1 para V # y V $ . Las primeras dos, suma y multiplicación por un escalar, se definen como sigue: (i) y (ii)

aB" ß B# ß ÞÞÞß B8 b  aC" ß C# ß ÞÞÞß C8 b œ aB"  C" ß B#  C# ß ÞÞÞß B8  C8 b; para cualquier número real !, !aB" ß B# ß ÞÞÞß B8 b œ a!B" ß !B# ß ÞÞÞß !B8 b.

La importancia geométrica de estas operaciones para V # y V $ se analizó en la sección 1.1. Los 8 vectores e" œ a"ß !ß !ß ÞÞÞß !b, e# œ a!ß "ß !ß ÞÞÞß !bß ÞÞÞ, e8 œ a!ß !ß ÞÞÞß !ß "b se llaman vectores de la base usual de V 8 , y generalizan los tres vectores unitarios ortogonales entre sí, 3, 4 y 5 de V $ . El vector x œ aB" ß B# ß ÞÞÞß B8 b se puede escribir como x œ B" e"  B# e#  ÞÞÞ  B8 e8 . Para dos vectores x œ aB" ß B# ß B$ b y y œ aC" ß C# ß C$ b en V $ , definimos el producto punto o producto interno x † y como el número real x † y œ B" C"  B# C#  B3 C$ . Esta definición se extiende fácilmente a V8 ; específicamente, para 8 x œ B" C"  B# C#  ÞÞÞ  B8 C8 . En V se suele usar la notacion aBß Cb en lugar de x † y, para el producto interior. Continuando con la analogía con V $ , ahora tenemos que definir el concepto abstracto de longitud o norma de un vector x mediante la fórmula longitud de x œ mxm œ Èx † x œ ÉB#"  B##  ÞÞÞ  B8# Þ

Si x y y son dos vectores en el piano aV # b o en el espacio aV $ b, sabemos que el ángulo ) entre ellos está dado por la fórmula -9= ) œ

x†y mxmmym .

El lado derecho de esta ecuación está definido tanto para V 8 como para V # . Aún representa el coseno del ángulo entre x y y; este ángulo, está bien definido pues x y y están en un subespacio bidimensional de V 8 (el plano determinado por x y y). El producto punto es una poderosa herramienta matemática; una razón es que incorpora el concepto geométrico de ángulo entre dos vectores. Sera útil disponer de algunas propiedades algebraicas del producto interior. Se resumen en el siguiente teorema (ver las propiedades (i), (ii), (iii) y (iv) de la sección 1.2)

TEOREMA 2

Para x, y y z − V 8 y ! y " números reales, tenemos

(i) a!x  " yb † z œ !ax † zb  " ay † zb. (ii) x † y œ y † x. (iii) x † x € !. (iv) x † x œ ! si,y sólo si, x œ !. DEMOSTRACIÓN Cada una de las cuatro afirmaciones se puede probar mediante un sencillo cálculo. Por ejemplo, para probar la propiedad (i) escribimos a!x  " yb † z œ a!B"  " C" ß !B#  " C# ß ÞÞÞß !B8  " C8b † aD" ß D# ß ÞÞÞß D8 b œ a!B"  " C" bD"  a!B#  " C# bD#  ÞÞÞ  a!B8  " C8 bD8 œ !B" D"  " C" D"  !B# D#  " C# D#  ÞÞÞ  !B8 D8  " C8 D8 œ ! a x † z b  " ay † z b La otra demostración es similar. En la sección 1.2 probamos una propiedad mucho más interesante de los productos punto, llamada la desigualdad de Cauchy-Schwarz (a veces se le llama desigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz, o simplemente desigualdad CBS, porque se descubrió de manera independiente en casos particulares por el matemático francés Cauchy, el matemático ruso Bunyakovskii y el matemático alemán Schwarz). Para V # la demostración requirió de la ley de los cosenos. Podríamos escoger este método para V 8 , restringiendo nuestra atención a un piano en V 8 . Sin embargo, podemos dar una demostración directa, completamente algebraica. TEOREMA 3 Entonces

(DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ) lx † yl Ÿ mxmmym.

Sean x y y vectores en V 8 .

DEMOSTRACIÓN Sea + œ y † y y , œ  x † y. Si + œ ! el teorema es claramente válido, pues entonces y œ ! y ambos lados de la desigualdad se reducen a !. Asi, podemos suponer que + Á !. Por el teorema 2 tenemos ! Ÿ a+x  ,yb † a+x  ,yb œ +# x † x  #+,x † y  ,# y † y œ ay † yb# x † x  ay † ybax † yb# Þ Al dividir entre y † y se tiene

! Ÿ ax † xbay † yb  ax † yb#

ax † yb# Ÿ ax † xbay † yb œ mxm# mym#

o

Al extraer raíz cuadrada en ambos lados de esta desigualdad se obtiene la regla deseada. Hay una consecuencia muy útil de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en términos de longitudes. La desigualdad del triángulo es geométricamente clara en V $ . En la figura 1.5.1, mSUm œ mx  ym, mST m œ mxm œ mVUm y mSVm œ mym. Como la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor o igual que la longitud del tercero, tenemos mSUm Ÿ mSVm  mVUm, esto es mx  ym Ÿ mxm  mym. El caso para V 8 no es tan obvio, de modo que daremos la demostración analítica.

Figura 1.5.1 Esta situación geométrica muestra que mSUm Ÿ mSVm  mVUm, o, en notación vectorial, que mx  ym Ÿ mxm  mym, lo cual es la desigualdad del triángulo. COROLARIO

Sean x y y vectores en V 8 . Entonces mx  ym Ÿ mxm  mym

DEMOSTRACIÓN

adesigualdad del triángulobÞ

Por el teorema $, x † y Ÿ lx † yl Ÿ mxmmym, de modo que

mx  ym# œ mxm#  #x † y  mym# Ÿ mxm#  #mxmmym  mym# Þ De aquí obtenemos mx  ym# Ÿ amxm  mymb# ; al extraer raíz cuadrada se tiene el resultado.

Si el teorema $ y su corolario se desarrollaran algebraicamente, se convertirían en las siguientes útiles desigualdades: ! ! # » B3 C3 » Ÿ Œ B3  8

8

3œ"

3œ"

# Œ ! aB3  C3 b  8

"Î#

3œ"

"Î#

# Œ ! C3  8

"Î#

à

3œ"

Ÿ Œ ! B#3  8

3œ"

"Î#

 Œ ! C3#  8

"Î#

3œ"

EJEMPLO 1 Sea x œ a"ß #ß !ß  "b y y œ a  "ß "ß "ß !b . Verificar el teorema $ y su corolario para este caso: SOLUCIÓN

mxm œ É"#  ##  !#  a  "b# œ È'

mym œ Éa  "b#  "#  "#  !# œ È$ x † y œ " a  " b  # † "  ! † "  a  "b ! œ " x  y œ a!ß $ß "ß  "b mx  ym œ É!#  $#  "#  a  "b# œ È""Þ

Calculemos x † y œ " Ÿ %Þ#% ¸ È'È$ œ mxmmym, lo cual verifica el teorema $. De manera análoga podemos verificar su corolario: mx  ym œ È"" ¸ $Þ$# Ÿ %Þ") œ #Þ%&  "Þ($ ¸ È'  È$ œ mxm  mymÞ Por analogía con V $ , podemos defenir el concepto de distancia en V 8 ; a saber, si x y y son puntos en V 8 , la distancia entre x y y se define como mx  ym, o la longitud del vector x  y. Insistimos en que no hay producto cruz definido en V 8 , excepto para 8 œ $. Sólo se generaliza el producto punto. Generalizando las matrices de # x # y de $ x $ (ver la sección 1.3), podemos considerar matrices de 7 x 8, arreglos de 78 números: Ô +"" Ö+ E œ Ö #" ã Õ +7"

+"# +## ã +7#

á á á

+"8 × +#8 Ù ÙÞ ã +78 Ø

También escribiremos E como c+34 d. Definimos suma y multiplicación por un escalar por componentes, tal y como se hizo para vectores. Dadas dos matrices de 7 x 8 E y F , podemos sumarlas (restarlas) para obtener una nueva matriz de 7 x 8,

G œ E  F aG œ E  F b, cuyo 34-ésimo registro -34 es la suma (diferencia) de +3 4 y ,34 Þ Es claro que E  F œ F  EÞ

EJEMPLO 2 (a)

# ”$

" %

! " ” • " !

(b)

c"

#d c!

(c)

# ”"

" " ” • # !

" !

 "d œ c" ! " œ” • " "

$ " œ” • ( $

# %

" dÞ

$ Þ )•

" Þ "•

Dado un escalar - y una matriz E de 7 x 8, podemos multiplicar E por - para obtener una nueva matriz 7 x 8 - œ G , cuyo 34-ésimo registro -34 es el producto -+34 .

EJEMPLO 3 Ô" $ ! Õ"

" " !

#× Ô$ & œ ! $Ø Õ$

$ $ !

' × "& Þ * Ø

A continuación pasamos a la multiplicación de matrices. Si E œ c+34 d, F œ c,34 d, entonces EF œ G tiene registros dados por -34 œ ! +35 ,54 ß 8

5œ"

que es el producto punto del 3-ésimo renglón de E y la 4-ésima columna de F : Ô +"" Ö ã Ö Ö +3" Ö ã Õ +8" EJEMPLO 4

Sea

á á á

+"8 × ã ÙÔ ,"" Ù +38 Ù ã Ù ã Õ ,8" +88 Ø

á á

,"4 ã ,84

á á

,"8 × ã Þ ,88 Ø

Ô" Eœ # Õ"

! " !

$× ! !Ø

y

Ô! Fœ " Õ!

Ô! " Õ!

% # "

$× ! !Ø

y

FE œ

Entonces EF œ

!× ! "Ø

" ! "

Ô# " Õ$

" ! "

!× $ Þ !Ø

De manera análoga, mediante la misma regla podemos multiplicar una matriz de 8 x 7 (8 renglones, 7 columnas) por una matriz 7 x : (7 renglones, : columnas) para obtener una matriz 8 x : (8 renglones, : columnas). Nótese que para que esté definida EF , el número de columnas de E debe ser igual al número de renglones de F .

EJEMPLO 5

Sea Eœ”

# "

" #•

! "

Entonces

y

$ EF œ ” $

" %

Ô" ! Õ"

! # "

"

# dÞ

#× " Þ "Ø

& ß &•

y FE no está definida.

EJEMPLO 6

Sea Ô"× Ö#Ù EœÖ Ù " Õ$Ø

Entonces

Ô# Ö% EF œ Ö # Õ'

# % # '

y

" # " $

F œ c#

#× %Ù Ù y # 'Ø

#

FE œ c "$ dÞ

Caulquier matriz de 7 x 8 determina una asociación de V 8 a V 7 de la manera siguiente: Sea x œ aB" ß ÞÞÞß B8 b − V 8 ; considerar la matriz columna de 8 x " asociada con x, que denotaremos temporalmente por xX À

Ô B" × ã x œ Õ B8 Ø X

y multiplicar E por xX (considerada como una matriz de 8 x ") para obtener una nueva matriz de 7 x ": Ô +"" ã Ex œ Õ +7"

á

X

á

+"8 ×Ô B" × Ô C" × ã ã ã Þ œ +78 ØÕ B8 Ø Õ C7 Ø

Entonces obtenemos un vector y œ aC" ß ÞÞÞß C7 b. Para usar una matriz E que sirva para obtener una asociación de los vectores x œ aB" ß ÞÞÞß B7 b a vectores y œ aC" ß ÞÞÞß C7 b de acuerdo con la ecuación anterior, hemos de escribir los vectores en forma de columna Ô B" × ã en lugar de la forma de renglón aB" ß ÞÞÞß B7 b. Õ B8 Ø Este cambio repentino de escribir x como renglón a escribirlo como columna es necesario debido a las convenciones sobre multiplicacion. Así, aunque cause alguna confusión, escribiremos x œ aB" ß ÞÞÞß B7 b y y œ aC" ß ÞÞÞß C7 b como vectores columna Ô B" × Ô C" × ã , yœ ã cuando se trate de multiplicaciones de matrices; esto es, xœ Õ B8 Ø Õ C7 Ø identificaremos estas dos formas de escribir vectores. Así, suprimiremos la X en xX y consideraremos iguales a xX y a x; esto es, x œ xX . Así, Ex œ y significara "en realidad" lo siguiente: Escríbase x como vector columna, multiplíquese por E, y sea y el vector cuyas componentes son las del vector columna resultante de Ia multiplicación. La regla x È Ex define, por lo tanto, una asociación de V 8 a V 7 . Esta asociación es lineal; esto es, satisface Eax  yb œ Ex  Ey

Ea!xb œ !aExb, ! un escalar, como puede verificarse fácilmente. En un curso de álgebra lineal se aprende que, recíprocamente, cualquier transformación lineal de V 8 a V 7 se puede representar mediante una matriz de 7 x 8. Si E œ c +34 des una matriz de 7 x 8 y e4 es el 4-ésimo vector de la base usual de 8 V , entonces Ee4 es un vector en V 7 con componentes iguales a las de la 4-ésima columna de E. Esto es, la 3-ésima componentes de Ee4 es +34 . En símbolos, aEe4 b3 œ +34 . EJEMPLO 7

Si

Ô " Ö " EœÖ # Õ "

$× "Ù Ùß # "Ø

! ! " #

entonces x È Ex de V $ a V % es la asociación definida por B"  $B$ Ô × Ô B" ×  B"  B$ Ö Ù B# È Ö ÙÞ #B  B  #B " # $ Õ B$ Ø Õ  B"  #B#  B$ Ø EJEMPLO 8 A continuación se ilustra lo que sucede a un punto particular cuando se manda mediante una matriz de % x $: Ô% Ö$ Ee # œ Ö " Õ!

# & # "

*× # !× Ô × Ô %Ù Ö&Ù Ù " œ Ö Ù œ segunda columna de E. $ Õ Ø # ! Õ"Ø #Ø

La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa: si E y F son matrices de 8 x 8, entonces por lo general EF Á FE (ver los ejemplos %, & y '). Se dice que una matriz de 8 x 8 es invertible si existe alguna matriz F tal que EF œ FE œ M8 ß donde

Ô" Ö! Ö M8 œ Ö ! Ö ã Õ!

! " ! ã !

! ! " ã !

á á á á

!× !Ù Ù !Ù Ù ã "Ø

es la matriz identidad de 8 x 8: M8 tiene la propiedad de que M8 G œ GM8 œ G para cualquier matriz G de 8 x 8. Denotamos F por E" y la llamamos la inversa de E. La inversa, cuando existe, es unica. EJEMPLO 9

Si

Ô# Eœ ! Õ$

% # !

!× " ß entonces #Ø

E

"

œ

" #!

Ô % $ Õ '

) % "#

% × # ß % Ø

pues EE" œ M$ œ E" E, como puede verificarse al efectuarse las multiplicaciones de las matrices. En álgebra lineal se aprenden métodos para calcular inversas; en este libro no se requieren esos métodos. Si E es invertible, es posible resolver la ecuación Ex œ y para el vector x multiplicando ambos lados por E" y obtener x œ E" y. En la sección ".$ definimos el determinante de una matriz de $ x $. Esto se puede generalizar por inducción a determinantes de 8 x 8. Ilustramos aquí como escribir el determinante de una matriz de % x % en términos de los determinantes de matrices de $ x $: â â +"" â â +#" â â +$" â â +%"

+"# +## +$# +%#

â +"% â â â â â â +## +#$ +#% â â +#" +#$ +#% â â â â â œ +"" â +$# +$$ +$% â  +"# â +$" +$$ +$% â â â â â â +%# +%$ +%% â â +%" +%$ +%% â â â â â â +#" +## +#% â â +#" +## +#$ â â â â â  +"$ â +$" +$# +$% â  +"% â +$" +$# +$$ â â â â â â +%" +%# +%% â â +%" +%# +%$ â +"$ +#$ +$$ +%$

â +#% â â +$% â â +%% â

(ver la formula (#) de la sección ".$; los signos se alternan:  ,  ,  ,  ,... ). Las propiedades básicas de los determinantes de $ x $ que se revisaron en la sección ".$, mantienen su validez para determinantes de 8 x 8. En particular, nótese el hecho de que si E es una matriz de 8 x 8 y F es la matriz formada al sumar un múltiplo escalar del 5 -ésimo renglón (o columna) de E al 6-esimo renglón (o, respectivamente, columna) de E, entonces el determinante de E es igual al determinante de F (ver el ejemplo "! a continuación). Un teorema básico del álgebra lineal afirma que una matriz E, de 8 x 8 es invertible si y sólo si el determinante de E no es cero. Otra propiedad básica es que detaEF b œ adet Ebadet F b. En este libro no usaremos muchos detalles de álgebra lineal, de modo que dejaremos estas afirmaciones sin demostración.

EJEMPLO 10 Sea Ô" Ö" EœÖ # Õ"

! " " "

" " ! !

!× "Ù ÙÞ " #Ø

Hallar det E. ¿Tiene inversa? SOLUCIÓN

Al sumar a  "b x la primera columna a la tercera columna, obtenemos â â" â â" det E œ â â# â â"

! " " "

! ! # "

â !â â â â" "â â â œ "â " "â â â â" #â

! # "

â "â â " âÞ â #â

Al sumar a  "b x la primera columna a la tercera columna de este determinate de $ x $ß obtenemos â â" â det E œ â " â â"

! # "

â !â # â !â œ º " â "â

! œ  #Þ "º

Así, det E œ  # Á !, de modo que E tiene inversa. Si tenemos tres matrices E, F y G tales que los productos EF y FG están definidos, entonces los productos aEF bG y EaFG b estarán definidos y serán iguales (esto es, la multiplicación de matrices es asociativa). Llamamos a esto triple producto de matrices y lo denotamos por EFGÞ

EJEMPLO 11 Sea $ E œ ” •ß F œ c " & Entonces

EJEMPLO 12

" ß dß

y

" G œ ” •Þ #

$ * EFG œ EaFG b œ ” •c $ d œ ” •Þ & "& # ”!

! " " •” "

" ! " •” "

" # œ” • " !

! " " •” "

! # œ” • ! "

! Þ !•


Espacio Euclidiano n-Dimensional